Problema dos Três Reservatórios: Análise e Resolução

Problema dos três reservatórios Também conhecido como problema de Belanger Foi ele que propôs a forma analítica de resolver o problema como veremos a seguir Temos visto como calcular a vazão em uma tubulação quando elas interligam dois reservatórios Quando os condutos interligam três ou mais reservatórios não é possível saber a priori o sentido de escoamento e todos os trechos da tubulação O reservatório mais elevado fornece água ao sistema enquanto o mais baixo recebe água Os reservatórios intermediários poderão tento receber como fornecer água ao sistema dependendo das cotas piezométricas das interligações Veja a figura a seguir Condutos interligando três reservatórios Fonte BATISTA LARA 2010 Para se determinar a vazão nos condutos que interligam os três reservatórios da figura é necessário conhecer as cotas dos níveis de água nos reservatórios 𝑍 𝑍𝑒 𝑍 bem como os diâmetros 𝐷 𝐷𝑒 𝐷 os comprimentos 𝐿 𝐿𝑒 𝐿 e os coeficientes de perda de carga 𝛽 𝛽𝑒 𝛽 Considere 𝑍 𝑍 𝑍 assim podese concluir que os sentidos de escoamento nos trechos 1 𝑒 3 são 𝑑𝑒 𝐵 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸 𝑒 𝑑𝑒 𝐸 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐺 Já no trecho 2 o sentido de escoamento tanto pode ser 𝑑𝑒 𝐸 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐷 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝐷 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸 dependendo somente da cota piezométrica em 𝐸 como demonstrado a seguir Se 𝑍 𝑍 o reservatório 𝑅 é alimentado pelos outros dois reservatórios 𝑄 𝑄 𝑄 Se 𝑍 𝑍 o reservatório 𝑅 é alimenta outros dois reservatórios 𝑄 𝑄 𝑄 Se 𝑍 𝑍 o reservatório 𝑅 não recebe e nem cede água 𝑄 𝑄 e 𝑄 0 A forma mais simples de se determinar o sentido de fluxo no trecho 𝐷𝐸 é fazendo a hipótese de que 𝑍 𝑍 ou seja 𝑄 0 e calculando 𝑄 e 𝑄 através de uma equação de perda de carga 𝑄 𝐷 𝛽𝐿 𝑍 𝑍 𝑄 𝐷 𝛽𝐿 𝑍 𝑍 Se os valores encontrados para 𝑄 e 𝑄 forem iguais a hipótese está correta e o problema resolvido Caso contrário se 𝑄 𝑄 é porque 𝑄 𝑄 𝑄 e o sentido de fluxo é de 𝐸 para 𝐷 A solução do problema está condicionada à determinação das variáveis 𝑄 𝑄 𝑄 𝑒 do sistema de equações a seguir Trecho 𝐵𝐸 𝑍 𝑍 Trecho 𝐷𝐸 𝑍 𝑍 Trecho 𝐸𝐺 𝑍 𝑍 𝑄 𝑄 𝑄 Se 𝑄 𝑄 é porque 𝑄 𝑄 𝑄 e o sentido de escoamento é de 𝐷 para 𝐸 Logo o sistema de equações para a solução do problema é o seguinte Trecho 𝐵𝐸 𝑍 𝑍 Trecho 𝐷𝐸 𝑍 𝑍 Trecho 𝐺𝐸 𝑍 𝑍 𝑄 𝑄 𝑄 Exercício 1 Determinar as vazões do sistema mostrado na figura desprezando as perdas de carga localizadas