Classificação e Conversão de Taxas em Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA CLASSIFICAÇÃO E CONVERSÃO DE TAXAS TAXAS PROPORCIONAIS Possuem a mesma proporção em relação ao período em que são dadas Exemplos 12 ao ano é PROPORCIONAL a 1 ao mês 30 ao trimestre é PROPORCIONAL a 20 ao bimestre 10 ao bimestre é PROPORCIONAL a 30 ao semestre p PROPORÇÃO entre o período desejado quero q com relação ao período dado tenho t p qt CÁLCULO DE TAXAS PROPORCIONAIS iq it p onde p é a proporção Que taxa mensal é proporcional a 12 ao ano período dado t ano período desejado q mês proporção p 112 qt imensal ianual 112 imensal 1 ao mês Que taxa bimestral é proporcional a 20 ao trimestre período dado t trimestre período desejado q bimestre proporção p 23 qt ibimestral itrimestral 23 ibimestral 133333 ao bimestre TAXAS EQUIVALENTES Taxas equivalentes no mesmo tempo resultam no mesmo montante Exemplos 126825 ao ano é EQUIVALENTE a 1 ao mês em um ano um Capital de 1000 resulta em um montante de 112682 para as duas taxas 314534 ao trimestre é EQUIVALENTE a 20 ao bimestre em um ano um Capital de 1000 resulta em um montante de 298598 para as duas taxas 91393 ao bimestre é EQUIVALENTE a 30 ao semestre em um ano um Capital de 1000 resulta em um montante de 169000 para as duas taxas CÁLCULO DE TAXAS EQUIVALENTES iq 1itqt 1 qt PROPORÇÃO entre o período que eu quero q com relação ao período que eu tenho t Que taxa mensal é equivalente a 12 ao ano período dado t ano período desejado q mês imensal 1 ianual112 1 imensal 09489 ao mês Que taxa semestral é equivalente a 5 ao bimestre período dado t bimestre período desejado q semestre isemestral 1 ibimestral62 1 isemestral 157625 ao semestre TAXAS NOMINAIS X TAXAS EFETIVAS Chamase de nominal a taxa cujo período não coincide com o período de capitalização Exemplos Taxa nominal anual de10 capitalizada bimestralmente Taxa nominal semestral de 5 capitalizada mensalmente As taxas nominais não devem ser utilizadas nos cálculos de Valores Presentes ou Futuros isto é as taxas nominais NÃO PRODUZEM EFEITO Para isso devem ser utilizadas as taxas efetivas Taxas efetivas são as taxas que PRODUZEM EFEITO A taxa nominal é PROPORCIONAL à taxa efetiva do período de capitalização Assim para converter uma taxa NOMINAL em uma taxa EFETIVA basta aplicar a PROPORCIONALIDADE das taxas TAXAS NOMINAIS X TAXAS EFETIVAS Exemplo Taxa nominal de 36 ao ano capitalizada mensalmente Qual a taxa EFETIVA período dado t ano período desejado q mês proporção 112 qt iEmensal iNanual 112 iEmensal 036 112 iEmensal 3 ao mês JURO EXATO X JURO COMERCIAL É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciais em juros simples e compostos terse o prazo definido em número dias Nestes casos o número de dias pode ser calculado de duas maneiras a Pelo tempo exato utilizando se efetivamente o calendário do ano civil 365 dias O Juro apurado desta maneira denominase juro exato b pelo ano comercial o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias Temse por este critério a apuração do denominado juro comercial ou ordinário Exemplo 12 ao ano equivale no regime de juros simples a taxa diária seria de Juro Exato Juro Comercial EXEMPLOS a Uma operação é realizada com taxa nominal de 35 ao ano com capitalização semestral Qual a taxa efetiva semestral da operação 175 ao semestre b Um banco oferece financiamento imobiliário com taxa nominal de 14 ao ano com capitalização mensal Qual a taxa efetiva mensal da operação 11667 ao mês Qual a taxa anual equivalente 149342 ao ano c Um empréstimo de R 500000 é feito a uma taxa nominal anual de 18 com capitalização mensal Sua liquidação se dará após dois anos Qual deverá ser o valor do Montante 714751 d Uma operadora de cartão de crédito oferece crédito rotativo com juros nominais de 5 ao mês com capitalização diária Dentro de seis meses qual será o valor de uma dívida que hoje é de R 100000 134952 Qual a taxa anual efetiva dessa operação de crédito 8212 ao ano EXEMPLOS a Uma operação é realizada com taxa nominal de 35 ao ano com capitalização semestral Qual a taxa efetiva semestral da operação 175 ao semestre 𝑖𝑛 35 𝑎 𝑎 𝑚 2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑖 𝑖𝑛 𝑚 35 2 175 𝑎 𝑠 EXEMPLOS b Um banco oferece financiamento imobiliário com taxa nominal de 14 ao ano com capitalização mensal Qual a taxa efetiva mensal da operação 11667 ao mês Qual a taxa anual equivalente 149342 ao ano Cálculo da taxa mensal efetiva 𝑖𝑛 14 𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 𝑚 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝒊 𝒊𝒏 𝒎 14 12 11667 𝑎 𝑚 Cálculo da taxa equivalente anual 𝑞 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖𝑡 11667 𝑎 𝑚 𝑡 1 𝑚ê𝑠 𝒊𝒒 𝟏 𝒊𝒕 𝒒 𝒕 𝟏 1 001667 12 1 1 10122712 1 𝑖𝑞 0149342 100 149342 𝑎 𝑎 EXEMPLOS c Um empréstimo de R 500000 é feito a uma taxa nominal anual de 18 com capitalização mensal Sua liquidação se dará após dois anos Qual deverá ser o valor do Montante 714751 𝑖𝑛 18 𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 𝑚 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 𝑖𝑛 𝑚 𝑖 𝑖𝑛 12 18 12 15 𝑎 𝑚 𝑛 2 𝑎𝑛𝑜𝑠 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 5000 1 0015 24 714751 EXEMPLOS d Uma operadora de cartão de crédito oferece crédito rotativo com juros nominais de 5 ao mês com capitalização diária Dentro de seis meses qual será o valor de uma dívida que hoje é de R 100000 134952 Qual a taxa anual efetiva dessa operação de crédito 8212 ao ano 𝑖𝑛 5 𝑎 𝑚 𝑐𝑎𝑝 𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 𝑚 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑖 𝑖𝑛 𝑚 5 30 01667 𝑎 𝑑 𝑖 01667 𝑎 𝑑 𝑛 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 180 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑭𝑽 𝑷𝑽 𝟏 𝒊 𝒏 𝐹𝑉 1000 1 0001667 180 𝐹𝑉 134952 𝑖𝑡 01667 𝑎 𝑑 𝑡 1 𝑑𝑖𝑎 𝑞 360 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝒊𝒒 𝟏 𝒊𝒕 𝒒 𝒕 𝟏 𝑖𝑞 1 0001667 360 1 1 𝑖𝑞 08212 100 8212 𝑎 𝑎