Eletromagnetismo: Força Magnética e Equações Fundamentais

ELETROMAGNETISMO Prof Vicente Idalberto Becerra Sablon Eletromagnetismo Tema IV Magnetismo Sumario 1 Forca Magnética 2 Força de Lorenz 3 Lei de Ampère 4 Lei de Gauss Magnetismo 5 Equações de Maxwell Bibliografias 1 Notas e Exercícios de Aula 2 William H Hayt Jr John A Buck Eletromagnetismo Bookman 2013 3 Branislav M N Eletromagnetismo Pearson 2012 Força Magnética Força Magnética sobre partícula carregada Definição do vetor Indução do Campo Magnético barFB qvecv imes vecB FB q v B sen phi Um campo magnético pode exercer força somente sobre uma carga em movimento Da experiência verificase que a força magnética vecFm experimentada por uma carga Q em movimento com velocidade u em um campo magnético B é Fm Q imes B Ԧ𝐹𝑚 𝑄 Ԧ𝑣 𝐵 𝑄 Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 𝑘 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 Ԧ𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 𝑣𝑧 𝑘 𝐵 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐵𝑥 Ƹ𝑖 𝐵𝑦 Ƹ𝑗 𝐵𝑧 𝑘 Esta equação é conhecida como a equação de força de Lorentz Ela relaciona a força mecânica à força elétrica Se a massa da partícula carregada em movimento na presença dos campos E e B é m pela segunda lei do movimento de Newton trabalho devido à força magnética A força magnética não realiza trabalho sobre cargas elétricas pois tal força devido ao surgimento de um campo magnético é sempre perpendicular ao seu deslocamento No entanto existem situações do cotidiano que claramente ocorre trabalho devido à força magnética O trabalho realizado pela força magnética é sempre nulo 𝑊𝑚 න Ԧ𝐹𝑚 𝑑𝑙 න 𝐹𝑚 𝑑𝑙 cos 90𝑜 0 O campo magnético pode alterar a direção do movimento da partícula mas não pode mudar a velocidade energia cinética Diferentemente de 𝐹𝑒 𝐹𝑚 depende da velocidade da carga e é normal à ela 𝐹𝑚 não pode realizar trabalho porque é perpendicular à direção do movimento da carga 𝐹𝑚 𝑑𝑙 0 Essa força não causa aumento na energia cinética da carga A magnitude de 𝐹𝑚 é geralmente pequena se comparada à de 𝐹𝑒 exceto quando as velocidades envolvidas são altas FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE Força de Lorentz Cargas em Movimento em parecença de um Campo Elétrico e um Campo Magnético A força elétrica é direta sendo na direção do campo elétrico se a carga é positiva mas a direção da parte magnética da força é dada pela regra da mão direita TABELA Força sobre uma partícula carregada Estado da partícula Campo E Campo B Campos E e B combinados Estática 𝑄𝐸 𝑄𝐸 𝑄𝐸 Em movimento 𝑄𝐸 𝑣 𝐵 𝑄𝐸 𝑣 𝐵 EXERCÍCIO 1 No interior de uma câmara de laboratório existe um campo magnético uniforme de módulo 12 mT orientado verticalmente para cima Um próton com uma energia cinética de 53 MeV entra na câmara movendose horizontalmente do sul para o norte Qual é a força experimentada pelo próton ao entrar na câmara A massa do próton é 167 1027kg Trajetória do próton Como possui carga elétrica e está se movendo na presença de um campo magnético o próton é submetido a uma força magnética mathbfFB é diferente de zero Módulo Para calcular o módulo de mathbfFB podemos usar a Eq 283 FB qvB sen phi contando que a velocidade do próton seja conhecida Podemos calcular v a partir da energia cinética dada já que K frac12mv2 Explicitando v obtemos v sqrtfrac2Km sqrtfrac235 ext MeV160 imes 1013 ext JMeV167 imes 1027 ext kg 32 imes 107 ext ms De acordo com a Eq 283 temos FB qvB sen phi 160 imes 1019 ext C32 imes 107 ext ms12 imes 103 ext Tsen 90 61 imes 1015 ext N Essa força pode parecer pequena mas como age sobre uma partícula de massa muito pequena produz uma grande aceleração a fracFBm frac61 imes 1015 ext N167 imes 1027 ext kg 37 imes 1012 ext ms2 Orientação Para determinar a orientação de vecFE usamos o fato de que a direção de vecFE é mesmo do produto vetorial vecq imes vecB Como a carga q é positiva vecFE tem o sentido do produto vecv imes vecB que pode ser determinado usando a regra da mão direita para produtos vetoriais como na Fig 282 Sabemos que o sentido de vecv é do sul para o norte e que o sentido de vecB é de baixo para cima De acordo com a regra da mão direita a força vecFE é de oeste para leste Se a carga da partícula fosse negativa a força magnética teria o sentido oposto ou seja de leste para oeste Esse resultado pode ser obtido substituindo q por q na Eq 282 2 Um fio horizontal retilíneo feito de cobre é percorrido por uma corrente i 28 A Determine o módulo e a orientação do menor campo magnético capaz de manter o fio suspenso ou seja equilibrar a força gravitacional A densidade linear massa por unidade de comprimento do fio é 466 gm 1 Como está sendo percorrido por uma corrente o fio sofre uma força magnética vecFB quando é submetido a um campo magnético vecB que aponta para cima Fig 2817 A orientação do fio está relacionada com os vetores comprimento do fio vecI pela Eq 2826 vecFB ivecL imes vecB O módulo de vecFB é iL sen phi Eq 2827 Como queremos que vecFB equilibre vecFg devemos ter em que o phi é o módulo de vecFB e m é a massa do fio Como estamos interessados em calcular o menor valor de vecB deve ser perpendicular ao fio Nesse caso sen phi 1 e a Eq 2829 nos dá Lei de Gauss Magnetismo Equação de Maxwell Linhas do Campo Magnético Lei de Gauss Maxwell Não existe de Forma natural Monopolos Magnéticos Dessa forma o fluxo total através de uma superfície fechada em um campo magnético deve ser zero isto é oint vecB cdot dvecS 0 Essa equação é referida como lei da conservação do fluxo magnético ou lei de Gauss para campos magnetostáticos assim como oint vecD cdot dvecS Q é a lei de Gauss para campos eletrostáticos Embora o campo magnetostático não seja conservativo o fluxo magnetico se conserva Ao aplicar o teorema da divergência à equação B dA A lei de Gauss para o magnetismo Lei Circuital de Ampère Equação de Maxwell amps I I LEI DE AMPÈRE A lei circular de Ampère estabelece que a integral de linha da componente tangencial de H em torno de um caminho fechado é igual à corrente líquida I envolvida pelo caminho Em outras palavras a circulação de H é igual a I isto é C Hdl I onde C é o percurso fechado que limita a superfície S I Jds é a corrente total que atravessa a superfície S A convenção de sinal para a direção de C é feita de forma que I e H satisfaçam a regra da mão direita definida anteriormente LEI DE AMPÈRE vecB mu0 vecH A lei de Ampère relaciona a distribuição de corrente e o campo magnético gerado por ela Apenas as correntes envolvidas pela amperiana aparecem na lei de Ampère A lei de Ampère diz que a integral de linha de H em torno de um contorno fechado C é igual à corrente transversal à superfície limitada pelo contorno Isso é válido para os contornos a e b mas a integral de linha de H é zero para o contorno c porque a corrente I indicada pelo símbolo não é envolvida pelo contorno C Lei de Ampère Corrente Limitada pelo Contorno de Integração EQUAÇÃO DE MAXWELL EQUIAÇÕES DE MAXWELL James Clerk Maxwell 18311879 é considerado o fundador da Teoria Eletromagnética na sua forma atual O trabalho consagrado de Maxwell levou à descoberta das ondas eletromagnéticas A partir de seu trabalho teórico de aproximadamente cinco anos entre os seus 35 e 40 anos Maxwell publicou a primeira teoria unificada da electricidade e do magnetismo A teoria compreendeu todos os resultados já conhecidos de cunho experimental e teórico sobre electricidade e magnetismo Adicionalmente Maxwell introduziu o conceito de corrente de deslocamento e fez a previsão da existência das ondas eletromagnéticas As equações de Maxwell não foram amplamente aceitas por muitos cientistas até serem confirmadas posteriormente por Heinrich Rudolf Hertz 18571894 um professor de Física alemão Hertz foi bemsucedido na sua tentativa de gerar e detectar ondas de rádio TABELA 91 Forma geral das equações de Maxwell