Automação de Sistemas Elétricos - Caderno - Pea2411 P2 Senger - Poli-usp - Engenharia Elétrica

λ(t) = A/π + A/2 cos(ωt - ϕ0) = 2A/3π cos(2ωt) + ...\nTransformada discreta do Fourier (TDF)\nUm integral pode ser reescrita pelos métodos de Euler como\n∫ 0 to T λ(t) dt; T: T0/N uma discretização, logo\nT0/N = 1/N * Σ from m=0 to N-1 f(m) T\nentão sendo 1/N = T0/N\nCk = 1/N * Σ from m=0 to N-1 f(m) e^(-jk 2πm/N)\nque respeita o Teorema da amostragem\nFicará definido que a TDF de um sinal de N amostras de um s(m) será:\nF(k) = 1/N * Σ from m=0 to N-1 f(m) e^(jk 2πm/N) m: 0, ..., N-1\ncom F(1) = N Ck = N.Ak/2 |Θk\nDesse modo, a TDF será\nf(m) = 1/N * Σ from m=0 to N-1 F(k) e^(jk 2πm/N)\n* F(k) será periódica F(k) = F(k+N);\n* F(k) = F*(N-k); Série de Fourier\nx(t) = Σ from k=-∞ to ∞ Ck e^(jkw0t)\nCk = 1/T0 * ∫ from 0 to T0 x(t) e^(-jkw0t) dt\nTransformada Discreta do Fourier (TDF)\nf(m) = 1/N * Σ from m=0 to N-1 Fk e^(jk 2πm/N) m: 0, ... , N-1\nFk = Σ from m=0 to N-1 f(m) e^(j k 2πm/N)\nK ∈ ℤ\nCk = Ak/2 |Θk\nFk = N Ck = N Ak/2\nAk |Θk = 2/N F(k)\nTransformada de Fourier\nx(t) não periódico\n x(t) → π(t) =>\n x(t) → x(t)\n x(t) → lim T0 → ∞ π(t)\nT0 → ∞\nExpectativa de π(t) (sinal periódico)\nx(t) = Σ Ck e^(j2πn0t)\nf0 = 1/T0\nonde Ck = 1/T0 * ∫ from 0 to T0 x(t) e^(-j2πn0t) dt x(t) = Σ from k=-∞ to ∞ [ 1/T0 * ∫ from -T0/2 to T0/2 x(t)e^(-j2πk0t) dt ] e^(j k z n f0 t)\nx(t) = Σ from k=-∞ to ∞ x(t)e^(j k 2πf0t)\nT0 → ∞\n f0 → df\nx(t) → x(t)\nT0 → ∞\n k0T0 → f\nf → ∞\n Σ from k=-∞ to ∞\nx(t) = ∫ from -∞ to ∞ x(t) e^(-j2πft) dt\nx(t) = ∫ from -∞ to ∞ X(f) e^(j2πft) dt\n- Calcular o espectro da componente periódica presente na corrente de curto-circuito em sim LT. σ(t)\nicc(t) = Ae^{-at}\nd = R/L\n\nicc(t) = A e^{-at} + Af cos(iωt - θ)\n\ncomponente\nexponencial amortecida\n\nComponente Amplitude:\nx(t) = { 0 p/t < 0\n A e^{-at} p/t > 0\n\nEspetro de x(t)\nX(ω) = ∫_{-∞}^{∞} x(t)e^{-j2πft}dt = ∫_{0}^{∞} A e^{-at} e^{-j2πft} dt\n= -A e^{-(a+j2πf)t} |_{0}^{∞}\n= A/(a+j2πf)\n\nX(ω) = A/a+jω = A/{ia²+ω²} \nI(ω)\n\n |X(ω)|\nω X(ϕ) = ∫ x(t) e^{-j2πf_0t} dt\nf' = f - KFA\nX(f - KFA) = ∫ x(t)e^{j2π(f - KFA)t} dt (3)\n ⇒ Xs(f) = FA ∑ X(f - KFA) (15)\nX(ϕ)\n\n\nA expressão (15) mostra que o espectro de x(t) é constituído do espectro de x(t) (banda básica) mais o espectro de x(t) traduzido para cada múltiplo da frequência de oscilagem FA (bandas secundárias), cada banda é multiplicada por FA.\n\nPara que não ocorra superposição entre a banda básica e a primeira banda secundária, é necessário que fm < FA - fm ⇒ FA > 2fm (6)\nse isso for atendido é possível recuperar o espectro x(t) origin filtrando-se o sinal Xs(t) com um filtro passa-baixas, com fc = FA/2. A condição FA > 2fm é conhecida como Teorema de Amostragem: \"Um sinal x(t), limitado em banda, este , X(f) = 0 para |f| > fm, pode ser completamente reconstruído a partir dos amostros tomados com frequência de oscilagem FA > 2fm.\"\nFA é denominada frequência de Nyquist.\n\nQuando o teorema de amostragem não é atendido, ocorre o erro de aliasing.\n\nEspetro de sinal x(t)\nX(f) = F{x(t)}\n\nSe FA < 2fm\nEspetro do sinal amostrado Xs(f)\n\nEx1: O sinal x(t) = 6 cos(2π5t) é amostrado com 2 frequências de amostragem.\na) FA = 14 Hz (atende o teorema da amostragem)\nb) FA = 7 Hz (não atende)\n\nsinal\nanalógicos\n{ f0 = 5 Hz\nA = 6 } Espetro de sinal amostrado\na) FA = 14 Hz\nb) FA = 7 Hz\n\nEx: Sinais amostrados em N amostros 1 ciclo de 60Hz discuta a filtragem para deter o sinal, sendo both a frequência de interesse.\nf0 = 60 Hz\nFA = f0 + fc\n .: N = x - 1\n\ndominante: o ser atenuada para esta. Aliasing na frequência de interesse.\n\nInstruções - Butterworth ordem 2 (2 Amps)\nerro na fundamental < 1;\nN = 16 amostros 1 ciclo. hx = 36 - j 15 harmônica\nAmin = 30 dB\n\nhipótese mínimos harmônica super 30. da fundamental\n -> lege, Amin = 30 dB\nfc = 15.60\n\nTransformada Z\nA semelhança da Transformada de Laplace para\nsistemas de tempo contínuo, a Transformada\n do Z é a ferramenta para ondas e sinais de\nsistemas lineares de Tempo discreto\n\nProcesso de amostragem\n\nx(t) -> xs(t)\n p(t) = ∑∞ δ(t - mTA)\n m=-∞\n\nXs(t) = x(t) * p(t) = x(t). ∑ δ(t - mTA)\n m=-∞\n\nXsl(t) = ∑ x(t). δ(t - mTA)\n n=0\n\nX(s)(t) = x(t - mTA) = 0 p/ t ≠ mTA\n\nXs(t) = ∑ x(mTA). δ(t - mTA)\n m=0\n\nTomando-se a Transformada de desloc de Xs(t)\nXs(s) = L {Xs(t)} = ∫_{-∞}^{∞} xs(t) e^{-st} dt onde s = σ + jω