Razões e Proporções: Conceitos e Exemplos na Matemática

Profa Dra Deiby Gouveia UNIDADE III Matemática Permite comparar duas grandezas Se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área de um outro retângulo mede 210 cm² ao fazermos a razão das áreas temos 210 07 ou 70 300 Significa a área menor representa 70 da maior Razão Pó solúvel g Água L 1 100 10 1000 100 10000 Obs a K b Razão a antecedente b consequente Exemplo Moacir fez o percurso RioSão Paulo 400 km em 5 horas Qual a razão entre a medida dessas grandezas Exemplo Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre Qual a razão da área construída para a área livre Razão Aplicação R 80 kmh R 40 Exemplo A razão entre a idade de Sofia e a de sua mãe Fernanda é igual a 26 Se a soma das duas idades é igual a 48 então Sofia tem Sofia x Fernanda y Razão Aplicação x 2 y 6 x y 48 Sofia 12 anos Fernanda 36 anos Definição igualdade entre duas razões Elementos de uma Proporção Termos da proporção b e c a e d Exemplo 6 e 10 são proporcionais a 15 e 25 Proporção a c bc ad b d Exemplo 12 é proporcional a 50100 Tipos 1 Diretamente Proporcional a c e b d f Fator de Proporcionalidade FP número racional em sua forma decimal associado à fração Exemplo Um trabalhador autônomo que ganha R 5000 por peça produzida ou R 10000 por 2 peças produzidas Proporção Tipo 2 Inversamente Proporcional a c e 1 1 1 b d f Exemplo Determinar o FP a A razão entre os números 2 5 8 e 10 e os números 6 15 24 e 30 são DP b A razão ente os números 2 4 e 6 e os números 90 45 30 são IP Proporção Fator de Proporcionalidade R 13 R 180 Exemplo Determinar os valores de x e y considerando que os números 6 8 16 são diretamente proporcionais aos números 30 x y 6 8 16 30 x y Proporção Aplicação x 40 y 80 Exemplo Para abrir uma pequena empresa dois amigos investiram inicialmente um capital de R 24 mil e R 16 mil respectivamente Dessa forma a empresa começou sua atividade com um capital de R 4 mil Levando em conta que os lucros seriam divididos proporcionalmente ao investimento inicial de cada amigo quanto cada um receberá no mês sabendo que o lucro foi de R 80000 Proporção Aplicação FP 02 Amigo 1 R 48000 Amigo 2 R 32000 Meu pai tem uma estatura de 180 m e meu filho tem apenas 80 cm de altura Qual é a razão da altura entre meu pai e meu filho a 00225 b 0225 c 225 d 4444 e 044 Interatividade Alternativa correta c 225 Resolução Meu pai tem uma estatura de 180 m e meu filho tem apenas 80 cm de altura Qual é a razão da altura entre meu pai e meu filho Altura do meu Pai 180 m 180 cm Razão Meu Pai 180 cm 225 Meu Filho 80 cm Resposta Ideia principal Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 1 Variável 1 Diretamente Proporcional Grandezas Aumentam ou Diminuem ao mesmo tempo Exemplo Se três canetas custam R 800 quanto custará o preço de seis canetas Regra de Três Simples caneta R 3 800 6 1600 12 3200 Tipos 1 Diretamente Proporcional 2 Inversamente Proporcional Exemplo Um carro percorre 120 km utilizando 20 litros de álcool à velocidade constante de 80 kmh Quantos litros de álcool o carro precisa para percorrer o triplo da quilometragem na mesma velocidade Triplo da velocidade 360 km Regra de Três Simples Aplicação R 60 litros Exemplo Em uma cidade há 160000 habitantes dos quais 40000 têm menos de 40 anos Qual a taxa dos que possuem mais de 40 anos 160000 40000 120000 Regra de Três Simples Aplicação R 75 Exemplo Henrique instala 1 programa de computador em 20 min Considerando que a carga horária de trabalho é das 900 às 1700 horas com intervalo de 1h para almoço quantos programas ele consegue instalar por dia 8 horas de trabalho 1 hora de almoço 7 horas 420 min Regra de Três Simples Aplicação R 21 programas 2 Inversamente Proporcional Grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporção porém quando uma aumenta a outra diminui Exemplo Todas as sextasfeiras Antônio um homem muito caridoso distribui pães aos moradores de rua do centro de São Paulo no início da noite Ele sempre leva 120 pães para serem distribuídos Ao chegar ao local ele verifica o número de pessoas e divide os pães igualmente entre eles Regra de Três Simples Quant pessoas Quant pães por pessoa 10 12 20 6 30 4 Exemplo João viajando de carro a uma velocidade média 60 kmh demora 2 horas para chegar ao destino planejado Se ele aumentar a velocidade do automóvel para 80 kmh quanto tempo irá demorar Regra de Três Simples Aplicação R 15h Exemplo Cinco operários fazem uma obra em 30 dias Em quanto tempo 15 operários farão a mesma obra Regra de Três Simples Aplicação R 10 dias Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de um vestibular Considerando a mesma proporção quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas a 6 dias b 2 dias c 12 dia d 13 dias e 72 dias Interatividade Alternativa correta b 2 dias Resolução Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de um vestibular Considerando a mesma proporção quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas 5 12 GIP 30 12 x 2 dias 30 x 5 x Resposta Conceito Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 1 Grandeza 2 Variável Exemplo Trabalhando sozinha Luiza produz 16 compotas de doce em 2 horas Ela pretende aumentar a produção e contratou duas pessoas que irão trabalhar com ela seis horas diárias Quantas compotas produzirão Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Regra de Três Composta R 144 compotas Exemplo Em uma marcenaria sabese que 3 marceneiros fabricam 2 mesas em 10 dias Assim quantos dias levará para 5 marceneiros fabricarem 4 mesas Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Regra de Três Composta Aplicação R 12 dias Exemplo Dez empregados trabalham 8 horas por dia durante 27 dias para atender certo número de pessoas Se um empregado doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou quantos dias os empregados restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas trabalhando uma hora a mais por dia no mesmo ritmo de trabalho Será Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Regra de Três Composta Aplicação R 30 dias Exemplo Uma empresa de cosméticos com 20 funcionários produz 2000 produtos dermatológicos trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6000 produtos dermatológicos em 15 dias trabalhando 4 horas por dia será de Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Regra de Três Composta Aplicação R 40 funcionários Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade duas torneiras levaram 4 horas Quantas horas seriam necessárias para enchêlo com 6 torneiras se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade a 54 min b 1 hora c 15 horas d 2 horas e 3 horas Interatividade Alternativa correta b 1 hora Resolução Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade duas torneiras levaram 4 horas Quantas horas seriam necessárias para enchêlo com 6 torneiras se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade 400 6 4 x 1 hora 300 2 x Resposta Cap tanque m3 Torneiras unid Tempo h 400 2 4 300 6 x Porcentagem ou percentagem é qualquer razão centesimal ou seja é uma fração cujo denominador é 100 Representação na forma de fração com denominador 100 percentual ou na forma decimal Forma percentual Forma unitária Porcentagem Exemplo a 13 b 30 c 525 Exemplo João vendeu 30 dos seus 300 cavalos Quantos cavalos ele vendeu Porcentagem Exemplo Para preparar uma determinada solução um técnico de laboratório misturou 5 mL de ácido clorídrico em 80 mL de água Determinar a porcentagem de ácido nessa solução Porcentagem R 59 de HCl Exemplo O salário mínimo de um trabalhador no ano de 2016 sofreu um aumento de 1168 Sabendo que no ano de 2015 o salário mínimo era de R 78800 qual será o valor para 2016 Fator de Multiplicação Acréscimo 1 taxa de acréscimo na forma decimal R R 88004 Exemplo Um carro modelo Prisma 14 com motor flex arcondicionado direção elétrica controle de velocidade e bluetooth custa R 5800000 Devido à redução do IPI Imposto sobre Produtos Industrializados de 20 qual será o valor a ser pago pelo carro Fator de Multiplicação Desconto 1 taxa de acréscimo na forma decimal R R 5684000 ou Exemplo Um livro que custava R 2400 passou a custar R 3000 Qual foi a taxa percentual de aumento Exemplo Se eu comprei uma ação de um clube por R 25000 e a revendi por R 30000 qual a taxa percentual de lucro obtida Taxa Percentual de Variação Taxa percentual diferença de valores valor antigo Taxa percentual preço novo preço antigo R 25 R 20 Exemplo Certo mês uma prestação de casa própria tinha o valor de R 74000 Sendo paga após a data do vencimento seria cobrada uma multa e o valor total a ser pago passaria a ser R 77700 Qual seria o valor percentual da multa correspondente em relação ao valor inicial da prestação Taxa Percentual de Variação R 5 Lucro transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo L 0 L 0 L 0 Lucro sobre o preço de Custo e de Venda Lucro preço de venda preço de custo LpV preço de venda preço de custo x 100 preço de Venda LpC preço de venda preço de custo x 100 preço de Custo Exemplo Uma loja compra determinado artigo à vista por R 62000 e o revende por R 68400 a Qual é o percentual de lucro calculado sobre o preço de venda b Qual é o percentual de lucro calculado sobre o preço de custo Lucro sobre o preço de Custo e de Venda R 1032 R 936 Exemplo De maneira geral os comerciantes preferem trabalhar o cálculo do seu lucro através de um percentual do preço de venda de sua mercadoria Se um livreiro compra um livro por R 10000 e quer obter um lucro igual a 20 do preço de venda deverá vendêlo por Lucro sobre o preço de Custo e de Venda Venda Custo Lucro R R 12500 Exemplo Um bem foi vendido por R 50000 com um lucro de 10 do preço de venda Podemos garantir que esse bem teve um custo de Lucro sobre o preço de Custo e de Venda Venda Custo Lucro R R 45000 Um funcionário recebe um saláriobase de R 85000 Recebe também um adicional por tempo de serviço de 5 sobre o saláriobase Além disso está respondendo pela chefia da seção recebendo por isso 8 sobre o saláriobase O empregador desconta 85 sobre seu salário total para a contribuição previdenciária Quanto recebe esse funcionário a R 96050 b R 93168 c R 87886 d R 88850 e R 103275 Interatividade Alternativa correta c R 87886 Resposta Um funcionário recebe um saláriobase de R 85000 Recebe também um adicional por tempo de serviço de 5 sobre o saláriobase Além disso está respondendo pela chefia da seção recebendo por isso 8 sobre o saláriobase O empregador desconta 85 sobre seu salário total para a contribuição previdenciária Quanto recebe esse funcionário R 85000 x 005 R 4250 R 85000 x 008 R 6800 Total R 11050 R 85000 R 96050 Desconto de 85 R 8164 R 87886 Resposta ATÉ A PRÓXIMA