Operação Financeira de Juros: Investidor e Tomador

OPERAÇÃO FINANCEIRA DE JUROS Investidor x Tomador Recurso financeiro transita do Investidor ao Tomador mediante contrato Dados do contrato Data de celebração ou data presente ou data focal Valor negociado Prazo da operação Valor da remuneração Periodicidade da incidência da remuneração Forma da Remuneração Forma da Devolução do Valor Negociado A operação liquidada quando ao final do prazo da operação todo o valor negociado tiver transitado de volta do Tomador ao Investidor bem como todo o valor da remuneração CODIFICAÇÃO VP Valor negociado Valor Presente VP Capital C Present Value PV n prazo em número de períodos T0 data da celebração do contrato Tn data do vencimento do contrato T1 T2 data dos vencimentos dos períodos intermediários J Remuneração total paga Juros i taxa de juros REMUNERAÇÃO TOTAL PAGA NA LIQUIDAÇÃO REMUNERAÇÃO TOTAL PAGA NA LIQUIDAÇÃO VF Valor Futuro Montante Valor Negociado Remuneração VP J C J CÁLCULO DOS JUROS E DO MONTANTE J Cin M C J M C 1in EXEMPLOS a Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 15 meses Considerando que foi contratada uma taxa de juros SIMPLES de 2 ao mês e que o total devolvido foi de R 1650000 calcule o valor que foi tomado emprestado 1269230 b Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 10 meses Considerando que foi contratada uma taxa de juros SIMPLES de 15 ao mês e que o Juro pago foi de R 78000 calcule o valor total devolvido 598000 c Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 48 meses Considerando que o total devolvido foi o dobro do emprestado calcule a taxa MENSAL de juros SIMPLES aplicada 20833 ao mês MATEMÁTICA FINANCEIRA JUROS COMPOSTOS REGIME DE JUROS COMPOSTOS Os juros corrigíveis de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes Nesse caso o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse novo valor Também conhecido como JURO SOBRE JURO JUROS COMPOSTOS COM REMUNERAÇÃO TOTAL PAGA NA LIQUIDAÇÃO EXEMPLO Qual o valor do Montante de um capital de R 1000 investido a uma taxa de juro de 10 ao mês durante 12 meses JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Mês Juros J Saldo Devedor M Juros J Saldo Devedor M 0 R R 100000 R R 100000 1 R 10000 R 110000 R 10000 R 110000 2 R 10000 R 120000 R 11000 R 121000 3 R 10000 R 130000 R 12100 R 133100 4 R 10000 R 140000 R 13310 R 146410 5 R 10000 R 150000 R 14641 R 161051 6 R 10000 R 160000 R 16105 R 177156 7 R 10000 R 170000 R 17716 R 194872 8 R 10000 R 180000 R 19487 R 214359 9 R 10000 R 190000 R 21436 R 235795 10 R 10000 R 200000 R 23579 R 259374 11 R 10000 R 210000 R 25937 R 285312 12 R 10000 R 220000 R 28531 R 313843 EXEMPLO Qual o valor do Montante de um capital de R 1000 aplicado a uma taxa de 10 ao mês durante 12 meses nos regimes de capitalização SIMPLES e COMPOSTO R R50000 R100000 R150000 R200000 R250000 R300000 R350000 0 2 4 6 8 10 12 14 SIMPLES COMPOSTO CÁLCULO DOS JUROS E DO MONTANTE JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Incidência dos Juros devidos no período Sobre o capital inicial C Sobre o montante M do período anterior capital juros acumulados Progressão do Saldo Devedor Linear Geométrica Taxas de juros em escalas de tempos diferentes Proporcionais Geometricamente Equivalentes Montante Valor Futuro em Formas de Remuneração Acumuladas Menor Maior Montante Valor Futuro em Formas de Remuneração Periódicas Igual Igual CÁLCULO DOS JUROS E DO MONTANTE J C 1in 1 M C J M C 1in JUROS COMPOSTOS NA HP12C Fórmulas usando a codificação da HP J PV 1in 1 FV PV J FV PV 1in PARA PRATICAR a Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 15 meses Considerando que foi contratada uma taxa de juros COMPOSTOS de 2 ao mês e que o total devolvido foi de R 1650000 calcule o valor que foi tomado emprestado 1225974 b Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 10 meses Considerando que foi contratada uma taxa de juros COMPOSTOS de 15 ao mês e que o Juro pago foi de R 87500 calcule o valor total devolvido 632533 c Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 48 meses Considerando que o total devolvido foi o dobro do emprestado calcule a taxa MENSAL de juros COMPOSTOS aplicada 14545335 ao mês d Uma aplicação de 100000 foi resgatada por 124337 Se a taxa de juros da aplicação foi 2 ao mês por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado 11 meses e Uma aplicação de 100000 foi resgatada por 122600 Se a taxa de juros da aplicação foi 2 ao mês por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado 10 meses e 9 dias PARA PRATICAR a Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 15 meses Considerando que foi contratada uma taxa de juros COMPOSTOS de 2 ao mês e que o total devolvido foi de R 1650000 calcule o valor que foi tomado emprestado 1225974 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 𝑃𝑉 𝐹𝑉 1 𝑖 𝑛 𝑃𝑉 16500 1 002 15 𝑃𝑉 1225974 𝑛 15 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 2 𝑎 𝑚 𝑀 𝐹𝑉 𝑅 1650000 15 16500 2 i FV n PV 1225974 PARA PRATICAR b Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 10 meses Considerando que foi contratada uma taxa de juros COMPOSTOS de 15 ao mês e que o Juro pago foi de R 87500 calcule o valor total devolvido 632533 𝐽 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 1 𝑃𝑉 𝐽 1 𝑖 𝑛 1 𝑃𝑉 875 1 0015 10 1 𝑃𝑉 545033 𝐹𝑉 𝑃𝑉 𝐽 𝐹𝑉 545033 875 𝐹𝑉 632533 𝑛 10 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 15 𝑎 𝑚 𝐽 𝑅 87500 𝑀 PARA PRATICAR c Uma pessoa toma emprestado um determinado valor a ser devolvido daqui a 48 meses Considerando que o total devolvido foi o dobro do emprestado calcule a taxa MENSAL de juros COMPOSTOS aplicada 14545335 ao mês 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 𝑛 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 2 𝑃𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 2 1 𝑖 2 1 𝑛 𝑖 2 1 𝑛 1 2 1 48 1 001454533 𝑛 48 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 𝑀 2 𝐶 𝐹𝑉 2 𝑃𝑉 48 100 200 CHS FV PV n i 1454533 PARA PRATICAR d Uma aplicação de 100000 foi resgatada por 124337 Se a taxa de juros da aplicação foi 2 ao mês por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado 11 meses 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 𝑛 𝐹𝑉 𝑃𝑉 ln 1 𝑖 𝑛 ln 𝐹𝑉 𝑃𝑉 n ln 1 𝑖 ln 𝐹𝑉 𝑃𝑉 𝑛 ln 𝐹𝑉 𝑃𝑉 ln 1 𝑖 ln 124337 100000 ln 1 002 ln 124337 ln 102 0217825 0019803 11 𝑛 𝑖 2 𝑎 𝑚 𝑀 124337 𝐶 100000 1000 124337 2 CHS i FV PV n 11 PARA PRATICAR e Uma aplicação de 100000 foi resgatada por 122600 Se a taxa de juros da aplicação foi 2 ao mês por quanto tempo o dinheiro ficou aplicado 10 meses e 9 dias 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 𝑛 𝐹𝑉 𝑃𝑉 ln 1 𝑖 𝑛 ln 𝐹𝑉 𝑃𝑉 n ln 1 𝑖 ln 𝐹𝑉 𝑃𝑉 𝑛 ln 𝐹𝑉 𝑃𝑉 ln 1 𝑖 ln 1226 100000 ln 1 002 ln 1226 ln 102 0203757 0019803 1029 𝑛 𝑖 2 𝑎 𝑚 𝑀 122600 𝐶 100000 1000 1226 2 CHS i FV PV n 11 MATEMÁTICA FINANCEIRA CLASSIFICAÇÃO E CONVERSÃO DE TAXAS TAXAS PROPORCIONAIS Possuem a mesma proporção em relação ao período em que são dadas Exemplos 12 ao ano é PROPORCIONAL a 1 ao mês 30 ao trimestre é PROPORCIONAL a 20 ao bimestre 10 ao bimestre é PROPORCIONAL a 30 ao semestre p PROPORÇÃO entre o período desejado quero q com relação ao período dado tenho t p qt CÁLCULO DE TAXAS PROPORCIONAIS iq it p onde p é a proporção Que taxa mensal é proporcional a 12 ao ano período dado t ano período desejado q mês proporção p 112 qt imensal ianual 112 imensal 1 ao mês Que taxa bimestral é proporcional a 20 ao trimestre período dado t trimestre período desejado q bimestre proporção p 23 qt ibimestral itrimestral 23 ibimestral 133333 ao bimestre TAXAS EQUIVALENTES Taxas equivalentes no mesmo tempo resultam no mesmo montante Exemplos 126825 ao ano é EQUIVALENTE a 1 ao mês em um ano um Capital de 1000 resulta em um montante de 112682 para as duas taxas 314534 ao trimestre é EQUIVALENTE a 20 ao bimestre em um ano um Capital de 1000 resulta em um montante de 298598 para as duas taxas 91393 ao bimestre é EQUIVALENTE a 30 ao semestre em um ano um Capital de 1000 resulta em um montante de 169000 para as duas taxas CÁLCUO DE TAXAS EQUIVALENTES iq 1itqt 1 qt PROPORÇÃO entre o período que eu quero q com relação ao período que eu tenho t Que taxa mensal é equivalente a 12 ao ano período dado t ano período desejado q mês imensal 1 ianual112 1 imensal 09489 ao mês Que taxa semestral é equivalente a 5 ao bimestre período dado t bimestre período desejado q semestre isemestral 1 ibimestral62 1 isemestral 157625 ao semestre TAXAS NOMINAIS X TAXAS EFETIVAS Chamase de nominal a taxa cujo período não coincide com o período de capitalização Exemplos Taxa nominal anual de10 capitalizada bimestralmente Taxa nominal semestral de 5 capitalizada mensalmente As taxas nominais não devem ser utilizadas nos cálculos de Valores Presentes ou Futuros isto é as taxas nominais NÃO PRODUZEM EFEITO Para isso devem ser utilizadas as taxas efetivas Taxas efetivas são as taxas que PRODUZEM EFEITO A taxa nominal é PROPORCIONAL à taxa efetiva do período de capitalização Assim para converter uma taxa NOMINAL em uma taxa EFETIVA basta aplicar a PROPORCIONALIDADE das taxas TAXAS NOMINAIS X TAXAS EFETIVAS Exemplo Taxa nominal de 36 ao ano capitalizada mensalmente Qual a taxa EFETIVA período dado t ano período desejado q mês proporção 112 qt iEmensal iNanual 112 iEmensal 036 112 iEmensal 3 ao mês EXEMPLOS a Uma operação é realizada com taxa nominal de 35 ao ano com capitalização semestral Qual a taxa efetiva semestral da operação 175 ao semestre b Um banco oferece financiamento imobiliário com taxa nominal de 14 ao ano com capitalização mensal Qual a taxa efetiva mensal da operação 11667 ao mês Qual a taxa anual equivalente 149342 ao ano c Um empréstimo de R 500000 é feito a uma taxa nominal anual de 18 com capitalização mensal Sua liquidação se dará após dois anos Qual deverá ser o valor do Montante 714751 d Uma operadora de cartão de crédito oferece crédito rotativo com juros nominais de 5 ao mês com capitalização diária Dentro de seis meses qual será o valor de uma dívida que hoje é de R 100000 134952 Qual a taxa anual efetiva dessa operação de crédito 8212 ao ano MATEMÁTICA FINANCEIRA PERÍODOS NÃO INTEIROS PERIODICIDADE DA TAXA A taxa de juros i possui dois componentes O percentual a ser aplicado sobre o valor do Capital Juros Simples ou sobre o valor do Capital Juros incorridos Juros compostos A periodicidade em que esses juros são aplicados e apropriados Exemplos 2 ao mês 01 ao dia 10 ao ano PERIODICIDADE DA TAXA A periodicidade com que os juros são apropriados é um dado contratual e não pode ser alterada Isso é particularmente importante em se tratando em regime de juros compostos no qual é muito diferente apropriar 12 de juros em um ano e apropriar mensalmente 1 doze vezes em um ano equivalente a 1268 ao ano Assim a periodicidade de apropriação dos juros deve ser sempre respeitada No caso de taxas NOMINAIS a periodicidade a ser considerada é a periodicidade de CAPITALIZAÇÃO dos juros e uma taxa efetiva proporcional à taxa nominal dada deverá ser utilizada Exemplos taxa nominal de 24 ao ano com capitalização mensal os juros serão apropriados MENSALMENTE a uma taxa de 2 taxa nominal de 45 ao mês com capitalização diária os juros serão apropriados DIARIAMENTE a uma taxa de 015 PRAZOS Todos os prazos da operação financeira deverão ser computados em número de períodos dados na mesma escala de tempo que for utilizada para apropriar os juros Exemplos se prazo 15 anos e i 2 ao mês então n 18 meses se prazo 96 dias e inominal 24 ao ano com capitalização mensal então n 32 meses se prazo 15 meses e i 10 ao ano então n 125 anos PRAZOS COM PERÍODOS NÃO INTEIROS Considere o exemplo Capital 1000000 Prazo 42 meses Taxa de juros 15 ao ano O número de períodos a ser considerado deverá ser portanto 35 anos A taxa não deverá sofrer nenhuma conversão Já é efetiva e já está dada na periodicidade de apropriação dos juros 35 são 3 períodos inteiros 05 período 05 período é um período não inteiro ou uma FRAÇÃO de um período ni 3 períodos inteiros nf 05 período fracionário Como computar a parte não inteira do período Convenção Exponencial Convenção Linear CONVENÇÃO EXPONENCIAL Considere o exemplo Capital 1000000 prazo 42 meses taxa de juros 15 ao ano n 35 Usando a equação FV PV 1 i n FV 10000 1 015 35 FV 1630957 CONVENÇÃO EXPONENCIAL Usando as teclas préprogramadas da HP CONVENÇÃO LINEAR Neste caso são cobrados JUROS SIMPLES para o PERÍODO FRACIONÁRIO Na parte inteira do período são cobrados Juros Compostos Considere o exemplo Capital 1000000 prazo 42 meses taxa de juros 15 ao ano n 35 ni 3 nf 05 Usando a equação FV PV 1 i ni 1 i nf FV 10000 1 0153 1 015 05 FV 1634941 CONVENÇÃO LINEAR Usando as teclas préprogramadas da HP COMPARAÇÃO CE x CL Períodos Exponencial Linear 0 00 00 025 107 125 05 225 250 075 355 375 1 500 500 125 660 688 15 837 875 175 1033 1063 2 1250 1250 225 1490 1531 25 1756 1813 275 2050 2094 3 2375 2375 325 2735 2797 35 3134 3219 375 3574 3641 4 4063 4063 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 05 1 15 2 25 3 35 4 Percentual Resultante Número de períodos EXPONENCIAL LINEAR Para períodos inteiros não há diferença Para períodos não inteiros a aplicação da Convenção Linear sempre irá resultar em um Montante maior do que a aplicação da Convenção Exponencial PARA PRATICAR 1 Uma empresa toma um empréstimo de R 10 milhões A taxa efetiva cobrada pelo banco é de 30 ao ano juros compostos com capitalização anual O contrato define convenção linear para períodos fracionários Após 15 meses a empresa liquida o empréstimo Calcule quanto a empresa pagou a mais em reais do que pagaria se tivesse contratado o empréstimo sob convenção exponencial 9373036 E se tivesse feito o pagamento 3 meses antes 2 Qual o valor dos Juros de uma aplicação de 18000000 por 220 dias a uma taxa nominal anual de 61 com capitalização mensal Utilize as duas convenções para comparar 7893296 e 7900409 MATEMÁTICA FINANCEIRA OPERAÇÕES DE DESCONTO CONCEITO Operação realizada quando se quer determinar o valor atual de uma operação cujo valor é determinado para uma data futura VALOR NOMINAL Valor Futuro Valor de Face Valor de Resgate no vencimento DESCONTO valor a ser subtraído do Valor Nominal em função da antecipação de sua disponibilidade VALOR PARA RESGATE ANTECIPADO Valor Presente valor recebido em T0 pago por um terceiro que assume o direito de resgatar o valor nominal no futuro CONVENÇÕES n número de períodos VN valor nominal da operação valor futuro ou valor em Tn ou valor para resgate no vencimento VRA valor para resgate antecipado que passou por n períodos de desconto valor presente ou valor em T0 D valor do Desconto D VN VRA d taxa de desconto a ser aplicada sobre o valor nominal da operação DESCONTO X JUROS No desconto simples aplicase sobre o valor nominal a taxa de desconto multiplicada pelo número de períodos que estão sendo antecipados para sua liquidação D VNdn O valor para resgate antecipado VRA ou PV pode ser deduzido como VRA VN 1 dn D VN VRA EXEMPLO Um título cujo valor nominal é de R 100000 vence daqui a 3 meses sendo que o banco trabalha com uma taxa de desconto de 2 ao mês qual o valor que deverá ser antecipado pelo banco ao beneficiário desse título caso seja solicitada uma operação de desconto financeiro Nesse exemplo o VRA será dado por 𝑽𝑹𝑨 𝑽𝑵 𝟏 𝒏 𝒅 Onde d 2 am n 3 meses VN R 100000 Logo o VRA Valor de Resgate Antecipado do título será 𝑽𝑹𝑨 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟑 𝟎 𝟎𝟐 𝟗𝟒 𝟎𝟎𝟎 Resposta O valor que deverá ser antecipado é de R 9400000 ao beneficiário do título EXEMPLO Transformando taxa de desconto em taxa de juros efetiva No exemplo anterior o PV será de R 94000 Logo temos uma operação financeira onde i taxa de juros a ser calculada n 3 meses PV R 94000 FV R 100000 Utilizandose as funções financeiras da HP12C temos 3 n 94000 CHS PV 100000 FV i 208 ao mês PARA PRATICAR 1 Um cheque de 1000000 está prédatado para compensação daqui a quatro meses Considerando que um banco oferece uma taxa de desconto de 3 ao mês quanto é possível obter por esse cheque na data de hoje 880000 2 Um título tem valor nominal de 100000000 e vencimento para daqui a dois anos Considerando que uma instituição oferece 55600000 para realizar um resgate antecipado qual a taxa mensal de desconto que está sendo adotada 185 ao mês 3 Uma duplicata de R 2500000 foi resgatada antecipadamente por 2125000 Sabendo que a taxa de desconto aplicada foi de 45 ao mês em quantos dias o resgate foi antecipado 100 dias 4 Um título foi resgatado 75 dias antes do seu vencimento Considerando que o valor do Desconto foi de 1600000 e que a taxa de desconto aplicada foi de 2 ao mês determine o Valor Nominal do título e o Valor Resgatado Antecipadamente 32000000 e 30400000 PARA PRATICAR 1 Um cheque de 1000000 está prédatado para compensação daqui a quatro meses Considerando que um banco oferece uma taxa de desconto de 3 ao mês quanto é possível obter por esse cheque na data de hoje 880000 𝑉𝑅𝐴 𝑉𝑁 1 𝑑 𝑛 𝑉𝑅𝐴 10000 1 003 4 𝑉𝑅𝐴 8800 𝑉𝑁 10000 𝑑 3 𝑎 𝑚 003 𝑛 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 PARA PRATICAR 2 Um título tem valor nominal de 100000000 e vencimento para daqui a dois anos Considerando que uma instituição oferece 55600000 para realizar um resgate antecipado qual a taxa mensal de desconto que está sendo adotada 185 ao mês 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉𝑅𝐴 𝑉𝑁 1 𝑑 𝑛 𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑 𝑉𝑅𝐴 𝑉𝑁 1 𝑛 𝑉𝑁 1000000 𝑉𝑅𝐴 556000 𝑛 2 𝑎𝑛𝑜𝑠 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑 556000 1000000 1 24 00185 185 𝑎 𝑚 PARA PRATICAR 3 Uma duplicata de R 2500000 foi resgatada antecipadamente por 2125000 Sabendo que a taxa de desconto aplicada foi de 45 ao mês em quantos dias o resgate foi antecipado 100 dias 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉𝑅𝐴 𝑉𝑁 1 𝑑 𝑛 𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛 𝑉𝑅𝐴 𝑉𝑁 1 𝑑 𝑉𝑁 25000 𝑉𝑅𝐴 21250 𝑑 45 𝑎 𝑚 𝑛 21250 25000 1 0045 3333 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 100 𝑑𝑖𝑎𝑠 PARA PRATICAR 4 Um título foi resgatado 75 dias antes do seu vencimento Considerando que o valor do Desconto foi de 1600000 e que a taxa de desconto aplicada foi de 2 ao mês determine o Valor Nominal do título e o Valor Resgatado Antecipadamente 32000000 e 30400000 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷 𝑉𝑁 𝑑 𝑛 𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑉𝑁 𝐷 𝑑 𝑛 16000 002 25 320000 𝑉𝑁 𝑉𝑅𝐴 𝑑 2 𝑎 𝑚 𝑉𝑅𝐴 𝑉𝑁 𝐷 320000 16000 304000 𝑛 75 𝑑𝑖𝑎𝑠 25 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 D 16000 D 𝑉𝑁 𝑉𝑅𝐴 MATEMÁTICA FINANCEIRA SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS SÉRIES UNIFORMES Fluxos de caixa com Valor constante Periodicidade constante nº de fluxos nº de períodos SÉRIES UNIFORMES Não são Séries Uniformes SÉRIES UNIFORMES Exemplo Financiamento de R 3500 em 10 pagamentos e juros de 15 ao mês Parcela Amortização Juros Parcela Saldo Devedor 0 R 350000 1 R 32702 R 5250 R 37952 R 317298 2 R 33192 R 4759 R 37952 R 284106 3 R 33690 R 4262 R 37952 R 250415 4 R 34196 R 3756 R 37952 R 216219 5 R 34709 R 3243 R 37952 R 181511 6 R 35229 R 2723 R 37952 R 146281 7 R 35758 R 2194 R 37952 R 110524 8 R 36294 R 1658 R 37952 R 74230 9 R 36839 R 1113 R 37952 R 37391 10 R 37391 R 561 R 37952 R 000 CONVENÇÕES i taxa de juros n número de PERÍODOS número de PAGAMENTOS PMT Valor dos PAGAMENTOS constante PV ou VP Valor Presente da Série sempre dadocalculado UM PERÍODO ANTES DO PRIMEIRO PAGAMENTO ou NO PERÍODO DO PRIMEIRO PAGAMENTO FV ou VF Valor Futuro sempre dadocalculado NA MESMA DATA DO ÚLTIMO PAGAMENTO ou NA DATA POSTERIOR AO ÚLTIMO PAGAMENTO SÉRIES UNIFORMES COM BASE NO VALOR PRESENTE Série de pagamentos uniformes que liquidam operação financeira realizada no presente 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖𝑛1 𝑖1 𝑖𝑛 SÉRIES UNIFORMES COM BASE NO VALOR FUTURO Série de pagamentos uniformes que acumulam valores para serem resgatados no futuro 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖𝑛1 𝑖 UTILIZANDO A HP12C x1200 x2200 x3200 x4200 n 4 pagamentos VF ATENÇÃO AOS SINAIS taxa de juros na mesma periodicidade dos pagamentos SÉRIES ANTECIPADAS x POSTECIPADAS FV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT FV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT PV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT PV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT Séries Antecipadas Séries Postecipadas Montantes Menores Prestações Menores Montantes Maiores Prestações Maiores FATORES SÉRIES ANTECIPADAS 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT i i i PMT FV n 1 1 1 Fator de Acumulação de Capital FAC Fator de Formação de Capital FFC Fator de Valor Atual FVA Fator de Recuperação de Capital FRC Modo BEGIN FATORES SÉRIES POSTECIPADAS Fator de Acumulação de Capital FAC Fator de Formação de Capital FFC Fator de Valor Atual FVA Fator de Recuperação de Capital FRC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT i i i PMT FV n 1 1 1 i i i PMT FV n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT Modo END padrão EXEMPLO Um telefone celular é vendido por R 1000 à vista Calcule o valor de cada prestação caso o aparelho seja financiado parcelado em 6 pagamentos iguais a uma taxa de juros de 190 ao mês e a primeira prestação vencendo em 30 dias postecipada Vamos resolver por meio de 1 Funções financeiras da HP12C 2 Aplicação de Fórmula 3 Tabela de Fatores EXEMPLO Resolução usando os COMANDOS da HP12C f FIN Limpar a memória 1000 PV 6 n 19 i PMT 17792 EXEMPLO Resolução aplicando a FÓRMULA 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑉 𝑖 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 𝑛 1 𝑃𝑀𝑇 1000 0019 1 0019 6 1 0019 6 1 17792 EXEMPLO Utilizando a tabela de fatores FRC 𝐹𝑅𝐶 𝑖 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 𝑛 1 Tabela de Fatores de Recuperação de Capital FRC Postecipada Prazos Taxas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100 101000 050751 034002 025628 020604 017255 014863 013069 011674 010558 009645 008885 110 101100 050827 034069 025691 020665 017314 014921 013127 011731 010615 009702 008941 120 101200 050902 034137 025754 020726 017374 014980 013184 011788 010672 009758 008998 130 101300 050977 034204 025818 020787 017433 015038 013242 011846 010729 009815 009054 140 101400 051052 034271 025881 020848 017493 015097 013300 011903 010786 009872 009111 150 101500 051128 034338 025944 020909 017553 015156 013358 011961 010843 009929 009168 160 101600 051203 034406 026008 020970 017612 015215 013417 012019 010901 009987 009225 170 101700 051279 034473 026071 021031 017672 015274 013475 012077 010959 010044 009283 180 101800 051354 034540 026135 021093 017732 015333 013534 012135 011016 010102 009340 190 101900 051429 034608 026199 021154 017792 015392 013592 012193 011074 010160 009398 200 102000 051505 034675 026262 021216 017853 015451 013651 012252 011133 010218 009456 210 102100 051580 034743 026326 021277 017913 015511 013710 012310 011191 010276 009514 220 102200 051656 034811 026390 021339 017973 015570 013769 012369 011249 010334 009572 230 102300 051732 034878 026454 021401 018034 015630 013828 012428 011308 010393 009631 240 102400 051807 034946 026518 021463 018094 015690 013887 012487 011367 010452 009690 250 102500 051883 035014 026582 021525 018155 015750 013947 012546 011426 010511 009749 𝑃𝑀𝑇 1000 017792 𝑃𝑀𝑇 17792 PARA PRATICAR Para adquirir um imóvel uma pessoa irá financiar 25000000 para pagar em 180 prestações mensais iguais e consecutivas com a primeira vencendo 30 dias após a celebração do contrato Considerando que a taxa de juros nominal cobrada pelo banco é de 9 ao ano com capitalização mensal determine o valor das prestações 253567 O valor de um carro pode ser pago a prazo por meio de 8 parcelas mensais de R 500000 sem entrada vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra Se a taxa de juros cobrada pelo parcelamento é de 5 am qual o preço à vista do carro 3231606 Uma pessoa aplica dez parcelas iguais mensais e sucessivas de 100000 em um fundo de investimento que rende juros de 2 am Qual deverá ser o seu saldo nesse fundo na data da última aplicação 1094972 Quanto tempo levarei para juntar meu primeiro milhão aplicando mensalmente 50000 a partir de hoje em um investimento que rende 05 ao mês 480 meses PARA PRATICAR Para adquirir um imóvel uma pessoa irá financiar 25000000 para pagar em 180 prestações mensais iguais e consecutivas com a primeira vencendo 30 dias após a celebração do contrato Considerando que a taxa de juros nominal cobrada pelo banco é de 9 ao ano com capitalização mensal determine o valor das prestações 253567 𝑇𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑖 𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑚 009 12 075 𝑎 𝑚 𝑛 180 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃𝑉 𝑅 250000 𝑓 𝐹𝐼𝑁 𝐿𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑎 𝑚é𝑚𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝐻𝑃 250000 𝑃𝑉 180 𝑛 075 𝑖 𝑃𝑀𝑇 253567 𝑅 253567 PV 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT PARA PRATICAR O valor de um carro pode ser pago a prazo por meio de 8 parcelas mensais de R 500000 sem entrada vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra Se a taxa de juros cobrada pelo parcelamento é de 5 am qual o preço à vista do carro 3231606 𝑛 8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃𝑀𝑇 𝑅 500000 𝑖 5 𝑎 𝑚 𝑃𝑉 𝑓 𝐹𝐼𝑁 5000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 5 𝑖 8 𝑛 𝑃𝑉 3231606 𝑅 3231606 PV 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT PARA PRATICAR Uma pessoa aplica dez parcelas iguais mensais e sucessivas de 100000 em um fundo de investimento que rende juros de 2 am Qual deverá ser o seu saldo nesse fundo na data da última aplicação 1094972 𝑃𝑀𝑇 1000 𝑖 2 𝑎 𝑚 𝑛 10 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑔𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐹𝑉 é 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑔 𝐸𝑁𝐷 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 End 𝑝𝑜𝑖𝑠 é 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝐻𝑃 1000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 2 𝑖 10 𝑛 𝐹𝑉 1094972 𝑅 1094972 FV 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT PARA PRATICAR Quanto tempo levarei para juntar meu primeiro milhão aplicando mensalmente 50000 a partir de hoje em um investimento que rende 05 ao mês 480 meses 𝑃𝑀𝑇 50000 𝑖 05 𝑎 𝑚 𝑛 𝐹𝑉 1000000 𝑇𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑔 𝐵𝐸𝐺 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 Begin𝑑𝑎 𝐻𝑃 500 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 05 𝑖 1000000 𝐹𝑉 𝑛 480 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 40 𝑎𝑛𝑜𝑠 FV 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT SÉRIES UNIFORMES COM ENTRADA Na aquisição de um bem é comum o cliente pagar um valor inicial de entrada Nesse caso o valor financiado Capital será diminuído Sendo V Valor do Bem E Valor de Entrada em F Valor Financiado ou Capital PV VP Temos que 𝐹 𝑉 𝐸 Se a entrada for uma porcentagem do Valor do Bem e 𝐹 𝑉 1 𝑒 Exemplo Um bem é comprado a vista por R 36000 e pode ser financiado com uma entrada de 30 e o restante em 6 parcelas iguais Sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 ao mês Calcule o valor das parcelas 𝐹 𝑉 1 𝑒 V R 36000 e 30 Calculando o valor financiado Capital temos 𝐹 𝑅 36000 1 030 𝑅 2520000 Calculando o valor da Prestação usando a HP 12C 𝑓 𝐹𝐼𝑁 25200 𝑃𝑉 2 𝑖 6 𝑛 𝑃𝑀𝑇 449885 𝑅 448985 PARA PRATICAR O valor de um carro pode ser pago a prazo por meio de 8 parcelas mensais de R 300000 com uma entrada de R 15000 vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra Se a taxa de juros cobrada pelo parcelamento é de 5 am qual o preço à vista do carro R 3438964 Para adquirir um imóvel de 25000000 uma pessoa dá uma entrada de 30 do valor do imóvel e financia o restante em 180 prestações mensais iguais e consecutivas com a primeira vencendo no ato da celebração do contrato Considerando que a taxa de juros nominal cobrada pelo banco é de 9 ao ano com capitalização mensal determine o valor das prestações R 176172 PARA PRATICAR O valor de um carro pode ser pago a prazo por meio de 8 parcelas mensais de R 300000 com uma entrada de R 15000 vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra Se a taxa de juros cobrada pelo parcelamento é de 5 am qual o preço à vista do carro 𝑛 8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃𝑀𝑇 𝑅 300000 𝑖 5 𝑎 𝑚 𝑃𝑉 𝑓 𝐹𝐼𝑁 3000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 5 𝑖 8 𝑛 𝑃𝑉 1938964 𝐸𝑠𝑠𝑒 é 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 1938964 1500000 𝑅 3438964 PARA PRATICAR Para adquirir um imóvel de 25000000 uma pessoa dá uma entrada de 30 do valor do imóvel e financia o restante em 180 prestações mensais iguais e consecutivas com a primeira vencendo no ato da celebração do contrato Considerando que a taxa de juros nominal cobrada pelo banco é de 9 ao ano com capitalização mensal determine o valor das prestações R 176175 𝑇𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑖 𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑚 009 12 075 𝑎 𝑚 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑛 180 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 𝑅 250000 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 250000 03 75000 𝑃𝑉 𝑅 250000 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 250000 75000 175000 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑓 𝐹𝐼𝑁 𝐿𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑎 𝑚é𝑚𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝐻𝑃 𝑔 𝐵𝐸𝐺 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑔𝑖n Antecipado 175000 𝑃𝑉 180 𝑛 075 𝑖 𝑃𝑀𝑇 176175 𝑅 176175 SÉRIES UNIFORMES A VALOR PRESENTE COM VALOR FUTURO RESIDUAL Pode ocorrer de se realizar um FINANCIAMENTO e restar um valor residual a ser liquidado no final do contrato Nesse caso devese informar no parâmetro FV HP 12C ou VF Excel o valor residual Prestações PMT PV Capital Postecipada Pagamentos PMT Antecipada FV valor residual a pagar PV Capital FV valor residual a pagar Exemplo Um bem é comprado a vista por R 36000 e pode ser financiado em 6 parcelas iguais restando ainda R 6000 a serem quitados ao final do financiamento Sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 ao mês calcule o Valor da Prestação Calculando o valor da Prestação usando a HP 12C 𝑓 𝐹𝐼𝑁 36000 𝑃𝑉 2 𝑖 6 𝑛 6000 𝐶𝐻𝑆 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 547577 𝑅 547577 Importante Observe que o SINAL do valor residual FV deve ser o mesmo das prestações PMT SÉRIES UNIFORMES A VALOR FUTURO COM VALOR PRESENTE INICIAL Pode ocorrer de se realizar um INVESTIMENTO já se contando com um capital inicial o que irá gerar um valor futuro maior ao final dos períodos Nesse caso devese informar no parâmetro PV HP 12C ou VP Excel o valor inicial Investimentos PMT PV saldo inicial Postecipada Investimentos PMT FV resgate dos investimentos Antecipada FV resgate dos investimentos PV saldo inicial Exemplo Gostaria de juntar R 36000 para a compra de um bem daqui a 6 meses Já disponho inicialmente de R 6000 Sabendo posso investir começando daqui a 30 dias em uma aplicação financeira que oferece uma rentabilidade de 2 ao mês calcule o quanto deverei investir por mês para resgatar o montante almejado o valor dos pagamentos investimentos usando a HP 12C 𝑓 𝐹𝐼𝑁 6000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑉 2 𝑖 6 𝑛 36000 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 463577 𝑅 463577 Importante Observe que o SINAL do saldo inicial PV deve ser o mesmo das prestações PMT PARA PRATICAR Um imóvel no valor de R 450 mil pode ser financiado em 60 prestações mensais primeira prestação no ato sem entrada e a uma taxa de juros de 12 ao mês Calcule o valor das prestações Caso possa ser pago um valor residual de R 48 mil no final do contrato calcule novamente o valor das prestações R 1043900 e R 989467 Um investidor pretende resgatar de uma aplicação financeira que paga uma taxa de juros de 118 ao mês um montante de R 230000 em um prazo de 3 anos Fazendo aportes de investimento iguais e mensais e sabendo que esse mesmo investidor já disponha de uma quantia inicial de R 32500 calcule o valor que deverá ser investido a cada mês Caso o investidor não possa contar com esse saldo inicial qual deverá ser o valor mensal a ser investido R 405144 e R 516474 PARA PRATICAR Um imóvel no valor de R 450 mil pode ser financiado em 60 prestações mensais primeira prestação no ato sem entrada e a uma taxa de juros de 12 ao mês Calcule o valor das prestações Caso possa ser pago um valor residual de R 48 mil no final do contrato calcule novamente o valor das prestações R 1043900 e R 989467 Calculando com o valor residual 450000 𝑃𝑉 60 𝑛 12 𝑖 48000 𝐶𝐻𝑆 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 989467 𝑅 989467 Para calcular sem o valor residual 0 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 1043900 𝑅 1043900 PARA PRATICAR Um investidor pretende resgatar de uma aplicação financeira que paga uma taxa de juros de 118 ao mês um montante de R 230000 em um prazo de 3 anos Fazendo aportes de investimento iguais e mensais e sabendo que esse mesmo investidor já disponha de uma quantia inicial de R 32500 calcule o valor que deverá ser investido a cada mês Caso o investidor não possa contar com esse saldo inicial qual deverá ser o valor mensal a ser investido R 405144 e R 516474 Calculando a parcela com valor inicial 118 𝑖 230000 𝐹𝑉 36 𝑛 32500 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 405144 𝑅 405144 Para calcular a parcela sem valor inicial 0 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 516474 𝑅 516474 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA Prof Eduardo Alexandre Mendes 1 Matemática Financeira Métodos de Avaliação de Fluxo de Caixa São utilizados em Análise de Aplicações Financeiras e de Projetos de Investimento Consistem na comparação de valores recebidos e pagos em datas diferentes Os principais métodos são o Valor Presente Líquido VPL ou NPV e a Taxa Interna de Retorno TIR ou IRR mas também são utilizados a Taxa Interna de Retorno Modificada Payback e Payback Descontado Prof Eduardo Alexandre Mendes 2 Matemática Financeira Valor Presente Líquido VPL ou NPV Consiste em calcular o Valor Presente de vários pagamentos eou recebimentos a uma taxa conhecida descontando o fluxo inicial NPV valores futuros atualizados valor inicial n j j j CF i CF NPV 1 0 1 Prof Eduardo Alexandre Mendes 3 Matemática Financeira Exemplo Uma pessoa tem as seguintes opções para investimento de 80000000 1 Receber 100000000 em 2 anos 2 Receber 4 pagamentos semestrais de 23000000 3 Receber 24 pagamentos mensais de 3800000 Qual a melhor alternativa se a taxa de retorno atratividade é de 12 aa Prof Eduardo Alexandre Mendes 4 Matemática Financeira Pelo retorno total e retorno médio Prof Eduardo Alexandre Mendes 5 Matemática Financeira Proposta Retorno Total Retorno Médio Proposta 1 1000000 500000 ano Proposta 2 920000 4 x 230000 460000 ano Proposta 3 912000 24 x 38000 456000 ano Segundo o critério do retorno médio ou retorno total a Proposta 1 seria a melhor No entanto isso seria um equívoco pois não estamos considerando o risco e o valor do dinheiro no tempo Logo Devemos calcular o VPL ou a TIR das propostas Solução Proposta 1 FV PV 1in 1000000 PV 10122 PV 79719388 VPL 79719388 80000000 VPL 280612 Prof Eduardo Alexandre Mendes 6 Matemática Financeira Solução Proposta 2 Série de pagamentos postecipada com PMT 23000000 n 4 parcelas i 583 as Calculandose PV e PVL temos VP 80008557 VPL 80008557 800000 8557 Prof Eduardo Alexandre Mendes 7 Matemática Financeira Solução Proposta 3 Série de pagamentos postecipada com PMT 3800000 n 24 parcelas i 09488793 am Calculandose PV e VPL temos PV 81218261 VPL 81218261 800000 1218261 Portanto a melhor alternativa é a 3 Prof Eduardo Alexandre Mendes 8 Matemática Financeira Se VPL é negativo significa que as despesas atualizadas são maiores que as receitas atualizadas Se VPL é positivo significa que as receitas atualizadas são maiores que as despesas atualizadas Se VPL é igual a zero significa que as receitas atualizadas e as despesas atualizadas são iguais Prof Eduardo Alexandre Mendes 9 Matemática Financeira Taxa Interna de Retorno TIR ou IRR O Método da Taxa Interna de Retorno é aquele que permite encontrar a remuneração do investimentos em termos percentuais Encontrar a taxa Interna de Retorno é encontrar a taxa de juros que permite igualar receitas e despesas na data zero Prof Eduardo Alexandre Mendes 10 Matemática Financeira A Taxa Interna de Retorno é a taxa de desconto que leva o valor presente das entradas de caixa de um projeto a se igualar ao valor presente das saídas de caixa Se NPV 0 então 0 0 0 1 1 0 1 CF i CF CF i CF CF i CF NPV n j n j n j Taxa Interna de Retorno TIR ou IRR Prof Eduardo Alexandre Mendes 11 Matemática Financeira Exemplo Calcule a taxa interna de retorno do exemplo anterior na 3a alternativa ou seja em que o investimento inicial era de 80000000 teria seu retorno em 24 parcelas mensais de 3800000 Prof Eduardo Alexandre Mendes 12 Matemática Financeira Solução Calculemos a taxa de juros de uma série de pagamentos postecipada com PV 80000000 PMT 3800000 n 24 parcelas Calculandose i temos i IRR 108 am 1370 aa Prof Eduardo Alexandre Mendes 13 Matemática Financeira Se TIR é menor que taxa de atratividade significa que a remuneração do investimento é inferior a taxa de atratividade Se TIR é maior que a taxa de atratividade significa que a remuneração do investimento é superior a taxa de atratividade Se TIR é igual a taxa de atratividade significa que a remuneração do investimento é semelhante a taxa de atratividade Prof Eduardo Alexandre Mendes 14 Matemática Financeira TIR e VPL das 3 Propostas Prof Eduardo Alexandre Mendes 15 Matemática Financeira Proposta Retorno Total Retorno Médio VPLNPV TIRIRR Proposta 1 1000000 500000 ano 280612 118 aa Proposta 2 920000 460000 ano 8557 120 aa Proposta 3 912000 456000 ano 1218261 137 aa Propostas 2 e 3 são viáveis VPL 0 e TIR TMR Proposta 3 é a mais atrativa maiores VPL e TIR Proposta 1 é inviável VPL 0 e TIR TMR Uso de Calculadoras Financeiras Nos exemplos feitos anteriormente os fluxos de caixa tinham valores das entradas ou saídas constantes As calculadoras financeiras geralmente aceitam calcular NPV e IRR para quaisquer valores dos fluxos de caixa Na calculadora HP12C isto é feito através das teclas NPV IRR CF0 CFj e Nj Prof Eduardo Alexandre Mendes 16 Matemática Financeira Exemplo Um máquina no valor de 10000 proporcionará receitas anuais de 3500 2800 2300 e 1700 quando poderá ser revendida por 2000 Imaginadose uma taxa mínima de retorno de 7 aa o investimento deve ser realizado Prof Eduardo Alexandre Mendes 17 Matemática Financeira Solução O Fluxo de Caixa desse investimento pode ser representado da seguinte forma 3500 2800 2300 3700 0 1 2 3 4 10000 Prof Eduardo Alexandre Mendes 18 Matemática Financeira Solução Através do VPL Em primeiro lugar o fluxo deve ser introduzido na calculadora Para isso é necessário lembrar que os valores receitas e despesas devem ser introduzidos em ordem cronológica f Reg 10000 CHS g CF0 3500 g CFj 2800 g CFj 2300 g CFj 3700 g CFj 7 i f NPV Prof Eduardo Alexandre Mendes 19 Matemática Financeira Solução Através do VPL O resultado do VPL é 41685 o que significa que as estimativas de receitas são maiores que o investimento inicial valendo a pena ser feito Prof Eduardo Alexandre Mendes 20 Matemática Financeira Solução Através da TIR A situação também poderia ser resolvida através da taxa interna de retorno f Reg 10000 CHS g CF0 3500 g CFj 2800 g CFj 2300 g CFj 3700 g CFj f IRR Prof Eduardo Alexandre Mendes 21 Matemática Financeira Solução Através da TIR A resposta encontrada para IRR é 884 aa maior que a taxa mínima de retorno exigida 7 aa o que significa que o investimento deve ser feito Prof Eduardo Alexandre Mendes 22 Matemática Financeira SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof Eduardo Alexandre Mendes 1 CONCEITO DE AMORTIZAÇÃO Amortização Devolução do Capital Emprestado com consequente diminuição do Saldo Devedor A amortização pode ser parcial durante o contrato ou total final do contrato Prof Eduardo Alexandre Mendes 2 Importante Prestação Amortização Juros SISTEMA PRICE Também chamado de Sistema Francês de amortização ou simplesmente de TABELA PRICE é um método usado em amortização de empréstimos Principal característica prestações ou parcelas iguais e amortizações crescentes Prof Eduardo Alexandre Mendes 3 SISTEMA PRICE Exemplo Prof Eduardo Alexandre Mendes 4 Valor Financiado R 10000 Taxa efetiva 5 am Número de Parcelas X PeríodoParcela P Prestação A Amortização J Juro SD Saldo Devedor X P A J SD 0 1000000 1 230975 180975 50000 819025 2 230975 190024 40951 629002 3 230975 199525 31450 429477 4 230975 209501 21474 219976 5 230975 219976 10999 SISTEMA PRICE Partindose de SDo PV P PMT n i SD0 Calculase os valores de cada período X Jx SDx1 i Ax P Jx SDx SDx1 Ax SDx PV nx i P Onde SDo Saldo Devedor no Período Inicial 0 P Prestação Pagamentos Uniformes Jx Valor de Juros no período linha X SDx1 Saldo Devedor no Período Anterior X1 SDx Saldo Devedor no Período X i Taxa de juros do Financiamento Ax Valor Amortizado no período X Prof Eduardo Alexandre Mendes 5 1º passo 2º passo 3º passo 4º passo SISTEMA SAC É o Sistema de Amortização Constante método muito utilizado em amortização de empréstimos imobiliários e financiamentos industriais Principal característica amortizações constantes e prestações decrescentes Prof Eduardo Alexandre Mendes 6 SISTEMA SAC Exemplo Prof Eduardo Alexandre Mendes 7 Valor Financiado R 10000 Taxa efetiva 5 am Número de Parcelas X PeríodoParcela P Prestação A Amortização J Juro SD Saldo Devedor X P A J SD 0 1000000 1 250000 200000 50000 800000 2 240000 200000 40000 600000 3 230000 200000 30000 400000 4 220000 200000 20000 200000 5 210000 200000 10000 SISTEMA SAC Partindose de SDo PV A SDo n Calculase os valores de cada período X Px A Jx Jx SDx1 i SDx SDx1 A SDx A nx Onde SDo Saldo Devedor no Período Inicial 0 A Valor Amortizado Constantemente Px Prestação em cada período X Jx Valor de Juros no período linha X SDx1 Saldo Devedor no Período Anterior X1 SDx Saldo Devedor no Período X i Taxa de juros do Financiamento Prof Eduardo Alexandre Mendes 8 1º passo 2º passo 3º passo 4º passo SISTEMA AMERICANO Sistema Americano Os juros são pagos periodicamente e a amortização é feita em parcela única no final do financiamento Sistema utilizado para liquidação de títulos de dívidas de grandes emissores Exemplos Tesouro Nacional Títulos Públicos e Grandes Corporações Debêntures Prof Eduardo Alexandre Mendes 9 SISTEMA AMERICANO Prof Eduardo Alexandre Mendes 10 Valor Financiado R 10000 Taxa efetiva 5 am Número de Parcelas X PeríodoParcela P Prestação A Amortização J Juro SD Saldo Devedor Exemplo X P A J SD 0 1000000 1 50000 50000 1000000 2 50000 50000 1000000 3 50000 50000 1000000 4 50000 50000 1000000 5 1050000 1000000 50000 OUTROS SISTEMAS Sistema Misto As prestações são calculadas por uma média entre o Sistema PRICE e o Sistema SAC Prof Eduardo Alexandre Mendes 11 COMPARANDO OS SISTEMAS Prof Eduardo Alexandre Mendes 12 180975 190024 199525 209501 219976 50000 40951 31450 21474 10999 1 2 3 4 5 PRICE PRESTAÇÕES Amortização Juros 200000 200000 200000 200000 200000 50000 40000 30000 20000 10000 1 2 3 4 5 SAC PRESTAÇÕES Amortização Juros 1000000 50000 50000 50000 50000 50000 1 2 3 4 5 AMERICANO PRESTAÇÕES Amortização Juros COMPARANDO OS SISTEMAS Prof Eduardo Alexandre Mendes 13 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 190000 200000 210000 220000 230000 240000 250000 260000 1 2 3 4 5 Prestações PRICE SAC Americano Resumo PRICE SAC Americano Total Pago 1154874 1150000 1250000 Total de Juros 154874 150000 250000 PARA PRATICAR 1 Um financiamento de 100000 será pago em 120 parcelas mensais com amortização pelo sistema PRICE A taxa de juros é de 15 ao mês O primeiro pagamento deverá ocorrer 30 dias após a contratação do financiamento a Elabore uma tabela de amortização 5 primeiras linhas b Calcule o saldo devedor após 3 anos de pagamentos c Calcule o valor dos juros e da amortização da 20ª prestação Prof Eduardo Alexandre Mendes 14 PARA PRATICAR RESOLUÇÃO Prof Eduardo Alexandre Mendes 15 X P A J SD 0 10000000 R 1 R 180185 R 30185 R 150000 9969815 R 2 R 180185 R 30638 R 149547 9939177 R 3 R 180185 R 31098 R 149088 9908079 R 4 R 180185 R 31564 R 148621 9876515 R 5 R 180185 R 32037 R 148148 9844478 R a b SDx PV nx i P 𝑆𝐷36 𝑃𝑉 120 36 15 180185 84 𝑛 15 𝑖 180185 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑉 𝑅 𝟖𝟓 𝟕𝟐𝟗 𝟓𝟔 SDx PV nx i P 𝑆𝐷19 𝑃𝑉 120 19 15 180185 101 𝑛 15 𝑖 180185 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑉 𝑅 9340251 c Jx SDx1 i 𝐽20 𝑆𝐷19 𝑖 𝐽20 9340251 0015 𝐽20 𝟏 𝟒𝟎𝟏 𝟑𝟏 Ax P Jx 𝐴20 180185 140134 𝐴20 𝟒𝟎𝟎 𝟓𝟒 P PMT n i SD0 Veja construção da tabela completa no Excel PARA PRATICAR 2 Um financiamento de 10000000 será pago em 120 parcelas mensais com amortização pelo SAC A taxa de juros é de 15 ao mês O primeiro pagamento deverá ocorrer 30 dias após a contratação do financiamento a Elabore uma tabela de amortização 5 primeiras linhas b Calcule o saldo devedor após 3 anos de pagamentos c Calcule o valor da 20ª prestação Prof Eduardo Alexandre Mendes 16 PARA PRATICAR RESOLUÇÃO Prof Eduardo Alexandre Mendes 17 a b 𝑆𝐷36 83333 120 36 𝑆𝐷36 𝑹 𝟔𝟗 𝟗𝟗𝟗 𝟕𝟐 𝑆𝐷19 83333 120 19 𝑆𝐷19 8416633 c Jx SDx1 i 𝐽20 𝑆𝐷19 𝑖 𝐽20 8416633 0015 𝐽20 𝑹 𝟏 𝟐𝟔𝟐 𝟒𝟗 Veja construção da tabela completa no Excel X P A J SD 0 10000000 R 1 R 233333 R 83333 R 150000 9916667 R 2 R 232083 R 83333 R 148750 9833333 R 3 R 230833 R 83333 R 147500 9750000 R 4 R 229583 R 83333 R 146250 9666667 R 5 R 228333 R 83333 R 145000 9583333 R A SDo n SDx A nx SDx A nx Px A Jx 𝑃20 83333 126249 𝑃20 𝑹 𝟐 𝟎𝟗𝟓 𝟖𝟐