Sinais e Sistemas Lineares - B.P. Lathi

Esta obra inovadora enfatiza a análise física dos conceitos por meio de motivos heurísticos e da utilização de metáforas analogias e explicações criativas Tal abordagem é muito diferente de uma técnica puramente dedutiva que priva o leitor de um entendimento intuitivo e da maravilhosa experiência de descobrir o significado do tópico estudado Neste livro B P Lathi utiliza mate mática suficiente para provar a teoria para fornecer o suporte necessário e para promover o entendimento físico e intuitivo Sempre que possível os resultados teóricos são interpretados heuristicamente acompanhados de exemplos e ana logias cuidadosamente escolhidas apresenta uma introdução clara e abran gente sobre o assunto A organização do texto permite uma grande flexibilidade para o ensino de conceitos em tempo contínuo e em tempo discreto Aplicações de Fourier em sistemas de comunicação Sistemas passafaixa Convergência de séries infinitas Atraso de grupo e fase Devido ao seu conteúdo completo à sua abordagem prática e adaptabi lidade estrutural é ideal para cursos de gradua ção em sistemas lineares ou sinais e sistemas Sinais e Sistemas Lineares 2ed Sinais e Sistemas Lineares 2ed Cobre tópicos como Diagramas de Bode Método de invariância ao impulso para o projeto de sistemas analógicos usando filtros digitais Apresenta seções focalizadas no MATLAB ao fim de cada capítulo Inclui mais de 200 novos exemplos trabalhados além de problemas ao fim de cada capítulo Apresenta ilustrações revisadas e atualizadas Introduz notas históricas para estimular o interesse na área DReimpressoesArtmedSinais e Sistemas LinearesArquivos de ImpressaoArquivos EditoradosCapa100871SinaiseSistemasLinearescdr sextafeira 29 de julho de 2011 162915 Perfil de cores OFFSET CALIBRADO Composição 175 lpi a 45 graus L352s Lathi B P Sinais e sistemas lineares recurso eletrônico B P Lathi tradução Gustavo Guimarães Parma 2 ed Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2008 Editado também como livro impresso em 2007 ISBN 9788577803910 1 Engenharia elétrica Comunicação elétrica Sinais I Título CDU 621391 BP Lathi é professor emérito de Engenharia Elétrica da California State University Sacramento É autor de Sig nal Processing and Linear Systems OUP 2000 e Modern Digital and Analog Communication Systems 3e OUP 1998 SOBRE O AUTOR Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 B P LATHI SINAIS E SISTEMAS LINEARES SEGUNDA EDIÇÃO 2008 Versão impressa desta obra 2007 Tradução Gustavo Guimarães Parma Doutor em Engenharia Elétrica CPDEE UFMG Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Eletrônica da UFMG Consultoria supervisão e revisão técnica desta edição Antonio Pertence Júnior Engenheiro Eletrônico e de Telecomunicações Especialista em Processamento de Sinais Ryerson University Canadá Professor de Telecomunicações da FUMEC MG Professor Titular da Faculdade de SabaráMG Obra originalmente publicada sob o título Linear Systems and Signals Second Edition ISBN 0195158334 Copyright 2004 by Oxford University Press Tradução do original Linear Systems and Signals 2E publicado em 2004 em língua inglesa autorizada por acordo assinado com Oxford University Press Inc Capa Gustavo Demarchi arte sobre a capa original Supervisão editorial Arysinha Jacques Affonso e Denise Weber Nowaczyk Editoração eletrônica Laser House Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à ARTMED EDITORA SA BOOKMAN COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED EDITORA SA Av Jerônimo de Ornelas 670 Santana 90040340 Porto Alegre RS Fone 51 30277000 Fax 51 30277070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web e outros sem permissão expressa da Editora SÃO PAULO Av Angélica 1091 Higienópolis 01227100 São Paulo SP Fone 11 36651100 Fax 11 36671333 SAC 0800 7033444 IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Este livro Sinais e Sistemas Lineares apresenta uma tratamento abrangente de sinais e sistemas lineares em um nível introdutório Assim como em meus outros livros é enfatizada a apreciação física dos conceitos através de razões heurísticas além do uso de metáforas analogias e explicações criativas Tal abordagem é muito diferente de técnicas puramente dedutivas que utilizam meramente manipulações matemáticas de símbolos Existe uma tentativa de tratar assuntos de engenharia como um simples ramo da matemática aplicada Essa abordagem co labora perfeitamente com a imagem pública da engenharia como sendo uma disciplina seca e tola Ela ignora o significado físico por trás de vários resultados e priva o aluno de um entendimento intuitivo e da maravilhosa ex periência de descobrir o real significado do tópico estudado Neste livro utilizei a matemática não somente para provar a teoria mas também para fornecer o suporte necessário e para promover o entendimento físico e intuiti vo Sempre que possível os resultados teóricos são interpretados heuristicamente e apoiados por exemplos e analogias cuidadosamente escolhidas Esta segunda edição a qual segue a organização da primeira foi melhorada pela incorporação de sugestões e alterações de vários revisores Os tópicos incluídos abrangem diagramas de Bode utilização de filtros digitais em um método de invariância ao impulso para o projeto de sistemas analógicos convergência de séries infini tas sistemas passafaixa atraso de grupo e fase e aplicações de Fourier em sistemas de comunicação Uma con tribuição significativa e considerável na área do MATLAB marca registrada da The Math Works Inc foi fornecida pelo Dr Roger Green da North Dakota State University O Dr Green discute sua contribuição ao fim deste prefácio ORGANIZAÇÃO O livro pode ser concebido como sendo dividido em cinco partes 1 Introdução Background e Capítulo 1 2 Análise no domínio do tempo de sistemas lineares invariantes no tempo LIT Capítulos 2 e 3 3 Análise no domínio da freqüência transformada de sistemas LIT Capítulos 4 e 5 4 Análise de sinais Capítulos 6 7 8 e 9 5 Análise por espaço de estados de sistemas LIT Capítulo 10 A organização do livro permite muita flexibilidade no ensino de conceitos em tempo contínuo e tempo dis creto A seqüência natural dos capítulos é mantida para integrar a análise em tempo contínuo e tempo discreto Também é possível utilizar uma abordagem seqüencial na qual toda a análise de tempo contínuo é feita inicial mente Capítulos 1 2 4 6 7 e 8 seguida pela análise em tempo discreto Capítulos 3 5 e 9 SUGESTÕES PARA A UTILIZAÇÃO DESTE LIVRO O livro pode ser facilmente formatado para uma variedade de cursos em uma faixa de 30 a 50 horasaula A maior parte do material nos primeiros oito capítulos pode ser rapidamente apresentada em aproximadamente 45 horas O livro também pode ser utilizado em um curso de 30 horasaula apresentando apenas material analógico Capítulos 1 2 4 6 7 e possivelmente tópicos selecionados do Capítulo 8 Alternativamente pode se também selecionar os Capítulos 1 a 5 para um curso puramente dedicado à análise de sistemas ou técnicas de transformada Para tratar de sistemas em tempo contínuo e discreto usando uma abordagem integrada ou para lela a seqüência apropriada de Capítulos é 1 2 3 4 5 6 7 e 8 Para uma abordagem seqüencial na qual a análise em tempo contínuo é seguida pela análise em tempo discreto a seqüência apropriada de capítulos é 1 2 4 6 7 8 3 5 e possivelmente 9 dependendo da disponibilidade de tempo PREFÁCIO vi PREFÁCIO Em termos lógicos a transformada de Fourier deveria preceder a transformada de Laplace Utilizei essa abor dagem no livro Signal Processing and Linear Systems Oxford 1998 Entretanto uma quantidade considerável de instrutores sente que é mais fácil para os estudantes aprender Fourier após Laplace Tal abordagem tem um cer to apelo devido à progressão gradual de dificuldade no sentido dos conceitos relativamente mais difíceis de Fourier serem tratados após a área mais simples de Laplace Este livro é escrito para atender a esse ponto de vista Para aqueles que querem ver Fourier antes de Laplace existe o Signal Processing and Linear Systems CARACTERÍSTICAS NOTÁVEIS As características dignas de nota deste livro incluem 1 A compreensão intuitiva e heurística dos conceitos e o significado físico dos resultados matemáticos são enfatizados durante todo o livro Tal abordagem não apenas leva a uma apreciação mais profunda e en tendimento mais fácil dos conceitos como também torna o aprendizado mais agradável para os estu dantes 2 Vários estudantes são prejudicados pela falta de conhecimento prévio background em áreas como números complexos senóides como rascunhar rapidamente funções regra de Cramer expansão em frações parciais e álgebra matricial Adicionei um capítulo que enfoca esses tópicos básicos e constantes na engenharia elétrica A resposta dos estudantes tem sido por unanimidade entusiástica 3 Existem mais de 200 exemplos trabalhados além de exercícios geralmente com respostas para que os estudantes testem se eles compreenderam os assuntos Também há um grande número de problemas se lecionados com níveis de dificuldade variados ao final de cada capítulo 4 Para instrutores que gostam que seus estudantes trabalhem com computadores vários exemplos são tra balhados através do MATLAB o qual tem se tornado um pacote de software padrão no currículo da en genharia elétrica Também existe uma seção sobre o MATLAB ao final de cada capítulo O conjunto de problemas contém vários problemas de computador O exercício nos exemplos de computador ou pro blemas apesar de não ser essencial para o uso deste livro é altamente recomendado 5 Sistemas em tempo discreto e tempo contínuo podem ser tratados em seqüência ou ser integrados usan do uma abordagem paralela 6 O resumo ao final de cada capítulo é útil aos alunos ao referenciar os desenvolvimentos essenciais do capítulo 7 Existem várias notas históricas para aumentar o interesse dos estudantes no assunto Essas informações apresentam os estudantes ao pano de fundo histórico que influenciou o desenvolvimento da engenharia elétrica CRÉDITOS As figuras de Gauss p 19 Laplace p 322 Heaviside p 322 Fourier p 544 e Michelson p 552 foram im pressas como cortesia das Smithsonian Institution Libraries As imagens de Cardano p 19 e Gibbs p 552 foram impressas como cortesia da Library of Congress Biblioteca do Congresso A pintura de Napoleão p 544 foi impressa como cortesia de BettmannCorbis AGRADECIMENTOS Várias pessoas me ajudaram na preparação deste livro Sou grato pelas sugestões úteis de vários revisores Sou especialmente grato ao Prof Yannis Tsividis da Columbia University o qual forneceu um feedback completamente perfeito e criterioso do livro Também estimo outra revisão geral feita pelo Prof Roger Green Agradeço aos Profs Joe Anderson da Tennessee Technological University Kay S Yeung da Uni versity of Texas em Arlington e Alexander Poularikis da University of Alabama em Huntsville pelas valiosas revisões Agradeço pelas sugestões úteis dos Profs Babajide Familoni da University of Memphis Leslie Collins da Duke University R Rajgopalan da University of Arizona e William Edward Pierson da U S Air Force Research Laboratory Apenas aqueles que escrevem um livro compreendem que escrever PREFÁCIO vii um livro como este é uma atividade que consome um tempo enorme o que resulta em muito sofrimento para os membros da família dentre os quais a esposa é quem mais sofre Portanto o que eu posso dizer ex ceto agradecer a minha esposa Rajani pelos enormes mas invisíveis sacrifícios B P Lathi MATLAB O MATLAB é uma linguagem sofisticada que serve como uma poderosa ferramenta para um melhor en tendimento de uma miríade de tópicos incluindo a teoria de controle projeto de filtros e obviamente sis temas lineares e sinais A estrutura de programação flexível do MATLAB promove um rápido desenvolvi mento e análise A capacidade impressionante de visualização possibilita uma apreciação única do compor tamento do sistema e caracterização do sinal Explorando conceitos com o MATLAB você ficará substan cialmente mais confortável e melhorará sua compreensão de tópicos do curso Como em qualquer linguagem o aprendizado do MATLAB é incremental e requer prática Este livro possi bilita dois níveis de exposição ao MATLAB Inicialmente pequenos exemplos de computador são entremeados ao longo do texto para reforçar os conceitos e executar vários cálculos Esses exemplos utilizam funções padrões do MATLAB além de funções dos toolboxes de controle de sistemas processamento de sinais e matemática simbólica O MATLAB possui diversos outros toolboxes disponíveis mas esses três geralmente são disponibi lizados em vários departamentos de engenharia Um segundo e mais profundo nível de exposição ao MATLAB é proporcionado na conclusão de cada capí tulo com uma seção separada para o MATLAB Em conjunto essas onze seções fornecem uma introdução au tocontida ao ambiente do MATLAB permitindo que mesmo usuários novatos rapidamente ganhem proficiên cia e competência Essas seções fornecem instruções detalhadas de como utilizar o MATLAB para resolver problemas de sistemas lineares e sinais Exceto pelo último capítulo foi tomado um cuidado especial para que funções de toolboxes não fossem utilizadas nas seções do MATLAB ao contrário é mostrado ao leitor como fazer para desenvolver seus próprios códigos Dessa forma os leitores sem acesso aos toolboxes não ficam em desvantagem Todo código de computador está disponível online wwwmathworkscomsupportbooks O código para os exemplos de computador em um dado capítulo digamos Capítulo xx é chamado de CExxm O programa yy da seção xx do MATLAB é chamado de MsxxPyym Além disso o código completo para cada seção indivi dual do MATLAB é chamado de Msxxm Roger Green BACKGROUND B1 Números Complexos 17 B11 Nota Histórica 17 B12 Álgebra de Números Complexos 20 B2 Senóides 30 B21 Adição de Senóides 31 B22 Senóides em Termos de Exponenciais A Fórmula de Euler 35 B3 Rascunhando Sinais 35 B31 Exponenciais Monotônicas 35 B32 Senóides Variando Exponencialmente 36 B4 Regra de Cramer 38 B5 Expansão em Frações Parciais 39 B51 Método de Eliminação de Frações 40 B52 Método de Heaviside 41 B53 Fatores Repetidos de Qx 44 B54 Mistura dos Métodos de Heaviside e Eliminação de Frações 45 B55 Fx Imprópria com m n 47 B56 Frações Parciais Modificado 47 B6 Vetores e Matrizes 48 B61 Algumas Definições e Propriedades 49 B62 Álgebra Matricial 50 B63 Derivadas e Integrais de Matrizes 53 B64 Equação Característica de uma Matriz Teorema de CayleyHamilton 55 B65 Determinação da Exponencial e Potenciação de uma Matriz 56 B7 Miscelâneas 57 B71 Regra LHôpital 57 B72 Séries de Taylor e Maclaurin 58 B73 Séries de Potência 58 B74 Somatórios 58 B75 Números Complexos 58 B76 Identidades Trigonométricas 59 B77 Integrais Indefinidas 59 B78 Fórmulas Comuns de Derivação 60 B79 Algumas Constantes Úteis 61 B710 Solução de Equações Quadráticas e Cúbicas 61 Referências 62 MATLAB Seção B Operações Elementares 62 Problemas 71 SUMÁRIO 10 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 11 Tamanho do Sinal 75 111 Energia do Sinal 76 112 Potência do Sinal 76 12 Algumas Operações Úteis com Sinais 81 121 Deslocamento Temporal 81 122 Escalamento Temporal 83 123 Reversão Temporal 85 124 Operações Combinadas 86 13 Classificação de Sinais 87 131 Sinais Contínuos e Discretos no Tempo 87 132 Sinais Analógicos e Digitais 88 133 Sinais Periódicos e Não Periódicos 88 134 Sinais de Energia e Potência 90 135 Sinais Determinísticos e Aleatórios 90 14 Alguns Modelos Úteis de Sinais 90 141 Função Degrau Unitário ut 90 142 A Função Impulso Unitário δ t 91 143 Função Exponencial e st 96 15 Funções Pares e Ímpares 98 151 Algumas Propriedades de Funções Pares e Ímpares 98 152 Componentes Pares e Ímpares de um Sinal 99 16 Sistemas 101 17 Classificação de Sistemas 102 171 Sistemas Lineares e Não Lineares 102 172 Sistemas Invariantes e Variantes no Tempo 106 173 Sistemas Instantâneos e Dinâmicos 107 174 Sistemas Causal e Não Causal 108 175 Sistemas em Tempo Contínuo e em Tempo Discreto 110 176 Sistemas Analógicos e Digitais 111 177 Sistemas Inversíveis e Não Inversíveis 111 178 Sistemas Estáveis e Instáveis 111 18 Modelo de Sistema Descrição EntradaSaída 112 181 Sistemas Elétricos 112 182 Sistemas Mecânicos 115 183 Sistemas Eletromecânicos 118 19 Descrição Interna e Externa de um Sistema 119 110 Descrição Interna Descrição em Espaço de Estado 121 111 Resumo 125 Referências 127 MATLAB Seção 1 Trabalhando com Funções 127 Problemas 133 CAPÍTULO 2 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 21 Introdução 145 22 Resposta do Sistema a Condições Internas Resposta de Entrada Nula 146 221 Algumas Informações sobre o Comportamento de Entrada Nula de um Sistema 155 SumMArio 11 23 A Resposta ht ao Impulso Unitario 156 24 Resposta do Sistema a Entrada Externa Resposta de Estado Nulo 160 241 A Integral de Convolugéo 162 242 Entendimento Grafico da Operagao de Convolucio 169 243 Sistemas Interconectados 180 244 Uma Fungao muito Especial para Sistemas LCIT a Exponencial de Duraciio Infinita e 182 245 Resposta Total 184 25 Soluco Classica de Equacgées Diferenciais 185 251 Resposta Forgada Método de Coeficientes Indeterminados 185 26 Estabilidade do Sistema 193 261 Estabilidade Interna Assint6tica 194 262 Relacao entre Estabilidade BIBO e Assintotica 195 27 Visao Intuitiva sobre o Comportamento de Sistemas 198 271 Dependéncia do Comportamento do Sistema com os Modos Caracteristicos 198 272 Tempo de Resposta de um Sistema a Constante de Tempo do Sistema 200 273 A Constante de Tempo e Tempo de Subida de um Sistema 201 274 A Constante de Tempo e Filtragem 201 275 A Constante de Tempo e Dispersao Espalhamento do Pulso 203 276 A Constante de Tempo e Taxa de Transmissao de Informagaéo 203 277 O Fendémeno da Ressonancia 203 28 Apéndice 21 Determinacao da Resposta ao Impulso 205 29 Resumo 206 Referéncias 208 MATLAB Secdo 2 Arquivos M 208 Problemas 214 CAPITULO 3 ANALISE NO DOMINIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 31 Introdugéo 224 311 Tamanho de um Sinal em tempo discreto 225 32 Operagdes Uteis com Sinais 227 33 Alguns Modelos Uteis em Tempo Discreto 230 331 Funcao Impulso én Discretano Tempo 231 332 Funcao Degrau Unitario Discreta no Tempo un 231 333 Exponencial Discreta no Tempo y 232 334 Sendide Discreta no Tempo cos Qn 6 233 335 Exponencial Complexa Discreta no Tempo e 236 34 Exemplos de Sistemas em Tempo Discreto 237 341 Classificagao de Sistemas em tempo discreto 244 35 Equag6ées de Sistemas em Tempo Discreto 246 351 Soluco Recursiva Interativa da Equagaéo Diferenga 246 36 Resposta do Sistema a Condig6es Internas Resposta de Entrada Nula 251 37 Resposta hn ao Impulso Unitario 256 38 Resposta do Sistema a Entrada Externa a Resposta de Estado Nulo 259 381 Procedimento Grafico para o Somatério de Convolugéio 266 382 Sistemas Interconectados 271 383 Uma Fungao Muito Especial para Sistemas LDIT a Exponencial de Duracao Infinita z 273 384 Resposta Total 274 12 SUMÁRIO 39 Solução Clássica de Equações Diferença Lineares 275 310 Estabilidade do Sistema Critério de Estabilidade Externa BIBO 281 3101 Estabilidade Interna Assintótica 282 3102 Relação entre Estabilidade BIBO e Assintótica 282 311 Visão Intuitiva sobre Comportamento de Sistemas 286 312 Apêndice 31 Resposta ao Impulso para um Caso Especial 286 313 Resumo 287 MATLAB Seção 3 Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 288 Problemas 293 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 41 Transformada de Laplace 307 411 Determinando a Transformada Inversa 314 42 Algumas Propriedades da Transformada de Laplace 324 421 Deslocamento no Tempo 324 422 Deslocamento na Freqüência 327 423 Propriedade de Diferenciação no Tempo 328 424 Propriedade de Integração no Tempo 330 425 Convolução no Tempo e Convolução na Freqüência 332 43 Solução de Equações Diferenciais e IntegroDiferenciais 335 431 Resposta de Estado Nulo 339 432 Estabilidade 344 433 Sistemas Inversos 346 44 Análise de Circuitos Elétricos o Circuito Transformado 346 441 Análise de Circuitos Ativos 354 45 Diagramas de Blocos 357 46 Realização de Sistemas 360 461 Realização na Forma Direta I 360 462 Realização na Forma Direta II 361 463 Realizações em Cascata e Paralelo 364 464 Realização Transposta 367 465 Utilização de Amplificadores Operacionais para a Realização de Sistemas 369 47 Aplicação em Realimentação e Controle 374 471 Análise de um Sistema de Controle Simples 376 48 Resposta em Freqüência de um Sistema LCIT 380 481 Resposta em Regime Permanente para Entradas Senoidais Causais 386 49 Diagramas de Bode 387 491 Constante Ka1a2b1b3 388 492 Pólo ou Zero na Origem 388 493 Pólo ou Zero de Primeira Ordem 390 494 Pólo ou Zero de Segunda Ordem 392 495 Função de Transferência da Resposta em Freqüência 400 410 Projeto de Filtros pela Alocação de Pólos e Zeros de Hs 400 4101 Dependência da Resposta em Freqüência com os Pólos e Zeros de Hs 400 4102 Filtros PassaBaixas 403 4103 Filtros PassaFaixa 404 SUMÁRIO 13 4104 Filtros Notch PáraFaixa 405 4105 Filtros Práticos e Suas Especificações 407 411 Transformada de Laplace Bilateral 408 4111 Propriedades da Transformada de Laplace Bilateral 414 4112 Usando a Transformada Bilateral para a Análise de Sistemas Lineares 415 412 Resumo 417 Referências 418 MATLAB Seção 4 Filtros em Tempo Contínuo 419 Problemas 428 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 51 A Transformada z 442 511 Determinação da Transformada Inversa 448 52 Algumas Propriedades da Transformada z 453 53 Solução de Equações Diferença Lineares pela Transformada z 460 531 Resposta de Estado Nulo de Sistemas LDIT A Função de Transferência 464 532 Estabilidade 467 533 Sistemas Inversos 468 54 Realização de Sistemas 469 55 Resposta em Freqüência de Sistemas em Tempo Discreto 474 551 Natureza Periódica da Resposta em Freqüência 480 552 Aliasing e Taxa de Amostragem 483 56 Resposta em Freqüência a Partir da Posição dos PólosZeros 485 57 Processamento Digital de Sinais Analógicos 493 58 Conexão entre a Transformada de Laplace e a Transformada z 499 59 A Transformada z Bilateral 501 591 Propriedades da Transformada z Bilateral 505 592 Utilização da Transformada z Bilateral para a Análise de Sistemas LDIT 506 510 Resumo 508 Referências 508 MATLAB Seção 5 Filtros IIR em Tempo Discreto 508 Problemas 516 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 61 Representação de Sinais Periódicos pela Série Trigonométrica de Fourier 528 611 Espectro de Fourier 532 612 Efeito da Simetria 541 613 Determinação da Freqüência e Período Fundamental 543 62 Existência e Convergência da Série de Fourier 545 621 Convergência de uma Série 546 622 Papel do Espectro de Amplitude e Fase na Forma da Onda 547 63 Série Exponencial de Fourier 553 631 Espectro Exponencial de Fourier 556 632 Teorema de Parseval 561 64 Resposta de Sistema LCIT a Entradas Periódicas 563 14 SUMÁRIO 65 Série de Fourier Generalizada Sinais como Vetores 566 651 Componente de um Vetor 567 652 Comparação de Sinal e Componente de Sinal 568 653 Extensão para Sinais Complexos 570 654 Representação de Sinais por um Conjunto de Sinais Ortogonais 571 66 Determinação Numérica de Dn 582 67 Resumo 584 Referências 584 MATLAB Seção 6 Aplicações de Série de Fourier 585 Problemas 590 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 71 Representação de Sinais não Periódicos pela Integral de Fourier 599 711 Avaliação Física da Transformada de Fourier 605 72 Transformadas de Algumas Funções Úteis 606 721 Conexão entre as Transformadas de Fourier e Laplace 615 73 Algumas Propriedades da Transformada de Fourier 616 74 Transmissão de Sinal Através de Sistemas LCIT 632 741 Distorção do Sinal Durante a Transmissão 633 742 Sistemas PassaFaixa e Atraso de Grupo 636 75 Filtros Ideais e Práticos 639 76 Energia do Sinal 642 77 Aplicação em Comunicações Modulação em Amplitude 644 771 Modulação em Faixa Lateral Dupla Portadora Suprimida DSBSC 645 772 Modulação em Amplitude AM 649 773 Modulação em Faixa Lateral Simples SSB 652 774 Multiplexação por Divisão na Freqüência 655 78 Truncagem de Dados Funções de Janela 656 781 Usando Janelas no Projeto de Filtros 660 79 Resumo 662 Referências 663 MATLAB Seção 7 Tópicos sobre Transformada de Fourier 663 Problemas 668 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 81 Teorema da Amostragem 678 811 Amostragem Prática 682 82 Reconstrução do Sinal 685 821 Dificuldades Práticas na Reconstrução do Sinal 688 822 Algumas Aplicações do Teorema da Amostragem 695 83 Conversão Analógico para Digital AD 697 84 Dual da Amostragem no Tempo Amostragem Espectral 700 85 Cálculo Numérico da Transformada de Fourier a Transformada Discreta de Fourier TDF 702 851 Algumas Propriedades da TDF 714 852 Algumas Aplicações da TDF 716 SUMÁRIO 15 86 A Transformada Rápida de Fourier FFT 719 87 Resumo 723 Referências 723 MATLAB Seção 8 Transformada Discreta de Fourier 724 Problemas 730 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 91 Série de Fourier em Tempo Discreto SFTD 738 911 Representação de um Sinal Periódico pela Série de Fourier em Tempo Discreto 738 912 Espectro de Fourier de um Sinal Periódico xn 740 92 Representação de Sinal Não Periódico pela Integral de Fourier 747 921 Natureza do Espectro de Fourier 749 922 Conexão entre a TFTD e a Transformada z 757 93 Propriedades da TFTD 757 94 Análise de Sistema LIT em Tempo Discreto pela TFTD 766 941 Transmissão sem Distorção 768 942 Filtros Ideais e Práticos 769 95 Conexão da TFTD com a TFTC 771 951 Utilização da TDF e FFT para o Cálculo Numérico da TFTD 772 96 Generalização da TFTD para a Transformada z 773 97 Resumo 775 Referência 776 MATLAB Seção 9 Trabalhando com a SFTD e a TFTD 776 Problemas 783 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 101 Introdução 792 102 Procedimento Sistemático para a Determinação das Equações de Estado 794 1021 Circuitos Elétricos 794 1022 Equações de Estado a partir da Função de Transferência 796 103 Solução de Equações de Estado 803 1031 Solução pela Transformada de Laplace de Equações de Estado 803 1032 Solução no Domínio do Tempo de Equações de Estado 809 104 Transformação Linear do Vetor de Estado 815 1041 Diagonalização da Matriz A 818 105 Controlabilidade e Observabilidade 822 1051 Incapacidade da Descrição por Função de Transferência de um Sistema 826 106 Análise por Espaço de Estados de Sistemas em Tempo Discreto 827 1061 Solução no Espaço de Estados 828 1062 Solução pela Transformada z 833 107 Resumo 834 Referências 835 MATLAB Seção 10 Toolboxes e Análise por Espaço de Estados 835 Problemas 841 ÍNDICE 847 O s tópicos discutidos neste capítulo não são totalmente novos Você provavelmente já deve ter estudado gran de parte deles em cursos anteriores ou deve conhecer o assunto de treinamentos anteriores Apesar disso este material básico merece uma revisão devido a sua importância na área de sinais e sistemas Investir algum tempo nesta revisão renderá grandes dividendos posteriormente Além disso este material é útil não apenas a es te curso mas também a vários outros que se seguirão Este material também será útil posteriormente como um material de referência na sua carreira profissional B1 NÚMEROS COMPLEXOS Números complexos são uma extensão de números ordinários e são uma parte integral do moderno sistema numé rico Os números complexos particularmente os números imaginários algumas vezes parecem misteriosos e ir reais Esse sentimento de irrealidade é mais função de sua não familiaridade e novidade do que de sua suposta não existência Matemáticos erraram em chamar estes números de imaginários pois esse termo claramente prejudi ca sua percepção Se esses números fossem chamados por qualquer outro nome eles teriam sido desmistificados a muito tempo tal como os números irracionais ou os números negativos foram Entretanto esse esforço é desneces sário Na matemática associamos a símbolos e operações qualquer significado que quisermos desde que a consis tência interna seja mantida A história da matemática é cheia de entidades com as quais não temos familiaridade e que nos aborrece até que a utilização os torna aceitáveis Esse fato ficará mais claro com a seguinte nota histórica B11 Nota Histórica Para as pessoas de tempos remotos o sistema numérico era constituído apenas dos números naturais intei ros positivos necessários para expressar o número de crianças de animais e de flechas Estas pessoas não ti nham necessidade de frações Quem já ouviu algo como duas e meia crianças ou três e um quarto de vaca Entretanto com o advento da agricultura as pessoas necessitaram medir quantidades continuamente crescen tes tais como o tamanho de um campo e o peso de uma certa quantidade de manteiga O sistema numérico por tanto foi ampliado para incluir as frações Os antigos Egípcios e Babilônios sabiam como trabalhar com frações mas Pitágoras descobriu que alguns números tais como a diagonal de um quadrado unitário não podiam ser ex pressados como um número inteiro ou fração Pitágoras um místico dos números que associava aos números a es sência e o princípio de todas as coisas do universo ficou tão desconcertado com sua descoberta que ele jurou aos seus seguidores segredo e impôs uma pena de morte para aquele que divulgasse o segredo 1 Esses números entre tanto foram incluídos no sistema numérico na época de Descartes sendo conhecidos como números irracionais Até recentemente os números negativos não eram parte do sistema numérico O conceito de números nega tivos devia parecer um absurdo para os homens Entretanto Hindus medievais tinham um claro conhecimento do significado de números positivos e negativos 23 Eles também foram os primeiros a reconhecer a existência de quantidades absolutamente negativas 4 Os trabalhos de Bhaskar 11141185 em aritmética Lilavaiti e álgebra Bijaganit não apenas utilizavam o sistema decimal mas também forneciam as regras para trabalhar com quan tidades negativas Bhaskar reconheceu que os números positivos possuíam raízes quadradas 5 Muito tempo de pois na Europa os homens que desenvolveram o sistema bancário surgido em Florença e Veneza durante a par te final do Renascimento século quinze possuem o crédito de apresentar uma forma rudimentar de números BACKGROUND C A PÍTU LO B 18 SINAIS E SISTEMAS LINEARES negativos A aparente subtração absurda de 7 de 5 pareceu razoável quando os banqueiros começaram a permi tir que os clientes retirassem sete ducados de ouro enquanto que em suas contas bancárias haviam apenas cinco Tudo o que foi necessário para este propósito foi escrever a diferença 2 na coluna de débito do livro contábil 6 Portanto o sistema numérico foi mais uma vez ampliado generalizado para incluir os números negativos A adoção dos números negativos possibilitou a resolução de equações tais como x 5 0 a qual não possuía solução Apesar disso equações tais como x 2 1 0 resultando em x 2 1 ainda não possuíam solução no sistema de numeração real Portanto foi necessário definir um número totalmente novo cujo quadrado fosse igual a 1 Durante o tempo de Descartes e Newton os números imaginários ou complexos se tornaram acei táveis como parte do sistema de numeração mas eles ainda eram considerados como ficção algébrica O mate mático suíço Leonhard Euler introduziu a notação i para imaginário nos idos de 1777 para representar Engenheiros eletricistas utilizam a notação j no lugar de i para evitar confusão com a notação i geralmente uti lizada para corrente elétrica Portanto e Essa notação nos permite determinar a raiz quadrada de qualquer número negativo por exemplo Quando os números imaginários são incluídos no sistema numérico os números resultantes são chamados de números complexos ORIGENS DOS NÚMEROS COMPLEXOS Ironicamente e ao contrário da crença popular não foi a solução de uma equação quadrática tal como x 2 1 0 mas sim uma equação cúbica com raízes reais que tornou os números imaginários plausíveis e aceitáveis aos matemáticos Eles podiam considerar como uma pura falta de senso quando foi introduzida como uma solução de x 2 1 0 pois esta equação não possui solução real Mas em 1545 Gerolamo Cardano de Milão publicou a Ars Magna A Grande Arte o mais importante trabalho algébrico da Renascença Em seu livro ele propôs um método para a resolução de uma equação cúbica genérica na qual a raiz de um número negativo apa recia em um passo intermediário De acordo com o seu método a solução de uma equação de terceira ordem é dada por Por exemplo para encontrar a solução de x 3 6x 20 0 substituímos a 6 b 20 na equação an terior para obtermos Esta equação é conhecida como equação cúbica reduzida Uma equação cúbica genérica pode sempre ser reduzida a uma forma cúbica reduzida pela substituição de y x p3 Portanto qualquer equação cúbica pode ser resolvida se soubermos a solução da cúbica reduzida A cúbica reduzida foi resolvida independentemente primeiro por Scipione del Ferro 14651526 e então por Niccolo Fontana 14991557 O último é mais conhecido na história da matemática como Tartaglia Cardano aprendeu o segredo da solução de cúbicas reduzidas de Tartaglia Ele então mostrou que utilizando a substituição y x p3 uma cúbica genérica pode ser reduzida a uma cúbica reduzida CAPÍTULO B BACKGROUND 19 Podese facilmente verificar que 2 realmente é solução de x 3 6x 20 0 Mas quando Cardano tentou resolver a equação x 3 15x 4 0 por sua fórmula sua solução foi O que Cardano fez com esta equação no ano de 1545 Naqueles dias os números negativos ainda eram sus peitos e a raiz quadrada de um número negativo era um absurdo Atualmente sabemos que Portanto a fórmula de Cardano resulta em Podemos facilmente verificar que x 4 é realmente uma solução de x 3 15x 4 0 Cardano tentou ex plicar sem muito entusiasmo a presença de e finalmente descartou toda a tentativa como sendo tão obs cura quanto sem sentido Em uma geração posterior entretanto Raphael Bombelli 15261573 após exami nar os resultados de Cardano propôs aceitar os números imaginários como um veículo necessário que poderia transportar os matemáticos da equação cúbica real para sua solução real Em outras palavras apesar de começar e terminar com números reais vemos a necessidade de nos movermos para o mundo não familiar de imaginá rios para completar nossa jornada Para os matemáticos da época esta proposta parecia inacreditavelmente es tranha 7 Apesar disso eles não podiam descartar a idéia dos números imaginários tão facilmente pois seu con ceito resultava na solução real da equação Foram necessários mais de dois séculos para que a importância total dos números complexos se tornasse evidente nos trabalhos de Euler Gauss e Cauchy Mesmo assim Bombelli merece o crédito por reconhecer que tais números possuíam um importante papel na álgebra Em 1799 o matemático alemão Karl Friedrich Gauss no auge dos seus 22 anos provou um teorema funda mental da álgebra no qual toda equação algébrica de uma incógnita possui uma raiz na forma de um número complexo Ele mostrou que toda equação de nésima ordem possui exatamente n solução raízes não mais e não menos Gauss também foi um dos primeiros a fornecer uma coerente análise de números complexos e a in terpretálos como pontos no plano complexo Foi ele quem apresentou o termo números complexos e formou a base para o uso geral e sistemático O sistema numérico mais uma vez foi ampliado ou generalizado para in cluir os números imaginários Os números ordinários ou reais se tornaram um caso especial dos números ge neralizados ou complexos A utilidade dos números complexos pode ser facilmente compreendida através da analogia com dois países X e Y vizinhos como apresentado na Fig B1 Se quisermos viajar da cidade a para a cidade b as duas no país 20 SINAIS E SISTEMAS LINEARES X o caminho mais curto é através do país Y apesar da jornada começar e terminar no país X Podemos se qui sermos fazer uma rota alternativa que fique exclusivamente em X mas esta rota alternativa será maior Na ma temática temos situações similares com números reais país X e números complexos país Y Todos os proble mas do mundo real podem começar com números reais e todos os resultados finais também podem ser núme ros reais Mas a obtenção dos resultados será consideravelmente simplificada se utilizarmos números comple xos como um intermediário Também é possível resolver qualquer problema do mundo real por um método al ternativo usando apenas números reais mas tais procedimentos irão aumentar desnecessariamente o trabalho B12 Álgebra de Números Complexos O número complexo a b ou a jb pode ser representado graficamente por um ponto cujas coordenadas car tesianas são a b em um plano complexo Fig B2 Vamos chamar esse número complexo de z tal que B1 Os números a e b a abscissa e a ordenada de z são a parte real e a parte imaginária respectivamente de z Eles também podem ser expressos por Note que neste plano todos os números reais permanecem no eixo horizontal e todos os números imaginários permanecem no eixo vertical Os números complexos também pode ser expressos em termos de coordenadas polares Se r θ são as coor denadas polares de um ponto z a jb veja Fig B2 então País Rota direta Rota alternativa País Figura B1 A utilização de números complexos pode reduzir o trabalho Figura B2 Representação de um número no plano complexo CapiTULO B BACKGROUND 21 e zajbrcos 6 jrsen 6 rcos 6 j sen 6 B2 A formula de Euler afirma que e cos 6 j sen 0 Para provar a formula de Euler utilizamos a série de Maclaurin para expandir e cos 6 e sen 6 2 93 94 95 16 ey ag GOP GOP GOYA iA eS THIEF SG ta FG ta FG 6 oe 6 6 6 IJ0 Sig tag tig an a oF 6 6 cosdl Stam eta eB 6 67 send O0s Goat Portanto temos que e cos 6 j sen 6 B3 Usando a Eq B3 em B2 teremos zajb rel B4 Portanto um nimero complexo pode ser expresso na forma Cartesiana a jb ou na forma polar re sendo arcos 0 brsen60 B5 e 8 rVab 6 tan B6 a Observe que r é a distancia do ponto z a origem Por esta razao r é chamado de médulo ou valor absoluto de z sendo representado por z Similarmente 6 é chamado de Angulo de z e representado por 22 Portanto Izlr z 6 e z zlei B7 Temse também 1 1 1 1 iy eo ee B Zz rel r Iz 8 Pode ser mostrado que quando impomos as seguintes trés propriedades desejaveis para a exponencial e onde z x jy chegamos a conclusdo que e cos y j sen y equacao de Euler As propriedades sao 1 e uma fungao de valor tinico e analitica de z 2 deldz e 3 e é reduzida para e se y 0 22 SINAIS E SISTEMAS LINEARES CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Definese z o conjugado de z a jb por B9a B9b A representação gráfica de um número z e seu conjugado z é mostrada na Fig B2 Observe que z é uma imagem refletida de z com relação ao eixo horizontal Para determinar o conjugado de qualquer número precisamos ape nas substituir j por j no número sendo o mesmo que alterar o sinal de seu ângulo A soma de um número complexo com o seu conjugado é um número real igual a duas vezes a parte real do número B10a O Produto de um número complexo z por seu conjugado é um número real z 2 o quadrado do módulo do número B10b COMPREENDENDO ALGUMAS IDENTIDADES ÚTEIS No plano complexo re jθ representa um ponto a uma distância r da origem e com um ângulo θ do eixo horizon tal como mostrado na Fig B3a Por exemplo o número 1 está a uma distância unitária da origem e possui um ângulo π ou π de fato qualquer múltiplo ímpar de π como visto na Fig B3b Portanto de fato B11 O número 1 por outro lado também está a uma distância unitária da origem mas possui ângulo 2π de fato 2nπ para qualquer valor inteiro de n Portapnto B12 O número j está a uma distância unitária da origem e seu ângulo é π2 veja Fig B3b Portanto Similarmente Logo B13a Figura B3 Compreendendo algumas identidades úteis em termos de re jθ CAPÍTULO B BACKGROUND 23 De fato B13b Esta discussão mostra a utilidade do gráfico de re jθ Esta figura também é útil em várias outras aplicações Por exemplo para determinar o limite de e α jωt quando t observamos que Agora o módulo de e jωt é unitário independente do valor de ω ou t pois e jωt re jθ com r 1 Portanto e αt determina o comportamento de e a jωt quando t e B14 Em futuras discussões você irá descobrir que é muito útil lembrar re jθ como um número a distância r da ori gem e com ângulo θ do eixo horizontal do plano complexo UM AVISO SOBRE A UTILIZAÇÃO DE CALCULADORAS ELETRÔNICAS NA DETERMINAÇÃO DE ÂNGULOS A partir da forma Cartesiana de a jb podemos facilmente determinar a forma polar re jθveja a Eq B6 Calculadoras eletrônicas fornecem uma conversão fácil da forma retangular para a polar e vice versa En tretanto se uma calculadora calcular um ângulo de um número complexo usando a função trigonométrica inversa θ tan 1ba devese ter uma atenção adequada com relação ao quadrante no qual o número está localizado Por exemplo θ correspondendo ao número 2 j3 é tan 132 Este resultado não é o mesmo que tan 132 O primeiro é 1237º e o segundo é 563º Uma calculadora eletrônica não pode fazer esta distinção e pode fornecer uma resposta correta apenas para ângulos no primeiro e quarto quadran tes Ela irá entender tan 132 como tan 132 o que está claramente errado Quando você estiver de terminando funções trigonométricas inversas se o ângulo estiver no segundo ou terceiro quadrante a res posta da calculadora estará deslocada de 180º A resposta correta é obtida somando ou subtraindo 180º do valor encontrado pela calculadora a soma ou subtração resultará na resposta correta Por essa razão é de sejável que você desenhe o ponto no plano complexo e determine o quadrante no qual o ponto está contido Esta dica será melhor exemplificada pelos seguintes exemplos Determine os seguintes números na forma polar a 2 j3 b 2 j1 c 2 j3 d 1 j3 a Neste caso o número está no primeiro quadrante e a calculadora irá fornecer o valor correto de 563º Portanto veja Fig B4a podemos escrever b EXEMPLO B1 24 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Neste caso o ponto está no segundo quadrante veja Fig B4b e portanto a resposta data pela calcula dora tan 11 2 266º está deslocada de 180º A resposta correta é 266180º 1534º ou 2066º Ambos valores estão corretos pois eles representam o mesmo ângulo Figura B4 Da forma Cartesiana para a forma polar É uma prática comum escolher um ângulo cujo valor numérico seja menor do que 180º Esse tipo de valor é chamado de valor principal do ângulo o qual neste caso é 1534º Portanto c Neste caso o ângulo está no terceiro quadrante veja Fig B4c e portanto a resposta obtida pela calcu ladora tan 132 563º esta deslocada de 180º A resposta correta é 563 180º 2363º ou 1237º Escolhemos o valor principal 1237º tal que veja a fig B4c d Neste caso o ângulo está no quarto quadrante veja Fig B4d e portanto a resposta dada pela calcula dora tan 1 31 716º esta correta veja a Fig B4d CAPÍTULO B BACKGROUND 25 Represente os seguintes números no plano complexo e expresseos na forma Cartesiana a 2e jπ3 b 4e j3π4 c 2e jπ2 d 3e j3π e 2e j4π f 2e j4π a 2e jπ3 2cos π3 j sen π3 1 j veja a Fig B5a b 4e j3π4 3cos 3π4 j sen 3π4 2 j2 veja a Fig B5b c 2e jπ2 2cos π2 j sen π2 20 j1 j2 veja a Fig B5c d 3e j3π 3cos 3π j sen 3π 31 j0 3 veja a Fig B5d e 2e j4π 3cos 4π j sen 4π 21 j0 2 Veja a Fig B5e f 2e j4π 3cos 4π j sen 4π 21 j0 2 Veja a Fig B5f EXEMPLO B2 EXEMPLO DE COMPUTADOR CB1 Usando a função cart2pol do MATLAB converta os seguintes números da forma Cartesiana para a for ma polar a z 2 3 b z 2 j1 a zrad zmag cart2pol23 zdeg zrad180pi dispa zmag num2strzmag zrad num2strzrad zdeg num2strzdeg a zmag 36056 zrad 098279 zdeg 563099 Portanto z 2 j3 36056e j098279 36056e j563099º b zrad zmag cart2pol21 zdeg zrad180pi dispb zmag num2strzmag zrad num2strzrad zdeg num2strzdeg b zmag 22361 zrad 26779 zdeg 1534349 Portanto z 2 j1 22361e j26779 22361e j1534349º 26 SINAIS E SISTEMAS LINEARES tT tT Im 2V2 Im Re i A 30 V3 pescssesseeseeg Qe773 4 af i 5 4ei3 1 Re a b t tT Im Im 2eit 72 Re 37 3 a 2 Re c d tT tT Im Im 4a 4a Re Re 27 2 2e 47 2 e f Figura B5 Forma polar para a forma Cartesiana EXEMPLO DE COMPUTADOR CB2 Usando a funciio pol2cart do MATLAB converta o numero z 4e da forma polar para a forma Car tesiana z real z imag pol2cart 3pi4 4 dispz real num2strz real z imag num2strzimag z real 28284 z imag 28284 Portanto z 4e7 28284 j28284 OPERACOES ARITMETICAS POTENCIACAO E RADICIACAO DE NUMEROS COMPLEXOS Para executar a adigo e a subtracao os nimeros complexos devem estar expressos na forma Cartesiana Portanto se z 34 j45elP e 2 24 j3 V13e Determine z1 z2 e z1 z2 para os números Nós devemos resolver este problema tanto na forma polar quanto na forma Cartesiana MULTIPLICAÇÃO FORMA CARTESIANA MULTIPLICAÇÃO FORMA POLAR DIVISÃO FORMA CARTESIANA CAPÍTULO B BACKGROUND 27 Então se z1 e z2 estão na forma polar precisamos convertêlos para a forma Cartesiana para podermos somálos ou subtraílos A multiplicação e divisão entretanto podem ser executadas tanto na forma Cartesiana quanto na forma polar apesar da forma polar ser muito mais conveniente Isso ocorre porque se z1 e z2 estiverem na forma polar como então B15a e B15b Além disso B15c e B15d Isso mostra que as operações de multiplicação divisão potenciação e radiciação podem ser efetuadas de ma neira consideravelmente simples se os números estiverem na forma polar Estritamente falando existem n valores para z 1n com nésimas raízes de z Para determinar todas as n raí zes reexaminamos a Eq B15d B15e O valor de z 1n dado pela Eq B15d é o valor principal de z 1n obtido através da nésima raiz do valor prin cipal de z correspondendo ao caso de k 0 na Eq B15e EXEMPLO B3 Para z1 2e jπ4 e z 2 8e jπ3 determine a 2z1z2 b 1z1 c z1z 2 2 d a como a subtração não pode ser executada diretamente na forma polar precisamos converter z 1 e z 2 para a forma Cartesiana Portanto b c d Existem três raízes cúbicas de 8e jπ3 8e jπ3 2πk k 0 1 2 O valor principal valor correspondente a k 0 é 2e jπ9 28 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Para eliminar o número complexo no denominador multiplicamos tanto o numerador quanto o denomi nador do lado direito por 2 j3 ou seja pelo conjugado do denominador Isso resulta em DIVISÃO FORMA POLAR EXEMPLO B4 Fica claro a partir deste exemplo que a multiplicação e divisão são mais fáceis de serem determinadas na forma polar CAPÍTULO B BACKGROUND 29 EXEMPLO DE COMPUTADOR CB3 Determine z1z2 e z1z2 se z1 3 j4 e z 2 2 j3 z1 3 j4 z 2 2 j3 z1z2 z1z2 z1divz2 z1z2 dispz1z2 num2strz1z2 z1z2 num2strz1divz2 z1z2 6 17i z1z2 13846 0076923i Portanto z1 z2 3 j42 j3 6 j17 e z1 z2 3 j42 j3 13486 j0076923 Considere Xω uma função complexa de uma variável real ω a Determine Xω na forma Cartesiana e determine sua parte real e imaginária b Determine Xω na forma polar e determine seu módulo Xω e seu ângulo Xω a Para determinar a parte real e imaginária de Xω devemos eliminar os termos imaginários do deno minador de Xω Podese facilmente eliminálo multiplicando tanto o numerador quanto o denominador de Xω por 3 j4ω o conjugado do denominador 3 j4ω tal que Esta é a forma Cartesiana de Xω Observase facilmente que a parte real de imaginária Xrω e Xiω são dadas por b Esta é a representação polar de Xω Observe que EXEMPLO B5 30 SINAIS E SISTEMAS LINEARES LOGARITMO DE NÚMEROS COMPLEXOS Temos que B16a B16b B16c B16d B16e Se então B16f O valor de ln z para k 0 é chamado de valor principal de ln z sendo representando por Ln z B17a B17b B17c B17d Em todas essas expressões o caso de k 0 é o valor principal da expressão B2 SENÓIDES Considere a senóide B18 Sabemos que Portanto cos ϕ se repete a cada mudança de 2π do ângulo ϕ Para a senóide da Eq B18 o ângulo 2πf0t θ é alterado de 2π quando t varia de 1f0 Claramente essa senóide se repete a cada 1f0 segundos Como resul tado existem f0 repetições por segundo Essa é a freqüência da senóide e o intervalo de repetição T0 dado por B19 é o período Para a senóide da Eq B18 C é a amplitude f0 é a freqüência em hertz e θ é a fase Vamos con siderar dois casos especiais da senóide quando θ 0 e θ π2 mostrados a seguir a xt C cos 2πf0t θ 0 b xt C cos 2πf0t π2 C sen 2πf0t θ π2 O ângulo ou a fase pode ser expresso em unidades de graus ou radianos Apesar de radianos ser uma unida de adequada neste livro iremos utilizar freqüentemente a unidade de graus porque os estudantes geralmente possuem um melhor sentimento para valores de ângulos expressos em graus do que em radianos Por exemplo relacionamos melhor o ângulo 24º do que 0419 radianos Lembrese entretanto quando em dúvida utilize a unidade de radianos e acima de tudo seja consistente Em outras palavras em um dado problema ou expressão não podemos misturar as duas unidades CAPÍTULO B BACKGROUND 31 É conveniente utilizar a variável ω0 freqüência angular para expressar 2πf0 B20 Com esta notação a senóide da Eq B18 pode ser expressa por na qual o período T0 é dado por veja as EqsB19 e B20 B21a e B21b Em discussões futuras geralmente utilizaremos ω0 como freqüência do sinal cos ω0 t θ mas deve estar cla ro que a freqüência dessa senóide é f0 Hz f0 ω02π e ω0 é na realidade a freqüência angular Os sinais C cos ω0t e C sen ω0t estão mostrados na Fig B6a e B6b respectivamente A senóide genérica C cosω0t θ pode ser rapidamente rascunhada deslocando o sinal C cos ω0t da Fig B6a pelo total apropriado Considere por exemplo Esse sinal pode ser obtido deslocando atrasando o sinal C cos ω0t Fig B6a para a direita com uma fase ângulo de 60º Sabemos que a senóide executa uma mudança de fase de 360º em um ciclo Um quarto de ci clo corresponde a uma mudança de ângulo de 90º Portanto deslocamos atrasamos o sinal da Fig B6a por dois terços de um quarto de ciclo para obter C cosω0t 60º como mostrado na Fig B6c Observe que se atrasamos C cos ω0t da Fig B6a por um quarto de ciclo ângulo de 90º ou π2 radianos ob temos o sinal C sen ω0t mostrado na Fig B6c Isso verifica a bem conhecida identidade trigonométrica B22a Alternativamente se avançarmos C sen ω0t por um quarto de ciclo obtemos C cos ω0t portanto B22b Essa observação implica que sen ω0t está atrasado de cos ω0t por 90º π2 radianos ou cos ω0t está adianta do de sen ω0t por 90º B21 Adição de Senóides Duas senóides com a mesma freqüência mas diferentes ângulos de fase se somam para formar uma única senóide de mesma freqüência Esse fato é facilmente comprovado a partir da bem conhecida identidade trigonométrica B23a na qual Portanto B23b B23c 32 SINAIS E SISTEMAS LINEARES As equações B23b e B23c mostram que C e θ são o módulo e o ângulo respectivamente de um número complexo a jb Em outras palavras a jb ce jθ Portanto para determinar C e θ convertemos a jb para a forma polar e o módulo e ângulo do número polar resultante será C e θ respectivamente Resumindo B23d na qual C e θ são dados pelas Eqs B23b e B23c respectivamente Estes números por sua vez são o módu lo e ângulo respectivamente de a jb O processo de adição de duas senóides de mesma freqüência pode ser melhor explicado usando fasores para representar as senóides Representamos a senóide C cos ω0t θ por um fasor de comprimento C e ângulo θ com o eixo horizontal Claramente a senóide a cos ω0t é representada por um fasor horizontal de tamanho a θ 0 enquanto b sen ω0t b cos ω0t π2 é representado por um fasor vertical de tamanho b no ângulo π2 com a horizontal Fig B7 A soma desses dois fasores resulta em um fasor de tamanho C e no ângulo θ Figura B6 Rascunhando uma senóide Nos casos a seguir expresse xt como uma única senoide a xt cos ω0t sen ω0t b xt 3 cos ω0t 4 sen ω0t a Neste caso a 1 b e das Eqs B23 Portanto Podemos verificar este resultado desenhando os fasores correspondentes às duas senóides A senoide cos ω0t é representada pelo fasor de comprimento unitário no ângulo zero com a horizontal O fasor sen ω0t é re presentado pelo fasor unitário no ângulo de 90º com a horizontal Portanto sen ω0t é representado pelo fasor de comprimento em 90º com a horizontal como mostra do na Fig B8a Os dois fasores so mados resultam em um fasor de comprimento 2 em 60º com a horizontal também mostrado na Fig B8a Figura B8 Adição fasorial de senóides CAPÍTULO B BACKGROUND 33 como mostrado na Fig B7 A partir desta figura comprovamos os valores de C e θ determinados pelas Eqs b23b e B23c respectivamente EXEMPLO B6 Figura B7 Adição fasorial de senóides Devese ter um cuidado especial na determinação de θ como explicado na página 24 Um Aviso sobre a uti lização de Calculadoras Eletrônicas na Determinação de Ângulos 34 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO DE COMPUTADOR CB4 Expresse ft 3 cos ω0t 4 sen ω0t como uma única senoide Note que a cos ω0t b sen ω0t C cos ω0t tan 1ca Logo a amplitude C e o ângulo θ da senóide resultante são o módulo e o ângulo do número complexo a jb a 3 b4 thetaC cart2ploa b thetadeg 180pitheta dispC num2strC theta num2strtheta thetadeg num2strthetadeg C 5 theta 22143 thetadeg 1268699 Portanto ft 3 cosω0t 4 senω0t 5 cosω0t 22143 5 cosω0t 1268699º Alternativamente observamos que a jb 1 j 2e jπ3 Portanto C 2 e θ π3 Observe que o deslocamento de fase de π resulta na multiplicação de 1 Portanto xt também pode ser expressado alternativamente por Na prática o valor principal ou seja 120º é preferido b Neste caso a 3 b 4 e das Eqs B23 temos Observe que Portanto Este resultado é facilmente verificado no diagrama fasorial da Fig B8b Alternativamente a jb 3 j4 5e j1269º Logo C 5 e θ 1269º Podemos também efetuar a operação inversa expressando em termos de cos ω0t e sen ω0t através da identidade trigonométrica CAPÍTULO B BACKGROUND 35 Por exemplo B22 Senóides em Termos de Exponenciais A Fórmula de Euler Senóides podem ser expressas em termos de exponenciais utilizando a fórmula de Euler veja a Eq B3 B24a B24b A inversão dessas equações resulta em B25a B25b B3 RASCUNHANDO SINAIS Nesta seção iremos discutir o rascunho de alguns sinais úteis começando com a exponencial B31 Exponenciais Monotônicas O sinal e at decai monotonicamente e o sinal e at cresce monotonicamente com t assumindo a 0 como mos trado na Fig B9 Por questões de simplicidade iremos considerar uma exponencial e at começando de t 0 como mostrado na Fig B10a Figura B9 Exponenciais monotônicas Figura B10 a Rascunho de e at b Rascunho de e 2t 36 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O sinal e at possui valor unitário para t 0 Para t 1a o valor cai para 1e aproximadamente 37 de seu valor inicial como mostrado na Fig B10a Este intervalo de tempo no qual a exponencial reduz por um fator e isto é cai para aproximadamente 37 de seu valor é chamado de constante de tempo da exponencial Por tanto a constante de tempo de e at é 1a Observe que a exponencial é reduzida para 37 de seu valor inicial pa ra qualquer intervalo de tempo de duração 1a Este fato pode ser mostrado considerandose qualquer conjunto de instantes t1 e t2 separados por uma constante de tempo tal que Agora a razão de e at2 para e at1 é dada por Nós podemos utilizar este fato para desenhar rapidamente a exponencial Por exemplo considere A constante de tempo deste caso é 05 O valor de xt para t 1 Para t 05 uma constante de tempo o valor de xt é 1e aproximadamente 037 O valor de xt continua caindo por um fator de 1e 37 a cada intervalo de tempo de meio segundo uma constante de tempo Portanto xt para t 1 é 1e 2 Continuando desta forma observamos que xt 1e 3 para t 15 e assim por diante O conhecimento dos valores de xt para t 0 05 1 e 15 nos permite traçar o sinal desejado como mostrado na Fig B10b Para a exponencial monotonicamente crescente e at a forma de onda aumenta por um fator e a cada intervalo de 1a segundos B32 Senóides Variando Exponencialmente Agora discutiremos como traçar uma senóide com variação exponencial de amplitude B26 Vamos considerar um exemplo específico B27 Devemos traçar 4e 2t e cos6t 60º separadamente e então multiplicálos i Traçando 4e 2t Esta exponencial monotonicamente decrescente possui uma constante de tempo de 05 segundos e um valor inicial de 4 para t 0 Portanto seus valores para t 05 1 15 e 2 são 4e 4e 2 4e 3 4e 4 ou aproximadamente 147 054 02 e 007 respectivamente Utilizando estes valo res como um guia podemos traçar 4e 2t como mostrado na Fig B11a ii Traçando cos6t 60 o O procedimento de desenhar cos6t 60º é discutido na seção B2 Fig B6c Neste caso o período da senóide é T0 2π6 1 existindo um atraso de fase de 60º ou dois terços de um quarto de ciclo o qual é equivalente a um atraso de aproximadamente 603601 16 segundos veja Fig B11b iii Traçando 4e 2t cos6t 60 o Devemos agora multiplicar as formas de onda dos passos i e ii Esta multiplicação resulta em forçar a senóide 4 cos6t 60º a decair exponencialmente com uma cons tante de tempo de 05 A amplitude inicial para t 0 é 4 decaindo para 4e 147 para t 05 Se desejarmos refinar ainda mais o rascunho podemos considerar intervalos de meia constante de tempo no qual o sinal decai por um fator Portanto para t 025 xt e para t 075 xt 1e e assim por diante CAPÍTULO B BACKGROUND 37 para 147e 054 para t 1 e assim por diante Este gráfico é mostrado na Fig B11c Note que quando cos6t 60º possui um valor unitário amplitude de pico B28 Portanto 4e 2t cos6t 60º alcança 4e 2t nos instantes nos quais a senóide cos6t 60º está em seus picos positivos Claramente 4e 2t é um envelope para as amplitudes positivas de 4e 2t cos6t 60º Ar gumentos similares mostram que 4e 2t cos6t 60º atinge 4e 2t em seus picos negativos Portanto 4e 2t é um envelope para as amplitudes negativas de 4e 2t cos6t 60º Logo para traçar 4e 2t cos6t 60º primeiro devemos desenhar os envelopes 4e 2t e 4e 2t imagem refletida de 4e 2t considerando o eixo horizontal e então desenhar a senóide cos6t 60º com estes envelopes funcionando como restrições da amplitude da senóide veja Fig B11c Em geral Ke atcosω0tθ pode ser desenhada desta maneira com Ke at e Ke at restringindo a amplitude de cosω0tθ Figura B11 Desenhando uma senóide variando exponencialmente 38 SINAIS E SISTEMAS LINEARES B4 REGRA DE CRAMER A regra de Cramer é uma forma muito conveniente para resolver equações lineares simultâneas Considere um conjunto de n equações lineares simultâneas com n incógnitas x1 x2 xn B29 Estas equações podem ser colocadas na forma matricial como B30 Chamamos a matriz do lado esquerdo formada pelos elementos aij de A O determinante de A é representa do por A Se o determinante A for não nulo o conjunto de equações B29 possui uma única solução dada pela fórmula de Cramer B31 onde Dk é obtido substituindo a késima coluna de A pela coluna do lado direito da Eq B30 com elemen tos y1 y2 yn Demonstraremos esta regra através de um exemplo Utilize a Regra de Cramer para resolver as seguintes equações lineares simultâneas com três incógnitas A forma matricial dessas equações pode ser escrita por onde EXEMPLO B7 CAPÍTULO B BACKGROUND 39 B5 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS Durante a análise de sistemas lineares invariantes no tempo encontramos funções que são razões de dois polinô mios de uma certa variável digamos x Tais funções são chamadas de funções racionais Uma função racional Fx pode ser descrita por B32 B33 A função Fx é imprópria se m n e própria se m n Uma função imprópria pode ser sempre separada na soma de um polinômio em x e uma função própria Considere por exemplo a função B34a Como essa é uma função imprópria dividimos o numerador pelo denominador até que o resto possua um grau menor do que o denominador Portanto Fx pode ser escrita por B34b Uma função própria pode ser expandida posteriormente em frações parciais O restante desta seção irá dis cutir as diversas formas de se fazer isto Como A 4 0 uma única solução existe para x1 x2 e x3 Esta solução é dada pela regra de Cramer Eq B31 mostrada a seguir 40 SINAIS E SISTEMAS LINEARES B51 Método de Eliminação de Frações Uma função racional pode ser escrita como a soma de frações parciais apropriadas com coeficientes desconhe cidos os quais são determinados pela eliminação de frações e igualando os coeficientes de potência similar dos dois lados Este procedimento é demonstrado pelo exemplo a seguir Apesar deste método poder ser aplicado diretamente em todas as situações ele não é necessariamente o mais eficiente Discutiremos outros métodos que podem reduzir consideravelmente o trabalho numérico Expanda a seguinte função racional Fx em frações parciais Esta função pode ser escrita como a soma de frações parciais com denominadores x 1 x 2 x 3 e x 3 2 como mostrado a seguir Para determinar as incógnitas k1 k2 k3 e k4 eliminamos as frações multiplicando os dois lados por x 1 x 2x 3 2 obtepndo Igualando os coeficientes de mesma potência dos dois lados teremos A solução dessas quatro equações simultâneas resulta em Logo EXEMPLO B8 CAPÍTULO B BACKGROUND 41 B52 Método de Heaviside FATORES DISTINTOS DE QX Iremos inicialmente considerar a expansão em frações parciais de Fx PxQx na qual todos os fatores de Qx são distintos não repetidos Considere a seguinte função própria B35a Podemos mostrar que Fx da Eq B35a pode ser escrita como a soma das frações parciais B35b Para determinar o coeficiente k1 multiplicamos os dois lados da Eq B35b por x λ1 e então fazemos x λ1 resultando em No lado direito todo os termos exceto k1 desaparecem Portanto B36 Similarmente podemos mostrar que B37 Este procedimento também recebe o nome de método dos resíduos Expanda a seguinte função racional Fx em frações parciais Para determinar k1 fazemos x 1 em x 1Fx Note que x 1Fx é obtido de Fx omitindo o ter mo x 1 de seu denominador Portanto para calcular k1 correspondente ao fator x 1 escondemos o termo x 1 do denominador de Fx e então substituímos x 1 na expressão restante Mentalmente oculte o termo x 1 de Fx com um dedo e então faça x 1 na expressão restante Os passos para tra balhar a função estão mostrados a seguir Passo 1 Esconda o fator x 1 de Fx EXEMPLO B9 42 SINAIS E SISTEMAS LINEARES FATORES COMPLEXOS DE QX O procedimento recém apresentado funciona independentemente se os fatores de Qx são reais ou complexos Considere por exemplo B38 onde Similarmente Portanto B39 Os coeficiente k2 e k3 correspondentes aos fatores complexos conjugados também são conjugados Este fato geralmente é verdadeiro quando os coeficientes da função racional são reais Em tais casos precisamos deter minar apenas um dos coeficientes Passo 2 Substitua x 1 na expressão restante para obter k1 De forma equivalente para determinar k2 escondemos o fator x 2 em Fx e fazemos x 2 na função restante como mostrado a seguir e Portanto CAPÍTULO B BACKGROUND 43 FATORES QUADRÁTICOS Geralmente precisamos combinar dois termos resultantes de fatores complexos conjugados em um único fator quadrático Por exemplo Fx da Eq B38 pode ser escrita por O coeficiente k1 é determinado pelo método de Heaviside sendo igual a 2 Portanto B40 Os valores de c1 e c2 são determinados eliminando as frações e igualando os coeficientes de mesma potência de x dos dois lados da equação resultante A eliminação das frações nos dois lados da Eq B40 resulta em B41 Igualando os termos de mesma potência temos c1 2 c2 8 e B42 ATALHOS Os valores de c1 e c2 da Eq B40 também podem ser determinados utilizando atalhos Após determinar k1 2 pelo método de Heaviside fazemos x 0 nos dois lados da Eq B40 para eliminar c1 resultando em Portanto Para determinar c1 multiplicamos os dois lados da Eq B40 por x e então fazemos x Lembrese de que quando x apenas os termos de potência mais alta são significativos Portanto e No procedimento discutido fizemos x 0 para determinar c2 e então multiplicamos os dois lados por x e fizemos x para determinar c1 Entretanto esses valores não são sagrados x 0 ou x Utilizamonos porque eles reduziram a quantidade de cálculo envolvida Poderíamos utilizar também outros valores conve nientes para x tal como x 1 Considere o caso Determinamos k 1 normalmente pelo método de Heaviside Como resultado B43 44 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Para determinar c1 e c2 se tentarmos fazer x 0 na Eq B43 iremos obter nos dois lados Portanto ire mos escolher x 1 resultando em ou Podemos agora escolher algum outro valor para x tal com o x 2 para obter mais uma relação a ser utili zada para determinar c1 e c2 Neste caso entretanto um método simples é multiplicar os dois lados da Eq B43 por x e então fazermos x resultando em de tal forma que Portanto B53 Fatores Repetidos de Qx Se uma função Fx possui fatores repetidos em seu denominador ela terá a forma B44 Sua expansão em frações parciais é dada por B45 Os coeficientes k1 k2 kj correspondentes aos fatores não repetidos nesta equação são determinados pelo método Heaviside como mostrado anteriormente Eq B37 Para determinar os coeficientes a0 a1 a2 ar1 multiplicamos os dois lados da Eq B45 por x λ r resultando em B46 Se fizermos x λ nos dois lados da Eq B46 iremos obter B47a Portanto a0 é obtido escondendo o fator x λ r em Fx e fazendo x λ na expressão restante método de Heaviside Se fizermos a derivada com relação a x dos dois lados da Eq B46 o lado direito será a1 ter mos contendo o fator x λ em seus numeradores Fazendo x λ nos dois lados desta equação iremos obter Portanto a1 é obtido ocultando o fator x λ r em Fx determinando a derivada da expressão restante e en tão fazendo x λ Continuando desta maneira iremos obter B47b CAPÍTULO B BACKGROUND 45 Observe que x λ rFx é obtido de Fx omitindo o fator x λ r de seu denominador Portanto o coeficien te a1 é obtido ocultando o fator x λ r de Fx determinando a jésima derivada da expressão restante e então fazendo x λ enquanto dividimos por j Expanda Fx em frações parciais se As frações parciais são O coeficiente k é obtido ocultando o fator x 2 dpe Fx e então substituindo x 2 na expressão res tante Para determinar a0 ocultamos o fator x 1 3 em Fx e fazemos x 1 na expressão restante Para determinar a1 ocultamos o fator x 1 3 em Fx determinamos a derivada da expressão restante e então fazemos x 1 Similarmente Portanto EXEMPLO B10 B54 Mistura dos Métodos de Heaviside e Eliminação de Frações Para várias raízes especialmente para ordens mais altas o método de expansão de Heaviside o qual necessita de repetidas diferenciações pode ser trabalhoso Para uma função que contém diversas raízes repetidas e não re petidas um método híbrido dos dois procedimentos é melhor Os coeficientes simples são determinados pelo método de Heaviside e os coeficientes restantes são determinados pelo método de eliminação de frações ou ata lhos incorporando portanto o melhor dos dois métodos Demonstraremos este procedimento resolvendo o Exemplo B10 novamente usando esta metodologia 46 SINAIS E SISTEMAS LINEARES No Exemplo B10 os coeficientes k e a0 são relativamente simples de serem determinados pelo método de expansão de Heaviside Estes valores foram determinados como k1 1 e a0 2 Portanto Agora multiplicaremos os dois lados desta equação por x 1 3x 2 para eliminar as frações Essa mul tiplicação resulta em Igualando os coeficientes de potência dois e três de x dos dois lados obtemos Podemos parar aqui se quisermos pois os dois coeficientes a1 e a2 já foram determinados Entretanto igua lando os coeficientes das duas potências restantes de x resulta em uma conveniente verificação da resposta Igua lando os coeficientes dos termos de x 1 e x 0 obtemos Essas equações são satisfeitas pelos valores a1 1 e a2 3 determinados anteriormente funcionando como uma verificação de nossas respostas Portanto a qual é a mesma resposta obtida anteriormente UMA MISTURA DO MÉTODO DE HEAVISIDE E DE ATALHOS No Exemplo B10 após determinarmos os coeficientes a0 2 e k 1 pelo método de Heaviside Dessa forma temos Existem apenas dois coeficientes a serem determinados a1 e a2 Se multiplicarmos os dois lados desta equa ção por x e fizermos x poderemos eliminar a1 resultando em Portanto Existe agora apenas uma incógnita a1 a qual pode ser facilmente determinada se fizermos x igual a qual quer valor conveniente digamos x 0 a qual é a mesma resposta encontrada anteriormente Existem outros possíveis atalhos Por exemplo podemos determinar a0 coeficiente da potência de mais alta ordem da raiz repetida subtraindo este termo dos dois lados e então repetindo o procedimento CAPÍTULO B BACKGROUND 47 B55 Fx Imprópria com m n Um método genérico para trabalhar com uma função imprópria é mostrado no começo desta seção Entretanto para o caso especial dos polinômios do numerador e denominador de Fx terem o mesmo grau m n o procedimento é o mesmo do utilizado para uma função própria Podese mostrar que para Os coeficientes k1 k2 kn são determinados se Fx fosse própria Portanto Para fatores quadráticos ou repetidos os procedimentos apropriados mostrados nas Seções B52 ou B53 devem ser utilizados se Fx for própria Em outras palavras quando m n a única diferença entre o caso pró prio e impróprio está no aparecimento de uma constante extra bn no último caso O procedimento permanece o mesmo A prova é deixada como um exercício ao leitor B56 Frações Parciais Modificado Na determinação da transformada z inversa Capítulo 5 será necessário determinar as frações parciais da forma kxx λi r em vez de kx λi r Podese obter as frações parciais expandindo Fxx Considere por exemplo Expanda Fx em frações parciais se Onde m n 2 com bn b2 3 Portanto na qual e Portanto EXEMPLO B11 48 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Dividindo os dois lados por x teremos A expansão do lado direito em frações parciais resulta em Usando o procedimento discutido anteriormente determinamos a1 1 a2 1 a3 2 e a4 1 Portanto Agora multiplicando os dois lados por x obtemos Esta equação descreve Fx como a soma de frações parciais tendo a forma kxx λi r B6 VETORES E MATRIZES Uma entidade especificada por nnúmeros em uma certa ordem nuplo ordenado é um vetor ndimensional Portanto uma nuplo ordenado x1 x2 xn representa um vetor x ndimensional Um vetor pode ser represen tado em uma linha vetor linha ou em uma coluna vetor coluna Equações lineares simultâneas podem ser vistas como a transformação de um vetor em outro Considere por exemplo as n equações lineares simultâneas B48 Se definirmos dois vetores coluna x e y como B49 então as Eqs B48 podem ser entendidas como a relação ou função que transforma o vetor x no vetor y Tal transformação é chamada de transformação linear de vetores Para executar uma transformação linear precisa mos definir um arranjo de coeficientes aij mostrada nas Eqs B48 CAPÍTULO B BACKGROUND 49 Esse arranjo é chamado de matriz sendo representando por A por conveniência B50 uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz de ordem m n ou uma matriz m n Para o caso especial de m n a matriz é chamada de matriz quadrada de ordem n Devemos ressaltar neste ponto que uma matriz não é um número tal como o determinante mas um arran jo de números organizados em uma ordem particular É conveniente abreviar a representação da matriz A da Eq B50 para a forma aijmn implicando em uma matriz de ordem mn com aij como seu ijésimo elemen to Na prática quando a ordem mn é conhecida ou não precisa ser especificada a notação pode ser abrevia da para aij Note que o primeiro índice i de aij indica a linha e o segundo índice j indica a coluna do elemen to aij na matriz A As equações simultâneas B48 podem agora ser escritas na forma simbólica por y Ax B51 ou B52 A Equação B51 é a representação simbólica da Eq B48 Ainda não definimos a operação de multiplica ção de uma matriz por um vetor A quantidade Ax não possui significado até que a operação tenha sido definida B61 Algumas Definições e Propriedades Uma matriz quadrada cujos elementos são zero em todas as posições menos na diagonal principal é chamada de matriz diagonal Um exemplo de uma matriz diagonal é Uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal iguais a um é chamada de matriz identidade ou matriz unitária representada por I Ela é uma matriz quadrada B53 A ordem de uma matriz unitária é algumas vezes indicado por um subscrito Portanto In representa uma ma triz unitária ou matriz identidade nn Entretanto podemos omitir o subscrito A ordem da matriz unitária será entendida do contexto Uma matriz tendo todos os elementos iguais a zero é uma matriz nula Uma matriz quadrada A é uma matriz simétrica se aij aji simetria com relação a diagonal principal Duas matrizes de mesma ordem são ditas iguais se elas forem iguais elemento por elemento Portanto se então A B somente se aij bij para todo i e j Se as linhas e colunas de uma matriz m n A são intercambiáveis de tal forma que os elementos da iésima linha se tornam os elementos da iésima coluna para i 1 2 m a matriz resultante é chamada de transpos ta de A sendo representada por A T É evidente que A T é uma matriz n m Por exemplo se então se então B54 Observe que B55 B62 Álgebra Matricial Agora definiremos as operações com matrizes tais como adição subtração multiplicação e divisão de matri zes As definições devem ser formuladas de tal forma que elas sejam úteis na manipulação de matrizes ADIÇÃO DE MATRIZES Para duas matrizes A e B ambas de mesma pordem m n definese a soma A B por ou Note que as duas matrizes podem ser somadas somente se elas tiverem a mesma ordem MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR Multiplicamos uma matriz A por um escalar c como mostrado a seguir Observe que o escalar c e a matriz A comutam ou seja 50 SINAIS E SISTEMAS LINEARES CAPÍTULO B BACKGROUND 51 MULTIPLICAÇÃO MATRICIAL Definese o produto no qual cij o elemento de C da iésima linha e jésima coluna é determinado somando os produtos dos elemen tos de A da jésima linha com os correspondentes elementos de B da jésima coluna Portanto B56 Este resultado é descrito como mostrado a seguir Observe cuidadosamente que para este procedimento funcionar corretamente o número de colunas de A de ve ser igual ao número de linhas de B Em outras palavras AB o produto das matrizes A e B é definido apenas se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B Se esta condição não for satisfeita o produto AB não é definido ficando sem sentido Quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B a matriz A é dita estar em conformidade com a matriz B para o produto AB Observe que se A é uma matriz m n e B é uma matriz n p A e B estão em conformidade para o produto e C será uma matriz m p Iremos demonstrar a regra da Eq B56 com os seguintes exemplos Nos dois casos as duas matrizes estão em conformidade Entretanto se alterarmos a ordem das matrizes co mo mostrado a seguir as matrizes não mais estarão em conformidade para o produto Fica portanto evidente que em geral B57 De fato AB pode existir e BA pode não existir e viceversa como em nossos exemplos Iremos estudar mais tarde que para algumas matrizes especiais AB BA Quando isto ocorre dizemos que as matrizes A e B comu tam Iremos enfatizar novamente que de forma geral as matrizes não comutam No produto AB a matriz A é dita ser pósmultiplicada pela matriz B ou a matriz B é dita ser prémultiplica da por A Também podemos verificar as seguintes relações B58 B59 52 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Podemos verificar que qualquer matriz A prémultiplicada ou pósmultiplicada pela matriz identidade I per manece não alterada B60 Obviamente devemos garantir que a ordem de I seja tal que as matrizes estejam em conformidade para o produto Iremos apresentar aqui sem qualquer prova outra importante propriedade de matrizes B61 Onde A e B representam os determinantes das matrizes A e B MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM VETOR Considere a matriz da Eq B52 a qual representa a Eq B48 O lado direito da Eq B52 é um produto de uma matriz A m n pelo vetor x Se consideramos o vetor x como uma sendo uma matriz n 1 então o produ to Ax de acordo com a regra de multiplicação de matrizes resulta no lado direito da Eq B48 Portanto pode mos multiplicar uma matriz por um vetor tratando o vetor como se ele fosse uma matriz n 1 Observe que a res trição de conformidade ainda permanece Portanto neste caso xA não é definida permanecendo sem sentido INVERSÃO DE MATRIZ Para definir a inversa de uma matriz vamos considerar um conjunto de equações representados pela Eq B52 B62a Podemos resolver esse conjunto de equações para x1 x2 xn em termos de y1 y2 yn utilizando a regra de Cramer veja a Eq b31 resultando em B62b na qual A é o determinante da matriz A e Dij é o cofator do elemento aij da matriz A O cofator do elemento aij é dado por 1 ij vezes o determinante da matriz n 1 m 1 obtida quando a iésima linha e jésima coluna da matriz A são removidas Podemos descrever a Eq B62a na forma matricial por y Ax B63 Definimos agora A 1 a inversa da matriz quadrada A com a propriedade A 1A I matriz unitária B64 Então prémultiplicando os dois lados da Eq B63 por A 1 teremos A 1y A 1Ax Ix x ou x A 1y B65 CAPÍTULO B BACKGROUND 53 A comparação da Eq B65 com a Eq B62b mostra que B66 Uma das condições necessárias para uma solução única da Eq B62a é que o número de equações deve ser igual ao número de incógnitas Isto implica em que a matriz A seja uma matriz quadrada Além disto ob serve que a solução dada pela Eq B62b só existirá se A 0 Portanto a inversa existe somente para ma trizes quadradas e somente na condição de determinante da matriz ser diferente de zero Uma matriz cujo de terminante seja não nulo é uma matriz não singular Portanto a inversa somente existe para matrizes quadra das não singulares Pela definição temos A 1A I B67a Pósmultiplicando esta equação por A 1 e então prémultiplicando por A podemos mostrar que AA 1 I B67b Claramente as matrizes A e A 1 comutam A operação de divisão matricial pode ser efetuada através da inversão matricial B63 Derivadas e Integrais de Matrizes Os elementos de uma matriz não precisam ser necessariamente constantes eles podem ser funções de uma va riável Por exemplo se B68 então os elementos da matriz são funções de t Logo é útil representar A por At Além disso será útil definir a derivada e a integral de At A derivada da matriz At com relação a t é definida como sendo a matriz cujo ijésimo elemento é a deri vada com relação a t do ijésimo elemento da matriz A Portanto se então B69a ou B69b Logo a derivada da matriz da Eq B68 é dada por De maneira equivalente definese a integral de At com relação a t como sendo a matriz cujo ijésimo ele mento é a integral com respeito a t do ijésimo elemento da matriz A B70 Essas duas condições implicam que o número de equações seja igual ao número de incógnitas e que todas as equações sejam inde pendentes 54 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Portanto para a matriz A da Eq B68 temos Podemos facilmente provar as seguintes identidades B71a B71b B71c As provas das identidades B71a e B71b são triviais Podemos provar a Eq B71c como mostrado a seguir Seja A uma matriz m n e B uma matriz n p Então se a partir da Eq B56 temos e B72 Vamos determinar A 1 se Onde e A 4 Portanto EXEMPLO B12 CAPÍTULO B BACKGROUND 55 ou A Equação B72 juntamente com a regra da multiplicação indica claramente que dik é o ikésimo elemento da matriz e eik é o ikésimo elemento da matriz A Equação B71c está desta forma provada Se fizermos B A 1 na Eq B71c obteremos Mas como temos B73 B64 Equação Característica de uma Matriz Teorema de CayleyHamilton Para uma matriz A n n quadrada qualquer vetor x x 0 que satisfaz a equação B74 é um autovetor ou vetor característico e λ é o autovalor correspondente ou valor característico de A A Equação B74 pode ser escrita por B75 A solução deste conjunto de equações homogêneas existe se e somente se B76a ou B76b A Eq B76a ou B76b é chamada de equação característica da matriz A e pode ser escrita por B77 Qλ é chamado de polinômio característico da matriz A Os n zeros do polinômio característico são os autova lores de A e correspondendo a cada autovalor existe um autovetor que satisfaz a Eq B74 O teorema de CayleyHamilton afirma que toda matriz A n n satisfaz sua própria equação característica Em outras palavras a Eq B77 é válida se λ for substituído por A B78 FUNÇÕES DE UMA MATRIZ Podemos agora demonstar o uso do teorema de CayleyHamilton para calcular funções da matriz quadrada A Considere uma função fλ na forma de uma série infinita de potência B79 56 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Como λ sendo um autovalor raiz característica de A satisfaz a equação característica Eq B77 pode mos escrever B80 Se multiplicarmos os dois lados por λ o lado direito é λ n1 e o lado direito contém os termos λ n λ n1 λ Usando a Eq B80 substituímos λ n em termos de λ n1 λ n2 λde tal forma que a maior potência do lado di reito é reduzida para n 1 Continuando desta forma vemos que λ nk pode ser escrito em termos de λ n1 λ n2 λ para qualquer k Logo a série infinita do lado direito da Eq B79 pode sempre ser expressa em termos de λ n1 λ n2 λ e uma constante B81 Se assumirmos que existem n autovalores distintos λ1 λ2 λn então a Eq B81 é válida para os n valores de λ A substituição destes valores na Eq B81 resulta em n equações simultâneas B82a e B82b Como A também satisfaz a Eq B80 podemos utilizar um argumento similar para mostrar que se fA é uma função de uma matriz quadrada A escrita como uma séria infinita de potência então B83a e como argumentado antes o lado direito pode ser escrito usando os termos de potência menores ou iguais a n 1 B83b na qual os coeficientes βi são determinados a partir da Eq B82b Se alguns dos autovalores são repetidos raí zes múltiplas o resultado será de alguma forma modificado Demonstraremos a utilidade deste resultado nos seguintes dois exemplos B65 Determinação da Exponencial e Potenciação de uma Matriz Vamos determinar e At definida por A partir da Eq B83b podemos escrever na qual os termos βi são dados pela Eq B82b com fλi e λit CAPÍTULO B BACKGROUND 57 DETERMINAÇÃO DE A K Como a Eq B83b indica podemos escrever A k por na qual os βi são dados pela Eq B82b com fλi λi k Para um exemplo completo da determinação de A k uti lizando este método veja o Exemplo 1012 B7 MISCELÂNEAS B71 Regra LHôpital Se lim fxgx resulta em uma indeterminação na forma 00 ou então Consideremos A equação característica é Logo os autovalores são λ1 1 λ2 2 e na qual e B84 EXEMPLO B13 58 SINAIS E SISTEMAS LINEARES B72 Séries de Taylor e Maclaurin B73 Séries de Potência B74 Somatórios B75 Números Complexos CAPÍTULO B BACKGROUND 59 B76 Identidades Trigonométricas B77 Integrais Indefinidas 60 SINAIS E SISTEMAS LINEARES B78 Fórmulas Comuns de Derivação CAPÍTULO B BACKGROUND 61 B79 Algumas Constantes Úteis B710 Solução de Equações Quadráticas e Cúbicas Qualquer equação quadrática pode ser reduzida para a forma A solução desta equação é dada por Uma equação cúbica genérica pode ser reduzida para a forma cúbica reduzida pela substituição de Resultando em Considere agora A solução da cúbica reduzida é 62 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e REFERÊNCIAS Matlab Seção B Operações Elementares MB1 Visão Geral do MATLAB Apesar do MATLAB uma marca registrada pela The MathWorks Inc ser fácil de ser utilizado ele pode inti midar novos usuários Ao longo dos anos o MATLAB evoluiu para um sofisticado pacote computacional com milhares de funções e milhares de páginas de documentação Esta sessão fornecerá uma rápida introdução ao ambiente do software Quando o MATLAB é iniciado sua janela de comando aparece Quando o MATLAB está pronto para acei tar uma instrução ou entrada um prompt de comando é mostrado na janela de comando Quase toda ativi dade do MATLAB é iniciada pelo prompt de comando A entrada de instruções no prompt de comando geralmente resulta na criação de um ou vários objetos Várias classes de objetos são possíveis incluindo funções e strings textos mas geralmente os objetos são apenas da dos Os objetos são colocados no que é chamado de espaço de trabalho workspace do MATLAB Se não es tiver visível a área de trabalho pode ser vista em uma janela separada digitando workspace no prompt de co mando A área de trabalho fornece importantes informações sobre cada objeto incluindo o nome tamanho e classe do objeto Outra forma de ver a área de trabalho é através do comando whos Quando whos é digitado no prompt de co mando um resumo das variáveis da área de trabalho é mostrado na janela de comando O comando who é uma versão curta de whos e mostra apenas os nomes dos objetos da área de trabalho Várias funções existem para eliminar dados desnecessários e para ajudar a liberar recursos do sistema Para re mover variáveis específicas da área de trabalho o comando clear é digitado seguido pelos nomes das variáveis a serem removidas Se digitarmos simplesmente clear removeremos todos os objetos da área de trabalho Adi cionalmente o comando clc limpa a janela de comando e o comando clf limpa a janela de figura atual Geralmente dados importantes e objetos criados em uma sessão precisam ser salvos para uso futuro O co mando save seguido pelo nome do arquivo desejado salva todo a área de trabalho em um arquivo o qual pos sui a extensão mat Também é possível selecionar os objetos a serem salvos digitando o comando save segui do pelo nome do arquivo e pelos nomes dos objetos a serem salvos O comando load seguido pelo nome do ar quivo é utilizado para carregar os dados e objetos contidos em um arquivo de dados do MATLAB arquivo mat Apesar de o MATLAB não salvar automaticamente os dados da área de trabalho de uma sessão para outra as linhas digitadas no prompt de comando são gravadas no histórico de comando Linhas de comando anterio res podem ser vistas copiadas e executadas diretamente da janela de histórico de comando A partir da janela de comando pressionando as teclas de navegação para cima e para baixo percorremos a lista de comandos digita dos mostrandoos novamente no prompt de comando Digitando os primeiros caracteres e depois pressionando as teclas de navegação percorremos os comandos anteriores que começam com os mesmos caracteres As teclas de navegação permitem que seqüências de comandos sejam repetidas sem digitálos novamente Talvez o comando mais importante e útil para novos usuários seja o help Para aprender mais sobre uma fun ção simplesmente digite help seguido pelo nome da função Um texto de ajuda será então mostrado na janela de comando A deficiência óbvia do comando help é que o nome da função tem que ser previamente conhecido Es CAPÍTULO B BACKGROUND 63 te fato é especialmente limitante para iniciantes no MATLAB Felizmente as janelas de ajuda geralmente terminam referenciando funções similares ou relacionadas Estas referências são uma excelente maneira de conhecer novos comandos do MATLAB Digitar help help por exemplo mostra informações detalhadas do comando help e também fornece referência a funções relevantes tais com o comando lookfor O comando lookfor localiza fun ções do MATLAB baseadas em uma busca por palavrachave Simplesmente digite lookfor seguido por uma pa lavra chave única e o MATLAB procurará por funções que contenham esta palavrachave O MATLAB também possui um help compreensivo baseado em HTML O help HTML é acessado utilizan do um navegador de help integrado do MATLAB o qual também funciona como um navegador padrão da web As facilidades do help em HTLM incluem um índice por função e tópico além da capacidade de busca por tex to Como os documentos HTML podem conter gráficos e caracteres especiais o help em HTML pode fornecer mais informação do que o help de linha de comando Com um pouco de prática o MATLAB faz com que seja fácil encontrar informações Quando um gráfico do MATLAB é criado o comando print pode salvar figuras em formatos de arquivo co muns tais como postscript postscript encapsulado JPEG ou TIFF O formato dos dados mostrados tais como o número de dígitos apresentado é selecionado usando o comando format O help do MATLAB fornece todos os detalhes necessários para estas duas funções Quando a sessão do MATLAB está completa o comando ex it finaliza o MATLAB MB2 Operações de Calculadora O MATLAB pode funcionar como uma simples calculadora trabalhando tão facilmente com números comple xos quanto com números reais A adição subtração multiplicação divisão e exponenciação escalares são efe tuadas utilizando os tradicionais símbolos para as operações e Como o MATLAB predefine uma constante complexa é automaticamente criada utilizando coordenadas Cartesianas Por exemplo associa a constante 3 j4 à variável z As componentes real e imaginária de z são extraídas usando os operadores real e imag No MATLAB a entrada de uma função e colocada após o nome da função entre parênteses Quando uma linha é terminada com pontoevírgula o comando é executado mas os resultados não são mos trados na tela Esta característica é útil quando se está calculando valores intermediários além de permitir vá rias instruções em uma única linha Apesar de não ser mostrado os resultados zreal 3 e zimag 4 são calculados e disponibilizados para operações adicionais tais como o cálculo de z Existem várias maneiras de determinar o módulo ou amplitude de uma grandeza complexa A trigonome tria confirma que z 3 j4 o qual corresponde a um triângulo 3 4 5 possui um módulo O comando sqrt do MATLAB fornece uma maneira de se deter minar a raiz quadrada necessária No MATLAB vários comandos incluíndo o sqrt aceitam entradas em diversas formas incluindo constan tes variáveis funções expressões e combinações entre estes O mesmo resultado também é obtido calculando Neste caso o complexo conjugado é executa do usando o comando conj Ou de forma mais simples o MATLAB calcula valores absolutos diretamente usando o comando abs 64 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Além da magnitude a notação polar necessita da informação de fase O comando angle fornece o ângulo de um número complexo O MATLAB espera e retorna ângulos em radianos Ângulos em graus necessitam de um fator de conversão apropriado Observe que o MATLAB predefine a variável pi π Também é possível obter o ângulo de z usando a função de dois argumentos de arco tangente atan2 Ao contrário da função de arco tangente de um argumento a função arcotangente de dois argumentos ga rante que o ângulo esteja no quadrante adequado O MATLAB suporta todo um conjunto de funções trigonomé tricas funções trigonométricas padrões cos sin tan funções trigonométricas recíprocas sec csc cot fun ções trigonométricas inversas acos asin atan asec acsc acot e variações hiperbólicas cosh sinh tanh sech csch coth acosh asinh atanh asech acsch e acoth Obviamente o MATLAB conforta velmente suporta argumentos complexos para qualquer função trigonométrica Tal como o comando angle as funções trigonométricas do MATLAB utilizam radianos como unidade O conceito de funções trigonométricas com argumentos complexos é bastante intrigante Os resultados podem contradizer o que é geralmente pensado em cursos introdutórios de matemática Por exemplo um pensamento co mum diz que cosx 1 Esta afirmativa é válida para um x real mas não é necessariamente verdadeira para x complexo Este fato é facilmente verificado usando o MATLAB e a função cos O Problema B19 investiga mais essa idéia Similarmente a afirmativa que diz ser impossível determinar o logaritmo de um número negativo é falsa Por exemplo o valor principal de ln1 é jπ um fato facilmente verificado através da equação de Euler No MA TLAB logaritmos de base 10 e base e são calculados usando os comandos log10 e log respectivamente MB3 Operações Vetoriais O poder do MATLAB fica evidente quando argumentos vetoriais substituem argumentos escalares Ao contrá rio de calcular um valor por vez uma única expressão calcula vários valores Normalmente vetores são classi ficados como vetores linha ou vetores coluna Por enquanto iremos considerar a criação de vetores linha com elementos reais igualmente espaçados Para criar tal vetor a notação abc é utilizada onde a é o valor inicial b determina o tamanho do passo e c é o valor final Por exemplo 0211 cria um vetor de tamanho 6 de inteiros pares variando de 0 a 10 Neste caso o valor final não aparece como elemento do vetor Tamanhos de passo negativos e fracionários também são permitidos Se o tamanho do passo não for especificado o valor um é considerado como padrão CAPÍTULO B BACKGROUND 65 A notação vetorial possibilita a base para a resolução de uma grande variedade de problemas Por exemplo considere a determinação das três raízes cúbicas de menos 1 w 3 1 e jπ2πk para k inteiro Determinando a raiz cúbica dos dois lados resulta em w e jπ32πk3 Para determinar as três únicas soluções utilize qualquer três valores inteiros consecutivos de k e a função exp do MATLAB As soluções particularmente w 1 são fáceis de serem verificadas A determinação das 100 raízes únicas de w 100 1 é tão simples quanto o caso anterior O pontoevírgula no final da instrução impede que todas as 100 soluções sejam mostradas Para ver uma so lução particular o usuário deverá especificar um índice No MATLAB índices inteiros positivos crescentes espe cificam elementos particulares de um vetor Por exemplo o quinto elemento de ω é extraído usando o índice 5 Observe que esta solução corresponde a k 4 A variável independente da função neste caso k raramente serve como índice Como k também é um vetor ele também pode ser indexado Neste caso podemos verificar que o quinto elemento de k realmente é 4 Também é possível utilizar um índice de vetor para acessar vários valores Por exemplo o vetor de índice 98100 identifica as três últimas soluções correspondentes a k 97 98 99 As representações vetoriais fornecem a base para a criação rápida e utilização de vários sinais Considere a simples senóide de 10 Hz descrita por ft sen2πt π6 Dois ciclos desta senóide estão dentro do interva lo 0 t 02 Um vetor t é utilizado para representar uniformemente 500 pontos dentro deste intervalo A seguir a função ft é calculada para esses pontos o valor de ft para t 0 é o primeiro elemento do vetor e portanto obtido usando o índice 1 Infelizmente a sintaxe de indexação do MATLAB entra em conflito com a notação padrão de funções mate máticas Ou seja o comando de indexação f1 do MATLAB não é o mesmo que a notação padrão f1 ftt 1 Devese portanto ter cuidado para evitar confusão Lembrese de que o parâmetro de índice raramente re flete a variável independente de uma função MB4 Gráficos Simples O comando plot do MATLAB fornece uma maneira conveniente de visualizar dados tal como o gráfico de ft em função da variável independente t Estruturas avançada tais como objetos inline do MATLAB são uma exceção 66 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Os rótulos dos eixos são adicionados utilizando os comandos xlabel e ylabel sendo que o texto desejado deve ser colocado entre aspas simples O resultado é mostrado na Fig MB1 O comando title é utilizado para adicionar um título acima do eixo corrente Por padrão o MATLAB conecta os pontos dos dados usando linha sólida O gráfico de pontos discretos tais como as 100 únicas raízes de w 100 1 é obtido fornecendo ao comando plot argumentos adicionais Por exemplo o caractere o avisa ao MATLAB para marcar cada ponto com um círculo ao invés de conectálos com uma linha Uma descrição geral das opções suportadas pelo comando plot está disponível através das fa cilidades de ajuda do MATLAB O comando axis equal garante que a escala utilizada pelo eixo horizontal seja igual a escala utilizada pelo eixo vertical Sem axis equal o gráfico iria parecer elíptico e não circular A Figura MB2 mostra que as 100 raízes únicas de w 100 1 estão igualmente espaçadas no círculo unitário um fato que não é facilmente obser vado dos dados numéricos puros O MATLAB também possui funções de gráfico especializadas Por exemplo os comandos semilogx se milogy e loglog do MATLAB operam similarmente ao comando plot mas utilizam escalas logarítmicas em base 10 como escala para o eixo horizontal vertical e horizontal e vertical respectivamente Imagens monocro máticas ou coloridas podem ser mostradas usando o comando image e gráficos de contorno são facilmente cria dos usando o comando contour Além disso uma variedade de rotinas para gráficos tridimensionais são dispo Figura MB1 ft sen 2πt π6 Figura MB2 Raízes únicas de ω 100 1 CAPÍTULO B BACKGROUND 67 nibilizadas tais como plot3 contour3 mesh e surf Informações sobre estas instruções incluindo exemplos e funções correlatas estão disponíveis a partir do help do MATLAB MB5 Operações de Elemento por Elemento Suponha que uma nova função ht é necessária para forçar um envelope exponencial na senóide ft ht ftgt onde gt e 10t Primeiro um vetor linha gt é criado Dada a representação vetorial do MATLAB de gt e ft o cálculo de ht requer alguma forma de multiplica ção de vetor Existem três maneiras padrões de multiplicar vetores produto interno produto externo ou produto vetorial e produto elemento por elemento Sendo uma linguagem orientada a matriz o MATLAB define o opera dor padrão de multiplicação de acordo com as regras da álgebra matricial o multiplicando deve estar em con formidade com o multiplicador Uma vetor linha 1 N vezes um vetor coluna N 1 resulta no produto interno ou produto escalar Um vetor coluna N 1 vezes um vetor linha 1 M resulta no produto externo o qual é uma ma triz N M A álgebra matricial proíbe a multiplicação de dois vetores linha ou a multiplicação de dois vetores co luna Portanto o operador não é utilizado para executar a multiplicação de elemento por elemento Operações elemento por elemento requerem vetores que tenham as mesmas dimensões Um erro ocorre se tentarmos realizar as operações de elemento por elemento entre vetores linha e coluna Nestes casos um vetor deve primeiro ser transposto para garantir que os dois operandos vetoriais tenha as mesmas dimensões A mul tiplicação divisão e exponenciação elemento por elemento são realizadas usando os operadores e res pectivamente A adição e subtração vetorial são intrinsecamente elemento por elemento e não necessitam do ponto Intuitivamente sabemos que ht deve ter o mesmo tamanho de gt e ht Portanto ht é calculado usan do a multiplicação elemento por elemento O comando plot é capaz de traçar múltiplas curvas além de permitir também modificações nas proprieda des das linhas Esta característica facilita a comparação de diferentes funções tais como ht e ft As caracte rísticas de linha são especificadas usando opções que seguem cada par de vetor contidas entre aspas simples Aqui k informa para o MATLAB traçar ft usando uma linha sólida preta enquanto k informa ao MA TLAB para utilizar uma linha preta pontilhada para traçar ht A legenda e os rótulos dos eixos completam o gráfico mostrado na Fig MB3 Também é possível apesar de mais trabalhoso utilizar os menus para modificar as propriedades das linhas e para adicionar rótulos e legendas diretamente a partir da janela da figura Apesar de ser muito ineficiente a multiplicação elemento por elemento pode ser realizada extraindo a diagonal principal do produ to externo de dois vetores de tamanho N Figura MB3 Comparação gráfica de ft e ht 68 SINAIS E SISTEMAS LINEARES MB6 Operações Matriciais Várias aplicações necessitam mais do que vetores linha com elementos igualmente espaçados vetores linha ve tores coluna e matrizes com elementos arbitrários são tipicamente necessários O MATLAB possui diversas funções para gerar as matrizes mais comuns Dado os inteiros m n e o vetor x a função eyem cria a matriz identidade m m a função onesmn cria a matriz m n com elemen tos unitários a função zerosmn cria a matriz m n de zeros e a função diagx utiliza o vetor x para criar uma matriz diagonal A criação de matrizes e vetores genéricas entretanto necessita que cada elemen to seja especificado Vetores e matrizes podem ser criados em um estilo de planilha usando o editor de vetor do MATLAB Esta abordagem gráfica é geralmente mais trabalhosa não sendo muito utilizada Um método mais direto é preferível Considere um simples vetor linha r A notação do MATLAB abc não cria este vetor linha No lugar dela colchetes são utilizado para criar r Colchetes limitam os elementos do vetor e espaços ou vírgulas são utilizados para separar os elementos da linha A seguir considere a matriz A 3 2 A matriz A pode ser vista como uma pilha de três andares de vetores linha de dois elementos Com o ponto evírgula para separar as linhas colchetes são utilizados para criar a matriz Cada vetor linha precisa ter o mesmo tamanho para criar uma matriz com sentido Além de fechar argumentos de texto aspas simples também executam a operação de transposta de comple xo conjugado Desta forma vetores linha se tornam vetores coluna e viceversa Por exemplo o vetor coluna c é facilmente criado transpondo o vetor linha r Como o vetor r é real a transposta complexo conjugado é somente a transposta Se r fosse complexo a trans posta simples seria realizada usando r ou conjr Mais formalmente colchetes são utilizados como operação de concatenação A concatenação combina ou co necta pedaços pequenos em um total maior A concatenação envolve números simples tais como a concatena ção utilizada para criar a matriz A 3 2 Também é possível concatenar objetos maiores tais como vetores e matrizes Por exemplo o vetor c e a matriz A podem ser concatenados para formar a matriz B 3 3 Irão ocorrer erros se as dimensões dos componentes não forem compatíveis uma matriz 2 2 não pode ser concatenada com uma matriz 3 3 por exemplo CAPÍTULO B BACKGROUND 69 Os elementos de uma matriz são indexados tal como vetores exceto pelo fato de dois índices serem tipicamen te utilizados para especificar a linha e a coluna O elemento 1 2 da matriz B por exemplo é 2 Os índices podem ser vetores Por exemplo um índice vetor permite extrair os elementos da interseção entre as duas primeiras linhas e as duas primeiras colunas da matriz B Uma técnica de indexação é particularmente útil e merece atenção especial Dois pontos pode ser utilizado para especificar todos os elementos ao longo de uma dimensão especificada Por exemplo B2 seleciona os elementos de todas as colunas da segunda linha de B Agora que compreendemos a criação básica de vetores e matrizes iremos voltar nossa atenção para a utili zação destas ferramentas em problemas reais Considere a resolução de um conjunto de três equações lineares simultâneas com três incógnitas Este sistema de equações é representado na forma matricial de acordo com Ax y onde Apesar da regra de Cramer poder ser utilizada para resolver Ax y é mais conveniente resolver este siste ma prémultiplicando os dois lados pela matriz inversa de A Ou seja x A 1Ax A 1y A determinação de x no papel ou na calculadora seria no mínimo entediante de tal forma que o MATLAB será utilizado Inicial mente criamos as matrizes A e y O vetor solução é determinado usando a função inv do MATLAB Também é possível utilizar o operador de divisor a esquerda do MATLAB x Ay para encontrar a mesma solução A divisão a esquerda é geralmente mais eficiente computacionalmente do que a inversão de matriz Tal como na multiplicação a divisão a esquerda necessita que os dois argumentos estejam em conformidade Obviamente a regra de Cramer também pode ser utilizada para determinar as soluções individuais tal como x1 usando a indexação de vetor concatenação e o comando det do MATLAB para calcular os determinantes Os elementos da matriz também podem ser acessados com um único índice o qual é numerado ao longo das colunas Formalmente o elemento da linha m e da coluna n de uma matriz M N pode ser obtido usando o único índice n 1M m Por exemplo o ele mento 1 2 da matriz B é acessado usando o índice 2 13 1 4 Ou seja B4 retorna 2 70 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Outra aplicação interessante de matrizes é a criação simultânea de uma família de curvas Considere hαt e αtsen2πt π6 para 0 t 02 A Figura MB3 mostra hαt para α 0 e α 10 Vamos investigar a famí lia de curvas hαt para α 0 1 10 Uma maneira ineficiente de resolver este problema é criar hαt para cada α de interesse Isto irá requerer 11 casos individuais Em vez disso a abordagem matricial permite que as 11 curvas sejam determinadas simulta neamente Inicialmente um vetor que contenha os valores desejados de α é criado Utilizando o intervalo de amostragem de um milissegundo Δt 0001 um vetor de tempo também é criado O resultado é um vetor coluna de tamanho 201 Copiando o vetor de tempo para cada uma das 11 curvas ne cessárias uma matriz de tempo T é criada Esta cópia é realizada usando o produto externo entre t e um vetor de uns de 1 11 O resultado é uma matriz 201 11 que possui colunas idênticas A multiplicação direta de T pela matriz dia gonal criada a partir de α faz com que as colunas de T sejam individualmente escalonadas calculando o resul tado final Logo H é uma matriz 201 11 na qual cada coluna corresponde a um valor diferente de α Ou seja H h0 h1 h10 onde hα são vetores coluna Como mostrado na Fig MB4 as 11 curvas desejadas são simulta neamente mostradas usando o comando plot do MATLAB o qual permite um argumento matricial Este exemplo ilustra uma técnica importante chamada de vetorização a qual aumenta a eficiência de execu ção para linguagens interpretadas como o MATLAB Algoritmos de vetorização utilizam operações matriciais e vetoriais para evitar repetição manual e estruturas de laços loops É necessário prática e esforço para se tor nar fluente em vetorização mas o resultado é um código eficiente e compacto MB7 Expansão em Frações Parciais Existe uma grande variedade de técnicas e atalhos para calcular a expansão em frações parciais de uma função racional Fx BxAx mas poucas são mais simples do que o comando residue do MATLAB A forma bá sica do comando é R P K residueB A O comando repmat é um método mais flexível de copiar objetos Podia ser utilizado T repmat t 1 11 Os benefícios da vetorização são menos pronunciados nas versões mais recentes do MATLAB Figura MB4 hαt para α 0 1 10 CAPÍTULO B BACKGROUND 71 Os dois vetores de entrada B e A especificam os coeficientes do polinômio do numerador e do denominador respectivamente Estes vetores são ordenados em potência decrescente da variável independente Três vetores são calculados O vetor R contém os coeficientes de cada fração parcial o vetor P contém as raízes correspon dentes de cada fração parcial Para a raiz repetida r vezes as r frações parciais são ordenadas em potência cres cente Quando a função racional não é própria o vetor K contém os termos diretos os quais são ordenados em potências descendentes da variável independente Para demonstrar o poder do comando residue considere determinar a expansão em frações parciais de Fazendo no papel a expansão em frações parciais de Fx é difícil de ser determinada O MATLAB entre tanto faz com que o trabalho seja muito reduzido Escrevendo na forma padrão a expansão em frações parciais de Fx é A função residuez do toolbox de processamento de sinais é similar ao comando residue e oferece a ex pansão mais conveniente de certas funções racionais tais como as freqüentemente encontradas no estudo de sis temas em tempo discreto Informações adicionais sobre os comandos residue e residuez estão disponíveis no help do MATLAB P R O B L E M A S B1 Dado um número complexo w x jy o com plexo conjugado de w é definido em coordena das retangulares como w x jy Use este fa to para determinar o complexo conjugado na forma polar B2 Escreva os seguintes números na forma polar B3 Escreva os seguintes números na forma Carte siana B4 Para a constante complexa w prove B5 Dado w x jy determine B6 Para as constantes complexas arbitrárias w1 e w2 verifique se as seguintes igualdades são verda deiras ou falsas B7 Dado w1 3 j4 e w2 2e jπ4 a Escreva w1 na forma polar b Escreva w2 na forma retangular c Determine w1 2 e w2 2 d Escreva w1 w2 na forma retangular e Escreva w1 w2 na forma polar f Escreva w1 w2 na forma retangular g Escreva w1w2 na forma polar B8 Repita o Problema B7 usando w1 3 j4 2 e w2 25je 40π 72 SINAIS E SISTEMAS LINEARES B9 Repita o Problema B7 usando w1 j e π4 e w2 cos j B10 Utilize a identidade de Euler para resolver ou provar as seguintes proposições a Determine as constantes reais e positivas c e φ para todo real t tal que 25 cos3t 15 sen 3t π3 c cos 3t φ b Prove que cos θ φ cos θ cos φ sen θ sen φ c Dadas as constantes a b e α e a constante complexa w e o fato de que Determine a integral B11 Além das tradicionais funções seno e cosseno existem as funções de seno e cosseno hiper bólicos as quais são definidas por senhw e w e w2 e coshw e w e w2 Em ge ral o argumento é uma constante complexa w x jy a Mostre que coshw coshx cosy j senhx seny b Determine uma expressão similar para senhw na forma retangular que utilize apenas funções de argumentos reais tais como senx coshy e assim por diante B12 Usando o plano complexo a Calcule e localize as soluções distintas de w 4 1 b Calcule e localize as soluções distintas de w 1 j2 5 1 j c Trace a solução de w 2j 3 d Faça o gráfico de wt 1 te jt para 10 t 10 B13 As soluções distintas de w w1 n w2 estão em um círculo no plano complexo como mos trado na Fig PB13 Uma solução está localiza da no eixo real em 1 2732 e uma solu ção está localizada no eixo imaginário em 1 0732 Determine w1 w2 e n Figura PB13 Soluções distintas de w w1 n w2 B14 Determine as soluções distintas de j w 15 2 j2 Utilize o MATLAB para traçar o conjunto solução no plano complexo B15 Se j o que é B16 Determine todos os valores de lne escreven do sua resposta na forma cartesiana B17 Determine todos os valores de log101 escre vendo sua resposta na forma Cartesiana Obser ve que o logaritmo é na base 10 e não na base e B18 Obtenha as seguintes expressões na forma de coordenadas retangulares a ln11 j b cos1 j c 1 j j B19 Limitando w a imaginário puro mostre que a equação cosw 2 pode ser representada como uma equação quadrática padrão Resolva esta equação para w B20 Determine uma expressão para uma senoide ex ponencialmente decrescente que oscila três vezes por segundo e cujo envelope de amplitude decai 50 a cada 2 segundos Use o MATLAB para mostrar o gráfico do sinal no intervalo 2 t 2 B21 Faça o rascunho no papel das seguintes expres sões em função da variável t CAPÍTULO B BACKGROUND 73 B22 Utilize o MATLAB para produzir os gráficos so licitados no Problema B21 B23 Utilize o MATLAB para traçar o gráfico de xt cost sen20t em uma faixa adequada de t B24 Utilize o MATLAB para traçar xt em uma faixa adequada de t O comando sum do MATLAB pode ser útil B25 Quando um sino é batido por uma baqueta ele produz um som Escreva uma equação que aproxime o som produzido por um pequeno e leve sino Cuidadosamente identifique suas considerações Como a sua equação seria alte rada se o sino fosse grande e pesado Você po de verificar a qualidade do seu modelo usando o comando sound do MATLAB para escutar o seu sino B26 Certas integrais apesar de expressas em uma forma relativamente simples são difíceis de se rem resolvidas Por exemplo não pode ser calculada em termos de funções elementa res várias calculadoras que executam integração não podem trabalhar com esta integral indefini da Felizmente você é mais inteligente do que a maioria das calculadores a Escreva e x2 usando a expansão em série de Taylor b Usando a sua expansão em série para e x2 determine c Usando uma série adequadamente trunca da calcule o valor da integral definida B27 Repita o Problema B26 para B28 Repita o Problema B26 para B29 Para cada uma das seguintes funções determine a expansão em série adequada B30 Você está trabalhando em um receptor com uma modulação digital de amplitude em quadratura QAM O receptor QAM necessita de um par de sinais em quadratura cos ωn e sen ωn Estes sinais podem ser gerados simultaneamente atra vés de um simples procedimento 1 Escolha um ponto w no círculo unitário 2 multiplique w por ele mesmo e armazene o resultado 3 multiplique w pelo último resultado e armazene e 4 repita o passo 3 a Mostre que este método pode gerar o par desejado de senóides em quadratura b Determine um valor adequado de w tal que sinais periódicos de boa qualidade de 2π 100000 rads sejam gerados Quanto tem po é disponibilizado para que a unidade de processamento calcule cada amostra c Simule este procedimento usando o MA TLAB e relate seus resultados d Identifique o maior número possível tanto de considerações quanto de limitações para esta técnica Por exemplo o seu sistema pode operar corretamente por um período de tempo indefinido B31 Considere o seguinte sistema de equações Use a regra de Cramer para determinar a x1 b x2 c x3 Os determinantes das matrizes podem ser calcu lados usando o comando det do MATLAB B32 Um sistema de equações em termos de incóg nitas x1 e x2 e constantes arbitrárias a b c d e e f é dado por a Represente este sistema de equações na forma matricial b Identifique constantes específicas para a b c d e e f tal que x1 3 e x2 2 As cons tantes selecionadas são únicas c Identifique constantes não nulas para a b c d e e f tal que um número infinito de so luções para x1 e x2 existam 74 SINAIS E SISTEMAS LINEARES B33 Resolva o seguinte sistema de equações B34 Resolva o seguinte sistema de equações B35 Determine a expansão em frações parciais no papel das seguintes funções racionais a H1s s 2 5s 6s 3 s 2 s 1 cujos pólos do denominador estão em s j e s 1 B36 Usando o comando residue do MATLAB a Verifique os resultados do Problema B35a b Verifique os resultados do Problema B35b c Verifique os resultados do Problema B35c d Verifique os resultados do Problema B35d B37 Determine as constantes a0 a1 e a2 da expansão em frações parciais de Fs ss 1 3 a0s 1 3 a1s 1 2 a2s 1 B38 Seja N n7 n6 n5 n2 n1 a representação dos sete últimos dígitos do seu número de telefone Construa uma função racional de acordo com Utilize o comando residue do MATLAB para calcular a expansão em frações par ciais de HNs B39 Quando traçada no plano complexo para π w π a função fw cosw j01 sen2w resulta em uma figura chamada figura de Lis sajous que se assemelha a uma hélice de um bi motor a No MATLAB crie dois vetores linha fr e fi correspondentes a parte real e imaginá ria de fx respectivamente para uma nú mero adequado de N amostras de w Trace a parte real em função da parte imaginária e observe se o formato da figura lembra a hélice de um bimotor b Seja a constante complexa w x jy re presentada na forma vetorial por Considere a matriz R 2 2 de rotação Mostre que Rw rotaciona o vetor w por θ radianos c Crie uma matriz de rotação R correspon dente a 10º e a multiplique pela matriz 2 N f fr fi Trace o resultado e verifique se a hélice foi realmente rota cionada em sentido antihorário d Dada a matriz R determinada na parte c qual é o efeito de executar RRf E o cálculo de RRRf Generalize o resultado e Investigue o comportamento da multiplica ção de fw pela função e jθ Neste capítulo discutiremos certos aspectos fundamentais dos sinais Também apresentaremos conceitos bási cos importantes e explicações qualitativas sobre as razões e os métodos da teoria de sistemas Dessa forma construiremos uma sólida base para a compreensão da análise quantitativa do restante do livro SINAIS Um sinal é um conjunto de dados ou informação Como exemplo temos um sinal de telefone ou televisão o re gistro de vendas de uma corporação ou os valores de fechamento da bolsa de negócios por exemplo o valor mé dio do índice BOVESPA Em todos esses exemplos os sinais são funções da variável independente tempo en tretanto este nem sempre é o caso Quando uma carga elétrica é distribuída sobre um corpo por exemplo o si nal é a densidade de carga uma função do espaço em vez do tempo Neste livro trabalharemos quase que ex clusivamente com sinais que são função do tempo A discussão entretanto se aplica de maneira equivalente pa ra outros tipos de variáveis independentes SISTEMAS Os sinais podem ser posteriormente processados por sistemas os quais podem modificálos ou extrair informa ção adicional Por exemplo um operador de artilharia antiaérea pode querer saber a posição futura de um alvo hostil que está sendo seguido por seu radar Conhecendo o sinal do radar ele sabe a posição passada e a veloci dade do alvo Através do processamento do sinal do radar a entrada ele pode estimar a posição futura do alvo Portanto um sistema é uma entidade que processa um conjunto de sinais entradas resultando em um outro conjunto de sinais saídas Um sistema pode ser construído com componentes físicos elétricos mecânicos ou sistemas hidráulicos realização em hardware ou pode ser um algoritmo que calcula uma saída de um sinal de entrada realização em software 11 TAMANHO DO SINAL O tamanho de qualquer entidade é um número que indica a largura ou o comprimento da entidade Generica mente falando a amplitude do sinal varia com o tempo Como um sinal que existe em um certo intervalo de tem po com amplitude variante pode ser medido por um número que irá indicar o tamanho ou a força do sinal Tal medida deve considerar não apenas a amplitude do sinal mas também sua duração Por exemplo se quisermos utilizar um único número V como medida do tamanho de um ser humano devemos considerar não somente seu peso mas também sua altura Se fizermos uma consideração que a forma da pessoa é um cilindro cuja variável é o raio r o qual varia com a altura h então uma possível medida do tamanho de uma pessoa de altura H é o volume V da pessoa dado por 11 SINAIS E SISTEMAS C A PÍTU LO 1 76 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 111 Energia do Sinal Argumentando desta forma podemos considerar a área abaixo do sinal xt como uma possível medida de seu tamanho pois a área irá considerar não somente a amplitude mas também sua duração Entretanto esta medi da ainda é defeituosa pois mesmo para um sinal grande xt suas áreas positivas e negativas podem se cancelar indicando um sinal de tamanho pequeno Esta dificuldade pode ser corrigida pela definição do tamanho do si nal como a área debaixo de x 2t a qual é sempre positiva Podemos chamar essa medida de energia do sinal Ex definida para um sinal real por 12a Essa definição pode ser generalizada para um sinal complexo xt sendo dada por 12b Também existem outras possíveis medidas do tamanho de um sinal tal como a área sob xt A medida de energia entretanto é mais fácil de ser trabalhada matematicamente e com mais sentido como será mostrado posteriormente com a idéia de ser um indicativo da energia que pode ser extraída do sinal 112 Potência do Sinal A energia do sinal deve ser finita para que seja uma medida significativa do tamanho do sinal Uma condição ne cessária para que a energia seja finita é que a amplitude do sinal 0 quando t Fig 11a Caso contrá rio a integral da Eq 12a não irá convergir Quando a amplitude do sinal xt não 0 quando t Fig 11b a energia do sinal é infinita Uma me dida mais significativa do tamanho do sinal neste caso é a energia média se ela existir Esta medida é chamada de potência do sinal Para um sinal xt definimos sua potência Px por 13a Podemos generalizar esta definição para um sinal complexo xt sendo dada por 13b Figura 11 Exemplos de sinais a um sinal com energia finita e b um sinal com potência finita Observe que a potência do sinal Px é uma média temporal do quadrado da amplitude do sinal ou seja o valor médio quadrático de xt De fato a raiz quadrada de Px é o já conhecido valor rms raiz média quadrática de xt Geralmente a média de uma entidade ao longo de um grande intervalo de tempo aproximando do infinito existe se a entidade for periódica ou possuir uma regularidade estatística Se tal condição não for satisfeita a mé dia não existirá Por exemplo um sinal em rampa xt t aumenta indefinidamente quando t e nem a energia nem a potência existirão para este sinal Entretanto a função degrau unitário a qual não é periódica nem possui regularidade estatística possui uma potência finita Quando xt é periódica xt 2 também é periódica Portanto a potência de xt pode ser calculada da Eq 13b efetuando a média de xt 2 em um período Comentários A energia do sinal tal como definida pelas Eqs 12 não indica a energia real no sentido con vencional do sinal pois a energia do sinal depende não somente do sinal mas também da carga Ela pode en tretanto ser interpretada como a energia dissipada em uma carga normalizada de um resistor de 1ohm se a ten são xt fosse aplicada ao resistor de 1ohm ou se a corrente xt passasse através de um resistor de 1ohm A medida de energia é portanto indicativa da capacidade de energia do sinal não da energia real Por essa ra zão os conceitos de conservação de energia não devem ser aplicados a Energia do sinal Uma observação pa ralela se aplica à potência do sinal definida pelas Eq 13 Essas medidas são indicadores convencionais do tamanho do sinal sendo bastante úteis em várias aplicações Por exemplo se aproximarmos um sinal xt por outro sinal gt o erro de aproximação é et xt gt A energia ou potência de et é um indicador con veniente de quão boa foi a aproximação Ela nos fornece uma medida quantitativa para determinarmos quão per to está a aproximação Em sistemas de comunicação durante a transmissão em um canal sinais de mensagem são corrompidos por sinais indesejados ruído A qualidade do sinal recebido é avaliada através dos tamanhos relativos do sinal desejado e do sinal indesejado ruído Nesse caso a razão entre a potência do sinal de mensa gem e do sinal de ruído relação sinal ruído é um bom indicador da qualidade do sinal recebido Unidades de Energia e Potência As Eqs 12 não estão dimensionalmente corretas Isso ocorre porque esta mos usando o termo energia não em seu sentido convencional mas para indicar o tamanho do sinal A mesma observação é aplicada às Eqs 13 para potência As unidades de energia e potência como definidas aqui de pendem da natureza do sinal xt Se xt for um sinal de tensão sua energia Ex possui unidades de volts quadra dossegundo V 2s e sua potência Px possui unidade de volts quadrados Se xt for um sinal de corrente suas unidades serão amperes quadradossegundo A 2s e amperes quadrados respectivamente Determine as medidas adequadas dos sinais da Fig 12 Figura 12 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 77 EXEMPLO 11 Determine a potência e o valor rms de a Este é um sinal periódico com período T0 2πω0 A medida adequada desse sinal é sua potência Como ele é periódico podemos calcular sua potência calculando a média de sua energia em um período T0 2πω0 Entretanto para efeito de demonstração resolveremos este problema calculando a média em um intervalo infinitamente grande usando a Eq 13a O primeiro termo do lado direito é igual a C 22 O segundo termo entretanto é igual a zero pois a inte gral que aparece neste termo representa a área abaixo de uma senóide em um intervalo de tempo T muito grande com T Essa área é no máximo igual a área de meio período devido aos cancelamentos das áreas positivas e negativas da senóide O segundo termo é a área multiplicada por C 22T com T Cla ramente este termo é nulo e 14a 78 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Na Fig 12a a amplitude do sinal 0 quando t Portanto a medida adequada para esse sinal é sua energia Ex dada por Na Fig 12b a amplitude do sinal não 0 quando t Entretanto ela é periódica e portanto sua potência existe Podemos utilizar a Eq 13a para determinar sua potência Podemos simplificar o procedi mento para sinais periódicos observando que um sinal periódico se repete regularmente a cada período 2 segundos neste caso Portanto fazendo a média de x 2t em um intervalo infinitamente grande é idêntico a calcular a média em um período 2 segundos neste caso Portanto Lembrese de que o sinal de potência é o quadrado de seu valor rms Portanto o valor rms desse sinal é EXEMPLO 12 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 79 Essa equação mostra que uma senóide com amplitude C possui potência igual a C 22 independente do valor de sua freqüência ω0 ω0 0 e fase θ O valor rms é Se a freqüência do sinal fosse zero um sinal CC ou um sinal constante de amplitude C o leitor pode mostrar que a potência é C 2 b No Capítulo 6 iremos mostrar que a soma de suas senóides pode ou não ser periódica dependen do da relação ω1ω2 ser um número racional ou não Portanto o período deste sinal não é conhecido Lo go sua potência será determinada calculando a média da energia em T segundos com T Portanto A primeira e a segunda integrais do lado direito são as potências das duas senóides as quais são C1 22 e C2 22 como determinado no item a O terceiro termo o produto das duas senóides pode ser escrito como a soma de duas senóides cos ω1 ω2t θ1 θ2 e cos ω1 ω2t θ1 θ2 respectivamente Ago ra argumentando tal como no item a vemos que o terceiro termo é nulo Logo teremos 14b E o valor rms é Podemos facilmente estender este resultado para uma soma de qualquer número de senóides com fre qüências distintas Portanto se assumindo que nenhuma das senóides tenham freqüências idênticas e ωn 0 então 14c Se xt também possuir um valor CC tal como Então 14d c Neste caso o sinal é complexo e utilizaremos a Eq 13b para calcular a potência Essa afirmativa é verdadeira somente se ω1 ω2 Se ω1 ω2 o integrando do terceiro termo irá conter a constante cos θ1 θ2 e o ter ceiro termo 2C1 C2 cos θ1 θ2 quando T 80 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Lembrese que e jω0t 1 tal que De jω0t 2 D 2 e 14e O valor rms é D Comentário Na parte b do Exemplo 12 mostramos que a potência de uma soma de duas senóides é igual à soma das potências das senóides Pode parecer que a potência de x1t x2t é Px1 Px2 Infelizmente esta con clusão geralmente não é verdadeira Ela é válida apenas para uma certa condição ortogonalidade discutida posteriormente Seção 653 EXERCÍCIO E11 Mostre que as energias dos sinais da Fig 13a 13b 13c e 13d são 4 1 43 e 43 respectivamente Observe que o dobro do sinal quadruplica sua energia e o deslocamento no tempo de um sinal não possui efeito em sua energia Mostre também que a potência do sinal da Fig 13e é 04323 Qual é o valor rms do sinal da Fig 13e Figura 13 EXERCÍCIO E12 Refaça o Exemplo 12a para determinar a potência da senóide C cosω0t θ calculando a média da energia do sinal em um período T0 2πω0 em vez de calcular a média em um intervalo infinitamente grande de tempo Mostre também que a potência de um sinal CC xt C0 é C0 2 e seu valor rms é C0 EXERCÍCIO E13 Mostre que se ω1 ω2 a potência de C1 cosω1t θ1 C2 cosω2t θ2 é C1 2 C2 22C1 C2 cosθ1 θ22 o qual não é igual a C1 2 C2 22 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 81 12 ALGUMAS OPERAÇÕES ÚTEIS COM SINAIS Discutiremos aqui três operações úteis com sinais deslocamento escalamento e inversão Como a variável inde pendente na nossa descrição de sinal é o tempo estas operações serão chamadas de deslocamento temporal es calamento temporal e reversão inversão temporal Entretanto esta discussão é válida para funções tendo outras variáveis independentes que não o tempo por exemplo a freqüência ou a distância 121 Deslocamento Temporal Considere um sinal xt Fig 14a e o mesmo sinal atrasado por T segundos Fig 14b o qual chamaremos de φ t O que acontecer em xt Fig 14a em algum tempo t também acontecerá com φt Fig 14b T segundos após no instante t T Portanto 15 e 16 Figura 14 Deslocamento temporal de um sinal Logo no deslocamento temporal de um sinal por T segundos substituímos t por t T Logo xt T repre senta xt deslocado no tempo por T segundos Se T for positivo o deslocamento é para a direita atraso como na Fig 14b Se T for negativo o deslocamento é para a esquerda avanço como na Fig 14c Claramente xt 2 é xt atrasado deslocado para a direita de 2 segundos e xt 2 é xt avançado adiantado deslocado pa ra a esquerda por 2 segundos 82 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A função exponencial xt e 2t mostrada na Fig 15a é atrasada por 1 segundo Trace e descreva matema ticamente a função atrasada Repita o problema com xt adiantado por 1 segundo Figura 15 a Sinal xt b Sinal xt atrasado em 1 segundo c Sinal xt adiantado em 1 segundo A função xt pode ser matematicamente descrita por 17 Seja xdt a representação da função xt atrasada deslocada para direita em 1 segundo como ilustrado na Fig 15b Esta função é xt 1 Sua descrição matemática pode ser obtida de xt substituindo t por t 1 na Eq 17 Logo 18 Seja xat a representação da função xt adiantada deslocada para esquerda em 1 segundo como mos trado na Fig 15c Esta função é xt 1 Sua descrição matemática pode ser obtida de xt substituindo t por t 1 na Eq 17 Logo 19 EXEMPLO 13 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 83 122 Escalamento Temporal A compressão ou expansão de um sinal no tempo é chamada de escalamento temporal Considere o sinal xt da Fig 16a O sinal φt da Fig 16b é xt comprimido no tempo por um fator de 2 Portanto o que acontecer com xt em algum instante t também acontecerá com φt no instante t2 logo 110 e 111 Observe que como xt 0 para t T1 e T2 temos que ter φt 0 para t T12 e T22 como mostrado na Fig 16b Se xt for gravado em uma fita e reproduzido com o dobro da velocidade de gravação iremos obter x2t Em geral se xt for comprimido no tempo por um fator a a 1 o sinal resultante φt é dado por 112 Usando um argumento similar podemos mostrar que quando xt é expandido desacelerado no tempo por um fator a a 1 temos 113 A Fig 16c mostra xt2 o qual é xt expandido no tempo por um fator de 2 Observe que na operação de es calamento no tempo a origem t 0 é um ponto fixo o qual permanece sem alteração para uma operação de es calamento pois para t 0 xt xat 0 EXERCÍCIO E14 Escreva a descrição matemática do sinal x3t da Fig 13c Este sinal é atrasado em 2 segundos Trace o sinal atrasado Mostre que este sinal atrasado xdt pode ser descrito matematicamente por xdt 2t 2 para 2 t 3 e igual a ze ro caso contrário Repita agora o procedimento com o sinal adiantado deslocado para a esquerda em 1 segundo Mos tre que este sinal adiantado xat pode ser descrito por xat 2t 1 para 1 t 0 e igual a zero caso contrário Figura 16 Escalamento temporal de um sinal Em resumo para escalonarmos no tempo um sinal por um fator a substituímos t por at Se a 1 o resulta do de escalamento é uma compressão e se a 1 o resultado do escalamento é uma expansão A Fig 17a mostra um sinal xt Trace e descreva matematicamente este sinal comprimido no tempo por um fator 3 Repita o problema para o mesmo sinal expandido no tempo por um fator 2 Figura 17 a Sinal xt b Sinal x3t e c sinal xt2 O sinal xt pode ser descrito por 114 A Fig 17b mostra xct o qual é xt comprimido no tempo por um fator 3 Conseqüentemente ele pode ser descrito matematicamente por x3t o qual é obtido substituindo t por 3t no lado direito da Eq 114 Logo 115a 84 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 14 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 85 123 Reversão Temporal Considere o sinal xt da Fig 18a Podemos ver xt como uma forma rígida presa ao eixo vertical Na reversão temporal de xt rotacionamos esta forma em 180º com relação ao eixo vertical Essa reversão temporal a re flexão de xt com relação ao eixo vertical nos fornece o sinal φt Fig 18b Observe que o que acontecer na Fig 18a em algum instante t também acontecerá na Fig 18b no instante t e viceversa Portanto 116 Observe que os instantes t 15 e 3 em xt correspondem aos instantes t 05 e 1 no sinal compri mido x3t A Fig 17c mostra xet o qual é xt expandido no tempo por um fator 2 Conseqüentemente ele pode ser descrito matematicamente por xt2 o qual é obtido substituindo t por t2 em xt 115b Observe que os instantes t 15 e 3 em xt correspondem aos instantes t 3 e 6 no sinal expandido xt2 EXERCÍCIO E15 Mostre que a compressão temporal por um fator n n 1 de uma senóide resulta em uma senóide com mesma amplitude e fase mas com uma freqüência aumentada n vezes Similarmente a expansão no tempo por um fator n n 1 de uma senóide resulta em uma senóide com mesma amplitude e fase mas com freqüência reduzida por um fator n Verifique sua conclusão traçando a senóide sen2t e a mesma senóide comprimida por um fator 3 e ex pandida por um fator 2 Figura 18 Reversão temporal de um sinal 86 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Logo para reverter no tempo um sinal substituímos t por t e o sinal revertido xt resultará no sinal xt Devemos lembrar que a reversão é realizada com relação ao eixo vertical o qual funciona como uma âncora ou eixo de referência Lembrese também que a reversão de xt com relação ao eixo horizontal re sulta em xt Para o sinal xt mostrado na Fig 19a trace xt o qual é a reversão temporal de xt Figura 19 Exemplo de reversão temporal Os instantes 1 e 5 em xt são mapeados nos instantes 1 e 5 em xt Como xt e t2 temos xt e t2 O sinal xt é mostrado na Fig 19b Podemos descrever xt e xt por e a versão revertida no tempo de xt é obtida substituindo t por t em xt logo EXEMPLO 15 124 Operações Combinadas Certas operações complexas necessitam do uso simultâneo de mais de uma das operações descritas A operação mais geral envolvendo todas as três operações é xat b a qual é realizada em duas possíveis seqüências de operação 1 Deslocamento temporal de xt por b para obter xt b Realize agora o escalamento temporal do si nal deslocando xt b por a isto é substitua t por at para obter xat b 2 Escalamento temporal de xt por a para obter xat Realize agora o deslocamento temporal de xat por ba isto é substitua t por t ba para obter xat ba xat b Em qualquer um dos casos se a for negativo o escalamento no tempo também envolve uma reversão temporal Por exemplo o sinal x2t 6 pode ser obtido de duas formas Podemos atrasar xt por 6 para obter xt 6 e então comprimir no tempo este sinal por um fator de 2 substitua t por 2t para obter x2t 6 Alternativa mente podemos primeiro comprimir xt por um fator 2 para obter x2t e então atrasar este sinal por 3 subs tituindo t por t 3 para obter x2t 6 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 87 13 CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS Existem diversas classes de sinais Consideraremos aqui apenas as seguintes classes as quais são adequadas pa ra o escopo deste livro 1 Sinais contínuos e discretos no tempo 2 Sinais analógicos e digitais 3 Sinais periódicos e não periódicos 4 Sinais de energia e potência 5 Sinais determinísticos e probabilísticos 131 Sinais Contínuos e Discretos no Tempo Um sinal que é especificado para valores contínuos de tempo t Fig 110a é um sinal contínuo no tempo e um sinal especificado apenas para valores discretos de t Fig 110b é um sinal discreto no tempo A saída de um te lefone ou câmera de vídeo é um sinal contínuo no tempo enquanto que o produto interno bruto trimestral as vendas mensais de uma corporação e as médias diárias do mercado de ação são sinais discretos no tempo Figura 110 a Sinal contínuo no tempo e b sinal discreto no tempo 88 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 132 Sinais Analógicos e Digitais O conceito de tempo contínuo é geralmente confundido com o conceito de analógico Os dois conceitos são diferentes O mesmo é válido para os conceitos de tempo discreto e digital Um sinal cuja amplitude pode assumir qualquer valor em uma faixa contínua é um sinal contínuo Isto significa que a amplitude de um si nal analógico pode assumir infinitos valores Um sinal digital por outro lado é aquele cuja amplitude pode assumir apenas alguns números finitos de valores Sinais associados com um computador digital são digi tais porque eles podem assumir apenas dois valores sinais binários Um sinal digital cuja amplitude pode assumir M valores é um sinal Mário no qual o binário M 2 é um caso especial Os termos contínuo no tempo e discreto no tempo qualificam a natureza do sinal ao longo do eixo de tempo eixo horizontal Os termos analógico e digital por outro lado qualificam a natureza da amplitude do sinal eixo vertical A Fig 111 mostra exemplos de sinais de vários tipos Fica claro que um sinal analógico não é necessariamente um sinal contínuo no tempo e que um sinal digital não é necessariamente um sinal discreto no tempo A Fig 111c mostra um exemplo de um sinal analógico discreto no tempo Um sinal analógico pode ser converti do em um sinal digital conversão analógicodigital AD através da quantização arredondamento como será explicado na Seção 83 133 Sinais Periódicos e Não Periódicos Um sinal xt é dito periódico se para alguma constante positiva T0 117 O menor valor de T0 que satisfaz a condição de periodicidade da Eq 117 é o período fundamental de xt Os si nais das Figs 12b e 13e são sinais periódicos com períodos 2 e 1 respectivamente Um sinal é não periódico se ele não possuir um período Os sinais das Figs 12a 13a 13b 13c e 13d são todos não periódicos Pela definição um sinal periódico xt permanece não alterado quando deslocado no tempo por um período Por esta razão um sinal periódico deve começar em t se ele começar em algum instante de tempo fini to digamos t 0 o sinal deslocado no tempo xt T0 começaria em t T0 e xt T0 não seria o mesmo que xt Portanto um sinal periódico por definição deve começar em t e continuar para sempre como mos trado na Fig 112 Figura 111 Exemplos de sinais a analógico contínuo no tempo b digital contínuo no tempo c analó gico discreto no tempo e d digital discreto no tempo CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 89 Outra propriedade importante de um sinal periódico xt é que xt pode ser gerado pela extensão periódica de qualquer segmento de xt com duração T0 o período Como resultado podemos gerar xt de qualquer segmen to de xt contendo a duração de um período colocando a reprodução ao final do segmento e continuando desta for ma indefinidamente dos dois lados do segmento A Fig 113 mostra um sinal periódico xt com período T0 6 A porção sombreada da Fig 113a mostra um segmento de xt começando em t 1 e tendo a duração de um pe ríodo 6 segundos Esse segmento quando repetido indefinidamente nas duas direções resulta no sinal periódico xt A Fig 113b mostra outro segmento sombreado de xt com duração T0 começando em t 0 Novamente ve mos que este segmento quando repetido indefinidamente nos dois sentidos resulta em xt O leitor pode verifi car que esta construção é possível com qualquer segmento de xt começando em qualquer instante de tempo des de que a duração do segmento seja de um período Uma propriedade útil adicional de um sinal periódico xt com período T0 é que a área abaixo de xt em qual quer intervalo de duração T0 é sempre a mesma Ou seja para quaisquer números reais a e b 118 Esse resultado vem do fato de que um sinal periódico assume os mesmos valores em intervalos de T0 Logo os valores em qualquer segmento de duração T0 são repetidos em qualquer outro intervalo de mesma duração Por conveniência a área abaixo de xt em qualquer intervalo de duração T0 será representada por É útil identificar sinais que começam em t e continuam para sempre como sinais de duração infinita Portanto um sinal de duração infinita existe em todo o intervalo t Os sinais das Figs 11b e 12b são exemplos de sinais de duração infinita Claramente um sinal periódico por definição é um sinal de dura ção infinita Figura 112 Um sinal periódico com período T0 Figura 113 Geração de um sinal periódico através da extensão periódica de seu segmento com um período de duração 90 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Um sinal que não começar antes de t 0 é um sinal causal Em outras palavras xt é um sinal causal se 119 Os sinais da Fig 13a13c são sinais causais Um sinal que começar antes de t 0 é um sinal nãocausal Todos os sinais da Fig 11 e 12 são nãocausais Observe que um sinal de duração infinita é sempre não causal mas um sinal não causal não é necessariamente de duração infinita O sinal de duração infinita da Fig 12b é não causal entretanto o sinal não causal da Fig 12a não é de duração infinita Um sinal que é zero para todo t 0 é chamado de sinal anticausal Comentários Um sinal de duração infinita verdadeiro não pode ser gerado na prática por razões óbvias Por que devemos então nos preocupar em estudar tal sinal Nos últimos capítulos veremos que certos sinais por exemplo um impulso e uma senóide de duração infinita que não podem ser gerados na prática realmente são muito úteis no estudo de sinais e sistemas 134 Sinais de Energia e Potência Um sinal com energia finita é um sinal de energia e um sinal com potência não nula finita é um sinal de potên cia Os sinais das Figs 12a e 12b são exemplos de sinais de energia e potência respectivamente Observe que a potência é a média temporal da energia Como a média é calculada em um intervalo infinitamente grande um sinal com energia finita possui potência nula e um sinal com potência finita possui energia infinita Portanto um sinal não pode ser tanto de energia quanto de potência Se ele for de um tipo ele não pode ser do outro Por ou tro lado existem sinais que não são nem de energia nem de potência O sinal em rampa é um desses casos Comentários Todos os sinais práticos possuem energia finita e portanto são sinais de energia Um sinal de potência deve necessariamente ter duração infinita caso contrário sua potência a qual é sua energia média em um intervalo de tempo infinitamente grande não atingirá um limite não nulo Claramente é impossível gerar um sinal puramente de potência na prática pois tal sinal teria duração infinita e uma energia infinita Além disso devido à repetição periódica sinais periódicos nos quais a área sob xt 2 em um período é fini ta são sinais de potência Entretanto nem todos os sinais de potência são periódicos 135 Sinais Determinísticos e Aleatórios Um sinal cuja descrição física é completamente conhecida seja na forma matemática ou na forma gráfica é um sinal determinístico Um sinal cujos valores não podem ser preditos precisamente mas são conhecidos apenas em termos de uma descrição probabilística tal como o valor médio ou valor médio quadrático são sinais alea tórios Neste livro trabalharemos exclusivamente com sinais determinísticos Os sinais aleatórios estão além do escopo deste estudo 14 ALGUNS MODELOS ÚTEIS DE SINAIS Na área de sinais e sistemas as funções degrau impulso e exponencial possuem um papel muito importante Elas não apenas servem como a base para a representação de outros sinais mas também podem ser utilizadas para simplificar vários aspectos de sinais e sistemas 141 Função Degrau Unitário ut Em várias de nossas discussões os sinais começam em t 0 sinais causais Tais sinais podem ser convenien temente descritos em termos da função degrau unitário ut mostrada na Fig 114a Esta função é definida por 120 EXERCÍCIO E16 Mostre que a exponencial de duração infinita e at não é nem um sinal de energia nem de potência para qualquer valor real de a Entretanto se a for imaginário ela é um sinal de potência por potência Px 1 independente do valor de a CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 91 Se quisermos um sinal que comece em t 0 de tal forma que ele possua valor nulo para t 0 precisamos apenas multiplicar o sinal por ut Por exemplo o sinal e at representa uma exponencial com duração infinita que começa em t A forma causal desta exponencial Fig 114b pode ser descrita como e atut A função degrau unitário também é muito útil para especificar uma função com diferentes descrições ma temáticas em diferentes intervalos Exemplos de tais funções são mostradas na Fig 17 Essas funções pos suem diferentes descrições matemáticas em diferentes segmentos de tempo como visto nas Eqs 114 115a e 115b Tais descrições geralmente são trabalhosas e inconvenientes de serem matematicamente trabalhadas Podemos utilizar a função degrau unitário para descrever tais funções por uma única expressão válida para todo t Considere por exemplo o pulso retangular mostrado na Fig 115a Podemos descrever este pulso em termos de funções degrau observando que o pulso xt pode ser descrito como a soma de dois degraus unitários atrasa dos como mostrado na Fig 115b A função degrau unitário ut atrasada em T segundos é ut T A partir da Fig 115b é fácil ver que 142 A Função Impulso Unitário δ t A função impulso unitário δt é uma das mais importantes funções no estudo de sinais e sistemas Esta função foi inicialmente definida por P A M Dirac por 121 Figura 114 a Função degrau unitário ut b Exponencial e atut Figura 115 Representação de um pulso retangular através de funções degrau unitário Descreva o sinal da Fig 116a Figura 116 Representação de um sinal definido intervalo por intervalo O sinal ilustrado na Fig 116a pode ser convenientemente trabalhado separandoo em duas componentes x1t e x2t mostradas na Fig 116b e 116c respectivamente Desta forma x1t pode ser obtido pela multi plicação da rampa t pelo pulso ut ut 2 como mostrado na Fig 116b Logo O sinal x2t pode ser obtido pela multiplicação de outra rampa pelo pulso ilustrado na Fig 116c Esta rampa possui inclinação 2 logo ela pode ser descrita por 2t c Agora como a rampa possui valor ze ro para t 3 então c 6 e a rampa pode ser descrita por 2t 3 Além disso o pulso da Fig 116c é ut 2 ut 3 Portanto e EXEMPLO 16 92 SINAIS E SISTEMAS LINEARES CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 93 Podemos visualizar um impulso como um pulso retangular alto e estreito com área unitária como ilustrado na Fig 119b A largura deste pulso retangular é um valor muito pequeno ϵ 0 Conseqüentemente sua altura é um valor muito grande 1ϵ O impulso unitário pode portanto ser imaginado como um pulso retangu lar com largura infinitamente pequena e altura infinitamente grande e com uma área total que é mantida igual a um Portanto δ t 0 em todo tempo menos para t 0 onde ele é indefinido Por esta razão um impulso uni tário é representado pela seta da Fig 19a Descreva o sinal da Fig 17a através de uma única expressão válida para todo t Considerando o intervalo de 15 a 0 o sinal pode ser descrito pela constante 2 e para o intervalo de 0 a 3 ele pode ser descrito por 2e t2 Logo Compare esta expressão com a expressão para a mesma função encontrada na Eq 114 EXEMPLO 17 EXERCÍCIO E17 Mostre que os sinais apresentados na Fig 117a e 117b podem ser descritos como ut e e atut respecti vamente Figura 117 EXERCÍCIO E18 Mostre que o sinal da Fig 118 pode ser descrito por Figura 118 94 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Outros pulsos tais como o exponencial triangular ou Gaussiano também podem ser utilizados como uma aproximação do impulso A característica importante da função impulso unitário não é sua forma mas o fato de que sua duração efetiva largura do pulso tende para zero enquanto que a sua área permanece unitária Por exemplo o pulso exponencial αe αtut da Fig 120a se torna alto e estreito quando α aumenta No limite de α a altura do pulso e sua largura ou duração 0 Ainda assim a área debaixo do pulso é unitária in dependente do valor assumido para α pois 122 Os pulsos da Fig 120b e 120c possuem um comportamento similar Obviamente a função impulso exata não pode ser gerada na prática ela pode apenas ser aproximada A partir da Eq 121 temos que kδt 0 para todo t 0 e sua área é k Portanto kδt é uma função impul so cuja área é k ao contrário da função impulso unitário cuja área é 1 MULTIPLICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO POR UM IMPULSO Vamos considerar o que acontece quando multiplicamos o impulso unitário δt por uma função φt que sabe mos ser contínua para t 0 Como o impulso possui valor não nulo apenas para t 0 e o valor φt para t 0 é φ0 obtemos 123a Portanto a multiplicação de uma função contínua no tempo φt pelo impulso unitário localizado em t 0 resulta em um impulso o qual é localizado em t 0 e possui força φ0 o valor de φt na localização do im pulso O uso do mesmo argumento resulta na generalização deste resultado afirmando que dada φt contínua em t T φt multiplicado por um impulso δt T impulso localizado em t T resulta em um impulso lo calizado em t T e com força φT o valor de φt na localização do impulso 123b PROPRIEDADE DE AMOSTRAGEM DA FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO A partir da Eq 123a temos que 124a desde que φt seja contínua para t 0 Este resultado significa que a área sob o produto de uma função com o impulso δt é igual ao valor da função no instante no qual o impulso é localizado Esta propriedade é muito im portante e útil sendo conhecida como propriedade de amostragem do impulso unitário Utilizando a Eq 123b temos que 124b Figura 119 Um impulso unitário e sua aproximação CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 95 A Eq 124b é outra forma da propriedade de amostragem No caso da Eq 124b o impulso δt T está localizado em t T Portanto a área sob φtδt T é φT o valor de φt no instante no qual o impulso está localizado para t T Na obtenção dessa equação consideramos que a função é contínua no instante de loca lização do impulso IMPULSO UNITÁRIO COMO FUNÇÃO GENERALIZADA A definição da função impulso unitário dada pela Eq 121 não é matematicamente rigorosa a qual resulta em sé rias dificuldades Inicialmente a função impulso não define uma única função por exemplo pode ser mostrado que δt δt também satisfaz a Eq 121 1 Além disso δt não é nem mesmo uma função verdadeira no sentido or dinário Uma função ordinária é especificada por seus valores para todo o tempo t A função impulso é zero em to do tempo exceto t 0 e mesmo na única parte interessante de sua faixa ela é indefinida Estas dificuldades são re solvidas pela definição do impulso como uma função generalizada no lugar de uma função ordinária Uma função generalizada é definida por seu efeito em outras funções em vez de seus valores em todo instante de tempo Nessa abordagem a função impulso é definida pela propriedade da amostragem Eqs 124 Desta forma não dizemos nada sobre o que é a função impulso ou como ela se parece Em vez disso a função impulso é de finida em termos de seu efeito em uma função de teste φt Definimos o impulso unitário como uma função na qual a área sob o seu produto com a função φt é igual ao valor da função φt no instante no qual o impulso es tá localizado Assumese que φt é contínua na localização do impulso Portanto tanto a Eq 124a quanto a Eq 124b servem como definição da função impulso nesta abordagem Lembrese de que a propriedade de amostragem Eqs 124 é conseqüência da definição clássica Dirac do impulso da Eq 121 Em contraste a propriedade de amostragem eqs124 define a função impulso na abordagem de função generalizada Agora apresentaremos uma aplicação interessante da definição de função generalizada de um impulso Co mo a função degrau unitário ut é descontínua para t 0 sua derivada dudt não existe para t 0 no sentido or dinário Mostraremos agora que sua derivada existe no sentido generalizado e vale de fato δt Como prova vamos calcular a integral de dudtφt usando integração por partes 125 126 Esse resultado mostra que dudt satisfaz a propriedade de amostragem de δt Portanto ele é um impulso δt no sentido generalizado ou seja 127 Conseqüentemente 128 Figura 120 Outras possíveis aproximações do impulso unitário 96 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esses resultados também podem ser obtidos graficamente a partir da Fig 119b Observe que a área de a t sob o limite imposto por δt da Fig 119b é zero se t ϵ2 e unitário se t ϵ2 com ϵ 0 Conse qüentemente 129 Esse resultado mostra que a função degrau unitário pode ser obtida integrando a função impulso unitário Si milarmente a função rampa unitária xt tut pode ser obtida integrando a função degrau unitário Podemos continuar com a função parábola unitária t 22 obtida pela integração da rampa unitária e assim por diante Por outro lado temos as derivadas da função impulso que podem ser definidas como funções generalizadas veja o Problema 149 Todas essas funções derivadas da função impulso unitário sucessivas diferenciais e integrais são chamadas de funções de singularidade 143 Função Exponencial e st Outra importante função na área de sinais e sistemas é o sinal exponencial e st onde s é geralmente um número complexo dado por Logo 130a Funções de singularidade foram definidas pelo Prof S J Mason como mostrado a seguir Uma singularidade é um ponto no qual uma função não possui derivada Cada uma das funções de singularidade se não for a própria função então a função diferenciada um nú mero finito de vezes possui um ponto singular na origem sendo nula em todas as demais posições 2 EXERCÍCIO E19 Mostre que EXERCÍCIO E110 Mostre que CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 97 Como s σ jω o conjugado de s então 130b e 130c Comparando esta equação com a Fórmula de Euler vemos que e st é a generalização da função e jω t na qual a variável de freqüência jω é generalizada para a variável complexa s σ jω Por esta razão iremos chamar a variável s de freqüência complexa A partir das Eqs 130 temos que a função e st engloba uma grande classe de funções As seguintes funções são um caso especial ou podem ser descritas em termos de e st 1 Uma constante k ke 0t s 0 2 Uma exponencial monotônica e σt ω 0 s σ 3 Uma senóide cos ωt σ 0 s jω 4 Uma senóide variando exponencialmente e σtcos ωt s σ jω Essas funções estão mostradas na Fig 121 A freqüência complexa s pode ser representada convenientemente em uma plano de freqüência complexa pla no s como mostrado na Fig 122 O eixo horizontal é o eixo real eixo σ e o eixo vertical é o eixo imaginário eixo jω O valor absoluto da parte imaginária de s é ω a freqüência angular a qual indica a freqüência de os cilação de e st A parte real σ freqüência neperiana possui informação sobre a taxa de crescimento ou decresci mento decaimento da amplitude de e st Para sinais cuja freqüência complexa está no eixo real eixo σ no qual ω 0 a freqüência de oscilação é zero Conseqüentemente esses sinais são exponenciais monotonicamente cres centes ou decrescentes Fig 121a Para sinais cuja freqüência está no eixo imaginário eixo jω com σ 0 e σt 1 Portanto esses sinais são senóides convencionais com amplitude constantes Fig 121b O caso s 0 ω σ 0 corresponde a um sinal constante CC pois e 0t 1 Para os sinais ilustrados na Fig 121c e 121d tanto σ quanto ω são não nulos e a freqüência s é complexa e não está sobre nenhum eixo O sinal da Fig 121c decai ex ponencialmente Portanto σ é negativo e s está a esquerda do eixo imaginário Em contrapartida o sinal da Fig 121d cresce exponencialmente logo σ é positivo e s está no lado direito do eixo imaginário Portanto o plano s Fig 122 pode ser separado em duas partes o semiplano esquerdo SPE correspondendo a sinais exponen cialmente decrescentes e o semiplano direito SPD correspondendo a sinais exponencialmente crescentes O eixo imaginário divide as duas regiões e corresponde a sinais de amplitude constante Figura 121 Senóides de freqüência complexa s σ jω 98 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Uma senóide exponencialmente crescente e 2t cos 5t por exemplo pode ser descrita como uma combinação linear das exponenciais e 2 j5t e e 2 j5t com freqüências complexas 2 j5 e 2 j5 respectivamente as quais estão no SPD A senóide exponencialmente decrescente e 2t cos 5t pode ser descrita pela combinação linear das exponenciais e 2 j5t e e 2 j5t com freqüências complexas 2 j5 e 2 j5 respectivamente as quais estão no SPE A senóide com amplitude constante cos 5t pode ser expressa como a combinação linear das exponen ciais e j5t e e j5t com freqüências complexas j5 as quais estão sobre o eixo imaginário Observe que exponen ciais monotônicas e 2t também são senóides generalizadas com freqüências complexas 2 15 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES Uma função real xet é dita ser uma função par de t se 131 e uma função real xot é dita ser uma função ímpar de t se 132 Uma função par possui o mesmo valor para os instantes t e t para todos os valores de t Claramente xet é simétrico com relação ao eixo vertical como mostrado na Fig 123a Por outro lado o valor de uma função ím par no instante t é o negativo de seu valor no instante t Portanto xot é antisimétrico com relação ao eixo ver tical como ilustrado na Fig 123b 151 Algumas Propriedades de Funções Pares e Ímpares As funções pares e ímpares possuem as seguintes propriedades função par função ímpar função ímpar função ímpar função ímpar função par função par função par função par Figura 122 Plano da freqüência complexa Um sinal complexo xt é dito ser conjugado simétrico se xt xt Um sinal conjugado simétrico real é um sinal par Um sinal é conjugado antisimétrico se xt xt Um sinal conjugado antisimétrico real é um sinal ímpar CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 99 As provas são triviais e seguem diretamente da definição de funções ímpares e pares Eqs 131 e 132 ÁREA Como xet é simétrica com relação ao eixo vertical a partir da Fig 123a temos 133a Também é claro a partir da Fig 123b que 133b Esses resultados são válidos se considerarmos que não existe um impulso ou suas derivadas na origem A prova destas afirmativas é óbvia a partir dos gráficos das funções par e ímpar A prova formal deixada como um exercício para o leitor pode ser obtida usando as definições das Eqs 131 e 132 Em função de suas propriedades o estudo de funções ímpares e pares se mostra útil em diversas aplicações como será evidente nos capítulos seguintes 152 Componentes Pares e Ímpares de um Sinal Todo sinal xt pode ser descrito como a soma de componentes pares e ímpares pois 134 A partir das definições das Eqs 131 e 132 podemos ver claramente que a primeira componente do lado direito é uma função par enquanto que a segunda componente é ímpar Isso é evidente pois a substituição de t por t na primeira componente resulta na mesma função O mesmo artifício na segunda componente resulta no negativo da componente Considere a função Escrevendo essa função como a soma de componentes pares e ímpares xet e xot obtemos Figura 123 Funções de t a função par e b função ímpar 100 SINAIS E SISTEMAS LINEARES onde a partir da Eq 134 135a e 135b A função e atut e suas componentes pares e ímpares são mostradas na Fig 124 Figura 124 Determinação das componentes pares e ímpares de um sinal Determine as componentes pares e ímpares de e jt A partir da Eq 134 onde e EXEMPLO 18 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 101 16 SISTEMAS Como mencionado na Seção 11 sistemas são utilizados para processar sinais para permitir modificação ou ex tração de informação adicional dos sinais Um sistema pode ser constituído por componentes físicos implemen tação em hardware ou pode ser um algoritmo que calcula o sinal de saída a partir de um sinal de entrada im plementação em software Falando genericamente um sistema físico é constituído por componentes interconectados os quais são ca racterizados por sua relação terminal entradasaída Além disso o sistema é governado pelas leis de intercone xão Por exemplo em sistemas elétricos as relações terminais são as relações tensãocorrente que conhecemos para resistores capacitores indutores transformadores transistores e assim por diante além das leis de interco nexão por exemplo leis de Kirchhoff Usando estas leis podemos determinar equações matemáticas relacio nando as saídas às entradas Estas equações então representam o modelo matemático do sistema Um sistema pode ser convenientemente ilustrado por uma caixa preta como um conjunto de terminais acessíveis nos quais as variáveis de entrada x1t x2t xjt são aplicadas e outro conjunto de terminais aces síveis nos quais as variáveis de saída y1t y2t ykt são observadas Fig 125 O estudo de sistemas consiste em três grandes áreas modelagem matemática análise e projeto Apesar de es tarmos trabalhando com modelagem matemática nosso objetivo principal está na análise e projeto A maior par te deste livro é dedicada ao problema de análise como determinar as saídas do sistema para dadas entradas dado o modelo matemático do sistema ou regras que governam o sistema Em uma proporção menor também iremos considerar o problema de projeto ou síntese como construir um sistema que irá produzir um determi nado conjunto de saídas de dadas entradas DADOS NECESSÁRIOS PARA DETERMINAR A RESPOSTA DO SISTEMA Para compreender quais dados são necessários para calcular a resposta de um sistema considere um circuito RC simples com uma fonte de corrente xt como entrada Fig 126 A tensão de saída yt é dada por 136a Os limites de integração do lado direito são de a t pois essa integral representa a carga do capacitor de vido ao fluxo da corrente xt no capacitor e sua carga é o resultado da corrente fluindo no capacitor desse Dessa forma a Eq 136a pode ser escrita como 136b O termo médio do lado direito é vc0 a tensão do capacitor para t 0 Portanto 136c Figura 125 Representação de um sistema 102 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Essa equação pode ser facilmente generalizada para 136d A partir da Eq 136a a tensão de saída yt no instante t pode ser calculada se soubermos a corrente de en trada fluindo no capacitor durante todo o seu passado a t Alternativamente se soubermos a corrente de entrada xt em algum momento t0 então ainda podemos calcular yt para t t0 a partir do conhecimento da cor rente de entrada desde que saibamos vct0 a tensão inicial do capacitor tensão em t0 Portanto vct0 contém toda informação relevante sobre todo o passado do circuito a t0 que precisamos para calcular yt para t t0 Dessa forma a resposta do sistema para t t0 pode ser determinada de sua entradas durante o intervalo pa ra t0 a t e de certas condições iniciais em t t0 No exemplo anterior precisamos de apenas uma condição inicial Entretanto em sistemas mais complexos várias condições iniciais podem ser necessárias Sabemos por exemplo que em circuitos RLC passivos os va lores iniciais de todas as correntes nos indutores e todas as tensões nos capacitores são necessárias para deter minar a saída em qualquer instante t 0 se as entradas forem fornecidas no intervalo 0 t 17 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS Os sistemas podem ser classificados genericamente nas seguintes categorias 1 Sistemas lineares e não lineares 2 Sistemas com parâmetros constantes ou com parâmetros variando no tempo 3 Sistemas instantâneos sem memória ou dinâmicos com memória 4 Sistemas causais ou não causais 5 Sistemas contínuos ou discretos no tempo 6 Sistemas analógicos ou digitais 7 Sistemas inversíveis ou não inversíveis 8 Sistemas estáveis ou instáveis Outras classificações tais como sistemas determinísticos e probabilísticos estão além do escopo deste livro e não serão consideradas 171 Sistemas Lineares e Não Lineares CONCEITO DE LINEARIDADE Um sistema cuja saída seja proporcional a sua entrada é um exemplo de um sistema linear Mas a linearidade impli ca em mais do que isto ela também implica a propriedade aditiva Ou seja se várias entradas estão atuando em um Figura 126 Exemplo de um sistema elétrico simples Falando estritamente isso implica correntes de indutores independentes e tensões de capacitores independentes CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 103 sistema então o efeito total no sistema devido a todas estas entradas pode ser determinado considerando uma entra da por vez e assumindo todas as outras entradas iguais a zero O efeito total é então a soma de todas as componen tes de efeito Esta propriedade pode ser descrita por para um sistema linear se uma entrada x1 está atuando sozinha e possui efeito y1 e se outra entrada x2 também atua sozinha e possui efeito y2 então quando as duas entradas esti verem atuando no sistema o efeito total será y1 y2 Portanto se 137 então para todo x1 e x2 138 Além disso um sistema linear deve satisfazer a propriedade de homogeneidade ou escalamento a qual afir ma que para uma número real ou imaginário arbitrário k se uma entrada aumentar k vezes seu efeito também aumentará k vezes Portanto se então para todo k real ou imaginário 139 Logo a linearidade implica duas propriedades homogeneidade escalamento e aditividade As duas pro priedades podem ser combinadas em uma única propriedade superposição a qual é descrita como mostrado a seguir Se então para todos os valores de constantes k1 e k2 140 Essa equação é válida para todo x1 e x2 Pode parecer que a aditividade implica a homogeneidade Infelizmente a homogeneidade nem sempre é con seqüência da aditividade O Exercício E111 demonstrará este caso RESPOSTA DE UM SISTEMA LINEAR Por questões de simplicidade iremos discutir apenas sistemas SISO singleinput singleoutput Mas a dis cussão pode ser facilmente estendida para sistemas MIMO multipleinput multipleoutput A saída de um sistema para t 0 é o resultado de duas causas independentes a condição inicial do sistema ou o estado do sistema para t 0 e a entrada xt para t 0 Se um sistema é linear a saída deve ser a soma das suas componentes resultantes destas duas causas primeiro a componente de reposta a entrada nula que resul ta somente das condições iniciais para t 0 com a entrada xt 0 para t 0 e então a componente de respos ta a estado nulo que resulta apenas da entrada xt para t 0 quando as condições iniciais para t 0 são con sideradas iguais a zero Quando todas as condições iniciais apropriadas são nulas o sistema é dito estar em es tado nulo A saída do sistema é nula quando a entrada é nula somente se o sistema estiver no estado nulo Um sistema linear também deve satisfazer a condição adicional de suavidade onde pequenas alterações nas entradas do sistema resul tam em pequenas alterações em suas saídas 3 N de T Única entrada única saída Apesar de haver uma tradução para o termo encontrase mais freqüentemente na literatura o ter mo em inglês o qual será adotado neste livro N de T Várias entradas várias saídas Apesar de haver uma tradução para o termo encontrase mais freqüentemente na literatura o termo em inglês o qual será adotado neste livro EXERCÍCIO E111 Mostre que um sistema com entrada xt e saída yt relacionadas por yt Rext satisfaz a propriedade de aditividade mas viola a propriedade de homogeneidade Logo tal sistema é não linear Dica Mostre que a Eq 139 não é satisfeita quando k é complexo Mostre que o sistema descrito pela equação 143 é linear Seja a resposta do sistema às entradas x1t e x2t y1t e y2t respectivamente Então e multiplicando a primeira equação por k1 a segunda por k2 e somando os resultados teremos 104 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Em resumo a resposta de um sistema linear pode ser expressa como a soma das componentes de entrada nu la e estado nulo resposta total resposta entrada nula resposta estado nulo 141 Essa propriedade de sistemas lineares a qual permite a separação de uma saída em componentes resultantes das condições iniciais e da entrada é chamada de propriedade de decomposição Para o circuito RC da Fig 126 a resposta yt foi determinada como sendo veja Eq 136c 142 A partir da Eq 142 fica claro que se a entrada xt 0 para t 0 a saída será yt vc0 Logo vc0 é a componente de entrada nula da resposta yt Similarmente se o estado do sistema a tensão vc neste caso for zero para t 0 a saída é dada pela segunda componente do lado direito da Eq 142 Claramente esta é a com ponente de estado nulo da resposta yt Além da propriedade de decomposição a linearidade implica que tanto a componente de entrada nula quan to estado nulo devem obedecer o princípio da superposição com relação a cada uma das respectivas causas Por exemplo se aumentarmos a condição inicial k vezes a componente de entrada nula deve aumentar também k ve zes Similarmente se aumentarmos a entrada k vezes a componente de estado nulo deve aumentar também k ve zes Esses fatos são facilmente verificados a partir da Eq 142 para o circuito RC da Fig 126 Por exemplo se dobrarmos a condição inicial vc0 a componente de entrada nula também dobra Se dobrarmos a entrada xt a componente de estado nulo também dobrará EXEMPLO 19 Equações tais como 143 e 144 são consideradas para representar sistemas lineares na definição clássica de linearidade Alguns au tores consideram tais equações para representar sistemas incrementalmente lineares De acordo com esta definição um sistema linear possui apenas a componente de estado nulo A componente de entrada nula é ausente Logo a resposta de um sistema incrementalmen te linear pode ser representada como a resposta de um sistema linear linear nesta nova definição mais a componente de entrada nula Preferimos a definição clássica a esta nova definição Isso é somente uma questão de definição e não afeta o resultado final CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 105 MAIS COMENTÁRIOS SOBRE SISTEMAS LINEARES Quase todos os sistemas observados na prática se tornam não lineares quando sinais grandes o suficiente são aplicados a eles Entretanto é possível aproximar a maioria dos sistemas não lineares por sistemas lineares para análises de pequenos sinais A análise de sistemas não lineares é geralmente difícil Não linearidades po dem aparecer de tantas formas que descrevêlas por uma forma matemática comum é praticamente impossí vel Cada sistema é não apenas uma categoria ele mesmo mas mesmo para um dado sistema mudanças nas condições iniciais ou nas amplitudes das entradas podem alterar a natureza do problema Por outro lado a propriedade de superposição de sistemas lineares é um poderoso princípio unificador que permite uma solu ção geral A propriedade de superposição linearidade simplifica em muito a análise de sistemas lineares Devido à propriedade de decomposição podemos calcular separadamente as duas componentes da saída A componente de entrada nula pode ser calculada considerando a entrada igual a zero e a componente de esta do nulo pode ser calculada assumindo condições iniciais nulas Além disso se descrevermos a entrada xt pe la soma de funções mais simples mas essa é a equação do sistema Eq 143 com e Portanto quando a entrada é k1x1t k2x2t a resposta do sistema é k1y1t k2y2t Conseqüentemen te o sistema é linear Usando esse argumento podemos facilmente generalizar o resultado para mostrar que um sistema descrito por uma equação diferencial na forma 144 é um sistema linear Os coeficiente ai e bi desta equação são constantes ou funções do tempo Apesar de ter mos provado apenas linearidade de estado nulo pode ser mostrado que tais sistemas também são lineares para entrada nula e que possuem a propriedade da decomposição EXERCÍCIO E112 Mostre que o sistema descrito pela seguinte equação é linear EXERCÍCIO E113 Mostre que o sistema descrito pela seguinte equação não é linear 106 SINAIS E SISTEMAS LINEARES então pela linearidade a resposta yt é dada por 145 onde ykt é a resposta de estado nulo a entrada xkt Esta observação aparentemente trivial possui profundas im plicações Como veremos repetidamente nos próximos capítulos essa observação é extremamente útil e abrirá novos caminhos para a análise de sistemas lineares Por exemplo considere uma entrada arbitrária xt tal como a mostrada na Fig 127a Podemos aproximar xt pela soma de pulsos retangulares de largura δt e alturas variáveis A aproximação melhora quando δt 0 quan do os pulsos retangulares se tornam impulsos δt segundos separados um dos outros com δt 0 Portanto uma entrada arbitrária pode ser substituída pela soma ponderada de impulsos unitários espaçados δt δt 0 segun dos um dos outros Portanto se soubermos a resposta do sistema a um impulso unitário podemos determinar ime diatamente a resposta do sistema a uma entrada xt arbitrária através da soma das respostas do sistema a cada componente impulso de xt Uma situação similar é mostrada na Fig 127b na qual xt é aproximada pela so ma de funções degrau com amplitudes variando e espaçadas δt segundos uma da outra A aproximação melhora quando δt se torna menor Portanto se conhecermos a resposta do sistema a entrada em degrau unitário podemos calcular a resposta do sistema a qualquer entrada xt arbitrária com relativa facilidade A análise do domínio do tempo discutida no Capítulo 2 utiliza essa abordagem Os Capítulos 4 a 7 utilizarão a mesma abordagem mas utilizarão senóides ou exponenciais como componen tes de sinal básicas Mostraremos que qualquer sinal de entrada arbitrário pode ser descrito como a soma pon derada de senóides ou exponenciais com várias freqüências Portanto o conhecimento da resposta do sistema a uma senóide nos permite determinar a resposta do sistema a uma entrada xt arbitrária 172 Sistemas Invariantes e Variantes no Tempo Sistemas cujos parâmetros não são alterados com o tempo são invariantes no tempo também chamados de sis temas com parâmetros constantes Para tais sistemas se a entrada for atrasada por T segundos a saída é a mes ma anterior porém atrasada também por T segundos assumindo que as condições iniciais também sejam atra sadas T segundos Esta propriedade é mostrada graficamente na Fig 128 Também podemos ilustrar esta pro priedade como apresentado na Fig 129 Podemos atrasar a saída yt de um sistema S aplicando um atraso de T segundos à saída yt Fig 129a Se o sistema for invariante no tempo então a saída atrasada yt T pode ser obtida também atrasando primeiro a entrada xt antes de aplicála ao sistema como mostrado na Fig 129b Em outras palavras o sistema S e o atraso de tempo são comutativos se o sistema for invariante no tempo Essa característica não é válida para sistemas variantes no tempo Considere por exemplo o sistema variante no tem po especificado por yt e txt A saída desse sistema na Fig 129a é e t Txt T enquanto que a saída do sistema na Fig 129b é e txt T É possível verificar que o sistema da Fig 126 é invariante no tempo Circuitos compostos por elementos RLC e outros componentes ativos tais como transistores são sistemas invariantes no tempo Um sistema com uma relação de entradasaída descrita por uma equação diferencial linear na forma dada no Exemplo 19 Eq Neste caso a discussão de um pulso retangular se aproximando de um impulso quando δt 0 é de alguma forma imprecisa Ela será explicada na Seção 24 com mais rigor Figura 127 Representação de sinais em termos de componentes de impulso e degrau 144 é um sistema linear invariante no tempo LIT quando os coeficientes ai e bi são constantes Se estes coe ficientes forem funções do tempo então o sistema é um sistema linear variante no tempo O sistema descrito no Exercício E112 é linear variante no tempo Outro exemplo familiar de um sistema va riante no tempo é o microfone de carbono no qual a resistência R é uma função da pressão mecânica gerada pe las ondas sonoras nos grãos de carbono do microfone A corrente de saída do microfone é portanto modulada pelas ondas sonoras como desejado 173 Sistemas Instantâneos e Dinâmicos Como observado anteriormente a saída de um sistema em um instante t qualquer geralmente depende de todo o passado da entrada Entretanto em uma classe especial de sistemas a saída a qualquer instante t depende ape EXERCÍCIO E114 Mostre que um sistema descrito pela seguinte equação é um sistema com parâmetros variantes no tempo Dica mostre que o sistema falha ao satisfazer a propriedade de invariância no tempo CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 107 Figura 128 Propriedade de invariância no tempo Figura 129 Ilustração da propriedade de invariância no tempo Figura 130 Um sistema não causal e sua realização por um sistema causal atrasado 108 SINAIS E SISTEMAS LINEARES nas da entrada naquele instante Em circuitos resistivos por exemplo qualquer saída do circuito em qualquer instante de tempo t depende apenas da entrada no instante t Nestes sistemas a história passada é irrelevante na determinação da resposta Tais sistemas são chamados de sistemas instantâneos ou sem memória Mais precisa mente um sistema é dito instantâneo ou sem memória se sua saída a qualquer instante t depender no máximo da força de suas entradas no mesmo instante t e não de qualquer valor passado ou futuro das entradas Ca so contrário o sistema é chamado de dinâmico ou sistema com memória Um sistema cuja resposta em t é completamente determinada pelos sinais de entrada nos T segundos passados intervalo de t T a T é um sis tema de memória finita com uma memória de T segundos Circuitos contendo elementos indutivos e capacitivos geralmente possuem memória infinita porque a resposta de tais circuitos a qualquer instante t é determinada por todo o passado de suas entradas t Essa característica é válida para o circuito RC da Fig 126 Neste livro geralmente trabalharemos com sistemas dinâmicos Os sistemas instantâneos são um caso espe cial de sistemas dinâmicos 174 Sistemas Causal e Não Causal Um sistema causal também conhecido como físico ou não antecipativo é aquele no qual a saída em qualquer ins tante t0 depende apenas do valor da entrada xt para t t0 Em outras palavras o valor da saída no instante presen te depende apenas do valor presente e passado da entrada xt e não de seus valores futuros Para simplificar em um sistema causal a saída não pode começar antes da entrada ser aplicada Se a resposta começar antes da entra da significa que o sistema conhece a entrada no futuro e atua com base neste conhecimento antes da entrada ser aplicada Um sistema que viola a condição de causalidade é chamado de sistema não causal ou antecipativo Qualquer sistema prático que opera no tempo real deve necessariamente ser causal Ainda não sabemos como construir um sistema que possa responder a entradas futuras entradas que ainda não foram aplicadas Um sistema não causal é um sistema hipotético que conhece a entrada futura e atua nela no presente Portan to se aplicarmos uma entrada começando em t 0 a um sistema não causal a saída pode começar mesmo an tes de t 0 Por exemplo considere o sistema especificado por 146 Para a entrada xt mostrada na Fig 130a a saída yt calculada a partir da Eq 146 mostrada na Fig 130b começa antes mesmo da entrada ser aplicada A Eq 146 mostra que yt a saída em t é dada pela soma dos valores de entrada 2 segundos antes e 2 segundos após t para t 2 e t 2 respectivamente Mas se estivermos operando com um sistema no tempo real t não sabemos ainda qual será o valor da entrada 2 se Em operações de tempo real a resposta a uma entrada é essencialmente simultânea contemporânea com a entrada CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 109 gundos após t Portanto é impossível implementar este sistema em tempo real Por essa razão sistemas não causais não são realizáveis em tempo real POR QUE ESTUDAR SISTEMAS NÃO CAUSAIS A discussão anterior pode sugerir que sistemas não causais não possuem objetivos práticos Este não é o caso Eles são importantes no estudo de sistemas por diversas razões Primeiro sistemas não causais são realizáveis quando a variável independente for outra que não o tempo por exemplo o espaço Considere por exemplo uma carga elé trica de densidade qx colocada ao longo do eixo x para x 0 Esta densidade de carga produz um campo elétrico Ex que está presente em todo ponto do eixo x de x a Neste caso a entrada isto é a densidade de carga qx começa em x 0 mas sua saída o campo elétrico Ex começa antes de x 0 Claramente este sistema de carga espacial é não causal Esta discussão mostra que apenas sistemas temporais sistemas com o tempo como va riável independente devem ser causais para serem realizáveis Os termos antes e depois possuem uma conexão especial com a causalidade apenas quando a variável independente é o tempo Essa conexão é perdida para variáveis diferentes do tempo Sistemas não temporais como aqueles que aparecem em óptica podem ser não causais e mes mo assim realizáveis Além disso mesmo para sistemas temporais tais como os utilizados para o processamento de sinais o estudo de sistemas não causais é importante Em tais sistemas temos todos os dados de entrada gravados anteriormente Isso geralmente ocorre com sinas de fala geofísicos e meteorológicos e com sondas espaciais Em tais casos os valores futuros da entrada estão disponíveis para nosso uso Por exemplo suponha que tenhamos um conjunto de sinais de entrada gravados disponíveis para o sistema descrito pela Eq 146 Podemos calcular yt pois para qualquer t precisamos apenas utilizar a gravação para encontrar o valor de entrada 2 segundos antes e 2 segun dos após t Portanto um sistema não causal pode ser realizável apesar de não ser em tempo real Podemos por tanto ser capazes de implementar um sistema não causal desde que estejamos dispostos a aceitar um atraso de tempo na saída Considere um sistema cuja saída é a mesma que yt da Eq 146 atrasada por 2 segundos Fig 130c tal que Neste caso o valor da saída em qualquer instante t é a soma dos valores da entrada x em t e em 4 segundos anteriores para t 4 Neste caso a saída a qualquer instante t não depende de valores futuros da entrada e o sistema é causal A saída do sistema a qual é idêntica àquela da Eq 146 ou Fig 130b exceto pelo atraso de 2 segundos Portanto um sistema não causal pode ser implementado ou satisfatoriamente aproximado no tem po real usando um sistema causal com um atraso Sistemas não causais são realizáveis com um atraso de tempo Uma terceira razão para o estudo de sistemas não causais é que eles fornecem um limite superior para o de sempenho de sistemas causais Por exemplo se quisermos projetar um filtro para separar um sinal de ruído en tão o filtro ótimo é invariavelmente um sistema não causal Apesar de ele não poder ser implementado o de sempenho do sistema não causal funciona como um limite superior do que pode ser alcançado nos fornecendo um padrão para a comparação do desempenho de filtros causais Oh grande mago Me diga como estará o mercado de ações daqui a um ano Eu preciso de algum tempo para adivinhar Quanto tempo você precisa Um ano 110 SINAIS E SISTEMAS LINEARES À primeira vista sistemas não causais podem parecer difíceis de serem entendidos Mas de fato não existe nada de misterioso sobre esses sistemas ou sobre suas implementações aproximadas através de sistemas físicos com atraso Se quisermos saber o que acontecerá daqui a um ano temos duas escolhas ir a um profeta uma pes soa não realizável que nos dirá as respostas instantaneamente ou ir a um sábio e permitir a ele um atraso de um ano para nos dar as respostas Se o sábio for realmente sábio ele pode ser capaz estudando tendências de apro ximar o futuro com uma certa tolerância com um atraso menor do que um ano Esse é o caso com sistemas não causais nada mais nada menos 175 Sistemas em Tempo Contínuo e em Tempo Discreto Sinais definidos ou especificados em uma faixa de valores contínua de tempo são sinais contínuos no tempo re presentados pelos símbolos xt yt e assim por diante sistemas cujas entradas e saídas são sinais contínuos no tempo são sistemas em tempo contínuo Por outro lado sinais definidos apenas em instantes discretos de tempo t0 t1 t2 tn são sinais discretos no tempo representados pelos símbolos xtn ytn e assim por diante onde n é algum inteiro Sistemas cujas entradas e saídas são sinais discretos no tempo são sistemas em tempo discre to ou sistemas discretos no tempo Um computador digital é um exemplo comum desse tipo de sistema Na prática sinais discretos no tempo são oriundos da amostragem de sinais contínuos no tempo Por exemplo quan do a amostragem é uniforme os instantes t0 t1 t2 são uniformemente espaçados de tal forma que Nestes casos os sinais discretos no tempo representados pelas amostras de sinais contínuos no tempo xt yt e assim por diante podem ser escritos por xnT ynT e assim por diante Por conveniência iremos simpli ficar esta notação para xn yn onde fica entendido que xn xnT e que n é algum inteiro Um sinal dis creto no tempo típico é mostrado na Fig 131 Um sinal discreto no tempo pode também ser visto como uma se qüência de números x1 x0 x1 x2 Portanto um sistema discreto no tempo pode ser visto como processando uma seqüência de números xn e resultando na saída de outra seqüência de números yn Sinais discretos no tempo aparecem naturalmente em situações que são inerentemente em tempo discreto tais como o estudo populacional problemas de amortização modelos de balança comercial e rastreamento por radar Eles também podem aparecer como o resultado da amostragem de sinais contínuos no tempo em sistemas de dados amostrados ou filtragem digital A filtragem digital é uma interessante aplicação particular na qual si nais contínuos no tempo são processados por sistemas em tempo discreto como mostrado na Fig 132 Um si nal contínuo no tempo xt é inicialmente amostrado para convertêlo em um sinal discreto no tempo xn o qual é então processado por um sistema discreto no tempo resultando em uma saída yn em tempo discreto Um sinal em tempo contínuo yt é finalmente construído a partir de yn Dessa forma podemos processar um sinal contínuo no tempo com um sistema apropriado em tempo discreto tal como um computador digital Como sis EXERCÍCIO E115 Mostre que um sistema descrito pela seguinte equação é não causal Mostre que esse sistema pode ser implementado fisicamente se aceitarmos um atraso de 5 segundos da saída Figura 131 Um sinal em tempo discreto CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 111 temas discretos no tempo possuem significantes vantagens quando comparados com sistemas em tempo contí nuo existe uma forte tendência na direção de processamento de sinais contínuos no tempo através de sistemas discretos no tempo 176 Sistemas Analógicos e Digitais Os sinais analógicos e digitais foram discutidos na Seção 132 Um sistema cujos sinais de entrada e saída são analógicos é um sistema analógico Um sistema cujos sinais de entrada e saída são digitais é um sistema digi tal Um computador digital é um exemplo de um sistema digital binário Observe que um computador digital é um sistema digital e em tempo discreto 177 Sistemas Inversíveis e Não Inversíveis Um sistema S executa uma certa operação em um sinal de entrada Se pudermos obter a entrada xt da saída yt cor respondente através de alguma operação o sistema S é dito ser inversível Quando várias entradas diferentes resul tam na mesma saída tal como em um retificador é impossível obter a entrada da saída e o sistema é não inversí vel Portanto para um sistema inversível é essencial que toda entrada possua uma única saída de tal forma que exis ta um mapeamento de umparaum entre a entrada e a saída correspondente O sistema que efetua a operação inver sa de obtenção de xt a partir de yt é o sistema inverso de S Por exemplo se S é um integrador ideal então o sis tema inverso é um diferenciador ideal Considere um sistema S conectado em série com o seu sistema inverso Si co mo mostrado na Fig 133 A entrada xt deste sistema série resulta no sinal yt na saída de S e o sinal yt agora a entrada de Si resulta novamente no sinal xt na saída de Si Portanto Si desfaz a operação de S em xt retornando a xt Um sistema cuja saída é igual a entrada para todas as entradas possíveis é um sistema identidade O casca teamento de um sistema com sua inversa como mostrado na Fig 133 resulta em um sistema identidade 178 Sistemas Estáveis e Instáveis Os sistemas também podem ser classificados como estáveis ou instáveis A estabilidade pode ser interna ou ex terna Se cada entrada limitada aplicada ao terminal de entrada resultar em uma saída limitada o sistema é di to ser externamente estável A estabilidade externa pode ser verificada pela medição dos terminais externos en trada e saída do sistema Este tipo de estabilidade também é conhecida como estabilidade no sentido BIBO boundedinputboundedoutput O conceito de estabilidade interna será deixado para o Capítulo 2 pois re quer algum conhecimento do comportamento interno do sistema a ser apresentado no próximo capítulo Figura 132 Processamento de sinais contínuos no tempo por sistemas discretos no tempo Figura 133 O cascateamento de um sistema com sua inversa resulta em um sistema identidade N de T Entrada limitadasaída limitada Apesar de haver uma tradução para o termo encontrase mais freqüentemente na literatu ra o termo em inglês o qual será adotado neste livro Para o circuito RLC série da Fig 134 determine a equação de entradasaída que relaciona a tensão de en trada xt como a corrente de saída corrente de malha yt Figura 134 Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões para a malha teremos 147 Utilizando as leis de tensãocorrente de cada elemento indutor resistor e capacitor podemos escrever esta equação como 148 112 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 18 MODELO DE SISTEMA DESCRIÇÃO ENTRADASAÍDA A descrição de um sistema em termos de medidas nos terminais de entrada e saída é chamada de descrição entra dasaída Como mencionado anteriormente a teoria de sistemas envolve uma grande variedade de sistemas tais como elétricos mecânicos hidráulicos acústicos eletromecânicos e químicos além de sistemas sociais políti cos econômicos e biológicos O primeiro passo na análise de um sistema é a construção do modelo do sistema o qual é a expressão matemática ou regra que aproxima satisfatoriamente o comportamento dinâmico do sistema Neste capítulo consideraremos apenas sistemas contínuos no tempo A modelagem de sistemas discretos no tem po é apresentada no Capítulo 3 181 Sistemas Elétricos Para construir um modelo de sistema devemos estudar as relações entre as diferentes variáveis do sistema Em sistemas elétricos por exemplo devemos determinar um modelo satisfatório para a relação tensãocor rente de cada elemento tal como a lei de Ohm para o resistor Além disso devemos determinar as várias re lações nas tensões e correntes quando vários elementos estão conectados Estas são as leis de interconexão as já conhecidas Leis de Kirchhoff para tensão e corrente LKT e LKC A partir de todas estas equações eli minamos as variáveis indesejadas para obter as equaçãoões relacionando as variáveleis de saída com as de entradas Os exemplos a seguir ilustram o procedimento de obtenção das relações de entradasaída para alguns sistemas elétricos EXERCÍCIO E116 Mostre que o sistema descrito pela equação yt x 2t é não inversível com estabilidade no sentido BIBO EXEMPLO 110 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 113 É conveniente utilizarmos a notação compacta D para o operador diferencial ddt logo 150 151 e assim por diante Com esta notação a Eq 149 pode ser escrita por 152 O operador diferencial é o inverso do operador integral de tal forma que podemos utilizar o operador 1D pa ra representar a integração 153 Conseqüentemente a equação de malha 148 pode ser escrita por 154 Multiplicando os dois lados por D ou seja diferenciando a Eq 154 teremos 155 a qual é idêntica a Eq 152 Lembrese de que a Eq 155 não é uma equação algébrica e D 2 3D 2 não é um termo algébrico que multplica yt Este termo é um operador que opera em yt Isto significa que devemos executar as seguintes ope rações em yt calcular a segunda derivada de yt e somála com 3 vezes a primeira derivada de yt e 2 vezes yt Claramente um polinômio em D multiplicado por yt representa uma certa operação diferencial em yt O uso do operador 1D para a integração gera algumas dificuldades matemáticas pois o operador D e 1D não são comutativos Por exemplo sabemos que D1D 1 pois Entretanto 1DD não é necessariamente unitário A utilização da regra de Cramer na resolução de equações simultâneas integrodife renciais sempre resultará no cancelamento dos operadores 1D e D Este procedimento pode resultar em resultados errôneos quando o fator D ocorrer no numerador e no denominador Isto ocorre por exemplo em circuitos com malhas compostas somente por indutores ou capacitores Para eliminar este problema evite a operação de integração em sistemas de equação de tal forma que as equações resul tantes sejam diferenciais e não integrodiferenciais Em circuitos elétricos isto pode ser feito usando a variável carga no lugar da cor rente para malhas contendo capacitores e escolhendo variáveis corrente para malhas sem capacitores Na literatura este problema de comutatividade de D e 1D é amplamente ignorado Como mencionado anteriormente tal procedimento resulta em resultados errados apenas em sistemas especiais tais como circuitos com malhas somente com indutores ou capacitores Felizmente tais sistemas consti tuem uma fração muito pequena dos sistemas com os quais trabalhamos Para mais discussões sobre este tópico e um método correto de trabalhar com problemas envolvendo integrais veja a Referência 4 Diferenciando os dois lados desta equação obtemos 149 Esta equação diferencial é a relação de entradasaída entre a saída yt e a entrada xt Determine a equação relacionando a entrada e a saída para o circuito RC série da Fig 135 se a entrada for a tensão xt e a saída for a a corrente de malha it b a tensão do capacitor yt Figura 135 a A equação de malha para o circuito é 156 ou 157 Com a notação operacional essa equação pode ser expressa por 158 b Multiplicando os dois lados da Eq 158 por D isto é diferenciando a equação obtemos 159a ou 159b Além disso Substituindo esta relação na Eq 159a resulta em 160 ou 161 114 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 111 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 115 182 Sistemas Mecânicos O movimento planar pode ser resolvido em movimento translacional retilíneo e movimento rotacional O mo vimento translacional será considerado inicialmente Iremos nos restringir a movimentos em uma dimensão SISTEMAS TRANSLACIONAIS Os elementos básicos utilizados na modelagem de sistemas translacionais são massas ideais molas lineares e amortecedores com amortecimento viscoso As leis para vários elementos mecânicos serão discutidas agora Para a massa M Fig 136a uma força xt causa um movimento yt e uma aceleração A partir da lei de Newton para movimento 162 A força xt necessária para alongar ou comprimir uma mola linear Fig 136b por uma certa quantidade yt é dada por 163 onde K é a constante da mola Para o amortecedor linear Fig 136c o qual opera em função do atrito viscoso a força movendo o amor tecedor é proporcional a velocidade relativa de uma superfície em relação a outra Logo 164 onde B é o coeficiente de amortecimento do amortecedor por atrito viscoso EXERCÍCIO E117 Para o circuito RLC da Fig 134 determine a relação de entradasaída se a saída for a tensão vLt do indutor RESPOSTA EXERCÍCIO E118 Para o circuito RLC da Fig 134 determine a relação de entradasaída se a saída for a tensão vCt do capacitor RESPOSTA Figura 136 Alguns elementos em sistemas mecânicos translacionais Determine a relação entradasaída para o sistema mecânico translacional mostrado na Fig 137a ou seu equivalente da Fig 137b A entrada é a força xt e a saída é a posição da massa yt Figura 137 Em sistemas mecânicos é útil desenhar um diagrama de corpo livre de cada junção o qual é um ponto no qual dois ou mais elementos estão conectados Na Fig 137 o ponto representando a massa é uma junção O deslocamento da massa é representado por yt A mola também é alongada por yt e portanto exerce uma força Kyt na massa O amortecedor exerce uma força B yt na massa como mostrado no diagra ma de corpo livre Fig 137c Usando a segunda lei de Newton a força total deve ser M Logo ou 165 116 SINAIS E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS ROTACIONAIS Em sistemas rotacionais o movimento de um corpo pode ser definido como o movimento em um certo eixo As variáveis utilizadas para descrever o movimento rotacional são o torque no lugar da força a posição angular no lugar da posição linear a velocidade angular no lugar da velocidade linear e a aceleração angular no lugar da aceleração linear Os elementos do sistema são a massa rotacional ou momento de inércia no lugar da massa e molas de torção e amortecedores de torção no lugar de molas e amortecedores lineares As equações terminais destes elementos são análogas às equações correspondentes para elementos translacionais Se J é o momento de inércia ou massa rotacional de um corpo girando em um certo eixo então o torque externo necessário para este movimento é igual a J massa rotacional vezes a aceleração angular Se θ é a posição angular do corpo θ é sua aceleração angular e 166 EXEMPLO 112 O movimento de uma aeronave pode ser controlado por três conjuntos de superfícies mostradas som breadas na Fig 138 profundores leme e ailerons Manipulando essas superfícies podese colocar a ae ronave em uma rota de vôo desejada O ângulo de giro φ pode ser controlado pela deflexão em direções opostas da superfície dos dois ailerons como mostrado na Fig 138 Considerando apenas o movimento de rotação determine a equação relacionando o ângulo de giro ϕ com a entrada deflexão θ Figura 138 As superfícies do aileron geram um torque com relação ao eixo de rotação proporcional ao ângulo θ de de flexão do aileron Vamos considerar este torque igual a cθ onde c é a constante de proporcionalidade O atri to do ar provoca o torque Bϕt O torque disponível para o movimento de rotação é então cθt Bϕt Se J é o momento de inércia do plano sobre o eixo x eixo de rotação então 169 e 170 ou 171 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 117 Similarmente se K é a constante de uma mola de torção por unidade de torção angular e θ é o deslocamen to angular de um terminal da mola com relação ao outro então 167 Por fim o torque devido ao amortecimento viscoso de um amortecedor de torção com coeficiente de amor tecimento B é 168 EXEMPLO 113 118 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 183 Sistemas Eletromecânicos Uma grande variedade de sistemas eletromecânicos converte sinais elétricos em movimento mecânico energia mecânica e viceversa Consideraremos aqui um exemplo simples de um motor CC controlado pela armadu ra alimentado por uma fonte de corrente xt como mostrado na Fig 140a O torque Tt gerado pelo motor é proporcional a corrente de armadura xt Portanto 174 onde KT é a constante do motor Este torque alimenta uma carga mecânica cujo diagrama de corpo livre é mostrado na Fig 140b O amortecimento viscoso com coeficiente B dissipa um torque B Se J é o momento de inércia da car ga incluindo o rotor do motor então o torque total Tt B deve ser igual a Jθ t 175 Esta é a equação desejada relacionando a saída ângulo de rotação ϕ com a entrada ângulo θ do aileron A velocidade de rotação ω é ϕt Se a saída desejada for a velocidade de rotação ω em vez do ângulo de rotação ϕ então a equação de entradasaída será 172 ou 173 EXERCÍCIO E119 Um torque Tt é aplicado ao sistema mecânico rotacional mostrado na Fig 139a A constante da mola é K a mas sa rotacional momento de inércia do cilindro com relação ao eixo é J o coeficiente de amortecimento viscoso en tre o cilindro e a superfície é B Determine a equação relacionando o ângulo θ de saída com o torque T de entrada Dica Um diagrama de corpo livre é mostrado na Fig 139b Figura 139 Sistema rotacional RESPOSTA ou CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 119 Logo 176 a qual pode ser expressa na forma convencional por 177 19 DESCRIÇÃO INTERNA E EXTERNA DE UM SISTEMA A relação de entradasaída de um sistema é uma descrição externa do sistema Determinamos a descrição externa não a descrição interna de sistemas em todos os exemplos discutidos até agora Isto pode confundir o leitor pois em cada um dos casos determinamos a relação entradasaída analisando a estrutura interna do sistema Por que es ta não é uma descrição interna O que é uma descrição interna Apesar de verdadeiro o fato de termos determinado a relação de entradasaída através da análise interna do sistema nós o fizemos apenas por conveniência Podíamos ter obtido a descrição entradasaída fazendo observações nos terminais externos entrada e saída por exemplo me dindo a saída para uma certa entrada tal como um impulso ou senóide Uma descrição que pode ser obtida através de medições de terminais externos mesmo quando o resto do sistema está selado dentro de uma caixa preta inaces sível é uma descrição externa Claramente a descrição de entradasaída é uma descrição externa O que então é uma descrição interna Uma descrição interna é capaz de fornecer a informação completa sobre todos os possíveis sinais do sistema Uma descrição externa pode não fornecer uma informação completa como esta Uma descrição externa pode sempre ser determinada de uma descrição interna mas o inverso não é necessariamente válido Apre sentaremos um exemplo para ilustrar a distinção entre uma descrição externa e uma descrição interna Considere o circuito da Fig 141a com entrada xt e saída yt confinado dentro de uma caixa preta com apenas os terminais de entrada e saída acessíveis Para determinar sua descrição externa iremos aplicar uma ten são xt conhecida nos terminais de entrada e então mediremos a tensão de saída yt resultante Vamos assumir também que existe alguma carga inicial Q0 presente no capacitor A tensão de saída geral mente depende tanto da entrada xt quanto da carga inicial Q0 Para calcular a saída resultante devido a carga Q0 assuma a entrada xt 0 curto circuito na entrada Neste caso as correntes nos dois resistores de 2Ω nos ramos superior e inferior nos terminais de saída são iguais e opostas devido a natureza balanceada do circuito Claramente a carga do capacitor resulta em tensão nula na saída Agora para calcular a saída yt resultante da tensão de entrada xt assumimos carga inicial do capacitor nu la curto circuito nos terminais do capacitor A corrente it Fig 141a neste caso se divide igualmente entre os dois ramos paralelos pois o circuito está balanceado Portanto a tensão no capacitor continua igual a zero Portanto para o propósito de determinação da corrente it o capacitor pode ser removido ou substituído por um Figura 140 Motor CC controlado pela armadura A tensão de saída yt resultante devido a carga do capacitor assumindo xt 0 é a resposta de entrada nula a qual como argumen tado é nula A componente de saída devido à entrada xt assumindo carga inicial do capacitor nula é a resposta de estado nulo A aná lise completa deste problema é apresentada posteriormente no Exemplo 115 120 SINAIS E SISTEMAS LINEARES curto circuito O circuito resultante é equivalente ao mostrado na Fig 141b o qual mostra que a entrada xt en xerga uma carga de 5Ω e Além disso como yt 2it 178 Essa é a resposta total Claramente para a descrição externa o capacitor não existe Nenhuma medição ou ob servação externa pode detectar a presença do capacitor Além disso se o circuito estiver encapsulado dentro de uma caixa preta de tal forma que apenas os terminais externos estejam acessíveis é impossível determinar as corren tes ou tensões dentro do circuito a partir de medições ou observações externas Uma descrição interna entretan to pode fornecer todo sinal possível dentro do sistema No Exemplo 115 iremos determinar a descrição interna deste sistema e mostraremos que é possível determinar cada possível sinal do sistema Para a maioria dos sistemas as descrições interna e externa são equivalente mas existem algumas exceções como no caso apresentado nos quais a descrição externa fornece um quadro inadequado do sistema Isso ocor re quando o sistema é não controlável ou não observável A Fig 142 mostra representações estruturais de sistemas simples não controláveis e não observáveis Na Fig 142a observamos que parte do sistema subsistema S2 dentro da caixa não pode ser controlada pela entrada xt Na Fig 142b algumas das saídas do sistema aquelas no subsistema S2 não podem ser observadas a partir dos Figura 141 Um sistema que não pode ser descrito por medidas externas Figura 142 Estruturas de sistemas não controláveis e não observáveis CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 121 terminais de saída Se tentarmos descrever qualquer um destes sistemas aplicando uma entrada externa xt e en tão medindo a saída yt a medida não irá caracterizar completamente o sistema apenas parte dele neste caso S1 que é tanto controlável quanto observável conectada tanto a entrada quanto a saída Tais sistemas não são de sejáveis na prática e devem ser evitados no projeto de qualquer sistema Podese mostrar que o sistema da Fig 141 não é nem controlável nem observável Ele pode ser representado estruturalmente como a combinação dos sistemas da Fig 142a e 142b 110 DESCRIÇÃO INTERNA DESCRIÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADO Agora apresentaremos a descrição em espaço de estado de um sistema linear a qual é uma descrição interna de um sistema Nesta abordagem identificamos certas variáveis chave chamadas de variáveis de estado Es sas variáveis possuem a propriedade de que todo sinal possível no sistema pode ser expresso como a combina ção linear destas variáveis de estado Por exemplo podemos mostrar que todo possível sinal em um circuito RLC passivo pode ser expresso como a combinação linear das tensões independentes dos capacitores e das cor rentes dos indutores as quais são por sua vez variáveis de estado do circuito Para ilustrar este tópico considere o circuito da Fig 143 Identificamos duas variáveis de estado a tensão do capacitor q1 e a corrente do indutor q2 Se os valores de q1 q2 e da entrada xt forem conhecidos em algum instante t podemos demonstrar que todo possível sinal corrente ou tensão no circuito pode ser determinado pa ra t Por exemplo se q1 10 q2 1 e a entrada x 20 em algum instante as demais tensões e correntes no mes mo instante serão 179 Portanto todos os sinais neste circuito são determinados Claramente variáveis de estados são variáveis cha ve em um sistema O conhecimento das variáveis de estado permite que toda possível saída do sistema seja cal culada Note que a descrição em espaço de estado é uma descrição interna de um sistema pois ela é capaz de descrever todos os possíveis sinais do sistema Figura 143 Escolhendo condições iniciais adequadas em um circuito Neste exemplo investigaremos a natureza das equações de estado e a questão de controlabilidade e obser vabilidade para o circuito da Fig 141a Este circuito possui apenas um capacitor e nenhum indutor Logo existe apenas uma variável de estado a tensão do capacitor qt Como C 1 F a corrente do capacitor é q Existem duas fontes neste circuito a entrada xt e a tensão do capacitor qt A resposta devido a xt assu mindo qt 0 é a resposta de estado nulo a qual pode ser determinada da Fig 144a na qual curtocircui tamos o capacitor qt 0 A resposta devido a qt assumindo xt 0 é a resposta de entrada nula a qual pode ser determinada da Fig 144b na qual curtocircuitamos xt para garantir xt 0 Desta forma é tri vial determinar as duas componentes Este exemplo ilustra como equações de estado podem ser naturais e mais fáceis de serem determinadas do que outras descrições tais como equações de malha ou nó Considere novamente o circuito da Fig 143 com q1 e q2 como variáveis de estado e escreva as equações de estado Isso pode ser feito pela simples inspeção da Fig 143 Como é a corrente através do capacitor Além disso 2q 2 a tensão do indutor é dada por ou Portanto as equações de estado são 180 Este é um conjunto de duas equações diferenciais simultâneas de primeira ordem Este conjunto de equa ções é conhecido como equações de estado Uma vez que estas equações tenham sido resolvidas para q1 e q2 todo o resto do circuito pode ser determinado usando das Eqs 179 O conjunto de equações de saída 179 é chamado de equações de saída Portanto nesta abordagem temos dois conjuntos de equações as equações de estado e as equações de saída Uma vez que as equações de estado sejam resolvidas todas as possíveis saí das podem ser obtidas das equações de saída Na descrição entradasaída um sistema de ordem N é descrito por uma equação de ordem N Na técnica de variáveis de estado o mesmo sistema é descrito por N equações de estado simultâneas de primeira ordem 122 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 114 Assumindo que o sistema é controlável e observável Se não for o caso a equação de descrição de entradasaída terá uma ordem me nor do que o número correspondente de equações de estado EXEMPLO 115 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 123 A Figura 144a mostra as correntes de estado nulo em cada ramo É evidente que a entrada xt enxerga uma resistência equivalente de 5Ω e portanto a corrente através de xt é x5 A a qual se divide em dois ramos paralelos resultando em uma corrente de x10 em cada ramo Examinando o circuito da Fig 144b para a resposta de entrada nula observamos que a tensão do capa citor é q e a corrente é q Também observamos que o capacitor enxerga duas malhas em paralelo cada uma com resistência de 4Ω e corrente q2 Curiosamente o ramo de 3Ω está efetivamente curtocircuitado pois o circuito é balanceado e portanto a tensão nos terminais cd é zero A corrente total em qualquer ramo é a soma das correntes do ramo da Fig 144a e 144b princípio da superposição 181 Para determinar a equação de estado observamos que a corrente no ramo ca é x10 q2 e a corrente no ramo cb é x10 q2 Logo a equação da malha acba é Figura 144 Análise de um sistema que não é nem controlável nem observável 124 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Técnicas de espaço de estado são úteis não somente devido à habilidade de fornecer a descrição interna do sistema mas por várias outras razões incluindo as seguintes 1 Equações de estado de um sistema fornecem um modelo matemático de grande generalidade que po de descrever não somente sistemas lineares mas também sistemas não lineares não somente sistemas invariantes no tempo mas também sistemas com parâmetros variantes no tempo não somente siste mas SISO singleinputsingleoutput mas também sistemas MIMO multipleinputsmultiplesout puts De fato equações de estado são idealmente adequadas para análise síntese e otimização de sistemas MIMO 2 A notação matricial compacta e as poderosas técnicas de álgebra linear facilitam em muito manipulações complexas Sem tais características muitos resultados importantes da moderna teoria de sistemas teriam si do difíceis de serem obtidos Equações de estado podem resultar em uma grande quantidade de informação sobre um sistema mesmo quando elas não são explicitamente resolvidas 3 Equações de estado resultam em uma fácil situação para a simulação em computadores digitais de sistemas complexos de alta ordem com ou sem nãolinearidades e com múltiplas entradas e saídas 4 Para sistemas de segunda ordem N 2 um método gráfico chamado de análise no plano de fase po de ser utilizado nas equações de estado sejam elas lineares ou não Os benefícios reais da abordagem de espaço de estado entretanto são mais óbvios para sistemas muito com plexos ou de alta ordem Grande parte deste livro é dedicada à introdução dos conceitos básicos de análise de sistemas lineares os quais devem necessariamente começar com sistemas simples sem a utilização da técnica de espaço de estado O Capítulo 10 trabalha com a análise em espaço de estados para sistemas lineares invarian tes no tempo contínuos e discretos no tempo ou 182 Esta é a equação de estado desejada A substituição de q 05q nas Eqs 181 mostra que toda possível corrente e tensão do circuito po de ser expressa em termos da variável de estado q e da entrada x como desejado Logo o conjunto de Eqs 181 é a equação de saída para este circuito Uma vez que tenhamos resolvido a equação de estado 182 para q poderemos determinar cada possível saída do circuito A saída yt é dada por 183 Um breve exame das equações de estado e saída indica a natureza deste sistema A equação de estado 182 mostra que o estado qt é independente da entrada xt e portanto o estado do sistema q não pode ser controlado pela entrada Além disso a Eq 183 mostra que a saída yt não depende do estado qt Logo o estado do sistema não pode ser observado a partir dos terminais de saída Desta forma o sistema não é nem controlável e nem observável Este não é o caso dos outros sistemas examinados anteriormente Considere por exemplo o circuito da Fig 143 A equação de estado 180 mostra que os estados são influenciados pe la entrada diretamente ou indiretamente Logo o sistema é controlável Além disso como as equações de saí da 179 mostram cada possível saída é expressa em termos das variáveis de estado e da entrada Logo os estados também são observáveis N de T Única entradaúnica saída Apesar de haver uma tradução para o termo a sigla SISO é amplamente utilizada na literatura e se rá mantida ao longo do livro N de T Múltiplas entradasmúltiplas saídas Apesar de haver uma tradução para o termo a sigla MIMO é amplamente utilizada na li teratura e será mantida ao longo do livro CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 125 111 RESUMO Um sinal é um conjunto de dados ou informação Um sistema processa um sinal de entrada modificandoo ou extraindo informação adicional para produzir sinais de saída resposta Um sistema pode ser implementado uti lizando componentes físicos implementação em hardware ou pode ser um algoritmo que calcula um sinal de saída a partir de um sinal de entrada implementação em software Uma medida conveniente do tamanho de um sinal é sua energia se ela for finita Se a energia do sinal for in finita a medida apropriada é sua potência se ela existir A potência do sinal é a média temporal de sua energia média determinada em todo intervalo de tempo de a Para sinais periódicos a média temporal pode ser determinada em apenas um período em função da repetição periódica do sinal A potência do sinal também é igual ao valor médio quadrático do sinal média determinada em todo intervalo de tempo de t a Sinais podem ser classificados de diversas formas 1 Um sinal contínuo no tempo é especificado para contínuos valores da variável independente tal como o tempo t Um sinal discreto no tempo é especificado apenas a conjuntos finitos ou contáveis de instantes de tempo 2 Um sinal analógico é um sinal cuja amplitude assume qualquer valor contínuo Por outro lado um sinal cujas amplitudes só podem assumir um número finito de valores é um sinal digital Os termos discreto no tempo e contínuo no tempo qualificam a natureza do sinal ao longo do eixo de tempo eixo horizontal Os termos analógico e digital por outro lado qualificam a natureza da amplitude do sinal eixo vertical 3 Um sinal periódico xt é definido pelo fato de que xt xt T0 para algum T0 O menor valor de T0 para o qual esta relação é satisfeita é chamado de período fundamental Um sinal periódico permanece inalterado quando deslocado por um múltiplo inteiro de seu período Um sinal periódico xt pode ser gerado pela extensão periódica de qualquer segmento contínuo de xt de duração T0 Finalmente um si nal periódico por definição deve existir em todo intervalo de tempo de t Um sinal é dito ser não periódico se ele não for periódico Um sinal de duração infinita começa em t e continua para sempre até t Logo sinais periódicos são sinais de duração infinita Um sinal causal é um si nal que é zero para t 0 4 Um sinal com energia finita é um sinal de energia Similarmente um sinal com potência valor médio quadrático finita e não nula é um sinal de potência Um sinal pode ser um sinal de energia ou um sinal de potência mas não os dois Entretanto existem sinais que não são nem de energia nem de potência EXERCÍCIO E120 Escreva as equações de estado para o circuito RLC série mostrado na Fig 145 utilizando a corrente do indutor q1t e a tensão do capacitor q2t como variáveis de estado Expresse cada tensão e corrente deste circuito como a combinação linear de q1 q2 e x Figura 145 RESPOSTA 126 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 5 Um sinal cuja descrição física é completamente conhecida de forma matemática ou gráfica é um sinal determinístico Um sinal aleatório é conhecido apenas em termos de suas descrições probabilísticas tais como valor médio ou valor médio quadrático no lugar de sua forma matemática ou gráfica Um sinal xt atrasado por T segundos deslocamento para a direita pode ser expresso por xt T por outro lado xt adiantado por T deslocamento para a esquerda é xt T Um sinal xt comprimido no tem po por um fator a a 1 é expresso por xat por outro lado o mesmo sinal expandido no tempo por um fa tor a a 1 é xta O sinal xt quando revertido no tempo pode ser expresso por xt A função degrau unitário ut é muito útil na representação de sinais causais e sinais com diferentes descri ções matemáticas em intervalos distintos Na definição clássica Dirac a função impulso unitário δt é caracterizada por área unitária concentrada em um único instante t 0 A função impulso possui a propriedade de amostragem a qual afirma que a área sob o produto de uma função com o impulso unitário é igual ao valor da função no instante no qual o impulso está lo calizado assumindo que a função seja contínua na localização do impulso Na abordagem moderna a função impulso é vista como uma função generalizada sendo definida pela propriedade de amostragem A função exponencial e st onde s é complexo engloba uma grande classe de sinais incluindo o sinal constan te a exponencial monotônica a senóide e a senóide com variação exponencial Um sinal real simétrico com relação ao eixo vertical t 0 é uma função par do tempo e um sinal que é an tisimétrico com relação ao eixo vertical é uma função ímpar do tempo O produto de uma função par e uma fun ção ímpar é uma função ímpar Entretanto o produto de duas funções pares ou duas funções ímpares é uma fun ção par A área sob uma função ímpar de t a até a é sempre zero independente do valor de a Por outro la do a área sob uma função par de t a até a é duas vezes a área sob a mesma função de t 0 até a ou de t a até 0 Todo sinal pode ser expresso como a soma de funções do tempo par e ímpar Um sistema processa sinais de entrada e produz sinais de saída resposta A entrada é a causa e a saída o seu efeito Em geral a saída é afetada por duas causas a condição interna do sistema tal como condições iniciais e a entrada externa Os sistemas podem ser classificados de diversas formas 1 Sistemas lineares são caracterizados pela propriedade da linearidade a qual implica na superposição Se várias causas tais como várias entradas e condições iniciais estão atuando em um sistema linear a saí da resposta total é a soma das respostas de cada causa assumindo que todas as demais causas não es tão presentes Um sistema é não linear se a superposição não for válida 2 Em sistemas invariantes no tempo os parâmetros do sistema não são alterados como tempo Os parâme tros de sistemas com parâmetros variantes no tempo obviamente se alteram com o tempo 3 Para sistemas sem memória ou instantâneos a resposta do sistema para qualquer instante t depende ape nas do valor da entrada em t Para sistemas com memória também chamados de sistemas dinâmicos a resposta do sistema para qualquer instante t depende não apenas do valor atual da entrada mas também de seus valores passados valores antes de t 4 Em contraste se a resposta de um sistema em t também depender dos valores futuros da entrada valo res de entrada além de t o sistema é não causal Sem sistemas causais a resposta não depende de valo res futuros da entrada Em função da dependência da resposta com valores futuros o efeito resposta de um sistema não causal ocorre antes da causa Quando a variável independente é o tempo sistemas tem porais sistemas não causais são sistemas proféticos e portanto não realizáveis apesar de uma aproxi mação próxima ser possível com algum atraso de tempo na resposta Sistemas não causais com variáveis independentes diferentes do tempo por exemplo espaço são realizáveis 5 Sistemas cujas entradas e saída são sinais contínuos no tempo são sistemas em tempo contínuo ou sis temas contínuos Sistemas cujas entradas e saídas são sinais discretos no tempo são sistemas em tempo discreto ou sistemas discretos Se um sinal em tempo contínuo for amostrado o sinal resultante é um sinal em tempo discreto Podemos processar um sinal em tempo contínuo processando as amostras des te sinal em um sistema em tempo discreto 6 Sistemas cujas entradas e saídas são sinais analógicos são sistemas analógicos Aqueles cujas entradas e saídas são sinais digitais são sistemas digitais CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 127 7 Se pudermos obter a entrada xt a partir da saída yt de um sistema S através de alguma operação o sis tema S é dito ser inversível Caso contrário o sistema é não inversível 8 Um sistema é estável se uma entrada limitada resultar em uma saída limitada Isto define a estabilidade externa pois ela pode ser obtida através de medições nos terminais externos do sistema A estabilidade externa é também chamada de estabilidade no sentido BIBO bounded inputbounded output A esta bilidade interna discutida posteriormente no Capítulo 2 é medida em termos do comportamento inter no do sistema O modelo de sistema determinado a partir do conhecimento da estrutura interna de um sistema é sua descri ção interna Em contraste a descrição externa é a representação de um sistema visto através de seus terminais de entrada e saída Ela pode ser obtida aplicando uma entrada conhecida e medindo a saída resultante Na maio ria dos sistemas práticos uma descrição externa de um sistema assim obtida é equivalente a sua descrição inter na Algumas vezes entretanto a descrição externa falha ao descrever o sistema adequadamente Isto ocorre com os chamados sistemas não observáveis e não controláveis Um sistema pode ser descrito também em termos de um certo conjunto de variáveis chaves chamadas de va riáveis de estado Nessa descrição um sistema de ordem N pode ser caracterizado por um conjunto de N equa ções diferenciais de primeira ordem simultâneas com N variáveis de estado Equações de estado de um sistema representam uma descrição interna do sistema REFERÊNCIAS MATLAB Seção 1 Trabalhando com Funções Saber trabalhar com funções é fundamental em aplicações de sinais e sistemas O MATLAB oferece vários mé todos para definir e calcular funções O conhecimento e uso competente desses métodos é portanto necessário e benéfico M11 Funções Inline Várias funções simples são facilmente representadas usando objetos inline do MATLAB Um objeto inline for nece uma representação simbólica de uma função definida em termos de operadores e funções do MATLAB Por exemplo considere a definição da senóide exponencialmente amortecida ft e t cos 2πt O segundo argumento do comando inline identifica o argumento de entrada da função como sendo t Ar gumentos de entradas tais como t são locais ao objeto inline e não estão relacionados a quaisquer outras variá veis da área de trabalho com os mesmos nomes Uma vez definida ft pode ser calculada passando simplesmente os valores de entrada de interesse Por exemplo N de T Entrada limitadasaída limitada 128 SINAIS E SISTEMAS LINEARES determina ft para t 0 confirmando o resultado unitário esperado O mesmo resultado é obtido passando t 0 diretamente Entradas na forma de vetores permitem o cálculo de múltiplos valores simultaneamente Considere a tarefa de traçar ft no intervalo 2 t 2 O rascunho da função é fácil de ser visualizado ft deve oscilar quatro vezes com um envelope de amortecimento Como um gráfico detalhado é mais trabalhoso gráficos gerados pe lo MATLAB são uma alternativa atraente Como os seguintes exemplos mostram devese ter cuidado para ga rantir resultados confiáveis Suponha que o vetor t seja escolhido para incluir apenas os inteiros contidos em 2 t 2 ou seja 2 1 0 1 2 Este vetor de entrada é utilizado para determinarmos o vetor de saída O comando plot traça o gráfico do resultado o qual está mostrado na Fig M11 As linhas quadriculadas inseridas com o comando grid facilitam a visualização Infelizmente o gráfico não ilustra o comportamento oscilatório esperado Mais pontos são necessários para representar adequadamente ft A questão é então quantos pontos são suficientes Se poucos pontos forem escolhidos perdese informa ção Se muitos pontos forem escolhidos perderemos memória e tempo É necessário atingir um equilíbrio Pa ra funções oscilatórias a utilização de 20 a 200 pontos por oscilação geralmente é adequada Para o caso em es tudo t é escolhido para fornecer 100 pontos por oscilação Novamente a função é determinada e traçada O resultado mostrado na Fig M12 é uma figura fiel de ft Figura M11 ft e tcos 2πt para t 22 A teoria da amostragem a ser apresentada posteriormente apresenta formalmente importantes aspectos desta questão CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 129 M12 Operadores Relacionais e a Função Degrau Unitário A função degrau unitário ut aparece naturalmente em diversas aplicações práticas Por exemplo um degrau unitário pode modelar a ação de se ligar um sistema Com a ajuda de operadores relacionais objetos inline po dem representar a função degrau unitário No MATLAB um operador relacional compara dois itens Se a comparação for verdadeira um verdadeiro lógico 1 é retornado Se a comparação for falsa um falso lógico 0 é retornado Algumas vezes chamados de funções indicadores operadores relacionais indicam se uma condição é verdadeira ou não Seis operadores re lacionais estão disponíveis e A função degrau unitário é facilmente definida usando o operador relacional Qualquer função com um salto de descontinuidade tal como o degrau unitário é difícil de ser traçada em um gráfico Considere o gráfico de ut usando t 22 Dois problemas significativos são aparentes no gráfico resultante mostrado na Fig M13 Primeiro o MA TLAB automaticamente determina as escalas dos eixos para conter adequadamente a quantidade de dados Nes Figura M12 ft e tcos 2πt para t 20012 Figura M13 ut para t 22 130 SINAIS E SISTEMAS LINEARES te caso esta característica geralmente desejada obscurece grande parte do gráfico Segundo o MATLAB conec ta os dados do gráfico com linhas fazendo com que um salto de descontinuidade seja difícil de ser conseguido A fraca resolução do vetor t enfatiza este efeito mostrando uma linha inclinada errada entre t 1 e t 0 O primeiro problema é corrigido aumentando verticalmente o limite do gráfico com o comando axis O se gundo problema é reduzido mas não eliminado adicionando pontos ao vetor t O vetor de quatro argumentos de axis especifica o valor mínimo e máximo do eixo x e o valor mínimo e máximo do eixo y respectivamente O resultado melhorado está mostrado na Fig M14 Operadores relacionais podem ser combinados usando AND lógico OR lógico ou a negação lógica res pectivamente Por exemplo tanto t 0 t 1 quanto t 0t1 testam se 0 t 1 Para demonstrar considere a definição e o gráfico do pulso unitário pt ut ut 1 como mostrado na Fig M15 Para operadores escalares o MATLAB também possui dois operadores lógicos de curtocircuito O operador lógico de curtocircuito AND é executado usando e o curtocircuito OR é executado usando Operadores lógicos de curtocircuito são geralmente mais eficientes do que os tradicionais operadores lógicos porque eles testam a segunda porção da expressão apenas quando for necessário Ou seja quando a expressão escalar A for falsa em AB a expressão escalar B não é calculada pois um resultado falso já está garantido Similarmen te a expressão escalar B não é calculada quando a expressão escalar A for verdadeira em A B pois um re sultado verdadeiro já está garantido M13 Visualizando Operações na Variável Independente Duas operações na variável independente são geralmente encontradas deslocamento e escalamento Objetos in line são úteis para investigar as duas operações Considere gt ftut e tcos2πtut uma versão realizável de ft Infelizmente o MATLAB não po de multiplicar objetos inline Ou seja o MATLAB retorna um erro para g fu quando f e u são objetos inli ne Ou seja gt precisa ser definido explicitamente Figura M14 ut para t 20012 com modificação nos eixos A função ft e tcos2πt não pode ser realizada na prática pois ela possui uma duração infinita e para t amplitude infinita CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 131 Uma operação de deslocamento e escalamento combinadas é representada por gat b onde a e b são constantes arbitrárias reais Por exemplo considere o gráfico de g2t 1 para 2 t 2 Com a 2 a fun ção é comprimida por um fator de 2 resultando no dobro de oscilações por unidade de t Adicionando a con dição b 0 a forma de onde é deslocada para a esquerda Dada a função inline g um gráfico correto é trivial de ser obtido A Fig M16 confirma a compressão esperada da forma de onda e o deslocamento para a esquerda Como ve rificação final perceba que a função g é ligada quando o argumento de entrada é zero Portanto g2t 1 de ve ser ligada quando 2t 1 0 ou seja t 05 Um fato novamente confirmado na Fig M16 A seguir considere o gráfico de gt 1 para 2 t 2 Como a 0 a forma de onda será refletida Acrescentando a condição b 0 a forma de onda final será deslocada para a direita A Fig M17 confirma tanto a reflexão quando o deslocamento para a direita Até este momento as Figs M16 e M17 podiam ser razoavelmente rascunhadas no papel Considere o gráfico de uma função mais complicada ht g2t 1 gt 1 para 2 t 2 Fig M18 Neste caso um grá fico rascunhado no papel é bem complicado Com o MATLAB o trabalho é muito menor Figura M15 pt ut ut 1 para 1 t 2 Figura M16 g2t 1 para 2 t 2 132 SINAIS E SISTEMAS LINEARES M14 Integração Numérica e Estimação da Energia do Sinal Sinais interessantes geralmente possuem representações matemáticas não triviais A determinação da energia do sinal a qual envolve a integração do quadrado destas expressões pode ser uma tarefa desencorajadora Feliz mente várias integrais difíceis podem ser estimadas com uma certa precisão através de técnicas de integração numérica Mesmo se a integração aparentemente for simples a integração numérica é uma boa maneira de ve rificar resultados analíticos Para começar considere o sinal simples xt e tut ut 1 A energia de xt é calculada por Inte grando teremos Ex 051 e 2 04323 A integral de energia também pode ser calculada numericamente A Fig 127 ajuda a ilustrar esse método simples de aproximação retangular determine o integrando em pontos uniformemente espaçados por Δt multiplique cada um por Δt para determinar a área do retângulo e então so me todos os retângulos Primeiro criamos a função xt Fazendo Δt 001 um vetor tempo adequado é criado O resultado final é calculando usando o comando sum O resultado não é perfeito mas ele está próximo com um erro relativo de 1 Reduzindo Δt a aproximação é melhorada Por exemplo Δt 0001 resulta em Ex 04328 ou um erro relativo de 01 Figura M17 gt 1 para 2 t 2 Figura M18 ht g2t 1 gt 1 para 2 t 2 111 Determine a energia dos sinais mostrados na Fig P111 Comente o efeito na energia da mudança de sinal deslocamento temporal ou escalamento dobro do sinal Qual é o efeito na energia se o sinal for multiplicado por k 112 Refaça o Prob 111 para os sinais da Fig P112 113 a Determine a energia do par de sinais xt e yt mostrados na Fig P113a e P113b Trace e determine a energia dos sinais xt yt e xt yt Você consegue fazer al guma observação a partir destes resultados b Repita a parte a para o par de sinais mostrados na Fig P113c A sua obser vação da parte a ainda é válida 114 Determine a potência do sinal periódico xt mostrado na Fig P114 Determine também a potência e o valor rms de a xt b 2xt c cxt Comente 115 Determine a potência e o valor rms para cada um dos seguintes sinais a 5 10 cos100t π3 b 10 cos100t π3 16 sen150t π5 c 10 cos 5t cos 10t d 10 sen 5t cos 10t e 10 sen 5t cos 10t f e jαt cos ω0t CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 133 Apesar de ser simples de visualizar a aproximação retangular não é a melhor técnica de integração numéri ca A função quad do MATLAB implementa uma técnica de integração melhor chamada de quadratura recur siva adaptativa de Simpson Para operar quad necessita de uma função descrevendo o integrando o limite in ferior de integração e o limite superior de integração Note que Δt não precisa ser especificado Para utilizar quad para estimar Ex o integrando deve primeiro ser descrito A estimação de Ex é feita usando Neste caso o erro relativo é 00026 As mesmas técnicas podem ser utilizadas para estimar a energia de sinais mais complexos Considere gt de finido anteriormente A energia é determinada por É possível obter uma forma fe chada para a solução mas isto requer algum esforço O MATLAB fornece uma resposta rapidamente Apesar do limite superior da integração ser infinito o envelope exponencial decrescente garante que gt será efe tivamente zero antes de t 100 Portanto um limite superior de t 100 é utilizado juntamente com Δt 0001 Uma aproximação um pouco melhor é obtida usando a função quad Como exercício verifique que a energia do sinal ht definido anteriormente é Eh 03768 Um estudo detalhado de integração numérica está fora do escopo deste texto Detalhes desse método particular não são importantes para a discussão atual É suficiente dizer que ele é melhor do que a aproximação retangular P R O B L E M A S 134 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P111 Figura P112 Figura P113 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 135 Figura P114 Figura P116 Forma de onda xt dente de serra com duty cicle de 50 e offset 116 A Fig P116 mostra uma onda xt dente de serra periódica com um duty cicle de 50 e offset com amplitude de pico A Determina a energia e potência de xt 117 a Existem diversas propriedades úteis rela cionadas a sinais de energia Prove cada uma das seguintes afirmativas Em cada caso considere um sinal de energia x1t com energia Ex1t e um sinal de energia x2t com energia Ex2t e considere T uma constante real não nula finita i Prove que ET x1t T 2Ex1t Ou seja o escalamento da amplitude de um sinal por uma constante T escalo na a energia do sinal por T 2 ii Prove que Ex1t Ex1t T Ou seja o deslocamento de um sinal não afeta sua energia iii Se x1t 0 x2t 0 e x2t 0 x1t 0 então prove que Ex1t x2t Ex1t Ex2t Ou seja a energia da soma de dois sinais que não se sobrepõem é a so ma das duas energias individuais iv Prove que Ex1Tt 1T Ex1t Ou seja o escalamento temporal de um sinal por T escalo na reciprocamente a energia do si nal por 1T b Considere o sinal xt mostrado na Fig P117 Fora do intervalo mostrado xt é zero Determine a energia do sinal Ext Figura P117 Sinal de energia xt 118 a Mostre que a potência de um sinal assumindo que todas as freqüências são distintas ou seja ωi ωk para todo i k b Usando o resultado da parte a determi ne a potência de cada um dos sinais do Problema 115 119 Um sinal binário é xt 0 para t 0 Para tem pos positivos xt altera entre um e zero da se guinte forma um por 1 segundo zero por 1 se gundo um por 1 segundo zero por 2 segundos um por 1 segundo zero por 3 segundos e assim por diante Ou seja o tempo ligado é sempre um segundo mas o tempo desligado aumenta sucessivamente por um segundo entre cada al N de T Ciclo de trabalho Novamente encontrase na litera tura brasileira o termo em inglês o qual será mantido N de T Deslocamento no eixo vertical Figura P119 Sinal binário xt Figura P121 Figura P122 136 SINAIS E SISTEMAS LINEARES ternância Uma parte de xt é mostrada na Fig 119 Determine a potência e energia de xt 121 Para o sinal xt mostrado na Fig P121 tra ce os seguintes sinais 122 Para o sinal xt mostrado na Fig P122 trace 123 Na Fig P123 expresse os sinais x1t x2t x3t x4t e x5t em termos do sinal xt e suas versões deslocadas no tempo escalonadas no tempo ou revertidas no tempo 124 Para um sinal de energia xt com energia Ex mostre que a energia de qualquer um dos si nais xt xt e xt T é Ex Mostre tam bém que a energia de xat e xat b é Exa mas a energia de axt é a 2Ex Isto mostra que a inversão temporal e o deslocamento tempo ral não afetam a energia do sinal Por outro lado a compressão no tempo de um sinal a 1 reduz a energia e a expansão no tempo de um sinal a 1 aumenta a energia Qual é o efeito na energia do sinal se o sinal for mul tiplicado por uma constante a 125 Defina 2x3t 1 tut 1ut 1 onde ut é a função degrau unitário a Trace 2x3t 1 para uma faixa adequa da de t b Trace xt para uma faixa adequada de t 126 Considere um sinal xt 2 tut onde ut é a função degrau unitário a Faça o gráfico de xt para 1 t 1 b Faça o gráfico de yt 05x1 2t para 1 t 1 131 Determine se cada uma das seguintes afirma tivas é verdadeira ou falsa Se a afirmativa for falsa demonstre por prova analítica ou exemplo a Todo sinal contínuo no tempo é um sinal analógico b Todo sinal discreto no tempo é um sinal digital CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 137 c Se um sinal não for um sinal de energia então ele deve ser um sinal de potência e viceversa d Um sinal de energia deve ter duração fi nita e Um sinal de potência não pode ser causal f Um sinal periódico não pode ser anti causal 132 Determine se cada uma das seguintes afirma tivas é verdadeira ou falsa Se a afirmativa for falsa demonstre por prova ou exemplo por que a afirmativa é falsa a Todo sinal periódico limitado é um sinal de potência b Todo sinal de potência limitado é um si nal periódico c Se um sinal de energia xt possui energia E então a energia de xat é Ea Consi dere a um número real positivo d Se um sinal de potência xt possui potência P então a potência de xat é Pa Conside re a um número real positivo 133 Dado x1t cost x2t senπt e x3t x1t x2t a Determine os períodos fundamentais T1 e T2 dos sinais x1t e x2t b Mostre que x3t não é periódico o que requer T3 k1T1 k2T2 para algum intei ro k1 e k2 c Determine as potências Px1 Px2 e Px3 dos sinais x1t x2t e x3t 134 Para qualquer constante ω a função ft senωt é uma função periódica da variável in dependente t Justifique sua resposta 135 O sinal mostrado na Fig P135 é definido por A energia de xt é E 10417 a Qual é a energia de y1t 13x2t b um sinal periódico y2t é definido por Qual é a potência de y2t c Qual é a potência de y3t 13y22t Figura P123 Figura P135 Sinal de energia xt 138 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 136 Seja y1t y2t t 2 para 0 t 1 Observe que esta afirmativa não implica em y1t y2t para todo t a Defina y1t como um sinal par periódico com período T1 2 Rascunhe y1t e de termine sua potência b Projete um sinal periódico ímpar y2t com período T2 3 e potência igual a um Descreva completamente y2t e ras cunhe o sinal por pelo menos um perío do completo Dica Existe um número infinito de possíveis soluções para este problema você só precisa encontrar uma delas c Podemos criar uma função de valor com plexo y3t y1t jy2t Determine se este sinal é periódico ou não Se sim de termine o período T3 Se não justifique por que o sinal não é periódico d Determine a potência de y3t definido na parte c A potência de uma função de valor complexo zt é 141 Rascunhe o seguinte sinal 142 Expresse cada um dos sinais da Fig P142 por uma única expressão para todo t Figura P142 143 Simplifique as seguintes expressões 144 Calcule as seguintes integrais 145 a Determine e rascunhe dxdt para o sinal xt mostrado na Fig P122 b Determine e rascunhe d 2xdt 2 para o sinal xt mostrado na Fig P142a 146 Determine e rascunhe para o sinal xt ilustra do na Fig P146 147 Usando a definição de função generalizada do impulso Eq 124a mostre que δt é uma função par de t 148 Usando a definição de função generalizada do impulso Eq 124a mostre que CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 139 Figura P146 149 Mostre que onde φt e φPt são contínuas para t 0 e φt 0 quando t Esta integral define δt como uma função generalizada Dica Use integração por partes 1410 Uma senóide e σtcosωt pode ser expressa como a soma das exponenciais e st e e st Eq 130c com freqüências complexas s σ jω e s σ jω Localize no plano complexo as freqüên cias das seguintes senóides 151 Determine e rascunhe as componentes pares e ímpares de 152 a Determine a componente par e ímpar do sinal xt e 2tut b Mostre que a energia de xt é a soma das energias de suas componentes par e ím par determinadas na parte a c Generalize o resultado da parte b para qualquer sinal de energia finita 153 a Se xet e x0t são componentes par e ím par de um sinal real xt então mostre que b Mostre que 154 Um sinal não periódico é definido por xt senπtut onde ut é a função degrau contí nua no tempo A porção ímpar deste sinal x0t é periódica Justifique sua resposta 155 Um sinal não periódico é definido por xt cosπtut onde ut é a função degrau contí nua no tempo A porção par deste sinal x0t é periódica Justifique sua resposta 156 Considere o sinal xt mostrado na Fig P156 Figura P156 Entrada xt a Determine e cuidadosamente rascunhe vt 3x12t 1 b Determine a energia e potência de vt c Determine e cuidadosamente rascunhe a porção par de vt vet d Seja a 2 e b 3 rascunhe vat b vat b avt b e avt b e Seja a 3 e b 2 rascunhe vat b vat b avt b e avt b 157 Considere o sinal yt 15x2t 3 mos trado na Figura P157 a yt possui um parte ímpar y0t Se sim determine e cuidadosamente rascunhe y0t Caso contrário explique porque a parte ímpar não existe b Determine e cuidadosamente rascunhe o sinal original xt 158 Considere o sinal 12x3t 2 mostrado na Fig P158 140 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P157 yt 15x2t 3 a Determine e cuidadosamente rascunhe o sinal original xt b Determine e cuidadosamente rascunhe a porção par do sinal original xt c Determine e cuidadosamente rascunhe a porção ímpar do sinal original xt Figura P158 12x3t 2 159 A porção do conjugado simétrico ou Hermi tiano de um sinal é definido por wcst wt wt2 Mostre que a parte real de wcst é par e a parte imaginária de wcst é ímpar 1510 A porção do conjugado antisimétrico ou skewHermitiano de um sinal é definido por wcat wt wt2 Mostre que a par te real de wcat é ímpar e a parte imaginária de wcst é par 1511 A Figura P1511 apresenta um sinal comple xo wt no plano complexo para a faixa de tempo 0 t 1 O tempo t 0 corresponde a origem enquanto que o tempo t 1 corres ponde ao ponto 21 Figura 1511 wt para 0 t 1 a No plano complexo trace wt para 1 t 1 se i wt for um sinal par ii wt for um sinal ímpar iii wt for um sinal conjugado simé trico Dica Veja o Prob 159 iv wt for um sinal conjugado antisi métrico Dica Veja o Prob 1510 b No plano complexo trace o que você pu der de w3t 1512 Defina o sinal complexo xt t 21 j no in tervalo 1 t 2 A porção restante é definida de tal forma que xt é um sinal skewHermi tiano de mínima energia a Descreva completamente xt para todo t b Rascunhe yt Rext em função da variável independente t c Rascunhe zt Rejx2t 1 em função da variável independente t d Determine a energia e potência de xt 161 Escreva a relação entradasaída para um inte grador ideal Determine as componentes de entrada nula e estado nulo da resposta 162 Uma força xt atua em uma bola de massa M Fig P162 Mostre que a velocidade vt da bola em qualquer instante t 0 pode ser deter minada se conhecermos a força xt durante todo o intervalos de 0 a t e a velocidade inicial da bola v0 Figura P162 171 Para os sistemas descritos pelas seguintes equações com entrada xt e saída yt deter mine quais sistemas são lineares e quais são não lineares CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 141 172 Para os sistemas descritos pelas seguintes equa ções com entrada xt e saída yt explique com razões quais dos sistemas são sistemas com pa râmetros invariantes no tempo e quais são siste mas com parâmetros variantes no tempo 173 Para um certo sistema LIT com entrada xt e saída yt e as duas condições iniciais q10 e q20 as seguintes observações foram rea lizadas Determine yt quando as duas condições ini ciais são zero e a entrada xt é como mostrado na Fig P173 Dica Existem três causas a entrada e cada uma das duas condições ini ciais Devido a propriedade de linearidade se uma causa for aumentada por um fator k a res posta a aquela causa também aumenta pelo mesmo fator k Além disso se as causas forem somadas as respostas correspondentes tam bém serão somadas Figura P173 174 Um sistema é especificado pela seguinte rela ção entradasaída Mostre que o sistema satisfaz a propriedade de homogeneidade mas não a propriedade aditiva 175 Mostre que o circuito da Fig 175 é linear de estado nulo mas não é linear de entrada nula Assuma que todos os diodos possuem características idênticas casadas A saída é a corrente yt Figura P175 176 O indutor L e o capacitor C da Fig P176 são não lineares o que torna o circuito não linear Os três elementos restantes são linea res Mostre que a saída yt deste circuito não linear satisfaz as condições de lineari dade com relação a entrada xt e condições iniciais todas as correntes iniciais dos indu tores e tensões iniciais dos capacitores Figura P176 142 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 177 Para os sistemas descritos pelas seguintes equações com entrada xt e saída yt deter mine quais são causais e quais são não causais 178 Para os sistemas descritos pelas seguintes equa ções com entrada xt e saída yt determine quais são inversíveis e quais são não inversíveis Para os sistemas inversíveis determine a relação entradasaída do sistema inverso 179 Considere um sistema que multiplica uma da da entrada por uma função rampa rt tut Ou seja yt xtrt a Este sistema é linear Justifique sua res posta b O sistema é sem memória Justifique sua resposta c O sistema é causal Justifique sua res posta d O sistema é invariante no tempo Justifi que sua resposta 1710 Um sistema em tempo contínuo é dado por Lembrese que δt representa a função delta de Dirac a Explique o que este sistema faz b O sistema é estável BIBO Justifique sua resposta c O sistema é linear Justifique sua resposta d O sistema é sem memória Justifique sua resposta e O sistema é causal Justifique sua resposta f O sistema é invariante no tempo Justifi que sua resposta 1711 Um sistema é dado por a O sistema é estável BIBO Dica Consi dere a entrada do sistema xt uma onda quadrada b O sistema é linear Justifique sua resposta c O sistema é sem memória Justifique sua resposta d O sistema é causal Justifique sua resposta e O sistema é invariante no tempo Justifi que sua resposta 1712 Um sistema é dado por a O sistema é estável BIBO Justifique sua resposta b O sistema é linear Justifique sua resposta c O sistema é sem memória Justifique sua resposta d O sistema é causal Justifique sua resposta e O sistema é invariante no tempo Justifi que sua resposta 1713 A Figura P1713 mostra uma entrada x1t de um sistema H linear invariante no tempo LIT a saída correspondente y1t e uma se gunda entrada x2t a André sugere que x2t 2x13t x1t 1 André está correto Se sim prove Se não corrija seu erro b Esperando impressionar André Samanta quer saber a resposta y2t para o sinal de entrada x2t Forneça a ela uma expressão para y2t em termos de y1t Utilize o MATLAB para traçar y2t Figura P1713 CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 143 181 Para o circuito mostrado na Fig P1881 de termine as equações diferenciais relacionando as saídas y1t e y2t com a entrada xt Figura P181 182 Repita o Problema 181 para o circuito da Fig P182 Figura P182 183 Um modelo unidimensional simplificado da suspensão de um automóvel está mostrado na Fig P183 Neste caso a entrada não é uma força mas um deslocamento xt o contorno da rodovia Determine a equação diferencial que relaciona a saída yt deslocamento do corpo do automóvel com a entrada xt con torno da rodovia 184 Um motor CC controlado pelo campo está mostrado na Fig P184 Sua corrente de ar madura ia é mantida constante O torque gera do pelo motor é proporcional a corrente de campo if torque kfif Determine a equação diferencial relacionando a posição de saída θ com a tensão de entrada xt O motor e a car ga juntos possuem um momento de inércia J 185 A água flui para um tanque com uma taxa de qi unidadess e fui através de uma válvula de saída a uma taxa de q0 unidadess Fig P18 5 Determine a equação relacionando o fluxo de saída q0 com o fluxo de entrada qi O fluxo de saída é proporcional a altura h Logo q0 Rh onde R é a resistência da válvula Determi ne também a equação diferencial que relacio na a altura h com a entrada qi Dica O fluxo líquido de água no tempo Δt é qi q0Δt Es Figura P183 Figura P184 Figura P186 Circuito resistivo Figura P185 144 SINAIS E SISTEMAS LINEARES te fluxo também é AΔh onde A é a seção transversal do tanque 186 Considere o circuito mostrado na Fig P186 com tensão de entrada xt e correntes de saí da y1t y2t e y3t a Qual é a ordem deste sistema Explique sua resposta b Determine a representação matricial des te sistema c Use a regra de Cramer para determinar a corrente de saída y3t para a tensão de entrada xt 2 costut1 1101 Escreva as equações de estado para o circui to RLC paralelo da Fig P182 Use a tensão do capacitor q1 e a corrente do indutor q2 co mo suas variáveis de estado Mostre que ca da possível corrente ou tensão do circuito pode ser expressa em termos de q1 q2 e da entrada xt 1102 Escreva as equações de estado para o circuito de terceira ordem mostrado na Fig P1102 usando as correntes do indutor q1 q2 e a tensão do capacitor q3 como variáveis de estado Mostre que cada possível tensão ou corrente neste circuito pode ser expressa como uma combinação linear de q1 q2 q3 e da entrada xt Além disso em algum instante t foi ob servado que q1 5 q2 1 q3 2 e x 10 Determine a tensão e a corrente através de ca da elemento do circuito Figura P1102 Neste livro consideraremos dois métodos de análise de sistemas lineares invariantes no tempo LIT o método no domínio do tempo e o método no domínio da freqüência Neste capítulo discutiremos a análise no domínio do tempo de sistemas lineares contínuos invariantes no tempo LCIT 21 INTRODUÇÃO Para o propósito de análise consideraremos sistemas lineares diferenciais Esta é a classe de sistemas LCIT apresentados no Capítulo 1 para os quais a entrada xt e a saída yt estão relacionadas por equações diferen ciais lineares na forma 21a onde todos os coeficientes ai e bi são constantes Usando a notação do operador D para representar ddt pode mos expressar essa equação por 21b ou 21c na qual os polinômios QD e PD são 22a 22b Teoricamente as potências M e N nas equações anteriores podem assumir qualquer valor Entretanto con siderações práticas tornam M N não desejável por duas razões Na Seção 432 iremos mostrar que um siste ma LCIT especificado pela Eq 21 funciona como um diferenciador de ordem M N Um diferenciador re presenta um sistema instável pois uma entrada limitada tal como o a entrada em degrau resulta em uma saída não limitada δt Segundo o ruído é aumentado por um diferenciador O ruído é um sinal de banda larga con tendo componentes em todas as freqüências de 0 a freqüências muito altas tendendo a Logo o ruído con ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO C A PÍTU LO 2 Ruído é qualquer sinal não desejado natural ou produzido que interfere com os sinais desejados de um sistema Algumas fontes de ruído são a radiação eletromagnética espacial o movimento aleatório de elétrons em componentes do sistema a interferência devido a proximidade de estações de rádio e televisão transitórios produzidos pelo sistema de ignição de veículos e iluminação fluorescente 146 SINAIS E SISTEMAS LINEARES tém uma quantidade significativa de componentes que variam rapidamente Sabemos que a derivada de um si nal que varia rapidamente é grande Portanto qualquer sistema especificado pela Eq 21 na qual M N irá aumentar as componentes de alta freqüência do ruído através da diferenciação É muito possível que o ruído seja ampliado de tal forma que ele mascare completamente a saída do sistema mesmo se o sinal de ruído na entrada do sistema for pequeno dentro da tolerância Desta forma sistemas práticos geralmente utilizam M N No restante deste texto iremos assumir implicitamente que M N Para efeito de generalização iremos as sumir M N na Eq 21 No Capítulo 1 demonstramos que um sistema descrito pela Eq 21 é linear Portanto sua resposta pode ser expressa como a soma de duas componentes a componente de entrada nula e a componente de estado nulo pro priedade da decomposição Portanto Resposta total resposta entrada nula resposta estado nulo 23 A componente de entrada nula é a resposta do sistema quando a entrada xt 0 e portanto é resultado somente das condições internas do sistema tal como as energias armazenadas as condições iniciais Em contraste a componente de estado nulo é a resposta do sistema a entrada externa xt quando o sistema está em estado nulo significando a ausência de qualquer energia interna armazenada ou seja todas as condições iniciais são zero 22 RESPOSTA DO SISTEMA A CONDIÇÕES INTERNAS RESPOSTA DE ENTRADA NULA A resposta de entrada nula y0t é a solução da Eq 21 quando a entrada xt 0 tal que 24a ou 24b A solução dessa equação pode ser obtida sistematicamente 1 Entretanto iremos adotar um atalho usando a heurística A Eq 24 mostra que a combinação linear de y0t e suas N derivadas sucessivas é zero não em al gum valor de t mas para todo t Tal resultado é possível se e somente se y0t e todas as suas N derivadas suces sivas forem da mesma forma Caso contrário a soma não será zero para todos os valores de t Sabemos que so mente a função exponencial e λt possui esta propriedade Assim vamos presumir que é a solução da Eq 24b Então Podemos facilmente verificar que o sistema descrito pela Eq 21 possui a propriedade da decomposição Se y0t é a resposta de en trada nula então por definição Se yt é a resposta de estado nula então yt é a solução de sujeita a condições iniciais nulas estado nulo Somando estas duas equações temos Claramente y0t yt é a solução geral da Eq 21 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 147 Substituindo esses resultados na Eq 24b obtemos Para uma solução não trivial dessa equação 25a Esse resultado mostra que ce λt realmente é a solução da Eq 24 desde que λ satisfaça a Eq 25a Note que o polinômio da Eq 25a é idêntico ao polinômio QD da Eq 24 com λ substituindo D Portanto a Eq 25a pode ser escrita como 25b quando Qλ é expressa em termos de fatores a Eq 25b pode ser representada por 25c Claramente λ possui N soluções λ1 λ2 λN assumindo que todos os λi são distintos Conseqüentemente a Eq 24 possui N possíveis soluções c1e λ1t c2e λ2t cNe λNt com c1 c2 cN sendo constantes arbitrárias Pode mos rapidamente mostrar que uma solução genérica é dada pela soma destas N soluções tal que 26 onde c1 c2 cN são constantes arbitrárias determinadas pelas N restrições condições auxiliares da solução Observe que o polinômio Qλ o qual é característico do sistema não tem nada a ver com a entrada Por es ta razão o polinômio Qλ é chamado de polinômio característico do sistema A equação 27 é chamada de equação característica do sistema A Eq 25c claramente indica que λ1 λ2 λN são as raízes da equação característica Conseqüentemente eles são chamados de raízes características do sistema Os termos va lores característicos autovalores e freqüências naturais também são utilizados para as raízes características As exponenciais e λiti 1 2 n da resposta de entrada nula são os modos característicos também chamados de modos naturais ou simplesmente modos do sistema Existe um modo característico para cada raiz característica do sistema e a resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos característicos do sistema Os modos característicos de um sistema LCIT incluem especialmente um de seus atributos mais importan tes Os modos característicos não apenas determinam a resposta de entrada nula mas também possuem um im portante papel na determinação da resposta de estado nulo Em outras palavras todo o comportamento de um sistema é ditado principalmente pelos modos característicos No restante deste capítulo iremos perceber a pre sença constante dos modos característicos em todos os aspectos do comportamento dos sistemas RAÍZES REPETIDAS A solução da Eq 24 como mostrada na Eq 26 assume que as N raízes características λ1 λ2 λN são dis tintas Se existirem raízes repetidas a mesma raiz ocorrendo mais de uma vez a forma da solução será um pou co modificada Através da substituição direta podemos mostrar que a solução da equação Para provar esta afirmativa assuma que y1t y2t yNT são todas soluções da Eq 24 Então Multiplicando essas equações por c1 c2 cN respectivamente e somandoas teremos Este resultado mostra que c1y1t c2y2t cNynt também é solução da equação homogênea Eq 24 O termo eigenvalue autovalor é o termo alemão para valor característico a Determine y0t a componente de entrada nula da resposta de um sistema LCIT descrito pela seguin te equação diferencial quando as condições iniciais são y00 0 y 0 0 5 Note que y0t sendo a componente de entrada nu la xt 0 é a solução de D 2 3D 2y0t 0 148 SINAIS E SISTEMAS LINEARES é dada por Neste caso a raiz λ repete duas vezes Observe que os modos característicos neste caso são e λt e te λt Conti nuando neste padrão podemos mostrar que para a equação diferencial 28 os modos característicos são e λt te λt t 2e λt t r1e λt e a solução será 29 Conseqüentemente para um sistema com o polinômio característico os modos característicos são e λ1t te λ1t t r1e λ1t e λr1t e λNt e a solução é RAÍZES COMPLEXAS O procedimento para lidar com raízes complexas é o mesmo para raízes reais Para raízes complexas o proce dimento normal resulta em modos característicos complexos e em solução na forma complexa Entretanto é possível evitar a forma complexa selecionando a forma real da solução como descrito a seguir Para um sistema real as raízes complexas devem ocorrer em pares conjugados se os coeficientes do polinô mio característico Qλ forem reais Portanto se α jβ é uma raiz característica então α jβ também deve ser uma raiz característica A resposta de entrada nula correspondente a este par de raízes complexas conjugadas é 210a Para um sistema real a resposta y0t também deve ser real Isso é possível apenas se c1 e c2 forem conjuga dos Seja O que resulta em 210b Portanto a resposta de entrada nula correspondente às raízes complexas conjugadas α jβ pode ser expres sa na forma complexa 210a ou na forma real 210b EXEMPLO 21 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 149 O polinômio característico do sistema é λ 2 3λ 2 Portanto a equação característica do sistema é λ 2 3λ 2 λ 1λ 2 0 As raízes características do sistema são λ1 1 e λ2 2 e os mo dos característicos do sistema são e t e e 2t Conseqüentemente a resposta de entrada nula é 211a Para determinar as constantes arbitrárias c1 e c2 diferenciamos a Eq 211a para obter 211b Fazendo t 0 nas Eqs 211a e 211b e substituindo as condições iniciais y00 0 e y 00 5 ob temos Resolvendo estas duas equações simultâneas para as suas incógnitas c1 e c2 teremos Portanto 211c Esta é a componente de entrada nula de yt Como y0t está presente para t 0 estamos justificados para considerar que ela existe para t 0 b um procedimento similar pode ser seguido para raízes repetidas Por exemplo para um sistema es pecificado por vamos determinar y0t a componente de entrada nula da resposta se as condições iniciais forem y00 3 e y 00 7 O polinômio característico é λ 2 6λ 9 λ 3 2 e as raízes características são λ1 3 e λ2 3 raízes repetidas Conseqüentemente os modos característicos do sistema são e 3t e te 3t Como a resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos característicos temos Podemos determinar as constantes arbitrárias c1 e c2 a partir das condições iniciais y00 3 e y 0 0 7 adotando o mesmo procedimento da parte a O leitor pode mostrar que c1 3 e c2 2 Logo c Para o caso de raízes complexas vamos determinar a resposta de entrada nula de um sistema LCIT descrito pela equação com condições iniciais y00 2 e y 00 1678 O polinômio característico é λ 2 4λ 40 λ 2 j6λ 2 j6 e as raízes características são 2 j6 A solução pode ser escrita na forma complexa Eq 210a ou na forma real Eq 210b A forma y0t pode estar presente mesmo antes de t 0 Entretanto podemos ter a certeza de sua presença apenas de t 0 para frente As raízes complexas conjugadas para um polinômio de segunda ordem podem ser determinadas usando a fórmula da Seção B710 ou expressando o polinômio como a soma de dois quadrados Podese conseguir a soma de dois quadrados completando o quadrado com os dois primeiros termos como mostrado a seguir 150 SINAIS E SISTEMAS LINEARES complexa é y0t c1e λ1t c2e λ2t onde λ1 2 j6 e λ2 2 j6 Como α 2 e β 6 a solução na for ma real é veja Eq 210b 212a onde c e θ são constantes arbitrárias a serem determinadas a partir das condições iniciais y00 2 e y 0 0 1678 Diferenciando a Eq 212a teremos 212b Fazendo t 0 nas Eqs 212a e 212b e substituindo as condições iniciais obtemos A solução destas duas equações simultâneas de duas incógnitas c cos θ e c sen θ resulta em 213a 213b Fazendo o quadrado e somando os dois lados das Eqs 213 teremos A seguir dividindo a Eq 213b pela Eq 213a ou seja dividindo c sen θ por c cos θ teremos e Logo Para o gráfico de y0t refirase novamente à Fig B11c EXEMPLO DE COMPUTADOR C21 Determine as raízes λ1 e λ2 do polinômio λ 2 4λ k para três valores de k a k 3 b k 4 c k 40 a CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 151 para k 3 as raízes do polinômio são portanto λ1 3 e λ2 1 b para k 4 as raízes do polinômio são portanto λ1 λ2 2 c para k 40 as raízes do polinômio são portanto λ1 2 j6 e λ2 2 j6 EXEMPLO DE COMPUTADOR C22 Considere um sistema LCIT especificado pela equação diferencial Usando as condições iniciais y00 3 e 7 determine a componente de entrada nula da resposta para três valores de k a k 3 b k 4 c k 40 a para k 3 a resposta de entrada nula é portanto y0t 2e 3t e t b para k 4 a resposta de entrada nula é portanto y0t 2e 2t te 2t c para k 40 a resposta de entrada nula é portanto 152 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXERCÍCIO E21 Determine a resposta de entrada nula para um sistema LCIT descrito por D 5yt xt se a condição inicial for y0 5 RESPOSTA EXERCÍCIO E22 Resolva RESPOSTA CONDIÇÕES INICIAIS PRÁTICAS E O SIGNIFICADO DE 0 E 0 No Exemplo 21 as condições iniciais y00 e y 00 foram fornecidas Em problemas práticos devemos determi nar tais condições a partir da situação física Por exemplo em um circuito RLC podemos ter as condições ini ciais diretamente tensões iniciais dos capacitores correntes iniciais dos indutores etc Destas informações precisamos determinar y00 y 00 para as variáveis desejadas como demonstrado no próximo exemplo Em grande parte de nossa discussão assumese que a entrada começa em t 0 a não ser que seja mencio nado Logo t 0 é o ponto de referência As condições imediatamente antes de t 0 exatamente antes da en trada ser aplicada são as condições para t 0 e as imediatamente após t 0 exatamente após a entrada ser aplicada são as condições para t 0 compare essa referência com a referência histórica AC e DC Na práti ca provavelmente saberemos as condições para t 0 ao invés de t 0 Os dois conjuntos de condições geral mente são diferentes apesar de em alguns casos eles serem idênticos A resposta total yt é constituída de duas componentes a componente de entrada nula y0t resposta devido apenas às condições iniciais com xt 0 e a componente de estado nulo resultante apenas da entrada e com to das as condições iniciais iguais a zero Para t 0 a resposta total yt consiste apenas da componente de entra da nula y0t pois a entrada ainda não foi aplicada Logo as condições iniciais para yt são idênticas àquelas pa ra y0t Portanto y0 y00 y 0 y 00 e assim por diante Além disso y0t é a resposta devido ape nas às condições iniciais e não depende da entrada xt logo a aplicação da entrada em t 0 não possui efeito em y0t Isso significa que as condições iniciais para y0t em t 0 e 0 são idênticas ou seja y00 y 0 0 são idênticos a y00 y 00 respectivamente Desta forma fica claro que para y0t não existe distinção en tre as condições iniciais para t 0 e 0 Elas são iguais Mas este não é o caso com a resposta total yt a qual é constituída tanto da componente de entrada nula quanto da componente de estado nulo Portanto em geral y0 y0 y 00 y 00 e assim por diante Uma tensão xt 10e 3tut é aplicada na entrada do circuito RLC mostrado na Fig 21a Determine a cor rente de malha yt para t 0 se a corrente inicial no indutor for zero ou seja y0 0 e a tensão inicial no capacitor for 5 volts ou seja vc0 5 A equação diferencial de malha relacionando yt com xt foi determinada na Eq 155 como sendo A componente de estado nula de yt resultante da entrada xt assumindo que todas as condições iniciais são zero ou seja y0 vc0 0 será obtida posteriormente no Exemplo 26 Neste exemplo iremos de terminar a componente de entrada nula y0t Para isso precisamos de duas condições iniciais y00 e y 00 Estas condições podem ser obtidas das condições iniciais dadas y0 0 e vc0 5 Lembrese que y0t é a corrente de malha quando os terminais de entrada estão curtocircuitados de tal forma que a entrada se ja xt 0 entrada nula como mostrado na Fig 21b Figura 21 Podemos agora determinar y00 e os valores da corrente de malha e sua derivada para t 0 a partir dos valores iniciais da corrente do indutor e da tensão do capacitor Lembre que a corrente do indutor não pode variar instantaneamente na ausência de um impulso de tensão Da mesma forma a tensão do capacitor não pode variar instantaneamente na ausência de um impulso de corrente Portanto quando os terminais de en trada são curtocircuitados em t 0 a corrente do indutor ainda será zero e a tensão do capacitor ainda se rá 5 volts Logo Para determinar y tor é Ld y0 dt ou y 00 utilizaremos a equação de malha do circuito da Fig 21b Como a tensão do indu 0t esta equação pode ser escrita como CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 153 EXEMPLO 22 154 SINAIS E SISTEMAS LINEARES INDEPENDÊNCIA DA RESPOSTA DE ENTRADA NULA E RESPOSTA DE ESTADO NULO No Exemplo 22 calculamos a componente de entrada nula sem usar a entrada xt A componente de estado nu lo pode ser determinada apenas do conhecimento da entrada xt pois as condições iniciais são consideradas iguais a zero sistema no estado zero As duas componentes da resposta do sistema componentes de entrada nula e estado nulo são independentes uma da outra Os dois mundos de resposta de entrada nula e resposta de estado nulo coexistem lado a lado um não sabe e nem se preocupa com o que o outro está fazendo Para cada componente a outra é totalmente irrelevante Fazendo t 0 obtemos Mas y00 0 e vc0 5 conseqüentementep Portanto as condições iniciais desejadas são Desta forma o problema se reduz agora a determinar y0t a componente de entrada nula de yt do siste ma especificado pela equação D 2 3D 2yt Dxt quando as condições iniciais y00 0 e y 00 5 Já resolvemos este problema no Exemplo 21a no qual determinamos 214 Esta é a componente de entrada nula da corrente de malha yt É interessante determinar as condições iniciais para t 0 e 0 para a resposta total yt Vamos compa rar y0 e y 00 com y0 e y0 Os dois pares podem ser comparados escrevendo a equação de malha para o circuito da Fig 21a para t 0 e t 0 A única diferença entre as duas situações é que para t 0 a entrada é xt 0 enquanto que para t 0 a entrada é xt 10 porque xt 10e 3t Logo as duas equações de malha são A corrente de malha y0 y0 0 porque ela não pode variar instantaneamente na ausência de uma tensão impulsiva O mesmo argumento é válido para a tensão do capacitor Logo Substituindo estes valores nas equações anteriores obtemos y0 5 e y0 5 Logo 215 EXERCÍCIO E23 No circuito da Fig 21a a indutância L 0 e a tensão inicial no capacitor vC0 30 volts Mostre que a componente de entrada nula da corrente de malha é dada por y0t 10e 2t3 para t 0 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 155 PAPEL DE CONDIÇÕES AUXILIARES NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A solução de equações diferenciais requer peças adicionais de informação as condições auxiliares Por quê Mostraremos agora heuristicamente porque uma equação diferencial não possui geralmente uma única solu ção a não ser que alguma restrição ou condição adicional da solução seja conhecida A operação de diferenciação não é inversível a menos que uma informação sobre yt seja dada Para obter yt de dydt devemos conhecer uma informação tal como y0 Portanto a diferenciação é uma operação não inversível durante a qual certa informação é perdida Para reverter esta operação é necessário que uma informa ção sobre yt seja fornecida para restaurar yt original Usando um argumento similar podemos mostrar que dado d 2ydt 2 podemos determinar yt unicamente somente se duas informações restrições de yt forem for necidas Em geral para determinar unicamente yt de sua Nésima derivada precisamos de N informações adi cionais restrições sobre yt Estas restrições também são chamadas de condições auxiliares Quando estas condições são dadas para t 0 elas são chamadas de condições iniciais 221 Algumas Informações sobre o Comportamento de Entrada Nula de um Sistema Por definição a resposta de entrada nula é a resposta do sistema a suas condições internas assumindo que a en trada é zero A compreensão deste fenômeno fornece informações interessantes sobre o comportamento do sis tema Se um sistema for momentaneamente perturbado de seu estado de repouso e se a perturbação for removi da o sistema não irá retornar ao repouso instantaneamente Em geral ele demorará um certo período para retor nar ao repouso e fará um caminho específico que é característico ao sistema Por exemplo se pressionarmos o páralama de um automóvel momentaneamente e então o soltarmos em t 0 não há força no automóvel em t 0 O corpo do automóvel eventualmente irá retornar a sua posição de repouso equilíbrio mas não através de qualquer movimento arbitrário Ele deve fazêlo usando apenas uma forma de resposta que é sustentada pelo sis tema em si sem qualquer fonte externa pois a entrada é nula Apenas os modos característicos satisfazem esta condição O sistema utiliza uma combinação própria dos modos característicos para retornar a posição de re pouso enquanto satisfaz as condições de limite ou iniciais apropriadas Se o párachoque de um veículo estiver em boas condições alto coeficiente de amortecimento os modos ca racterísticos serão exponenciais monotonicamente decrescentes e o corpo do automóvel irá retornar ao repou so rapidamente e sem oscilações Por outro lado para párachoques ruins baixo coeficiente de amortecimento os modos característicos serão senóides exponencialmente amortecidas e o corpo do automóvel retornará ao re pouso através de um movimento oscilatório Quando um circuito RC série com carga inicial do capacitor é cur tocircuitado o capacitor começa a descarregar exponencialmente através do resistor Essa resposta do circuito RC é causada apenas pelas condições internas e é mantida pelo sistema sem a ajuda de nenhuma entrada exter na A forma de onda exponencial da corrente é portanto o modo característico do circuito RC Matematicamente sabemos que qualquer combinação dos modos característicos pode ser mantida pelo sis tema apenas sem a necessidade de uma entrada externa Esse fato pode ser facilmente verificado para o circui to RL série mostrado na Fig 22 A equação de malha para esse sistema é Ela possui uma única raiz característica λ 2 e o modo característico é e 2t Verificamos agora que a cor rente de malha yt ce 2t pode ser mantida através deste circuito sem qualquer tensão de entrada A tensão de entrada xt necessária para manter uma corrente de malha yt ce 2t é dada por Presumindo que o sistema acabará retornando à sua condição original de repouso ou equilíbrio Ignoraremos a força da gravidade a qual simplesmente causa um deslocamento constante no corpo do automóvel sem afetar outros movimentos 156 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Claramente a corrente de malha yt ce 2t é mantida pelo próprio circuito RL sem a necessidade de uma entrada externa O FENÔMENO DA RESSONÂNCIA Vimos que qualquer sinal constituído pelo modo característico de um sistema é mantido pelo próprio sistema que não oferece obstáculo a tais sinais Imagine o que acontece se alimentarmos o sistema com uma entrada ex terna que é um de seus modos característicos Isto seria equivalente a jogar gasolina em uma floresta seca em chamas ou solicitar a um alcólatra que prove licor Um alcólatra aceitaria de bom grado o trabalho sem receber pagamento Pense agora no que aconteceria se ele ainda recebesse um pagamento por cada licor provado Ele iria trabalhar sem folga Ele trabalharia dia e noite até se destruir A mesma coisa acontece com um sistema ali mentado por uma entrada na forma de um modo característico A resposta do sistema cresce sem limite até se queimar Chamamos este comportamento de fenômeno da ressonância Uma discussão mais abrangente deste importante fenômeno requer a compreensão da resposta de estado nulo Por essa razão deixaremos este tópico para a Seção 277 23 A RESPOSTA ht AO IMPULSO UNITÁRIO No Capítulo 1 explicamos como a resposta do sistema a um impulso xt pode ser determinada substituindo a entrada por pulsos retangulares estreitos como mostrado na Fig 127a e então somando todas as respostas do sistema a cada componente Os pulsos retangulares se transformam em impulsos quando as larguras tendem a zero Portanto a resposta do sistema é a soma de todas as respostas aos vários componentes de impulso Esta discussão mostra que se soubermos a resposta do sistema a uma entrada impulsiva podemos determinar a res posta do sistema a uma entrada arbitrária xt Agora discutiremos um método de determinação de ht a res posta ao impulso unitário de um sistema LCIT descrito pela equação diferencial de ordem N Eq 21a 216a onde QD e PD são os polinômios mostrados na Eq 22 Lembrese de que as considerações a respeito do ruído limitam os sistemas práticos a M N Considerando este limite o caso mais geral é M N Portanto a Eq 216 pode ser escrita por 216b Antes de determinarmos uma expressão genérica para a resposta ht ao impulso unitário é interessante com preendermos qualitativamente a natureza de ht A resposta ht ao impulso é a resposta do sistema a uma en trada impulsiva δt aplicada em t 0 com todas as condições iniciais zero para t 0 Uma entrada em impul so δt é como um raio o qual atinge instantaneamente e então some Mas em seu caminho naquele momento singular os objetos atingidos são reorganizados Similarmente uma entrada em impulso δt aparece momenta neamente em t 0 e então desaparece para sempre Mas naquele momento ela resulta no armazenamento de Figura 22 Os modos sempre conseguem uma volta grátis Na prática o sistema em ressonância provavelmente entraria em saturação devido aos altos valores de amplitude Determine a resposta ht ao impulso para um sistema descrito por 220 Neste caso b0 0 Logo ht é constituído apenas dos modos característicos O polinômio característi co é λ 2 5λ 6 λ 2λ 3 As raízes são 2 e 3 Logo a resposta ht ao impulso é 221 Fazendo xt δt e yt ht na Eq 220 obtemos 222 Lembre que as condições iniciais h0 e h0 são zero Mas a aplicação de um impulso em t 0 cria no vas condições iniciais para t 0 Seja h0 K1 e h0 K2 Este salto de descontinuidade em ht e ht para t 0 resulta nos termos impulsivos h0 K1δt e h0 K1δt K2δt no lado esquerdo da equa ção Comparando os coeficientes dos termos impulsivos nos dois lados da Eq 222 teremos CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 157 energia ou seja cria condições iniciais não nulas instantaneamente dentro do sistema para t 0 Apesar de a entrada em impulso δt sumir para t 0 de forma que o sistema não possui mais entrada após a aplicação do impulso o sistema ainda possui uma resposta gerada pelas condições iniciais recémcriadas A resposta ao im pulso portanto deve constituir os modos característicos para t 0 Como resultado ht termos dos modos característicos t 0 Essa resposta é válida para t 0 Mas o que acontece em t 0 No único momento t 0 só pode haver um impulso de forma que a resposta completa ht é ht A0δt termos dos modos característicos t 0 217 como ht é a resposta ao impulso unitário fazendo xt δt e yt ht na Eq 216b teremos 218 Nesta equação substituímos ht da Eq 217 e comparamos os coeficientes de termos impulsivos similares dos dois lados A derivada do impulso de mais alta ordem nos dois lados é N com os valores de coeficiente A0 no lado esquerdo e b0 no lado direito Os dois valores devem coincidir Portanto A0 b0 e ht b0δt modos característicos 219 Na Eq 216b se M N b0 0 Logo os termos de impulso b0δt existem apenas se M N As incógni tas dos coeficientes dos N modos característicos de ht da Eq 219 podem ser determinadas usando a técnica de casamento de impulso como explicada no exemplo a seguir Também é possível que as derivadas de δt apareçam na origem Entretanto se M N é impossível para ht ter derivadas de δt Es ta conclusão segue da Eq 216b com xt δt e yt ht Os coeficientes do impulso e todas as suas derivadas devem coincidir nos dois lados desta equação Se ht contém δ 1t o lado esquerdo da Eq 216b irá conter um termo δ Ν1t Mas o termo da deri vada de mais alta ordem do lado direito é δ Νt Portanto os dois lados não coincidem Argumentos similares podem ser feitos contra a presença de derivadas de mais alta ordem do impulso em ht EXEMPLO 23 Determine a resposta ht ao impulso unitário para o sistema especificado pela equação 225 Este é um sistema de segunda ordem N 2 possuindo o seguinte polinômio característico As raízes características deste sistema são λ 1 e λ 2 Portanto 226a Diferenciando esta equação teremos 226b 158 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Apesar de o método utilizado neste exemplo ser relativamente simples podemos simplificálo ainda mais uti lizando uma versão modificada de casamento de impulso MÉTODO SIMPLIFICADO DE CASAMENTO DE IMPULSO A técnica alternativa que apresentaremos agora nos permite reduzir o procedimento em uma rotina simples pa ra a determinação de ht Para evitar a distração do leitor a prova deste procedimento será colocada na Seção 28 Nela mostraremos que para um sistema LCIT especificado pela Eq 216 a resposta ht a entrada em im pulso unitário é dada por 223 onde ynt é a combinação linear dos modos característicos do sistema sujeito às seguintes condições iniciais 224a na qual yn kt é o valor da késima derivada de ynt para t 0 Podemos expressar este conjunto de condições para vários valores de N a ordem do sistema como mostrado a seguir 224b e assim por diante Como afirmado anteriormente se a ordem de PD é menor do que a ordem de QD ou seja se M N en tão b0 0 e o termo b0δt em ht é zero Utilizamos os valores h0 K1 1 e h0 K2 4 na Eq 221 para determinarmos c1 e c2 Fazen do t 0 na Eq 221 substituímos c1 c2 1 Fazendo também t 0 em ht obtemos 2c1 3c2 4 Essas duas equações simultâneas resultam em c1 1 e c2 2 Logo EXEMPLO 24 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 159 Comentário Na discussão anterior assumimos M N como especificado pela Eq 216b O Apêndice 21 is to é Seção 28 mostra que a expressão para ht aplicável a todos os possíveis valores de M e N é dada por onde ynt é a combinação linear dos modos característicos do sistema sujeito às condições iniciais 224 Esta expressão se reduz à Eq 223 quando M N A determinação da resposta ht ao impulso usando o procedimento desta seção é relativamente simples En tretanto o Capítulo 4 irá discutir outro método ainda mais simples usando a transformada de Laplace As condições iniciais são veja Eq 224b para N 2 Fazendo t 0 nas Eqs 226a e 226b e substituindo as condições iniciais anteriores obtemos A solução dessas duas equações simultâneas resulta em Portanto Além disso de acordo com a Eq 225 PD D de tal forma que Também neste caso b0 0 o termo de segunda ordem está ausente em PD Portanto EXERCÍCIO E24 Determine a resposta ao impulso unitário dos sistemas LCITs descritos pelas seguintes equações RESPOSTAS 160 SINAIS E SISTEMAS LINEARES RESPOSTA DO SISTEMA AO IMPULSO ATRASADO Se ht é a resposta de um sistema LCIT a entrada δt então ht T é a resposta deste mesmo sistema a entrada δt T Esta conclusão é obtida da propriedade de invariância no tempo de sistemas LCIT Portanto se conhecer mos a resposta ht ao impulso unitário podemos determinar a resposta do sistema ao impulso atrasado δt T 24 RESPOSTA DO SISTEMA À ENTRADA EXTERNA RESPOSTA DE ESTADO NULO Esta seção é dedicada a determinação da resposta de estado nulo de um sistema LCIT Esta é a resposta yt do sistema a uma entrada xt quando o sistema está no estado nulo ou seja quando todas as condições são zero Assumiremos que os sistemas discutidos nesta seção estão no estado nulo a não ser que mencionado o contrá rio Com esta condição a resposta de estado nulo irá ser a resposta total do sistema Utilizaremos a propriedade da superposição para determinar a resposta do sistema a uma entrada arbitrária xt Va mos definir um pulso básico pt de altura unitário e largura Δτ começando em t 0 como mostrado na Fig 23a A Fig 23b mostra a entrada xt como a soma de pulsos retangulares estreitos O pulso começando em t nΔτ da Fig 23b possui altura xnΔτ e pode ser expresso por xnΔτpt nΔτ Agora xt é a soma de todos os pulsos Logo 227 O termo xnΔτ Δτpt nΔτ representa um pulso pt nΔτ com altura xnΔτ Δτ Quando Δτ 0 a altura desta faixa mas sua área permanece xnΔτ Logo esta faixa se aproxima do impulso xnΔτδt nΔτ para Δτ 0 Fig 23e Portanto 228 Para determinar a resposta para esse impulso xt iremos considerar a entrada e os pares de saída corresponden tes como mostrado na Fig 23c23f e também mostrados pela notação de setas direcionais mostradas a seguir EXEMPLO DE COMPUTADOR C23 Determine a resposta ht ao impulso para um sistema LCIT especificado pela equação diferencial Este é um sistema de segunda ordem com b0 0 Inicialmente determinamos a componente de entrada nula para as condições iniciais y0 0 e y0 1 Como PD D a resposta a entrada nula é diferen ciável e a resposta ao impulso é imediatamente obtida Portanto CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 161 Figura 23 Determinando a resposta do sistema a uma entrada arbitrária xt 162 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Portanto 229 Este é o resultado que procuramos Obtivemos a resposta do sistema yt a uma entrada arbitrária xt em termos da resposta ht do impulso unitário Conhecendo ht podemos determinar a resposta yt a qualquer entrada Ob serve novamente a natureza persuasiva dos modos característicos A resposta do sistema a qualquer entrada é de terminada pela resposta ao impulso a qual por sua vez é constituída dos modos característicos do sistema É importante termos em mente as considerações utilizadas na determinação da Eq 229 Assumimos um sistema linear contínuo invariante no tempo A linearidade nos permitiu utilizar o princípio da superposição e a invariância no tempo possibilitou expressar a resposta do sistema a δt nΔτ como sendo ht nΔτ 241 A Integral de Convolução A resposta yt de estado nulo obtida na Eq 229 é dada por uma integral que aparece freqüentemente em ciên cias físicas engenharia e matemática Por essa razão essa integral possui um nome especial integral de convo lução A integral de convolução de duas funções x1t e x2t é representada simbolicamente por x1t x2t sen do definida por 230 Algumas propriedades importantes da integral de convolução serão mostradas a seguir PROPRIEDADE COMUTATIVA A operação convolução é comutativa Ou seja x1t x2t x2t x1t Essa propriedade pode ser provada pe la mudança de variável Na Eq 230 se fizermos z t τ de tal forma que τ t z e dτ dz obteremos 231 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA De acordo com a propriedade distributiva 232 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA De acordo com a propriedade associativa 233 Na determinação deste resultado assumimos um sistema invariante no tempo Se o sistema for variante no tempo então a resposta do sistema a entrada δt nΔτ não pode ser expressa por ht nΔτ e deverá ter a forma ht nΔτ Utilizando essa forma a Eq 229 se rá modificada para na qual ht τ é a resposta do sistema no instante t a uma entrada impulsiva localizada em τ CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 163 As provas das Eqs 232 e 233 seguem diretamente da definição da integral de convolução Elas são dei xadas como exercício para o leitor PROPRIEDADE DE DESLOCAMENTO Se Então 234a e 234b Prova Considerando Portanto A Eq 234b segue da Eq 234a CONVOLUÇÃO COM UM IMPULSO A convolução de uma função xt com o impulso unitário resulta na própria função xt Pela definição da con volução 235 Como δt T é um impulso localizado em τ t de acordo com a propriedade de amostragem do impulso Eq 124 a integral da Eq 235 é o valor de xτ para τ t ou seja xt Portanto 236 Esse resultado na realidade foi obtido anteriormente Eq 228 PROPRIEDADE DA LARGURA Se a duração largura de x1t e x2t forem finitas dadas por T1 e T2 respectivamente então a duração largura de x1t x2t será T1 T2 Fig 24 A prova dessa propriedade segue diretamente das considerações gráficas discutidas anteriormente na Seção 242 Figura 24 Propriedade da largura de convolução 164 SINAIS E SISTEMAS LINEARES RESPOSTA DE ESTADO NULO E CAUSALIDADE A resposta de estado nulo yt de um sistema LCIT é 237 Na determinação da Eq 237 consideramos o sistema linear e invariante no tempo Não houve outras restri ções sobre o sistema ou o sinal de entrada xt Na prática a maioria dos sistemas é causal de forma que suas respostas não podem começar antes da entrada Além disso a maioria das entradas também são causais o que significa que elas começam em t 0 A restrição de causalidade tanto dos sinais quanto dos sistemas simplifica ainda mais os limites da integra ção da Eq 237 Pela definição a resposta de um sistema causal não pode começar antes da entrada começar Conseqüentemente a resposta de um sistema causal ao impulso unitário δt o qual está localizado em t 0 não pode começar antes de t 0 Portanto a resposta ht ao impulso unitário de um sistema causal é um sinal causal É importante lembrar que a integração na Eq 237 é executada com relação a τ e não t Se a entrada xt é causal xt 0 para t 0 Portanto xτ 0 para τ 0 como mostrado na Fig 25a Similarmente se ht é causal ht τ 0 para t τ 0 ou seja para τ t como mostrado na Fig 25a Portanto o produto xτht τ 0 em todo lugar exceto sobre o intervalo não sombreado 0 τ t mostrado na Fig 25a presumindo t 0 Observe que se t for negativo xτht τ 0 para todo τ como mostrado na Fig 25b Logo a Eq 237 se re duz a 238a O limite inferior da integração da Eq 238a é considerado como sendo 0 para evitar a dificuldade de inte gração que podemos ter se xt contiver um impulso na origem Esse resultado mostra que se xt e ht são am bos causais a resposta yt também será causal Por causa da propriedade cumulativa da convolução Eq 231 também podemos expressar a Eq 238a como presumindo xt e ht causais 238b Daqui por diante o limite inferior de 0 será deduzido mesmo quando o escrevermos como 0 Como na Eq 238a esse resultado presume que a entrada e o sistema são causais Figura 25 Limites da integral de convolução Para um sistema LCIT com resposta ao impulso unitário dada por ht e 2tut determine a resposta yt para a entrada 239 Neste caso tanto xt quanto ht são causais Fig 26 Logo a partir da Eq 238a obtemos Como xt e tut e ht e 2tut Lembre que a integração é calculada com relação a τ e não t e que a região de integração é 0 τ t Logo τ 0 e t τ 0 Portanto uτ 1 e ut τ 1 Conseqüentemente Figura 26 Convolução de xt e ht Como essa integração é realizada com relação a τ podemos colocar e 2t para fora da integral resultando em CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 165 EXEMPLO 25 166 SINAIS E SISTEMAS LINEARES TABELA DE CONVOLUÇÃO A tarefa de convoluir sinais é simplificada se utilizarmos uma tabela já pronta de convolução Tabela 21 Es ta tabela a qual lista vários pares de sinais e suas convoluções pode determinar convenientemente yt a res posta do sistema a uma entrada xt sem termos que passar pelo entediante trabalho de integração Por exem plo poderíamos ter obtido rapidamente a convolução do Exemplo 25 usando o par 4 com λ1 1 e λ2 2 o qual fornece o resultado e t e 2tut O exemplo a seguir demonstra a utilidade desta tabela Além disso yt 0 quando t 0 veja Eq 238a Portanto A resposta está mostrada na Fig 26c EXERCÍCIO E25 Para um sistema LCIT com resposta ao impulso dada por ht 6 etut determine a resposta do sistema para as entradas RESPOSTAS EXERCÍCIO E26 Repita o Exercício 25 para a entrada xt e tut RESPOSTA Tabela 21 Tabela de convolução Determine a corrente de malha yt do circuito RLC do Exemplo 22 para a entrada xt 10e 3tut quando todas as condições iniciais são zero A equação de malha para esse circuito veja o Exemplo 110 ou Eq 155 é A resposta ht ao impulso para este sistema como obtida no Exemplo 24 é A entrada é xt 10e 3tut e a resposta yt é CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 167 EXEMPLO 26 168 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Usando a propriedade distributiva da convolução Eq 9232 obtemos Agora usando o par 4 da Tabela 21 teremos EXERCÍCIO E27 Refaça os Exercícios E25 e E26 usando a tabela de convolução EXERCÍCIO 28 Utilize a tabela de convolução para determinar RESPOSTA EXERCÍCIO E29 Para um sistema LCIT com resposta ht e 2tut ao impulso unitário determine a resposta de estado nulo yt se a entrada for xt sen 3t ut Dica utilize o par 12 da Tabela 21 RESPOSTA RESPOSTA A ENTRADAS COMPLEXAS A resposta do sistema LCIT discutida até este momento se aplica a sinais de entrada genéricos reais ou comple xos Entretanto se um sistema for real ou seja se ht for real então devemos mostrar que a parte real da entra da gera a parte real da saída e uma conclusão similar se aplica a parte imaginária Se a entrada for xt xrt jxit onde xrt e xit são as partes real e imaginária de xt então para um ht real CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 169 onde yrt e yit são as partes real e imaginária de yt Usando a notação de setas direcionais para indicar um par de entrada e a sua saída correspondente o resultado anterior pode ser escrito como mostrado a seguir Se então 240 ENTRADAS MÚLTIPLAS Entradas múltiplas de um sistema LIT podem ser analisadas aplicandose o princípio da superposição Cada entra da é considerada separadamente com todas as outras entradas iguais a zero A soma de todas as respostas indivi duais do sistema constitui a saída total do sistema quando todas as entradas forem aplicadas simultaneamente 242 Entendimento Gráfico da Operação de Convolução A operação de convolução pode ser facilmente compreendida analisando a interpretação gráfica da integral de con volução Este entendimento é útil na determinação da integral de convolução de sinais mais complexos Além disso a convolução gráfica nos permite compreender visualmente ou mentalmente o resultado da integral de convolução o qual pode ser de grande valia na amostragem filtragem e em muitos outros problemas Finalmente vários sinais não possuem uma descrição matemática exata logo eles podem ser descritos apenas graficamente Se dois destes tipos de sinais tiverem que ser convoluídos não teremos escolha a não ser executar a convolução graficamente Agora explicaremos a operação de convolução usando os sinais xt e gt ilustrados na Fig 27a e 27b res pectivamente Se ct for a convolução de xt com gt então 241 Um dos pontos cruciais a serem lembrados é que essa integração é executada com respeito a τ de tal forma que t é apenas um parâmetro tal como uma constante Esta consideração é especialmente importante quando traçamos as representações gráficas das funções xτ e gt τ que aparecem como integrandos da Eq 241 As duas funções devem ser traçadas como funções de τ e não t A função xτ é idêntica a xt com τ substituindo t Fig 27c Portanto xt e xτ terão as mesmas repre sentações gráficas Considerações similares se aplicam a gt e gτ Fig 27d Para sabermos como gt τ se parece vamos começar com a função gτ Fig 27d A reversão no tempo desta função reflexão com relação ao eixo vertical τ 0 resulta em gτ Fig 27e Vamos representar esta função por φτ Agora φτ deslocado t segundos é φτ t dado por Portanto inicialmente fazemos a reversão no tempo de gτ para obtermos gτ e então o deslocamos no tempo por t para obtermos gt τ Para t positivo o deslocamento é para a direita Fig 27f para t negativo o deslocamento é para a esquerda Fig 27g 27h A discussão anterior nos fornece uma interpretação gráfica das funções xτ e gt τ A convolução ct é a área debaixo do produto dessas duas funções Portanto para calcular ct em algum instante positivo t t1 pri meiro obtemos gτ invertendo gτ no eixo vertical A seguir deslocamos para a direita ou atrasamos gτ por t1 obtendo gt1 τ Fig 27f e então multiplicamos esta função por xτ resultando no produto xτgt1 τ porção sombreada da Fig 27f A área A1 sob este produto é ct1 o valor de ct para t t1 Podemos por tanto traçar ct1 A1 em uma curva descrevendo ct como mostrado na Fig 27i A área sob o produto xτg τ na Fig 27e é c0 o valor da convolução para t 0 na origem Um procedimento similar é utilizado na determinação do valor de ct para t t2 onde t2 é negativo Fig 27g Neste caso a função g τ é deslocada por uma quantidade negativa ou seja deslocada para a esquerda para obter gt2 τ A multiplicação desta função com xτ resulta no produto xτgt2 τ A área debaixo des 170 SINAIS E SISTEMAS LINEARES te produto é ct2 A2 nos fornecendo outro ponto da curva ct para t t2 Fig 27i Esse procedimento pode ser repetido para todos os valores de t de a O resultado será a curva descrevendo ct para todo o tem po t Note que quanto t 3 xτ e gt τ não se sobrepõem veja Fig 27h logo ct 0 para t 3 Figura 27 Explicação gráfica para a operação de convolução CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 171 RESUMO DO PROCEDIMENTO GRÁFICO O procedimento para a convolução gráfica pode ser resumido por 1 Mantenha a função xτ fixa 2 Visualize a função gτ como um objeto rígido e o rotacione ou inverta com relação ao eixo vertical τ 0 para obter gτ 3 Desloque a função invertida ao longo do eixo τ por t0 segundos A figura deslocada agora representa gt0 τ 4 A área debaixo do produto de xτ com gt0 τ figura deslocada é ct0 o valor da convolução para t t0 5 Repita este procedimento deslocando a figura por diferentes valores positivos e negativos para obter ct para todos os valores de t O procedimento gráfico discutido pode parecer muito complicado e desencorajador a primeira vista De fa to algumas pessoas afirmam que a convolução levou muitos estudantes de engenharia elétrica a estudarem teo logia como salvação ou como carreira alternativa IEEE Spectrum março 1991 p 60 Na realidade o latido da convolução é pior do que sua mordida Na convolução gráfica precisamos determinar a área sob o produto xτgt τ para todos os valores de t de a Entretanto a descrição matemática de xτgt τ é geral mente válida somente para uma faixa de t Portanto a repetição do procedimento para qualquer valor de t resul ta em repetilo apenas algumas vezes para diferentes faixas de t Também podemos utilizar a propriedade comutativa da convolução em nossa vantagem para calcular xt gt ou gt xt a qual for mais simples Como uma regra o cálculo da convolução é simplificado se escolher mos para inverter rerversão temporal a função mais simples das duas Por exemplo se a descrição matemáti ca de gt for mais simples do que de xt então xt gt será mais simples do que gt xt Em contraste se a descrição matemática de xt for a mais simples então o inverso será verdadeiro Demonstraremos a convolução gráfica através dos seguintes exemplos Vamos começar usando este método gráfico para refazer o Exemplo 25 O estranho é que estabelecimentos religiosos não estão agitando para a educação convolucionária compulsória em escolas e colégios FAÇA AMOR NÃO CONVOLUÇÃO CONVOLUÇÃO FEDE NÓS DEVEMOS SUPERAR A CONVOLUÇÃO ABAIXO A CONVOLUÇÃO CHEFE DA ENGENHARIA Convolução seu latido é pior do que sua mordida Determine graficamente yt xt ht para xt e tut e ht e 2tut Na Fig 28a e 28b temos xt e ht respectivamente A Fig 28c mostra xτ e hτ como funções de τ A função ht τ é obtida deslocando hτ por t Se t for positivo o deslocamento é para a direita atra so se t for negativo então o deslocamento é para a esquerda avanço A Fig 28d mostra que para t ne gativo ht τ obtido deslocando para a esquerda hτ não sobrepõem xτ e o produto xτht τ 0 tal que A Fig 28e mostra a situação para t 0 quando xτ e ht τ se sobrepõem mas o produto é não nulo apenas no intervalo 0 τ t intervalo sombreado Portanto Tudo o que precisamos fazer agora é substituir as expressões corretas para xτ e ht τ na integral A partir da Fig 28a e 28b é claro que os segmentos de xt e gt a serem utilizados na convolução Fig 28e são descritos por Logo Conseqüentemente Além disso yt 0 para t 0 logo Figura 28 Convolução de xt e gt 172 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 27 Determine ct xt gt para os sinais mostrados na Fig 29a e 29b Como xt é mais simples do que gt é mais fácil determinar gt xt do que xt gt Entretanto ire mos intencionalmente tomar a rota mais difícil e iremos calcular xt gt CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 173 Figura 28 Continuação EXEMPLO 28 174 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Analisando xt e gt Fig 29a e 29b respectivamente observe que gt é composto por dois segmen tos Como resultado ele pode ser descrito por Portanto O segmento de xt que é utilizado na convolução é xt 1 de tal forma que xτ 1 A Fig 29c mos tra xτ e gτ Para calcular ct para t 0 deslocamos para a direita gτ para obter gt τ como mostrado na Fig 29d Claramente gt τ sobrepõe xτ no intervalo sombreado ou seja no intervalo de τ 0 O segmento A sobrepõe xτ no intervalo 0 t enquanto que o segmento B sobrepõe xτ no intervalo t Lembran do que xτ 1 temos A Fig 29e mostra a situação para t 0 Neste caso a sobreposição está no intervalo sombreado ou se ja na faixa de τ 0 no qual apenas o segmento B de gt está envolvido Logo Figura 29 Convolução de xt e gt CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 175 Figura 29 Continuação Portanto A Fig 29f mostra o gráfico de ct Determine xt gt para as funções xt e gt mostradas na Fig 210a e 210b Neste caso xt possui a descrição matemática mais simples do que gt sendo preferível utilizar xt na in versão temporal Logo iremos determinar gt xt Portanto Inicialmente determinamos as expressões para os segmentos de xt e gt utilizados para calcular ct De acordo com a Fig 210a e 210b esses segmentos podem ser expressos por de tal forma que A Fig 210c mostra gτ e xτ enquanto que a Fig 210d mostra gτ e xt τ a qual é xτ desloca da por t Como os limites de xτ estão em τ 1 e 1 os limites de xt τ estão em 1 t e 1 t As duas funções se sobrepõem no intervalo 0 1 t intervalo sombreado tal que 242a Essa situação mostrada na Fig 210d é válida apenas para 1 t 1 Para t 1 mas 2 a situação é mostrada na Fig 210e As duas funções se sobrepõem apenas na faixa 1 t até 1 t intervalo sombreado Note que as expressões para gτ e xt τ não mudam Apenas a faixa de integração é altera da Logo 242b Observe também que as expressões das Eqs 242a e 242b se aplicam para t 1 o ponto de transi ção entre suas respectivas faixas Podemos facilmente verificar que as duas expressões resultam no valor de 23 para t 1 de tal forma que c1 23 A continuidade de ct nos pontos de transição indica uma alta probabilidade de uma resposta correta A continuidade de ct nos pontos de transição é garantida enquanto não houver impulsos nas bordas de xt e gt Para t 2 mas 4 a situação é mostrada na Fig 210f As funções gτ e xt τ se sobrepõem no inter valo de 1 t até 3 intervalo sombreado logo 242c 176 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 29 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 177 Figura 210 Convolução de xt e gt 178 SINAIS E SISTEMAS LINEARES LARGURA DA FUNÇÃO CONVOLUCIONADA As larguras durações de xt gt e ct no Exemplo 29 Fig 210 são 2 3 e 5 respectivamente Note que a largura de ct neste caso é a soma das larguras de xt e gt Essa observação não é coincidência Usando o conceito da convolução gráfica podemos ver prontamente que se xt e gt têm as larguras infinitas de T1 e T2 respectivamente a largura de ct é igual a T1 T2 A razão é que o tempo que leva para um sinal com largura duração T1 passar completamente outro sinal com largura duração T2 de modo que eles se tornem nãosobre postas é T1 T2 Quando os dois sinais se tornam nãosobrepostos é T1 T2 Quando os dois sinais se tornam nãosobrepostos a convolução vai a zero Novamente as Eqs 242b e 242c são válidas no ponto de transição t 2 Podemos facilmente veri ficar que c2 43 quando qualquer uma das funções é utilizada Para t 4 xt τ foi deslocada tão longe para a direita que ela não se sobrepõe mais a gτ como mos trado na Fig 210g Conseqüentemente 242d Agora voltamos nossa atenção para valores negativos de t Já determinamos ct até t 1 Para t 1 não existe sobreposição entre as duas funções como mostrado na Fig 210h logo 242e A Fig 210i mostra ct de acordo com as Eqs 242a a 242e EXERCÍCIO E210 Refaça o Exemplo 28 calculando gt xt EXERCÍCIO E212 Repita o Exercício E211 para as funções da Fig 212 Figura 212 Convolução de xt e gt EXERCÍCIO E211 Utilize a convolução gráfica para mostrar que xt gt gt xt ct na Fig 211 Figura 211 Convolução de xt e gt CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 179 EXERCÍCIO E213 Repita o Exercício E211 para as funções da Fig 213 Figura 213 Convolução de xt e gt O FANTASMA DA ÓPERA DE SINAIS E SISTEMAS No estudo de sinais e sistemas geralmente cruzamos com alguns sinais tais como o impulso o qual não pode ser gerado na prática e que nunca foi visto por ninguém Assim sendo alguém pode questionar o por que de consi derar tais sinais idealizados A resposta deve estar clara pelas discussões feitas até agora neste capítulo Mesmo que a função impulso não tenha uma existência física podemos calcular a resposta ht do sistema a esta entra da fantasma de acordo com o procedimento da Seção 23 e com o conhecimento de ht podemos calcular a res posta do sistema a qualquer entrada arbitrária O conceito da resposta ao impulso portanto fornece um resulta do intermediário para o cálculo da resposta do sistema a uma entrada arbitrária Além disso a própria resposta ht ao impulso fornece muita informação sobre o comportamento do sistema Na Seção 27 mostraremos que o conhecimento da resposta ao impulso fornece muita informação valiosa tal como o tempo de resposta a disper são do pulso e propriedades de filtragem do sistema Várias outras indicações úteis sobre o comportamento do sistema podem ser obtidas por inspeção de ht Da mesma forma na análise no domínio da freqüência discutida nos próximos capítulos utilizamos uma exponencial de duração infinita ou senóide para determinar a resposta do sistema Uma exponencial de dura ção infinita ou senóide também é um fantasma que ninguém viu ainda e que não possui existência física Mas ela fornece outro resultado intermediário na determinação da resposta do sistema a uma entrada arbitrária Além disso a resposta do sistema a uma exponencial de duração infinita ou senóide fornece informações valiosas re lacionadas ao comportamento do sistema Claramente o impulso idealizado e senóides de duração infinita são espíritos amigáveis e úteis De maneira interessante o impulso unitário e a exponencial de duração infinita ou senóide são duais uma da outra na dualidade tempofreqüência a ser estudada no Capítulo 7 Na realidade os métodos de domínio do tempo e domínio da freqüência de análise são duais POR QUE CONVOLUÇÃO UMA EXPLICAÇÃO INTUITIVA DA RESPOSTA DO SISTEMA Superficialmente pode parecer estranho que a resposta de sistemas lineares os mais gentis dos gentis sistemas se ja dada por uma operação tão tortuosa quanto a convolução na qual um sinal é fixado e o outro invertido e deslo cado Para compreender esse comportamento ímpar considere a hipotética resposta ht ao impulso que decai li nearmente com o tempo Fig 214a Esta resposta é mais forte para t 0 o momento no qual o impulso é aplica do e decai linearmente para instantes futuros de tal forma que um segundo após para t 1 e além ela deixa de existir Isto significa que quanto mais perto o impulso estiver de um instante t mais forte a sua resposta em t Agora considere a entrada xt mostrada na Fig 214b Para calcular a resposta do sistema separamos a en trada em pulsos retangulares e aproximamos estes pulsos por impulsos Geralmente a resposta de um sistema causal em algum instante t pode ser determinada por todas as componentes impulsivas da entrada antes de t Ca da uma destas componentes impulsivas possui um peso diferente na determinação da resposta no instante t de pendendo de sua proximidade com t Como visto anteriormente quanto mais perto o impulso estiver de t maior a sua influência em t O impulso em t possui o maior peso unitário na determinação da resposta em t O peso O falecido Prof S J Mason o inventor das técnicas gráficas de fluxo de sinal costumava contar a história de um estudante frustrado com a função impulso O estudante dizia O impulso unitário é algo tão pequeno que você não pode vêlo a não ser em um local a ori gem onde ele é tão grande que você não pode vêlo Em outras palavras você nunca pode vêlo ao menos eu não posso 180 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 214 Explicação intuitiva da convolução diminui linearmente para todos os impulsos antes de t até o instante t 1 A entrada antes de t 1 não possui in fluência peso zero Portanto para determinar a resposta do sistema em t devemos associar um peso linearmen te decrescente aos impulsos que ocorrem antes de t como mostrado na Fig 214b Esta função ponderada é pre cisamente a função ht τ A resposta do sistema para t é então determinada não pela entrada xτ mas pelas entradas ponderadas xτht τ e o somatório de todas essas entradas ponderadas é a integral de convolução 243 Sistemas Interconectados Sistemas maiores mais complexos geralmente podem ser vistos como a interconexão de diversos subsistemas menores cada um mais fácil de ser caracterizado Conhecendo as caracterizações destes subsistemas fica mais simples analisar os sistemas maiores Devemos considerar aqui duas conexões básicas em série ou cascata e em paralelo A Fig 215a mostra S1 e S2 dois subsistemas LCIT conectados em paralelo e a Fig 215b mostras os mesmos dois subsistemas conectados em cascata Na Fig 215a o dispositivo representado pelo símbolo Σ dentro de um círculo representa um somador o qual soma sinais em suas entradas Além disso a junção na qual dois ou mais ramos se dividem é chamado de nó de separação Cada ramo que sai de um nó de separação carrega o mesmo sinal o sinal da junção Na Fig 215a por exemplo a junção na qual a entrada é aplicada é um nó de separação no qual dois ramos são irradia dos para fora cada um contém o mesmo sinal de entrada do nó Sejam as respostas ao impulso de S1 e S2 as funções h1t e h2t respectivamente Além disso assumese que a conexão destes sistemas como mostrado na Fig 215 não os carrega Isso significa que a resposta ao impul so de cada um destes sistemas permanece a mesma se os sistemas estiverem conectados ou não Para determinar hpt a resposta ao impulso do sistema paralelo Sp da Fig 215a aplicamos uma entrada im pulsiva em Sp Isto resulta no sinal δt nas entradas de S1 e S2 resultando nas saídas h1t e h2t respectivamen te Estes sinais são somados pelo somador resultando em h1t h2t como saída de Sp Conseqüentemente 243a Para determinar hct a resposta do sistema Sc em cascata da Fig 215b aplicamos a entrada δt na entrada de Sc a qual também é a entrada de S1 Logo a saída de S1 é h1t a qual por sua vez é a entrada de S2 A res posta de S2 a entrada h1t é h1t h2t Portanto 243b Devido a propriedade comutativa da convolução podemos alternar os sistemas S1 e S2 como mostrado na Fig 215c resultando na mesma resposta impulsiva h1t h2t Isso significa que quando vários sistemas LCIT estão em série a ordem dos sistemas não afeta a resposta ao impulso do sistema composto Em outras palavras operações lineares executadas em série comutam A ordem na qual elas são executadas não é importante ao menos teoricamente Mostraremos aqui outra aplicação interessante da propriedade comutativa de sistemas LCIT A Fig 215d mostra a conexão em série de dois sistemas LCIT um sistema S com resposta ht ao impulso seguido por um A mudança da ordem entretanto pode afetar a performance devido a limitações físicas e sensibilidade a alterações nos subsistemas envolvidos CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 181 Figura 215 Sistemas interconectados integrador ideal A Fig 215e mostra a cascata dos mesmos dois sistemas na ordem inversa um integrador ide al seguido por S Na Fig 215d se a entrada xt de S resultar na saída yt a saída do sistema 215d é a integral de yt Na Fig 215e a saída do integrador é a integral de xt A saída da Fig 215e é idêntica a saída da Fig 215d Logo temos que se a resposta de um sistema LCIT a uma entrada xt é yt então a resposta do mesmo sistema a integral de xt é a integral de yt Em outras palavras 244a Substituindo o integrador ideal por um diferenciador ideal na Fig 215d e 215e e adotando um argumento similar concluímos que 244b 182 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Se fizermos xt δt e yt ht na Eq 244a obtemos que gt a resposta ao degrau unitário de um sis tema LCIT com resposta ht ao impulso é dada por 244c Também podemos mostrar que a resposta do sistema a t é dhtdt Estes resultados podem ser estendidos para outras funções de singularidade Por exemplo a resposta à rampa unitária de um sistema LCIT é a integral de sua resposta ao degrau unitário e assim por diante SISTEMAS INVERSOS Na Fig 215b se S1 e S2 são sistemas inversos com resposta ht e hit ao impulso respectivamente então a res posta ao impulso da cascata destes sistemas é ht hit Mas a cascata do sistema com sua inversa é um siste ma identidade cuja saída é a mesma da entrada Em outras palavras a resposta ao impulso unitário da cascata de sistemas inversos também é um impulso unitário δt Logo 245 Apresentaremos uma interessante aplicação da propriedade comutativa Como visto na Eq 245 a cascata de sistemas inversos é um sistema identidade Além disso na cascata de diversos subsistemas LCIT a mudança de qualquer maneira na ordem dos subsistemas não afeta a resposta ao impulso do sistema total Usando esses fatos observamos que os dois sistemas mostrados na Fig 215f são equivalentes Podemos calcular a resposta do sistema cascata do lado direito determinando a resposta do sistema dentro da caixa pontilhada à entrada A resposta ao impulso da caixa pontilhada é gt a integral de ht dada pela Eq 244c Logo temos que 246 Lembre que gt é a resposta ao degrau unitário do sistema Logo a resposta do sistema LCIT também pode ser obtida como a convolução de a derivada da entrada com a resposta ao degrau unitário do sistema Este re sultado pode ser facilmente estendido para derivadas de mais alta ordem A resposta de um sistema LCIT é a convolução da nésima derivada da entrada com a nésima integral da resposta ao impulso 244 Uma Função muito Especial para Sistemas LCIT a Exponencial de Duração Infinita e st Existe uma conexão muito especial de sistemas LCIT com a função exponencial de duração infinita e st onde s é em geral uma variável complexa Agora mostraremos que a resposta de estado nulo de sistemas LCIT a en trada da exponencial de duração infinita e st também é uma exponencial de duração infinita multiplicada por uma constante Além disso nenhuma outra função pode ter o mesmo tipo de característica O tipo de entrada cuja resposta do sistema possui a mesma forma da entrada é chamada de função característica ou autofunção do sistema Como a senóide é uma forma de exponencial s jω a senóide de duração infinita também é uma função característica de sistemas LCIT Note que estamos falando de uma exponencial ou senóide de duração infinita a qual começa em t Se ht é a resposta ao impulso unitário então a resposta yt do sistema a uma exponencial de duração infi nita e st é dada por A integral do lado direito é uma função da variável complexa s Vamos chamála de Hs a qual também é geralmente complexa Logo 247 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 183 onde 248 A Eq 247 é válida apenas para os valores de s nos quais Hs existe ou seja se existir ou convergir A região no plano s para o qual a integral converge é chamado de região de convergência de Hs Uma explicação mais detalhada sobre região de convergência será apresentada no Capítulo 4 Note que Hs é uma constante para um dado s Portanto a entrada e a saída possuem a mesma forma com uma constante multiplicativa para o sinal exponencial de duração infinita Hs que é a função de transferência do sistema é uma função da variável complexa s Uma definição alter nativa para a função de transferência Hs de um sistema LCIT vista na Eq 247 é 249 A função de transferência é definida e possui sentido para apenas sistemas LCIT Ela não existe em geral para sistemas não lineares ou variantes no tempo Ressaltaremos novamente que estamos falando da exponencial de duração infinita a qual começa em t e não da exponencial comum e stut a qual começa em t 0 Para o sistema especificado pela Eq 21 a função de transferência é dada por 250 Esta equação é facilmente obtida se considerarmos a entrada de duração infinita e st De acordo com a Eq 247 a saída é yt Hse st A substituição deste xt e yt na Eq 21 resulta em Além disso Logo Conseqüentemente UMA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DE SISTEMAS LIT Podemos mostrar que a Eq 247 é uma propriedade fundamental de sistemas LIT obtida diretamente como conseqüência da linearidade e da invariância no tempo Para isso vamos assumir que a resposta de um sistema LIT a uma exponencial de duração infinita e st é yst Se definirmos EXERCÍCIO E214 Mostre que a função de transferência de um integrador ideal é Hs 1s e que para um diferenciador ideal é Hs s Obtenha a resposta por dois caminhos usando a Eq 248 e a Eq 250 Dica determine ht para o inte grador e diferenciador ideais Você pode precisar do resultado do Problema 149 184 SINAIS E SISTEMAS LINEARES então Devido à propriedade de invariância no tempo a resposta do sistema a entrada e st T é Hs t Te st T ou seja 251 A entrada atrasada e st T representa a entrada e st multiplicada pela constante e sT Logo de acordo com a pro priedade de linearidade a resposta do sistema a e st T deve ser ys te sT Assim sendo Comparando este resultado com a Eq 251 temos que Isso significa que Hs t é independente de t e que podemos escrever Hs t Hs Logo 245 Resposta Total A resposta total de um sistema linear pode ser escrita como a soma das componentes de entrada nula e estado nulo assumindo raízes distintas Para raízes repetidas a componente de estado nulo deve ser modificada apropriada mente Para o circuito RLC série do Exemplo 22 com entrada xt 10e 3tut e condições iniciais y0 0 vc0 5 determinamos a componente de entrada nula no Exemplo 21a Eq 211c Também já determinamos a componen te de estado nulo no Exemplo 26 Utilizando os resultados dos Exemplos 21a e 26 obtemos 252a A Fig 216a mostra a componente de entrada nula de estado nulo e a resposta total Figura 216 Resposta total e suas componentes CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 185 RESPOSTA NATURAL E FORÇADA Para o circuito RLC do Exemplo 22 os modos característicos são e t e e 2t Como esperado a resposta de entra da nula é composta exclusivamente pelos modos característicos Observe entretanto que mesmo a resposta de estado nulo Eq 252a contém termos de modos característicos Esta observação em geral é verdadeira para sistemas LCIT Agora podemos juntar todos os termos de modos característicos na resposta total fornecendo uma componente chamada de resposta natural ynt O restante constituído somente de termos com modos não característicos é chamado de resposta forçada yφt A resposta total do circuito RLC do Exemplo 22 pode ser expressa em termos das componentes natural e forçada reagrupando os termos da Eq 252a em 252b A Fig 216b mostra as respostas natural forçada e total 25 SOLUÇÃO CLÁSSICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS No método clássico resolvemos a equação diferencial para determinar as componentes natural e forçada ao in vés das componentes de entrada nula e estado nulo Apesar deste método ser relativamente simples quando com parado com o método discutido até agora como veremos a seguir ele possui vários inconvenientes Como a Seção 245 mostrou quando todos os termos de modos característicos da resposta total do sistema são colocados juntos eles formam a resposta natural do sistema ynt também chamada de solução homogê nea ou solução complementar A parte restante da resposta é constituída somente de termos de modos não ca racterísticos sendo chamada de resposta forçada do sistema yφt também chamada de solução particular A Eq 252b mostra estas duas componentes para a corrente de malha do circuito RLC da Fig 21a A resposta total do sistema é yt ynt yφt Como yt deve satisfazer a equação do sistema Eq 21 ou Mas ynt é composto apenas dos modos característicos logo De tal forma que 253 A resposta natural sendo a combinação linear dos modos característicos do sistema possui a mesma forma da resposta de entrada nula Apenas suas constantes arbitrárias são diferentes Essas constantes são determina das a partir das condições auxiliares como explicado anteriormente Agora discutiremos um método de deter minação da resposta forçada 251 Resposta Forçada Método de Coeficientes Indeterminados A determinação de yφt a resposta forçada do sistema é uma tarefa relativamente simples quando a entrada xt é tal que resulta em um número finito de derivadas independentes Entradas tendo a forma e ζt ou t r estão nesta categoria Por exemplo a diferenciação repetida de e ζt resulta sempre na mesma forma da entrada ou se ja e ζt Similarmente a diferenciação repetida de t r resulta em apenas r derivadas independentes A resposta for çada a tais entradas pode ser expressa como a combinação linear da entrada de suas derivadas independentes Considere por exemplo a entrada at 2 bt c As derivadas sucessivas desta entrada são 2at b e 2a Neste caso a entrada possui apenas duas derivadas independentes Portanto a resposta forçada pode ser considerada como sendo a combinação linear de xt e suas duas derivadas Uma forma adequada para yφt neste caso é portanto Resolva a seguinte equação diferencial se a entrada e as condições iniciais forem y0 2 e y0 3 O polinômio característico deste sistema é Portanto os modos característicos são e t e e 2t A resposta natural é então a combinação linear destes modos tal que Neste caso as constantes arbitrárias K1 e K2 devem ser determinadas a partir das condições iniciais do sistema A resposta forçada a entrada t 2 5t 3 de acordpo com a Tabela 22 par 5 com ζ 0 é 186 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Os coeficientes indeterminados β0 β1 e β2 são determinados substituindo esta expressão de yφt na Eq 253 e então igualando os coeficientes de termos similares dos dois lados da expressão final Apesar desse método poder ser utilizado apenas com entradas com um número finito de derivadas esta clas se de entradas inclui uma grande variedade dos sinais mais comuns encontrados na prática A Tabela 22 mostra uma variedade deste tipo de entrada e a forma da resposta forçada correspondente a cada entrada Demonstrare mos este procedimento com um exemplo Tabela 22 Resposta forçada Nota por definição yφt não pode ter nenhum termo característico Se algum termo na coluna do lado direito para a resposta forçada também for um modo característico do sistema a forma correta da resposta forçada deve ser modi ficada para t iyφt onde i é o menor inteiro possível que pode ser utilizado e ainda pode impedir que t iyφt possua um termo como modo característico Por exemplo quando a entrada for e ζt a resposta forçada coluna do lado direito possui a forma βe ζt Mas se e ζt também for um modo característico do sistema a forma correta da resposta forçada é βte ζt veja o par 2 Se te ζt também for um modo característico do sistema a forma correta da resposta forçada é βt 2e ζt e assim por diante EXEMPLO 210 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 187 Além disso yφt satisfaz a equação do sistema Eq 253 ou seja 254 Agora e Substituindo estes resultados na Eq 254 teremos ou Igualando os coeficientes de potência similar nos dois lados desta expressão resulta em A solução destas três equações simultâneas respulta em β0 1 β1 1 e β2 0 Portanto A resposta total do sistema yt é a soma das soluções forçada e natural Assim logo Fazendo t 0 e substituindo y0 2 e y0 3 nestas equações temos A solução para essas duas equações simultâneas é K1 4 e K2 3 Logo COMENTÁRIOS SOBRE CONDIÇÕES INICIAIS No método clássico as condições iniciais são necessárias para t 0 A razão é porque para t 0 apenas a com ponente de entrada nula existe e portanto as condições iniciais para t 0 podem ser aplicadas apenas para com ponente de entrada nula No método clássico as componentes de entrada nula e estado nulo não podem ser sepa radas Conseqüentemente as condições iniciais devem ser aplicadas na resposta total a qual começa em t 0 188 SINAIS E SISTEMAS LINEARES ENTRADA EXPONENCIAL e ζt O sinal exponencial é o sinal mais importante no estudo de sistemas LCIT Curiosamente a resposta forçada pa ra uma entrada exponencial é muito simples A partir da Tabela 22 vemos que a resposta forçada para a entra da e ζt possui a forma βe ζt Mostraremos agora que β QζPζ Para determinar a constante β substituímos yft βe ζt na equação do sistema Eq 253 obtendo Observe que Conseqüentemente Portanto a Eq 253 se torna e Logo para a entrada xt e ζtut a resposta forçada é dada por 255 onde 256 EXERCÍCIO E215 Um sistema LCIT é especificado pela equação A entrada é xt 6t 2 Determine a A resposta forçada yφt b A resposta total yt se as condições iniciais forem y0 2518 e 0 23 RESPOSTAS Este resultado é válido somente se ζ não for uma raiz característica do sistema CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 189 Esse é um resultado curioso e significante Ele afirma que para uma entrada exponencial na forma e ζt a res posta forçada yφt é a mesma exponencial multiplicada por Hζ PζQζ A resposta total do sistema yt a entrada exponencial e ζt é então dada por 257 na qual as constantes arbitrárias K1 K2 KN são determinadas a partir das condições auxiliares A forma da Eq 257 assume N raízes distintas Se as raízes não forem distintas a forma apropriada dos modos deve ser utili zada Lembre que o sinal exponencial inclui uma grande quantidade de sinais tais como a constante ζ 0 a se nóide ζ jω e a senóide com crescimento ou amortecimento exponencial ζ σ jω Vamos considerar a resposta forçada para alguns destes casos A ENTRADA CONSTANTE xt C Como C Ce 0t a entrada constante é um caso especial da entrada exponencial Ce ζt com ζ 0 A resposta for çada a esta entrada é dada por 258 A ENTRADA EXPONENCIAL e jωt Neste caso ζ jω ep 259 A ENTRADA SENOIDAL xt cos ωt Sabemos que a resposta forçada a entrada e jωt é Hjωe jωt Como cos ωt e jωt e jωt2 a resposta forçada a cos ωt é Como os dois termos do lado direito são conjugados Mas Logo 260 Este resultado pode ser generalizado para a entrada xt cos ωt θ A resposta forçada neste caso será 261 Observe a similaridade das Eqs 257 e 247 Por que existe uma diferença entre estas duas equações A Eq 247 é a resposta a uma exponencial que começa em enquanto que a Eq 257 é a resposta a uma exponencial que começa para t 0 Quando t a Eq 257 aproximase da Eq 247 Na Eq 247 o termo ynt o qual começa em t já amorteceu para t 0 e portan to está faltando Resolva a equação diferencial se as condições iniciais forem y0 2 e y0 3 e a entrada for De acordo com o Exemplo 210 a resposta natural para este caso é Para este caso a Para a entrada xt 10e 3t ζ 3 e A solução total a soma da resposta natural e forçada é e As condições iniciais são y0 2 e y0 3 Fazendo t 0 nas equações anteriores e substituindo as condições iniciais teremos A solução destas equações resulta em K1 8 e K2 25 Portanto b Para a entrada xt 5 5e 0t ζ 0 e a solução completa é K1e t K2e 2t Usando as condições iniciais determinamos K1 e K2 como na parte a c Neste caso ζ 2 o qual também é uma raiz característica do sistema Logo veja o par 2 Tabela 22 ou observe a nota no final da tabela Para determinar β substituímos yφt na equação do sistema obtendo 190 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 211 Utilize o método clássico para determinar a corrente de malha yt no circuito RLC do Exemplo 22 Fig 21 se a tensão de entrada dor xt 10e 3t e as condições iniciais forem y0 0 e vc0 5 As respostas de entrada nula e estado nulo deste problema foram determinadas nos Exemplos 22 e 26 res pectivamente As respostas natural e forçada aparecem na Eq 252b Agora resolveremos este problema pelo método clássico o qual necessita das condições iniciais para t 0 Estas condições já determinadas na Eq 215 são CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 191 ou Mas Conseqüentemente ou Portanto β 2 logo A solução completa é K1e t K2e 2t 2te 2t Usando as condições iniciais podemos determinar K1 e K2 como na parte a d Para a entrada xt 10 cos 3t 30 o a resposta forçada veja Eq 261 é na qual Portanto e A solução completa é K1e t K2e 2t 263 cos 3t 79 o Usando as condições iniciais podemos deter minar K1 e K2 como na parte a EXEMPLO 212 192 SINAIS E SISTEMAS LINEARES AVALIAÇÃO DO MÉTODO CLÁSSICO O desenvolvimento desta seção mostrou que o método clássico é relativamente simples quando comparado com o método de determinação da resposta como sendo a soma das componentes de entrada nula e estado nulo Infe lizmente o método clássico possui um sério inconveniente pois ele resulta na resposta total a qual não pode ser separada em componentes oriundos das condições internas e da entrada externa No estudo de sistemas é impor tante sermos capazes de descrever a resposta do sistema a uma entrada xt como uma função explícita de xt Is so não é possível no método clássico Além disso o método clássico é restrito a certas classes de entradas Ele não A equação de malha para este sistema veja o exemplo 22 ou Eq 155 é O polinômio característico é λ 2 3λ 2 λ 1λ 2 Portanto a resposta natural é A resposta forçada já determinada na parte a do Exemplo 211 é A resposta total é Diferenciando esta equação teremos Fazendo t 0 e substituindo y0 0 y0 5 nestas equações obtemos Portanto a qual concorda com a solução determinada anteriormente pela Eq 252b EXEMPLO DE COMPUTADOR C24 Resolva a equação diferencial usando a entrada xt 5t 3 e condições iniciais y00 2 e y 00 3 Logo CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 193 pode ser aplicado a qualquer entrada Outro problema menor é que como o método clássico resulta na resposta total as condições auxiliares devem ser fornecidas para a resposta total a qual existe apenas para t 0 Na prá tica provavelmente conheceremos as condições para t 0 antes da entrada ser aplicada Portanto precisamos descobrir um novo conjunto de condições auxiliares para t 0 a partir das condições conhecidas em t 0 Se precisarmos resolver uma equação diferencial linear particular ou determinar a resposta de um sistema LCIT particular o método clássico pode ser o melhor No estudo teórico de sistemas lineares entretanto o mé todo clássico não é tão valioso Cuidado Mostramos na Eq 252a que a resposta total de um sistema LIT pode ser descrita como a soma das componentes de entrada nula e estado nulo Na Eq 252b mostramos que a mesma resposta também po de ser descrita como a soma das componentes natural e forçada Também vimos que geralmente a resposta de entrada nula não é a mesma resposta natural apesar das duas serem modos naturais Similarmente a resposta de estado nulo não é a mesma da resposta forçada Infelizmente alguns erros clássicos são encontrados na lite ratura 26 ESTABILIDADE DO SISTEMA Para compreender a base intuitiva de estabilidade BIBO boundedinputboundedoutput de um sistema apre sentada na Seção 17 vamos examinar o conceito de estabilidade aplicada a um cone circular Tal cone pode ser mantido eternamente em pé sobre sua base circular sobre seu vértice ou sua lateral Por esta razão estes três es tados do cone são chamados de estados de equilíbrio Qualitativamente entretanto os três estados possuem comportamentos muito distintos Se o cone estando em pé sobre sua base circuito for ligeiramente perturbado e então deixado solto ele irá eventualmente retornar para a posição de equilíbrio original Neste caso o cone é dito estar em equilíbrio estável Por outro lado se o cone estiver sobre o vértice então a menor perturbação irá fazer com que o cone se mova cada vez mais longe do seu estado de equilíbrio O cone neste caso é dito estar em um equilíbrio instável Estando o cone deitado sobre sua lateral se perturbado ele nem irá voltar nem se afastará do seu estado original de equilíbrio Portanto neste caso dizse que o cone está em um equilíbrio neu tro Claramente quando um sistema está no equilíbrio estável a aplicação de uma pequena perturbação entra da produzirá uma pequena resposta Por outro lado quando o sistema estiver em seu equilíbrio instável mes mo uma minúscula perturbação entrada produzirá uma resposta ilimitada A definição de estabilidade BIBO pode ser compreendida a luz deste conceito Se cada entrada limitada produzir uma saída limitada o sistema é BIBO estável Em contraste se mesmo uma entrada limitada resultar em uma resposta ilimitada o sistema é BIBO instável Para um sistema LCIT 262 Portanto Além disso se xt for limitado então xt τ K1 e 263 Logo para estabilidade BIBO 264 N de T Entrada limitada saída limitada Considerase que o sistema está no estado nulo 194 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Essa é uma condição suficiente para estabilidade BIBO Podemos mostrar que ela também é uma condição necessária veja Prob 264 Portanto para um sistema LCIT se sua resposta ht ao impulso for absolutamen te integrável o sistema é BIBO estável Caso contrário ele é BIBO instável Além disso iremos mostrar no Capítulo 4 que a condição necessária mas não suficiente para um sistema LCIT descrito pela Eq 21 ser BI BO estável é M N Se M N o sistema é instável Esta é uma das razões para se evitar sistemas com M N Como a estabilidade BIBO de um sistema pode ser determinada através de medidas nos terminais externos entrada e saída ela é um critério de estabilidade externa Não é coincidência que o critério BIBO em 264 apareça em termos da resposta ao impulso a qual é uma descrição externa no sistema Como observado na Seção 19 o comportamento interno de um sistema não é sempre observado a partir dos terminais externos Portanto a estabilidade externa BIBO pode não ser uma indicação correta da estabilidade interna De fato alguns sistemas aparentemente estáveis pelo critério BIBO podem ser internamente instáveis Isto é como uma sala dentro de uma casa em chamas nenhum traço de fogo é visível de dentro da sala mas to da a casa será transformada em cinzas A estabilidade BIBO possui significado somente para sistemas nos quais a descrição interna e externa são equivalentes sistemas controláveis e observáveis Felizmente a grande maioria dos sistemas práticos estão dentro desta categoria e sempre que aplicarmos este critério implicitamente assumiremos que o sistema de fa to pertence a essa classe A estabilidade interna é mais genérica toda inclusive e a estabilidade externa pode sempre ser determinada a partir da estabilidade interna Por esta razão iremos investigar agora o critério de es tabilidade interna 261 Estabilidade Interna Assintótica Devido a grande variedade de possíveis comportamentos de sistemas existem diversas definições de estabilida de interna na literatura Aqui iremos considerar a definição adequada para sistemas causais lineares e invarian tes no tempo LIT Se na ausência de uma entrada externa um sistema permanecer em um estado ou condição particular in definidamente então o estado é dito ser um estado de equilíbrio do sistema Para um sistema LIT o estado nu lo no qual todas as condições iniciais são nulas é um estado de equilíbrio Agora suponha um sistema LIT no estado nulo e que mudemos este estado criando algumas pequenas condições iniciais não nulas pequeno distúr bio Estas condições iniciais irão gerar sinais constituídos de modos característicos do sistema Em analogia com o cone se o sistema for estável ele deve eventualmente retornar ao estado nulo Em outras palavras quan do deixado por ele mesmo cada modo em um sistema estável oriundo de uma condição inicial não nula deve tender para 0 quando t Entretanto se um único dos modos crescer com o tempo o sistema nunca irá re tornar para o estado nulo e o sistema será identificado como instável No caso limite alguns modos podem nem decair para zero nem crescer indefinidamente enquanto todos os outros modos decaem para zero Este caso é como o equilíbrio neutro do cone Este tipo de sistema é dito ser marginalmente estável A estabilidade interna também é chamada de estabilidade assintótica ou estabilidade no sentido de Lyapunov Para um sistema caracterizado pela Eq 21 podemos reescrever o critério de estabilidade interna em ter mos da posição das N raízes características λ1 λ2 λΝ do sistema no plano complexo Os modos característi cos são na forma e λkt ou t re λkt A posição das raízes no plano complexo e os modos correspondentes estão mos trados na Fig 217 Estes modos 0 quando t se Re λκ 0 Em contraste os modos quando t se Re λκ 0 Logo um sistema é assintoticamente estável se todas as suas raízes características estiverem no SPE ou seja se Re λκ 0 para todo k Se uma única raiz característica estiver no SPD o sistema é assinto ticamente instável Os modos devido a raízes no eixo imaginário λ jω0 são da forma e jω0t Logo se algu mas raízes estão sobre o eixo imaginário e todas as demais estão no SPE o sistema é marginalmente estável as sumindo que as raízes no eixo imaginário não são repetidas Se as raízes do eixo imaginário são repetidas en tão o sistema é instável A Fig 218 mostra as regiões de estabilidade no plano complexo Resumindo 1 Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todas as raízes características estiverem no SPE As raízes podem ser simples não repetidas ou repetidas Isso pode ser observado do fato de que se α e β são as partes real e imaginária da raiz λ então Essa conclusão também é válida para termos na forma t re λt CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 195 2 Um sistema LCIT é instável se e somente se uma ou ambas das condições a seguir existirem i ao me nos uma raiz estiver no SPD ii existirem raízes repetidas no eixo imaginário 3 Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem raízes no SPD e existirem al gumas raízes não repetidas no eixo imaginário 262 Relação entre Estabilidade BIBO e Assintótica A estabilidade externa é determinada pela aplicação de uma entrada externa com condições iniciais nulas en quanto que a estabilidade interna é determinada aplicando condições iniciais não nulas e nenhuma entrada ex terna Isto é o porque destas estabilidades serem chamadas de estabilidade de estado nulo e estabilidade de en trada nula respectivamente Lembrese que ht a resposta ao impulso de um sistema LCIT é a combinação linear dos modos caracterís ticos do sistema Para um sistema LCIT especificado pela Eq 21 podemos facilmente mostrar que quando a raiz característica λk está no SPE o modo correspondente e λk t é absolutamente integrável Em contraste se λk está no SPD ou no eixo imaginário e λk t não é absolutamente integrável Isto significa que um sistema assinto ticamente estável é BIBO estável Além disso um sistema marginalmente estável ou assintoticamente instável é Figura 217 Localização das raízes características e dos modos característicos correspondentes Um sistema LCIT é constituído por dois subsistemas S1 e S2 em cascata Fig 219 A resposta ao impulso destes sistemas são h1t e h2t respectivamente dadas por Figura 219 Estabilidade BIBO e assintótica A resposta composta ao impulso ht deste sistema é dada por 196 SINAIS E SISTEMAS LINEARES BIBO instável O inverso não é necessariamente verdadeiro Ou seja a estabilidade BIBO não necessariamente nos informa sobre a estabilidade interna do sistema Por exemplo se um sistema for não controlável ou não ob servável alguns modos do sistema são invisíveis eou não controláveis a partir dos terminais externos Logo a estabilidade mostrada pela descrição externa é de valor questionável A estabilidade BIBO externa não garan te estabilidade interna assintótica como os exemplos a seguir mostrarão Figura 218 Localização das raízes características e estabilidade do sistema EXEMPLO 213 Considere um modo na forma e λt onde λ α jβ Logo e λt e αte jβt e e λt e αt Portanto Essa conclusão também é válida quando o integrando é na forma t ke λtut CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 197 Se o sistema em cascata composto estiver dentro de uma caixa preta com apenas os terminais de entrada e saída acessíveis qualquer medida destes terminais irá mostrar que a resposta ao impulso deste sistema é e tut sem qualquer dica sobre o perigoso sistema instável que está dentro do sistema total O sistema composto é BIBO estável porque sua resposta ao impulso dada por e tut é absolutamente in tegrável Observe entretanto que o subsistema S2 possui uma raiz característica igual a 1 a qual está no SPD Logo S2 é assintoticamente instável Eventualmente S2 irá queimar ou saturar devido a característica da res posta ilimitada gerada pela condição inicial intencional ou não não importa quão pequena ela seja Mostra remos no Exemplo 1011 que este sistema composto é observável mas não controlável Se as posições de S1 e S2 forem trocadas S2 seguido por S1 o sistema ainda seria BIBO estável mas assintoticamente instável Neste caso a análise do Exemplo 1011 mostrará que o sistema composto é controlável mas não observável Este exemplo mostra que a estabilidade BIBO nem sempre implica em estabilidade assintótica Entretan to a estabilidade assintótica sempre implica em estabilidade BIBO Avalie a estabilidade assintótica e BIBO do sistema LCIT descrito pelas seguintes equações assumindo que as equações são descrições internas do sistema Os polinômios característicos destes sistemas são Conseqüentemente as raízes características destes sistemas são veja Fig 220 O sistema a é assintoticamente estável todas as raízes no SPE o sistema b é instável uma raiz no SPD o sistema c é marginalmente estável raízes não repetidas no eixo imaginário e nenhuma raiz no SPD e o sis tema d é instável raízes repetidas no eixo imaginário A estabilidade BIBO é facilmente determinada a partir da estabilidade assintótica O sistema a é BIBO estável o sistema b é BIBO instável o sistema c é BIBO ins tável e o sistema d é BIBO instável Assumimos que todos estes sistemas são controláveis e observáveis Figura 220 Posição das raízes características dos sistemas EXEMPLO 214 198 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXERCÍCIO E216 Para cada um dos sistemas especificados pelas equações a seguir localize suas raízes características no plano complexo e determine se ele é assintoticamente estável marginalmente estável ou instável assumindo que cada equação descreve seu sistema interno Também determine a estabilidade BIBO para cada sistema RESPOSTAS a Marginalmente estável mas BIBO instável b Instável nos dois sentidos c Estável nos dois sentidos d Marginalmente estável mas BIBO instável e Instável nos dois sentidos Felizmente sistemas não controláveis eou não observáveis não são freqüentemente observados na prática Deste ponto em diante na determinação da estabilidade de sistemas assumiremos que a não ser que menciona do o contrário as descrições interna e externa do sistema são equivalentes implicando no sistema ser controlá vel e observável IMPLICAÇÕES DA ESTABILIDADE Todos os sistemas de processamento de sinais práticos devem ser assintoticamente estáveis Sistemas instáveis não tem aplicação do ponto de vista de processamento de sinais porque qualquer conjunto de condições iniciais intencionais ou não resulta em uma resposta ilimitada que pode destruir o sistema ou mais provavelmente re sultar em alguma condição de saturação que mude a natureza do sistema Mesmo que as condições iniciais pos síveis sejam zero a tensão estática ou ruídos térmicos gerados dentro do sistema irão funcionar como condições iniciais Devido ao crescimento exponencial de um ou vários modos em um sistema instável um sinal estático não importa quão pequeno irá eventualmente resultar em uma saída ilimitada Sistemas marginalmente estáveis mesmo sendo BIBO instáveis possuem uma importante aplicação como os cilador o qual é um sistema que gera um sinal por ele mesmo sem a aplicação de entradas externas Conseqüen temente a saída do oscilador é a resposta de entrada nula Se esta resposta deve ser uma senóide de freqüência ω0 o sistema deve ser marginalmente estável com raízes características em jω0 Portanto para projetar um oscila dor de freqüência ω0 devemos escolher um sistema com polinômio característico λ jω0λ jω0 λ 2 ω0 2 Um sistema descrito pela equação diferencial 265 fará o trabalho Entretanto osciladores práticos são invariavelmente implementados utilizando sistemas não li neares 27 VISÃO INTUITIVA SOBRE O COMPORTAMENTO DE SISTEMAS Esta seção fornece informações sobre o que determina o comportamento de um sistema Devido a sua natureza intuitiva a discussão será mais ou menos qualitativa Mostraremos que os principais atributos de um sistema são suas raízes e modos característicos pois eles determinam não penas a resposta de entrada nula mas também to do o comportamento do sistema 271 Dependência do Comportamento do Sistema com os Modos Característicos Lembrese de que a resposta de entrada nula de um sistema é constituída dos modos característicos do sistema Para um sistema estável estes modos característicos decaem exponencialmente e eventualmente desaparecem CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 199 Este comportamento pode dar a impressão de que esses modos não afetam substancialmente o comportamento do sistema em geral e nem a resposta do sistema em particular Essa impressão é totalmente errada Veremos que os modos característicos do sistema deixam sua impressão em todos os aspectos do comportamento do sistema Podemos comparar os modos ou raízes característicos do sistema com uma semente que eventualmente se dis solve no solo Entretanto a planta que nasce é totalmente determinada pela semente A impressão da semente existe em cada célula da planta Para compreender este interessante fenômeno lembrese de que os modos característicos de um sistema são muito especiais para ele pois o sistema pode manter estes sinais sem a aplicação de qualquer entrada externa Em outras palavras o sistema oferece uma volta grátis e acesso instantâneo a estes sinais Imagine agora o que aconteceria se você realmente alimentasse o sistema com uma entrada tendo a forma de um modo característi co Poderíamos esperar que o sistema respondesse fortemente este é de fato o fenômeno de ressonância dis cutido anteriormente neste capítulo Se a entrada não for exatamente um modo característico mas se ela esti ver perto do modo ainda podemos esperar que a resposta do sistema seja forte Entretanto se a entrada for mui to diferente de qualquer um dos modos característicos podemos esperar que o sistema responda fracamente Agora mostraremos que estas deduções intuitivas realmente são verdadeiras A intuição pode cortar a floresta da matemática instantaneamente Apesar de propormos uma medida de similaridade posteriormente no Capítulo 6 adotaremos uma aborda gem mais simples no momento Vamos restringir as entradas do sistema a exponenciais na forma e ζt onde ζ é geralmente um número complexo A similaridade de dois sinais exponenciais e ζt e e λt será então a medida de proximidade de ζ e λ Se a diferença ζ λ for pequena os sinais são similares Se ζ λ for grande os sinais são diferentes Considere agora um sistema de primeira ordem com um único modo característico e λt e entrada e ζt A res posta ao impulso deste sistema é então dada por Ae λt na qual o valor exato de A não é importante nesta discus são qualitativa A resposta yt do sistema é dada por A partir da tabela de convolução Tabela 21 obtemos 266 Claramente se a entrada e ζt for similar a e λt ζ λ é pequeno e a resposta do sistema é grande Quanto mais perto a entrada xt estiver do modo característico mais forte a resposta do sistema Em contraste se a entrada for muito diferente do modo natural ζ λ é grande e a resposta do sistema será pobre Isto é precisamente o que nos propomos a provar A resposta é intuitivamente óbvia Nós estamos mortos 200 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Acabamos de provar a afirmativa inicial para um sistema com um único modo primeira ordem Podemos ge neralizar este fato para um sistema de ordem N o qual possui N modos característicos A resposta ht ao impul so de tal sistema é a combinação linear de seus N modos Portanto se xt é similar a qualquer um dos modos a resposta correspondente será alta Se xt não for similar a nenhum modo a resposta será pequena Claramente os modos característicos influenciam em muito na determinação da resposta do sistema a uma dada entrada Podemos ter a tendência de concluir com base na Eq 266 que se a entrada for idêntica ao modo caracte rístico tal que ζ λ então a resposta irá para infinito Lembrese entretanto que se ζ λ o numerador do la do direito da Eq 266 também vai para zero Estudaremos este comportamento complexo fenômeno da res sonância posteriormente nesta seção Mostraremos agora que a mera inspeção na resposta ht ao impulso a qual é composta dos modos carac terísticos revela muitos detalhes sobre o comportamento do sistema 272 Tempo de Resposta de um Sistema a Constante de Tempo do Sistema Tal como os seres humanos os sistemas possuem um certo tempo de resposta Em outras palavras quando uma entrada estímulo é aplicada a um sistema uma certa quantidade de tempo passa antes que o sistema responda completamente àquela entrada Este intervalo de tempo ou tempo de resposta é chamado de constante de tempo do sistema Como veremos a constante de tempo do sistema é igual ao tamanho da resposta ht ao impulso Uma entrada δt é instantânea duração zero mas a sua resposta ht possui uma duração Th Portanto o sis tema necessita de um tempo Th para responder completamente a esta entrada e desta forma estamos justifica dos a ver Th como o tempo de resposta ou constante de tempo do sistema Obtemos a mesma conclusão por ou tro argumento A saída é a convolução da entrada com ht Se uma entrada é um pulso de duração Tx então a duração do pulso de saída será Tx Th de acordo com a propriedade da largura da convolução Esta conclusão mostra que o sistema precisa de Th segundos para responder completamente a qualquer entrada A constante de tempo do sistema indica quão rápido é o sistema Um sistema com uma constante de tempo menor é um siste ma mais rápido que responde rapidamente a qualquer entrada Um sistema com uma constante de tempo rela tivamente grande é um sistema lento que não pode responder bem a sinais que variam rapidamente Estritamente falando a duração da resposta ht ao impulso é porque os modos característicos tendem assin toticamente para zero quando t Entretanto além de algum valor de t ht se torna desprezível Portanto é ne cessário utilizar alguma medida adequada da largura efetiva da resposta ao impulso Não existe nenhuma definição satisfatória da duração ou largura efetiva do sinal aplicável a toda situação Pa ra a situação mostrada na Fig 221 uma definição razoável da duração de ht seria Th a largura do pulso retangu lar h t Este pulso retangular h t possui área igual a ht e altura idêntica a ht para algum instante adequado t t0 Na Fig 221 t0 é escolhido como sendo o instante no qual ht é máximo De acordo com esta definição ou 267 Figura 221 Duração efetiva da resposta ao impulso Essa definição é satisfatória quando ht é um pulso simples na maior parte positivo ou negativo Tais sistemas são sistemas passa baixas Esta definição não deve ser aplicada indiscriminadamente a todos os sistemas CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 201 Agora se o sistema possui um único modo com λ negativo e real então ht é máximo para t 0 com valor h0 A Portanto de acordo com a Eq 267 268 Logo a constante de tempo neste caso é simplesmente o negativo do recíproco da raiz característica do sistema Para o caso de vários modos ht é o somatório ponderado dos modos característicos do sistema e Th é a média ponderada das constantes de tempo associadas com os N modos do sistema 273 A Constante de Tempo e Tempo de Subida de um Sistema O tempo de subida de um sistema definido como o tempo necessário para que a resposta ao degrau unitário au mente de 10 para 90 do valor de regime é uma indicação da velocidade da resposta A constante de tempo do sistema também pode ser vista como uma perspectiva do tempo de subida A resposta ao degrau unitário yt de um sistema é a convolução de ut com ht Seja a resposta ht ao impulso um pulso retangular de largura Th co mo mostrado na Fig 222 Esta consideração simplifica a discussão resultando ainda em resultados satisfatórios para uma discussão qualitativa O resultado desta convolução é mostrado na Fig 222 Observe que a saída não aumenta de zero a um valor final instantaneamente tal como a entrada Em vez disso a saída leva Th segundos para atingir o valor final Logo o tempo de subida Tr de um sistema é igual à constante de tempo do sistema 269 Este resultado e a Fig 222 mostram claramente que um sistema geralmente não responde instantaneamente a uma entrada levando Th segundos para responder completamente 274 A Constante de Tempo e Filtragem Uma constante de tempo grande implica um sistema lento porque o sistema precisa de muito tempo para res ponder completamente a uma entrada Tal sistema não pode responder efetivamente a variações rápidas da en trada Em contraste uma constante de tempo pequena indica em um sistema capaz de responder a rápidas varia ções da entrada Portanto existe uma conexão direta entre a constante de tempo do sistema e suas propriedades de filtragem Uma senóide de alta freqüência varia rapidamente com o tempo Um sistema com uma constante de tempo grande não será capaz de responder bem a esta entrada Portanto este sistema irá suprimir senóides variando ra pidamente alta freqüência e outros sinais de alta freqüência Mostraremos agora que um sistema com constan te de tempo Th atua como um filtro passabaixas com uma freqüência de corte de fc 1Th hertz de tal forma que senóides com freqüência menores do que fc são transmitidas razoavelmente bem enquanto que senóides com freqüências acima de fc são suprimidas Para demonstrar esse fato vamos determinar a resposta do sistema a entrada senoidal xt convoluindo esta entrada com a resposta ht efetiva ao impulso da Fig 223a Nas Figs 223b e 223c vemos o processo de con volução de ht com entradas senoidais com duas freqüências diferentes A senóide da Fig 223b possui uma fre Figura 222 Tempo de subida de um sistema Devido às várias definições de tempo de subida o leitor pode encontrar diferentes resultados na literatura A natureza qualitativa e in tuitiva dessa discussão deve estar sempre em mente 202 SINAIS E SISTEMAS LINEARES qüência relativamente alta enquanto que a freqüência da senóide da Fig 223c é baixa Lembrese de que a con volução de xt e ht é igual a área sob o produto xτht τ Esta área é mostrada sombreada na Fig 223b e 223c para os dois casos Para a senóide de alta freqüência fica claro a partir da Fig 223b que a área sob xτht τ é muito pequena pois as áreas positiva e negativa praticamente se cancelam Isso acontece quando o perío do da senóide é muito menor do que a constante de tempo Th do sistema Por outro lado para a senóide de bai xa freqüência o período da senóide é maior do que Th resultando no cancelamento parcial da área sob xτht τ menos efetivo Conseqüentemente a saída yt é muito maior como mostrada na Fig 223c Entre esses dois possíveis extremos no comportamento do sistema um ponto de transição ocorre quando o pe ríodo da senóide é igual à constante de tempo Th do sistema A freqüência na qual esta transição ocorre é chama da de freqüência de corte fc do sistema Como Th é o período da freqüência de corte fc 270 A freqüência fc também é chamada de largura de faixa do sistema porque o sistema transmite ou deixa pas sar componentes senoidais com freqüências abaixo de fc enquanto atenua componentes com freqüências acima de fc Obviamente a transição no comportamento do sistema é gradual Não existe mudança drástica no com portamento do sistema para fc 1Th Além disso esses resultados são baseados em uma resposta ao impulso idealizada pulso retangular Na prática estes resultados irão variar um pouco dependendo da forma exata de ht Lembrese de que o sentimento do comportamento geral do sistema é mais importante do que a resposta exata nesta discussão qualitativa Como a constante de tempo do sistema é igual ao seu tempo de subida temos 271a Figura 223 Constante de tempo e filtragem CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 203 Portanto a largura de faixa do sistema é inversamente proporcional ao seu tempo de subida Apesar da Eq 271a ter sido determinada a partir de uma resposta ao impulso idealizada retangular suas implicações são válidas para sistemas LCIT passabaixas em geral Para um caso genérico podemos mostrar que 271b na qual o valor exato de k depende da natureza de ht Um engenheiro experiente geralmente pode estimar ra pidamente a largura de faixa de um sistema desconhecido simplesmente observando em um osciloscópio a res posta do sistema a uma entrada em degrau 275 A Constante de Tempo e Dispersão Espalhamento do Pulso Em geral a transmissão de um pulso através de um sistema causa a dispersão ou espalhamento do pulso Por tanto o pulso de saída é geralmente mais largo do que o pulso de entrada Esse comportamento do sistema po de ter sérias conseqüências em sistemas de comunicação nos quais a informação é transmitida por pulsos A dis persão ou espalhamento causa interferência ou sobreposição com pulsos vizinhos distorcendo pois as ampli tudes dos pulsos e introduzindo erros na informação recebida Anteriormente vimos que se uma entrada xt é um pulso de largura Tx então Ty a largura do pulso de saída yt é 272 Esse resultado mostra que um pulso de entrada é espalhado ou dispersado enquanto ele passa através de um sistema Como Th também é a constante de tempo ou de subida o total de espalhamento do pulso é igual a cons tante de tempo ou tempo de subida do sistema 276 A Constante de Tempo e Taxa de Transmissão de Informação Em sistemas de comunicação pulsados os quais transmitem informação através das amplitudes dos pulsos a taxa de transmissão de informação é proporcional à taxa de transmissão dos pulsos Demonstraremos que para evitar a destruição de informação causada pela dispersão dos pulsos durante sua transmissão através de um canal mídia de transmissão a taxa de transmissão de informação não deve exceder a largura de faixa do canal de comunicação Como um pulso de entrada é dispersado por Th segundos pulsos consecutivos devem ser espaçados Th segun dos para evitar a interferência entre pulsos Portanto a taxa de transmissão de pulsos não pode exceder 1Th pul sossegundo Mas 1Th fc a largura de faixa do canal de tal forma que podemos transmitir pulsos através de um canal de comunicação a uma taxa de fc pulsos por segundo e ainda assim evitar interferência significativa en tre os pulsos A taxa de transmissão de informação é portanto proporcional a largura de faixa do canal ou do recíproco da sua constante de tempo Esta discussão Seções 272276 mostra que a constante de tempo do sistema determina muito do com portamento do sistema suas características de filtragem tempo de subida dispersão de pulso e assim por dian te Por sua vez a constante de tempo é determinada pelas raízes características do sistema Fica claro portanto que as raízes características e suas quantidades relativas na resposta ht ao impulso determinam o comporta mento do sistema 277 O Fenômeno da Ressonância Finalmente chegamos ao fascinante fenômeno da ressonância Como já havíamos mencionado várias vezes es te fenômeno é observado quando o sinal de entrada é idêntico ou muito próximo ao modo característico do sis tema Para efeito de simplicidade e facilidade iremos considerar um sistema de primeira ordem com apenas um único modo e λt Seja a resposta ao impulso deste sistema dada por 273 Teoricamente um canal com largura de faixa fc pode transmitir corretamente até 2fc amplitudes de pulso por segundo 4 O valor obtido aqui sendo muito simples e qualitativo resulta na metade do limite teórico Mesmo assim na prática não é fácil atingir o limite supe rior teórico Por conveniência omitimos a multiplicação de xt e ht por ut Ao longo desta discussão assumiremos que eles são causais 204 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e seja a entrada A resposta yt do sistema é dada por A partir da tabela de convolução obtemos 274 Agora quando 0 tanto o numerado quanto o denominador do termo em parênteses tendem para zero Aplicando a regra de LHôpital a este termo obtemos 275 Claramente a resposta não tente para o infinito quando 0 mas ela recebe um fator t o qual se aproxi ma de quando t Se λ possui uma parte real negativa de tal forma que ele está no SPE e λt decai mais rápido do que t e yt 0 quanto t O fenômeno da ressonância neste caso está presente mas sua mani festação é abortada pelo próprio decaimento exponencial do sinal Esta discussão mostra que a ressonância é um fenômeno acumulativo não instantâneo Ela cresce linearmen te com t Quando algum modo cai exponencialmente o sinal de saída diminui muito rapidamente neutralizan do o crescimento da ressonância Portanto como resultado o sinal de saída desaparece antes que a ressonância tenha a chance de aparecer Entretanto se o modo decai a um taxa menor do que 1t devemos ver claramente o fenômeno da ressonância Essa condição específica é possível de Re λ 0 Por exemplo quando Re λ 0 tal que λ está no eixo imaginário do plano complexo e portanto e a Eq 275 se torna 276 então a resposta realmente vai para o infinito linearmente com t Para um sistema real se λ jω é uma raiz então λ jω também deve ser uma raiz A resposta ao impul so é na forma Ae jωt Ae jωt 2A cos ωt A resposta deste sistema a uma entrada cos ωt é 2A cos ωt cos ωt O leitor pode mostrar que esta convolução contém um termo na forma At cos ωt O fenômeno da ressonância é cla ramente visível A resposta do sistema a este modo característico aumenta linearmente com o tempo eventual mente atingindo como indicado na Fig 224 Figura 224 Construção da resposta do sistema em ressonância Se a raiz característica em questão repetir r vezes o efeito da ressonância aumentará para t r1 Entretanto t r1e λt 0 quando t para qualquer valor de r desde que Re λ 0 λ no SPE CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 205 Lembrese que quando λ jω o sistema é marginalmente estável Como já indicamos o efeito completo da ressonância não pode ser visto para um sistema assintoticamente estável apenas em sistemas marginalmente es táveis o fenômeno da ressonância aumenta a resposta do sistema para infinito quando a entrada do sistema é um modo característico Mas mesmo em sistemas assintoticamente estáveis vemos a manifestação da ressonância se as raízes características estiverem muito próximas do eixo imaginário de tal forma que Re λ tenha um peque no valor negativo Podemos mostrar que quando as raízes características de um sistema são σ jω0 então a res posta do sistema a entrada e w0t ou à senóide cosω0t é muito grande para um pequeno σ A resposta do sistema cai rapidamente quando a freqüência do sinal de entrada se afasta de ω0 Este comportamento seletivo à freqüên cia pode ser estudado mais adequadamente após um melhor entendimento da análise no domínio da freqüência Por esta razão adiaremos a discussão completa deste assunto para o Capítulo 4 IMPORTÂNCIA DO FENÔMENO DA RESSONÂNCIA O fenômeno da ressonância é muito importante porque ele nos permite projetar sistemas seletivos à freqüência pe la escolha adequada das raízes características Filtros passabaixas passafaixas passaaltas e párafaixa são exem plos de circuitos seletivos à freqüência Em sistemas mecânicos a presença inadvertida da ressonância pode causar sinais de tremenda amplitude com os quais os sistemas podem quebrar Uma nota musical vibração periódica de freqüência adequada pode explodir um vidro se a freqüência coincidir com as raízes características do vidro o qual funciona como um sistema mecânico Similarmente uma tropa de soldados marchando em uma ponte aplica uma força periódica na ponte Se a freqüência dessa força de entrada for por coincidência próxima da raiz característi ca da ponte a ponte pode responder vibrar violentamente chegando a colapsar mesmo se ela for forte o suficien te para carregar vários soldados marchando para fora Um caso verídico foi a ponte Tacoma Narrows em 1940 Ela colapsou com um suave vendaval não devido a força do vento mas devido a freqüência dos vórtices gerados pelo vento os quais coincidiram com a freqüência natural raízes características da ponte resultando na ressonância Devido ao grande dano que pode ocorrer a ressonância mecânica é geralmente evitada especialmente em es truturas ou mecanismos vibratórios Se um motor com força periódica tal como o movimento de um pistão for montado em uma plataforma a plataforma com sua massa e molas deve ser projetada de tal forma que suas raí zes características não estejam perto da freqüência de vibração do motor O projeto adequado desta plataforma pode não apenas evitar a ressonância mas também atenuar as vibrações se as raízes do sistema forem colocadas longe da freqüência de vibração 28 APÊNDICE 21 DETERMINAÇÃO DA RESPOSTA AO IMPULSO Na Eq 219 mostramos que para um sistema LCIT S especificado pela Eq 216 a resposta ht ao impulso unitário pode ser descrita por ht b0δt modos característicos 277 Para determinar os termos dos modos característicos da Eq 277 vamos considerar um sistema S0 cuja en trada xt e a saída yt correspondente são relacionados por 278 Observe que tanto o sistema S quanto S0 possuem o mesmo polinômio característico Qλ e conseqüente mente os mesmos modos característicos Além disso S0 é o mesmo que S com PD 1 ou seja b0 0 Por tanto de acordo com a Eq 277 a resposta ao impulso de S0 é constituída apenas dos termos dos modos carac terísticos sem o impulso para t 0 Vamos representar esta resposta ao impulso de S0 por ynt Observe que ynt é constituído dos modos característicos de S e portanto pode ser visto como sendo a resposta de entrada nula de S Agora ynt é a resposta de S0 a entrada δt Portanto de acordo com a Eq 278 279a ou 279b Esse fato segue diretamente da Eq 274 com λ σ jω0 e σ 206 SINAIS E SISTEMAS LINEARES ou 279c na qual yn kt representa a késima derivada de ynt O lado direito contém um único termo com impulso δt Isto é possível apenas se yn N 1t possui um salto de descontinuidade para t 0 de tal forma que yn Nt δt Além disso os termos de mais baixa ordem não podem ter nenhum salto de descontinuidade porque isto signi ficaria a presença de derivadas de δt Portanto yn0 yn 10 yn N 20 0 nenhuma descontinuidade para t 0 e as N condições iniciais de ynt são 280 Essa discussão implica no fato de ynt ser a resposta de entrada nula do sistema S sujeito às condições ini ciais 280 Mostraremos agora que para a mesma entrada xt aplicada nos dois sistemas S e S0 suas respectivas saídas yT e wt estão relacionadas por 281 Para provar este resultado multiplicamos os dois lados da Eq 278 por PD para obter Comparando esta equação com a Eq 21c teremos imediatamente a Eq 281 Agora se a entrada xt δt então a saída de S0 é ynt e a saída de S de acordo com a Eq 281 é PDynt Essa saída é ht a resposta ao impulso de S Note entretanto que como esta é uma resposta de um sistema cau sal S0 ao impulso a função ynt é causal Para incorporar este fato devemos representar essa função por yntut Dessa forma seguese que ht a resposta ao impulso unitário do sistema S é dada por 282 onde ynt é a combinação linear dos modos característicos do sistema sujeito a condições iniciais 280 O lado direito da Eq 282 é a combinação linear das derivadas de yntut A determinação destas deriva das é trabalhosa devido a presença de ut pois as derivadas irão gerar um impulso e suas derivadas na origem Felizmente quando M N Eq 216 podemos evitar esta dificuldade usando a observação da Eq 277 a qual afirma que para t 0 a origem ht b0δt Portanto não precisamos nos preocupar em determinar ht na origem Esta simplificação implica que em vez de derivar PDyntut podemos derivar PDynt e somar a isso o termo b0δt tal que 283 Esta expressão é válida quando M N a forma dada pela Eq 216b Quando M N a Eq 282 deve ser utilizada 29 RESUMO Este capítulo discutiu a análise no domínio do tempo de sistemas LCIT A resposta total de um sistema linear é a soma da resposta de entrada nula e a resposta de estado nulo A resposta de entrada nula é a resposta do siste ma gerada apenas pelas condições internas condições iniciais do sistema considerando que todas as entradas externas são nulas por isto o termo entrada nula A resposta de estado nulo é a resposta do sistema gerada pe la entrada externa assumindo que todas as condições iniciais são nulas ou seja quando o sistema está no esta do nulo ou estado zero Todo sistema pode manter certas formas de resposta por ele mesmo sem entrada externa entrada nula Es tas formas são características intrínsecas ao sistema ou seja elas não dependem de qualquer entrada externa Por esta razão elas são chamadas de modos característicos do sistema A resposta de entrada nula é constituída pelos modos característicos escolhidos em uma combinação necessária para satisfazer as condições iniciais do sistema Para um sistema de ordem N existem N modos distintos CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 207 A função impulso unitário é um modelo matemático idealizado de um sinal que não pode ser gerado na prá tica Apesar disso a introdução de tal sinal como um intermediário é muito útil na análise de sinais e sistemas A resposta ao impulso unitário de um sistema é a combinação dos modos característicos do sistema pois o im pulso δt 0 para t 0 Portanto a resposta do sistema para t 0 deve necessariamente ser a resposta de entra da nula a qual como vista anteriormente é a combinação dos modos característicos A resposta de estado nulo resposta devido à entrada externa de um sistema linear pode ser obtida separan do a entrada em componentes mais simples e então somando as respostas de todas as componentes Neste ca pítulo representamos uma entrada arbitrária xt como a soma de pulsos retangulares estreitos aproximação em degraus de xt No limite quando a largura do pulso 0 as componentes dos pulsos retangulares aproximam se de impulsos Conhecendo a resposta ao impulso do sistema podemos determinar a resposta do sistema a to das as componentes impulsivas e então somálas para termos a resposta final do sistema à entrada xt A soma das respostas das componentes de impulso está na forma de uma integral conhecida como integral de convolu ção A resposta do sistema é obtida como a convolução da entrada xt com a resposta ht do sistema ao impul so Portanto o conhecimento da resposta ao impulso do sistema nos permite determinar a resposta do sistema a qualquer entrada arbitrária Sistemas LCIT possuem uma relação muito especial com o sinal exponencial de duração infinita e st pois a resposta de um sistema LCIT a este tipo de sinal de entrada é o mesmo sinal multiplicado por uma constante A resposta de um sistema LCIT a uma entrada exponencial de duração infinita e st é HSe st onde Hs é a função de transferência do sistema Equações diferenciais de sistemas LCIT também podem ser solucionadas pelo método clássico no qual a resposta é obtida como a soma das respostas natural e forçada Essas respostas não são as componentes de en trada nula e estado nulo apesar delas satisfazerem as mesmas equações respectivamente Apesar de simples es te método só pode ser aplicado a uma classe restrita de sinais de entrada e a resposta não pode ser expressa com uma função explícita da entrada Estas limitações tornam este método inútil no estudo teórico de sistemas Se cada entrada limitada resultar em uma saída limitada o sistema é estável no sentido BIBO entrada limi tadasaída limitada Um sistema LCIT é BIBO estável se e apenas se sua resposta ao impulso for absolutamen te integrável Caso contrário o sistema é BIBO instável A estabilidade BIBO é a estabilidade vista pelos termi nais externos do sistema Logo ela também é chamada de estabilidade externa ou estabilidade de estado nulo Por outro lado a estabilidade interna ou estabilidade de entrada nula analisa a estabilidade do sistema vis ta por dentro Quando alguma condição inicial é aplicada ao sistema no estado nulo então se o sistema even tualmente retornar ao estado nulo o sistema é dito ser assintoticamente estável ou estável no sentido Lyapunov Se a resposta do sistema crescer sem limite ele é instável Se o sistema não for para o estado nulo e a resposta não crescer indefinidamente o sistema é marginalmente estável O critério de estabilidade interna em termos da localização das raízes características do sistema pode ser resumido por 1 Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todas as raízes características estiverem no SPE As raízes podem ser repetidas ou não 2 Um sistema LCIT é instável se e somente se uma ou as duas condições a seguir existirem i ao menos uma raiz está no SPD ii existirem raízes repetidas no eixo imaginário 3 Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem raízes no SPD e existirem al gumas raízes não repetidas no eixo imaginário É possível a um sistema ser externamente BIBO estável mas internamente instável Quando um sistema é controlável e observável suas descrições interna e externa são equivalentes Logo as estabilidades externa BI BO e interna assintótica são equivalentes e fornecem a mesma informação Um sistema BIBO estável tam bém é assintoticamente estável e viceversa Similarmente um sistema BIBO instável é ou marginalmente está vel ou assintoticamente instável O comportamento característico de um sistema é extremamente importante pois ele determina não somente a resposta do sistema a condições internas comportamento de entrada nula mas também a resposta do sistema a entradas externas comportamento de estado nulo e a estabilidade do sistema A resposta do sistema a entra das externas é determinada pela resposta ao impulso o qual é constituído dos modos característicos A largura Entretanto ele pode ser aproximado por um pulso estreito de área unitária e possuindo largura que seja muito menor do que a constan te de tempo do sistema LCIT no qual ele será utilizado Existe a possibilidade de um impulso adicionado aos modos característicos 208 SINAIS E SISTEMAS LINEARES da resposta ao impulso é chamada de constante de tempo do sistema a qual indica quão rápido o sistema pode responder a uma entrada A constante de tempo possui um importante papel na determinação de diversos com portamentos do sistema tais como o tempo de resposta e as propriedades de filtragem dispersão de pulsos e a taxa de transmissão de pulsos através do sistema REFERÊNCIAS MATLAB Seção 2 Arquivos M Arquivos M armazenam seqüências de comandos do MATLAB e ajudam a simplificar tarefas complicadas Existem dois tipos de arquivos M script e função Os dois tipos são arquivos texto simples e necessitam de uma extensãom Apesar de arquivos m poderem ser criados usando qualquer editor de texto o editor do próprio MATLAB é a melhor escolha pois ele possui algumas características especiais Como em muitos programas comentários au xiliam na compreensão do arquivo m Comentários começam com o caractere e continuam até o fim da linha Para se executar um arquivo m basta digitar o nome do arquivo sem a extensão m na linha de comando do MATLAB Para serem executados os arquivos m devem estar no diretório corrente ou em qualquer diretório no path do MATLAB Novos diretórios são facilmente adicionados ao path do MATLAB usando o comando add path M21 Scritps em Arquivos M Arquivos de script o tipo mais simples de arquivo m são constituídos de uma série de comandos do MATLAB Arquivos de script armazenam e automatizam uma série de passos além da facilidade de serem alterados Para demonstrar a sua utilidade considere o circuito com amplificador operacional mostrado na Fig M21 Os modos característicos do sistema definem e fornecem informações sobre o comportamento do circuito Usando amplificadores com características ideais com ganho diferencial infinito inicialmente obtemos a equa ção diferencial que relaciona a saída yt com a entrada xt A lei de corrente de Kirchhoff LCK aplicada ao nó compartilhado por R1 e R3 fornece Figura M21 Circuito com amplificador operacional CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 209 A LCK na entrada inversora do ampop fornece Combinando e simplificando as equações da LCK temos a qual é a equação diferencial com coeficientes constantes Portanto a equação característica é dada por M21 As raízes λ1 e λ2 da Eq M21 estabelecem a natureza e os modos característicos e λ1t e e λ2t Como um primeiro caso vamos associar os valores dos componentes como R1 R2 R3 10kΩ e C1 C2 1 μF Uma série de comandos do MATLAB nos permite calcular convenientemente as raízes λ1 λ2 Apesar de poder ser determinado usando a equação quadrática o comando roots do MATLAB é mais conveniente O comando roots necessita de um vetor de entrada contendo os coeficientes polinomiais em or dem descendente Mesmo se um coeficiente for zero ele ainda deve ser incluído no vetor MS2P1m MATLAB Seção 2 Programa 1 Script em arquivo m para determinar as raízes características de um circuito com ampop Ajustando o valor dos componentes R 1e4 1e4 1e4 C 1e6 1e6 Determinando os coeficientes da equação característica a0 1 a1 1R1 1R2 1R3C2 a2 1R1 R2 C1 C2 A a0 a1 a2 Determinando as raízes características lambda rootsA Um arquivo de script é criado colocando estes comandos em um arquivo texto o qual neste caso é chama do de MS2P1m Apesar das linhas de comando facilitarem o entendimento do programa a remoção delas não afeta o funcionamento do programa O programa é executado digitando Após a execução todas as variáveis de resultados estão disponíveis na área de trabalho Por exemplo para ver as raízes características digite Portanto aos modos característicos são exponenciais amortecidas simples e 2618034t e e 381966t Arquivos de script permitem alterações simples ou incrementais reduzindo consideravelmente o esforço na resolução de problemas Considere o que acontece quando o capacitor C1 é alterado de 10μF para 10nF A al teração de MS2P1m de tal forma que C 1e9 1e6 permite a determinação das novas raízes caracterís ticas 210 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Talvez surpreendentemente os modos característicos agora são exponenciais complexas capazes de manter oscilações A parte imaginária de λ resulta em uma taxa de oscilação de 31587 rads ou aproximadamente 503 Hz A parte real resulta em uma taxa de amortecimento O tempo esperado para reduzir a amplitude a 25 é aproximadamente de t ln 025Reλ 001 segundos M22 Funções em Arquivos M É inconveniente modificar e salvar um arquivo de script toda vez que tivermos que alterar um parâmetro Arqui vos m com funções são uma alternativa possível Ao contrário de arquivos de script arquivos de função podem aceitar argumentos de entrada e retornar saídas Funções realmente ampliam a linguagem MATLAB enquanto que arquivos de script não Sintaticamente um arquivo m de função é idêntico a um script exceto pela primeira linha A forma geral da primeira linha é function saída1 saída2 saídaN D nomedoarquivoentrada1 entrada2 entradaM Por exemplo considere modificar MS2P1m para criar a função MS2P2m Os valores dos componentes são passados para a função como duas entradas separadas um vetor de tamanho 3 com os valores dos resistores e um vetor de tamanho 2 com os valores dos capacitores As raízes características são o parâmetro de retorno co mo um vetor complexo 2 1 function lambda MS2P2RC MS2P2m MATLAB Seção 2 Programa 2 função em arquivom para determinar as raízes características de um circuito com ampop ENTRADAS R Vetor de tamanho 3 com as resistências C Vetor de tamanho 2 com as capacitâncias SAÍDAS lambda raízes características Determinando os coeficientes da equação característica a0 1 a1 1R1 1R2 1R3C2 a2 1R1 R2 C1 C2 A a0 a1 a2 Determinando as raízes características lambda rootsA Tal como em um script um arquivo de função é executado digitandose o nome na linha de comando Entre tanto as entradas também devem ser incluídas Por exemplo MS2P2 facilmente confirma os modos oscilatórios do exemplo anterior Apesar de scripts e funções serem similares eles possuem algumas diferenças distintas que devem ser men cionadas Scripts operam com dados da área de trabalho funções devem receber seus dados através dos argu mentos de entradas ou então devem construir seus próprios dados A não ser que passados como saídas variá veis e dados criados por funções permanecem locais à função Variáveis e dados gerados por scripts são globais e adicionados a área de trabalho Para enfatizar este ponto considere o vetor de coeficientes polinomiais λ o qual é criado e utilizado tanto por MS2P1m quanto por MS2P2m Seguindo a execução da função MS2P2 a va riável A não é adicionada a área de trabalho Seguindo a execução do script MS2P1 entretanto a variável A es tará disponível na área de trabalho Lembrese que a área de trabalho é facilmente visualizada digitando o co mando who ou whos M23 Laços Comando FOR Resistores e capacitores reais nunca são exatamente iguais aos seus valores nominais Suponha que os compo nentes do circuito possuam os seguintes valores medidos R1 103222 KΩ R2 9952 KΩ e R3 10115 KΩ CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 211 C1 1120 nF C2 1320 μF Estes valores estão coerentes com a tolerância de 10 e 25 para resistores e capacitores geralmente encontrada em componentes disponíveis no mercado MS2P2 utiliza estes valores para calcular os novos valores de λ Agora os modos naturais oscilam a 26113 rads ou aproximadamente 416 Hz O decaimento para 25 da amplitude é esperado em t ln 0251136 0012 segundos Estes valores os quais diferem significativa mente dos valores nominais de 503 Hz e t 001 segundos solicitam uma investigação mais formal do efeito das variações dos componentes nas posições das raízes características É interessante verificar três valores para cada componente o valor nominal o valor inferior e o valor supe rior Os valores superior e inferior são baseados nas tolerâncias dos componentes Por exemplo com 10 um resistor de 1kΩ pode ter um valor inferior esperado de 10001 01 900 Ω e um valor superior esperado de 10001 01 1100 Ω Para os cinco componentes passivos do projeto 3 5 243 permutações são possíveis A utilização tanto de MS2P1 ou MS2P2 para resolver cada um dos 243 casos seria muito tediosa e aborrecida Comandos de laço com o FOR ajudam a automatizar tarefas tais como esta No MATLAB a estrutura geral do comando for é for variável D expressão comando comando end São necessários cinco laços com o for um para cada componente passivo para resolvermos o problema MS2P3m MATLAB Seção 2 Programa 3 Arquivo com Script para determinar as raízes características para uma faixa de valores de componentes Alocação antecipada de memória para todas as raízes calculadas lambda zeros2 243 Inicialização do índice para identificar cada permutação xlabelReal ylabelImaginário legendRaízes característicasRaízes valores min Raízes valores max 0 O comando lambda zeros2243 aloca antecipadamente uma matriz 2 243 para armazenar as raí zes calculadas Quando necessário o MATLAB executa a alocação dinâmica de memória de tal forma que es te comando não é estritamente necessário Entretanto a alocação antecipada aumenta significativamente a velo cidade de execução do script Note também que seria praticamente sem sentido chamar o script MS2P1 dentro do laço mais interno pois os parâmetros do script não podem ser alterados durante sua execução 212 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O comando plot é bem grande Comandos longos podem ser quebrados em diversas linhas terminando a li nha intermediária com três pontos Os três pontos indicam para o MATLAB que o comando atual continua na próxima linha A posição das raízes de cada permutação será marcada com um x preto O comando lamb da transforma a matriz de 2 243 em um vetor de 486 1 Isto é necessário neste caso para garantir que a legenda adequada seja criada Devido a ordem dos laços a permutação p 1 corresponde ao caso no qual todos os componentes estão com o menor valor e a permutação 243 corresponde ao caso no qual todos os compo nentes estão com o maior valor Esta informação é utilizada para destacar os extremos separando os casos de mínimo e máximo usando triângulos para baixo e triângulos para cima Δ respectivamente Além disso pa ra terminar cada laço o comando end é utilizado para indicar o índice final ao longo de uma dimensão em par ticular o que elimina a necessidade de lembrar o tamanho particular de uma variável Uma função tal como end possui diversas aplicações sendo geralmente interpretada pelo contexto O resultado gráfico fornecido pelo script MS2P3 está mostrado na Fig M22 Entre os extremos as oscila ções das raízes vão de 365 a 745 Hz e o tempo de decaimento para 25 da amplitude varia de 62 a 127 ms Claramente o comportamento do circuito é bastante sensível a variações ordinárias dos componentes M24 Compreensão Gráfica da Convolução Os gráficos do MATLAB ilustram efetivamente o processo de convolução Considere o caso de yt xt ht na qual xt sen πtut ut 1 e ht 15ut ut 15 ut 2 ut 25 O programa MS2P4 executa a convolução no intervalo 025 t 375 passo a passo MS2P4m MATLAB Seção 2 Programa4 Arquivo de Script que demonstra graficamente o processo de convolução figure1 Cria uma janela de figura tornandoa visível na tela Figura M22 Efeito do valor dos componentes na posição das raízes características CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 213 A cada passo o programa traça hτ xt τ e sombreia a área hτxt τ de cinza Esta área cinza a qual reflete a integral de hτxt τ também é o resultado desejado yt As Figs M23 M24 e M25 mostram o processo da convolução para os tempos t de 075 225 e 285 segundos respectivamente Estas figuras ajudam a ilustrar como as regiões de integração alteram com o tempo A Fig M23 possui limites de integração de 0 a t 075 A Fig M24 possui duas regiões de integração com limites t 1 125 a 15 e 20 a t 225 O úl timo gráfico Fig M25 possui limites de 20 a 25 Figura M23 Convolução gráfica para o passo t 075 segundos Figura M24 Convolução gráfica para o passo t 225 segundos 221 Um sistema LCIT é especificado pela equação a Determine o polinômio característico equação característica raízes característi cas e modos característicos deste sistema b Determine y0t a componente de entrada nula da resposta yt para t 0 se as condi ções iniciais forem y00 2 e y 00 1 222 Repita o Prob 221 para e y00 3 e y 00 4 223 Repita o Prob 221 para e y00 y 00 1 214 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Vários comentários com relação a MS2P4 estão a seguir em ordem O comando figure1 abre a primei ra janela de figura e mais importante garante que ela esteja visível Objetos inline são utilizados para repre sentar as funções xt e ht NaN significa notanumber geralmente o resultado de uma operação tal como 00 ou O MATLAB se recusa a traças valores NaN De tal forma que a alocação antecipada de yt com NaN garante que o MATLAB mostrará apenas valores de yt que tenham sido calculados Tal como o no me sugere length retorna o tamanho comprimento de um vetor de entrada O comando subplota b c particiona a janela de figura atual em uma matriz a por b de gráficos e seleciona o gráfico c para uso Sub gráficos facilitam a comparação gráfica permitindo múltiplos gráficos em uma única janela de figura O co mando patch é utilizado para criar a área sombreada de cinza para hτxt τ Em MS2P4 os comandos get e set são utilizados para reordenar os objetos plot de tal forma que a área cinza não sobreponha outras linhas Detalhes dos comandos patch get e set utilizados em MS2P4 são de alguma forma avançados sendo des necessários neste ponto O MATLAB também imprime muitas letras gregas se o nome grego for precedido por uma barra invertida Por exemplo au no comando xlabel produz o símbolo τ no nome do eixo do gráfico Similarmente um sinal de integral é produzido por int Finalmente o comando drawnow força o MATLAB a atualizar a janela de figura a cada iteração do laço Apesar de lento isto cria um efeito tipo anima ção A substituição do comando drawnow por pause permite ao usuário fazer a convolução passo a passo ma nualmente O comando pause também força a atualização da janela de figura mas o programa não irá conti nuar até que uma tecla seja pressionada P R O B L E M A S Figura M25 Convolução gráfica para o passo t 285 segundos N de T Não um número Estudantes com interesse devem consultar o help do MATLAB para mais informações Na realidade os comandos get e set são extremamente poderosos e podem ajudar a modificar gráficos de quase todas as formas imagináveis CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 215 224 Repita o Prob 221 para e y00 0 e y 00 6 225 Repita o Prob 221 para e y00 5 e y 00 1598 226 Repita o Prob 221 para e y00 4 e y 00 3 e y 00 1 227 Repita o Prob 221 para e y00 2 e y 00 1 e y 00 5 228 Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeficiente constante e possui uma resposta de entrada nula dada por y0t 2e t 3 a É possível que a equação característica do sistema seja λ 1 0 Justifique sua resposta b É possível que a equação característica do sistema seja λ 2 λ 0 Justifique sua resposta c É possível que a equação característica do sistema seja λ λ 1 2 0 Justifique sua resposta 231 Determine a resposta ao impulso unitário do sistema especificado pela equação 232 Repita o Prob 231 para 233 Repita o Prob 231 para o filtro passa tudo de primeira ordem especificado pela equação 234 Determine a resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT especificado pela equação 241 Se ct xt gt então mostre que Ac AxAg onde Ax Ag e Ac são as áreas sob xt gt e ct respectivamente Verifique esta propriedade da área da convolução nos Exemplos 27 e 29 242 Se xt gt ct então mostre que xat gat 1acat Esta propriedade de es calamento no tempo da convolução afirma que se tanto xt quanto gt forem escalona dos no tempo por a a convolução deles tam bém será escalonada por a e multiplicada por 1a 243 Mostre que a convolução de uma função ím par e uma função par é uma função ímpar e que a convolução de duas funções ímpares ou duas funções pares é uma função par Dica Utilize a propriedade de escalamento no tem po da convolução do Prob 242 244 Usando a integração direta determine e atut e btut 245 Usando a integração direta determine ut ut e atut e atut e tut ut 246 Usando a integração direta determine sen t ut ut e cos t ut ut 247 A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é Determine a resposta do sistema estado nulo yt se a entrada xt for 248 Repita o Prob 247 para e se a entrada xt for 249 Repita o Prob 247 para e entrada xt ut 2410 Repita o Prob 247 para e cada uma das seguintes entradas xt 2411 Repita o Prob 247 para e cada uma das seguintes entradas xt d O pulso mostrado na Fig 2411 Forne ça um rascunho de yt 216 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P2411 2412 A resposta ao impulso de um filtro passa tudo de primeira ordem é dada por a Determine a resposta de estado nulo des te filtro para a entrada e tut b Rascunhe a entrada e a saída de estado nulo correspondente 2413 A Fig P2413 mostra a entrada xt e a res posta ht ao impulso de um sistema LCIT Considere a saída yt a Por inspeção de xt e ht determine y1 y0 y2 y3 y4 y5 e y6 Portanto simplesmente examinando xt e ht você deve determinar o resultado da convolução para t 1 0 1 2 3 4 5 e 6 b Determine a resposta do sistema para a entrada xt 2414 A resposta de estado nulo de um sistema LCIT a entrada xt 2e 2tut é yt 4e 2t 6e 3tut Determine a resposta ao impulso do sistema Dica ainda não desenvolvemos um método de determinação de ht a partir do conhecimento da entrada e da saída corres pondente Conhecendo a forma de xt e yt você deve adivinhar a forma geral de ht 2415 Rascunhe as funções xt 1t 2 1 e ut Determine agora xt ut e rascunhe o resultado 2416 A Fig P2416 mostra xt e gt Determine e rascunhe ct xt gt 2417 Determine e rascunhe ct xt gt para as funções mostradas na Fig P2417 2418 Determine e rascunhe ct x1t x2t pa ra os pares de funções mostradas na Fig P2418 2419 Utilize a Eq 246 para determinar a con volução de xt e wt mostrados na Fig P2419 2420 Determine Hs a função de transferência de um atrasador de tempo ideal de T segundos Obtenha a sua resposta de duas formas usan do a Eq 248 e usando a Eq 249 2421 Determine yt xt ht para os sinais mostrados na Fig P2421 2422 Dois sistemas lineares invariantes no tempo cada um com resposta ht ao impulso são conectados em série Refirase à Fig P24 22 Dada a entrada xt ut determine y1 Ou seja determine a resposta ao degrau para o tempo t 1 para o sistema em casca ta mostrado 2423 Considere o circuito elétrico mostrado na Fig P2423 a Determine a equação diferencial que rela ciona a entrada xt com a saída yt Lembre que b Determine a equação característica pa ra este circuito e expresse as raizes da equação característica em termos de L e C Figura P2413 Figura P2416 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 217 Figura P2417 Figura P2418 Figura P2419 218 SINAIS E SISTEMAS LINEARES c Determine a resposta a entrada nula dada uma tensão inicial no capacitor de um volt e uma corrente inicial no indutor de zero amperes Ou seja determine y0t dado vc0 1 V e iL0 0 A Dica Os coeficientes em y0t é são inde pendentes de L e C d Trace y0t para t 0 A resposta de entra da nula a qual é causada somente pelas condições iniciais por acaso morre e Determine a resposta total yt para a en trada xt e tut Assuma uma corrente inicial no indutor de iL0 0 A e a ten são inicial do capacitor de vc0 1V L 1 H e C 1 F Figura P2423 Circuito LC 2424 Dois sistemas possuem resposta ao impulso dadas por h1t 1 tut ut 1 e h2t tut 2 ut 2 a Cuidadosamente trace as funções h1t e h2t b Assuma que os dois sistemas são conec tados em paralelo como mostrado na Fig P2424a Cuidadosamente trace a resposta hst do sistema equivalente ao impulso c Assuma que os dois sistemas são conecta dos em cascata como mostrado na Fig P2424b Cuidadosamente trace a respos ta hst do sistema equivalente ao impulso 2425 Considere o circuito mostrado na Fig P2425 a Determine a saída yt dada uma tensão inicial do capacitor de y0 2V e entra da xt ut b Dada uma entrada xt ut 1 determine a tensão inicial no capacitor yt tal que a saída yt seja 05 volts para t 2 segundos Figura P2421 Sinais analógicos xt e ht Figura P2422 Resposta ao impulso e sistema em cascata Figura P2424 Conexões em a paralelo e b série CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 219 Figura P2425 Circuito RC 2426 Um sinal analógico é dado por xt tut ut 1 como mostrado na Fig P2426 De termine e trace yt xt x2t Figura P2426 Sinal xt em rampa de curta du ração 2427 Considere o circuito elétrico mostrado na Fig P2427 a Determine a equação diferencial que rela ciona a corrente de entrada xt com a corrente de saída yt Lembrese que b Determine a equação característica para es te circuito e expresse as raizes da equa ção característica em termos de L1 L2 e R c Determine a resposta a entrada nula dado que a corrente inicial nos indutores é de um ampere cada Ou seja determine y0t dado iL10 iL20 1A Figura P2427 Circuito RLL 2428 Um sistema LIT possui resposta ao degrau da da por gt e tut e 2tut Determine a saí da yt deste sistema dada a entrada xt δt π cos ut 2429 O sinal periódico xt mostrado na Fig P24 29 é entrada de um sistema com função de resposta ao impulso dada por ht tut ut 15 também mostrada na Fig P24 29 Use a convolução para determinar a saí da yt deste sistema Trace yt no intervalo 3 t 3 2430 Considere o circuito elétrico mostrado na Fig P2430 a Determine a equação diferencial que rela ciona a entrada xt com a saída yt b Determine a saída yt em resposta a en trada xt 4te 3t2ut Assuma os valores dos componentes de R 1 Ω C1 1F e C2 2F e tensões iniciais nos capacitores de VC1 2V e VC2 1V Figura P2430 Circuito RCC 2431 Um pesquisador cardiovascular está tentando modelar o coração humano Ele gravou a pressão ventricular a qual ele acredita corres ponder a função ht de resposta ao impulso do coração mostrada na Fig P2431 Co mente a função ht mostrada na Fig P2431 Você pode estabelecer alguma propriedade do sistema tal como causalidade ou estabilida de Os dados sugerem qualquer razão para você suspeitar que esta é uma resposta ao im pulso verdadeira Figura P2429 A saída periódica xt 220 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P2431 Função de resposta ao impulso medida 2432 A autocorrelação de uma função xt é dada por Esta equação é calculada de maneira qua se idêntica à convolução a mostre que rxxt xt xt b Determine e trace rxxt para o sinal xt mos trado na Fig P2432 Dica rxxt rxxt Figura P2432 Sinal analógico xt 2433 Considere o circuito mostrado na Fig P24 33 Este circuito funciona como um integra dor Assuma o comportamento de um ampop ideal e lembre que a Determine a equação diferencial que rela ciona a entrada xt com a saída yt b Este circuito não se comporta bem com CC Demonstre isto calculando a respos ta ao estado nulo yt para um degrau uni tário xt ut Figura P2433 Circuito integrador com ampop 2434 Obtenha o resultado da Eq 246 por outro caminho Como mencionado no Capítulo 1 Fig 127b é possível expressar a entrada em termos de suas componentes em degrau co mo mostrado na Fig P2434 Determine a resposta do sistema como a soma das respos tas às componentes em degrau da entrada Figura P2434 2435 Mostre que a resposta de um sistema LCIT a uma senóide de duração infinita cos ω0t é da da por onde presumindo que a integral do lado direito exista 2436 Uma linha de carga é colocada ao longo do ei xo x com densidade de carga Qx coulombs por metro Mostre que o campo elétrico Ex produzido por esta linha de carga no ponto x é dado por onde ht 14πεx 2 Dica A carga no inter valo Δτ localizada em τ nΔτ é QnΔτΔτ Além disso pela lei de Coulomb o campo elétrico Er a uma distância r de uma carga q coulombs é dada por Er q4πεr 2 2437 Considere o circuito mostrado na Fig P24 37 Assuma o comportamento de um ampop ideal e lembrese que Sem o resistor de realimentação Rf o circuito funciona como um integrador e é instável particularmente em CC Um resistor de reali mentação Rf corrige este problema e resulta em um circuito estável que funciona como um integrador com perdas CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 221 a Determine a equação diferencial que relaciona a entrada xt com a saída yt Qual é a equação característica correspondente b Para demonstrar que este integrador co mo perdas se comporta bem com CC determine a resposta ao estado nulo yt dada uma entrada em degrau unitário xt ut c Investigue o efeito de uma tolerância de 10 para o resistor e 25 para o capaci tor nas raízes características do sistema Figura P2437 Circuito integrador com per das com ampop 2438 Considere o circuito elétrico mostrado na Fig P2438 Considere C1 C2 10 μf R1 R2 100 kΩ e R3 50kΩ a Determine a equação diferencial corres pondente a este circuito O circuito é BI BO estável b Determine a resposta a entrada nula y0t se a saída inicial de cada ampop for um volt c Determine a resposta ao estado nulo yt a uma entrada em degrau xt ut d Investigue o efeito de uma tolerância de 10 nos resistores e 25 nos capacitores nas raízes características do sistema 2439 Um sistema é chamado complexo se uma en trada de valor real produzir uma saída de va lor complexo Suponha um sistema linear in variante no tempo complexo com resposta ao impulso dada por ht jut 2 ut a Este sistema é causal Explique b Utilize a convolução para determina a res posta de estado nulo y1t deste sistema em resposta ao pulso de duração unitária x1t ut ut 1 c Usando o resultado da parte b determine a resposta ao estado nulo y2t em respos ta a x2t 2ut 1 ut 2 ut 3 251 Utilize o método clássico para resolver considerando as condições iniciais y0 0 y0 1 e entrada xt de 252 Usando o método clássico resolva para as condições iniciais y0 0 y0 2 e entrada xt ut 253 Usando o método clássico resolva para as condições iniciais de y0 94 y0 5 e entrada xt de 254 Usando o método clássico resolva Figura P2438 Circuito com ampop 222 SINAIS E SISTEMAS LINEARES para as condições iniciais y0 2 y0 1 e entrada xt ut 255 Repita o Problema 251 para a entrada xt e 3tut 261 Explique com razões quando um sistema LCIT descrito pelas seguintes equações é i estável ou instável no sentido BIBO ii assintoticamente estável instável ou mar ginalmente estável Assuma que os siste mas são controláveis e observáveis 262 Repita o Prob 261 para as equações 263 Para um certo sistema LCIT a resposta ao im pulso é ht ut a Determine as raizes características deste sistema b O sistema é assintoticamente ou marginal mente estável ou ele é instável c O sistema é BIBO estável d Para o que este sistema pode ser utilizado 264 Na Seção 26 demonstramos que para um sis tema LCIT a condição 264 é suficiente para a estabilidade BIBO Mostre que ela também é uma condição necessária para estabilidade BI BO em tais sistemas Em outras palavras mostre que se a condição 264 não for satis feita então existe uma entrada limitada que produz uma saída ilimitada Dica Assuma que existe um sistema no qual ht viola a con dição 264 e mesmo assim produza uma saí da que é limitada para toda entrada limitada Estabeleça a contradição nesta afirmativa con siderando uma entrada xt definida por xt1 τ 1 quando hτ 0 e xt1 τ 1 quando hτ 0 onde t1 é algum instante fixo 265 Um sistema LCIT analógico com função de res posta ao impulso dada por ht ut 2 ut 2 recebe uma entrada xt tut ut 2 a Determine e trace a saída do sistema yt xt ht b Este sistema é estável Este sistema é causal Justifique suas respostas 266 Um sistema possui função de resposta ao im pulso com forma semelhante a um pulso re tangular ht ut ut 1 Este sistema é estável Ele é causal 267 Um sistema LIT em tempo contínuo possui função de resposta ao impulso a Este sistema é causal Prove sua resposta b Este sistema é estável Prove sua resposta 271 Dados na taxa de 1 milhão de pulsos por se gundo devem ser transmitidos em um certo ca nal de comunicação A resposta ao degrau uni tário gt deste canal é mostrada na Fig P271 Figura P271 a Este canal pode transmitir os dados na ta xa necessária Explique sua resposta b Um sinal de áudio constituído por com ponentes com freqüência até 15 khz po de ser transmitido neste canal com uma fidelidade razoável 272 Um certo canal de comunicação possui largu ra de faixa de 10 kHz Um pulso de 05 ms de duração é transmitido neste canal a Determine a largura duração do pulso recebido b Determine a taxa máxima na qual estes pul sos podem ser transmitidos pelo canal sem interferência entres os pulsos sucessivos 273 Um sistema LCIT de primeira ordem possui raiz característica λ 10 4 a Determine Tr o tempo de subida da res posta ao degrau unitário deste sistema b Determine a largura de faixa do sistema c Determine a taxa na qual pulsos de infor mação podem ser transmitidos através deste sistema 274 Considere um sistema linear invariante no tempo com resposta ht ao impulso mostra da na Fig P274 Fora do intervalo mostrado ht 0 CAPÍTULO 2 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 223 Figura 274 Resposta ht ao impulso a Qual é o tempo de subida Tr deste siste ma Lembrese que o tempo de subida é o tempo entre a aplicação de um degrau uni tário e o momento no qual o sistema res pondeu completamente b Suponha que ht representa a resposta de um canal de comunicação Quais condições podem fazer com que o canal tenha este ti po de resposta ao impulso Qual é o maior número médio de pulsos por unidade de tempo que podem ser transmitidos sem cau sar interferência Justifique sua resposta c Determine a saída do sistema yt xt ht para xt ut 2 ut Trace o gráfico exato de yt para 0 t 10 Neste capítulo apresentaremos os conceitos básicos de sinais e sistemas em tempo discreto Estudaremos o mé todo da convolução de sistemas lineares discretos e invariantes no tempo LDIT Métodos clássicos de análise destes sistemas também serão examinados 31 INTRODUÇÃO Um sinal em tempo discreto é basicamente uma seqüência de números Tais sinais aparecem naturalmente em situações inerentemente discretas tais como estudos populacionais problemas de amortização modelos de ren da nacional e rastreamento por radar Eles também podem aparecer como resultado da amostragem de sinais contínuos no tempo em sistemas amostrados de filtragem digital Tais sinais podem ser representados por xn yn e assim por diante no qual a variável n assume valores inteiros e xn representa o nésimo número na se qüência x Nessa notação a variável discreta n é mantida entre colchetes em vez de parênteses o qual é reserva do para variáveis contínuas no tempo tal como t Sistemas cujas entradas e saídas são sinais em tempo discreto são chamados de sistemas em tempo discreto ou simplesmente sistemas discretos Um computador digital é um exemplo típico deste tipo de sistema Um si nal em tempo discreto é uma seqüência de números e um sistema em tempo discreto processa uma seqüência de números xn resultando em outra seqüência yn na saída Um sinal em tempo discreto quando obtido pela amostragem uniforme de um sinal contínuo no tempo xt também pode ser expresso por xnT onde T é o intervalo período de amostragem e n é a variável discreta que assume valores inteiros Portanto xnT representa os valores do sinal xt para t nT O sinal xnT é uma se qüência de números valores amostrados e logo por definição é um sinal em tempo discreto Tal sinal também pode ser representado pela notação simplificada discreta no tempo por xn onde xn xnT Um sinal em tempo discreto típico é mostrado na Fig 31 a qual mostra as duas formas de notação Por exemplo uma expo nencial contínua no tempo xt e t quando amostrada a cada T 01 segundos resulta em um sinal em tem po discreto xnT dado por Claramente este sinal é uma função de n e pode ser expresso por xn Tal representação é mais conveniente e será adotada ao longo deste livro mesmo para sinais resultantes da amostragem de sinais contínuos no tempo Filtros digitais podem processar sinais contínuos no tempo através de sistemas em tempo discreto usando in terfaces apropriadas na entrada e saída como mostrado na Fig 32 Um sinal contínuo no tempo xt é inicial mente amostrado sendo convertido em um sinal em tempo discreto xn o qual é então processado pelo siste ma em tempo discreto resultando em uma saída yn O sinal contínuo no tempo é finalmente construído a par tir de yn Utilizaremos as notações CD e DC para a conversão de contínuo para discreto e de discreto para contínuo Usando as interfaces desta maneira podemos utilizar um sistema em tempo discreto apropriado para ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO C A P Í T UL O 3 Podem haver mais de uma entrada e mais de uma saída CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 225 processar um sinal contínuo no tempo Como veremos posteriormente em nossas discussões os sistemas em tempo discreto possuem diversas vantagens quando comparados com sistemas contínuos no tempo Por essa ra zão existe uma forte tendência no processamento de sinais contínuos no tempo através de sistemas em tempo discreto 311 Tamanho de um Sinal em tempo discreto Argumentando de maneira semelhante a sinais contínuos no tempo o tamanho de um sinal em tempo discreto xn será medido através de sua energia Ex definida por 31 Essa definição é válida para xn real ou complexo Para que essa medida tenha algum sentido a energia do sinal deve ser finita Uma condição necessária para que a energia seja finita é que a amplitude do sinal deve 0 quando n Caso contrário a soma da Eq 31 não irá convergir Se Ex é finita o sinal é chamado de si nal de energia Em alguns casos por exemplo quando a amplitude de xn não 0 quando n então a energia do si nal é infinita e outra medida mais significativa do sinal nestes casos é a média temporal da energia se ela exis tir a qual é a potência do sinal Px definida por 32 Nessa equação a soma é dividida por 2N 1 pois existem 2N 1 amostras no intervalo de N a N Para si nais periódicos a média temporal pode ser calculada apenas para um período em função da repetição periódi ca do sinal Se Px for finita e não nula o sinal é chamado de sinal de potência Tal como no caso de contínuo no tempo um sinal em tempo discreto pode ser ou um sinal de energia ou um sinal de potência mas nunca os dois ao mesmo tempo Alguns sinais não são nem de energia nem de potência Figura 32 Processando um sinal de tempo contínuo com um sistema de tempo discreto Figura 31 Sinal discreto no tempo 226 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Determine a energia do sinal xn n mostrado na Fig 33a e a potência para o sinal periódico yn da Fig 33b Figura 33 Determinação da a energia e b potência de um sinal Pela definição Um sinal periódico xn com período N0 é caracterizado pelo fato de O menor valor de N0 no qual a equação anterior é válida é o período fundamental Tal sinal é chamado de N0 periódico A Fig 33b mostra um exemplo de um sinal periódico yn de período N0 6 pois cada perío do contém 6 amostras Observe que se a primeira amostra é considerada em n 0 a última amostra estará em n N0 1 5 e não em n N0 6 Como o sinal yn é periódico sua potência Py pode ser calculada pela média de sua energia em um período Calculando a média da energia em um período temos EXEMPLO 31 EXERCÍCIO E31 Mostre que o sinal xn a nun é um sinal de energia com energia Ex 11 a 2 se a 1 Ele se rá um sinal de potência com potência Px 05 se a 1 E ele não será nem de energia nem de po tência se a 1 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 227 32 OPERAÇÕES ÚTEIS COM SINAIS As operações de deslocamento e escalamento discutidas para sinais contínuos no tempo também são aplicadas para sinais em tempo discreto com algumas modificações DESLOCAMENTO Considere o sinal xn Fig 34a e o mesmo sinal atrasado deslocado para a direita por 5 unidades Fig 34b o qual iremos representar por xsn Usando os argumentos adotados para a operação similar de sinais contínuos no tempo Seção 12 obtemos Portanto para deslocar uma seqüência por M unidades M inteiro substituímos n por n M Portanto xn M representa xn deslocado por M unidades Se M for positivo o deslocamento é para a direita atraso Se M for negativo o deslocamento é para a esquerda avanço Dessa forma xn 5 é xn atrasado deslocado para a direita por 5 unidades e xn 5 é xn avançado deslocado para a esquerda por 5 unidades REVERSÃO NO TEMPO Para fazer a reversão temporal de xn da Fig 34a rotacionamos xn com relação ao eixo vertical para obter o sinal revertido no tempo xrn mostrado na Fig 34c Usando o argumento adotado para a operação similar em sinais contínuos no tempo Seção 12 obtemos Portanto para revertermos no tempo um sinal substituímos n por n tal que xn é xn revertido no tem po Por exemplo se xn 09 n para 3 n 10 então xrn 09 n para 3 n 10 ou seja 3 n 10 como mostrado na Fig 34c A origem n 0 é o ponto fixo o qual permanece inalterado durante a operação de reversão temporal pois pa ra n 0 xn xn x0 Note que enquanto a reversão de xn no eixo vertical é xn a reversão de xn no eixo horizontal é xn Na operação de convolução discutida posteriormente precisaremos determinar a função xk n de xn Isso pode ser feito em dois passos i reversão temporal do sinal xn para obter xn ii deslocamento para a direita de xn por k Lembrese que o deslocamento para a direita é realizado substituindo n por n k Logo o deslocamento para a direita de xn por k unidades é xn k xk n A Fig 34d mos tra x5 n obtida desta forma Primeiro fazemos a reversão no tempo de xn obtendo xn na Fig 34c A seguir deslocamos xn por k 5 para obter xk n x5 n como mostrado na Fig 34d Neste exemplo em particular a ordem das duas operações pode ser alterada Podemos primeiro deslocar para a esquerda xn obtendo xn 5 A seguir fazemos a reversão temporal de xn 5 para obter xn 5 x5 n O leitor é encorajado a verificar que este procedimento resulta no mesmo sinal da Fig 34d EXEMPLO 32 Os termos atraso e avanço possuem significado somente quando a variável independente é o tempo Para outras variáveis indepen dentes tais como freqüência ou distância é mais apropriado utilizar os temos deslocamento para a direita e deslocamento para a es querda da seqüência 228 SINAIS E SISTEMAS LINEARES ALTERAÇÃO DA TAXA DE AMOSTRAGEM DECIMAÇÃO E INTERPOLAÇÃO A alteração da taxa de amostragem é de alguma forma similar ao escalamento temporal de sinais contínuos no tempo Considere um sinal xn comprimido por um fator M A compressão de xn pelo fator M resulta em xdn dado por 33 Devido a restrição de que sinais em tempo discreto são definidos apenas para valores inteiros do argumento devemos restringir M a valores inteiros Os valores de xMn para n 0 1 2 3 são x0 xM x2M x3M Isso significa que xMn seleciona cada Mésima amostra de xn e remove todas as amostras intermediárias Por essa razão esta operação é chamada de decimação Ela reduz o número de amostras pelo fator M Se xn é ob tido pela amostragem de um sinal contínuo no tempo esta operação implica em reduzir a taxa de amostragem Figura 34 Deslocamento e reversão temporal de um sinal CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 229 por um fator M Por esta razão a decimação também é chamada de redução da amostragem A Figura 35a mos tra um sinal xn e a Fig 35b mostra o sinal x2n o qual é obtido removendo as amostras ímpares de xn No caso de tempo contínuo a compressão temporal simplesmente acelera o sinal sem perda de qualquer da do Por outro lado a decimação de xn geralmente resulta na perda de dados Sob certas condições por exem plo se xn é o resultado de uma superamostragem de algum sinal contínuo no tempo então xdn ainda pode conter a informação completa de xn Um sinal interpolado é gerado em dois passos primeiro expandimos xn por um fator inteiro L para obter o sinal expandido xen As amostras ímpares de xn podem ser mantidas e as amostras pares removidas usando a transformação xdn x2n 1 Figura 35 Compressão decimação e expansão interpolação de um sinal 230 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXERCÍCIO E32 Mostre que xn da Fig 34a deslocado para a esquerda por 3 unidades pode ser expresso por 072909 n para 0 n 7 e zero caso contrário Trace o sinal deslocado EXERCÍCIO E33 Trace o sinal xn e 05n para 3 n 2 e zero caso contrário Trace o sinal revertido no tempo corresponden te e mostre que ele pode ser descrito por xrn e 05n para 2 n 3 EXERCÍCIO E34 Mostre que xk n pode ser obtido de xn inicialmente deslocando para a direita xn por k unidades e então revertendo no tempo este sinal deslocado EXERCÍCIO E35 Um sinal xn é expandido por um fator 2 para obter o sinal xn2 As amostras ímpares n ímpar neste sinal pos suem valor zero Mostre que as amostras ímpares linearmente interpoladas são dadas por xin 12xn 1 xn 1 34 Para compreender essa expressão considere o simples caso de expandir xn por um fator 2 L 2 O sinal expandido é xen xn2 Quando n é ímpar n2 não é inteiro Mas xn é definido apenas para valores inteiros de n e zero caso contrário Portanto xen 0 para n ímpar ou seja xe1 xe3 xe5 são todos zeros como mostrado na Fig 35c Além disso n2 é inteiro para n par e os valores xen xn2 para n 0 2 3 6 são x0 x1 x3 x3 como mostrado na Fig 35c Em geral para n 0 1 2 xen é dada pela seqüência Portanto a taxa de amostragem de xen é L vezes a taxa de xn Logo esta operação é chamada de expan são O sinal expandido xen contém todos os dados de xn apesar de estarem em uma forma expandida No sinal expandido da Fig 35c as amostras ímpares inexistentes valor zero podem ser reconstruídas das amostras diferentes de zero usando alguma fórmula adequada de interpolação A Fig 35d mostra um sinal inter polado xin no qual as amostras que faltam são construídas usando um filtro interpolador O filtro interpolador ótimo é geralmente um filtro passabaixas ideal o qual é implementado apenas aproximadamente Na prática po demos usar uma interpolação não ótima mas realizável Uma discussão mais detalhada sobre interpolação está além do nosso escopo Este processo de filtragem para interpolar os valores nulos é chamado de interpolação Co mo o dado interpolado é calculado do dado existente a interpolação não resulta em ganho de informação 33 ALGUNS MODELOS ÚTEIS EM TEMPO DISCRETO Discutiremos agora alguns modelos de sinais em tempo discreto importantes que são freqüentemente encontra dos no estudo de sinais e sistemas em tempo discreto CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 231 331 Função Impulso δn Discreta no Tempo A contrapartida discreta no tempo da função impulso contínua no tempo δt é δn a função delta de Kronec ker definida por 35 Essa função também chamada de seqüência impulso unitário é mostrada na Fig 36a A seqüência impulso des locada δn m é apresentada na Fig 36b Ao contrário da função delta de Dirac contínua no tempo δt a delta de Kronecker é uma função muito simples que não requer nenhum conhecimento exotérico da teoria de distribuição 332 Função Degrau Unitário Discreta no Tempo un A contrapartida discreta no tempo da função degrau unitário ut é un Fig 37a definida por 36 Se quisermos que um sinal comece em n 0 de tal forma que ele possua valor zero para todo n 0 preci samos apenas de multiplicar o sinal por un Figura 36 Função impulso discreta no tempo a seqüência impulso unitário e b seqüência impulso uni tário deslocada Figura 37 a Função degrau unitário discreta no tempo un e b sua aplicação 232 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Descreva 0 sinal xn mostrado na Fig 37b por uma tinica express4o valida para todo n Existem diversas formas de ver xn Apesar de cada forma resultar em uma expressao diferente elas sao to das equivalentes Iremos considerar apenas uma possivel expressao O sinal xn pode ser separado em trés componentes 1 uma componente em rampa xn den 0 a4 2 uma componente em degrau xn de n 5 a 10 e 3 uma componente em impulso xn representada pelo pulso negativo em n 8 Vamos considerar cada uma separadamente Podemos expressar xn nun un 5 para considerar o sinal de n 0 a 4 Assumindo tempo rariamente que o pico emn 8 nao existe podemos expressar xn 4un 5 u n 11 para con siderar o sinal de n 5 a 10 Uma vez que estas duas componentes tenham sido somadas a tinica parte ain da nao considerada 0 pico de amplitude 2 para n 8 0 qual pode ser representado por xn 26n 8 precisamos de um pico negativo uma vez que este sinal sera somado a xn e x8 4 Logo xn xn xn x7 nun uln 5 4un5 un 11 26n 8 para todo n Ressaltamos novamente que esta expressao é valida para todos os valores de n O leitor pode determinar varias outras express6es equivalentes para xn Por exemplo podese considerar uma fungao degrau de n 0 a 10 subtraindo a rampa para a faixa de n 0 a3 e subtraindo 0 pico em n 8 Vocé também pode obter uma expresso separando n em diversas faixas para sua expressao 333 Exponencial Discreta no Tempo y A exponencial continua no tempo e pode ser expressa em uma forma alternativa por ety vy e ouaAIny Por exemplo e 07408 pois e 07408 Alternativamente 4 e pois e 4 ou seja In 4 1386 No estudo de sinais e sistemas em tempo continuo preferimos a forma e ao invés de y Por outro la do a exponencial y preferivel no estudo de sinais e sistemas em tempo discreto como ficard claro posterior mente A exponencial discreta no tempo y também pode ser expressa usando a base natural por en y vy e ouAIny Devido a nao familiaridade com exponenciais de base diferente de e exponenciais na forma y podem ser in convenientes e confusas a primeira vista O leitor deve tragar algumas exponenciais para adquirir algum senti mento destas funcées Natureza de y O sinal e cresce exponencialmente com n se Re A 0 A no SPD e decai exponencialmen te se Re A 0 A no SPE Ele é constante ou oscila com amplitude constante se Re A 0 A no eixo imagina rio Claramente a posigdo de no plano complexo indica se 0 sinal e iré crescer exponencialmente decair ex ponencialmente ou oscilar com uma amplitude constante Fig 38 Um sinal constante A 0 também é osci lat6rio com freqiiéncia zero Agora encontramos um critério similar para a determinaco da natureza de y a par tir da posigao de y no plano complexo A Fig 38a mostra o plano complexo plano A Considere o sinal e Neste caso A jQ est4 no eixo ima gindrio Fig 38a e portanto um sinal oscilatério de amplitude constante Este sinal e pode ser expresso como y onde y e Como a amplitude de e é unitéria y 1 Logo quando A est no eixo imaginario o y correspondente esta em um circulo de raio unitario centrado na origem circulo unitdrio ilustrado na Fig 38b Portanto um sinal y oscila com amplitude constante se y estiver no circulo unitario Logo 0 eixo imagi nario no plano A é mapeado no em cima do circulo unitario no plano y CAPITULO 3 ANALISE DO DOMINIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DiSCRETO 233 SPE 2 Bo Be iS 3 Exponencialmente 55 decrescente a8 a ea A Plano a 0 Figura 38 O plano A 0 plano ye seu mapeamento A seguir considere o sinal e no qual A esta no semiplano esquerdo da Fig 38a Isto significa que A a jb onde a é negativo a 0 Neste caso 0 sinal decai exponencialmente Este sinal pode ser expresso em termos de y onde y e ett et ebb e lv lelee pois e 1 Além disso a negativo a 0 Logo y e 1 Este resultado significa que 0 y correspondente esta den tro do cfrculo unitdrio Portanto 0 sinal y decai exponencialmente se y estiver dentro do cfrculo unitario Se considerarmos a positivo no caso anterior A no semiplano direito entao y 1 e y estara fora do circulo uni tario Fig 38b Para resumir 0 eixo imaginario do plano A é mapeado no circulo unitario do plano y O semiplano esquerdo do plano 4 é mapeado dentro do circulo unitario do plano ye o semiplano direito do plano 4 é mapeado fora do circulo unitario do plano y como mostrado na Fig 38 Observe que n y 5 Y Os graficos de 08 e 08 estao na Fig 39a e 39b respectivamente O grafico de 05 e 11 apare cem na Fig 39c e 39d respectivamente Estes graficos comprovam nossas conclus6es sobre a posiaéo de ye a natureza do crescimento do sinal Observe que a fungdo 7 alterna o sinal sucessivamente ela positiva pa ra valores pares de n e negativa para valores impares de n como mostrado na Fig 39b Além disso a exponen cial 05 decai mais rapidamente do que 08 pois 05 esté mais proximo da origem do que 08 A exponen cial 05 pode ser descrita por 2 porque 05 2 334 Sendide Discreta no Tempo cos Qn 6 Uma sendide discreta no tempo genérica pode ser descrita por C cosQn 9 na qual C é a amplitude e 0 é a fa se em radianos Além disso Qn é 0 Angulo em radianos Logo a dimenso da freqiiéncia Q é radianos por amostra Esta sendide também pode ser descrita por C cos Qn 80 Ccos 27 Fn 0 234 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 39 Exponenciais discretas no tempo γ n EXERCÍCIO E36 Obtenha o gráfico dos seguintes sinais Expresse essas exponenciais como γ n e trace γ no plano complexo para cada caso Verifique que γ n decai expo nencialmente com n se γ estiver dentro do círculo unitário e que γ n cresce exponencialmente com n se γ estiver fora do círculo unitário Se γ estiver no círculo unitário γ n será constante ou oscilará com uma amplitude constante EXERCÍCIO E37 a Mostre que i 025 n 4 n ii 4 n 025 n iii e 2t 7389 t iv e 2t 01353 t 7389 t v e 3n 20086 n e vi e 15n 02231 n 44817 n b Mostre que i 2 n e 0693n ii 05 n e 0693n e iii 08 n e 02231n CapiTuLO 3 ANALISE DO DoMiNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DiscRETO 235 EXEMPLO DE COMPUTADOR C31 Trace os seguintes sinais discretos no tempo a xan 05 b xn Q c xn 2 n 05 xa 05n xb 2n xc 2n subplot 311 stemnxak ylabelxan subplot 312 stemnxbk ylabelxbn subplot 313 stemnxck ylabelxcn xlabeln 1 05 9 05 0 O05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 19 s Q 0 f o 0 O05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 20 0 20 40 0 O05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 n Figura C31 onde F 227 Portanto a dimensao da freqiiéncia discreta no tempo F é radianos277 por amostra a qual é igual a ciclos por amostra Isto significa que se N 0 periodo amostrasciclo da sendide entao a freqiiéncia da sendide F 1N ciclosamostra A Fig 310 mostra a sendide discreta no tempo cos57 7 Para este caso a freqiiéncia Q m12 radia nosamostra Alternativamente a freqiiéncia F 124 ciclosamostra Em outras palavras existem 24 amos tras em um ciclo da sendide Como cos x cosx cos Qn 8 cos Qn 8 37 Isto mostra que tanto cosQn quanto cosQn 6 possuem a mesma freqiiéncia Q Portanto a freqiién cia de cosQn 8 é Q 236 SINAIS E SISTEMAS LINEARES cosSn 2 12 4 33 21 9 0 3 15 n 27 Figura 310 Sendide discreta no tempo cos 757 7 SENOIDE CONTINUA NO TEMPO AMOSTRADA RESULTA EM UMA SENOIDE DISCRETA NO TEMPO A sendéide continua no tempo cos Qt amostrada a cada T segundos resulta em uma seqiiéncia discreta no tempo cujo nésimo elemento para t nT é cos Qnt Portanto o sinal amostprado xn é dado por xn cosanT 38 cos Qn onde Q wT Logo uma sendide continua no tempo cos Qt amostrada a cada T segundos resulta na sendide discreta no tempo cos Qr na qual Q Qt jQn 335 Exponencial Complexa Discreta no Tempo e Usando a formula de Euler podemos descrever a exponencial e em termos de senéides na forma cosQn 6 e viceversa e2 cos Qn j senQn e cos Qn j sen Qn Essas equagdes mostram que a fregiiéncia de e e e Q radianosamostra Portanto a freqiiéncia de e 6 Q Observe que parar 1enQ e Jn re j0 Essa equaciio mostram que a amplitude médulo e 0 Angulo de e sao 1 e nQ respectivamente No plano com plexo e éum ponto no circulo unitario no angulo nQ EXEMPLO DE COMPUTADOR C32 Trace a seguinte sendide discreta no tempo n 0 4 a xn cos n 12 4 Superficialmente pode parecer que uma sendide discreta no tempo prima de uma sendide continua no tempo na forma de estiras En tretanto algumas das propriedades de sendides discretas no tempo so muito diferentes daquelas de sendides continuas no tempo Por exemplo nem toda sendide discreta no tempo é periddica Uma sendide cos Q2n é periddica somente se Q for um miltiplo racional de 27 Além disso sendides discretas no tempo sao limitadas em faixa a Q z Qualquer sendide com 2 2 m7 sempre pode ser descrita como uma sendide com alguma freqiiéncia Q mz Estas propriedades particulares s4o conseqtiéncias diretas do fato de que um perio do de uma sendide discreta no tempo deve ser um inteiro Estes t6picos serao discutidos nos Capitulos 5 e 9 Uma pessoa faz regularmente um depósito a entrada em um banco a um intervalo T digamos 1 mês O banco paga um certo juros na conta bancária durante o período T e envia periodicamente uma correspondên cia com o saldo a saída ao depositante Determine a equação que relaciona a saída yn o saldo com a en trada xn o depósito Neste caso os sinais são inerentemente discretos no tempo Seja xn depósito feito no nésimo instante discreto yn saldo da conta no nésimo instante calculado imediatamente após o recebi mento do nésimo depósito xn r taxa de juros por real por período T O saldo yn é a soma de i do saldo anterior yn 1 ii dos juros obtidos em yn 1 durante o pe ríodo T e iii do depósito xn ou 39a Neste exemplo o depósito xn é a entrada causa e o saldo yn é a saída efeito Uma retirada da conta é um depósito negativo Portanto esta formulação pode lidar tanto com depósitos quan to com retiradas Ela também se aplica ao pagamento de um empréstimo com valor inicial y0 M onde M é CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 237 34 EXEMPLOS DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO Apresentaremos quatro exemplos de sistemas em tempo discreto Nos dois primeiros exemplos os sinais são inerentemente em tempo discreto No terceiro e quarto exemplos um sinal contínuo no tempo é processado por um sistema em tempo discreto como ilustrado na Fig 32 através da discretização do sinal pela amostragem Figura C32 EXEMPLO 34 Conta Bancária 238 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A utilização da forma operador avanço resulta em equações de sistemas discretos no tempo que são idênticos em forma àquelas para sistemas contínuos no tempo Este fato será mais evidente posteriormente Na análise por transformada a utilização do operador avan ço permite o uso da variável mais conveniente z do que a desajeitada z 1 necessária na forma operador atraso o valor do empréstimo Um empréstimo é um depósito inicial com valor negativo Alternativamente podemos tratar o empréstimo de M reais retirado em n 0 como uma entrada de M em n 0 veja o Prob 3816 Podemos descrever a Eq 39a em uma forma alternativa A escolha do índice n na Eq 39a é comple tamente arbitrária portanto podemos substituir n 1 por n obtendo 39b Podíamos ter obtido a Eq 39b diretamente observando que yn 1 o saldo no instante n 1 é a so ma de yn mais ryn os juros em yn mais o depósito entrada xn 1 no instante n 1 A equação diferença em 39a utiliza a operação atraso enquanto que a forma na Eq 39b utiliza a ope ração avanço Iremos chamar a forma 39a de forma operador atraso e a forma 39b de forma operador avanço A forma operador atraso é mais natural pois a operação de atraso é causal e portanto realizável Por outro lado a operação de avanço sendo não causal não é realizável Utilizaremos a forma operador avanço principalmente por sua conveniência matemática com relação a forma atraso Figura 311 Representações esquemáticas das operações básicas em seqüências Figura 312 Implementação do sistema de conta bancária Representaremos agora este sistema em um diagrama de blocos o qual é basicamente um mapa rodo viário da implementação em hardware ou software do sistema Para isto a forma operador atraso causal realizável será utilizada Existem três operações básicas nesta equação adição multiplicação escalar e atraso A Fig 311 mostra suas representações esquemáticas Além disso também temos um nó de deriva ção Fig 311d o qual é utilizado para fornecer múltiplas cópias do sinal em sua entrada A Eq 39a pode ser reescrita por 39c CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 239 A Fig 312 mostra um diagrama em blocos do sistema representado pela Eq 39c Para compreender esta re presentação considere que a saída yn esteja disponível no nó de derivação N O atraso unitário de yn resulta em yn 1 o qual é multiplicado pelo valor escalar a resultando em ayn 1 A seguir geramos yn somando a entrada xn com ayn 1 de acordo com a Eq 39c Observe que o nó N é um nó de derivação em cuja saí da temos duas cópias do sinal de entrada uma é o sinal de realimentação e o outro é o sinal de saída do sistema Em um semestre n xn estudantes se inscreveram em um curso que precisa de um certo livrotexto Uma editora vendeu yn cópias do livro no nésimo semestre Na média um quarto dos estudantes com o livro em boas condições revende os livros no final do semestre sendo a vida média do livro de três semestres Es creva a equação que relaciona yn os novos livros vendidos pela editora com xn o número de estudantes inscritos no nésimo semestre considerando que todos os estudantes compram livros No nésimo semestre o total de livros xn vendido aos estudantes deve ser igual a yn livros novos da edi tora mais os livros utilizados pelos estudantes em dois semestres anteriores porque o tempo de vida de um livro é de apenas três semestres Existem yn 1 novos livros vendidos no semestre n 1 e um quarto destes livros ou seja 14yn 1 serão revendidos no semestre n Além disso yn 2 novos livros fo ram vendidos no semestre n 2 e um quarto destes ou seja 14yn 2 serão vendidos no semestre n 1 Novamente um quarto destes ou seja 116yn 2 serão revendidos no semestre n Portanto xn deve ser igual a soma de yn 14yn 1 e 116yn 2 310a A Eq 310a pode ser descrita em uma forma alternativa percebendo que esta equação é válida para qualquer valor de n Portanto substituindo n por n 2 teremos 310b Essa é a forma alternativa da Eq 310a Para a realização de um sistema com esta equação de entradasaída reescrevemos a forma de atraso da Eq 310a por 310c A Fig 313 mostra a realização em hardware da Eq 310c usando dois atrasos unitários em cascata Figura 313 Realização do sistema representando a estimativa de vendas do Exemplo 35 EXEMPLO 35 Estimativa de Vendas Um atraso unitário representa uma unidade de atraso de tempo Neste exemplo uma unidade de atraso na saída corresponde ao perío do T para a saída atual Os comentários da nota de rodapé anterior também se aplicam neste caso Apesar de um atraso unitário neste exemplo ser um semes tre nós não precisamos utilizar este valor na realização em hardware Qualquer valor diferente de um semestre resulta em uma saída escalonada no tempo 240 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Projete um sistema em tempo discreto tal como o mostrado na Fig 32 para diferenciar sinais contínuos no tempo Esse diferenciador é utilizado em sistemas de áudio com uma largura de faixa do sinal de entrada in ferior a 20 kHz Neste caso a saída yt deve ser a derivada da entrada xt O processador sistema em tempo discreto G processa as amostras de xt para produzir a saída em tempo discreto yn Seja xn e yn a representação das amostras separadas uma da outra por T segundos dos sinais xt e yt respectivamente ou seja 311 Os sinais xn e yn são a entrada e saída do sistema em tempo discreto G Agora precisamos que Portanto para t nT veja Fig 314a Figura 314 Diferenciador digital e sua realização EXEMPLO 36 Diferenciador Digital CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 241 Usando a notação da Eq 311 a equação anterior pode ser escrita como Este é a relação para G necessária para atingirmos nosso objetivo Na prática o intervalo de amostragem T não pode ser zero Assumindo T suficientemente pequeno a equação apresentada pode ser descrita por 312 A aproximação melhora quando T tende a 0 O processador em tempo discreto G para implementar a Eq 312 está mostrado dentro da caixa pontilhada da Fig 314b O sistema da Fig 314b funciona como um diferenciador Este exemplo mostra como um sinal em tempo contínuo pode ser processado por um sistema em tempo discreto As considerações para a determinação do intervalo de amostragem T são discutidas nos Capítulo 5 e 8 nos quais é mostrado que para processar freqüências abaixo de 20kHz a escolha adequada é Para ver como esse método de processamento de sinais trabalha vamos considerar o diferenciador da Fig 314b com a entrada em rampa xt t mostrada na Fig 314c Se o sistema funcionar como um di ferenciador então a saída yt do sistema deve ser a função degrau unitário ut Vamos analisar como o sistema executa essa operação em particular e quão bem o sistema atinge seu objetivo As amostras da entrada xt t no intervalo de T segundos funcionam como entrada do sistema em tem po discreto G Estas amostras representadas pela notação compacta xn são portanto A Fig 314d mostra o sinal amostrado xn Este sinal funciona como entrada do sistema em tempo dis creto G A Fig 314b mostra que a operação de G consiste em subtrair uma amostra da amostra anterior atrasada e então multiplicar a diferença por 1T A partir da Fig 314d fica evidente que a diferença en tre duas amostras sucessivas é a constante nT n1T T para todas as amostras exceto para a amostra em n 0 pois não há amostra anterior a n 0 A saída de G é 1T vezes a diferença T resultando em 1 pa ra todos os valores de n exceto para n 0 no qual ela é zero Portanto a saída yn de G consiste nas amos tras de valor unitário para n 1 como mostrado na Fig 314e O conversor DC tempo discreto para tem po contínuo converte estas amostras em um sinal de tempo contínuo yt como mostrado na Fig 314f Idealmente a saída deveria ser yt ut A diferença do ideal é devido ao nosso intervalo de amostragem T não nulo Quando T se aproxima de zero a saída yt se aproxima da saída desejada ut O diferenciador digital da Eq 312 é um exemplo do que é conhecido como sistema de diferença atra sada A razão para este nome é óbvia analisando a Fig 314a Para calcular a derivada de yt estamos uti lizando a diferença entre o valor atual da amostra e o valor anterior atrasado Se utilizarmos a diferença en tre a próxima adiantada amostra para t n 1T e o valor atual em t nT obteremos uma forma de di ferença adiantada do diferenciador dada por 313 242 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Projete um integrador digital na mesma linha do diferenciador digital do Exemplo 36 Para um integrador a entrada xt e a saída yt estão relacionadas por Portanto para t nT veja Fig 314a Usando a notação usual xkT xk ynT yn e assim por diante esta equação pode ser expressa por Assumindo que T é pequeno o suficiente para justificar a consideração de T 0 temos 314a Esta equação representa um exemplo de um sistema acumulativo Esta equação do integrador digital po de ser expressa em uma forma alternativa A partir da Eq 314a temos que 314b Este é a descrição alternativa do integrador digital As Eqs 314a e 314b são equivalentes Uma po de ser obtida da outra Observe que a forma da Eq 314b é similar a da Eq 39a Logo a representação em diagrama de blocos do integrador digital na forma 314b é idêntica a mostrada na Fig 312 com a 1 e a entrada multiplicada por T EXEMPLO 37 Integrador Digital FORMAS RECURSIVA E NÃO RECURSIVA DE EQUAÇÃO DIFERENÇA Se a Eq 314b descreve a Eq 314a de outra forma qual é a diferença entre estas duas formas Qual forma é preferível Para responder a estas questões vamos examinar como a saída é calculada por cada uma destas for mas Na Eq 314a a saída yn em qualquer instante n é calculada somando todos os valores passados de en trada até o instante n Isto pode significar uma grande quantidade de adições Em contraste a Eq 314b pode ser expressa por yn yn 1 Txn Logo a determinação de yn envolve a adição de somente dois valo res o valor anterior da saída yn 1 e o valor atual da entrada xn Os cálculos são realizados recursivamente usando os valores anteriores da saída Por exemplo se a entrada começar em n 0 inicialmente calculamos y0 Então utilizamos o valor calculado para y0 para calcular y1 Conhecendo y1 determinamos y2 e as sim por diante Os cálculos são recursivos Este é o motivo pelo qual a forma 314b é chamada de forma recur siva e a forma 314a é a forma não recursiva Claramente recursivo e não recursivo descrevem duas for mas diferentes de apresentar a mesma informação As Eqs 39 310 e 314b são exemplos de formas recur sivas e as Eqs 312 e 314a são exemplos de formas não recursivas RELAÇÃO ENTRE EQUAÇÃO DIFERENÇA E EQUAÇÃO DIFERENCIAL Mostraremos agora que a versão digitalizada de uma equação diferencial resulta em uma equação diferença Va mos considerar uma equação diferencial simples de primeira ordem 315a CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 243 Considere amostras uniformes de xt em intervalos de T segundos Como sempre utilizaremos na notação xn para representar xnT a nésima amostra de xt Similarmente yn representa ynT a nésima amostra de yt A partir da definição básica de derivada podemos escrever a Eq 315a para t nT por Removendo as frações e organizando os termos temos assumindo T muito pequeno mas não nulo 315b onde Também podemos escrever a Eq 315b na forma operador avanço por 315c Desta forma fica claro que uma equação diferencial pode ser aproximada por uma equação diferença de mes ma ordem Desta forma podemos aproximar uma equação diferencial de ordem n por uma equação diferença de ordem n De fato um computador digital resolve equações diferenciais usando uma equação diferença equi valente a qual pode ser resolvida através de operações simples como adição multiplicação e deslocamento Lembrese que um computador só pode executar estas operações simples Ele deve necessariamente aproximar operações complexas tais como diferenciação e integração em termos de operações simples A aproximação po de ficar o mais próxima possível da resposta exata através da escolha de valores de T suficientemente pequenos Neste estágio ainda não desenvolvemos as ferramentas necessárias para a escolha adequada de um valor pa ra o intervalo de amostragem T Este assunto será discutido no Capítulo 5 e também no Capítulo 8 Na Seção 57 discutiremos um procedimento sistemático método da invariância ao impulso para a determinação de um sis tema em tempo discreto o qual realize um sistema LCIT de ordem N ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENÇA As Eqs 39 310 314b e 315 são exemplos de equações diferença A diferença de mais alta ordem do si nal de saída ou do sinal de entrada o que for maior representa a ordem da equação diferença Logo as Eqs 39 313 314 e 315 são equações diferença de primeira ordem enquanto que a Eq 310 é de segunda ordem SISTEMAS ANALÓGICO DIGITAL CONTÍNUO NO TEMPO E EM TEMPO DISCRETO A diferença básica entre sistemas contínuos no tempo e sistemas analógicos ou de sistemas em tempo discre to e sistemas digitais é completamente explicada nas Seções 175 e 176 Historicamente sistemas em tem po discreto têm sido realizados através de computadores digitais nos quais sinais contínuos no tempo são pro cessados por amostras digitalizadas ao invés de amostras não quantizadas Portanto os termos filtro digital e sistema em tempo discreto são usados como sinônimos na literatura Essa distinção é irrelevante na análise de sistemas em tempo discreto Por esta razão adotaremos esta convenção simples neste livro na qual o temo fil tro digital implica em um sistema em tempo discreto e filtro analógico significando sistema em tempo contínuo EXERCÍCIO E38 Projete um integrador digital do Exemplo 37 usando o fato de que para um integrador a saída yt e a entrada xt são relacionadas por dydt xt A aproximação similar a do Exemplo 36 desta equação para t nT resulta na forma recursiva da Eq 314b Os termos discreto no tempo e contínuo no tempo qualificam a natureza do sinal com relação ao eixo de tempo eixo horizontal Os temos analógico e digital em contraste qualificam a natureza da amplitude do sinal eixo vertical 244 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Além disso os termos CD contínuo para discreto e DC discreto para contínuo serão ocasionalmente utili zados em substituição aos termos AD analógico para digital e DA digital para analógico respectivamente e viceversa VANTAGENS DO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 1 Operações em sistemas digitais podem tolerar uma variação considerável nos valores do sinal e portan to são menos sensíveis às mudanças nos parâmetros dos componentes causadas pela variação da tem peratura idade e outros fatores Isto resulta em um alto grau de precisão e estabilidade Como eles ge ralmente são circuitos binários a precisão pode ser aumentada usando circuitos mais complexos para au mentar o tamanho da palavra binária sujeito apenas a limites de custo 2 Sistemas digitais não necessitam de nenhum ajuste de fábrica e podem ser facilmente duplicados em vo lume sem nos preocuparmos com valores precisos de componentes Eles podem ser totalmente integra dos e mesmo sistemas altamente complexos podem ser substituídos por um único chip usando circuitos VLSI very large scale integrated 3 Filtros digitais são mais flexíveis Suas características podem ser falcilmente alteradas simplesmente mudando o programa A implementação em hardware digital permite o uso de microprocessadores mi niprocessadores chaves digitais e circuitos VLSI 4 Uma grande variedade de filtros pode ser implementada por sistemas digitais 5 Sinais digitais podem ser facilmente armazenados com custo muito baixo em fitas ou discos magnéti cos sem deterioração da qualidade do sinal Também é possível buscar e selecionar informação de cen trais de armazenamento distantes 6 Sinais digitais podem ser codificados levando a taxas de erro extremamente baixas e alta fidelidade além de privacidade Além disso algoritmos de processamento de sinais mais sofisticados podem ser uti lizados para processar sinais digitais 7 Filtros digitais podem ser facilmente compartilhados e portanto podem servir para várias entradas si multaneamente Além disso é mais fácil e mais eficiente multiplexar diversos sinais digitais em um mes mo canal 8 A reprodução de mensagens digitais é extremamente confiável sem deterioração Mensagens analógi cas tais como fotocópias e filmes por exemplo perdem qualidade a cada estágio sucessivo de reprodu ção e precisam ser fisicamente transportadas de um ponto distante a outro geralmente a um custo rela tivamente alto Portanto devese avaliar estas vantagens contra desvantagens tais como o aumento da complexidade do sis tema devido às interfaces AD e DA faixa de freqüências limitada na prática aproximadamente dezenas de me gahertz e o uso de mais potência do que é necessário para circuitos analógicos passivos Sistemas digitais uti lizam dispositivos ativos que geralmente consomem potência 341 Classificação de Sistemas em tempo discreto Antes de examinarmos a natureza das equações de sistemas em tempo discreto vamos considerar o conceito de linearidade invariância no tempo ou invariância de deslocamento e causalidade os quais também são aplica dos a sistemas em tempo discreto LINEARIDADE E INVARIÂNCIA NO TEMPO Para sistemas em tempo discreto a definição de linearidade é idêntica a de sistemas contínuos no tempo como apresentada na Eq 140 Podemos mostrar que os sistemas dos Exemplos 34 35 36 e 37 são todos lineares A invariância ou invariância de deslocamento para sistemas em tempo discreto também é definida de for ma similar a de sistemas contínuos no tempo Sistemas cujos parâmetros não são alterados com o tempo com n são sistemas invariantes no tempo ou invariantes no deslocamento também chamado de parâmetros cons tantes Para tais sistemas se a entrada for atrasada por k unidades ou amostras a saída é a mesma de antes po rém atrasada por k amostras assumindo que as condições iniciais também são atrasadas por k Os sistemas dos Exemplos 34 35 36 e 37 são invariantes no tempo porque os coeficientes nas equações dos sistemas são CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 245 constantes independentes de n Se estes coeficientes fossem funções de n tempo então os sistemas seriam li neares variantes no tempo Considere por exemplo o sistema descrito por Para esse sistema seja um sinal x1n resultando na saída y1n e outra entrada x2n resultando na saída y2n Então Se fizermos x2n x1n N0 então Claramente esse é um sistema com parâmetros variantes no tempo SISTEMAS CAUSAL E NÃO CAUSAL Um sistema causal também chamado de sistema físico ou não antecipativo é aquele para o qual a saída em qualquer instante n k depende apenas do valor da entrada xn para n k Em outras palavras o valor da saí da no instante atual depende apenas dos valores atual e passado da entrada xn não de seus valores futuros Co mo veremos os Exemplos 34 35 36 e 37 são todos causais SISTEMAS INVERSÍVEIS E NÃO INVERSÍVEIS Um sistema discreto S é inversível se um sistema inverso Si existir tal que a cascata de S com Si resultar em um sistema identidade Um sistema identidade é definido como sendo aquele cuja saída é idêntica à entrada Em ou tras palavras para um sistema inversível a entrada pode ser unicamente determinada da saída correspondente Para cada entrada existe uma única saída Quando um sinal é processado através de tal sistema sua entrada po de ser reconstruída da saída correspondente Não existe perda de informação quando um sinal é processado atra vés de um sistema inversível A cascata de um atraso unitário com um avanço unitário resulta em um sistema identidade pois a saída do sis tema em cascata é idêntica à entrada Obviamente a inversa de um atraso unitário ideal é um avanço unitário ide al o qual é um sistema não causal e não realizável Em contraste um compressor yn xMn não é inversível porque esta operação sempre perde informação a não ser na Mésima amostra da entrada e geralmente a entrada não pode ser reconstruída Similarmente uma operação tal como yn cos xn ou yn xn é não inversível SISTEMAS ESTÁVEL E INSTÁVEL O conceito de estabilidade é similar ao de sistemas contínuos no tempo A estabilidade pode ser interna ou ex terna Se cada entrada limitada aplicada ao terminal de entrada resultar em uma saída limitada o sistema é di to ser externamente estável A estabilidade externa pode ser verificada por medições nos terminais externos do sistema Esse tipo de estabilidade é conhecido como estabilidade BIBO boundedinputboundedoutput Tan to a estabilidade interna quanto externa são discutidas com mais detalhes na Seção 310 SISTEMAS SEM MEMÓRIA E COM MEMÓRIA Os conceitos de sistema sem memória ou instantâneo e sistemas com memória ou dinâmicos são idênticos aos conceitos correspondentes para o caso de sistemas contínuos no tempo Um sistema é sem memória se sua resposta a qualquer instante n depender no máximo da entrada no mesmo instante n A saída em qualquer ins tante de um sistema com memória geralmente depende dos valores passados presentes e futuros da entrada Por exemplo yn sen xn é um exemplo de um sistema instantâneo e yn yn 1 xn é um exemplo de um sistema dinâmico ou sistema com memória EXERCÍCIO E39 Mostre que um sistema especificado pela equação yn axn b é inversível mas o sistema yn xn 2 é não inversível 246 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 35 EQUAÇÕES DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO Nesta seção discutiremos a análise no domínio do tempo de LDIT sistema linear discreto invariante no tempo Com algumas pequenas diferenças o procedimento é paralelo ao utilizado para sistemas contínuos no tempo EQUAÇÕES DIFERENÇA As Eqs 39 310 312 e 315 são exemplos de equação diferença As Eqs 39 312 e 315 são equações diferença de primeira ordem e a Eq 310 é uma equação diferença de segunda ordem Todas essas equações são lineares com coeficientes constantes invariantes no tempo Antes de apresentarmos a forma ge ral para uma equação diferença linear de ordem N lembrese que a equação diferença pode ser escrita em duas formas a primeira forma usa termos em atraso tais como yn 1 yn 2 xn 1 xn 2 e assim por diante e a forma alternativa utiliza termos em avanço tais como yn 1 yn 2 e assim por diante Apesar da forma em atraso ser mais natural geralmente preferiremos a forma em avanço não somente por conveniên cia de notação mas principalmente por resultar em uniformidade de notação com a forma operacional para equações diferenciais facilitando a generalização de soluções e conceitos para sistemas em tempo contínuo e em tempo discreto Começaremos com uma equação diferença genérica usando a forma operador avanço 316 Esta é uma equação linear diferença cuja ordem é MaxN M Assumimos que o coeficiente de yn N é unitário a0 1 sem perda de generalidade Se a0 1 podemos dividir toda a equação por a0 normalizandoa de tal forma que teremos a0 1 CONDIÇÃO DE CAUSALIDADE Para um sistema causal a saída não pode depender de valores futuros da entrada Isto significa que quando a equação do sistema está na forma operador avanço 316 a causalidade requer que M N Se M for maior do que N então yn N a saída no instante n N dependerá de xn M a qual é a entrada em um instante pos terior n M Para o caso geral M N e a Eq 316 pode ser descrita por 317a onde alguns dos coeficientes de cada lado podem ser zero Nesta equação de ordem N a0 o coeficiente de yn N é normalizado sendo igual à unidade A Eq 317a é válida para todos os valores de n Portanto ela ain da será válida de substituirmos n por n N veja Eqs 39a e 39b Tal substituição resultará na seguinte for ma alternativa forma operador atraso da Eq 317a 317b 351 Solução Recursiva Interativa da Equação Diferença A Eq 317b pode ser expressa por 317c Equações tais como 39 310 312 e 315 são consideradas lineares de acordo com a classificação clássica de linearidade Al guns autores chamam estas equações de incrementalmente lineares Preferimos a definição clássica Isto é apenas uma escolha pessoal e não altera os resultados finais Resolva interativamente 318a com condição inicial y1 16 e entrada causal xn n 2 começando para n 0 Esta equação pode ser expressa por 318b Fazendo n 0 nesta equação obtemos Agora fazendo n 1 na Eq 318b e usando o valor y0 8 calculado no primeiro passo e x1 1 2 1 obtemos A seguir fazendo n 2 na Eq 318b e usando o valor y1 5 calculado no passo anterior e x2 2 2 4 obtemosp Continuando dessa forma interativamente obteremos CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 247 Na Eq 317c yn é calculado a partir de 2N 1 informações Os N valores anteriores da saída yn 1 yn 2 yn N os N valores anteriores da entrada xn 1 xn 2 xn N e o valor atual da entrada xn Inicialmente para calcular y0 as N condições iniciais y 1 y 2 y N servem como N valores anteriores da saída Logo conhecendo as N condições iniciais e a entrada podemos determinar to da a saída y0 y1 y2 y3 recursivamente um valor a cada instante Por exemplo para determinar y0 fazermos n 0 na Eq 317c O lado esquerdo é y0 e o lado direito estará expresso em termos das N condições iniciais y 1 y 2 y N e da entrada x0 se a entrada xn for causal devido a causalida de os outros termos de entrada xn 0 Similarmente conhecendo y0 e a entrada podemos calcular y1 fazendo n 1 na Eq 317c Conhecendo y0 e y1 determinamos y2 e assim por diante Portanto pode mos utilizar este procedimento recursivo para determinar a resposta completa y0 y1 y2 y3 Por es sa razão essa equação é classificada como forma recursiva Esse método basicamente reflete a maneira pela qual um computador pode resolver uma equação diferença dada a entrada e condições iniciais A Eq 317 é não recursiva se todos os N 1 coeficientes ai 0 i 1 2 N 1 Neste caso pode ser visto que yn é calculado usando apenas os valores de entrada sem nenhum valor anterior da saída Geralmente o procedi mento recursivo se aplica apenas a equações na forma recursiva O procedimento recursivo interativo é de monstrado nos seguintes exemplos EXEMPLO 38 248 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Apresentaremos agora mais um exemplo de solução interativa desta vez para uma equação de segunda or dem O método pode ser aplicado a equação diferença na forma operador atraso ou avanço No Exemplo 38 consideramos a forma operador atraso Vamos aplicar agora o método interativo na forma operador avanço A saída yn está mostrada na Fig 315 Figura 315 Solução interativa de equação diferença Resolva interativamente 319 com condições iniciais y1 2 e y2 1 e entrada causal xn n começando em n 0 A equação do sistema pode ser expressa por 320 Fazendo n 2 e então substituindo y1 2 y2 1 x0 x1 0 lembrese que xn n co meçando em n 0 obtemos Fazendo n 1 na Eq 320 e usando y0 176 y1 2 x1 1 x0 0 obtemos Fazendo n 0 na Eq 320 e substituindo y0 176 y1 228 x2 2 x1 1 temos e assim por diante EXEMPLO 39 Observe cuidadosamente a natureza recursiva dos cálculos A partir de N condições iniciais e da entrada ob temos primeiro y0 Então usando o valor de y0 e as N 1 condições iniciais anteriores juntamente com a entrada obtemos y1 A seguir usando y0 y1 e as N 2 condições iniciais e a entrada obtemos y2 e as sim por diante Esse método é genérico e pode ser aplicado a equação diferença recursiva de qualquer ordem É interessante que a realização em hardware da Eq 318a mostrada na Fig 312 com a 05 gera a solução exatamente nesta forma interativa CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 249 EXERCÍCIO E310 Usando o método interativo determine os primeiros três termos de yn para A condição inicial é y1 10 e a entrada é xn 2 começando em n 0 RESPOSTA EXEMPLO DE COMPUTADOR C33 Use o MATLAB para resolver o Exemplo 39 Figura C33 250 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Veremos posteriormente que a solução de uma equação diferença obtida desta forma direta interativa é útil em diversas situações Entretanto apesar dos vários usos deste método uma solução fechada de uma equação diferença é muito mais útil no estudo do comportamento do sistema e sua dependência com a entrada e os vá rios parâmetros do sistema Por essa razão desenvolveremos um procedimento sistemático para analisar siste mas em tempo discreto de forma semelhante a utilizada para sistemas contínuos no tempo NOTAÇÃO OPERACIONAL Em equações diferença é conveniente utilizar a notação operacional similar a utilizada em equações diferenciais para efeito de compactação Em sistemas contínuos no tempo usamos o operador D para representar a operação diferenciação Para sistemas em tempo discreto utilizaremos o operador E para representar a operação de avan ço da seqüência por uma unidade de tempo Portanto 321 A equação de primeira ordem do problema de conta bancária pode ser descrita por veja Eq 39b 322 Usando a notação operacional podemos escrever essa equação por ou 323 A equação diferença de segunda ordem 310b pode ser expressa na notação operacional por A equação diferença genérica de ordem N da Eq 317 pode ser escrita como 324a ou 324b onde QE e PE são os operadores polinomiais de ordem N 325 326 RESPOSTA DE SISTEMAS LINEARES EM TEMPO DISCRETO Seguindo o procedimento adotado para sistemas contínuos no tempo podemos mostrar que a Eq 324 é uma equação linear com coeficientes constantes Um sistema descrito por este tipo de equação é um siste ma linear discreto e invariante no tempo LDIT Podemos verificar que tal como em sistemas LCIT veja a nota de rodapé da página 146 a solução geral da Eq 324 é constituída das componentes de entrada nula e estado nulo CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 251 36 RESPOSTA DO SISTEMA A CONDIÇÕES INTERNAS RESPOSTA DE ENTRADA NULA A resposta y0n de entrada nula é a solução da Eq 324 com xn 0 ou seja 327a ou 327b ou 327c Podemos resolver esta equação sistematicamente Mas mesmo um exame rápido desta equação aponta para sua solução Esta equação afirma que a combinação linear de y0n e avanços de y0n é zero não para algum valor de n mas para todo n Tal situação é possível se e somente se y0n e y0n avançado tiverem a mesma forma Apenas a função exponencial γ n possui esta propriedade tal como a seguinte equação indica 328 A Eq 328 mostra que γ n avançado por k unidade é a constante γ k vezes γ n Portanto a solução da Eq 327 deve ser na forma 329 Para determinar c e γ nós substituímos esta solução na Eq 327b A Eq 329 resulta em 330 A substituição deste resultado na Eq 327b leva a 331 Para uma solução não trivial desta equação 332a ou 332b Nossa solução cγ n Eq 329 está correta desde que γ satisfaça a Eq 322 Agora Qγ é um polinômio de ordem N e pode ser expresso na forma da fatores assumindo raízes distintas por 332c Claramente γ possui N soluções γ1 γ2 γΝ e portanto a Eq 327 também possui N soluções c1γ1 c2γ2 cNγΝ Neste caso já mostramos que a solução geral é a combinação linear das N soluções veja a nota de rodapé da página 147 Portanto 333 na qual γ1 γ2 γΝ são as raízes da Eq 332 e c1 c2 cN são constantes arbitrárias determinadas das N condi ções auxiliares geralmente dadas na forma de condições iniciais O polinômio Qγ é chamado de polinômio característico do sistema e 334 é a equação característica do sistema Além disso γ1 γ2 γΝ as raízes da equação característica são chama das de raízes características ou valores característicos ou autovalores do sistema As exponenciais γi n i 1 Um sinal na forma n mγ n também satisfaz esta condição sob certas restrições raízes repetidas discutidas posteriormente a Para um sistema LDIT descrito pela equação diferença 338a determine a resposta total se as condições iniciais forem y1 0 e y2 254 e se a entrada for xn 4 nun Neste exemplo determinaremos apenas a componente de entrada nula y0n A componente de es tado nulo é determinada posteriormente no Exemplo 314 252 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 2 N são os modos característicos ou modos naturais do sistema Um modo característico corresponde a ca da raiz característica do sistema e a resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos característicos do sistema RAÍZES REPETIDAS Até este momento assumimos que o sistema possui N raízes características distintas γ1 γ2 γΝ com modos ca racterísticos correspondentes γ1 n γ2 n γN n Se duas ou mais raízes coincidirem raízes repetidas a forma dos modos característicos é modificada A substituição direta mostra que se a raiz γ repete r vezes raiz de multipli cidade r os modos característicos para esta raiz são γ n nγ n n 2γ n n r1γ n Portanto se a equação caracterís tica do sistema for 335 a resposta a entrada nula do sistema será 336 RAÍZES COMPLEXAS Tal como no caso de sistemas contínuos no tempo as raízes complexas de um sistema em tempo discreto ainda ocorrem em pares de conjugados se os coeficientes da equação do sistema forem reais Raízes complexas po dem ser tratadas exatamente como tratamos raízes reais Entretanto tal como no caso de sistemas contínuos no tempo também podemos utilizar a forma real da solução como alternativa Inicialmente expressamos as raízes conjugadas complexas γ e γ na forma polar Se γ é a amplitude mó dulo e β é o ângulo de γ então A resposta a entrada nula é dada por Para um sistema real c1 e c2 devem ser conjugados tal que y0n seja uma função real de n Seja 337a Então 337b na qual c e θ são constantes arbitrárias determinadas das condições auxiliares Esta é a solução na forma real a qual evita o trabalho com números complexos EXEMPLO 310 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 253 A equação do sistema na notação operacional é 338b O polinômio característico é A equação característica é 339 As raízes características são γ1 02 e γ2 08 A resposta de entrada nula é 340 Para determinar as constantes arbitrárias c1 e c2 fazemos n 1 e 2 na Eq 340 e então substituí mos y1 0 e y2 254 obtendo Portanto 341 O leitor pode verificar esta solução determinando os primeiros termos usando o método interativo veja Exemplos 38 e 39 b Um procedimento similar pode ser seguido para raízes repetidas Por exemplo para o sistema espe cificado pela equação Vamos determinar y0n a componente de entrada nula da resposta se as condições iniciais forem y1 13 e y2 29 O polinômio característico é γ 2 6γ 9 γ 3 2 no qual temos uma raiz característica repetida pa ra γ 3 Os modos característicos são 3 n e n3 n Logo a resposta a entrada nula é Podemos determinar as constantes arbitrárias c1 e c2 seguindo o procedimento da parte a É deixado co mo exercício para o leitor que c1 4 e c2 3 tal que c Para o caso de raízes complexas vamos determinar a resposta de entrada nula do sistema LDIT des crito pela equação quando as condições iniciais são y1 2 e y02 1 As condições iniciais y1 e y2 são as condições dadas da resposta total Mas como a entrada não começa até que n 0 a respos ta de estado nulo é zero para n 0 Logo para n 1 e 2 a resposta total é constituída apenas da componente de entrada nula logo y1 y01 e y2 y02 254 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O polinômio característico é γ 2 156γ 081 γ 078 j045γ 078 j045 As raízes ca racterísticas são 078 j 045 ou seja 09e jπ6 Podemos escrever imediatamente a solução como sendo Fazendo n 1 e 2 e usando as condições iniciais y1 2 e y2 1 nós determinamos c 234e j017 e c 234e j017 Alternativamente podemos determinar a solução usando a parte real da solução dada pela Eq 337b No caso atual as raízes são 09e jπ6 Logo γ 09 e β π6 e a resposta de entrada nula de acordo com a Eq 337b será Para determinar as constantes arbitrárias c e θ fazemos n 1 e 2 nesta equação e substituímos as condições iniciais y1 2 e y2 1 para obter ou Essas duas equações simultâneas de duas incógnitas c cos θ e c sen θ resultam em Dividindo c sen θ por c cos θ teremos Substituindo θ 017 radianos em c cos θ 2308 resulta em c 234 e Observe que neste caso usamos radianos como unidade tanto de β quanto θ Também poderíamos ter uti lizado graus apesar de não ser recomendado na prática A consideração importante é ser consistente e utili zar as mesmas unidades para β e θ CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 255 EXERCÍCIO E13 Determine a resposta de entrada nula de um sistema descrito pela equação As condições iniciais são y01 12 e y02 14 Verifique a solução determinando os três primeiros termos interativamente RESPOSTA EXERCÍCIO E311 Determine e trace a resposta de entrada nula para os sistemas descritos pelas seguintes equações Em cada caso a condição inicial é y1 10 Verifique a solução determinando os três primeiros termos usan do o método interativo RESPOSTAS EXERCÍCIO E312 Determine a resposta de entrada nula de um sistema descrito pela equação As condições iniciais são y01 1 e y02 33 Verifique a solução determinando os três primeiros ter mos interativamente RESPOSTA EXEMPLO DE COMPUTADOR C34 Usando as condições iniciais y1 2 e y2 1 determine e trace a resposta de entrada nula para o sis tema descrito por E 2 156E 081yn E 3xn Determine hn a resposta ao impulso unitário de um sistema descrito pela equação 345 256 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 37 RESPOSTA hn AO IMPULSO UNITÁRIO Considere um sistema de ordem n especificado pela equação 342a ou 342b A resposta hn ao impulso é a solução desta equação para a entrada δn como todas as condições iniciais nulas ou seja 343 sujeita às condições iniciais 344 A Eq 344 pode ser resolvida para determinar hn interativamente ou de forma fechada O seguinte exem plo demonstra a solução interativa Figura C34 EXEMPLO 311 Determinação interativa de hn CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 257 Continuando desta forma podemos determinar qualquer número de termos de hn Infelizmente este tipo de solução não resulta em uma expressão fechada para hn De qualquer forma a determinação de alguns valores de hn pode ser útil na determinação de uma solução fechada como o desenvolvimento a seguir mostra A SOLUÇÃO FECHADA DE hn Lembrese de que hn é a resposta do sistema para a entrada δn a qual é zero para n 0 Sabemos que quan do a entrada é zero apenas os modos característicos podem ser mantidos pelo sistema Portanto hn deve ser constituído pelos modos característicos do sistema para n 0 Para n 0 ele pode ter algum valor não nulo A0 de tal forma que a equação geral de hn pode ser descrita por 347 na qual ycn é a combinação linear dos modos característicos Substituímos agora a Eq 347 na Eq 343 pa ra obter QEA0δn ycnun PEδn Como ycn é constituído pelos modos característicos QEycnun 0 e obtemos A0QEδn PEδn ou seja Fazendo n 0 nesta equação e usando o fato de que δm 0 para todo m 0 e δ0 1 obtemos 348 Logo 349 Os N coeficientes desconhecidos de ycn lado direito da equação podem ser determinados do conhecimen to de N valores de hn Felizmente a determinação interativa dos valores de hn é uma tarefa direta como de monstrado no Exemplo 311 Calculamos os N valores h0 h1 h2 hN 1 interativamente e a seguir fazemos n 0 1 2 N 1 na Eq 349 para determinar as N incógnitas de ycn Este ponto ficará mais cla ro no exemplo a seguir Para determinar a resposta ao impulso unitário vamos considerar a entrada xn δn e a saída yn hn na Eq 345 obtendo 346 sujeita ao estado inicial nulo ou seja h1 h2 0 Fazendo n 0 nesta equação A seguir fazendo n 1 na Eq 346 e usando h0 5 obtemos Assumimos que o termo ycn consiste dos modos característicos apenas para n 0 Para refletir este comportamento os termos carac terísticos devem ser expressos na forma γj nun 1 Mas como un 1 un δn cjγj nun 1 cjγj nun cjδn e ycn pode ser expresso em termos das exponenciais γj nun a qual começa em n 0 mais um impulso em n 0 Se aN 0 então A0 não pode ser determinado pela Eq 348 Neste caso mostraremos na Seção 312 que hn é da forma A0δn A1δn 1 ycnun Neste caso temos N 2 incógnitas as quais podem ser determinadas dos N 2 valores h0 h1 hN 1 determinados interativamente Determine a resposta hn ao impulso para o sistema do Exemplo 311 especificado pela equação Esta equação pode ser expressa na forma operador avanço por 350 ou 351 O polinômio característico é Os modos característicos são 02 n e 08 n Portanto 352 Além disso a partir da Eq 351 temos aN 016 e bN 0 Logo de acordo com a Eq 349 353 Para determinar c1 e c2 precisamos determinar dois valores de hn interativamente Este passo já foi rea lizado no Exemplo 311 no qual determinamos que h0 5 e h1 3 Fazendo agora n 0 e 1 na Eq 353 e usando o fato de que h0 5 e h1 3 temos Logo 354 258 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 312 EXEMPLO DE COMPUTADOR C35 Utilize o MATLAB para resolver o Exemplo 312 Existem diversas formas de se determinar a resposta ao impulso usando o MATLAB No método apresen tado primeiro especificamos a entrada como a função impulso unitário Os vetores a e b são criados para es pecificar o sistema O comando filter é então utilizado para determinar a resposta ao impulso De fato este método pode ser utilizado para determinar a resposta de estado nulo para qualquer entrada CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 259 Figura C35 Comentário Apesar de ser relativamente simples determinar a resposta hn ao impulso usando o procedi mento desta seção no Capítulo 5 discutiremos um método muito mais simples através da transformada z 38 RESPOSTA DO SISTEMA À ENTRADA EXTERNA A RESPOSTA DE ESTADO NULO A resposta ao estado nulo yn é a resposta do sistema a entrada xn quando o sistema está no estado nulo Nes ta seção assumiremos que todos os sistemas estão no estado nulo a não ser que mencionado o contrário de tal forma que a resposta de estado nulo será a resposta total do sistema Seguiremos um procedimento semelhante ao utilizado no caso de tempo contínuo expressando uma entrada arbitrária xn como a soma de componentes impulsivas O sinal xn da Fig 316a pode ser expresso como a soma de componentes de impulso tais como as mostradas na Fig 316b316f A componente de xn para n m é xmδn m e xn é a soma de todas com ponentes de n a Portanto 355 EXERCÍCIO E314 Determine hn a resposta ao impulso dos sistemas LDIT especificados pelas seguintes equações RESPOSTAS 260 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 316 Representação de um sinal arbitrário xn em termos de componentes de impulso Para um sistema linear conhecendo a resposta ao impulso δn a resposta a qualquer entrada arbitrária pode ser obtida pela soma da resposta do sistema aos vários componentes impulsivos Seja hn a resposta ao impul so de entrada δn Utilizaremos a notação para indicar a entrada e a saída correspondente do sistema Portanto se então devido à invariância no tempo CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 261 e devido à linearidade novamente devido à linearidade O lado esquerdo é xn veja Eq 355 e o lado direito é a resposta do sistema yn a entrada xn Logo 356 O somatório do lado direito é chamado de somatório de convolução de xn e hn sendo simbolicamente re presentado por xn hn 357 PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO DE CONVOLUÇÃO A estrutura do somatório de convolução é similar à da integral de convolução Além disso as propriedades do somatório de convolução são similares às da integral de convolução Iremos enumerar estas propriedades sem prova As provas são similares às para integral de convolução e podem ser desenvolvidas pelo leitor Propriedade comutativa 358 Propriedade distributiva 359 Propriedade associativa 360 Propriedade de deslocamento Se então 361 Convolução com um impulso 362 Propriedade da largura Se x1n e x2n possuem largura finita de W1 e W2 respectivamente então a largura de x1n x2n é W1 W2 A largura de um sinal é menor do que o número de seus elementos comprimento Por exemplo o sinal da Fig 317h possui seis elementos comprimento 6 mas uma largura de apenas 5 Alternativamente a pro priedade pode ser descrita em termos dos comprimentos como mostrado a seguir se x1n e x2n possuem compri mento finito de L1 e L2 elementos respectivamente então o comprimento de x1n x2n é L1 L2 1 elementos Na determinação deste resultado assumimos sistemas invariantes no tempo A resposta a entrada δn m para um sistema variante no tempo não pode ser expressada como hn m devendo estar na forma hn m Usando esta forma a Eq 356 é modificada para Determine cn xn gn para Temos Note que Tanto xn quanto gn são causais portanto veja Eq 363 364 Neste somatório m está entre 0 e n 0 m n Portanto se n 0 então tanto m quanto n m 0 tal que um un m 1 Se n 0 m é negativo porque m está entre 0 e n e um 0 Logo a Eq 364 se torna e Este é uma progressão geométrica com taxa 0803 A partir da Seção B74 temos 365 262 SINAIS E SISTEMAS LINEARES CAUSALIDADE E RESPOSTA DE ESTADO NULO Na determinação da Eq 356 consideramos que o sistema é linear e invariante no tempo Não existem outras restrições tanto ao sinal de entrada quanto ao sistema Em nossas aplicações quase todos os sinais de entrada são causais e a maioria dos sistemas também é causal Estas restrições simplificam ainda mais os limites do so matório da Eq 356 Se a entrada xn for causal xm 0 para m 0 Similarmente se o sistema for causal isto é se hn for causal então hx 0 para x negativo tal que hn m 0 quando m n Portanto se xn e hn forem causais o produto xmhn m 0 quando m 0 e para m n e não nulo apenas para a faixa 0 m n Portanto a Eq 356 neste caso se reduz para 363 Calcularemos inicialmente o somatório de convolução por um método analítico e posteriormente com ajuda gráfica EXEMPLO 313 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 263 TABELA DE SOMATÓRIO DE CONVOLUÇÃO Tal como no caso de tempo contínuo preparamos uma tabela Tabela 31 na qual os somatórios de convolução podem ser determinados diretamente para uma variedade de pares de sinais Por exemplo a convolução do Exemplo 313 pode ser diretamente lida desta tabela par 4 como Demonstraremos o uso da tabela de convolução nos exemplos a seguirr EXERCÍCIO E315 Mostre que 08 nun un 51 08 n1un Tabela 31 Somatório de convolução Determine a resposta de estado nulo yn de um sistema LCIT descrito pela equação se a entrada for xn 4 nun A entrada pode ser descrita por xn 4 nun 14 nun 025 nun A resposta ao impulso deste sis tema foi obtida no Exemplo 312 Portanto Usando o par 4 Tabela 31 podemos determinar os somatórios de convolução anteriores Reconhecendo que Podemos expressar yn por 264 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 314 EXERCÍCIO E316 Mostre que EXERCÍCIO E317 Mostre que CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 265 EXERCÍCIO E318 Mostre que EXEMPLO DE COMPUTADOR C36 Determine e trace a resposta de estado nulo para o sistema descrito por E 2 6E 9yn 2E 2 6Exn para a entrada xn 4 nun Apesar da entrada ser limitada e rapidamente cair para zero o sistema propriamente dito é instável resul tando em uma saída ilimitada Figura C36 RESPOSTA A ENTRADAS COMPLEXAS Tal como no caso de sistemas contínuos no tempo reais podemos mostrar que para um sistema LDIT com hn real se a entrada e a saída são descritas em termos de suas partes real e imaginária então a parte real da entra da gera a parte real da resposta e a parte imaginária da entrada gera a parte imaginária da resposta Portanto se 366a usando a seta direcional para a direita para indicar o par entradasaída podemos mostrar que Determine onde xn e gn são mostrados na Fig 317a e 317b respectivamente Temos que Portanto 266 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 366b A prova é similar a utilizada para determinar a Eq 240 para sistemas LCIT MÚLTIPLAS ENTRADAS Múltiplas entradas em sistemas LIT podem ser tratadas pela aplicação do princípio da superposição Cada en trada é considerada separadamente como todas as outras entradas mantidas em zero A soma de todas as respos tas individuais do sistema constitui a saída total do sistema quando todas as entradas forem aplicadas simulta neamente 381 Procedimento Gráfico para o Somatório de Convolução Os passos para a determinação do somatório de convolução são semelhantes aos utilizados na integral de con volução O somatório de convolução de sinais causais xn e gn é dado por Inicialmente obtemos o gráfico de xm e gn m como funções de m e não de n pois o somatório ocorre em m As funções xm e gm são as mesmas de xn e gn traçadas respectivamente como funções de m veja Fig 317 A operação de convolução pode ser executada da seguinte forma 1 Inverta gm com relação ao eixo vertical m 0 para obter gm Fig 317d A Fig 317e mostra tanto xm quanto gm 2 Desloque gm por n unidades para obter gn m Para n 0 o deslocamento é para a direita atra so para n 0 o deslocamento é para a esquerda avanço A Fig 317f mostra gn m para n 0 pa ra n 0 veja a Fig 317g 3 A seguir multiplique xm com gn m e some todos os produtos para obter cn O procedimento é re petido para cada valor de n na faixa de a Demonstraremos através de um exemplo o procedimento gráfico de determinação do somatório de convolu ção Apesar das duas funções neste exemplo serem causais o procedimento é aplicável ao caso geral EXEMPLO 315 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 267 Figura 317 Entendimento gráfico da convolução de xn e gn Use o método do deslocamento de fita para convoluir as duas seqüências xn e gn mostradas na Fig 318a e 318b respectivamente 268 SINAIS E SISTEMAS LINEARES UMA FORMA ALTERNATIVA DO PROCEDIMENTO GRÁFICO O MÉTODO DO DESLOCAMENTO DE FITA Este algoritmo é conveniente quando as seqüências xn e gn são pequenas e elas estão disponíveis apenas na forma gráfica O algoritmo é basicamente o mesmo do procedimento gráfico da Fig 317 A única diferente é que ao invés de apresentar os dados em um gráfico nós os mostramos com uma seqüência de números em uma fita Por outro lado o procedimento é o mesmo como ficará claro no exemplo a seguir A Figura 317f mostra a situação geral para n 0 As duas funções xm e gn m se sobrepõem no in tervalo 0 m n Portanto Para n 0 não existe sobreposição entre xm e gn m como mostrado na Fig 317g de tal forma que e a qual é a mesma resposta obtida pela Eq 365 EXERCÍCIO E319 Determine 08 nun un graficamente e trace o resultado RESPOSTA EXEMPLO 316 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 269 Figura 318 Algoritmo de deslocamento de fita para a convolução em tempo discreto Neste procedimento escrevemos as seqüências xn e gn em quadros slots em duas fitas a fita x e a fita g Fig 318c Deixe a fita x estacionária para corresponder a xm A fita gm é obtida invertendo gm na origem m 0 tal que o quadro correspondente a x0 e g0 permaneçam alinhados Fig 318d 270 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Agora deslocamos a fita invertida por n quadros multiplicamos os valores adjacentes das duas fitas e soma mos todos os produtos para determinar cn As Figs 318d318i mostram os casos para n 05 As Figs 318j 318k e 318l mostram os casos para n 1 2 e 3 respectivamente Para o caso de n 0 por exemplo Fig 318d Para n 1 Fig 318e Similarmente A Fig 318i mostra que cn 7 para n 4 Similarmente calculamos cn para n negativo deslocando a fita para trás um quadro por vez como mos trado nos gráficos correspondentes a n 1 2 e 3 respectivamente Fig 318j 318k e 318l A Fig 318l mostra que cn 0 para n 3 A Fig 318m mostra o gráfico de cn EXERCÍCIO E320 Use o procedimento gráfico do Exemplo 316 técnica do deslocamento de fita para mostrar que xn gn cn na Fig 319 Verifique a propriedade da largura da convolução Figura 319 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 271 EXEMPLO DE COMPUTADOR C37 Para os sinais xn e gn mostrados na Fig 319 utilize o MATLAB para calcular e traçar cn xn gn Figura C37 382 Sistemas Interconectados Tal como no caso de sistemas contínuos no tempo podemos determinar a resposta ao impulso de sistemas conecta dos em paralelo Fig 320a e cascata Fig 320b 320c Podemos usar argumentos idênticos aos utilizados para sistemas contínuos no tempo da Seção 243 para mostrar que se dois sistemas LDIT S1 e S2 com resposta h1n e h2n ao impulso respectivamente são conectados em paralelo a resposta do sistema paralelo composto será h1n h2n De maneira semelhante se estes sistemas forem conectados em cascata em qualquer ordem a resposta ao impulso do sistema composto será h1n h2n Além disso como h1n h2n h2n h1n os sistemas linea res comutam A ordem dos sistemas pode ser alterada sem afetar o comportamento do sistema composto SISTEMAS INVERSOS Se dois sistemas em cascata forem um o inverso do outro com respostas ao impulso hn e hin respectivamen te então a resposta ao impulso da cascata destes sistemas é hn hin Mas a cascata de um sistema com sua inversa é um sistema identidade cuja saída é a mesma da entrada Logo a resposta ao impulso unitário de um sistema identidade é δn Conseqüentemente 367 Como um exemplo vamos mostrar que um sistema acumulador e um sistema diferença para trás são um o inverso do outro Um sistema acumulador é especificado por 368a O sistema de diferença para trás é especificado por 368b As Eqs 368a e 368b são idênticas às Eqs 314a e 312 respectivamente com T 1 272 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A partir da Eq 368a temos que haccn a resposta ao impulso do acumulador é 369a Similarmente a partir da Eq 368b hbdfn a resposta ao impulso do sistema de diferença para trás é dada por 369b Podemos verificar que Grosso modo em sistemas de tempo discreto um acumulador é análogo a um integrador em sistemas de tem po contínuo enquanto que um sistema de diferença para trás é análogo a um diferenciador Já encontramos exemplos destes sistemas nos Exemplos 36 e 37 diferenciador e integrador digital RESPOSTA DO SISTEMA A A Fig 320d mostra a cascata de dois sistemas LDIT um sistema S com resposta hn seguido por um acumu lador A Fig 320e mostra uma cascata dos mesmos dois sistemas em ordem inversa um acumulador seguido por S Na Fig 320d se a entrada xn de S resultar na saída yn então a saída do sistema 320d é Σyk Na Fig Figura 320 Sistemas interconectados CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 273 320e a saída do acumulador é a soma Σxk Como a saída do sistema da Fig 320e é idêntica a do sistema da Fig 320d temos que 370 Se fizermos xn δn e yn hn na Eq 370 temos que gn a resposta ao degrau unitário de um sis tema LDIT com resposta hn ao impulso é dada por 370b O leitor pode facilmente provar a relação inversa 370c 383 Uma Função Muito Especial para Sistemas LDIT a Exponencial de Duração Infinita z n Na Seção 244 nos mostramos que existe um sinal para o qual a resposta de um sistema LCIT é igual a entrada multiplicada por uma constante A resposta de um sistema LCIT a uma exponencial de duração infinita e st é Hse st na qual Hs é a função de transferência do sistema Mostraremos agora que para um sistema LDIT a exponencial de duração infinita z n possui o mesmo papel A resposta do sistema yn neste caso é dada por Para hn causal os limites do somatório do lado direito estão na faixa de 0 a De qualquer maneira esta soma é uma função de z Assumindo que este somatório converge vamos representálo por Hz logo 371a na qual 371b A Eq 371a é válida apenas para valores de z nos quais o somatório no lado direito da Eq 371b existe converge Note que Hz é uma constante para um dado z Portanto a entrada e a saída possuem a mesma for ma sendo diferentes pela multiplicação de uma constante da exponencial de duração infinita de entrada z n Hz a qual é chamada de função de transferência do sistemas é uma função da variável complexa z Uma definição alternativa para a função de transferência Hz de um sistema LDIT da Eq 371a é 372 A função de transferência é definida e possui sentido apenas para sistemas LDIT Ela não existe para siste mas não lineares ou variantes no tempo em geral É importante ressaltar que nesta discussão estamos tratando da exponencial de duração infinita a qual come ça em n não da exponencial causal z nun a qual começa em n 0 Para um sistema especificado pela Eq 324 a função de transferência é dada por 373 274 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esta equação é obtida facilmente considerandose uma entrada de duração infinita xn z n De acordo com a Eq 372 a saída é yn Hzz n Substituindo este xn e yn na Eq 324b teremos Além disso Logo Conseqüentemente 384 Resposta Total A resposta total de um sistema LDIT pode ser expressa como a soma das componentes de entrada nula e es tado nulo Nesta expressão a componente de entrada nula deve ser apropriadamente modificada para o caso de raízes repetidas Desenvolvemos procedimentos para determinar estas duas componentes A partir da equação do sis tema determinamos as raízes e modos característicos A resposta de entrada nula é a combinação linear dos mo dos característicos A partir da equação do sistema também determinamos hn a resposta ao impulso como dis cutido na Seção 37 Conhecendo hn e a entrada xn determinamos a resposta de estado nulo como sendo a convolução de xn e hn As constantes arbitrárias c1 c2 cn da resposta de entrada nula são determinadas pe las n condições iniciais Para o sistema descrito pela equação com condições iniciais y1 0 y2 254 e entrada xn 4 nun determinamos as duas componen tes da resposta nos Exemplos 310a e 314 respectivamente A partir dos resultados destes exemplos a respos ta total para n 0 é 374 RESPOSTA NATURAL E FORÇADA Os modos característicos do sistema são 02 n e 08 n A componente de entrada nula é construída exclusiva mente dos modos característicos como esperado mas os modos característicos também aparecem na resposta de estado nulo Quando todos os termos com modos característicos da resposta total são colocados juntos a EXERCÍCIO E321 Mostre que a função de transferência do diferenciador digital do Exemplo 36 grande bloco sombreado da Fig 314b é dada por Hz z 1Tz e a função de transferência de um atrasador unitário especificado por yn xn1 é dada por 1z CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 275 componente resultante é a resposta natural A parte restante da resposta total constituída de modos não carac terísticos é a resposta forçada Para o caso atual a Eq 374 resulta em 375 39 SOLUÇÃO CLÁSSICA DE EQUAÇÕES DIFERENÇA LINEARES Tal como no caso de sistemas LCIT nós podemos usar o método clássico no qual a resposta é obtida como a so ma das componentes natural e forçada da resposta para analisar sistemas LDIT DETERMINAÇÃO DA RESPOSTA NATURAL E FORÇADA Como explicado anteriormente a resposta natural de um sistema é constituída por todos os termos de modos naturais da resposta Os termos restantes com modos não característicos formam a resposta forçada Se ycn e yφn representam a resposta natural e forçada respectivamente então a resposta total é dada por 376 Como a resposta total ycn yφn é a solução da equação do sistema 324b temos que 377 Mas como ycn constitui os modos característicos 378 A substituição deste resultado na Eq 377 resulta em 379 A resposta natural é a combinação linear dos modos característicos As constantes arbitrárias multiplicado res são determinadas das condições auxiliares adequadas geralmente dadas como y0 y1 yN 1 As ra zões para o uso de condições auxiliares ao invés de condições iniciais são explicadas posteriormente Se tivermos as condições iniciais y1 y2 yN podemos facilmente utilizar o procedimento interativo para deter minar as condições auxiliares y0 y1 yN 1 Voltaremos nossa atenção agora para a resposta forçada A resposta forçada yφn satisfaz a Eq 379 e por definição contém apenas termos com modos não caracte rísticos Para determinar a resposta forçada iremos utilizar o método de coeficientes indeterminados o mesmo mé todo utilizado para sistemas contínuos no tempo Entretanto em vez de passarmos por todos os passos de sistemas contínuos no tempo iremos apresentar uma tabela Tabela 32 listando as entradas e as formas correspondentes da função forçada com coeficientes indeterminados Estes coeficientes podem ser determinados substituindo yφn na Eq 379 e igualando os coeficientes de termos similares Tabela 32 Resposta forçada Nota por definição yφn não pode possuir nenhum termo de modo característico Se algum termo da coluna do lado direito da resposta for çada for um modo característico do sistema então a forma da resposta forçada deve ser alterada para n iyφn onde i é o menor inteiro possí vel que irá evitar que n iyφn tenha um termo de modo característico Por exemplo quando a entrada for r n a resposta forçada da coluna do lado direito é da forma cr n Mas se r n for um modo natural do sistema a forma corrigida da resposta forçada será cnr n veja o par 2 Resolva 380 se a entrada xn 3 n 5un e as condições auxiliares forem y0 4 y1 13 A equação característica é Portanto a resposta natural é Para determinarmos a resposta forçada yφn utilizamos a Tabela 32 par 4 com r 1 e m 1 resultando em Logo Além disso e A substituição desses resultados na Eq 379 resulta em ou Comparando os termos similares dos dois lados da equação obtemos Portanto A resposta total é Para determinar as constantes arbitrárias B1 e B2 fazemos n 0 e 1 e substituímos as condições auxilia res y0 4 y1 13 obtendo 276 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 317 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 277 Logo 381 e 382 EXEMPLO DE COMPUTADOR C38 Utilize o MATLAB para resolver o Exemplo 317 Figura C38 Determine o somatório yn se 383 Tais problemas podem ser resolvidos determinando uma equação diferença apropriada que tenha yn como a resposta A partir da Eq 383 observamos que yn 1 yn n 1 2 Logo 384 Esta é a equação que buscamos Para esta equação diferença de primeira ordem precisamos apenas de uma condição auxiliar o valor de yn para n 0 A partir da Eq 383 temos que y0 0 A equação característica da Eq 383 é γ 1 0 a raiz característica é γ 1 e o modo característico é c1 n cun na qual c é uma constante arbitrária Claramente a resposta natural é cun A entrada xn n 1 2 n 2 2n 1 está na forma do par 4 Tabela 32 com r 1 e m 2 Logo a resposta forçada desejada é Note entretanto que o tempo β0 em yφn é da forma do modo característico Logo a forma correta é yφn β3n 3 β1n 2 β0n Portapnto A partir da Eq 379 obtemos ou Igualando os coeficientes de potência similar temos Logo Fazendo n 0 nesta equação e usando a condição auxiliar y0 0 determinamos c 0 e 278 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 318 COMENTÁRIOS SOBRE CONDIÇÕES AUXILIARES Este método clássico necessita condições auxiliares y0 y1 yN 1 Isto ocorre porque para n 1 2 N apenas a componente de entrada nula existe e estas condições iniciais podem ser aplicadas ape nas para a componente de entrada nula No método clássico as componentes de entrada nula e estado nulo não podem ser separadas Conseqüentemente as condições iniciais devem ser aplicadas a resposta total a qual começa em n 0 Logo precisamos das condições auxiliares y0 y1 yN 1 Se tivermos as con CapiTULO 3 ANALISE DO DoMiNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DiscRETO 279 dig6es iniciais y1 y2 yN podemos usar o método interativo para obter as condicg6es auxiliares yO yf1 yin 1 ENTRADA EXPONENCIAL Tal como no caso de sistemas continuos no tempo podemos mostrar que para um sistema especificado pela equacao QElyn PExn 385 a resposta forcada para a entrada exponencial xn r é dada por ygln Arr r 4 y um modo caracteristico 386 na qual Hir Pir r Or 387 A prova segue do fato de que se a entrada xn r entao da Tabela 32 par 4 yn cr Logo Exn xn i r rr e PExn Plrr Eygn yoln k er ek e QEyn cQrr de tal forma que a Eq 385 se reduz para cQrr Prr a qual resulta em c PrQr Ar Esse resultado é valido somente se r nao for uma raiz caracteristica do sistema Se r for uma raiz caracteris tica entio a resposta forgada é cnr na qual c é determinado substituindo y7 na Eq 379 e igualando os coe ficientes de termos similares dos dois lados da equago Observe que a exponencial r inclui uma grande varie dade de sinais tais como a constante C a sendide cosBn 6 e a sendide exponencialmente crescente ou de crescente ycosBn 8 Entrada Constante xn C Este um caso especial da exponencial Cr com r 1 Portanto a partir da Eq 386 temos In C Pull CHAI1 Yoln C 388 oll O88 Entrada Senoidal A entrada e é uma exponencial r com r e Logo io Plel ygn Hee Fler ian Qle Similarmente para a entrada e Yo n Hie ei Conseqiientemente se a entrada for xn cos Qn e e entdo yeln 5Hee2 He Jei2 Como os dois termos do lado direito séo conjugados yeln Re Hee Se Hel e ele Para um sistema LDIT descrito pela equação determine a resposta forçada yφn se a entrada for Logo Para a entrada cos 2n π3un a resposta forçada é 280 SINAIS E SISTEMAS LINEARES então 389a Usando um argumento similar podemos mostrar que para a entrada 389b Para o sistema especificado pela equação determine a resposta forçada para a entrada xn 3 nun Neste caso e a resposta forçada a entrada 3 nun é H33 nun ou seja EXEMPLO 319 EXEMPLO 320 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 281 AVALIAÇÃO DO MÉTODO CLÁSSICO Os comentários do Capítulo 2 a respeito do método clássico de resolução de equações diferenciais também se aplicam a equações diferença 310 ESTABILIDADE DO SISTEMA CRITÉRIO DE ESTABILIDADE EXTERNA BIBO Os conceitos e critérios para estabilidade BIBO externa e interna assintótica para sistemas em tempo discreto são idênticos aos apresentados para sistemas contínuos no tempo Os comentários da Seção 26 para sistemas LCIT sobre a distinção entre estabilidade externa e interna também são válidos para sistemas LDIT Lembrese de que e Se xn é limitada então xn m K1 e Claramente a saída é limitada se o somatório do lado direito da equação for limitado ou seja se 390 Esta é uma condição suficiente para estabilidade BIBO Podemos mostrar que ela também é uma condição necessária veja Prob 3101 Portanto para um sistema LDIT se a resposta hn ao impulso for absolutamen te somável o sistema é estável BIBO Caso contrário ele é instável na qual Portanto tal que 282 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Todos os comentários sobre a natureza de estabilidade externa e interna do Capítulo 2 são aplicados ao caso de tempo discreto e portanto não iremos elaborálos novamente 3101 Estabilidade Interna Assintótica Para um sistema LDIT tal como no caso de sistemas LCIT a estabilidade interna chamada de estabilidade as sintótica ou estabilidade no sentido Lyapunov também chamada de estabilidade de entrada nula é definida em termos da resposta de entrada nula do sistema Para um sistema LDIT especificado por uma equação diferença na forma 317 ou 324 a resposta de en trada nula é constituída dos modos característicos do sistema O modo correspondente para a raiz característica γ é γ n Para ser mais genérico seja γ complexo tal que Como o módulo de e jβn é sempre unitário independente do valor de n o módulo de γ n é γ n Portanto A Fig 321 mostra os modos correspondentes às raízes características em várias posições do plano complexo Esses resultados podem ser mais efetivamente compreendidos em termos da posição das raízes característi cas no plano complexo A Fig 322 mostra um círculo de raio unitário centrado na origem no plano complexo Nossa discussão mostra que se todas as raízes características do sistema estiverem dentro do círculo unitário γi 1 para todo i e o sistema é assintoticamente estável Por outro lado se ao menos uma única raiz caracterís tica estiver fora do círculo unitário o sistema é instável Se nenhuma raiz característica estiver fora do círculo unitário mas algumas raízes simples não repetidas estiverem no círculo unitário o sistema é marginalmente estável Se duas ou mais raízes coincidirem no círculo unitário raízes repetidas o sistema é instável A razão é que para raízes repetidas a resposta a entrada nula é da forma n r1γ n e se γ 1 então n r1γ n n r1 quando n Observe entretanto que raízes repetidas dentro do círculo unitário não causam instabilidade Para resumir 1 Um sistema LDIT é assintoticamente estável se e somente se todas as raízes características estiverem dentro do círculo unitário As raízes podem ser simples ou repetidas 2 Um sistema LDIT é instável se e somente se uma ou as duas condições a seguir existirem i ao menos uma raiz estiver fora do círculo unitário ii existirem raízes repetidas no círculo unitário 3 Um sistema LDIT é marginalmente estável se e somente se não existirem raízes fora do círculo unitá rio e existirem algumas raízes não repetidas no círculo unitário 3102 Relação entre Estabilidade BIBO e Assintótica Para sistemas LDIT a relação entre os dois tipos de estabilidade é similar a de sistemas LCIT Para um sistema especificado pela Eq 317 podemos mostrar facilmente que se uma raiz característica γk está dentro do círcu lo unitário o modo correspondente γk n é absolutamente somável Em contraste se γk estiver fora do círculo uni tário ou no círculo unitário γk n não é absolutamente somável Se o desenvolvimento para sistemas discretos no tempo é paralelo ao para sistemas contínuos no tempo gostaríamos muito de saber por que o paralelismo é interrompido aqui Por que por exemplo o SPD e SPE não são as regiões que demarcam a estabilidade e a ins tabilidade A razão está na forma dos modos característicos Em sistemas em tempo contínuo escolhemos a forma dos modos carac terísticos como sendo e λit Em sistemas discretos no tempo por conveniência computacional escolhemos a forma como sendo γi n Se tivéssemos escolhido a forma como e λit na qual γi e λi então o SPE e SPD para a posição de λi novamente demarcariam a estabili dade e a instabilidade A razão é que se γ e λ γ 1 implica e λ 1 e então λ jω Isto mostra que o círculo unitário no plano γ é mapeado no eixo imaginário do plano λ Essa conclusão segue do fato de que veja Seção B74 Além disso se γ 1 o somatório diverge e tente a Estas conclusões são válidas somente para os modos na forma n rγk n CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 283 Figura 321 Posição das raízes características e os modos característicos correspondentes 284 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Isso significa que um sistema assintoticamente estável é BIBO estável Além disso um sistema marginal mente estável ou assintoticamente estável é BIBO instável O inverso não é necessariamente verdadeiro A figu ra de estabilidade por descrição externa é questionável Estabilidade BIBO externa não garante estabilidade in terna assintótica como os exemplos a seguir mostrarão Figura 322 Posição das raízes características e estabilidade do sistema Um sistema LDIT é constituído por dois subsistemas S1 e S2 em cascata Fig 323 A resposta ao impulso destes sistemas é h1n e h2n respectivamente dadas por Figura 323 Estabilidade BIBO e assintótica A resposta hn ao impulso do sistema composto é dada por Se o sistema em cascata composto estiver dentro de uma caixa preta com somente seus terminais de en trada e saída acessíveis qualquer medida destes terminais irá mostrar que a resposta ao impulso deste siste ma é 05 nun sem qualquer dica sobre o sistema instável escondido dentro do sistema composto O sistema composto é BIBO estável pois sua resposta ao impulso 05 nun é absolutamente somável Entretanto o sistema S2 é assintoticamente instável pois sua raiz característica 2 está fora do círculo uni tário Este sistema eventualmente se queimará ou saturará devido a resposta característica ilimitada gera da por condições iniciais intencionais ou não não importa quão pequenas elas sejam O sistema é assintoticamente instável apesar de BIBO estável Este exemplo mostra que a estabilidade BIBO não garante necessariamente a estabilidade assintótica quando o sistema é não controlável ou não observável ou ambos As descrições interna e externa de um sistema são equivalentes somente quando o sistema é controlável e observável Neste caso a estabilidade BIBO significa que o sistema é assintoticamente estável e viceversa EXEMPLO 321 Determine a estabilidade interna e externa dos sistemas especificados pelas seguintes equações Em cada ca so localize as raízes no plano complexo a O polinômio característico é As raízes características são 05 e 2 como 2 1 2 está no lado de fora do círculo unitário o sistema é BIBO instável e assintoticamente instável Fig 324a b O polinômio característico é As raízes características são 03 e 07 as duas estão dentro do círculo unitário O sistema é BIBO estável e assintoticamente estável Fig 324b Figura 324 Posição das raízes características dos sistemas CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 285 Felizmente sistemas não controláveis ou não observáveis não são comuns na prática Portanto na determi nação da estabilidade do sistema assumiremos que a não ser que mencionado as descrições interna e externa do sistema são equivalentes implicando que o sistema seja controlável e observável EXEMPLO 322 286 SINAIS E SISTEMAS LINEARES c O polinômio característico é As raízes características são 1 05 j05 Fig 324c Uma das raízes características está no círculo unitário e as duas restantes estão dentro do círculo unitário O sistema é BIBO instável mas marginalmente estável d O polinômio característico é As raízes características são 12 j 2 1e jπ3 duas vezes repetidas e estão no círculo unitário Fig 324d O sistema é BIBO instável e assintoticamente instável 311 VISÃO INTUITIVA SOBRE COMPORTAMENTO DE SISTEMAS A visão intuitiva sobre comportamento de sistemas contínuos no tempo e suas provas qualitativas discutidas na Seção 27 também se aplicam a sistemas em tempo discreto Por esta razão iremos simplesmente mencionálas sem a discussão de alguns pontos apresentados na Seção 27 Todo o comportamento do sistema entrada nula e estado nulo é fortemente influenciado pelas raízes ou modos característicos do sistema O sistema responde fortemente a sinais de entrada similares a seus modos ca racterísticos e pobremente a entradas muito diferentes de seus modos característicos De fato quando uma en trada é um modo característico do sistema a resposta tende a infinito desde que o modo não seja um sinal de crescente Este é o fenômeno da ressonância A largura da resposta hn ao impulso indica o tempo de resposta tempo necessário para responder completamente a uma entrada do sistema Ela é a constante de tempo do sis tema Pulsos em tempo discreto são geralmente dispersados quando passados através de um sistema em tempo discreto O total de dispersão ou espalhamento é igual a constante de tempo do sistema ou da largura de hn A constante de tempo do sistema também determina a taxa na qual o sistema pode transmitir informação Uma constante de tempo menor corresponde a uma taxa maior de transmissão de informação e viceversa 312 APÊNDICE 31 RESPOSTA AO IMPULSO PARA UM CASO ESPECIAL Quando aN 0 A0 bN aN fica indeterminado e o procedimento precisa ser um pouco modificado Quando aN 0 QE pode ser expresso como EE e a Eq 353 pode ser descrita por Logo Neste caso a entrada desaparece não para n 1 mas para n 2 Portanto a resposta é constituída não so mente dos termos de entrada nula mais um impulso A0δn para n 0 mas também por um impulso A1δn 1 para n 1 Logo Podemos determinar as incógnitas A0 A1 e os N 1 coeficientes em ycn dos N 1 valores iniciais h0 h1 hN determinados na forma usual pela solução interativa da equação QEhn PEδn Similar mente se aN aN 1 0 precisaremos usar a forma hn A0δn A1δn 1 A2δn 2 ycnun As N 1 incógnitas constantes são determinadas dos N 1 valores de h0 h1 hN determinados interativa mente e assim por diante Esta parte da discussão se aplica a sistemas cuja resposta hn ao impulso seja um pulso principalmente positivo ou principalmente negativo Q γ é agora um polinômio de ordem N 1 Logo existem apenas N 1 incógnitas em ycn CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 287 313 RESUMO Este capítulo discute a análise no domínio do tempo de sistemas LDIT linear discreto invariante no tempo A análise é paralela a de sistemas LCIT com algumas pequenas diferenças Sistemas em tempo discreto são des critos por equações diferença Para um sistema de ordem N N condições auxiliares devem ser especificadas pa ra uma solução única Os modos característicos são exponenciais discretas no tempo na forma γ n corresponden do a raízes não repetidas γ e da forma n iγ n correspondendo a raízes repetidas γ A função impulso unitário δn é uma seqüência de um único valor unitário em n 0 A resposta hn ao im pulso unitário de um sistema em tempo discreto é a combinação linear de seus modos característicos A resposta de estado nulo resposta devido a entrada externa de um sistema linear é obtida quebrando a en trada em componentes de impulso e então somando as respostas do sistema a todas as componentes impulsi vas A soma das respostas do sistema às componentes de impulso é a somatória de convolução A resposta do sistema é obtida como o somatório de convolução da entrada xn com a resposta hn ao impulso do sistema Portanto o conhecimento da resposta ao impulso do sistema nos permite determinar a resposta do sistema a qualquer entrada arbitrária Sistemas LDIT possuem uma relação muito especial com o sinal exponencial de duração infinita z n pois a resposta de um sistema LDIT a este tipo de sinal de entrada é o mesmo sinal multiplicado por uma constante A resposta de um sistema LDIT a uma entrada exponencial de duração infinita z n é Hzz n onde Hz é a função de transferência do sistema Equações diferença de sistemas LDIT também podem ser resolvidas pelo método clássico no qual a respos ta é obtida como a soma das componentes natural e forçada Essas componentes não são as mesmas componen tes de entrada nula e estado nulo apesar de elas satisfazerem as mesmas equações respectivamente Apesar de simples este método é aplicável a uma classe restrita de sinais de entrada e a resposta do sistema não pode ser expressa como uma função explícita da entrada Essas limitações reduzem consideravelmente o valor do méto do clássico no estudo teórico de sistemas O critério de estabilidade externa o critério BIBO entrada limitadasaída limitada afirma que um sistema é estável se e somente se toda entrada limitada produzir uma saída limitada Caso contrário o sistema é instável O critério de estabilidade pode ser afirmado em termos das posições das raízes características do sistema co mo mostrado a seguir 1 Um sistema LDIT é assintoticamente estável se e somente se todas as raízes características estiverem dentro do círculo unitário As raízes podem ser simples ou repetidas EXERCÍCIO E322 Determine e trace as raízes características no plano complexo do sistema especificado pela seguinte equação Determine a estabilidade externa e interna do sistema RESPOSTA BIBO e assintoticamente instável EXERCÍCIO E323 Repita o Exercício E322 para RESPOSTA BIBO e assintoticamente instável Existe a possibilidade de um impulso δn além dos modos característicos 288 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 2 Um sistema LDIT é instável se e somente se uma ou as duas condições a seguir existirem i ao menos uma raiz estiver fora do círculo unitário ii existirem raízes repetidas no círculo unitário 3 Um sistema LDIT é marginalmente estável se e somente se não existirem raízes fora do círculo unitário e existirem algumas raízes não repetidas no círculo unitário Um sistema assintoticamente estável é sempre BIBO estável O inverso não é necessariamente verdadeiro MATLAB Seção 3 Sinais e Sistemas em Tempo Discreto O MATLAB é naturalmente e idealmente adequado a sinais e sistemas em tempo discreto Várias funções espe ciais estão disponíveis para operações com dados em tempo discreto incluindo os comandos stem filter e conv Nesta seção investigaremos esses e outros comandos M31 Funções em Tempo Discreto e Gráficos de Barra Considere a função em tempo discreto fn e n5cosπn5un No MATLAB existem diversas formas de re presentar fn incluindo arquivos M ou para um n particular o cálculo explícito em linha de comando Neste exemplo entretanto utilizaremos um objeto inline Uma verdadeira função em tempo discreto é indefinida ou zero para n não inteiro Apesar do objeto inline f pretender ser uma função em tempo discreto sua construção atual não restringe n a um número inteiro poden do portanto ser utilizado de maneira errada Por exemplo o MATLAB retorna com presteza 08606 para f05 quando um NaN não um número ou zero seria mais adequado O usuário é responsável pelo uso ade quado da função A seguir considere a obtenção do gráfico da função em tempo discreto fn para 10 n 10 O coman do stem simplifica esta tarefa Neste caso o comando stem funciona de maneira similar ao comando plot a variável dependente fn é traçada em função da variável independente n com uma linha preta O comando stem enfatiza a natureza dis creta no tempo dos dados como a Fig M31 bem apresenta Para funções discretas no tempo as operações de deslocamento inversão e escalamento podem ter resulta dos surpreendentes Compare f2n com f2n 1 Ao contrário do caso contínuo a segunda função não é uma versão do deslocamento da primeira Podemos utilizar subgráficos separados cada um para 10 n 10 para ajudar a ilustrar este fato Note que ao contrário do comando plot o comando stem não pode traçar si multaneamente funções em um único eixo De qualquer forma a sobreposição das linhas das barras resultaria em um gráfico difícil de ser lido e entendido Figura M31 f n para 10 n 10 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 289 Os resultados estão mostrados na Fig M32 Curiosamente a função fn original pode ser recuperada inter calando amostras de f2n e f2n 1 e então refletindo no tempo o resultado Devemos sempre ter cuidado para garantir que o MATLAB execute as operações desejadas Nossa função in line f é um caso em questão Apesar da redução da amostragem decimação ficar correta a função não possi bilita o aumento da amostragem interpolação veja Prob 3M1 O MATLAB sempre faz o que foi mandado mas nem sempre é dito como ele deve fazer tudo corretamente M32 Respostas de Sistemas Através de Filtragem O comando filter do MATLAB é uma forma eficiente para calcular a resposta do sistema de uma equação di ferença linear de coeficientes constantes representada na forma atraso como M31 Na forma mais simples o comando filter necessita de três argumentos de entrada um vetor de tamanho N 1 com os coeficientes de alimentação b0 b1 bN um vetor de tamanho N 1 com os coeficientes de rea limentação a0 a1 aN e um vetor de entrada Como nenhuma condição inicial foi especificada a saída cor responde à resposta de estado nulo do sistema A título de exemplo considere um sistema descrito por yn yn 1 yn 2 xn Quando xn δn a resposta de estado nulo é igual a resposta hn ao impulso a qual nós calculamos para 0 n 30 Como mostrado na Fig M33 hn é periódica com N0 6 período fundamental para n 0 Como sinais periódicos não são absolutamente somáveis hn não é finito e o sistema não é BIBO estável Além disso a entrada senoidal xn cos 2πn6un a qual é periódica com N0 6 para n 0 deve gerar uma saí da de estado nulo ressonante Figura M32 f 2n e f 2n 1 para 10 n 10 É importante prestar muita atenção às inevitáveis diferenças de notação encontradas nos diversos documentos de engenharia Nos do cumentos de ajuda do MATLAB os subscritos dos coeficientes começam com 1 ao invés de 0 para ficarem em conformidade com a convenção de indexação do MATLAB Ou seja o MATLAB representa a0 por a1 b0 por b1 e assim por diante 290 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O envelope da resposta linear mostrada na Fig M34 confirma uma resposta ressonante A equação caracterís tica do sistema é γ 2 γ 1 a qual possui as raízes γ e jπ3 Como a entrada xn cos2πn6un 12 e jπ3 e jπ3un coincide com as raízes características garantese uma resposta ressonante Adicionando as condições iniciais o comando filter também pode calcular a resposta do sistema a entra da nula e a resposta total Continuando no exemplo anterior considere a determinação da resposta de entrada nu la para y1 1 e y2 2 para 0 n 30 Existem diversas formas físicas de se implementar uma equação em particular O MATLAB implementa a Eq M31 usando a popular estrutura da forma II transposta Conseqüentemente as condições iniciais devem ser compatíveis com esta estrutura de implementação A função filtic do toolbox de processamento de si Figura M33 hn para yn yn 1 yn 2 xn Figura M34 Resposta yn ressonante de estado nulo para xn cos2πn6un Estruturas de implementação tais como a forma II transposta são discutidas no Capítulo 4 N de T Conjunto de funções geralmente encapsuladas dentro de um mesmo diretório com um objetivo comum O MATLAB é cons tituído por diversos toolboxes sendo que o usuário pode escolher quais toolboxes adquirir CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 291 nais singnal processing converte as condições iniciais y1 y2 yN tradicionais para uso com o co mando filter Uma entrada de zero é criada usando o comando zeros As dimensões desta entrada zero são feitas de forma a coincidir com o vetor n usando o comando size Finalmente força o texto em subscri to na janela gráfica e força o texto em sobrescrito Os resultados são mostrados na Fig M35 Dado y1 1 e y2 2 e uma entrada xn cos2πn6un a resposta total é fácil de ser obtida pelo comando filter Somando a resposta de estado nulo e a resposta de entrada nula obtemos o mesmo resultado O cálculo do erro total absoluto possibilita uma verificação Dentro de um erro de arredondamento os dois métodos fornecem a mesma seqüência M33 Função de Filtro Adaptada O comando filtic só estará disponível se o toolbox de processamento de sinais estiver instalado Para insta lações sem o toolbox de processamento de sinais e para ajudar a desenvolver suas habilidades no MATLAB considere o desenvolvimento de uma função similar em sintaxe ao comando filter que utiliza diretamente as condições iniciais y1 y2 yN Normalizando a0 1 e resolvendo a Eq M31 para yn temos Essa forma recursiva fornece uma boa base para a nossa função de filtro adaptada function y MS3P1b a x yi MS3P1M MATLAB Seção 3 Programa 1 ArquivoM com função para filtrar os dados x para criar y ENTRADAS b vetor de coeficientes de alimentação a vetor de coeficientes de realimentação x vetor de dados de entrada yi vetor de condições iniciais y1 y2 SAÍDAS y vetor dos dados de saída filtrados yi flipudyi formatação adequada das condições iniciais y yi zeroslengthx1x Préinicializa y começando com as condi ções iniciais x zeroslengthyi 1 x Concatena x com zeros para coincidir o tama nho de y Figura M35 Resposta de entrada nula y0n para y1 1 e y2 2 292 SINAIS E SISTEMAS LINEARES b ba1 a aa1 normaliza os coeficientes for n lengthy1 1 lengthy for nb 0 lengthb 1 yn yn bnb 1xn nb termos de alimentação direta end for na 1 lengtha 1 yn yn ana 1yn na termos de realimentação end end y ylengthyi 1 end retira as condições iniciais da saída final Grande parte das instruções em MS3P1 já foram discutidas Voltaremos nossas atenções para a instrução fli pud O comando de inversão cimabaixo flipud inverte a ordem dos elementos em um vetor coluna Apesar de não ser utilizado neste caso o comando de inversão esquerdadireita fliplr inverte a ordem dos elemen tos em um vetor linha Note que se digitarmos help filename o primeiro conjunto de linhas contíguas em um arquivo M será mostrado Portanto uma boa prática de programação é documentar arquivos M tal como em MS3P1 colocando um bloco inicial de linhas explicativas comentadas no arquivo Como um exercício o leitor deve verificar que MS3P1 calcula corretamente a resposta hn ao impulso a res posta de estado nulo yn a resposta de entrada nula y0n e a resposta total yn y0n M34 Convolução em Tempo Discreto A convolução de dois sinais de duração finita em tempo discreto é realizada usando o comando conv Por exemplo a convolução em tempo discreto de dois pulsos retangulares de largura 4 gn un un 4un un 4 é um triângulo de tamanho 4 4 1 7 Representando un un 4 pelo vetor 1 1 1 1 a convolução é calculada usando Note que un 4 un un un 4 também é calculado usando conv1 1 1 11 1 1 1 e obviamente resulta na mesma resposta A diferença entre estes dois casos é a região de interesse 0 n 6 para o primeiro caso e 4 n 2 para o segundo Apesar do comando conv não calcular a região de interes se ela é relativamente fácil de ser obtida Se o vetor w começar em n nw e o vetor v começar em n nv então convwv começará em n nw nv Em geral o comando conv não convolui adequadamente sinais de duração infinita Isto não é exatamente sur preendente pois os próprios computadores não podem armazenar sinais de duração infinita Para casos especiais en tretanto conv pode calcular corretamente uma parcela destes tipos de problemas de convolução Considere o caso comum de convolução de dois sinais causais Passando as primeiras N amostras de cada sinal conv retorna uma se qüência de tamanho 2N 1 As N primeiras amostras desta seqüência são válidas as N 1 amostras restantes não Para ilustrar este ponto reconsidere a resposta de estado nulo yn para 0 n 30 para o sistema yn yn 1 yn 2 xn dada a entrada xn cos2πn6un Os resultados obtidos usando a técnica de filtra gem são mostrados na Fig M34 A resposta também pode ser obtida usando a convolução de acordo com yn hn xn A resposta ao im pulso do sistema é Tanto hn quanto xn são causais e possuem duração infinita de tal forma que conv pode ser utilizado pa ra obter uma parcela da convolução Técnicas para determinar hn analiticamente são apresentadas no Capítulo 5 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 293 311 Determine a energia dos sinais mostrados nas Figs P311 312 Determine a potência dos sinais mostrados nas Figs P312 313 Mostre que a potência de um sinal De j2πN0n é D 2 Portanto mostre que a potência de um sinal A saída total de conv é mostrada na Fig M36 Como esperado os resultados estão corretos para 0 n 30 Os valores restantes estão claramente incorretos O envelope de saída deveria continuar a crescer não de cair Normalmente esses valores incorretos não são mostrados O gráfico resultante é idêntico à Fig M34 P R O B L E M A S Figura P311 Figura M36 yn para xn cos2πn6un calculado com conv 294 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Use o fato de que 314 a Determine as componentes par e ímpar do sinal xn 08 nun b Mostre que a energia de xn é a soma das energias de suas componentes par e ím par determinadas na parte a c Generalize o resultado da parte b para qualquer sinal de energia finita 315 a Se xen e xon são as componentes par e ímpar de um sinal real xn então mostre que Exe Ex0 05Ex b Mostre que a energia cruzada de xe e xo é zero ou seja 321 Se a energia de um sinal xn é Ex então deter mine a energia dos seguintes sinais 322 Se a potência de um sinal periódico xn é Px determine e comente a respeito das potências e valores rms dos seguintes sinais 323 Para o sinal mostrado na Fig P311b trace os seguintes sinais 324 Repita o Prob 323 para o sinal mostrado na Fig P311c Figura P312 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 295 331 Obtenha o gráfico e determine a potência dos seguintes sinais 332 Mostre que 333 Rascunhe os seguintes sinais 334 Descreva cada um dos sinais da Fig P311 por uma única expressão válida para todo n 335 Os seguintes sinais estão na forma e λn expres seos na forma γ n Em cada caso mostre as posições de λ e γ no plano complexo Verifique que uma ex ponencial é crescente se γ estiver fora do círculo unitário ou se λ estiver no SPD ela será decrescente se γ estiver dentro do círculo unitário ou se λ estiver no SPE e terá amplitude constante se γ estiver no cír culo unitário ou se λ estiver no eixo imagi nário 336 Expresse os seguintes sinais os quais estão na forma e λn na forma γ n 337 Os conceitos de funções par e ímpar para si nais em tempo discreto são idênticos aos de sinais contínuos no tempo discutidos na Se ção 15 Usando estes conceitos determine e rascunhe as componentes par e ímpar dos se guintes sinais 341 A saída de uma caixa registradora yn represen ta o custo total de n itens registrados pelo caixa A entrada xn é o custo do nésimo item a Escreva a equação diferença relacionan do yn com xn b Realize este sistema usando um elemento de atraso de tempo 342 Seja pn a população de um certo país no co meço do nésimo ano As taxas de nascimen to e mortalidade da população durante qual quer ano são 33 e 13 respectivamente Se in é o número total de imigrantes entrando no país durante o nésimo ano escreva a equação diferença relacionando pn 1 pn e in Assuma que os imigrantes entram no país ao longo do ano em uma taxa uniforme 343 A média móvel é utilizada para detectar uma tendência de uma variável que varia rapida mente tal como a média do mercado de ações A variável pode flutuar para cima ou para bai xo diariamente mascarando sua tendência de longo prazo Podemos perceber a tendência de longo prazo suavizando ou obtendo a média dos N valores passados da variável Para o mercado de ações podemos considerar uma média móvel yn de 5 dias sendo a média dos 5 últimos dias dos valores de fechamento do mercado xn xn 1 xn 4 a Escreva a equação diferença relacionan do yn com a entrada xn b Utilize elementos de atraso de tempo pa ra implementar o filtro de média móvel de 5 dias 344 O integrador digital do Exemplo 37 é especi ficado por Se uma entrada un for aplicada neste inte grador mostre que a saída é n 1Tun a qual se aproxima da rampa desejada nTun quando T 0 296 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 345 Aproxime a seguinte equação diferencial de segunda ordem por uma equação diferença 346 A tensão no nésimo nó da escada resistiva da Fig P346 é n n 0 1 2 N Mostre que vn satisfaz a equação diferença de se gunda ordem Dica considere a equação do nó do nésimo nó com tensão vn 347 Determine se cada uma das seguintes afirma tivas é verdadeira ou falsa Se a afirmativa for falsa demonstre por prova ou exemplo por que ela é falsa Se a afirmativa for verdadeira explique porquê a Um sinal em tempo discreto com po tência finita não pode ser um sinal de energia b Um sinal em tempo discreto com energia finita tem que ser um sinal de potência c O sistema descrito por yn n 1xn é causal d O sistema descrito por yn 1 xn é causal e Se um sinal de energia xn possui ener gia E então a energia de xan é Ea 348 Um sistema linear invariante no tempo produz a saída y1n em resposta a entrada x1n co mo mostrado na Fig P348 Determine e ras cunhe a saída y2n quando a entrada x2n é aplicada ao mesmo sistema 349 Um sistema é descrito por a Explique o que o sistema faz b O sistema é estável BIBO Justifique sua resposta c O sistema é linear Justifique sua resposta Figura P346 Figura P348 Gráficos de entradasaída CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 297 d O sistema é sem memória Justifique sua resposta e O sistema é causal Justifique sua resposta f O sistema é invariante no tempo Justifi que sua resposta 3410 Um sistema discreto é dado por a O sistema é estável BIBO Justifique sua resposta b O sistema é sem memória Justifique sua resposta c O sistema é causal Justifique sua res posta 3411 Explique por que o sistema contínuo no tem po yt x2t é sempre inversível e o sistema correspondente em tempo discreto yn x2n não é inversível 3412 Considere a relação de entradasaída de dois sistemas em tempo discreto similares e Explique por que xn pode ser recuperado de y1n mas xn não pode ser recuperado de y2n 3413 Considere um sistema que multiplica uma da da entrada por uma função rampa rn Ou se ja yn xnrn a O sistema é estável BIBO Justifique sua resposta b O sistema é linear Justifique sua res posta c O sistema é sem memória Justifique sua resposta d O sistema é causal Justifique sua res posta e O sistema é invariante no tempo Justifi que sua resposta 3414 Um carro com turbina de avião é filmado usando uma câmera operando com 60 qua dros por segundo Seja a variável n represen tando o quadro do filme no qual n 0 corres ponde à ignição da turbina filmado antes da ignição ser descartada Analisando cada qua dro do filme é possível determinar a posição xn do carro medida em metros a partir do ponto original de partida x0 0 A partir da física sabemos que a velocidade é a derivada da posição Além disso sabemos que a aceleração é a de rivada da velocidade Podemos estimar a velocidade do carro usan do os dados do filme através de uma equação diferença simples vn kxn xn 1 a Determine a constante k para garantir que vn possua unidade de metros por segundo b Determine uma equação diferença com coeficientes constantes na forma padrão que tenha como saída a estimativa da ace leração an usando como entrada a po sição xn Identifique as vantagens e ata lhos de estimar a aceleração at por an Qual é a resposta hn ao impulso deste sistema 3415 Faça a parte a do Prob 3M2 351 Resolva recursivamente apenas os três pri meiros termos das equações 352 Resolva as seguintes equações recursivamen te apenas os três primeiros termos com 353 Resolva recursivamente a equação diferença de segunda ordem Eq 310 para a estimativa de vendas apenas os três primeiros termos assu mindo y1 y2 0 e xn 100un 354 Resolva as seguintes equações recursivamen te apenas os três primeiros termos 298 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 355 Repita o Prob 354 para 361 Resolva 362 Resolva 363 Resolva 364 Para a equação diferença genérica de ordem N Eq 317b fazendo resulta em uma equação diferença causal de ordem N LIT não recursiva Mostre que as raízes características deste sis tema são zero e portanto a resposta de entra da nula é zero Conseqüentemente a resposta total é constituída apenas da resposta de esta do nulo 365 Leonardo Pisano Fibonacci um famoso mate mático do século treze gerou a seqüência de inteiros 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 en quanto pensava estranho o suficiente em um problema envolvendo a reprodução de coe lhos Um elemento da seqüência de Fibonacci é a soma dos últimos dois a Determine a equação diferença de coefi cientes constantes cuja resposta de en trada nula f n com condições auxiliares f 1 0 e f 2 1 é a seqüência de Fi bonacci Sabendo que f n é a saída qual é a entrada do sistema b Quais são as raízes características deste sistema O sistema é estável c Representando 0 e 1 como o primeiro e segundo números de Fibonacci determi ne o qüinquagésimo número de Fibonac ci Determine o milésimo número de Fi bonacci 366 Determine vn a tensão do nésimo nó da es cada resistiva mostrada na Fig P346 se V 100 volts e a 2 Dica 1 considere a equa ção de nó no nésimo nó com tensão vn Di ca 2 veja o Prob 346 para a equação de vn As condições auxiliares são v0 100 e vN 0 367 Considere o sistema em tempo discreto yn yn 1 025yn 2 xn 8 Deter mine a resposta de entrada nula y0n se y01 1 e y01 1 371 Determine a resposta hn ao impulso para os sistemas especificados pelas seguintes equações 372 Repita o Prob 371 para 373 Repita o Prob 371 para 374 a Para a equação diferença genérica de or dem N da Eq 317 fazendo resulta em uma equação diferença causal não recursiva LIT de ordem N Determine a resposta hn ao impulso deste sis tema Dica a equação característica para este caso é γ n 0 Logo todas as raízes caracterís ticas são zero Neste caso ycn 0 e a aborda gem da Seção 37 não funciona Use um méto do direto para determinar hn percebendo que hn é a resposta a entrada impulso unitário b Determine a resposta ao impulso de um sistema LDIT não recursivo descrito pela equação Observe que a resposta ao impulso possui apenas um número finito N de elementos não nulos Por essa razão esses tipos de sis temas são chamados de sistemas com res posta finita ao impulso FIR Para o caso N de T Finiteimpulse response CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 299 recursivo genérico Eq 314 a resposta ao impulso possui um número infinito de ele mentos não nulos e estes sistemas são cha mados de sistemas com resposta infinita ao impulso IIR 381 Determine a resposta estado nulo yn do sistema LDIT cuja resposta ao impulso é e a entrada é xn e nun 1 Determine sua resposta calculando o somatório de con volução e também usando a tabela de convo lução Tabela 31 382 Determine a resposta estado nulo yn do sis tema LDIT se a entrada xn 3 n 1un 2 e 383 Determine a resposta estado nulo yn do sis tema LDIT se a entrada xn 3 n 2un 1 e 384 Determine a resposta estado nulo yn do siste ma LDIT se a entrada xn 3 n 2un 3 e 385 Determine a resposta estado nulo yn do sis tema LDIT se a entrada xn 2 nun 1 e Determine sua resposta usando apenas a Ta bela 31 a tabela de convolução 386 Obtenha os resultados das linhas 1 2 e 3 da Tabela 31 Dica você pode precisar da in formação da Seção B74 387 Obtenha os resultados das linhas 4 5 e 6 da Ta bela 31 388 Obtenha os resultados das linhas 7 e 8 da Ta bela 31 Dica você pode precisar da infor mação da Seção B74 389 Obtenha os resultados das linhas 9 e 11 da Ta bela 31 Dica você pode precisar da infor mação da Seção B74 3810 Obtenha a resposta total do sistema especifi cado pela equação yn 1 2yn xn 1 se y1 10 e a entrada for xn e nun 3811 Determine a resposta estado nulo de um sis tema LDIT se sua resposta ao impulso for hn 05 nun e a entrada xn for Dica Você pode precisar da propriedade de deslocamento 361 da convolução 3812 Para um sistema especificado pela equação Determine a resposta do sistema a entrada xn un Qual é a ordem deste sistema Qual o tipo do sistema recursivo ou não re cursivo O conhecimento das condições ini ciais é necessário para determinar a resposta do sistema Explique 3813 a Um sistema LIT em tempo discreto é mos trado na Fig P3813 Expresse a resposta total ao impulso do sistema hn em ter mos de h1n h2n h3n h4n e h5n Figura P3813 b Dois sistemas LDIT em cascata possuem resposta h1n e h2n ao impulso respecti vamente Mostre que para h1n09 nun e h2n05 nun 0905 nun 1 o sistema em cascata é um sistema identidade 3814 a Mostre que para um sistema causal a Eq 370b também pode ser descrita por b Como a expressão da parte a seria alte rada se o sistema não fosse causal 3815 No problema de conta bancária descrito no Exemplo 34 uma pessoa deposita R 50000 no começo de cada mês começando em n 0 com uma exceção em n 4 quando ao invés de depositar R 50000 ela saca R 100000 Determine yn se a taxa de juros é de 15 ao mês r 001 N de T Infiniteimpulse response 300 SINaIs E SISTEMAS LINEARES 3816 Para pagar um empréstimo de M reais em N O ntimero de K pagamentos é 0 maior inteiro parcelas usando um valor fixo mensal de P N O pagamento residual é yk i t reals Mosire que 3818 Usando o algoritmo de deslocamento de fita P rM mostre que 1d r a uln uln n Duln b un un m un n Dun onde r é a taxa de juros por reais por més nm lun m Dica Este problema pode ser modelado pe la Eq 39a com o pagamento de P reais co 3819 Usando o algoritmo de deslocamento de fita mecando em n 1 O problema pode ser determine xn gn para os sinais mostrados analisado de duas formas 1 Considere o na Fig P3819 emprestimo como uma condiAo inicial y0 3820 Repita o Prob 3819 para os sinais mostrados Me a entrada xn Pun 1 O saldo na Fig P3820 do empréstimo é a soma da componente de entrada nula devido a condiéo inicial ea 3821 Repita 0 Prob 3819 para os sinais mostrados componente de estado nulo hn xn 2 na Fig P3821 Considere o emp réstimo como a entrada M 3822 O somatoério de convolugao da Eq 363 po em n 0 juntamente com a entrada devido d vo a e ser expresso em uma forma matricial por aos pagamentos O saldo do empréstimo ago ra acomponente de estado nulo hn xn ou Como o empréstimo é quitado em N paga mentos facga yN 0 y0 h0 0 O 0 x0 3817 Uma pessoa recebe um empréstimo para com EN At hl 0 0 x1 prar um automdvel de R 1000000 de um Dot banco com taxa de juros de 15 ao més O CL 1 hL 1 Al y 0 L 1 yn n n bee eee xn seu pagamento mensal é de R 50000 com 0 primeiro pagamento sendo feito um més apds y H f o recebimento do empréstimo Calcule o nt mero de nimero de pagamentos necessarios y Hf para quitar o empréstimo Observe que o ulti mo pagamento pode nao ser exatamente de e R 50000 Dica siga 0 procedimento do fHy Prob 3816 para determinar o saldo yn Pa ra determinar N o nimero de pagamentos fa Conhecendo hn e a safda yn podemos deter ga yN 0 Em geral N nao seré um inteiro minar a entrada xn Esta operagao é a reversa da xn 5 gin eee I 5 ns 4 ne Figura P3819 xn gin 5 5 Xe 10 5 5 n 10 5 5 na Figura P3820 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 301 convolução sendo chamada de deconvolução Além disso conhecendo xn e yn podemos determinar hn Isso pode ser feito expressando a equação matricial anterior como n 1 equa ções simultâneas em termos de n 1 incógnitas h0 h1 hn Estas equações podem ser fa cilmente resolvidas interativamente Portanto podemos sintetizar um sistema que resulta em uma certa saída yn para uma dada entrada xn a Projete um sistema isto é determine hn que resultará na seqüência de saída 8 12 15 15 155 1575 para a se qüência de entrada 1 1 1 1 1 1 b Para um sistema com seqüência de res posta ao impulso 1 2 4 a seqüência de saída é 1 73 439 Determine a seqüência de entrada 3823 Um sistema LDIT de segunda ordem possui resposta de entrada nula dada por a Determine a equação característica deste sistema a0γ 2 a1γ a 2 0 b Determine uma entrada causal limitada com duração infinita que causará uma forte resposta deste sistema Justifique sua resposta c Determine uma entrada causal limitada com duração infinita que causará uma fraca resposta deste sistema Justifique sua resposta 3824 Um filtro LDIT tem uma função de resposta ao impulso dada por h1n δn 2 δn 2 Um segundo sistema LDIT possui uma função de resposta ao impulso dada por h2n nun 4 un 4 a Cuidadosamente obtenha o gráfico das funções h1n e h2n para 10 n 10 b Assuma que os dois sistemas sejam co nectados em paralelo como mostra a Fig P3824 Determine a resposta hpn ao impulso do sistema em paralelo em ter mos de h1n e h2n Rascunhe hpn para 10 n 10 c Assuma que os dois sistemas sejam co nectados em série como mostra a Fig P3824 Determine a resposta hsn ao impulso do sistema em série em termos de h1n e h2n Rascunhe hsn para 10 n 10 Figura P3821 Figura P3824 Sistemas com conexões em paralelo e em série 302 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 3825 Este problema analisa uma interessante apli cação da convolução em tempo discreto a ex pansão de certas expressões polinomiais a Analiticamente expanda z 3 z 2 z 1 2 Compare os coeficientes com 1 1 1 1 1 1 1 1 b Formule uma relação entre a convolução em tempo discreto e a expansão de expres sões polinomiais de coeficientes constantes c Utilize a convolução para expandir z 4 2z 3 3z 2 4 d Utilize a convolução para expandir z 5 2z 4 3z 2 5 2z 4 5z 2 13 3826 João gosta de café e prepara o seu de acordo com uma rotina muito particular Começa adi cionando duas colheres de chá de açúcar em sua xícara e a enche até a borda com café quen te Ele bebe 23 do café adiciona outras duas colheres de açúcar e enche a xícara novamente com café fervendo Este procedimento conti nua algumas vezes para várias e várias xícaras de café João observou que seu café tende a fi car cada vez mais doce com o número de repe tições do seu procedimento peculiar Considere a variável independente n para re presentar o número da repetição do procedi mento Dessa forma n 0 indica a primeira xícara de café n 1 é a primeira vez que ele completa a xícara e assim por diante Seja xn a representação do açúcar medido em colheres de chá adicionado no sistema a xí cara de café na repetição n Seja yn o total de açúcar novamente em colheres de chá contido na xícara na repetição n a O açúcar colheres de chá do café de João pode ser representado usando uma equação diferença padrão de segunda or dem com coeficientes constantes yn a1yn 1 a2yn 2 b0xn b1xn 1 b2xn 2 Determine as constan tes a1 a2 b0 b1 e b2 b Determine xn a função de alimentação deste sistema c Resolva a equação diferença para yn Is to requer a determinação da solução total João sempre começa com uma xícara limpa do lavalouças tal que y1 a quantidade de açúcar antes do primeiro copo é zero d Determine o valor de regime de yn Ou seja qual é o valor de yn quando n Se possível sugira um modo de mo dificar xn tal que o conteúdo de açúcar do café de João seja constante para todo n não negativo 3827 Um sistema é chamado de complexo se uma en trada de valor real puder produzir uma saída de valor complexo Considere o sistema causal complexo descrito pela equação diferença linear de primeira ordem com coeficientes constantes a Determine a função de resposta hn ao impulso deste sistema b Dada a entrada xn un 5 e a con dição inicial y01 j determine a res posta total do sistema yn para n 0 3828 Um sistema LIT em tempo discreto possui função de resposta ao impulso igual a hn nun 2 un 2 a Cuidadosamente trace a função hn para 5 n 5 b Determine a equação diferença que re presenta este sistema usando yn para re presentar a saída e xn para representar a entrada 3829 Faça a parte a do Prob 3M3 3830 Considere os três sinais em tempo discreto xn yn e zn Representando a convolução por identifique as expressãoões que ésão equivalentes a xnyn zn d Nenhuma Justifique sua resposta 391 Utilize o método clássico para resolver com a entrada xn e nun e a condição au xiliar y0 1 392 Utilize o método clássico para resolver com entrada xn e nun e a condição auxi liar y1 0 Dica você terá que determi nar a condição auxiliar y0 usando o método interativo 393 a Use o método clássico para resolver com entrada xn 3 n e a condições auxi liares y0 1 e y1 3 b Repita a parte a para as condições auxilia res y1 y2 1 Dica utilize o mé todo interativo para determinar y0 e y1 CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 303 394 Utilize o método clássico para resolver com entrada xn 3 nun e condições auxi liares y0 2 e y1 133 395 Use o método clássico para determinar os se guintes somatórios 396 Repita o Prob 395 para determinar 397 Use o método clássico para resolver com entrada xn 02 nun e condições au xiliares y0 1 e y1 2 Dica a entrada é um modo natural do sistema 398 Use o método clássico para resolver com entrada e a condições iniciais y1 y2 0 Dica determine y0 e y1 interativamente 3101 Na Seção 310 foi mostrado que para a esta bilidade BIBO de um sistema LCIT é sufi ciente que sua resposta hn ao impulso sa tisfaça a Eq 390 Mostre que esta condi ção também é uma condição necessária pa ra que o sistema seja BIBO estável Em ou tras palavras mostre que se a Eq 390 não for satisfeita existe uma entrada limitada que produz uma saída ilimitada Dica as suma que existe um sistema para o qual hn viola a Eq 390 mas mesmo assim sua saí da é limitada para toda entrada limitada Es tabeleça a contradição nesta afirmativa con siderando uma entrada xn definida por xn1 m 1 quando hm 0 e xn1 m 1 quando hm 0 onde n1 é algum in teiro fixo 3102 Cada uma das seguintes equações a seguir es pecifica um sistema LDIT Determine se cada um destes sistemas é BIBO estável ou instá vel Determine também se cada um é assinto ticamente estável instável ou marginalmente estável 3103 Considere dois sistemas LDIT em cascata co mo ilustrado na Fig 323 A resposta ao im pulso do sistema S1 é h1n 2 nun e a res posta ao impulso do sistema S2 é h2n δn 2δn 1 O sistema em cascata é assinto ticamente estável ou instável Determine a es tabilidade BIBO do sistema composto 3104 A Fig P3104 localiza as raízes característi cas de nove sistemas LDIT causais nomeados de A a I Cada sistema possui apenas duas raí zes sendo descrito usando a notação opera cional como QEyn PExn Todos os gráficos estão em escala com o círculo unitá rio mostrado como referência Para cada uma das partes a seguir identifique todas as res postas que estão corretas a Identifique todos os sistemas que são instáveis b Assumindo que todos os sistemas pos suem PE E 2 identifique todos os sis temas que são reais Lembrese que um sistema real sempre gera uma resposta de valor real a uma entrada de valor real c Identifique todos os sistemas que supor tam modos naturais oscilatórios d Identifique todos os sistemas que pos suem ao menos um modo cujo envelope decai a uma taxa de 2 n e Identifique todos os sistemas que pos suem apenas um modo 3105 Um sistema LIT em tempo discreto possui resposta ao impulso dada por a Este sistema é estável O sistema é cau sal Justifique suas respostas b Trace o sinal xn un 3 un 3 c Determine a resposta yn de estado nu lo do sistema para a entrada xn un 3 un 3 Trace yn para 10 n 10 304 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 3106 Um sistema LDIT possui resposta ao impulso dada por a Este sistema é causal Justifique sua res posta b Calcule O sistema é BIBO estável c Calcule a energia e a potência do sinal de entrada xn 3un 5 d Usando a entrada xn 3un 5 de termine a resposta de estado nulo do sis tema para o tempo n 10 Ou seja deter mine yen0 3M1 Considere a função em tempo discreto fn e n5cosπn5un A Seção 3 do MATLAB utiliza um objeto inline para descrever esta função Enquanto o objeto inline opera adequada mente na operação de redução de amostragem decimação ela não opera adequadamente para uma operação de aumento de amostra gem interpolação tal como fn2 Modi fique o objeto inline f de tal forma que ele responda corretamente a operações de aumen to de amostragem Teste seu código calculan do e traçando fn2 para 10 n 10 3M2 Um aluno indeciso está pensativo sobre ficar em casa ou fazer o exame final o qual ocorre rá a 2 km de distância Partindo de casa o es tudante viaja metade da distância para o exa me antes de mudar de idéia O estudante faz a volta e viaja metade da distância entre sua po sição atual e sua casa mudando de idéia nova mente Este processo de mudança de direção e viagem pela metade do trajeto continua até que o estudante atinge seu destino ou morre de exaustão a Determine uma equação diferença ade quada para descrever este sistema b Utilize o MATLAB para simular a equa ção diferença da parte a Afinal onde o estudante termina quando n Co mo a sua resposta muda se o estudante for a dois terços do caminho a cada vez ao invés de meio caminho c Determine uma solução fechada para a equação da parte a Utilize esta solução para verificar os resultados da parte b 3M3 A função de relação cruzada entre xn e yn é dada por Note a similaridade entre rxyk e o somatório de convolução A variável independente k cor responde ao deslocamento relativo entre as duas entradas a Expresse rxyk em termos da convolução rxyk ryxk b Dizse que a relação cruzada indica a si milaridade entre dois sinais Você concor da Por quê Figura P3104 Raízes características para os sistemas de A a I CAPÍTULO 3 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 305 c Se xn e yn são de duração finita o co mando conv do MATLAB é adequado para calcular rxyk i Escreva uma função no MATLAB que calcule a função de correlação usando o comando conv Quatro vetores são passados para a função x y nx e ny correspondendo às entradas xn yn e seus respectivos vetores de tempo Observe que x e y não possuem necessariamente o mesmo tamanho Duas saídas de vem ser geradas rxy e k corres pondendo a rxyk e seu vetor de des locamento ii Teste o seu código da parte ci usando xn un 5 un 10 para 0 n nx 20 e yn un 15 un 10 δn 2 para 20 n ny 10 Trace o resultado rxy em função do vetor de deslocamento k Qual desloca mento k fornece o maior valor de rxyk Isso faz sentido 3M4 Um filtro de máximo causal de N pontos asso cia a yn o valor máximo de xn xn N1 a Escreva uma função do MATLAB que execute a filtragem máxima de N pontos em um vetor x de entrada com tamanho M As duas entradas da função são o vetor x e o escalar N Para criar o vetor y de ta manho M de saída inicialmente encha o vetor de entrada com N 1 zeros O co mando max do MATLAB pode ser útil b teste o seu filtro e o código do MATLAB filtrando um vetor de entrada de tamanho 45 definido por xn cosπn5 δn 30 δn 35 Apresente separada mente os gráficos dos resultados para N 4 N 8 e N 12 Comente o compor tamento do filtro 3M5 Um filtro de mínimo causal de N pontos asso cia a yn o valor mínimo de xn xn N1 a Escreva uma função do MATLAB que execute a filtragem máxima de N pontos em um vetor x de entrada com tamanho M As duas entradas da função são o ve tor x e o escalar N Para criar o vetor y de tamanho M de saída inicialmente encha o vetor de entrada com N 1 ze ros O comando min do MATLAB po de ser útil b teste o seu filtro e o código do MATLAB filtrando um vetor de entrada de tamanho 45 definido por xn cosπn5 δn 30 δn 35 Apresente separada mente os gráficos dos resultados para N 4 N 8 e N 12 Comente o compor tamento do filtro 3M6 Um filtro de média causal de N pontos associa a yn o valor médio de xn xn N1 A média é determinada colocando a seqüência xn xn N1 em ordem e escolhendo o valor médio N ímpar ou a média dos dois valores médios N par a Escreva uma função do MATLAB que execute a filtragem máxima de N pontos em um vetor x de entrada com tamanho M As duas entradas da função são o ve tor x e o escalar N Para criar o vetor y de tamanho M de saída inicialmente encha o vetor de entrada com N 1 zeros Os comandos sort e median do MA TLAB podem ser úteis b teste o seu filtro e o código do MATLAB filtrando um vetor de entrada de tamanho 45 definido por xn cosπn5 δn 30 δn 35 Apresente separada mente os gráficos dos resultados para N 4 N 8 e N 12 Comente o compor tamento do filtro 3M7 Lembrese que yn xnN representa uma operação aumento de amostragem por N Um filtro de interpolação substitui os zeros incluí dos por valores mais realísticos Um filtro de interpolação linear possui a seguinte resposta ao impulso a Determine a equação diferença com coefi cientes constantes que possui a resposta hn ao impulso b A resposta hn ao impulso é não causal Qual é o menor deslocamento de tempo necessário para tornar este filtro causal Qual é o efeito deste deslocamento no comportamento do filtro c Escreva uma função no MATLAB que irá calcular os parâmetros necessários para a implementação de um filtro de interpola ção usando o comando filter do MA TLAB Ou seja a sua função deve retor nar os vetores a e b do filtro para uma da da entrada escalar N 306 SINAIS E SISTEMAS LINEARES d Teste o seu filtro e o código do MA TLAB Para isto crie xn cosn para 0 n 9 Aumente a amostragem de xn por um fator N 10 para criar um novo sinal xupn Projete o corresponden te filtro de interpolação linear com N 10 filtre xupn para produzir yn e trace os resultados 3M8 Um filtro de média móvel causal de N pontos possui uma função de resposta ao impulso da da por hn un un NN a Determine a equação diferença com coe ficientes constantes que possui a resposta hn ao impulso b Escreva uma função no MATLAB que calcule os parâmetros necessários para implementar um filtro de média móvel de N pontos usando o comando filter do MATLAB Ou seja sua função deve re tornar os vetores b e a do filtro para uma dada entrada escalar N c Teste o seu filtro e o código do MATLAB filtrando uma entrada de tamanho 45 de finida por xn cosπn5 δn 30 δn 35 Apresente separadamente os gráficos dos resultados para N 4 N 8 e N 12 Comente o comportamento do filtro d O Problema 3M7 apresenta filtros de interpolação linear para uso posterior da operação de aumento de amostragem por N Dentro de um fator de escala mostre que a cascata de dois filtros de média móvel de N pontos é equivalente a um filtro de interpolação linear Qual é o fator de escala Teste esta idéia com o MATLAB Crie xn cosn para 0 n 9 Aumente a amostragem de xn com N 10 para criar um novo sinal xupn Projete um filtro de média móvel com N 10 Filtre xupn duas vezes e escalone para produzir yn Trace o re sultado A saída dos dois filtros de mé dia móvel em cascata interpola linear mente os dados do vetor com a nova amostragem Devido à propriedade da linearidade superposição de sistemas lineares invariantes no tempo podemos deter minar a resposta destes sistemas dividindo a entrada xt em várias componentes e então somando a resposta do sistema a todas estas componentes de xt Já utilizamos esse procedimento na análise no domínio do tempo na qual a entrada xt é dividida em componentes impulsivas Na análise no domínio da freqüência desenvolvi da neste capítulo dividimos a entrada xt em exponenciais na forma e st na qual o parâmetro s é a freqüência complexa do sinal e st como explicado na Seção 143 Esse método oferece uma visão do comportamento do sis tema complementar à estudada na análise no domínio do tempo De fato os métodos de análise no domínio do tempo e no domínio da freqüência são duais A ferramenta que possibilita representar uma entrada arbitrária xt em termos de componentes exponenciais é a transformada de Laplace a qual é discutida na seção seguinte 41 TRANSFORMADA DE LAPLACE Para um sinal xt a transformada de Laplace Xs é definida por 41 O sinal xt é dito ser a transformada inversa de Laplace de Xs Pode ser mostrado que 42 onde c é uma constante escolhida para garantir a convergência da integral da Eq 41 como explicado poste riormente Esse par de equações é conhecido como par da transformada de Laplace bilateral ou simplesmente par de Laplace no qual Xs é a transformada direta de Laplace de xt e xt é a transformada inversa de Laplace de Xs Simbolicamente 43 Observe que Também é prática comum utilizar uma seta bidirecional para indicar o par da transformada de Laplace co mo mostrado a seguir A transformada de Laplace definida desta forma pode trabalhar com sinais que existem em todo o interva lo de tempo de a sinais causais e não causais Por essa razão ela é chamada de transformada de La ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE C A PÍTU LO 4 Para um sinal xt e atut determine a transformada de Laplace Xs e sua RDC Pela definição Como ut 0 para t 0 e ut 1 para t 0 45 Note que s é complexo e quando t o termo e s at não necessariamente desaparece Lembramos que para um número complexo z α jβ agora e jβt 1 independente do valor de βt Portanto quando t e zt 0 somente se α 0 e e zt se α 0 Portanto 46 308 SINAIS E SISTEMAS LINEARES place bilateral ou de dois lados Mostraremos posteriormente um caso especial a transformada de Laplace unilateral ou de um lado a qual pode trabalhar apenas com sinais causais LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Provaremos agora que a transformada de Laplace é uma operação linear mostrando que o princípio da superpo sição é válido implicando que se então A prova é simples Por definição 44 Este resultado pode ser estendido a qualquer soma finita A REGIÃO DE CONVERGÊNCIA RDC A região de convergência RDC também chamada de região de existência da transformada de Laplace Xs é o conjunto de valores de s a região no plano complexo para os quais a integral da Eq 41 converge Este con ceito ficará mais claro com o exemplo a seguir EXEMPLO 41 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 309 Claramente Usando este resultado na Eq 45 temos 47a ou 47b Figura 41 Os sinais a e atut e b e atut possuem a mesma transformada de Laplace mas re giões de convergência distintas A RDC de Xs é Re s a como mostrado na área sombreada da Fig 41a Este fato implica em que a integral que define Xs na Eq 45 existe somente para os valores de s na região sombreada da Fig 41a Para outros valores de s a integral da Eq 45 não converge Por esta razão a região sombreada é chamada de RDC ou região de existência de Xs REGIÃO DE CONVERGÊNCIA PARA SINAIS DE DURAÇÃO FINITA Um sinal de duração finita xft é um sinal que é não nulo somente para t1 t t2 em que tanto t1 quanto t2 são números finitos e t2 t1 Para um sinal de duração finita absolutamente integrável a RDC é todo o plano s Is to é claro do fato de que se xft é absolutamente integrável e um sinal de duração finita então xte σt também é absolutamente integrável para qualquer valor de σ pois a integração é para apenas uma faixa finita de t Lo go a transformada de Laplace deste tipo de sinal converge para todo valor de s Isto significa que a RDC de um sinal genérico xt permanece inalterada quando xt é somado a qualquer sinal xft de duração finita e abso lutamente integrável Em outras palavras se representa a RDC do sinal xt então a RDC de um sinal xt xft também é Tabela 41 Tabela curta de transformadas de Laplace unilateral 310 SINAIS E SISTEMAS LINEARES PAPEL DA REGIÃO DE CONVERGÊNCIA A RDC é necessária para a determinação da transformada inversa de Laplace xt de Xs definida pela Eq 42 A operação de determinação da transformada de Laplace requer uma integração no plano complexo a qual pre cisa de algumas explicações O caminho de integração é ao longo de c jω com ω variando de a Além disso o caminho de integração deve estar na RDC ou existência de Xs Para o sinal e atut isto é possível se c a Um possível caminho de integração é mostrado em pontilhado na Fig 41a Portanto para obter xt de Xs a integração da Eq 42 é executada ao longo deste caminho Quando integramos 1s ae st ao lon go deste caminho o resultado é e atut Essa integração no plano complexo necessita de um conhecimento pré vio da teoria de funções de variáveis complexas Podemos evitar esta integração determinando uma tabela de transformadas de Laplace Tabela 41 na qual os pares de Laplace são tabulados para uma certa variedade de sinais Para determinar a transformada inversa de Laplace de digamos 1s a ao invés de utilizarmos a in tegral complexa da Eq 42 procuramos na tabela e determinamos a transformada inversa de Laplace como sendo e atut assumindo que a RDC é Re s a Apesar de a tabela apresentada ser bem curta ela possui as funções de maior interesse prático Uma tabela mais extensa aparece em Doetsch 2 A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL Para compreender a necessidade da determinação da transformada unilateral vamos determinar a transformada de Laplace do sinal xt mostrado na Fig 41b A discussão sobre o caminho da convergência é mais complicada necessitando de conceitos de integral de contorno e a compreensão da teoria de variáveis complexas Por essa razão a discussão nesse ponto será simplificada CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 311 A transformada de Laplace desse sinal é Como ut 1 para t 0 e ut 0 para t 0 A Eq 46 mostra que Logo O sinal e atut e sua RDC Re s a estão mostrados na Fig 41b Note que a transformada de La place para os sinais e atut e e atut são idênticas exceto por suas regiões de convergência Portanto pa ra um dado Xs existe mais de uma transformada inversa dependendo da RDC Em outras palavras a não ser que a RDC seja especificada não existe uma convergência de umparaum entre Xs e xt Esse fato au menta de complexidade na utilização da transformada de Laplace A complexidade é o resultado de tentar tra balhar com sinais causais e não causais Se restringirmos todos os nossos sinais ao tipo causal esta ambigüi dade desaparece Existe apenas uma transformada inversa de Xs 1s a notadamente e atut Para de terminar xt de Xs nem precisamos especificar a RDC Em resumo se todos os sinais forem restritos ao ti po causal então para uma dada Xs existe uma única transformada inversa xt Tabela 41 Continuação Na verdade Xs especifica xt dentro de uma função nula nt a qual tem a propriedade de que a área abaixo de nt 2 é zero sobre qualquer intervalo finito de 0 a tt 0 Teorema de Lerch Por exemplo se duas funções são idênticas em qualquer lugar exceto em um número finito de pontos elas diferem por uma função nula 312 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A transformada de Laplace unilateral é um caso especial da transformada de Laplace bilateral na qual todos os sinais são restritos a serem causais Conseqüentemente os limites da integração da integral na Eq 41 podem ser considerados de 0 a Logo a transformada de Laplace unilateral Xs de um sinal xt é definida por 48 Escolhemos 0 no lugar de 0 utilizado em alguns textos como limite inferior de integração Esta convenção não apenas garante a inclusão de uma função impulso em t 0 mas também permite utilizarmos condições ini ciais para 0 no lugar de 0 na solução de equações diferenciais pela transformada de Laplace Na prática pro vavelmente conheceremos as condições iniciais antes da entrada ser aplicada em 0 e não após a entrada ser aplicada em 0 De fato o verdadeiro significado do termo condições iniciais implica em condições para t 0 condições antes da entrada ser aplicada A análise detalhada da utilidade de t 0 aparece na Seção 43 A transformada de Laplace unilateral simplifica consideravelmente o problema de análise de sistemas devi do a sua propriedade de exclusividade a qual diz que para um dado Xs existe uma única transformada inver sa Mas existe um preço por esta simplificação não podemos analisar sistemas ou entradas não causais Entre tanto na maioria dos problemas práticos esta restrição não tem conseqüência Por esta razão iremos conside rar primeiro a transformada de Laplace unilateral e sua aplicação a análise de sistemas A transformada de La place bilateral é discutida posteriormente na Seção 411 Basicamente não existe diferença entre a transformada de Laplace unilateral e bilateral A transformada uni lateral é a transformada bilateral que trabalha com uma subclasse de sinais começando em t 0 sinais cau sais Portanto a expressão Eq 42 para a transformada inversa de Laplace permanece inalterada Na práti ca o termo transformada de Laplace significa a transformada de Laplace unilateral EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE A variável s da transformada de Laplace é geralmente complexa e pode ser descrita por s σ jω Por defi nição Como e jωt 1 a integral do lado direito desta equação converge se 49 Logo a existência da transformada de Laplace está garantida se a integral na expressão 49 for finita para algum valor de σ Qualquer sinal que não cresce mais rápido do que o sinal exponencial Me σ0t para algum M e σ0 satisfaz a condição 49 Portanto se para algum M e σ0 410 podemos escolher σ σ0 para satisfazer 49 O sinal e t2 ao contrário cresce com uma taxa maior do que e σ0t e conseqüentemente não possui transformada de Laplace Felizmente tais sinais que não possuem transfor mada de Laplace são de pouca conseqüência do ponto de vista prático ou teórico Se σ0 é o menor valor de σ para o qual a integral em 49 é finita σ0 é chamado de abscissa de convergência e a RDC de Xs é Re s σ0 A abscissa de convergência para e atut é a a RDC é Re s a A condição 410 é suficiente mas não necessária para a existência da transformada de Laplace Por exemplo xt 1 é infinita para t 0 e 410 não pode ser satisfeita mas a transformada de 1 existe sendo dada por Entretanto se considerarmos um sinal truncado duração finita e t2 a transformada de Laplace existirá Determine a transformada de Laplace dos seguintes sinais a Usando a propriedade de amostragem Eq 124a temos Ou seja 411 b Para determinar a transformada de Laplace de ut lembrese que ut 1 para t 0 Portanto 412 Também poderíamos ter obtido este resultado a partir da Eq 47b fazendo a 0 c Como 413 A partir da Eq 47 obtemos 414 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 313 Para a transformada de Laplace unilateral existe uma única transformada inversa de Xs Conseqüentemen te não há necessidade de especificar a RDC explicitamente Por esta razão geralmente ignoramos qualquer menção a RDC para transformadas unilaterais Lembrese também que na transformada de Laplace unilateral subentendese que todo sinal xt é zero para t 0 sendo apropriado indicar este fato pela multiplicação do si nal com ut EXEMPLO 42 Determine a transformada inversa de Laplace de Em nenhum desses casos a transformada inversa pode ser obtida diretamente da Tabela 41 Precisamos ex pandir estas funções em frações parciais como discutido na Seção B51 Nesta era do computador é mui to fácil determinar as frações parciais através dos computadores Entretanto tal como a fácil disponibilida 314 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 411 Determinando a Transformada Inversa A determinação da transformada inversa de Laplace utilizando a Eq 42 requer a integração no plano comple xo um tópico além do escopo deste livro mas veja por exemplo Ref 3 Para o nosso propósito podemos de terminar as transformadas inversas a partir da tabela de transformadas Tabela 41 Tudo o que precisamos é ex pressar Xs como a soma de funções mais simples nas formas listadas na tabela A maioria das transformadas Xs de interesse prático são funções racionais ou seja razões de polinômios em s Tais funções podem ser ex pressadas como a soma de funções mais simples usando a expansão em frações parciais veja a Seção B5 Os valores de s para os quais Xs 0 são chamados de zeros de Xs e os valores de s para os quais Xs são chamados de pólos de Xs Se Xs é uma função racional na forma PsQs as raízes de Ps são os ze ros e as raízes de Qs são os pólos de Xs EXERCÍCIO E41 Através da integração determine a transformada de Laplace Xs e a região de convergência de Xs para os si nais mostrados na Fig 42 Figura 42 RESPOSTAS EXEMPLO 43 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 315 de de computadores de mão não diminui a necessidade de aprendermos a mecânica das operações aritméti cas adição multiplicação etc a farta disponibilidade de computadores não elimina a necessidade de aprendermos a mecânica da expansão em frações parciais a Para determinar k1 correspondente ao termo s 2 mascaramos o termo s 2 em Xs e substituí mos s 2 o valor de s que faz s 2 0 na expressão restante veja Seção B52 Similarmente para determinarmos k2 correspondente ao tempo s 3 mascaramos o termo s 3 em Xs e substituímos s 3 na expressão restante Portanto 415a VERIFICANDO A RESPOSTA É muito fácil cometermos um erro na determinação das frações parciais Felizmente é muito fácil verificar mos a resposta ao percebermos que Xs e suas frações parciais devem ser iguais para todo valor de s se as frações parciais estiverem corretas Vamos verificar este fato na Eq 415a para algum valor conveniente digamos s 0 Substituindo s 0 na Eq 415a teremos Podemos então ter certeza de que nossa resposta está correta com uma grande margem de confiança Usando o par 5 da Tabela 41 na Eq 415a obtemos 415b b Observe que Xs é uma função imprópria com M N Neste caso podemos expressar Xs como a so ma dos coeficientes de mais alta potência do numerador mais as frações parciais correspondentes aos pólos de Xs veja a Seção B55 No caso atual o coeficiente de mais alta potência do numerador é 2 Portanto Como Xs em seus pólos devemos evitar os valores dos pólos 2 e 3 neste caso na verificação As respostas podem ser as mes mas mesmo se as frações parciais estiverem erradas Esta situação pode ocorrer quando dois ou mais erros cancelam seus efeitos Mas as chances deste problema ocorrer para valores aleatórios de s são extremamente pequenas 316 SINAIS E SISTEMAS LINEARES na qual e Portanto A partir da Tabela 41 pares 1 e 5 temos 416 c Figura 43 Note que os coeficientes k2 e k 2 dos termos conjugados também devem ser conjugados veja a Seção B5 Agora Logo CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 317 Para usar o par 10b da Tabela 41 precisamos expressar k2 e k 2 na forma polar Observe que tan 143 tan 143 Esse fato é evidente na Fig 43 Para mais detalhes sobre esse tópico veja o Exemplo B1 A partir da Fig 43 observamos que de tal forma que Portanto A partir da Tabela 41 pares 2 e 10b obtemos 417 MÉTODO ALTERNATIVO USANDO FATORES QUADRÁTICOS O procedimento anterior envolve uma considerável manipulação de números complexos O par 10c Tabela 41 indica que a transformada inversa de termos quadráticos com pólos conjugados complexos pode ser de terminada diretamente sem a necessidade de determinar frações parciais de primeira ordem Apresentamos es te procedimento na Seção B52 Para isto iremos expressar Xs por Já determinamos k1 6 pelo método de mascaramento Heaviside Portanto Removendo as frações multiplicando os dois lados por ss 2 10s 34 obtemos Agora igualando os coeficientes de s 2 e s dos dois lados e Utilizamos agora os pares 2 e 10c para determinar a transformada inversa de Laplace Os parâmetros para o par 10c são A 6 B 54 a 5 c 34 b 3 e Logo 318 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A qual é o mesmo resultado obtido anteriormente ATALHOS As frações parciais com termos quadráticos também podem ser obtidas usando atalhos Temos Podemos determinar A eliminando B do lado direito da equação Este passo pode ser realizado através da multiplicação dos dois lados da equação por s e então fazendo s Esse procedimento resulta em Portanto Para determinar B fazemos s assumir qualquer valor conveniente digamos s 1 nesta equação obtendo um resultado que verifica as respostas encontradas anteriormente d onde Portanto e 418 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 319 MÉTODO ALTERNATIVO UM HÍBRIDO ENTRE HEAVISIDE E ELIMINAÇÃO DE FRAÇÕES Neste método os coeficientes simples k1 e a0 são determinados pelo procedimento de Heaviside como dis cutido anteriormente Para determinar os coeficientes restantes utilizamos o método de eliminação de fra ções Usando os valores k1 2 e a0 6 obtidos anteriormente pelo método de Heaviside temos Agora eliminamos as frações através da multiplicação dos dois lados desta equação por s 1s 2 3 Este procedimento resulta em Igualando os coeficientes s 3 e s 2 dos dois lados obtemos Podemos parar por aqui se quisermos pois os dois coeficientes a1 e a2 já foram determinados Entretan to igualando os coeficientes de s 1 e s 0 podemos verificar nossas respostas Este passo leva a A substituição de a1 a2 2 obtido anteriormente satisfaz estas equações Este passo certifica nos sa resposta OUTRA ALTERNATIVA HÍBRIDO ENTRE HEAVISIDE E ATALHOS Nestes métodos os coeficientes simples k1 e a0 são determinados pelo procedimento de Heaviside como discutido anteriormente Os atalhos são utilizados para determinar os coeficientes restantes Usando os va lores de k1 2 e a0 6 obtidos anteriormente pelo método de Heaviside temos Existem duas incógnitas a1 e a2 Se multiplicarmos os dois lados por s e fizermos s eliminamos a1 Esse procedimento resulta em Portanto Agora existe apenas uma incógnita a1 Este valor pode ser facilmente determinado fazendo s igual a qualquer valor conveniente digamos s 0 Este passo resulta em Podíamos ter eliminado as frações sem termos determinados k1 e a0 Essa alternativa entretanto é mais trabalhosa pois ela aumenta o número de incógnitas para 4 Através da predeterminação de k1 e a0 reduzimos as incógnitas para 2 Além disso este método é uma boa maneira de verificar a solução Esse procedimento híbrido utiliza o melhor dos dois métodos 320 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO DE COMPUTADOR C41 Usando o comando residue do MATLAB determine a transformada inversa de Laplace de cada uma das seguintes funções a Portanto Xas 13s 2 7s 1 2 e xat 13e 2t 7e tut 2δt b Portanto Xbs 3s 2 2s 2 2 1s 1 e xbt 3e 2t 2te 2t e tut c Logo CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 321 e EXEMPLO DE COMPUTADOR C42 Usando o toolbox de matemática simbólica symbolic math do MATLAB determine a a transformada direta de Laplace de xat senat cosbt b a transformada inversa de Laplace de Xbs as 2s 2 b 2 Portanto Xas s 3 as 2 a 2s b 2as 2 a 2s 2 b 2 Portanto xbt aδt ab senbt ut EXERCÍCIO E42 i Mostre que a transformada de Laplace de 10e 3t cos4t 5313º é 6s 14s 2 6s 25 Use o par 10a da Tabela 41 ii Determine a transformada inversa de Laplace de RESPOSTAS 322 SINAIS E SISTEMAS LINEARES NOTA HISTÓRICA MARQUÊS PIERRESIMON DE LAPLACE 1749 1827 A transformada de Laplace recebe esse nome em homenagem ao grande matemático e astrônomo francês La place que foi o primeiro a apresentar a transformada e suas aplicações em equações diferenciais em um artigo publicado em 1779 Laplace desenvolveu as bases da teoria potencial e possui importantes contribuições em funções especiais teoria da probabilidade astronomia e mecânica celeste Em seu Exposition du système du monde 1796 Lapla ce formulou uma hipótese nebulosa da origem cósmica e tentou explicar o universo como um mecanismo puro Em seu Traité de mécanique céleste celestial mechanics o qual completou o trabalho de Newton Laplace uti lizou a matemática e a física para submeter o sistema solar e todos corpos celeste às leis do movimento e ao prin cípio da gravidade Newton foi incapaz de explicar as irregularidades de alguns corpos celestes e em desespe ro ele concluiu que Deus deve intervir agora e sempre para prevenir tais catástrofes como Júpiter eventualmen te cair dentro do sol e a lua na terra como predito pelos cálculos de Newton Laplace se propôs a mostrar que estas irregularidades eram corrigidas por elas mesmas periodicamente e que com um pouco de paciência no caso de Júpiter 929 anos tudo retornaria automaticamente à ordem Portanto não existia razão para que o sol e os sistemas estelares não continuassem a operar pelas leis de Newton e Laplace no final dos tempos 4 Laplace apresentou uma cópia de Mécanique céleste a Napoleão que após ter lido o livro questionou Lapla ce por não ter incluído Deus no seu esquema Você escreveu este imenso livro sobre o sistema do mundo sem ao menos ter mencionado uma única vez o autor do universo Sire respondeu Laplace Eu não tenho nenhu ma necessidade desta hipótese Napoleão não estava nem um pouco feliz e quando ele relatou esta resposta a outro grande astrônomo matemático Louis de Lagrange este respondeu ah mas é uma hipótese tão boa Ela explica tantas coisas 5 Napoleão seguindo a sua política de honrar e promover cientistas fez de Laplace seu ministro do interior Para susto de Napoleão entretanto o novo indicado tentou trazer o espírito dos infinitesimais para a adminis tração e portanto Laplace foi transferido rapidamente para o senado OLIVER HEAVISIDE 1850 1925 Apesar de Laplace ter publicado seu método de transformação para resolver equações diferenciais em 1779 o método não emplacou até um século depois Ele foi redescoberto independentemente de forma adversa por um excêntrico engenheiro britânico Oliver Heaviside 18501925 uma das trágicas figuras na história da ciência CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 323 e engenharia Apesar de suas prolíficas contribuições à Engenharia Elétrica ele foi severamente criticado duran te sua vida sendo negligenciado posteriormente ao ponto dos livros didáticos dificilmente mencionarem seu no me ou darlhe os devidos créditos por duas contribuições Apesar disso seus estudos tiveram um grande impac to em vários aspectos da engenharia elétrica moderna Foi Heaviside quem possibilitou a comunicação transa tlântica inventando o cabo de carga mas ninguém jamais o mencionou como um pioneiro ou inovador da tele fonia Foi Heaviside quem sugeriu a utilização do cabo de carga indutivo mas os créditos são dados a M Pupin que não foi nem responsável pela construção da primeira bobina de carga Além disso Heaviside foi 6 O primeiro a descobrir uma solução para a linha de transmissão sem distorção O inovador de filtros passabaixas O primeiro a escrever as equações de Maxwell na forma moderna O codescobridor da taxa de energia transferida por um campo eletromagnético Um dos primeiros campeões na agora comum análise fasorial Um importante contribuinte ao desenvolvimento da análise vetorial De fato ele essencialmente criou o assunto independentemente de Gibbs 7 Um originador do uso de matemática operacional para resolver equações integrodiferenciais o que even tualmente levou ao redescobrimento da transformada de Laplace O primeiro a teorizar juntamente com Kennelly de Harvard que uma camada condutiva a camada Ken nellyHeaviside existe na atmosfera a qual permite que as ondas de rádio sigam a curvatura da terra ao invés de viajarem para o espaço em uma linha reta O primeiro a sugerir que uma carga elétrica aumentaria de massa quando sua velocidade aumentasse uma antecipação de um aspecto da teoria da relatividade especial de Einstein 8 Ele também previu a possibili dade da supercondutividade Heaviside foi um autodidata Apesar de sua educação formal ter terminado no primário ele eventualmente se tornou um físico matemático pragmático de sucesso Ele começou sua carreira como um operador de telégrafo mas uma surdez progressiva o forçou a se aposentar com 24 anos Ele então se devotou ao estudo da eletrici dade Seu criativo trabalho foi desdenhado por vários matemáticos profissionais devido a sua falta de educação formal e seus métodos não ortodoxos Heaviside teve o azar de ser criticado tanto por matemáticos os quais o acusaram pela falta de rigor e por homens da prática os quais o acusaram de utilizar muita matemática e portanto por confundir os alunos Vá rios matemáticos tentando descobrir soluções para a linha de transmissão sem distorção falharam porque não haviam ferramentas rigorosas disponíveis em seus tempos Heaviside obteve sucesso porque utilizou matemáti ca sem rigor mas com sentimento e intuição Usando seu método operacional tão maldito Heaviside conseguiu com sucesso atacar problemas que os matemáticos rigorosos não conseguiam resolver problemas tais como o fluxo de calor em um corpo com condutividade espacial variável Heaviside brilhantemente usou seu método em 1895 para demonstrar uma falha fatal na determinação da idade geológica da terra pelo resfriamento secular de Lorde Kelvin Ele utilizou o mesmo fluxo da teoria do calor para a sua análise de cabo Ainda assim os mate máticos da Royal Society permaneceram intransigentes e não ficaram impressionados pelo fato de Heaviside ter descoberto a resposta para problemas que ninguém conseguia resolver Vários matemáticos que examinaram seus trabalhos os rejeitaram com desprezo considerando que seus métodos ou eram completamente sem senti do ou reapresentações de idéias já conhecidas 6 Sir William Preece o engenheiro chefe da British Post Office um selvagem crítico de Heaviside ridiculari zou seu trabalho como sendo muito teórico e portanto resultando em conclusões falhas O trabalho de Heavi side em linhas de transmissão e carga foi recusado pelo British Post Office e teria sido mantido escondido se Lor de Kelvin não tivesse expressado publicamente ele mesmo admiração pelo trabalho 6 Os cálculos operacionais de Heaviside podem ser formalmente imprecisos mas de fato eles anteciparam os métodos operacionais desenvolvidos em anos mais atuais 9 Apesar de seu método não ser totalmente compreen dido ele fornecia resultados corretos Quando Heaviside foi atacado pelo significado vago de seu cálculo ope Heaviside desenvolveu a teoria de carga de cabo George Campbell construiu a primeira bobina de carga e os telefones usando as bo binas de Campbell estavam em operação antes de Pupin publicar seu artigo Na briga legal sobre a patente entretanto Pupin ganhou a batalha devido a sua perspicaz autopromoção e pela falta de suporte legal a Campbell 324 SINAIS E SISTEMAS LINEARES racional sua resposta pragmática era Eu devo recusar meu jantar porque eu não compreendo completamente o processo digestivo Heaviside viveu como um ermitão solteiro geralmente em condições quase subhumanas e morreu incógni to na pobreza Sua vida demonstrou a arrogância persistente e esnobe do estado intelectual do momento o qual não respeitava a criatividade a não ser que ela fosse apresentada na linguagem restrita do estado do momento 42 ALGUMAS PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE As propriedades da transformada de Laplace são úteis não somente na determinação da transformada de fun ções mas também na solução de equações lineares integrodiferenciais Um rápido vislumbre nas Eqs 42 e 41 mostra que existem algumas medidas de simetria na transformação de xt em Xs e viceversa Essa si metria ou dualidade também aparece nas propriedades da transformada de Laplace Esse fato ficará evidente nos desenvolvimentos a seguir Já apresentamos duas propriedades linearidade Eq 44 e a propriedade da unicidade da transformada de Laplace discutida anteriormente 421 Deslocamento no Tempo A propriedade de deslocamento temporal afirma que se então para t0 0 419a Observe que xt começa em t 0 e portanto xt t0 começa em t t0 Este fato é implícito mas não é ex plicitamente indicado na Eq 419a Isto geralmente resulta em erros inadvertidos Para evitar esta armadilha devemos reafirmar a propriedade como mostrado a seguir Se então 419b Prova fazendo t t0 τ obtemops Como uτ 0 para τ 0 e uτ 1 para τ 0 os limites de integração podem ser considerados de 0 a Portanto Note que xt t0ut t0 é o sinal xtut deslocado t0 segundos A propriedade de deslocamento no tempo afirma que atrasar um sinal t0 segundos significa multiplicar sua transformada por e st0 Essa propriedade da transformada de Laplace unilateral é válida apenas para t0 positivo se t0 for negativo o sinal xt t0ut t0 pode ser não causal Determine a transformada de Laplace de xt mostrada na Fig 44a Figura 44 Determinação da descrição matemática da função xt A obtenção da descrição matemática de uma função tal como a mostrada na Fig 44a é discutida na Seção 14 A função xt da Fig 44a pode ser descrita como a soma de duas componentes mostradas na Fig 44b A equação para a primeira componente é t 1 para 1 t 2 de tal forma que esta componente pode ser descrita por t 1ut 1 ut 2 A segunda componente pode ser descrita por ut 2 ut 4 Portanto 420a O primeiro termo do lado direito é o sinal tut deslocado por 1 segundo Além disso o terceiro e quarto termos são o sinal ut deslocado por 2 e 4 segundos respectivamente O segundo termo entretanto não po de ser interpretado como uma versão atrasada de qualquer sinal da Tabela 41 Por esta razão reorganizamos este termo por Acabamos de expressar o segundo termo na forma desejada como sendo tut atrasado por 2 segundos mais ut atrasado por 2 segundos Com este resultado a Eq 420a pode ser descrita por 420b Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo a tut 1s 2 obtemos CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 325 Podemos facilmente verificar esta propriedade no Exercício E41 Se o sinal da Fig 42a for xtut então o sinal da Fig 42b é xt 2ut 2 A transformada de Laplace do pulso da Fig 42a é 1s1e 2s Portan to a transformada de Laplace do pulso da Fig 42b é 1s1e 2s e 2s A propriedade de deslocamento no tempo é muito conveniente na determinação da transformada de Laplace de funções com diferentes descrições para diferentes intervalos tal como o exemplo a seguir demonstra EXEMPLO 45 326 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Além disso 421 Logo 422 Determine a transformada inversa de Laplace de Observe que o termo exponencial e 2s no numerador de Xs indica um atraso no tempo Neste caso de vemos separar Xs em dois termos com e sem o fator de atraso ou seja na qual Portanto Além disso como Podemos escrever EXEMPLO 45 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 327 422 Deslocamento na Freqüência A propriedade de deslocamento na freqüência afirma que se então 423 Observe a simetria ou dualidade entre essa propriedade e a propriedade de deslocamento no tempo 419a Prova EXERCÍCIO E43 Determine a transformada de Laplace do sinal mostrado na Fig 45 Figura 45 RESPOSTA EXERCÍCIO E44 Determine a transformada inversa de Laplace de RESPOSTA 328 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Estamos prontos para considerar duas das mais importantes propriedades da transformada de Laplace dife renciação e integração no tempo 423 Propriedade de Diferenciação no Tempo A propriedade de diferenciação no tempo afirma que se então 424a A aplicação repetida dessa propriedade resulta em 424b 424c na qual x r0 é d rxdt r para t 0 A dual da propriedade de diferenciação no tempo é a propriedade de diferenciação na freqüência a qual afirma que Obtenha o par 9a da Tabela 41 a partir do par 8a e da propriedade de deslocamento na freqüência O par 8a é Usando a propriedade de deslocamento na freqüência Eq 423 com s0 a obtemos EXEMPLO 46 EXERCÍCIO E45 Obtenha o par 6 da Tabela 41 a partir do par 3 e da propriedade de deslocamento na freqüência Determine a transformada de Laplace do sinal xt da Fig 46a usando a Tabela 41 e as propriedades de di ferenciação e deslocamento no tempo da transformada de Laplace As Figs 46b e 46c mostram as duas primeiras derivadas de xt Lembrese que a derivada em um ponto de salto de continuidade é um impulso de força igual ao total do salto veja a Eq 127 Portanto A transformada de Laplace desta equação resulta em Usando a propriedade de diferenciação do tempo da Eq 424b a propriedade de deslocamento no tem po 419a e o fato de que x0 x0 0 e δt 1 obtemos Portanto a qual confirma o resultado anterior do Exercício E43 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 329 Prova Integrando por partes obtemos Para que a integral de Laplace convirja isto é para Xs existir é necessário que xte st 0 quando t para valores de s na RDC de Xs Logo A aplicação repetida desse procedimento resulta na Eq 424c EXEMPLO 47 330 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 424 Propriedade de Integração no Tempo A propriedade de integração no tempo afirma que se então 425 e 426 Figura 46 Determinação da transformada de Laplace de uma função linear por partes usando a proprie dade de diferenciação no tempo A dual da propriedade de integração no tempo é a propriedade de integração na freqüência a qual afirma que CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 331 Prova Definimos tal que Agora se então Portanto ou Para provar a Eq 426 observe que Note que o primeiro termo do lado direito é uma constante para t 0 Determinando a transformada de La place da equação anterior e usando a Eq 425 obtemos ESCALAMENTO A propriedade de escalamento afirma que se então para a 0 427 A prova é dada no Capítulo 7 Note que a é restrito a valores positivos porque se xt for causal então xat é anticau sal zero para t 0 para a negativo e sinais anticausais não são permitidos na transformada de Laplace unilateral Lembrese de que xat é o sinal xt comprimido no tempo pelo fator a e Xsa é Xs expandido ao longo da escala s pelo mesmo fator a veja a Seção 122 A propriedade de escalamento afirma que a compressão no tempo de um sinal por um fator a causa a expansão de sua transformada de Laplace na escala s pelo mesmo fa tor Similarmente a expansão no tempo de xt causa a compressão de Xs na escala s pelo mesmo fator Usando a propriedade de convolução no tempo da transformada de Laplace determine ct e atut e btut A partir da Eq 428 temos que A transformada inversa desta equação resulta em 332 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 425 Convolução no Tempo e Convolução na Freqüência Outro par de propriedades afirma que se então propriedade da convolução no tempo 428 e propriedade da convolução na freqüência 429 Observe a simetria ou dualidade entre as duas propriedades As provas destas propriedades serão adiadas para o Capítulo 7 A Eq 248 indica que Hs a função de transferência de um sistema LCIT é a transformada de Laplace da resposta ht ao impulso do sistema ou seja 430 Se o sistema for causal ht é causal e de acordo com a Eq 248 Hs é a transformada de Laplace unila teral de ht Similarmente se o sistema for não causal ht é não causal e Hs é a transformada bilateral de ht Podemos aplicar a propriedade de convolução no tempo na relação yt xt ht de entrada e saída de um LCIT para obter 431 A resposta yt é a resposta de estado nulo do sistema LCIT a entrada xt A partir da Eq 432 temos que 432 Esta pode ser considerada uma definição alternativa da função de transferência Hs de sistemas LCIT Ela é a razão da transformada da resposta de estado nulo pela transformada da entrada EXEMPLO 48 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 333 Tabela 42 Propriedades da transformada de Laplace VALORES INICIAL E FINAL Em certas aplicações é necessário conhecer os valores de xt quando t 0 e t valores inicial e final de xt a partir do conhecimento de sua transformada de Laplace Xs Os teoremas do valor inicial e do valor fi nal fornecem esta informação O teorema do valor inicial afirma que se xt e sua derivada dxdt podem ser transformadas por Laplace então 433 desde que o limite do lado direito da Eq 433 exista O teorema do valor final afirma que se xt e sua derivada dxdt podem ser transformadas por Laplace então 434 334 SINAIS E SISTEMAS LINEARES desde que sXs não possua pólos no SPD ou no eixo imaginário Para provar estes teoremas utilizamos a Eq 424a Portanto e Comentário O teorema do valor inicial se aplica somente se Xs for estritamente próprio M N porque pa ra M N lims sXs não existe e o teorema não se aplica Neste caso ainda podemos determinar a resposta usando a divisão longa para descrever Xs como um polinômio em s mais uma fração estritamente própria na qual M N Por exemplo usando a divisão longa podemos expressar A transformada inversa do polinômio em s é em termos de δt e suas derivadas as quais são zero para t 0 Neste caso a transformada inversa de s 1 é t δt Logo o valor desejado de x0 é o valor da fração estrita mente própria desejada para a qual o teorema do valor final pode ser aplicado No caso apresentado Para provar o teorema do valor final fazemos s 0 na Eq 424a para obter uma dedução que leva ao resultado desejado Eq 434 Comentário O teorema do valor final se aplica somente se os pólos de Xs estiverem no SPE incluindo s 0 Se Xs possuir pólos no SPD xt contém um termo exponencialmente crescente e x não existirá Se existir um pólo no eixo imaginário então xt contém um termo oscilatório e x não existirá Entretanto se o pólo estiver na origem então xt contém um termo constante e portanto x existirá e será uma constante Resolva a equação diferencial linear de segunda ordem 435a para as condições iniciais y0 2 e 0 1 e entrada xt e 4tut A equação é 435b Considerando Então a partir das Eqs 424 e Determine os valores inicial e final de yt se sua transformada de Laplace Ys for dada por As Eqs 433 e 434 resultam em CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 335 43 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E INTEGRODIFERENCIAIS A propriedade de diferenciação no tempo da transformada de Laplace possibilita a resolução de equações dife renciais ou integrodiferenciais lineares com coeficientes constantes Como d kydt k s kYs a transforma da Laplace de uma equação diferencial é uma equação algébrica que pode ser facilmente resolvida para Ys A seguir determinamos a transformada inversa de Laplace de Ys para obtermos a solução yt desejada Os exem plos a seguir demonstram o procedimento da transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais li neares com coeficientes constantes EXEMPLO 49 EXEMPLO 410 336 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O Exemplo 410 mostra a facilidade com a qual a transformada de Laplace pode resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes O método é genérico e pode resolver uma equação diferencial linear com coeficientes constantes de qualquer ordem COMPONENTES DE ENTRADA NULA E ESTADO NULO DA RESPOSTA O método da transformada de Laplace fornece a resposta total a qual inclui as componentes de entrada nula e estado nulo É possível separar as duas componentes se for necessário Os termos da resposta referentes às con dições iniciais são oriundos da resposta de entrada nula Por exemplo no Exemplo 410 os termos atribuídos às condições iniciais y0 2 e y0 1 da Eq 436a geram a resposta de entrada nula Esses termos são 2s 11 como visto na Eq 436b Os termos do lado direito da equação são exclusivamente devidos à entrada A Eq 436b é reproduzida a seguir identificandose os termos de tal forma que Além disso para xt e 4tut Fazendo a transformada de Laplace da Eq 435b obtemos 436a Agrupando todos os termos de Ys e mantendo os termos restantes separados no lado esquerdo temos 436b Portanto e Expandindo o lado direito em frações parciais A transformada inversa de Laplace dessa equação resulta em 437 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 337 Logo Obtendo a transformada inversa desta equação COMENTÁRIOS SOBRE AS CONDIÇÕES INICIAIS EM 0 E 0 As condições iniciais no Exemplo 410 são y0 2 e y0 1 Se fizermos t 0 na resposta total da Eq 437 obteremos y0 2 e y0 2 as quais não são as condições iniciais dadas Por quê Porque as condições iniciais são dadas para t 0 exatamente antes da entrada ser aplicada quando apenas a resposta de entrada nu la está presente A resposta de estado nulo é o resultado da entrada xt aplicada em t 0 Logo essa componen te não existe para t 0 Conseqüentemente as condições iniciais para t 0 são satisfeitas pela resposta de en trada nula não pela resposta total Podemos facilmente verificar neste exemplo que a resposta de entrada nula realmente satisfaz das condições iniciais dadas para t 0 É a resposta total que satisfaz as condições iniciais para t 0 as quais geralmente são diferentes das condições iniciais para 0 Também existe uma versão da transformada de Laplace a qual utiliza as condições iniciais em t 0 em vez de 0 como no nosso caso da A versão a qual estava em voga até o começo da década de 1960 é idêntica à versão exceto pelos limites da integral de Laplace Eq 48 que são de 0 a Logo por defi nição a origem t 0 é excluída do domínio Esta versão ainda está em uso em alguns livros de matemática al guns com sérias dificuldades Por exemplo a transformada de Laplace de δt é zero porque δt 0 para t 0 Além disso esta abordagem é difícil no estudo teórico de sistemas lineares pois a resposta obtida não pode ser separada em componentes de entrada nula e estado nulo Pelo que sabemos a componente de estado nulo repre senta a resposta do sistema a uma função explícita na entrada e sem conhecer esta componente não é possível acessar os efeitos da entrada na resposta do sistema de forma geral A versão pode separar a resposta em ter mos de componentes natural e forçada as quais não são tão interessantes quando as componentes de entrada nu la e estado nulo Observe que nós sempre podemos determinar as componentes natural e forçada das componen tes de entrada nula e estado nulo veja as Eqs 252 mas o inverso não é verdadeiro Devido a este e outros pro blemas engenheiros eletricistas sabiamente começaram a descartar a versão no início da década de 60 É interessante observar os duais no domínio do tempo destas duas versões de Laplace O método clássico é dual ao método e o método da convolução entrada nulaestado nulo é o dual do método O primeiro par o método clássico e a versão é inadequado ao estudo teórico de análise de sistemas lineares Não é coincidência que a versão tenha sido imediatamente adotada após a introdução na comunidade da engenha ria elétrica da análise de espaço de estados a qual utiliza a separação da saída em entrada nulaestado nulo EXERCÍCIO E46 Resolva para a entrada xt ut As condições iniciais são y0 1 e y0 2 RESPOSTA No circuito da Fig 47a a chave está na posição fechada por um longo tempo antes de t 0 quando é aberta ins tantaneamente Determine a corrente yt do indutor para t 0 Quando a chave está na posição fechada por um longo tempo a corrente do indutor é 2 amperes e a tensão do capacitor é 10 volts Quando a chave é aberta o circuito é equivalente ao mostrado na Fig 47b com cor rente inicial no indutor y0 2 e tensão inicial no capacitor vc0 10 A tensão de entrada é 10 volts começando em t 0 e portanto pode ser representada por 10ut Figura 47 Análise de um circuito com a ação de uma chave A equação de malha do circuito da Fig 47b é 438 Se 439a então 439b e veja a Eq 426 439c 338 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 411 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 339 Como yt é a corrente do capacitor a integral é qc0 a carga do capacitor para t 0 dada por C ve zes a tensão do capacitor em t 0 Portanto Da Eq 439 temos 440 Obtendo a transformada de Laplace da Eq 438 e usando as Eqs 439a 439b e 440 obtemos ou e Para determinar a transformada inversa de Laplace de Ys usamos o par 10c Tabela 41 com valores A 2 B 0 a 1 e c 5 respultando em Portanto Esta resposta está mostrada na Fig 47c Comentário Em nossas discussões até este ponto multiplicamos os sinais de entrada por ut indicando que estes sinais são zero antes de t 0 Esta é uma restrição sem necessidade Estes sinais podem ter qual quer valor arbitrário antes de t 0 Enquanto as condições iniciais para t 0 forem especificadas precisa mos conhecer apenas a entrada para t 0 para calcular a resposta para t 0 Alguns autores utilizam a no tação 1t para representar uma função que é igual a ut para t 0 e que possui um valor arbitrário para t negativo Nós nos abstemos de utilizar esta notação para evitar uma possível confusão desnecessária cau sada pela introdução de uma nova função a qual é muito similar a ut 431 Resposta de Estado Nulo Considere um sistema LCIT de ordem N especificado pela equação ou 441 Determinaremos agora a expressão genérica para a resposta de estado nulo de um sistema LCIT A res posta yt de estado nulo por definição é a resposta do sistema a uma entrada quando o sistema está ini 340 SINAIS E SISTEMAS LINEARES cialmente relaxado em estado nulo Portanto yt satisfaz a equação 441 do sistema com condições ini ciais nulas Além disso a entrada xt é causal portanto Considerando Devido às condições iniciais nulas Portanto a transformada de Laplace da Eq 441 resulta em ou 442a 442b Mas mostramos na Eq 431 que Ys HsXs Conseqüentemente 443 Esta é a função de transferência de um sistema diferencial linear especificado na Eq 441 O mesmo resul tado foi obtido anteriormente na Eq 250 usando uma abordagem alternativa domínio do tempo Mostramos que Ys a transformada de Laplace da resposta yt de estado nulo é o produto de Xs e Hs em que Xs é a transformada de Laplace da entrada xt e Hs é a função de transferência do sistema relacio nando uma saída yt particular com a entrada xt INTERPRETAÇÃO INTUITIVA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Até este momento tratamos a transformada de Laplace como uma máquina a qual converte equações integro diferenciais lineares em equações algébricas Ainda não existe entendimento físico de como a transformada faz isto ou sobre o que ela significa No Capítulo 2 Eq 247 mostramos que a resposta de um sistema LIT a uma exponencial de duração infi nita e st é Hse st Se pudermos expressar todo sinal como uma combinação linear de exponenciais de duração in finita de forma e st então poderemos obter facilmente a resposta do sistema a qualquer entrada Por exemplo se A resposta do sistema LCIT cuja entrada é xt é dada por CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 341 Infelizmente apenas uma pequena classe de sinais pode ser expressa nessa forma Entretanto podemos ex pressar quase todos os sinais de utilidade prática com a soma de exponenciais de duração infinita sobre uma fai xa contínua de freqüências Isso é precisamente o que a transformada de Laplace da Eq 42 faz 444 Utilizando a propriedade da linearidade da transformada de Laplace nós podemos determinar a resposta yt do sistema a entrada xt da Eq 444 como 445 Claramente Podemos agora representar a versão transformada do sistema como mostrado na Fig 48a A entrada Xs é a transformada de Laplace de xt e a saída Ys é a transformada de Laplace de yt resposta de estado nulo O sistema é descrito pela função de transferência Hs A saída Ys é o produto XsHs Lembrese que s é a freqüência complexa de e st Isso explica o porque do método da transformada de Laplace tam bém ser chamado de método do domínio da freqüência Observe que Xs Ys e Hs são as representações no domí nio da freqüência de xt yt e ht respectivamente Podemos imaginar as caixas marcadas com e 1 da Fig 48a como interfaces que convertem as entidades no domínio do tempo nas entidades correspondentes no domínio da freqüência e viceversa Todos os sinais da vida real começam no domínio do tempo e as respostas finais também de vem estar no domínio do tempo Inicialmente nós convertemos as entradas no domínio do tempo para suas equiva lentes no domínio da freqüência O problema é então resolvido no domínio da freqüência resultando na resposta Ys Finalmente convertemos Ys para yT A resolução do problema é relativamente mais simples no domínio da freqüência do que no domínio do tempo Deste ponto em diante iremos omitir a representação explícita das caixas de interface e 1 representando os sinais e sistemas no domínio da freqüência como mostrado na Fig 48b A CONDIÇÃO DE DOMINÂNCIA Nesta interpretação intuitiva da transformada de Laplace um problema deve ter permanecido na cabeça do lei tor Na Seção 25 solução clássica de equações diferenciais mostramos na Eq 257 que a resposta de um sis tema LIT a entrada e st é Hse st mais os termos de modos característicos Na interpretação intuitiva a resposta do sistema LIT foi determinada somandose as respostas do sistema a todas as infinitas componentes exponen ciais da entrada Estas componentes exponenciais são da forma e st começando em t Mostramos na Eq 247 que a resposta a uma entrada de duração infinita e st também é uma exponencial de duração infinita Hse st Mas esse resultado não entra em conflito com o resultado da Eq 257 Por que não existem termos de modos Figura 48 Interpretação alternativa da transformada de Laplace Lembrese de que Hs possui sua própria região de validade Logo os limites de integração para a integral da Eq 444 são modifi cados na Eq 445 para acomodar a região de existência validade de Xs e Hs Determine a resposta yt de um sistema LCIT descrito pela equação se a entrada for xt 3e 5tut e todas as condições iniciais forem zero ou seja o sistema está no estado nulo A equação do sistema é Portanto Além disso e A transformada inversa de Laplace dessa equação é 342 SINAIS E SISTEMAS LINEARES característicos na Eq 247 como predito pela Eq 257 A resposta é que os termos de modos também estão presentes A resposta do sistema a uma entrada de duração infinita e st de fato é uma exponencial de duração in finita Hse st mais termos de modos Todos esses sinais começam em t Agora se um modo e λit é tal que decai mais rápido ou cresce mais lento do que e st ou seja se Re λi Re s então após algum intervalo de tem po e st será preponderantemente mais forte do que e λit e portanto irá dominar completamente este termo de mo do Neste caso para qualquer tempo finito o qual é um longo tempo após o começo em t podemos ig norar os termos de modo e dizer que a reposta completa é Hse st Logo podemos reconciliar a Eq 247 com a Eq 257 somente se a condição de dominância for satisfeita isto é se Re λi Re s para todo i Se a condi ção de dominância não for satisfeita o termo de modo domina e st e a Eq 247 não será válida 10 Um exame cuidadoso mostra que a condição de dominância está implícita na Eq 247 Em função do avi so da Eq 247 na qual a resposta de um sistema LCIT a uma exponencial de duração infinita e st é Hse st des de que Hs exista ou convirja Podemos mostrar que esta condição leva à condição de dominância Se um sis tema possui raízes características λ1 λ2 λN então ht é constituído de exponenciais na forma e λit i 1 2 N e a convergência de Hs requer que Re s Re λi para i 1 2 N que é exatamente a condição de domi nância Claramente a condição de dominância está implícita na Eq 247 e também em toda a fábrica de trans formadas de Laplace É interessante notar que a elegante estrutura de convergência da transformada de Laplace esteja encravada em uma origem tão mundana de forma tão humilde como a Eq 257 EXEMPLO 412 Mostre que a função de transferência de a um atrasador ideal de T segundos é e sT b um diferenciador ideal é s c um integrador ideal é 1s a Atrasador ideal Para um atrasador ideal de T segundos a entrada xt e a saída yt estão relaciona das por ou Portanto 446 b Diferenciador ideal Para um diferenciador ideal a entrada xt e a saída yt estão relacionadas por A transformada de Laplace dessa expressão resulta em Ys sXs x0 0 para um sinal causal e 447 c Integrador Ideal Para um integrador ideal com estado inicial nulo ou seja y0 0 e Portanto 448 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 343 EXEMPLO 413 EXERCÍCIO E47 Para um sistema LCIT com função de transferência 344 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 432 Estabilidade A Eq 443 mostra que o denominador de Hs é Qs o qual é aparentemente idêntico ao polinômio característico Qλ definido no Capítulo 2 Isso significa que o denominador de Hs é o polinômio característico do sistema Isso pode ou não ser o caso Se Ps e Qs possuírem fatores comuns eles irão se cancelar e o denominador efetivo de Hs não será necessariamente igual a Qs Lembrese também de que a função de transferência Hs do sistema tal como ht é definida em termos de medidas nos terminais externos Conseqüentemente Hs e ht são descrições externas do sistema Por outro lado o polinômio característico Qs é uma descrição interna Claramente podemos determinar apenas a estabilidade externa ou seja a estabilidade BIBO a partir de Hs Se todos os pólos de Hs es tiverem no SPE todos os termos em hT são exponenciais decrescentes e ht é absolutamente integrável veja a Eq 264 11 Conseqüentemente o sistema é BIBO estável caso contrário o sistema é BIBO instável Até este momento assumimos que Hs é uma função própria ou seja M N Mostraremos agora que se Hs for imprópria ou seja se M N o sistema é BIBO instável Neste caso usando divisão longa obtemos Hs Rs Hs onde Rs é um polinômio de ordem M N e Hs é uma função de transferência pró pria Por exemplo 449 Como mostrado na Eq 447 o termo s é a função de transferência de um diferenciador ideal Se aplicarmos uma função degrau entrada limitada ao sistema a saída irá conter um impulso saída ilimitada Obviamente o a Descreva a equação diferencial que relaciona a entrada xt e a saída yt b Determine a resposta yt do sistema a entrada xt e 2tut se o sistema estiver inicialmente em esta do nulo RESPOSTAS LABORATÓRIO DE TESTES Mas chefe eu tenho certeza que os pólos estavam no semiplano esquerdo Tenha cuidado com pólos no SPD Valores de s nos quais Hs é são os pólos de Hs Portanto os pólos de Hs são os valores de s para os quais o denominador de Hs é zero A Fig 49a mostra uma conexão em cascata de dois sistema LCIT o sistema 1 seguido por 2 As fun ções de transferência destes sistemas são H1s 1s 1 e H2s s 1s 1 respectivamente Va mos determinar a estabilidade BIBO e assintótica do sistema composto Figura 49 Distinção entre estabilidade BIBO e assintótica Se as respostas ao impulso de 1 e 2 são h1t e h2t respectivamente então a resposta ao impulso do sis tema total é ht h1t h2t Logo Hs H1sH2s No caso apresentado O pólo de 1 em s 1 cancela com o zero em s 1 de 2 resultando em um sistema composto com um único pólo em s 1 Se o sistema composto for colocado dentro de uma caixa preta com apenas os terminas de entrada e saída disponíveis qualquer medida a partir destes terminais externos irá mostrar que a função de transferência do sistema é 1s 1 sem qualquer dica sobre o fato do sistema englobar um sis tema instável Fig 49b A resposta ao impulso do sistema é ht e tut a qual é absolutamente integrável Conseqüentemen te o sistema é BIBO estável Para determinar a estabilidade assintótica observamos que 1 possui uma raiz característica em 1 e 2 também possui uma raiz em 1 Lembrese que os dois sistemas são independentes um não carrega o ou CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 345 sistema é BIBO instável Além disso este tipo de sinal amplifica muito o ruído pois a diferenciação amplifica altas freqüências as quais geralmente são predominantes em um sinal de ruído Estas são duas boas razões pa ra evitarmos sistemas impróprios M N Em nossas discussões futuras assumiremos implicitamente que os sistemas são próprios a não ser que dito o contrário Se Ps e Qs não possuírem fatores comuns então o denominador de Hs é idêntico a Qs o polinômio característico do sistema Neste caso podemos determinar a estabilidade interna usando o critério descrito na Se ção 26 Portanto se Ps e Qs não possuírem fatores comuns o critério de estabilidade assintótica da Seção 26 pode ser reafirmado em termos dos pólos da função de transferência do sistema como mostrado a seguir 1 Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e somente se todos os pólos de sua função de transferên cia Hs estiverem no SPE Os pólos podem ser simples ou repetidos 2 Um sistema LCIT é instável se e somente se uma ou as duas condições a seguir existirem i ao menos um pólo de Hs está no SPD ii existirem pólos repetidos de Hs no eixo imaginário 3 Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente se não existirem pólos de Hs no SPD e alguns pólos não repetidos estiverem no eixo imaginário A localização dos zeros de Hs não é importante na determinação da estabilidade do sistema EXEMPLO 414 346 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 433 Sistemas Inversos Se Hs é a função de transferência de um sistema então i o sistema inverso possui uma função de trans ferência His dada por Esta equação segue do fato de que a cascata de com seu sistema inverso i é um sistema identidade com resposta impulsiva δt implicando que HsHis 1 Por exemplo um integrador ideal e sua inversa um di ferenciador integral possuem funções de transferência 1s e s respectivamente resultando em HsHis 1 44 ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS O CIRCUITO TRANSFORMADO O Exemplo 410 mostra como circuitos elétricos podem ser analisados escrevendo as equações integrodiferen ciais do sistema e então resolvendo estas equações pela transformada de Laplace Mostraremos agora que tam bém é possível analisar circuitos elétricos diretamente sem ser necessário escrever as equações integrodiferen ciais Este procedimento é consideravelmente mais simples pois ele nos permite tratar um circuito elétrico qual quer como se ele fosse um circuito resistivo Para isto precisamos representar o circuito no domínio da fre qüência no qual todas as tensões e correntes são representadas por suas transformadas de Laplace Para efeito de simplicidade iremos discutir o caso de condições iniciais nulas Se vt e it são a tensão e cor rente em um indutor de L henries então A transformada de Laplace desta equação assumindo corrente inicial zero é Similarmente para um capacitor de C farads a relação tensãocorrente é it cdvdt e sua transformada de Laplace assumindo tensão inicial no capacitor zero resulta em Is CsVs ou seja Para um resistor de R ohms a relação tensãocorrente é vt Rit e sua transformada de Laplace é tro e os modos característicos gerados em cada subsistema são independentes do outro Desta forma o mo do e t não será eliminado pela presença de 2 Logo o sistema composto terá duas raízes características lo calizadas em 1 e o sistema é assintoticamente instável apesar de ser BIBO estável A alteração das posições de 1 e 2 não fará diferença nesta conclusão Este exemplo mostra que a es tabilidade BIBO pode enganar Se um sistema for assintoticamente instável ele irá se destruir ou mais pro vavelmente chegará a uma condição de saturação em função do crescimento indefinido da resposta devido a condições iniciais desejadas ou não A estabilidade BIBO não irá salvar o sistema Sistemas de controle geralmente são compensados para realizar certas características desejadas Nunca devese tentar estabilizar um sistema instável pelo cancelamento de seus pólos no SPD através da colocação de zeros no SPD Esta tentativa irá falhar não devido a impossibilidade prática de cancelamento exato mas por uma razão mais fundamental tal como explicado neste exemplo EXERCÍCIO E48 Mostre que um integrador ideal é marginalmente estável mas BIBO instável Determine a corrente de malha it no circuito mostrado na Fig 410a se todas as condições iniciais fo rem nulas Figura 410 a Um circuito e b sua versão transformada No primeiro passo representamos o circuito no domínio da freqüência como mostrado na Fig 410b To das as tensões e correntes são representadas por suas transformadas de Laplace A tensão 10ut é represen tada por 10s e a corrente incógnita it é representada por sua transformada de Laplace Is Todos os ele mentos do circuito são representados por suas respectivas impedâncias O indutor de 1 henry é representa do por s o capacitor de 12 farad é representado por 2s e o resistor de 3 ohms é representado por 3 Consi CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 347 Portanto no domínio da freqüência as relações de tensãocorrente de um indutor e de um capacitor são algé bricas Estes elementos se comportam como resistores de resistência Ls e 1Cs respectivamente A resistên cia generalizada de um elemento é chamada de impedância sendo dada pela razão VsIs para o elemento considerando condições iniciais nulas As impedâncias de um resistor de R ohms um indutor de L henries e um capacitor de C farads são R Ls e 1Cs respectivamente Além disso as restrições de conexão leis de Kirchhoff permanecem válidas para tensões e correntes no do mínio da freqüência Para demonstrar este ponto seja vjt j 1 2 k a tensão em k elementos em uma ma lha e seja ijt j 1 2 k as j correntes entrando em um nó Então Agora se então 450 Este resultado mostra que se representarmos todas as tensões e correntes em um circuito elétrico por suas trans formadas de Laplace podemos tratar o circuito como se ele fosse constituído pelas resistências R Ls e 1Cs cor respondendo ao resistor R ao indutor L e ao capacitor C respectivamente As equações do sistema malha ou nó são agora algébricas Além disso técnicas de simplificação que foram desenvolvidas para circuitos resistivos impedância equivalente série ou paralelo regras de divisão de tensão ou corrente teoremas de Thévenin e Norton podem ser aplicadas a circuitos elétricos gerais Os exemplos a seguir mostrarão estes conceitos EXEMPLO 415 348 SINAIS E SISTEMAS LINEARES GERADORES DE CONDIÇÃO INICIAL A discussão na qual consideramos condições iniciais nulas pode ser facilmente estendida para o caso de condi ções iniciais não nulas pois a condição inicial em um capacitor ou indutor pode ser representada por uma fonte equivalente Mostraremos agora que um capacitor C com tensão inicial v0 Fig 411a pode ser representa do no domínio da freqüência como um capacitor descarregado de impedância 1Cs em série com uma fonte de tensão de valor v0 s Fig 411c ou pelo mesmo capacitor descarregado em paralelo com uma fonte de cor rente de valor Cv0 Similarmente um indutor L com corrente inicial i0 Fig 411d pode ser representado no domínio da freqüência por um indutor de impedância Ls em série com uma fonte de tensão de valor Li0 deramos agora a representação no domínio da freqüência das tensões e correntes A tensão em qualquer elemento é Is multiplicado por sua impedância Portanto a queda de tensão total na malha é Is vezes a impedância total da malha e deve ser igual a Vs a transformada da tensão de entrada A impedância to tal da malha é A tensão de entrada é Vs 10s Portanto a corrente de malha é A transformada inversa dessa equação leva ao resultado desejado Figura 411 Geradores de condições iniciais para um capacitor e um indutor CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 349 Fig 411e ou pelo mesmo indutor em paralelo com uma fonte de corrente de valor i0 s Fig 411f Para provar esses comentários considere a relação terminal do capacitor da Fig 411a A transformada de Laplace desta equação resulta em Essa equação pode ser reorganizada para 451a Observe que Vs é a tensão no domínio da freqüência em um capacitor carregado e IsCs é a tensão no mesmo capacitor sem qualquer carga Portanto o capacitor carregado pode ser representado por um capacitor descarregado em série com uma fonte de tensão de valor v0 s como mostrado na Fig 411b A Eq 415a também pode ser reorganizada para 451b Essa equação mostra que a tensão Vs de um capacitor carregado é igual a tensão do capacitor descarregado causada pela corrente Is Cv0 Esse resultado é refletido precisamente na Fig 411c na qual a corrente através do capacitor descarregado é Is Cv0 Para o indutor da Fig 411d a equação de terminal é e 452a 452b Podemos verificar que a Fig 411e satisfaz a Eq 452 e que a Fig 411f satisfaz a Eq 452b Vamos refazer o Exemplo 411 usando estes conceitos A Fig 412a mostra o circuito da Fig 47b com con dições iniciais y0 2 e vc0 10 A Fig 412b mostra a representação no domínio da freqüência circui to transformado do circuito da Fig 412a O resistor é representado pela sua impedância 2 o indutor com cor rente inicial de 2 amperes é representado de acordo com o arranjo da Fig 411e em série com uma fonte de ten são Ly0 2 O capacitor com tensão inicial de 10 volts é representado de acordo com o arranjo da Fig 411b com uma fonte de tensão em série de v0 s 10s Note que a impedância do indutor é s e a do capacitor é 5s A entrada de 10ut é representada por sua transformada de Laplace igual a 10s A tensão total na malha é 10s 2 10s 2 e a impedância de malha é s 2 5s Portanto a qual confirma nosso resultado anterior no Exemplo 411 No domínio do tempo um capacitor C carregado com uma tensão inicial v0 pode ser representado pelo mesmo capacitor descarre gado em série com uma fonte de tensão v0 ut ou em paralelo com uma fonte de corrente Cv0 δt Similarmente um indutor L com corrente inicial i0 pode ser representado pelo mesmo indutor com corrente inicial nula em série com uma fonte de tensão Li0 δt ou em paralelo com uma fonte de corrente i0 ut A chave no circuito da Fig 413a é mantida na posição fechada por um longo período antes de t 0 quan do ela é então aberta instantaneamente Determine as correntes y1t e y2t para t 0 Figura 413 Usando geradores de condição inicial e a representação equivalente de Thévenin A inspeção deste circuito mostra que quando a chave é fechada e as condições de regime estacionário são atingidas a tensão do capacitor é vc 16 volts e a corrente do indutor é y2 4 amperes Portanto quan do a chave é aberta em t 0 as condições iniciais são vc0 16 e y20 4 A Fig 413b mostra a versão transformada do circuito da Fig 413a Utilizamos fontes equivalentes para poder considerar as condições iniciais A tensão inicial do capacitor de 16 volts é representada por uma fonte de tensão em sé rie de 16s e a corrente inicial do indutor de 4 amperes é representada por uma fonte de tensão de valor Ly20 2 350 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 416 Figura 412 Um circuito e sua versão transformada com geradores de condição inicial CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 351 A partir da Fig 413b as equações de malha podem ser escritas diretamente no domínio da freqüência como A aplicação da regra de Cramer a esta equação resulta em e Similarmente obtemos e Também podemos usar o teorema de Thévenin para calcular Y1s e Y2s substituindo o circuito da direi ta do capacitor a direita dos terminais ab por seu equivalente de Thévenin como mostrado na Fig 413c A Fig 413b mostra que a impedância de Thévenin Zs e a tensão de Thévenin Vs são De acordo com a Fig 413c a corrente Y1s é dada por a qual confirma o resultado anterior Podemos determinar Y2s de maneira similar A chave no circuito da Fig 414a está na posição a por um longo período antes de t 0 quando ela é movida instantaneamente para a posição b Determine a corrente y1t e a tensão de saída v0t para t 0 Figura 414 Solução de um circuito com acoplamento indutivo pelo método de circuito transformado Exatamente antes do chaveamento os valores das correntes de malha são 2 e 1 respectivamente ou seja y10 2 e y20 1 Os circuitos equivalentes para os dois tipos de acoplamento indutivo são mostrados na Fig 414b e 414c Para nossa situação o circuito da Fig 414c é adequado A Fig 414d mostra a versão transformada do cir 352 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 417 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 353 cuito da Fig 414a após o chaveamento Note que os indutores L1 M L2 M e M são 3 4 e 1 henries com impedâncias 3s 4s e s respectivamente As tensões iniciais nos três ramos são L1 My10 6 L2 My20 4 e My10 y20 1 respectivamente As duas equações de malha para o cir cuito são 453 ou e Portanto Similarmente e A tensão de saída é As equações no domínio do tempo equações de malha são A transformada de Laplace dessas equações resulta na Eq 453 354 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 441 Análise de Circuitos Ativos Apesar de termos considerado exemplos contendo apenas circuitos passivos o procedimento de análise de cir cuito usando a transformada de Laplace também pode ser aplicado a circuitos ativos Tudo o que precisamos é substituir os elementos ativos por seus modelos matemáticos ou circuito equivalentes e proceder como antes O amplificador operacional mostrado através do símbolo triangular da Fig 416a é um elemento já conhe cido em circuitos eletrônicos modernos Os terminais com os sinais de mais e menos correspondentes aos ter EXERCÍCIO E49 Para o circuito RLC da Fig 415 a entrada é ligada através da chave em t 0 As condições iniciais são y0 2 amperes e vc0 50 volts Determine a corrente de malha yt e a tensão do capacitor vct para t 0 Figura 415 RESPOSTA Figura 416 Amplificador operacional e seu circuito equivalente CapiTULO 4 ANALISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTINUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 355 minais naoinversor e inversor respectivamente Isto significa que a polaridade da tenso de saida v a mesma da tensAo de entrada no terminal marcado pelo sinal positivo naéoinversor O oposto é valido para o terminal inversor marcado pelo sinal negativo A Fig 416b mostra 0 modelo circuito equivalente do amplificador operacional ampop da Fig 416a Um ampop tipico possui um ganho muito grande A tensiio de saida é v A v onde A vale tipicamente 10 a 10 A impedancia de entrada é muito alta da ordem de 10Q e a impedancia de saida é muito baixa 501002 Para a maioria das aplicagdes podemos assumir que 0 ganho A e a impedancia de entrada so infi nitos e a impedancia de saida é zero Por esta raz4o vemos uma fonte de tensAo ideal na saida Considere agora o amplificador operacional com resistores R e R conectados como mostrado na Fig 416c Esta configuracgao é chamada de amplificador ndo inversor Observe que as polaridades de entrada nesta configu ragao sao invertidas em comparacao com as da Fig 416a Mostraremos que a tensao de saida v e a tensao de en trada v neste caso estao relacionadas por K Kk 14 Kv lt R 454 Inicialmente reconhecemos que como a impedancia de entrada e o ganho do amplificador operacional se aproximam do infinito a corrente de entrada i e a tensdo de entrada v na Fig 416c sao infinitesimais e podem ser consideradas nulas A fonte dependente neste caso é AV ao contrario de Av devido a inversdo da polari dade de entrada A fonte de tenséo dependente Av veja a Fig 416b na saida ira gerar a corrente i como ilus trado na Fig 416c Agora WN R Radio além disso Vy Vy Ral Ri Portanto v Ry R R 2 TT Ne yy LK UI Ra Ra ou Wt Ku 0 O circuito equivalente do amplificador nao inversor é mostrado na Fig 416d O circuito da Fig 417a é chamado de circuito Sallenkey o qual é freqiientemente utilizado no projeto de filtros Determine a fungao de transferéncia Hs relacionando a tensao de saida vt com a tensao de entra da ut 356 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 417 a Circuito de SallenKey e b seu equivalente Precisamos determinar assumindo todas as condições iniciais iguais a zero A Fig 417b mostra a versão transformada do circuito da Fig 417a O amplificador não inversor é substi tuído por seu circuito equivalente Todas as tensões são substituídas por suas transformadas de Laplace e to dos os elementos do circuito são mostrados por suas impedâncias Todas as condições iniciais são conside radas iguais a zero como necessário para a determinação de Hs Utilizaremos a análise nodal para determinar o resultado Existem duas tensões de nó desconhecidas Vas e Vbs sendo necessárias duas equações de nó No nó a IR1s a corrente em R1 saindo no nó a é Vas VisR1 Similarmente IR2s a corrente em R2 saindo no nó a é Vas VisR2 e IC1s a corrente no capacitor C1 saindo no nó a é Vas V0sC1s Vas KvbsC1s A soma das três correntes é zero portanto CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 357 ou 455a Similarmente a equação nodal do nó b resulta em ou 455b As duas equações de nó 455a e 455b com duas tensões de nó desconhecidas Vas e Vbs podem ser colocadas na forma matricial por 456 na qual A aplicação da regra de Cramer à Eq 456 resulta em onde 457a 457b Agora logo 458 45 DIAGRAMAS DE BLOCOS Grandes sistemas podem possuir um enorme número de componentes e elementos Desta forma quem que já viu um diagrama de um receptor de rádio ou televisão sabe que analisar tais sistemas de uma única vez é prati camente impossível Nestes casos é mais conveniente representar um sistema através de diversos subsistemas adequadamente conectados cada um podendo ser facilmente analisado Cada subsistema pode ser caracteriza 358 SINAIS E SISTEMAS LINEARES do em termos de sua relação entradasaída Um sistema linear pode ser caracterizado por sua função de transfe rência Hs A Fig 418 mostra um diagrama de blocos de um sistema com função de transferência Hs e entra da e saída Xs e Ys respectivamente Os subsistemas podem ser conectados em cascata série paralelo ou em realimentação Fig 418b 418c e 418d os três tipos elementares Quando funções de transferência aparecem em cascata como mostrado na Fig 418b então como mencionado anteriormente a função de transferência do sistema total é o produto das duas funções de transferência Este resultado também pode ser provado observando que na Fig 418b Podemos estender este resultado a qualquer número de funções de transferência em série Como conclusão di reta a ordem de subsistemas em série pode ser alterada sem que a função de transferência final seja afetada Esta propriedade comutativa de sistemas LIT vem diretamente da propriedade comutativa e associativa da convolu ção Já provamos esta propriedade na Seção 243 Toda ordem possível dos subsistemas resulta sempre na mesma função de transferência total Entretanto podem haver conseqüências práticas tais como sensibilidade a variação paramétrica que afetam o comportamento em diferentes ordens Similarmente quando duas funções de transferência H1s e H2s aparecem em paralelo como ilustrado na Fig 418c a função de transferência total é dada por H1s H2s a soma das duas funções de transferência A prova é trivial Este resultado pode ser estendido a qualquer número de sistemas em paralelo Quando a saída é realimentada para a entrada como mostrado na Fig 418d a função de transferência total YsXs pode ser calculada como mostrada a seguir As entradas do somador são Xs e HsYs Portanto Es a saída do somador é Figura 418 Conexões elementares de blocos e seus equivalentes CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 359 Mas Portanto tal que 459 Portanto a malha de realimentação pode ser substituída por um único bloco com função de transferência da da pela Eq 459 veja a Fig 418d Na determinação destas equações implicitamente assumimos que quando a saída de um subsistema é conec tada a entrada de outro subsistema o último não carrega o primeiro Por exemplo a função de transferência H1s da Fig 418b é calculada considerando que o segundo subsistema H2s não estava conectado Isto é o mes mo que assumir que H2s não carrega H1s Em outras palavras a relação de entradasaída de H1s permane cerá inalterada independentemente se H2s está conectado ou não Vários circuitos modernos utilizam ampops com altas impedâncias de entrada de tal forma que esta consideração é justificada Quando esta consideração não é válida H1s deve ser determinada sob condições normais de operação isto é com H2s conectada EXEMPLO DE COMPUTADOR C43 Usando o sistema de realimentação da Fig 418d com Gs Kss 8 e Hs 1 determine a função de transferência para cada um dos seguintes casos Portanto has 7s 2 8s 7 360 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 46 REALIZAÇÃO DE SISTEMAS Desenvolveremos um método sistemático para a realização ou implementação de uma função de transferência arbitrária de ordem N A função de transferência mais genérica com M N é dada por 460 Como a realização é basicamente um problema de síntese não há uma forma única de realizar um sistema Uma dada função de transferência pode ser realizada por diferentes maneiras Uma função de transferência Hs po de ser implementada usando integradores ou diferenciadores juntamente com somadores e multiplicadores De vese evitar o uso de diferenciadores por motivos práticos como discutido nas Seções 21 e 432 Logo em nos sas implementações iremos utilizar integradores em conjunto com multiplicadores escalares e somadores Vo cê já deve estar familiarizado com a representação por uma caixa com o sinal de integral representação no do mínio do tempo Fig 419a ou por uma caixa com a função de transferência 1s representação no domínio da freqüência Fig 49b 461 Realização na Forma Direta I Em vez de implementarmos o sistema genérico de ordem N descrito pela Eq 460 iremos começar com um caso específico de um sistema de terceira ordem especificado a seguir e então iremos estender o resultado pa ra o caso de um sistema de ordem N 461 Portanto hbs 16s 2 8s 16 Portanto hcs 80s 2 8s 80 Figura 419 Representações de um integrador a no domínio do tempo e b no domínio da freqüência CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 361 Podemos expressar Hs como 462 Podemos realizar Hs como a cascata da função de transferência H1s seguida por H2s como mostrado na Fig 420a na qual a saída de H1s é representada por Ws Devido à propriedade comutativa de funções de transferência de sistemas LIT em cascata nós também podemos implementar Hs como uma cascata de H2s seguido por H1s como ilustrado na Fig 420b na qual a saída intermediária de H2s é representada por Vs A saída H1s na Fig 420 é dada por Ws H1sXs logo 463 Além disso a saída Ys e a entrada Ws de H2s estão relacionadas por YS H2sWs Portanto 464 Implementaremos primeiro H1s A Eq 463 mostra que a saída Ws pode ser sintetizada adicionando a entrada b0Xs a b1Xss b2Xss 2 e b3Xss 3 Como a função de transferência de um integrador é 1s os sinais Xss Xss 2 e Xss 3 podem ser obtidos através da integração sucessiva da entrada xt A seção esquer da da Fig 421a mostra como Ws pode ser sintetizado a partir de Xs de acordo com a Eq 463 Logo esta seção representa a realização de H1s Para completar a figura iremos realizar H2s a qual é especificada pela Eq 464 Podemos reorganizar a Eq 464 para 465 Logo para obter Ys subtraímos a1Yss a2Yss 2 e a3Yss 3 de Ws Já obtemos Ws no primeiro passo saída de H1s Para obter os sinais Yss Yss 2 e Yss 3 consideramos que já temos a saída Ys desejada A integração sucessiva de Ys resulta nos sinais necessários Yss Yss 2 e Yss 3 Desta forma sintetizamos a saída final Ys de acordo com a Eq 465 como visto na seção do lado direito da Fig 421a A seção do lado esquerdo da Fig 421a representa H1s e a seção do lado direito é H2s Podemos generalizar este procedimen to chamado de realização na forma direta I FDI para qualquer valor de N Este procedimento necessita de 2N integradores para implementar uma função de transferência de ordem N como mostrado na Fig 421b 462 Realização na Forma Direta II Na forma direta I realizamos Hs através da implementação de H1s seguido por H2s como mostrado na Fig 420a Também podemos realizar Hs como mostrado na Fig 420b na qual H2s é seguido por H1s Este pro cedimento é chamado de realização na forma direta II A Fig 422a mostra a realização na forma direta II na Figura 420 Realização de uma função de transferência em dois passos Pode parecer estranho termos assumido inicialmente a existência de Ys para depois integrála sucessivamente e então geramos Ys a partir de Ws e das três integrais sucessivas de Ys Este procedimento apresenta um dilema similar a o que veio primeiro o ovo ou a galinha O problema aqui é satisfatoriamente resolvido escrevendo a expressão de Ys na saída do somador superior do lado di reito da Fig 421a e verificando que esta expressão realmente é a mesma da Eq 464 362 SINAIS E SISTEMAS LINEARES qual trocamos de posição as seções que representam H1s e H2s na Fig 421b A saída de H2s neste caso é representada por Vs Uma observação interessante na Fig 422a é que o sinal de entrada às duas cadeias de integradores é Vs Claramente as saídas dos integradores da cadeia do lado esquerdo são idênticas às saídas correspondentes da cadeia de integradores do lado direito ou seja a cadeia do lado direito é redundante Podemos eliminar esta ca deia e obter os sinais necessários a partir da cadeia do lado esquerdo tal como mostrado na Fig 422b Esta im plementação reduz pela metade a quantidade de integradores sendo necessários apenas N integradores e por tanto é uma utilização de hardware mais eficiente do que a Fig 421b ou 422a Esta é a realização na forma di reta II FDII Figura 421 Realização na forma direta I de um sistema LCIT a terceira ordem e b ordem N O leitor pode mostrar que as equações relacionando Xs VS e Ys na Fig 422a são e Figura 422 Realização na forma direta II de um sistema LCIT de ordem N CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 363 Uma equação diferencial de ordem N com N M possui a propriedade de que sua implementação requer no mínimo N integradores Uma realização é canônica se o número de integradores utilizados na implementação for igual a ordem da função de transferência realizada Portanto a realização canônica não possui integradores redundantes A FDII da Fig 422b é uma realização canônica por isto ela também é chamada de forma direta canônica Observe que a FDI não é canônica A realização na forma direta I Fig 421b implementa primeiro os zeros seção do lado esquerdo represen tada por H1s seguido pela implementação dos pólos seção do lado direito representada por H2s Por outro lado a forma direta canônica implementa primeiro os pólos seguido pelos zeros Apesar das duas representações resultarem na mesma função de transferência elas geralmente se comportam diferente do ponto de vista de sen sibilidade a variações paramétricas Determine a realização na forma direta canônica para as seguintes funções de transferência Todas essas quatro funções de transferência são casos especiais de Hs na Eq 460 a A função de transferência 5s 7 é de primeira ordem N 1 Portanto precisamos apenas de um integrador para sua realização Os coeficientes de alimentação direta e realimentação são A realização é mostrada na Fig 423a Como N 1 existe uma única conexão de realimentação da saída do integrador para a entrada do somador com coeficiente a1 7 Para N 1 geralmente existem N 1 2 conexões de realimentação Entretanto neste caso b0 0 e existe apenas uma conexão de realimentação com coeficiente b1 5 da saída do integrador para a entrada do somador Como só existe um sinal de entrada para a saída do somador podemos retirar o somador como mostrado na Fig 423a b Nesta função de transferência de primeira ordem b1 0 A realização é mostrada na Fig 423b Como existe apenas um sinal a ser adicionado à saída do somador podemos descartar o somador c EXEMPLO 419 Quando M N como neste caso Hs também pode ser realizado de outra forma observando que Podemos agora implementar Hs como a combinação paralela de duas funções de transferência como indicado por esta equação 364 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A realização é mostrada na Fig 423c Neste caso Hs é uma função de transferência de primeira ordem com a1 7 e b0 1 b1 5 Existe uma única conexão de realimentação com coeficiente 7 da saída do inte grador para a entrada do somador Existem duas conexões de alimentação direta Fig 423c d Este é um sistema de segunda ordem com b0 0 b1 4 b2 28 a1 6 e a2 5 A Fig 423d mostra a realização com duas conexões de realimentação e duas conexões de alimentação direta Figura 423 Realização de Hs EXERCÍCIO E410 Apresenta a realização na forma direta canônica de 463 Realizações em Cascata e Paralelo Uma função de transferência Hs de ordem N pode ser expressa como o produto ou soma de N funções de trans ferência de primeira ordem Dessa forma podemos realizar Hs como a forma em cascata série ou paralelo destas N funções de transferência de primeira ordem Considere por exemplo a função de transferência da par te d do Exemplo 419 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 365 Podemos expressar Hs por 466a Também podemos expressar Hs como a soma de frações parciais dadas por 466b As Eqs 466 nos possibilitam realizar Hs como a cascata de H1s e H2s como mostrado na Fig 424a ou como o paralelo de H3s e H4s como indicado na Fig 424b Cada uma das funções de primeira ordem da Fig 424 pode ser implementada usando realizações na forma direta canônica discutida anteriormente Esta discussão de forma alguma exaure todas as possibilidades Considerando apenas a forma em cascata existem diferentes maneiras de agrupar os fatores no numerador e denominador de Hs e cada agrupamento po de ser realizado na FDI ou na forma direta canônica De fato várias formas em cascata são possíveis Na Seção 464 discutiremos outra forma que essencialmente dobra o número de realizações discutidas até este momento A partir de um ponto de vista prático formas paralela e em cascata são preferíveis pois formas paralelas e al gumas em cascata são numericamente menos sensíveis do que a forma direta canônica a pequenas variações pa ramétricas do sistema Qualitativamente esta diferença pode ser explicada pelo fato de que em uma realização canônica todos os coeficientes interagem uns com os outros e uma mudança em qualquer coeficiente será am plificada através da influência repetida das conexões de realimentação e alimentação direta Em uma implemen tação em paralelo por outro lado a mudança em um coeficiente irá afetar apenas um segmento localizado O caso de realização em série é similar Nos exemplos de realização em cascata e paralelo separamos Hs em fatores de primeira ordem Para Hs de mais alta ordem podemos agrupar Hs em fatores nem todos necessariamente de primeira ordem Por exemplo se Hs é uma função de transferência de terceira ordem podemos implementar esta função como a combinação em série ou paralela de um fator de primeira ordem com um de segunda ordem REALIZAÇÃO DE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS Os pólos complexos em Hs devem ser realizados como fatores de segunda ordem quadráticos porque nós não podemos implementar a multiplicação para números complexos Considere por exemplo Não podemos implementar funções de transferência de primeira ordem individualmente com pólos 2 j3 porque eles requerem a multiplicação por números complexos nas vias de realimentação e alimentação direta Figura 424 Realização de 4s 28s 1s 5 a forma em cascata e b forma em paralelo Determine a realização paralela de Figura 425 Realização paralela de 7s 2 37s 51s 2s 3 2 Esta função de transferência de terceira ordem não deve precisar mais do que três integradores Mas se tentarmos realizar cada uma das três frações parciais separadamente precisaremos de quatro integradores devido ao termos de segunda ordem Esta dificuldade pode ser evitada se observarmos que os termos 1s 3 e 1s 3 2 podem ser implementados como a cascata de dois subsistemas cada um com uma função de transferência igual a 1s 3 como mostrado na Fig 425 Cada uma das três funções de transferência de primeira ordem da Fig 425 pode ser agora realizada como na Fig 423 366 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Portanto precisamos combinar os pólos conjugados e implementálos como uma função de transferência de se gunda ordem No caso apresentado podemos expressar Hs por 467a 467b Agora podemos implementar Hs na forma em cascata usando a Eq 467a ou na forma em paralelo usan do a Eq 467b REALIZAÇÃO DE PÓLOS REPETIDOS Quando pólos repetidos aparecem o procedimento para realizações canônica e em cascata é exatamente o mes mo Na realização em paralelo entretanto o procedimento precisa de um tratamento especial como explicado no Exemplo 420 É possível realizar pólos complexos conjugados indiretamente usando a cascata de duas funções de transferência de primeira ordem e realimentação Uma função de transferência com pólos a jb pode ser implementada usando a cascata de duas funções de transfe rência de primeira ordem idênticas cada uma tendo um pólo em a Veja o Prob 4613 EXEMPLO 420 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 367 464 Realização Transposta Duas realizações são ditas equivalentes se elas tiverem a mesma função de transferência Uma maneira simples de gerar uma realização equivalente de uma dada realização é utilizar sua transposta Para gerar a transposta de qualquer realização alteramos a realização da seguinte forma 1 Inverta todas as direções das setas sem alterar os valores dos multiplicadores escalares 2 Substitua os nós de derivação separação por somadores e viceversa 3 Substitua a entrada Xs pela saída Ys e viceversa A Fig 426a mostra a versão transposta da realização na forma direta canônica da Fig 422b obtida de acordo com as regras listadas A Fig 426b é a Fig 426a reorientada na forma convencional de tal forma que a entrada Xs aparece no lado esquerdo e a saída Ys aparece no lado direito Observe que esta realização também é canônica Em vez de provar o teorema de equivalência de realizações transpostas iremos verificar que a função de transferência da realização da Fig 426b é idêntica à da Eq 460 A Fig 426b mostra que Ys está sendo alimentada através de N vias O sinal de realimentação que aparece na entrada do somador superior é O sinal Xs que alimenta o somador superior através de N 1 vias de alimentação direta contribui com EXERCÍCIO E411 Determine a realização canônica em cascata e em paralelo de Figura 426 Realização de uma função de transferência LIT de ordem N na forma transposta Determine a transposta da realização direta canônica determinada nas partes a e d do Exemplo 419 Fig 423c e 423d As funções de transferência são As duas realizações são casos especiais da realização mostrada na Fig 426b a Neste caso N 1 com a1 7 b0 1 e b1 5 A realização desejada pode ser obtida transpondo a Fig 423c Entretanto já obtemos o modelo geral da realização transposta na Fig 426b A solução deseja da é um caso especial da Fig 426b com N 1 e a1 7 b0 1 e b1 5 como mostrado na Fig 427a b Neste caso N 2 com b0 0 b1 4 b2 28 a1 6 e a2 5 Usando o modelo da Fig 426b ob temos a realização desejada como mostrado na Fig 427b Figura 427 Realização na forma transposta de a s 5s 7 e b 4s 28s 2 6s 5 368 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A saída Ys é igual a soma desses dois sinais alimentação direta e realimentação Logo Transportando todos os termos de Ys para o lado esquerdo e multiplicando por s N obtemos Conseqüentemente Logo a função de transferência Hs é idêntica à Eq 460 Essencialmente dobramos o número de possíveis realizações Cada realização determinada anteriormente possui uma transposta Observe que a transposta de uma transposta resulta na mesma realização EXEMPLO 421 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 369 465 Utilização de Amplificadores Operacionais para a Realização de Sistemas Nesta seção discutiremos a implementação prática das realizações descritas na Seção 464 Anteriormente vi mos que os elementos básicos necessários para a síntese de um sistema LCIT ou de uma dada função de trans ferência são multiplicadores escalares integradores e somadores Todos estes elementos podem ser imple mentados utilizando circuitos com amplificadores operacionais ampops CIRCUITOS COM AMPLIFICADORES OPERACIONAIS A Fig 428 mostra um circuito com ampop no domínio da freqüência circuito transformado Como a impe dância de entrada do ampop é infinita muito alta toda a corrente Is flui na malha de realimentação como ilustrado Além disso Vxs a tensão na entrada do ampop é zero muito pequena devido ao ganho infinito muito alto do ampop Portanto para todos os propósitos práticos Além disso como Vxs 0 A substituição da segunda equação na primeira leva a Portanto o circuito com ampop da Fig 428 possui a função de transferência 468 Através da escolha adequada de Zs e Zfs podemos obter uma grande variedade de funções de transferên cia tal como o desenvolvimento a seguir mostrará EXERCÍCIO E412 Determine a realização que é a versão transposta da a realização FDI e b realização direta canônica de Hs do Exercício E410 Figura 428 Configuração inversora básica com ampop 370 SINAIS E SISTEMAS LINEARES MULTIPLICADOR ESCALAR Se utilizarmos um resistor Rf na malha de realimentação e um resistor R na entrada Fig 429a então Zfs Rf e 469a O sistema funciona como um multiplicador escalar ou amplificador com ganho negativo RfR Um ganho positivo pode ser obtido usando dois multiplicadores em série ou usando um único amplificador não inversor como mostrado na Fig 416c A Fig 429a também mostra o símbolo compacto utilizado em diagramas de cir cuito para um multiplicador escalar INTEGRADOR Se utilizarmos um capacitor C na malha de realimentação e um resistor R na entrada Fig 429b então Zfs 1Cs Zs R ep 469b O sistema funciona como um integrador ideal com ganho 1RC A Fig 429b também mostra o símbolo compacto utilizado em diagramas de circuitos para um integrador SOMADOR Considere agora o circuito da Fig 430a com r entradas X1s X2s Xrs Como sempre a tensão de entrada Vxs 0 pois o ganho do ampop Além disso a corrente entrando no ampop é muito pequena 0 pois Figura 429 a Amplificador inversor com ampop b Integrador Utilize circuitos com ampop para realizar a forma direta canônica da seguinte função de transferência A realização canônica básica é mostrada na Fig 431a A mesma realização com reorientação horizontal é mostrada na Fig 431b Os sinais nos vários pontos são indicados na realização Por conveniência identi ficamos a saída do último integrador por Ws Conseqüentemente os sinais nas entradas dos dois integra dores são sWs e s 2Ws como mostrado na Fig 431a e 431b Os elementos com ampop multiplicador integrador e somador alteram a polaridade dos sinais de saída Para incorporar este fato modificamos a rea lização canônica da Fig 431b para a mostrada na Fig 431c Na Fig 431b as saídas sucessivas do soma dor e dos integradores são s 2Ws sWs e Ws respectivamente Devido às inversões de polaridade nos cir cuitos com ampop estas saídas são s 2Ws sWs e Ws respectivamente na Fig 431c Esta inversão CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 371 a impedância de entrada Portanto a corrente total no resistor de realimentação Rf é I1s I2s Irs Desta forma como Vxs 0p Além disso 470 na qual Claramente o circuito da Fig 430 funciona como um somador e um amplificador com qualquer ganho de sejado para cada um dos sinais de entrada A Fig 430b mostra o símbolo compacto utilizado em diagramas de circuitos para um somador com r entradas Figura 430 Circuito somador e amplificador com ampop EXEMPLO 422 372 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 431 Implementação da função de transferência de segunda ordem 2s 5s 2 4s 10 com ampops CapiTuLO 4 ANALISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTINUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 373 de polaridade requer modificag6es correspondentes nos sinais dos ganhos das malhas de realimentagéo e di reta De acordo com a Fig 431b sWs Xs 4sWs 10Ws Portanto sWs Xs 4sWs 10Ws Como os ganhos do somador so sempre negativos veja Fig 430b reescrevemos a equac4o anterior para sWs 1Xs 4sWs 10Ws A Fig 431 mostra a implementagao desta equacao A realizagaéo em hardware aparece na Fig 431d Os dois integradores possuem ganho unitario 0 que requer RC 1 Utilizamos R 100 kQe C 10 UF O ganho de 10 na malha de realimentac4o mais externa é obtida no somador escolhendo um resistor de realimenta4o para o somador igual a 100 kQ e um resistor de entrada de 10 kQ2 Similarmente o ganho de 4 na malha de realimentagdo mais interna é obtido usando um resistor de entrada correspondente de 25 kQ Os ganho de 2 e 5 necessarios nas malhas de realimentagao sao obtidos usando um resistor de rea limentagiio de 100 kQ e resistores de entrada de 50 kQ e 20 kQ respectivamente A implementagao com ampop da Fig 431 nao é necessariamente a que utiliza a menor quantidade de amp ops Este exemplo é dado apenas para ilustrar o procedimento sistematico de implementagfo de uma funcao de transferéncia arbitraria com circuitos com ampop Existem circuitos mais eficientes tais como Sallenkey ou Biquad que utilizam menos ampops para implementar fung6es de transferéncia de segunda ordem EXERCICIO E413 Mostre que as fungées de transferéncia dos circuitos com ampop da Fig 431a e 432b sao Hs e Hs respec tivamente dadas por R f a 1 As4 a R sta Ry C f C sb 1 1 Hys nn Cr SaP RCr RC Cy Ry R R Ry Cr C Xs Ys Xs Ys a b Figura 432 E possivel evitar os dois ampops inversores com ganho 1 na Fig 431d somando o sinal sWs aos somadores de entrada e safda diretamente usando a configuragao de amplificador nao inversor da Fig 416d 374 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 47 APLICAÇÃO EM REALIMENTAÇÃO E CONTROLE Geralmente os sistemas são projetados para produzir uma saída yt desejada para uma dada entrada xt Usan do um dado critério de performance podemos projetar um sistema tal como mostrado na Fig 433a Idealmen te este tipo de sistema em malha aberta deveria resultar na saída desejada Na prática entretanto as caracterís ticas do sistema mudam com o tempo em função do próprio tempo de uso do sistema ou da substituição de al guns componentes ou então de mudanças no ambiente no qual o sistema está operando Estas variações causam mudanças na saída para a mesma entrada Obviamente isto não é desejável em sistemas de precisão Uma possível solução para este problema é adicionar uma componente de sinal à entrada que não é uma função predeterminada do tempo mas que irá ser alterada para contrabalançar aos efeitos da variação das ca racterísticas do sistema e do ambiente Ou seja devemos fornecer uma correção na entrada do sistema para considerar as mudanças indesejadas mencionadas Como estas mudanças são geralmente imprevisíveis não é evidente como podemos préprogramar as correções apropriadas na entrada Entretanto a diferença entre a saí da atual e a saída desejada nos fornece uma indicação de uma correção adequada que deve ser aplicada à en trada do sistema Desta forma pode ser possível contrabalançar as variações através da alimentação da saída ou de alguma função da saída de volta à entrada Inconscientemente aplicamos este princípio no dia a dia Considere por exemplo a venda de um certo pro duto O preço ótimo deste produto é o valor que maximiza o lucro de um comerciante A saída neste caso é o lucro e a entrada é o preço do item A saída lucro pode ser controlada dentro de certos limites variando a entrada preço O comerciante pode colocar um preço muito alto no produto inicialmente Neste caso ele irá vender poucos itens reduzindo o lucro Usando a realimentação do lucro saída ele ajusta o preço en trada para maximizar seu lucro Se houver uma mudança repentina no mercado tal como uma greve fechan do uma grande fábrica na cidade a demanda pelo item irá reduzir reduzindo portanto sua saída lucro Ele ajusta a entrada reduzindo o preço usando a realimentação da saída lucro de forma que ele irá otimizar seu lucro na circunstância alterada Se a cidade repentinamente se tornar mais próspera devido a uma nova fábri ca ele irá aumentar o preço para maximizar o lucro Portanto através da realimentação contínua da saída pa ra a entrada ele consegue atingir seu objetivo de lucro máximo saída otimizada em qualquer circunstância Podemos observar milhares de exemplos de sistemas realimentados ao nosso redor no dia a dia A maior par te dos processos sociais econômicos educacionais e políticos são na realidade processos realimentados Um diagrama de blocos deste tipo de sistema chamado de sistema realimentado ou de malha fechada é mos trado na Fig 433b Um sistema realimentado pode ser utilizado em problemas que aparecem em função de distúrbios indeseja dos tais como sinais aleatórios de ruído em sistemas eletrônicos uma rajada de vento afetando uma antena de rastreamento um meteorito atingindo uma espaçonave e o movimento de rotação de uma plataforma de artilha ria antiaérea montada em um navio ou em tanques móveis A realimentação também pode ser utilizada para re duzir não linearidades em um sistema ou para controlar seu tempo de subida ou largura de faixa A realimen tação é utilizada para alcançar dado um certo sistema um objetivo desejado dentro de uma certa tolerância da da apesar do não conhecimento parcial do sistema e do ambiente Um sistema realimentado portanto possui a habilidade de supervisão e autocorreção em função de alterações nos parâmetros do sistema e distúrbios exter nos mudanças no ambiente Figura 433 Sistemas em a malha aberta e b malha fechada realimentado CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 375 Considere o amplificador realimentado da Fig 434 Seja o ganho direto do amplificador G 10000 Um centésimo da saída é realimentada para a entrada H 001 O ganho T do amplificador realimentado é obtido por veja a Eq 459 Suponha que devido ao tempo de uso ou substituição de algum transistor o ganho direto G do amplificador muda de 10000 para 20000 O novo ganho do amplificador realimentado é dado por Surpreendentemente uma variação de 100 no ganho direto causa uma variação de apenas 05 no ganho to tal T do amplificador realimentado Esta redução na sensibilidade a variações paramétricas é o ponto chave para amplificadores de precisão Neste exemplo reduzimos a sensibilidade do ganho a variações paramétricas ao cus to do ganho da malha direta o qual foi reduzido de 10000 considerando malha aberta para 99 considerando a malha fechada Não existe carência no ganho de malha direta obtido cascateando estágios A baixa sensibilida de é extremamente preciosa e oportuna em sistemas de precisão Considere agora o que acontece se somarmos ao invés de subtraírmos o sinal de realimentação ao sinal de entrada Tal adição significa que a conexão de realimentação é ao invés de o que é o mesmo que alterar o sinal de H na Fig 434 Conseqüentemente Se fizermos G 10000 como antes e H 09 10 4 então Suponha que devido ao tempo de uso ou substituição de alguns transistores o ganho de malha direta do am plificador mude para 11000 O novo ganho do amplificador realimentado é Observe que neste caso um simples aumento de 10 no ganho direto G resultou em um aumento de 1000 no ganho T de 100000 para 1100000 Claramente o amplificador é muito sensível a variações paramétricas Este comportamento é exatamente oposto ao que foi observado anteriormente quando o sinal realimentado é subtraído da entrada Qual é a diferença entre as duas situações Falando de forma simples o primeiro caso é chamado de reali mentação negativa e o último de realimentação positiva A realimentação positiva aumenta o ganho do sistema mas tende a tornar o sistema mais sensível a variações paramétricas Ela também pode resultar em instabilida de Em nosso exemplo se G for 111111 então GH 1 T e o sistema se tornará instável pois o sinal de realimentação é exatamente igual ao próprio sinal de entrada pois GH 1 Logo uma vez que o sinal seja apli cado não importa quão pequeno ou quão curto em duração ele seja ele será realimentado para reforçar a entra da a qual passará para a saída novamente sendo realimentada de novo e de novo e de novo Em essência o si nal se perpetuará indefinidamente Essa perpetuação mesmo se a entrada deixar de existir é precisamente o sin toma de instabilidade Figura 434 Efeitos de realimentação negativa e positiva 376 SINAIS E SISTEMAS LINEARES De um modo geral um sistema realimentado não pode ser descrito em termos de preto e branco tal como po sitivo ou negativo Usualmente H é uma componente dependente da freqüência sendo mais adequadamente repre sentada por Hs que varia com a freqüência Conseqüentemente o que é uma realimentação negativa em baixas freqüências pode se tornar em uma realimentação positiva para altas freqüências e pode resultar em instabilidade Este é um dos sérios aspectos de sistemas realimentados o qual requer uma cuidadosa atenção do projetista 471 Análise de um Sistema de Controle Simples A Fig 435a representa um sistema de controle automático de posição o qual pode ser utilizado para controlar a posição angular de um objeto pesado por exemplo uma antena de rastreamento uma bateria antiaérea ou a posição de uma nave A entrada θi é a posição angular desejada do objeto a qual pode ser ajustada para qual quer valor A posição angular atual θ0 do objeto a saída é medida através de um potenciômetro cujo eixo é co mum ao eixo do objeto de saída A diferença entre a entrada θi posição de saída desejada ajustada e a saída θo posição atual é amplificada A saída amplificada a qual é proporcional a θi θo é aplicada a entrada do mo tor Se θi θo 0 a saída sendo igual ao ângulo desejado não existe entrada aplicada ao motor e ele irá parar Mas se θo θi existirá uma entrada não nula no motor o qual irá girar o eixo até que θo θi É evidente que ajus tando o potenciômetro de entrada para uma deseja posição neste sistema podemos controlar a posição angular de um objeto pesado remoto O diagrama de blocos deste sistema é mostrado na Fig 435b O ganho do amplificador é K onde K é ajus tável Considere que função de transferência do motor com a carga que relaciona o ângulo de saída θo com a tensão de entrada do motor é Gs veja a Eq 177 Este arranjo de realimentação é idêntico ao da Fig 418d com Hs 1 Logo Ts a função de transferência do sistema em malha fechada que relaciona a saída θo com a entrada θi é A partir desta equação iremos investigar o comportamento do sistema de controle automático de posição da Fig 435a para uma entrada em degrau e em rampa ENTRADA EM DEGRAU Se desejarmos mudar a posição angular de um objeto instantaneamente precisamos aplicar uma entrada em degrau Então podemos querer saber quanto tempo o sistema gastará para se posicionar no novo ângulo desejado se ele realmente atingirá o ângulo desejado e se ele atingirá o ângulo desejado suavemente monotonicamente ou oscilan do ao redor da posição final Se o sistema oscilar podemos querer saber por quanto tempo ele oscilará Todas estas questões podem ser facilmente respondidas determinando a saída θot quando a entrada θit ut Uma entrada em degrau implica em uma mudança instantânea no ângulo Esta entrada é uma das mais difíceis de ser seguida e se o sistema se comportar bem para esta entrada então ele provavelmente terá um bom comportamento nas outras situações esperadas Este é o motivo pelo qual testamos sistemas de controle com uma entrada em degrau Para a entrada em degrau θit ut Θs 1s e Considerando a função de transferência do motor com a carga que relaciona o ângulo da carga θot com a tensão de entrada do motor igual a Gs 1ss 8 veja a Eq 177 temos Vamos investigar o comportamento do sistema para três valores diferentes de K Para K 7 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 377 Figura 435 a Sistema de controle automático de posição b Seu diagrama de blocos c Resposta ao de grau unitário d Resposta a rampa unitária 378 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e Esta resposta mostrada na Fig 435c mostra que o sistema atinge o ângulo desejado mas a um passo bem lento Para acelerar a resposta vamos aumentar o ganho para digamos 80 Para K 80 e Esta resposta também mostrada na Fig 435c atinge o objetivo de alcançar a posição final a um passo mais rá pido do que no caso anterior K 7 Infelizmente a melhora é obtida ao custo de oscilações com um alto sobre sinal No caso atual o sobresinal percentual SSP é de 21 A resposta atinge o valor de pico no tempo de pico tp 0393 segundos O tempo de subida definido como sendo o tempo necessário para a resposta subir de 10 para 90 do seu valor de regime permanente indica a velocidade da resposta No caso atual tr 0175 segundos O valor de regime permanente da resposta é unitário tal que o erro de regime permanente é zero Teoricamente é necessário um tempo infinito para a resposta atingir o valor desejado de unitário Na prática entretanto podemos considerar que a resposta atingiu o valor final se ela estiver muito próxima do valor final Uma medida amplamen te aceita de proximidade é estar dentro de 2 de seu valor final O tempo necessário para a resposta atingir e per manecer dentro de 2 do valor final é chamado de tempo de acomodação ts Na Fig 435c nós temos ts 1 se gundo quando K 80 Um bom sistema apresenta um pequeno sobresinal um pequeno tr e ts e um pequeno er ro de regime permanente Um grande sobresinal como no caso atual pode ser inaceitável em várias aplicações Vamos tentar determi nar K o ganho que resulta em uma rápida resposta sem oscilações Raízes características complexas levam a oscilações Ou seja para evitar oscilações as raízes características devem ser reais No caso atual o polinômio característico é s 2 8s K Para K 16 as raízes características são complexas Para K 16 as raízes são reais A resposta mais rápida sem oscilações é obtida escolhendo K 16 Consideraremos este caso Para K 16 e Esta resposta também é mostrada na Fig 435c O sistema com K 16 é dito ser subamortecido resposta oscilatória enquanto que o sistema com K 16 é dito ser superamortecido Para K 16 o sistema é dito ser com amortecimento crítico Existe um compromisso entre um sobresinal indesejado e o tempo de subida Reduzindo o sobresinal au mentase o tempo de subida sistema mais lento Na prática um pequeno sobresinal o qual ainda é mais rápi do do que amortecimento crítico pode ser aceitável Note que o sobresinal percentual SSP e o tempo de subi da tr não possuem significado para os casos de superamortecido e amortecimento crítico Além de ajustar o ga N de T Encontrase também na literatura em português o termo original em inglês overshoot N de TO tempo de atraso td definido como sendo o tempo necessário para a resposta atingir 50 do seu valor de regime permanen te também é outra indicação de velocidade Para o caso atual td 0141 segundos Os valores percentuais utilizados são 2 e 5 para ts CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 379 nho K podemos precisar aumentar o sistema com algum tipo de compensador se as especificações de sobresi nal e velocidade de resposta forem muito restritivas ENTRADA EM RAMPA Se a bateria antiaérea da Fig 435a estiver rastreando um avião inimigo se movendo com uma velocidade uni forme o ângulo de posição da bateria deve aumentar linearmente com t Logo a entrada neste caso é uma rampa ou seja θit tut Vamos definir a resposta do sistema a esta entrada quando K 80 Neste caso Θis 1s 2 e Usando a Tabela 41 temos Esta resposta mostrada na Fig 435d mostra que existe um erro de regime permanente er 01 radianos Em vários casos este pequeno erro de regime permanente é tolerável Se entretanto um erro de regime perma nente nulo para entrada em rampa for necessário este sistema em sua forma atual é insatisfatório Devemos adi cionar alguma forma de compensação ao sistema EXEMPLO DE COMPUTADOR C44 Usando o sistema realimentado da Fig 418d com Gs Kss 8 e Hs 1 determine a resposta ao degrau para cada um dos seguintes casos Adicionalmente d determine a resposta a rampa unitária quando K 80 O Exemplo de Computador C43 calcula as funções de transferência destes sistemas realimentados de ma neira simples Neste exemplo o comando conv é utilizado para demonstrar a multiplicação polinomial dos dois fatores do denominador de Gs As respostas ao degrau são calculadas usando o comando step 380 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura C441 d A resposta a rampa unitária é equivalente à derivada da resposta ao degrau unitário Figura C442 ESPECIFICAÇÕES DE PROJETO Agora o leitor possui alguma idéia sobre as várias especificações que um sistema de controle pode necessitar Ge ralmente um sistema de controle é projetado para atender uma dada especificação transitória certas especificações de erro de regime permanente e especificações de sensibilidade Especificações transitórias incluem sobresinal tempo de subida e tempo de acomodação da resposta ao degrau unitário O erro de regime permanente é a diferen ça entre a resposta desejada e a resposta real a uma dada entrada de teste em regime permanente O sistema tam bém deve satisfazer a uma dada especificação de sensibilidade a alguma variação paramétrica do sistema ou a al gum distúrbio Acima de tudo o sistema deve permanecer estável para alguma condição de operação A discussão de procedimentos de projeto utilizado para implementar especificações dadas está além do escopo deste livro 48 RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DE UM SISTEMA LCIT A filtragem é uma importante área de processamento de sinais As características de filtragem de um sistema são indicadas pela resposta do sistema a senóides de várias freqüências variando de 0 a Tais características são CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 381 chamadas de resposta em freqüência do sistema Nesta seção determinaremos a resposta em freqüência de sis temas LCITs Na Seção 244 mostramos que a resposta de um sistema LCIT a uma entrada exponencial de duração infi nita xt e st também é uma exponencial de duração infinita Hse st Tal como antes nós iremos utilizar setas direcionais da entrada para a saída para representar um par entradasaída 471 Fazendo s jω nesta relação teremos 472 Observando que cos ωt é a parte real de e jωt e usando a Eq 240 473 Podemos expressar Hjω na forma polar como sendo 474 Com este resultado a relação 473 tornase Em outras palavras a resposta yt do sistema a uma entrada senoidal cos ωt é dada por 475a Usando um argumento similar podemos mostrar que a resposta do sistema a senóide cos ωt θ é 475b Este resultado é válido apenas para sistemas BIBO estáveis A resposta em freqüência não possui sentido pa ra sistemas BIBO instáveis Esta característica é decorrente do fato de que a resposta em freqüência da Eq 472 é obtida fazendo s jω na Eq 471 Mas como mostrado na Seção 244 Eqs 247 e 248 a relação 471 só se aplica para valores de s nos quais Hs existe Para sistemas BIBO instáveis a RDC de Hs não in clui o eixo jω no qual s jω veja a Eq 414 Isto significa que Hs quando s jω não tem sentido para sistemas BIBO instáveis A Eq 475b mostra que para uma entrada senoidal de freqüência angular ω a resposta do sistema também é uma senóide de mesma freqüência ω A amplitude da senóide de saída é Hjω vezes a amplitude de entrada e a fase da senóide de saída é deslocada por Hjω com relação a fase de entrada veja a Fig 436 no exem plo 423 Por exemplo um certo sistema com Hj10 3 e Hj10 30 o amplifica uma senóide de fre qüência ω 10 por um fator de 3 e atrasa sua fase por 30 o A resposta do sistema a uma entrada 5 cos 10t 50 o é 3 5 cos 10t 50 o 30 o 15 cos 10t 20 o Claramente Hjω é o ganho de amplitude do sistema e um gráfico de Hjω versus ω mostra o ganho de amplitude com uma função de ω Chamamos Hjω de resposta de amplitude Ele também recebe o nome de resposta de magnitude na literatura Similarmente Hjω é a resposta de fase e um gráfico de Hjω versus ω mostra como o sistema modifica ou altera a fase da senóide de entrada Observe que Hjω possui a informa ção de Hjω e Hjω Por esta razão Hjω também é chamada de resposta em freqüência do sistema O grá fico da resposta em freqüência Hjω e Hjω mostra rapidamente como o sistema responde a senóides de vá rias freqüências Portanto a resposta em freqüência de um sistema representa sua característica de filtragem Este fato também pode ser argumentado de outra forma Para sistemas BIBO instáveis a resposta de entrada nula contém termos de modos naturais não decrescentes na forma cos ω0t ou e at cos ω0t a 0 Logo a resposta de tais sinais à senóide cos ωt irá conter não somente a senóide de freqüência ω mas também modos naturais não decrescentes fazendo com que o conceito de resposta em fre qüência perca o sentido Alternativamente podemos argumentar que quando s jω um sistema BIBO instável viola a condição de do minância Re λi Re jω para todo i na qual λi representa a iésima raiz características do sistema veja a Seção 431 Estritamente falando Hjω é a resposta de magnitude Existe uma pequena distinção entre amplitude e magnitude Amplitude A po de ser positiva ou negativa Por outro lado a magnitude A é sempre não negativa Nós nos abstemos de depender desta distinção útil entre amplitude e magnitude no interesse de evitar a proliferação de entidades essencialmente similares Este é o motivo pelo qual usa mos espectro de amplitude ao invés de magnitude para Hjω Determine a resposta em freqüência resposta de amplitude e fase de um sistema cuja função de transferência é Determine também a resposta yt do sistema se a entrada xt for Neste caso Portanto Tanto a resposta de amplitude quanto a resposta de fase são mostradas na Fig 436a em função de ω Estes gráficos fornecem a informação completa sobre a resposta em freqüência do sistema a entradas senoidais Figura 436 Respostas em freqüência para o sistema LCIT 382 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 423 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 383 a Para a entrada xt cos 2t ω 2 e Também poderíamos obter estes valores diretamente dos gráficos de resposta em freqüência da Fig 436a correspondentes a ω 2 Este resultado significa que para uma entrada senoidal com freqüência ω 2 o ganho de amplitude do sistema é 0372 e o deslocamento de fase é 653º Em outras palavras a amplitude de saída é 0372 vezes a amplitude de entrada e a fase da saída é deslocada com relação a da entrada por 653º Portanto a resposta do sistema a entrada cos 2t é A entrada cos 2t e a saída correspondente do sistema 0372 cos2t 653º estão ilustradas na Fig 436b b Para a entrada cos10t 50º em vez de calcular os valores de Hjω e Hjω como na parte a iremos lêlos diretamente dos gráficos de resposta em freqüência da Fig 436a correspondente a ω 10 Estes valores são Portanto para a senóide de entrada com freqüência ω 10 a amplitude da senóide de saída é 0894 ve zes a amplitude de entrada e a senóide de saída é deslocada com relação a senóide de entrada em 26º Por tanto yt a resposta do sistema a entrada cos10t 50º é Se a entrada fosse sen10t 50º a resposta seria 0894 sen10t 50º 26º 0894 sen10t 24º Os gráficos de resposta em freqüência da Fig 436 mostram que o sistema possui uma característica de filtro passaaltas Ele responde bem a senóides de mais alta freqüência ω bem acima de 5 e suprime senói de de baixa freqüência ω bem abaixo de 5 EXEMPLO DE COMPUTADOR C45 Obtenha o gráfico das respostas em freqüência da função de transferência Hs s 5s 2 3s 2 Figura C45 384 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Determine e trace a resposta em freqüência resposta de amplitude e fase para os seguintes sistemas a Um atrasador ideal de T segundos b Um diferenciador ideal c Um integrador ideal a Atrasador ideal de T segundos A função de transferência de um atrasador ideal é veja a Eq 446 Portanto Conseqüentemente 476 As respostas em amplitude e fase estão mostradas na Fig 437a A resposta em amplitude é uma constan te unitária para todas as freqüências O deslocamento de fase aumenta linearmente com a freqüência com uma inclinação de T Este resultado pode ser explicado fisicamente reconhecendo que se uma senóide cos ωt passar através de um atrasador ideal de T segundos a saída é cos ωt T A amplitude da senóide de saí da é a mesma da senóide de entrada para todos os valores de ω Portanto a resposta em amplitude ganho é unitária para todas as freqüências Além disso a saída cos ωt T cos ωt ωT possui um desloca mento de fase de ωT com relação a entrada cos ωt Portanto a resposta de fase é linearmente proporcional a freqüência ω com uma inclinação de T Figura 437 Resposta em freqüência para a atrasador ideal b diferenciador ideal c integrador ideal EXEMPLO 424 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 385 b Diferenciador ideal A função de transferência de um diferenciador ideal é veja a Eq 447 Portanto Conseqüentemente 477 As respostas de amplitude e fase estão mostradas na Fig 437b A resposta em amplitude aumenta linear mente com a freqüência e resposta de fase é constante π2 para todas as freqüências Este resultado pode ser explicado fisicamente se reconhecermos que se uma senóide cos ωt passar em um diferenciador ideal a saída é ω sen ωt ω cosωt π2 Portanto a amplitude da senóide de saída é ω vezes maior do que a amplitude da entrada ou seja a resposta em amplitude ganho cresce linearmente com a freqüência ω Além disso a senóide de saída passa por um deslocamento de fase de π2 com relação a entrada cos ωt Por tanto a resposta em fase é constante π2 com a freqüência Em um diferenciador ideal a resposta em amplitude ganho é proporcional à freqüência Hjω ω tal que as componentes de alta freqüência são ampliadas veja a Fig 437b Todos os sinais práticos são contaminados com ruído o qual por sua natureza é um sinal de banda larga varia rapidamente contendo componentes de alta freqüência Um diferenciador pode aumentar o ruído desproporcionalmente ao ponto dele suplantar o sinal desejado Por isto evitamos diferenciadores ideais na prática c Integrador ideal A função de transferência de um integrador ideal é veja a Eq 448 Portanto Conseqüentemente 478 As respostas de amplitude e fase estão mostradas na Fig 437c A resposta em amplitude é inversamen te proporcional à freqüência e o deslocamento de fase é constante π2 com a freqüência Este resultado pode ser explicado fisicamente se reconhecermos que se uma senóide cos ωt passar em um integrador ide al a saída será 1ω sen ωt 1ω cosωt π2 Portanto a resposta em amplitude é inversamente pro porcional a ω e a resposta em fase é constante π2 com a freqüência Devido ao seu ganho ser 1ω um integrador ideal suprime componentes de alta freqüência mas aumenta componentes de baixa freqüência com ω 1 Conseqüentemente sinais de ruído se eles não possuírem uma considerável quantidade de com ponentes de baixa freqüência são suprimidos amortecidos pelo integrador Um aspecto deste resultado que pode confundir o leitor é que na determinação da função de transferência do integrando na Eq 448 assumimos que a entrada começa em t 0 Por outro lado na determinação de resposta em freqüência assumimos que a exponencial de duração infinita e jωt começa em t Aparentemente há uma contradição fundamental entre a entrada de duração infinita a qual começa em t e o integrador o qual abre sua porta em t 0 Qual a utilidade de uma entrada de duração infinita se o integrador começa a integrar em t 0 A resposta é que a entrada do integrador está sempre aberta e a integração começa assim que a entrada começar Restringimos a entrada a começar em t 0 na obtenção da Eq 448 porque estávamos buscando a função de transferência usando a transformada unilateral na qual a entrada começa em t 0 Desta forma o fato do integrador começar a integrar em t 0 é uma restrição devido a limitações do método da transformada unilateral não devido a limitações do próprio integrador Se tivéssemos que determinar a função de transferência do integrador usando a Eq 249 na qual não existe esta restrição na entrada ainda assim obteríamos a função de transferência do integrador como sendo 1s Ou seja mesmo se utilizássemos a transformada de Laplace bila teral na qual t começa em encontraríamos a função de transferência do integrador igual a 1s A função de transferência do sis tema é uma propriedade do sistema e não depende do método utilizado para determinála 386 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 481 Resposta em Regime Permanente para Entradas Senoidais Causais Até este momento discutimos sobre a resposta do sistema LCIT a entradas senoidais de duração infinita co meçando em t Na prática estamos mais interessados em entradas senoidais causais senóides come çando em t 0 Considere a entrada e jωtut a qual começa em t 0 em vez de t Neste caso Xs 1s jω Além disso de acordo com a Eq 443 Hs PsQs na qual Qs é o polinômio caracte rístico dado por Qs s λ1s λ2s λN Logo Na expansão em frações parciais do lado direito considere os coeficientes correspondentes aos N termos s λ1 s λ2 s λN iguais a k1 k2 kN Os coeficientes correspondentes ao último termo s jω é PsQss jω Hjω Logo e 479 Para um sistema assintoticamente estável os termos de modos característicos e λit diminuem com o tempo e portanto constituem a chamada componente transitória da resposta O último termo Hjωe jωt permanece para sempre sendo o componente de regime permanente da resposta dado por Este resultado também explica porque uma entrada exponencial de duração infinita e jωt resulta em uma res posta total Hjωe jωt para sistemas BIBO Como a entrada começa em t para qualquer tempo finito a componente transitória decrescente já terá desaparecido deixando apenas a componente de regime permanen te Logo a resposta total aparece como sendo Hjωe jωt A partir do argumento que resultou na Eq 475a seguese que para uma entrada senoidal causal cos ωt a resposta ysst de regime permanente é dada por 480 Resumindo Hjωcosωt Hjω é a resposta total da senóide de duração infinita cos ωt Por outro la do esta é a resposta de regime permanente para a mesma entrada aplicada em t 0 EXERCÍCIO E414 Determine a resposta de um sistema LCIT especificado por se a entrada for a senóide 20 sen3t 35º RESPOSTA Por simplicidade assumimos raízes características não repetidas O procedimento é facilmente modificado para raízes repetidas obten do as mesmas conclusões CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 387 49 DIAGRAMAS DE BODE A obtenção dos gráficos de respostas Hjω e Hjω em função de ω é consideravelmente facilitada se uti lizarmos escalas logarítmicas Os gráficos de resposta de amplitude e fase como funções de ω em uma escala lo garítmica são conhecidos como diagramas de Bode ou gráficos de Bode Usando o comportamento assintóti co das respostas de amplitude e fase podemos rascunhar estes gráficos com uma facilidade notável mesmo pa ra funções de transferência de mais alta ordem Vamos considerar um sistema com função de transferência dada por 481a na qual considerase que o fator de segunda ordem s 2 b2s b3 possui raízes complexas conjugadas Podemos reorganizar a Eq 481 para 481b e 481c Essa equação mostra que Hjω é uma função complexa de ω A resposta em amplitude Hjω e a resposta de fase Hjω são dadas por 482a e 482b A partir da Eq 482b vemos que a função de fase é constituída pela adição de três tipos de termos i a fa se de jω a qual é 90 o para todos os valores de ω ii a fase do termo de primeira ordem na forma 1 jωa e iii a fase do termo de segunda ordem Podemos traçar estas três funções básicas de fase para ω na faixa de 0 a e então utilizando estes gráficos podemos construir a função de fase de qualquer função através da adição destas três respostas básicas Note que se um termo particular estiver no numerador a sua fase é adicionada mas se o termo estiver no denominador sua fase é subtraída Com isso é fácil traçar a resposta de fase Hjω em função de ω O cálculo de Hjω ao Os coeficientes a1 a2 e b1 b2 b3 utilizados nesta seção não devem ser confundidos com os utilizados na representação da equação de um sistema LCIT de ordem N apresentados anteriormente Eqs 21 ou 441 388 SINAIS E SISTEMAS LINEARES contrário da função de fase envolve a multiplicação e divisão de vários termos Esta é uma tarefa formidável principalmente quando tivermos que traçar esta função para uma grande faixa de ω 0 a Sabemos que a operação logarítmica log converte a multiplicação e divisão para adição e subtração Por tanto ao invés de traçarmos Hjω por que não traçar log Hjω para simplificar nossa tarefa Podemos ter a vantagem de que unidades logarítmicas são úteis em diversas aplicações nas quais as variáveis consideradas possuem uma grande faixa de variação Isto é particularmente válido em gráficos de resposta de freqüência nos quais temos de traçar a resposta de freqüência para uma faixa de freqüências muito baixas próximas de 0 até freqüências muito altas próximas de 10 10 ou mais Um gráfico em uma escala linear de freqüências para uma faixa tão grande de valores iria mascarar muita informação útil em baixas freqüências Além disso a res posta em amplitude pode ter uma faixa de valores dinâmicos muito grande de 10 6 a 10 6 Um gráfico linear se ria inadequado nesta situação Portanto gráficos logarítmicos não apenas facilitam nossa tarefa mas felizmen te também são desejáveis nesta situação Existe uma outra importante razão para o uso de escala logarítmica A lei de WeberFechner observada pri meiro por Weber em 1834 afirma que os sentidos humanos visão tato audição etc geralmente respondem de forma logarítmica Por exemplo quando ouvimos sons com dois níveis diferentes de potência julgamos que um som é duas vezes mais alto do que o outro quando a razão entre as potências dos sons é 10 Os sentidos hu manos respondem a iguais razões de potência e não a iguais incrementos de potência 11 Esta é claramente uma resposta logarítmica A unidade logarítmica utilizada é o decibel sendo igual a 20 vezes o logaritmo da quantidade log na base 10 Portanto 20 log10Hjω é simplesmente a amplitude logarítmica em decibeis dB Portanto em vez de traçarmos Hjω traçamos 20 log10Hjω em função de ω Estes gráficos fase e logaritmo da amplitude são chamados de diagramas de bode Para a função de transferência da Eq 482a a amplitude logarítmica é 483 O termo 20 logKa1a2b1b3 é constante Observamos que a amplitude logarítmica é a soma de quatro ter mos básicos correspondentes a uma constante um pólo ou zero na origem 20 logjω um pólo ou zero de pri meira ordem 20 log1 jωa e pólos ou zeros complexos conjugados 20 log1 jωb2b3 jω 2 b3 Po demos traçar estes quatro termos básicos como funções de ω e então utilizálos para construir o gráfico de am plitude logarítmica de qualquer função de transferência desejada A seguir vamos discutir sobre cada um des tes termos 491 Constante Ka1a2b1b3 A amplitude logarítmica do termo constante Ka1a2b1b3 também é uma constante 20 logKa1a2b1b3 A con tribuição de fase deste termo é zero para valores positivos e π para valores negativos da constante 492 Pólo ou Zero na Origem AMPLITUDE LOGARÍTMICA O pólo na origem vem do termo 20 logjω o qual pode ser expressado por Observe que as freqüências das notas musicais são logaritmicamente espaçadas não linearmente Uma oitava é uma razão de 2 As freqüências de uma mesma nota em oitavas sucessivas têm uma razão de 2 Na escala musical ocidental existem 12 notas distintas em cada oitava A freqüência de cada nota é aproximadamente 6 mais alta do que a freqüência da nota anterior Portanto as notas suces sivas são separadas não por alguma freqüência constante mas por uma razão constante de 106 Originalmente a unidade bel após o inventor do telefone Alexander Graham Bell foi introduzida para representar razões de po tência como log10 P2P1 bels Um décimo desta unidade é um decibel tal como em 10 log10 P2P1 decibéis Como a razão de potên cia de dois sinais é proporcional ao quadrado da razão das amplitudes ou Hjω 2 temos 10 log10P2P1 10 log10H jω 2 20log10Hjω dB CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 389 Esta função pode ser traçada como uma função de ω Entretanto podemos obter uma simplificação maior se utilizarmos uma escala logarítmica para a própria variável ω Vamos definir uma nova variável u tal que u log ω Logo A função da amplitude logarítmica 20u é traçada em função de u na Fig 438a Este gráfico é uma linha re ta com inclinação de 20 Ela cruza o eixo x em u 0 A escala ω u log ω também aparece na Fig 438a Gráficos semilogarítmicos podem ser convenientemente utilizados para traçar esta função e podemos traçar di retamente ω em um papel semilog Uma razão de 10 é uma década e uma razão de 2 é chamada de oitava Além disso uma década ao longo da escala ω equivale a 1 unidade ao longo da escala u Também podemos mostrar que a razão de 2 uma oitava ao longo da escala ω é igual a 03010 log10 2 ao longo da escala u Note que incrementos iguais em u são equivalentes a razões iguais na escala ω Portanto uma unidade ao lon go da escala u é o mesmo que uma década ao longo da escala ω Isto significa que o gráfico de amplitude pos Figura 438 Respostas de a amplitude e b fase para um pólo ou zero na origem Este ponto pode ser mostrado da seguinte forma Seja ω1 e ω2 ao longo da escala ω correspondentes a u1 e u2 ao longo da escala u tal que log ω1 u1 e log ω2 u2 Logo Portanto se ω2ω1 10 a qual é uma década então e se ω2ω1 2 a qual é uma oitava então 390 SINAIS E SISTEMAS LINEARES sui uma inclinação de 20 dBdécada ou 2003010 602 dBoitava geralmente considerada como 6 dBoitava Além disso o gráfico de amplitude cruza o eixo ω em ω 1 pois u log10 ω 0 quando ω 1 Para o caso de um zero na origem o termo de amplitude logarítmica é 20 log ω O qual é uma linha reta pas sando em ω 1 e com uma inclinação de 20 dBdécada ou 6 dBoitava Este gráfico é uma imagem espelha da com relação ao eixo ω do gráfico de um pólo na origem sendo mostrado em pontilhado na Fig 438a FASE A função de fase correspondente ao pólo na origem é jω veja a Eq 482b Logo A fase é constante 90 o para todos os valores de ω como mostrado na Fig 438b Para um zero na origem a fase é jω 90 o Esta é uma imagem espelhada do gráfico de fase para um pólo na origem e está mostrada em pontilhado na Fig 438b 493 Pólo ou Zero de Primeira Ordem AMPLITUDE LOGARÍTMICA A amplitude logarímica de um pólo de primeira ordem em a é 20 log1 jωa Vamos investigar o compor tamento assintótico desta função para os valores extremos de ω ω a e ω a a Para ω a Logo a função de amplitude logarítmica 0 assintoticamente quando ω a Fig 439a b Para o outro caso extremo quando ω a 484a 484b Esta função representa uma linha reta quando traçada em função de u u log10 ω com uma inclinação de 20 dBdécada ou 6dBoitava Quando ω a a amplitude logarítmica é zero Eq 484b Desta forma esta linha cruza o eixo ω para ω a como mostrado na Fig 439a Note que as assíntotas em a e b se encontram em ω a A amplitude logarítmica exata para este pólo é Esta função de amplitude logarítmica também aparece na Fig 439a Observe que os gráficos real e assintó tico são muito parecidos Um erro máximo de 3 dB ocorre em ω a Esta freqüência é chamada de freqüência de canto ou freqüência de corte O erro em qualquer outro lugar é menor do que 3dB Um gráfico de erro em função de ω é mostrado na Fig 440a Essa figura mostra que o erro em uma oitava acima ou abaixo da freqüên cia de corte é 1 dB e o erro a duas oitavas acima ou abaixo da freqüência de corte é 03 dB O gráfico real pode ser obtido somando o erro ao gráfico assintótico A resposta em amplitude para um zero em a mostrado em pontilhado na Fig 439a é idêntica ao gráfico de um pólo em a com uma mudança de sinal e portanto é uma imagem espelhada com relação a linha de 0 dB do gráfico de amplitude para um pólo em a CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 391 Figura 439 Respostas de a amplitude e b fase para um pólo ou zero de primeira ordem em s a FASE A fase de um pólo de primeira ordem em a é Vamos investigar o comportamento assintótico desta função Para ω a e para ω a 392 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 440 Erros na aproximação assintótica de um pólo de primeira ordem em s a O gráfico real juntamente com o assintótico é mostrado na Fig 439b Neste caso nós usamos um gráfico as sintótico com três segmentos de linha para melhor precisão As assíntotas são um ângulo de fase de 0 o para ω a10 um ângulo de fase de 90 o para ω 10a e uma linha reta com inclinação de 45 odécada conectando es tas duas assíntotas de ω a10 até 10a cruzando o eixo ω em ω a10 Pode ser visto a partir da Fig 439b que as assíntotas estão muito próximas da curva e que o erro máximo é de 57 o A Fig 440b mostra o erro em fun ção de ω o gráfico real pode ser obtido somando o erro ao gráfico assintótico A fase para um zero em a mostrada em pontilhado na Fig 439b é idêntica a de um pólo em a com uma mudança de sinal sendo portanto uma imagem espelhada com relação a linha de 0 o do gráfico de fase para um pólo em a 494 Pólo ou Zero de Segunda Ordem Vamos considerar o pólo de segunda ordem da Eq 481a O termo do denominador é s 2 b2s b3 Iremos tam bém apresentar a forma geral normalmente utilizada s 2 2ζωns ωn 2 no lugar de s 2 b2s b3 Com esta forma a função de amplitude logarítmica para o termo de segunda ordem da Eq 483 fica sendo 485a e a função de fase é 485b CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 393 AMPLITUDE LOGARÍTMICA A amplitude logarítmica é dada por 486 Para ω ωn a amplitude logarítmica se torna Para ω ωn a amplitude logarítmica é 487a 487b 487c As duas assíntotas são zero para ω ωn e 40u 40log ωn para ω ωn A segunda assíntota é uma linha re ta com inclinação de 40 dBdécada ou 12 dBoitava quando traçada em função da escala log ω Ela come ça em ω ωn veja a Eq 487b As assíntotas são mostradas na Fig 441a A amplitude logarítmica exata é dada por veja a Eq 486 488 A amplitude logarítmica neste caso envolve o parâmetro ζ resultando em um gráfico diferente para cada va lor de ζ Para pólos complexos conjugados ζ 1 Logo devemos traçar uma família de curvas para vários va lores de ζ na faixa de 0 a 1 Estas curvas são apresentadas na Fig 441a O erro entre o gráfico real e o assintó tico é mostrado na Fig 442 O gráfico real pode ser obtido somando o erro ao gráfico assintótico Para zeros de segunda ordem zeros complexos conjugados os gráficos são imagens espelhadas com rela ção a linha de 0 dB dos pólos mostrado na Fig 441a Note o fenômeno da ressonância de pólos complexos con jugados Este fenômeno é quase não notado para ζ 0707 mas se torna pronunciado quando ζ 0 FASE A função de fase para pólos de segunda ordem como aparente na Eq 485b é 489 Para ω ωn Para ω ωn Logo a fase 180 o quando ω Tal como no caso da amplitude temos uma família de curvas de fase para vários valores de ζ como mostrado na Fig 441b Uma assíntota conveniente para a fase de pólos comple xos conjugados é uma função degrau que vale 0 o para ω ωn e 180 o para ω ωn Um gráfico de erro para este tipo de assíntota é mostrado na Fig 442 para vários valores de ζ A fase exata é o valor assintótico mais o erro Para ζ 1 os dois pólos do fator de segunda ordem não são mais complexos e sim reais Cada um destes dois pólos reais podem ser tratados como fatores separados de primeira ordem 394 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 441 Resposta de amplitude e fase para um pólo de segunda ordem Para zeros complexos conjugados os gráficos de fase e amplitude são imagens espelhadas dos gráficos para pólos complexos conjugados Demonstraremos a aplicação destas técnicas através de dois exemplos Obtenha os diagramas de Bode para a seguinte função de transferência CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 395 EXEMPLO 425 Figura 442 Erros na aproximação assintótica de um pólo de segunda ordem Primeiro escrevemos a função de transferência na forma normalizada Logo o termo constante é 100 ou seja 40 dB 20 log 100 40 Este termo pode ser adicionado ao grá fico simplesmente renomeando o eixo horizontal a partir do qual as assíntotas começam como sendo a li nha de 40dB veja a Fig 443a Este passo implica em deslocar o eixo horizontal para cima por 40 dB Is to é precisamente o que é desejado Além disso nós temos dois pólos de primeira ordem em 2 e 10 um zero na origem e um zero em 100 Passo 1 Para cada um destes termos traçamos um gráfico assintótico como mostrado a seguir mostrado na Fig 443a por linhas pontilhadas i Para o zero na origem desenhe uma linha reta com inclinação de 20 dBdécada passando por ω 1 ii Para o pólo em 2 desenhe uma linha reta com inclinação de 20 dBdécada para ω 2 come çando na freqüência de canto de ω 2 iii Para o pólo em 10 desenhe uma linha reta com inclinação de 20 dBdécada começando na fre qüência de canto de ω 10 iv Para o zero em 100 desenhe uma linha reta com inclinação de 20 dBdécada começando na fre qüência de canto de ω 100 Passo 2 Some todas as assíntotas como mostrado na Fig 443a por segmentos de linha cheia Passo 3 Aplique as seguintes correções veja a Fig 440a i A correção para ω 1 devido a freqüência de canto em ω 2 é de 1 dB A correção em ω 1 devido às freqüências de canto em ω 10 e ω 100 é muito pequena veja a Fig 440a e pode ser ignorada Logo a correção final para ω 1 é de 1 dB ii A correção em ω 2 devido a freqüência de canto em ω 2 é 3 dB e a correção devido a fre qüência de canto em ω 10 é 017 dB A correção devido a freqüência de canto ω 100 pode ser ignorada com segurança Logo a correção total para ω 2 é 317 dB iii A correção em ω 10 devido a freqüência de canto em ω 10 é 3 dB e a correção devido a fre qüência de canto em ω 2 é 017dB A correção devido a ω 100 pode ser ignorada Logo a correção total para ω 10 é 317 dB iv A correção em ω 200 devido a freqüência de canto em ω 100 é 3 dB e as correções devido às outras freqüências de canto podem ser ignoradas v Além das correções nas freqüências de canto podemos considerar correções em pontos intermediários para obter um gráfico mais preciso Por exemplo as correções em ω 4 devido a freqüência de canto em ω 2 e 10 são 1 e aproximadamente 065 totalizando 165 dB Da mesma forma a correção em ω 5 devido às freqüências de canto em ω 2 e 10 são 065 e 1 totalizando 165 dB Com estas correções o gráfico resultante de amplitude é mostrado na Fig 443a GRÁFICOS DE FASE Traçamos as assíntotas correspondentes a cada um dos quatro fatores i O zero na origem causa um deslocamento de fase de 90 o ii O pólo em s 2 possui uma assíntota com valor zero de ω 02 e uma inclinação de 45 odécada começando em ω 02 e indo até ω 20 O valor da assíntota para ω 20 é 90 o iii O pólo em s 10 possui uma assíntota com valor zero de ω 1 e uma inclinação de 45 odécada começando em ω 1 e indo até ω 100 O valor da assíntota para ω 100 é 90 o iv O zero em s 100 possui uma assíntota com valor zero de ω 10 e uma inclinação de 45 odécada começando em ω 10 e indo até ω 1000 O valor da assíntota para ω 1000 é 90 o Todas essas assíntotas são somadas como mostrado na Fig 443b As correções apropriadas são aplicadas da Fig 440b e o gráfico exato de fase é mostrado na Fig 443b 396 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Trace as respostas de amplitude e fase diagramas de Bode para a seguinte função de transferência Neste caso o termo constante é 10 ou seja 20 dB 20 log 10 20 Para adicionar este termo simplesmente chamamos a linha horizontal na qual as assíntotas começam de linha de 20 dB como antes veja a Fig 444a CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 397 EXEMPLO 426 Figura 443 Respostas de a amplitude e b fase para um sistema de segunda ordem 398 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Além disso temos um zero real em s 100 e um par de pólos conjugados complexos Quando expres samos o fator de segunda ordem na forma padrão obtemos Passo 1 Desenhe uma assíntota de 40 dBdécada 12 dBoitava começando em ω 10 para os pólos complexos conjugados e desenhe outra assíntota de 20 dBdécada começando em ω 100 para o zero real Passo 2 Some as duas assíntotas Passo 3 Aplique a correção em ω 100 na qual a correção devido a freqüência de canto em ω 100 é 3 dB A correção devido a freqüência de canto em ω 10 como visto na Fig 442 para ζ 01 pode ser ignorada com segurança A seguir a correção em ω 10 devido a freqüência de canto ω 10 é de 1390 dB veja a Fig 443 para ζ 01 A correção devido ao zero real em 100 pode ser ignorada para ω 10 Podemos determinar correções para alguns outros pontos O gráfico resultante é mostrado na Fig 444a Figura 444 Respostas de a amplitude e b fase para um sistema de segunda ordem CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 399 PÓLOS E ZEROS NO SEMIPLANO DIREITO Em nossas discussões até este momento assumimos que os pólos e zeros da função de transferência estão no se miplano esquerdo E se algum pólo eou zero de Hs estiver no SPD Se existir um pólo no SPD o sistema é instável Tais sistemas são inúteis para qualquer aplicação de processamento de sinais Por esta razão conside ramos apenas o caso de zeros no SPD O termo correspondente ao zero no SPD em s a é sa 1 e a respos ta em freqüência correspondente é jωa 1 A resposta em amplitude é GRÁFICO DE FASE A assíntota para os pólos complexos conjugados é uma função degrau com um salto de 180 o em ω 10 A assíntota para o zero em s 100 é zero para ω 10 e uma linha reta com inclinação de 45 odécada co meçando em ω 10 e indo até ω 1000 Para ω 1000 a assíntota é 90 o As duas assíntotas são somadas resultando na forma em dente de serra mostrada na Fig 444b Agora aplicamos as correções das Figs 442b e 440b para obter o gráfico exato Comentários Estes dois exemplos demonstram que os gráficos exatos de resposta em freqüência são muito pró ximos dos gráficos assintóticos os quais são fáceis de serem construídos Portanto por mera inspeção de Hs e seus pólos e zeros podese construir rapidamente uma imagem mental da resposta em freqüência de um siste ma Esta é a principal vantagem dos diagramas de Bode EXEMPLO DE COMPUTADOR C46 Utilize a função bode do MATLAB para resolver os Exemplos 425 e 426 Figura C46 400 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Isso mostra que a resposta em amplitude de um zero no SPD em s a é idêntica a de um zero no SPE ou s a Portanto o gráfico de amplitude logarítmica permanecerá inalterado se os zeros estiverem no SPE ou no SPD Entretanto a fase correspondente ao zero no SPD em s a é enquanto que a fase correspondente ao zero no SPE em s a é tan 1ωa Os zeros complexos conjugados no SPD resultam no termo s 2 2ζωns ωn2 o qual é idêntico ao termo s 2 2ζωns ωn2 com uma alteração no sinal de ζ Logo a partir das Eqs 488 e 489 observamos que as ampli tudes serão idênticas para os dois termos mas as fases terão sinais opostos Sistemas cujos pólos e zeros estão restritos ao SPE são classificados como sistema de fase mínima 495 Função de Transferência da Resposta em Freqüência Na seção anterior tínhamos a função de transferência do sistema A partir do conhecimento da função de trans ferência desenvolvemos técnicas para a determinação da resposta do sistema a entradas senoidais Também po demos fazer o procedimento inverso para determinar a função de transferência de um sistema de fase mínima a partir da resposta do sistema a senóides Esta aplicação possui uma utilidade prática significante Se receber mos um sistema em uma caixa preta com apenas os terminais de entrada e saída disponíveis a função de trans ferência tem que ser determinada através de medições experimentais nos terminais de entrada e saída A res posta em freqüência a entradas senoidais é uma das possibilidades mais atraentes pois a medição necessária é muito simples Só será necessário aplicar um sinal senoidal na entrada e observar a saída Determinase desta forma o ganho de amplitude Hjω e o deslocamento de fase de saída Hjω com relação a senóide de en trada para vários valores de ω em toda uma faixa de 0 a Esta informação resulta nos gráficos de resposta diagramas de Bode quando traçada em função de log ω A partir destes gráficos podemos determinar as as síntotas apropriadas considerando que as inclinações de todas as assíntotas devem ser múltiplas de 20 dBdé cada se a função de transferência for uma função racional função que é uma razão entre polinômios em s A partir das assíntotas as freqüências de canto podem ser obtidas As freqüências de canto determinam os pólos e zeros da função de transferência Devido a ambigüidade com relação a posição dos zeros pois zeros no SPD e SPE zeros em s a possuem amplitudes idênticas este procedimento funciona somente para sistemas de fase mínima 410 PROJETO DE FILTROS PELA ALOCAÇÃO DE PÓLOS E ZEROS DE HS Nesta seção iremos explorar a forte dependência da resposta em freqüência com a posição dos pólos e zeros de Hs Esta dependência aponta para um simples procedimento intuitivo para o projeto de filtros 4101 Dependência da Resposta em Freqüência com os Pólos e Zeros de Hs A resposta em freqüência de um sistema é basicamente a informação sobre a capacidade de filtragem do siste ma A função de transferência de um sistema pode ser descrita por 490a na qual z1 z2 zN são os zeros e λ1 λ2 λN são os pólos de Hs O valor da função de transferência Hs para alguma freqüência s p é 490b Esta equação é constituída dos fatores na forma p zi e p λi O fator p zi é um número complexo repre sentado por um vetor desenhado do ponto z ao ponto p no plano complexo como mostrado na Fig 445a O tama nho do segmento de linha é p zi a magnitude de p zi O ângulo deste segmento de linha direcional com o eixo horizontal é p zi Para calcular Hs em s p desenhamos segmentos de linha de todos os pólos e ze ros de Hs até o ponto p como mostrado na Fig 445b O vetor que conecta o zero zi ao ponto p é p zi Consi dere o tamanho deste vetor igual a ri e considere o seu ângulo com o eixo horizontal igual a φi então p zi rie jφi CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 401 Similarmente o vetor conectando o pólo λi ao ponto p é p λi die jθi na qual di e θi são o comprimento e o ân gulo com o eixo horizontal respectivamente do vetor p λi A partir da Eq 490b temos que Portanto 491a e 491b Neste caso assumimos b0 positivo Se b0 for negativo existe uma fase π adicional Usando este procedimen to podemos determinar Hs para qualquer valor de s Para calcular a resposta em freqüência Hjω usamos s jω um ponto no eixo imaginário conectamos todos os pólos e zeros ao ponto jω e determinamos Hjω e Hjω a partir da Eq 491 Repetese este procedimento para todos os valores de ω de 0 a para obter a res posta em freqüência AUMENTO DO GANHO COM UM PÓLO Para entender o efeito de pólos e zeros na resposta em freqüência considere um caso hipotético de um único pó lo α jω0 como mostrado na Fig 446a Para determinar a resposta em amplitude Hjω para um certo va lor de ω conectamos o pólo ao ponto jω Fig 446a Se o tamanho desta linha é d então Hjω é proporcio nal a 1d 492 na qual o valor exato da constante K não é importante neste momento Quando ω aumenta a partir de zero d di minui progressivamente até que ω atinge o valor ω0 Quando ω aumenta além de ω0 d aumenta progressivamen te Portanto de acordo com a Eq 492 a resposta em amplitude Hjω aumenta de ω 0 até ω ω0 e então Figura 445 Representações vetoriais de a números complexos e b fatores de Hs 402 SINAIS E SISTEMAS LINEARES decresce continuamente enquanto ω cresce para além de ω0 como mostrado na Fig 446b Portanto um pólo em α jω0 resulta em um comportamento seletivo em freqüência que aumenta o ganho na freqüência ω0 resso nância Além disso quando o pólo se move para mais perto do eixo imaginário quando α é reduzido este au mento ressonância se torna mais pronunciado Isso ocorre porque α a distância entre o pólo e jω0 d correspon dente a jω0 se torna menor aumentando o ganho Kd No caso extremo quando α 0 pólo no eixo imaginário o ganho em ω0 tende a infinito Pólos repetidos aumentam ainda mais o efeito seletivo em freqüência Para resu mir podemos aumentar o ganho na freqüência ω0 colocando um pólo em frente ao ponto jω0 Quanto mais próxi mo o pólo estiver de jω0 maior o ganho em ω0 e a variação no ganho será mais rápida mais seletivo em freqüên cia na vizinhança de ω0 Observe que um pólo deve ser colocado no SPE por questões de estabilidade Neste caso consideramos o efeito de um único pólo complexo no ganho do sistema Para um sistema real o pólo complexo α jω0 deve acompanhar seu conjugado α jω0 Podemos facilmente mostrar que a pre sença de um pólo conjugado não afeta consideravelmente o comportamento seletivo em freqüência na vizinhan ça de ω0 Isso ocorre porque o ganho neste caso é Kdd onde d é a distância do ponto jω ao pólo conjugado α jω0 Como o pólo conjugado está longe de jω0 não há uma mudança dramática no tamanho de d quando ω varia na proximidade de ω0 Existe um aumento gradual no valor de d quando ω aumenta deixando o compor tamento seletivo em freqüência como era originalmente com apenas pequenas alterações REDUÇÃO DE GANHO COM UM ZERO Usando o mesmo argumento observamos que zeros em α jω0 Fig 446d terão exatamente o efeito opos to de pólos suprimindo o ganho na vizinhança de ω0 como mostrado na Fig 446e Um zero no eixo imaginá rio em jω0 irá suprimir totalmente o ganho ganho zero na freqüência ω0 Zeros repetidos irão aumentar o efei Figura 446 Papel de pólos e zeros na determinada da resposta em freqüência de um sistema LCIT CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 403 to Além disso a colocação de um pólo e um zero dipolos muito próximos tenderá a cancelar o efeito um do outro na resposta em freqüência Claramente a colocação adequada de pólos e zeros pode resultar em uma gran de variedade de comportamentos seletivos em freqüência Podemos utilizar esta observação para projetar filtros passabaixas passaaltas passafaixa e párafaixa ou notch A resposta em fase também pode ser calculada graficamente Na Fig 446a os ângulos formados pelos pó los complexos conjugados α jω0 em ω 0 a origem são iguais e opostos Quando ω cresce a partir de 0 o ângulo θ1 devido ao pólo α jω0 que possui um valor negativo para ω 0 é reduzido em magnitude O ângulo θ2 devido ao pólo α jω0 que possui um valor positivo para ω 0 aumenta em magnitude Como resultado θ1 θ2 a soma dos dois ângulos aumenta continuamente aproximando do valor π quando ω A resposta em fase resultante Hjω θ1 θ2 é apresentada na Fig 446c Argumentos similares se apli cam a zeros em α jω0 A resposta de fase resultante Hjω θ1 θ2 é mostrada na Fig 446f Iremos agora focalizar em filtros simples usando o sentimento intuitivo obtido nesta discussão A discus são é essencialmente qualitativa 4102 Filtros PassaBaixas Um típico filtro passabaixas possui um ganho máximo para ω 0 Como um pólo aumenta o ganho nas fre qüências em sua vizinhança nós precisamos colocar um pólo ou pólos no eixo real oposto à origem jω 0 como mostrado na Fig 447a A função de transferência deste sistema é Escolhemos o numerador de Hs igual a ωc para normalizar o ganho CC H0 para a unidade Se d é a dis tância do pólo ωc ao ponto jωFig 447a então Figura 447 Configuração pólozero e a resposta de amplitude de um filtro passabaixas Butterworth 404 SINAIS E SISTEMAS LINEARES com H0 1 Quando ω diminui d aumenta e Hjω aumenta monotonicamente com ω como apresentado na Fig 447d com N 1 Este sistema é claramente um filtro passabaixas com aumento de ganho na proximi dade de ω 0 PAREDE DE PÓLOS A característica de um filtro passabaixas ideal área sombreada da Fig 447d apresenta um ganho unitário cons tante até a freqüência ωc O ganho diminui então repentinamente para 0 para ω ωc Para obter a característica de um filtro passabaixas ideal precisamos aumentar o ganho para toda a faixa de freqüência de 0 a ωc Sabemos que para aumentar o ganho em qualquer freqüência ω precisamos colocar um pólo oposto a ω Para conseguir um au mento de ganho em todas as faixas de freqüência de 0 a ωc e de 0 a ωc para pólos conjugados precisamos colo car um pólo oposto a cada freqüência nesta faixa Em outras palavras precisamos de uma parede contínua de pó los em frente ao eixo imaginário oposta à faixa de freqüência de 0 a ωc e de 0 a ωc para pólos conjugados co mo mostrado na Fig 447b Neste ponto a forma ótima desta parede não é óbvia porque nossos argumentos são qualitativos e intuitivos Apesar disso é certo que para termos um aumento de ganho ganho constante para cada freqüência dentro desta faixa precisamos de um número infinito de pólos nesta parede Podemos mostrar que pa ra uma resposta aproximadamente plana para a faixa de freqüências 0 a ωc a parede é um semicírculo com um número infinito de pólos uniformemente distribuídos ao longo da parede 12 Na prática existe um compromisso en tre usar um número finito N de pólos e obter características inferiores à ideal A Fig 447c mostra a configuração de pólos para um filtro de quinta ordem N 5 A resposta em amplitude para vários valores de N é apresentada na Fig 447d Quando N a resposta do filtro tende a ideal Esta família de filtros é chamada de filtros de But terworth Também existem outras famílias Nos filtros Chebyshev a forma da parede é uma semielipse ao invés de um semicírculo As características de um filtro Chebyshev são inferiores às de um filtro de Butterworth para a banda passante 0 ωc na qual as características mostram um efeito de ripple oscilação uma vez da resposta pla na maximizada de Butterworth Mas fora da banda passante ω ωc o comportamento Chebyshev é superior no sentido de que o ganho do filtro de Chebyshev cai mais rápido do que para filtros de Butterworth 4103 Filtros PassaFaixa A característica sombreada da Fig 448b mostra o ganho de um filtro passafaixa ideal No filtro passafaixa o ganho é aumentado em toda a banda passante Nossa discussão anterior indica que esta característica pode ser obtida através de uma parede de pólos opostos ao eixo imaginário em frente ao centro da banda passante em ω0 Também existe uma parede de pólos complexos opostos a ω0 Idealmente um número infinito de pólos é necessário Na prática existe um compromisso entre usar um número finito de pólos e obter uma característi ca inferior à ideal Fig 448 Figura 448 a Configuração de póloszeros e b resposta de amplitude de um filtro passafaixa Uma resposta plana maximizada significa que as 2N 1 primeiras derivadas de Hjω com relação a ω são zero para ω 0 Projete um filtro notch de segunda ordem para suprimir o ruído de 60 Hz de um rádio receptor Utilizamos os pólos e zeros da Fig 449a com ω0 120π Os zeros estão em s j ω0 Os dois pólos es tão em ω0 cos θ j ω0 sen θ A função de transferência do filtro é com ω0 120π CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 405 Figura 449 a Configuração de pólozeros e b resposta em amplitude para um filtro párafaixa notch EXEMPLO 427 4104 Filtros Notch PáraFaixa A resposta em amplitude de um filtro notch ideal área sombreada na Fig 449b é o complemento da resposta em amplitude de um filtro passafaixas ideal O ganho é zero para uma pequena faixa centrada em alguma fre qüência ω0 e unitário para as demais freqüências A implementação de tal característica requer um número infi nito de pólos e zeros Vamos considerar um filtro notch prático de segunda ordem para obter um ganho zero na freqüência ω ω0 Para isto devemos ter zeros em jω0 A característica de ganho unitário para ω requer um número de pólos igual ao número de zeros M N Isto garante que para valores muito grandes de ω o pro duto das distâncias dos pólos a ω será igual ao produto das distâncias dos zeros a ω Além disso o ganho unitá rio para ω 0 sugere um pólo e um zero correspondente eqüidistantes da origem Por exemplo se nós utilizar mos dois zeros complexos conjugados então nós devemos ter dois pólos A distância da origem aos pólos e da origem aos zeros deve ser a mesma Esta característica pode ser obtida colocando os dois pólos conjugados no semicírculo de raio ω0 como mostrado na Fig 449a Os pólos podem ficar em qualquer lugar no semicírculo para satisfazer a condição de eqüidistância Considere os dois pólos conjugados nos ângulos θ com relação ao eixo real negativo Lembrese de que um pólo e um zero na proximidade tendem a cancelar a influência um do outro Portanto colocar pólos próximos de zeros selecionando θ próximo de π2 resulta em uma rápida recu peração do ganho do valor 0 para 1 enquanto nos movemos para longe de ω0 em qualquer direção A Fig 449b mostra o ganho Hjω para três valores diferentes de θ 406 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e Quanto mais próximos os pólos estiverem dos zeros θ mais próximo é π2 mais rápida a recuperação do ganho de 0 para 1 em qualquer um dos lados de ω0 120π A Fig 449b mostra a resposta em amplitu de para três valores diferentes de θ Este exemplo é um caso muito simples de projeto Para atingir ganho ze ro em uma faixa precisamos de um número infinito de pólos e zeros EXEMPLO DE COMPUTADOR C47 A função de transferência de um filtro notch de segunda ordem é Usando ω0 2π60 trace a resposta em magnitude para os seguintes casos Figura C47 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 407 4105 Filtros Práticos e Suas Especificações Para filtros ideais tudo é preto e branco os ganhos são ou zero ou unitários para certas faixas de freqüências Como vimos antes a vida real não permite essa visão do mundo As coisas precisam ser cinzas ou com tons de cinza Na prática podemos implementar uma grande variedade de características de filtros que só podem apro ximar as características ideais Um filtro ideal possui uma banda passante ganho unitário e uma banda filtrada ganho zero com alguma transição repentina entre a banda passante e a banda filtrada Não existe banda ou faixa de transição Para fil tros práticos ou realizáveis por outro lado a transição da banda passante para a banda filtrada ou viceversa é gradual e ocorre durante uma faixa finita de freqüências Além disso para filtros realizáveis o ganho não po de ser zero para uma faixa finita condição de PaleyWiener Como resultado não pode haver uma verdadeira banda filtrada para filtros práticos Portanto definimos a banda filtrada como sendo a faixa para a qual o ganho é inferior a algum pequeno número Gs como ilustrado na Fig 451 Similarmente definimos a banda passante como sendo a faixa para a qual o ganho está entre 1 e algum número GP GP 1 como mostrado na Fig 451 Selecionamos a banda passante como tendo ganho unitário somente por conveniência O ganho podia ser qual quer constante Geralmente os ganhos são especificados em termos de decibéis Isto é simplesmente 20 vezes o logaritmo na base 10 do ganho Portanto Um ganho unitário é 0 dB e um ganho de é 301 dB geralmente aproximado para 3 dB algumas vezes a especificação pode ser feita em termos da atenuação a qual é o negativo do ganho em dB Portanto um ganho de 1 ou seja 0707 é 3dB mas é uma atenuação de 3 dB Em um procedimento de projeto típico GP ganho mínimo da banda passante e Gs ganho máximo da ban da filtrada são especificados A Fig 451 mostra a banda passante a banda filtrada e a banda de transição para filtros passabaixa passabanda passaalta e párafaixa típicos Felizmente os filtros passaaltas passabanda e párafaixa podem ser obtidos de um filtro passabaixas básico através de uma simples transformação de fre qüências Por exemplo substituindo s por ωcs na função de transferência de um filtro passabaixas teremos um filtro passaaltas De forma equivalente outras transformações de freqüência resultam em filtros passafaixa e párafaixa Logo é necessário desenvolver um procedimento de projeto apenas para o filtro passabaixas bási co Então usando a transformação apropriada podemos projetar filtros de outros tipos Os procedimentos de projeto estão além do nosso escopo e não serão discutidos O leitor interessado neste tópico pode procurar mais informações na Ref 1 EXERCÍCIO E415 Use o método qualitativo para traçar a resposta em freqüência e mostre que o sistema com a configuração de pó loszeros da Fig 450a é um filtro passaaltas e a configuração da Fig 450b é um filtro passafaixa Figura 450 Configuração de póloszeros para a filtro passa alta e b filtro passafaixa 408 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 451 Banda passante banda filtrada e banda de transição em filtros de vários tipos 411 TRANSFORMADA DE LAPLACE BILATERAL Situações envolvendo sinais eou sistemas não causais não podem ser trabalhadas usando a transformada de La place unilateral discutida até o momento Estes casos precisam ser analisados pela transformada de Laplace bilateral ou de dois lados definida por e xt pode ser obtido de Xs através da transformada inversa Observe que a transformada de Laplace unilateral discutida até este momento é um caso especial da trans formada de Laplace bilateral na qual os sinais são restritos a serem causais Basicamente as duas transforma das são iguais Por esta razão usamos a mesma notação para a transformada de Laplace bilateral Anteriormente mostramos que as transformadas de Laplace de e atut e e atut são idênticas A única di ferença está nas regiões de convergência RDC A RDC da primeira é Re s a e para a última é Re s a como ilustrado na Fig 41 Claramente a transformada inversa de Laplace de Xs não é única a não ser que a RDC seja especificada Se restringirmos nossos sinais ao tipo causal entretanto esta ambigüidade não existirá A transformada inversa de Laplace de 1s a é e atut Portanto na transformada de Laplace unilateral nós podemos ignorar a RDC na determinação da transformada inversa de Xs Iremos mostrar agora que qualquer transformada bilateral pode ser expressa em termos de duas transfor madas unilaterais sendo portanto possível determinar a transformada bilateral da tabela de transformadas unilateral CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 409 Considere a função xt mostrada na Fig 452a Separamos xt em duas componentes x1t e x2t represen tando a componente de tempo positivo causal e a componente de tempo negativo anticausal de xt respec tivamente Fig 452b e 452c A transformada de Laplace bilateral de xt é dada por 493 Figura 452 Expressando um sinal como a soma de componentes causal e anticausal 410 SINAIS E SISTEMAS LINEARES na qual X1s é a transformada de Laplace da componente causal x1t e X2s é a transformada de Laplace da componente anticausal x2t Considere X2s dada por Portanto Se xt possuir um impulso ou suas derivadas na origem eles estão incluídos em x1t Conseqüentemente x2t 0 na origem ou seja x20 0 Logo o limite inferior na integração da equação anterior pode ser con siderado como sendo 0 ao invés de 0 Portanto Como x2t é causal Fig 452d X2s pode ser determinada da tabela de transformada unilateral Tro cando o sinal de s em X2s obtemos X2s Para resumir a transformada bilateral Xs da Eq 493 pode ser calculada a partir das transformadas unila teral em dois passos 1 Divida xt em componentes causal e anticausal x1t e x2t respectivamente 2 Os sinais x1t e x2t são causais Determine a transformada de Laplace unilateral de x1t e some a ela a transformada de Laplace unilateral x2t com s substituído por s Este procedimento resulta na transformada de Laplace bilateral de xt Como x1t e x2t são causais X1s e X2s são transformadas de Laplace unilaterais Seja σc1 e σc2 as abs cissas de convergência de X1s e X2s respectivamente Esta afirmação implica que X1s existe para todo s com Re s σc1 e X2s existe para todo s com Re s σc2 Portanto Xs X1s X2s existe para todo s tal que As regiões de convergência ou existência de X1s X2s e Xs estão mostradas na Fig 453 Como Xs é finito para todos os valores de s dentro da faixa de convergência σc1 Re s σc2 os pólos de Xs devem es tar fora desta faixa Os pólos de Xs devido à componente causal x1t estão no lado esquerdo da faixa região de convergência e os devido a componente anticausal x2t estão lado direito da faixa veja a Fig 453 Este fa to é de crucial importância na determinação da transformada bilateral inversa Esse resultado pode ser generalizado para sinais de lado direito e de lado esquerdo Definimos um sinal xt como sendo um sinal de lado direito se xt 0 para t T1 para algum número finito positivo ou negativo T1 Um sinal causal é sempre um sinal de lado direito mas o inverso não é necessariamente verdadeiro Um sinal é dito ser de lado esquerdo se ele for zero para t T2 para algum número finito positivo ou negativo T2 Um si nal anticausal é sempre um sinal de lado esquerdo mas o inverso não é necessariamente verdadeiro Um sinal de dois lados é de duração infinita nos dois lados positivo e negativo de t e não é nem de lado direito e nem de lado esquerdo Podemos mostrar que as conclusões para a RDC para sinais causais também são válidas para sinais de lado direito e as conclusões de sinais anticausais são válidas para sinais de lado esquerdo Em outras palavras se xt é causal ou de lado direito os pólos de Xs estão no lado esquerdo da RDC e se xt for anticausal ou de lado esquerdo os pólos de Xs estão a direita da RDC Para provar esta generalização observamos que um sinal de lado direito pode ser descrito como xt xft na qual xt é um sinal causal e xft é algum sinal de duração finita A RDC de qualquer sinal de duração finita Por exemplo se xt existe para todo t 10 então xt a forma invertida no tempo existe para t 10 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 411 Figura 453 é todo o plano s nenhum pólo finito Logo a RDC de um sinal de lado direito xt xft é a região comum en tre a RDC de xt e de xft a qual é a mesma RDC de xt Isto prova a generalização de sinais de lado direito Podemos utilizar um argumento similar para generalizar o resultado para sinais de lado esquerdo Vamos determinar a transformada de Laplace bilateral de 494 Já conhecemos a transformada de Laplace da componente causal 495 Para a componente anticausal x2t e btut tempos tal que Portanto 496 e a transformada de Laplace de xt da Eq 494 é 497 A Fig 454 mostra xt e a RDC de Xs para vários valores de a e b A Eq 497 indica que a RDC de Xs não existe se a b o qual é precisamente o caso da Fig 454g Observe que os pólos de Xs estão fora nos limites da RDC Os pólos de Xs em função da componente anticausal de xt estão a direita da RDC e os pólos devido a componente causal de xt estão a esquerda da RDC Determine a transformada inversa de Laplace de 412 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 454 Quando Xs é expresso como a soma de vários termos a RDC de Xs é a interseção região comum das RDCs de todos os termos Em geral se xt então a RDC de Xs é a interseção das RDCs região comum a todas as RDCs das transformadas X1s X2s Xks EXEMPLO 428 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 413 Se a RDC for a Xs possui pólos em 2 e 1 A faixa de convergência é 2 Re s 1 O pólo em 2 estando no lado esquerdo da faixa de convergência corresponde ao sinal causal O pólo em 1 estando no lado direito da fai xa de convergência corresponde ao sinal anticausal As Eqs 495 e 496 resultam em b Os dois pólos estão no lado esquerdo da RDC portanto os dois pólos correspondem a sinais causais Logo c Os dois pólos estão no lado direito da região de convergência desta forma os dois pólos correspon dem a sinais anticausais e A Fig 455 mostra as três transformadas inversas correspondentes ao mesmo Xs mas com diferentes re giões de convergência Figura 455 Três possíveis transformadas inversas de 3s 2s 1 414 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 4111 Propriedades da Transformada de Laplace Bilateral As propriedades da transformada de Laplace bilateral são similares às da transformada unilateral Iremos sim plesmente mencionar as propriedades sem as respectivas provas Seja a RDC de Xs a RE s b De manei ra similar seja a RDC de Xis ai Re s bi para i 1 2 LINEARIDADE A RDC para a1X1s a2X2s é a região comum interseção das RDCs de X1s e X2s DESLOCAMENTO NO TEMPO A RDC de Xse sT é idêntica à RDC de Xs DESLOCAMENTO NA FREQÜÊNCIA A RDC de Xs s0 é a c Re s b c na qual c Re s0 DIFERENCIAÇÃO NO TEMPO A RDC para sXs contém a RDC para Xs e pode ser maior do que a de Xs sob certas condições por exemplo se Xs possui um pólo de primeira ordem em s 0 que é cancelado pelo fator s em sXs INTEGRAÇÃO NO TEMPO A RDC para Xss é máxa 0 Re s b ESCALAMENTO NO TEMPO A RDC de Xsβ é βa Re s βb Para β 1 xβt representa a compressão no tempo e a RDC correspon dida é expandida por um fator β Para 0 β 1 xβt representa uma expansão no tempo e a RDC correspon dente é comprimida por um fator β CONVOLUÇÃO NO TEMPO A RDC para X1sX2s é a região comum interseção das RDCs de X1s e X2s CONVOLUÇÃO NA FREQÜÊNCIA A RDC para X1s X2s é a1 a2 Re s b1 b2 Determine a corrente yt para o circuito RC da Fig 456a se a tensão xt for Figura 456 Resposta de um circuito a uma entrada não causal A função de transferência Hs deste circuito é dada por Como ht é uma função causal a RDC de Hs é Re s 1 A seguir a transformada de Laplace bila teral de xt é dada por CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 415 REVERSÃO NO TEMPO A RDC para Xs é b Re s a 4112 Usando a Transformada Bilateral para a Análise de Sistemas Lineares Como a transformada de Laplace bilateral pode ser utilizada para trabalhar com sinais não causais podemos analisar sistemas LCIT não causais usando a transformada de Laplace bilateral Mostramos que a saída yt de estado nulo é dada por 498 Essa expressão é válida apenas se XsHs existir A RDC de XsHs é a região na qual tanto Xs quanto Hs existirem Em outras palavras a RDC de XsHs é a região comum às regiões de convergência tanto de Xs quanto Hs Estas idéias são melhor apresentadas através dos seguintes exemplos EXEMPLO 429 Determine a resposta yt do sistema não causal cuja função de transmissão é dada por à entrada xt e 2tut Temos e A RDC de XsHs é a região 2 Re s 1 Através de expansão por frações parciais e Note que o pólo de Hs está no SPD em 1 Ainda assim o sistema é não instável O pólo no SPD pode indicar uma instabilidade ou não causalidade dependendo de sua localização com relação de convergência de Hs Por exemplo se Hs 1s 1 com Re s 1 o sistema é causal e instável com ht e tut Por outro lado se Hs 1s 1 com Re s 1 o sistema é não causal e estável com ht e tut 416 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A resposta yt é a transformada inversa de XsHs A RDC de XsHs é a RDC comum tanto a Xs quanto a Hs Ou seja 1 Re s 2 Os pólos s 1 estão a esquerda da RDC e portanto correspondem a sinais causais O pólo s 2 está ao lado direito da RDC e portanto representa um sinal anticausal Logo A Fig 456c mostra yt Note que neste exemplo se então a RDC de Xs é 4 Re s 2 Neste caso não existe região de convergência para XsHs Tal situação significa que a condição de dominância não pode ser satisfeita para qualquer valor possível de s na faixa 1 Re s 2 Logo a resposta yt irá para o infinito EXEMPLO 430 Determine a resposta yt de um sistema com função de transferência e a entrada A entrada xt é do tipo mostrada na Fig 454g e a região de convergência para Xs não existe Neste caso devemos determinar separadamente a resposta do sistema a cada uma das duas componentes da entrada x1t e tut e x2t e 2tut Se y1t e y2t são as respostas do sistema a x1t e x2t respectivamente então tal que e tal que Portanto CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 417 412 RESUMO Este capítulo discute a análise de sistema LCIT linear contínuo invariante no tempo através da transformada de Laplace a qual transforma equações integrodiferenciais de tais sistemas em equações algébricas Portanto EXEMPLO 431 418 SINAIS E SISTEMAS LINEARES a resolução destas equações integrodiferenciais é reduzida para a resolução de equações algébricas O método da transformada de Laplace não pode ser utilizado para sistemas com parâmetros variantes no tempo ou para sis temas não lineares em geral A função de transferência Hs de um sistema LCIT é a transformada de Laplace de sua resposta ao impul so Ela também pode ser definida como sendo a razão da transformada de Laplace da saída pela transformada de Laplace da entrada quando todas as condições iniciais são zero sistema no estado nulo Se Xs é a transfor mada de Laplace da entrada xt e Ys é a transformada de Laplace da saída yt correspondente quando todas as condições iniciais são zero então Ys XsHs Para um sistema LCIT descrito por uma equação diferen cial de ordem N QDyt PDxt a função de transferência é Hs PsQs Tal como a resposta ht ao impulso a função de transferência Hs também é uma descrição externa do sistema A análise de circuitos elétricos também pode ser realizada usando o método do circuito transformado no qual todos os sinais tensões e correntes são representados por suas transformadas de Laplace todos os ele mentos são substituídos por suas impedâncias ou admitâncias e as condições iniciais por suas fontes equiva lentes geradores de condição inicial Neste método um circuito pode ser analisado como se fosse um circui to resistivo Grandes sistemas podem ser divididos por subsistemas conectados adequadamente representados por blo cos Cada subsistema sendo um sistema menor pode ser facilmente analisado e representado por sua relação entradasaída tal como sua função de transferência A análise de sistemas grandes pode ser realizada pelo co nhecimento das relações de entradasaída de seus subsistemas e pela natureza das conexões dos vários sub sistemas Sistemas LCIT podem ser realizados implementados por multiplicadores escalares somadores e integrado res Uma dada função de transferência pode ser sintetizada de diversas formas tais como canônica cascata e pa ralelo Além disso cada realização possui sua transposta a qual possui a mesma função de transferência Na prá tica todos os blocos construtivos multiplicadores escalares somadores e integradores podem ser obtidos de amplificadores operacionais A resposta do sistema a uma exponencial de duração infinita e st também é uma exponencial de duração infi nita Hse st Conseqüentemente a resposta do sistema a uma exponencial de duração infinita e jωt é Hjωe jωt Lo go Hjω é a resposta em freqüência do sistema Para uma entrada senoidal de amplitude unitária tendo freqüên cia ω a resposta do sistema também é uma senóide de mesma freqüência ω com amplitude Hjω e desloca mento de fase de Hjω com relação à senóide de entrada Por esta razão Hjω é chamado de resposta em amplitude ganho e Hjω é chamado de resposta de fase do sistema A resposta em amplitude e fase de um sistema mostram as características de filtragem do sistema A natureza geral das características de filtragem de um sistema podem ser rapidamente determinadas do conhecimento da posição dos pólos e zeros da função de transferência do sistema A maioria dos sinais de entrada e sistemas práticos são causais Conseqüentemente na maior parte do tem po trabalhamos com sinais causais Quando todos os sinais são causais a análise por transformada de Laplace é muito simplificada pois a região de convergência de um sinal fica irrelevante no processo de análise Este ca so especial da transformada de Laplace a qual é restrita a sinais causais é chamada de transformada de Lapla ce unilateral Grande parte do capítulo trabalha com este tipo de transformada de Laplace A Seção 411 entre tanto discute a transformada de Laplace genérica transformada de Laplace bilateral a qual pode trabalhar com sinais e sistemas causais e não causais Na transformada bilateral a transformada inversa de Xs não é única dependendo da região de convergência de Xs Portanto a região de convergência possui um papel crucial na transformada de Laplace bilateral REFERÊNCIAS CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 419 MATLAB Seção 4 Filtros em Tempo Contínuo Filtros contínuos em tempo contínuo são essenciais para vários se não todos sistemas de engenharia e o MA TLAB é um excelente assistente para o projeto e análise de filtros Apesar de um tratamento completo de técni cas de filtros em tempo contínuo estar fora do escopo deste livro filtros de qualidade podem ser projetados e rea lizados com uma teoria adicional mínima O exemplo prático simples a seguir pode ser utilizado para demonstrar conceitos básicos de filtragem Si nais de voz em telefone geralmente são filtrados através de um passabaixas para eliminar freqüências acima de 3kHz freqüência de corte ou ωc 30002π 18850 rads A filtragem mantém uma qualidade da voz satis fatória e reduz a largura de faixa do sinal aumentando portanto a capacidade de ligações da companhia telefô nica Como então projetamos e realizamos um filtro passabaixas aceitável de 3 kHz M41 Resposta em Freqüência e Avaliação Polinomial O gráfico de resposta em magnitude ajuda a avaliar a performance e a qualidade de um filtro A resposta em mag nitude de um filtro ideal é uma função retangular com ganho unitário na faixa de passagem e uma atenuação per feita na banda filtrada Para um filtro passabaixas com freqüência de corte ωc a resposta em magnitude ideal é Infelizmente filtros ideais não podem ser implementados na prática Filtros realizáveis apresentam um com promisso entre a qualidade e a complexidade do sistema apesar de bons projetos se aproximarem bastante da resposta retangular desejada Um sistema LCIT realizável geralmente possui uma função de transferência racional representada no domí nio s por A resposta em freqüência Hjω é obtida fazendo s jω na qual a freqüência ω está em radianos por segundo O MATLAB é naturalmente adequado para o cálculo de funções de resposta em freqüência Definindo um vetor de coeficientes A a0 a1 aN de tamanho N 1 e um vetor de coeficientes B bN M bN M 1 bN de tamanho M 1 o programa PS4P1 calcula Hjω para cada freqüência no vetor ω de entrada Function H MS4P1BAomega MS4P1m MATLAB Seção 4 Programa 1 ArquivoM de função para calcular a resposta em freqüência de um sistema LCIT Entradas B vetor de coeficientes de alimentação direta A vetor de coeficientes de realimentação omega vetor de freqüências rads Saídas H Resposta em freqüência H polyvalBjomegapolyvalA jomega 420 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A função polyval calcula eficientemente polinômios simples deixando o programa trivial Por exemplo quando A é o vetor de coeficientes a0 a1 aN polyvalA jomega calcula para cada valor do vetor de freqüência omega Também é possível calcular respostas em freqüência usando a função freqs do toolbox de processamento de sinais M42 Projeto e Avaliação de um Filtro RC simples Um dos filtros passabaixas mais simples é realizado utilizando o circuito RC mostrado na Fig M41 Este sis tema de um pólo possui função de transferência dada por HRCs RCs 1 1 e resposta em amplitude HRCs jωRC 1 1 Independente dos valores dos componentes R e C esta função de ampli tude possui várias características desejáveis tais como ganho unitário para ω 0 e decaimento monotônico pa ra zero quando ω Os componentes R e C são escolhidos para obter a freqüência de corte de 3 kHz desejada Para vários tipos de filtros a freqüência de corte corresponde ao ponto de meia potência ou HRCs 1 Associando a C a capacitância típica de 1 nF a resistência necessária é calculada por R 1 A raiz deste filtro RC de primeira ordem está diretamente relacionada à freqüência de corte λ 1RC 18850 ωc Para avaliar a performance do filtro RC o gráfico da resposta em amplitude em função da faixa de freqüên cia audível 0 f 20kHz é obtido O comando linspace X1 X2 N gera um vetor de tamanho N de pontos linearmente espaçados entre X1 e X2 Como mostrado na Fig M42 a resposta do RC de primeira ordem realmente é um filtro passabaixas com uma freqüência de corte de meia potência igual a 3 kHz Ele aproxima pobremente a resposta retangular dese jada a banda passante não é muito plana e a atenuação da banda filtrada aumenta muito lentamente para menos de 20 dB em 20 kHz M43 Filtro RC em Cascata e Expansão Polinomial Já era esperado que um filtro RC simples de primeira ordem tivesse uma performance pobre Um pólo é simples mente insuficiente para obter bons resultados Circuitos RC em cascata aumentam o número de pólos e melho ram a resposta do filtro Para simplificar a análise e evitar o carregamento entre estágios ampops como segui Figura M41 Filtro RC dores de tensão são colocados na saída de cada seção como mostrado na Fig M43 A cascata de N estágios re sulta em um filtro de ordem N com função de transferência dada por Escolhendo uma cascata de 10 seções e com C 1 nf uma freqüência de corte de 3 kHz é obtida escolhen do Este filtro em cascata possui pólos de décima ordem em λ 1RC e nenhum zero finito Para calcular a resposta em magnitude são necessários vetores de coeficiente A e B Fazendo B 1 garantimos que não existirão zeros finitos ou equivalentemente que todos os zeros estão no infinito O comando poly o qual ex pande um vetor de raízes em um vetor correspondente de coeficientes polinomiais é utilizado para obter A Note que o escalamento de um polinômio por uma constante não altera suas raízes Por outro lado as raízes de um polinômio especificam um polinômio dentro de um fator de escala O comando A AA end escalo na adequadamente o denominador polinomial para garantir um ganho unitário em ω 0 O gráfico da resposta em amplitude do filtro RC em cascata é mostrado na Fig M44 A banda passante per manece relativamente inalterada mas a atenuação da banda filtrada é muito melhorada passando para 60 dB em 20 kHz M44 Filtros de Butterworth e o Comando Find A posição dos pólos de filtros passabaixas de primeira ordem é necessariamente fixada pela freqüência de cor te Existe pouca razão entretanto para colocar todos os pólos de um filtro de décima ordem em uma única posi ção Um melhor posicionamento dos pólos irá melhorar a performance da resposta em amplitude do filtro Uma estratégia discutida na Seção 410 é colocar uma parede de pólos opostos às freqüências da banda passante Uma CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 421 Figura M42 Resposta em amplitude HRCj2πf de um RC de primeira ordem Figura M43 Um filtro RC em cascata Figura M44 Comparação entre filtros passabaixa 422 SINAIS E SISTEMAS LINEARES parece circular de pólos leva a família de filtros de Butterworth e uma forma elíptica leva a família de filtros de Chebyshev Os filtros de Butterworth serão estudados primeiro Para começar note que a função de transferência Hs com coeficientes reais possui uma resposta quadrática de amplitude dada por Hjω 2 HjωHjω HjωHjω HsHss jω Portanto metade dos pólos de Hjω 2 corresponde ao filtro Hs e a outra metade corresponde a Hs Filtros que são tanto estáveis quan to causais requerem que Hs inclua apenas pólos no semiplano esquerdo A resposta quadrática da amplitude de um filtro de Butterworth é Essa função possui as mesmas características de um filtro RC de primeira ordem um ganho que é unitário para ω 0 e que decresce monotonicamente para zero quando ω Por construção o ganho de meia potência ocor re em ωc Talvez o mais importante entretanto é que as primeiras 2N 1 derivadas de HBjω com relação a ω são zero para ω 0 Colocando de outra forma a banda passante é restrita a uma faixa bastante plana para baixas fre qüências Por esta razão filtros de Butterworth são algumas vezes chamados de filtros maximamente planos Como discutido em MATLAB Seção B as raízes de 1 estão igualmente espaçadas em um círculo centrado na origem Portanto os 2N pólos de HBjω 2 estão naturalmente espaçados em um círculo de raio ωc centrado na origem A Fig M45 mostra os 20 pólos correspondentes ao caso N 10 e ωc 30002π rads Um filtro de But terworth de ordem N que seja tanto causal quanto estável utiliza os N pólos do semiplano esquerdo de HBjω 2 Figura M45 Raízes de HBjω 2 para N 10 e ωc 30002π CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 423 Para projetar um filtro de Butterworth de ordem 10 primeiro calculamos os 20 pólos de HBjω 2 O comando find é uma função extremamente poderosa que retorna os índices dos elementos não nulos de um vetor Combinado com operadores relacionais o comando find nos permite extrair as 10 raízes do semi plano esquerdo que correspondem aos pólos de nosso filtro de Butterworth Para calcular a resposta em amplitude estas raízes são convertidas para o vetor de coeficientes A O gráfico da resposta em amplitude do filtro de Butterworth é mostrado na Fig M44 A resposta do filtro aproximase muito da função retangular e fornece excelentes características de filtragem banda passante plana rápida transição para a banda filtrada e excelente atenuação na banda filtrada 40 dB para 5 kHz M45 Utilização de Seções de Segunda Ordem em Cascata para a Implementação de Filtros de Butterworth Em nosso filtro RC a implementação precedeu o projeto Para nosso filtro Butterworth entretanto o projeto precedeu a realização Para nosso filtro de Butterworth ser útil precisamos ser capazes de implementálo Como a função de transferência HBs é conhecida a equação diferencial também é conhecida Portanto é pos sível tentar implementar o projeto usando integradores somadores e multiplicadores escalares implementados com ampops Infelizmente esta abordagem não irá funcionar adequadamente Para saber o motivo considere os coeficientes a0 1766 10 43 e a 10 1 O menor coeficiente é 43 ordens de grandeza menor do que o maior coeficiente É praticamente impossível implementar com precisão uma faixa tão grande de valores escalares Pa ra aceitar este fato os céticos devem tentar determinar resistores comerciais tais que Rf R 1766 10 43 Adi cionalmente pequenas variações nos componentes irão causar grandes mudanças na posição real dos pólos Uma abordagem melhor é a cascata de cinco seções de segunda ordem sendo que cada seção implementará uma par complexo conjugado de pólos Trabalhando com pares de pólos complexos cada uma das seções de se gunda ordem resultantes possuirá coeficientes reais Com esta abordagem os menores coeficientes são apenas nove ordens de grandeza menores do que os maiores coeficientes Além disso a posição dos pólos é menos sen sível a variações dos componentes em estruturas em cascata O circuito de SallenKey mostrado na Fig M46 é uma boa maneira de implementar um par de pólos com plexos conjugados A função de transferência deste circuito é Figura M46 Estágio de filtro de SallenKey Uma versão mais genérica do circuito de SallenKey possui um resistor Ra do terminal negativo para o terra e um resistor Rb entre o termi nal negativo e a saída Na Fig M46 Ra e Rb 0 424 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Geometricamente ω0 é a distância da origem aos pólos e Q 12 cos ψ na qual ψ é o ângulo entre o ei xo real negativo e o pólo Chamado de fator de qualidade Q fornece uma medida do formato da resposta Filtros de alto Q possuem pólos próximos do eixo ω aumentando muito a resposta em amplitude próximas àquelas freqüências Apesar de existirem várias formas de se determinar valores adequados de componentes um método simples é associar a R1 um valor comercial e então fazer R2 R1 C1 2Qω0R1 e C2 12Qω0R2 Os pólos de Butter worth estão a uma distância ωc da origem tal que ω0 ωc Para nosso filtro de Butterworth de ordem 10 os ân gulos ψ estão regularmente espaçados em 9 27 45 63 e 81 graus O programa MS4P2 automatiza a tarefa de calcular os valores dos componentes e a resposta em amplitude para cada estágio MS4P2 MATLAB Seção 4 Programa 2 ArquivoM de escript para calcular os valores dos componentes de Sallenkey e a resposta em amplitude para cada uma das cinco seções de filtros de segunda ordem omega0 30002pi freqüência de corte do filtro psi 9 27 45 63 81pi180 ângulos dos pólos de Butterworth f linspace0 6000 200 faixa de freqüência para os cálculos da resposta em amplitude HmagSK zeros5 200 préaloca matriz para as respostas em amplitude for estagio 15 Q 12cospsiestagio Calcula Q para o estágio atual Calcula e mostra os componentes do filtro na tela dispEstágio num2strestagio Q num2strQ R1 R2 num2str56000 C1 num2str2Qomega056000 C2 num2str12Qomega056000 B omega02 A 1 omega0Q omega02 Calcula os coeficientes do filtro HmagSKestagio absMS4P1BA2pif calcula a resposta em amplitude end plotf HmagSK k f prodHmagSK k xlabelf Hz ylabelResposta em Amplitude O comando disp mostra uma string de caracteres na tela A string de caracteres deve estar dentro de aspas simples O comando num2str converte números para strings de caracteres O comando prod multiplica as co lunas de uma matriz ele calcula a resposta em amplitude total como sendo o produto da resposta em amplitude dos cinco estágios Executando o programa teremos a seguinte saída Como todos os valores dos componentes são encontrados na prática este filtro pode ser implementado A Fig M47 mostra as respostas em amplitude para os cinco estágios linhas sólidas A resposta total linha pon tilhada confirma a resposta de um filtro de Butterworth de ordem 10 O estágio 5 o qual possui o maior Q e im plementa o par de pólos conjugados mais perto do eixo ω possui a resposta com o maior pico O estágio 1 o qual possui o menor Q e implementa o par de pólos conjugados mais longe do eixo ω possui a resposta com o me nor pico Na prática é melhor deixar estágios com Q mais alto no final isto reduz o risco de altos ganhos que podem saturar o hardware do filtro Figura M47 Respostas em amplitude para os estágios do filtro de SallenKey CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 425 M46 Filtros de Chebyshev Tal como um filtro passabaixas FPB de Butterworth de ordem N um FPB Chebyshev de ordem N é um filtro com somente pólos que possui várias características desejáveis Quando comparado com um filtro de Butter worth de mesma ordem o filtro de Chebyshev possui uma atenuação na banda filtrada melhor e uma largura da faixa de transição reduzida permitindo uma ripple ajustável na banda passante A resposta quadrática de amplitude de um filtro de Chebyshev é na qual ϵ controla o ripple da faixa passante CNωωc é um polinômio de Chebyshev de grau N e ωc é a freqüên cia angular de corte Várias características de FPBs de Chebyshev são importantes e devem ser ressaltadas Um FPB de Chebyshev de ordem N possui um ripple constante na banda passante ω ωc possui um total de N máximos e mínimos para 0 ω ωc e é monotonicamente decrescente na banda filtrada ω ωc Na banda passante o ganho máximo é 1 e o ganho mínimo é 1 Para valores ímpares de N Hj0 1 Para valores pares de N Hj0 O ripple é controlado fazendo na qual R é o ripple permitido na banda passante expres so em decibéis Reduzindo ϵ indiscriminadamente afetase a performance do filtro veja o Prob 4M8 Ao contrário de filtros de Butterworth a freqüência de corte ωc raramente especifica o ponto de 3 dB Pa ra ϵ 1 Hjω 2 11 ϵ 2 05 A freqüência de corte ωc simplesmente indica a freqüência após a qual Hjω 1 O polinômio CNx de Chebyshev é definido por Nesta forma é difícil observar que CNx é um polinômio de grau N em x A forma recursiva de CNx torna este fato mais claro veja o Prob 4M11 Com C0x 1 e C1x x a forma recursiva mostra que qualquer CN é uma combinação linear de polinô mios de grau N e portanto ela mesmo é um polinômio de grau N Para N 2 o programa MS4P3 em MATLAB gera os N 1 coeficientes do polinômio CNx de Chebyshev function CN MS4P3N MS4P3 MATLAB Seção 4 Programa 3 Arquivom de função que calcula os coeficientes do polinômio de Chebyshev usando a relação recursiva CNX 2XCN1X CN2X ENTRADAS N grau do polinômio de Chebyshev E A Guillemin demonstrou uma maravilhosa relação entre a elipse de Chebyshev e o círculo de Butterworth em seu livro Synthesis of Passive Networks Wiley New York 1957 426 SINAIS E SISTEMAS LINEARES SAÍDAS CN vetor dos coeficientes do polinômio de Chebyshev CNm2 1 cNm1 1 0 coeficientes iniciais do polinômio for t 2 N CN 2conv1 0 CNm1 zeros1 lengthCNm1 lengthCNm2 1 CNm2 CNm2 CNm1 CNm1 CN end Por exemplo considere C2x 2xC1x C0x 2xx 1 2x 2 1 e C3x 2xC2x C1x 2x2x 2 1 x 4x 3 3x MS4P3 facilmente confirma estes casos Como CNωωc é um polinômio de grau N Hjω 2 é uma função racional de pólos com 2N pólos finitos Si milar ao caso de Butterworth os N pólos que especificam um filtro de Chebyshev causal e estável podem ser de terminados escolhendo as N raízes no semiplano esquerdo de 1 ϵ 2C 2 Nsjωc As posições das raízes e o ganho CC são suficientes para especificar um filtro de Chebyshev para um dado N e ϵ Para demonstrar considere o projeto de um filtro de Chebyshev de ordem 8 com freqüência de corte fc 1 kHz e um ripple permitido na banda passante de R 1 dB Inicialmente os parâmetros do filtro são especificados Os coeficientes de CNsjωc são obtidos com a ajuda de MS4P3 e os coeficientes de 1 ϵ 2C 2 Nsjωc são calculados usando a convolução para executar a multiplicação polinomial A seguir as raízes do polinômio são determinadas e os pólos do semiplano esquerdo são separados e mos trados no gráfico Como mostrado na Fig M48 as raízes do filtro de Chebyshev estão em uma elipse veja o Prob 4M12 Para calcular a resposta em amplitude do filtro os pólos são expandidos para um polinômio o ganho CC é baseado no valor par de N e MS4P1 é utilizado Como visto na Fig M49 a resposta em amplitude exibe as características corretas do filtro de Chebyshev os ripples na banda passante são iguais em altura e nunca excedem R 1 dB existem um total de N 8 máxi mos e mínimos na banda passante e o ganho rapidamente decresce monotonicamente após a freqüência de cor te fc 1 kHz CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 427 Para filtros de mais alta ordem as raízes polinomiais podem não fornecer um resultado confiável Felizmen te as raízes de Chebyshev também podem ser analiticamentes determinadas Para os pólos de Chebyshev são Continuando no mesmo exemplo os pólos são recalculados e mostrados novamente no gráfico O resultado é idêntico à Fig M48 Tal como no caso de filtros de Butterworth de alta ordem a cascata de seções de segunda ordem facilita a im plementação prática de filtros de Chebyshev Os problemas 4M3 e 4M6 utilizam estágios de segunda ordem de SallenKey para analisar este tipo de implementação Figura M49 Resposta em amplitude para um FPB de Chebyshev de ordem 8 com fc 1 kHz e R 1 dB Figura M48 Gráfico de póloszeros para um FPB de Chebyshev de ordem 8 com fc 1 kHz e R 1 dB 428 SINAIS E SISTEMAS LINEARES P R O B L E M A S 411 Através de integração direta Eq 41 deter mine as transformadas de Laplace e a região de convergência das seguintes funções 412 Através de integração direta determine as transformadas de Laplace dos sinais mostra dos na Fig P412 413 Determine a transformada inversa de Laplace unilateral das seguintes funções 421 Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções usando a Tabela 41 e a pro priedade de deslocamento no tempo se neces sária da transformada de Laplace unilateral 422 Usando apenas a Tabela 41 e a propriedade de deslocamento temporal determine a trans formada de Laplace dos sinais da Fig P412 Dica veja na Seção 14 a discussão sobre a descrição analítica destes sinais 423 Determine as transformadas inversas de La place dos seguintes sinais 424 A transformada de Laplace de um sinal causal periódico pode ser determinada a partir do co nhecimento da transformada de Laplace de seu primeiro período a Se a transformada de Laplace de xt da Fig P42a é Xs então mostre que Gs a transformada de Laplace de gt Fig P424b é Figura P412 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 429 b Utilize este resultado para determinar a transformada de Laplace do sinal pt mostrado na Fig P424c 425 Começando apenas com o fato de que δt 1 obtenhas os pares 2 a 10b da Tabela 41 usando as várias propriedades da trans formada de Laplace 426 a Determinada a transformada de Laplace dos pulsos da Fig 42 do texto usando apenas as propriedades de diferenciação no tempo deslocamento no tempo e o fa to de que δt 1 b No Exemplo 47 a transformada de La place de xt foi obtida determinandose a transformada de Laplace de d 2xdt 2 Obte nha a transformada de Laplace de xt na quele exemplo determinando a transfor mada de Laplace de dxdt e usando a Ta bela 41 se necessário 427 Determine a transformada inversa de Laplace unilateral de 428 Como 13 é um número de azar determine a transformada inversa de Laplace de Xs 1s 1 13 dada a região de convergência σ 1 Dica Qual é a nésima derivada de 1s a 429 É difícil determinar a transformada de Lapla ce Xs do sinal usando a integração direta Por outro lado as propriedades constituem um método simples a Utilize as propriedades da transformada de Laplace para obter a transformada de Laplace de txt em termos da grandeza desconhecida Xs b Utilize a definição para determinar a transformada de Laplace de yt txt c Obtenha Xs usando as informações de a e b Simplifique sua resposta 431 Usando a transformada de Laplace resolva as seguintes equações diferenciais 432 Resolva as equações diferenciais do Prob 431 usando a transformada de Laplace Para cada caso determine as componentes de en trada nula e estado nulo da solução 433 Resolva as seguintes equações diferenciais si multâneas usando a transformada de Laplace Considere condições iniciais nulas e a entrada xt ut Figura P424 430 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Determine as funções de transferência relacio nando as saída y1t e y2t com a entrada xt 434 Para o circuito da Fig P434 a chave é man tida na posição aberta por um longo período antes de t 0 quando ela é fechada instanta neamente a Escreva as equações de malha no domí nio do tempo para t 0 b Resolva para y1t e y2t obtendo a trans formada de Laplace das equações de ma lha determinadas na parte a 435 Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir determine a função de transferência do sistema 436 Para cada um dos sistemas especificados pe las seguintes funções de transferência deter mine a equação diferencial que relaciona a saída yt com a entrada xt assumindo que os sistemas são controláveis e observáveis 437 Para um sistema com função de transferência a Determine a resposta estado nulo para a entrada xt de i 10ut e ii ut 5 b Para este sistema escreva a equação dife rencial que relaciona a saída yt com a en trada xt assumindo que o sistema é con trolável e observável 438 Para um sistema com função de transferência a Determine a resposta estado nulo para a entrada xt 1 e tut b Para este sistema escreva a equação dife rencial que relaciona a saída yt com a entrada xt assumindo que o sistema é controlável e observável 439 Para um sistema com função de transferência a Determine a resposta estado nulo para os seguintes valores de entrada xt b Para este sistema escreva a equação dife rencial que relaciona a saída yt com a entrada xt assumindo que o sistema é controlável e observável 4310 Um sistema LIT possui uma resposta ao de grau dada por st e tut e 2tut Deter Figura P434 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 431 mine a saída yt deste sistema dada a entrada xt δt π cos ut 4311 Para um sistema LCIT com condições iniciais nulas sistema inicialmente no estado nulo se uma entrada xt produz uma saída yt en tão usando a transformada de Laplace mos tre que a A entrada dxdt produz uma saída dydt b A entrada xτdτ produz uma saída xτdτ Logo mostre que a resposta ao degrau unitário deste sistema é a inte gral da resposta ao impulso ou seja hτdτ 4312 a Analise a estabilidade assintótica e BI BO para os sistemas descritos pelas se guintes funções de transferência assu mindo que os sistemas são controláveis e observáveis b Repita a parte a para os sistemas descri tos pelas seguintes equações diferenciais Os sistemas podem ser não controláveis eou não observáveis 441 Determine a resposta yt de estado nulo do circuito da Fig P441 se a tensão de entrada for xt te tut Determine a função de transferência relacionando a saída yt com a entrada xt A partir da função de transferên cia escreva a equação diferencial relacionan do yt com xt Figura P441 442 A chave do circuito da Fig P442 está fecha da por um longo tempo quando é instantanea mente aberta em t 0 Determine e trace a corrente yt Figura P442 443 Determine a corrente yt para o circuito resso nante paralelo da Fig P443 se a entrada for Assuma todas as condições iniciais iguais a zero e nos dois casos ω0 2 1LC Figura P443 444 Determine as correntes de malha y1t e y2t para t 0 no circuito da Fig P444a para a entrada xt da Fig P444b 445 Para o circuito da Fig P445 a chave está fe chada por um longo tempo antes de t 0 quando ela é aberta instantaneamente Deter mine y1t e vst para t 0 446 Determine a tensão v0t de saída do circuito da Fig P446 para t 0 se xt 100ut O sistema está inicialmente no estado nulo 432 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P444 Figura P445 Figura P446 Figura P447 447 Determine a tensão yt de saída do circuito da Fig P447 para condições iniciais iL0 1A e vc0 3V 448 Para o circuito da Fig P448 a chave está na posição a por um longo período de tempo quando ela é movida para a posição b instan taneamente em t 0 Determine a corrente yt para t 0 449 Mostre que a função de transferência que re laciona a tensão de saída yt com a tensão de entrada xt para o circuito com ampop da Fig P449a é dada por CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 433 Figura P449 Figura P4410 Figura P448 e que a função de transferência do circuito da Fig P449b é dada por 4410 Para o circuito de segunda ordem com ampop da Fig P4410 mostre que a função de trans ferência Hs relacionando a tensão de saída yt com a tensão de entrada xt é dada por 4411 a Usando os teoremas de valor final e ini cial determine os valores inicial e final da resposta de estado nulo de um sistema com função de transferência dada por e a entrada i ut e ii e tut b Determine y0 e y se Ys for dado por 451 A Fig P451 mostra dois segmentos resisti vos em escada A função de transferência de cada segmento razão da tensão de saída pela tensão de entrada é 12 A Fig P451b mos tra estes dois segmentos conectados em série cascata 434 SINAIS E SISTEMAS LINEARES a A fungao de transferéncia deste circuito sem distorao 0 sinal pode ser atrasado O que total é 1212 14 é importante é manter a forma de xf Portan b Se sua resposta for afirmativa verifique a to um sinal recebido na forma xct T é con resposta calculando diretamente a funcao siderado ser sem distorao de transferéncia deste circuito Os seus 2 xt yt calculos confirmam o valor anterior de Atraso TT 14 Se nao por qué c Repita o problema com R R 20k a I Este resultado sugere a resposta do pro Atraso T blema na parte b oo Figura P452 452 Em canais de comunicacao 0 sinal transmitido Prop agado simultaneamente por diversos ca 453 Discuta sobre a estabilidade BIBO dos sistemas minhos de tamanhos diferentes fazendo com realimentados mostrados na Fig P453 Para o que 0 sinal chegue ao seu destino com atrasos caso da Fig P453b considere trés casos de tempo diferentes e ganhos diferentes Este ti po de sistema geralmente distorce o sinal Para K 10 uma comunicac4o livre de erros é necessario ii K 50 desfazer ao maximo as distorcdes usando um iii K 48 sistema que seja 0 inverso do modelo do canal Por simplicidade vamos assumir que um 461 Implemente sinal é propagado por dois caminhos cujos ss 2 tempos de atraso se diferem por T segundos O 8s aaa s 1s 3s 4 canal no caminho desejado possui um atraso de T segundos e ganho unitdrio O sinal no cami pelas formas direta can6nica série e paralelo nho indesejado possui um atraso de T Tse 462 Realize a funcdo de transferéncia do Prob gundos e um ganho a Tal canal pode ser mode 461 usando a forma transposta das realiza lado como mostrado na Fig P452 Determine cdes obtidas no Prob 461 a funcao de transferéncia do sistema inverso para corrigir a distorco de atraso e mostre que 463 Repita 0 Prob 461 para 0 sistema inverso pode ser realizado por um a Hs 3ss 2 sistema realimentado O sistema inverso deve s 1s 2s 2 ser causal para ser realizavel Dica Queremos 25 4 corrigir apenas a distorc4o causada pelo atraso b Hs GtDw 4 relativo de tT segundos Para uma transmiss4o R 20 R3 10 20 10 a b Figura P451 x0 yt x0 yt 12 a 2 2 a b Figura P453 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 435 464 Realize as funções de transferência do Prob 463 usando a forma transposta das realiza ções obtidas no Prob 463 465 Repita o Prob 461 para 466 Realize as funções de transferência do Prob 465 usando a forma transposta das realiza ções obtidas no Prob 465 467 Repita o Prob 461 para 468 Realize as funções de transferência do Prob 467 usando a forma transposta das realiza ções obtidas no Prob 467 469 Repita o Prob 461 para 4610 Realize as funções de transferência do Prob 469 usando a forma transposta das realiza ções obtidas no Prob 469 4611 Repita o Prob 461 para 4612 Realize as funções de transferência do Prob 4611 usando a forma transposta das realiza ções obtidas no Prob 4611 4613 Neste problema mostramos como um par de pólos complexos conjugados podem ser reali zados usando uma cascata de duas funções de transferência de primeira ordem e realimenta ção Mostre que as funções de transferência dos diagramas de blocos da Fig P4613a e P4613b são logo mostre que a função de transferência do diagrama de blocos da Fig P4613c é Figura P4613 436 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 4614 Mostre as realizações com ampops para as seguintes funções de transferência 4615 Mostre duas realizações diferentes com amp op para a função de transferência 4616 Mostre uma realização na forma direta canôni ca com ampop para a função de transferência 4617 Mostre uma realização direta canônica com ampop para a função de transferência 471 A realimentação pode ser utilizada para au mentar ou diminuir a largura de faixa do sis tema Considere o sistema da Fig P471a com função de transferência Gs ωcs ωc a Mostre que a largura de faixa de 3 dB deste sistema é ωc e o ganho CC é unitá rio ou seja Hj0 1 b Para aumentar a largura de faixa deste sistema utilizamos uma realimentação negativa com Hs 9 como mostrado na Fig P471b Mostre que a largura de faixa de 3 dB deste sistema é 10ωc Qual é o ganho CC c Para diminuir a largura de faixa deste sis tema utilizamos um ganho de realimen tação positivo com Hs 09 como mostrado na Fig P417c Mostre que a largura de faixa de 3 dB deste sistema é ωc10 Qual é o ganho CC d O ganho do sistema para CC vezes sua largura de faixa de 3 dB é o produto ga nholargura de faixa do sistema Mostre que este produto é o mesmo para todos os três sistemas da Fig P471 Este resulta do mostra que se aumentarmos a largura de faixa o ganho diminui e viceversa 481 Para um sistema LCIT descrito pela função de transferência determine a resposta às seguintes entradas ex ponenciais de duração infinita 482 Para um sistema LCIT descrito pela função de transferência determine a resposta de regime permanente do sistema para as seguintes entradas 483 Para um filtro passatudo especificado pela função de transferência determine a resposta do sistema às seguintes entradas de duração infinita Figura P471 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 437 484 O gráfico de póloszeros de um sistema de se gunda ordem Hs é mostrado na Fig P484 A resposta CC deste sistema é menos um Hj0 1 a Assumindo Hs ks 2 b1s b2s 2 a1s a2 determine as constantes k b1 b2 a1 e a2 b Qual é a saída yt deste sistema em res posta a entrada xt 4 cost2 π3 Figura P484 Gráfico de póloszeros do sistema 491 Obtenha os diagramas de Bode para as se guintes funções 492 Repita o Prob 491 para 493 Usando a menor ordem possível determine a função Hs do sistema com raízes de valor real cuja resposta em freqüência é mostrada na Fig P493 Verifique a sua resposta com o MATLAB 494 Um estudante formado recentemente imple mentou um phase lock loop PLL analógico como parte de sua dissertação Seu PLL é constituído por quatro componentes básicos um detector de fasefrequência uma fonte de carga uma malha de filtro e um oscilador controlado por tensão Este problema consi dera apenas a malha de filtro a qual está mos trada na Fig P494 A entrada da malha de filtro é a corrente xt e a saída a tensão yt a obtenha a função de transferência Hs da malha de filtro Expresse Hs na forma padrão b A Fig P49b fornece quatro possíveis grá ficos de resposta em freqüência chamados de A a D Cada gráfico loglog é desenha do na mesma escala e as inclinações das li nhas são 20 dBdécada 0 dBdécada ou 20 dbdécada Identifique claramente qualis gráficos se houver algum que pode representar a malha de filtro Figura P493 Gráfico de Bode e resposta em freqüência para Hs 438 SINAIS E SISTEMAS LINEARES c Mantendo os outros componentes cons tantes qual é o efeito geral na resposta em amplitude para entradas de baixa freqüência se aumentarmos a resistên cia R d Mantendo os outros componentes cons tantes qual é o efeito geral na resposta em amplitude para entradas de alta fre qüência se aumentarmos a resistência R Figura P494 a Diagrama de circuito para a malha de filtro do PLL b Possíveis gráfi cos de resposta em amplitude para a malha de filtro do PLL 4101 Usando o método gráfico da Seção 4101 obtenha um esboço da resposta em amplitude e fase para um sistema LCIT descrito pela se guinte função de transferência qual é o tipo deste filtro 4102 Usando o método gráfico da Seção 4101 desenhe um esboço da resposta em amplitu de e fase dos sistemas LCIT cujos gráficos de póloszeros estão mostrados na Fig P4102 Figura P4102 4103 Projete um filtro passafaixa de segunda or dem com freqüência central ω 10 O ganho deve ser zero para ω 0 e para ω Sele cione pólos em a j10 Deixe sua resposta em termos de a Explique a influência de a na resposta em freqüência 4104 O sistema LCIT descrito por Hs s 1s 1 possui resposta em amplitude uni tária Hjω 1 Patrícia Positiva afirma que a saída yt deste sistema é igual a entrada xt pois o sistema é passatudo Cíntia Cínica não concorda Esta é a aula de sinais e sistemas ela reclama Isso tem que ser mais complica do Quem tem razão Patrícia ou Cíntia Jus tifique sua resposta 4105 Dois estudantes João e Pedro discordam so bre a função de um sistema analógico dado por H1s s João Lógico afirma que o sistema possui um zero em s 0 Pedro Rebelde por outro lado observa que a função do sistema pode ser reescrita como H1s 1s 1 e afirma que isto implica em um pólo do sistema em s Quem está correto Por quê Quais são os pólos e zeros do sistema H2s 1s 4106 Uma função de transferência racional Hs é geralmente utilizada para representar um fil tro analógico Por que Hs deve ser esrita mente própria para filtros passabaixas e pas safaixa Por que Hs deve ser própria para filtros passaaltas e párafaixa 4107 Para um dado filtro de ordem N por que a ta xa de atenuação da banda filtrada de um filtro passabaixas somente de pólos é melhor do que de filtros com zeros finitos 4108 É possível com coeficientes reais k b1 b2 a1 a2 que o sistema CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 439 funcione como um filtro passabaixas Expli que sua resposta 4109 Carlos recentemente construiu um filtro sim ples passabaixas de Butterworth de segunda ordem para seu som Apesar do comportamen to do sistema ser muito bom Carlos gosta de se superar e espera melhorar a performance do sistema Infelizmente Carlos às vezes é muito preguiçoso e não quer projetar outro filtro Pensando duas vezes a filtragem resulta em duas vezes a performance ele sugere filtrar o sinal de áudio não uma vez mas duas vezes com dois filtros idênticos em série Seu mal pago e sobrecarregado professor de sinais está cético e afirma se você está usando filtros idênticos não faz diferença se você filtrar uma vez ou duas Quem está correto Por quê 41010 A resposta ao impulso de um sistema LCIT é dada por ht ut ut 1 a Determine a função de transferência Hs Usando Hs determine e trace a resposta em amplitude Hjω Qual é o tipo de filtro que mais precisamente des creve o comportamento deste sistema Passabaixas passaaltas passafaixa ou párafaixa b Quais são os pólos e zeros de Hs Ex plique sua resposta c Você pode determinar a resposta ao im pulso do sistema inverso Se sim obte nhaa Se não sugira um método que pos sa ser utilizado para aproximar a resposta ao impulso do sistema inverso 41011 Um filtro passabaixas ideal HPBs possui res posta em amplitude que é unitária para baixas freqüências e zero para altas freqüências Um filtro passaaltas ideal HPAs possui resposta em amplitude oposta zero para baixas fre qüências e unitária para altas freqüências Um estudante sugeriu uma possível transformação de passabaixas para passaaltas HPAs 1 HPBs De forma geral esta transformada irá funcionar Explique sua resposta 41012 Um sistema LCIT possui uma função de trans ferência racional Hs Quando apropriado as suma que todas as condições iniciais são nulas a É possível para este sistema ter a saída yt sen 100πtut em resposta a uma entrada xt cos 100πtut Explique b É possível para este sistema ter a saída yt sen 100πtut em resposta a uma entrada xt cos 50πtut Explique c É possível para este sistema ter a saída yt sen 100πt em resposta a uma en trada xt cos 100πt Explique d É possível para este sistema ter a saída yt sen 100πt em resposta a uma en trada xt cos 50πt Explique 4111 Determine a RDC se ela existir da trans formada de Laplace bilateral dos seguin tes sinais 4112 Determine a transformada de Laplace bilate ral e a região de convergência corresponden te dos seguintes sinais 4113 Determine a transformada de Laplace bilate ral das seguintes funções 4114 Determine se a RDC for 440 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 4115 Para um sistema LCIT causal com função de transferência Hs 1s 1 determine a saída yt se a entrada xt for dada por 4116 A função de autocorrelação rxxt de um sinal xt é dada por Obtenha uma expressão para Rxxs rxxt em termos de Xs na qual Xs xt 4117 Determine a transformada inversa de Laplace de sabendo que a região de convergência é σ 0 4118 Um sinal xt absolutamente integrável possui um pólo em s π É possível que outros pó los estejam presentes Lembrese de que um sinal absolutamente integrável satisfaz a xt pode ser de lado esquerdo Explique b xt pode ser de lado direito Explique c xt pode ser de dois lados Explique d xt pode ser de duração finita Explique 4119 Usando a definição calcule a transformada de Laplace bilateral incluindo a região de con vergência RDC das seguintes funções de va lor complexo 41110 Um sinal xt de amplitude limitada possui transformada de Laplace bilateral dada por a Determine a região de convergência cor respondente b Determine o sinal xt no domínio do tempo 4M1 Expresse o polinômio C20x na forma pa drão Ou seja determine os coeficientes ak de 4M2 Projete um filtro passabaixas de ordem 12 de Butterworth com uma freqüência de corte de ωc 2π5000 seguindo os passos abaixo a Posicione e trace os pólos e zeros do fil tro no plano complexo Trace a resposta de amplitude Hjω correspondente pa ra verificar o projeto b Ajuste todos os valores dos resistores pa ra 100000 determine os valores dos ca pacitores para implementar o filtro usan do seis seções de segunda ordem em série baseados no circuito de SallenKey A forma do estágio de SallenKey está mos trada na Fig P4M2 Em um único gráfi co trace a resposta de amplitude de cada seção além da resposta total Identifique os pólos que correspondem a cada curva de resposta em amplitude das seções Os valores dos capacitores são realísticos 4M3 Ao invés de utilizar um filtro de Butterworth repita o Prob P4M2 para um filtro pas sabaixas de Chebyshev com R 3 dB de ripple na banda passante Como cada estágio de SallenKey possui ganho CC unitário um erro total de ganho de é aceitável Figura P4M2 Estágio de filtro SallenKey CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE 441 4M4 Um filtro passabaixas analógico com fre qüência de corte ωc pode ser transformado em um filtro passaaltas com freqüência de corte ωc usando uma regra de transformação RC CR Cada resistor Ri é substituído por um ca pacitor Ci 1Riωc e cada capacitor Ci é substituído por um resistor Ri 1Ciωc Utilize esta regra para projetar um filtro passaaltas de Butterworth de ordem 8 com ωc 2π4000 seguindo os passos abaixo a Projete um filtro passabaixas de Butter worth de ordem 8 com ωc 2π4000 usando quatro estágios do circuito de se gunda ordem de SallenKey na forma mostrada na Fig P4M2 Escolha os va lores dos resistores e capacitores para ca da estágio Escolha os resitores de tal for ma que a transformação RCCR resulte em capacitores de 1nF Até este ponto os valores dos componentes são realísticos b Desenhe um estágio de SallenKey trans formado pelo RCCR Determine a fun ção de transferência Hs do estágio transformado em termos das variáveis R1 R2 C1 e C2 c Transforme o filtro passabaixas projeta do na parte a usando a transformação RCCR Forneça os valores dos resistores e capacitores para cada estágio Os valo res dos componentes são realísticos Usando Hs obtido na parte b trace a resposta de amplitude de cada seção além da resposta de amplitude total A resposta total parece com um filtro passaaltas de Butterworth Trace os pólos e zeros do filtro passa altas no plano complexo s Como estas posições podem ser comparadas com as posições do filtro passabaixas de Butter worth 4M5 Repita o Prob P4M4 usando ωc 2π1500 e um filtro de ordem 16 Ou seja serão necessários oito estágios de segunda ordem neste projeto 4M6 Em vez de um filtro de Butterworth repita o Prob P4M4 para um filtro passabaixas de Chebyshev com R 3dB de ripple na banda passante Como cada estágio transformado de SallenKey possui ganho unitário para ω um erro total de ganho de é aceitável 4M7 A função butter do toolbox de processa mento de sinais do MATLAB ajuda a projetar filtros analógicos de Butterworth Utilize o help do MATLAB para aprender a usar o co mando butter Para cada um dos seguintes casos projete o filtro trace os pólos e zeros do filtro no plano complexo s e trace a respos ta em amplitude em decibel 20 log10Hjω a Projete um filtro passabaixas analógico de ordem seis com ωc 2π3500 b Projete um filtro passaaltas analógico de ordem seis com ωc 2π3500 c Projete um filtro passafaixa analógico de ordem seis com banda passante entre 2 e 4 kHz d Projete um filtro párafaixa analógico de ordem seis com banda filtrada entre 2 e 4 kHz 4M8 A função cheby1 do toolbox de processa mento de sinais do MATLAB ajuda no proje to de filtros tipo I de Chebyshev Um filtro ti po I de Chebyshev possui um ripple de banda passante e uma banda filtrada suave Ajustan do o ripple da banda passante para RP 3dB repita o Prob P4M7 usando o comando cheby1 Com todos os outros parâmetros constantes qual é o efeito geral da redução de RP o ripple permitido na banda passante 4M9 A função cheby2 do toolbox de processa mento de sinais do MATLAB ajuda no proje to de filtros tipo II de Chebyshev Um filtro ti po II de Chebyshev possui uma banda passan te suave e um ripple de banda filtrada Ajus tando o ripple da banda filtrada para RF 20dB repita o Prob P4M7 usando o coman do cheby2 Com todos os outros parâmetros constantes qual é o efeito geral da redução de RF a menor atenuação da banda filtrada 4M10 A função ellip do toolbox de processamen to de sinais do MATLAB ajuda no projeto de filtros elípticos Um filtro elíptico possui um ripple tanto na banda passante quanto na ban da filtrada Ajustando o ripple da banda pas sante para RP 3dB e o ripple da banda filtra da para RF 20 dB repita o Prob P4M7 usando o comando ellip 4M11 Usando a definição CNx coshN cosh 1x prove a relação recursiva CNx 2xCN 1x CN 2x 4M12 Prove que os pólos de um filtro de Chebyshev localizados em pk ωc sen ξ sen φk jωc cos ξ cos φk estão em uma elipse Dica A equação de uma elipse no plano xy é xa 2yb 2 1 na qual as constantes a e b definem os eixos maior e menor da elipse A contrapartida da transformada de Laplace para sistemas em tempo discreto é a transformada z A transforma da de Laplace converte equações integrodiferenciais em equações algébricas Da mesma forma a transforma da z muda equações diferença para equações algébricas simplificando pois a análise de sistemas em tempo dis creto O método da transformada z para a análise de sistemas em tempo discreto é equivalente ao método da transformada de Laplace para a análise de sistemas em tempo contínuo com algumas pequenas diferenças Ve remos que a transformada z é a transformada de Laplace disfarçada O comportamento de sistemas em tempo discreto é similar ao de sistemas em tempo contínuo com algumas diferenças A análise no domínio da freqüência de sistemas em tempo discreto é baseada no fato provado na Seção 383 de que a resposta de um sistemas linear discreto invariante no tempo LDIT a uma exponencial de duração infinita z n é a mesma exponencial multiplicada por uma constante sendo dada por Hzz n Expres samos então a entrada xn pela soma de exponenciais de duração infinita na forma z n A resposta do sistema a xn é determinada pela soma de todas as respostas do sistema a todas essas componentes exponenciais A fer ramenta que nos possibilita representar uma entrada arbitrária xn pela soma de exponenciais de duração infi nita na forma z n é a transformada z 51 A TRANSFORMADA Z Definese Xz a transformada z direta de xn dada por 51 na qual z é uma variável complexa O sinal xn o qual é a transformada z inversa pode ser obtido de Xz usan do a seguinte transformação inversa 52 O símbolo indica uma integração na direção antihorária em um caminho fechado no plano complexo ve ja a Fig 51 Iremos obter esse par da transformada z posteriormente no Capítulo 9 como uma extensão do par da transformada de Fourier em tempo discreto Tal como no caso da transformada de Laplace não precisamos nos preocupar com essa integral neste ponto pois a transformada z inversa de vários sinais de interesse na engenharia pode ser determinada em uma tabela de transformadas z As transformadas z direta e inversa podem ser expressas simbolicamente por ou simplesmente por ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z C A P Í T UL O 5 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 443 Note que LINEARIDADE DA TRANSFORMADA Z Tal como a transformada de Laplace a transformada z é um operador linear Se então 53 A prova é trivial e segue diretamente da definição da transformada z Esse resultado pode ser estendido para somas finitas A TRANSFORMADA Z UNILATERAL Pelas mesmas razões discutidas no Capítulo 4 é conveniente considerar a transformada z unilateral Como visto no caso de Laplace a transformada bilateral possui algumas complicações em função da não unicidade da transforma da inversa Por outro lado a transformada unilateral possui uma única inversa Esse fato simplifica consideravelmen te o problema de análise mas com um preço a versão unilateral pode trabalhar apenas com sinais e sistemas cau sais Felizmente a maioria dos casos práticos é causal A transformada z bilateral mais genérica é discutida poste riormente na Seção 59 Na prática o termo transformada z geralmente se refere à transformada z unilateral No sentido básico não existe diferença entre a transformada z unilateral e bilateral A transformada unilate ral é a transformada bilateral que trabalha com uma subclasse de sinais começando em n 0 sinais causais Logo a definição da transformada unilateral é a mesma da transformada bilateral Eq 51 exceto pelos limi tes do somatório que vão de 0 a 54 A expressão da transformada z inversa da Eq 52 permanece válida para o caso unilateral REGIÃO DE CONVERGÊNCIA RDC DE XZ O somatório da Eq 51 ou 54 que define a transformada z direta Xz pode não convergir não existir pa ra todos os valores de z Os valores de z a região no plano complexo para os quais o somatório da Eq 51 con verge ou existe é chamado de região de existência ou de forma mais comum de região de convergência RDC de Xz Esse conceito ficará mais claro nos exemplos a seguir A RDC é necessária para a determinação de xn a partir de Xz de acordo com a Eq 52 A integral da Eq 52 é uma integral de contorno implicando a integração na direção antihorária ao longo de um caminho fechado centra do na origem e que satisfaz a condição z γ Portanto qualquer caminho circular centrado na origem e com raio maior do que γ Fig 51b será suficiente Podemos mostrar que a integral da Eq 52 ao longo de qualquer cami nho como este com raio maior do que γ levará ao mesmo resultado ou seja em xn Tal integração no plano com plexo requer um conhecimento prévio da teoria de funções de variáveis complexas Podemos evitar essa integração criando uma tabela de transformadas z Tabela 51 na qual os pares da transformada z são tabulados para uma certa variedade de sinais Para determinar a transformada z inversa de digamos zz γ em vez de utilizarmos a integra ção complexa na Eq 52 podemos consultar a tabela e determinar a transformada inversa de zz γ como sendo γ nun Devido à propriedade da unicidade da transformada z unilateral existe apenas uma inversa para cada Xz Apesar de a tabela apresentada ser relativamente curta ela contém as principais funções de interesse prático A questão da transformada z com relação à unicidade da transformada inversa é similar à da transformada de La place Para o caso bilateral a transformada z inversa não é única a não ser que a RDC seja especificada Para o caso unilateral a transformada inversa é única e a região de convergência não precisa ser especificada para determinar mos a transformada z inversa Por essa razão ignoramos a RDC da transformada z unilateral mostrada na Tabela 51 De fato o caminho não precisa sequer ser circular Pode ter qualquer formato desde que englobe os pólos de Xz e que a direção de integração seja no sentido antihorário 444 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Determine a transformada z e a RDC correspondente para o sinal γ nun Pela definição Como un 1 para todo n 0 55 Também é útil lembrar a seguinte progressão geométrica e seu somatório 56 Utilizando a Eq 56 na Eq 55 temos 57 Observe que Xz existe apenas para z γ Para z γ o somatório da Eq 55 pode não convergir indo para o infinito Portanto a RDC de Xz é a região sombreada fora do círculo de raio γ centrado na origem no plano z como mostrado na Fig 51b Figura 51 γ nun e a região de convergência transformada z Posteriormente na Eq 585 iremos mostrar que a transformada z de outro sinal γ nu n 1 tam bém é zz γ Entretanto a RDC neste caso é z γ Claramente a transformada z inversa de zz γ não é única Entretanto se restringirmos a transformada z inversa a ser causal então a transformada inversa é única e igual a γ nun EXEMPLO 51 Tabela 52 Pares da transformada z unilateral CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 445 EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA Z Pela definição A existência da transformada z é garantida se para algum z Qualquer sinal xn que não cresce mais rápido do que o sinal exponencial r0 n para algum r0 sa tisfaz essa condição Portanto se 58 então 446 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Portanto Xz existe para z r0 Quase todos os sinais práticos satisfazem a condição 58 e podem portan to ser transformados para z Alguns modelos de sinais por exemplo γ n2 crescem mais rápido do que r0 n para qualquer r0 e não satisfazem a Eq 58 Esses sinais não podem ser transformados para z Felizmente tais si nais são de pouco interesse prático ou teórico Mesmo esses sinais podem ser transformados para z em um inter valo finito determinado Determine as transformadas z de a δn b un c cos βn un d O sinal mostrado na Fig 52 Figura 52 Lembrese de que pela definição 59 EXEMPLO 52 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 447 a Para xn δn x0 1 e x2 x3 x4 0 Portanto 510 b Para xn un x0 x1 x3 1 Portanto A partir da Eq 56 temos que Portanto 511 c Lembrese de que cos βn e jβn e jβn2 Além disso de acordo com a Eq 57 Logo d Neste caso x0 x1 x2 x3 x4 1 e x5 x6 0 Logo de acordo com a Eq 59 Também podemos expressar esse resultado em uma forma mais compacta somando a progressão geo métrica do lado direito da equação anterior A partir do resultado da Seção B74 com r 1z m 0 e n 4 temos 448 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 511 Determinação da Transformada Inversa Tal como na transformada de Laplace podemos evitar a integração no plano complexo necessária para de terminar a transformada z inversa Eq 52 usando a tabela de transformadas unilateral Tabela 51 Mui tas das transformadas Xz de interesse prático são funções racionais razão de polinômios em z as quais po dem ser expressas como a soma de frações parciais cuja transformada inversa pode ser facilmente encontra da na tabela de transformação O método de frações parciais funciona porque a cada xn transformado defi nido para n 0 existe um único Xz correspondente definido para z r0 na qual r0 é alguma constante e viceversa EXERCÍCIO E51 a Determine a transformada z do sinal mostrado na Fig 53 b Usando o par 12a Tabela 51 determine a transformada z de xn 2065 ncosπ4n 1415un Figura 13 RESPOSTAS Determine a transformada z inversa de a Expandindo Xz em frações parciais temos A partir da Tabela 51 par 7 obtemos 512a EXEMPLO 53 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 449 Se expandirmos Xz diretamente em frações parciais sempre iremos obter uma resposta que é multiplica da por un 1 em função da natureza do par 7 da Tabela 51 Essa forma além de deselegante também é in conveniente Preferimos a forma que contém un em vez de un 1 Uma rápida análise da Tabela 51 mos tra que a transformada z de qualquer sinal que é multiplicado por un possui um fator z no numerador Essa ob servação sugere que façamos a expansão de Xz em frações parciais modificado na qual cada termo possui um fator z no numerador Podemos atingir esse objetivo expandindo Xzz em frações parciais e então multi plicando os dois lados por z Iremos demonstrar este procedimento refazendo a parte a Para este caso Multiplicando os dois lados por z temos A partir dos pares 1 e 6 da Tabela 51 obtemos 512b O leitor pode verificar que essa resposta é equivalente à da Eq 512a calculando xn nos dois casos para n 0 1 2 3 e comparando os resultados A forma da Eq 512b é mais conveniente do que da Eq 512a Por essa razão sempre expandiremos Xzz em frações parciais em vez de Xz e então multiplicaremos os dois lados por z para obtermos as frações parciais modificadas de Xz que terão um fator z no numerador b e na qual Portanto 513 Podemos determinar a1 e a2 através de eliminação de frações ou podemos utilizar um atalho Por exem plo para determinar a2 multiplicamos os dois lados da Eq 513 por z e fazemos z Esse procedimen to resultará em 450 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esse resultado deixa apenas uma incógnita a1 a qual é facilmente determinada fazendo z assumir qual quer valor conveniente digamos z 0 nos dois lados da Eq 513 Esse passo resulta em o qual leva a a1 1 Portanto e Utilizando agora os pares 6 e 10 da Tabela 51 obtemos c Pólos complexos Os pólos de Xz são 1 3 j4 e 3 j4 Sempre que existirem pólos complexos conjugados o problema pode ser solucionado por dois caminhos No primeiro método expandimos Xz em frações parciais modi ficadas de primeira ordem No segundo método em vez de obtermos um fator correspondente a cada pólo complexo conjugado obtemos fatores quadráticos correspondentes a cada par de pólos complexos conjuga dos Esse procedimento será explicado a seguir MÉTODO DE FATORES DE PRIMEIRA ORDEM Determinamos as frações parciais de Xzz usando o método de Heaviside e A transformada inversa do primeiro termo do lado direito é 2un A transformada inversa dos dois ter mos restantes pólos complexos conjugados pode ser obtida do par 12b Tabela 51 identificando que r2 16 θ 2246 rad γ 3 j4 5e j0927 tal que γ 5 β 0927 Portanto CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 451 MÉTODO DE FATORES QUADRÁTICOS Multiplicando os dois lados por z e fazendo z determinamos e Para determinar B fazemos z assumir qualquer valor conveniente digamos z 0 resultando em Portanto e Utilizamos agora o par 12c no qual identificamos A 2 B 16 γ 5 e a 3 Portanto e Tal que EXERCÍCIO E52 Determine a transformada z inversa das seguintes funções 452 SINAIS E SISTEMAS LINEARES TRANSFORMADA INVERSA PELA EXPANSÃO DE XZ EM SÉRIES DE POTÊNCIA EM Z 1 Pela definição Esse resultado é uma série de potência em z 1 Portanto se pudermos expandir Xz em séries de potência em z 1 os coeficientes dessa série de potência podem ser identificados como x0 x1 x2 x3 Uma função Xz racional pode ser expandida em uma série de potência em z 1 dividindo seu numerador pelo denominador Considere por exemplo Para obtermos uma expansão em potências de z 1 dividimos o numerador pelo denominador como mostrado a seguir Logo Portanto Apesar desse procedimento resultar em xn diretamente ele não fornece uma solução fechada Por esta ra zão ele não é muito útil a não ser que precisemos apenas dos primeiros termos da seqüência xn RESPOSTAS CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 453 RELAÇÃO ENTRE hn E Hz Para um sistema LDIT se hn é sua resposta ao impulso unitário então a partir da Eq 371b na qual defini mos Hz a função de transferência do sistema podemos escrever 514a Para sistemas causais os limites do somatório são de n 0 a Essa equação mostra que a função de trans ferência Hz é a transformada z da resposta hn ao impulso de um sistema LDIT ou seja 514b Esse importante resultado relaciona as especificações de hn de um sistema no domínio do tempo com Hz as especificações do sistema no domínio da freqüência O resultado é equivalente ao de sistemas LCIT 52 ALGUMAS PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z As propriedades da transformada z são úteis na determinação das transformadas de várias funções e também na solução de equações diferença lineares com coeficientes constantes Nesta seção iremos considerar algumas poucas importantes propriedades da transformada z Em nossa discussão a variável n que aparece em sinais tal como xn e yn pode ou não significar tempo Entretanto na maioria das aplicações de nosso interesse n é proporcional ao tempo Por essa razão iremos nos referir à variável n como sendo tempo Na discussão a seguir sobre a propriedade de deslocamento iremos trabalhar com sinais deslocados xnun xn kun k xn kun A não ser que entendamos fisicamente o significado de tais deslocamentos nosso entendimento da propriedade de deslocamento será mecânico em vez de intuitivo ou heurístico Por essa razão usando um sinal hipotético xn ilustramos vários sinais deslocados por k 1 na Fig 54 EXERCÍCIO E53 Usando a divisão longa para determinar a série de potência em z 1 mostre que a transformada z inversa de zz 05 é 05 nun ou 2 nun EXERCÍCIO E54 Refaça o Exercício E314 calculando a transformada z inversa de Hz dada pela Eq 373 Figura 54 Um sinal xn e suas versões deslocadas 454 SINAIS E SISTEMAS LINEARES DESLOCAMENTO PARA A DIREITA ATRASO Se então 515a Em geral 515b Além disso 516a A aplicação repetida dessa propriedade leva a 516b Figura 54 Continuação CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 455 Em geral para um valor inteiro de m 516c Olhando as Eqs 515a e 516a vemos que elas são idênticas exceto pelo termo extra x1 na Eq 516a Vimos na Fig 54c e 54d que xn 1un é o mesmo que xn 1un 1 acrescido de x1δn Logo a dife rença entre suas transformadas é x1 Prova Para um valor inteiro de m Lembrese de que xn mun m 0 para n m tal que os limites do somatório do lado direito podem ser considerados de n m a Portanto Para provar a Eq 516c temos DESLOCAMENTO PARA A ESQUERDA AVANÇO Se então 517a A aplicação repetida dessa propriedade resulta em 517b e para um valor inteiro de m 517c 456 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Prova Pela definição Determine a transformada z do sinal n mostrado na Fig 55 Figura 55 O sinal xn pode ser expresso como o produto de n e um pulso retangular un un 6 Portanto Infelizmente não podemos determinar a transformada z de nun 6 diretamente usando a propriedade de deslocamento para a direita Eq 515b Dessa forma temos que reorganizar a equação em termos de n 6un 6 como mostrado a seguir Podemos agora determinar a transformada z do termo entre colchetes usando a propriedade de desloca mento para a direita Eq 515b Como un zz 1 EXEMPLO 54 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 457 Além disso como nun zz 1 2 Portanto EXERCÍCIO E55 Usando apenas o fato de que un zz 1 e a propriedade de deslocamento para a direita Eq 515 deter mine a transformada z dos sinais das Figs 52 e 53 RESPOSTAS Veja o Exemplo 52d e o Exercício E51a CONVOLUÇÃO A propriedade de convolução no tempo afirma que se então convolução no tempo 518 Prova Essa propriedade se aplica a seqüências causais e não causais Iremos provála para o caso mais geral de seqüências não causais na qual o somatório de convolução varia de a Temos Alterando a ordem do somatório temos Também existe a propriedade de convolução na freqüência a qual afirma que 458 SINAIS E SISTEMAS LINEARES RESPOSTA DE SISTEMAS LDIT É interessante aplicarmos a propriedade da convolução no tempo à equação LDIT de entradasaída yn xn hn Como a partir da Eq 514b temos que hn Hz a partir da Eq 518 temos que 519 MULTIPLICAÇÃO POR γ n ESCALAMENTO NO DOMÍNIO Z Se então 520 Prova MULTIPLICAÇÃO POR n Se então 521 Prova EXERCÍCIO E56 Utilize a propriedade de convolução no tempo e os pares apropriados da Tabela 51 para mostrar que un un 1 nun EXERCÍCIO E57 Utilize a Eq 520 para obter os pares 6 e 8 da Tabela 51 dos pares 2 e 3 respectivamente Tabela 42 Operações da transformada z CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 459 REVERSÃO NO TEMPO Se então 522 Prova alterando o sinal da variável auxiliar n temos A região de convergência também é invertida ou seja se a RDC de xn é z γ então a RDC de xn é z 1γ EXERCÍCIO E58 Utilize a Eq 521 para obter os pares 3 e 4 da Tabela 51 do par 2 Similarmente obtenha os pares 8 e 9 do par 6 EXERCÍCIO E59 Utilize a propriedade de reversão no tempo e o par 2 da Tabela 51 para mostrar que un 1z 1 com RDC z 1 Para um sinal complexo xn a propriedade de reversão no tempo é modificada para 460 SINAIS E SISTEMAS LINEARES VALORES INICIAL E FINAL Para um xn causal 523a Esse resultado é obtido diretamente da Eq 59 Também podemos mostrar que se z 1Xz não possui pólos fora do círculo unitário então 523b Todas essas propriedades da transformada z estão listadas na Tabela 52 53 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENÇA LINEARES PELA TRANSFORMADA Z A propriedade de deslocamento no tempo deslocamento à direita ou esquerda possibilitou a resolução de equa ções diferença lineares com coeficientes constantes Tal como no caso da transformada de Laplace com equações diferenciais a transformada z converte equações diferença em equações algébricas que podem ser facilmente re solvidas obtendose uma solução no domínio z Determinandose a transformada z inversa da solução no domínio z obtémse a solução desejada no domínio do tempo Os seguintes exemplos demonstram esse procedimento Isso pode ser mostrado do fato que e e CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 461 Outra abordagem é determinar y0 y1 y2 yn de y1 y2 yn interativamente tal como na Seção 351 e en tão aplicando a propriedade de deslocamento para a esquerda na Eq 524 Resolva 524 se as condições iniciais forem y1 116 y2 3736 e a entrada for xn 2 nun Como veremos equações diferença podem ser resolvidas usando a propriedade de deslocamento para a di reita ou esquerda Como a equação diferença Eq 524 está na forma operador avanço o uso da proprie dade de deslocamento para a esquerda da Eq 517a e 517b pode parecer ser apropriado para essa solu ção Infelizmente como visto nas Eqs 517a e 517b essas propriedades necessitam do conhecimento das condições auxiliares y0 y1 yN 1 em vez das condições iniciais y1 y2 yn as quais geralmente são fornecidas Essa dificuldade pode ser superada expressando a equação diferença 524 na forma de operador atraso obtida substituindo n por n 2 e então usando a propriedade de deslocamento para a direita A Eq 524 na forma operador atraso é 525 Podemos agora utilizar a propriedade de deslocamento para a direita para calcularmos a transformada z desta equação Antes disso porém devemos estar cientes do significado de termos como yn 1 presentes na equação Isso implica yn 1un 1 ou yn 1un Em qualquer equação precisamos ter alguma re ferência temporal n 0 e todo termo é referenciado a este instante Logo yn k significa yn kun Lembrese também de que apesar de estarmos considerando a situação para n 0 yn está presente mesmo antes de n 0 na forma de condições iniciais Agora Observando que para uma entrada causal xn obtemos Em geral EXEMPLO 55 462 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esse exemplo demonstra a facilidade na qual equações diferença lineares com coeficientes constantes podem ser resolvidas pela transformada z Esse método é genérico e pode ser utilizado para resolver uma única equa ção diferença ou um conjunto de equações diferença simultâneas de qualquer ordem desde que as equações se jam lineares com coeficientes constantes Comentário Algumas vezes em vez das condições iniciais y1 y2 yn as condições auxiliares y0 y1 yN 1 são dadas para a resolução de uma equação diferença Neste caso a equação pode ser resolvi da expressandoa na forma operador avanço e então usando a propriedade de deslocamento para a esquerda veja posteriormente Exercício E511 Determinando a transformada z da Eq 525 e substituindo os resultados anteriores obtemos 526a ou 526b A partir da qual obtemos tal que 527 e Portanto e 528 EXERCÍCIO E510 Resolva a seguinte equação se as condições iniciais forem y1 2 e y2 0 e a entrada for xn un RESPOSTA CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 463 COMPONENTES DE ENTRADA NULA E ESTADO NULO No Exemplo 55 determinamos a solução total da equação diferença É relativamente simples separar a solução em componentes de entrada nula e estado nulo Tudo o que precisamos fazer é separar a resposta em termos que aparecem em função da entrada e termos que aparecem em função das condições iniciais Podemos separar a resposta da Eq 526b como mostrado a seguir 529 Portanto Multiplicando os dois lados por z 2 teremos e 530 Expandindo os termos do lado direito em frações parciais modificadas obtemos e A qual verifica o resultado da Eq 528 EXERCÍCIO E511 Resolva a seguinte equação se as condições auxiliares forem y0 1 y1 2 e a entrada for xn un RESPOSTA 464 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 531 Resposta de Estado Nulo de Sistemas LDIT A Função de Transferência Considere um sistema LDIT de ordem N especificado pela equação diferença 531a ou 531b ou 531c Iremos agora determinar uma expressão geral para a resposta de estado nulo Ou seja a resposta do sistema a entrada xn quando todas as condições iniciais y1 y2 yN 0 estado nulo A entrada xn é considerada como sendo causal tal que x1 x2 xN 0 A Eq 531c pode ser expressa na forma operador atraso por 531d Como yr xr 0 para r 1 2 N A transformada z da Eq 531d é dada por Multiplicando os dois lados por z N obtemos EXERCÍCIO E512 Resolva se as condições iniciais forem y1 2 e y2 0 e a entrada for xn un Separe a resposta em componen tes de entrada nula e estado nulo RESPOSTA CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 465 Portanto 532 533 Mostramos na Eq 519 que Yz XzHz Logo temos que 534 Tal como no caso de sistemas LCIT este resultado leva a uma definição alternativa da função de transferên cia de um sistema LDIT como sendo a razão entre Yz e Xz assumindo todas as condições iniciais nulas 535 INTERPRETAÇÃO ALTERNATIVA DA TRANSFORMADA Z Até este momento tratamos a transformada z como uma máquina a qual converte equações diferença lineares em equações algébricas Não existe entendimento físico sobre como isso é feito ou o que isso significa Iremos discutir agora uma interpretação mais intuitiva sobre o significado da transformada z No Capítulo 3 Eq 371a mostramos que a resposta de um sistema LDIT a uma exponencial de duração in finita z n é Hzz n Se pudermos expressar todo sinal em tempo discreto como a combinação linear de exponen ciais na forma z n então podemos obter facilmente a resposta do sistema a qualquer entrada Por exemplo se 536a a resposta de um sistema LDIT a esta entrada é dada por 536b Infelizmente uma classe muito pequena de sinais pode ser expressa na forma da Eq 536a Entretanto po demos expressar quase todos os sinais de utilidade prática como a soma de exponenciais de duração infinita pa ra uma faixa contínua de valores de z Isso é precisamente o que a transformada z da Eq 52 faz 537 Invocando a propriedade da linearidade da transformada z podemos determinar resposta yn do sistema a entrada xn da Eq 537 como Claramente Esse ponto de vista na determinação da resposta de um sistema LDIT é mostrado na Fig 56a Tal como em sistemas em tempo contínuo podemos modelar sistemas em tempo discreto pela representação de todos os si nais por suas transformadas z e todos os componentes ou elementos do sistema por suas funções de transferên cia como mostrado na Fig 56b O resultado Yz HzXz facilita em muito a obtenção da resposta do sistema a uma dada entrada Iremos demonstrar esta afirmativa através de um exemplo No cálculo de yn o contorno ao longo do qual a integração é calculada é modificado para considerar a RDC de Xz e Hz Ignora mos esta consideração nesta discussão intuitiva 466 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Determine a resposta yn de um sistema LDIT descrito pela equação diferença ou para a entrada xn 2 nun e com todas as condições iniciais nulas sistema no estado zero A partir da equação diferença determinamos Para a entrada xn 2 nun 2 1 nun 05 nun e Portanto 538 tal que 539 e EXEMPLO 56 Figura 56 Representação transformada de um sistema LDIT CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 467 Mostre que a função de transferência de um atraso unitário é 1z Se a entrada do atraso unitário for xnun então sua saída Fig 57 é dada por Figura 57 Atraso unitário ideal e sua função de transferência A transformada z dessa equação resulta em veja a Eq 515a Logo temos que a função de transferência do atraso unitário é 540 EXEMPLO 57 Função de Transferência de um Atraso Unitário EXERCÍCIO E513 Um sistema em tempo discreto é descrito pela seguinte função de transferência a Determine a resposta do sistema a entrada xn 3 n 1un se todas as condições iniciais forem nulas b Escreva a equação diferença que relaciona a saída yn com a entrada xn para este sistema RESPOSTAS 532 Estabilidade A Eq 534 mostra que o denominador de Hz é Qz o qual é aparentemente idêntico ao polinômio caracte rístico Qγ definido no Capítulo 3 Isso significa que o denominador de Hz é o polinômio característico do sistema Pode ou não ser o caso Se Pz e Qz na Eq 534 possuírem qualquer fator comum eles irão se can celar e o denominador efetivo de Hz não será necessariamente igual a Qz Lembrese que a função de trans ferência Hz tal como hn é definida em termos de descrições externas do sistema Por outro lado o polinô mio Qz é uma descrição interna Obviamente podemos determinar apenas a estabilidade externa de Hz ou seja a estabilidade BIBO Se todos os pólos de Hz estiverem dentro do círculo unitário todos os termos em hz são exponenciais decrescentes e como mostrado na Seção 310 hn será absolutamente somável Conse qüentemente o sistema será BIBO estável Caso contrário o sistema será BIBO instável 468 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Se Pz e Qz não possuírem fatores comuns então o denominador de Hz é idêntico a Qz Os pólos de Hz são as raízes características do sistema Podemos agora determinar a estabilidade interna O cri tério de estabilidade da Seção 3101 pode ser reafirmado em termos dos pólos de Hz como mostrado a seguir 1 Um sistema LDIT é assintoticamente estável se e somente se todos os pólos de sua função de trans ferência Hz estiverem dentro do círculo unitário Os pólos podem ser repetidos ou simples 2 Um sistema LDIT é instável se e somente se uma ou as duas condições a seguir existirem i ao menos um pólo de Hz estiver fora do círculo unitário ii Existirem pólos repetidos de Hz sobre o círculo unitário 3 Um sistema LDIT é marginalmente estável se e somente se não existirem pólos de Hz fora do círculo uni tário e existirem alguns pólos simples sobre o círculo unitário 533 Sistemas Inversos Se Hz é a função de transferência de um sistema S então Si seu sistema inverso possui uma função de trans ferência Hiz dada por Essa equação segue do fato do sistema inverso Si desfazer a operação de S Logo se Hz é colocado em sé rie com Hiz a função de transferência total do sistema sistema identidade é unitária Por exemplo um acu mulador cuja função de transferência é Hz zz 1 e um sistema de diferença atrás cuja função de trans ferência é Hiz z 1z são sistemas inversos Similarmente se A função de transferência do sistema inverso é como necessário pela propriedade HzHiz 1 Logo temos que EXERCÍCIO E514 Mostre que um acumulador cuja resposta ao impulso é hn un é marginalmente estável mas BIBO instável Não há como determinar se existem ou não fatores comuns em Pz e Qz que irão se cancelar pois em nossa determinação de Hz geralmente obtemos o resultado final após os cancelamentos já terem ocorrido Quando utilizamos a descrição interna do sistema pa ra obtermos Qz entretanto obtemos Qz puro não alterado por qualquer fator comum com Pz EXERCÍCIO E515 Determine a resposta ao impulso de um acumulador e de um sistema de diferença atrás Mostre que a convolução das duas respostas ao impulso resulta em δn CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 469 54 REALIZAÇÃO DE SISTEMAS Devido à similaridade entre sistemas LCIT e LDIT as convenções para os diagramas de bloco e as regras de co nexão para sistemas LDIT são idênticas às de sistemas LCIT Não é necessário portanto obter novamente es sas relações Iremos simplesmente reafirmálas para reavivar a memória do leitor A representação em diagrama de blocos de operações básicas tais como um somador um multiplicador es calar um atraso unitário e nós de separação ou derivação são mostrados na Fig 311 Em nosso desenvol vimento o atraso unitário o qual era representado por uma caixa com o símbolo D na Fig 311 será repre sentado por sua função de transferência 1z Todos os sinais também serão representados em termos de suas transformadas z Portanto a entrada e a saída serão chamadas de Xz e Yz respectivamente Quando dois sistemas com funções de transferência H1z e H2z são conectados em cascata ou série tal co mo na Fig 418b a função de transferência do sistema total é H1zH2z Se os mesmos dois sistemas forem conectados em paralelo como na Fig 418c a função de transferência do sistema composto será H1z H2z Para um sistema realimentado Fig 418d a função de transferência é Gz1 GzHz Iremos considerar agora um método sistemático de realização ou simulação de uma função de transferência LDIT de ordem N Como a realização é basicamente um problema de síntese não existe uma única forma de rea lizar implementar um sistema Uma dada função de transferência pode ser realizada de diferentes formas Iremos apresentar duas formas de realização direta Cada uma dessas formas pode ser executada em várias outras manei ras tais como cascata e paralela Além disto um sistema pode ser realizado pela versão transposta de qualquer rea lização conhecida do sistema Esse artifício literalmente dobra o número de realizações do sistema Uma função de transferência Hz pode ser realizada usando atrasos de tempo em conjunto com somadores e multiplicadores Iremos considerar a realização de um sistema LDIT causal de ordem N cuja função de transferência é dada por 541 Essa equação é idêntica a função de transferência de um sistema LCIT próprio de ordem N dada pela Eq 460 A única diferença é que a variável z da Eq 541 é substituída pela variável s na Eq 460 Logo o pro cedimento de implementação de uma função de transferência LDIT é idêntico ao de uma função de transferên cia LCIT cujo elemento básico 1s integrador é substituído pelo elemento 1z atraso unitário O leitor é enco rajado a seguir os passos da Seção 46 e obter novamente os resultados para a função de transferência LDIT da Eq 541 Iremos simplesmente reproduzir as realizações da Seção 46 com integradores 1s substituídos por atrasos unitários 1z A forma direta I FDI é mostrada na Fig 58a a forma direta canônica FDII é mostra da na Fig 58b e a transposta da forma direta canônica é mostrada na Fig 58c A FDII e sua transposta são ca nônicas porque elas utilizam N atrasos ou seja o menor número necessário de atrasos para implementar uma função de transferência LDIT de ordem N da Eq 541 Por outro lado a FDI é não canônica porque ela geral mente necessita de 2N atrasos A realização FDII da Fig 58b também é chamada de forma direta canônica Figura 58 Realização de uma função de transferência causal de ordem N usando a FDI b forma direta canônica FDII e c transposta da FDII 470 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Obtenha as realizações direta canônica e transposta direta canônica das seguintes funções de transferência Todas as quatro funções de transferência são casos especiais de Hz da Eq 541 i Para este caso a função de transferência é de primeira ordem N 1 Portanto iremos precisar de ape nas um atraso para esta realização Os coeficientes de realimentação e alimentação direta são Utilizamos a Fig 58 como nosso modelo reduzindoo para o caso de N 1 A Fig 59a mostra a forma direta canônica FDII e a Fig 59b sua transposta As duas realizações são quase idênticas A diferença é que na forma FDII o ganho 2 é fornecido na saída e na transposta o mesmo ganho é fornecido na entrada EXEMPLO 58 Figura 58 continuação CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 471 Figura 59 Realização da função de transferência 2z 5 a forma direta canônica e b sua transposta De forma similar realizamos as funções de transferência restantes ii Neste caso também a função de transferência é de primeira ordem N 1 Portanto precisamos de ape nas um atraso para sua realização Os coeficientes de realimentação e alimentação direta são A Fig 510 mostra a forma direta canônica e sua transposta para este caso Figura 510 Realização de 4z 28z 1 a forma direta canônica e b sua transposta iii Neste caso N 1 e b0 1 b1 0 e a1 7 A Fig 511 mostra as realizações direta e transposta Obser ve que as realizações são praticamente iguais Funções de transferência com N M também podem ser expressas como a soma de uma constante e de uma função de transferência estritamente própria Por exemplo Logo essa função de transferência também pode ser realizada como duas funções de transferência em paralelo 472 SINAIS E SISTEMAS LINEARES REALIZAÇÕES EM SÉRIE E PARALELO PÓLOS COMPLEXOS E PÓLOS REPETIDOS As considerações e observações para realizações em cascata série e paralelo além de pólos complexos e pó los múltiplos são idênticas às discutidas para sistemas LCIT na Seção 463 EXERCÍCIO E516 Realize a função de transferência EXERCÍCIO E517 Determine as realizações direta canônicas das seguintes funções de transferência usando as formas paralela e casca ta A decomposição específica em cascata é mostrada a seguir Figura 511 Realização de zz 7 a forma direta canônica e b sua transposta iv Este é um sistema de segunda ordem N 2 com b0 0 b1 4 b2 28 a1 6 a2 5 A Fig 512 mos tra as realizações direta canônica e transposta da direta canônica Figura 512 Realização de 4z 28 2z 2 6z 5 a forma direta canônica e b sua transposta CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 473 REALIZAÇÃO DE FILTROS COM RESPOSTA FINITA AO IMPULSO FIR Até este momento fomos bem genéricos no desenvolvimento de nossas técnicas de realização Elas podem ser aplicadas a filtros de resposta infinita ao impulso IIR ou filtros FIR Para filtros FIR temos que os coeficien tes ai são nulos ai 0 para todo i 0 Logo filtros FIR podem ser facilmente implementados através dos es quemas desenvolvidos até este momento eliminando todos os ramos com coeficientes ai A condição ai 0 im plica em que todos os pólos de filtros FIR estão em z 0 Realize Hz z 3 4z 2 5z 2z 3 usando as formas canônica direta e transposta Podemos expressar Hz como Para Hz b0 1 b1 4 b2 5 e b3 2 Logo obtemos a realização direta canônica mostrada na Fig 513a Optamos por mostrar a orientação horizontal porque ela é mais fácil de ver que o filtro é basicamen te uma linha de atrasos Esse é o motivo pelo qual esta estrutura também é conhecida como linha de atraso ou filtro transversal A Fig 513b mostra a implementação transposta correspondente Figura 513 Realização de z 3 4z 2 5z 2z 3 EXEMPLO 59 N de T Finite Impulse Response N de T Infinite Impulse Response Esta afirmativa é válida para todo i 0 pois considerase que a0 é unitário TODAS AS REALIZAÇÕES POSSUEM A MESMA PERFORMANCE Para uma dada função de transferência apresentamos várias possíveis realizações diferentes FDI forma canô nica FDII e suas transpostas Também existem as versões em cascata e paralela e existem vários possíveis agru pamentos de fatores no numerador e no denominador de Hz resultando em diferentes implementações Tam bém podemos usar várias combinações destas formas na implementação para realizarmos subseções do siste ma Além disso a transposta de cada versão dobra o número de realizações Entretanto esta discussão de forma alguma exaure todas as possibilidades A transformação de variáveis implica em infinitas possíveis realizações da mesma função de transferência 474 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Teoricamente todas essas realizações são equivalentes Ou seja todas elas resultam na mesma função de transferência Entretanto isso é válido apenas quando as implementamos com precisão infinita Na prática res trições do tamanho finito da palavra quantidade de bits utilizada para representar um dado número fazem com que cada realização se comporte de maneira diferente em termos de sensibilidade à variação paramétrica estabilidade erro de distorção da resposta em freqüência e assim por diante Esses efeitos são graves para fun ções de transferência de mais alta ordem as quais necessitam de um número mais alto de elementos de atraso Dentre os erros decorrentes do tamanho finito da palavra que atormentam estas implementações podemos citar a quantização dos coeficientes erros de overflow e erros de arredondamento Do ponto de vista prático formas em paralelo e cascata usando filtros de baixa ordem minimizam os efeitos do tamanho finito da palavra Formas paralelas e algumas em cascata são numericamente menos sensíveis do que a forma direta canônica a pequenas variações paramétricas do sistema Na forma direta canônica com um grande N uma pequena mudança em um coeficiente de um filtro em função da quantização paramétrica resulta em uma grande mudança na localização dos pólos e zeros do sistema Qualitativamente esta diferença pode ser explicada pelo fato de que na forma di reta ou sua transposta todos os coeficientes interagem uns com os outros e uma alteração em qualquer coefi ciente será ampliada através das repetidas influências nas conexões de realimentação e alimentação direta Em uma realização em paralelo por outro lado uma mudança em um coeficiente irá afetar apenas um segmento lo calizado O caso da realização em cascata é similar Por essa razão a técnica mais popular para a minimização do efeito do tamanho finito da palavra é projetar filtros usando formas em paralelo e em cascata de filtros de bai xa ordem Na prática filtros de alta ordem são realizados usando múltiplas seções de segunda ordem em casca ta pois filtros de segunda ordem não são apenas fáceis de serem projetados mas também são menos suscetíveis a quantização de coeficientes ou a erros de arredondamento além do fato de suas implementações permitirem um fácil escalamento de palavras de dados reduzindo um potencial efeito de overflow se o tamanho da palavra de dados crescer Um sistema em cascata usando blocos de segunda ordem geralmente necessita de menos mul tiplicações para uma dada resposta em freqüência 1 Existem diversas formas de se agrupar em pares os pólos e zeros de uma Hz de ordem N em uma cascata de seções de segunda ordem além de diversas formas de se ordenar as seções resultantes O erro de quantização se rá diferente para cada combinação Apesar de vários artigos terem sido publicados apresentando direções para a predição e minimização de erros em função do tamanho finito da palavra de dados é aconselhável utilizar a si mulação do projeto do filtro Desta forma podemos variar as características do hardware do filtro tal como o tamanho da palavra dos coeficientes tamanho do registrador acumulador seqüenciamento das seções em cas cata e ajuste dos sinais de entrada Esse tipo de abordagem é confiável e econômico 55 RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO Para sistemas em tempo contínuo assintoticamente ou BIBO estáveis mostramos que a resposta do sistema a uma entrada e jωt é Hjω e jωt e que a resposta a uma entrada cos ωt é Hjωcosωt Hjω Um resultado si milar é válido para sistemas em tempo discreto Iremos mostrar agora que para um sistema LDIT assintotica mente ou BIBO estável a resposta do sistema a uma entrada e jΩn é He jΩe jΩn e a resposta a uma entrada cos Ωn é He jΩcosΩn He jΩ A prova é similar a utilizada em sistemas em tempo contínuo Na Seção 383 mostramos que a resposta de um sistema LDIT a uma exponencial de duração infinita z n também é uma exponencial de duração infinita Hzz n Este resultado é válido apenas para valores de z para os quais Hz definida pela Eq 514a existe con verge Como usual representamos a relação entradasaída pela notação de seta direcional como 542 Fazendo z e jΩ nesta relação obtemos 543 Observando que cos Ωn é a parte real de e jΩ a utilização da Eq 366b resulta em 544 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 475 Expressando He jΩ na forma polar 545 A Eq 544 pode ser expressa por Em outras palavras a resposta yn do sistema a uma entrada senoidal cos Ωn é dada por 546a Seguindo o mesmo argumento a resposta do sistema a senóide cos Ωn θ é 546b Esse resultado é válido somente para sistemas BIBO estáveis ou assintoticamente estáveis A resposta em fre qüência não possui sentido para sistemas BIBO instáveis os quais incluem sistemas marginalmente estáveis e assintoticamente instáveis Essa afirmativa é decorrente do fato de que a resposta em freqüência da Eq 543 é obtida fazendo z e jΩ na Eq 542 Mas como mostrado na Seção 383 Eqs 371 a relação 542 se apli ca apenas para valores de z nos quais Hz existe Para sistemas BIBO instáveis a RDC de não inclui o círculo unitário no qual z e jΩ Isso significa que em sistemas BIBO instáveis Hz não possui valor quando z e jΩ Esse importante resultado mostra que a resposta de um sistema LDIT BIBO estável ou assintoticamente es tável a uma entrada senoidal em tempo discreto de freqüência Ω também é uma senóide em tempo discreto de mesma freqüência A amplitude da senóide de saída é He jΩ vezes a amplitude de entrada e a fase da senói de de saída é deslocada de He jΩ com relação a fase de entrada Claramente He jΩ é o ganho de amplitu de e um gráfico de He jΩ em função de Ω é a resposta em amplitude do sistema em tempo discreto Similar mente He jΩ é a resposta de fase do sistema e um gráfico de He jΩ em função de Ω mostra como o sistema modifica ou desloca a fase da senóide de entrada Observe que He jΩ incorpora a informação das respostas de amplitude e fase e portanto é chamado de resposta em freqüência do sistema RESPOSTA DE REGIME PERMANENTE A ENTRADA SENOIDAL CAUSAL Tal como no caso de sistemas em tempo contínuo podemos mostrar que a resposta de um sistema LDIT a uma entrada senoidal causal cos Ωn un é yn na Eq 546a mais a componente natural constituída dos modos ca racterísticos veja o Prob 556 Para um sistema estável todos os modos decaem exponencialmente e apenas a componente senoidal da Eq 546a permanecerá Por essa razão essa componente é chamada de resposta em regime permanente senoidal do sistema Portanto yssn a resposta em regime permanente do sistema a uma en trada senoidal causal cos Ωn un é RESPOSTA DO SISTEMA A SENÓIDES EM TEMPO CONTÍNUO AMOSTRADAS Até este momento consideramos a resposta de um sistema em tempo discreto a uma senóide em tempo discre to cos Ωn ou a exponencial e jΩ Na prática a entrada pode ser a amostragem de uma senóide em tempo contí nuo cos ωt ou a uma exponencial e jωt Quando a senóide cos ωt é amostrada com intervalo de amostragem T o sinal resultante é a senóide em tempo discreto cos ωnT obtido fazendo t nT em cos ωt Portanto todos os resultados desenvolvidos nesta seção se aplicam se substituirmos ωT por Ω 547 Este fato também pode ser argumentado como mostrado a seguir Para sistemas BIBO instáveis a resposta de entrada nula contém termos de modos naturais não decrescentes na forma cos Ω0n ou γ n cos Ω0n γ 1 Logo a resposta de tais sistemas a senóide cos Ωn irá conter não apenas a senóide de freqüência Ω mas também modos naturais não decrescentes tornando o conceito de respos ta em freqüência sem sentido Alternativamente podemos argumentar que quando z e jΩ um sistema BIBO instável viola a condi ção de dominância γi e jΩ para todo i na qual γi representa a iésima raiz característica do sistema veja a Seção 43 476 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Para um sistema especificado pela equação Determine a resposta do sistema para as entradas a b c senóide cos 1500t com intervalo de amostragem T 0001 A equação do sistema pode ser descrita por Portanto a função de transferência do sistema é A resposta em freqüência é 548 Logo 549a e 549b A resposta em amplitude He jΩ pode ser obtida observando que H 2 HH Portanto 550 A partir da Eq 548 temos que a qual resulta no resultado determinado anteriormente pela Eq 549a EXEMPLO 510 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 477 A Fig 514 mostra o gráfico das respostas em amplitude e fase em função de Ω Podemos agora deter minar a resposta em amplitude e fase para as várias entradas a xn 1 n 1 Como 1 n e jΩ n com Ω 0 a resposta em amplitude é He j0 A partir da Eq 549a obtemos Logo Figura 514 Resposta em freqüência para um sistema LDIT Estes valores também podem ser obtidos diretamente da Fig 514a e 514b respectivamente correspon dendo a Ω 0 Desta forma a resposta do sistema a entrada 1 é 551 b xn cosπ6n 02 Aqui Ω π6 De acordo com as Eqs 549 478 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esses valores também podem ser diretamente lidos da Fig 514a e 514b respectivamente correspon dendo a Ω π6 Portanto 552 A Fig 515 mostra a entrada xn e a resposta correspondente do sistema Figura 515 Entrada senoidal e saída correspondente de um sistema LDIT c A senóide cos 1500t amostrada a cada T segundos t nT resulta na senóide em tempo discreto 553 Para T 0001 a entrada é Neste caso Ω 15 De acordo com as Eqs 549a e 549b 554 555 Esses valores também podem ser lidos diretamente da Fig 514 correspondendo a Ω 15 Portanto CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 479 EXEMPLO DE COMPUTADOR C51 Usando o MATLAB determine a resposta em freqüência do sistema do Exemplo 510 Figura C51 Comentário A Fig 514 mostra os gráficos da resposta em amplitude e fase como funções de Ω Estes grá ficos além das Eqs 549 indicam que a resposta em freqüência de um sistema em tempo discreto é uma fun ção contínua e não discreta da freqüência Ω Não existe nenhuma contradição neste fato Este comportamen to é simplesmente uma indicação de que a variável de freqüência Ω é contínua assume todos os possíveis va lores e portanto a resposta do sistema existe para todo valor de Ω EXERCÍCIO E518 Para um sistema especificado pela equação Determine a resposta em amplitude e fase Determine a resposta do sistema à entrada senoidal cos1000t π3 amostrada a cada T 05 ms 480 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 551 Natureza Periódica da Resposta em Freqüência No Exemplo 510 e na Fig 514 vimos que a resposta em freqüência He jΩ é uma função periódica de Ω Isso não é uma coincidência Ao contrário de sistemas em tempo contínuo todos os sistemas LDIT possuem uma resposta em freqüência periódica Esse fato é visto claramente da natureza da expressão da resposta em freqüên cia de um sistema LDIT Como e j2πm 1 para todos os valores inteiros de m veja a Eq B12 556 Portanto a resposta em freqüência He jΩ é uma função periódica de Ω com período 2π Essa é a explicação matemática do comportamento periódico A explicação física apresentada a seguir possibilita uma melhor com preensão do comportamento periódico NÃO UNICIDADE DE FORMAS DE ONDA SENOIDAIS EM TEMPO DISCRETO A senóide em tempo contínuo cos ωt possui uma única forma de onda para qualquer valor real de ω na faixa de 0 a Aumentando ω temos uma senóide de freqüência maior Isto não acontece com a senóide em tempo dis creto cos Ωn porque 557a e 557b Isso mostra que senóides em tempo discreto cos Ωn e exponenciais e jΩn separadas por valores de Ω em múl tiplos inteiros de 2π são idênticas A razão para essa natureza periódica da resposta em freqüência de um sistema LDIT está agora clara Como as senóides ou exponenciais com freqüências separadas por um intervalo de 2π são idênticas a resposta do sistema a tais senóides também é idêntica e portanto é periódica com período 2π Esta discussão mostra que a senóide em tempo discreto cos Ωn possui uma única forma de onda apenas pa ra valores de Ω na faixa de π a π Esta faixa é chamada de faixa fundamental ou banda fundamental Qual quer freqüência Ω não importa quão grande seja é idêntica a alguma outra freqüência Ωa na faixa fundamen tal π Ωa π logo 558 O inteiro m pode ser positivo ou negativo Utilizamos a Eq 558 para traçar a faixa de freqüência funda mental Ωa em função da freqüência Ω de uma senóide Fig 516a A freqüência Ωa é módulo 2π valor de Ω Todas estas conclusões também são válidas para a exponencial e jΩn EXERCÍCIO E519 Mostre que para um atraso ideal Hz 1z a resposta em amplitude é He jΩ 1 e a resposta em fase é He jΩ Ω Portanto um atraso de tempo puro não afeta o ganho de amplitude da entrada senoidal mas cau sa um deslocamento atraso de fase de Ω radianos em uma senóide discreta com freqüência Ω Logo para um atraso ideal o deslocamento de fase da senóide de saída é proporcional a freqüência da senóide de entrada des locamento de fase linear RESPOSTA CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 481 TODOS OS SINAIS EM TEMPO DISCRETO SÃO INERENTEMENTE LIMITADOS EM FAIXA Essa discussão resulta na surpreendente conclusão que todos os sinais em tempo discreto são inerentemente limi tados em faixa com freqüências na faixa de π a π radianos por amostra Em termos da freqüência Ω2π na qual são ciclos por amostra todas as freqüências separadas por um número inteiro são idênticas Por exem plo todas as senóides em tempo discreto com freqüências 03 13 23 ciclos por amostra são idênticas A fai xa fundamental de freqüências é de 05 a 05 ciclos por amostra Qualquer senóide em tempo discreto com freqüência além da faixa fundamental quando traçada parece e se comporta de todas as formas como uma senóide tendo sua freqüência na faixa fundamental É impossível dis tinguir os dois sinais Portanto em um sentido básico freqüências em tempo discreto além de Ω π ou 12 não existem Mesmo assim no sentido matemático devemos admitir a existência de senóides com fre qüências além de Ω π O que isto significa UM HOMEM CHAMADO ROBERTO Para fornecer uma analogia considere uma pessoa fictícia Sr Roberto Teixeira Sua mãe o chama de Rob seus conhecidos o chamam de Beto seus amigos mais próximos usam seu apelido Baixinho Roberto Rob Beto e Baixinho são a mesma pessoa Entretanto não podemos dizer que apenas o Sr Roberto Teixeira existe ou ape nas Rob existe ou apenas Beto existe ou apenas Baixinho existe Todas essas quatro pessoas existem apesar de elas serem o mesmo indivíduo De forma parecida não podemos dizer que a freqüência π2 existe e que a fre qüência 5π2 não existe As duas são a mesma entidade mas com nomes diferentes É nesse sentido que devemos admitir a existência de freqüências além da faixa fundamental De fato expres sões matemáticas no domínio da freqüência automaticamente cuidam dessa necessidade pela periodicidade ine rente existente nas equações Como visto anteriormente a própria estrutura da resposta em freqüência é perió dica com período 2π Veremos posteriormente no Capítulo 9 que o espectro de um sinal em tempo discreto também é periódico com período 2π Admitir a existência de freqüências além de π também é matematicamente e computacionalmente convenien te em aplicações de processamento digital de sinais Valores de freqüências além de π podem ser naturalmente originadas no processo de amostragem de senóides em tempo contínuo Como não existe limite superior para o valor de ω não existe limite superior para o valor da freqüência em tempo discreto resultante Ω ωT A freqüência mais alta possível é π e a freqüência mais baixa é 0 CC ou constante Claramente as freqüên cias mais altas são aquelas na proximidade de Ω 2m 1π e as freqüências mais baixas são as na proximida de de Ω 2πm para todos valores inteiros positivos ou negativos de m REDUÇÃO AINDA MAIOR NA FAIXA DE FREQÜÊNCIAS Como cos Ωn θ cos Ωn θ a freqüência na faixa de π a 0 é idêntica de mesma amplitude à freqüên cia na faixa de 0 a π mas com mudança no sinal da fase Conseqüentemente a freqüência aparente de uma se nóide em tempo discreto de qualquer freqüência é igual a algum valor na faixa de 0 a π Portanto cos 87πn θ cos 07πn θ e a freqüência aparente é 07π Similarmente Logo a freqüência 96π é idêntica em todos os pontos a freqüência 04π a qual por sua vez é igual sem o sinal de sua fase à freqüência 04π Neste caso a freqüência aparente se reduz a Ωa 04π Podemos generalizar o resultado para dizer que a freqüência aparente de uma senóide em tempo discreto Ω é Ωa como determinada pe la Eq 558 e se Ωa 0 existe uma reversão de fase A Fig 516b mostra Ω em função da freqüência aparente Ωa As faixas sombreadas representam as faixas de Ω nas quais existe uma reversão de fase quando representada em termos de Ωa Por exemplo a freqüência aparente das duas senóides cos 24π θ e cos 36π θ é Ωa 04π como visto na Fig 516b Mas 24π está na faixa não sombreada e 36π está na faixa sombreada Logo estas duas senóides são iguais a cos 04π θ e cos 04π θ respectivamente Apesar de toda senóide em tempo discreto poder ser expressa como tendo a freqüência na faixa de 0 a π geral mente utilizamos a faixa de freqüência de π a π ao invés de 0 a π por duas razões Primeiro a representação ex ponencial de senóide com freqüência na faixa de 0 a π requer uma faixa de π a π Segundo mesmo quando utili zamos a representação trigonométrica geralmente precisamos da faixa de freqüências de π a π para termos uma representação exata sem reversão de fase de senóides de mais alta freqüência Entretanto se Ω for além de π a sobreposição resultante reduz a freqüência aparente para Ωa π 482 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Expresse os sinais a seguir em termos de suas freqüências aparentes a Ω 05π já está na faixa reduzida Isto também é evidente da Fig 516a ou 516b Como Ωa 05π e não existe reversão de fase a senóide aparente é cos 05πn θ b Podemos escrever 16π 04π 2π tal que Ωa 04π e Ωa 04 Além disso Ωa é negativo implicando mudança de sinal da fase Logo a senóide aparente é cos 04πn θ Este fato também é evi dente na Fig 516b c Primeiro convertemos o seno para a forma cosseno ou seja sen 16πn θ cos 16πn π2 θ Na parte b determinamos Ωa 04π Logo a senóide aparente é cos 04πn π2 θ sen 04πn θ Neste caso tanto a fase quanto a amplitude mudam de sinal d 23π 03π 2π tal que Ωa 03π Logo a senóide aparente é cos 03πn θ e Temos 34699 3 62π Logo Ωa 3 e a freqüência aparente é Ωa 3 radamostra Como Ωa é negativo existe uma mudança no sinal da fase Logo a senóide aparente é cos 3n θ EXEMPLO 511 Figura 516 a Freqüência real versus b freqüência aparente Em alguns casos práticos no lugar da faixa de π a π podemos utilizar outras faixas contínuas de largura 2π A faixa de 0 a 2π por exemplo é utilizada em várias aplicações É deixado como exercício para o leitor mostrar que as freqüências na faixa de π a 2π são idênticas às na faixa de π a 0 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 483 EXERCÍCIO E520 Mostre que as freqüências com senóides Ω de podem ser descritas respectivamente por senóides de freqüências Mostre que nos casos d e e f a fase muda de sinal 552 Aliasing e Taxa de Amostragem A não unicidade de senóides em tempo discreto e a repetição periódica das mesmas formas de onda em intervalos de 2π pode parecer inócuo mas na realidade resulta em um sério problema no processamento de sinais em tempo contínuo por filtros digitais Uma senóide cos ωt em tempo contínuo amostrada a cada T segundos t nT resul ta em uma senóide cos ωnT em tempo discreto a qual é cos Ωn com Ω ωT As senóides cos Ωn em tempo dis creto possuem uma única forma de onda apenas para valores de freqüência na faixa Ω π ou ωT π Portanto amostras de senóides em tempo contínuo de duas ou mais freqüências diferentes podem gerar o mesmo sinal em tempo discreto como mostrado na Fig 517 Este fenômeno é chamado de aliasing pois em função da amostra gem duas senóides analógicas totalmente diferentes assumem a mesma identidade em tempo discreto O aliasing causa ambigüidade no processamento digital de sinais tornando impossível determinar a verdadei ra freqüência do sinal amostrado Considere por exemplo o processamento digital de um sinal em tempo contí nuo que contém duas componentes de freqüências distintas ω1 e ω2 As amostras destas componentes aparecem como senóides em tempo discreto com freqüências Ω1 ω1T e Ω2 ω2T Se Ω1 e Ω2 forem diferentes por um múl tiplo inteiro de 2π se ω1 ω2 2kπT as duas freqüências serão lidas como se fossem a mesma freqüência a menor das duas pelo processador digital Como resultado a componente de mais alta freqüência ω2 não apenas estará perdida para sempre perdendo sua identidade para ω1 mas reencarnará como uma componente de fre qüência ω1 distorcendo a verdadeira amplitude da componente original de freqüência ω1 Logo o sinal proces sado resultante estará distorcido Claramente o aliasing é altamente indesejado e deve ser evitado Para evitar o aliasing as freqüências das senóides em tempo contínuo a serem processadas devem ser mantidas dentro da fai xa fundamental ωT π ou ω πT Dentro dessa condição a questão de ambigüidade ou aliasing desaparece por que qualquer senóide em tempo contínuo de freqüência nesta faixa possui uma única forma de onda quando amostrada Portanto se ωh é a mais alta freqüência a ser processada então para evitar o aliasing 559 A Fig 517 mostra amostras de duas senóides cos 12πt e cos 2πt tomadas a cada 02 segundos As freqüências em tempo discreto cor respondentes Ω ωT 02ω são cos 24πn e cos 04πn A freqüência aparente de 24π é 04π idêntica à freqüência em tempo discre to correspondente a senóide mais lenta Isso mostra que as amostras das duas senóides em tempo contínuo em intervalos de 02 segun dos são idênticas como verificado na Fig 517 No caso mostrado na Fig 517 ω1 12π ω2 2π e T 02 Logo ω1 ω2 10πT 2π e as duas freqüências são interpretadas como a mesma freqüência Ω 04π pelo processador digital 484 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Falando estritamente devemos ter mais do que duas amostras por ciclo Se fh é a mais alta freqüência em hertz fh ωh2π e de acordo com a Eq 559 560a ou 560b Esta equação mostra que o processamento de sinais em tempo discreto limita a freqüência mais alta fh que pode ser processada para um dado valor de intervalo de amostragem T de acordo com a Eq 560a Mas pode mos processar um sinal de qualquer freqüência sem aliasing escolhendo um valor adequado de T de acordo com a Eq 560b A taxa ou freqüência de amostragem fs é recíproca ao intervalo de amostragem T e de acor do com a Eq 560b 561a tal que 561b Este resultado é um caso especial do conhecido teorema da amostragem o qual será provado no Capítulo 8 Ele afirma que para processar uma senóide em tempo contínuo por um sistema em tempo discreto a taxa de amostragem deve ser maior do que duas vezes a freqüência em hertz da senóide Ou seja uma senóide amos trada deve ter no mínimo duas amostras por ciclo Para taxas de amostragem abaixo desse valor mínimo o si nal de saída terá o efeito de aliasing significando que ele será confundido com uma senóide de freqüência mais baixa FILTRO ANTIALIASING Se a taxa de amostragem não satisfizer a condição 561 ocorrerá o aliasing fazendo com que freqüência além de fs2 Hz sejam mascaradas como freqüências menores corrompendo o espectro de freqüência abaixo de fs2 Para evitar este problema um sinal a ser amostrado passa por um filtro antialiasing com largura de faixa de fs2 antes da amostragem Essa operação garante a condição 561 O efeito colateral deste filtro é a perda de componentes espectrais do sinal além da freqüência fs2 a qual é uma alternativa preferível ao efei to de aliasing em freqüências abaixo de fs2 O Capítulo 8 apresenta uma análise mais detalhada do problema de aliasing Figura 517 Demonstração do efeito de aliasing CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 485 56 RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA A PARTIR DA POSIÇÃO DOS PÓLOSZEROS As respostas em freqüência respostas de amplitude e fase de um sistema são determinadas pelas posições dos póloszeros da função de transferência Hz Tal como em sistemas em tempo contínuo é possível determinar rapidamente a resposta em amplitude e fase além de se ter uma idéia das propriedades de filtragem de sistemas em tempo discreto usando uma técnica gráfica A função genérica de transferência Hz de ordem N da Eq 534 pode ser descrita na forma fatorada por 562 Podemos calcular Hz graficamente usando os conceitos discutidos na Seção 410 O segmento de linha di recional de zi a z no plano complexo Fig 518a representa o número complexo z zi O tamanho deste segmen to é z zi e seu ângulo com o eixo horizontal é z zi Para calcular a resposta em freqüência He jΩ calculamos Hz para z e jΩ Mas para z e jΩ z 1 e z Ω tal que z e jΩ representa um ponto no círculo unitário com ângulo Ω com o eixo horizontal Conectamos todos os zeros z1 z2 zN e todos os pólos γ1 γ2 γN ao ponto e jΩ como indicado na Fig 518b Sejam r1 r2 rN os comprimentos e φ1 φ2 φN os ângulos respectivamente das linhas conectando z1 z2 zN ao ponto e jΩ Si milarmente sejam d1 d2 dN os comprimentos e θ1 θ2 θN os ângulos respectivamente das linhas conectan do γ1 γ2 γN ao ponto e jΩ então 563 564 Determine o intervalo de amostragem máximo T que pode ser utilizado em um oscilador em tempo discre to o qual gera uma senóide de 50 kHz Neste caso a freqüência mais alta significante é fh 50kHz Portanto a partir da Eq 560b O intervalo de amostragem deve ser menor do que 10μs A freqüência de amostragem é fs 1T 100 kHz EXEMPLO 512 Um amplificador em tempo discreto usa um intervalo de amostragem T 25μs Qual é a maior freqüência de um sinal que pode ser processado por este amplificador sem aliasing A partir da Eq 560a EXEMPLO 513 486 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Portanto assumindo b0 0 565a e 565b Dessa forma podemos calcular a resposta em freqüência He jΩ para qualquer valor de Ω selecionando o ponto no círculo unitário no ângulo Ω Este ponto é e jΩ Para calcular a resposta em freqüência He jΩ conecta mos todos os pólos e zeros a este ponto e utilizamos as equações anteriores para determinarmos He jΩ e He jΩ Repetimos este procedimento para todos os valores de Ω de 0 a π obtendo a resposta em freqüência CONTROLANDO O GANHO PELA COLOCAÇÃO DE PÓLOS E ZEROS A natureza da influência das posições dos pólos e zeros na resposta em freqüência é similar ao observado em sistemas em tempo contínuo com pequenas diferenças No lugar do eixo imaginário em sistemas em tempo con tínuo temos o círculo unitário no caso em tempo discreto Quanto mais próximo o pólo ou zero estiver do pon to e jΩ no círculo unitário 17 representando alguma freqüência Ω maior a influência do pólo ou zero na res posta em amplitude naquela freqüência porque o tamanho do vetor unindo aquele pólo ou zero ao ponto e jΩ será pequeno A proximidade de um pólo ou zero possui efeito similar na resposta em fase A partir da Eq 565a fica claro que para aumentarmos a resposta em amplitude na freqüência Ω devemos colocar um pólo o mais próximo possível do ponto e jΩ o qual está no círculo unitário Similarmente para reduzir a resposta em amplitude na freqüência Ω devemos colocar um zero o mais perto possível do ponto e jΩ no círculo unitário A colocação de pólos ou zeros repetidos irá aumentar ainda mais as suas influências Figura 518 Representação vetorial de a números complexos e b fatores de Hz O mais próximo que podemos colocar o pólo é no círculo unitário no ponto representando Ω Essa escolha poderá levar a um ganho in finito mas deve ser evitada porque ela resultará em um sistema marginalmente estável BIBO instável Quanto mais próximo o pon to do círculo unitário mais sensível será o ganho do sistema a variações paramétricas CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 487 A supressão total da transmissão de sinal em qualquer freqüência pode ser obtida colocandose um zero no círculo unitário no ponto correspondente a aquela freqüência Esta observação é utilizada no projeto de filtros Notch párafaixa A colocação de um pólo ou zero na origem não influencia a resposta em amplitude porque o tamanho do ve tor conectando a origem a qualquer ponto no círculo unitário é unitário Entretanto um pólo ou zero na origem adiciona o ângulo Ω ou Ω a He jΩ Logo o espectro de fase Ω ou Ω é uma função linear da freqüência e portanto representa um atraso de tempo puro ou avanço de tempo de T segundos veja o Exercício E519 Portanto um pólo ou zero na origem causa um atraso de tempo ou avanço de tempo de T segundos na res posta Não há alteração na resposta em amplitude Para um sistema estável todos os pólos devem ser localizados dentro do círculo unitário Os zeros podem es tar em qualquer lugar Além disso para um sistema fisicamente realizável Hz deve ser uma fração própria ou seja N M Se para conseguirmos uma certa resposta em amplitude for necessário M N ainda podemos dei xar o sistema realizável colocando um número suficiente de pólos na origem para termos N M Isso não irá al terar a resposta em amplitude mas irá aumentar o atraso de tempo da resposta Em geral um pólo em um ponto possui efeito oposto a um zero naquele ponto Colocando um zero próximo a um pólo haverá a tendência de cancelamento do efeito daquele pólo na resposta em freqüência FILTROS PASSABAIXAS Um filtro passabaixas geralmente possui um ganho máximo para ou próximo de Ω 0 o que corresponde ao ponto e j0 1 no círculo unitário Dessa forma a colocação de um pólo dentro do círculo unitário próximo ao ponto z 1 Fig 519a irá resultar em uma resposta passabaixas As respostas em amplitude e fase cor respondentes estão mostradas na Fig 519a Para pequenos valores de Ω o ponto e jΩ um ponto sobre o cír culo unitário no ângulo Ω estará próximo do pólo e conseqüentemente o ganho será alto Quando Ω au menta a distância do ponto e jΩ ao pólo aumenta Conseqüentemente o ganho diminui resultando em uma ca racterística passabaixas Colocando um zero na origem não altera a resposta em amplitude mas modifica a resposta em fase como ilustrado na Fig 519b Colocando um zero em z 1 entretanto altera tanto a res posta em amplitude quanto a resposta em fase Fig 519c O ponto z 1 corresponde à freqüência Ω π z e jΩ e jπ 1 Conseqüentemente a resposta em amplitude ficará mais atenuada para altas freqüência com um ganho zero em Ω π Podemos obter características ideais de passabaixas usando mais pólos fixos pró ximos a z 1 mas dentro do círculo unitário A Fig 519d mostra um filtro de terceira ordem com três pó los próximos a z 1 e um zero de terceira ordem em z 1 mostrando também a correspondente resposta em amplitude e fase Para um filtro passabaixas ideal precisamos aumentar o ganho para cada freqüência na fai xa 0 Ωc Isso pode ser obtido colocando uma parede contínua de pólos necessitando de um número infini to de pólos oposta a esta faixa FILTROS PASSAALTAS Um filtro passaaltas possui um pequeno ganho em baixas freqüências e um alto ganho em altas freqüências Tal característica pode ser implementada colocandose um ou mais pólos próximo de z 1 pois queremos o maior ganho possível para Ω π Colocando um zero em z 1 aumenta a supressão do ganho em baixas freqüências A Fig 519e mostra uma possível configuração de póloszeros de um filtro de terceira ordem passaaltas mos trando também a respectiva resposta em amplitude e fase Nos dois exemplos a seguir iremos implementar filtros analógicos usando processadores digitais e disposi tivos de interface adequados CD e DC como mostrado na Fig 32 Iremos examinar o projeto de processa dores digitais com função de transferência Hz com o propósito de implementar filtros passafaixa e párafaixa nos exemplos a seguir Como a Fig 32 mostra o dispositivo CD amostra uma entrada em tempo contínuo xt resultando em um sinal xn em tempo discreto o qual é utilizado como entrada de Hz A saída yn de Hz é converti da para um sinal yt em tempo contínuo por um dispositivo DC Também vimos na Eq 547 que uma se nóide em tempo contínuo de freqüência ω quando amostrada resulta em uma senóide em tempo discreto Ω ωT Colocando um pólo em z 1 resulta em um ganho máximo infinito mas resultará em um sistema BIBO instável e portanto deve ser evitado 488 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 519 Várias configurações de pólos e zeros e as correspondentes respostas em freqüência CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 489 Por tentativa e erro projete um filtro analógico sintonizado passafaixa com transmissão zero para 0 Hz e também para a freqüência mais alta fh 500 Hz A freqüência de ressonância deve ser 125 Hz Como fh 500 Hz precisamos T 11000 veja a Eq 560b Vamos selecionar T 10 3 Lembrese de que as freqüências analógicas ω correspondem às freqüências digitais Ω ωT Logo as freqüências ana lógicas ω 0 e 100π correspondente a Ω 0 e π respectivamente O ganho deve ser zero nestas freqüên cias Logo iremos colocar zeros em e jΩ correspondendo a Ω 0 e Ω π Para Ω 0 z e jΩ 1 Para Ω π e jΩ 1 Logo devem haver zeros em 1 Além disso precisamos aumentar a resposta na freqüência de ressonância ω 250π a qual corresponde a Ω π4 a qual por sua vez corresponde a e jΩ e jπ4 Por tanto para aumentar a resposta em freqüência em ω 250π alocamos pólos na vizinhança de e jπ4 Como este é um pólo complexo também precisamos de seu conjugado próximo a e jπ4 como indicado na Fig 520a Vamos escolher estes pólos γ1 e γ2 como na qual γ 1 por questões de estabilidade Quanto mais próximo γ estiver do círculo unitário mais estrei ta será a resposta próxima de ω 250π Também temos zeros em 1 Logo 566 Por conveniência escolhemos K 1 A resposta em amplitude é dada por Agora usando a Eq 550 obtemos 567 A Fig 520b mostra a resposta em amplitude em função de ω além de Ω ωT 10 3 ω para valores de γ 083 096 e 1 Como esperado o ganho é zero para ω 0 e em 500 Hz ω 1000π Os picos de ga nho estão próximos de 125 Hz ω 250π A ressonância pico fica mais pronunciada quando γ aproxi mase de 1 A Fig 520c mostra a realização canônica deste filtro veja a Eq 566 EXEMPLO 514 Filtro PassaFaixa Falando estritamente precisamos de T 0001 Entretanto iremos mostrar no Capítulo 8 que se a entrada não contém uma componen te de amplitude finita em 500 Hz T 0001 é adequado Geralmente sinais práticos satisfazem essa condição Figura 520 Projeto de um filtro passafaixa 490 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO DE COMPUTADOR C52 Utilize o MATLAB para calcular e traçar a resposta em freqüência do filtro passafaixa do Exemplo 514 para os seguintes casos CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 491 Projete um filtro Notch de segunda ordem que tenha transmissão nula em 250Hz e uma rápida recuperação de ganho para a unidade nos dois lados de 250 Hz A freqüência mais alta a ser processada é fh 400 Hz Neste caso T 12 fh 125 10 3 Vamos escolher T 10 3 Para a freqüência de 250 Hz Ω 2π250T π2 Portanto a freqüência de 250 Hz é representada pelo ponto e jΩ e jπ2 j no círculo unitário como mostrado na Fig 512a Como precisamos de transmissão zero nesta freqüência devemos colocar um zero em z e jπ2 j e seu conjugado em z e jπ2 j Também precisamos de uma rápida recuperação de ganho nos dois lados da freqüência 250 Hz Para isto colocamos dois pólos próximos aos zeros para cancelar o efeito dos dois zeros quando nos movemos para longe do ponto j correspondente à freqüência 250 Hz Por esta razão vamos usar pólos em ja com a 1 para estabilidade Quanto mais próximo os pólos estiverem dos zeros quanto mais próximo a estiver de 1 mais rápida a recuperação de ganho nos dois lado de 250 Hz A função de transferência resultante é O ganho CC ganho para Ω 0 ou z 1 deste filtro é Como precisamos de um ganho CC unitário devemos selecionar K 1 a 22 A função de transferên cia se torna portanto 568 EXEMPLO 515 Filtro Notch PáraFaixa Figura C52 492 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e de acordo com a Eq 550 A Fig 521b mostra He jΩ para valores de a 03 06 e 095 A Fig 521c mostra a realização deste filtro Figura 521 Projeto de um filtro notch párafaixa EXERCÍCIO E521 Use o argumento gráfico para mostrar que um filtro com função de transferência funciona como um filtro passaaltas Faça um rascunho da resposta em amplitude Figura 522 Realização de filtro analógico através de um filtro digital CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 493 57 PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS ANALÓGICOS Um sinal analógico significando em tempo contínuo pode ser processado digitalmente pela amostragem do si nal analógico e processando as amostras por um processador digital em tempo discreto A saída do processa dor é então convertida novamente para um sinal analógico como mostrado na Fig 522a Já vimos alguns ca sos simples deste tipo de processamento nos Exemplos 36 37 e 515 Nesta seção iremos obter um critério pa ra o projeto de processadores digitais para um sistema LCIT genérico Suponha que queremos realizar o equivalente a um sistema analógico com função de transferência Has mostrada na Fig 522b Seja Hz a função de transferência do processador digital da Fig 522a que realiza a função Has desejada Em outras palavras queremos fazer os dois sistemas da Fig 522 equivalentes ao menos aproximadamente Por equivalentes entendemos que para uma dada entrada xt os sistemas da Fig 522 terão a mesma saí da yt Portanto ynT as amostras da saída da Fig 522b são idênticas a yn a saída de Hz da Fig 522a Para efeito de generalidade iremos considerar um sistema não causal O argumento e os resultados também são válidos para sistemas causais A saída yt do sistema da Fig 522b é 569a Para o nosso propósito é conveniente utilizar a notação T para Δτ na Eq 569a Assumindo que T o inter valo de amostragem é pequeno o suficiente esta mudança na notação resulta em 569b A resposta no nésimo instante de amostragem ynT obtida fazendo t nT na equação é 569c Na Fig 522a a entrada de Hz é nnT xn Se hn for a resposta ao impulso unitário de Hz então yn a saída de Hz é dado por 570 Figura 523 Resposta ao impulso para sistemas analógico e digital usando o método de invariância ao im pulso para o projeto do filtro 494 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Se os dois sistemas devem ser equivalentes ynT da Eq 569c deve ser igual a yn da Eq 570 Portanto 571 Este é o critério no domínio do tempo para a equivalência de dois sistemas De acordo com este critério hn a resposta ao impulso unitário de Hz da Fig 522a deve ser T vezes as amostras de hat a resposta ao impulso unitário do sistema da Fig 522b Isto é chamado de critério de invariância ao impulso de projeto de filtros Falando estritamente esta realização garante a equivalência da saída somente nos instantes de amostragem ou seja ynT yn e que também assume que T 0 Obviamente esse critério resulta em uma realização aproxima da de Has Entretanto pode ser mostrado que quando a resposta em freqüência de Hajω é limitada em faixa a realização é exata 2 desde que a taxa de amostragem seja alta o suficiente para evitar qualquer aliasing T 12 fh REALIZAÇÃO DE HS RACIONAL Se quisermos realizar um filtro analógico com função de transferência 572a A resposta ht ao impulso dada pela transformada inversa de Laplace de Has é 572b A resposta hn ao impulso unitário do filtro digital correspondente pela Eq 571 será A Fig 523 mostra hat e hn A transformada z de hn correspondente Hz é determinada pela Tabela 51 573 O procedimento de determinação de Hz pode ser sistematizado para qualquer sistema de ordem N Primei ro expressamos a função de transferência Has analógica de ordem N como a soma de frações parciais dada por 574 então Hz correspondente é dada por Como T é uma constante alguns autores ignoram o fator T resultando no critério simplificado hn hanT Ignorar T simplesmente escalona a resposta em amplitude do filtro resultante Assumindo que Has possui pólos simples Para pólos repetidos a forma é alterada adequadamente A forma 6 da Tabela 53 é adequa da para pólos repetidos Tabela 53 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 495 Esta função de transferência pode ser facilmente realizada como explicado na Seção 54 A Tabela 53 lista vários pares de Has e suas Hz correspondentes Por exemplo para realizar um integrador digital examina mos sua função Has 1s A partir da Tabela 53 correspondente a Has 1s par 2 determinamos Hz transformada Tzz 1 Este é exatamente o resultado obtido no Exemplo 37 usando outra abordagem Note que Hajω na Eq 572a ou 574 não é limitada em faixa Conseqüentemente todas estas realiza ções são aproximadas ESCOLHA DO INTERVALO DE AMOSTRAGEM T O critério de invariância ao impulso 571 foi obtido considerandose que T 0 Esta consideração não é nem prática e nem necessária para um projeto satisfatório Evitar o aliasing é a consideração mais importan te para a escolha de T Na Eq 560a mostramos que para um intervalo de amostragem de T segundos a fre qüência mais alta que pode ser amostrada sem aliasing é 12T ou πT radianos por segundo Isso implica que Hajω a resposta em freqüência do filtro analógico da Fig 522b não deve ter componentes espectrais além da freqüência πT radianos por segundo Em outras palavras para evitar o aliasing a resposta em freqüência do sistema Has deve ser limitada em faixa a πT radianos por segundo Veremos posteriormente no Capítu lo 7 que a resposta em freqüência de um sistema LCIT realizável não pode ser limitada em faixa Ou seja a resposta geralmente existe para todas as freqüências até Portanto é impossível realizar exatamente um sistema LCIT digitalmente sem aliasing Graças a Deus a resposta em freqüência de todo sistema LCIT rea lizável diminui com a freqüência Isto permite um compromisso entre a realização digital de um sistema LCIT com um nível de aliasing aceitável Quanto menor o valor de T menor o aliasing e melhor a aproxima ção Como é impossível fazer Hajω zero ficamos satisfeitos por fazêlo suficientemente pequeno para fre qüências acima de πT Como regra rápida 3 escolhemos T tal que Hajω para a freqüência ω πT seja me nor do que uma certa fração geralmente 1 do valor de pico de Hajω Isto garante que o efeito de alia sing possa ser negligenciado O pico de Hajω geralmente ocorre para ω 0 para filtros passabaixas e na freqüência de centro ωc para filtros passafaixa 3 Para um sinal complexo xn a propriedade de reversão no tempo é modificada para 496 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Projete um filtro digital para realizar um filtro passabaixas de Butterworth de primeira ordem com função de transferência 575 Para esse filtro determinarmos Hz correspondente de acordo com a Eq 573ou par 5 da Tabela 53 dada por 576 A seguir selecionamos o valor de T pelo critério de acordo com o qual o ganho em ω πT cai para 1 do ganho máximo do filtro Entretanto essa escolha resulta em um projeto tão bom que o aliasing é imper ceptível A resposta de amplitude resultante é tão próxima da resposta desejada que dificilmente iremos no tar o efeito de aliasing em nosso gráfico Para efeito de demonstração do efeito de aliasing deliberadamen te iremos selecionar um critério de 10 em vez de 1 Desta forma obtemos Neste caso Hajωmax 1 o qual ocorre em ω 0 Usando o critério de 10 temos HaπT 01 Observe que Logo Portanto o critério de 10 resulta em T 10 6π O critério de 1 teria resultado em T 10 7π A subs tituição de T 10 6π na Eq 576 resulta em 577 A realização canônica deste filtro está mostrada na Fig 524a Para determinarmos a resposta em fre qüência desse filtro digital reescrevemos Hz como Portanto Conseqüentemente 578a EXEMPLO 516 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 497 578b Esta resposta em freqüência difere da resposta desejada Hajω porque o efeito de aliasing faz com que as freqüências acima de πT apareçam nas freqüências abaixo de πT Isto geralmente resulta em um au mento de ganho para freqüências abaixo de πT Por exemplo o ganho do filtro realizado para ω 0 é He j0 H1 Este valor obtido pela Eq 577 é 11654 em vez do valor desejado de 1 Podemos com pensar parcialmente esta distorção multiplicando Hz ou He jωT por uma constante de normalização K Ha0H1 111654 0858 Isto força o ganho resultante de He jωT a ser igual a 1 para ω 0 O va lor normalizado é Hnz 0858Hz 085801πzz 07304 A resposta em amplitude da Eq 578a é multiplicada por K 0858 e apresentada na Fig 524b para a faixa de freqüência de 0 ω πT 10 6 A constante multiplicativa K não possui efeito na resposta em fase da Eq 578b a qual é mostrada na Fig 524c Além disso a resposta em freqüência desejada de acordo com a Eq 575 com ωc 10 5 é Portanto As respostas em amplitude e fase são mostradas em pontilhado na Fig 524b e 524c para efeito de comparação com a resposta do filtro digital realizado Observe que o comportamento da resposta em am plitude do filtro analógico e digital é muito próximo para a faixa ω ωc 10 5 Entretanto para freqüên cias mais altas existe um aliasing considerável especialmente no espectro de fase Se tivéssemos utiliza do o critério de 1 a resposta em freqüência teria sido mais próxima para mais uma década na faixa de freqüência Figura 524 Exemplo de um projeto de filtro pelo método de invariância ao impulso a realização do filtro b resposta em amplitude e c resposta em fase 498 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO DE COMPUTADOR C53 Usando o comando impinvar do MATLAB determine o filtro digital com invariância ao impulso que rea liza a filtro de Butterworth analógico de primeira ordem apresentado no Exemplo 516 A função de transferência do filtro analógico é 10 5s 10 5 e o intervalo de amostragem é T 10 6π EXERCÍCIO E522 Projete um filtro digital para realizar a seguinte função de transferência analógica RESPOSTA Figura 524 Continuação CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 499 58 CONEXÃO ENTRE A TRANSFORMADA DE LAPLACE E A TRANSFORMADA Z Iremos mostrar agora que sistemas em tempo discreto também podem ser analisados pela transformada de La place De fato veremos que a transformada z é transformada de Laplace disfarçada e que sistemas em tempo discreto podem ser analisados como se eles fossem sistemas em tempo contínuo Até este momento consideramos um sinal em tempo discreto como uma seqüência de números e não como um sinal elétrico tensão ou corrente Similarmente consideramos um sistema em tempo discreto como um me canismo que processa uma seqüência de números entrada resultando em outra seqüência de números saída O sistema é construído usando atrasos em conjunto com somadores e multiplicadores que atrasa a seqüência de números Um computador digital é um exemplo perfeito todo sinal é uma seqüência de números e o proces samento envolve atrasar a seqüência de números além de adicionar e multiplicar Agora suponha que temos um sistema em tempo discreto com função de transferência Hz e entrada xn Considere um sinal xt em tempo contínuo tal que o valor da sua nésima amostra é xn como mostrado na Fig 525 Seja o sinal amostrado igual a xt constituído de impulsos espaçados por T segundos com força uma vez que a amplitude é infinita do nésimo impulso igual a xn Portanto 579 A Fig 525 mostra xn e o correspondente xt O sinal xn é aplicado a entrada do sistema em tempo dis creto com função de transferência Hz a qual é geralmente construída com atrasos somadores e multiplicado res escalares Logo o processamento xn através de Hz resulta em operar na seqüência xn através de atrasa dores somadores e multiplicadores escalares Suponha que para amostras xt executamos operações idênticas às executadas nas amostras de xn por Hz Para isto precisamos de um sistema em tempo contínuo cuja fun ção de transferência Hs seja idêntica em estrutura a Hz do sistema em tempo discreto exceto pelo fato dos atrasos em Hz serem substituídos por elementos que atrasam sinais em tempo contínuo tais como tensões e correntes Não existe outra diferença entre as realizações de Hz e Hs Se um impulso em tempo contínuo δt for aplicado a tal atraso de T segundos a saída deve ser δt T A função de transferência em tempo contínuo deste tipo de atraso é e sT veja a Eq 446 Logo os elementos de atraso com função de transferência 1z na realização de Hz devem ser substituídos por elementos de atraso com função de transferência e sT na realiza ção de Hs correspondente Isto é o mesmo que substituir z por e sT Logo Hs He sT Vamos agora aplicar xn a entrada de Hz e aplicar xt na entrada de He sT Quaisquer operações que sejam executadas pelo siste ma Hz em tempo discreto em xn Fig 525a também serão executadas pelo sistema correspondente He sT em tempo contínuo na seqüência de impulsos xt Fig 525b O atraso em uma seqüência em Hz equivale a um atraso no trem de impulso em He sT Operações de adição e multiplicação são as mesmas nos dois casos Portanto se yn for a saída do sistema em tempo discreto da Fig 525a então yt a saída do sistema em tem po contínuo da Fig 525b será uma seqüência de impulso cuja força do nésimo impulso é yn Portanto 580 O sistema da Fig 525b sendo um sistema em tempo contínuo pode ser analisado pela transformada de La place Se então 581 Além disso Podemos construir xt dos valores amostrados como explicado no Capítulo 8 500 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Como a transformada de Laplace de δt nT é e snT 582 e 583 A substituição das Eqs 582 e 583 na Eq 581 resulta em Introduzindo uma nova variável z e sT esta equação pode ser expressa por ou na qual Fica claro de nossas discussões que a transformada z pode ser considerada como sendo a transformada de La place com a mudança de variável z e sT ou s 1T ln z Observe que a transformação z e sT transforma o eixo imaginário do plano s s jω em um círculo unitário no plano z z e sT e sωT ou z 1 O SPE e SPD no pla no s são mapeados dentro e fora respectivamente do círculo unitário no plano z Figura 525 Conexão entre a transformada de Laplace e a transformada z CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 501 59 A TRANSFORMADA Z BILATERAL Situações com sinais ou sistemas não causais não podem ser trabalhadas com a transformada z unilateral dis cutida até este momento Tais casos entretanto podem ser analisados pela transformada z bilateral ou de dois lados definida na Eq 51 por Tal como na Eq 52 a transformada z inversa é dada por Essas equações definem a transformada z bilateral Anteriormente mostramos que 584 Por outro lado a transformada z do sinal γ nun 1 mostrada na Fig 526a é Portanto 585 Comparando as Eqs 584 e 585 observamos que a transformada z de γ nun é idêntica a transformada z de γ nun 1 As regiões de convergência entretanto são diferentes No primeiro caso Xz converge para z γ e no segundo caso Xz converge para z γ veja a Fig 526b Claramente a transformada inversa de Xz não é única a não ser que a região de convergência seja especificada Se acrescentarmos a restrição de Figura 526 a γ nun 1 e b a região de convergência de sua transformada z Determine a transformada z de A partir dos resultados das Eqs 584 e 585 temos EXEMPLO 517 502 SINAIS E SISTEMAS LINEARES que todos os nossos sinais são causais entretanto esta ambigüidade não aparece A transformada inversa de zz γ é γ nun mesmo sem a especificação da RDC Portanto na transformada unilateral podemos ignorar a RDC na determinação da transformada z inversa de Xz Tal como no caso da transformada de Laplace bilateral se xn xin então a RDC de Xz é a inter seção das RDCs região comum a todas as RDCs das transformadas X1z X2z Xkz O resultado anterior leva à conclusão similar a da transformada de Laplace de que se z β é o pólo de maior magnitude para uma seqüência causal sua RDC é z β Se z α é a menor magnitude de um pólo não nulo para uma seqüência anticausal sua RDC é z α REGIÃO DE CONVERGÊNCIA PARA SEQÜÊNCIAS DE LADO ESQUERDO E LADO DIREITO Vamos considerar inicialmente a seqüência xfn de duração finita definida como uma seqüência que é não nu la para N1 n N2 na qual tanto N1 quanto N2 são números finitos e N2 N1 Além disso Por exemplo se N1 2 e N2 1 então Presumindo que todos os elementos em xfn são finitos observamos que Xfz possui dois pólos em z devido aos temos xf2z 2 xf1z e um pólo em z 0 devido ao termo xf1z Logo uma seqüência de duração finita pode ter pólos em z 0 e z Observe que Xfz converge para todos os valores de z exceto possivel mente z 0 e z Isso significa que a RDC de um sinal genérico xn xfn é a mesma RDC de xn com a possível exceção de z 0 e z Uma seqüência de lado direito é zero para n N2 e uma seqüência de lado esquerdo é zero para n N1 Uma seqüência causal é sempre uma seqüência de lado direito mas o inverso não é necessariamente verdadei ro Uma seqüência anticausal é sempre uma seqüência de lado esquerdo mas o inverso não é necessariamente ver dadeiro Uma seqüência de dois lados é de duração infinita não sendo nem de lado direito e nem de lado esquerdo Uma seqüência de lado direito xrn pode ser expressa por xrn xcn xfn na qual xcn é um sinal cau sal e xfn é um sinal de duração finita Portanto a RDC de xrn é a mesma da RDC de xcn exceto possivel mente em z Se z β é o pólo de maior magnitude para uma seqüência de lado direito xrn sua RDC é β z Similarmente uma seqüência de lado esquerdo pode ser expressa por xln xan xfn na qual xan é um sinal anticausal e xfn é um sinal de duração finita Portanto a RDC de xln é a mesma da RDC de xan exceto possivelmente em z 0 Portanto se z α é o pólo de menor magnitude não nula para uma seqüência de lado esquerdo sua RDC é 0 z α CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 503 A região comum na qual tanto X1z e X2z convergem é 09 z 12 Fig 527b Logo 586 A seqüência xn e a RDC de Xz estão mostradas na Fig 527 Figura 527 a Sinal xn e b a RDC de Xz Determine a transformada z de se a RDC for a e EXEMPLO 518 504 SINAIS E SISTEMAS LINEARES como a RDC é z 2 os dois termos correspondem a seqüências causais e Essa seqüência é mostrada na Fig 528a b Neste caso z 08 o que é menor do que as magnitudes dos dois pólos Logo os dois termos cor respondem a seqüências anticausais e Essa seqüência aparece na Fig 528b c Neste caso 08 z 2 a parte de Xz que corresponde ao pólo em 08 é uma seqüência causal e a parte correspondente ao pólo 2 é uma seqüência anticausal Essa seqüência está mostrada na Fig 528c Figura 528 Três possíveis transformadas inversas de Xz EXERCÍCIO E523 Determine a transformada z de RESPOSTA CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 505 TRANSFORMADA INVERSA PELA EXPANSÃO DE XZ EM SÉRIES DE POTÊNCIA DE Z Temos Para uma seqüência anticausal a qual existe somente para n 1 esta equação se torna Podemos determinar a transformada z inversa de Xz dividindo o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador os dois em potências crescentes de z para obter um polinômio de potência crescente em z Por tanto para determinar a transformada inversa de zz 05 quando a RDC é z 05 dividimos z por 05 z obtendo 2z 4z 2 8z 3 Logo x1 2 x2 4 x3 8 e assim por diante 591 Propriedades da Transformada z Bilateral As propriedades da transformada z bilateral são similares às da transformada unilateral Iremos simplesmente reapresentar as propriedades sem as provas para xin Xin LINEARIDADE A RDC para a1X1n a2X2n é a região comum interseção das RDCs de X1n e X2n DESLOCAMENTO A RDC de Xzz m é a RDC de Xz exceto pela adição ou remoção de z 0 ou z causada pelo fator 1z m CONVOLUÇÃO A RDC de X1nX2n é a região comum interseção das RDCs de X1n e X2n MULTIPLICAÇÃO POR γ n Se a RDC de Xz for γ1 z γ2 então a RDC de Xzγ é γγ1 z γγ2 indicando que a RDC é escalo nada pelo fator γ MULTIPLICAÇÃO POR n A RDC de zdXdz é a mesma RDC de Xz REVERSÃO NO TEMPO Se a RDC de Xz for γ1 z γ2 então a RDC de X1z é 1γ1 z 1γ2 Para um sinal complexo xn a propriedade é modificada para 506 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 592 Utilização da Transformada z Bilateral para a Análise de Sistemas LDIT Como a transformada z bilateral pode trabalhar com sinais não causais podemos utilizar essa transformada pa ra analisar sistemas lineares não causais A resposta yn de estado nulo é dada por desde que XzHz exista A RDC de XzHz é a região na qual tanto Xz quanto Hz existem o que signifi ca que a região é a parte comum da RDC de Xz e Hz Para um sistema causal especificado pela função de transferência determine a resposta de estado nulo para a entrada A RDC correspondente ao termo causal é z 08 e a correspondente ao termo anticausal é z 2 Logo a RDC de Xz é a região comum dada por 08 z 2 Logo Portanto Como o sistema é causal a RDC de Hz é z 05 A RDC de Xz é 08 z 2 A região comum de convergência para Xz e Hz é 08 z 2 Portanto Expandindo Yz em frações parciais modificadas temos Como a RDC se estende para fora a partir do pólo em 08 os dois pólos em 05 e 08 correspondem a se qüência causal A RDC se estende para dentro a partir do pólo em 2 Logo o pólo em 2 corresponde a se qüência anticausal Portanto EXEMPLO 519 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 507 Para o sistema do Exemplo 519 determine a resposta de estado nulo para a entrada A transformada z das componentes causal e anticausal x1n e x2n da saída são Observe que a RDC comum para X1z e X2z não existe Portanto Xz não existe Em tal caso aprovei tamos o princípio da superposição e determinamos y1n e y2n as respostas do sistema a x1n e x2n sepa radamente A resposta yn desejada é a soma de y1n e y2n Agora Expandindo Y1z e Y2z em frações parciais modificada obtemos Portanto e EXEMPLO 520 EXERCÍCIO E524 Para o sistema causal do Exemplo 519 Determine a resposta de estado nulo para a entrada RESPOSTA 508 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 510 RESUMO Neste capítulo discutimos a análise de sistemas lineares discretos e invariantes no tempo através da transfor mada z A transformada z transforma as equações diferença de sistemas LDIT para equações algébricas Portan to o problema de resolução de equações diferença se reduz para a resolução de equações algébricas A função de transferência Hz de um sistema LDIT é igual à razão da transformada z da saída pela trans formada z da entrada quando todas as condições iniciais são nulas Portanto se Xz é a transformada z da entrada xn e Yz é a transformada z da saída yn correspondente quando todas as condições iniciais são nulas então Yz HzXz Para um sistema LDIT especificado pela equação diferença QEyn PExn a função de transferência é Hz PzQz Além disso Hz é a transformada z da resposta hn do sistema ao impulso unitário Mostramos no Capítulo 3 que a resposta do sistema a uma exponencial de duração infinita z n é Hzz n Também vimos que a transformada z é uma ferramenta que expressa um sinal xn como a soma de exponen ciais na forma z n para uma faixa de valores contínuos de z Usando o fato de que a resposta de um sistema LDIT a z n é Hzz n determinamos a resposta do sistema a xn como sendo a soma das respostas do sistema a todas as componentes na forma z n para uma faixa de valores contínuos de z Sistemas LDIT podem ser realizados por multiplicadores escalares somadores e atrasos de tempo Uma da da função de transferência pode ser sintetizada de diversas formas Discutimos as realizações canônica trans posta canônica cascata série e paralela O procedimento de realização é idêntico ao de sistemas em tempo con tínuo com 1s integrador substituído por 1z atraso unitário Na Seção 58 mostramos que sistemas em tempo discreto podem ser analisados pela transformada de Laplace tal como se eles fossem sistemas em tempo contínuo De fato mostramos que a transformada z é a transformada de Laplace com uma mudança de variável A maioria dos sinais de entrada e dos sistema práticos são causais Conseqüentemente geralmente trabalha mos com sinais causais A restrição de todos os sinais ao tipo causal simplifica muito a análise pela transforma da z A RDC de um sinal se torna irrelevante no processo de análise Este caso especial da transformada z a qual é restrita a sinais causais é chamada de transformada z unilateral Grande parte do capítulo trabalha com esta transformada A Seção 59 discute a forma geral da transformada z transformada z bilateral a qual pode traba lhar com sinais e sistemas causais e não causais Na transformada bilateral a transformada inversa de Xz não é única dependendo da RDC de Xz Portanto a RDC possui um papel crucial na transformada z bilateral REFERÊNCIAS MATLAB Seção 5 Filtros IIR em Tempo Discreto Avanços recentes na tecnologia aumentaram dramaticamente a popularidade de filtros em tempo discreto Ao contrário de filtros em tempo contínuo a performance de filtros em tempo discreto não é afetada pela variação dos componentes temperatura umidade ou tempo de uso Além disto hardware digital é facilmente reprogra mado o que permite a mudança adequada da função do dispositivo Por exemplo alguns aparelhos de audição são programados em função da resposta necessária para um dado usuário Tipicamente filtros em tempo discreto são categorizados como resposta infinita ao impulso IIR ou respos ta finita ao impulso FIR Um método popular para a obtenção de um filtro IIR em tempo discreto é pela trans formação de um projeto de filtro em tempo contínuo correspondente O MATLAB facilita em muito este pro cesso Apesar do projeto de filtros IIR em tempo discreto serem enfatizados nesta seção métodos para o proje to de filtros FIR em tempo discreto serão considerados em MATLAB Seção 9 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 509 M51 Resposta em Freqüência e Gráficos de PólosZeros A resposta em freqüência e gráficos de póloszeros facilitam a caracterização do comportamento de filtros Si milar a sistemas em tempo contínuo funções de transferência racionais para sistemas LDIT realizáveis são re presentados no domínio z por M51 Quando apenas os primeiros N1 1 coeficientes do numerador são não nulos e apenas os primeiros N2 1 coeficientes do denominador são não nulos a Eq M51 é simplificada para M52 A forma da Eq M52 possui diversas vantagens Ela pode ser mais eficiente do que a Eq M51 ainda fun ciona quando N1 N2 N e está mais próxima da notação das funções internas do MATLAB para processamen to de sinais em tempo discreto O lado direito da Eq M52 é a forma mais conveniente para cálculos usando o MATLAB A reposta em freqüência He jΩ é obtida fazendo z e jΩ na qual Ω possui unidade de radianos Geralmente Ω ωT na qual ω é a freqüência em tempo contínuo em radianos por segundo e T é o período de amostragem em segundos Definindo o vetor de coeficientes A a0 a1 aN2 de tamanho N2 1 e o vetor de coeficientes B b0 b1 bN1 de tamanho N1 1 o programa MS5P1 calcula He jΩ usando a Eq M52 para cada freqüência no vetor de entrada Ω function H MS5P1B A Omega MS5P1m MATLAB Seção 5 Programa 1 Arquivom de função que calcula a resposta em freqüência para sistemas LDIT Entradas B vetor de coeficientes de realimentação A vetor de coeficientes da malha direta Omega Vetor de freqüências rad tipicamente pi Omega pi Saídas H resposta em freqüência N1 lenghtB1 N2 lenghtA1 H polyval BexpjOmegapolyvalAexpjOmegaexpjOmegaN2N1 Note que devido ao esquema de indexação do MATLAB Ak corresponde ao coeficiente ak1 e Bk cor responde ao coeficiente bk1 Também é possível utilizar a função freqz do toolbox de processamento de sinais para calcular a resposta em freqüência de um sistema descrito pela Eq M52 Sob certas circunstâncias espe ciais a função bode do toolbox de controle de sistemas também pode ser utilizada O programa MS5P2 calcula e traça os pólos e zeros de um sistema LDIT descrito pela Eq M52 usando no vamente os vetores B e A function pz MS5P2BA MS5P2m MATLAB Seção 5 Programa 2 Arquivom de função que calcula e traça os pólos e zeros de um sistema LDIT Entradas B vetor de coeficientes de realimentação A vetor de coeficientes da malha direta N1 lenghtB1 N2 lenghtA1 p rootsAzeros1N1N2 z rootsBzeros1N2N1 ucirc expjlinspace02pi200 Calcula o círculo unitátio para o gráfico de póloszeros 510 SINAIS E SISTEMAS LINEARES plotrealpimagpxk realzimagzokrealucirc imagucirck xlabelRealylabelImaginary ax axis dx 005ax2ax1 dy 005ax4ax3 axisaxdxdxdydy O lado direito da Eq M52 ajuda a explicar como as raízes são calculadas Quando N1 N2 o termo z N2 N1 implica em uma raiz adicional na origem Se N1 N2 as raízes são pólos os quais são adicionados concatenan do A com zerosN1N21 como N2 N1 0 zerosN2N11 produz um conjunto vazio e B não é alterado Se N2 N1 as raízes são zeros os quais são adicionados concatenando B com zerosN2N11 Como N1 N2 0 zerosN1N21 produz uma saída vazia e A permanece inalterado Os pólos e zeros são indicados por xe o em preto respectivamente Para referência visual o círculo unitário também é mostrado A última linha em MS5P2 expande os eixos do gráfico tal que as posições das raízes não fiquem obscurecidas M52 Fundamentos de Transformação A transformação de filtros em tempo contínuo em filtros em tempo discreto começa com a função de transferên cia desejada em tempo contínuo Por conveniência Hs é representado na forma fatorada por M53 na qual zk e pk são os pólos e zeros do sistema respectivamente Uma regra de mapeamento converte a função racional Hs em uma função racional Hz A restrição de que o resultado seja racional garante que a realização do sistema possa ser feita com apenas atrasos somado res e multiplicadores Existem várias regras de mapeamento possíveis Por questões óbvias uma boa trans formação tente a mapear o eixo ω no círculo unitário ω 0 em z 1 ω em z 1 e o semiplano es querdo no interior do círculo unitário Colocado de outra forma senóides mapeadas em senóides freqüência zero mapeada em freqüência zero alta freqüência mapeada em alta freqüência e sistemas estáveis mapeados em sistemas estáveis A Seção 58 sugere que a transformada z pode ser considerada como sendo a transformada de Laplace com uma mudança de variável z e sT ou s 1Tln z na qual T é o intervalo de amostragem Portanto é tentador con verter um filtro em tempo contínuo em um filtro em tempo discreto substituindo s 1Tln z em Hs ou Hz Hs s 1Tln z Infelizmente esta abordagem não é prática porque Hz resultante não será racional e portan to não poderá ser implementada usando blocos padrões Apesar de não ser considerada aqui a transformação chamada zcombinada utiliza a relação z e sT para transformar os pólos e zeros do sistema tal que a conexão possui algum mérito M53 Transformação pela Diferença Atrasada de Primeira Ordem Considere a função de transferência Hs YsXs s a qual corresponde a um diferenciador de primeira or dem em tempo contínuo Uma aproximação que se assemelha ao teorema fundamental de cálculo é a diferença atrasada de primeira ordem CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 511 Para um intervalo de amostragem T e t nT a aproximação correspondente em tempo discreto é a qual possui a seguinte função de transferência Isto implica em uma regra de transformação que utiliza a mudança de variável s 1 z 1T ou z 11 sT Esta regra de transformação é interessante porque o resultado Hz é racional e possui o mesmo número de pólos e zeros que Hs A Seção 34 discute essa estratégia de transformação de maneira diferente descre vendo a relação entre equações diferença e equações diferenciais Após alguma álgebra substituindo s 1 z 1T na Eq M53 obtemos M54 O sistema em tempo discreto possui M zeros em 11 Tzk e N pólos em 11Tpk Esta regra de transforma ção preserva a estabilidade do sistema mas não mapeia o eixo ω no círculo unitário veja o Prob 579 O Programa MS5P3 utiliza o método de diferença atrasada de primeira ordem da Eq M54 para converte um filtro em tempo contínuo descrito pelo vetor de coeficientes A a0 a1 aN e B bN M bN M 1 bN em um filtro em tempo discreto A forma do filtro em tempo discreto segue a Eq M52 function Bd Ad MS5P3BAT MS5P3m MATLAB Seção 5 Programa 3 Arquivom de função para a transformação pela diferença atrasada de primeira ordem de um filtro em tempo contínuo descrito por B e A em um filtro em tempo discreto Entradas B vetor de coeficientes de realimentação A vetor de coeficientes da malha direta T intervalo de amostragem Saídas Bd vetor dos coeficientes de realimentação do filtro em tempo discreto Ad vetor dos coeficientes de malha direta do filtro em tempo discreto M54 Transformação Bilinear A transformação bilinear é baseada em uma aproximação melhor do que a diferença atrasada de primeira ordem Novamente considere o diferenciador em tempo contínuo Representando o sinal xt por 512 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Fazendo t nT e substituindo a integral pela aproximação trapezoidal temos Substituindo yt por ddtxt o sistema em tempo discreto equivalente é Usando as transformadas z a função de transferência é A mudança de variável s 21 z 1T1 z 1 ou z 1 sT21 sT2 é chamada de transformação bila teral A transformação bilateral não somente resulta em uma função Hz racional como também mapeia corre tamente o eixo ω no círculo unitário veja o Prob 5611a Após alguma álgebra substituindo s 21 z 1T1 z 1 na Eq M53 obtemos M55 Além dos M zeros em 1 zkT21 zkT2 e N pólos em 1 pkT21 pkT2 existem N M zeros em 1 Como filtros em tempo contínuo práticos requerem M N para estabilidade o número de zeros adicionados é felizmente sempre não negativo O programa MS5P4 converte um filtro em tempo contínuo descrito pelos vetores de coeficientes A a0 a1 aN e B bN M bN M 1 bN em um filtro em tempo discreto usando a transformação bilinear da Eq M55 A forma do filtro em tempo discreto segue a Eq M52 Se disponível também é possível utilizar a função bi linear do toolbox de processamento de sinais para calcular a transformação bilinear function Bd Ad MS5P4BAT MS5P4m MATLAB Seção 5 Programa 3 Arquivom de função para a transformação bilinear de um filtro em tempo contínuo descrito por B e A em um filtro em tempo discreto O tamanho de B não pode exceder A Entradas B vetor de coeficientes de realimentação A vetor de coeficientes da malha direta T intervalo de amostragem Saídas Bd vetor dos coeficientes de realimentação do filtro em tempo discreto Ad vetor dos coeficientes de malha direta do filtro em tempo discreto if lenghtBlenghtA dispOrdem do numerador não pode exceder a ordem do denominador return end z rootsB p rootsA raízes no domínio s gain realB1A1prod2Tzprod2Tp zd 1zT2 pd 1pT21pT2 raízes no domínio Z bd gainpolyzdoneslenghtAlenghtB1Ad polypd Tal como em muitas linguagens de alto nível o MATLAB possui estruturas gerais de if if expressão comandos CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 513 elseif expressão comandos else comandos end Neste programa o comando if testa M N Quando verdadeiro uma mensagem de erro é mostrada e o co mando return finaliza a execução do programa prevenindo erros M55 Transformação Bilinear com PréWarping A transformação bilinear mapeia todo o eixo ω infinito no finito círculo unitário z e jΩ de acordo com ω 2T tan Ω2 veja o Prob 5611b De forma equivalente Ω 2 arctan ωT2 A não linearidade da função tangente causa uma compressão na freqüência geralmente chamada de warping em freqüência o que distorce a transformação Para ilustrar o efeito de distorção considere a transformação bilinear de um filtro passabaixas em tempo contínuo com freqüência de corte ωc 2π3000 rads Se um sistema digital alvo utiliza uma taxa de amostragem de 10 kHz então T 110000 e ωc é mapeado para Ωc 2 arctan ωcT2 15116 Portanto a freqüência de corte transformada é menor do que a freqüência desejada Ωc ωcT 06π 18850 Freqüências de corte são importantes e devem se tão precisas quanto possível Ajustando o parâmetro T usa do na transformação bilinear uma freqüência em tempo contínuo pode ser mapeada exatamente em uma fre qüência em tempo discreto O processo é chamado de préwarping Continuando no último exemplo ajustando T 2ωc tan Ωc2 16848 podemos ter o préwarping apropriado para garantir que ωc 2π3000 seja ma peado em Ωc 06π M56 Exemplo Transformação de Filtro de Butterworth Para ilustrar as técnicas de transformação considere um filtro passabaixas em tempo contínuo de décima or dem de Butterworth com freqüência de corte ωc 2π3000 tal como projetado em MATLAB Seção 4 Inicial mente determinamos os vetores de coeficientes em tempo contínuo A e B Os programas MS5P3 e MS5P4 são utilizados para executar as transformações de diferença atrasada de pri meira ordem e bilinear respectivamente Omega linspace0 pi 200 T 110000 Omegac omegacT B1A1 MS5P3BAT transformação de diferença atrasada de primeira ordem B2A2 MS5P4BAT transformação bilinear B3A3 MS5P4BA2omegactanOmegac2 bilinear com préwarping As respostas em magnitude são calculadas usando MS5P1 e então traçadas xlabelOmega rad ylabelResposta em Magnitude legendIdeal Diferença atrasada de primeira ordem Bilinear Bilinear com préwarping O resultado de cada método de transformação está mostrado na Fig M51 514 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Apesar da diferença atrasada de primeira ordem resultar um filtro passabaixas o método causa uma dis torção significante que pode tornar o filtro inaceitável com relação à freqüência de corte A transformação bi linear é melhor mas como predito a freqüência de corte fica menor do que o valor desejado A transforma ção bilinear com préwarping aloca adequadamente a freqüência de corte e produz uma resposta do filtro bem aceitável M57 Problemas de Determinação de Raízes Polinomiais Numericamente é difícil determinar com precisão as raízes de um polinômio Considere por exemplo um poli nômio simples que possui quatro raízes repetidas em 1 s 1 4 s 4 4s 3 6s 2 4s 1 O comando roots do MATLAB retorna o surpreendente resultado Mesmo para este polinômio de grau baixo o MATLAB não retorna as raízes verdadeiras O problema piora se o grau do polinômio aumenta A transformação bilinear do filtro de Butterworth de dé cima ordem por exemplo deveria ter 10 zeros em 1 A Fig M52 mostra que os zeros calculados pelo MS5P2 com o comando roots não estão corretamente posicionadas Figura M51 Comparação entre as várias técnicas de transformação Resposta em magnitude Ideal Diferença atrasada de primeira ordem Bilinear Bilinear com préwarping Figura M52 Pólos e zeros calculados usando o comando roots Imaginário CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 515 Quando possível os programas devem evitar o cálculo de raízes que podem limitar a precisão Por exemplo resultados dos programas de transformação MS5P3 e MS5P4 são mais precisos se os verdadeiros pólos e zeros da função de transferência forem passados diretamente como entrada ao invés dos vetores dos coeficientes dos polinômios Quando as raízes são calculadas a precisão do resultado deve sempre ser verificada M58 Usando Seções de Segunda Ordem em Série para Melhorar o Projeto A faixa dinâmica dos coeficientes de polinômios de alta ordem geralmente é muito grande Acrescentando as di ficuldades associadas com a fatoração de polinômios de alta ordem não é nenhuma surpresa o fato de projetos de alta ordem serem difíceis Tal como em filtros em tempo contínuo a performance é melhorada usando a cascata de seções de segunda ordem para projetar e realizar filtros em tempo discreto Cascatas de seções de segunda ordem também são mais robustas à quantização dos coeficientes que ocorre quando filtros em tempo discreto são implementados em hardware digital de ponto fixo Para ilustrar a performance possível com a cascata de duas seções de segunda ordem considere um filtro em tempo discreto de Butterworth de ordem 180 com freqüência de corte Ωc 06π 18850 O Programa MS5P5 completa este projeto tendo o cuidado de alocar inicialmente os pólos e zeros sem o cálculo das raízes MS5P5m MATLAB Seção 5 Programa 5 Arquivom de script para o projeto de um filtro passabaixas discreto de Butterworth de ordem 180 com freqüência de corte Omegac 06pi usando 90 seções de segunda ordem em cascata omega0 1 utiliza a freqüência de corte normalizada para protótipo analógico psi 05190pi180 ângulos dos pólos de Butterworth Omegac 06pi freqüência de corte discreta Omega linspace0pi1000 faixa de freqüências para a resposta em magnitude Hmag zeros901000 p zeros1180 z zeros1180 préalocação para seção 190 Q 12cospsisecao calcula Q para a seção B omega02 A 1 omega0Q omega02 calcula os coeficientes da seção B1 A1 MS5P4BA2omega0tan06pi2 transforma seção para TD pseção21seção2rootsA1 calcula pólos no domínio z da seção zseção21seção2rootsB1 calcula zeros no domínio z da seção Hmagsecao absMS5P1B1A1Omega calcula resposta em mag da seção end ucirc expjlinspace02pi200 calcula o círculo unitário para o gráfico póloszeros figure plotrealpimagpkx realzimagzok realucirc imagucirck axis equal xlabelReal ylabelImaginário figure plotOmega Hmag k axos tight xlabelOmega rad ylabelResposta em Magnitude figure plotOmega prodHmag k axis0 pi 005 105 xlabelOmega radl ylabelResposta em Magnitude O comando figure anterior a cada comando plot abre uma janela separada para cada gráfico O gráfico de póloszeros do filtro está mostrado na Fig M53 juntamente com o círculo unitário para re ferência Todos os 180 zeros do projeto em cascata estão adequadamente localizados em 1 A parede de pó los possibilita uma aproximação surpreendente da resposta retangular desejada como mostrado na resposta em magnitude da Fig M54 É praticamente impossível realizar um filtro de tão alta ordem quanto este atra vés de filtros em tempo contínuo o que acrescenta outra razão para a popularidade de filtros em tempo discre to Mesmo assim o projeto não é trivial mesmo funções do toolbox de processamento de sinais do MATLAB falham ao tentar projetar adequadamente um filtro discreto de Butterworth de tão alta ordem 516 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 511 Usando a definição calcule a transformada z de xn 1 nun un 8 Trace os pólos e zeros de Xz no plano z Nenhuma calcula dora é necessária para este problema 512 Usando a definição da transformada z deter mine a transformada z e a RDC para cada um dos seguintes sinais 513 Mostrando todos os passos calcule P R O B L E M A S Figura M54 Resposta em magnitude para um filtro discreto de Butterworth de ordem 180 Figura M53 Gráfico de pólos e zeros para um filtro discreto de Butterworth de ordem 180 Resposta em magnitude Imaginário CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 517 514 Usando apenas as transformadas z da Tabela 51 determine a transformada z de cada um dos seguintes sinais 515 Determine a transformada z inversa dos se guintes sinais 516 a Expandindo Xz em série de potência em z 1 determine os três primeiros termos de xn se b Estenda o procedimento utilizado na par te a para determinar os primeiros quatro termos de xn se 517 Determine xn expandindo em uma série de potência em z 1 518 a Na Tabela 51 se as potências do numera dor e denominador de Xz forem M e N respectivamente explique por que em al guns casos N M 0 enquanto que em outros N M 1 ou N M m m é qual quer inteiro positivo b Sem realmente determinar a transformada z informe qual é N M para Xz corres pondente a xn γ nun 4 521 Para o sinal em tempo discreto mostrado na Fig P521 mostre que Obtenha sua resposta usando tanto a definição da Eq 51 quanto a Tabela 51 e as proprie dades adequadas da transformada z Figura P521 522 Determine a transformada z do sinal ilustra do na Fig P522 Resolva este problema de duas formas tal com nos Exemplos 52d e 54 Verifique que as duas respostas são equi valentes Figura P522 518 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 523 Usando apenas o fato de que γ nun zz γ e as propriedades da transformada z deter mine a transformada z de cada um dos seguin tes sinais 524 Usando apenas o par 1 da Tabela 51 e as pro priedades adequadas da transformada z obte nha interativamente os pares 2 a 9 Em outras palavras primeiro obtenha o par 2 Depois usando o par 2 e o par 1 se necessário obte nha o par 3 e assim por diante 525 Determina a transformada z de cos πn4un usando apenas o par 1 e 11b da Tabela 51 e a propriedade adequada da transformada z 526 Aplique a propriedade de reversão no tempo no par 6 da Tabela 51 para mostrar que γ nun 1 zz γ e RDC dada por z γ 527 a Se xn Xz então mostre que 1 nxn Xz b Utilize este resultado para mostrar que γ nxn zz γ c Utilize estes resultados para obter a trans formada z de 528 a Se xn Xz então mostre que b Utilize este resultado para obter o par 2 do par 1 da Tabela 51 529 Algumas funções causais no domínio do tempo são mostradas na Fig P529 Liste as funções do tempo que correspondem a cada uma das seguintes funções de z Pouco ou nenhum cálculo é necessário Tenha cui dado os gráficos podem estar com escalas diferentes Figura P529 Várias funções causais no domínio do tempo CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 519 531 Resolva o Prob 3816 pelo método da transfor mada z 532 a Resolva quando y0 1 e xn e n1un b Determine as componentes de entrada nula e estado nulo da resposta 533 a Obtenha a saída yn de um sistema LDIT especificado pela equação se as condições iniciais forem y1 0 y2 1 e a entrada xn 4 nun b Determine as componentes de entrada nula e estado nulo da resposta c Determine as componentes transitória e de regime permanente da resposta 534 Resolva o Prob 533 se ao invés das condi ções iniciais y1 y2 forem dadas as con dições auxiliares y0 32 e y1 354 535 a Resolva com y1 0 y2 1 e xn un b Determine as componentes de entrada nula e estado nulo da resposta c Determine as componentes transitória e regime permanente da resposta 536 Resolva 537 Resolva 538 Resolva 539 Um sistema com resposta ao impulso hn 213 nun 1 produz uma saída yn 2 nun 1 Determine a entrada xn corres pondente 5310 Santa deposita R 10000 em sua conta bancá ria no primeiro dia de cada mês exceto em de zembro quando ela utiliza o seu dinheiro para comprar presentes de Natal Defina bm como sendo o saldo da conta de Santa no primeiro dia do mês m Assuma que Santa tenha aberto sua conta em janeiro m 0 e que ela faça depósi tos indefinidamente a partir desta data exceto em Dezembro A taxa de juros mensal é de 1 O saldo da conta satisfaz uma equação di ferença simples bm 101bm 1 pm na qual pm representa o depósito mensal de Santa Determine uma expressão fechada para bm que seja uma função apenas do mês m 5311 Para cada resposta ao impulso determine o número de pólos do sistema se os pólos são reais ou complexos e se o sistema é BIBO es tável ou não 5312 Determine os seguintes somatórios Dica Considere um sistema cuja saída yn é o somatório desejado Examine a relação en tre yn e yn 1 Note também que y0 0 5313 Determine o seguinte somatório Dica veja a dica do Prob 5312 5314 Determine o seguinte somatório Dica veja a dica do Prob 5312 5315 Refaça o Prob 5312 usando o resultado do Prob 528a 5316 Refaça o Prob 5313 usando o resultado do Prob 528a 5317 Refaça o Prob 5314 usando o resultado do Prob 528a 5318 a Determine a resposta de estado nulo de um sistema LDIT com função de transferência e o sinal de entrada xn e n 1un 520 SINAIS E SISTEMAS LINEARES b Escreva a equação de diferença relacio nando a saída yn e a entrada xn 5319 Repita o Prob 5318 para xn un e 5320 Repita o Prob 5318 para e a entrada xn é 5321 Repita o Prob 5318 para xn un e 5322 Determine as funções de transferência corres pondentes a cada um dos sistemas especifica dos pelas equações diferença dos Probs 53 2 533 535 e 538 5323 Determine hn a resposta ao impulso unitá rio dos sistemas descritos pelas seguintes equações 5324 Determine hn a resposta ao impulso unitá rio dos sistemas dos Probs 5318 5319 e 5321 5325 Um sistema possui resposta ao impulso hn un 3 a Determine a resposta ao impulso do siste ma inverso h 1n b A inversa é estável A inversa é causal c Seu chefe pediu para você implementar h 1n da melhor forma possível Descre va seu projeto tomando o cuidado de identificar qualquer possível deficiência 541 Um sistema possui resposta ao impulso dada por Este sistema pode ser implementado de acordo com a Fig P541 Figura P541 Estrutura para implementar hn a Determine os coeficientes A1 e A2 para implementar hn usando a estrutura mostrada na Fig P541 b Qual é a resposta y0n de estado nulo des te sistema dada uma entrada em degrau unitário deslocada xn un 3 542 a Mostre a realização na forma direta canô nica cascata e paralela de b Determine a transposta das realizações obtidas na parte a 543 Repita o Prob 542 para 544 Repita o Prob 542 para 545 Repita o Prob 542 para 546 Repita o Prob 542 para 547 Realize o sistema cuja função de transferência é 548 Realize um sistema cuja função de transferên cia seja dada por CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 521 549 Este problema demonstra a grande quantidade de formas de se implementar uma função de transferência de relativa baixa ordem Uma função de transferência de segunda ordem pos sui dois zeros reais e dois pólos reais Discuta as várias formas de realizar este tipo de função de transferência Considere a realização direta canônica cascata paralela e as formas trans postas correspondentes Note também que alte rar seções da forma cascata resulta em uma realização diferente 551 Determine a resposta em amplitude e fase dos filtros digitais mostrados na Fig P551 552 Determine a resposta em amplitude e fase dos filtros mostrados na Fig P552 Dica Ex presse He jΩ como e j25ΩHae jΩ 553 Determine a resposta em freqüência para um sistema de média móvel do Prob 343 A equação de entradasaída do sistema é dada por 554 a As relações de entradasaída de dois fil tros são dadas por Para cada caso determine a função de transferência a resposta em amplitude e a resposta de fase Trace a resposta de am plitude e informe qual é o tipo passaal tas passabaixas etc de cada filtro 522 SINAIS E SISTEMAS LINEARES b Determine a resposta de cada filtro para a senóide xn cos Ωn para Ω 001π e 099π Mostre que em geral o ganho res posta em amplitude do filtro i na fre qüência Ω0 é o mesmo ganho do filtro ii na freqüência π Ω0 555 Para um sistema LDIT especificado pela equação a Determine a resposta em amplitude e fase b Determine a resposta yn do sistema pa ra a entrada xn cos 05k π3 556 Para um sistema LDIT assintoticamente está vel mostre que a resposta em regime perma nente para a entrada e jΩnun é He jΩ e jΩnun A resposta em regime permanente é a parte da resposta que não decresce com o tempo e per manece indefinidamente 557 Expresse os seguintes sinais em termos de fre qüências aparentes 558 Mostre que cos 06πn π6 cos 14πn π3 2 cos 06πn π6 559 a Um filtro digital possui intervalo de amostragem T 50μs Determine a fre qüência mais alta que pode ser processa da por este filtro sem aliasing b Se a freqüência mais alta a ser processada é 50 kHz determine o valor mínimo da freqüência de amostragem fs e o valor máximo do intervalo de amostragem T que pode ser utilizado 5510 Considere um sistema em tempo discreto re presentado por a Determine e trace a resposta em magnitu de He jΩ do sistema b Determine e trace a resposta de fase He jΩ do sistema c Obtenha uma representação eficiente em blocos que implemente este sistema 561 As configurações de póloszeros de dois fil tros estão mostradas na Fig P561 Obtenha o rascunho das respostas em amplitude para estes filtros 562 O sistema yn yn 1 xn xn 1 é um sistema passa tudo que possui resposta de fase nula Existe alguma diferença entre este sistema e o sistema yn xn Justifique sua resposta 563 As respostas em amplitude e fase de um siste ma LIT real estável estão mostradas na Fig P563 a Qual é o tipo deste sistema passabaixas passaaltas passafaixa ou párafaixa b Qual será a saída do sistema em resposta a c Qual será a saída do sistema em resposta a 564 Faça o Prob 5M1 pelo procedimento gráfi co Trace os gráficos aproximadamente sem utilizar o MATLAB 565 Faça o Prob 5M4 pelo procedimento gráfi co Trace os gráficos aproximadamente sem utilizar o MATLAB Figura P561 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 523 566 a Realize um filtro digital cuja função de transferência seja dada por b Trace a resposta em amplitude deste filtro assumindo a 1 c A resposta em amplitude deste filtro passa baixas é máxima em Ω 0 A largura de fai xa de 3 dB é a freqüência na qual a resposta em amplitude cai para 0707 ou 1 de seu valor máximo Determine a largura de faixa de 3 dB deste filtro quando a 2 567 Projete um filtro notch digital que rejeite completamente a freqüência de 5000Hz e que tenha uma rápida recuperação nos dois lados de 5000 Hz para um ganho unitário A fre qüência mais alta a ser processada é 20 kHz h 20000 Dica Use o Exemplo 515 Os zeros devem estar em e jωT para ω corres pondente a 5000Hz e os pólos devem estar em ae jωT com a 1 Deixe sua resposta em termos de a Realize este filtro usando a for ma canônica Determine a resposta em ampli tude do filtro 568 Mostre que um sistema LDIT de primeira or dem com um pólo em z r e um zero em z 1r r 1 é um filtro passa tudo Em outras palavras mostre que a resposta em amplitu de He jΩ de um sistema com função de transferência é constante com a freqüência Isto é um filtro passa tudo de primeira ordem Di ca Mostre que a razão das distâncias de qualquer ponto ao círculo unitário ao ze ro em z 1r e ao pólo em z r é a constante 1r Generalize este resultado para mostrar que um sistema LDIT com dois pólos em z re jθ e dois zeros em z 1re jθ r 1 é um filtro passatudo Em outras palavras mostre que a resposta em amplitude de um sistema com função de transferência é constante com a freqüência 569 a Se h1n e h2n a resposta ao impulso de dois sistemas LDIT são relacionadas por h2n 1 nh1n então mostre que Como o espectro de freqüência de H2e jΩ está relacionado com o de H1e jΩ b Se H1z representa um filtro passabai xas ideal com freqüência de corte Ωc tra ce H2e jΩ Qual tipo de filtro é H2e jΩ 5610 Mapeamentos tais como a transformação bili near são úteis na conversão de filtros em tem po contínuo para filtros em tempo discreto Figura P563 Resposta em freqüência de um sistema LIT estável e real 524 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Outro tipo útil de transformação é aquela que converte um filtro em tempo discreto em um ti po diferente de filtro em tempo discreto Con sidere a transformação que substitui z por z a Mostre que esta transformação converte filtros passabaixas em filtros passaaltas e filtros passaaltas em filtros passabaixas b Se o filtro original é um filtro FIR com res posta ao impulso hn qual é a resposta ao impulso do filtro transformado 5611 A transformação bilinear é definida pela regra s 21 z 1T1 z 1 a Mostre que esta transformação mapeia o eixo ω do plano s no círculo unitário z e jΩ no plano z b Mostre que esta transformação mapeia Ω para 2 arctanωT2 571 No Capítulo 3 utilizamos outra aproximação para determinar um sistema digital que realiza um sistema analógico Mostramos que um sis tema analógico especificado pela Eq 315a pode ser realizado usando o sistema digital es pecificado pela Eq 315c Compare aquela solução com a solução resultante do método de invariância ao impulso Mostre que um re sultado é uma boa aproximação do outro e que a aproximação melhora quando T 0 572 a Usando o critério de invariância ao im pulso projete um filtro digital para im plementar um filtro analógico com fun ção de transferência b Mostre a realização canônica e paralela deste filtro Use o critério de 1 para a escolha de T 573 Use o critério de invariância ao impulso pa ra projetar um filtro digital para realizar um filtro de Butterworth de segunda ordem com função de transferência Use o critério de 1 para a escolha de T 574 Projete um integrador digital usando o método de invariância ao impulso Determine e mostre um rascunho da resposta em amplitude e com pare com a de um integrador ideal Se este inte grador for utilizado para a integração de sinais de áudio cuja largura de faixa é de 20 kHz determine um valor adequado de T 575 Um oscilador por definição é uma fonte sem entrada que gera uma senóide de uma certa freqüência ω0 Portanto um oscilador é um sistema cuja resposta de entrada nula é uma senóide na freqüência desejada Obtenha a função de transferência de um oscilador di gital que oscile em 10 kHz usando os métodos descritos nas partes a e b Nos dois métodos selecione T de tal forma que haja 10 amostras em cada ciclo da senóide a Escolha Hz diretamente tal que sua res posta de entrada nula seja uma senóide em tempo discreto com freqüência Ω ωT correspondente a 10 kHz b Escolha Has cuja resposta de entrada nula seja uma senóide analógica de 10 kHz Uti lize agora o método de invariância ao im pulso para determinar Hz c Mostre a realização canônica do oscilador 576 Uma variação do método de invariância ao im pulso é o método de invariância ao degrau para a síntese de filtros digitais Neste método para uma dada Has projetamos Hz da Fig 522a tal que ynT da Fig 522b seja idêntico a yn da Fig 522a quando xt ut a Mostre que em geral b Utilize este método para projetar Hz para c Utilize o método de invariância ao degrau para sintetizar um integrado em tempo dis creto e compare com a resposta em ampli tude do integrador ideal 577 Use o método da invariância a rampa para sin tetizar um diferenciador e integrador em tempo discreto Neste método para uma dada Has projetamos Hz tal que ynT da Fig 522b seja idêntica a yn da Fig 522a quando xt tut 578 No projeto pela invariância ao impulso mos tre que se Has é a função de transferência de um sistema estável então Hz corresponden te também será a função de transferência de um sistema estável 579 Diferenças atrasadas de primeira ordem for necem a regra de transformação s 1 z 1T a Mostre que esta transformação mapeia o eixo ω do plano s em um círculo de raio 12 centrado em 120 no plano z CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 525 b Mostre que esta transformação mapeia o semiplano esquerdo do plano s no interior do círculo unitário no plano z o que garan te que a estabilidade seja conservada 591 Determine a transformada z se ela existir e a RDC correspondente para cada um dos se guintes sinais 592 Obtenha a transformada z inversa de quando a RDC é 593 Utilize a expansão em frações parciais tabe las da transformada z e a região de convergên cia z 12 para determinar a transformada z inversa de 594 Considere o sistema a Desenhe o diagrama de póloszeros para Hz e identifique todas as possíveis re giões de convergência b Desenhe o diagrama de póloszeros para H 1z e identifique todas as possíveis re giões de convergência 595 Um sinal xn em tempo discreto possuir uma transformação z racional que contém um pólo em z 05 Sabendo que x1n 13 nxn é ab solutamente somável e x2n 14 nxn não é absolutamente somável determine se xn é um sinal de lado esquerdo lado direito ou de dois lados Justifique sua resposta 596 Seja xn um sinal absolutamente somável com transformação z racional Xz Sabese que Xz possui um pólo em z 075 075j e que ou tros pólos podem estar presentes Lembrese de que um sinal absolutamente somável satisfaz a xn pode ser de lado esquerdo Explique b xn pode ser de lado direito Explique c xn pode ser de dois lados Explique d xn pode ser de duração finita Explique 597 Considere um sistema causal com função de transferência Quando apropriado considere condições ini ciais nulas a Determine a saída y1n deste sistema em resposta a x1n 34 nun b Determine a saída y2n deste sistema em resposta a x2n 34 n 598 Seja xn 1 nun n0 α nun Determi ne as restrições do número complexo α e do inteiro n0 tal que a transformada z Xz existe com região de convergência 1 z 2 599 Usando a definição calcule a transformada z bilateral incluindo a região de convergên cia RDC das seguintes funções de valor complexo 5910 Utilize a expansão em frações parciais tabela de transformada z e a região de convergência 05 z 2 para determinar a transformada z inversa de 5911 Utilize a expansão em frações parciais tabela de transformada z e o fato de que os sistemas são estáveis para determinar a transformada z inversa de 5912 Inserindo N zeros entre cada amostra de um degrau unitário obtemos o sinal 526 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Determine Hz a transformada z bilateral de hn Identifique a quantidade e as posições dos pólos de Hz 5913 Determine a resposta de estado nulo de um sistema com função de transferência e uma entrada xn dada por 5914 Para o sistema do Prob 5913 determine a resposta de estado nula para a entrada 5915 Para o sistema do Prob 5913 determine a resposta de estado nulo para a entrada 5M1 Considere um sistema LDIT descrito pela equa ção diferença 4yn 2 yn xn 2 xn a Trace o diagrama de póloszeros para es te sistema b Trace a resposta em magnitude do siste ma He jΩ para π Ω π c Qual é o tipo destes sistema passabaixa passaalta passafaixa ou párafaixa d Este sistema é estável Justifique sua res posta e Este sistema é real Justifique sua resposta f Se a entrada do sistema for na forma xn cos Ωn qual é a maior amplitude pos sível na saída Justifique sua resposta g Desenhe uma implementação causal efi ciente deste sistema usando apenas blocos de somador atraso e escalonador 5M2 Uma interessante e útil aplicação de sistemas discretos é a implementação de sistemas com plexos ao invés de reais Um sistema com plexo é aquele cuja saída de valor real pode produzir uma saída de valor complexo Siste mas complexos que são descritos por equa ções diferença de coeficientes constantes ne cessitam de pelo menos um coeficiente de va lor complexo e são capazes de operar com en tradas de valor complexo Considere o sistema complexo em tempo discreto a Determine e trace os zeros e pólos do sis tema b Trace a resposta em magnitude He jω deste sistema para 2π ω 2π Comen te o comportamento do sistema 5M3 Considere o sistema complexo Refirase ao Prob 5M2 para uma intro dução sobre sistemas complexos a Determine e trace os zeros e pólos do sis tema b Trace a resposta em magnitude He jω deste sistema para π Ω π Comente o comportamento do sistema c Explique porque Hz é um sistema não causal Não apresente nenhuma definição geral de causalidade Especificadamente identifique o que faz este sistema ser não causal d Uma forma de tornar este sistema causal é adicionar dois pólos a Hz ou seja Determine os pólos a e b tal que Hcausale jΩ He jΩ e Desenhe uma implementação em blocos eficiente de Hcausalz 5M4 Um sistema LIT discreto é mostrado na Fig P5M4 a Determine a equação diferença que des creve este sistema b Determine a resposta em magnitude He jΩ para este sistema e simplifique sua resposta Trace a resposta em magnitude para π Ω π Qual é o tipo de filtro que melhor descreve este sistema passabaixa passaalta passafaixa ou párafaixa c Determine a resposta hn ao impulso deste sistema CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 527 5M5 Determine a resposta hn ao impulso para o sistema mostrado na Fig P5M5 O sistema é estável O sistema é causal 5M6 Um filtro LDIT possui função de resposta ao impulso dada por hn δn 1 δn 1 Determine e cuidadosamente trace a resposta em magnitude He jΩ para a faixa π Ω π Para esta faixa de freqüência o filtro é passa baixa passaalta passafaixa ou párafaixa 5M7 Um sistema discreto estável causal possui a es tranha função de transferência Hz cos z 1 a Escreva um código no MATLAB que cal cule e trace a resposta em amplitude deste sistema para uma faixa apropriada de fre qüências digitais Ω Comente o sistema b Determine a resposta ao impulso hn Trace hn para 0 n 10 c Determine a equação diferença que des creve um filtro FIR que aproxima o sis tema Hz cos z 1 Para verificar o comportamento adequado trace a res posta em magnitude do filtro FIR e com pare com a resposta em magnitude do Prob 5M7a 5M8 A função butter do toolbox de processamen to de sinais do MATLAB ajuda a projetar fil tros digitais de Butterworth Para cada um dos casos a seguir projete o filtro trace os pólos e zeros no plano complexo z e trace a resposta em magnitude em decibel 20 log10 He jΩ a Projete um filtro passabaixa digital de ordem 8 com Ωc π3 b Projete um filtro passaalta digital de or dem 8 com Ωc π3 c Projete um filtro passafaixa digital de or dem 8 com faixa passante entre 5π24 e 5π24 d Projete um filtro párafaixa digital de or dem 8 com faixa filtrada entre 5π24 e 5π24 5M9 A função cheby1 do toolbox de processa mento de sinais do MATLAB ajuda a projetar filtros digitais de Chebyshev tipo I Um filtro de Chebyshev tipo I possui ripple na faixa passante e uma faixa filtrada suave Ajustan do o ripple da faixa passsante para Rp 3 dB repita o Prob 5M8 usando o comando che by1 Com todos os outros parâmetros cons tantes qual é o efeito geral da redução de Rp o ripple permitido na banda passante 5M10 A função cheby2 do toolbox de processamen to de sinais do MATLAB ajuda a projetar fil tros digitais de Chebyshev tipo II Um filtro de Chebyshev tipo II possui uma faixa passante suave e ripple na faixa filtrada Ajustando o ripple da faixa filtrada para no mínimo Rs 20 dB repita o Prob 5M8 usando o comando cheby2 Com todos os outros parâmetros constantes qual é o efeito geral do aumento de Rs a atenuação mínima na banda passante 5M11 A função ellip do toolbox de processamen to de sinais do MATLAB ajuda a projetar fil tros digitais de elípticos Um filtro de elíptico possui ripple tanto na faixa passante quanto na faixa filtrada Ajustando o ripple da faixa passsante para Rp 3 dB e o ripple na faixa filtrada para Rs 20 dB repita o Prob 5M8 usando o comando ellip Figura P5M5 Sistema em tempo discreto de terceira ordem Figura P5M4 Sistema em tempo discreto de segunda ordem Engenheiros eletricistas instintivamente pensam em sinais em termos de seu espectro de freqüência e pensam em sistemas em termos da sua resposta em freqüência Mesmo adolescentes sabem que a porção audível de sinais de áudio possuem uma largura de faixa de aproximadamente 20 kHz e que eles precisam de altofalantes de boa qua lidade que respondam a até 20 kHz Isso é basicamente pensar no domínio da freqüência Nos Capítulos 4 e 5 discutimos extensivamente a representação no domínio da freqüência de sistemas e de suas respostas espectrais resposta do sistema a sinais de várias freqüências Nos Capítulos 6 7 8 e 9 iremos discutir a representação es pectral de sinais nos quais os sinais serão expressos como a soma de senóides ou exponenciais De fato já abor damos este tópico nos Capítulos 4 e 5 Lembre que a transformada de Laplace de um sinal em tempo contínuo é sua representação espectral em termos de exponenciais ou senóides de freqüências complexas Similarmente a transformada z de um sinal em tempo discreto é sua representação espectral em termos de exponenciais em tem po discreto Entretanto nos capítulos anteriores estávamos preocupados principalmente com a representação do sistema sendo que a representação espectral de sinais era subjacente à análise do sistema A análise espectral de sinais é por ela mesma um importante tópico Por isso voltaremos nossa atenção para esse assunto Neste capítulo iremos mostrar que um sinal periódico pode ser representado como a soma de senóides ou exponenciais de várias freqüências Estes resultados são estendidos a sinais não periódicos no Capítulo 7 e a si nais em tempo discreto no Capítulo 9 O fascinante assunto de amostragem de sinais em tempo contínuo é dis cutido no Capítulo 8 resultando na conversão AD analógico para digital e DA digital para analógico O Ca pítulo 8 é uma ponte entre os mundos em tempo contínuo e em tempo discreto 61 REPRESENTAÇÃO DE SINAIS PERIÓDICOS PELA SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER Como visto na Seção 133 Eq 117 um sinal periódico xt com período T0 Fig 61 possui a propriedade 61 O menor valor de T0 que satisfaz a condição de periodicidade 61 é o período fundamental de xt Como argumentado na Seção 133 esta equação implica em que xt começa em e continua até Além disso a área sob um sinal periódico xt para qualquer intervalo de duração T0é a mesma ou seja para quaisquer nú meros reais a e b 62 Esse resultado segue do fato que um sinal periódico assume os mesmos valores em intervalos de T0 Logo os valores para qualquer segmento de duração T0 são repetidos em qualquer outro intervalo de mesma dura ção Por conveniência a área sob xt para qualquer intervalo de duração T0 será representado por ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER C A P Í T UL O 6 A freqüência de senóide cos 2πf0t ou sen 2πf0t é f0 e o período é T0 1f0 Essas senóides também podem ser expressas como cos ω0t ou sen ω0t na qual ω0 2πf0 é a freqüência em radianos mas por simplicidade ela é ge ralmente chamada apenas de freqüência veja a seção B2 A senóide de freqüência nf0 é dita a nésima harmô nica da senóide de freqüência f0 Vamos considerar um sinal xt constituído por senos e cossenos de freqüência ω0 e todas as suas harmôni cas incluindo a harmônica zero ou seja CC com amplitudes arbitrárias 63 A freqüência ω0 é chamada de freqüência fundamental Iremos provar agora uma propriedade extremamente importante xt da Eq 63 é um sinal periódico com o mesmo período da fundamental independentemente dos valores das amplitudes an e bn Note que o período T0 da fundamental é 64 e 65 Para provar a periodicidade de xt tudo o que precisamos fazer é mostrar que xt xt T0 A partir da Eq 63 A partir da Eq 65 temos que nω0T0 2π n e Também poderíamos ter inferido este resultado intuitivamente Em um período fundamental T0 a harmô nica de ordem n executa n ciclos completos Logo toda senóide do lado direito da Eq 63 executa um nú mero completo de ciclos em um período fundamental T0 Portanto para t T0 toda senóide começa como se CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 529 Figura 61 Um sinal periódico de período T0 Na Eq 63 o tempo constante a0 corresponde ao termo em cosseno para n 0 porque cos 0 ω0t 1 Entretanto sen0 ω0t 0 Lo go o termo em seno para n 0 é inexistente ela estivesse na origem e repete a mesma seqüência durante os próximos T0 segundos e assim por diante Lo go a soma de todas as harmônicas resulta em um sinal periódico de período T0 Esse resultado mostra que qualquer combinação de senóide de freqüências 0 f0 2f0 kf0é um sinal periódi co com período T0 1f0 independentemente dos valores das amplitudes ak e bk das senóides Alterando os valo res de ak e bk na Eq 63 podemos construir uma grande variedade de sinais periódicos todos com o mesmo período T0 T0 1f0 ou 2πω0 O inverso desse resultado também é válido Iremos ver na Seção 654 que um sinal periódico xt com pe ríodo T0 pode ser descrito como a soma de senóides de freqüência f0 f0 1T0 e todas as suas harmônicas co mo mostrado na Eq 63 A série infinita do lado direito da Eq 63 é chamada de série trigonométrica de Fourier de um sinal periódico xt CÁLCULO DOS COEFICIENTES DA SÉRIE DE FOURIER Para determinar os coeficientes da série de Fourier considere a integral I definida por 66a na qual T0 representa a integração em um intervalo contínuo de T0 segundos Usando identidades trigonométri cas veja a Seção B76 a Eq 66a pode ser escrita como 66b Como cos ω0t executa um ciclo completo em qualquer intervalo de duração T0 cos n mω0t executa n m ciclos completos em qualquer intervalo de duração T0 Portanto a primeira integral da Eq 66b a qual re presenta a área sob n m ciclos completos da senóide é igual a zero O mesmo argumento mostra que a segun da integral da Eq 66b também é zero exceto quando n m Logo I da Eq 66 é zero para todo n m Quan do n m a primeira integral da Eq 66b ainda é zero mas a segunda integral resulta em Portanto 67a Usando argumentos similares podemos mostrar que 67b e 67b Para determinar a0 na Eq 63 integramos os dois lados da Eq 63 para um período T0 resultando em 530 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Falando estritamente essa afirmativa se aplica somente se o sinal periódico xt for uma função contínua de t Entretanto a Seção 65 4 mostra que isso pode ser aplicado mesmo para sinais descontínuos se interpretarmos a igualdade da Eq 63 não no sentido ordi nário mas no sentido médio quadrático Isso significa que a potência da diferença entre um sinal periódico xt e sua série de Fourier do lado direito da Eq 63 se aproxima de zero quando o número de termos da série se aproxima do infinito Lembre que T0 é o período da senóide de freqüência ω0 Portanto as funções cos nω0t e sen nω0t executam n ciclos completos em qualquer intervalo de T0 segundos tal que a área sob essas funções em um intervalo T0 é nula e as duas últimas integrais do lado direito da equação anterior são zero resultando em e 68a A seguir multiplicamos os dois lados da Eq 63 por cos mω0t e integramos a equação resultante para um intervalo T0 A primeira integral do lado direito é zero porque ela é a área sob m ciclos de uma senóide Além disso a última integral do lado direito desaparece em função da Eq 67c Dessa forma temos apenas a integral do meio da equa ção a qual também é zero para todo n m em função da Eq 67a Mas n assume todos os valores de 1 a inclu sive m Quando n m esta integral é T02 de acordo com a Eq 67a Portanto a partir de um número infinito de termos do lado direito apenas um termo sobrevive resultando em anT02 amT02 lembrese que n m Portanto e 68b Similarmente multiplicando os dois lados da Eq 63 por sen nω0t e integrando a equação resultante para um intervalo T0 obtemos 68c Finalizando nossa discussão a qual se aplica a xt real ou complexo mostramos que um sinal periódico xt com período T0 pode ser expresso como a soma de uma senóide de período T0 e suas harmônicas 69 na qual 610 611a 611b 611c CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 531 FORMA COMPACTA DA SÉRIE DE FOURIER Os resultados obtidos até este momento são genéricos e se aplicam se xt for uma função real ou comple xa de t Entretanto quando xt é real os coeficientes an e bn são reais para todo n e a série trigonométrica de Fourier pode ser expressa em uma forma compacta usando os resultados das Eqs B23 612 na qual Cn e θn são relacionados com an e bn por veja as Eqs B23b e B23c 613a 613b 613c Esses resultados estão resumidos na Tabela 61 A forma compacta da Eq 612 utiliza a forma em cosseno Também poderíamos ter utilizado a forma em seno com termos sen nω0t θn em vez de cos nω0t θn A literatura favorece muito a forma em cosseno sem razões aparentes a não ser possivelmente pelo fato do fasor em cosseno ser representado pelo eixo horizon tal o qual é o eixo de referência na representação fasorial A Eq 611a mostra que a0 ou C0 é o valor médio de xt média calculada em um período Esse valor ge ralmente pode ser determinado por pura inspeção em xt Como an e bn são reais Cn e θn também são reais Nas próximas discussões sobre série trigonométrica de Fou rier iremos assumir que xt é real a não ser que mencionado o contrário 611 Espectro de Fourier A série trigonométrica compacta de Fourier da Eq 612 indica que um sinal periódico xt pode ser descrito como a soma de senóides de freqüências 0 cc ω0 2ω0 nω0 cujas amplitudes são C0 C1 C2 Cn e fa ses são 0 θ1 θ2 θn respectivamente Podemos facilmente traçar a amplitude Cn em função de n o espectro 532 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Tabela 61 Representações da Série de Fourier de um sinal periódico com período T0 ω0 2πT0 de amplitude e θn em função de n o espectro de fase Como n é proporcional a freqüência nω0 esses gráficos são versões em escala de Cn em função de ω e θn em função de ω Os dois gráficos juntos formam o espectro de freqüência de xt Esse espectro de freqüência mostra rapidamente os conteúdos de freqüência do sinal xt com suas amplitudes e fases Conhecendo esse espectro podemos reconstruir ou sintetizar o sinal xt de acordo com a Eq 612 Portanto o espectro de freqüência o qual é uma forma alternativa de descrever um sinal periódico xt é equivalente de todas as formas ao gráfico de xt em função de t O espectro de freqüência de um sinal constitui a descrição no domínio da freqüência de xt em contraste com a descrição no domínio do tempo na qual xt é especificado como uma função do tempo Na determinação de θn a fase da nésima harmônica da Eq 613c o quadrante no qual θn está deve ser determinado dos sinais de an e bn Por exemplo se an 1 e bn 1 θn está no terceiro quadrante e Observe que Apesar de Cn a amplitude da nésima harmônica definida na Eq 613b ser positiva iremos ver que é con veniente permitir que Cn assuma valores negativos quando bn 0 Isso ficará claro em exemplos posteriores CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 533 Determine a série trigonométrica compacta de Fourier do sinal periódico xt mostrado na Fig 62a Trace o espectro de amplitude e fase de xt Neste caso o período é T0 π e a freqüência fundamental é f0 1T0 1π Hz e Figura 62 a sinal periódico e b c seu espectro de Fourier EXEMPLO 61 A amplitude Cn por definição é nãonegativa Alguns autores definem a amplitude An que pode ser assumir valores positivos ou nega tivos e magnitude Cn An que pode ser apenas nãonegativa Portanto o que chamamos de espectro de amplitude se torna espectro de magnitude A distinção entre amplitude e magnitude apesar de útil é evitada neste livro com o intuito de manter definições que são essencialmente entidades similares a uma quantidade mínima 534 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 62 Continuação Portanto na qual Neste exemplo a escolha óbvia para o intervalo de integração é de 0 a π Logo e Portanto 614 Além disso das Eq 613 As amplitudes e fases da componente contínua cc e das primeira sete harmônicas são calculadas usan do as equações acima e mostradas na Tabela 62 Também podemos utilizar valores numéricos para expres sar xt por 615a 615b CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 535 Tabela 62 EXEMPLO DE COMPUTADOR C61 Seguindo o Exemplo 61 calcule e trace os coeficientes de Fourier para o sinal periódico da Fig 62a Neste exemplo T0 π e ω0 2 As expressões para a0 an bn Cn e θn são determinadas no Exemplo 61 Figura C61 O espectro de amplitude e fase para xt na Fig 62b e 62c nos mostra a composição em freqüência de xt ou seja as amplitudes e fases de várias componentes senoidais de xt Conhecendo o espectro de freqüência podemos reconstruir xt como mostrado no lado direito da Eq 615b Portanto o espectro de freqüências Fig 62b 62c fornece uma descrição alternativa a descrição no domínio da freqüência de xt A descrição no domínio do tempo de xt é mostrada na Fig 62a Um sinal portanto possui uma identidade dual a identi dade no domínio do tempo xt e a identidade no domínio da freqüência espectro de Fourier As duas identi dades são complementares uma da outra e quando juntas possibilitam um melhor entendimento do sinal Um aspecto interessante da série de Fourier é que sempre que houver um salto de descontinuidade em xt a série no ponto de descontinuidade converge para uma média dos limites do lado direito e lado esquerdo de xt no instante da descontinuidade No caso apresentado por exemplo xt é descontínuo em t 0 com x0 1 e x0 xπ e π2 0208 A série de Fourier correspondente converge para o valor 1 02082 0604 em t 0 Esse resultado é facilmente verificado a partir da Eq 615b com t 0 536 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esse comportamento da série de Fourier é ditado pela sua convergência em média discutida posteriormente nas Seções 62 e 65 Determine a série trigonométrica compacta de Fourier para o sinal triangular periódico xt mostrado na Fig 63a e trace o espectro de amplitude e fase de xt Figura 63 a Sinal triangular periódico e b c seu espectro de Fourier EXEMPLO 62 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 537 Neste caso o período é T0 2 Logo e na qual Neste caso será vantajoso escolher o intervalo de integração de 12 a 32 em vez de um de 0 a 2 Uma rápida análise na Fig 63a mostra que o valor médio cc de xt é zero tal que a0 0 Além disso A determinação detalhada dessas integrais mostra que ambas possuem valor zero Portanto O cálculo detalhado dessa integral resulta em Portanto 616 Para traçar o espectro de Fourier a série deve ser convertida para a forma trigonométrica compacta tal co mo na Eq 612 Neste caso podemos fazer rapidamente essa mudança convertendo os termos em seno pa ra termos em cosseno com um deslocamento de fase adequado Por exemplo Usando essas identidades a Eq 616 pode ser expressa por Um sinal periódico xt é representado por uma série trigonométrica de Fourier como Expresse essa série como uma série trigonométrica compacta de Fourier e trace o espectro de amplitude e fase de xt Na série trigonométrica compacta de Fourier os termos em seno e cosseno de mesma freqüência são combinados em um único termo e todos os termos são descritos na forma de cosseno com amplitudes positivas Usando as Eqs 612 613b e 613c temos Além disso e Portanto Neste caso apenas quatro componentes incluindo a cc estão presentes A amplitude cc é 2 As três com ponentes restantes possuem freqüência ω 2 3 e 7 amplitudes 5 2 e 1 e fases 5313 o 60 o e 30 o respec tivamente O espectro de amplitude e fase para esse sinal está mostrado na Fig 64a e 64b respectivamente Figura 64 Espectro de Fourier do sinal 538 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Nesta série todas as harmônicas pares estão ausentes As fases das harmônicas ímpares se alteram de 90 o para 90 o A Fig 63 mostra o espectro de amplitude e fase de xt EXEMPLO 63 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 539 Determine a série trigonométrica compacta de Fourier para o sinal de pulso quadrado mostrado na Fig 65a e trace seu espectro de amplitude e fase Figura 65 a Sinal periódico de pulso quadrado e b seu espectro de Fourier Neste caso o período é T0 2π e ω0 2πT0 1 Portanto EXEMPLO 64 Figura 64 Continuação 540 SINAIS E SISTEMAS LINEARES na qual A partir da Fig 65a fica claro que a escolha adequada da região de integração é de π a π Mas como xt 1 somente em π2 π2 e xt 0 para o segmento restante Também poderíamos ter determinado a0 o valor médio de xt como sendo 12 simplesmente por inspe ção de xt na Fig 65a Além disso Portanto 617 Observe que bn 0 e todos os termos em seno são nulos Apenas os termos em cosseno aparecem na sé rie trigonométrica A série portanto já está na forma compacta exceto pelas amplitudes das harmônicas al ternantes que são negativas Pela definição as amplitudes Cn são positivas veja a Eq 613b O sinal ne gativo pode ser acomodado associando uma fase adequada ao tempo como visto na seguinte identidade tri gonométrica Usando esse fato podemos expressar a série em 617 por Essa é a forma desejada da série trigonométrica compacta de Fourier As amplitudes são Como cos x π cos x podemos escolher a fase π ou π Na verdade cos x Nπ cos x para qualquer valor inteiro ímpar de N Portanto a fase pode ser escolhida como Nπ na qual N é qualquer inteiro ímpar conveniente 612 Efeito da Simetria A série de Fourier do sinal xt da Fig 62a Exemplo 61 é constituída de termos em seno e cosseno mas a sé rie do sinal xt da Fig 63a Exemplo 62 é constituída somente por termos em seno e a série do sinal xt da Fig 65a Exemplo 64 é constituída somente por termos em cosseno Isso não acontece por acaso Podemos mostrar que a série de Fourier de qualquer função periódica par xt é constituída por termos apenas em cosse no e que série para qualquer função periódica ímpar xt é constituída apenas por termos em seno Além disso devido à simetria par ou ímpar a informação de um período de xt está implícita em apenas meio período co mo observado nas Figs 63a e 65a Nesses casos conhecendo o sinal em meio período e conhecendo o tipo de simetria par ou ímpar podemos determinar a forma de onda do sinal para todo o período Por essa razão os coeficientes de Fourier nesses casos podem ser calculados integrandose apenas em meio período em vez de em todo o período Para provar esse resultado lembrese que Lembrese também de que cos nω0t é uma função par e sen nω0t é uma função ímpar de t Se xt é uma fun ção par de t então xt cos nω0t também é uma função par e xt sen nω0t será uma função ímpar de t veja a Se ção 151 Portanto seguindo das Eqs 133a e 133b 618a CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 541 Podemos utilizar esses valores para traçar o espectro de amplitude e fase Entretanto podemos simplifi car nossa tarefa neste caso especial se permitirmos que a amplitude Cn assuma valores negativos Se isso for permitido não precisamos de uma fase de π para considerar o sinal observado na Eq 617 Isso significa que as fases de todas as componentes são zero e podemos descartar o espectro de fase trabalhando apenas com o espectro de amplitude como mostrado na Fig 65b Observe que não há perda de informação quan do fazemos essa consideração e que o espectro de amplitude da Fig 65b possui a informação completa so bre a série de Fourier da Eq 617 Portanto quando todos os termos em seno desaparecem bn 0 é con veniente permitir que Cn assuma valores negativos Isso permite que a informação espectral esteja contida em um único espectro Vamos investigar agora o comportamento da série em pontos de descontinuidade Para a descontinui dade em t π2 os valores de xt nos dois lados da descontinuidade são xπ2 1 e xπ2 0 Po demos verificar fazendo t π2 na Eq 617 que xπ2 05 o qual é o valor médio entre os valores de xt nos dois lados da descontinuidade em t π2 Neste caso a distinção entre a amplitude An e a magnitude Cn An teria sido útil Mas pelas razões mencionadas na nota de rodapé da página 533 evitaremos fazer essa distinção formalmente 618b 618c Similarmente se xt é uma função ímpar de t então xt cos nω0t é uma função ímpar de t e xt sen nω0t é uma função par de t Portanto 619a 619b Observe que devido à simetria a integração necessária para calcular os coeficientes deve ser executada ape nas em meio período Se um sinal periódico xt deslocado meio período permanecer inalterado exceto por seu sinal ou seja se 620 o sinal é dito ter uma simetria de meia onda Pode ser mostrado que para um sinal com simetria de meia onda todas as harmônicas de número par desaparecem veja o Prob 615 O sinal da Fig 63a é um exemplo desse tipo de si metria O sinal da Fig 65a também possui essa simetria apesar de não ser óbvio em função da componente cc Se subtraírmos a componente cc de 05 do sinal original o sinal resultante possui simetria de meia onda Por essa razão esse sinal possui uma componente cc de 05 e apenas harmônicas ímpares 542 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXERCÍCIO E61 Determine a série trigonométrica compacta de Fourier para os sinais periódicos mostrados na Fig 66 Trace seus espectros de amplitude e fase Permita que Cn assuma valores negativos se bn 0 de tal forma que o espectro de fase possa ser eliminado Dica use as Eqs 618 e 619 para as condições adequadas de simetria Figura 66 Sinais periódicos RESPOSTAS 613 Determinação da Freqüência e Período Fundamental Vimos que todo sinal periódico pode ser expresso como a soma de senóide de uma freqüência fundamental ω0 e suas harmônicas Entretanto podemos perguntar se a soma de senóides de quaisquer freqüências representa um sinal periódico Se sim como podemos determinar o período Considere as seguintes três funções Lembrese de que toda freqüência em um sinal periódico é um múltiplo inteiro da freqüência fundamental ω0 Portanto a razão de quaisquer duas freqüências é na forma m n na qual m e n são inteiros Isso significa que a razão de quaisquer duas freqüências é um número racional Quando a razão de duas freqüências é um nú mero racional as freqüências são ditas serem harmonicamente relacionadas O maior número no qual todas as freqüências são múltiplos inteiros é a freqüência fundamental Em outras palavras a freqüência fundamental é o maior fator comum MFC de todas as freqüências da série As freqüên cias no espectro de x1t são 12 23 e 76 não consideramos a componente cc A razão das freqüências suces sivas é 34 e 47 respectivamente Como os dois números são racionais todas as três freqüências no espectro são harmonicamente relacionadas e o sinal x1t é periódico O MFC ou seja o maior número no qual 12 23 e 76 são múltiplos inteiros é 16 Além disso 316 12 416 23 e 716 76 Portanto a freqüência fundamental é 16 e as três freqüências do espectro são o terceiro quarto e sétimo harmônicos Observe que a componente de freqüência fundamental está ausente nessa série de Fourier O sinal x2t não é periódico porque a razão de duas freqüências no espectro é 2π o qual não é um núme ro racional O sinal x3t é periódico porque a razão das freqüências 3 e 6 é 12 um número racional O maior fator comum de 3 e 6 é 3 Portanto a freqüência fundamental é ω0 3 e o período é 621 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 543 O maior fator comum de a1b1 a2b2 ambm é a razão dos MFC do conjunto dos numeradores a1 a2 am pelo MMC menor múl tiplo comum do conjunto dos denominadores b1 b2 bm Por exemplo para o conjunto 23 67 2 o MFC do conjunto de nume radores 2 6 2 é 2 O MMC do conjunto de denominadores 3 7 1 é 21 Portanto 221 é o maior número no qual 23 67 e 2 são múltiplos inteiros EXERCÍCIO E62 Determine se o sinal é ou não periódico Se ele for periódico determine a freqüência e o período fundamental Quais harmônicas es tão presentes em xt NOTA HISTÓRICA BARÃO JEANBAPTISTEJOSEPH FOURIER 17681830 A série de Fourier e integral de Fourier englobam um dos desenvolvimentos matemáticos mais produtivos e bonitos que funciona como instrumento para vários problemas na área de matemática ciências e engenha ria Maxwell ficou tão admirado com a beleza da série de Fourier que ele a chamou de um grande poema ma temático Na engenharia elétrica ele é fundamental a áreas de comunicação processamento de sinais e di versas outras áreas incluindo antenas Entretanto sua aceitação inicial pelo mundo científico não foi das melhores Na verdade Fourier não conseguiu publicar seus resultados como um artigo Fourier filho de alfaiate ficou órfão aos 8 anos de idade e estudou em um colégio militar local administra do por monges Beneditinos no qual ele sobressaiu em matemática Os Beneditinos conduziram o jovem gênio para a escolha pelo sacerdócio mas a revolução começou antes que ele pudesse tomar seus votos Fourier jun touse ao alvoroço mas nos seus primeiros dias a revolução francesa bem como outras insurreições liquidou com um grande segmento da elite intelectual incluindo proeminentes cientistas como Lavoisier Observando es sa tendência vários intelectuais decidiram deixar a França sendo salvos de uma rápida maré de barbarismo Fourier apesar de seu entusiasmo inicial pela revolução quase não escapou da guilhotina por duas vezes Na poleão recebeu o crédito por ter parado a perseguição à elite intelectual tendo fundado novas escolas para re compor o quadro depauperado Fourier então com 26 anos de idade foi indicado como responsável pela área de matemática da recémcriada École Normale em 1794 1 Napoleão foi o primeiro ditador moderno com educação científica sendo uma das raras pessoas igualmente confortável com soldados e cientistas A era de Napoleão foi uma das mais frutíferas na história das ciências Napoleão gostava de se dar o título de membro do Institut de France uma fraternidade de cientistas e uma vez confidenciou a Laplace seu arrependimento pelo fato de que a força das circunstâncias me levou tão longe da carreira de cientista 2 Várias figuras imponentes da ciência e matemática incluindo Fourier e Laplace foram 544 SINAIS E SISTEMAS LINEARES RESPOSTA Periódico com ω0 215 e período T0 15π O quinto e sexto harmônicos honradas e promovidas por Napoleão Em 1798 ele levou um grupo de cientistas artistas e acadêmicos entre eles Fourier em sua expedição ao Egito com a promessa de uma emocionante e histórica união de aventura e pesquisa Fourier provou ser um capaz administrador do recém formado Institut dÉgypte o qual acidentalmen te foi responsável pela descoberta da pedra Rosetta A inscrição nessa pedra em duas línguas e três escritos hie róglifo egípcio antigo e Grego permitiu a Thomas Young e JeanFrançois Champollion um protegido de Fou rier inventar um método para traduzir hieróglifos escritos em egípcio antigo o único resultado significativo da expedição ao Egito de Napoleão De volta à França em 1801 Fourier serviu brevemente em sua primeira posição como professor de matemá tica na École Polytechnique em Paris Em 1802 Napoleão o indicou como prefeito de Isère com posto de co mando em Grenoble uma posição que Fourier serviu com distinção Fourier foi designado Barão do Império por Napoleão em 1809 Posteriormente quando Napoleão foi exilado em Alba sua rota o levaria através de Gre noble Fourier teve a rota alterada para evitar o encontro com Napoleão o qual deveria estar descontente com o novo mestre de Fourier Rei Louis XVIII Após um ano Napoleão escapou de Elba e retornou para a França Em Grenoble Fourier foi trazido a sua presença em correntes Napoleão censurou Fourier por seu comportamento ingrato mas o indicou novamente como prefeito de Rhône em Lyons Quatro meses após Napoleão foi venci do em Waterloo e foi exilado em Santa Helena onde morreu em 1821 Fourier uma vez mais estava em desgra ça como associado de Bonaparte Entretanto pela intercessão de um antigo estudante que era prefeito de Paris ele foi indicado como diretor do Bureau estatístico da Seine uma posição que possibilitou muito tempo para perseguir seus objetivos de estudo Posteriormente em 1827 ele foi eleito para a poderosa posição de secretá rio perpétuo da Academia de Paris de Ciência uma seção do Institut de France 3 Enquanto servia como prefeito de Grenoble Fourier continuou seus elaborados estudos sobre a propagação de calor em corpos sólidos levandoo à série de Fourier e à Integral de Fourier Em 21 de dezembro de 1807 ele anunciou esses resultados em um artigo sobre teoria do calor Fourier afirmou que uma função arbitrária contínua ou descontínua definida em um intervalo finito por um gráfico inconstante arbitrário pode sempre ser expresso como a soma de senóides série de Fourier Os revisores que incluíam os grandes matemáticos franceses Laplace Lagrange Legrende Monge e LaCroix admitiram a novidade e a importância do trabalho de Fourier mas o criticaram pela falta de rigor matemático e generalidade Lagrange considerou incrível que a soma de senos e cossenos podia resultar em qualquer coisa menos numa função infinitamente diferenciável Além disso uma das propriedades de uma função infinitamente diferenciável é que se soubermos seu compor tamento em um intervalo arbitrariammente pequeno podemos determinar seu comportamento para toda a fun ção série de TaylorMaclaurin Tal função está longe de um gráfico arbitrário ou inconstante 4 Laplace tinha uma razão adicional para criticar o trabalho de Fourier Ele e seus alunos já haviam abordado o assunto de con dução de calor por um ângulo diferente e Laplace estava relutante em aceitar a superioridade do método de Fourier 5 Fourier considerou as críticas injustificadas mas foi incapaz de provar sua afirmativa porque as ferra mentas necessárias para operações com séries infinitas não estavam disponíveis naquela época Entretanto a posteridade provou que Fourier estava mais perto da verdade do que seus críticos Esse é o clássico conflito en tre matemáticos puros e físicos ou engenheiros como vimos anteriormente Capítulo 4 na vida de Oliver Hea viside Em 1829 Dirichlet provou a afirmativa de Fourier a respeito de funções inconstantes com poucas res trições Condições de Dirichlet Apesar de três dos quatro revisores estarem a favor da publicação o artigo de Fourier foi recusado devido à veemente oposição de Lagrange Quinze anos depois após várias tentativas e desapontamentos Fourier publi cou os resultados em uma forma expandida como um texto Théorie Analytique de la Chaleur o qual é agora um clássico 62 EXISTÊNCIA E CONVERGÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER Para a existência da série de Fourier os coeficientes a0 an e bn das Eqs 611 devem ser finitos Dessa forma a partir das Eqs 611a e 611c a existência desses coeficientes é garantida se xt for absolutamente integrável em um período ou seja 622 Entretanto somente a existência não nos informa sobre a natureza e a maneira pela qual a série converge Iremos discutir inicialmente a noção de convergência CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 545 621 Convergência de uma Série A chave para várias questões está na natureza da convergência da série de Fourier A convergência de uma série infinita é um problema complexo Foram necessárias várias décadas para os matemáticos compreenderem o as pecto de convergência da série de Fourier Iremos abordar apenas superficialmente este assunto Nada perturba mais um estudante do que a discussão sobre convergência Se não tivéssemos provado iriam perguntar que um sinal periódico xt pode ser expresso como uma série de Fourier Então porque acabar com a graça com esta discussão chata Tudo o que mostramos até este momento é que um sinal representado pela sé rie de Fourier da Eq 63 é periódico Ainda não provamos o inverso que todo sinal periódico pode ser expres so por uma série de Fourier Esse ponto será tratado posteriormente na Seção 654 na qual será mostrado que um sinal periódico pode ser representado por uma série de Fourier tal como a Eq 63 na qual a igualdade dos dois lados da equação não é feita no sentido ordinário mas no sentido de média quadrática explicada posterior mente nesta discussão Mas o leitor astuto deve estar cético sobre a afirmativa da série de Fourier representar as funções descontínuas das Figs 62a e 65a Se xt possui uma descontinuidade em digamos t 0 então x0 x0 e x0 geralmente são diferentes Como uma série constituída pela soma de funções contínuas do ti po mais suave senóide resulta em um valor em t 0 um valor diferente para t 0 e outro valor para t 0 Essa demanda é impossível de ser satisfeita a não ser que a matemática envolvida execute alguma acrobacia es petacular Como a série de Fourier se comporta nessas condições Precisamente por essa razão os grandes ma temáticos Lagrange e Laplace dois dos revisores do artigo de Fourier ficaram céticos sobre as afirmativas de Fourier e votaram contra a publicação do artigo que posteriormente tornouse um clássico Também existem outras questões Em qualquer aplicação prática podemos usar apenas um número finito de termos em uma série Se usando um número fixo de termos a série garante a convergência com um erro arbi trário pequeno para todo valor de t tal série é altamente desejável sendo chamada de uma série uniformemente convergente Se a série converte para todo valor de t mas para garantir a convergência com um dado erro ela pre cisar de diferentes quantidades de termos para diferentes t então a série ainda é convergente mas menos dese jável Nesse caso a série recebe o nome de série convergente no ponto Finalmente temos o caso de uma série que se recusa a convergir para algum t não importa quantos termos forem adicionados Mas a série pode convergir na média ou seja a energia da diferença entre xt e a série correspondente com termos finitos aproximase de zero quando o número de termos aproximase do infinito Para explicar este con ceito vamos considerar a representação de uma função xt por uma série infinita 623 Seja a soma parcial dos primeiros N termos da série do lado direito representada por xNt ou seja 624 Se aproximarmos xt por xNt a soma parcial dos primeiros N termos da série o erro na aproximação é a diferença xt xNt A série converge na média para xt no intervalo 0 T0 se 625 Logo a energia do erro xt xNt aproximase do zero quando N Essa forma de convergência não re quer que a série seja igual a xt para todo t Ela simplesmente requer que a energia da diferença área sob xt xNt 2 desapareça quando N Superficialmente pode parecer que se a energia de um sinal em um inter valo for zero o sinal o erro deve ser zero em todos os locais Isso não é verdadeiro A energia do sinal pode ser zero mesmo se existirem valores não nulos para um número finito de pontos isolados Isso ocorre porque ape sar do sinal ser não nulo em um ponto e nulo em todos os demais instantes a área sob seu quadrado ainda é ze ro Portanto uma série que converge na média para xt não precisa convergir para xt em um número finito de pontos Isso é precisamente o que acontece com a série de Fourier quando xt apresenta um salto de desconti 546 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A razão pela qual chamamos esse comportamento de convergência pela média é que a minimização da energia do erro em um certo intervalo é equivalente a minimizar o valor médio quadrático do erro para o mesmo intervalo nuidade Esse também é o motivo pelo qual a convergência da série de Fourier é compatível com o fenômeno Gibbs o qual será discutido posteriormente nesta seção Existe um critério simples para garantir que um sinal periódico xt possua uma série de Fourier que con virja na média A série de Fourier de xt converge para xt na média se xt possuir energia finita em um pe ríodo ou seja 626 Portanto o sinal periódico xt possuindo energia finita em um período garante a convergência na média de sua série de Fourier Em todos os exemplos discutidos até este ponto a condição 626 é satisfeita e portanto a série de Fourier correspondente converge na média A condição 626 tal como a condição 622 garante que os coeficientes de Fourier são finitos Iremos discutir agora um conjunto alternativo de critério devido a Dirichlet para a convergência da série de Fourier CONDIÇÕES DE DIRICHLET Dirichlet mostrou que se xt satisfaz certas condições condições de Dirichlet a convergência para o ponto de sua série de Fourier é garantida para todos os pontos nos quais xt é contínua Além disso nos pontos de des continuidade xt converge para o valor médio entre os dois valores de xt dos dois lados da descontinuidade Essas condições são 1 A função xt deve ser absolutamente integrável ou seja ela deve satisfazer a Eq 622 2 A função xt deve ter apenas um número finito de descontinuidades finitas em um período 3 A função xt deve conter apenas um número finito de máximos ou mínimos em um período Todos os sinais práticos incluindo os mostrados nos Exemplos 6164 satisfazem essas condições 622 Papel do Espectro de Amplitude e Fase na Forma da Onda A série trigonométrica de Fourier de um sinal xt mostra explicitamente os componentes senoidais de xt Des ta forma podemos sintetizar xt somando as senóides do espectro de xt Vamos sintetizar o sinal periódico de pulso quadrado xt da Fig 65a somando as harmônicas sucessivas de seu espectro passo a passo e observando a similaridade do sinal resultante com xt A série de Fourier para essa função determinada pela Eq 617 é Começamos a síntese com apenas o primeiro termo da série n 0 uma constante 12 cc Esta é uma apro ximação fraca da forma quadrada como mostrado na Fig 67a No próximo passo somamos o nível cc n 0 com a primeira harmônica fundamental o que resulta no sinal mostrado na Fig 67b Observe que o sinal sin tetizado lembra de alguma forma xt Ele é uma versão suave de xt Os cantos íngremes em xt não são re produzidos nesse sinal porque esses cantos representam rápidas mudanças e sua reprodução requer componen tes que variam rapidamente ou seja alta freqüência as quais estão excluídas A Fig 67c mostra a soma de cc primeiro e terceiro harmônico harmônicos pares estão ausentes Quando aumentamos o número de harmôni cos progressivamente como mostrado na Fig 67d soma até o quinto harmônico e 67e soma até o décimo no no harmônico as bordas dos pulsos se tornam mais íngremes e o sinal se assemelha mais com xt TAXA ASSINTÓTICA DO DECAIMENTO DO ESPECTRO DE AMPLITUDE A Fig 67 apresenta um aspecto interessante da série de Fourier Freqüências baixas na série de Fourier afetam o comportamento em grande escala de xt enquanto que as altas freqüências determinam a estrutura fina tal como uma rápida variação Logo mudanças bruscas em xt sendo parte da estrutura fina necessitam de altas freqüências na série de Fourier Quanto mais brusca a variação quanto maior a derivada temporal de xt maio res as freqüências necessárias na série O espectro de amplitude indica o total amplitudes das várias componentes de freqüência de xt Se xt for uma função suave sua variação é menos rápida A síntese de tal função requer senóides de freqüência predomi nantemente baixas e uma pequena quantidade de senóides que variam rapidamente alta freqüência O espec CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 547 tro de amplitude de tal função decairia rapidamente com a freqüência Para sintetizar essa função iremos preci sar de poucos termos da série de Fourier para uma boa aproximação Por outro lado um sinal com mudanças bruscas tais como saltos de descontinuidade contém variações rápidas e sua síntese requer uma quantidade re lativamente grande de componentes de alta freqüência O espectro de amplitude de tal sinal decairia lentamen te com a freqüência e para sintetizar essa função iremos necessitar de muitos termos da série de Fourier para uma boa aproximação A onda quadrada xt é uma função descontínua com saltos de descontinuidade e por tanto seu espectro de amplitude decai lentamente com 1n veja a Eq 617 Por outro lado o sinal triangular da Fig 63a é mais suave pois ele é uma função contínua sem saltos de descontinuidade Seu espectro decai rapidamente como a freqüência com 1n 2 veja a Eq 616 Podemos mostrar que 6 se as primeiras k 1 derivadas de um sinal periódico xt são contínuas e a késima de rivada é descontínua então seu espectro de amplitude Cn decai com a freqüência no mínimo tão rapidamente quanto 1n k1 Esse resultado é simples e útil para a determinação da taxa assintótica da convergência da série de 548 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 67 Síntese de um sinal de pulso quadrado periódico pela soma sucessiva de suas harmônicas Fourier No caso do sinal de onda quadrada Fig 65a a derivada zero do sinal o próprio sinal é descontínua logo k 0 Para o sinal triangular periódico da Fig 63 a primeira derivada é descontínua ou seja k 1 Por es sa razão os espectros desses sinais decaem com 1n e 1n 2 respectivamente ESPECTRO DE FASE A MULHER POR TRÁS DO HOMEM DE SUCESSO O papel do espectro de amplitude na forma da onda xt é bem claro Entretanto o papel do espectro de fase na forma da onda ou seja na forma da forma de onda é menos óbvio Ainda assim o espectro de fase tal como a mulher por trás do homem de sucesso possui um papel igualmente importante na forma da onda Podemos ex plicar esse papel considerando um sinal xt que muda rapidamente tal como um salto de descontinuidade Pa ra sintetizar uma mudança instantânea em um saldo de descontinuidade as fases das várias componentes senoi dais no espectro do sinal devem ser tais que todas ou quase todas as componentes harmônicas tenham um si nal antes da descontinuidade e o sinal oposto após a descontinuidade Isso irá resultar em uma mudança brusca em xt no ponto de descontinuidade Podemos verificar esse fato em qualquer forma de onda com um salto de descontinuidade Considere por exemplo a forma de onda de dente de serra da Fig 66b Esta forma de onda possui uma descontinuidade em t 1 A série de Fourier para essa forma de onda dada no Exercício E61b é A Fig 68 mostra os três primeiros componentes dessa série A fase de todas as infinitas componentes é tal que todas as componentes são positivas exatamente antes de t 1 tornandose negativas exatamente após t 1 o ponto de descontinuidade O mesmo comportamento também é observado em t 1 no qual uma desconti nuidade similar ocorre Essa mudança do sinal em todas as harmônicas resulta em uma forma muito próxima de um salto de descontinuidade O papel do espectro de fase é crucial para conseguirmos uma rápida mudança em uma forma de onda Se ignorarmos o espectro de fase quanto tentarmos reconstruir esse sinal o resultado será CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 549 Figura 68 Papel do espectro de fase na forma da onda de um sinal periódico Segundo harmônico Terceiro harmônico Fundamental Ou para estarmos em sintonia com os novos tempos o homem por trás da mulher de sucesso uma forma de onda contaminada e espalhada Em geral o espectro de fase é tão crucial quanto o espectro de am plitude na determinação da forma de onda A síntese de qualquer sinal xt é obtida usando a combinação ade quada das amplitudes e fases das várias senóides Esta combinação única é o espectro de Fourier de xt SÍNTESE DE FOURIER DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS O FENÔMENO GIBBS A Fig 67 mostrou a função quadrada xt e sua aproximação por uma série trigonométrica de Fourier trunca da que inclui apenas as primeiras N harmônicas para N 1 3 5 e 19 O gráfico da série truncada é muito pró ximo da função xt quando N aumenta e esperase que a série convirja exatamente para xt quando N Outro fato curioso é que como visto na Fig 67 para N grande a série exibe um comportamento oscilatório e um sobresinal aproximadamente de 9 na proximidade da descontinuidade no pico mais próximo da oscila ção Independentemente do valor de N o sobresinal permanece em aproximadamente 9 Esse comporta mento estranho poderia minar a crença de qualquer um na série de Fourier De fato esse comportamento per turbou muitos acadêmicos na virada do século passado Josiah Willard Gibbs um matemático físico eminen te inventor da análise vetorial forneceu uma explicação matemática para esse comportamento agora chama do de fenômeno Gibbs Podemos reconciliar a aparente aberração do comportamento da série de Fourier observando na Fig 67 que a freqüência de oscilação do sinal sintetizado é N f0 tal que a largura do pico com sobresinal de 9 é aproxi madamente 12N f0 Quando aumentamos N a freqüência de oscilação aumenta e a largura 12N f0 do pico dimi nui Quando N a potência do erro 0 porque o erro é constituído principalmente de picos com larguras 0 Portanto quando N a série de Fourier correspondente difere de xt por aproximadamente 9 ime diatamente à esquerda e à direita do ponto de descontinuidade e mesmo assim a potência do erro 0 A razão para essa confusão é que neste caso a série de Fourier converge para a média Quando isso acontece tudo o que prometemos é que a energia do erro em um período 0 quando N Portanto a série pode diferir de xt em alguns pontos e mesmo assim ter a potência do sinal de erro igual a zero como verificado anteriormente No te que a série neste caso também converge no ponto em todos os pontos exceto nos pontos de descontinuidade É precisamente nas descontinuidades que a série difere de xt por 9 Quando utilizamos apenas os primeiros N termos da série de Fourier para sintetizar um sinal estamos ter minando bruscamente a série dando um peso unitário para as primeiras N harmônicas e peso zero para todas as harmônicas restantes após N Esse truncamento abrupto da série causa o fenômeno Gibbs na síntese de fun ções descontínuas A Seção 78 oferece uma discussão mais detalhada do fenômeno Gibbs suas ramificações e sua solução O fenômeno Gibbs está presente apenas quando existe um salto de descontinuidade em xt Quando a fun ção contínua xt é sintetizada usando apenas os primeiros N termos da série de Fourier a função sintetizada aproximase de xt para todo t quando N Nenhum fenômeno Gibbs estará presente Esse fato pode ser visto na Fig 69 a qual mostra um ciclo de um sinal periódico contínuo sintetizado com suas primeiras 19 harmônicas Compare a situação similar para o sinal descontínuo da Fig 67 550 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 69 Síntese de Fourier de um sinal contínuo usando as primeiras 19 harmônicas Também existe um subsinal de 9 no outro lado em t π2 da descontinuidade Na realidade nas descontinuidades a série converge para um valor médio entre os valores dos dois lados da descontinuidade O sobre sinal de 9 ocorre em t π2 e o subsinal de 9 ocorre em t π2 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 551 EXERCÍCIO E63 Por inspeção dos sinais das Figs 62a 66a e 66b determine a taxa assintótica de decaimento dos espectros de amplitude RESPOSTA 1n 1n 2 e 1n respectivamente EXEMPLO DE COMPUTADOR C62 Analogamente à Fig 67 demonstre a síntese da forma de onda quadrada da Fig 65a somando sucessiva mente passo a passo as componentes de Fourier Figura C62 NOTA HISTÓRICA DO FENÔMENO GIBBS Falando genericamente funções problemáticas com comportamento estranho são inventadas por matemáticos Raramente vemos tais particularidades na prática No caso do fenômeno Gibbs entretanto a história se inverte Um comportamento intrigante foi observado em um objeto simples um sintetizador de ondas mecânico e en tão todos os matemáticos conhecidos na época partiram na busca para identificar o que estava oculto Albert Michelson da célebre MichelsonMorley foi um homem enérgico e prático que desenvolveu instru mentos físicos engenhosos de extraordinária precisão a maioria na área de óptica Seu analisador harmônico de senvolvido em 1898 podia calcular os primeiros 80 coeficientes da série de Fourier de um sinal xt especificado por qualquer descrição gráfica O instrumento também podia ser utilizado como sintetizador harmônico o qual traçava uma função xt gerada pela soma dos primeiros 80 harmônicos componentes de Fourier de amplitudes e fases arbitrárias Esse analisador portanto tinha a habilidade de verificar sua própria operação pela análise de um sinal xt e então somando as 80 componentes resultantes verificar quão perto a aproximação estava de xt Michelson observou que o instrumento verificava muito bem a maioria dos sinais analisados Entretanto quando tentou analisar uma função descontínua tal como uma onda quadrada um comportamento curioso foi observado A soma das 80 componentes mostrava um comportamento oscilatório com um sobresinal de 9 na proximidade dos pontos de descontinuidade Além disso esse comportamento era uma característica constante independente do número de termos somados Um grande número de termos tornava as oscilações proporcional mente mais rápidas mas independente do número de termos somados o sobresinal permanecia em 9 Esse comportamento intrigante fez com que Michelson suspeitasse de algum defeito mecânico em seu sintetizador Ele escreveu sua observação em um artigo em Nature dezembro de 1898 Josiah Willard Gibbs professor em Yale investigou e elucidou esse comportamento para um sinal em dente de serra periódico em um artigo em Na ture Posteriormente em 1906 Bôcher generalizou o resultado para qualquer função com descontinuidade 8 Foi Bôcher que deu o nome de fenômeno Gibbs a esse comportamento Gibbs mostrou que o comportamento pecu liar na síntese de uma onda quadrada era inerente ao comportamento da série de Fourier devido à convergência não uniforme nos pontos de descontinuidade Entretanto não foi o fim da história Tanto Bôcher quanto Gibbs estavam com a impressão de que essa pro priedade tinha permanecido oculta até o trabalho publicado por Gibbs em 1899 Sabese agora que o chamado fenômeno Gibbs havia sido observado em 1848 por Wilbrahan do Trinity College Cambridge o qual viu clara mente o comportamento da soma dos componentes da série de Fourier do sinal periódico de dente de serra pos teriormente investigado por Gibbs 9 Aparentemente seu trabalho não era conhecido por várias pessoas incluin do Gibbs e Bôcher 552 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Na realidade foi um sinal dente de serra periódico 63 SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER Usando a igualdade de Euler podemos expressar cos nω0t e sen nω0t em termos das exponenciais e jnω0t e e jnω0t Claramente somos capazes de expressar a série trigonométrica de Fourier da Eq 69 em termos de exponen ciais na forma e jnω0t com o índice n assumindo todos os valores inteiros de a incluindo o zero A deter minação da série exponencial de Fourier a partir dos resultados já obtidos da série trigonométrica de Fourier é direta envolvendo a conversão de senóides em exponenciais Iremos entretanto obter a série exponencial de Fourier independentemente sem utilizar os resultados anteriores da série trigonométrica Essa discussão mostra que a série exponencial de Fourier para um sinal periódico xt pode ser descrita por Para obtermos os coeficientes Dn multiplicamos os dois lados desta equação por e jmω0t m inteiro e integra mos em um período obtendo 627 na qual utilizamos a propriedade de ortogonalidade de exponenciais provada na nota de rodapé abaixo 628 Usando esse resultado na Eq 627 obtemos a partir da qual temos Para resumir a série exponencial de Fourier pode ser descrita por 629a na qual 629b Observe a forma compacta das expressões 629a e 629b e compare com as expressões correspondentes à série trigonométrica de Fourier Essas duas equações demonstram muito claramente a principal virtude da série exponencial de Fourier Primeiro a forma da série é bem compacta Segunda a expressão matemática para a ob tenção dos coeficientes da série também é compacta É muito mais conveniente trabalhar com a série exponen cial do que com a série trigonométrica Por essa razão iremos utilizar a representação exponencial em vez da trigonométrica dos sinais no restante deste livro CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 553 Podemos facilmente provar essa propriedade como mostrado a seguir Para o caso de m n o integrando da Eq 628 é unitário e a integral é T0 Quando m n a integral do lado esquerdo da Eq 628 pode ser expressa por As duas integrais do lado direito representam a área sob n m ciclos Como n m é um inteiro as duas áreas são zero Dessa forma seguese a Eq 628 Podemos relacionar Dn com os coeficientes an e bn da série trigonométrica Fazendo n 0 na Eq 629b ob temos 630a Além disso para n 0 630b e 630c Esses resultados são válidos para xt genérico real ou complexo Quando xt é real an e bn são reais e as Eqs 630b e 630c mostram que Dn e Dn são conjugados 631 Além disso a partir das Eqs 613 observamos que Logo 632a e 632b Portanto 633a 633b Note que Dn são as amplitudes e Dn são os ângulos das várias componentes exponenciais A partir das Eqs 633 temos que quando xt é real o espectro de amplitude Dn em função de ω é uma função par de ω e o espectro de ângulo Dn em função de ω é uma função ímpar de ω Para xt complexo Dn e Dn são geralmen te não conjugados 554 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Determine a série exponencial de Fourier do sinal da Fig 62a Exemplo 61 Neste caso T0 π ω0 2πT0 2 e na qual EXEMPLO 65 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 555 634 e 635a 635b Observe que os coeficientes Dn são complexos Além disso Dn e Dn são conjugados como esperado EXEMPLO DE COMPUTADOR C63 Seguindo o Exemplo 65 calcule e trace o espectro exponencial de Fourier do sinal periódico xt mostrado na Fig 62a A expressão para Dn é obtida no Exemplo 65 Figura C63 631 Espectro Exponencial de Fourier No espectro exponencial traçamos os coeficientes Dn em função de ω Mas como Dn é geralmente complexo precisamos das duas partes de um dos conjuntos de gráficos a parte real e imaginária de Dn ou a magnitude e ângulo de Dn Geralmente preferese a última porque existe uma conexão mais próxima com as amplitudes e fa ses das componentes correspondentes da série trigonométrica de Fourier Portanto iremos traçar Dn em função de ω e Dn em função de ω Para isso precisamos que os coeficientes Dn sejam expressos na forma polar como Dn e jDn na qual Dn são as amplitudes e Dn são as fases das várias componentes exponenciais A Eq 633 mostra que para xt real o espectro de amplitude Dn em função de ω é uma função par de ω e o espectro de ângulo Dn em função de ω é uma função ímpar de ω Para a série do Exemplo 65 Eq 635b por exemplo e e assim por diante Note que Dn e Dn são conjugados como esperado veja as Eqs 633 A Fig 610 mostra o espectro de freqüência amplitude e fase para a série exponencial de Fourier do sinal periódico xt da Fig 62a Podemos observar algumas características interessantes neste espectro Primeiro o espectro existe para va lores positivos e negativos de ω a freqüência Segundo o espectro de amplitude é uma função par de ω e o es pectro de ângulo é uma função ímpar de ω Às vezes pode parecer que o espectro de fase de um sinal real periódico não satisfaz a simetria ímpar por exemplo quando Dk Dk 10 Nesse caso Dk 10e jπ e portanto Dk 10e jπ Lembrese de que e jπ 1 Logo apesar de Dk Dk suas fases devem ser consideradas como π e π O QUE É UMA FREQÜÊNCIA NEGATIVA A existência de freqüências negativas no espectro é perturbadora porque por definição a freqüência número de repetições por segundo é uma grandeza positiva Como então interpretamos uma freqüência negativa Podemos utilizar uma identidade trigonométrica para expressar uma senóide de freqüência ω0 por Essa equação mostra claramente que a freqüência de uma senóide cos ω0t θ é ω0 uma grandeza positi va A mesma conclusão é obtida observando que 556 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura C63 Continuação Portanto a freqüência das exponenciais e jnω0t realmente é ω0 Como podemos então interpretar os gráficos espectrais para valores negativos de ω Uma maneira suficiente de analisar a situação é dizer que o espectro ex ponencial é uma representação gráfica dos coeficientes Dn em função de ω A existência de um espectro em ω nω0é simplesmente uma indicação de que a componente exponencial e jnω0t existe na série Sabemos que uma senóide de freqüência nω0 pode ser descrita em termos dos pares exponenciais e jnω0t e e jnω0t Podemos observar uma forte conexão entre o espectro exponencial da Fig 610 e o espectro da série trigono métrica de Fourier correspondente para xt Fig 62b 62c As Eqs633 explicam a razão dessa forte conexão para xt real entre o espectro trigonométrico Cn e θn com o espectro exponencial Dn e Dn As componen tes contínuas D0 e C0 são idênticas nos dois espectros Além disso o espectro de amplitude exponencial Dn é me tade do espectro de amplitude trigonométrico Cn para n 1 O espectro angular exponencial Dn é idêntico ao es pectro de fase trigonométrico θn para n 0 Podemos portanto produzir o espectro exponencial simplesmente por inspeção do espectro trigonométrico e viceversa O exemplo a seguir demonstra essa possibilidade CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 557 Figura 610 Espectro exponencial de Fourier para o sinal da Fig 62a O espectro trigonométrico de Fourier de um certo sinal periódico xt está mostrado na Fig 611a Por inspeção desse espectro trace o espectro exponencial de Fourier correspondente e verifique analiticamente seus resultados Figura 611 EXEMPLO 66 LARGURA DE FAIXA DE UM SINAL A diferença entre a freqüência mais alta e a mais baixa das componentes espectrais de um sinal é a largura de faixa do sinal A largura de faixa do sinal cujo espectro exponencial está mostrado na Fig 611b é 9 em radia nos A freqüência mais alta é 9 e a mais baixa é 0 Note que a componente de freqüência 12 possui amplitude zero e portanto é inexistente Além disso a menor freqüência é 0 e não 9 Lembrese de que a freqüência no sentido convencional das componentes espectrais em ω 3 6 e 9 na realidade é 3 6 e 9 A largura de fai xa pode ser mais facilmente vista no espectro trigonométrico da Fig 611a 558 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 611 Continuação As componentes trigonométricas espectrais existem nas freqüências 0 3 6 e 9 As componentes exponen ciais espectrais existem em 0 3 6 9 e 3 6 9 Considere primeiro o espectro de amplitude A componen te cc permanece inalterada ou seja D0 C0 16 Agora Dn é uma função par de ω e Dn Dn Cn 2 Portanto todo o espectro restante de Dn para n positivo é metade do espectro trigonométrico de amplitude Cn e o espectro Dn para n negativo é a imagem refletida com relação ao eixo vertical do espectro para n po sitivo como mostrado na Fig 611b O espectro de ângulo Dn θn para n positivo e θn para n negativo como mostrado na Fig 611b Ire mos verificar agora que os dois conjuntos espectrais representam o mesmo sinal O sinal xt cujo espectro trigonométrico está mostrado na Fig 611a possui quatro componentes espectrais nas freqüências 0 3 6 e 9 A componente cc é 16 A amplitude e fase da componente de freqüência 3 são 12 e π4 respectivamente Portanto esta componente pode ser descrita por 12 cos 3t π4 Procedendo da mesma maneira nós podemos escrever a série de Fourier de xt por Considere agora o espectro exponencial da Fig 611b Ele contém componentes de freqüências 0 cc 3 6 e 9 A componente cc é D0 16 A componente e j3t freqüência 3 possui magnitude 6 e ângulo π4 Portanto a força dessa componente é 6e jπ4 e ela pode ser descrita por 6e jπ4e j3t Similarmente a componente de freqüência 3 é 6e jπ4e j3t Procedendo da mesma maneira xt o sinal correspondente ao espectro da Fig 611b é Claramente os dois conjuntos de espectro representam o mesmo sinal periódico Alguns autores definem a largura de faixa como sendo a diferença entre a maior e menor negativa freqüências do espectro exponen cial A largura de faixa de acordo com essa definição é duas vezes a definida aqui Na realidade essa forma define não a largura de faixa do sinal mas sim a largura espectral largura do espectro exponencial do sinal CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 559 Determine a série exponencial de Fourier e trace o espectro correspondente para o trem de impulso δT0t mostrado na Fig 612a A partir desse resultado trace o espectro trigonométrico e escreva a série trigono métrica de Fourier de δT0t Figura 612 a trem de impulso e b c seu espectro de Fourier O trem de impulso unitário mostrado na Fig 612a pode ser expresso por De acordo com Papoulis podemos representar esta função como δT0t por simplicidade de notação A série exponencial de Fourier é dada por 636 na qual Escolhendo o intervalo de integração T02 T02 e reconhecendo que nesse intervalo δT0t δt EXEMPLO 67 EFEITO DA SIMETRIA NA SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER Quando xt possui uma simetria par bn 0 e a partir da Eq 630b Dn an2 o qual é real positivo ou ne gativo Logo Dn pode ser apenas 0 ou π Além disso podemos calcular Dn an2 usando a Eq 618b o que requer a integração em apenas meio período Similarmente quando xt possui simetria ímpar an 0 e Dn jbn2 é imaginário positivo ou negativo Logo Dn pode ser apenas 0 ou π2 Além disso pode mos calcular Dn jbn2 usando a Eq 619b o que requer a integração em apenas meio período Note en tretanto que no caso exponencial utilizamos a propriedade de simetria indiretamente pela determinação dos coeficientes trigonométricos Não podemos aplicála diretamente à Eq 629b 560 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Nessa integral o impulso está localizado em t 0 Usando a propriedade de amostragem 124a a in tegral do lado direito é o valor de e jnω0t para t 0 na qual o impulso é localizado Portanto 637 A substituição desse valor na Eq 636 resulta na série exponencial de Fourier desejada 638 A Eq 637 mostra que o espectro exponencial é uniforme Dn 1T0 para todas as freqüências como mostrado na Fig 612b O espectro sendo real requer apenas o gráfico de amplitude Todas as fases são nulas Para traçar o espectro trigonométrico utilizamos a Eq 633 obtendo A Fig 612c mostra o espectro trigonométrico de Fourier A partir desse espectro podemos expressar δT0t por 639 EXERCÍCIO E64 O espectro exponencial de Fourier de um certo sinal periódico xt está mostrado na Fig 613 Determine e trace o espectro trigonométrico de Fourier de xt por inspeção da Fig 613 Escreva agora a série trigonométrica compacta de Fourier de xt Figura 613 632 Teorema de Parseval A série trigonométrica de Fourier de um sinal periódico xt é dada por Cada termo do lado direito dessa equação é um sinal de potência Como mostrado no Exemplo 12 Eq 14d a potência de xt é igual a soma das potências de todas as componentes senoidais do lado direito 640 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 561 RESPOSTA EXERCÍCIO E65 Determine a série exponencial de Fourier e trace o espectro de Fourier Dn correspondente em função de ω para o seno retificado onda completa mostrado na Fig 614 Figura 614 RESPOSTA EXERCÍCIO E66 Determine a série exponencial de Fourier e trace o espectro de Fourier correspondente para os sinais periódicos mostrados na Fig 66 RESPOSTA Esse resultado é uma forma do teorema de Parseval aplicado a sinais de potência Ele afirma que a potência de um sinal periódico é igual a soma das potências de suas componentes de Fourier Podemos aplicar o mesmo argumento para a série exponencial de Fourier veja o Prob 118 A potência de um sinal periódico xt pode ser expressa como a soma das potências de suas componentes exponenciais Na Eq 14e mostramos que a potência da exponencial De jω0t é D 2 Dessa forma podemos utilizar esse resultado pa ra expressar a potência de um sinal periódico xt em termos dos coeficientes da série exponencial de Fourier por 641a Para um xt real Dn Dn Portanto 641b 562 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O sinal de entrada de um amplificador de áudio com ganho 100 é dado por xt 01 cos ω0t Logo a saída é a senóide 10 cos ω0t Entretanto o amplificador sendo não linear em altos níveis de amplitude ceifa todas as amplitudes além de 8 volts como mostrado na Fig 615a Vamos determinar a distorção harmônica que ocorre nessa operação Figura 615 a Senóide cos ω0t ceifada b Componente de distorção xdt do sinal de a A saída yt é o sinal ceifado mostrado na Fig 615a O sinal de distorção ydt mostrado na Fig 615b é a diferença entre a senóide não distorcida 10 cos ω0t e o sinal de saída yt O sinal ydt cujo período é T0 o mesmo período de yt pode ser descrito em seu primeiro ciclo por Observe que ydt é uma função par de t e seu valor médio é nulo Logo a0 C0 0 e bn 0 Logo Cn an e a série de Fourier para ydt pode ser descrita por EXEMPLO 68 64 RESPOSTA DE SISTEMA LCIT A ENTRADAS PERIÓDICAS Um sinal periódico pode ser expresso como a soma de exponenciais de duração infinita ou senóides Também sa bemos como determinar a resposta de um sistema LCIT a uma exponencial de duração infinita Com essa informa ção podemos determinar facilmente a resposta de um sistema LCIT a entradas periódicas Um sinal periódico xt como período T0 pode ser descrito pela seguinte série exponencial de Fourier CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 563 De forma usual podemos calcular os coeficientes Cn os quais são iguais a an integrando ydt cos nω0t em um ciclo e então dividindo por 2T0 Como ydt possui simetria par podemos determinar an integrando a expressão em meio período usando a Eq 618b O cálculo direto da integral resulta em Calculando os coeficientes C1 C2 C3 dessa expressão podemos escrever CÁLCULO DA DISTORÇÃO HARMÔNICA Podemos calcular o total da distorção harmônica no sinal de saída calculando a potência da componente de distorção ydt Como ydt é uma função par de t e como a energia no primeiro meio período é igual a ener gia no segundo meio período podemos calcular a potência determinando a média da energia em um quarto de ciclo Logo A potência do sinal desejado 10 cos nω0t é 10 22 50 Logo a distorção harmônica total é A potência da componente de terceiro harmônico de ydt é 0733 22 02686 A distorção do terceiro harmônico é Além disso ydt possui uma simetria de meia onda veja o Prob 615 na qual o segundo meio período é o negativo do primeiro Devido a essa característica todas as harmônicas pares desaparecem e as harmônicas ímpares podem ser calculadas integrando as expressões apropria da em apenas meio período de T04 a T04 e dobrando os valores resultantes Além disso devido à simetria par podemos integrar as ex pressões apropriadas de 0 a T04 em vez de T04 a T04 dobrando os valores resultantes Em resumo essas características nos permitem calcular Cn integrando a expressão em apenas um quarto de período e então quadruplicando os valores resultantes Portanto Na literatura a distorção harmônica se refere à distorção rms em vez da distorção de potência Os valores rms são a raiz quadrada das potências correspondentes Portanto a distorção de terceiro harmônico nesse sentido é Alternativa mente também podemos calcular esse valor diretamente das amplitudes do terceiro harmônico 0733 e da amplitude da fundamental de 10 A razão dos valores rms é e a distorção percentual é 733 Um retificador de onda completa Fig 616a é utilizado para obter um sinal cc de uma senóide sen t O si nal retificado xt mostrado na Fig 614 é aplicado à entrada de um filtro passabaixas RC o qual suprime a componentes variante no tempo resultando na componente cc com algum ripple residual Determine a saí da yt do filtro Determine também a saída cc e o valor rms da tensão de ripple Figura 616 a Retificador de onda completa com filtro passabaixa e b sua saída EXEMPLO B1 Na Seção 48 mostramos que a resposta de um sistema LCIT com função de transferência Hs a uma entra da exponencial de duração infinita e jωt é a exponencial de duração infinita Hjωe jωt Esse par entradasaída po de ser mostrado por Portanto a partir da propriedade da linearidade 642 A resposta yt é obtida na forma de uma série exponencial de Fourier e portanto é um sinal periódico com mesmo período da entrada Iremos demonstrar a utilidade desses resultados através do exemplo a seguir 564 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esse resultado só pode ser aplicado a sistemas assintoticamente estáveis porque quando s jω a integral do lado direito da Eq 248 não converge para sistemas instáveis Além disso para sistemas marginalmente estáveis a integral não converge no sentido ordinário e Hjω não pode ser obtido de Hs substituindo s por jω CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 565 Primeiro determinamos a série de Fourier para o sinal retificado xt cujo período é T0 π Conseqüente mente ω0 2 e na qual 643 Portanto A seguir determinar a função de transferência do filtro RC da Fig 616a Esse filtro é idêntico ao circui to RC do Exemplo 111 Fig 135 para o qual a equação diferencial que relaciona a saída tensão do capa citor com a entrada xt foi determinada como sendo Eq 160 A função de transferência Hs para este sistema foi determina da Eq 250 como sendo e 644 A partir da Eq 642 a saída yt do filtro pode ser descrita por com ω0 2 Substituindo Dn e Hj2n das Eqs 643 e 644 na equação anterior obtemos 645 Note que a saída yt também é um sinal periódico dado pela série exponencial de Fourier do lado direi to A saída é calculada numericamente usando a Eq 645 e mostrada na Fig 616b O coeficiente da série de Fourier de saída correspondente a n 0 é a componente cc da saída dada por 2π Os termos restantes da série de Fourier constituem a componente indesejada chamada de ripple Pode mos determinar o valor rms da tensão de ripple usando a Eq 641 para determinar a potência da compo nente de ripple A potência do ripple é a potência de todas as componentes exceto a cc n 0 Note que o coeficiente exponencial de Fourier para a saída yt é Portanto a partir da Eq 641b temos O cálculo numérico dessa equação resulta em Pripple 00025 e o valor rms é 005 Ou seja a tensão rms de ripple é 5 da amplitude da senóide de entrada POR QUE UTILIZAR EXPONENCIAIS A série exponencial de Fourier é somente outra forma de representar a série trigonométrica de Fourier ou vice versa As duas formas possuem a mesma informação nada a mais nada a menos As razões para preferir a for ma exponencial já foram mencionadas esta é forma mais compacta e a expressão para a determinação dos coefi cientes exponenciais também é mais compacta do que as equações para a série trigonométrica Além disso a res posta de sistemas LCIT a sinais exponenciais também é mais simples mais compacta do que a resposta do sis tema a senóides A forma exponencial se mostra mais fácil do que a forma trigonométrica para ser matematica mente manipulada e opera tão bem na área de sinais quanto de sistemas Acrescentando a isso a representação exponencial é mais conveniente para a análise de xt complexo Por essas razões em nossas futuras discussões iremos utilizar exclusivamente a forma exponencial Uma pequena desvantagem da forma exponencial é que ela não pode ser visualizada de forma tão fácil quanto senóides Para a compreensão intuitiva e qualitativa as senóides possuem vantagem sobre exponenciais Felizmen te esta dificuldade pode ser superada facilmente devido a forte conexão entre exponencial e o espectro de Fourier Para o propósito de análise matemática podemos continuar utilizando sinais e espectro exponenciais mas para compreender a situação física intuitivamente ou qualitativamente devemos falar em termos de senóides e espec tro trigonométrico Portanto apesar de toda manipulação matemática ser feita em termos de espectro exponencial podemos falar de exponenciais e senóides alternativamente quando discutimos intuitivamente e qualitativamente pontos específicos na tentativa de compreendermos as situações físicas Esse é um ponto importante O leitor deve fazer um esforço extra para se familiarizar com as duas formas de espectro suas relações e conversões PERSONALIDADE DUAL DE UM SINAL A discussão até este momento mostrou que um sinal periódico possui uma personalidade dual o domínio do tempo e o domínio da freqüência Ele pode ser descrito por sua forma de onda ou por seu espectro de Fourier As descrições no domínio do tempo e no domínio da freqüência fornecem informações complementares sobre o sinal Para uma análise mais profunda precisamos entender as duas identidades É importante aprender a pensar em um sinal nas duas perspectivas No próximo capítulo iremos ver que sinais não periódicos também possuem esta per sonalidade dual Além disso iremos ver que mesmo sistemas LIT possuem essa personalidade dual a qual ofere ce informações complementares do comportamento do sistema LIMITAÇÕES DO MÉTODO DE ANÁLISE POR SÉRIE DE FOURIER Desenvolvemos um método de representação de um sinal periódico pela soma ponderada de exponenciais de du ração infinita cujas freqüências estão ao longo do eixo jω no plano s Esta representação série de Fourier é va liosa em várias aplicações Entretanto enquanto ferramenta de análise de sistemas lineares ela possui sérias li mitações e conseqüentemente possui utilidade limitada pelas seguintes razões 1 A série de Fourier pode ser utilizada apenas para entradas periódicas Todas as entrada práticas são não periódicas lembrese que um sinal periódico começa em t 2 O método de Fourier pode ser aplicado facilmente a sistemas BIBO estáveis ou assintoticamente está veis Ele não trabalha com sistemas instáveis ou marginalmente estáveis A primeira limitação pode ser superada representando um sinal não periódico em termos de exponenciais de du ração infinita Essa representação pode ser obtida através da integral de Fourier a qual pode ser considerada como uma extensão da série de Fourier Iremos portanto utilizar a série de Fourier como pedra fundamental para a inte gral de Fourier desenvolvida no próximo capítulo A segunda limitação pode ser superada usando exponenciais e st na qual s não é restrito ao eixo imaginário podendo assumir valores complexos Essa generalização leva à integral de Laplace discutida no Capítulo 4 a transformada de Laplace 65 SÉRIE DE FOURIER GENERALIZADA SINAIS COMO VETORES Iremos considerar agora uma abordagem genérica para a representação de sinais com conseqüências de lon go alcance Existe uma analogia perfeita entre sinais e vetores A analogia é tão forte que o termo analogia não faz jus à situação Sinais não são simplesmente parecidos com vetores Sinais são vetores Um vetor po 566 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esta seção segue o material do livro anterior do autor 10 A omissão desta seção não irá causar nenhuma descontinuidade na compreen são do resto do livro A obtenção da série de Fourier através da analogia sinalvetor possibilita uma interessante análise da representa ção de sinais e outros tópicos como correlação de sinal truncagem de dados e detecção de sinais de ser representado como a soma de suas componentes de diversas formas dependendo da escolha do siste ma de coordenadas Vamos começar com alguns conceitos básicos sobre vetores e então aplicaremos esses conceitos a sinais 651 Componente de um Vetor Um vetor é especificado por sua magnitude e sua direção Iremos representar vetores em negrito Por exemplo x é um certo vetor com magnitude ou comprimento x Para os dois vetores x e y mostrados na Fig 617 defi nimos seu produto interno ou escalar por 646 na qual θ é o ângulo entre os vetores Usando essa definição podemos expressar x o comprimento do vetor x por 647 Seja a componente de x ao longo de y ser cy como mostrado na Fig 617 Geometricamente a componente de x ao longo de y é a projeção de x em y sendo obtida desenhando uma linha perpendicular da ponta de x até o ve tor y como ilustrado na Fig 617 Qual é o significado matemático da componente de um vetor ao longo de outro vetor Como visto na Fig 617 o vetor x pode ser descrito em termos do vetor y por 648 Entretanto essa não é a única forma de expressar x em termos de y Da Fig 618 a qual mostra duas de ou tras infinitas possibilidades temos 649 Em cada uma dessas três representações x é representado em termos de y mais outro vetor chamado de ve tor de erro Se aproximarmos x por cy 650 O erro na aproximação é o vetor e x cy Similarmente os erros nas aproximações nessas figuras são e1 Fig 618a e e2 Fig 618b O que é único com relação a aproximação da Fig 617 é que o vetor de erro é o menor Podemos definir dessa forma matematicamente a componente de um vetor x ao longo do vetor y como sendo cy na qual c é escolhido para minimizar o tamanho do vetor erro e x cy Agora o tamanho da com ponentes de x ao longo do vetor y é x cos θ Mas também é cy como visto na Fig 617 Portanto CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 567 Figura 617 Componente projeção de um vetor ao longo de outro vetor Figura 618 Aproximação de um vetor em termos de outro vetor Multiplicando os dois lados por y Portanto 651 A partir da Fig 617 fica aparente que quando x e y são perpendiculares ou ortogonais então x possui com ponente zero ao longo de y Conseqüentemente c 0 Tendo a Eq 651 em mente definimos dessa forma x e y como sendo ortogonais se o produto interno ou escalar dos dois vetores for zero ou seja se 652 652 Comparação de Sinal e Componente de Sinal O conceito de componente de vetor e ortogonalidade pode ser estendido a sinais Considere o problema de apro ximação de um sinal real xt em termos de outro sinal real yt em um intervalo t1 t2 653 O erro et da aproximação é 654 Selecionamos agora um critério para a melhor aproximação Sabemos que a energia do sinal é uma possível medida do tamanho do sinal Para uma melhor aproximação iremos utilizar o critério que minimi za o tamanho ou energia do sinal de erro et dentro do intervalo t1 t2 Essa energia Ee é dada por Note que o lado direito é uma integral definida com t como variável de integração Logo Ee é uma função do parâmetro c e não t e Ee será mínima para alguma escolha de c Para minimizar Ee uma condição necessária é 655 ou Expandindo o termo quadrático dentro da integral obtemos A partir da qual temos e 568 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 656 Podemos observar uma incrível semelhança entre o comportamento de vetores e sinais indicada pelas Eqs 651 e 656 Fica evidente a partir dessas duas expressões paralelas que a área sob o produto de dois sinais corresponde ao produto interno ou escalar de dois vetores De fato a área sob o produto de xt e yt é cha mada de produto interno de xt e yt sendo representada por x y A energia do sinal é o produto interno do próprio sinal e corresponde ao quadrado do tamanho do vetor o qual é o produto interno do vetor com ele mesmo Para resumir nossa discussão se um sinal xt é aproximado por outro sinal yt por então o valor ótimo de c que minimiza a energia do sinal de erro na aproximação é dado pela Eq 656 Aproveitando a similaridade com vetores dizemos que o sinal xt contém a componente cyt na qual c é dada pela Eq 656 Note que na terminologia de vetor cyt é a projeção de xt em yt Continuando com a analogia dizermos que se a componente de um sinal xt na forma yt é zero ou seja c 0 os sinais xt e yt são ortogonais para o intervalo t1 t2 Portanto definimos que os sinais reais xt e yt são ortogonais no intervalo t1 t2 se 657 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 569 Para o sinal quadrado xt mostrado na Fig 619 determine a componente em xt na forma sen t Em outras palavras aproxime xt em termos de sen t tal que a energia do sinal de erro seja mínima Figura 619 Aproximação de um sinal quadrado em termos de uma única senóide Neste caso A partir da Eq 656 obtemos EXEMPLO 610 Para sinais complexos a definição é modificada como na Eq 665 na Seção 653 653 Extensão para Sinais Complexos Até este momento nos restringimos a funções reais de t Para generalizar o resultado para funções complexas de t considere novamente o problema de aproximação de um sinal xt pelo sinal yt no intervalo t1 t t2 660 na qual xt e yt agora podem ser funções complexas de t Lembre que a energia Ey de um sinal complexo yt no intervalo t1 t2 é Nesse caso tanto o coeficiente c e o erro 661 são complexos geralmente Para a melhor aproximação escolhemos c tal que Ee a energia do sinal de erro seja mínima Agora 662 Lembrese de que 663 Após alguma manipulação podemos usar esse resultado para reorganizar a Eq 662 como Como os dois primeiros termos do lado direito são independentes de c fica evidente que Ee é minimizada es colhendo c tal que o terceiro termo do lado direito seja zero resultando em 664 570 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 658 Portanto 659 representa a melhor aproximação de xt pela função sen t a qual irá minimizar a energia do erro Essa com ponente senoidal de xt é mostrada sombreada na Fig 619 Pela analogia com vetores dizemos que a fun ção quadrada xt mostrada na Fig 619 possui a componente de sinal sen t e que a magnitude dessa compo nente é 4π EXERCÍCIO E67 Mostre que para um intervalo π t π a melhor aproximação do sinal xt t em termos da função sen t é 2 sen t Verifique que o sinal de erro et t 2 sen t é ortogonal como o sinal sen t no intervalo π t π Trace os sinais t e 2 sen t no intervalo π t π À luz desse resultado precisamos redefinir a ortogonalidade para o caso complexo da seguinte forma duas funções complexas x1t e x2t são ortogonais no intervalo t1 t t2 se 665 Qualquer uma das igualdades é suficiente Essa é a definição geral para ortogonalidade a qual se reduz para a Eq 657 quando as funções são reais ENERGIA DA SOMA DE SINAIS ORTOGONAIS Sabemos que o quadrado do tamanho da soma de dois vetores ortogonais é igual à soma do quadrado do tama nho dos dois vetores Portanto se os vetores x e y forem ortogonais e se z x y então Temos um resultado similar para sinais A energia da soma de dois sinais ortogonais é igual à soma das ener gias dos dois sinais Portanto se os sinais xt e yt são ortogonais em um intervalo t1 t2 e se zt xt yt então 666 Iremos provar esse resultado para sinais complexos dos quais os sinais reais são um caso especial A partir da Eq 663 temos que 667 O último resultado segue diretamente do fato de que devido à ortogonalidade as duas integrais dos produ tos xty t e x tyt são zero Veja a Eq 665 Esse resultado pode ser estendido para a soma de qualquer número de sinais mutuamente ortogonais 654 Representação de Sinais por um Conjunto de Sinais Ortogonais Nesta seção iremos mostrar uma forma de representar um sinal pela soma de sinais ortogonais Novamente ire mos nos beneficiar da informação obtida de um problema similar com vetores Sabemos que um vetor pode ser representado pela soma de vetores ortogonais os quais formam um sistema de coordenadas de um espaço veto rial O problema em sinais é análogo e o resultado para sinais é similar ao para vetores Portanto vamos rever o caso de representação vetorial ESPAÇO VETORIAL ORTOGONAL Vamos investigar um espaço vetorial Cartesiano tridimensional descrito por três vetores mutuamente ortogo nais x1 x2 e x3 como ilustrado na Fig 620 Primeiro iremos buscar a aproximação de um vetor tridimensional x em termos de dois vetores mutuamente ortogonais x1 e x2 EXERCÍCIO E68 Mostre que para o intervalo 0 t 2π a melhor aproximação do sinal quadrado xt da Fig 619 em termos do sinal e jt é dada por 2jπe jt Verifique que o sinal de erro et xt 2jπe jt é ortogonal com o sinal e jt CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 571 O erro e desta aproximação é ou Tal como no argumento geométrico anterior vemos na Fig 620 que o tamanho de e é mínimo quando e é perpendicular ao plano x1 x2 e c1x1 e c2x2 são as projeções componentes de x em x1 e x2 respectivamente Portanto as constantes c1 e c2 são dadas pela Eq 651 Observe que o vetor erro é ortogonal aos vetores x1 e x2 Vamos determinar agora a melhor aproximação de x em termos dos três vetores mutuamente ortogonais x1 x2 e x3 668 A Fig 620 mostra que uma única escolha de c1 c2 e c3 existe para a qual a Eq 668 não é mais uma apro ximação mas uma igualdade 669 Neste caso c1x1 c2x2 e c3x3 são as projeções componentes de x em x1 x2 e x3 respectivamente ou seja 670a 670b Note que o erro na aproximação é zero quando x é aproximado em termos de três vetores mutuamente or togonais x1 x2 e x3 A razão é que x é um vetor tridimensional e os vetores x1 x2 e x3 representam um con junto completo de vetores ortogonais no espaço tridimensional O termo completo neste caso significa que é impossível obter outro vetor x4 nesse espaço o qual será ortogonal com todos os três vetores x1 x2 e x3 Qualquer vetor nesse espaço pode ser representado com erro zero em termos destes três vetores Tais veto res são conhecidos como vetores de base Se um conjunto de vetores xi não é completo o erro na aproxi mação geralmente não será zero Portanto no caso tridimensional discutido anteriormente geralmente não é possível representar um vetor x em termos de apenas dois vetores base sem um erro A escolha dos vetores de base não é única De fato um conjunto de vetores base corresponde a uma escolha particular do sistema de coordenadas Portanto um vetor tridimensional x pode ser representado por diferentes formas dependendo do sistema de coordenadas utilizado 572 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 620 Representação de um vetor em um espaço tridimensional ESPAÇO DE SINAL ORTOGONAL Iniciamos primeiro com sinais reais e então iremos estender a discussão para sinais complexos Iremos pros seguir em nosso problema de aproximação de sinal usando as dicas e informações desenvolvidas para aproxi mação de vetores Como antes definimos a ortogonalidade de um conjunto de sinais reais x1t x2t xNt no intervalo t1 t2 como 671 Se as energias En forem iguais a 1 para todo n então o conjunto estará normalizado e será chamado de con junto ortonormal Um conjunto ortogonal pode sempre ser normalizado dividindo xnt por para todo n Considere agora a aproximação de um sinal xt no intervalo t1 t2 por um conjunto de N sinais reais mu tuamente ortogonais x1t x2t xNt dada por 672a 672b Na aproximação das Eqs 672 o erro et é 673 e Ee a energia do sinal de erro é 674 De acordo com nosso critério para melhor aproximação selecionamos os valores de ci que minimizam Ee Logo a condição necessária é para i 1 2 N ou seja 675 Quando expandimos o integrando determinamos que todos os termos de multiplicação cruzada dos sinais or togonais são zero em virtude da ortogonalidade ou seja todos os termos na forma xmtxnt dt com m n de saparecem Similarmente a derivada com relação a ci de todos os termos que não contém ci é nula Para cada i teremos apenas dois termos não nulos na Eq 675 ou Portanto 676a CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 573 676b A comparação das Eqs 676 com as Eqs 670 forçosamente traz à tona a analogia de sinais e vetores Propriedade da determinação A Eq 676 mostra uma propriedade interessante dos coeficientes c1 c2 cN O valor ótimo de qualquer coeficiente na aproximação 672a é independente do número de termos utilizados na aproximação Por exemplo se utilizarmos apenas um termo N 1 ou dois termos N 2 ou qualquer nú mero de termos o valor ótimo do coeficiente c1 será o mesmo dado pela Eq 676 A vantagem dessa aproxi mação do sinal xt por um conjunto de sinais mutuamente ortogonais é que podemos continuar adicionando ter mos à aproximação sem perturbar os termos anteriores Essa propriedade de determinação dos valores dos coe ficientes é muito importante do ponto de vista prático ENERGIA DO SINAL DE ERRO Quando os coeficientes ci da aproximação 672 são escolhidos de acordo com as Eqs 676 a energia do si nal de erro na aproximação 672 é minimizada Este valor mínimo de Ee é dado pela Eq 674 Substituindo as Eqs 671 e 676 nessa equação obtemos 677 Observe que como o termo ck 2Ek é não negativo a energia Ee do erro geralmente decresce quando N o número de termos é aumentado Logo é possível que a energia do erro 0 quando N Quando isso acontece o conjun to de sinais ortogonal é dito completo Neste caso a Eq 672b não é mais uma aproximação mas uma igualdade 678 574 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Compare essa situação com a aproximação polinomial de xt Suponha que precisemos determinar uma aproximação de dois pontos de xt por um polinômio em t ou seja o polinômio é igual a xt em dois pontos t1 e t2 Essa aproximação pode ser obtida escolhendo um polinômio de primeira ordem a0 a1t com A solução dessas equações resulta nos valores desejados de a0 e a1 Para uma aproximação de três pontos devemos escolher o polinô mio a0 a1t a2t 2 com A aproximação melhora para uma quantidade maior de pontos polinômio de mais alta ordem mas os coeficientes a0 a1 a2 não possuem a propriedade da determinação Toda vez que aumentarmos o número de termos no polinômio teremos que recalcular os coe ficientes na qual os coeficientes cn são dados pela Eq 676b Como a energia do sinal de erro aproximase de zero temos que a energia de xt é igual à soma das energias de suas componentes ortogonais c1x1t c2x2t c3x3t A série do lado direito da Eq 678 é chamada de série de Fourier generalizada de xt com respeito ao con junto xnt Quando o conjunto xnt é tal que a energia do erro Ee 0 quando N para qualquer mem bro de uma classe particular dizemos que o conjunto xnt é completo em t1 t2 para a classe xt e o conjun to xnt é chamado de funções de base ou sinais de base A não ser que seja mencionado o contrário no futu ro iremos considerar apenas a classe de sinais de energia Portanto quando o conjunto xnt é completo temos a igualdade 678 Um ponto sutil que deve ser com pletamente entendido é o significado da igualdade 678 A igualdade nesse caso não é uma igualdade no sen tido ordinário mas no sentido de que a energia do erro ou seja a energia da diferença entre os dois lados da Eq 678 aproximase de zero Se a igualdade existir no sentido ordinário a energia do erro é sempre zero mas o inverso não é necessariamente verdadeiro A energia do erro pode se aproximar de zero mesmo quando et a diferença entre os dois lado não for zero em alguns instantes isolados A razão é que mesmo se et for não nu lo em alguns instantes a área sob e 2t ainda será zero Portanto a série de Fourier do lado direito da Eq 678 pode ser diferente de xt para um número finito de pontos Na Eq 678 a energia do lado esquerdo é Ex e a energia do lado direito é a soma das energia de todas as componentes ortogonais Portanto 679 Esse é o teorema de Parseval aplicado a sinais de energia Nas Eqs 640 e 641 já encontramos a for ma do teorema de Parseval adequado para sinais de potência Lembrese de que a energia do sinal área sob o valor quadrado do sinal é análoga ao quadrado do comprimento de um vetor na analogia vetorsinal No es paço vetorial sabemos que o quadrado do comprimento de um vetor é igual à soma do quadrado dos compri mentos de suas componentes ortogonais O teorema de Parseval da Eq 679 é o enunciado desse fato apli cado a sinais GENERALIZAÇÃO PARA SINAIS COMPLEXOS Os resultados anteriores podem ser generalizados para sinais complexos da seguinte maneira Um conjunto de função x1t x2t xNt é mutuamente ortogonal no intervalo t1 t2 se 680 Se esse conjunto for completo para uma certa classe de funções então a função xt nessa classe pode ser des crita por 681 na qual 682 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 575 Observe que a energia do sinal cxt é c 2Ex 576 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Iremos considerar novamente o sinal quadrado xt da Fig 619 No Exemplo 610 esse sinal foi aproxima do por uma única senóide sen t Na realidade o conjunto sen t sen 2t sen nt é ortogonal em qualquer intervalo de duração 2π O leitor pode verificar esse fato mostrando que para qualquer número real a 683 Vamos aproximar o sinal quadrado da Fig 619 usando esse conjunto e veremos como a aproximação me lhora com o aumento do número de termos na qual 684 Portanto 685 Observe que os coeficientes dos termos sen kt são zero para valores pares de k A Fig 621 mostra como a aproximação melhora quando aumentamos o número de termos na série Vamos investigar a energia do si nal de erro quando N A partir da Eq 677 Observe que e da Eq 683 Esse conjunto de seno juntamente com o conjunto de cosseno cos 0t cos t cos 2t cos nt forma um conjunto completo Neste ca so entretanto os coeficientes ci correspondentes aos termos em cosseno são zero Por essa razão omitimos os termos em cosseno nes te exemplo Esse conjunto composto por seno e cosseno é o conjunto de base para a série trigonométrica de Fourier EXEMPLO 611 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 577 Portanto Para uma aproximação com um único termo N 1 Para uma aproximação de dois termos N 3 A Tabela 63 mostra a energia Ee do erro para vários valores de N Claramente xt pode ser representado pela série infinita 686 A igualdade existe no sentido de que a energia do sinal de erro 0 quando N Neste caso a ener gia do erro diminui lentamente com N indicando que a série converge lentamente Essa característica é es perada porque xt possui saltos de descontinuidade e conseqüentemente de acordo com a discussão da Se ção 622 a série converge assintoticamente com 1n Figura 621 Aproximação do sinal quadrado pela soma de senóides 578 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Tabela 63 Figura 621 Continuação EXERCÍCIO E69 Aproxime o sinal xt t π Fig 622 no intervalo 0 2π em termos do conjunto de senóides sen nt n 0 1 2 utilizado no Exemplo 611 Determine Ee a energia do erro Mostre que Ee 0 quando N Figura 622 ALGUNS EXEMPLOS DA SÉRIE DE FOURIER GENERALIZADA Sinais são vetores em todos os sentidos Tal como um vetor um sinal pode ser representado pela soma de suas componentes de diversas formas Tal como um sistema coordenado de vetor é formado por vetores mutuamen te ortogonais retangular cilíndrico esférico também temos um sistema coordenado de sinal sinais de base formado por uma variedade de conjuntos de sinais mutuamente ortogonais Existe um grande número de con juntos de sinais ortogonais que pode ser utilizado como base para sinais para a série de Fourier generalizada Al guns conjuntos de sinais conhecidos são funções trigonométricas senóides funções exponenciais Funções de Walsh Funções de Bessel Polinômios de Legendre funções de Laguerre polinômios Jacobianos polinômios de Hermite e polinômios de Chebyshev As funções de maior interesse neste livro são os conjuntos trigonomé tricos e exponenciais discutidos anteriormente neste capítulo SÉRIE LEGENDRE DE FOURIER Um conjunto de polinômio de Legendre Pnt n 0 1 2 3 forma um conjunto completo de funções mutua mente ortogonais no intervalo 1 t 1 Esses polinômios podem ser definidos pela fórmula de Rodrigues Dessa equação temos e assim por diante Podemos verificar a ortogonalidade desses polinômios mostrando que 687 Dessa forma podemos expressar a função xt em termos de polinômios de Legendre no intervalo 1 t 1 por 688 na qual 689 Observe que apesar da representação da série ser válida no intervalo 1 1 ela pode ser estendida para qual quer intervalo aplicando o escalamento temporal apropriado veja o Prob 658 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 579 RESPOSTA SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER Já provamos veja a Eq 67 que o conjunto de sinais trigonométricos 691 580 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Vamos considerar o sinal quadrado mostrado na Fig 623 Essa função pode ser representada pela série de Fourier de Legendre Figura 623 Os coeficientes c0 c1 c2 cr podem ser obtidos da Eq 689 Temos que e Esse resultado é obtido diretamente do fato de que o integrando é uma função ímpar de t De fato isso é válido para todo cr para valores pares de r ou seja Além disso De forma semelhante os coeficientes c5 c7 podem ser calculados Dessa forma obtemos 690 EXEMPLO 612 é ortogonal para qualquer intervalo de duração T0 no qual T0 1f0 é o período da senóide de freqüência f0 Es se é um conjunto completo para uma classe de sinais com energia finita 11 12 Portanto podemos expressar o si nal xt pela série trigonométrica de Fourier em um intervalo de duração T0 segundos por ou 692a na qual 692b Podemos utilizar a Eq 676 para determinar os coeficientes de Fourier a0 an e bn Portanto 693 A integral do denominador da Eq 693 já foi determinada como sendo igual a T02 quando n 0 Eq 67a com m n Para n 0 o denominador é T0 Logo 694a e 694b Similarmente temos que 694c Observe que a série de Fourier na Eq 685 do Exemplo 611 realmente é a série trigonométrica de Fourier com T0 2π e ω0 2πT0 Nesse exemplo particular é fácil verificar nas Eqs 694a e 694b que an 0 para todo n incluindo n 0 Logo a série de Fourier no exemplo é constituída somente por termos em seno SÉRIE EXPONENCIAL DE FOURIER Como mostrado na nota de rodapé da página 624 o conjunto de exponenciais e jω0t n 0 1 2 é um con junto de funções ortogonais em qualquer intervalo de duração T0 2πω0 Qualquer sinal arbitrário xt pode ser descrito no intervalo t1 t1 T0 por 695a na qual veja a Eq 682 695b CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 581 POR QUE UTILIZAR O CONJUNTO EXPONENCIAL Se xt pode ser representado em termos de centenas de conjuntos ortogonais diferentes porque utilizamos exclusivamente o conjunto exponencial ou trigonométrico para a representação de sinais ou sistemas LIT Acontece também que o sinal exponencial é uma autofunção de sistemas LIT Em outras palavras para um sistema LIT apenas a entrada exponencial e st resulta em uma resposta que também é uma exponencial de mesma forma dada por H se st O mesmo é válido par ao conjunto trigonométrico Esse fato faz com que a utilização de sinais exponenciais seja a escolha natural para sistemas LIT no sentido de que a análise de sis temas usando exponenciais como sinais de base é muito simplificada 66 DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE Dn Podemos determinar Dn numericamente usando a TDF a transformada discreta de Fourier discutida na Seção 85 a qual utiliza as amostras em um período de um sinal periódico xt O intervalo de amostragem é T segun dos Logo existirão N0 T0T amostras em um período T0 Para determinar a relação entre Dn e as amostras de xt considere a Eq 629b 696 na qual xkT é a késima amostra de xt e 697 Na prática é impossível fazer T 0 na determinação do lado direito da Eq 696 Podemos tornar T peque no mas nunca zero o que faria com que os dados aumentassem sem limite Portanto iremos ignorar o limite em T da Eq 696 com o entendimento implícito de T ser razoavelmente pequeno T não nulo irá resultar em algum erro computacional o qual é inevitável em qualquer determinação numérica de uma integral O erro resultante de T não nulo é chamado de erro de aliasing o qual será discutido com mais detalhes no Capítulo 8 Portanto podemos expressar a Eq 696 por 698a Agora da Eq 697 Ω0N0 2π Logo e jnΩ0k N0 e jnΩ0k e a partir da Eq 698a temos que 698b A propriedade da periodicidade Dn N0 Dn significa que além de n N02 os coeficientes representam os valores para n negativo Por exemplo quando N0 32 D17 D15 D18 D14 D31 D1 O ciclo se repete no vamente para n 32 em diante Podemos utilizar a eficiente FFT a Transformada Rápida de Fourier discutida na Seção 86 para calcu lar o lado direito da Eq 698b Utilizaremos o MATLAB para implementar o algoritmo de FFT Para isso precisaremos de amostras de xt em um período começando em t 0 Nesse algoritmo é preferível mas não necessário que N0 seja uma potência de 2 ou seja que N0 2 m na qual m é um inteiro 582 SINAIS E SISTEMAS LINEARES CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 583 EXEMPLO DE COMPUTADOR C64 Calcule numericamente e trace o espectro trigonométrico e exponencial de Fourier para o sinal periódico da Fig 62a Exemplo 61 As amostras de xt começam em t 0 e a última N0ésima amostra está em t T0 T Nos pontos de des continuidade o valor da amostra é considerado como sendo a média dos valores da função nos dois lados da descontinuidade Portanto a amostra em t 0 não é 1 mas e π2 12 0604 Para definir N0 precisa mos que Dn para n N02 seja negligenciável Como xt possui uma descontinuidade Dn decai lentamente em função de 1n Logo a escolha de N0 200 é aceitável porque a N02ésima harmônica harmônica 100 é 1 da fundamental Entretanto precisamos que N0 seja uma potência de 2 Logo iremos considerar N0 256 2 8 Inicialmente os parâmetros básicos são estabelecidos A seguir a DFT calculada usando a função fft é utilizada para aproximar o espectro exponencial de Fourier para M n M O espectro trigonométrico de Fourier aproximado para 0 n M é obtido imediatamente por Figura C64 67 RESUMO Neste capítulo mostramos como um sinal periódico pode ser representado pela soma de senóides ou exponen ciais Se a freqüência de um sinal periódico é f0 então ele pode ser descrito pela soma ponderada de senóides de freqüência f0 e suas harmônicas série trigonométrica de Fourier Podemos reconstruir um sinal periódico a par tir do conhecimento das amplitudes e fases dessas componentes senoidais espectro de amplitude e fase Se um sinal periódico xt possui simetria par sua série de Fourier contém apenas termos em cosseno in cluindo cc Por outro lado se xt possui simetria ímpar sua série de Fourier conterá apenas termos em seno Se xt não tiver nenhum tipo de simetria sua série de Fourier conterá tanto termos em seno quanto em cosseno Nos pontos de descontinuidade a série de Fourier de xt converge para a média dos valores de xt dos dois lados da descontinuidade Para sinais com descontinuidades a série de Fourier converge na média e exibe o fe nômeno Gibbs nos pontos de descontinuidade O espectro de amplitude da série de Fourier para um sinal pe riódico xt com saltos de descontinuidade decai lentamente por 1n com a freqüência Nesse caso precisa mos de uma grande quantidade de termos da série de Fourier para aproximar xt com um dado erro Por outro lado o espectro de amplitude de um sinal periódico suave decai mais rapidamente com a freqüência e precisa remos de uma pequena quantidade de termos da série para aproximar xt com um dado erro Uma senóide pode ser descrita em termos de exponenciais Portanto a série de Fourier de um sinal perió dico também pode ser descrita pela soma de exponenciais série exponencial de Fourier A forma exponen cial da série de Fourier e as expressões para os coeficientes da série são mais compactas do que aquelas para a série trigonométrica de Fourier Além disso as respostas de sistemas LCIT a entrada exponencial é muito mais simples do que para entrada senoidal Acrescentando a esses fatos a forma exponencial de representa ção possibilita uma melhor manipulação matemática do que a forma trigonométrica Por essas razões a for ma exponencial da série é preferida em áreas atuais de sinais e sistemas Os gráficos de amplitude e fase de várias componentes exponenciais da série de Fourier em função da fre qüência são o espectro exponencial de Fourier espectro de amplitude e ângulo do sinal Como a senóide cos ω0t pode ser representada pela soma de duas exponenciais e jω0t e e jnω0t as freqüências no espectro exponen cial variam de ω a Pela definição a freqüência de um sinal é sempre uma grandeza positiva A pre sença de uma componente espectral de freqüência negativa nω0 simplesmente indica que a série de Fourier contém termos da forma e jω0t O espectro da série trigonométrica e exponencial de Fourier possuem uma for te relação e um pode ser obtido do outro por inspeção Na Seção 65 discutimos um método de representação de sinais pela série de Fourier generalizada da qual as séries trigonométrica e exponencial de Fourier são casos especiais Sinais são vetores em todos os sentidos Tal como um vetor pode ser representado pela soma de suas componentes por diversas formas dependendo da escolha do sistema coordenado um sinal pode ser representado pela soma de suas componentes de diversas formas das quais a série de Fourier trigonométrica e exponencial são apenas dois exemplos Tal como temos um sistema coordenado de vetores formado por vetores mutuamente ortogonais também temos um sistema coordenado de sinais sinais de base formado por sinais mutuamente ortogonais Qualquer sinal nesse espaço de sinal pode ser representado pela soma de sinais de base Casa conjunto de sinais de base resulta em uma re presentação particular de série de Fourier do sinal O sinal é igual à sua série de Fourier não no sentido ordi nário mas no sentido especial de que a energia da diferença entre o sinal e sua série de Fourier aproximase de zero Isso permite que o sinal seja diferente de sua série de Fourier em alguns pontos isolados REFERÊNCIAS 584 SINAIS E SISTEMAS LINEARES MATLAB Seção 6 Aplicações de Série de Fourier Pacotes computacionais tais como o MATLAB simplificam a análise projeto e síntese de sinais periódicos ba seada em Fourier O MATLAB permite cálculos rápidos e sofisticados com aplicação prática e possibilitando um melhor entendimento da série de Fourier M61 Funções Periódicas e Fenômeno Gibbs É suficiente definir qualquer função T0periódica no intervalo 0 t T0 Por exemplo considere a função de período 2π dada por Apesar de ser semelhante a uma onda quadrada xt possui uma subida linear com tempo largura A na qual 0 A π Quando A 0 xt aproximase da onda quadrada Quando A π xt aproximase de uma onda do tipo dente de serra No MATLAB o comando mod ajuda a representar funções periódicas tais como xt Algumas vezes referido como o resto de uma divisão modt 2pi retorna o valor t módulo 2π Pensan do de outra forma o operador mod desloca t adequadamente para 0 T0 intervalo no qual xt é conveniente mente definido Quando um objeto inline é uma função de múltiplas variáveis as variáveis são simplesmente lis tadas na ordem desejada após a expressão da função Os coeficientes da série exponencial de Fourier para xt veja o Prob 632 são dados por M61 Como xt é real Dn Dn Truncando a série de Fourier para n N resulta na aproximação M62 O programa MS6P1 utiliza a Eq M62 para calcular xNt para 0 N 100 cada componente em π4 t 2π π4 function xNt MS6P1A MS6P1m MATLAB Seção 6 Programa 1 Arquivom de função para aproximar xt usando série de Fourier truncada em n N para 0 N 100 Entradas A Tempo da borda de subida Saídas xN matriz de saída na qual xNN1 é n N t vetor de tempo para xN t linspacepi4 2pipi4 1000 vetor de tempo excedido em um período sumterms zeros101 lengtht préalocação de memória CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 585 Figura M61 Comparação entre x20t e xt usando A π2 sumterms1 2piA4pi cálculo do termo CC for n 1100 calcula os N termos restantes Dn 12pinexpjnA1nA jexpjnpi sumterms1n realDnexpjnt conjDnexpjnt end xN cumsumsumterms Apesar de teoricamente não ser necessário o comando real garante que pequenos erros de arredondamen to dos cálculos não resultem em um valor complexo Para a matriz de entrada o comando cumsum faz uma so ma acumulativa a primeira linha de saída é idêntica à primeira linha de entrada a segunda linha de saída é igual à soma das primeiras duas linhas de entrada a terceira linha de saída é a soma das primeiras três linhas de en trada e assim por diante Portanto a linha N 1 de xN corresponde ao valor truncado da série exponencial de Fourier em n N Fazendo A π2 a Fig M61 compara xt e x20t Como esperado a borda de descida é acompanhada por um sobresinal que é característica do fenômeno Gibbs Aumentando N para 100 como mostrado na Fig M62 melhorase a aproximação mas o sobresinal não é reduzido A redução de A para π64 produz um resultado curioso Para N 20 tanto a borda de subida quando a de des cida é acompanhada por 9 aproximadamente de sobresinal como mostrado na Fig M63 Quando o núme 586 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura M62 Comparação entre x100t e xt usando A π2 ro de termos é aumentado o sobresinal permanece apenas na proximidade do salto de descontinuidade Para xNt aumentandose N diminuise o sobresinal próximo à borda de subida mas não próximo a borda de des cida Lembre que é um verdadeiro salto de descontinuidade que causa o efeito Gibbs Um sinal contínuo não importa quão rápida seja sua subida sempre pode ser representado pela série de Fourier em qualquer ponto den tro de um pequeno erro quando se aumenta N Isso não é o caso quando um verdadeiro salto de descontinuida de está presente A Fig M64 ilustra esse comportamento usando N 100 M62 Otimização e Espectro de Fase Apesar do espectro de magnitude tipicamente receber a maior parte da atenção o espectro de fase possui impor tância crítica em algumas aplicações Considere o problema de caracterização da resposta em freqüência de um sistema desconhecido Através da aplicação de senóides uma por vez a resposta em freqüência é empiricamen te medida um ponto por vez Esse processo é no mínimo tedioso A aplicação da superposição de várias senói des entretanto nos permite medir simultaneamente vários pontos da resposta em freqüência Tais medidas po dem ser feitas usando um analisador equipado com um modo de função de transferência ou aplicando técnicas de análise de Fourier as quais serão discutidas nos capítulos posteriores Um sinal multitom de teste mt é construído usando a superposição de N senóides reais M63 na qual Mn e θn estabelecem a magnitude e fase relativa de cada componente senoidal É interessante limitar to dos os ganhos de tal forma que Mn M para todo n Isso garante igual tratamento em cada ponto da resposta em freqüência medida Apesar do valor M normalmente ser escolhido para obtermos uma determinada potência do sinal faremos M 1 por conveniência CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 587 Figura M64 Comparação entre x100t e xt usando A π64 Figura M63 Comparação entre x20t e xt usando A π64 Apesar de não ser necessário é interessante também espaçar as componentes senoidais uniformemente em freqüência M64 Outra alternativa interessante a qual espaça as componentes logaritmicamente será tratada no Prob 6M1 A Eq M64 é agora uma série de Fourier truncada na forma compacta com espectro de magnitude pla no A resolução e faixa de freqüência são ajustadas por ω0 e N respectivamente Por exemplo uma faixa de 2 kHz com resolução de 100 Hz requer ω0 2π100 e N 20 A única incógnita restante é θn Apesar de ser tentador fazer θn 0 para todo n os resultados serão insatisfatórios O MATLAB ajuda a de monstrar o problema usando ω0 2π100 e N 20 senóides cada um com tensão de picoapico de um volt Como mostrado na Fig M65 θn 0 resulta em um efeito de soma de cada senóide O valor de 20 volts de pico pode saturar os componentes do sistema tais como amplificadores operacionais operando com 12 volts Para melhorar a performance do sinal a amplitude máxima de mt em todo t precisa ser reduzido Uma forma de reduzir maxt mt é reduzir M a força de cada componente Infelizmente essa aborda gem reduz a relação sinalruído do sistema e em última instância degrada a qualidade da medição Portanto a redução de M não é uma decisão inteligente A fase θn entretanto pode ser ajustada para reduzir maxt mt preservando a potência do sinal De fato como θn 0 maximiza maxt mt qualquer outra escolha de θn irá melhorar a situação Mesmo uma escolha aleatória deve melhorar a performance Tal como em qualquer computador o MATLAB não pode gerar números realmente aleatórios na realidade são gerados números pseudoaleatórios Números pseudoaleatórios são seqüências determinísticas que pare cem aleatórias Uma seqüência particular de números que é realizada depende inteiramente do estado inicial do gerador de número pseudoaleatório Ajustando o estado inicial do gerador para um valor conhecido permite um experimento aleatório com resultados que poderão ser reproduzidos O comando randstate 0 inicia liza o estado do gerador de número pseudoaleatório para uma condição de zero e o comando rand ab do MATLAB gera uma matriz a por b de números pseudoaleatórios que são uniformemente distribuídos no inter valo 0 1 Fases em radiano ocupam um intervalo mais amplo de 0 2π dessa forma os resultados de rand devem ser escalonados apropriadamente Usando θn aleatoriamente escolhido mt é calculado a magnitude máxima é identificada e os resultados são mostrados na Fig M66 588 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura M65 Sinal de teste mt com θn 0 Para um vetor de entrada o comando max retorna o valor máximo e o índice correspondente à primeira ocor rência desse valor máximo Similarmente apesar de não ter sido utilizado o comando min do MATLAB deter mina e localiza o valor mínimo O comando textabc anota na figura corrente o texto c na posição ab As facilidades do help do MATLAB descrevem as várias propriedades disponíveis para ajustar a aparência e o formato utilizado pelo comando text O comando leftarrow produz o símbolo Similarmente righ tarrow uparrow e downarrow produzem os símbolos respectivamente Fases escolhidas aleatoriamente sofrem de uma falha fatal existe pouca garantia de performance ótima Por exemplo repetindo o experimento com randstate1 teremos uma magnitude máxima de 91 volts co mo mostrado na Fig M67 Esse valor é significativamente maior do que o valor anterior de 72 volts Claramen te é melhor substituir a solução aleatória por uma solução ótima O que é ótimo Várias escolhas existem mas o critério de sinal desejado naturalmente sugere que a fase ótima minimize a magnitude máxima de mt para todo t Para determinar esta fase ótima o comando fminsearch do MATLAB é bastante útil Primeiro a função a ser minimizada chamada de função objetivo é definida A ordem do argumento inline é importante fminsearch utiliza o primeiro argumento de entrada como variável de minimização Para minimizar em θ como desejado θ deve ser o primeiro argumento da função ob jetivo maxmagm Figura M67 Sinal de teste mt com com θn aleatório determinado usando randstate1 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 589 Figura M66 Sinal de teste mt com θn aleatório determinado usando randstate0 A seguir o vetor tempo é reduzido para conter apenas um período de mt Um período completo garante que todos os valores de mt sejam considerados O tamanho reduzido de t aju da a garantir que a função seja executada rapidamente Qualquer valor inicial de θ é aleatoriamente escolhido para começar a busca Note que fminsearch tenta minimizar maxmagm para θ usando um valor inicial thetainit Várias técnicas numéricas de minimização são capazes de determinar apenas mínimos locais e fminsearch não é uma exceção Co mo resultado fminsearch nem sempre produz uma única solução Os colchetes vazios indicam que nenhuma op ção especial é necessária e os argumentos ordenados restantes são entradas secundárias da função objetivo Detalhes completos do formato de fminsearch estão disponíveis a partir das facilidades do help do MATLAB A Fig M68 mostra o sinal de teste com fase otimizada A magnitude máxima é reduzida para um valor de 54 volts o que representa uma significativa melhoria considerando o pico original de 20 volts Apesar dos sinais mostrados nas Figs M65 até M68 aparentemente serem diferentes todos eles possuem o mesmo espectro de magnitude Eles diferem apenas no espectro de fase É interessante investigar as similarida des e diferenças desses sinais mas de forma distinta de gráficos e matemática Por exemplo existe uma diferen ça audível entre estes sinais Para computadores equipados com placas de som o comando sound do MATLAB pode ser utilizado para esse propósito Fs 8000 t 01Fs2 registro de dois segundos com taxa de amostragem de 8 kHz m0 mthetatomega mt usando fases zero soundm020Fs Como o comando sound limita as magnitudes que excedem um o vetor de entrada é escalonado por 120 Os sinais restantes são criados e tocados de maneira semelhante Quão bem o ouvido humano distingue as dife renças no espectro de fase 590 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura M68 Sinal de teste mt com fases otimizadas 611 Para cada um dos sinais periódicos mostrados na Fig P661 determine a série trigonomé trica compacta de Fourier e trace o espectro de amplitude e fase Se os termos em seno ou cosseno estiverem ausentes da série de Fou rier explique 612 a Determine a série trigonométrica de Fou rier para yt mostrado na Fig P612 b O sinal yt pode ser obtido usando a rever são temporal de xt mostrado na Fig 62a Use esse fato para obter a série de Fourier para yt dos resultados do Exemplo 61 P R O B L E M A S CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 591 Figura P611 Figura P612 Verifique que a série de Fourier obtida des sa forma é idêntica à obtida na parte a c Mostre que em geral a reversão temporal de um sinal periódico não afeta o espectro de amplitude e o espectro de fase também é inalterado exceto pela mudança de sinal 613 a Determine a série trigonométrica de Fou rier para yt mostrado na Fig P613 b O sinal yt pode ser obtido usando a compressão temporal de xt mostrado na Fig 62a por um fator 2 Use esse fato pa ra obter a série de Fourier para yt dos re sultados do Exemplo 61 Verifique que a série de Fourier obtida dessa forma é idêntica à obtida na parte a c Mostre que em geral a compressão tem poral de um sinal periódico por um fator a expande o espectro de Fourier ao longo do eixo ω pelo mesmo fator a Em outras pa lavras C0 Cn e θn permanecem inaltera dos mas a freqüência fundamental é au mentado pelo fator a expandindo portan to o espectro Similarmente a expansão no tempo de um sinal periódico por um fator a comprime seu espectro de Fourier ao longo do eixo ω pelo fator a 614 a Determine a série trigonométrica de Fou rier do sinal periódico gt da Fig P614 Utilize a vantagem da simetria b Observe que gt é idêntico a xt na Fig 63a deslocado para a esquerda por 05 se gundos Use esse fato para obter a série de Fourier para gt do resultado do Exemplo 62 Verifique que a série de Fourier obtida dessa forma é idêntica à obtida na parte a c Mostre que em geral o deslocamento de T segundos de um sinal periódico não altera o espectro de amplitude Entretanto a fase a nésima harmônica é aumentada ou dimi nuída por nω0T dependendo se o sinal é adiantado ou atrasado por T segundos 615 Se as duas metades de um período de um si nal periódico são idênticas em forma exceto que uma é o negativo da outra o sinal perió dico é dito ter simetria de meia onda Se um sinal periódico xt com período T0 satisfaz a condição de simetria de meia onda então Neste caso mostre que toda harmônica de nú mero par desaparece e que os coeficientes das harmônicas de número ímpar são dados por e Usando esses resultados obtenha a série de Fourier para os sinais periódicos da Fig P615 592 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P615 Figura P613 Figura P614 616 Em um intervalo finito um sinal pode ser re presentado por mais do que uma série de Fourier trigonométrica ou exponencial Por exemplo se quisermos representar xt t em um intervalo 0 t 1 por uma série de Fourier com freqüência fundamental ω0 2 podemos desenhar um pulso xt t no inter valo 0 t 1 e repetir o pulso a cada π se gundos tal que T0 π e ω0 2 Fig P616a Se quisermos que a freqüência fundamental ω0 seja 4 repetimos o pulso a cada π2 se gundos Se quisermos que a série contenham apenas termos em cosseno com ω0 2 cons truímos o pulso xt t em 1 t 1 e o re petimos a cada π segundos Fig 616b O sinal resultante será uma função par com pe ríodo π Logo sua série de Fourier terá ape nas termos em cosseno com ω0 2 A série de Fourier resultante representa xt t em 0 t 1 como desejado Não precisamos nos preocupar com o que ela representa fora des se intervalo Trace um sinal periódico xt tal que xt t para 0 t 1 e que a série de Fourier para xt satisfaça as seguintes condições a ω0 π2 e contenha todas as harmônicas mas apenas termos em cosseno b ω0 2 e contenha todas as harmônicas mas apenas termos em seno c ω0 π2 e contenha todas as harmônicas que não sejam exclusivamente senos ou cossenos d ω0 1 e contenha apenas harmônicas ím pares e termos em cosseno e ω0 π2 e contenha apenas harmônicas ímpares mas apenas termos em seno f ω0 1 e contenha apenas harmônicas ím pares que não sejam exclusivamente se nos ou cossenos Dica para as partes d e e f você preci sará utilizar a simetria de meia onda discutida no Prob 615 Termos em cosseno implicam possível componente cc Você deve apenas traçar o sinal periódico xt que satisfaça as condições dadas Não deter mine os valores dos coeficientes de Fourier 617 Informe com razões se os seguintes sinais são periódicos ou não Para os sinais periódi cos determine o período e informe quais har mônicas estão presentes na série 631 Para cada um dos sinais periódicos da Fig P611 obtenha a série exponencial de Fou rier e trace o espectro correspondente 632 Um sinal xt com período 2π é especificado em um período por CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 593 Figura P615 Continuação Figura P616 Trace xt em dois períodos de t 0 a 4π Mostre que os coeficientes Dn da série expo nencial de Fourier são dados por 633 Um sinal periódico xt é descrito pela seguin te série de Fourier a Trace o espectro de amplitude e fase para a série trigonométrica b Por inspeção do espectro da parte a trace o espectro da série exponencial de Fourier c Por inspeção do espectro da parte b es creva a série exponencial de Fourier de xt d Mostre que série determinada na parte c é equivalente à série trigonométrica de xt 634 A série trigonométrica de Fourier de um certo sinal periódico é dada por a Trace o espectro trigonométrico de Fourier b Por inspeção do espectro da parte a trace o espectro da série exponencial de Fourier c Por inspeção do espectro da parte b es creva a série exponencial de Fourier de xt d Mostre que série determinada na parte c é equivalente à série trigonométrica de xt 635 A série exponencial de Fourier de uma certa função é dada por a Trace o espectro exponencial de Fourier b Por inspeção do espectro da parte a tra ce o espectro trigonométrico de Fourier de xt Obtenha a série trigonométrica compacta de Fourier deste espectro c Mostre que a série trigonométrica obtida na parte b é equivalente à série exponen cial de xt d Determine a largura de faixa do sinal 636 A Fig P636 mostra o espectro trigonométri co de Fourier de um sinal periódico xt a Por inspeção da Fig P636 determine a série trigonométrica de Fourier que repre senta xt b Por inspeção da Fig P636 trace o es pectro exponencial de Fourier de xt c Por inspeção do espectro exponencial de Fourier obtido na parte b determine a série exponencial de Fourier de xt d Mostre que as séries determinadas nas partes a e c são equivalentes 637 A Fig P637 mostra o espectro exponencial de Fourier de um sinal periódico xt a Por inspeção da Fig P636 determine a série exponencial de Fourier que repre senta xt b Por inspeção da Fig P636 trace o es pectro trigonométrico de Fourier de xt c Por inspeção do espectro trigonométrico de Fourier obtido na parte b determine a série trigonométrica de Fourier de xt d Mostre que as séries determinadas nas par tes a e c são equivalentes 638 a Obtenha a série exponencial de Fourier do sinal da Fig P638a b Usando os resultados da parte a deter mine a série de Fourier para o sinal xt da Fig P638b o qual é uma versão deslo cada no tempo do sinal xt c Usando os resultados da parte a deter mine a série de Fourier do sinal xt da Fig P638c o qual é uma versão escalo nada no tempo do sinal xt 639 Se um sinal periódico xt é descrito pela série exponencial de Fourier a Mostre que a série exponencial de Fou rier para xt xt T é dada por na qual Esse resultado mostra que um deslocamento no tempo de um sinal periódico por T segun 594 SINAIS E SISTEMAS LINEARES dos simplesmente altera o espectro de fase por nω0T O espectro de amplitude permanece inalterado b Mostre que a série exponencial de Fou rier para x t xat é dada por Esse resultado mostra que a compressão no tempo de um sinal periódico por um fator a expande seu espectro de Fourier ao longo do CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 595 Figura P637 Figura P638 Figura P636 eixo ω pelo mesmo fator a Similarmente a expansão no tempo de um sinal periódico por um fator a comprime seu espectro de Fourier ao longo do eixo ω pelo fator a Você pode ex plicar este resultado intuitivamente 6310 a A série de Fourier para o sinal da Fig 66a é dada no Exercício E61 Verifique o teo rema de Parseval para essa série dado que b Se xt for aproximada pelos N primeiros temos da série obtenha N tal que a po tência do sinal de erro seja menor do que 1 de Px 6311 a A série de Fourier do sinal periódico da Fig 66b é dada no Exercício E61 Veri fique o teorema de Parseval para essa sé rie dado que b Se xt for aproximada pelos N pri meiros temos da série obtenha N tal que a potência do sinal de erro seja menor do que 10 de Px 6312 O sinal xt da Fig 614 é aproximado pelos 2N 1 primeiros termos de n N a N de sua série exponencial de Fourier dada no Exercício E65 Determine o valor de N para que esta sé rie de potência de Fourier com 2N 1 termos tenha no mínimo 9975 da potência de xt 641 Determine a resposta de um sistema LCIT com função de transferência a entrada periódica mostrada na Fig 62a 642 a Determine a série exponencial de Fourier para o sinal xt cos 5t sen 3t Você po de obtêla sem calcular nenhuma integral b Trace o espectro de Fourier c O sinal xt é aplicado a entrada de um sistema LCIT com resposta em freqüên cia mostrada na Fig P642 Obtenha a saída yt Figura 642 643 a Determine a série exponencial de Fourier para um sinal periódico xt mostra na Fig P643a b O sinal xt é aplicado a entrada do siste ma LCIT mostrado na Fig P643b De termine a expressão para a saída yt 651 Obtenha a Eq 651 de forma alternativa ob servando que e x cy e e 2 x cy x cy x 2 c 2y 2 2cxy 652 Um sinal xt é aproximado em termos do si nal yt no intervalo t1 t2 596 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P643 na qual c é escolhido para minimizar a energia do erro a Mostre que yt e o erro et xt cyt são ortogonais no intervalo t1 t2 b Você pode explicar o resultado em termos da analogia sinalvetor c Verifique esse resultado para o sinal qua drado xt da Fig 619 e sua aproximação em termos do sinal sen t 653 Se xt e yt são ortogonais mostre então que a energia do sinal xt yt é idêntica à energia do sinal xt yt sendo dada por Ex Ey Explique esse resultado usando a analo gia com vetor Em geral mostre que para si nais ortogonais xt e yt e para qualquer par de constantes reais arbitrárias c1 e c2 as ener gias de c1xt c2yt e c1xt c2yt são idên ticas dadas por c1 2Ex c2 2Ey 654 a Para os sinais xt e yt mostrados na Fig P654 obtenha a componente na forma yt contido em xt Em outras palavras obtenha o valor ótimo de c na aproxima ção xt cyt de tal forma que a energia do sinal de erro seja mínima b Obtenha o sinal de erro et e sua energia Ee Mostre que o sinal de erro é ortogonal a yt e que Ex c 2Ey Ee Você pode expli car esse resultado em termos de vetores 655 Para os sinais xt e yt mostrado na Fig P654 obtenha a componente na forma xt contida em yt Em outras palavras obtenha o valor ótimo de c na aproximação yt cxt de tal forma que a energia do sinal de erro se ja mínima Qual é a energia do sinal de erro 656 Represente o sinal xt mostrado na Fig P65 4a no intervalo de 0 a 1 pela série trigonomé trica de Fourier com freqüência fundamental ω0 2π Calcule a energia do erro na repre sentação de xt usando apenas os N primeiros termos dessa série para N 1 2 3 e 4 657 Represente xt t no intervalo 0 1 por uma série trigonométrica de Fourier que tenha a ω0 2π e apenas termos em seno b ω0 π e apenas termos em seno c ω0 π e apenas termos em cosseno Você pode utilizar um termo cc se necessário nessas séries 658 No Exemplo 612 representamos a função da Fig 623 pelo polinômio de Legendre a Utilize os resultados do Exemplo 612 para representar o sinal gt da Fig P65 8 pelo polinômio de Legendre b Calcule a energia do erro para as aproxima ções tendo um e dois termos não nulos 659 Funções de Walsh as quais podem assumir apenas dois valores de amplitude formam um conjunto completo de funções ortonormais e possui grande importância prática em aplica ções digitais pois elas podem ser facilmente geradas por circuitos lógicos e porque a mul tiplicação com essas funções pode ser imple mentada simplesmente através de chaves de reversão de polaridade A Fig P659 mostra as primeiras oito funções desse conjunto Re presente xt da Fig P654 no intervalo 0 1 usando a série Walsh de Fourier com essas oi to funções de base Calcule a energia de et o erro da aproximação usando os primeiros N CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A SÉRIE DE FOURIER 597 Figura P654 Figura P658 termos não nulos da série para N 1 2 3 e 4 A série trigonométrica de Fourier de xt foi obtida no Prob 656 Como a série de Walsh se compara com a série trigonométrica do Prob 656 do ponto de vista da energia para um dado N 6M1 MATLAB Seção 6 discute a construção de um sinal de teste multitom otimizado em fase com componentes em freqüência linearmente espaçadas Esse problema investiga um sinal similar com componentes em freqüência lo garitmicamente espaçadas Um sinal de teste multitom mt é construí do usando a superposição de N senóides reais na qual θn estabelece a fase relativa de cada componente senoidal a Determine um conjunto adequado de N 10 freqüências ωn que mesmo logaritmi camente espaçadas 2π ω 2002π ainda resulta em um sinal de teste mt pe riódico Determine o período T0 do seu si nal Usando θn 0 trace o sinal resultante de período T0 para T02 t T02 b Determine um conjunto de fases θn ade quado que minimize a magnitude máxima de mt Trace o sinal resultante e identifi que a magnitude máxima c Vários sistemas sofrem do chamado ruído umsobref A potência desse ruído inde sejado é proporcional a 1f Portanto ruí dos de baixa freqüência são mais fortes do que ruídos de alta freqüência Quais modificações em mt são apropriadas pa ra o uso em um ambiente com ruído 1f Justifique sua resposta 598 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P659 Podemos analisar sistemas lineares por diversas formas em função da propriedade da linearidade pela qual a entrada é expressa como a soma de componentes mais simples A resposta do sistema a qualquer entrada complexa pode ser obtida assumindo a resposta do sistema a essas componentes mais simples da entrada Na análise no domínio do tempo separamos a entrada em componentes impulsivas Na análise no domínio da freqüência do Capítulo 4 separamos a entrada em exponenciais na forma e st transformada de Laplace na qual a freqüência complexa é s σ jω A transformada de Laplace apesar de muito importante na análise de sistemas é um tanto quanto desajeitada para a análise de sinais situação na qual preferimos representar os sinais em termos de exponenciais e jωt em vez de e st Isso é feito pela transformada de Fourier Em um senti do a transformada de Fourier pode ser considerada um caso especial da transformada de Fourier com s jω Apesar de esse ponto de vista ser verdadeiro na maior parte do tempo ele nem sempre é válido pela natureza da convergência das integrais de Laplace e Fourier No Capítulo 6 representamos com sucesso sinais periódicos pela soma de senóides ou exponenciais de du ração infinita na forma e jωt A integral de Fourier desenvolvida neste capítulo estende essa representação es pectral para sinais não periódicos 71 REPRESENTAÇÃO DE SINAIS NÃO PERIÓDICOS PELA INTEGRAL DE FOURIER Aplicando um processo de limite iremos mostrar que um sinal não periódico pode ser descrito pela soma con tínua integral de exponenciais de duração infinita Para representar um sinal não periódico xt tal como o mostrado na Fig 71a por exponenciais de duração infinita vamos construir um novo sinal periódico xT0t for mado pela repetição do sinal xt em intervalos de T0 segundos como ilustrado na Fig 71b O período T0 é fei to grande o suficiente para evitar a sobreposição entre pulsos seguidos O sinal periódico xT0t pode ser repre sentado por uma série exponencial de Fourier Se fizermos T0 os pulso no sinal periódico irão se repetir após um intervalo infinito portanto Dessa forma a série de Fourier que representa xT0t também irá representar xt no limite de T0 A sé rie exponencial de Fourier para xT0t é dada por 71 na qual 72a e ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER C A PÍTU LO 7 600 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 72b Observe que integrar xT0t em T02 T02 é o mesmo que integrar xt em Portanto a Eq 72a pode ser expressa por 72c É interessante ver como a natureza do espectro muda quando T0 aumenta Para compreender esse fascinante comportamento vamos definir Xω uma função contínua de ω por 73 Uma rápida análise das Eqs 72c e 73 mostra que 74 Isso significa que os coeficientes Dn de Fourier são 1T0 vezes as amostras de Xω uniformemente espaça dos em intervalos de ω0 como mostrado na Fig 72a Portanto 1T0Xω é o envelope para os coeficientes Dn Iremos fazer agora T0 dobrando o valor de T0 repetidamente Dobrando T0 dividimos a freqüência fundamental ω0 Eq 72b de tal forma que teremos agora duas vezes mais componentes amostras no es pectro Entretanto dobrando T0 o envelope 1T0Xω é dividido pela metade como mostrado na Fig 72b Se continuarmos nesse processo de dobrar T0 repetidamente o espectro progressivamente se torna mais denso en quanto que sua magnitude se torna menor Observe entretanto que a forma relativa do envelope permanece a mesma proporcional a Xω na Eq 73 No limite quando T0 ω0 0 e Dn 0 Esse resultado torna o espectro tão denso que as componentes espectrais ficam espaçadas com intervalos nulos infinitesimais Neste momento temos tudo de nada e mesmo assim temos algo Esse paradoxo soa como Alice no País das Maravilhas mas como veremos essas são características clássicas de um fenômeno muito familiar Figura 71 Construção de um sinal periódico pela extensão de xt Para efeito de simplicidade assumimos Dn e portanto Xω da Fig 72 como sendo reais O argumento entretanto também é válido para Dn ou Xω complexo Sem nada a mais o leitor agora possui a irrefutável prova da proposição de que ser dono de 0 de tudo é melhor do que ser dono de 100 de nada CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 601 A substituição da Eq 74 na Eq 71 resulta em 75 Quando T0 ω0 se torna infinitesimal ω0 0 Logo podemos substituir ω0 por uma notação mais apropriada Δω Em termos dessa nova notação a Eq 72b se torna e a Eq 75 se torna 76a A Eq 76a mostra que xTot pode ser descrito pela soma de exponenciais de duração exponencial de fre qüências 0 Δω 2Δω 3Δω a série de Fourier O total de componentes de freqüência nΔω é XnΔωΔω2π No limite quando T0 Δω 0 e xTot xt Portanto 76b A soma do lado direito da Eq 76b pode ser entendida como a área sob a função Xωe jωt como ilustrado na Fig 73 Assim sendo 77 A integral do lado direito é chamada de integral de Fourier Neste momento acabamos de obter sucesso na representação de um sinal não periódico xt pela integral de Fourier em vez da série de Fourier Essa integral Figura 72 Mudança no espectro de Fourier quando o período T0 da Fig 71 é dobrado Essa obtenção da integral de Fourier não deve ser considerada como uma prova rigorosa da Eq 77 A situação não é tão simples quanto parece 1 602 SINAIS E SISTEMAS LINEARES é basicamente a série de Fourier no limite com freqüência fundamental Δω 0 como visto na Eq 76 O to tal da exponencial e jnΔωt é XnΔωΔω2π Portanto a função Xω dada pela Eq 73 funciona como função es pectral Chamamos Xω de transformada de Fourier direta de xt e xt de transformada de Fourier inversa de Xω A mesma informação é contida na afirmação de que xt e Xω são um par transformada de Fourier Simbolica mente essa afirmativa pode ser expressa por ou Recapitulando 78a e 78b É útil manter em mente que a integral de Fourier da Eq 78b é da natureza da série de Fourier com freqüên cia fundamental Δω aproximando de zero Eq 76b Portanto a maior parte das discussões e propriedades da série de Fourier se aplicam à transformada de Fourier A transformada Xω é a especificação no domínio da fre qüência de xt Podemos traçar o espectro de Xω em função de ω Como Xω é complexo teremos tanto o espectro de am plitude quanto o de ângulo ou fase 79 na qual Xω é a amplitude e Xω é o ângulo ou fase de Xω De acordo com a Eq 78a Tomando os conjugados dos dois lados dessa equação teremos 710 Essa propriedade é conhecida como propriedade do conjugado Agora se xt for uma função real de t en tão xt xt e da propriedade do conjugado temos que 711a Essa é a propriedade da simetria de conjugado da transformada de Fourier aplicável a xt real Portanto pa ra xt real 711b Figura 73 A série de Fourier se torna a integral de Fourier no limite T0 Área CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 603 711c Portanto para xt real o espectro de amplitude Xω é uma função par e o espectro de fase Xω é uma função ímpar de ω Esses resultados foram obtidos anteriormente para o espectro de Fourier de um sinal perió dico Eq 633 e não devem ter sido uma surpresa Determine a transformada de Fourier de e atut Pela definição Eq 78a Mas e jωt 1 Portanto quando t e a jωt e at e jωt se a 0 mas será igual a 0 se a 0 Portanto Expressando a jω na forma polar como obtemos Portanto 712 O espectro de amplitude Xω e o espectro de fase Xω estão mostrados na Fig 74b Observe que Xω é uma função par de ω e Xω é uma função ímpar de ω como esperado Figura 74 e atut e seu espectro de Fourier EXEMPLO 71 604 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER No Exemplo 71 observamos que quando a 0 a integral de Fourier de e atut não converge Logo a transfor mada de Fourier de e atut não existe se a 0 exponencial crescente Claramente nem todos os sinais possuem sua transformada de Fourier Como a transformada de Fourier é obtida aqui como um caso limite da série de Fourier ela possui as quali ficações básicas da série de Fourier tais como a igualdade na média e as condições de convergência em uma forma adequadamente modificada também se aplicam à transformada de Fourier Pode ser mostrado que se xt possui energia finita ou seja se 713 então a transformada de Fourier Xω é finita e converge para xt na média Isso significa que se fizermos então a Eq 78b implica 714 Em outras palavras xt e sua integral de Fourier lado direito da Eq 78b podem ser diferentes em alguns valores de t sem com isso contradizer a Eq 714 Iremos discutir agora um conjunto alternativo de critérios devido a Dirichlet para a convergência da transformada de Fourier Tal como na série de Fourier se xt satisfizer certas condições condições de Dirichlet garantese a conver gência de sua transformada de Fourier em todos os pontos nos quais xt é contínuo Além disso nos pontos de descontinuidade xt converge para o valor médio entre os dois valores de xt dos dois lados da descontinuida de As condições de Dirichlet são mostradas a seguir 1 xt deve ser absolutamente integrável ou seja 715 Se essa condição for satisfeita garantimos que a integral do lado direito da Eq 78a possuirá um valor finito 2 xt deve possuir apenas um número finito de descontinuidades finitas dentro que qualquer intervalo finito 3 xt deve conter apenas um número finito de máximos ou mínimos dentro de qualquer intervalo finito Reforçamos que apesar das condições de Dirichlet serem suficientes para a existência e convergência pontual da transformada de Fourier elas não são necessárias Por exemplo vimos no Exemplo 71 que uma exponencial crescente a qual viola a primeira condição de Dirichlet em 715 não possui a transformada de Fourier Mas o si nal na forma sen att o qual viola essa condição possui transformada de Fourier Qualquer sinal que pode ser gerado na prática satisfaz as condições de Dirichlet e portanto possui sua trans formada de Fourier Portanto a existência física de um sinal é uma condição suficiente para a existência de sua transformada LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE FOURIER A transformada de Fourier é linear ou seja se então 716 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 605 A prova é trivial e segue diretamente da Eq 78a Esse resultado pode ser estendido para qualquer número finito de termos Ele pode ser estendido para um número infinito de termos somente se as condições necessárias para alteração da ordem das operações de soma e integração forem satisfeitas 711 Avaliação Física da Transformada de Fourier Na compreensão de qualquer aspecto da transformada de Fourier devemos relembrar que a representação de Fourier é uma forma de expressar um sinal em termos de senóides ou exponencial de duração infinita O es pectro de Fourier de um sinal indica as amplitudes e fases relativas das senóides que são necessárias para sin tetizar o sinal O espectro de Fourier de um sinal periódico possui amplitudes finitas e existe em freqüências discretas ω0 e seus múltiplos Tal espectro é fácil de ser visualizado mas o espectro de um sinal não periódi co não é tão fácil de ser visualizado porque ele é um espectro contínuo O conceito de espectro contínuo pode ser avaliado considerando um fenômeno análogo mais tangível Um exemplo familiar de distribuição contínua é o carregamento de uma trave Considere uma trave carregada com pesos D1 D2 D3 Dn em pontos unifor memente espaçados y1 y2 yn como mostrado na Fig 75a A carga total WT da trave é dada pela soma des sas cargas em cada um dos n pontos Considere agora o caso de uma trave continuamente carregada como mostrada na Fig 75b Neste caso apesar de aparentemente haver uma carga em todo ponto a carga em qualquer ponto é zero Isso não significa que não existe carga na trave Uma medida significativa da carga nesta situação não é a carga no ponto mas a densidade de carga por unidade de comprimento naquele ponto Seja Xy a densidade de carga por unidade de comprimento na trave Temos então que a carga sobre um comprimento da trave Δy Δy 0 em algum pon to y é XyΔy Para obtermos a carga total na trave dividimos a trave em segmentos de intervalo Δy Δy 0 A carga sobre o nésimo segmento de tamanho Δy é XnΔyΔy A carga total WT é dada por A carga agora existe em todo ponto e y é agora uma variável contínua No caso da carga discreta Fig 75a a carga existe apenas em n pontos discretos Nos outros pontos não existe carga Por outro lado no caso da car ga contínua a carga existe em todo ponto mas em qualquer ponto específico y a carga é zero A carga em um pequeno intervalo Δy entretanto é XnΔyΔy Fig 75b Portanto apesar da carga no ponto y ser zero a car ga relativa a aquele ponto é Xy Uma situação análoga exata existe no caso do espectro de sinal Quanto xt é periódico o espectro é discre to e xt pode ser descrito pela soma de exponenciais discretas com amplitudes finitas Para um sinal não periódico o espectro se torna contínuo Ou seja o espectro existe para todo valor de ω mas a amplitude de cada componente no espectro é zero A medida significativa aqui não é a amplitude da componen Figura 75 Analogia de pesocarga com a transformada de Fourier 606 SINAIS E SISTEMAS LINEARES te em algumas freqüências nas a densidade espectral por unidade de largura de faixa A partir da Eq 76b fica claro que xt é sintetizado pela adição das exponenciais na forma e jnΔωt sendo que a contribuição de qualquer componente exponencial é zero mas a contribuição das exponenciais em uma faixa infinitesimal Δω localizada em ω nΔω é 12πXnΔωΔω e a adição de todas essas componentes resulta em xt na forma integral 717 Portanto nΔω se aproxima de uma variável contínua ω O espectro agora existe em todo ω A contribuição das componentes dentro da faixa dω é 12πXωdω Xωdf na qual df é a largura de faixa em hertz Clara mente Xω é a densidade espectral por unidade de largura de faixa em hertz Temos também que mesmo se a amplitude de qualquer componente for infinitesimal o total relativo da componente na freqüência ω é Xω Apesar de Xω ser a densidade espectral na prática ela é geralmente chamada de espectro de xt em vez de densidade espectral de xt Adotando essa convenção iremos chamar Xω e espectro de Fourier ou transfor mada de Fourier de xt UM MARAVILHOSO ATO DE BALANCEAMENTO Um ponto importante a ser lembrado é que xt é representado ou sintetizado por exponenciais ou senóides que possuem duração infinita não causais Tal contextualização leva a uma fascinante figura quando tenta mos visualizar a síntese de um sinal de pulso xt limitado no tempo Fig 76 pelas componentes senoi dais de seu espectro de Fourier O sinal xt existe apenas em no intervalo a b sendo zero fora desse inter valo O espectro de xt contém um número infinito de exponenciais ou senóides as quais começam em t e continuam para sempre As amplitudes e fases dessas componentes são somadas resultando exata mente em xt no intervalo finito a b e em zero fora desse intervalo Pensar em fazer tal malabarismo com as amplitudes e fases de um número infinito de componentes de tal forma que consigamos obter esse perfei to e delicado balanço estremece a imaginação humana Mesmo assim a transformada de Fourier atinge es se objetivo rotineiramente sem termos que pensar muito De fato ficamos tão envolvidos com as manipula ções matemáticas que esquecemos de admirar essa maravilha 72 TRANSFORMADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES ÚTEIS Por conveniência iremos apresentar uma notação compacta para funções de porta triângulo e interpolação FUNÇÃO DE PORTA UNITÁRIA Definese a função de porta unitária ret x como um pulso retangular de altura unitária e largura unitária cen trada na origem como ilustrado na Fig 77a 718 Figura 76 A maravilha da transformada de Fourier Para reforçar que o espectro do sinal é uma função densidade iremos sombrear o gráfico de Xω como na Fig 74b A representa ção de Xω entretanto será por um gráfico de linha principalmente para evitar uma possível confusão visual Para x 05 precisamos que ret x 05 porque a transformada de Fourier inversa de um sinal descontínuo converge para a média de seus dois valores na descontinuidade CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 607 O pulso de porta da Fig 77b é um pulso de porta unitário ret x expandido por um fator τ ao longo do eixo horizontal e portanto pode ser descrito por ret xτ veja a Seção 122 Observe que τ o denominador do ar gumento de ret xτ indica a largura do pulso FUNÇÃO TRIÂNGULO UNITÁRIO Definese a função triângulo unitário Δx como um pulso triangular de altura e largura unitárias centrada na origem como mostrado na Fig 78a 719 O pulso da Fig 78 é Δxτ Observe que neste caso tal como no pulso de porta o denominador τ do argu mento Δxτ indica a largura do pulso FUNÇÃO INTERPOLAÇÃO sincx A função sen xx é a função seno sobre argumento representada por sinc x Essa função possui um im portante papel no processamento de sinais Ela também é chamada de função de filtragem ou interpolação Definese 720 A inspeção da Eq 720 mostra que 1 sinc x é uma função par de x 2 sinc x 0 quando sen x 0 exceto para x 0 quando ela aparentemente é indeterminada Isso signi fica que sinc x 0 para x π 2π 3π Figura 78 Um pulso triangular Figura 77 Um pulso de porta sinc x também é representada por Sa x na literatura Alguns autores definem sinc x por 608 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 3 Usando a regra de LHôpital obtemos sinc 0 1 4 sinc x é o produto de um sinal oscilatório sen x com período 2π e uma função monotonicamente de crescente 1x Portanto sinc x exibe oscilações amortecidas com período 2π e amplitude decrescente continuamente com 1x A Fig 79a mostra sinc x Observe que sinc x 0 para valores de x que são múltiplos inteiros positivos e negativos de π A Fig 79b mostra sinc 3ω7 O argumento 3ω7 π quando ω 7π3 Portanto o primeiro ze ro dessa função ocorre em ω 7π3 EXERCÍCIO E71 Trace Figura 79 Um pulso sinc CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 609 Obtenha a transformada de Fourier de xt ret tτ Fig 710a Como ret tτ 1 para t τ2 e zero para t τ2 Portanto 721 Lembrese de que sinc x 0 quando x nπ Logo sinc ωτ2 0 quando ωτ2 nπ ou seja quan do ω 2nπτ n 1 2 3 como mostrado na Fig 710b A transformada de Fourier Xω mostrada na Fig 710b possui valores positivos e negativos Uma amplitude negativa pode ser considerada como uma amplitude positiva com fase de π ou π Usamos essa observação para traçar o espectro de amplitude Xω sinc ωτ2 Fig 710c e o espectro de fase Xω Fig 710d O espectro de fase o qual deve ser uma função ímpar de ω pode ser desenhado por diversas outras formas porque um sinal negativo pode ser repre sentado por uma fase de nπ na qual n é qualquer inteiro ímpar Todas as representações são equivalentes Figura 710 a Um pulso de porta xtb seu espectro de Fourier Xω c seu espectro de amplitude Xω d seu espectro de fase Xω EXEMPLO 72 610 SINAIS E SISTEMAS LINEARES LARGURA DE FAIXA DE ret tτ O espectro de Xω da Fig 710 possui um pico em ω 0 e decai para altas freqüências Portanto ret tτ é um si nal passa baixa com a maior parte da energia do sinal em componentes de baixa freqüência Estritamente falando como o espectro se estende de 0 a a largura de faixa é Entretanto grande parte do espectro é concentrado dentro do primeiro lóbulo de ω 0 a ω 2πτ Portanto uma estimativa grosseira da largura de faixa de um pul so retangular com largura de τ segundos é 2πτ rads ou 1τ Hz Note a relação recíproca entre a largura do pulso e sua largura de faixa Iremos observar posteriormente que esse resultado geralmente é válido para todos os sinais Para calcular a largura de faixa devemos considerar o espectro apenas para valores positivos de ω Veja a discussão na Seção 63 Obtenha a transformada de Fourier par ao impulso unitário δt Usando a propriedade de amostragem do impulso Eq 124 obtemos 722a ou 722b A Fig 711 mostra δt e seu espectro Figura 711 a Impulso unitário e b seu espectro de Fourier EXEMPLO 73 Obtenha a transformada de Fourier inversa de δω Com base na Eq 78b e na propriedade de amostragem da função impulso Portanto 723a EXEMPLO 74 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 611 Se um impulso em ω 0 é o espectro de um sinal cc o que um impulso em ω ω0 representará Iremos res ponder essa questão no próximo exemplo ou 723b Esse resultado mostra que o espectro de um sinal constante xt 1 é um impulso 2πδω como ilustra do na Fig 712 O resultado Eq 723b poderia ter sido antecipado com base qualitativa Lembrese de que a transfor mada de Fourier de xt é a representação espectral de xt em termos de componentes exponenciais de du ração infinita na forma e jωt Para representar um sinal constante xt 1 precisamos de uma única exponen cial de duração infinita e jωt com ω 0 resultando em um espectro em uma única freqüência ω 0 Outra forma de analisar essa situação é que xt 1 é um sinal cc o qual possui uma única freqüência ω 0 cc Figura 712 a Um sinal constante cc e b seu espectro de Fourier A constante multiplicativa 2π no espectro Xω 2πδω pode confundir um pouco Como 1 e jω t com ω 0 pode parecer que a transformada de Fourier de xt 1 deve ser um impulso com força unitária em vez de 2π Lembre entretanto que na transformada de Fourier xt é sintetizado por exponenciais não de amplitude XnΔωΔω mas de amplitude 12π vezes XnΔωΔω como visto na Eq 766b Se tivéssemos utilizado a variável f hertz em vez de ω o espectro teria sido um impulso unitário puro Obtenha a transformada de Fourier inversa de δω ω0 Usando a propriedade de amostragem da função impulso obtemos Portanto ou 724a Esse resultado mostra que o espectro de uma exponencial de duração infinita e jω0t é um único impul so em ω ω0 Podemos obter a mesma conclusão usando motivos qualitativos Para representar a expo EXEMPLO 75 612 SINAIS E SISTEMAS LINEARES nencial de duração infinita e jω0t precisamos de uma única exponencial de duração infinita e jωt com ω ω0 Portanto o espectro é constituído por uma única componente na freqüência ω ω0 A partir da Eq 724a temos que 724b Obtenha a transformada de Fourier da senoide de duração infinita cos ω0t Fig 713a Figura 713 a Sinal cosseno e b seu espectro de Fourier Lembrese da fórmula de Euler Adicionando as Eqs 724a e 724b e usando o resultado anterior obtemos 725 O espectro de cos ω0t é constituído por dois impulsos em ω0 e ω0 como mostrado na Fig 713b O re sultado também pode ser obtido usando motivos qualitativos Uma senoide de duração infinita cos ω0t pode ser sintetizada por duas exponenciais de duração infinita e jω0t e e jω0t Portanto o espectro de Fourier é cons tituído por apenas duas componentes de freqüência ω0 e ω0 EXEMPLO 76 Podemos utilizar a série de Fourier para descrever um sinal periódico pela soma de exponenciais na for ma e jnω0t cuja transformada de Fourier é obtida na Eq 724a Logo podemos obter facilmente a trans formada de Fourier de um sinal periódico usando a propriedade da linearidade da Eq 716 A série de Fourier de um sinal periódico xt com período T0 é dada por Obtendo a transformada de Fourier dos dois lado temos 726 EXEMPLO 77 Transformada de Fourier de um Sinal Periódico Assumimos aqui que a propriedade da linearidade pode ser estendida para uma soma infinita CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 613 A série de Fourier para um trem de impulso unitário δTot mostrado na Fig 714a foi determinada no Exemplo 67 O coeficiente Dn de Fourier para esse sinal visto na Eq 637 é a constante Dn 1T0 Figura 714 a Trem de impulso uniforme e b sua transformada de Fourier A partir da Eq 726 a transformada de Fourier do trem de impulso unitário é 727 O espectro correspondente é mostrado na Fig 714b EXEMPLO 78 Obtenha a transformada de Fourier da função degrau unitário ut Se tentarmos obter a transformada de Fourier de ut diretamente pela integração teremos um resultado in determinado porque O limite superior de e jωt quando t resulta em uma resposta indeterminada Logo abordamos esse problema considerando ut como sendo a exponencial decrescente e atut no limite quando a 0 Fig715 Logo e 728a Expressar o lado direito em termos de sua parte real e imaginária resulta em 728b EXEMPLO 79 614 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A função aa 2 ω 2 possui propriedades interessantes Primeiro a área sob essa função Fig 715b é π independente do valor de a Segundo quando a 0 esta função aproximase de zero para todo ω 0 e toda a sua área π estará con centrada em um único ponto ω 0 Claramente quando a 0 essa função aproximase de um impulso com força π Portanto 729 Note que ut não é um verdadeiro sinal cc porque ele não é constante no intervalo de a Para sintetizar um verdadeiro cc seria necessária apenas uma exponencial de duração infinita em ω 0 im pulso em ω 0 O sinal ut possui uma descontinuidade em t 0 É impossível sintetizar tal sinal com uma única exponencial de duração infinita e jωt Para sintetizar esse sinal usando exponenciais de duração infini ta precisamos além de um impulso em ω 0 de todas as componentes de freqüência como indicado pelo termo 1jω da Eq 729 Figura 715 Obtenção da transformada de Fourier da função degrau O segundo termo do lado direito da Eq 728b sendo uma função ímpar de ω possuirá área zero independente do valor de a Quan do a 0 o segundo termo aproximase de 1jω Obtenha a transformada de Fourier da função sinal sgn t mostrada na Fig 716 Figura 716 EXEMPLO 710 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 615 721 Conexão entre as Transformadas de Fourier e Laplace A transformada de Laplace geral bilateral de um sinal xt de acordo com a Eq 41 é 731a Fazendo s jω nessa equação temos 731b na qual Xjω Xss jω Mas a integral do lado direito define Xω a transformada de Fourier de xt Isso sig nifica que a transformada de Fourier pode ser obtida da transformada de Fourier correspondente fazendo s jω Em outras palavras é verdadeiro que Xjω Xω Sim e não Sim é verdadeiro na maioria dos casos Por exemplo quando xt e atut sua transformada de Fourier é 1s a e Xjω 1jω a a qual é igual a Xω assumindo a 0 Entretanto para a função de grau unitário ut a transformada de Laplace é A transformada de Fourier é dada por Observe que Usando os resultados das Eqs 723b 729 e a propriedade da linearidade obtemos 730 EXERCÍCIO E72 Mostre que a transformada de Fourier inversa de Xω mostrada na Fig 717 é xt ω0π sinc ω0t Trace xt EXERCÍCIO E73 Mostre que cos ω0t θ πδω ω0e jθ δω ω0e jθ 616 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Obviamente Xjω Xω neste caso Para compreender essa complicação considere o fato de termos obtido Xjω fazendo s jω na Eq 731a Isso implica que a integral do lado direito da Eq 731a convirja para s jω significando que s jω o eixo imaginário esteja na RDC para Xs A regra geral é que quando a RDC de Xs inclui o eixo jω po demos obter a transformada de Fourier Xω substituindo s jω em Xs ou seja Xjω Xω Esse é o ca so de xt absolutamente integrável Se a RDC de Xs exclui o eixo jω então Xjω Xω Esse é o caso de xt exponencialmente crescente ou constante ou oscilatório com amplitude constante A razão para esse comportamento peculiar tem algo a ver com a natureza da convergência tas integrais de La place e Fourier quando xt não é absolutamente integrável Esta discussão mostra que apesar da transformada de Fourier poder ser considerada um caso especial da transformada de Fourier precisamos limitar esse ponto de vista Esse fato também pode ser visto da análise de que um sinal periódico possui transformada de Fourier mas a transformada de Laplace dele não existe 73 ALGUMAS PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER Iremos estudar agora algumas propriedades importantes da transformada de Fourier e suas implicações e aplicações Já encontramos duas importantes propriedades linearidade Eq 716 e propriedade do conjugado Eq 710 Antes de começarmos em nosso estudo iremos explicar um aspecto importante e permissivo da transforma da de Fourier a dualidade tempofreqüência Figura 718 Uma quase simetria entre as transformadas direta e inversa de Fourier Para explicar esse ponto considere a função degrau unitário e suas transformadas Tanto a transformada de Laplace quanto a transfor mada de Fourier sintetizam xt usando exponenciais de duração infinita na forma e st A freqüência s pode estar em qualquer lugar no plano complexo para a transformada de Laplace mas ela deve ser restrita ao eixo jω na transformada de Fourier A função degrau uni tário é facilmente sintetizada na transformada de Fourier por um espectro Xs 1s relativamente simples no qual as freqüências s são escolhidas no SPD a região de convergência para ut é Re s 0 Na transformada de Fourier entretanto estamos restritos aos valo res de s apenas sobre o eixo jω A função ut ainda pode ser sintetizada por freqüência ao longo do eixo jω mas o espectro é mais com plicado do que quando estamos livres para escolher freqüências no SPD Por outro lado quando xt é absolutamente integrável a re gião de convergência da transformada de Laplace inclui o eixo jω e podemos sintetizar xt usando freqüências ao longo do eixo jω nas duas transformadas Isso resulta em Xjω Xω Podemos explicar esse conceito pelo exemplo de dois países X e Y Suponha que esses países queiram construir represas similares em seus respectivos territórios O país X possui os recursos financeiros mas não possui muito recurso humano Por outro lado Y pos sui um considerável recurso humano mas pouco recurso financeiro As represas ainda serão construídas em seus países apesar dos mé todos utilizados serem diferentes O país X irá utilizar um maquinário muito eficiente mas muito caro para compensar a falta de recur so humano enquanto que Y irá utilizar os equipamentos mais baratos possíveis em uma abordagem de trabalho humano intensivo em seu projeto Similarmente tanto a integral de Fourier quanto Laplace convergem para ut mas a matéria prima dos componentes uti lizados para sintetizar ut serão muito diferentes nos dois casos devido às restrições da transformada de Fourier as quais não estão presentes na transformada de Laplace CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 617 DUALIDADE TEMPOFREQÜÊNCIA NAS OPERAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO As Eqs 78 mostram um fato interessante as operações de transformação direta e inversa são bastante simila res Essas operações necessárias para ir de xt para Xω e de Xω para xt estão mostradas graficamente na Fig 718 A equação da transformada inversa pode ser obtida da equação de transformada direta substituindo xt por Xω t por ω e ω por t De forma similar podemos obter a transformada direta da inversa Existem ape nas duas pequenas diferenças nessas operações o fator 2π aparece apenas no operador inverso e o índice das ex ponenciais nas duas operações possuem sinais opostos Caso contrário as duas equações são duais uma da ou tra Essa observação possui conseqüências de longo alcance no estudo da transformada de Fourier Ela é a ba se para a chamada dualidade de tempo e freqüência O princípio da dualidade pode ser comparado com uma fo tografia e seu negativo Uma fotografia pode ser obtida de seu negativo e usando um procedimento idêntico um negativo pode ser obtido da fotografia Para qualquer resultado ou relação entre xt e Xω existe um resul tado ou relação dual obtido trocando os papeis de xt e Xω no resultado original juntamente com alguma pe quena modificação em função do fator 2π e da mudança de sinal Por exemplo a propriedade de deslocamen to no tempo a ser provada posteriormente afirma que se xt Xω então A dual dessa propriedade propriedade de deslocamento na freqüência afirma que Observe a inversão de papel entre tempo e freqüência nessas duas equações com a pequena diferença de mudança de sinal no índice da exponencial O valor desse princípio está no fato de que sempre que obtiver mos qualquer resultado poderemos ter a certeza que ele possui um dual Essa possibilidade viabiliza uma percepção valiosa sobre várias propriedades ou resultados escondidos no processamento de sinais As propriedades da transformada de Fourier são úteis não somente na obtenção das transformadas direta e inversa de várias funções mas também na obtenção de vários resultados importantes no processamento de sinais O leitor não deve esquecer de observar a sempre presente dualidade em nossas discussões LINEARIDADE A propriedade da linearidade Eq 716 já foi apresentada CONJUGAÇÃO E SIMETRIA DE CONJUGADO A propriedade do conjugado a qual já foi apresentada afirma que se xt Xω então Desta propriedade obtemos a propriedade da simetria de conjugado que também já foi apresentada anterior mente a qual afirma que se xt é real então DUALIDADE A propriedade da dualidade afirma que se então 732 Das duas diferenças a primeira pode ser eliminado mudando a variável de ω para f em hertz Neste caso ω 2πf e dω 2π df Portanto as transformadas direta e inversa são dadas por Isso deixa apenas uma diferença significativa a mudança de sinal do índice das exponenciais 618 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Prova Da Eq 78b podemos escrever Logo Trocando t por ω obtemos a Eq 732 Neste exemplo iremos aplicar a propriedade da dualidade Eq 732 para o par da Fig 719a Figura 719 Propriedade da dualidade da transformada de Fourier Da Eq 721 temos que Além disso Xt é o mesmo que Xω com ω substituído por t e xω é o mesmo que xt com t substi tuído por ω Portanto a propriedade da dualidade 732 resulta em 733 Na Eq 733 utilizamos o fato de que ret x ret x porque ret é uma função par A Fig 719b mos tra esse par graficamente Observe a troca nos papéis de t e ω com o pequeno ajuste do fator 2π Esse re sultado aparece como par 18 da Tabela 71 com τ2 W EXEMPLO 711 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 619 Como um interessante exercício o leitor deve gerar o dual de cada par da Tabela 71 aplicando a proprie dade da dualidade 620 SINAIS E SISTEMAS LINEARES PROPRIEDADE DE ESCALAMENTO Se então para qualquer constante real a 734 Prova Para uma constante real positiva a Similarmente podemos demonstrar que se a 0 Desta forma obtemos a Eq 734 SIGNIFICADO DA PROPRIEDADE DE ESCALAMENTO A função xat representa a função xt comprimida no tempo pelo fator a veja a Seção 122 Similarmente a função Xωa representa a função Xω expandida na freqüência pelo mesmo fator a A propriedade de escala mento afirma que a compressão no tempo de um sinal resulta na expansão do seu espectro e a expansão no tem po de um sinal resulta na compressão de seu espectro Intuitivamente a compressão no tempo pelo fator a sig nifica que o sinal está variando mais rápido pelo fator a Para sintetizar esse sinal as freqüências de suas com ponentes senoidais devem ser aumentadas por um fator a implicando a expansão do seu espectro pelo fator a Similarmente um sinal expandido no tempo varia mais lentamente logo as freqüências de suas componentes são diminuídas implicando a compressão de seu espectro de freqüência Por exemplo o sinal cos 2ω0t é o mes mo que o sinal cos ω0t comprimido no tempo por um fator 2 Obviamente o espectro do primeiro impulso em 2ω0 é uma versão expandida do espectro do último impulso em ω0 O efeito desse escalamento está de monstrado na Fig 720 RECIPROCIDADE DA DURAÇÃO DO SINAL E SUA LARGURA DE FAIXA A propriedade de escalamento implica que se xt for alargado seu espectro é estreitado e viceversa Dobran do a duração do sinal dividimos pela metade sua largura de faixa e viceversa Isso sugere que a largura de fai xa de um sinal é inversamente proporcional à duração ou largura em segundos do sinal Já verificamos esse EXERCÍCIO E74 Aplique a propriedade da dualidade aos pares 1 3 e 9 Tabela 71 para mostrar que Estamos assumindo que a 1 apesar do argumento ainda ser válido se a 1 Neste caso a compressão se torna uma expansão por um fator 1a e viceversa Quando um sinal possui duração infinita devemos considerar sua duração efetiva ou equivalente Não existe uma única definição de duração efetiva do sinal Uma possível definição é dada pela Eq 267 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 621 fato para o pulso de porta quando obtivemos que a largura de faixa de um pulso de porta com largura τ segun dos é 1τ Hz Mais discussões sobre esse interessante tópico podem ser encontradas na literatura 2 Fazendo a 1 na Eq 734 obtemos a propriedade de inversão do tempo e freqüência 735 Figura 720 Propriedade de escalamento da transformada de Fourier Obtenha as transformadas de Fourier de e atut e e at A aplicação da Eq 735 ao par 1 Tabela 71 resulta em Além disso Portanto 736 O sinal e at e seu espectro estão mostrados na Fig 721 Figura 721 a e at e b seu espectro de Fourier EXEMPLO 712 622 SINAIS E SISTEMAS LINEARES PROPRIEDADE DE DESLOCAMENTO NO TEMPO Se então 737a Prova Pela definição Fazendo t t0 u temos 737b Esse resultado mostra que atrasar um sinal por t0 segundos não altera seu espectro de amplitude O espec tro de fase entretanto é alterado por ωt0 EXPLICAÇÃO FÍSICA DA FASE LINEAR O atraso de tempo em um sinal causa um deslocamento de fase em seu espectro Esse resultado também pode ser obtido usando razões heurísticas Imagine xt sendo sintetizado por suas componentes de Fourier as quais são senóides de certa amplitude e fase O sinal atrasado xt t0 pode ser sintetizado pelas mesmas componen tes senoidais cada uma atrasada por t0 segundos As amplitudes das componentes permanecem inalteradas Por tanto o espectro de amplitude de xt t0 é idêntico ao de xt O atraso de tempo de t0 em cada senóide entre tanto altera a fase de cada componente Agora a senóide cos ωt atrasada por t0 é dada por Portanto um atraso de tempo de t0 em uma senóide de freqüência ω é manifestado como um atraso de fase de ωt0 Isso é uma função linear de ω significando que as componentes de alta freqüência devem resultar em um deslocamento de fase proporcionalmente maior para obter o mesmo atraso de tempo Esse efeito é mostrado na Fig 722 com duas senóides a freqüência da senóide inferior é o dobro da senóide superior O mesmo atraso de Figura 722 Explicação física da propriedade de deslocamento no tempo CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 623 tempo t0 resulta em um deslocamento de fase de π2 na senóide superior e em um deslocamento de fase de π na senóide inferior Isso comprova o fato de que para obter um mesmo atraso de tempo senóides de mais alta fre qüência devem sofrer um deslocamento de fase proporcionalmente maior O princípio do deslocamento de fase linear é muito importante e iremos encontrálo novamente em transmissão de sinal sem distorção e aplicações de filtragem Obtenha a transformada de Fourier de e at to Essa função mostrada na Fig 723a é uma versão deslocada no tempo de e at mostrada na Fig 721a A partir das Eqs 736 e 737 temos 738 O espectro de e at to Fig 723b é o mesmo de e at Fig 721b exceto pelo deslocamento de fase adi cional de ωt0 Observe que o deslocamento de tempo t0 resulta em um espectro de fase linear ωt0 Este exemplo de monstra claramente o efeito do deslocamento no tempo Figura 723 Efeito do deslocamento no tempo no espectro de Fourier de um sinal EXEMPLO 713 Obtenha a transformada de Fourier do pulso de porta xt ilustrado na Fig 724a O pulso xt é o pulso de porta ret tτ da Fig 710 atrasado por 3τ4 segundos Logo de acordo com a Eq 737a sua transformada de Fourier é a transformada de Fourier de ret tτ multiplicada por e jω 3τ4 Portanto O espectro de amplitude Xω mostrado na Fig 724b do pulso é o mesmo do indicado na Fig 710c Mas o espectro de fase possui um termo linear adicionado igual a 3ωτ4 Logo o espectro de fase de xt Fig 724a é idêntico ao da Fig 710 mais um termo linear 3ωτ4 como mostrado na Fig 724c EXEMPLO 714 624 SINAIS E SISTEMAS LINEARES ESPECTRO DE FASE USANDO VALORES PRINCIPAIS Existe uma forma alternativa para a representação de Xω O ângulo de fase calculado por uma calcu ladora ou usando uma subrotina em um computador geralmente é o valor principal valor módulo 2π do ângulo de fase o qual sempre está na faixa de π a π Por exemplo o valor principal do ângulo 3π2 é π2 e assim por diante O valor principal difere do valor real por 2π e seus múltiplos inteiros de for ma que garanta que o valor principal permaneça entre π a π Portanto o valor principal irá mostrar des continuidades de 2π sempre que a fase real cruzar π O gráfico de fase da Fig 724c é redesenhado na Fig 724d usando apenas os valores principais da fase Esse padrão de fase o qual apresenta descontinui dades de fase de magnitudes 2π e π se torna repetitivo a intervalos de ω 8πτ Figura 724 Outro exemplo de deslocamento no tempo e seu efeito no espectro de Fourier de um sinal EXERCÍCIO E75 Usando o par 18 da Tabela 71 e a propriedade de deslocamento no tempo mostre que a transformada de Fourier de sinc ω0t T é πω0 ret ω2ω0e jωT Trace o espectro de amplitude e fase da transformada de Fourier CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 625 PROPRIEDADE DE DESLOCAMENTO NA FREQÜÊNCIA Se então 739 Prova Pela definição De acordo com essa propriedade a multiplicação de um sinal por um fator e jω0t desloca o espectro do sinal por ω ω0 Note a dualidade entre as propriedades de deslocamento no tempo e deslocamento na freqüência Trocando ω0 por ω0 na Eq 739 resulta em 740 Como e jω0t não é uma função real que pode ser gerada o deslocamento na freqüência na prática é obtido mul tiplicando xt por uma senóide Observe que A partir das Eqs 739 e 740 temos 741 Esse resultado mostra que a multiplicação de um sinal xt por uma senóide de freqüência ω0 desloca o es pectro Xω por ω0 como mostrado na Fig 725 A multiplicação de uma senóide por cos ω0t por xt resulta em uma senóide modulada em amplitude Esse tipo de modulação é chamado de modulação em amplitude A senóide cos ω0t é chamada de portadora o sinal xt é o sinal modulante e o sinal xt cos ω0t é o sinal modulado Mais discussões sobre modulação e demodu lação serão feitas na Seção 77 Figura 725 A modulação em amplitude de um sinal resulta no deslocamento espectral 626 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Portanto xt cos ω0t toca xt quando a senóide cos ω0t está em seu pico positivo e toca xt quando cos ω0t está em seu pico negativo Isso significa que xt e xt funcionam como envelopes para o sinal xt cos ω0t ve ja a Fig 725 O sinal xt é uma imagem espelhada de xt com relação ao eixo horizontal A Fig 725 mos tra os sinais xt e xt cos ω0t e seus espectros Determine e trace a transformada de Fourier do sinal modulado xt cos 10t no qual xt é um pulso de por ta ret t4 como ilustrado na Fig 726a Figura 726 Um exemplo de deslocamento espectral usando modulação em amplitude A partir do par 17 Tabela 71 temos que ret t4 4 sinc 2ω o que é mostrado na Fig 726b A partir da Eq 741 obtemos Neste caso Xω 4 sinc 2ω Portanto O espectro de xt cos 10t é obtido deslocando Xω da Fig 726b para a esquerda por 10 e para a direita por 10 e então multiplicandoo por 05 como mostrado na Fig 726d EXEMPLO 715 EXERCÍCIO E76 Mostre que CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 627 APLICAÇÃO DA MODULAÇÃO A modulação é útil no deslocamento do espectro do sinal Algumas situações que necessitam de um desloca mento espectral são apresentadas a seguir 1 Se vários sinais todos ocupando a mesma faixa de freqüência são transmitidos simultaneamente em uma mesma mídia de transmissão eles irão interferir um no outro Será impossível separar ou recuperálos no receptor Por exemplo se todas as estações de rádio decidissem transmitir sinais de áudio simultaneamen te o receptor não seria capaz de distinguilos Esse problema é resolvido usando a modulação Para isso cada estação de rádio possui uma freqüência de portador distinta e cada estação transmite um sinal mo dulado Esse procedimento desloca o espectro do sinal para sua banda alocada a qual não é ocupada por nenhuma outra estação Um receptor de rádio pode escolher qualquer estação sintonizando na banda da estação desejada O receptor deve então demodular o sinal recebido desfazendo o efeito da modulação A demodulação portanto consiste em outro deslocamento espectral necessário para restaurar o sinal a sua banda original Note que tanto a modulação quanto a demodulação implementam o deslocamento es pectral Conseqüentemente a operação de demodulação é similar à modulação veja a Seção 77 Esse método de transmissão de vários sinais simultaneamente em um canal compartilhando sua fai xa de freqüência é chamado de multiplexação por divisão de freqüência FDM EXERCÍCIO E77 Trace o sinal e tcos 10t Determine a transformada de Fourier deste sinal e trace seu espectro RESPOSTA Veja a Fig 721b para o espectro de e at N de T Frequencydivision multiplexing Ele afirma que este método incorpora o melhor dos dois métodos anteriores Ele o chama de F MODULAÇÃO Eastern Telecom Co A Última em Tecnologia 628 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 2 Para uma irradiação efetiva da potência em um link de rádio o tamanho da antena deve ser da ordem do comprimento de onda do sinal a ser irradiado As freqüências de áudio são tão baixas comprimentos de onda muito grandes que antenas enormes impraticáveis seriam necessárias para a irradiação Logo deslocar o espectro para uma freqüência mais alta comprimento de onda menor pela modulação resol ve o problema CONVOLUÇÃO A propriedade de convolução no tempo e sua dual a propriedade de convolução na freqüência afirma que se então 742 e 743 Prova Pela definição A integral interna é a transformada de Fourier de x2t τ dada por propriedade de deslocamento no tempo da Eq 737 X2ωe jωt Logo seja Hω a transformada de Fourier da resposta ao impulso unitário ht ou seja 744a A aplicação da propriedade de convolução no tempo a yt xtht resulta em assumindo que tanto xt quanto ht possuem suas transformadas de Fourier 744b A propriedade de convolução na freqüência 743 pode ser provada exatamente da mesma forma simples mente pela alteração dos papéis de xt e Xω Utilize a propriedade de convolução no tempo para mostrar que se então 745 Como EXEMPLO 716 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 629 DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO NO TEMPO Se então 746 e 747 Prova A diferenciação dos dois lados da Eq 78b resulta em Esse resultado mostra que temos que Agora da propriedade de convolução no tempo Eq 742 temos que Na obtenção do último resultado a Eq 123a foi utilizada EXERCÍCIO E78 Utilize a propriedade da convolução no tempo para mostrar que xtδt xt EXERCÍCIO E79 Utilize a propriedade de convolução no tempo para mostrar que Válido apenas se a transformada de dxdt existir Em outras palavras dxdt deve satisfazer as condições de Dirichlet A primeira condi ção de Dirichlet implica Também precisamos que xt 0 quando t Caso contrário xt possuirá uma componente cc a qual será perdida na diferencia ção e portanto não existirá uma relação de umparaum entre xt e dxdt 630 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A aplicação repetida dessa propriedade leva a 748 A propriedade de integração no tempo Eq 747 já foi provada no Exemplo 716 As propriedades da transformada de Fourier estão resumidas na Tabela 72 Utilize a propriedade de diferenciação no tempo para obter a transformada de Fourier do pulso triangular Δtτ apresentado na Fig 727a Para determinarmos a transformada de Fourier desse pulso iremos diferenciar o pulso sucessivamente co mo mostrado na Fig 727b e 727c Como dxdt é uma constante sua derivada d 2xdt 2 é zero Mas dxdt possui descontinuidades com um salto positivo de 2τ em t τ2 e um salto negativo de 4τ em t 0 Lem bre que a derivada de um sinal em um salto de descontinuidade é um impulso naquele ponto de força igual ao total do salto Logo d 2xdt 2 a derivada de dxdt é constituída por uma seqüência de impulsos como mos trado na Fig 727c ou seja 749 Usando a propriedade de diferenciação no tempo Eq 746 750a EXEMPLO 717 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 631 Além disso da propriedade de deslocamento no tempo Eq 737b 750b Obtendo a transformada de Fourier da Eq 749 e usando os resultados das Eqs 750 obtemos e 751 O espectro Xω é mostrado na Fig 727d Esse procedimento de obtenção da transformada de Fourier pode ser aplicado a qualquer função xt constituída de segmentos de linha reta com xt 0 quanto t A segunda derivada de tal sinal resulta em uma seqüência de impulsos cuja transformada de Fourier po de ser obtida por inspeção Esse exemplo sugere um método numérico de determinação da transformada de Fourier de um sinal arbitrário xt através da aproximação do sinal por segmentos de linha reta Figura 727 Obtenção da transformada de Fourier de um sinal por partes linhas retas usando a proprie dade de diferenciação no tempo EXERCÍCIO E710 Utilize a propriedade de diferenciação no tempo para obter a transformada de Fourier de ret tτ 632 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 74 TRANSMISSÃO DE SINAL ATRAVÉS DE SISTEMAS LCIT Se xt e yt são a entrada e saída de um sistema LCIT com resposta ht ao impulso então como demonstrado na Eq 744b 752 Essa equação não se aplica a sistemas assintoticamente instáveis porque ht para tais sistemas não possui transformada de Fourier Ela se aplica a sistemas BIBO estáveis e para a maioria de sistemas marginalmente está veis Além disso a própria entrada xt deve possuir a transformada de Fourier se quisermos utilizar a Eq 752 No Capítulo 4 vimos que a transformada de Laplace é mais versátil e capaz de analisar todos os tipos de sis temas LCIT sendo eles estáveis instáveis ou marginalmente estáveis A transformada de Laplace também pode trabalhar com entradas exponencialmente crescentes Em comparação com a transformada de Laplace a trans formada de Fourier na análise de sistemas não é apenas deselegante mas também muito restritiva Logo a trans formada de Fourier é preferida frente à transformada de Laplace na análise de sistemas LCIT Dessa forma não iremos explicar com detalhes a aplicação da transformada de Fourier na análise de sistemas LCIT Iremos con siderar apenas um exemplo Para sistemas marginalmente estáveis se a entrada xt contiver uma senoide de amplitude finita na freqüência natural do sistema o que resultará em ressonância a saída não possui transformada de Fourier Ela se aplica entretanto a sistemas marginalmente estáveis se a entrada não contiver uma senoide de amplitude finita na freqüência natural do sistema A estabilidade implica que a região de convergência de Hs inclua o eixo jω Determine a resposta de estado nulo do sistema LCIT estável com resposta em freqüência sendo a entrada xt e tut Neste caso Além disso como o sistema é estável a resposta em freqüência Hjω Hω Logo Portanto Expandindo o lado direito em frações parciais obtemos e EXEMPLO 718 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 633 ENTENDIMENTO HEURÍSTICO DA RESPOSTA DE SISTEMA LINEAR Na determinação da resposta de um sistema linear a uma entrada arbitrária o método no domínio do tem po utiliza a integral de convolução e o método no domínio da freqüência utiliza a integral de Fourier Ape sar das aparentes diferenças dos dois métodos suas filosofias são surpreendentemente similares No caso do domínio do tempo expressamos a entrada xt pela soma de suas componentes impulsivas No caso do domínio da freqüência a entrada é descrita pela soma de exponenciais ou senóides de duração infinita No primeiro caso a resposta yt obtida pelo somatório das respostas do sistema às componentes impulsi vas resulta na integral de convolução No domínio da freqüência a resposta obtida pelo somatório da res posta do sistema às componentes exponenciais de duração infinita resulta na integral de Fourier Essas idéias podem ser descritas matematicamente como apresentado a seguir 1 Para o caso no domínio do tempo e 2 Para o caso no domínio da freqüência e O ponto de vista do domínio da freqüência enxerga o sistema em termos de sua resposta em freqüência resposta do sistema á várias componentes senoidais Ele enxerga um sinal como a soma de várias componen tes senoidais A transmissão de um sinal de entrada através de um sistema linear é vista como a transmissão de várias componentes senoidais da entrada através do sistema Não é por coincidência que utilizamos a função impulso na análise no domínio do tempo e a exponencial e jωt no estudo no domínio da freqüência As duas funções são duais uma da outra Portanto a transformada de Fourier de um impulso δt τ é e jωτ e a transformada de Fourier de e jω0t é um impulso 2πδω ω0 Essa dualidade tempo frequência é um tema constante na transformada de Fourier e sistemas lineares 741 Distorção do Sinal Durante a Transmissão Para um sistema com resposta em freqüência Hω se Xω e Yω são o espectro dos sinais de entrada e saída respectivamente então 753 EXERCÍCIO E711 Para o sistema do Exemplo 718 mostre que a resposta de estado nulo a entrada e tut é yt 13e tut e 2tut Dica utilize o par 2 Tabela 71 para determinar a transformada de Fourier de e tut 634 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A transmissão de um sinal de entrada xt através desse sistema o altera para o sinal de saída yt A Eq 753 mostra a natureza dessa mudança ou modificação Aqui Xω e Yω são o espectro da entrada e da saída respec tivamente Portanto Hω é a resposta espectral do sistema O espectro de saída é obtido pelo espectro de entrada multiplicado pela resposta espectral do sistema A Eq 753 a qual mostra claramente a formatação ou modifi cação espectral do sinal pelo sistema pode ser descrita na forma polar por Portanto 754a 754b Durante a transmissão o espectro de amplitude do sinal Xω é alterado para XωHω Similarmen te o espectro de fase do sinal de entrada Xω é alterado para Xω Hω Uma componente espec tral do sinal de freqüência ω é modificada em amplitude pelo fator Hω e deslocado em fase por um ân gulo Hω Claramente Hω é a resposta em amplitude e Hω é a resposta em fase do sistema Os gráficos de Hω e Hω como funções de ω mostram rapidamente como o sistema modifica as amplitu des e fases das várias entradas senoidais Essa é a razão pela qual Hω também é chamado de resposta em freqüência do sistema Durante a transmissão através do sistema algumas componentes de freqüência po dem ser amplificadas em amplitude enquanto que outras podem ser atenuadas As fases relativas das vá rias componentes também são alteradas Em geral a forma de onda da saída será diferente da forma de on da da entrada TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO Em várias aplicações tal como a amplificação de sinais ou a transmissão de sinais de mensagem em um canal de comunicação precisamos que a forma de onda de saída seja uma réplica da forma de onda de entrada Em tais casos precisamos minimizar a distorção causada pelo amplificador ou pelo canal de comunicação Portan to é de interesse prático determinar as características de um sistema que permita a passagem de um sinal sem distorção transmissão sem distorção A transmissão é dita ser sem distorção se a entrada e a saída possuírem formas de onda idênticas diferencian do por uma constante multiplicativa Uma saída atrasada que mantém a forma de onda da entrada também é con siderada como sem distorção Portanto na transmissão sem distorção a entrada xt e a saída yt satisfazem a condição 755 A transformada de Fourier dessa equação resulta em Mas Portanto Essa é a resposta em freqüência necessária para um sistema para a transmissão sem distorção A partir dessa equação temos 756a 756b Esse resultado mostra que para a transmissão sem distorção a resposta em amplitude Hω deve ser uma constante e a reposta em fase Hω deve ser uma função linear de ω com inclinação td na qual td é o atraso da saída com relação a entrada Fig 728 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 635 MEDIDA DA VARIAÇÃO DO ATRASO DE TEMPO COM A FREQÜÊNCIA O ganho Hω G0 significa que toda componente espectral é multiplicada pela constante G0 Também em co nexão com o que foi visto na Fig 722 uma fase linear Hω ωtd significa que toda componente espectral é atrasada por td segundos Isso resulta em um sinal de saída igual a G0 vezes a componente espectral atrasada por td segundos Como cada componente espectral é atenuada pelo mesmo fator G0 e atrasada exatamente pelo mes mo total td o sinal de saída será uma réplica da entrada a não ser pelo fator de atenuação G0 e pelo atraso td Para uma transmissão sem distorção precisamos de uma característica de fase linear A fase não é apenas função de ω mas também deve cruzar a origem em ω 0 Na prática vários sistemas possuem uma caracterís tica de fase que pode ser apenas aproximadamente linear Uma forma conveniente de julgar a linearidade da fa se é obter o gráfico da inclinação de Hω em função da freqüência Essa inclinação a qual é uma constante para um sistema ideal de fase linear IFL é uma função de ω no caso geral e pode ser descrita por 757 Se tgω for constante todas as componentes serão atrasadas pelo mesmo intervalo de tempo tg Mas se a inclinação não for constante o atraso de tempo tg varia com a freqüência Essa variação significa que componentes de freqüência diferentes sofrerão atrasos de tempo diferentes e conseqüentemente a forma de onda de saída não será uma réplica da forma de onda de entrada Como veremos tgω possui um im portante papel em sistema passa faixa sendo chamado de atraso de grupo ou atraso de envelope Observe que td constante Eq 756b implica tg constante Note que Hω φ0 ωtg também possui uma cons tante tg Logo um atraso constante de grupo é uma condição mais relaxada Geralmente se pensa erroneamente que somente uma resposta em amplitude Hω plana pode garantir a qualidade do sinal Um sistema que possui uma resposta em amplitude plana ainda pode distorcer um sinal dei xandoo irreconhecível se sua resposta de fase não for linear td constante NATUREZA DA DISTORÇÃO EM SINAIS DE ÁUDIO E VÍDEO Falando genericamente o ouvido humano pode facilmente perceber a distorção de amplitude mas é relativamen te insensível à distorção de fase Para que a distorção de fase se torne perceptível a variação no atraso variação na inclinação de Hω deve ser comparável à duração do sinal ou a duração fisicamente perceptível no caso do próprio sinal ser longo No caso de sinais de áudio cada sílaba pronunciada pode ser considerada um sinal individual A duração média de uma sílaba pronunciada é da ordem de grandeza de 001 a 01 segundo Os sis temas de áudio podem possuir fases não lineares mas mesmo assim podem resultar em distorções não percep tíveis porque em sistemas de áudio práticos a variação máxima na inclinação de Hω é apenas uma pequena fração de milissegundos Essa é a verdade sob a afirmativa de que o ouvido humano é relativamente insensível à distorção de fase 3 Como resultado os fabricantes de equipamentos de áudio disponibilizam apenas Hω a característica de resposta em amplitude de seus sistemas Para sinais de vídeo por outro lado a situação é exatamente a oposta O olho humano é sensível à distorção de fase mas relativamente insensível à distorção de amplitude A distorção de amplitude em sinais de televisão se manifesta como a destruição parcial dos valores de meio tom relativos da figura resultante mas esse efeito geralmente não é aparente ao olho humano A distorção de fase fase não linear por outro lado causa atrasos de tempo diferentes em elementos diferentes da figura O resultado é uma figura borrada e seu efeito é facil Figura 728 Resposta em freqüência de um sistema LCIT para a transmissão sem distorção 636 SINAIS E SISTEMAS LINEARES mente percebido pelo olho humano A distorção de fase é muito importante em sistemas de comunicação digi tal porque a características de fase não linear do canal resulta em uma dispersão do pulso espalhamento o que por sua vez resulta na interferência de pulsos vizinhos Essa interferência entre pulsos pode causar um erro na amplitude do pulso no receptor o binário 1 pode ser entendido como 0 e vice versa 742 Sistemas PassaFaixa e Atraso de Grupo As condições de transmissão sem distorção Eqs 756 podem ser um pouco relaxadas para sistemas passafai xa Para sistemas passabaixas as características de fase devem ser não apenas lineares dentro da faixa de inte resse mas também devem cruzar a origem Para sistemas passafaixa as características de fase devem ser linea res dentro da faixa de interesse mas não precisam passar na origem Considere um sistema LIT com características de amplitude e fase como mostrado na Fig 729 na qual o es pectro de amplitude é uma constante G0 e a fase é φ0 ωtg na faixa 2W centrada na freqüência ωc Dentro dessa faixa podemos descrever Hω por 758 A fase de Hω na Eq 758 mostrada em pontilhado na Fig 729b é linear mas não cruza a origem Considere o sinal de entrada modulado zt xt cos ωct Esse é um sinal passafaixa cujo espectro está centrado em ω ωc O sinal cos ωct é a portadora e o sinal xt o qual é um sinal passabaixa de largura de faixa W veja a Fig 725 é o envelope de zt Iremos mostrar como a transmissão de zt através de Hω resulta em uma transmissão sem distorção do envelope xt Entretanto a fase da portadora muda por φ0 Pa ra mostrar isso considere uma entrada zt xte jωct e a saída correspondente yt A partir da Eq 739 Z ω Xω ωc o espectro de saída Y ω correspondente é dado por Lembre que a largura de faixa de Xω é W tal que a largura de faixa de Xω ωc é 2W centrado em ωc Nessa faixa Hω é dado pela Eq 758 Logo Figura 729 Características generalizadas de fase linear Como a função de fase é uma função ímpar de ω se Hω φ0 ωtg para ω 0 na faixa 2W centrada em ωc então Hω φ0 ωtg para ω 0 na faixa 2W centrada em ωc como mostrado na Fig 729a O envelope de um sinal passafaixa é bem definido apenas quando a largura de faixa do envelope está bem abaixo da freqüência da por tadora ωc W ωc CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 637 Usando as Eqs 737a e 739 obtemos yt dado por Essa é a resposta do sistema a entrada zt xte jωct a qual é um sinal complexo Na realidade estamos interes sados em obter a resposta a entrada zt xt cos ωct a qual é a parte real de zt xte jωct Logo utilizamos a pro priedade 240 para obtermos yt a resposta do sistema a entrada zt xt cos ωct como 759 na qual tg o atraso de grupo ou envelope é o negativo da inclinação de Hω em ωc A saída yt é basi camente a entrada atrasada zt tg exceto pelo fato de a portadora de saída ganhar uma fase extra φ0 O en velope de saída xt tg é a versão atrasada do envelope de entrada xt não sendo afetado pela fase φ0 extra da portadora Em um sinal modulado tal como xt cos ωct a informação geralmente está no envelope xt Logo a transmissão é considerada sem distorção se o envelope xt permanecer sem distorção Grande parte dos sistemas práticos satisfaz as condições 758 ao menos para uma faixa muito pequena A Fig 729b mostra um caso típico no qual esta condição é satisfeita para uma pequena faixa W centrada na fre qüência ωc Um sistema na Eq 758 é dito ter fase linear generalizada FLG como ilustrado na Fig 729 A ca racterística de fase linear ideal FLI é mostrada na Fig 728 Para a transmissão sem distorção de sinais passafaixa o sistema precisa satisfazer a Eq 758 apenas na largura de faixa do sinal passafaixa Cuidado Lembrese de que a resposta de fase associada à resposta de amplitude pode conter saltos de descon tinuidade quando a resposta de amplitude se torna negativa Descontinuidades também aparecem em função do uso do valor principal para a fase Em tais condições para calcular o atraso de grupo Eq 757 devemos ig norar as descontinuidades A Eq 759 também pode ser descrita por na qual tph chamado de atraso de fase em ωc é dado por tphωc ωctg φ0ωc Geralmente tph varia com ω e podemos escrever Lembre também que o próprio tg varia com ω a Um sinal zt mostrado na Fig 730b é dado por na qual ωc 2000π O pulso xt Fig 730a é um pulso passabaixa de duração de 01 segundo e com lar gura de faixa aproximada de 10 Hz Esse sinal é passado através de um filtro cuja resposta em freqüência é mostrada na Fig 730c mostrada apenas para ω positivo Obtenha e trace a saída yt do filtro b Obtenha a resposta do filtro de ωc 4000π a O espectro de Zω é uma faixa estreita de 20 Hz centrada na freqüência f0 1 kHz O ganho na freqüência central 1 kHz é 2 O atraso de grupo o qual é o negativo da inclinação do gráfico de fase pode ser obtido desenhandose tangentes em ωc como mostrado na Fig 730c O negativo da inclina ção da tangente representa tg e a interseção com o eixo vertical pela tangente representa φ0 naquela fre qüência A partir das tangentes em ωc obtemos tg o atraso de grupo dado por EXEMPLO 719 638 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O eixo vertical é interceptado em φ0 04π Logo usando a Eq 759 com ganho G0 2 obtemos A Fig 730d mostra a saída yt a qual é constituída pelo envelope de pulso xt modulado atrasado por 1 ms e pela fase a portadora alterada por 04π A saída não mostra distorção no envelope xt apenas o atraso A mu dança de fase da portadora não afeta a forma do envelope Logo a transmissão é considerada sem distorção b A Fig 730c mostra que quando ωc 4000π a inclinação de Hω é nula logo tg 0 Além disso o ganho é G0 15 e a interseção da tangente com o eixo vertical é φ0 31π Logo Essa também é uma transmissão sem distorção pelos mesmos motivos do caso a Figura 730 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 639 75 FILTROS IDEAIS E PRÁTICOS Filtros ideais permitem a transmissão sem distorção de certas faixas de freqüência enquanto suprimem com pletamente as freqüências restantes Um filtro ideal passafaixas Fig 731 por exemplo permite que todas as componentes abaixo de ω W rads passem sem distorção e suprime todas as outras componentes acima de ω W rads A Fig 732 apresenta as características de um filtro ideal passaaltas e passafaixa Figura 730 Continuação Figura 731 Filtro passabaixas ideal a resposta em freqüência e b resposta ao impulso Figura 732 Respostas de um filtro ideal a passaaltas e b passafaixa 640 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O filtro passabaixas ideal da Fig 731a possui uma fase linear de inclinação td a qual resulta em um atra so de tempo de td segundos para todas as componentes de entrada abaixo de W rads Portanto se um sinal de entrada xt é limitado em faixa a W rads a saída yt é xt atrasado por td segundos ou seja O sinal xt é transmitido por esse sistema sem distorção mas com um atraso de tempo de td segundos Para esse filtro Hω ret ω2W e Hjω e jωtd tal que 760a A resposta ht ao impulso unitário desse filtro é obtida do par 18 Tabela 71 e da propriedade de desloca mento no tempo 760b Lembrese de que ht é a resposta do sistema ao impulso de entrada δt o qual é aplicado em t 0 A Fig 731b mostra um fato curioso a resposta ht começa mesmo antes da entrada ser aplicada em t 0 Claramen te o filtro é não causal e portanto não pode ser fisicamente realizado Similarmente podese mostrar que ou tros filtros ideais tais como os filtros passaaltas e passafaixa ideais mostrados na Fig 732 também não são fisicamente realizáveis Para um sistema fisicamente realizável ht deve ser causal ou seja No domínio da freqüência essa condição é equivalente ao conhecido critério de PaleyWiener o qual afirma que a condição necessária e suficiente para que a resposta de amplitude Hω seja realizável é 761 Se Hω não satisfizer essa condição ela não será realizável Note que se Hω 0 em qualquer faixa fini ta ln Hω naquela faixa e a condição 761 será violada Se entretanto Hω 0 em uma única fre qüência ou em um conjunto de freqüências discretas a integral da Eq 761 pode ainda ser finita mesmo que o integrando seja infinito em algumas freqüências discretas Portanto para um sistema fisicamente realizável Hω pode ser zero em algumas freqüências discretas mas não pode ser zero em qualquer faixa finita Além dis so se Hω decai exponencialmente ou em uma taxa mais alta com ω a integral em 761 tende para o infi nito e Hω não poderá ser realizado Obviamente Hω não pode cair rápido demais com ω De acordo com esse critério as características de um filtro ideal Figs 731 e 732 não podem ser realizadas A resposta ht ao impulso da Fig 731 não é realizável Uma abordagem prática no projeto de filtros é cor tar a cauda de ht para t 0 A resposta causal resultante ao impulso dada por será fisicamente realizável porque ela é causal Fig 733 Se td for suficientemente grande será uma aproxima ção próxima de h t e o filtro resultante será uma boa aproximação de um filtro ideal Essa realização de um fil tro ideal é obtida devido ao alto valor do atraso de tempo td Essa observação significa que o preço de uma boa realização é um grande atraso na saída Essa situação é comum em sistemas não causais Teoricamente é claro Estamos assumindo que Hω é quadrática integrável ou seja Note que o critério de PaleyWiener é um critério para que a resposta em amplitude Hω seja realizável CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 641 um atraso de td é necessário para realizar as características ideais Mas um rápido vislumbre da Fig 731b mostra que um atraso td de três ou quatro vezes πW fará com que h t seja uma razoável aproximação de ht td Por exemplo um filtro de áudio deve trabalhar com freqüências até 20 kHz W 40000π Nes te caso um td de aproximadamente 10 4 01 ms seria uma escolha adequada A operação de truncagem cor te da cauda de ht para tornála causal entretanto cria alguns problemas inesperados Iremos discutir esses problemas e suas soluções na Seção 78 Na prática podemos realizar uma grande variedade de características de filtros que se aproximam do ideal Características práticas realizáveis de filtros são graduais sem descontinuidades na resposta em amplitude PENSANDO NOS DOMÍNIOS DO TEMPO E DA FREQÜÊNCIA UM PONTO DE VISTA BIDIMENSIONAL DE SINAIS E SISTEMAS Tanto sinais quanto sistemas possuem personalidades duais o domínio do tempo e o domínio da freqüência Para uma perspectiva mais profunda devemos examinar e compreender as duas identidades pois elas oferecem visões complementares Um sinal exponencial por exemplo pode ser especificado por sua descrição no domínio do tem po tal como e 2tut ou por sua transformada de Fourier sua descrição no domínio da freqüência 1jω 2 A des crição no domínio do tempo mostra a forma de onda do sinal A descrição no domínio da freqüência apresenta a composição espectral amplitudes relativas de suas componentes senoidais ou exponenciais e suas fases Para o sinal e 2t por exemplo a descrição no domínio do tempo mostra um sinal exponencialmente decrescente com constante de tempo 05 A descrição no domínio da freqüência o caracteriza como um sinal passabaixa o qual po de ser sintetizado por senóides com amplitudes decrescentes por aproximadamente 1ω com a freqüência Um sistema LCIT também pode ser descrito ou especificado no domínio do tempo por sua resposta ht ao impulso ou no domínio da freqüência por sua resposta em freqüência Hω Na Seção 27 foi estudado intuiti vamente o comportamento do sistema em função da resposta ao impulso a qual é constituída dos modos carac terísticos do sistema Simplesmente por motivos qualitativos vimos que o sistema responde bem a sinais que são similares aos modos característicos e que responde fracamente a sinais muito diferentes desses modos Tam bém vimos que a forma da resposta ht ao impulso determina a constante de tempo do sistema velocidade de resposta e a dispersão de pulso espalhamento a qual por sua vez determina a taxa de transmissão de pulsos A resposta em freqüência Hω especifica a reposta do sistema a entrada exponencial ou senoidal de várias freqüências Esta é precisamente a característica de filtragem do sistema Engenheiros eletricistas com experiência instintivamente pensam nos dois domínios no tempo e na fre qüência sempre que possível Quando olham para um sinal eles consideram sua forma de onda a largura do sinal duração e a taxa na qual a forma de onda decai Isso é basicamente uma perspectiva no domínio do tempo Eles também pensam no sinal em termos de seu espectro de freqüência ou seja em termos de suas componentes senoidais e de suas amplitudes e fases relativas se o espectro é passabaixa passafaixa passa EXERCÍCIO E712 Mostre que um filtro com resposta em freqüência Gaussiana Hω e αω 2 é não realizável Demonstre esse fato de duas formas primeiro mostrando que essa resposta ao impulso é não causal e depois mostrando que Hω viola o critério de PaleyWiener Dica use o par 22 da Tabela 71 Figura 733 Realização aproximada de um filtro passabaixas ideal obtida pelo truncamento de sua resposta ao impulso 642 SINAIS E SISTEMAS LINEARES alta e assim por diante Essa é uma perspectiva no domínio da freqüência Quando eles pensam em um siste ma pensam na resposta ht ao impulso do sistema A largura de ht indica a constante de tempo tempo de resposta ou seja quão rápido o sistema é capaz de responder a uma entrada e quanta dispersão espalha mento ele irá causar Essa é uma perspectiva no domínio do tempo Da perspectiva no domínio da freqüên cias esses engenheiros vêem o sistema como um filtro o qual transmite seletivamente certas componentes de freqüência e suprimem outras resposta em freqüência Hω Conhecendo o espectro do sinal de entrada e a resposta em freqüência do sistema eles criam uma imagem mental do espectro de saída do sinal Esse con ceito é precisamente expressado por Yω XωHω Podemos analisar sistemas LIT por técnicas no domínio do tempo ou por técnicas no domínio da freqüência Por que então aprender os dois A razão é que os dois domínios oferecem uma visão complementar do com portamento do sistema Alguns aspectos são facilmente compreendidos em um domínio enquanto que outros aspectos podem ser mais facilmente visto em outro domínio Tanto os métodos no domínio do tempo quanto no da freqüência são tão essenciais no estudo de sinais e sistemas quanto os dois olhos são essenciais ao ser huma no para a correta percepção visual da realidade Uma pessoa pode ver com cada um dos olhos mas para a per cepção adequada da realidade tridimensional os dois olhos são essenciais É importante manter os dois domínios separados e não misturar as entidades dos dois domínios Se estiver mos usando o domínio da freqüência para determinar a resposta do sistema devemos trabalhar com todos os si nais em termos de seus espectros transformadas de Fourier e todos os sistemas em termos de suas respostas em freqüência Por exemplo para determinar a resposta yt do sistema a uma entrada xt podemos primeiro con verter o sinal de entrada em sua descrição Xω no domínio da freqüência A descrição do sistema também de ve estar no domínio da freqüência ou seja a resposta em freqüência Hω O espectro do sinal de saída será Yω XωHω Portanto o resultado saída também estará no domínio da freqüência Para determinar a res posta final yt devemos obter a transformada inversa de Yω 76 ENERGIA DO SINAL A energia Ex do sinal xt foi definida no Capítulo 1 como sendo 762 A energia do sinal pode ser relacionada com o espectro Xω do sinal pela substituição da Eq 78b na Eq 762 Nesta equação usamos o fato de que xt sendo o conjugado de xt pode ser expressa como o conjugado do lado direito da Eq 78b Alterando agora a ordem da integração obtemos 763 Conseqüentemente 764 Este é o enunciado do conhecido Teorema de Parseval para a transformada de Fourier Um resultado simi lar foi obtido nas Eqs 640 e 641 para um sinal periódico e sua série de Fourier Esse resultado nos permite determinar a energia do sinal a partir da especificação xt no domínio do tempo de ou da correspondente espe cificação Xω no domínio da freqüência CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 643 A Eq 763 pode ser interpretada como sendo a energia do sinal xt que resulta das contribuições das energias de todas as componentes espectrais do sinal xt A energia total do sinal é a área sob Xω 2 divi dida por 2π Se considerarmos uma pequena faixa Δω Δω 0 como ilustrado na Fig 734 a energia ΔEx das componentes espectrais nessa faixa é a área sob Xω 2 nessa faixa dividida por 2π 765 Portanto a contribuição de energia pelas componentes nesta faixa de Δf em hertz será Xω 2Δf A energia total do sinal é a soma das energias de todas as faixas sendo indicada pela área sob Xω 2 como na Eq 763 Assim sendo Xω 2 é a densidade espectral de energia por unidade de largura de faixa em hertz Para sinais reais Xω e Xω são conjugados e Xω 2 é uma função par de ω porque Logo a Eq 763 pode ser descrita por 766 A energia Ex do sinal a qual resulta das contribuições de todas as componentes em freqüência de ω 0 a é dada por 1π vezes a área sob Xω 2 de ω 0 a A energia contribuída pelas componentes espectrais de freqüências entre ω1 e ω2 é 767 Figura 734 Interpretação da densidade espectral de energia de um sinal Determine a energia do sinal xt e atuT Determine a freqüência W rads tal que a energia contribuída pe las componentes espectrais de todas as freqüências abaixo de W seja 95 da energia Ex do sinal Temos 768 EXEMPLO 720 Na Eq 766 assumimos que Xω não contém um impulso em ω 0 Se tal impulso existir ele deve ser integrado em separado com um fator de ganho de 12π em vez de 1π 644 SINAIS E SISTEMAS LINEARES LARGURA DE FAIXA ESSENCIAL DE UM SINAL O espectro de todos os sinais práticos se estende ao infinito Entretanto como a energia de qualquer sinal prático é finita o espectro do sinal deve aproximar de 0 quando ω A maior parte da energia do sinal está contida dentro de uma certa faixa de B Hz e a energia contribuída pelas componentes além de B Hz pode ser negligencia da Podemos portanto suprimir o espectro do sinal além de B Hz com pouco efeito na forma e energia do sinal A largura de faixa B é chamada de largura de faixa essencial do sinal O critério para a seleção de B depende da tolerância de erro em uma aplicação particular Podemos por exemplo selecionar B para ser a faixa que contém 95 da energia do sinal Essa figura pode ser maior ou menor do que 95 dependendo da precisão requerida Usando esse critério podemos determinar a largura de faixa essencial de um sinal A largura de faixa essencial B para o sinal e atut usando o critério de 95 da energia foi obtida no Exemplo 720 como sendo 202a Hz A supressão de todas as componentes espectrais de xt além da largura de faixa essencial resulta em um si nal xt o qual é uma boa aproximação de xt Se utilizarmos os critério de 95 para a largura de faixa essen cial a energia do erro a diferença xt xt é 5 de Ex 77 APLICAÇÃO EM COMUNICAÇÕES MODULAÇÃO EM AMPLITUDE A modulação causa um deslocamento espectral no sinal sendo utilizada para ganhar certas vantagens mencio nadas em nossa discussão da propriedade de deslocamento na freqüência Falando genericamente existem duas classes de modulação modulação em amplitude linear e modulação em ângulo não linear Nesta seção ire mos discutir algumas formas práticas de modulação em amplitude Podemos verificar esse resultado pelo teorema de Parseval Para este sinal e A faixa ω 0 a ω W contém 95 da energia do sinal ou seja 0952a Portanto da Eq 767 com ω1 0 e ω2 W obtemos ou 769 Esse resultado indica que as componentes espectrais de xt na faixa de 0 cc a 12706a rads 202a Hz contribuem com 95 do total da energia do sinal As componentes espectrais restantes na faixa de 12706a rads a contribuem apenas com 5 da energia do sinal EXERCÍCIO E713 Utilize o teorema de Parseval para mostrar que a energia do sinal xt 2at 2 a 2 é 2πa Dica obtenha Xω usando o par 3 da Tabela 71 e a propriedade da dualidade Para sinais passabaixa a largura de faixa essencial também pode ser definida como sendo a freqüência na qual o valor do espectro de amplitude é uma pequena fração aproximadamente 1 do seu valor de pico No Exemplo 720 por exemplo o valor de pico o qual ocorrem em ω 0 é 1a CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 645 771 Modulação em Faixa Lateral Dupla Portadora Suprimida DSBSC Na modulação em amplitude a amplitude A da portadora A cos ωct θc é variada de alguma forma com o si nal bandabase mensagem mt chamado de sinal modulante A freqüência ωc e a fase θc são constantes Po demos assumir θc 0 sem perda de generalidade Se a amplitude da portadora A for diretamente proporcional ao sinal modulante mt o sinal modulado será mt cos ωct Fig 735 Como indicado anteriormente Eq 741 esse tipo de modulação simplesmente desloca o espectro de mt para a freqüência da portadora Fig 735c Portanto se então 770 Lembrese de que Mω ωc é Mω deslocado para a direita por ωc e Mω ωc é Mω deslocado para a es querda por ωc Portanto o processo de modulação desloca o espectro do sinal modulante para a esquerda e di Figura 735 Modulação DSBSC N de T DoubleSideband SuppressedCarrier O termo bandabase é utilizado para designar a faixa de freqüências do sinal entregue por alguma fonte ou um transdutor de entrada 646 SINAIS E SISTEMAS LINEARES reita por ωc Observe também que se a largura de faixa de mt é B Hz então como indicado na Fig 735c a lar gura do sinal modulado será 2B Hz Note também que o espectro do sinal modulado está centrado em ωc sendo composto por duas partes uma parte que está acima de ωc chamada de faixa lateral superior USB e uma par te que está abaixo de ωc chamada de faixa lateral inferior LSB Similarmente o espectro centrado em ωc possui faixas laterais superior e inferior Essa forma de modulação é chamada de modulação em faixa lateral du pla DSB por razões óbvias A relação de B com ωc é de interesse A Fig 735c mostra que ωc 2π B para evitar a sobreposição do espec tro centrado em ωc Se ωc 2π B o espectro será sobreposto e a informação de mt será perdida no processo de modulação uma perda que tornará impossível a recuperação de mt do sinal modulado mt cos ωct Para um sinal bandabase mt cos ωmt determine o sinal DSB e trace seu espectro Identifique as faixas laterais superior e inferior Iremos trabalhar neste problema no domínio da freqüência e no domínio do tempo para clarear os conceitos básicos de modulação DSBSC No domínio da freqüência trabalhamos com o espectro do sinal O espec tro do sinal bandabase mt cos ωmt é dado por O espectro é constituído por dois impulsos localizados em ωm como mostrado na Fig 736a O espec tro DSBSC modulado como indicado na Eq 770 é o espectro do sinal bandabase da Fig 736a des locado para a direita e para a esquerda por ωc vezes 05 como mostrado na Fig 736b Esse espectro é constituído por impulsos em ωc ωm e ωc ωm O espectro além de ωc é a faixa lateral superior USB e o abaixo de ωc é a faixa lateral inferior LSB Observe que o espectro DSBSC não contém como compo nente a freqüência da portadora ωc Esse é o motivo para o termo faixa lateral dupla portadora suprimida DSBSC ser utilizado nesse tipo de modulação No domínio do tempo trabalhamos diretamente com os sinais no domínio do tempo Para o sinal banda base mt cos ωmto sinal DSBSC ϕDSBSCt é 771 Esse resultado mostra que quando o sinal bandabase mensagem é uma senóide única de freqüência ωm o sinal modulado é constituído por duas senoides a componente de freqüência ωc ωm faixa lateral supe rior e a componente de freqüência ωc ωm faixa lateral inferior A Fig 736b ilustra precisamente o es pectro de ϕDSBSCt Portanto cada componente de freqüência ωm no sinal modulante resulta em duas com ponentes de freqüências ωc ωm e ωc ωm no sinal modulado Sendo uma modulação DSBSC portadora suprimida não existe componente na freqüência ωc da portadora no lado direito da Eq 771 EXEMPLO 721 N de T Upper SideBand N de T Lower SideBand Fatores práticos podem impor restrições adicionais a ωc Por exemplo em aplicações de broadcast uma antena de irradiação pode ir radiar apenas em uma faixa estreita sem distorção Essa restrição implica que para evitar a distorção causada pela antena de irradiação ωc2πB 1 A transmissão de rádio AM por exemplo com B 5 kHz e a faixa de 550 1600 kHz para a freqüência de portadora re sulta em uma razão de ωc2π B aproximadamente na faixa de 100 300 O termo portadora suprimida não necessariamente significa a ausência do espectro na freqüência da portadora Portadora suprimida simplesmente indica que não existe componente discreta da freqüência da portadora Como não existe componente discreta o espec tro DSBSC não possui impulsos em ωc implicando que o sinal modulado mt cos ωct não contém um termo na forma k cos ωct con siderando que mt possui um valor médio nulo CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 647 DEMODULAÇÃO DE SINAIS DSBSC A modulação DSBSC translada ou desloca o espectro de freqüência para a esquerda ou direita por ωc is to é para ωc e ωc como visto na Eq 770 Para recuperar o sinal original mt do sinal modulado de vemos transladar novamente o espectro para sua posição original O processo de recuperação do sinal de mensagem do sinal modulado deslocando novamente o espectro para sua posição original é chamado de demodulação ou detecção Observe que se o espectro do sinal modulado da Fig 735c for deslocado para a esquerda e para a direita por ωc e dividido pela metade obteremos o espectro ilustrado na Fig 737b o qual contém o espectro bandabase desejado e um espectro indesejado em 2ωc Esse espectro indesejado pode ser removido por um filtro passabaixas Portanto a demodulação a qual é quase idêntica à modula ção consiste na multiplicação do sinal modulado de entrada mt cos ωct pela portadora cos ωct seguido por um filtro passabaixas como mostrado na Fig 737a Podemos verificar essa conclusão diretamente no do mínio do tempo observando que o sinal et da Fig 737a é 772a Figura 737 Demodulação de DSBSC a demodulador e b espectro de et Figura 736 Exemplo de modulação DSBSC 648 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Portanto a transformada de Fourier do sinal et é 772b Logo et é constituído por duas componentes 12mt e 12mt cos 2ωct com seu espectro apresentado na Fig 737b O espectro da segunda componente sendo um sinal modulado com freqüência de portadora 2ωc está centrado em 2ωc Logo essa componente é suprimida pelo filtro passabaixas da Fig 737a A componen te desejada 12Mω sendo um espectro passabaixa centrado em ω 0 passará inalterado pelo filtro resul tando na saída 12mt Uma possível forma para a característica do filtro passabaixas é mostrada em pontilhado na Fig 737b Neste método de recuperação do sinal bandabase chamado de detecção síncrona ou detecção coe rente usamos uma portadora com exatamente a mesma freqüência e fase da portadora utilizada na modu lação Portanto para a demodulação precisamos gerar uma portadora local ao receptor com freqüência e fase coerentes sincronizada com a portadora utilizada no modulador Iremos demonstrar no exemplo 722 que tanto o sincronismo de fase quanto freqüência são extremamente críticos Discuta o efeito da falta de coerência sincronismo de fase e freqüência entre as portadoras do modulador transmissor e demodulador receptor na modulação DSBSC Considere a portadora do modulador igual a cos ωct Fig 735a Para o demodulador da Fig 737a iremos considerar dois casos portadora cos ωct θ erro de fase de θ e portadora cos ωc Δωt erro de freqüên cia Δω a Com a portadora do demodulador igual a cos ωct θ em vez de cos ωct na Fig 737a a saída mul tiplicada será et mt cos ωct cos ωct θ em vez de mt cos 2 ωct Usando identidades trigonométricas obtemos O espectro da componente 12mt cos 2ωct θ é centrado em 2ωc Conseqüentemente ele será fil trado pelo filtro passabaixas da saída A componente 12mt cos θ é o sinal mt multiplicado pela cons tante 12 cos θ O espectro dessa componente é centrado em ω 0 espectro passabaixa e irá passar pe lo filtro passabaixas de saída resultando na saída 12mt cos θ Se θ for uma constante a falta de sincronismo de fase simplesmente resultará em uma saída atenuada por um fator cos θ Infelizmente na prática θ geralmente é a diferença de fase entre as portadoras gera das por dois geradores distantes e varia aleatoriamente com o tempo Essa variação resultará em uma saída cujo ganho varia aleatoriamente com o tempo b No caso de erro de freqüência a portadora do demodulador é cos ωc Δωt Essa situação é muito similar ao erro de fase causado na parte a com θ substituído por Δωt Seguindo a análise da parte a po demos expressar o produto et do demodulador por O espectro da componente 12mt cos 2ωc Δωt é centrado em 2ωc Δω Conseqüentemente es ta componente será filtrada pelo filtro passabaixas da saída A componente 12mt cos Δωt é o sinal mt multiplicado por uma portadora de baixa freqüência Δω O espectro dessa componente é centrado em Δω Na prática o erro de freqüência Δω é muito pequeno Logo o sinal 12mt cos Δωt cujo espectro es tá centrado em Δω é um sinal passabaixa e irá passar pelo filtro de saída resultando na saída 12mt cos Δωt A saída é o sinal desejado mt multiplicado por uma senoide de baixa freqüência cos Δωt A EXEMPLO 722 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 649 772 Modulação em Amplitude AM Para o esquema de portadora suprimida discutido anteriormente o receptor deve gerar uma portadora com sincro nismo de fase e freqüência com a portadora do transmissor que pode estar localizado a centenas ou milhares de qui lômetros de distância Essa situação requer um receptor sofisticado o qual provavelmente deve ser muito caro Uma alternativa é o transmissor transmitir a portadora A cos ωct juntamente com o sinal modulado mt cos ωct de tal forma que não exista a necessidade de gerar uma portadora no receptor Nesse caso o transmissor precisa transmi tir muita potência um procedimento caro Em comunicações pontoaponto nas quais há apenas um transmissor pa ra cada receptor a substancial complexidade no sistema receptor pode ser justificada desde que haja uma economia substancial em equipamentos caros de transmissão de alta potência Por outro lado para um sistema de radiodifu são com vários receptores para cada transmissor é mais econômico ter um único transmissor de alta potência e re ceptores mais simples mais baratos A segunda opção transmissão da portadora juntamente com o sinal modula do é a escolha óbvia neste caso Esta é a modulação em amplitude AM na qual o sinal transmitido ϕAMt é 773a 773b Lembrese de que o sinal DSBSC é mt cos ωct A partir da Eq 773b vemos que o sinal AM é idêntico ao sinal DSBSC com A mt como sendo o sinal modulante em vez de mt Portanto para traçar ϕAMt traçamos A mt e A mt como envelopes e preenchemos com a senóide da freqüência da portadora Dois casos são considerados na Fig 738 No primeiro caso A é suficientemente grande tal que A mt 0 não negativo para todos os valores de t No segundo caso A não é suficientemente grande para satisfazer essa con dição No primeiro caso o envelope Fig 738d possui a mesma forma que mt apesar de possuir uma mag nitude cc igual a A No segundo caso a forma do envelope não é mt pois em algumas partes ele fica retifica do Fig 738e Portanto podemos detectar o sinal desejado mt detectando o envelope no primeiro caso No segundo caso tal detecção não é possível Iremos ver que a detecção de envelope é uma operação extremamen te simples e barata a qual não necessita da geração de uma portadora local para a demodulação Mas como ob servado o envelope de AM possui a informação de mt somente se o sinal AM A mt cos ωct satisfizer a condição A mt 0 para todo t Portanto a condição para a detecção de envelope de um sinal AM é 774 Se mp é o pico de amplitude positiva ou negativa de mt então a condição 774 é equivalente a 775 Portanto a amplitude mínima da portadora necessária para a viabilidade da detecção por envelope é mp Es se ponto é claramente ilustrado na Fig 738 Definimos o índice de modulação μ por 776 no qual A é a amplitude da portadora Note que mp é uma constante do sinal mt Como A mp e como não exis te limite superior para A temos que 777 como condição necessária para a viabilidade de demodulação de AM por detector de envelope saída nesse caso não é simplesmente uma réplica atenuada do sinal desejado mt mas representa mt mul tiplicado por um ganho variante no tempo cos Δωt Se por exemplo as freqüências do transmissor e re ceptor forem diferentes por apenas 1 Hz a saída será o sinal desejado mt multiplicado por um sinal varian te no tempo cujo ganho vai do máximo a 0 a cada meio seguindo Isso é como uma incansável criança brin cando com o botão de volume do receptor indo do volume máximo ao volume zero a cada meio segundo Esse tipo de distorção chamado de efeito de batimento está além de qualquer recuperação No caso dos picos de amplitude positiva e negativa não serem idênticos mp da condição 775 é o pico de amplitude negativo absoluto 650 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Quando A mp a Eq 776 mostra que μ 1 sobremodulação mostrada na Fig 738e Neste caso a op ção de detecção de envelope não é mais viável Precisaremos então utilizar a demodulação síncrona Note que a demodulação síncrona pode ser utilizada para qualquer valor de μ veja o Prob 776 O detector de envelope o qual é consideravelmente mais simples e mais barato do que o detector síncrono só pode ser uti lizado quando μ 1 Trace ϕAMt para índices de modulação μ 05 50 de modulação e μ 1 100 de modulação quando mt B cos ωmt Esse caso é referenciado como modulação de tom porque o sinal de modulação é uma se noide pura ou tom Neste caso mp B e o índice de modulação de acordo com a Eq 776 é EXEMPLO 723 Figura 738 Um sinal AM a para dois valores de A b c e seus respectivos envelopes d e CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 651 DEMODULAÇÃO DE AM DETECTOR DE ENVELOPE O sinal AM pode ser demodulado coerentemente por uma portadora gerada localmente veja o Prob 776 Co mo entretanto a demodulação coerente ou síncrona de AM com μ 1 vai contra o propósito do AM ela ge ralmente não é utilizada na prática Iremos considerar um dos métodos não coerentes de demodulação AM a de tecção de envelope Em um detector de envelope a saída do detector segue o envelope do sinal de entrada modulado O circui to apresentado na Fig 740a funciona como um detector de envelope Durante o ciclo positivo do sinal de entra da o diodo conduz e o capacitor de carrega até a tensão de pico do sinal de entrada Fig 740b Quando o sinal de entrada cai abaixo desse valor de pico o diodo é cortado porque a tensão do capacitor a qual é muito próxi ma do valor de pico é maior do que a tensão de entrada uma circunstância que causa a abertura do diodo O ca pacitor agora descarrega através do resistor R com uma taxa lenta constante de tempo RC Durante o próxi mo ciclo positivo o mesmo drama se repete Quando o sinal de entrada se torna maior do que a tensão do capa citor o diodo volta a conduzir O capacitor se carrega novamente até o valor de pico deste novo ciclo Quando a tensão de entrada cai abaixo do novo pico o diodo fica novamente cortado e o capacitor se descarrega lenta mente durante o período de corte um processo que altera a tensão do capacitor lentamente Dessa forma durante cada ciclo positivo o capacitor se carrega até a tensão de pico do sinal de entrada e en tão decai lentamente até o próximo ciclo positivo Portanto a tensão de saída υCt segue o envelope da entra da O capacitor descarrega entre dois picos positivos entretanto causando um sinal de ripple de freqüência ωc na saída Esse ripple pode ser reduzido aumentandose a constante de tempo RC de tal forma que a descarga do capacitor seja mínima entre dois picos positivos RC 1ωc Tornar RC muito grande entretanto pode fazer com que seja impossível que a tensão do capacitor siga o envelope veja a Fig 740b Portanto RC deve ser grande em comparação a 1ωc mas pequeno em comparação com 12π B na qual B é a mais alta freqüência em mt Incidentalmente essas duas condições também requerem que ωc 2π B uma condição necessária para um envelope bem definido Logo B μA e Portanto 778 Os sinais modulados correspondentes a μ 05 e μ 1 aparecem na Fig 739a e 739b respectivamente Figura 739 AM modulado por tom a μ 05 e b μ 1 Existem outros métodos para a detecção não coerente O detector retificador consiste em um retificador seguido por um filtro passa baixas Esse método é tão simples e quase sem custo quanto o detector de envelope 4 O detector não linear apesar de simples e barato resulta em uma saída distorcida 652 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A saída υCt do detector de envelope é A mt mais um ripple de freqüência ωc O termo cc A pode ser blo queado por um capacitor ou por um filtro RC passaaltas simples O ripple é reduzido por outro filtro RC pas sabaixas No caso de sinais de áudio os altofalantes funcionam como filtros passabaixas o que aumenta ain da mais a supressão do ripple de alta freqüência 773 Modulação em Faixa Lateral Simples SSB Considere agora o espectro bandabase Mω Fig 741a e o espectro do sinal modulado DSBSC mt cos ωct Fig 741b O espectro DSB da Fig 741b possui duas faixas laterais a faixa superior e a inferior USB e LSB as duas contendo a informação completa de Mω veja as Eqs 711 Obviamente é redundante transmitir as duas faixas laterais um processo que requer o dobro da largura de faixa do sinal bandabase Um esquema no qual apenas uma faixa lateral é transmitida é chamado de transmissão faixa lateral simples SSB a qual requer apenas metade da largura de faixa do sinal DSB Portanto transmitimos apenas as faixas laterais superior Fig 741c ou apenas as faixas laterais inferior Fig 741d Um sinal SSB pode ser demodulado coerentemente demodulação síncrona Por exemplo a multiplicação de um sinal USB Fig 741c por 2 cos ωct desloca seu espectro para a esquerda e direita por ωc resultando no espectro da Fig 741e A filtragem usando um filtro passabaixas desse sinal resulta no sinal banda base deseja do O caso é similar com um sinal LSB Logo a demodulação de sinais SSB é idêntica a sinais DSBSC e o de modulador síncrono da Fig 737a pode demodular sinais SSB Note que estamos falando de sinais SSB sem a portadora logo eles são sinais de portadora suprimida SSBSC Figura 740 Demodulação pelo detector de envelope Saída do detector de envelope CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 653 Figura 741 Espectro para a transmissão faixa lateral simples a bandabase b DSB c USB d LSB e e sinal demodulado usando demodulação síncrona Determine os sinais USB faixa lateral superior e LSB faixa lateral inferior quando mt cos ωmt Trace seus espectros e mostre que esses sinais SSB podem ser demodulados usando o demodulador síncrono da Fig 737a O sinal DSBSC para esse caso é 779 Como mostrado no exemplo 721 os termos 12 cos ωc ωmt e 12 cos ωc ωmt representam as faixas laterais superior e inferior respectivamente O espectro dessas faixas laterais é mostrado na Fig 742a EXEMPLO 724 654 SINAIS E SISTEMAS LINEARES GERAÇÃO DE SINAIS SSB Dois métodos são geralmente utilizados para gerar sinais SSB O método de filtragem seletiva utiliza filtros com corte abrupto para eliminar a faixa lateral indesejada e o segundo método utiliza circuitos de deslocamento de fase 4 para atingir o mesmo objetivo A filtragem seletiva é o método mais utilizado de geração de sinais SSB Nesse método o sinal DSBSC passa por um filtro com característica de corte muito íngreme para eliminar a faixa lateral indesejada e 742b Observe que esses espectros podem ser obtidos do espectro DSBSC da Fig 736b usando um fil tro adequado para suprimir a faixa lateral indesejada Por exemplo o sinal USB da Fig 742a pode ser ob tido filtrando o sinal DSBSC Fig 736b usando um filtro passaaltas com freqüência de corte ωc Simi larmente o sinal LSB na Fig 742b pode ser obtido passando o sinal DSBSC por um filtro passabaixa de uma freqüência de corte de ωc Se aplicarmos o sinal LSB 12 cos ωc ωmt ao demodulador síncrono da Fig 737a a saída do multi plicador será O termo 14 cos 2ωc ωmt é suprimido por um filtro passabaixas produzindo a saída desejada 14 cos ωmt o qual é mt4 O espectro deste termo é πδω ωm δω ωm4 como mostrado na Fig 742c Da mesma forma podemos mostrar que o sinal USB pode ser demodulado usando o demodulador síncrono No domínio da freqüência a demodulação multiplicação por cos ωct representa o deslocamento do es pectro LSB Fig 742b para a esquerda e para a direita por ωc vezes 05 e então suprimindo a alta fre qüência como ilustrado na Fig 742c O espectro resultante representa o sinal desejado 14mt Figura 742 Espectro de faixa lateral simples para mt cos ωmt a USB b LSB c sinal LSB de modulado por demodulador síncrono N de T Single SideBand Outro método chamado de Método de Weaver também é utilizado para gerar sinais SSB CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 655 Para obter o USB o filtro deve passar todas as componentes acima de ωc inalteradas e suprimir completa mente todas as componentes abaixo de ωc Tal operação requer um filtro ideal o qual não é realizável Entretan to podemos realizar uma boa aproximação do filtro se existir alguma separação entre a faixa passante e a faixa filtrada Felizmente o sinal de voz fornece essa condição pois seu espectro mostra pouco conteúdo de potência na origem Fig 743 Além disso testes de articulação para sinais da fala mostram que componentes abaixo de 300 Hz não são importantes Em outras palavras podemos suprimir todas as componentes da fala abaixo de 300 Hz sem afetar apreciavelmente a inteligibilidade Portanto a filtragem da faixa lateral indesejada se torna rela tivamente simples para sinais de fala porque temos uma transição de 600 Hz ao redor da freqüência de corte ωc Para alguns sinais nos quais temos uma considerável potência em baixas freqüências ao redor de ω 0 téc nicas SSB causam uma distorção considerável Esse é o caso de sinais de vídeo Conseqüentemente para sinais de vídeo em vez de SSB utilizamos outra técnica a faixa lateral vestigial VSB a qual é um compromisso entre SSB e DSB Ela herda as vantagens de SSB e DSB mas evita suas desvantagens ao custo de um pequeno acréscimo de largura de faixa Sinais VSB são relativamente simples de serem gerados e suas larguras de faixa são apenas um pouco maior tipicamente 25 do que sinais SSB Em sinais VSB em vez de rejeitar uma fai xa lateral completamente tal como em SSB aceitamos um corte gradual de uma faixa lateral 4 774 Multiplexação por Divisão na Freqüência A multiplexação de sinais permite a transmissão de vários sinais em um mesmo canal Posteriormente no Ca pítulo 8 Seção 822 iremos discutir a multiplexação por divisão no tempo TDM na qual vários sinais compartilham no tempo o mesmo canal tal com um cabo ou fibra óptica Na multiplexação por divisão na fre qüência FDM o uso da modulação como ilustrado na Fig 744 faz com que vários sinais compartilhem a banda de um mesmo canal Cada sinal é modulado por uma freqüência de portadora diferente As várias por tadoras são adequadamente separadas para evitar a sobreposição ou interferência entre os espectros dos vá rios sinais modulados Essas portadoras são chamadas de subportadoras Cada sinal pode utilizar um tipo di ferente de modulação por exemplo DSBSC AM SSBSC VSBSC ou mesmo outras formas de modula ção não discutidas Tal como FM modulação em freqüência ou PM modulação em fase O espectro do si nal modulado pode ser separado por um pequeno guarda banda para evitar a interferência e para facilitar a se paração do sinal pelo receptor Quando todos os espectros dos sinais modulados são adicionados temos um sinal composto que pode ser considerado como um novo sinal bandabase Algumas vezes esse sinal bandabase composto pode ser utili zado para modular uma portadora de alta freqüência freqüência de rádio ou RF para a transmissão No receptor o sinal de entrada é inicialmente demodulado pela portadora RF obtendo o sinal bandabase composto o qual então é filtrado por passafaixas para separar os sinais modulados Cada sinal modulado é então individualmente demodulado pela subportadora adequada para obtemos todos os sinais bandabase básicos Similarmente a supressão de componentes do sinal da fala acima de 3500 Hz não resulta em uma mudança apreciável na inteligibili dade N de T Vestigial SideBand N de T Frequencydivision multiplexing Figura 743 Espectro de voz Potência relativa 656 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 78 TRUNCAGEM DE DADOS FUNÇÕES DE JANELA Geralmente precisamos truncar dados em diversas situações desde cálculos numéricos até projeto de filtros Por exemplo se precisarmos calcular numericamente a transformada de Fourier de algum sinal digamos e tut te remos que desprezar o sinal e tut além de algum valor suficientemente grande de t tipicamente acima de cin co constantes de tempo A razão é que em cálculos numéricos devemos trabalhar com dados de duração fini ta Similarmente a resposta ao impulso ht de um filtro passabaixas ideal é não causal e aproximase de zero assintoticamente quando t Em um projeto prático podemos querer desprezar ht além de um valor su ficientemente grande de t para tornar ht causal e de duração finita Na amostragem de sinal para eliminar o Figura 744 Multiplexação por divisão em freqüência a espectro FDM b transmissor e c receptor CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 657 aliasing devemos utilizar um filtro antialiasing para desprezar o espectro do sinal além da freqüência ωs2 No vamente podemos querer sintetizar um sinal periódico somando as n primeiras harmônicas e desprezando todas as outras harmônicas mais altas Esses exemplos mostram que a truncagem de dados pode ocorrer tanto no do mínio do tempo quanto no domínio da freqüência Superficialmente a truncagem parece ser um problema sim ples de desprezar dados a partir de um ponto no qual os valores são julgados como sendo suficientemente pe quenos Infelizmente esse não é o caso A truncagem simples pode causar alguns problemas inesperados FUNÇÕES DE JANELA A operação de truncagem pode ser imaginada como a multiplicação de um sinal de largura grande por uma fun ção janela de largura menor finita A truncagem simples representa a utilização de uma janela retangular mostrada posteriormente na Fig 747a na qual associamos peso unitário a todos os dados dentro da lar gura da janela t T2 e associamos peso zero a todos os dados fora da janela t T2 Também é possível utilizar uma janela na qual o peso associado ao dado dentro da janela não seja constante Na janela triangular por exemplo o peso associado ao dado diminui linearmente dentro da largura da janela mostrado pos teriormente na Fig 747b Considere um sinal xt e uma função janela Se xt Xω e Wω e se a função após a apli cação da janela então De acordo com a propriedade de largura da convolução temos que a largura de e igual a soma das largura de Xω e Wω Portanto a truncagem do sinal aumenta sua largura de faixa pelo total da largura de faixa de Claramente a truncagem de um sinal faz com que seu espectro se espalhe difunda pelo total da largura de faixa de Lembrese de que a largura de faixa do sinal é inversamente proporcional à dura ção do sinal largura Logo quando mais larga a janela melhor sua largura de faixa e menor o espalhamento espectral Esse resultado é previsível porque uma janela mais larga significa que estamos aceitando mais da dos aproximação melhor a qual resultaria em menor distorção menos espalhamento espectral Uma largu ra da janela menor aproximação pior causa mais espalhamento espectral mais distorção Além disso como Wω não é realmente estritamente limitada em faixa e seu espectro 0 apenas assintoticamente o espectro de 0 assintoticamente na mesma taxa que Wω mesmo se Xω for de fato estritamente limitada em faixa Portanto a aplicação de uma janela faz com que o espectro de Xω se espalhe na faixa na qual ela de veria ser zero Esse efeito é chamado de vazamento O exemplo a seguir irá mostrar estes efeitos gêmeos o es palhamento espectral e o vazamento Vamos considerar xt cos ω0t e a janela retangular ret tT ilustrado na Fig 745b A razão para selecionar uma senóide para xt é que seu espectro é constituído por linhas espectrais de largura zero Fig 745a Logo essa escolha fará com que o efeito do espalhamento espectral e do vazamento se tornem mais vi síveis O espectro do sinal truncado é a convolução dos dois impulsos de Xω com o espectro sinc da fun ção de janela Como a convolução de qualquer função com o impulso é a função propriamente dita deslocada para a posição do impulso o espectro resultante do sinal truncado é 12π vezes os dois pulsos sinc em ω0 co mo mostrado na Fig 745c veja também a Fig 726 A comparação do espectro de Xω e mostra os efeitos da truncagem 1 As linhas espectrais de Xω possuem largura zero mas o sinal truncado é espalhado por 2πT em cada linha espectral O total de espalhamento é igual à largura do lóbulo principal do espectro da janela Um efeito deste espalhamento espectral ou difusão é que se xt possui duas componentes espectrais de fre qüências distintas por menos do que 4πT rads 2T Hz elas não poderão ser distinguidas no sinal trun cado O resultado é perda de resolução espectral Obviamente queremos que esse espalhamento espec tral largura do lóbulo principal de Xω seja o menor possível 2 Além do espalhamento do lóbulo principal o sinal truncado possui lóbulos laterais os quais decaem len tamente com a freqüência O espectro de xt é zero em todo lugar exceto em ω0 Por outro lado o es pectro do sinal truncado é zero em lugar algum devido aos lóbulos laterais Esses lóbulos late rais decaem assintoticamente com 1ω Portanto a truncagem resulta no vazamento espectral na faixa na qual o espectro do sinal xt seria zero A magnitude de pico do lóbulo lateral é 0217 vezes a magnitu de do lóbulo principal 133 dB abaixo da magnitude do lóbulo principal Além disso os lóbulos late rais decaem a uma taxa de 1ω a qual é 6 dBoitava ou 20 dBdécada Essa é a taxa de rolloff dos ló 658 SINAIS E SISTEMAS LINEARES bulos laterais Obviamente queremos lóbulos laterais menores com uma taxa de decaimento mais rápi da alta taxa de rolloff A Fig 745d a qual apresenta WRω em função de ω mostra claramente as ca racterísticas de lóbulo principal e lóbulos laterais com a amplitude do primeiro lóbulo lateral 133 dB abaixo da amplitude do lóbulo principal e os lóbulos laterais decaindo a uma taxa de 6 dBoitava ou 20 dBdécada Até este momento discutimos os efeitos no espectro do sinal truncado truncagem no domínio do tempo Devido à dualidade tempofreqüência o efeito da truncagem espectral truncagem no domínio da freqüência na forma do sinal é similar Figura 745 Janelamento e seus efeitos Taxa de rolloff Taxa de rolloff 20 dBdécada Lóbulo principal Lóbulos laterais Lóbulo principal Lóbulos laterais CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 659 SOLUÇÕES PARA OS EFEITOS COLATERAIS DA TRUNCAGEM Para melhores resultados devemos tentar minimizar os efeitos gêmeos da truncagem espalhamento espectral largura do lóbulo principal e vazamento lóbulos laterais Vamos considerar cada um desses problemas 1 O espalhamento espectral largura do lóbulo principal do sinal truncado é igual à largura de faixa da função de janela t Sabemos que a largura do sinal é inversamente proporcional à largura dura ção do sinal Logo para reduzir o espalhamento espectral largura do lóbulo principal precisamos au mentar a largura da janela 2 Para melhorar o comportamento do vazamento devemos procurar pela causa do lento decaimento dos lóbulos laterais No Capítulo 6 vimos que o espectro de Fourier decai com 1ω para um sinal com des continuidade decai com 1ω 2 para um sinal contínuo cuja primeira derivada é descontínua e assim por diante A suavidade de um sinal é medida pelo número de derivadas contínuas que ele possui Quanto mais suave o sinal maior a taxa de decaimento de seu espectro Portanto podemos obter um dado com portamento de vazamento selecionando uma janela adequadamente suave 3 Para uma dada largura de janela os remédios para os dois efeitos são incompatíveis Se tentarmos melho rar um o outro será deteriorado Por exemplo dentre todas as janelas de uma dada largura a janela retan gular possui o menor espalhamento espectral largura do lóbulo principal mas seus lóbulos laterais pos suem um alto nível e decaem lentamente Uma janela amortecida suave de mesma largura possui lóbu los laterais menores e com decaimento mais rápido mas um lóbulo principal mais largo Mas podemos compensar o aumento da largura do lóbulo principal alargando a janela Portanto podemos remediar os dois efeitos da truncagem selecionando uma janela adequadamente suave de largura suficiente Existem várias funções conhecidas de janela amortecida tais como Bartlett triangular Hanning von Hann Hamming Blackman e Kaiser as quais truncam os dados gradualmente Estas janelas oferecem diferen tes compromissos com relação ao espalhamento espectral largura do lóbulo principal a magnitude do pico do lóbulo lateral e a taxa de rolloff de vazamento como indicado na Tabela 73 56 Observe que todas as janelas são simétricas com relação a origem função pares de t Devido a essa característica Wω é uma função real de ω ou seja Wω é 0 ou π Logo a função de fase do sinal truncado possui uma quantidade mínima de distorção A Fig 746 mostra duas conhecidas funções de janela amortecida a janela von Hann ou Hanning e a janela de Hamming Utilizamos intencionalmente a variável independente x porque o janelamen to pode ser executado no domínio do tempo ou no domínio da freqüência dessa forma x pode ser t ou ω depen dendo da aplicação Esse resultado foi demonstrado para sinais periódicos Entretanto ele também se aplica a sinais não periódicos Isso ocorre porque co mo mostramos no começo deste capítulo se xT0t é um sinal periódico formado pela extensão periódica de um sinal não periódico xt então o espectro de xT0t é 1T0 vezes as amostras de Xω Portanto o que é válido para a taxa de decaimento do espectro de xT0t também é válido para a taxa de decaimento de Xω Uma janela amortecida resulta em um lóbulo principal mais largo porque o efeito da largura de uma janela amortecida é melhor do que para uma janela retangular Veja a Seção 272 Eq 267 para a definição de largura efetiva Portanto da reciprocidade da largura do sinal com sua largura de faixa temos que o lóbulo principal da janela retangular é mais estreito do que de o de uma janela amortecida Figura 746 Janelas a Hanning e b Hamming 660 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Existem centenas de janelas todas com características diferentes mas a escolha depende da aplicação particular A janela retangular possui o lóbulo principal mais estreito A janela de Bartlett triangular também chamada de Fe jer ou Cesaro é inferior à janela de Hanning em todos os critérios Por essa razão ela raramente é utilizada na práti ca Hanning é preferida à Hamming na análise espectral porque ela possui um decaimento dos lóbulos laterais mais rápido Para aplicações de filtragem por outro lado a janela de Hamming é escolhida porque ela possui a menor mag nitude do lóbulo lateral para uma dada largura de lóbulo principal A janela de Hamming é geralmente a mais utili zada como janela de uso geral A janela de Kaiser a qual utiliza I0α a função de Bessel de ordem zero modificada é mais versátil e mais ajustável A seleção de um valor adequado de α 0 α 10 permite ao projetista ajustar a ja nela para uma aplicação particular O parâmetro α controla o compromisso lóbulo principallóbulo lateral Quando α 0 a janela de Kaiser é a janela retangular Para α 54414 ela é a janela de Hamming e quando α 8885 ela é a janela de Blackman Quando α aumenta a largura do lóbulo principal aumenta e o nível do lóbulo lateral diminui 781 Usando Janelas no Projeto de Filtros Iremos projetar um filtro passabaixas ideal de largura de faixa W rads com resposta em freqüência Hω co mo mostrado na Fig 747e ou 747f Para esse filtro a resposta ao impulso ht W π sinc Wt Fig 747c é não causal e portanto não realizável A truncagem de ht por uma janela adequada Fig 747a o torna reali zável apesar de o filtro resultante ser agora uma aproximação do filtro ideal desejado Iremos utilizar a jane la retangular Rt e a janela triangular Tt Bartlett para truncar ht e então examinaremos os filtros resul tantes As respostas ao impulso truncadas hRt ht Rt e hTt ht Tt são mostradas na Fig 747d Lo go a resposta em freqüência do filtro janelado é a convolução de Hω com a transformada de Fourier da jane la como ilustrado na Fig 747e e 747f Podemos fazer as seguintes observações 1 O espectro do filtro janelado mostra espalhamento espectral nas bordas e em vez de um chaveamento repentino existe uma transição gradual da faixa passante para a faixa filtrada do filtro A faixa de tran sição é menor 2πT rads para o caso retangular do que para o caso triangular 4πT rads 2 Apesar de Hω ser limitado em faixa os filtros janelados não são mas o comportamento da faixa filtra da do caso triangular é superior ao do caso retangular Para a janela retangular o vazamento na faixa fil trada diminui lentamente 1ω em comparação com a janela triangular 1ω 2 Além disso o caso retan gular possui um pico maior da amplitude do lóbulo lateral do que para a janela triangular Além da truncagem precisamos atrasar a função truncada por T2 para tornála causal Entretanto o atraso de tempo apenas adiciona uma fase linear ao espectro sem alterar o espectro de amplitude Portanto para simplificar nossa discussão iremos ignorar o atraso CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 661 662 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 79 RESUMO No Capítulo 6 representamos sinais periódicos como sendo a soma de senóides ou exponenciais de duração in finita série de Fourier Neste capítulo estendemos esse resultado para sinais não periódicos os quais são re presentados pela integral de Fourier em vez da série de Fourier Um sinal não periódico xt pode ser imagina do como um sinal periódico com período T0 tal que a integral de Fourier é basicamente a série de Fourier com freqüência fundamental tendendo a zero Portanto para sinais não periódicos o espectro de Fourier é con tínuo Essa continuidade significa que o sinal é representado pela soma de senóides ou exponenciais de todas as freqüências em um intervalo contínuo de freqüência A transformada de Fourier Xω portanto é a densida de espectral por unidade de largura de faixa em hertz Um aspecto sempre presente na transformada de Fourier é sua dualidade entre tempo e freqüência a qual também implica dualidade entre o sinal xt e sua transformada Xω Essa dualidade é devida às quase simétri cas equações para a transformada de Fourier direta e inversa O princípio da dualidade possui conseqüências de longo alcance e resulta em várias informações valiosas na análise de sinais A propriedade de escalamento da transformada de Fourier leva à conclusão de que a largura de faixa é inver samente proporcional à duração do sinal comprimento do sinal O deslocamento no tempo de um sinal não al tera o espectro de amplitude mas adiciona uma componente de fase linear ao seu espectro de fase A multipli cação de um sinal por uma exponencial e jω0tdesloca o espectro para a direita por ω0 Na prática o deslocamen to espectral é obtido multiplicando o sinal por uma senóide tal com cos ω0t em vez da exponencial e jω0t Esse processo é chamado de modulação em amplitude A multiplicação de dois sinais resulta na convolução de seus espectros enquanto que a convolução de dois sinais resulta na multiplicação de seus espectros Para um sistema LCIT com resposta em freqüência Hω o espectro de entrada e saída Xω e Yω são rela cionados pela equação Yω XωHω Essa equação é válida somente para sistemas assintoticamente estáveis Ela também se aplicada a sistemas marginalmente estáveis se a entrada não contiver nenhuma senóide de ampli tude finita na freqüência natural do sistema Para sistemas assintoticamente instáveis a resposta em freqüência Hω não existe Para a transmissão sem distorção de um sinal através de um sistema LCIT a resposta em ampli tude Hω do sistema deve ser constante e a resposta em fase Hω deve ser uma função linear de ω na faixa de interesse Filtros ideais os quais permitem a transmissão sem distorção de uma certa faixa de freqüências e su primem todas as freqüências restantes são fisicamente não realizáveis não causais De fato é impossível cons truir um sistema físico com ganho zero Hω 0 em uma faixa finita de freqüências Tais sistemas os quais in cluem filtros ideais podem ser realizados somente com um atraso de tempo infinito na resposta A energia de um sinal xt é igual a 12π vezes a área sob Xω 2 teorema de Parseval A energia contribuí da pelas componentes espectrais dentro de uma faixa Δf em hertz é dada por Xω 2Δf Portanto Xω 2 é a densidade espectral de energia por unidade de largura de faixa em hertz O processo de modulação desloca o espectro do sinal para freqüências diferentes A modulação é utilizada por várias razões para transmitir várias mensagens simultaneamente em um mesmo canal para efeito de utiliza ção da grande largura de faixa do canal para irradiar eficazmente potência em um link de rádio para deslocar o espectro do sinal para freqüências mais altas para superar dificuldades associadas com o processamento de si nal em baixas freqüências e para efetuar a permuta entre largura de faixa de transmissão e a potência de trans missão necessária para transmitir dados em uma certa taxa Falando genericamente existem dois tipos de mo dulação modulação em amplitude e em ângulo Cada classe possui diversas subclasses Na prática geralmente precisamos truncar dados A truncagem é como ver os dados através de uma janela a qual permite que apenas certas porções dos dados sejam vistas ocultando suprimindo o restante A truncagem abrupta de dados resulta em uma janela retangular a qual associa peso unitário ao dado dentro da janela e peso zero para os dados restantes Janelas amortecidas por outro lado reduzem o peso gradualmente de 1 a 0 A trun cagem de dados pode causar alguns problemas inesperados Por exemplo na determinação da transformada de Fourier o janelamento truncagem de dados resulta um espalhamento espectral difusão espectral que é carac terística da função de janela utilizada Uma janela retangular resulta em menos espalhamento mas ao custo de um grande e oscilatório vazamento espectral para fora da faixa do sinal o qual decai lentamente com 1ω Em comparação à janela retangular janelas amortecidas geralmente possuem um espalhamento espectral maior di fusão mas o vazamento espectral é menor e decai mais rapidamente com a freqüência Se tentarmos reduzir o vazamento espectral usando uma janela mais suave o espalhamento espectral aumenta Felizmente o espalha mento espectral pode ser reduzido aumentando a largura da janela Portanto podemos obter uma dada combi nação de espalhamento espectral largura de faixa de transição e características de vazamento escolhendo uma função de janela amortecida adequada com uma largura T suficientemente grande CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 663 REFERÊNCIAS MATLAB Seção 7 Tópicos sobre Transformada de Fourier O MATLAB é muito útil na investigação de uma variedade de tópicos da transformada de Fourier Nesta se ção um pulso retangular é utilizado para investigar a propriedade de escalamento teorema de Parseval lar gura de faixa essencial e amostragem espectral As funções de janela de Kaiser também são investigadas M71 A Função sinc e a Propriedade de Escalamento Como mostrado no Exemplo 72 a transformada de Fourier de xt ret tτ é Xω τ sinc ωτ2 Para repre sentar Xω no MATLAB devemos primeiro criar a função sinc function y MS7P1x MS7P1m MATLAB Seção 7 Programa 1 Arquivom de função para calcular a função sinc y senxx A simplicidade computacional de sinc x sen xx pode iludir sen 00 resulta em um erro de divisão por zero Portanto o programa MS7P1 associa sinc 0 1 e calcula os valores restantes de acordo com a definição Observe que MS7P1 não pode ser diretamente substituído por um objeto inline Objetos inline proíbem a defini ção de uma expressão tendo múltiplas linhas usando outros objeto inline ou usando certos comandos tais como if ou for Arquivosm entretanto podem ser utilizados para definir um objeto inline Por exemplo MS7P1 ajuda a representar Xω como um objeto inline Uma vez que tenhamos definido Xω é fácil investigar os efeitos de escalonar a largura do pulso τ Consi dere três casos τ 10 τ 05 e τ 20 A Fig M71 confirma a relação recíproca entre a duração do sinal e sua largura de faixa espectral a compres são no tempo resulta em uma expansão espectral e a expansão no tempo causa a compressão espectral Adicio nalmente as amplitudes espectrais são diretamente relacionadas com a energia do sinal Quando um sinal é comprimido a energia do sinal e portanto a magnitude espectral diminui O efeito oposto ocorre quando o si nal é expandido A função sincx do toolbox de processamento de sinais a qual calcula sen πxπx também funciona desde que a entrada seja es calonada por 1π 664 SINAIS E SISTEMAS LINEARES M72 Teorema de Parseval e Largura de Faixa Essencial O teorema de Parseval relaciona concisamente a energia entre o domínio do tempo e o domínio da freqüência Isso também é facilmente verificado com o MATLAB Por exemplo um pulso xt com amplitude unitária e duração τ possui energia Ex τ Portanto Fazendo τ 1 a energia de Xω é calculada usando a função quad Apesar de não ser perfeito o resultado da integração numérica é consistente com o valor esperado de 2π 62832 Para quad o primeiro argumento é a função a ser integrada os dois próximos argumentos são os limites da integração o colchete vazio indica valores padrões para opções especiais e o último argumento é a entrada secundária τ para a função inline Xsquared Mais detalhes sobre o formato de quad são disponibi lizados usando as facilidades do help do MATLAB Um problema mais interessante envolve a determinação da largura de faixa essencial de um sinal Conside re por exemplo a determinação da largura de faixa essencial W em radianos por segundo que contém uma fra ção β da energia do pulso quadrado xt Ou seja queremos determinar W tal que O programa MS7P2 utiliza um método de tentativa e erro para obter W function WEW MS7P2taubetatol MS7P2m MATLAB Seção 7 Programa 2 Arquivom de função para calcular a largura de faixa essencial W para o pulso quadrado Entradas tau largura do pulso beta fração da energia do sinal desejada em W tol tolerancia do erro da energia relativa Saídas W largura de faixa essencial rads EW Energia contida na largura de faixa W W 0 step 2pitau tentativa inicial e valores de passo Figura M71 Espectro do pulso para τ 10 τ 05 e τ 20 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 665 Xsquared inlinetauMS7P1omegatau22omega tau E betatau Energia desejada em W relerr E 0E O erro relativo inicial é 100 porcento while absrelerr tol if relerr0 W é muito pequeno W Wstep Aumenta W por step elseif relerr0 W é muito grande step step2 W Wstep diminui o passo e então W end EW 12piquadXsquaredWWtau relerr E EWE end Apesar desse método de tentativa e erro não ser o mais eficiente ele é relativamente simples de compreen der MS7P2 ajusta interativamente W até que o erro relativo esteja dentro da tolerância O número de interações necessárias para convergir para uma solução depende de vários fatores e não é conhecido de antemão O coman do while é ideal para estas situações while expressao comandos end Enquanto expressao for verdadeira os comandos serão continuamente repetidos Para demonstrar MS7P2 considere a largura de faixa essencial W de 90 para um pulso de um segundo de duração Digitando WEWMS7P21090001 teremos a largura de faixa W 53014 que contém 8997 da energia Reduzindo a tolerância de erro melhoramos a estimativa MS7P21 09000005 re torna uma largura de faixa essencial W 53321 que contém 9000 da energia Esses cálculos para a largura de faixa essencial são consistentes com as estimativas apresentadas após o Exemplo 72 M73 Amostragem Espectral Considere um sinal de duração finita τ Um sinal periódico xT0t é construído repetindo xt a cada T0 segundos sendo que T0 τ A partir da Eq 74 podemos escrever os coeficientes de Fourier de xT0t como sendo Dn 1T0Xn2πT0 Colocando de outra forma os coeficientes de Fourier são obtidos amostrandose o espectro Xω Usando a amostragem espectral é simples determinar os coeficientes da série de Fourier para um sinal pe riódico de pulso quadrado com ciclo de trabalho arbitrário O pulso quadrado xt ret tτ possui espectro Xω τ sinc ωτ2 Portanto o nésimo coeficiente de Fourier da extensão periódica xT0t é Dn τT0 sinc nπτT0 Tal como no Exemplo 64 τ π e T0 2π fornece um sinal periódico de pulso quadrado Os coeficien tes de Fourier são determinados por Esses resultados mostrados na Fig M72 confirmam a Fig 65b Dobrando o período T0 4π efetivamente dobra a amostragem espectral como mostrado na Fig M73 Quando T0 aumenta a amostragem espectral fica progressivamente mais fina Uma evolução da série de Fou rier em direção a integral de Fourier pode ser vista permitindo que o período T0 fique muito grande A Fig M74 mostra o resultado para T0 50π Se T0 τ o sinal xT0 será uma constante e o espectro deve concentrar energia em cc Nesse caso a função sinc é amostrada nos cruzamentos com zero e Dn 0 para todo n diferente de 0 Apenas a amostra correspondente a n 0 é não nula indicando um sinal cc como esperado Para verificar esse caso podemos simplesmente modi ficar o código anterior N de T Ciclo de trabalho ou dutycicle pode ser definido como sendo o percentual de tempo no qual o sinal está ativo em um período 666 SINAIS E SISTEMAS LINEARES M74 Funções de Janela de Kaiser Uma função de janela é útil somente se ela puder ser facilmente calculada e aplicada a um sinal A janela de Kai ser por exemplo é flexível mas pode parecer intimidadora Figura M72 Espectro de Fourier para τ π e T0 2π Figura M73 Espectro de Fourier para τ π e T0 4π Figura M74 Espectro de Fourier para τ π e T0 50π CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 667 Felizmente o latido da janela de Kaiser é pior do que sua mordida A função I0x uma função de Bessel mo dificada de primeiro tipo pode ser calculada de acordo com ou mais simplesmente usando a função besseli0x do MATLAB De fato o MATLAB suporta uma grande variedade de funções de Bessel incluindo funções de Bessel de primeiro e segundo tipo besselj e bessely funções de Bessel modificadas de primeiro e segundo tipo besseli e besselk funções Hankel besselh e funções Airy airy O programa MS7P3 calcula janelas de Kaiser para tempos t usando os parâmetros T e α function wK MS7P3tTalpha MS7P3m MATLAB Seção 7 Programa 3 Arquivom de função que calcula uma janela de Kaiser de largura T usando o o parâmetro alpha Alpha também pode ser uma string identificadora retangularHamming ou Blackman Entradas t variável independente da função de janela T largura da janela alpha parâmetro de Kaiser ou string identificadora Saídas wK função da janela de Kaiser Lembrese de que α 0 α 54414 e α 8885 correspondem a janelas retangular Hamming e Blackman respectivamente MS7P3 foi escrito para permitir que esses casos especiais da janela de Kaiser sejam identifica dos pelo nome em vez de pelo valor α Apesar de desnecessária essa característica conveniente é obtida com a ajuda do comando strncmpi O comando strncmpiS1S2N compara os primeiros N caracteres das strings S1 e S2 ignorando maiús culo ou minísculo De forma mais completa o MATLAB possui quatro variantes de comparação de strings strcmp strcmpi strncmp e strncmpi As comparações são restritas aos N primeiros caracteres quando n estiver presente maiúsculo e minúsculo é ignorado quando i estiver presente Portanto MS7P3 identifica qual quer string alpha que começa com a letra r ou R como janela retangular Para evitar a confusão com a janela Hanning os três primeiros caracteres devem coincidir para identificar a janela Hamming O comando isaal phachar determina se alpha é uma string de caracteres Os documentos de ajuda do MATLAB apresen tam as outras classes que o comando isa pode identificar Em MS7P3 isa é utilizado para terminar a execução se uma string identificadora alpha não for reconhecida como um dos três casos especiais A Fig M75 mostra os três casos especiais de janelas de Kaiser de duração unitária geradas por 668 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 711 Mostre que se xt é uma função par de t então e se xt for uma função ímpar de t então Logo prove que se xt for real e uma função par de t então Xω é real e uma função par de ω Além disto se xt for real e uma função ímpar de t então Xω é imaginário e uma função ímpar de ω 712 Mostre que para xt real a Eq 78b pode ser expressa por Essa é a forma trigonométrica da integral de Fourier Compare essa equação com a série trigonométrica compacta de Fourier 713 Um sinal xt pode ser descrito pela soma de componentes par e ímpar veja a Seção 152 a se xt Xω mostre que para xt real e b Verifique esses resultados obtendo a transformada de Fourier das componen tes par e ímpar dos seguintes sinais i ut e ii e atut 714 A partir da definição 78a obtenha as trans formadas de Fourier dos sinais xt da Fig P714 715 A partir da definição 78a obtenha as transformadas de Fourier dos sinais mostra dos na Fig P715 716 A partir da definição 78b obtenha as trans formadas de Fourier inversas do espectro da Fig P716 717 A partir da definição 78b obtenha as trans formadas de Fourier inversas do espectro da Fig P717 718 Se xt Xω então mostre que e Mostre também que 721 Trace as seguintes funções Figura M75 Caso especial janelas de Kaiser de duração unitária P R O B L E M A S CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 669 722 A partir da definição 78b mostre que a transformada de Fourier de ret t 5 é sinc ω2e j5ω trace o espectro de amplitude e fa se resultante 723 A partir da definição 78b mostre que a transformada de Fourier inversa de ret ω 102π é sinc πte j10t 724 Obtenha a transformada de Fourier inversa de Xω para o espectro ilustrado na Fig P724 Dica Xω Xωe jXω Este problema ilustra como espectros de fase diferentes com o mesmo espectro de amplitude representam sinais totalmente diferentes 725 a Você pode obter a transformada de Fou rier de e atut quando a 1 fazendo s jω na transformada de Fourier de e atut Explique b Obtenha a transformada de Fourier de xt mostrado na Fig P725 Você pode obter a transformada de Fourier de xt fazendo s jω nessa transformada de Fourier Explique Verifique sua resposta determinando as transformadas de Fou rier e Laplace de xt Figura P714 Figura P715 Figura P716 Figura P717 670 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P725 731 Aplique a propriedade da dualidade ao par apropriado da Tabela 71 para mostrar que 732 A transformada de Fourier do pulso triangular xt da Fig P732 é descrita por Utilize essa informação e as propriedades de deslocamento no tempo e escalamento no tempo para obter as transformadas de Fourier dos sinais xit i 1 2 3 4 5 mostrados na Fig P732 773 Usando apenas a propriedade de deslocamen to no tempo e a Tabela 71 obtenha as trans formadas de Fourier dos sinais mostrados na Fig P733 734 Utilize a propriedade de deslocamento no tem po para mostrar que se xt Xω então Essa equação é dual à Eq 741 Utilize esse resultado e a Tabela 71 para obter as transfor madas de Fourier dos sinais mostrados na Fig P734 Figura P724 Figura P732 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 671 735 Prove os seguintes resultados os quais são du ais um do outro Utilize o último resultado e a Tabela 71 para determinar a transformada de Fourier do sinal da Fig P735 736 Os sinais da Fig P736 são sinais modulados com portadora cos 10t Obtenha a transforma da de Fourier desses sinais usando as proprie dades apropriadas da transformada de Fourier e a Tabela 71 Trace o espectro de amplitude e fase para a Fig P736a e P736b Figura P735 Figura P733 Figura P734 Figura P736 672 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 737 Utilize a propriedade de deslocamento na fre qüência e a Tabela 71 para determinar a trans formada de Fourier inversa do espectro mos trado na Fig P737 738 Utilize a propriedade de convolução no tempo para provar os pares 2 4 13 e 14 da Tabela 21 assuma λ 0 no par 2 λ1 e λ2 0 no par 4 λ1 0 e λ2 0 no par 13 e λ1 e λ2 0 no par 14 Essas restrições são colocadas em função das características de possibilidade de aplicação da transformada de Fourier dos sinais Para o par 2 você terá que aplicar o resultado da Eq 123 739 Um sinal xt é limitado em faixa a B Hz Mos tre que o sinal x nt é limitado em faixa a nB Hz 7310 Obtenha a transformada de Fourier do sinal da Fig P733a por três métodos diferentes a pela integração direta usando a definição 78a b Usando apenas o par 17 Tabela 71 e a propriedade de deslocamento no tempo c Usando as propriedades de diferenciação no tempo e deslocamento no tempo além do fato de que δt 1 7311 a prove a propriedade de diferenciação na freqüência dual da propriedade de dife renciação no tempo b Utilize essa propriedade e o par 1 Tabela 710 para determinar a transformada de Fourier de te atut 741 Para um sistema LCIT com função de trans ferência obtenha a resposta de estado nulo se a entra da xt for 742 Um sistema LCIT é especificado pela respos ta em freqüência Obtenha a resposta ao impulso desse sistema e mostre que ele é um sistema não causal Ob tenha a resposta estado nulo desses sistema se a entrada xt for 743 Os sinais x1t 10 4 ret 10 4t e x2t δt são aplicados às entradas dos filtros passabaixas ideais H1ω ret ω40000π e H2ω ret ω20000π Fig P743 As saídas y1t e y2t desses filtros são multiplicadas para ob ter o sinal yt y1ty2t a Trace X1ω e X2ω b Trace H1ω e H2ω c Trace Y1ω e Y2ω d Obtenha as larguras de faixa de y1t y2t e yt Figura P743 744 A constante de tempo de um sistema passabai xas é geralmente definida como a largura de sua resposta ht ao impulso unitário veja a Se ção 272 Um pulso pt de entrada nesse sis tema funciona como um impulso de força igual a área de pt se a largura de pt for muito me nor do que a constante de tempo do sistema e desde que pt seja um pulso passabaixa im plicando que seu espectro seja concentrado em baixas freqüências Verifique esse comporta mento considerando um sistema cuja resposta ao impulso unitário é ht ret t10 3 O pul so de entrada é um pulso triangular pt Δt10 6 Mostre que a resposta do sistema a esse pulso é muito próxima da resposta ao im pulso Aδt na qual A é a área sob o pulso pt Figura P737 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 673 745 A constante de tempo de um sistema passabai xas geralmente é definida como a largura de sua resposta ht ao impulso unitário veja a Seção 272 Um pulso pt de entrada nesse sistema passa praticamente sem distorção se a largura de pt for muito maior do que a constante de tem po do sistema e desde que pt seja um pulso passabaixa implicando que seu espectro seja concentrado em baixas freqüências Verifique esse comportamento considerando um sistema cuja resposta ao impulso unitário é ht ret t10 3 O pulso de entrada é um pulso triangu lar pt Δt Mostre que a resposta do sistema a esse pulso é muito próxima a kpt na qual k é o ganho do sistema ao sinal cc ou seja k H0 746 Um sinal causal ht possui transformada de Fourier Hω Se Rω e Xω são as partes re al e imaginária de Hω ou seja Hω Rω jXω então mostre que e assumindo que ht não possui impulsos na origem Esse par de integrais define a trans formada de Hilbert Dica seja het e hot as componentes par e ímpar de ht Use os re sultados do Prob 713 Veja a Fig 124 para a relação entre het e hot Este problema estabelece uma importante propriedade de sistemas causais as partes re al e imaginária da resposta em freqüência de um sistema causal são relacionadas Se a par te real é especificada a parte imaginária não pode ser especificada independentemente A parte imaginária é predeterminada pela parte real e viceversa Esse resultado também leva à conclusão de que a magnitude e ângulo de Hω são relacionados desde que os pólos e zeros de Hω estejam no SPE 751 Considere um filtro com resposta em freqüência Mostre que esse filtro é fisicamente não reali zável usando o critério no domínio do tempo ht não causal e o critério no domínio da freqüência PaleyWiener Esse filtro pode ser aproximadamente realizável escolhendo t0 suficientemente grande Utilize seu próprio razoável critério e determine t0 de forma a realizar a aproximação desse filtro Dica uti lize o par 22 da Tabela 71 752 Mostre que um filtro com resposta em fre qüência é não realizável Esse filtro pode ser aproxi madamente realizável escolhendo t0 suficien temente grande Utilize seu próprio razoá vel critério e determine t0 de forma a realizar a aproximação desse filtro 753 Determine se os filtros com as seguintes res postas em freqüência Hω são fisicamente realizáveis Se eles não forem realizáveis eles podem ser aproximadamente realizados permitindo um atraso de tempo finito na res posta 761 Mostre que a energia de um pulso Gaussiano é 12σ Verifique esse resultado usando o teorema de Parseval para obter a energia Ex de Xω Dica use o par 22 da Tabela 71 Usa o fato de que 762 Utilize o teorema de Parseval 764 para mos trar que 763 Um sinal passabaixa xt é aplicado a um dis positivo que calcula o quadrado da entrada A saída x 2t é aplicada a um filtro passabaixas com largura de faixa Δf em hertz Fig P76 3 Mostre que se Δf for muito pequeno Δf 0 então a saída do filtro é um sinal cc yt 2ExΔf Dica se x 2t Aω então mostre que Yω 4πA0Δfδω se Δf 0 Mostre depois que A0 Ex 764 Generalize o teorema de Parseval para mos trar que para sinais reais transformáveis em Fourier x1t e x2t 674 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 765 Mostre que Dica reconheça que Utilize esse fato e o resultado do Prob 764 766 Para o sinal determine a largura de faixa essencial B em hertz de xt tal que a energia contida nas com ponentes espectrais de xt de freqüências abai xo de B Hz seja 99 da energia Ex do sinal 771 Para cada um dos seguintes sinais bandabase i mt cos 1000t ii mt 2 cos 1000t cos 2000t e iii mt cos 1000t cos 3000t a Trace o espectro de mt b Trace o espectro do sinal DSBSC mt cos 10000t c Identifique o espectro da faixa lateral su perior USB e da faixa lateral inferior LSB d Identifique as freqüências na bandabase e as freqüências correspondentes no es pectro DBSSC USB e LSB Explique a natureza do deslocamento de freqüência em cada caso 772 Você deve projetar um modulador DSBSC para gerar um sinal modulado kmt cos ωct no qual mt é um sinal limitado em faixa a B Hz Fig P772a A Fig P772 mostra um modulador DSBSC disponível no almoxari fado O filtro passabanda é sintonizado para ωc e possui largura de faixa de 2B Hz O gera dor de portadora disponível não gera cos ωct mas cos 3ωct a Explique se você poderá ou não gerar o sinal desejado usando apenas este equi pamento Se sim qual é o valor de k b Determine o espectro do sinal nos pontos b e c e indique as faixas de freqüência ocupadas por estes espectros c Qual é o menor valor possível para ωc d Esse esquema funcionaria se a saída do ge rador de portadora fosse cos 2ωct Explique e Esse esquema funcionaria se a saída do gerador de portadora fosse cos n ωct para qualquer inteiro n 2 773 Na prática a operação de multiplicação ana lógica é difícil e cara Por essa razão em mo duladores de amplitude é necessário encon trar alguma alternativa para a multiplicação de mt por cos ωct Felizmente para esse propósito podemos substituir a multiplica ção pela operação de chaveamento Uma ob servação similar se aplica aos demodulado res No esquema mostrado na Fig P773a o período do pulso retangular xt mostrado na Fig P773b é T0 2πωc O filtro passafai xa é centrado em ωc e possui largura de fai Figura P763 Figura P772 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 675 xa de 2B Hz Note que a multiplicação por um pulso quadrado periódico xt na Fig P773 resulta em um chaveamento ligades liga de mt o qual é limitado em faixa a B Hz Tal operação de chaveamento é relativa mente simples e barata Mostre que esse esquema pode gerar um si nal modulado em amplitude k cos ωct Determi ne o valor de k Mostre que o mesmo esquema também pode ser utilizado na demodulação desde que o filtro da Fig P773 seja substituí do por um filtro passabaixas ou bandabase Figura P773 774 A Fig P774 mostra um esquema para trans mitir dois sinais m1t e m2t simultaneamente no mesmo canal sem causar interferência es pectral Tal esquema o qual transmite mais do que um sinal é chamado de multiplexação de sinal Neste caso transmitimos múltiplos sinais dividindo uma faixa espectral disponível no canal e portanto este é um exemplo de multiplexação por divisão na freqüência O si nal no ponto b é o sinal multiplexado o qual agora modula uma portadora de freqüência 20000 rads O sinal modulado no ponto c é transmitido no canal a Trace o espectro nos pontos a b e c b Qual deve ser a largura de faixa mínima do canal c Projete um receptor para recuperar os si nais m1t e m2t do sinal modulado no ponto c 775 O sistema mostrado na Fig P775 é utilizado para misturar sinais de áudio A saída yt é a versão misturada da entrada mt a Obtenha o espectro do sinal misturado yt b Sugira um método para recuperar o sinal misturado yt obtendo mt Uma versão um pouco modificada desse misturador foi inicialmente utilizada co mercialmente no circuito de rádiotelefo ne de 40 km conectando Los Angeles à Ilha Santa Catalina 776 A Fig P776 apresenta um esquema para a demodulação coerente síncrona Mostre que esse esquema pode demodular o sinal AM A mt cos ωct independente do valor de A 777 Trace o sinal AM A mt cos ωct para o si nal triangular periódico mt ilustrado na Fig P777 correspondente aos seguintes índices de modulação Como você interpreta o caso μ 7M1 Considere o sinal xt e atut Modifique MS7P2 para calcular as seguintes larguras de faixa essenciais Figura P774 676 SINAIS E SISTEMAS LINEARES a Fazendo a 1 determine a largura de fai xa essencial W1 que contém 95 da ener gia do sinal Compare esse valor com o va lor teórico apresentado no Exemplo 720 b Fazendo a 2 determine a largura de fai xa essencial W2 que contém 90 da ener gia do sinal c Fazendo a 3 determine a largura de fai xa essencial W3 que contém 75 da ener gia do sinal 7M2 Um pulso de amplitude unitária de duração τ é definido por a Determine a duração τ1 que resulta em uma largura de faixa essencial de 95 igual a 5 Hz b Determine a duração τ2 que resulta em uma largura de faixa essencial de 90 igual a 10 Hz c Determine a duração τ3 que resulta em uma largura de faixa essencial de 75 igual a 20 Hz 7M3 Considere o sinal xt e atut a Determine o parâmetro de decaimento a1 que resulta em uma largura de faixa es sencial de 95 igual a 5 Hz b Determine o parâmetro de decaimento a2 que resulta em uma largura de faixa es sencial de 90 igual a 10 Hz c Determine o parâmetro de decaimento a3 que resulta em uma largura de faixa es sencial de 75 igual a 20 Hz 7M4 Utilize o MATLAB para determinar as lar guras de faixa essenciais de 95 90 e 75 Figura P775 Figura P776 Figura P777 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO A TRANSFORMADA DE FOURIER 677 de uma função triangular de um segundo com amplitude de pico igual a um Lembre se de que a função triangular pode ser cons truída pela convolução de dois pulsos retan gulares 7M5 Um sinal xt de pulso quadrado com ciclo de trabalho de 13 e período T0 é descrito por a Utilize a amostragem espectral para de terminar os coeficientes Dn da série de Fourier de xt para T0 2π Calcule e tra ce Dn para 0 n 10 b Utilize a amostragem espectral para de terminar os coeficientes Dn da série de Fourier de xt para T0 π Calcule e tra ce Dn para 0 n 10 Como esse resul tado se compara com sua resposta da par te a O que pode ser dito sobre a relação de T0 e Dn para o sinal xt o qual possui um ciclo de trabalho fixo de 13 7M6 Determine a transformada de Fourier do pul so Gaussiano definido por xt e t2 Trace tanto xt quanto Xω Como as duas curvas podem ser comparadas Dica para qualquer a real ou imaginário Um sinal em tempo contínuo pode ser processado a partir de suas amostras por um sistema que opere em tem po discreto Para isso é importante manter a taxa de amostragem do sinal suficientemente alta para permitir a reconstrução sem erro ou com um erro dentro de uma dada tolerância do sinal original O fundamento quanti tativo necessário para esse propósito é fornecido pelo teorema da amostragem apresentado na Seção 81 O teorema da amostragem é a ponte entre os mundos de tempo contínuo e de tempo discreto A informa ção inerente em um sinal em tempo contínuo amostrado é equivalente à de um sinal em tempo discreto Um sinal em tempo contínuo amostrado é uma seqüência de impulsos enquanto que um sinal em tempo discre to apresenta a mesma informação em uma seqüência de números Essas são basicamente duas formas de re presentar o mesmo dado Claramente todos os conceitos da análise de sinais amostrados se aplicam a si nais em tempo discreto Não devemos ficar surpresos ao ver que o espectro de Fourier dos dois tipos de si nais é o mesmo sendo diferentes por uma constante multiplicativa 81 TEOREMA DA AMOSTRAGEM Mostraremos agora que um sinal real cujo espectro é limitado em faixa a B Hz Xω 0 para ω 2π B po de ser reconstruído exatamente sem qualquer erro de suas amostras tomadas uniformemente a uma taxa de fs 2B amostras por segundo Em outras palavras a menor freqüência de amostragem é fs 2B Hz Para provar o teorema da amostragem considere um sinal xt Fig 81a cujo espectro é limitado em B Hz Fig 81b Por conveniência o espectro é mostrado como funções de ω e f hertz A amostragem de xt em uma taxa de fs Hz fs amostras por segundo pode ser realizada multiplicando xt por um trem de impulsos δTt Fig 81c constituído por impulsos unitários periodicamente repetidos a cada T segundos sendo T 1fs O es quemático de um amostrador é mostrado na Fig 81d O sinal amostrado resultante é mostrado na Fig 81e O sinal amostrado é constituído de impulsos espaçados a cada T segundos o intervalo de amostragem O nési mo pulso localizado em t nT possui força xnT o valor de xt em t nT 81 Como o trem de impulso δTt é um sinal periódico de período T ele pode ser descrito por uma série trigono métrica de Fourier tal com a já obtida no Exemplo 67 Eq 639 82 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO C A P Í T UL O 8 O teorema apresentado aqui e provado posteriormente se aplica a sinais passabaixa Um sinal passabanda cujo espectro existe em uma faixa de freqüência fc B2 f fc B2 possui largura de faixa de B Hz Tal sinal é unicamente determinado por 2B amos tras por segundo Em geral o esquema de amostragem é um pouco mais complexo neste caso Ele utiliza dois trens de amostragem en trelaçados cada um a uma taxa de B amostras por segundo Veja por exemplo Linden 1 O espectro Xω da Fig 81b é mostrado como sendo real por conveniência Entretanto nossos argumentos são válidos também para Xω complexo CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 679 Portanto 83 Para obter ω a transformada de Fourier de t obtemos a transformada de Fourier do lado direito da Eq 83 termo por termo A transformada do primeiro termo dentro dos colchetes é Xω A transformada do segundo termo 2xt cos ωst é Xω ωs Xω ωs veja a Eq 741 Este termo representa o espectro Xω deslocado por ωs e ωs Similarmente a transformada do terceiro termo 2xt cos 2ωst é Xω 2ωs Xω 2ωs o qual representa o espectro Xω deslocado por 2ωs e 2ωs e assim por diante até o infinito Es se resultado significa que o espectro ω consiste em Xω repetido periodicamente com período ωs 2πT rads ou fs 1T Hz como mostrado na Fig 81f Também existe uma constante multiplicativa 1T na Eq 83 Portanto 84 Se quisermos reconstruir xt de t devemos ser capazes de recuperar Xω de ω Essa recuperação é possível se não existir sobreposição entre ciclos sucessivos de A Fig 81f indica que para isso precisamos que 85 Figura 81 Sinal amostrado e seu espectro de Fourier 680 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Além disso o intervalo de amostragem é T 1fs Portanto 86 Dessa forma desde que a freqüência de amostragem fs seja duas vezes maior do que a largura de faixa B do sinal em hertz ω será constituído de repetições não sobrepostas de Xω A Fig 81f mostra que o inter valo entre duas repetições espectrais adjacentes é fs 2B Hz e xt pode ser recuperado de suas amostras pas sando o sinal amostrado através de um filtro passabaixas ideal com largura de faixa de qualquer valor entre B e fs B Hz A menor taxa de amostragem fs 2B necessária para recuperar xt de suas amostras t é chama da de taxa de Nyquist para xt e o intervalo de amostragem correspondente T 12B é chamado de intervalo de Nyquist para xt Amostras de um sinal tomadas na taxa de Nyquist são amostras de Nyquist do sinal Estamos dizendo que a taxa de Nyquist de 2B Hz é a menor taxa de amostragem necessária para preservar a informação de xt Isso contradiz a Eq 85 na qual mostramos que para preservar a informação de xt a ta xa de amostragem fs precisa ser maior do que 2B Hz Falando estritamente a Eq 85 é a afirmação correta En tretanto se o espectro Xω não contiver nenhum impulso ou suas derivadas na freqüência mais alta de B Hz en tão a menor taxa de amostragem de 2B Hz é adequada Na prática é raro observar Xω com um impulso ou suas derivadas na mais alta freqüência Se a situação contrária ocorrer devemos utilizar a Eq 85 O teorema da amostragem provado utiliza amostras tomadas em intervalos uniformes Essa condição não é necessária As amostras podem ser tomadas arbitrariamente em qualquer instante desde que os instantes de amostragem sejam armazenados e que exista na média 2B amostras por segundo 2 A essência do teorema da amostragem era conhecida dos matemáticos na forma da fórmula da interpolação que será vista posteriormen te Eq 811 A origem do teorema da amostragem foi atribuída por H S Black a Cauchy em 1841 A idéia es sencial do teorema da amostragem foi redescoberta na década de 1920 por Carson Nyquist e Hartley Uma observação interessante é que se o impulso for devido a um termo em cosseno a taxa de amostragem de 2B Hz é adequada Entre tanto se o impulso for devido a um termo em seno então a taxa deve ser maior do que 2B Hz Isso pode ser interpretado do fato de que amostras de sen 2π Bt usando T 12B são sempre zero porque sen 2π Bnt sen πn 0 Mas amostras de cos 2π Bt são cos 2π Bnt cos πn 1 n Podemos reconstruir cos 2π Bt dessas amostras Esse comportamento peculiar ocorre porque no espectro do sinal amostrado correspondente ao sinal cos 2π Bt os impulsos os quais ocorrem nas freqüências 2n 1B Hz n 0 1 2 interagem construtiva mente enquanto que no caso de sen 2π Bt os impulsos devido a suas fases opostas e jπ2 interagem destrutivamente e se cancelam no espectro do sinal amostrado Logo sen 2πBt não pode ser reconstruído de suas amostras a uma taxa de 2B Hz Uma situação similar exis te para o sinal cos 2π Bt θ o qual contém uma componente na forma sen 2π Bt Por essa razão é aconselhável manter uma taxa de amostragem acima de 2B Hz se uma componente de amplitude finita de uma senoide de freqüência B Hz estiver presente no sinal Neste exemplo iremos examinar os efeitos da amostragem de um sinal na taxa de Nyquist abaixo da ta xa de Nyquist subamostragem e acima da taxa de Nyquist superamostragem Considere o sinal xt sinc 25πt Fig 82a cujo espectro é Xω 02 Δω20π Fig 82b A largura de faixa desse sinal é 5 Hz 10π rads Conseqüentemente a taxa de Nyquist é 10 Hz ou seja devemos amostrar o sinal a uma taxa não inferior a 10 amostrass O intervalo de Nyquist é T 12B 01 segundo Lembrese de que o espectro do sinal amostrado é constituído por 1TXω 02TΔω20π repetindo periodicamente com um período igual à freqüência de amostragem fs Hz Apresentamos essa informação na Tabela 81 para três taxas de amostragem fs 5 Hz subamostragem 10 Hz taxa de Nyquist e 20 Hz su peramostragem No primeiro caso subamostragem a taxa de amostragem é 5 Hz 5 amostrass e o espectro 1TXω se repete a cada 5 Hz 10π rads Os espectros sucessivos se sobrepõem como mostrado na Fig 82d e o es pectro Xω não pode ser recuperado de ω ou seja xt não pode ser reconstruído de suas amostras t na Fig 82c No segundo caso usamos a taxa de amostragem de Nyquist de 10 Hz Fig 82e O espectro EXEMPLO 81 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 681 ω é constituído de repetições não sobrepostas lado a lado de 1TXω repetindo a cada 10 Hz Logo Xω pode ser recuperado de ω usando um filtro passabaixas ideal de largura de faixa 5 Hz Fig 82f Finalmente no último caso de superamostragem taxa de amostragem de 20 Hz o espectro ω é consti tuído de repetições não sobrepostas de 1TXω repetindo a cada 20 Hz com faixas vazias entre ciclos su cessivos Fig 82h Logo Xω pode ser recuperado de ω usando um filtro passabaixas ideal ou mes mo um filtro passabaixas prático mostrado em pontilhado na Fig 82h Figura 82 Efeitos da subamostragem e superamostragem O filtro deve ter um ganho constante entre 0 e 5 Hz e ganho zero além de 10 Hz Na prática o ganho além de 10 Hz será um valor ne gligenciavelmente pequeno mas não nulo APENAS PARA OS CÉTICOS Raro é o leitor que ao primeiro encontro não fica cético quanto ao teorema da amostragem Pode parecer im possível que as amostras de Nyquist possam definir um e apenas um sinal que passa através daqueles valores amostrados Podemos facilmente imaginar um número infinito de sinais passando através de um dado conjunto de amostras Entretanto dentre todos esses infinitos sinais apenas um possui a largura de faixa mínima B 12T Hz na qual T é o intervalo de amostragem Veja o Prob 829 Resumindo para um dado conjunto de amostras tomadas a uma taxa fs Hz existe apenas um sinal de largura de faixa B fs2 que passa através de todas as amostras Todos os outros sinais que passam através dessas amostras possuem uma largura de faixa superior a fs2 e as amostras são amostras a uma taxa subNyquist para aqueles sinais 811 Amostragem Prática Na prova do teorema da amostragem consideramos amostras ideais obtidas pela multiplicação de um sinal xt por um trem de impulso que é fisicamente não realizável Na prática multiplicamos o sinal xt por um trem de pulsos de largura finita mostrado na Fig 83c O amostrador é mostrado na Fig 83d O sinal amostrado t é ilustrado na Fig 83e O que gostaríamos de saber é se realmente é possível recuperar ou reconstruir xt desse t Surpreendentemente a resposta é afirmativa desde que a taxa de amostragem não seja inferior à taxa de Nyquist O sinal xt pode ser recuperado passando em um filtro passabaixas t como se ele tivesse sido amostrado por um trem de impulsos 682 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 82 Continuação EXERCÍCIO E81 Determine a taxa de Nyquist e o intervalo de Nyquist para os sinais sinc 100πt e sinc 100πt sinc 50πt RESPOSTA O intervalo de Nyquist é 001 segundo e a taxa de amostragem de Nyquist é 100 Hz para os dois sinais CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 683 A razão desse resultado se torna aparente quando consideramos o fato de que a reconstrução de xt requer o conhecimento dos valores das amostras de Nyquist Essa informação está disponível ou embutida no sinal t amostrado na Fig 83e porque a força do nésimo pulso é xnT Para provar analiticamente esse resultado ob servamos que o trem de pulsos amostrado pTt mostrado na Fig 83c sendo um sinal periódico pode ser des crito por uma série trigonométrica de Fourier e 87 O sinal amostrado t é constituído por C0 xt C1 xt cos ωst θ1 C2 xt cos 2ωst θ2 Note que o primeiro termo C0 xt é o sinal desejado e todos os outros termos são sinais modulados com espectro centrado em ωs 2ωs 3ωs como ilustrado na Fig 83f Claramente o sinal xt pode ser recuperado por um filtro passabaixas t como mostrado na Fig 83d Como antes é necessário que ωs 4πB ou fs 2B Figura 83 Efeito da amostragem prática 684 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Para demonstrar a amostragem prática considere o sinal xt sinc 25πt amostrado pela seqüência de pul sos retangulares pTt apresentada na Fig 84c O período de pTt é 01 segundo tal que a freqüência fun damental a qual é a freqüência de amostragem é 10 Hz Logo ωs 20π A série de Fourier para pTt pode ser descrita como Figura 84 Exemplo de uma amostragem prática Logo EXEMPLO 82 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 685 82 RECONSTRUÇÃO DO SINAL O processo de reconstrução de um sinal em tempo contínuo xt a partir de suas amostras também é chamado de interpolação Na Seção 81 vimos que um sinal xt limitado em faixa a B Hz pode ser exatamente reconstruí do interpolado de suas amostras se a freqüência de amostragem fs exceder 2B Hz ou o intervalo de amostragem T for menor do que 12B Essa reconstrução é feita passando o sinal amostrado através de um filtro passabaixas ideal de ganho T e com largura de faixa de qualquer valor entre B e fs B Hz Do ponto de vista prático uma boa escolha é o valor médio fs2 12T Hz ou πT rads Esse valor permite pequenos desvios nas características do filtro ideal em qualquer lado da freqüência de corte Com essa escolha de freqüência de corte e o ganho T o fil tro passabaixas ideal necessário para a reconstrução ou interpolação é 88 O processo de interpolação aqui descrito é expresso no domínio da freqüência como uma operação de filtra gem Iremos examinar esse processo do ponto de vista do domínio do tempo DOMÍNIO DO TEMPO UMA SIMPLES INTERPOLAÇÃO Considere o sistema de interpolação mostrado na Fig 85a Começamos com um simples filtro de interpolação cuja resposta ao impulso é ret tT mostrado na Fig 85b Essa resposta é um pulso de porta centrada na ori gem tendo altura unitária e largura T o intervalo de amostragem Iremos determinar a saída desse filtro quan do a entrada é o sinal amostrado t constituído de um trem de impulso com o nésimo impulso em t nT com força xnT Cada amostra em t sendo um impulso produz na saída um pulso de porta de altura igual a for ça da amostra Por exemplo a nésima amostra é um impulso de força xnT localizado em t nT e pode ser des crito por xnTδt nT Quando esse impulso passa através do filtro ele produz na saída um pulso de porta de Utilizando as Eqs 68 obtemos e Conseqüentemente temos e na qual Cn 2nπ sen nπ4 O espectro é constituído por Xω repetindo periodicamente a cada 20π rads 10 Hz Dessa forma não existe sobreposição entre os ciclos e Xω pode ser recuperado usando um filtro passabaixas ideal com largura de faixa de 5 Hz Um filtro passabaixas ideal de ganho unitá rio e largura de faixa de 5 Hz irá permitir que apenas o primeiro termo do lado direito da equação an terior passe completamente suprimindo todos os outros termos Logo a saída yt será EXERCÍCIO E82 Mostre que o pulso básico pt utilizado no trem de pulsos de amostragem da Fig 84c não pode ter área zero se quisermos reconstruir xt filtrando filtro passabaixas o sinal amostrado 686 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A Fig 85d mostra que a resposta ao impulso desse filtro é não causal e esse filtro é não realizável Na prática podemos tornálo rea lizável atrasando a resposta ao impulso por T2 Isso simplesmente atrasa a saída do filtro por T2 altura xnT centrado em t nT sombreado na Fig 85c Cada amostra em t irá gerar um pulso de porta correspondente resultando na saída filtrada que é uma aproximação em degrau de xt como mostrado em pon tilhado na Fig 85c Esse filtro portanto fornece uma forma simples de interpolação A resposta em freqüência Hω deste filtro é a transformada de Fourier da resposta ao ret tT ao impulso 89a e 89b A resposta em amplitude Hω desse filtro ilustrada na Fig 85d explica a simplicidade da interpolação Esse filtro também chamado de filtro retentor de ordem zero ROZ é uma forma pobre de um filtro passabai xas ideal sombreado na Fig 85d necessário para uma interpolação exata Podemos melhorar o filtro ROZ usando um filtro retentor de primeira ordem o qual resulta em uma interpo lação linear em vez de uma interpolação em degrau O interpolador linear cuja resposta ao impulso é o pulso triangular Δt2T resulta em uma interpolação na qual os topos das amostras sucessivas são conectados por um segmento de linha reta veja o Prob 823 Figura 85 Interpolação simples usando um circuito retentor de ordem zero ROZ a Interpolador ROZ b Resposta ao impulso de um circuito ROZ c Reconstrução do sinal pelo ROZ como vista no domínio do tempo d Resposta em freqüência do ROZ CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 687 DOMÍNIO DO TEMPO UMA INTERPOLAÇÃO IDEAL A resposta em freqüência do filtro de interpolação ideal obtida na Eq 88 é ilustrada na Fig 86a A resposta ao impulso desse filtro a transformada de Fourier inversa de Hω é 810a Para a taxa de amostragem de Nyquist T 12B e 810b Este ht é apresentado na Fig 86b Observe o interessante fato de ht 0 em todos os instantes de amos tragem de Nyquist t n2B exceto em t 0 Quando o sinal amostrado t é aplicado à entrada desse fil tro a saída é xt Cada amostra em t sendo um impulso gera um pulso sinc de altura igual à força da amostra como ilustrado na Fig 86c O processo é idêntico ao mostrado na Fig 85c exceto que ht é um pulso sinc em vez de um pulso de porta A soma dos pulsos sinc gerados por todas as amostras resulta em xt A nésima amostra da entrada t é o impulso xnTδt nT e a saída do filtro para essa amostra é xnTht nT Logo a saída do filtro a t a qual é xt pode ser expressa como o somatório 811a Para o caso da taxa de amostragem de Nyquist T 12B a Eq 811a pode ser simplificada para 811b A Eq 811b é a fórmula de interpolação a qual resulta nos valores de xt entre amostras como sendo o so matório ponderado de todos os valores amostrados Figura 86 Interpolação ideal para a taxa de amostragem de Nyquist 688 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 87 a Reconstrução do sinal a partir de suas amostras b espectro do sinal amostrado na taxa de Nyquist c espectro do sinal amostrado acima da taxa de Nyquist 821 Dificuldades Práticas na Reconstrução do Sinal Considere o procedimento de reconstrução do sinal ilustrado na Fig 87a Se xt é amostrado na taxa de Nyquist fs 2B Hz o espectro ω consiste em repetições de Xω sem qualquer espaçamento entre ciclos sucessivos como indicado na Fig 87b Para recuperar xt de t precisamos passar o sinal amostrado t através de um filtro passabaixas ideal mostrado em pontilhado na Fig 87b Como visto na Seção 75 tal fil Obtenha o sinal xt limitado em faixa a B Hz e cujas amostras são sendo que o intervalo de amostragem T é o intervalo de Nyquist para xt ou seja T 12B Como temos os valores de amostras de Nyquist usamos a fórmula de interpolação 811b para construir xt de suas amostras Como apenas uma amostra de Nyquist é diferente de zero teremos apenas um termo cor respondente a n 0 no somatório do lado direito da Eq 811b Portanto 812 Esse sinal é apresentado na Fig 86b Observe que esse é o único sinal que possui largura de faixa B Hz e valores amostrados x0 1 e xnT 0 n 0 Nenhum outro sinal satisfaz essas condições EXEMPLO 83 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 689 tro é não realizável podendo ser aproximado apenas com um atraso de tempo infinito Em outras palavras podemos recuperar o sinal xt de suas amostras com atraso de tempo infinito Uma solução prática para esse problema é amostrar o sinal a uma taxa superior a taxa de Nyquist fs 2B ou ωs 4πB O resultado ω é constituído de repetições de Xω com um intervalo entre ciclos sucessivos como ilustrado na Fig 87c Po demos agora recuperar Xω de ω usando um filtro passabaixas com uma característica de corte gra dual mostrada em pontilhado na Fig 87c Mas mesmo neste caso se o espectro indesejado deve ser supri mido o ganho do filtro deve ser zero além de alguma freqüência veja a Fig 87c De acordo com o critério de PaleyWiener Eq 761 é impossível realizar até mesmo esse filtro A única vantagem neste caso é que o filtro requerido pode ser aproximado com um atraso de tempo menor Tudo isso significa que é impossível recuperar exatamente na prática um sinal xt limitado em faixa a partir de suas amostras mesmo se a taxa de amostragem for maior do que a taxa de Nyquist Entretanto quando a taxa de amostragem aumenta o si nal recuperado se aproxima mais do sinal desejado A TRAIÇÃO DO ALIASING Existe outra dificuldade prática fundamental na reconstrução de um sinal a partir de suas amostras O teore ma da amostragem foi provado considerando que o sinal xt é limitado em faixa Todos os sinais práticos são limitados no tempo ou seja eles são de duração ou largura finita Podemos demonstrar veja o Prob 8214 que um sinal não pode ser limitado no tempo e limitado em faixa simultaneamente Se um sinal é limitado no tempo ele não pode ser limitado em faixa e vice versa mas ele pode ser simultaneamente não limitado no tempo e não limitado em faixa Claramente todos os sinais práticos os quais são necessariamente limitados no tempo são não limitados em faixa como mostrado na Fig 88a Eles possuem uma largura de faixa infi nita e o espectro ω é constituído por ciclos sobrepostos de Xω repetindo a cada fs Hz a freqüência de amostragem como ilustrado na Fig 88b Devido à largura de faixa infinita neste caso a sobreposição es pectral é inevitável independente da taxa de amostragem Amostrar em taxas mais altas reduz mas não eli mina a sobreposição entre ciclos espectrais repetidos Devido à sobreposição das caudas ω não possui mais a informação completa de Xω não sendo mais possível mesmo teoricamente recuperar exatamente xt do sinal amostrado t Se o sinal amostrado passar através de um filtro passabaixas ideal com freqüên cia de corte fs2 Hz a saída não será Xω mas Xaω Fig 88c o qual é uma versão de Xω distorcida em função de duas causas separadas 1 Perda da cauda de Xω além de f fs2 Hz 2 Reaparecimento de sua cauda invertida ou dobrada para dentro do espectro Note que o espectro cru za na freqüência fs2 12T Hz Essa freqüência é chamada de freqüência de dobra ou freqüência de dobramento O espectro pode ser visto como se a cauda perdida fosse na realidade dobrada de volta para dentro do espectro na freqüência de dobra Por exemplo a componente de freqüência fs2 fz aparece personificada como uma componente de freqüência mais baixa fs2 fz no sinal reconstruí do Portanto as componentes de freqüência acima de fs2 reaparecem como componentes de freqüên cias abaixo de fs2 Essa inversão da cauda conhecida como dobramento espectral ou aliasing é mos trada em sombreado na Fig 88b e também na Fig 88c No processo de aliasing não somente existe a perda de todas as componentes de freqüência acima da freqüência de dobra fs2 Hz como também es sas mesmas freqüências reaparecem com componentes de freqüência mais baixa como mostrado na Fig 88b ou 88c Tal aliasing destrói a integridade das componentes de freqüência abaixo da freqüên cia de dobra fs2 como indicado na Fig 88c O problema de aliasing é análogo ao de um exército com um pelotão que secretamente desertou para o lado inimigo O pelotão é entretanto ostensivamente leal ao exército O exército está em um risco duplo Primeiro o exército perdeu seu pelotão enquanto força de ataque Além disso durante uma batalha o exér cito terá que enfrentar a sabotagem dos traidores e terá que encontrar outro pelotão leal para neutralizar os traidores Portanto o exército perdeu dois pelotões em uma atividade nãoprodutiva A Fig 88b mostra que de um número infinito de ciclos repetidos apenas os ciclos espectrais vizinhos se sobrepõem Essa é uma fi gura de alguma forma simplificada Na realidade todos os ciclos se sobrepõem e interagem com os outros ciclos devido a largura in finita de todos os espectros dos sinais práticos Felizmente todos os espectros práticos também devem decair para altas freqüências Isso resulta em uma interferência total insignificante dos ciclos que não os vizinhos imediatos Quando tal consideração não é justifi cada os cálculos de aliasing de tornam um pouco mais complicados 690 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 88 Efeito do aliasing a Espectro de um sinal prático xt b Espectro do sinal amostrado xt c Espectro do sinal reconstruído d Esquema de amostragem usando filtro antialiasing e Espectro do sinal amostrado pontilhado e espectro do sinal reconstruído sólido quando o filtro antialiasing é utilizado Cauda perdida resulta em perdas em altas freqüências Cauda perdida é dobrada outra vez CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 691 TRAIDORES ELIMINADOS O FILTRO ANTIALIASING Se você fosse o comandante do exército traído a solução para o problema seria óbvia Assim que o comandante soubesse da traição ele teria incapacitado por qualquer forma possível o pelotão traidor antes que a batalha co meçasse Dessa forma ele teria perdido apenas um batalhão o de traidores Essa é uma solução parcial do risco duplo da traição e sabotagem uma solução que parcialmente retifica o problema e reduz as perdas pela metade Iremos seguir exatamente o mesmo procedimento Os possíveis traidores são todas as componentes de fre qüência acima da freqüência de dobra fs2 12T Hz Devemos portanto eliminar suprimir essas componen tes de xt antes de amostrar xt Tal supressão de altas freqüências pode ser feita por um filtro passabaixas ideal com freqüência de corte fs2 Hz como mostrado na Fig 88d Esse filtro é chamado de filtro antialiasing A Fig 88d também mostra que a filtragem antialiasing é executada antes da amostragem A Fig 88e mostra o espectro do sinal amostrado em pontilhado e o sinal reconstruído Xaaω quando o esquema antialiasing é utilizado Um filtro antialiasing essencialmente limita em faixa o sinal xt a fs2 Hz Dessa forma perdemos apenas as componentes acima da freqüência do dobramento fs2 Hz Essas componentes suprimidas não podem reaparecer para corromper as componentes de freqüência abaixo da freqüência de corte Claramente a utiliza ção de um filtro antialiasing resulta no espectro do sinal reconstruído Xaaω Xω para f fs2 Portanto apesar de termos perdido o espectro além de fs2 Hz o espectro de todas as freqüências abaixo de fs2 perma necem intactos A distorção de aliasing efetiva é cortada pela metade em função da eliminação do dobramen to Reforçamos novamente que a operação de antialiasing deve ser executada antes de o sinal ser amostrado Um filtro antialiasing também ajuda a reduzir o ruído O ruído geralmente possui um espectro de faixa lar ga e sem o antialiasing o próprio fenômeno de aliasing faria com que o ruído que fica fora da faixa desejada aparecesse dentro da faixa do sinal O antialiasing suprime todo o espectro do ruído além da freqüência fs2 O filtro antialiasing sendo um filtro ideal é não realizável Na prática utilizamos um filtro com corte em de grau o qual deixa um espectro muito atenuado além da freqüência de dobra fs2 A AMOSTRAGEM FORÇA SINAIS NÃO LIMITADOS EM FAIXA A PARECEREM COMO LIMITADOS EM FAIXA A Fig 88b mostra o espectro do sinal xt constituído por ciclos sobrepostos de Xω Isso significa que t são amostras subNyquist de xt Entretanto também podemos analisar o espectro da Fig 88b como sendo o es pectro Xaω Fig 88c repetindo periodicamente a cada fs Hz sem sobreposição O espectro Xaω é limitado em faixa a fs2 Hz Logo essas amostras subNyquist de xt são na realidade amostras de Nyquist do sinal xat Concluindo a amostragem de um sinal xt não limitado em faixa na taxa fs Hz faz com que as amostras pareçam com amostras de Nyquist de algum sinal xat limitado em faixa a fs2 Hz Em outras palavras a amos tragem faz com que um sinal não limitado em faixa pareça ser um sinal xat limitado em faixa com largura de faixa fs2 Uma conclusão similar se aplica se xt for limitado em faixa mas amostrado a uma taxa subNyquist VERIFICAÇÃO DO ALIASING EM SENÓIDES Mostramos na Fig 88b como a amostragem de um sinal a uma taxa abaixa de Nyquist causa o aliasing o qual faz com que as freqüências superiores do sinal fs2 fz Hz sejam mascaradas como freqüências mais baixas fs2 fz Hz A Fig 88b demonstra esse resultado no domínio da freqüência Vamos agora verificar esse problema no domínio do tempo para termos um sentimento melhor sobre o aliasing Podemos provar nossa proposição mostrando que amostras de senóides de freqüências ωs2 ωz e ωs2 ωz são idênticas quando a freqüência de amostragem é fs ωs2π Hz Para a senóide xt cos ωt amostrada em intervalos de T segundos xnT a nésima amostra em t nT é Logo as amostras das senóides de freqüência ω ωs2 ωz são 813 Neste caso ignoramos o aspecto da fase da senóide Versões amostradas da senóide xt cos ωt θ com duas freqüências diferen tes ωs2 ωz possuem freqüência idêntica mas os sinais da fase podem ser invertidos dependendo do valor de ωz 692 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Reconhecendo que ωsT 2πfsT 2π e sen ωs2nT sen πn 0 para todo n inteiro obtemos Claramente as amostras de uma senóide de freqüência fs2 fz são idênticas às amostras da senóide fs2 fz Por exemplo quando uma senóide de freqüência 100 Hz é amostrada a uma taxa de 120 Hz a freqüên cia aparente da senóide resultante da reconstrução das amostras é 20 Hz Isso segue do fato de que neste ca so 100 fs2 fz 60 fz tal que fz 40 Logo fs2 fz 20 Essa deve ser exatamente a conclusão vin da da Fig 88b Essa discussão mostra novamente que o aliasing da amostragem de uma senóide de freqüência f pode ser evitado se a taxa de amostragem for fs 2f Hz 814 A violação dessa condição leva ao aliasing implicando que as amostras pareçam como sendo aquelas de um sinal de mais baixa freqüência Devido a essa perda de identidade é impossível reconstruir fielmente o sinal de suas amostras CONDIÇÃO GERAL PARA ALIASING EM SENÓIDES Podemos generalizar o resultado anterior mostrando que as amostras de uma senóide de freqüência f0 são idên ticas às de uma senóide de freqüência f0 mfs Hz m inteiro na qual fs é a freqüência de amostragem As amos tras de cos 2πf0 mfst são Esse resultado é obtido porque mn é um inteiro e fsT 1 Esse resultado mostra que senóides de freqüên cias que diferem por um múltiplo inteiro de fs resultam em um conjunto idêntico de amostras Em outras pa lavras as amostras de senóides separadas pela freqüência fs Hz são idênticas Isso implica que amostras de senóides em qualquer faixa de freqüência de fs Hz são únicas ou seja não existem duas senóides nessa fai xa que possuam o mesmo conjunto de amostras quando amostradas a uma taxa fs Hz Por exemplo as fre qüências na faixa de fs2 a fs2 possuem amostras únicas na taxa de amostragem de fs Essa faixa é chama da de faixa fundamental Lembrese também de que fs2 é a freqüência de dobra Da discussão até este momento concluímos que se um sinal em tempo contínuo de freqüência f Hz é amos trado a uma taxa de fs Hz amostrass as amostras resultantes podem parecer como amostras de uma senóide em tempo contínuo de freqüência fa na faixa fundamental na qual 815a A freqüência fa está na faixa fundamental de fs2 a fs2 A Fig 89a mostra o gráfico de fa em função de f na qual f é a freqüência real e fa é a freqüência correspondente na faixa fundamental cujas amostras são idênticas às da senóide de freqüência f quando a taxa de amostragem é fs Hz Lembrese entretanto de que a mudança de sinal da freqüência não altera a freqüência real da forma de on da Isso ocorre porque Claramente a freqüência aparente da senóide de freqüência fa também é fa Entretanto sua fase apresenta uma mudança de sinal Isso significa que a freqüência aparente de qualquer senóide amostrada está na faixa de 0 a fs2 Hz Resumindo se uma senóide em tempo contínuo de freqüência f Hz for amostrada a uma taxa de fs Hz amostrassegundo as amostras resultantes aparecerão como amostras de uma senóide em tempo contínuo de freqüência fa que está dentro da faixa de 0 a fs2 De acordo com a Eq 815a O leitor é encorajado a verificar este resultado graficamente traçando o espectro de uma senóide de freqüência ωs2 ωz impulsos em ωs2 ωz e sua repetição periódica em intervalos ωs Apesar de o resultado ser válido para todos os valores de ωz considere o caso de ωz ωs2 para simplificar o gráfico CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 693 815b O gráfico da freqüência aparente fa em função de f é mostrado na Fig 89b Como esperado a freqüên cia aparente fa de qualquer senóide amostrada independente de sua freqüência está sempre na faixa de 0 a fs2 Hz Entretanto quando fa é negativo a fase da senóide aparente sofre uma mudança de sinal As freqüên cias nas quais essa mudança de fase ocorre estão mostradas sombreadas na Fig 89b Considere por exemplo a senóide cos 2πft θ com f 8000 Hz amostrada a uma taxa fs 3000 Hz Usan do a Eq 815a obtemos fa 8000 3 3000 1000 Logo fa 1000 As amostras aparecerão como se tives sem vindo de uma senóide cos 2000πt θ Observe a mudança de sinal na fase em função de fa ser negativo À luz do desenvolvimento anterior vamos considerar a senóide de freqüência f fs2 fz amostrada a uma taxa de fs Hz De acordo com a Eq 815a Logo a freqüência aparente é fa fs2 fz confirmando nosso resultado anterior Entretanto a fase da se nóide irá sobre uma mudança de sinal porque fa é negativo A Fig 810 mostra como senóides com duas freqüências diferentes amostradas na mesma taxa geram conjuntos idênticos de amostras As duas senóides são amostradas na taxa fs 5 Hz T 02 segundo As freqüências das duas senóides 1 Hz período 1 e 6 Hz período 16 diferem por fs 5 Hz A razão para o aliasing pode ser vista claramente na Fig 810 A raiz do problema é a taxa de amostragem a qual pode ser adequada para a senóide de freqüência mais baixa mas é obviamente inadequada para a senói de de freqüência mais alta A figura mostra claramente que entre amostras sucessivas da senóide de mais alta fre qüência existem oscilações as quais são ignoradas não sendo representadas nas amostras indicando uma taxa subNyquist de amostragem A freqüência do sinal aparente xat é sempre a menor freqüência possível que es tá dentro da faixa f fs2 Portanto a freqüência aparente das amostras deste exemplo é 1 Hz Se essas amos tras forem escolhidas para reconstruir um sinal usando um filtro com largura de faixa de fs2 iremos obter a se nóide de freqüência igual a 1 Hz Figura 89 Freqüências aparentes de uma senóide amostrada a fa em função de f e b fa em função de f Os gráficos das Figs 89 e Fig 516 são idênticos Isso ocorre porque a senoide amostrada é basicamente uma senoide em tempo dis creto Para a mudança do sinal da fase estamos assumindo o sinal na forma cos 2πft θ Se a forma for sen 2πft θ a regra muda um pouco É deixado como exercício para o leitor mostrar que quando fa 0 essa senoide aparece como sen 2πfat θ Portanto além da mudança da fase a amplitude também muda de sinal 694 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Uma senóide em tempo contínuo cos 2πft θ é amostrada a uma taxa fs 1000Hz Determine a senóide aparente das amostras resultantes se a freqüência f do sinal de entrada for A freqüência de dobra é fs2 500 Logo as senóides abaixo de 500 Hz freqüência dentro da faixa fun damental não sofrerão aliasing e as senóides acima de 500 Hz sofrerão aliasing a f 400 Hz é menor do que 500 Hz e portanto não haverá aliasing A senóide aparente é cos 2πft θ com f 400 b f 600 Hz pode ser expressada por 600 400 1000 logo fa 400 Dessa forma a freqüência após o aliasing será de 400 Hz e com uma mudança no ângulo de fase Assim sendo a senóide aparente é cos 2πft θ com f 400 c f 1000 Hz pode ser descrita por 1000 0 1000 logo fa 0 A freqüência após o aliasing é 0 Hz cc e não há mudança no sinal da fase Logo a senóide aparente é yt cos 0πt θ cos θ Este é um sinal cc com valor de amostra constante para todo n d f 2400 Hz pode ser descrito por 2400 400 2 1000 logo fa 400 Dessa forma a freqüência após o alias é de 400 Hz sem mudança de sinal na fase A senóide aparente é cos 2πft θ com f 400 Poderíamos ter obtido essas respostas diretamente da Fig 89b Por exemplo para o caso b lemos fa 400 correspondente a f 600 Além disso f 600 está na faixa sombreado Logo existe uma mudança no sinal da fase EXEMPLO 84 EXERCÍCIO E83 Mostre que as amostras das senóides com freqüência de 90 Hz e 110 Hz na forma cos ωt são idênticas quando amostradas a uma taxa de 200 Hz Figura 810 Demonstração do aliasing CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 695 822 Algumas Aplicações do Teorema da Amostragem O teorema da amostragem é muito importante na análise processamento e transmissão de sinais porque ele nos permite substituir um sinal em tempo contínuo por uma seqüência discreta de números O processamento de um sinal em tempo contínuo é portanto equivalente ao processamento de uma seqüência discreta de números Tal processamento nos leva diretamente à área de filtragem digital Na área de comunicação a transmissão de uma mensagem em tempo contínuo é reduzida para a transmissão de uma seqüência de números por trens de pulso O sinal xt em tempo contínuo é amostrado e os valores amostrados são utilizados para modificar certos parâ metros de um trem de pulso periódico Podemos querer variar a amplitude Fig 811b largura Fig 811c ou posição Fig 811d dos pulsos proporcionalmente aos valores das amostras do sinal xt Dessa forma teremos a modulação em amplitude de pulso PAM modulação por largura de pulso PWM ou modulação por po sição de pulso PPM A forma mais importante de modulação de pulso atualmente é a modulação por có digo de pulso PCM discutida na Seção 83 em conexão com a Fig 814b Em todos esses casos em vez de transmitirmos xt transmitimos o sinal modulado em pulso correspondente No receptor lemos a informa ção do sinal modulado em pulso e reconstruímos o sinal analógico xt Uma vantagem da utilização da modulação de pulso é que ela permite a transmissão simultânea de diversos sinais usando uma divisão no tempo multiplexação por divisão no tempo TDM Como o sinal modu lado em pulso ocupa apenas uma parte do tempo do canal podemos transmitir diversos sinais modulados em pulso no mesmo canal entrelaçandoos A Fig 812 mostra a TDM de dois sinais PAM Dessa forma podemos multiplexar diversos sinais em um mesmo canal reduzindo a largura dos pulsos Sinais digitais também oferecem uma vantagem na área de comunicações na qual os sinais devem viajar por longas distâncias A transmissão de sinais digitais é mais robusta do que de sinais analógicos porque sinais di gitais podem resistir mais ao ruído do canal e à distorção desde que o ruído e a distorção estejam dentro de cer tos limites Um sinal analógico pode ser convertido em uma forma digital binária através da amostragem e quan tização arredondamento como explicado na próxima seção A mensagem digital binária da Fig 813a é dis torcida pelo canal como ilustrado na Fig 813b Mesmo assim se a distorção permanecer dentro de certos limi tes podemos recuperar os dados sem erro porque precisamos tomar apenas uma simples decisão binária o pul so recebido é positivo ou negativo A Fig 813c mostra o mesmo dado com distorção e ruído de canal Nova mente o dado pode ser recuperado desde que a distorção e o ruído estejam dentro de certos limites Isso não ocorre com mensagens analógicas Qualquer distorção ou ruído não importa quão pequenos sejam irá distor cer o sinal recebido EXERCÍCIO E84 Uma senóide de freqüência f0 Hz é amostrada a uma taxa de 100 Hz Determine a freqüência aparente das amos tras se f0 for RESPOSTA 40 Hz para todos os casos N de T Pulseamplitude modulation N de T Pulsewidth modulation N de T Pulseposition modulation N de T Pulsecode modulation N de T Timedivision multiplexing Outro método de transmissão de diversos sinais bandabase simultaneamente é a multiplexação por divisão na freqüência FDM discutida na Seção 774 Na FDM vários sinais são multiplexados dividindo a largura de faixa do canal O espectro de cada men sagem é deslocado para uma faixa específica não ocupada por nenhum outro sinal A informação dos vários sinais é localizada em faixas de freqüências do canal que não se sobrepõem Fig 744 De certa forma TDM e FDM são duais uma da outra 696 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A grande vantagem da comunicação digital sobre a comunicação analógica entretanto é a possibilidade de repetidoras regenerativas Em sistemas de transmissão analógica o sinal de mensagem se torna progressi vamente mais fraco à medida que ele viaja ao longo do canal caminho da transmissão enquanto que o ruí do do canal e a distorção do sinal sendo acumulativos se tornam progressivamente mais fortes Em última instância o sinal superado pelo ruído e pela distorção ficará mutilado A amplificação é de pouca ajuda pois ela irá aumentar o sinal e o ruído na mesma proporção Conseqüentemente a distância na qual a mensagem analógica pode ser transmitida é limitada pela potência transmitida Se o caminho de transmissão for suficien Figura 812 Multiplexação por divisão no tempo de dois sinais Figura 811 Sinais modulados em pulso a O sinal b O sinal PAM c O sinal PWM PDM d O sinal PAM CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 697 temente grande a distorção do canal e o ruído serão suficientemente acumulados para se sobreporem até mes mo a um sinal digital O truque é colocar repetidoras ao longo do caminho de transmissão em distâncias pe quenas o suficiente para permitir a detecção dos pulsos do sinal antes que o ruído e a distorção tenham a chan ce de se acumularem suficientemente Em cada repetidora os pulsos são detectados e pulsos novos e limpos são transmitidos para a próxima repetidora a qual por sua vez repetirá o mesmo procedimento Se o ruído e a distorção permanecerem dentro de certos limites o que é possível devido às repetidoras adequadamente es paçadas os pulsos podem ser corretamente detectados Assim mensagens digitais podem ser transmitidas por longas distâncias com uma grande confiabilidade Por outro lado mensagens analógicas não podem ser limpas periodicamente e sua transmissão é portanto menos confiável O erro mais significativo em sinais di gitalizados vem da quantização arredondamento Esse erro discutido na Seção 83 pode ser reduzido para um valor desejado aumentando o número de níveis de quantização ao custo do aumento da largura de faixa da mídia de transmissão canal 83 CONVERSÃO ANALÓGICO PARA DIGITAL AD Um sinal analógico é caracterizado pelo fato de sua amplitude poder assumir qualquer valor em uma faixa con tínua Logo a amplitude de um sinal analógico pode assumir infinitos valores Por outro lado a amplitude de um sinal digital só pode assumir um número finito de valores Um sinal analógico pode ser convertido em um sinal digital através da amostragem e quantização arredondamento A amostragem de apenas um sinal analó gico não irá resultar em um sinal digital pois a amostra de um sinal analógico pode assumir ainda qualquer va lor em uma faixa contínua Ele é digitalizado pelo arredondamento de seu valor para o valor mais próximo pos sível dos números possíveis permitidos ou níveis de quantização como ilustrado na Fig 814a a qual repre senta um possível esquema de quantização As amplitudes do sinal analógico xt estão na faixa V V Essa fai xa é particionada em L subintervalos cada um com magnitude Δ 2VL A seguir cada amostra de amplitude é aproximada pelo valor médio do intervalo no qual a amostra se encontra veja a Fig 814a para L 16 Des sa forma fica claro que cada amostra é aproximada para um dos L números Portanto o sinal é digitalizado com amostras quantizadas assumindo um dos L valores Esse é um sinal Lário digital veja a Seção 132 Cada amostra pode agora ser representada por um dos L pulsos distintos Do ponto de vista prático trabalhar com uma quantidade muito grande de pulsos distintos é muito difícil Preferese utilizar a menor quantidade possível de pulsos distintos sendo o menor número possível igual a dois Um sinal digital utilizando apenas dois símbolos ou valores é o sinal binário Um sinal digital binário um sinal que só pode assumir dois valores é muito desejável devido à sua simplicidade economia e facilidade de trabalho Podemos converter um sinal Lário em um sinal binário utilizando codificação de pulso A Fig 814b mostra um tipo desse código para o caso de L 16 Esse código formado pela representação binária de 16 dí Figura 813 Transmissão de sinal digital a no transmissor b sinal distorcido recebido sem ruído c sinal distorcido recebido com ruído e d sinal regenerado no receptor O erro na detecção do pulso pode ser negligenciado 698 SINAIS E SISTEMAS LINEARES gitos decimais de 0 a 15 é chamado de código binário natural CBN Para L níveis de quantização precisa mos de um mínimo de b dígitos do código binário tal que 2 b L ou b log2 L A cada um dos 16 níveis é associada uma palavra de código de quatro dígitos Portanto cada amostra nesse exemplo é codificada por quatro dígitos binários Para transmitir ou processar digitalmente o dado binário preci samos associar um pulso elétrico distinto a cada um dos dois estados binários Uma forma possível é associar um pulso negativo para o binário 0 e um pulso positivo para o binário 1 tal que cada amostra é agora representada por um grupo de quatro pulsos binários código de pulso como indicado na Fig 814b O sinal binário resultan te é um sinal digital obtido do sinal analógico xt através da conversão AD No jargão de comunicações tal si nal é chamado de sinal modulado por código de pulso PCM A conveniente contração de dígito binário binary digit para bit se tornou uma abreviação padrão na in dústria e será adotada neste livro A largura de faixa do sinal de áudio é aproximadamente 15 kHz mas testes subjetivos mostram que a articu lação inteligibilidade do sinal não é afetada se todas as componentes acima de 3400 Hz forem suprimidas 3 Co mo objetivo da comunicação via telefone é a inteligibilidade em vez da alta fidelidade as componentes acima de 3400 Hz são eliminadas por um filtro passabaixas O sinal resultante é então amostrado a uma taxa de 8000 amostrass 8 kHz Essa taxa é intencionalmente maior do que a taxa de Nyquist de 68 kHz para evitar filtros não realizáveis necessários para a reconstrução do sinal Cada amostra é finalmente quantizada em 256 níveis L 256 o que requer um grupo de oito pulsos binários para codificar cada amostra 2 8 256 Portanto um sinal digitalizado de telefone consiste em um total de 8 8000 64000 ou 64 kbitss necessitando de 64000 pulsos binários por segundo para a sua transmissão O compact disc CD uma aplicação recente de alta fidelidade da conversão AD requer uma largura de fai xa do sinal de áudio de 20 kHz Apesar de a taxa de amostragem de Nyquist ser de apenas 40 kHz uma taxa de amostragem real de 441 kHz é utilizada pela mesma razão mencionada anteriormente O sinal é quantizado em um número de níveis ainda maior L 65536 para reduzir o erro de quantização As amostras codificadas em binário são agora gravadas no CD Componentes abaixo de 300 Hz também podem ser suprimidas sem afetar a articulação Figura 814 Conversão analógico para digital AD de um sinal a quantização e b codificação de pulso Níveis de quantização permitidos CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 699 NOTA HISTÓRICA O sistema binário de representação de qualquer número usando 1s e 0s foi inventado por Pingala 200 dC na Índia Ele foi novamente trabalhado independentemente no oeste por Gottfried Wilhelm Leibniz 16461716 o qual ima ginou um significado espiritual para sua descoberta Raciocinando que o 1 representando a unidade era obviamen te um símbolo para Deus enquanto que o 0 representava o vazio ele concluiu que como todos os números podem ser representados simplesmente usando 1 e 0 isso com certeza prova que Deus criou o universo do nada Figura 814 continuação Um sinal xt limitado em faixa a 3 kHz é amostrado a uma taxa 33 mais alta do que a taxa de Nyquist O erro máximo aceitável na amplitude da amostra o erro máximo devido à quantização é 05 do pico da amplitude V As amostras quantizadas são codificadas em binário Obtenha a taxa de amostragem necessá ria o número de bits necessário para codificar cada amostra e a taxa de bits do sinal PCM resultante A taxa de amostragem de Nyquist é fNyq 2 3000 6000Hz amostrass A taxa real de amostragem é fA 6000 1 8000 Hz EXEMPLO 85 700 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 815 A repetição periódica de um sinal resulta na amostragem de seu espectro O passo de quantização é Δ e o erro máximo de quantização é Δ2 no qual Δ 2VL O erro máximo de vido à quantização Δ2 não deve ser maior do que 05 da amplitude V de pico do sinal Portanto Para o código binário L deve ser uma potência de 2 Logo o próximo valor mais alto de L que é uma po tência de 2 é L 256 Como log2 256 8 precisamos de 8 bits para codificar cada amostra Dessa forma a taxa de bit do sinal PCM é EXERCÍCIO E85 O American Standard Code for Information Interchange ASCII possui 128 caracteres os quais são codificados em binário Um certo computador gera 100000 caracteres por segundo Mostre que a São necessários 7 bits dígitos binários para codificar cada caractere b 700000 bitss são necessários para transmitir a saída do computador 84 DUAL DA AMOSTRAGEM NO TEMPO AMOSTRAGEM ESPECTRAL Tal como em outros casos o teorema da amostragem possui seu dual Na Seção 81 discutimos o teorema da amostragem no tempo e mostramos que um sinal limitado em faixa a B Hz pode ser reconstruído das amos tras do sinal tomadas a uma taxa de fs 2B amostrass Note que o espectro do sinal existe na faixa de fre qüência em hertz de B a B Portanto 2B é a largura espectral não a largura de faixa a qual é B do sinal Esse fato significa que um sinal xt pode ser reconstruído das amostras tomadas na taxa fs largura espectral de Xω em hertz fs 2B Iremos provar agora o dual do teorema da amostragem no tempo o teorema da amostragem espectral o qual se aplica a sinais limitados no tempo o dual de sinais limitados em faixa Um sinal limitado no tempo xt existe somente em um intervalo finito de τ segundos como mostrado na Fig 815a Geralmente um sinal limi tado no tempo é caracterizado por Xt 0 para t T1 e t T2 assumindo T2 T1 A largura ou duração do si nal é τ T2 T1 segundos CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 701 O teorema da amostragem espectral afirma que o espectro Xω de um sinal xt limitado no tempo de dura ção τ segundos pode ser reconstruído das amostras de Xω tomadas a uma taxa R amostrasHz em R τ a lar gura ou duração do sinal em segundos A Fig 815a mostra um sinal limitado no tempo xt e sua transformada de Fourier Xω Apesar de Xω ge ralmente ser complexo é adequado para nossa linha de raciocínio mostrar Xω como uma função real 816 Construímos agora xT0t um sinal periódico formado pela repetição de xt a cada T0 segundos T0 τ co mo mostrado na Fig 815b Esse sinal periódico pode ser descrito pela seguinte série exponencial de Fourier na qual assumindo T0 τ A partir da Eq 816 temos que Esse resultado indica que os coeficientes das séries de Fourier para xT0t são 1T0 vezes os valores das amostras do espectro de Xω tomadas a intervalos de ω0 Isso significa que o espectro do sinal periódico xT0t é o espectro Xω amostrado como ilustrado na Fig 815b Desde que T0 τ os ciclos sucessivos de xt que aparecem em xT0t não se sobrepõem e xt pode ser recuperado de xT0t Tal recuperação implica indiretamente que Xω pode ser reconstruído de suas amostras Essas amostras são separadas pela fre qüência fundamental f0 1T0 Hz do sinal periódico xT0t Logo a condição para a recuperação é T0 τ ou seja Portanto para sermos capazes de reconstruir o espectro Xω das amostras de Xω as amostras devem ser tomadas em intervalos de freqüência f0 1τ Hz Se R é a taxa de amostragem amostrasHz então 817 INTERPOLAÇÃO ESPECTRAL Considere um sinal limitado no tempo a τ segundos e centrado em Tc Iremos mostrar agora que o espectro Xω de xt pode ser reconstruído das amostras de Xω Para esse caso usando o dual da abordagem utiliza da para obtermos a fórmula de interpolação da Eq 811b obtemos a fórmula de interpolação espectral 818 Para o caso da Fig 815 Tc T02 Se o pulso xt estiver centrado na origem então Tc 0 e o termo ex ponencial do extremo direito da Eq 818 desaparece Nesse caso a Eq 818 fica sendo o dual exato da Eq 811b Essa fórmula pode ser obtida observando que a transformada de Fourier de xT0t é 2π veja a Eq 726 Podemos recuperar xt de xT0t multiplicando este último por ret t TcT0 cuja transformada de Fourier é T0 sinc ωT02e jωTc Lo go Xω é 12π vezes a convolução dessas duas transformadas de Fourier o que resulta na Eq 818 702 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 85 CÁLCULO NUMÉRICO DA TRANSFORMADA DE FOURIER A TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER TDF Cálculos numéricos da transformada de Fourier de xt necessitam dos valores amostrados de xt pois um computador digital pode trabalhar somente com dados discretos seqüência de números Além disso um computador pode calcular Xω apenas para alguns valores discretos de ω amostras de Xω Portanto pre cisamos relacionar as amostras de Xω com as amostras de xt Essa tarefa pode ser realizada usando os re sultados dos dois teoremas de amostragem desenvolvidos nas Seções 81 e 84 Começamos com um sinal limitado no tempo xt Fig 816a e seu espectro Xω Fig 816b Como xt é limitado no tempo Xω não é limitado em faixa Por conveniência iremos mostrar que todo espectro em função da variável de freqüência f hertz em vez de ω De acordo com o teorema da amostragem o espectro ω do sinal amostrado t é constituído de Xω repetindo a cada fs Hz sendo fs 1T como indicado na Fig 816d No passo seguinte o sinal amostrado da Fig 816c é repetido periodicamente a cada T0 segundos como ilustrado na Fig 816e De acordo com o teorema de amostragem espectral tal operação resulta na amostragem do espectro a uma taxa de T0 amostrasHz Essa taxa de amostragem significa que as amostras são separadas por f0 1T0 Hz como indicado na Fig 816f A discussão anterior mostra que quando um sinal xt é amostrado e então periodicamente repetido o es pectro correspondente também é amostrado e periodicamente repetido Nosso objetivo é relacionar as amostras de xt com as amostras de Xω NÚMERO DE AMOSTRAS Uma observação interessante da Fig 816e e 816f é que N0 o número das amostras do sinal da Fig 816e em um período é T0 é idêntico a N0 o número de amostras do espectro da Fig 816f em um período fs A razão é 820a O espectro Xω de um sinal xt de duração unitária centrada na origem é amostrado a intervalos de 1 Hz ou 2π rads taxa de Nyquist As amostras são Obtenha xt Utilizaremos a fórmula de interpolação 818 com Tc 0 para construir Xω de suas amostras Como todas as amostras de Nyquist são zero exceto uma teremos apenas um termo correspondente a n 0 no somatório do lado direito da Eq 818 Portanto com X0 1 e τ T0 1 obtemos 819 Para um sinal de duração unitária este é o único espectro com valores de amostra X0 1 e X2πn 0 n 0 Nenhum outro espectro satisfaz essas condições EXEMPLO 86 Existe uma constante multiplicativa de 1T para o espectro da Fig 816d veja a Eq 84 mas isso é irrelevante nesta discussão CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 703 Figura 816 Relação entre as amostras de xt e Xω 704 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Mas como 820b 820c ALIASING E VAZAMENTO NOS CÁLCULOS NUMÉRICOS A Fig 816f mostra a presença de aliasing nas amostras do espectro Xω Esse erro de aliasing pode ser redu zido o tanto quanto for desejado aumentando a freqüência de amostragem fs diminuindo o intervalo de amos tragem T 1fs Entretanto o aliasing nunca pode ser eliminado para xt limitado em tempo porque o espec tro Xω é não limitado em faixa Se tivéssemos começado com um sinal tendo um espectro Xω limitado em faixa não haveria aliasing no espectro da Fig 816f Infelizmente esse tipo de sinal seria não limitado no tem po e sua repetição na Fig 816e resultaria em uma sobreposição do sinal aliasing no domínio do tempo Nes se caso teríamos que nos contentar com erros nas amostras do sinal Em outras palavras na determinação da transformada de Fourier direta ou inversa numericamente podemos reduzir o erro o quanto quisermos mas o erro nunca poderá ser eliminado Isso é válido para o cálculo numérico das transformadas de Fourier direta ou inversa independente do método utilizado Por exemplo se determinarmos a transformada de Fourier direta mente pela integração numérica usando a Eq 78a existirá um erro porque o intervalo de integração Δt nun ca poderá ser zero Considerações similares se aplicam à computação numérica da transformada inversa Por tanto devemos ter em mente a natureza desse erro em nossos resultados Em nossas discussões Fig 816 as sumimos que xt é um sinal limitado em tempo Se xt não for limitado em tempo precisaremos limitálo no tempo porque os cálculos numéricos só podem ser realizados em dados finitos Além disso essa truncagem de dados resulta em erro devido ao espalhamento espectral e vazamento como discutido na Seção 78 O vazamen to também causa aliasing O vazamento pode ser reduzido usando uma janela amortecida para a truncagem do sinal Mas essa escolha aumenta o espalhamento espectral O espalhamento espectral pode ser reduzido aumen tando o tamanho da janela isto é mais dados o que aumenta T0 reduzindo f0 aumentando a resolução espec tral ou resolução em freqüência EFEITO DE CERCA DE POSTES O método de cálculo numérico resulta apenas em valores em amostras uniformes de Xω Os picos ou vales de Xω podem estar entre duas amostras permanecendo ocultos dando uma falsa imagem da realidade Ver amostras é como ver o sinal e seu espectro por trás de uma cerca de postes com postes muito altos e mui to largos e colocados próximos um dos outros O que está escondido atrás dos postes é muito mais do que po demos ver Tais resultados equivocados podem ser evitados usando uma quantidade de amostras N0 suficien temente grande para aumentar a resolução Também podemos utilizar preenchimento nulo que será discuti do posteriormente ou a fórmula de interpolação espectral Eq 818 para determinar os valores de Xω en tre as amostras PONTOS DE DESCONTINUIDADE Se xt ou Xω possuir um salto de descontinuidade no ponto de amostragem o valor da amostra deve ser con siderado como sendo a média dos valores dos dois lados da descontinuidade pois a representação de Fourier no ponto de descontinuidade converge para o valor médio DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER TDF Se xnT e Xrω0 são a nésima e résima amostras de xt e Xω respectivamente então definimos novas va riáveis xn e Xr dadas por 821a CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 705 e 821b na qual 821c Iremos mostrar que xn e Xr estão relacionadas pelas seguintes equações 822a 822b Essas equações definem as transformadas de Fourier Discretas direta e inversa com Xr a transformada dis creta de Fourier TDFD direta de xn e xn a transformada discreta de Fourier inversa TDFI de Xr A notação também é utilizada para indicar que xn e Xr são um par TDF Lembre que xn é T0N0 vezes a nésima amostra de xt e Xr é a résima amostra de Xω Conhecendo os valores das amostras de xt podemos utilizar a TDF pa ra calcular os valores das amostras de Xω e vice versa Note entretanto que xn é uma função de n n 0 1 2 N0 1 em vez de t e que Xr é uma função de r r 0 1 2 N0 1 em vez de ω Entretanto tanto xn quanto Xr são seqüências periódicas de período N0 Fig 916e e 816f Tais seqüências são chamadas seqüên cias periódicas N0 A prova do relacionamento TDF na Eq 822 segue diretamente dos resultados do teorema da amostragem O sinal amostrado t Fig 816c pode ser descrito por 823 Como δ t nT e jnωT a transformada de Fourier da Eq 823 resulta em 824 Mas da Fig 81f ou Eq 84 fica claro que no intervalo ω ωs2 ω a transformada de Fourier de t é XωT assumindo um aliasing negligenciável Logo e 825 Se fizermos ω0T Ω0 então das Eqs 820a e 820b 826 Nas Eqs 822a e 822b o somatório é calculado e 0 a N0 1 É mostrado na Seção 912 Eqs 912 e 913 que o somatório po de ser calculado em qualquer N0valores sucessivos de n ou r 706 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Além disso da Eq 821a Portanto a Eq 825 se torna 827 A relação de transformação inversa 822b pode ser obtida usando um procedimento similar com os papéis de t e ω trocados mas iremos utilizar uma prova mais direta Para provar a relação inversa da Eq 822b mul tiplicamos os dois lados da Eq 827 por e jmΩ0r e somamos em r como Alterando a ordem dos somatórios do lado direito temos Podemos facilmente mostrar que o somatório mais interno do lado direito é zero para n m e que o so matório é N0 quando n m Para evitar a quebra do raciocínio essa prova é apresentada na nota de rodapé abaixo Portanto o somatório externo terá apenas um termo não nulo quando n m e será N0xn N0xm Dessa forma Como Xr possui período N0 precisamos determinar os valores de Xr em qualquer período Geralmente deter minamos Xr na faixa 0 N0 1 em vez da faixa de N02 N02 1 ESCOLHA DE T E T0 No cálculo da TDF precisamos primeiro selecionar valores adequados para N0 e T ou T0 Para isso precisamos decidir o valor de B a largura de faixa essencial em hertz do sinal A freqüência de amostragem fs deve ser ao menos 2B ou seja 829a Mostramos que 828 Lembrese de que Ω0N0 2π Logo e jkΩ0n 1 quando k 0 N0 2N0 Logo o somatório do lado direito da Eq 828 é N0 Para cal cular o somatório para outros valores de k observamos que o somatório do lado direito da Eq 828 é uma progressão geométrica com razão α e jkΩ0 Portanto veja a Seção B74 As equações 822 da TDF representam uma transformada por elas mesmas sendo exatas Não existe aproximação Entretanto xn e Xr uma vez obtidos são apenas aproximações das amostras reais do sinal xt e de sua transformada de Fourier Xω CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 707 Além disso o intervalo de amostragem T 1fs Eq 820b e 829b Uma vez determinado B podemos escolher T de acordo com a Eq 829b Além disso 830 na qual f0 é a resolução de freqüência separação entre amostras de Xω Logo se f0 for dada podemos esco lher T0 de acordo com a Eq 830 Conhecendo T0 e T determinamos N0 usando PREENCHIMENTO NULO Lembrese de que observar Xr é como observar seu espectro Xω através de uma cerca de postes Se o intervalo de amostragem em freqüência f0 não for suficientemente pequeno poderemos perder alguns detalhes significati vos obtendo uma figura ilusória Para obtermos um número maior da amostras precisamos reduzir f0 Como f0 1T0 um número maior de amostras requer um aumento no valor de T0 o período de repetição de xt Essa opção aumenta N0 o número de amostras de xt pela adição de amostras falsas de valor 0 Essa adição de amostras fal sas é chamada de preenchimento nulo Portanto o preenchimento nulo aumenta o número de amostras e pode nos ajudar a obter uma figura melhor do espectro Xω a partir de suas amostras Xr Para continuarmos com nossa ana logia com a cerca de postes o preenchimento nulo é como utilizar mais postes porém mais finos PREENCHIMENTO NULO NÃO MELHORA A PRECISÃO OU RESOLUÇÃO Na realidade não estamos observando Xω através de uma cerca de postes Estamos observando uma versão dis torcida de Xω resultante da truncagem de xt Logo devemos ter em mente que se a cerca fosse transparente ve ríamos a realidade distorcida pelo aliasing Ver através de uma cerca de postes simplesmente nos fornece uma vi são imperfeita da realidade representada imperfeitamente O preenchimento nulo nos permite enxergar mais amos tras da realidade imperfeita Ele nunca pode reduzir a imperfeição que está atrás da cerca A imperfeição causada pelo aliasing pode ser apenas diminuída pela redução do intervalo de amostragem T Observe que reduzindo T aumentase N0 o número de amostras e conseqüentemente aumentase também o número de postes e reduzse suas larguras Mas neste caso a realidade atrás da certa também é melhorada além de vermos mais dela Um sinal xt possui duração de 2 ms e largura de faixa essencial de 10 kHz É desejável uma resolução de freqüência de 100 Hz na TDF f0 100 Determine N0 Para termos f0 100 Hz a duração T0 efetiva do sinal deve ser Como a duração do sinal é de apenas 2 ms precisamos de um preenchimento nulo por 8 ms Além disso B 10000 Logo fs 2B 20000 e T 1fs 50 μs Logo EXEMPLO 87 708 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O algoritmo da Transformada rápida de Fourier TRF ou FFT discutido posteriormente na Seção 86 é utilizado para calcular a TDF sendo conveniente apesar de não ser necessário selecionar N0 como sendo uma potência de 2 ou seja N0 2 n n inteiro Vamos escolher N0 256 O aumento de N0 de 200 para 256 pode ser utilizado para reduzir o erro de aliasing pela redução de T para melhorar a resolução aumentan do T0 usando preenchimento nulo ou pela combinação dos dois i Redução do erro de aliasing Mantemos o mesmo T0 tal que f0 100 Logo Portanto aumentar N0 de 200 para 256 nos permite reduzir o intervalo de amostragem T de 50 μs para 39 μs ao mesmo tempo que mantemos a mesma resolução de freqüência f0 100 ii Melhora da resolução Neste caso mantemos o mesmo T 50 μs o que resulta em Portanto o aumento de N0 de 200 para 256 pode melhorar a resolução de freqüência de 100 para 78125 Hz enquanto mantemos o mesmo erro de aliasing T 50 μs iii Combinação das duas opções Podemos escolher T 45 μs e T0 115 ms tal que f0 8696 Hz Utilize a TDF para calcular a transformada de Fourier de e 2tut Trace o espectro de Fourier resultante Determinamos primeiro T e T0 A transformada de Fourier de e 2tut é 1jω 2 Esse sinal passabaixa não é limitado em faixa Na Seção 76 utilizamos o critério da energia para calcular a largura de faixa essencial de um sinal Neste exemplo iremos apresentar uma alternativa mais simples ao critério de energia A largura de faixa essencial de um sinal será tomada na freqüência na qual Xω cai para 1 do seu valor de pico veja a nota de rodapé da página 644 Neste caso o valor de pico ocorre em ω 0 na qual X0 05 Observe que Além disso 1 do valor de pico é 001 05 0005 Logo a largura de faixa essencial B está em ω 2π B na qual e da Eq 829 Se tivéssemos utilizado o critério de 1 da energia para determinarmos a largura de faixa essencial se gundo o procedimento do Exemplo 720 teríamos obtido B 2026 Hz o que é um pouco menor do que o valor obtido usando o critério de 1 da amplitude EXEMPLO 88 N de T Fast Fourier Transform CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 709 O segundo passo é determinar T0 Como o sinal não é limitado no tempo devemos truncálo em T0 tal que xT0 1 Uma escolha razoável é T0 4 pois x4 e 8 0000335 1 O resultado é N0 T0T 2546 o que não é uma potência de 2 Logo escolhemos T0 4 e T 0015625 164 resultando em N0 256 o que é uma potência de 2 Observe que existe uma grande flexibilidade na escolha de T e T0 dependendo da precisão desejada e da capacidade computacional disponível Poderíamos por exemplo ter escolhido T 003125 resultando em N0 128 apesar dessa escolha resultar em um erro de aliasing um pouco maior Como o sinal possui um salto de descontinuidade em t 0 a primeira amostra em t 0 é 05 a média dos valores dos dois lados da descontinuidade Calculamos Xr a TDF das amostras de e 2tut usando a Eq 822a Note que Xr é a résima amostra de Xω e que essas amostras estão espaçadas por f0 1T0 025 Hz ω0 π2 rads Como Xr é periódica com período N0 Xr Xr 256 tal que X256 X0 Logo precisamos traçar Xr no in tervalo r 0 a 255 e não 256 Além disso devido à sua periodicidade Xr Xr 256 e os valores de Xr no intervalo de r 127 a 1 são idênticos aos do intervalo r 129 a 255 Logo X127 X129 X126 X130 X1 X255 Mais ainda devido à propriedade de simetria de conjugado da transformada de Fourier Xr Xr segue que X1 X1 X2 X2 X128 X 128 Logo precisamos de Xr somente na faixa de r 0 a N02 128 neste caso A Fig 817 mostra os gráficos calculados de Xr e Xr O espectro exato é mostrado pela curva contínua para efeito de comparação Note o casamento quase perfeito entre os dois conjuntos de espectros Mostra mos o gráfico para apenas os primeiros 28 pontos em vez de todos os 128 pontos o que teria tornado a fi gura muito densa dificultando a comparação Os pontos estão em intervalos de 1T0 14 Hz ou ω0 15708 rads As 28 amostras portanto mostram o gráfico na faixa de ω 0 a ω 2815708 44 rads ou 7 Hz Neste exemplo já conhecíamos Xω de antemão e portanto pudemos fazer uma escolha adequada de B ou da freqüência de amostragem fs Na prática geralmente não conhecemos Xω de antemão De fa to essa é a grandeza que tentamos determinar Nesses casos devemos tentar adivinhar inteligentemente B ou fs a partir de evidências circunstanciais Devemos então continuar a reduzir o valor de T e recalcu lar a transformada até que o resultado se estabilize dentro de um número de dígitos significativos O pro grama do MATLAB o qual implementa a TDF usando o algoritmo da FFT é apresentado no Exemplo de Computador C81 Figura 817 Transformada discreta de Fourier de um sinal exponencial e 2tut 710 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO DE COMPUTADOR C81 Usando o MATLAB repita o Exemplo 88 Inicialmente utilizamos o comando fft do MATLAB para calcular a TDF A transformada de Fourier verdadeira também é calculara para efeito de comparação Por simplicidade de comparação mostramos o espectro para uma faixa restrita de freqüência CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 711 Utilize a TDF para calcular a transformada de Fourier de 8 ret t Esta função de porta e sua transformada de Fourier são mostradas na Fig 818a e 818b Para determinar o valor do intervalo de amostragem T devemos obter a largura de faixa essencial B Na Fig 818b vemos que Xω decai lentamente com ω Logo a largura de faixa essencial B é maior Por exemplo para B 155 Hz 9739 rads Xω 01643 o qual é aproximadamente 2 do valor de pico em X0 Logo a largura de faixa essencial está muito acima de 16 Hz se utilizarmos o critério de 1 do valor de pico da amplitude para a determinação da largura de faixa essencial Entretanto iremos adotar deliberadamente B 4 por duas razões para mostrar o efeito de aliasing e porque a utilização de B 4 resultaria em uma enorme quantidade de amostras as quais não poderíamos mostrar na página sem perdermos de vista os pontos essenciais Portanto iremos intencionalmente aceitar a aproximação para exemplificarmos gra ficamente os conceitos da TDF A escolha de B 4 resulta em um intervalo de amostragem T 12B 18 Olhando novamente o espec tro da Fig 818b vemos que a escolha de uma resolução de freqüência igual a f0 14 Hz é razoável Tal es colha nos fornecerá quatro amostras em cada lóbulo de Xω Neste caso T0 1f0 4 segundos e N0 T0T 32 A duração de xt é de apenas 1 segundo Devemos repetilo a cada 4 segundos T0 4 como mostra do na Fig 818c e tomarmos amostras a cada 18 segundo Essa escolha resulta em 32 amostras N0 32 Além disso Como xt 8 ret t os valores de xn são 1 0 ou 05 nos pontos de descontinuidade como apresen tado na Fig 818c na qual xn é mostrada como uma função tanto de t quanto de n por conveniência Na obtenção da TDF consideramos que xt começa em t 0 Fig 816a e então tomamos N0 amostras no intervalo 0 T0 No caso atual entretanto xt começa em 12 Essa dificuldade é facilmente resolvida quando percebemos que a TDF obtida por esse procedimento é na realidade a TDF de xn repetindo perio dicamente a cada T0 segundos A Fig 818c indica claramente a repetição periódica do segmento xn no inter valo de 2 a 2 segundos resultando no mesmo sinal que a repetição periódica do segmento xn no intervalo de 0 a 4 segundos Logo a TDF das amostras tomadas de 2 a 2 segundos é a mesma das amostras tomadas de 0 a 4 segundos Portanto independente de onde xt começa podemos sempre tomar as amostras de xt e de suas extensões periódicas no intervalo de 0 a T0 No caso atual os valores das 32 amostras são Observe que a última amostra está em t 318 e não em 4 porque a repetição do sinal começa em t 4 e a amostra em t 4 é a mesma da amostra em t 0 Temos agora N0 32 e Ω0 2π32 π16 Portanto veja a Eq 822a EXEMPLO 89 712 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 818 Transformada discreta de Fourier de um pulso de porta Os valores de Xr são calculados de acordo com essa equação e mostrados na Fig 818d CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 713 As amostras Xr estão separadas por f0 1T0 Hz Neste caso T0 4 logo a resolução de freqüência f0 é 14 Hz como desejado A freqüência de dobra é fs2 B 4 Hz correspondendo a r N02 16 Como Xr é periódico de período N0 N0 32 os valores de Xr para r 16 a n 1 são os mesmos para r 16 a n 31 Por exemplo X17 X15 X18 X14 e assim por diante A TDF nos fornece as amostras do espectro Xω Para efeito de comparação a Fig 818d também mostra a curva sombreada 8 sinc ω2 a qual é a transfor mada de Fourier de 8 ret t Os valores de Xr calculados da equação da TDF mostram um erro de aliasing o qual é claramente visto na comparação dos dois gráficos sobrepostos O erro em X2 é aproximadamente 13 Entretanto o erro de aliasing aumenta rapidamente com r Por exemplo o erro em X6 é aproximadamente 12 e o erro em X10 é 33 O erro em X14 são assustadores 72 O erro percentual aumenta rapidamente próximo da freqüência de dobra r 16 porque xt possui um salto de descontinuidade o que faz com que Xω decaia lentamente com 1ω Logo próximo da freqüência de dobra a cauda invertida devido ao aliasing é muito pró xima do próprio Xω Além disso os valores finais são a diferença entre os valores exatos e os valores dobra dos os quais são muito próximos dos valores exatos Logo o erro percentual próximo à freqüência de dobra r 16 neste caso é muito alto apesar do erro absoluto ser muito pequeno Claramente para sinais com sal tos de descontinuidade o erro de aliasing próximo à freqüência de dobra sempre será alto em termos percen tuais independente da escolha de N0 Para garantir um erro de aliasing negligenciável em qualquer valor r de vemos garantir que N0 r Essa observação é válida para todos os sinais com saltos de descontinuidade EXEMPLO DE COMPUTADOR C82 Usando o MATLAB repita o Exemplo 89 Inicialmente usamos o comando fft do MATLAB para calcular a TDF A transformada de Fourier verdadeira também é calculada para comparação A seguir o espectro é apresentado Observe que a aproximação da TDF não segue perfeitamente a transformada de Fourier verdadeira es pecialmente em altas freqüências Tal como no Exemplo 89 isso ocorre em função do parâmetro B ter si do deliberadamente escolhido muito pequeno 714 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 851 Algumas Propriedades da TDF A transformada discreta de Fourier é basicamente a transformada de Fourier de um sinal amostrado periodica mente repetida Logo as propriedades apresentadas anteriormente para a transformada de Fourier também se aplicam para a TDF LINEARIDADE Se xn Xr e gn Gr então 831 A prova é trivial SIMETRIA DE CONJUGADO Da propriedade de conjugação xt Xω temos que 832a A partir dessa equação e da propriedade de reversão no tempo obtemos 832b Quando xt é real então a propriedade de simetria de conjugado afirma que Xω Xω Logo para xn real Além disso Xr é periódica com período N0 logo 832c Devido a essa propriedade precisamos calcular apenas metade das TDFs para xn real A outra metade é o conjugado DESLOCAMENTO NO TEMPO DESLOCAMENTO CIRCULAR 833 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 715 Prova Usamos inicialmente a Eq 822b para determinar a TDF inversa de Xre jrΩ0k dada por DESLOCAMENTO NA FREQÜÊNCIA 834 Prova Esta prova é idêntica à da propriedade de deslocamento no tempo exceto por começarmos com a Eq 822a CONVOLUÇÃO PERIÓDICA 835a e 835b Para duas seqüências xn e gn de período N0 a convolução periódica é definida por 836 Para provar a condição 835a determinamos a TDF de uma convolução periódica xn gn dada por A Eq 835b pode ser provada da mesma forma Para seqüências periódicas a convolução pode ser visualizada em termos de duas seqüências com uma seqüência fixa e a outra invertida e se movendo passando pela seqüência fixa um dígito por vez Se as duas seqüências possuem período N0 a mesma configuração irá se repetir após N0 deslocamentos da seqüência Claramente a convolução xn gn é periódica e com período N0 Tal convolução pode ser convenientemen te visualizada em termos de N0 seqüências como ilustrado na Fig 819 para o caso de N0 4 A seqüência xn interna com N0 pontos está no sentido horário e fixa A seqüência gn externa com N0 pontos é invertida ficando no sentido antihorário Essa seqüência é então rotacionada no sentido horário uma unidade por vez Multiplicamos os números sobrepostos e adicionamos Por exemplo o valor de xn gn para n 0 Fig 819 é e o valor de xn gn para n 1 é Fig 819 e assim por diante Também chamada de deslocamento circular porque o deslocamento pode ser interpretado como um deslocamento circular de N0 amos tras no primeiro ciclo 0 n N0 1 716 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 852 Algumas Aplicações da TDF A TDF é útil não apenas no cálculo da transformada de Fourier direta e inversa mas também em outras aplica ções tais como convolução correlação e filtragem O uso do eficiente algoritmo de FFT discutido brevemente Seção 86 a torna particularmente interessante CONVOLUÇÃO LINEAR Seja xt e gt dois sinais a serem convoluídos Em geral esses sinais podem ter diferentes durações no tempo Para convoluir esses sinais usando suas amostras eles devem ser amostrados na mesma taxa não abaixo da ta xa de Nyquist para qualquer dos sinais Seja xn 0 n N1 1 e gn 0 n N2 1 serem as seqüências discre tas correspondentes que representam essas amostras Agora e se definirmos três seqüências como xn TxnT gn TgnT e cn TcnT então na qual definimos o somatório de convolução linear de duas seqüências discretas xn e gn por Devido à propriedade da largura da convolução cn existe para 0 n N1 N2 1 Para sermos capazes de utilizar a técnica de convolução periódica da TDF devemos garantir que a convolução periódica resulte no mes mo resultado da convolução linear Em outras palavras o sinal resultante da convolução periódica deve ter o mesmo tamanho N1 N2 1 do sinal resultante da convolução linear Esse passo pode ser obtido adicionando N2 1 amostras falsas de valor zero a xn e N1 1 amostras falsas de valor zero a gn preenchimento nulo Esse procedimento altera o tamanho de xn e gn para N1 N2 1 A convolução periódica é agora idêntica à convolu ção linear exceto pelo fato de ela se repetir periodicamente com período N1 N2 1 Um pouco de reflexão irá mostrar que neste caso o procedimento de convolução circular da Fig 819 em um ciclo 0 n Ν1 Ν2 1 é idêntico à convolução linear das duas seqüências xn e gn Podemos utilizar a TDF para calcular a convolução xn gn em três passos mostrados a seguir 1 Obtenha as TDFs Xr e Gr correspondentes aos sinais xn e gn adequadamente preenchidos 2 Multiplique Xr por Gr 3 Determine a TDFI de XrGr Esse procedimento de convolução quando implementado pelo algoritmo de transformada rápida de Fourier discutida posteriormente é chamado de convolução rápida Figura 819 Descrição gráfica da convolução periódica Podemos mostrar que 4 cn limT0 xn gn Como T 0 na prática existirá algum erro nessa equação Esse erro é inerente a vários mé todos numéricos utilizados para calcular a convolução de sinais em tempo contínuo CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 717 FILTRAGEM Geralmente pensamos na filtragem em termos de alguma solução orientada a hardware notadamente cons truindo um circuito com componentes RLC e amplificadores operacionais Entretanto a filtragem também possui uma solução orientada a software um algoritmo de computador que resulta no sinal filtrado yt para uma dada entrada xt Esse objetivo pode ser convenientemente atingido usando a TDF Se xt é o sinal a ser filtrado então Xr a TDF de xn é obtida O espectro Xr é então formatado filtrado como desejado pela multiplicação de Xr por Hr na qual Hr são as amostras de Hω para o filtro Hr Hrω0 Finalmente cal culamos a TDFI de XrHr para obter a saída filtrada yn yn TynT Esse procedimento é demonstrado no exemplo a seguir O sinal xt da Fig 820a é passado através de um filtro passabaixas ideal com resposta em freqüência Hω mostrada na Fig 820b Utilize a TDF para obter a saída do filtro Figura 820 Solução pela TDF da filtragem de xt através de Hω EXEMPLO 810 718 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Já obtivemos 32 pontos da TDF de xt veja a Fig 818d A seguir multiplicamos Xr por Hr Para obtermos Hr utilizamos o mesmo valor de f0 14 utilizado na determinação dos 32 pontos da TDF de xt Como Xr possui período 32 Hr também deve ter período 32 com amostras separadas por 14 Hz Esse fato significa que Hr deve ser repetido a cada 8 Hz ou 16π rads veja a Fig 820c As 32 amostras resultantes de Hr no intervalo 0 ω 16π são mostradas a seguir Multiplicamos Xr por Hr As amostras do sinal desejado yn são obtidas pela TDF inversa de XrHr O sinal de saída resultante é ilustrado na Fig 820d A Tabela 82 apresenta o valor das amostras de xn Xr Hr Yr e yn CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 719 86 A TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT O número de cálculos necessários para executar a TDF foi drasticamente reduzido por um algoritmo desen volvido por Cooley e Tukey em 1965 5 Esse algoritmo chamado de transformada rápida de Fourier TRF ou FFT reduz o número de cálculos da ordem de N 0 2 para N0 log No Para calcular uma mostra Xr da Eq 822a precisamos de N0 multiplicações complexas e N0 1 somas complexas Para calcular N0 valores destes Xr pa ra r 0 1 N0 1 precisamos de um total de N 0 2 multiplicações complexas e N0N0 1 somas complexas Para um N0 grande esses cálculos podem consumir muito tempo sendo proibitivos mesmo em um computa dor muito rápido O algoritmo de FFT é o que torna a transformada de Fourier acessível para o processamen to digital de sinais EXEMPLO DE COMPUTADOR C83 Resolva o Exemplo 810 usando o MATLAB 720 SINAIS E SISTEMAS LINEARES COMO A FFT REDUZ O NÚMERO DE CÁLCULOS É fácil entender a mágica da FFT O segredo está na linearidade da transformada de Fourier e também da TDF Devido à linearidade podemos calcular a transformada de Fourier de um sinal xt como a soma das transfor madas de Fourier de segmentos de xt de duração mais curta O mesmo princípio se aplica ao cálculo da TDF Considere um sinal de comprimento N0 16 amostras Como visto anteriormente o cálculo da TDF dessa se qüência requer N 0 2 256 multiplicações e N0N0 1 240 adições Podemos dividir essa seqüência em seqüên cias mais curtas cada uma de tamanho 8 Para calcular a TDF de cada um desses segmentos precisamos de 64 multiplicações e 56 adições Portanto precisamos de um total de 128 multiplicações e 112 adições Suponha que tenhamos dividido a seqüência original em quatro segmentos de tamanho 4 cada um Para calcular a TDF de ca da segmento precisaríamos de 16 multiplicações e 12 adições Logo precisaríamos de um total de 64 multipli cações e 48 adições Se dividirmos a seqüência em oito segmentos de tamanho 2 precisaremos de 4 multiplica ções e 2 adições para cada segmento totalizando 32 multiplicações e 8 adições Portanto fomos capazes de re duções o número de multiplicações de 256 para 32 e o número de adições de 240 para 8 Além disso algumas dessas multiplicações são por 1 ou 1 Toda essa fantástica economia em número de cálculos é realizada pela FFT sem qualquer aproximação Os valores obtidos pela FFT são idênticos aos obtidos pela TDF Neste exem plo iremos considerar um valor relativamente pequeno de N0 16 A redução em número de cálculos é muito mais drástica para altos valores de N0 O algoritmo de FFT é simplificado se escolhermos N0 como sendo uma potência de 2 apesar de tal escolha não ser essencial Por conveniência definimos 837 tal que 838a e 838b Apesar de existirem várias variações do algoritmo de TukeyCooley eles podem ser agrupados em dois tipos básicos decimação em tempo e decimação em freqüência O ALGORITMO DE DECIMAÇÃO EM TEMPO Neste caso dividimos a seqüência de dados xn com N0 pontos em duas seqüências de N02 pontos constituídas de amostras de números pares e ímpares respectivamente como mostrado a seguir Então da Eq 838a 839 Além disso como 840 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 721 temos 841 na qual Gr e Hr são as TDFs de N02 pontos das seqüências de números pares e ímpares gn e hn respectivamen te Além disso Gr e Hr sendo TDFs com N02 pontos possuem período N02 Logo 842 Além disso 843 A partir das Eqs 841 842 e 843 obtemos 844 Essa propriedade pode ser utilizada para reduzir o número de cálculos Podemos calcular os primeiros N02 pontos 0 n N02 1 de Xr usando a Eq 841 e os últimos N02 pontos usando a Eq 844 como 845a 845b Portanto uma TDF de N0 pontos pode ser calculada combinando as duas TDFs de N02 pontos pelas Eqs 845 Essas equações podem ser representadas convenientemente pelo gráfico de fluxo de sinal mostrado na Fig 821 Essa estrutura é conhecida como borboleta A Fig 822a mostra a implementação das Eqs 842 pa ra o caso de N0 8 Figura 821 Gráfico borboleta do fluxo de sinal O próximo passo é calcular as TDFs de N02 pontos Gr e Hr Repetimos o mesmo procedimento dividindo gn e hn em duas seqüências de N04 pontos correspondentes às amostras de números pares e ímpares Continua mos então esse processo até termo alcançado a TDF de um ponto Esses passos para o caso de N0 8 estão mos trados nas Figs 822a 822b e 822c A Fig 822c mostra que a TDF de dois pontos não precisa de multiplicação Para contar o número de cálculos necessários no primeiro passo presuma que Gr e Hr são conhecidas As Eqs 845 mostram claramente que para calcular todos os N0 pontos de Xr precisamos de N0 adições complexas e N02 multiplicações complexas correspondente a WN r 0 Hr No segundo passo para calcular a TDF Gr de N02 pontos a partir da TDF de N04 pontos precisamos de N02 adições complexas e N04 multiplicações complexas Precisamos de um número igual para o cálculo de Hr Logo no segundo passo serão necessárias N0 adições complexas e N02 multiplicações complexas O número de cálculos necessário permanece o mesmo em cada passo Como um total de log2 N0 passos são ne Na realidade N02 é uma métrica conservadora porque algumas multiplicações correspondentes aos casos de WN r 0 1 j e assim por diante são eliminadas 722 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 822 Passos sucessivos em uma FFT de 8 pontos CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 723 cessários para chegarmos à TDF de um ponto serão necessários conservadoramente um total de N0 log2 N0 adições complexas e N02 log2 N0 multiplicações complexas para calcular a TDF de N0 pontos Na realida de como a Fig 822c mostra muitas multiplicações são multiplicações por 1 ou 1 o que reduz ainda mais o número de cálculos O procedimento para a obtenção da TDFI é idêntico ao utilizado para obter a TDF exceto por WN0 e j2πNo em vez de e j2πN0 além da adição do multiplicador 1N0 Outro algoritmo de FFT o algoritmo de decima ção em freqüência é similar ao algoritmo de decimação no tempo A única diferença é que em vez de divi dir xn em duas seqüências de amostras de número par e ímpar dividimos xn em duas seqüências formadas pe los primeiros N02 e últimos N02 dígitos procedendo da mesma forma até que a TDF de um único ponto se ja alcançada em log2 N0 passos O número total de cálculos nesse algoritmo é o mesmo do algoritmo de deci mação no tempo 87 RESUMO Um sinal limitado em faixa a B Hz pode ser reconstruído exatamente de suas amostras se a taxa de amostra gem for fs 2B Hz teorema da amostragem Tal reconstrução apesar de teoricamente possível resulta em problemas práticos tais como a necessidade de filtros ideais os quais são não realizáveis ou realizáveis com um atraso infinito Portanto na prática sempre existe um erro na reconstrução do sinal a partir de suas amos tras Além disso sinais práticos não são limitados em faixa o que causa um erro adicional erro de aliasing na reconstrução a partir de suas amostras Quando um sinal é amostrado a uma freqüência fs Hz amostras da senóide de freqüência fs2 x Hz aparecem como amostras de uma freqüência mais baixa fs2 x Hz Es se fenômeno no qual freqüências mais altas aparecem como freqüências mais baixas é chamado de aliasing O erro de aliasing pode ser reduzido limitando em faixa o sinal a fs2 Hz metade da freqüência de amostra gem Tal limitação em faixa realizada antes da amostragem é feita por um filtro antialising que é um filtro passabaixas ideal com freqüência de corte fs2 Hz O teorema da amostragem é muito importante na análise processamento e transmissão de sinais pois ele nos permite substituir um sinal em tempo contínuo por uma seqüência discreta de números O processamen to de um sinal em tempo contínuo é então equivalente ao processamento de uma seqüência discreta de nú meros Isso nos leva diretamente à área de filtragem digital sistemas em tempo discreto Na área de comu nicações a transmissão de mensagens em tempo contínuo se reduz para a transmissão de uma seqüência de números Isso abre portas para várias novas técnicas de comunicação de sinais em tempo contínuo por trens de pulso O dual do teorema da amostragem afirma que para um sinal limitado em tempo a τ segundos seu espectro Xω pode ser reconstruído das amostras de Xω tomadas a intervalos uniformes não maiores do que 1τ Hz Em outras palavras o espectro deve ser amostrado a uma taxa não menor do que τ amostrasHz Para calcular a transformada de Fourier direta ou inversa numericamente utilizamos a relação entre as amos tras de xt e Xω O teorema da amostragem e seu dual fornecem tal relação quantitativa na forma da transfor mada discreta de Fourier TDF Os cálculos da TDF são muito facilitados pelo algoritmo da transformada rá pida de Fourier FFT o qual reduz o número de cálculos de algo na ordem de N0 2para N0 log N0 REFERÊNCIAS Figura M81 Xf calculada em 0 f 50 usando fft MATLAB Seção 8 Transformada Discreta de Fourier Como idéia a transformada discreta de Fourier TDF é conhecida há centenas de anos Os dispositivos práti cos de computação entretanto são responsáveis por trazer a TDF para o uso comum O MATLAB é capaz de fazer cálculos de TDF que teriam sido impraticáveis não muito tempo atrás M81 Cálculo da Transformada Discreta de Fourier O comando fftx do MATLAB calcula a TDF de um vetor x definido em 0 n N0 1 O Prob 8M1 considera como escalonar a TDF para acomodar sinais que não começam em n 0 Tal como o nome sugere a função fft utiliza o algoritmo da transformada rápida de Fourier computacionalmente mais eficiente quando é apropriado A TDF inversa é facilmente calculada usando a função ifft Para ilustrar a capacidade da TDF do MATLAB considere 50 pontos de uma senóide de 10 Hz amostrada a fs 50 Hz e escalonada por T 1fs Neste caso o vetor x contém exatamente 10 ciclos da senóide O comando fft calcula a TDF Como a TDF é tanto discreta quanto periódica a fft precisa retornar apenas N0 valores discretos contidos em um único período 0 f fs Apesar de Xr poder ser traçado como uma função de r é mais conveniente traçar a TDF como uma função da freqüência f O valor de freqüência em hertz é criado usando N0 e T Como esperado a Fig M81 mostra conteúdo de freqüência em 10 Hz Como o sinal no domínio do tempo é real Xf é simétrico conjugado Portanto o conteúdo em 10 Hz implica um igual conteúdo em 10 Hz O con teúdo visível em 40 Hz é uma imagem alias do conteúdo em 10 Hz Geralmente é preferível traçar a TDF na faixa de freqüência principal fs2 f fs2 A função do MATLAB fftshift reorganiza adequadamente a saída da fft para este caso quando usando fftshift a simetria de conjugado que acompanha a TDF de um sinal real se torna mais apa rente como mostrado na Fig M82 724 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura M83 Xf mostrado entre 25 f 25 Como as TDFs geralmente são valores complexos os gráficos de magnitude das Figs M81 e M82 mostram apenas metade da figura O espectro de fase do sinal mostrado na Fig M83 completa o quadro Como o sinal é real o espectro de fase necessariamente possui simetria ímpar Adicionalmente a fase em 10 Hz é zero como esperado para uma função cosseno de fase nula Mais interessante ainda entretanto são os valores de fase obtidos nas freqüências restantes Um simples cosseno realmente possuir tal característica de fase tão complicada A resposta obviamente é não O gráfico de magnitude da Fig M82 ajuda a identi ficar o problema Existe conteúdo nulo em freqüências diferentes de 10 Hz O cálculo da fase não é realizá vel em pontos nos quais a resposta em magnitude é nula Uma forma de remediar esse problema é associar uma fase nula quando a resposta em magnitude é igual ou próxima de zero M82 Melhorando o Quadro com Preenchimento Nulo Os gráficos de magnitude de fase da TDF apresentam um quadro do espectro de um sinal Algumas vezes en tretanto o quadro pode ser mal entendido Dada uma freqüência da amostragem fs 50 Hz e um intervalo de amostragem T 1fs considere o sinal Figura M82 Xf mostrado entre 25 f 25 usando fftshift CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 725 726 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura M85 Ypnf usando 50 pontos de dados preenchidos com 550 zeros Esse sinal periódico de valor complexo contém uma única freqüência positiva em 10 Hz Vamos calcular a TDF do sinal usando 50 amostras Neste caso o vetor y contém um número não inteiro de ciclos A Fig M84 mostra o significativo vazamen to de freqüência que resulta Como yn não é real também observamos que a TDF não é conjugada simétrica Neste exemplo as freqüências discretas da TDF não incluem a freqüência real de 10 Hz do sinal Portanto é difícil determinar a freqüência do sinal a partir da Fig M84 Para melhorar a figura o sinal é preenchido com zeros para 12 vezes seu tamanho original A Fig M85 mostra corretamente o pico de freqüência em 10 Hz e representa melhor o espectro do sinal É importante ter em mente que o preenchimento nulo não aumenta a resolução ou precisão da TDF Para re tornar à analogia com a cerca de postes o preenchimento nulo aumenta a quantidade de postes mais finos em Figura M84 Yf usando 50 pontos de dados nossa cerca mas não pode alterar o que está atrás de cerca Mais formalmente as características da função sinc como a largura do lóbulo principal e níveis dos lóbulos leterais depende da largura fixa do pulso e não do número de zeros que seguem Adicionar zeros não altera as características da função sinc e portanto não altera a resolução ou precisão da TDF A adição de zeros simplesmente permite que a função sinc seja amos trada de forma melhor M83 Quantização Um conversor analógicoparadigital CAD de b bits amostra um sinal analógico e quantiza suas amplitudes usando 2 b níveis discretos Essa quantização resulta em uma distorção do sinal que é particularmente observá vel para b pequeno Tipicamente a quantização é classificada como simétrica ou assimétrica Tal como discuti do anteriormente a quantização assimétrica utiliza o zero como nível de quantização o que pode ajudar a supri mir ruído de baixo nível O programa MS8P1 quantiza um sinal usando a quantização simétrica ou assimétrica Se disponível a fun ção uencode e udecode do toolbox de processamento de sinais também pode ser utilizada para a quantização simétrica mas não para a quantização assimétrica function xq MS8P1x xmax b metodo MS8P1m MATLAB seção 8 programa 1 Arquivom de função para quantizar x na faixa xmax xmax usando 2b níveis tanto a quantização simétrica quanto assimétrica são suportadas Entradas x sinal de entrada xmax amplitude máxima do sinal a ser quantizado b número de bits de quantização metodo padrão sym para simétrico asym para assimétrico Saídas xq sinal quantizado Vários comandos do MATLAB precisam ser discutidos Inicialmente a função nargin retorna o número de argumentos de entrada Neste programa nargin foi utilizado para garantir que o número correto de entradas fosse fornecido Se o número de entradas fornecido for incorreto uma mensagem de erro é mostrada e a função é terminada Se apenas três argumentos de entrada forem detectados o tipo de quantização não é explicitamen te especificado e o programa associa o método simétrico como padrão CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 727 Figura M86 Características de transferência de um quantizador simétrico de 3 bits Saída do quantizador Uma estrutura de função equivalente pode ser escrita usando os comandos if elseif e else Tal como em várias linguagens de alto nível como o C o MATLAB suporta uma estrutura geral de switchcase switch expressãodoswitch case expressãodocase comandos otherwise comandos end O MS8P1 chaveia entre os casos da string metodo Dessa forma parâmetros específicos do métodos são fa cilmente associados O comando lower é utilizado para converter uma string para caracteres minúsculos Des sa forma strings como SYM Sym e sym possuem mesmo significado Similar ao lower o comando upper do MATLAB converte uma string para caracteres maiúsculos A quantização é realizada pelo escalamento e deslocamento apropriado da entrada e então arredondando o resultado O comando floorq arredonda os elementos de q para o inteiro mais próximo na direção de me nos infinito Matematicamente ela calcula q Para acomodar tipos diferentes de arredondamento o MA TLAB fornece três outros comandos de arredondamento ceil round e fix O comando ceilq arredon da os elementos de q para os inteiros mais próximos em direção ao infinito q o comando roundq arre donda os elementos de q em direção ao inteiro mais próximo o comando fixq arredonda os elementos de q para o inteiro mais próximo em direção a zero Por exemplo se q 05 05 floorq resulta em 1 0 ceilq retorna 0 1 roundq retorna 1 1 e fixq retorna 0 0 O aspecto final da quantização em MS8P1 é obtido através do comando find o qual é utilizado para identificar valores fora da faixa máxima permitida de saturação Para verificar a operação MS8P1 é utilizado para determinar as características de transferência de um quan tizador simétrico de 3 bits operando na faixa 10 10 A Fig M86 mostra os resultados A Fig M87 mostra as características de transferência de um quantiza dor assimétrico de 3 bits O quantizador assimétrico inclui o zero como nível de quantização mas pagando um preço o erro de quantização excede Δ2 125 para valores de entrada maiores do que 875 Não há dúvida quanto ao fato de a quantização poder alterar um sinal Conseqüentemente o espectro de um sinal quantizado também pode mudar Apesar de essas mudanças serem difíceis de serem caracterizadas mate maticamente elas são fáceis de serem investigadas usando o MATLAB Considere um cosseno de 1 Hz amos trado com fs 50 Hz durante 1 segundo 728 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Utilizando a quantização realizada por um quantizador assimétrico de 2 bits tanto o sinal quanto o espectro são substancialmente alterados Os resultados estão mostrados na Fig M88 O sinal original xn aparece como senoidal e possui um con teúdo espectral puro em 1 Hz O sinal assimetricamente quantizado xaqn é significativamente distorcido O espectro de magnitude Xaqf correspondente é espalhado em uma ampla faixa de freqüências Figura M87 Características de transferência de um quantizador assimétrico de 3 bits Figura M88 Efeitos da quantização no sinal e em seu espectro Saída do quantizador CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 729 730 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Nota Em varios problemas os graficos do amostragem para esse sinal de forma que a espectro séo mostrados como fungées da fre porao nao corrompida da faixa possa ser re qiiéncia f Hz por conveniéncia apesar de os cuperada Se tivermos que filtrar 0 espectro rdtulos dos eixos serem em funcées de co corrompido antes da amostragem qual seria a mo em Xq Y etc menor taxa de amostragem 811 A Fig P811 mostra 0 espectro de Fourier 816 Um sinal x4 At 12 em tempo conti dos sinais xt e xt Determine a taxa de nuo é amostrado com trés taxas 10 2 e 1 Hz amostragem de Nyquist para os sinais xf Trace os sinais amostrados resultantes Como x0 xy 0 xt e xtxt xt é limitado no tempo sua largura de faixa é infinita Entretanto grande parte de sua 812 Determine a taxa de amostragem de Nyquist e 2 P energia esta concentrada em uma pequena fai 0 intervalo de amostragem de Nyquist para os sinais xa Vocé pode determinar a menor taxa de amostragem razoavel que ira permitir a re a sinc 10077 constru 0 deste sinal com um ne ueno erro b 001 sinc 10021 Th reapecte ip dnite Fach ana concider c sinc 100zf 3 sinc 607 resposta me é unica pace uma consi cre d sinc 50zt sinc 100zt gao razoavel do que voce efine como sendo um erro negligencidvel ou pequeno 813 a dace Ro 0 especito de eee do 817 a Umsinal x 5 sinc Sat cos 20 é 8 x 3 cos a sen m cos amostrado a uma taxa de 10 Hz Obtenha 28 at na qual um numero muito 0 espectro do sinal amostrado Pode xt pequeno 0 Determine a taxa de amos a oe ser reconstruido pela filtragem passabai tragem minima necessaria para sermos ca d d xas do sinal amostrado pazes de reconstruir xt essas amostras b Repita a parte a para uma freqiiéncia de b Trace 0 espectro de amplitude do sinal A amostragem de 20 Hz Vocé pode recons amostrado quando a taxa de amostragem 525 acima d de Nvaui truir o sinal de suas amostras Explique 29 acima da taxa de vyquist mostre c Sext 5 sine St sen 20m vocé po apenas 0 espectro de freqiiéncia na faixa a de reconstruir xt das amostras de xt a de 50 Hz Como vocé reconstruiria xt uma taxa de 20 Hz Explique sua resposta dessas amostras we com as representacdo6es espectralis 2 a 814 a Obtenha 0 teorema da amostragem consi d Para xt 5 sinc Sat sen 20zt vocé derando o fato de que um sinal amostrado pode reconstruir xt das amostras de xf a Xt x160 e usando a propriedade de uma taxa de 21 Hz Explique sua resposta convolucao no tempo da Eq 743 com as representag4oGes espectralis b Para um trem a amostragem constituido Comente seus resultados de impulsos unitérios deslocados instan 818 a A mais alta freqiiéncia no espectro X tes nT Tem vez de em nT para valores Z an Fig P818a do sinal passafaixa xt inteiros positivos e negativos de n deter vA 30 Hz Logo a menor freqiiéncia de mine o espectro do sinal amostrado as amostragem necessaria para amostrar xt 815 Um sinal é limitado em faixa a 12 kHz A fai é 60 Hz Mostre o espectro do sinal xa entre 10 e 12 kHz foi tao corrompida por amostrado a uma taxa de 60 Hz vocé po ruido que a informacdo nessa banda nao pode de reconstruir x7 a partir dessas amos ser recuperada Determine a menor taxa de tras Como X Xx o o 0 2m X 10 0 3a x 10 Figura P811 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 731 b Um certo estudante atarefado olhou para Xω e concluiu que sua largura de faixa na realidade é 10 Hz e decidiu que a taxa de amostragem de 20 Hz é adequada para amostrar xt Trace o espectro do sinal amostrado a taxa de 20Hz Ele pode re construir xt a partir dessas amostras c O mesmo estudante usando o mesmo ra ciocínio olhou para Yω da Fig P81 8b o espectro de outro sinal passafaixa yt e concluiu que ele pode utilizar uma taxa de amostragem de 20 Hz para amos trar yt Trace o espectro do sinal yt amostrado a uma taxa de 29 Hz Ele pode reconstruir yt a partir dessas amostras 819 Um sinal xt cujo espectro Xω é mostrado na Fig P819 é amostrado a uma freqüência fs f1 f2 Hz Obtenha os valores amostrados de xt pela simples inspeção de Xω 8110 Na transmissão digital de dados em um canal de comunicação é importante conhecer o li mite superior teórico da taxa de pulsos digi tais que pode ser transmitida em um canal com largura de faixa B Hz Na transmissão di gital a forma relativa do pulso não é impor tante Estamos interessados em conhecer so mente a amplitude representada pelo pulso Por exemplo na comunicação binária esta mos interessados em saber se a amplitude do pulso recebido é 1 ou 1 positivo ou negati vo Portanto cada pulso representa uma in formação Considere um valor de amplitude independente não necessariamente binário como uma informação Mostre que 2B infor mações independentes por segundo podem ser transmitidas corretamente presumindo ausência de ruído em um canal de largura de faixa B Hz Esse importante princípio na teo ria de comunicação afirma que um hertz de largura de faixa pode transmitir duas informa ções independentes por segundo Isso repre senta a taxa superior de transmissão de pulsos em um canal sem erro na recepção na ausên cia de ruído Dica de acordo com a fórmula de interpolação Eq 811 um sinal em tem po contínuo de largura de faixa B Hz pode ser construído de 2B informaçõessegundo 8111 Esse exemplo é uma das situações interessan tes que nos leva a um resultado curioso na cate goria de definição de gravidade A função sinc 732 SINAIS E SISTEMAS LINEARES pode ser recuperada de suas amostras tomadas em freqüências extremamente baixas em apa rente desafio ao teorema da amostragem Considere o pulso sinc xt sinc 4πt para o qual Xω 14 ret ω8π A largura de faixa de xt é B 2 Hz e sua taxa de Nyquist é 4 Hz a Amostre xt a uma taxa de 4 Hz e trace o espectro do sinal amostrado b Para recuperar xt de suas amostras pas samos o sinal amostrado através de um filtro passabaixas ideal com largura de faixa B 2 Hz e ganho G T 14 Tra ce esse sistema e mostre que para ele Hω 14 ret ω8π Mostre também que quando a entrada é xt amostrado a uma taxa de 4 Hz a saída desse sistema é de fato xt como esperado c Amostre agora xt na metade da taxa de Nyquist em 2 Hz Aplique esse sinal amostrado na entrada do filtro passabai xas utilizado na parte b Obtenha a saída d Repita a parte c para uma taxa de amos tragem de 1 Hz e Mostre que a saída do filtro passabaixas da parte b é xt para xt amostrado se a taxa de amostragem for 4N na qual N é qualquer inteiro positivo Isso significa que podemos recuperar xt de suas amostras tomadas a taxas arbitrariamente pequenas fazendo N f O mistério pode ser desvendado exami nando o problema no domínio do tempo Obtenha as amostras de xt quando a ta xa de amostragem for 2N N inteiro 821 Um sinal xt sinc 200πt é amostrado multiplicado por um trem de pulso periódi co pTt representado na Fig P821 Obtenha e trace o espectro do sinal amostrado Expli que se você será capaz ou não de reconstruir xt a partir dessas amostras Obtenha a saída filtrada se o sinal amostrado passar por um fil tro passabaixas ideal com largura de faixa de 100 Hz e ganho unitário Qual é a saída do fil tro se sua largura de faixa B Hz estiver entre 100 e 150 Hz O que acontecerá se a largura de faixa exceder 150 Hz 822 Mostre que o circuito da Fig P822 é a reali zação do circuito retentor de ordem zero ROZ Você pode fazer isso mostrando que a resposta ht ao impulso unitário desse circui to é de fato igual à da Eq 89a atrasada por T2 segundos para tornálo causal 823 a Um circuito retentor de primeira ordem RPO pode ser utilizado para reconstruir um sinal t de suas amostras A respos ta ao impulso desse circuito é ht Δt2T na qual T é o intervalo de amos tragem Considere um típico sinal amos trado t e mostre que esse circuito exe cuta a interpolação linear Em outras pa lavras a saída do filtro é constituída pelos topos das amostras conectadas por seg mentos de linha reta Siga o procedimen to discutido na Seção 82 Fig 85c b Determine a resposta em freqüência des se filtro e sua resposta em amplitude e compare com i o filtro ideal necessário para a recons trução do sinal ii O circuito ROZ c Esse filtro sendo não causal não é reali zável Através do atraso de sua resposta ao impulso o filtro pode ser realizado Qual é o menor atraso necessário para tornálo realizável Como esse atraso irá afetar o sinal reconstruído e a resposta em freqüência do filtro d Mostre que o circuito causal RPO da par te c pode ser realizado pelo circuito ROZ mostrado na Fig P822 seguido por um filtro idêntico em cascata CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 733 824 No texto para efeito de amostragem utiliza mos pulsos estreitos limitados no tempo tal como impulsos ou pulsos retangulares de lar gura menor do que o intervalo de amostragem T Mostre que não é necessário restringir a lar gura do pulso de amostragem Podemos utili zar pulsos de amostragem com duração arbi trariamente grande e ainda assim sermos ca pazes de reconstruir o sinal xt desde que a ta xa de pulsos não seja menor do que a taxa de Nyquist para xt Considere xt como sendo limitado em faixa a B Hz O pulso de amostragem a ser utilizado é a exponencial e atut Multiplicamos xt por um trem periódico de pulsos exponenciais na forma e atut espaçados T segundos Obte nha o espectro do sinal amostrado e mostre que xt pode ser reconstruído a partir desse sinal amostrado desde que a taxa de amostra gem não seja menor do que 2B Hz ou T 12B Explique como você reconstruiria xt do sinal amostrado 825 No Exemplo 82 a amostragem do sinal xt foi realizada multiplicando o sinal por um trem de pulsos pTt resultando no sinal amostrado mostrado na Fig 84d Esse procedimento é chamado de amostragem natural A Fig P82 5 mostra a chamada amostragem de topo plano do mesmo sinal xt sinc 2 5πt a Mostre que o sinal xt pode ser recupera do das amostras de topo plano se a taxa de amostragem não for menor do que a taxa de Nyquist b Explique como você recuperaria xt das amostras de topo plano c Obtenha a expressão para o espectro do sinal amostrado ω e obtenha um ras cunho dela 826 Uma senóide de freqüência f0 Hz é amostrada a uma taxa fs 20 Hz Obtenha a freqüência aparente do sinal amostrado se f0 for 827 Uma senóide de freqüência f0 desconhecida é amostrada a uma taxa de 60 Hz A freqüência aparente das amostras é 20 Hz Determine f0 se soubermos que f0 está na faixa 828 Um sinal xt 3 cos 6πt cos 16πt 2 cos 20πt é amostrada a uma taxa 25 acima da ta xa de Nyquist Trace o espectro do sinal amos trado Como você reconstruiria xt a partir destas amostras Se a freqüência de amostra gem for 25 abaixo da taxa de Nyquist quais serão as freqüências das senóides presentes na saída do filtro cuja freqüência de corte é igual à freqüência de dobra Não escreva a saída simplesmente forneça as freqüências das se nóide presentes na saída 829 a Mostre que o sinal xt reconstruído de suas amostras xnT usando a Eq 811a possui largura de faixa B 12T Hz b Mostre que xt é o sinal de menor largu ra de faixa que passa através das amostras xnT Dica utilize o método reductio ad absurdum 8210 Em sistemas de comunicação digital o uso eficiente da largura de faixa do canal é ga rantido pela transmissão de dados digitais codificados através de pulsos de largura de faixa limitada Infelizmente pulsos de largu ra de faixa limitada não são limitados no tempo ou seja eles possuem duração infini ta o que faz com que pulsos representando dígitos sucessivos interfiram e causem erros na leitura do valor verdadeiro do pulso Essa dificuldade pode ser resolvida formatando um pulso pt de tal forma que ele seja limi tado em faixa e mesmo assim cause interfe rência zero nos instantes de amostragem Pa ra transmitir R pulsos por segundo precisa mos de uma largura de faixa de no mínimo R2 Hz veja o Prob 8110 A largura de faixa de pt deve ser R2 Hz e suas amostras de forma a não causarem interferência em todos os outros instantes de amostragem de vem satisfazer a condição 734 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Como a taxa de pulso é R pulsos por segundo os instantes de amostragem estão localizados em intervalos de 1R segundos Logo a condi ção anterior garante que qualquer pulso não irá interferir com a amplitude de qualquer ou tro pulso em seu centro Obtenha pt Tal pt é único no sentido de que nenhum outro pul so satisfaz a condição dada 8211 O problema de interferência de pulso em transmissão digital de dados foi apresentado no Prob 8210 no qual obtivemos uma for ma de pulso pt para eliminar a interferência Infelizmente o pulso obtido é não apenas não causal e não realizável mas também possui um sério problema devido ao seu lento decai mento por 1t ele tende a severas interferên cias devido a pequenos desvios paramétricos Para fazêlo decair rapidamente Nyquist pro pôs relaxar a condição de largura de faixa de R2 Hz para kR2 Hz com 1 k 2 O pulso ainda deve atender a propriedade de não inter ferência com outros pulsos por exemplo Mostre que essa condição é satisfeita somen te se o espectro Pω do pulso possui simetria ímpar com relação ao conjunto de eixos pon tilhados como mostrado na Fig P8211 A largura de faixa de Pω é kR2 Hz 1 k 2 8212 As amostras de Nyquist de um sinal xt limi tado em faixa a B Hz são Mostre que Esse pulso chamado de pulso duobinário é utilizado em aplicações de transmissão di gital 8213 Um sinal limitado em faixa a B Hz é amostra do a uma taxa fs 2B Hz Mostre que Dica utilize a propriedade de ortogonalidade da função sinc do Prob 765 8214 Prove que um sinal não pode ser simultanea mente limitado no tempo e limitado em faixa Dica mostre que a consideração contrária le va a uma contradição Presuma que um sinal possa ser simultaneamente limitado no tempo e limitado em faixa tal que Xω 0 para ω 2πB Neste caso Xω Xω ret ω4πB pa ra B B Esse fato significa que xt é igual a xt 2B sinc 2πBt o qual não pode ser limi tado no tempo porque a função sinc se estende ao infinito 831 Um compact disc CD grava sinais de áudio digitalmente através de um código binário Presuma que a largura de faixa do sinal de áu dio é de 15 kHz a Qual é a taxa de Nyquist b Se as amostras de Nyquist forem quanti zadas em 65536 níveis L 65536 e então codificadas em binário qual o nú mero de dígitos binários necessários para codificar uma amostra CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 735 c Determine o número de dígitos binários por segundo bitss necessários para co dificar o sinal de áudio d Por motivos práticos discutidos no texto sinais são amostrados a uma taxa bem aci ma da taxa de Nyquist Na prática os CDs utilizam 44100 amostrass Se L 65536 determine o número de pulsos por segun do necessários para codificar o sinal 832 Um sinal de TV vídeo e áudio possui largu ra de faixa de 45 MHz Esse sinal é amostra do quantizado e codificado em binário a Determine a taxa de amostragem se o si nal for amostrado a uma taxa 20 acima da taxa de Nyquist b Se as amostras forem quantizadas em 1024 níveis qual o número de pulsos binário ne cessário para codificar cada amostra c Determine a taxa de pulsos binários bitss do sinal codificado 833 a Um certo esquema AD possui 16 níveis de quantização Forneça um possível có digo binário e um possível código quater nário 4ário Para o código quaternário utilize 0 1 2 e 3 para os quatro símbolos Utilize o menor número de dígitos em seu código b Para representar um dado número L de níveis de quantização precisamos de no mínimo bM dígitos para um código M ário Mostre que a razão do número de dí gitos em um código binário com o núme ro de dígitos em um código quaternário 4ário é 2 ou seja b2b4 2 834 Cinco sinais de telemetria cada um com lar gura de faixa de 1 kHz são quantizados e co dificados em binário Esses sinais são multi plexados por divisão no tempo bits do sinal entrelaçados Escolha o número de níveis de quantização que tal forma que o erro máximo nas amplitudes amostradas não seja superior a 02 do pico do sinal de amplitude O sinal deve ser amostrado ao menos a 20 acima da taxa de Nyquist Determine a taxa de dados bits por segundo do sinal multiplexado 841 A transformada de Fourier de um sinal xt li mitado em faixa a B Hz é Xω O sinal xt é repetido periodicamente a intervalos T sendo T 125B O sinal yt resultante é Mostre que yt pode ser descrito por na qual e Lembre que um sinal limitado em faixa não é limitado no tempo e logo possui duração in finita As repetições periódicas são todas so brepostas 851 Para um sinal xt limitado no tempo a 10 ms e com largura de faixa essencial de 10 kHz determine N0 o número de amostras do sinal necessário para calcular uma FFT de potência de 2 com uma freqüência de resolução f0 de pelo menos 50 Hz Explique se o preenchi mento nulo será necessário 852 Para calcular a TDF do sinal xt da Fig P852 escreva a seqüência xn para n 0 até N0 1 se a resolução de freqüência f0 for ao menos 025 Hz Presuma que a largu ra de faixa essencial freqüência de dobra mento de xt seja no mínimo 3Hz Não calcule a TDF apenas escreva a seqüência apropriada xn 853 Escolha os valores apropriados de N0 e T e calcule a TDF do sinal e tut Utilize dois cri térios diferentes para a determinação da largu ra de faixa efetiva de e tut Como largura de faixa utilize a freqüência na qual a amplitude da resposta cai para 1 de seu valor de pico em ω 0 A seguir utilize o critério de 99 da energia para a determinação da largura de faixa veja o Exemplo 720 854 Repita o Prob 853 para o sinal 855 Para os sinais xt e gt representado na Fig P855 escreva as seqüências xn e gn apropria das para a determinação da convolução de xt e gt usando a TDF Utilize T 18 856 Para este problema interprete a TDF de N pontos como uma função de r com período N Para ressaltar esse fato iremos mudar a nota 736 SINAIS E SISTEMAS LINEARES ção de Xr para Xr Os seguintes sinais no do mínio da freqüência são TDFs válidas Res ponda sim ou não Para cada TDF válida de termine o tamanho N da TDF e informe se o sinal no domínio do tempo é real e Xr r π10 na qualN representa a operação de módulo N 8M1 O comando fft do MATLAB calcula a TDF de um vetor x assumindo que a primeira amostra ocorre no tempo n 0 Dado que X fftx já foi calculado obtenha um método para corrigir X para refletir um tempo inicial arbitrário n n0 8M2 Considere um sinal complexo composto por duas exponenciais complexas muito próxi mas x1n e j2πn30100 e j2πn33100 Para cada um dos seguintes casos trace a magnitude da TDF de tamanho N em função da freqüência fr na qual fr rN a Calcule e trace o gráfico da TDF de x1n usando 10 amostras 0 n 9 A partir desse gráfico as duas exponenciais podem ser identificadas Por quê b Faça o preenchimento nulo do sinal da parte a com 490 zeros e então calcule e trace a TDF de 500 pontos Isso melhora a figura da TDF Explique c Calcule a trace a TDF de x1n usando 100 amostras 0 n 99 A partir desse gráfico as duas exponenciais podem ser identificadas Por quê d Faça o preenchimento nulo do sinal da par te c com 400 zeros e então calcule e tra ce a TDF de 500 pontos Isso melhora a fi gura da TDF Explique 8M3 Repita o Prob 8M2 usando o sinal comple xo x2n e j2πn30100 e j2πn315100 8M4 Considere um sinal complexo composto por um termo cc e duas exponenciais complexas y1n 1 e j2πn30100 05 e j2πn43100 Para ca da um dos seguintes casos trace a magnitude da TDF de tamanho N em função da freqüên cia fr na qual fr rN a Utilize o MATLAB para calcular e traçar o gráfico da TDF de y1n usando 20 amos tras 0 n 19 A partir desse gráfico vo cê pode identificar as duas exponenciais Dada a relação de amplitude entre as duas o pico de freqüência mais baixa deve ser duas vezes maior do que o pico de fre qüência mais alta Isso ocorre Explique b Faça o preenchimento nulo do sinal da parte a para um total de 500 pontos Isso melhora a localização das duas compo nentes exponenciais O pico de freqüência mais baixa é duas vezes maior do que o pi co de freqüência mais alta Explique c A função window do toolbox de proces samento de sinais do MATLAB permite que funções de janela sejam facilmente geradas Gere uma janela de Hanning de tamanho 20 e apliquea a y1n Usando a função janelada repita as partes a e b CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 737 Comente se a função de janela ajudou ou atrapalhou a análise 8M5 Repita o Prob 8M4 usando o sinal comple xo y2n 1 e j2πn30100 05e j2πn38100 8M6 Este problema investiga a idéia de preenchi mento nulo aplicado no domínio da freqüên cia Quando solicitado trace a magnitude da TDF de tamanho N em função da freqüência fr na qual fr rN a No MATLAB crie um vetor x que con tém um período da senóide xn cos π2n Trace o resultado Quão senoi dal o sinal parece ser b Utilize o comando fft para calcular a TDF X do vetor x Trace a magnitude dos coeficientes da TDF Eles fazem sentido c Preencha com zeros o vetor da TDF para obter um vetor total de tamanho 100 in serindo o número apropriado de zeros no meio do vetor X Chame essa seqüência preenchida com zeros de Y Por que os zeros são inseridos no meio em vez de no fim Calcule a TDF inversa de Y e trace o resultado Quais similaridades existem entre o novo sinal y e o sinal original x Quais são as diferenças entre x e y Qual o efeito do preenchimento nulo no domínio da freqüência Quão si milar é esse tipo de preenchimento nulo ao preenchimento nulo no domínio do tempo d Obtenha uma modificação genérica ao procedimento de preenchimento nulo no domínio da freqüência para garantir que a amplitude do sinal resultante no domínio do tempo fique inalterado e Considere um período da onda quadrada descrita pelo vetor de tamanho 8 e igual a 1 1 1 1 1 1 1 1 Preencha com zeros a TDF desse vetor de tal forma que o ta manho fique sendo 100 e chame o resulta do de S Escalone S de acordo com a parte d calcule a TDF inversa e trace o resul tado O novo sinal sn no domínio do tempo se parece com uma onda quadrada Explique Nos Capítulos 6 e 7 estudamos as formas de representação de sinais contínuos no tempo pela soma de senói des ou exponenciais Neste capítulo iremos discutir um desenvolvimento similar para sinais em tempo discre to Nossa abordagem é similar à utilizada para sinais contínuos no tempo Representamos primeiro um sinal periódico xn como uma série de Fourier formada por exponenciais ou senóides em tempo discreto e suas harmônicas Posteriormente estenderemos essa representação para um sinal xn não periódico considerando xn como o caso limite de um sinal periódico com período tendendo ao infinito 91 SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO SFTD Um sinal cos ωt em tempo contínuo é um sinal periódico independente do valor de ω Entretanto isso não acon tece para a senóide cos Ωn ou a exponencial e jΩn em tempo discreto A senóide cos Ωn é periódica somente se Ω2π for um número racional Isso pode ser provado observandose que se a senóide tiver período N0 então Isso é possível somente se Neste caso tanto m e N0 são inteiros Logo Ω2π mN0 é um número racional Portanto uma senóide cos Ωn ou a exponencial e jΩn será periódica somente se 91a Quando essa condição Ω2π um número racional é satisfeita o período N0 da senóide cos Ωn é dada por Eq 91a 91b Para calcular N0 precisamos escolher o menor valor de m que fará com que m2πΩ seja um inteiro Por exem plo se Ω 4π17 então o menor valor de m que fará com que m2πΩ m172 seja um inteiro é 2 Portanto Entretanto a senóide cos 08n não é um sinal periódico porque 082π não é um número racional 911 Representação de um Sinal Periódico pela Série de Fourier em Tempo Discreto Um sinal em tempo contínuo de período T0 pode ser representado por uma série trigonométrica de Fourier cons tituída por uma senóide de freqüência fundamental ω0 2πT0 e todas as suas harmônicas A forma exponencial da série de Fourier é constituída pelas exponenciais e j0t e jω0t e j2ω0t e j3ω0t ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO C A P Í T UL O 9 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 739 Um sinal periódico em tempo discreto pode ser representado pela série de Fourier em tempo discreto usando um desenvolvimento similar Lembrese de que um sinal periódico xn com período N0 é caracte rizado por 92 O menor valor de N0 para o qual esta equação é válida é o período fundamental A freqüência fundamental é Ω0 2πN0 radamostra Um sinal xn de período N0 pode ser representado pela série de Fourier em tempo dis creto constituída por uma senóide de freqüência fundamental Ω0 2πN0 e suas harmônicas Tal como no caso em tempo contínuo podemos utilizar a forma trigonométrica ou exponencial da série de Fourier Devido à sua forma compacta e à facilidade de manipulação matemática a forma exponencial é a preferida Por essa razão não iremos desenvolver a forma trigonométrica e passaremos direto para a forma exponencial da série de Fou rier em tempo discreto A série exponencial de Fourier é constituída pelas exponenciais e j0n e jΩ0n e j2Ω0n e jnΩ0n e assim por diante Existiria um número infinito de harmônicas mas pela propriedade apresentada na Seção 551 exponenciais em tempo discreto cujas freqüências são separadas por 2π ou múltiplos inteiros de 2π são idênticas pois A conseqüência desse resultado é que a résima harmônica é idêntica a r N0ésima harmônica Para de monstrar esse fato seja gn a nésima harmônica e jnΩ0n Então e 93 Portanto a primeira harmônica é idêntica a N0 1ésima harmônica a segunda harmônica é idêntica à N0 2ésima harmônica e assim por diante Em outras palavras existem apenas N0 harmônicas independen tes e suas freqüências estão em um intervalo 2π porque as harmônicas estão separadas por Ω0 2πN0 Isso significa que ao contrário do caso em tempo contínuo a série de Fourier em tempo discreto possui apenas um número finito N0 de termos Esse resultado é consistente com nossa observação da Seção 551 de que todos os sinais em tempo discreto são limitados na faixa de π a π Como as harmônicas são separadas por Ω0 2πN0 existem apenas N0 harmônicas nessa faixa Também vimos que essa faixa pode ser considerada de 0 a 2π ou em qualquer outra faixa contínua com largura 2π Isso significa que podemos escolher N0 harmôni cas independentes e jrΩon em 0 r N0 1 ou em 1 r N0 2 ou em 1 r N0 ou em qualquer outra es colha adequada Cada um desses conjuntos conterá as mesmas harmônicas apesar de elas estarem em ordem diferente Vamos considerar a primeira escolha a qual corresponde às exponenciais e jrΩ0n para r 0 1 2 N0 1 A série de Fourier para um sinal xn com período N0 é constituída por apenas essas N0 harmônicas e pode ser des crita por 94 Para calcular os coeficientes r da série de Fourier 94 multiplicamos os dois lados de 94 por e jmΩ0n e somamos em n de n 0 até N0 1 95 A soma do lado direito após alterarmos a ordem dos somatórios resulta em 96 740 SINAIS E SISTEMAS LINEARES O somatório interno de acordo com a Eq 828 na Seção 85 é zero para todos os valores de r m Ele é não nulo e igual a N0 somente quando r m Esse fato significa que o somatório externo possui apenas o termo mN0 correspondente a r m Portanto o lado direito da Eq 95 é igual a mN0 e e 97 Temos agora a representação da série de Fourier em tempo discreto SFTD de um sinal xn com período N0 dada por 98 na qual 99 Observe que as equações 89 e 99 da SFTD são idênticas a menos de uma constante de escala às equa ções 822b e 822a da TDF Portanto podemos utilizar um algoritmo de FFT eficiente para calcular os coe ficientes da SFTD 912 Espectro de Fourier de um Sinal Periódico xn A série de Fourier é constituída por N0 componentes As freqüências dessas componentes são 0 Ω0 2Ω0 N0 1Ω0 na qual Ω0 2πN0 A contribuição da rési ma harmônica é Podemos traçar esta contribuição o coeficiente de Fourier como uma função do índi ce r ou da freqüência Ω Esse gráfico chamado de espectro de Fourier de xn nos fornece em uma rápida aná lise um quadro gráfico das contribuições das várias harmônicas de xn Em geral os coeficientes de Fourier são complexos e podem ser representados na forma polar por 910 O gráfico de em função de Ω é chamado de espectro de amplitude e o de em função de Ω é cha mado de espectro de ângulo ou fase Esses dois gráficos juntos formam o espectro de freqüência de xn Co nhecendo esse espectro podemos reconstruir ou sintetizar xn de acordo com a Eq 98 Portanto o espectro de Fourier ou de freqüência o qual é uma forma alternativa de descrever o sinal periódico xn é de todas as formas equivalente em termos de informação ao gráfico de xn em função de n O espectro de Fourier de um sinal constitui a descrição no domínio da freqüência de xn em contraste com a descrição no domínio do tem po no qual xn é especificado em função do índice n representando o tempo Os resultados são muito similares à representação de um sinal periódico em tempo contínuo pela série ex ponencial de Fourier exceto pelo fato de que em geral a largura de faixa do espectro de um sinal em tempo contínuo é infinita e constituída por um número infinito de componentes exponenciais harmônicas O es pectro do sinal periódico em tempo discreto por outro lado é limitado em faixa e possui no máximo N0 componentes Se fizermos xn N0xk e Xr as Eqs 98 e 99 serão idênticas às Eqs 822b e 822a respectivamente Obtenha a série de Fourier em tempo discreto SFTD para xn sen 01πn Fig 91a Trace o espectro de amplitude e fase Neste caso a senóide sen 01πn é periódica porque Ω2π 120 é um número racional e o período N0 é ve ja a Eq 91b CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 741 EXTENSÃO PERIÓDICA DO ESPECTRO DE FOURIER Iremos mostrar aqui que se φr é uma função de r com período N0 então 911 na qual r N0 indica o somatório em quaisquer N0 valores consecutivos de r Como φr possui período N0 os mesmos valores de repetem a cada período N0 Logo a soma de qualquer conjunto de N0 valores consecutivos de φr deve ser a mesma não importa o valor de r com o qual começamos o somatório Basicamente isso re presenta a soma em um ciclo Para aplicar esse resultado à SFTD observe que e jrΩ0n possui período N0 porque Portanto se xn possuir período N0 xne jrΩ0n também possuirá período N0 Logo a partir da Eq 99 te mos que também possuirá período N0 tal como e jrΩ0n Agora devido à propriedade 911 podemos ex pressar as Eqs 98 e 99 por 912 e 913 Se traçarmos o gráfico de para todos os valores de r em vez de somente para 0 r N0 1 então o es pectro é periódico com período N0 Além disso a Eq 912 mostra que xn pode ser sintetizado não somen te pelas N0 exponenciais correspondentes a 0 r N0 1 mas por quaisquer N0 exponenciais sucessivas nesse es pectro começando em qualquer valor de r positivo ou negativo Por essa razão geralmente se mostra o espec tro para todos os valores de r não somente no intervalo 0 r N0 1 Mesmo assim devemos lembrar que para sintetizar xn usando esse espectro precisamos somar apenas N0 componentes consecutivas Todas essas observações são consistentes com a nossa discussão do Capítulo 5 no qual foi mostrado que uma senóide de uma dada freqüência é equivalente a infinitas senóides todas separadas por um múltiplo inteiro de 2π na freqüência Ao longo do eixo Ω se repete a cada intervalo de 2π ao longo do eixo r se repete a cada intervalo de N0 As Eqs 912 e 913 mostram que tanto xn quanto seu espectro possui período N0 e possuem exata mente o mesmo número de componentes N0 em um período A Eq 913 mostra que é geralmente complexo e é o conjugado de se xn é real Portanto 914 de tal forma que o espectro de amplitude é uma função par e é uma função ímpar de r ou Ω Todos esses conceitos ficarão mais claros nos exemplos a seguir O primeiro exemplo é trivial e serve principalmente para familiarizar o leitor com os conceitos básicos da SFTD EXEMPLO 91 742 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 91 Senóide sen 01πn e seu espectro de Fourier O menor valor de m que faz com que 20m seja um inteiro é m 1 Portanto o período é N0 20 tal que Ω0 2πN0 01π e da Eq 912 na qual o somatório é calculado para quaisquer 20 valores consecutivos de r Iremos selecionar a faixa 10 r 10 valores de r de 10 a 9 Essa escolha corresponde a sintetizar xn usando as componentes espec trais na faixa fundamental de freqüência de π Ω π Logo CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 743 na qual de acordo com a Eq 913 Nesses somatórios r assume todos os valores entre 10 e 9 Usando a Eq 828 temos que o primeiro somatório do lado direito é zero para todos os valores de r exceto em r 1 quando o somatório é igual a N0 20 Similarmente o segundo somatório é zero para todos os valores de r exceto em r 1 quando ele é igual a N0 20 Portanto e todos os outros coeficientes são zero A série de Fourier correspondente é dada por 915 Na qual a freqüência fundamental é Ω0 01π e existem apenas duas componentes não nulas Portanto Os gráficos de no intervalo 10 r 10 são mostrados na Fig 91b e 91c De acordo com a Eq 915 existem apenas duas componentes correspondentes a r 1 e r 1 Os 18 coeficientes restantes são iguais a zero A résima componente é a amplitude da freqüência rΩ0 01rπ Portanto o intervalo de freqüência correspondente a 10 r 10 é π Ω π como mostrado na Fig 91b e 91c Esse espectro na faixa 10 r 10 ou π Ω π é suficiente para especificar a descrição no domínio da freqüência série de Fourier e podemos sintetizar xn somando essas componentes espectrais Devido à propriedade de pe riodicidade discutida na seção 912 o espectro Dr é uma função periódica de r com período N0 20 Por es sa razão repetimos o espectro com período N0 20 ou Ω 2π como ilustrado na Fig 91b e 91c as quais são extensões periódicas do espectro na faixa 10 r 10 Observe que o espectro de amplitude é uma fun ção par e o espectro de ângulo ou fase é uma função ímpar de r ou Ω como esperado O resultado 915 é uma identidade trigonométrica e poderia ter sido obtida imediatamente sem a for malidade de se obter os coeficientes de Fourier Intencionalmente escolhemos esse exemplo trivial para apresentar gentilmente o leitor ao novo conceito da série de Fourier em tempo discreto e sua natureza pe riódica A série de Fourier é uma forma de expressar um sinal periódico xn em termos de exponenciais na forma e jrΩ0n e suas harmônicas O resultado da Eq 915 é simplesmente a afirmativa do fato óbvio de que sen 01πn pode ser descrito pela soma de duas exponenciais e j01πn e e j01πn EXERCÍCIO E91 A partir do espectro da Fig 91 escreva a série de Fourier correspondente ao intervalo 10 r 30 ou π Ω 3π Mostre que essa série de Fourier é equivalente a da Eq 915 EXERCÍCIO E92 Obtenha o período e a SFTD de para o intervalo 0 r 19 Utilize a Eq 99 para calcular Dr RESPOSTAS EXERCÍCIO E93 Obtenha os períodos fundamentais N0 se existirem para as seguintes senóides RESPOSTAS a N0 8 b N0 não existe porque a senóide não é periódica 744 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Devido à periodicidade das exponenciais e jrΩ0n em tempo discreto as componentes da série de Fourier podem ser selecionadas em qualquer faixa de tamanho N0 20 ou Ω 2π Por exemplo se selecionarmos a faixa de freqüência 0 Ω 2π ou 0 r 20 teríamos obtido a série como 916 Essa série é equivalente à da Eq 915 porque as duas exponenciais e j19πn e e j01πn são equivalentes Isso decorre do fato de que e j19πn e j19πn e j2πn e j01πn Poderíamos ter selecionado o espectro em qualquer outra faixa de largura Ω 2π na Fig 91b e 91c co mo uma série de Fourier em tempo discreto válida O leitor deve verificar esse fato provando que um espec tro começando em qualquer posição e com largura Ω 2π é equivalente às mesmas duas componentes do lado direito da Eq 915 Obtenha a série de Fourier em tempo discreto para a função de porta periódica amostrada mostrada na Fig 92a Figura 92 a Função de porta periódica amostrada e b seu espectro de Fourier Neste caso N0 32 e Ω0 2π32 π16 Portanto 917 na qual 918a Por conveniência iremos escolher o intervalo 16 n 15 para o somatório 918a apesar de qualquer intervalo de mesma largura 32 pontos levar ao mesmo resultado Agora xn 1 para 4 n 4 e zero para todos os outros valores de n Portanto 918b CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 745 EXEMPLO 92 Neste exemplo utilizamos as mesmas equações para a TDF do Exemplo 89 com uma constante de escalamento Neste exemplo os valores de xn para n 4 e n 4 são considerados como 1 valor completo enquanto que no Exemplo 89 esses valores são 05 me tade do valor Essa é a razão da pequena diferença no espectro da Fig 92b e Fig 818d Ao contrário de sinais contínuos no tempo a descontinuidade é um conceito que perde seu sentido em sinais em tempo discreto EXEMPLO DE COMPUTADOR C91 Repita o Exemplo 92 usando o MATLAB Estritamente falando a fórmula de somatório de progressão geométrica se aplica somente se a razão comum e jπ16r 1 Quando r 0 es sa razão é unitária Logo a Eq 919 é válida para valores de r 0 Para o caso de r 0 o somatório da Eq 918b é dado por Felizmente o valor de calculado a partir da Eq 919 também é 932 Logo a Eq 919 é válida para todo r 746 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esta equação é uma progressão geométrica com razão comum e jπ16r Portanto veja a Seção B74 919 Este espectro com sua extensão periódica é mostrado na Fig 92b CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 747 Figura C91 92 REPRESENTAÇÃO DE SINAL NÃO PERIÓDICO PELA INTEGRAL DE FOURIER Na Seção 91 representamos sinais periódicos pela soma de exponenciais de duração infinita Nesta seção ire mos estender esta representação para sinais não periódicos O procedimento é conceitualmente idêntico ao uti lizado no Capítulo 7 para sinais contínuos no tempo Aplicando o processo de limite podemos mostrar que um sinal não periódico xn pode ser descrito pela so ma contínua integral de exponenciais de duração infinita Para representar um sinal não periódico xn tal co mo o mostrado na Fig 93a por sinais exponenciais de duração infinita vamos construir um novo sinal perió dico xN0n formado pela repetição do sinal xn a cada N0 unidades como mostrado na Fig 93b O período N0 é feito grande o suficiente para evitar a sobreposição entre os ciclos repetidos N0 2N 1 O sinal periódico xN0n pode ser representado pela série exponencial de Fourier Se fizermos N0 o sinal xn se repetirá após um intervalo infinito e portanto Logo a série de Fourier representando xN0n também irá representar xn no limite N0 A série expo nencial de Fourier para xN0n é dada por 920 na qual 921 Os limites para o somatório do lado direito da Eq 921 devem ser de N a N Mas como xn 0 para n N não há problema se os limites forem de a É interessante observar como a natureza do espectro muda quando N0 aumenta Para compreender este com portamento vamos definir XΩ uma função contínua de Ω como 922 748 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A partir dessa definição e da Eq 921 temos 923 Esse resultado mostra que os coeficientes de Fourier são 1N0 vezes as amostras de XΩ tomadas a cada Ω0 rads Portanto 1N0XΩ é o envelope dos coeficientes Fazemos agora N0 dobrando N0 suces sivamente Dobrando N0 reduzimos pela metade a freqüência fundamental Ω0 e por conseqüência o espaça mento das componentes espectrais harmônicas sucessivas é dividido pela metade além de termos duas vezes mais componentes amostras no espectro Ao mesmo tempo dobrando N0 o envelope de coeficientes é di vidido pela metade como visto na Eq 923 Se continuarmos nesse processo de dobrar N0 repetidamente o número de componentes irá dobrar a cada passo o espectro progressivamente se tornará mais denso e a magni tude se tornará menor Observe entretanto que a forma relativa do envelope permanecerá a mesma propor cional a XΩ na Eq 922 No limite quando N0 a freqüência fundamental Ω0 0 e 0 A sepa ração entre harmônicas sucessivas igual a Ω0 tenderá a zero infinitesimal e o espectro se tornará tão denso que parecerá contínuo Mas enquanto o número de harmônicas aumenta indefinidamente as amplitudes das har mônicas desaparecerão infinitesimal Discutimos uma situação idêntica na Seção 71 Seguimos o procedimento da Seção 71 e fazemos N0 De acordo com a Eq 922 924 Usando as Eqs 923 podemos descrever a Eq 920 por 925a 925b No limite quando N0 Ω0 0 e xN0n xn Portanto 926 Figura 93 Geração de um sinal periódico a partir da extensão do sinal xn Por simplicidade assumimos e XΩ como sendo reais O argumento entretanto também é válido para complexo ou XΩ CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 749 Como Ω0 é infinitesimal é apropriado substituir Ω0 por uma notação infinitesimal ΔΩ 927 A Eq 929 pode ser descrita por 928 A faixa r N0 implica o intervalo de N0 harmônicas o qual é N0ΔΩ 2π de acordo com a Eq 927 No limite o lado direito da Eq 928 se torna a integral 929 na qual 2π indica a integração em qualquer intervalo contínuo de 2π O espectro XΩ é dado por Eq 922 930 A integral do lado direito da Eq 929 é chamada de integral de Fourier Dessa forma obtivemos sucesso na representação de um sinal não periódico xn pela integral de Fourier em vez da série de Fourier Essa integral é basicamente s série de Fourier no limite com freqüência fundamental ΔΩ 0 como visto na Eq 928 O to tal de contribuição da exponencial e jrΔΩn é XrΔΩΔΩ2π Portanto a função XΩ dada pela Eq 930 atua co mo uma função espectral a qual indica a contribuição relativa das várias componentes exponenciais de xn Chamamos XΩ de transformada direta de Fourier no tempo discreto TFTD de xn e xn de transforma da inversa de Fourier no tempo discreto TIFTD de XΩ Essa nomenclatura pode ser representada por A mesma informação está contida na afirmativa de xn e XΩ serem um par transformada de Fourier tem po discreto Simbolicamente essa informação é descrita por A transformada de Fourier XΩ é a descrição no domínio da freqüência de xn 921 Natureza do Espectro de Fourier Iremos discutir agora importantes características da transformada de Fourier em tempo discreto e o espectro associado a ela O ESPECTRO DE FOURIER É FUNÇÃO CONTÍNUA DE Ω Apesar de xn ser um sinal em tempo discreto XΩ a TFTD é uma função contínua de Ω pela simples razão de Ω ser uma variável contínua a qual pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo de a O ESPECTRO DE FOURIER É UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE Ω COM PERÍODO 2π A partir da Eq 930 temos que 931 Claramente o espectro XΩ é uma função contínua de Ω periódica com período 2π Devemos lembrar en tretanto que para sintetizar xn precisamos utilizar o espectro em um intervalo de freqüências de apenas 2π co meçando em qualquer valor de Ω Eq 929 Simplesmente por conveniência devemos escolher este interva lo na faixa de freqüência fundamental π π Portanto não é necessário mostrar o espectro do sinal em tempo discreto além da faixa fundamental apesar de geralmente fazermos isto A razão para o comportamento periódico de XΩ foi discutida no Capítulo 5 no qual mostramos que em um sentido básico a freqüência em tempo discreto Ω é limitada a Ω π pois todas as senóides em tempo dis creto com freqüências separadas por um múltiplo inteiro de 2π são idênticas Este é o motivo pelo qual o espec tro possui período 2π 750 SINAIS E SISTEMAS LINEARES SIMETRIA DE CONJUGADO DE XΩ A partir da Eq 930 obtemos que a TFTD de xn é 932a Em outras palavras 932b Para xn real a Eq 932b se reduz a xn XΩ o que implica que para xn real Portanto para xn real XΩ e XΩ são conjugados Como XΩ é geralmente complexo temos tanto o es pectro de amplitude quanto fase Devido à simetria de conjugado de XΩ temos que para xn real Portanto o espectro de amplitude XΩ é uma função par de Ω e o espectro de fase XΩ é uma função ím par de Ω para xn real APRECIAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMADA DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO Para compreender vários aspectos da transformada de Fourier devemos lembrar que a representação de Fourier é uma forma de expressar o sinal xn como a soma de exponenciais ou senóides de duração infinita O espectro de Fou rier de um sinal indica as amplitudes e fases relativas das exponenciais ou senóides necessárias para sintetizar xn Uma explicação detalhada da natureza de tal somatório em uma faixa contínua de freqüências é apresentada na Seção 711 EXISTÊNCIA DA TFTD Como e jΩn 1 a partir da Eq 930 temos que a existência de XΩ é garantida se xn for absolutamente so mável ou seja 933a Isso mostra que a condição de ser absolutamente somável é uma condição suficiente para a existência da re presentação da TFTD Essa condição também garante sua convergência uniforme A desigualdade mostra que a energia de uma seqüência absolutamente somável é finita Entretanto nem todos os sinais de ener gia finita são absolutamente somáveis O sinal xn sinc n é um exemplo Para tais sinais a TFTD converge não uniformemente mas na média Resumindo XΩ existe para uma condição fraca 933b Garantese que a TFTD para esta condição converge para a média Portanto a TFTD do sinal exponencial mente crescente γ nun não existe quando γ 1 porque o sinal viola as condição 933a e 933b Mas a TFTD Isso significa Tabela 91 Tabela curta de transformadas de Fourier em tempo discreto CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 751 existe para o sinal sinc n o qual viola 933a mas satisfaz 933b veja o exemplo 96 Além disso se o uso de δΩ a função impulso em tempo contínuo for permitido podemos obter a TFTD de alguns sinais que vio lam tanto 933a quanto 933b Tais sinais não são absolutamente somáveis e não possuem energia finita Por exemplo como visto nos pares 11 e 12 da Tabela 91 a TFTD de xn 1 para todo n e xn e jΩ0n existem ape sar desta funções violarem as condição 933a e 933b Obtenha a TFTD de xn γ nun Esta função é uma série geométrica infinita com razão comum γe jΩ Portanto veja a Seção B74 desde que γe jΩ 1 Mas como e jΩ 1 esta condição implica em γ 1 Logo 934a Se γ 1 XΩ não converge Este resultado está em conformidade com a condição 933 A partir da Eq 934a 934b tal que 935a 935b A Fig 94 mostra xn γ nun e seu espectro para γ 08 Observe que os espectros de freqüência são funções contínuas e periódicas com período 2π Como explicado anteriormente precisamos deste espectro somente em um intervalo de freqüência de 2π Geralmente selecionamos este intervalos na faixa de freqüên cia fundamental π π O espectro de amplitude XΩ é uma função par e o espectro de fase XΩ é uma função ímpar de Ω Figura 94 Exponencial γ nun e seu espectro de freqüência 752 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 93 Obtenha a TFTD de γ nun 1 mostrado na Fig 95 Fazendo n m temos Esta função é uma série geométrica com razão comum e jΩγ Portanto a partir da Seção B74 936 Portanto 937 Exceto pela mudança de sinal esta transformada de Fourier e seu espectro de Fourier correspondente é idêntica a de xn γ nun Mesmo assim não há ambigüidade na determinação da TIFTD de XΩ 1γe jΩ CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 753 Figura 94 Continuação EXEMPLO 94 Obtenha a TFTD do pulso retangular em tempo discreto mostrado na Fig 96a Este pulso também é chama do de função janela retangular de 9 pontos 938 Esta função é uma progressão geométrica com razão comum e jΩ e veja a Seção B74 939 940 A Fig 96b mostra o espectro XΩ para M 9 Figura 96 a Pulso de porta em tempo discreto e b seu espectro de Fourier 754 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 1 devido às restrições no valor de γ em cada caso Se γ 1 então a transformada inversa é xn γ nun Se γ 1 a transformada inversa é xn γ nun 1 Figura 95 Exponencial γ nun 1 EXEMPLO 95 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 755 Figura 96 Continuação EXEMPLO DE COMPUTADOR C92 Repita o Exemplo 95 usando o MATLAB Figura C92 Obtenha a TFTD inversa do espectro de pulso retangular descrito na faixa fundamental Ω π por XΩ ret Ω2Ωc para Ωc π Devido à propriedade de periodicidade XΩ se repete a intervalos de 2π como mostrado na Fig 97a De acordo com a Eq 929 941 O sinal xn é mostrado na Fig 97b para o caso de Ωc π4 Figura 97 Transformada inversa de Fourier em tempo discreto de um espectro de porta periódico 756 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 96 EXERCÍCIO E94 Obtenha e trace o espectro de amplitude e fase da TFTD do sinal xn γ k com γ 1 RESPOSTA EXERCÍCIO E95 Obtenha e trace o espectro de amplitude e fase da TFTD do sinal xn δn 1 δn 1 RESPOSTA CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 757 922 Conexão entre a TFTD e a Transformada z A conexão entre a transformada z bilateral e a TFTD é similar a existente entre a transformada de Laplace e a transformada de Fourier A transformada z de xn de acordo com a Eq 51 é 942a Fazendo z e jΩ nesta equação obtemos 942b O somatório do lado direito define XΩ a TFTD de xn Isto significa que a TFTD pode ser obtida da transformada z correspondente fazendo z e jΩ Em outras palavras é válido afirmar que Xe jΩ XΩ Sim é válido na maioria dos casos Por exemplo quando xn a nun sua transformada z é zz a e Xe jΩ e jΩe jΩ a a qual é igual a XΩ assumindo a 1 Entretanto para a função degrau unitário un a trans formada z é zz 1 e Xe jΩ e jΩe jΩ 1 Como observado na Tabela 91 par 10 isto não é igual a XΩ neste caso Obtemos Xe jΩ fazendo z e jΩ na Eq 942a Isto significa que o somatório do lado direito da Eq 942a converge para z e jΩ o que significa que o círculo unitário caracterizado por z e jΩ está na região de conver gência de Xz Logo a regra geral é que somente quando a RDC de Xz inclui o círculo unitário é que z e jΩ em Xz resulta na TFTD XΩ Isto se aplica a todo xn absolutamente somável Se a RDC de Xz exclui o cír culo unitário Xe jΩ XΩ Isto se aplica a todo xn exponencialmente crescente ou que seja constante ou os cile com uma amplitude constante A razão para este comportamento peculiar tem algo a ver com a natureza da convergência da transformada z e da TFTD Esta discussão mostra que apesar da TFTS poder ser considerada um caso especial da transformada z pre cisamos restringir este escopo Este aviso é ratificado pelo fato de um sinal periódico possuir TFTD apesar da sua transformada z não existir 93 PROPRIEDADES DA TFTD Na próxima seção iremos observar uma conexão entre a TFTD e a TFTC transformada de Fourier em tempo contínuo Por esta razão as propriedades da TFTD são muito similares às da TFTC como as seguintes discus sões mostram LINEARIDADES DA TFTD Se então 943 A prova é trivial O resultado pode ser estendido para qualquer soma finita Para explicar este ponto considere a função degrau unitário un e suas transformadas Tanto a transformada z quando a TFTD sinteti zam xn usando exponenciais de duração infinita na forma z n O valor de z pode estar em qualquer ligar no plano complexo z para a transformada z mas ele deve estar restrito ao círculo unitário z e jΩ para o caso da TFTD A função degrau unitário é facilmente sin tetizada pela transformada z com um espectro relativamente simples de Xz zz 1 através da escolha de z fora do círculo unitário a RDC de un é z 1 Na TFTD entretanto estamos limitados a valores de z somente dentro do círculo unitário z e jΩ A fun ção un ainda pode ser sintetizada por valores de z no círculo unitário mas o espectro é mais complicado do que se estivéssemos li vres para escolher z em qualquer lugar incluindo a região fora do círculo unitário Por outro lado quando xn é absolutamente somá vel a região de convergência da transformada z influi o círculo unitário e podemos sintetizar xn usando z ao longo do círculo unitá rio nas duas transformadas Isto resulta em Xe jΩ XΩ Utilize a propriedade de reversão tempofreqüência 948 e o par 2 da Tabela 91 para obter o par 4 da Ta bela 91 O par 2 afirma que 949a Logo da Eq 948 949b Além disto γ n pode ser descrito pela soma de γ nun e γ nun exceto pelo impulso em n 0 o qual é contado duas vezes uma vez para cada uma das exponenciais Logo Portanto usando as Eqs 949a e 949b e invocando a propriedade da linearidade podemos escrever a qual confirma o par 4 da Tabela 91 758 SINAIS E SISTEMAS LINEARES SIMETRIA DE CONJUGADO DE XΩ Na Eq 932b provamos a propriedade de conjugação 944 Também mostramos que como conseqüência quando xn é real XΩ e XΩ são conjugados ou seja 945 Esta é a propriedade da simetria de conjugado Como XΩ geralmente é complexo temos tanto o espectro de amplitude quanto de ângulo ou fase 946 Logo para xn real temos que 947a 947b Portanto para xn real o espectro de amplitude XΩ é uma função par de Ω e o espectro de fase XΩ é uma função ímpar de Ω REVERSÃO NO TEMPO E NA FREQÜÊNCIA 948 A partir da Eq 930 a TFTD de xn é EXEMPLO 97 Utilize a propriedade da Eq 950 multiplicação por n e o par 2 da Tabela 91 para obter o par 5 da Tabe la 91 O par 2 afirma que 951 Logo da Eq 950 a qual confirma o par 5 da Tabela 91 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 759 MULTIPLICAÇÃO POR n DIFERENCIAÇÃO NA FREQÜÊNCIA 950 O resultado segue diretamente da diferenciação com relação a Ω dos dois lados da Eq 930 EXERCÍCIO E96 Na Tabela 91 obtenha o par 13 do par 15 usando a propriedade de reversão tempofreqüência 948 EXEMPLO 98 PROPRIEDADE DE DESLOCAMENTO NO TEMPO Se então 952 Esta propriedade pode ser provada pela substituição direta na equação que define a transformação direta A partir da Eq 930 obtemos Este resultado mostra que atrasar um sinal por k amostras não altera seu espectro de amplitude O espectro de fase entretanto é alterado por k Ω Esta fase adicionada é uma função linear de Ω com inclinação k EXPLICAÇÃO FÍSICA DA FASE LINEAR O atraso de tempo em um sinal resulta em um deslocamento linear de fase em seu espectro A explicação heu rística para este resultado é semelhante à utilizada para sinais contínuos no tempo mostrada na Seção 73 veja a Fig 722 Obtenha a TFTD de xn 14 sinc πn 24 mostrada na Fig 98a No Exemplo 96 determinamos Utilizando a propriedade de deslocamento no tempo Eq 952 obtemos para k inteiro 953 O espectro do sinal deslocado é mostrado na Fig 98b Figura 98 Deslocamento de xn por k unidades altera a fase de XΩ por k Ω 760 SINAIS E SISTEMAS LINEARES PROPRIEDADE DE DESLOCAMENTO NA FREQÜÊNCIA Se então 954 Esta propriedade é dual à propriedade de deslocamento no tempo Para provar a propriedade de deslocamen to na freqüência temos a partir da Eq 930 EXEMPLO 99 EXERCÍCIO E97 Verifique o resultado da Eq 940 a partir do par 7 da Tabela 91 e da propriedade de deslocamento de tempo da TFTD Um sinal xn sinc πn4 modula uma portadora cos Ωcn Obtenha e trace o espectro do sinal modulado xn cos Ωcn para a Ωc π2 b Ωc 7π8 0875π a Para xn sinc πn4 obtemos Tabela 91 par 8 A Fig 99a mostra a TFTD de XΩ A partir da propriedade da modulação 955 temos A Fig 99b mostra metade de XΩ deslocado por π2 e a Fig 99c mostra XΩ deslocado por π2 O espectro do sinal modulado é obtido somando estes dois espectros deslocados e multiplicando por como mostrado na Fig 99d b A Fig 910a mostra XΩ a qual é a mesma da parte a Para Ωc 7π8 0875π a propriedade da modulação 955 resulta em A Fig 910b mostra XΩ deslocado por 7π8 e a Fig 910c mostra XΩ deslocado por 7π8 O espec tro do sinal modulado é obtido somandose estes dois espectros deslocados e multiplicando por como mostrado na Fig 910d Neste caso os dois espectros deslocados se sobrepõem Logo a operação de mo dulação resulta em aliasing não alcançando o efeito desejado de deslocamento espectral Neste exemplo para obtemos o deslocamento espectral sem aliasing devemos ter Ωc 3π4 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 761 Usando este resultado obtemos Somando esta par ao par da Eq 954 955 Esta é a propriedade da modulação Multiplicando os dois lados do par 954 por e jθ obtemos 946 Usando este par podemos generalizar a propriedade da modulação por 957 EXEMPLO 910 762 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 99 Instância de modulação para o Exemplo 910a Figura 910 Instância de modulação para o Exemplo 910b CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 763 Figura 910 Continuação EXERCÍCIO E98 Na Tabela 91 obtenha os pares 12 e 13 do par 11 e das propriedades de deslocamento na freqüência e modulação PROPRIEDADE DA CONVOLUÇÃO NO TEMPO E NA FREQÜÊNCIA Se então 958a e 958b na qual Se xn XΩ então mostre que 959 Observe que a soma do lado direito da Eq 959 é xn un porque Na obtenção desse resultado utilizamos o fato de que Logo da propriedade da convolução no tempo 958a e do par 10 da Tabela 91 temos que devido à periodicidade de 2π X0 X2πk Além disso XΩδΩ 2πk X2πkδΩ 2πk X0δΩ 2πk Logo 764 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Para dois sinais contínuos periódicos definimos a convolução periódica representada pelo símbolo como A convolução aqui não é a convolução linear utilizada até então Esta é a convolução periódica ou circular aplicável à convolução de duas funções periódicas contínuas com o mesmo período O limite de integração na convolução se estende por apenas um período A prova da propriedade da convolução no tempo é idêntica à apresentada na Seção 52 Eq 518 Tu do o que precisamos fazer é substituir z por e jΩ Para provar a propriedade de convolução na freqüência 958b temos Alterando a ordem do somatório e da integral obtemos Na Eq 836 definimos a convolução periódica para duas seqüências discretas periódicas de forma diferente Apesar de estarmos utilizando o mesmo símbolo para o caso discreto e contínuo o significado ficará claro a partir do contexto EXEMPLO 911 EXERCÍCIO E99 Na Tabela 91 obtenha o par 9 do par 8 assumindo Ωc π2 Utilize a propriedade de convolução no tempo Tabela 92 Propriedades da TFTD Obtenha a energia de xn sinc Ωcn assumindo Ωc π Do par 8 Tabela 91 o espectro na faixa fundamental de xn é Logo do teorema de Parseval da Eq 960 temos Observando que ret Ω2Ωc 1 para Ω Ωc e zero caso contrário a integral anterior resulta em CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 765 TEOREMA DE PARSEVAL Se então Ex a energia de xn é dada por 960 Para provar essa propriedade temos da Eq 944 961 Agora EXEMPLO 912 A Tabela 92 resume todas as propriedades da TFTD vistas até este momento 94 ANÁLISE DE SISTEMA LIT EM TEMPO DISCRETO PELA TFTD Considere um sistema linear invariante e em tempo discreto com resposta hn ao impulso unitário Devemos determinar a resposta yn do sistema estado nulo para a entrada xn Seja Como 962 De acordo com a Eq 958a temos que 963 Esse resultado é similar ao obtido para sistemas contínuos no tempo Vamos examinar o papel de HΩ a TFTD da resposta hn ao impulso unitário A Eq 963 é válida somente para sistemas BIBO estáveis e também para sistemas marginalmente estáveis se a entrada não contiver os modos naturais do sistema Nos outros casos a resposta cresce com n não possuin do transformada de Fourier Além disso a entrada xn também precisa possuir a transformada de Fourier Pa ra os casos nos quais a Eq 963 não se aplica podemos utilizar a transformada z para a análise do sistema A Eq 963 mostra que o espectro de freqüência do sinal de saída é o produto do espectro de freqüência do sinal de entrada pela resposta em freqüência do sistema A partir dessa equação obtemos 964 e 965 Esse resultado mostra que o espectro de amplitude de saída é o produto do espectro de amplitude de entrada pela resposta em amplitude do sistema O espectro de fase de saída é a soma do espectro de fase de entrada e a resposta de fase do sistema Também podemos interpretar a Eq 963 em termos do ponto de vista do domínio da freqüência no qual ve mos o sistema em termos de sua resposta em freqüência resposta do sistema a várias componentes exponenciais ou senoidais O domínio da freqüência enxerga o sinal como a soma de várias componentes exponenciais ou se 766 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Tabela 92 Continuação Ela não é válida para sistemas assintoticamente instáveis cuja resposta hn ao impulso não possui TFTD No caso do sistema ser mar ginalmente estável e a entrada não conter termos de modos do sistema a resposta não cresce com n e portanto possui transformada de Fourier Um sistema LDIT é especificado pela equação 966 Obtenha HΩ a resposta em freqüência desses sistema Determine a resposta yn estado nulo se a en trada for xn 08 nun Seja xn XΩ e yn YΩ A TFTD dos dois lados da Eq 966 resulta em De acordo com a Eq 963 Além disso xn 08 nun Logo e Podemos expressar o lado direito como a soma de dois termos de primeira ordem expansão em frações parciais modificado como discutido na Seção B56 como mostrado a seguir CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 767 noidais A transmissão do sinal através de um sistema linear é vista como a transmissão de várias componen tes exponenciais ou senoidais do sinal de entrada através do sistema Esse conceito pode ser entendido mostran do as relações entradasaída por setas direcionais como mostrado a seguir a qual mostra que a resposta do sistema a e jΩn é HΩe jΩn e a qual mostra xn como a soma de componentes exponenciais de duração infinita Utilizando a propriedade da linearidade obtemos a qual fornece yn como a soma das respostas a todas componentes de entrada sendo equivalente à Eq 963 Portanto XΩ é o espectro de entrada e YΩ é o espectro de saída dado por XΩHΩ EXEMPLO 913 Na qual YΩ é uma função da variável e jΩ Logo x e jΩ para a comparação com a expressão da Seção B56 768 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 941 Transmissão sem Distorção Em várias aplicações sinais digitais são passados através de sistemas LIT e precisamos que a forma de onda de saída seja uma réplica da forma de onda da entrada Tal como no caso em tempo contínuo a transmissão é dita ser sem distorção se a entrada xn e a saída yn satisfizerem a condição 968 Na qual nd o atraso em amostras é considerado como sendo inteiro A transformada de Fourier da Eq 968 resulta em Mas Portanto Esta é a resposta em freqüência necessária para a transmissão sem distorção A partir dessa equação temos que 969a 969b Portanto para a transmissão sem distorção a resposta em amplitude HΩ deve ser constante e a resposta em fase HΩ deve ser uma função linear de Ω com inclinação nd na qual nd é atraso em número de amos tras com relação à entrada Fig 911 Essas são precisamente as características de um atraso ideal de nd amos tras com ganho G0 veja a Eq 952 MEDIDA DA VARIAÇÃO DO ATRASO Para a transmissão sem distorção precisamos de uma característica de fase linear Na prática vários siste mas possuem uma característica que pode ser apenas aproximadamente linear Uma forma conveniente de Conseqüentemente De acordo com a Eq 934a a TFTD inversa dessa equação é 967 Este exemplo demonstra o procedimento de utilização da TFTD para a determinação da resposta de sis temas LDIT O procedimento é similar ao método da transformada de Fourier na análise de sistemas LCIT Tal como no caso da transformada de Fourier este método pode ser utilizado somente se o sistema for as sintoticamente ou BIBO estável e se o sinal de entrada possuir TFTD Não iremos explicar extensivamen te este método por ele não ser tão elegante e ser mais restritivo do que o método da transformada z discuti da no Capítulo 5 Ele também pode ser aplicado a sistemas marginalmente estáveis se a entrada não contiver nenhum modo natural do sistema CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 769 julgar a linearidade de fase é traçar a inclinação de HΩ em função da freqüência Essa inclinação é cons tante para um sistema de fase linear ideal FLI mas pode variar com Ω no caso geral A inclinação pode ser expressa por 970 Se ngΩ for constante todas as componentes são atrasadas por ng amostras Mas se a inclinação não for constante o atraso ng pode variar com a freqüência Essa variação significa que componentes de freqüências diferentes sofrerão um total de atraso diferente e conseqüentemente a forma de onda de saída não será uma réplica da forma de onda de entrada Tal como no caso de sistemas LCIT ngΩ como definido na Eq 970 possui um importante papel em sistemas passafaixa sendo chamado de atraso de grupo ou envelope de atra so Observe que nd constante implica ng constante Note que HΩ φ0 Ωnd também possui ng constante Logo um atraso de grupo constante é uma condição mais relaxada TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO EM SISTEMAS PASSAFAIXA Tal como no caso de sistemas contínuos no tempo as condições de transmissão sem distorção podem ser re laxadas para sistemas passafaixa em tempo discreto Para sistema passabaixa a característica de fase deve não somente ser linear na faixa de interesse mas também deve passar através da origem condição 969b Para sistemas passafaixa a característica de fase deve ser linear na faixa de interesse mas não precisa pas sar na origem ng deve ser constante A resposta em amplitude deve ser constante na faixa passante Portan to para a transmissão sem distorção em um sistema passafaixa a resposta em freqüência para uma faixa po sitiva de Ω é da forma A prova é idêntica ao caso em tempo contínuo na Seção 742 e não será repetida Na utilização da Eq 970 para a determinação de ng devemos ignorar saltos de descontinuidade na função de fase 942 Filtros Ideais e Práticos Filtros ideais permitem a transmissão sem distorção de certas faixas de freqüências e suprimem todas as fre qüências restantes O filtro passabaixas ideal genérico mostrado na Fig 912 para Ω π permite que todas as componentes abaixo da freqüência de corte Ω Ωc passem sem distorção e suprime todas as componentes acima de Ωc A Fig 913 ilustra as características dos filtros passaaltas e passafaixa ideais O filtro passabaixas ideal da Fig 912a possui fase linear com inclinação nd o que resulta em um atra so de nd amostras para todas as componentes de entrada com freqüências abaixo de Ωc radamostras Portan to se a entrada for um sinal xn limitado a Ωc a saída yn será xn atrasada por nd ou seja Figura 911 Resposta em freqüência do sistema LIT para a transmissão sem distorção Como a função de fase é uma função ímpar de Ω se HΩ φ0 Ωng para Ω 0 na faixa 2W centrada em Ωc então HΩ φ0 Ωng para Ω 0 na faixa 2W centrada em Ωc 770 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 912 Filtro passabaixas ideal sua resposta em freqüência e resposta ao impulso Figura 913 Resposta em freqüência para os filtros ideais passaaltas e passafaixa O sinal xn é transmitido pelo sistema sem distorção mas com um atraso de nd amostras Para esse filtro 971a A resposta hn ao impulso unitário desse filtro é obtida do par 8 Tabela 91 e da propriedade de desloca mento no tempo 971b Como hn é a resposta do sistema à entrada impulso δn a qual é aplicada em n 0 ele deve ser causal is to é não pode começar antes de n 0 para um sistema realizável A Fig 912b mostra hn para Ωc π4 e nd 12 Essa figura também mostra que hn é não causal e portanto não realizável Similarmente podese mos trar que os outros filtros ideais tal como os filtros ideais passaaltas e passafaixas mostrados na Fig 913 tam bém são não causais e portanto fisicamente não realizáveis Uma abordagem prática para realizar por aproximação um filtro passabaixas ideal é a truncagem das duas caldas positiva e negativa de hn de tal forma que hn tenha tamanho finito e posteriormente atrasandoo suficientemente para tornálo causal Fig 914 Podemos agora sintetizar um sistema com essa resposta ao im pulso truncada e atrasada Para uma aproximação melhor a janela de truncagem deve ser correspondentemen te larga O atraso necessário também será correspondentemente maior Portanto o preço para uma realização mais próxima da ideal é um grande atraso na saída essa situação é comum em sistemas não causais CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 771 95 CONEXÃO DA TFTD COM A TFTC Considere um sinal em tempo contínuo xct Fig 915a com transformada de Fourier Xcω limitada em faixa a B Hz Fig 915b Esse sinal é amostrado com um intervalo de amostragem T A taxa de amostragem é igual à taxa de Nyquist ou seja T 12B O sinal amostrado Fig 915c pode ser descrito por A transformada de Fourier em tempo contínuo da equação anterior é 972 Na Seção 81 Fig 81f mostramos que c é XcωT repetindo periodicamente com um período ωs 2πT como ilustrado na Fig 915d Vamos construir um sinal xn em tempo discreto tal que sua nésima amostra se ja igual ao valor da nésima amostra de xct como mostrado na Fig 915e ou seja 973 Figura 914 Realização aproximada de um filtro passabaixas ideal pela truncagem de sua resposta ao impulso Figura 915 Conexão entre a TFTD e a transformada de Fourier 772 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Agora XΩ a TFTD de xn é dada por 974 Comparando as Eqs 974 e 972 vemos que fazendo ωT Ω em cω obtemos XΩ ou seja 975 Alternativamente XΩ pode ser obtido cω de substituindo ω por ΩT ou seja 976 Portanto XΩ é idêntico a cω escalonado na freqüência pelo fator T como mostrado na Fig 915f Lo go ω 2πT na Fig 915d corresponde a Ω 2π na Fig 915f 951 Utilização da TDF e FFT para o Cálculo Numérico da TFTD A transformada discreta de Fourier TDF discutida no Capítulo 8 é uma ferramenta para o cálculo de amostras da transformada de Fourier em tempo contínuo TFTC Devido à forte conexão entre a TFTC e a TFTD visto na Eq 976 podemos utilizar essa mesma TDF para calcular amostras da TFTD No Capítulo 8 as Eqs 822a e 822b relacionam uma seqüência xn de N0 pontos com outra seqüência Xr de N0 pontos Alterando a notação de xn para xn nessas equações obtemos 977a 977b Comparando a Eq 930 com a Eq 977a percebemos que Xr é a amostra de XΩ para Ω rΩ0 ou seja Logo o par da TDF das equações 977 relaciona uma seqüência xn de N0 pontos com as amostras da XΩ correspondente Podemos agora utilizar o eficiente algoritmo de FFT discutido no Capítulo 8 para calcular Xr de xn e vice versa Se xn não for limitado no tempo mesmo assim podemos determinar valores aproximados de Xr dentro de uma janela adequada de xn Para reduzir o erro a janela deve diminuir gradativamente e deve ser larga o sufi ciente para satisfazer as especificações de erro Na prática o cálculo numérico de sinais os quais são geralmen te não limitados é executado dessa forma em função da economia computacional da TDF especialmente para sinais de longa duração CÁLCULO DA SÉRIE DE FOURIER EM TEMPO DISCRETO SFTD As equações 98 e 99 da série de Fourier em tempo discreto SFTD são idênticas às equações 822b e 822a da TDF com uma constante N0 de escalamento Se fizermos xn N0xn e Xr nas Eqs 99 e 98 obteremos 978 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 773 Esse é precisamente o par TDF das Eqs 822 Por exemplo para calcular a SFTD para o sinal periódico da Fig 92a utilizamos os seguintes valores de xn xnN0 Cálculos numéricos em modernos processamentos digitais de sinais são convenientemente executados pela trans formada discreta de Fourier apresentada na Seção 85 Os cálculos da TDF podem ser eficientemente executados usando o algoritmo da transformada rápida de Fourier FFT discutido na Seção 86 A TDF é de fato o burro de carga de modernos processamentos digitais de sinais A transformada de Fourier em tempo discreto TFTD e a transformada inversa de Fourier em tempo discreto TIFTD podem ser calculadas usando a TDF Para um sinal xn com N0 pontos sua TDF resulta em exatamente N0 amostras de XΩ em intervalos de freqüência de 2πN0 Pode mos obter um número maior de amostras de XΩ preenchendo xn com um número suficiente de amostras com va lor zero A TDF com N0 pontos de xn fornece valores exatos das amostras da TFTD se xn possuir um tamanho fi nito N0 Se o tamanho de xn for infinito precisaremos utilizar uma função janela apropriada para truncar xn Devido à propriedade da convolução podemos utilizar a TDF para calcular a convolução de dois sinais xn e hn como discutido na Seção 85 Esse procedimento chamado de convolução rápida requer o preenchimen to dos dois sinais com um número adequado de zeros tornando a convolução linear dos dois sinais idêntica à convolução circular ou periódica dos sinais preenchidos Grandes blocos de dados podem ser processados sec cionando os dados em blocos menores e processando estes blocos menores em seqüência Tal procedimento re quer menos memória e reduz o tempo de processamento 1 96 GENERALIZAÇÃO DA TFTD PARA A TRANSFORMADA Z Sistemas LDIT podem ser analisados usando a TFTD Esse método entretanto possui as seguintes limitações 1 A existência da TFTD é garantida somente para sinais absolutamente somáveis A TFTD não existe pa ra sinais com crescimento exponencial ou mesmo linear Isso significa que o método da TFTD é aplicá vel a somente uma classe limitada de entradas 2 Além disso esse método pode ser aplicado somente sistemas assintoticamente estáveis ou BIBO está veis ele não pode ser utilizado para sistemas instáveis ou mesmo marginalmente estáveis Essas são sérias limitações ao estudo da análise de sistemas LDIT Na realidade a primeira limitação tam bém é a causa da segunda limitação Como a TFTD é incapaz de lidar com sinais crescentes ela é incapaz de lidar com sistemas instáveis ou marginalmente estáveis Nosso objetivo é portanto estender o conceito da TFTD de forma que ela possa trabalhar com sinais exponencialmente crescentes Gostaríamos de saber o que causa essa limitação à TFTD tornandoa incapaz de trabalhar com sinais expo nencialmente crescentes Lembrese de que na TFTD estamos utilizando senóides ou exponenciais na forma e jΩn para sintetizar um sinal xn arbitrário Esses sinais são senóides com amplitudes constantes Eles são incapazes de sintetizar sinais exponencialmente crescentes não importa quantas componentes sejam somadas Nossa es perança portanto está em tentar sintetizar xn usando exponenciais ou senóides exponencialmente crescentes Esse objetivo é alcançado generalizando a variável de freqüência de jΩ para σ jΩ ou seja usando exponen ciais na forma e σ jΩnem vez de exponenciais e jΩn O procedimento é praticamente o mesmo utilizado para es tender a transformada de Fourier para a transformada de Laplace Vamos definir uma nova variável XΩ Logo 979 e 980 Lembrese de que a saída de um sistema instável cresce exponencialmente Além disso a saída de um sistema marginalmente estável a entradas em modo característicos cresce com o tempo 774 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Considere agora a TFTD de xne σn σ real 981 982 Temos a partir da Eq 979 que a soma na Eq 982 é Portanto 983 Logo a TFTD inversa de é xne σn Logo 984 Multiplicando os dois lados da Eq 984 por e σn obtemos 985 Vamos definir uma nova variável z tal que 986 Como z e σ jΩ é complexo podemos expressála por z re jΩ na qual r e σ Logo z está em um círculo de raio r e quando Ω varia de π a π z percorre um caminho ao longo desse círculo completando exatamen te uma rotação no sentido antihorário como ilustrado na Fig 916 Trocando para a variável z na Eq 985 obtemos 987a e da Eq 983 temos 987b na qual a integral indica uma integral de contorno ao longo do círculo de raio r na direção antihorária Figura 916 Contorno da integração para a transformada z CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 775 As Eqs 987a e 987b são as extensões desejadas Elas são entretanto uma forma deselegante Para efei to de conveniência iremos fazer outra mudança de notação observando que é uma função de z Vamos representar isso pela notação mais simples Xz Portanto as Eqs 987 se tornam 988 e 989 Este é o par transformada z bilateral A Eq 988 descreve xn através da soma contínua de exponenciais na forma z n e σ jΩn r ne jΩn Portanto selecionando o valor adequado de r ou σ podemos obter o crescimen to ou decaimento exponencial em qualquer taxa exponencial que quisermos Se fizermos σ 0 temos z e jΩ e 990 Portanto a familiar TFTD é somente um caso especial da transformada z Xz obtida fazendo z e jΩ e assu mindo que a soma do lado direito da Eq 989 converge quando z e jΩ implicando também que a RDC da Xz inclui o círculo unitário 97 RESUMO Este capítulo trabalha com a análise e o processamento de sinais em tempo discreto Para a análise nossa abor dagem é semelhante à utilizada como sinais em tempo contínuo Primeiro representamos um sinal periódico xn pela série de Fourier formada por uma exponencial em tempo discreto e suas harmônicas Posteriormente estendemos esta representação para um sinal não periódico xn considerando xn como um caso limite de um sinal periódico cujo período tende ao infinito Sinais periódicos são representados pela série de Fourier em tempo discreto SFTD sinais não periódicos são representados pela integral de Fourier em tempo discreto O desenvolvimento apesar de similar ao de sinais em tempo contínuo também revela algumas diferenças significativas A diferença básica nos dois casos aparece por que uma exponencial e jω t em tempo contínuo possui uma única forma de onda para todo valor de ω na faixa de a Por outro lado uma exponencial e jωn em tempo discreto possui uma única forma de onda somente para valores de Ω em um intervalo contínuo de 2π Portanto se Ω0 é a freqüência fundamental então ao menos 2πΩ0 exponenciais na série de Fourier são independentes Conseqüentemente a série exponencial de Fourier em tem po discreto possui apenas N0 2πΩ0 termos A transformada de Fourier em tempo discreto TFTD de um sinal não periódico é uma função contínua e Ω periódica com período 2π Podemos sintetizar xn das componentes espectrais de XΩ em qualquer faixa de largura 2π Em um sentido básico a TFTD possui uma largura espectral finita de 2π o que a torna limitada em faixa a π radianos Sistemas lineares discretos e invariantes no tempo LDIT podem ser analisados através da TFTD se os si nais de entrada possuírem transformada discreta de Fourier e se o sistema for estável A análise de sistemas ins táveis ou marginalmente estáveis eou entradas exponencialmente crescentes pode ser feita pela transformada z a qual é a TFTD generalizada A relação da TFTD com a transformada z é similar à da transformada de Fou rier com a transformada de Laplace Apesar da transformada z ser superior à TFTD para a análise de sistemas LDIT a TFTD é preferível na análise de sinais Se HΩ é a TFTD da resposta hn ao impulso do sistema então HΩ é a resposta em amplitude e HΩ é a resposta em fase do sistema Além disso se XΩ e YΩ são as TFTDs da entrada xn e da saída yn cor respondentes então YΩ HΩXΩ Portanto o espectro de saída é o produto do espectro de entrada e da res posta em freqüência do sistema Devido à similaridade entre as relações da TDF e da TFTD cálculos numéricos da TFTD de sinais de tama nho finito podem ser feitos usando a TDF e a FFT apresentada nas Seções 85 e 86 Para sinais de duração in finita utilizamos uma janela de tamanho adequado para truncar o sinal de tal forma que o resultado possua um erro que esteja dentro faixa de tolerância 776 SINAIS E SISTEMAS LINEARES REFERÊNCIA MATLAB Seção 9 Trabalhando com a SFTD e a TFTD Esta seção investiga vários métodos para calcular a série de Fourier em tempo discreto SFTD A performance desses métodos é avaliada usando o cronômetro do MATLAB e funções de perfil Além disso a transformada de Fourier em tempo discreto TFTD é aplicada ao importante assunto de projeto de filtros de resposta finita ao impulso FIR M91 Calculando a Série de Fourier em Tempo Discreto Dentro de um fator de escala a SFTD é idêntica à TDF Portanto métodos para calcular a TDF podem ser facil mente utilizados para calcular a SFTD Especificamente a SFTD é a TDF escalonada por 1N0 Como exemplo considere uma senóide de 50 Hz amostrada 1000 Hz em um décimo de segundo A SFTD é obtida escalonando a TDF A Fig M91 mostra um pico de magnitude de 05 em 50 Hz Esse resultado é consistente com a represen tação de Euler Esquecendo desse fator de escala de 1N0 a TDF teria um pico de amplitude 100 vezes maior A SFTD inversa é obtida escalonando a TDF inversa por N0 A Fig M92 confirma que a senóide xn é adequadamente recuperada apesar de o resultado ser teoricamen te real erros de arredondamento do computador produzem uma pequena componente imaginária removida pe lo comando real N de T Finite Impulse Response Figura M91 SFTD calculada escalonando a TDF Apesar da fft fornecer um método eficiente para o cálculo da SFTD também existe outro método compu tacional A abordagem baseada em matriz é uma forma popular de implementar a Eq 99 Apesar de não ser tão eficiente quanto o algoritmo baseado na FFT a abordagem matricial possibilita uma percepção melhor da SFTD e serve como um excelente modelo para a resolução de problemas com estrutura similar Para começar definimos WN0 e jΩ0 a qual é constante para um dado N0 Substituindo WN0 na Eq 99 ob temos O produto interno dos dois vetores calcula Listando os resultados para todo r temos M91 Na notação matricial a Eq M91 é escrita de forma compacta por Como ela também é utilizada para calcular a TDF a matriz WN0 geralmente é chamada de matriz TDF O programa MS9P1 calcula a matriz TDF N0 N0 WN0 Embora de não ser utilizada aqui a função dftmtx do toolbox de processamento de sinais calcula a mesma matriz TDF apesar de em uma forma menos óbvia mas mais eficiente function W MS9P1N0 MS9P1m MATLAB Seção 9 programa 1 Arquivom de função que calcula a matriz TDF W N0 x N0 W expj2piN00N010N01 Figura M92 SFTD inversa calculada escalonando a TDF inversa CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 777 Apesar de menos eficiente do que os métodos baseados na FFT a abordagem matricial calcula corretamen te a SFTD O gráfico resultante não pode ser distinguido da Fig M91 O Problema 9M1 investiga a abordagem matri cial para calcular a Eq 98 a SFTD inversa M92 Medindo a Performance do Código Escrever um código eficiente é importante particularmente se o código for freqüentemente utilizado necessi tar de operações complicadas trabalhar com grandes conjuntos de dados ou operar em tempo real O MATLAB possui diversas ferramentas para avaliar a performance do código Quando adequadamente utilizada a função profile fornece estatísticas detalhadas que ajudam a avalias a performance do código O help do MATLAB descreve completamente a utilização do sofisticado comando profile Um método mais simples de avaliar a eficiência do código é medir o tempo de execução e comparálo com uma referência O comando tic do MATLAB dispara um cronômetro O comando toc lê o cronômetro Dessa forma podemos obter o tempo gasto com instruções colocandoas entre tic e toc Por exemplo o tempo de execução dos cálculos da SFTD de 100 pontos baseada em matriz é Máquinas diferentes operam em velocidades diferentes com sistemas operacionais diferentes e com tarefas em background diferentes Portanto o tempo gasto medido pode variar consideravelmente de uma máquina pa ra outra e de uma execução para outra Neste caso particular entretanto um resultado diferente do que zero é re portado apenas por máquinas relativamente lentas O tempo de execução é tão curto que o MATLAB reporta tempos não confiáveis ou simplesmente falha ao registrar o tempo Para aumentar o tempo gasto e portanto a precisão da medida do tempo um laço é utilizado para repetir o cálculo Esse tempo gasto sugere que cada cálculo da SFTD de 100 pontos utiliza aproximadamente meio milisse gundo O que isso significa exatamente O tempo gasto só possui sentido quando relativo a alguma referên cia Considere o tempo necessário para calcular a mesma SFTD utilizando a abordagem baseada na FFT Com isso como referência os cálculos baseados em matriz se revelam várias vezes mais lentos do que os cálculos baseados na FFT Essa diferença é mais drástica quando N0 aumenta Como os dois métodos forne cem resultados idênticos existe pouco incentivo a utilizar a abordagem matricial mais lenta e o algoritmo da FFT geralmente é preferido Mesmo assim a FFT pode exibir um comportamento curioso o acréscimo de al guns pontos de dados mesmos das amostras artificiais introduzidas pelo preenchimento nulo pode aumentar ou diminuir drasticamente o tempo de execução Os comandos tic e toc ilustram esse estranho resultado Considere o cálculo 1000 vezes da SFTD de 1015 pontos aleatórios A seguir preenchendo a seqüência com quatro zeros A razão dos dois tempos gastos indica que a adição de quatro pontos a uma seqüência longa aumenta o tempo de cálculo por um fator de 4 A seguir a seqüência é preenchida com zeros até um tamanho de N0 1024 778 SINAIS E SISTEMAS LINEARES CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 779 Nesse caso a adição de dados diminui o tempo de execução original por um fator de 2 e o segundo tempo de execução por um fator de 8 Esses resultados são particularmente surpreendentes quando percebemos que os ta manhos de y1 y2 e y3 diferem por menos de 1 Como mostrado a eficiência do comando fft depende dos fatores de N0 Com o comando factor 1015 5729 1019 é primo e 1024 2 10 O tamanho mais fatorável 1024 resulta em uma execução mais rápida enquanto que o tamanho menos fatorável 1019 resulta em uma execução mais lenta Para garantir a melhor ca pacidade de fatoração e a operação mais rápida os tamanhos dos vetores são idealmente potências de 2 M93 Projeto de Filtro FIR por Amostragem de Freqüência Filtros digitais com resposta ao impulso finita FIR são flexíveis sempre estáveis e relativamente fáceis de se rem implementados Essas qualidades tornam os filtros FIR a escolha mais popular entre os projetistas de filtros digitais A equação diferença de tamanho N de um filtro FIR causal pode ser convenientemente descrita por Os coeficientes do filtro ou pesos de batimento como eles são algumas vezes chamados são expressados usan do a variável h para enfatizar que os próprios coeficientes representam a resposta ao impulso do filtro A resposta em freqüência do filtro é Como HΩ é uma função com período 2π da variável contínua Ω é suficiente especificar HΩ em um úni co período 0 Ω 2π Em várias aplicações de filtragem a resposta em magnitude desejada HdΩ é conhecida mas não os coefi cientes hn do filtro A questão é então determinar os coeficientes do filtro da resposta em magnitude desejada Considere o projeto de um filtro passabaixas com freqüência de corte Ωc π4 Uma função inline represen ta a resposta em freqüência ideal desejada Como a TFTD inversa de HdΩ é uma função sinc amostrada é impossível obter perfeitamente a resposta desejada com um filtro FIR causal de duração finita Um filtro FIR realizável é necessariamente uma aproxi mação e existe um número infinito de possíveis soluções Pensando de outra forma HdΩ especifica um núme ro infinito de pontos mas o filtro FIR só possui N coeficientes desconhecidos Em geral esperamos que um fil tro de tamanho N coincida com os N pontos da resposta desejada em 0 Ω 2π Quais freqüências devem ser escolhidas Um método simples e lógico é selecionar N freqüências uniformemente espaçadas no intervalo 0 Ω 2π 0 2πN 4πN 6πN N12πN Escolhendo amostras de freqüências uniformemente espaçadas a TDF inversa de N pontos pode ser utilizada para determinar os coeficientes hn O programa MS9P2 ilustra esse procedimento function n MS9P2N Hd MS9P2m MATLAB Seção 9 Programa 2 Arquivom de função para projetar um filtro FIR de tamanho N pela amostra gem da resposta em magnitude H desejada A fase das amostras de magnitude são mantidas em zero Entradas N tamanho do filtro FIR desejado Hd função inline que define a resposta em magnitude desejada Saídas h resposta ao impulso coeficientes do filtro FIR Cria as N amostras de freqüência igualmente espaçadas Omega linspace02pi11NN Amostra a resposta em magnitude desejada e cria hn H 10HdOmega h realifftH Para completar o projeto o tamanho do filtro deve ser especificado Valores pequenos de N reduzem a com plexidade do filtro mas também reduzem a qualidade da resposta do filtro Valores grandes de N melhoram a aproximação de HdΩ mas também aumentam a complexidade Um balanço é necessário Podemos escolher um valor intermediário de N 21 para utilizarmos MS9P2 para projetar o filtro Para avaliar a qualidade do filtro a resposta em freqüência é calculada através do programa MS5P1 Como mostrado na Fig M93 a resposta em freqüência do filtro coincide com a resposta desejada nos valo res amostrados de HdΩ A resposta total entretanto possui um ripple significativo entre os pontos amostrados praticamente inviabilizando a utilização do filtro Aumentar o tamanho do filtro não diminui o problema do rip ple A Fig M94 mostra a resposta do filtro para N 41 Para entender o comportamento pobre de filtros projetados com MS9P2 lembrese de que a resposta ao impul so de um filtro passabaixas ideal é a função sinc com pico centrado em zero Pensando de outra forma o pico da função sinc é centrado em n 0 pois a fase de HdΩ é zero Limitada a ser causal a resposta ao impulso do filtro projetado ainda possui um pico em n 0 mas não pode incluir valores para n negativo Como resultado a função sinc é espalhada de maneira não natural com fortes descontinuidades nos dois lados de hn Descontinuidades for tes no domínio do tempo aparecem como oscilações de alta freqüência no domínio da freqüência o que explica o motivo pelo qual HΩ apresenta um ripple significativo Para melhorar o comportamento do filtro o pico da função sinc é movido para n N 12 o centro da res posta do filtro de tamanho N Dessa forma o pico não é espalhado grandes descontinuidades não estão presen tes e o ripple da resposta em freqüência é conseqüentemente reduzido Com as propriedades da TDF um des locamento cíclico de N 12 no domínio do tempo requer um fator de escala de e jΩN 12 no domínio da fre qüência Observe que o fator de escala e jΩN 12 afeta apenas a fase não a magnitude resultando em um filtro de fase linear O programa MS9P3 implementa o procedimento 780 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura M93 Filtro FIR passabaixas de tamanho 21 usando fase zero Tecnicamente a propriedade de deslocamento requer que N 12 seja inteiro o que ocorre somente para filtros de tamanho ímpar A penúltima linha do programa MS9P3 implementa um fator de correção necessário para acomodar o deslocamento fracionário deseja do para filtros de tamanho par A obtenção matemática dessa correção não é trivial e não será apresentada aqui Aqueles que estiverem hesitantes em utilizar esse fator de correção podem utilizar uma forma alternativa simplesmente arredonde N 12 para o inteiro mais próximo Apesar do deslocamento arredondado ser um pouco diferente do centro para filtros de tamanho par praticamente não existi rá diferença na característica do filtro Mesmo assim o centro verdadeiro é desejado porque a resposta ao impulso resultante é simétri ca o que reduz pela metade o número de multiplicações necessárias para implementar o filtro function h MS9P3NHd MS9P3m MATLAB Seção 9 Programa 3 Arquivom de função para projetar um filtro FIR de tamanho N pela amostragem da resposta em magnitude H desejada A fase é definida para o deslocamento de hn por N12 Entradas N tamanho do filtro FIR desejado Hd função inline que define a resposta em magnitude desejada Saídas h resposta ao impulso coeficientes do filtro FIR Cria as N amostras de freqüência igualmente espaçadas Omega linspace0 2pi11N N Amostra a resposta em magnitude desejada H HdOmega Define a fase para o deslocamento de hn por N12 H HexpjOmegaN12 HfixN22N1 HfixN22N11N1 h realifftH A Fig M95 mostra o resultado para N 21 usando MS9P3 para calcular hn Como esperado a resposta ao impulso parece como a função sinc com o pico centrado em n 10 Além disso o ripple da resposta em freqüên cia é muito reduzido Com MS9P3 aumentandose N melhorase a qualidade do filtro como mostrado na Fig M96 para o caso de N 41 Apesar de a resposta em magnitude ser necessária para estabelecer a forma geral da resposta do filtro é a seleção adequada da fase que garante a aceitabilidade do comportamento do filtro Para ilustrar a flexibilidade do método de projeto considere um filtro passafaixa com faixa passante em π4 Ω π2 A Fig M97 ilustra o resultado para N 50 Note que esse filtro de tamanho par utilizar um deslocamento fra cionário sendo simétrico com relação a n 245 Apesar de o projeto de filtros FIR através da amostragem na freqüência ser muito flexível ele nem sempre é apropriado Cuidados extremos são necessários para filtros tais como diferenciadores digitais e elementos para o cálculo da transformada de Hilbert que necessitam de características de fase especiais para a operação ade quada Além disso se a amostragem de freqüência ocorrer próxima a pontos de descontinuidades de HdΩ er ros de arredondamento podem em casos raros corromper a simetria desejada da resposta em magnitude dese jada Tais casos são corrigidos ajustando a posição dos saltos de descontinuidade problemáticos ou alterando o valor de N CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 781 Figura M94 Filtro FIR passabaixas de tamanho 41 usando fase zero Figura M95 Filtro FIR passabaixas de tamanho 21 usando fase linear Figura M96 Filtro FIR passabaixas de tamanho 41 usando fase linear Figura M97 Filtro FIR passafaixa de tamanho 50 usando fase linear 782 SINAIS E SISTEMAS LINEARES CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 783 911 Obtenha a série de Fourier em tempo discreto SFTD e trace seu espectro e para 0 r N0 1 para o seguinte sinal periódico 912 Repita o Prob 911 para xn cos 22πn cos 33πn 913 Repita o Prob 911 para xn 2 cos 32πn 3 914 Obtenha a série de Fourier em tempo discreto e o correspondente espectro de amplitude e fase para o xn mostrado na Fig P914 915 Repita o Prob 914 para xn mostrado na Fig P915 916 Repita o Prob 914 para xn mostrado na Fig P916 917 Um sinal periódico xn com período N0 é re presentado por sua SFTD na Eq 98 Prove o teorema de Parseval para a SFTD o qual afirma que No texto Eq 960 obtivemos o teorema de Parseval para a TFTD Dica se é complexo então e utilize a Eq 828 918 Responda sim ou não e justifique suas respos tas com um exemplo apropriado ou prova a A soma de seqüências não periódicas em tempo discreto é sempre periódica b A soma de seqüências periódicas em tem po discreto é sempre não periódica P R O B L E M A S Figura P914 Figura P915 Figura P916 784 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 921 Mostre que para um xn real a Eq 929 po de ser descrita por Essa é a forma trigonométrica da TFTD 922 Um sinal xn pode ser descrito pela soma de componentes par e ímpar Seção 151 a Se xn XΩ mostre que para xn real e b Verifique esses resultados determinando a TFTD das componentes par e ímpar do sinal 08 nun 923 Para os seguintes sinais obtenha a TFTD dire tamente utilizando a definição da Eq 930 Assuma γ 1 924 Utilize a Eq 929 para determinar a TFTD inversa dos seguintes espectros dado apenas o intervalo Ω π Assuma Ωc e Ω0 π 925 Usando a Eq 929 mostre que a TFTD in versa de ret Ω π4π é 05 sinc πn2e jπn4 926 A partir da definição 930 determine a TFTD dos sinais xn mostrados na Fig P926 927 A partir da definição 930 determine a TFTD dos sinais mostrados na Fig P927 928 Utilize a Eq 929 para determinar a TFTD inversa do espectro da Fig P928 mostrados apenas para Ω π 929 Utilize a Eq 929 para determinar a TFTD inversa do espectro mostrado apenas para Ω π da Fig P929 9210 Determine a TFTD dos sinais mostrados na Fig P9210 Figura P926 Figura P927 Figura P928 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 785 9211 Determine a TFTD inversa de XΩ mostra do apenas para Ω π para o espectro ilus trado na Fig P9211 Dica XΩ XΩe jXΩ Este problema ilustra como es pectros de fase diferentes com o mesmo es pectro de amplitude representam sinais total mente diferentes 9212 a Mostre que o sinal expandido no tempo xen na Eq 34 também pode ser des crito por b Obtenha a TFTD de xen determinando a TFTD do lado direito da equação da parte a c Utilize o resultado da parte b e a Tabela 91 para determinar a TFTD de zn mos trado na Fig P9212 9213 a Uma rápida olhada na Eq 929 mostra que a equação da TFTD inversa é idênti ca à transformada de Fourier inversa tempo contínuo Eq 78b para um si nal xt limitado em faixa a π rads Lo go devemos ser capazes de utilizar a Ta bela 71 de transformada de Fourier em tempo contínuo para determinarmos os pares da TFTD que correspondem aos pares das transformadas em tempo contí nuo para sinais limitados em faixa Utili ze esse fato para obter os pares 8 9 11 12 13 e 14 da TFTD da Tabela 91 atra vés dos pares apropriados da Tabela 71 b Este método pode ser utilizado para ob ter os pares 2 3 4 5 6 7 10 15 e 16 da Tabela 91 Justifique sua resposta com razões específicas 9214 Os seguintes sinais no domínio da freqüência são TFTDs válidas Responda sim ou não e justifique sua resposta Figura P929 Figura P9210 786 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 931 Usando apenas os pares 2 e 5 Tabela 91 e a propriedade de deslocamento no tempo 952 obtenha a TFTD dos seguintes sinais assumindo a 1 932 O pulso triangular xn mostrado na Fig P93 2a é dado por Utilize essa informação e as propriedades da TFTD para determinar a TFTD dos sinais x1n x2n x3n e x4n mostrados na Fig P932b P932c P932d e P932e respecti vamente 933 Mostre que a convolução periódica XΩ YΩ 2πXΩ se e na qual ak é um conjunto de constantes arbi trárias 934 Usando apenas o par 2 Tabela 91 e as pro priedades da TFTD determine a TFTD dos seguintes sinais assumindo a 1 e Ω0 π 935 Utilize o par 10 da Tabela 91 e alguma pro priedade ou propriedades adequadas da TFTD para obter os pares 11 12 13 14 15 e 16 936 Utilize a propriedade de deslocamento no tem po para mostrar que Utilize esse resultado para obter a TFTD dos sinais mostrados na Fig P936 937 Utilize a propriedade de deslocamento no tempo para mostrar que Utilize esse resultado para determinar a TFTD do sinal mostrado na Fig P937 Figura P9211 Figura P9212 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 787 938 Usando apenas o par 2 da Tabela 91 e a pro priedade da convolução obtenha a TFTD in versa de XΩ e 2jΩe jΩ γ 2 939 Na Tabela 91 você tem o par 1 A partir des sa informação e utilizando alguma proprieda des adequadas da TFTD obtenha os pares 2 3 4 5 6 e 7 Por exemplo começando com o par 1 obtenha o par 2 Do par 2 utilize pro priedades adequadas da TFTD para obter o par 3 dos pares 2 e 3 obtenha o par 4 e assim por diante 9310 Do par e jΩ02n 2πδΩ Ω02 dentro da fai xa fundamental e da propriedade da convolu ção obtenha a TFTD de e jΩ0n Assuma Ω0 π2 9311 A partir da definição e das propriedades da TFTD mostre que Figura P932 Figura P936 Figura P937 788 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 9312 Mostre que a energia do sinal xct especifica do na Eq 973 é idêntica a T vezes a energia do sinal xn em tempo discreto assumindo que xct é limitado em faixa a B 12T Hz Dica lembrese de que funções sinc são or togonais ou seja 941 Utilize o método da TFTD para obter a res posta yn de estado nulo do sistema causal com resposta em freqüência e entrada dada por 942 Repita o Prob 941 para e entrada 943 Repita o Prob 941 para e 944 Um sistema acumulador possui a proprieda de de que uma entrada xn resulta em uma saída a Determine a resposta hn ao impulso e a resposta em freqüência HΩ para o acu mulador b Utilize os resultados na parte a para de terminar a TFTD de un 945 A resposta em freqüência de um sistema LDIT para Ω π é Determine a saída yn desse sistema se a en trada xn for dada por 946 a Se xn XΩ então mostre que 1 nxn XΩ π b Trace γ nun e γ nun para γ 08 Ve ja o espectro para γ nun na Fig 94b e 94c A partir desses espectros trace o espectro para γ nun c Um filtro passabaixas ideal com fre qüência de corte Ωc é especificado pela resposta em freqüência HΩ ret Ω2Ωc Determine sua resposta hn ao impulso Obtenha a resposta em freqüên cia para o filtro cuja resposta ao impulso é 1 nhn Trace a resposta em freqüên cia desse filtro Qual é o tipo desse filtro 947 Um filtro cuja resposta hn ao impulso é mo dificado como mostrado na Fig P947 De termine a resposta h1n ao impulso do filtro resultante Determine também a resposta em freqüência H1Ω do filtro resultante em ter mos da resposta em freqüência HΩ Como HΩ e H1Ω estão relacionados 948 a Considere um sistema LDIT S1 especifi cado por uma equação diferença na for ma das Eqs 317a 317b ou 324 no Capítulo 3 Construímos outro sistema S2 substituindo os coeficientes ai i 0 1 2 N pelos coeficientes 1 iai e substi tuindo todos os coeficientes bi i 0 1 2 N por coeficientes 1 ibi Como as respostas em freqüência dos dois siste mas estão relacionadas b Se S1 representa um filtro passabaixas qual o tipo de filtro especificado por S2 c Qual o tipo de filtro passabaixas pas saaltas etc especificado pela equação diferença CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 789 Qual o tipo de filtro especificado pela equação diferença 949 a O sistema mostrado na Fig P949 contém dois filtros LDIT idênticos com resposta em freqüência H0Ω e correspondentes respostas h0n ao impulso É fácil ver que o sistema é linear Mostre que esse sistema também é invariante no tempo Faça isso determinando a resposta do sistema à en trada δn k em termos de h0n b Se H0Ω ret Ω2W na faixa funda mental e Ωc W π determine HΩ a resposta em freqüência desse sistema Qual é o tipo desse filtro 9M1 Este problema utiliza a abordagem baseada em matriz para investigar o cálculo da SFTD inversa a Implemente a Eq 98 a SFTD inversa usando a abordagem matricial b Compare a velocidade de execução da abordagem matricial com a abordagem baseada na IFFT para vetores de entrada com tamanhos 10 100 e 1000 c Qual é o resultado da multiplicação da matriz WN0 da TDF pela matriz da SFTD inversa Discuta seu resultado 9M2 Um filtro digital IIR passaaltas de primei ra ordem estável possui função de transfe rência a Obtenha a expressão relacionando α com a freqüência de corte de 3 dB Ωc b Teste sua expressão da parte a da se guinte maneira Primeiro calcule α para obter uma freqüência de corte de 3 dB de 1 kHz assumindo uma taxa de amostra gem de Fs 5 kHz Determine a equação diferença que descreve o sistema e verifi que que o sistema é estável A seguir cal cule e trace a resposta em magnitude do filtro resultante Verifique a o filtro é pas saaltas e que possui a freqüência de cor te correta c Mantendo α constante o que acontece com a freqüência de corte Ωc quando Fs aumenta para 50 kHz O que acontece com a freqüência de corte fc quando Fs aumenta para 50 kHz d Existe um filtro inverso para Hz bem comportado Explique e Determine α para Ωc π2 Comente o filtro resultante particularmente hn Figura P947 Figura P949 790 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 9M3 A Fig P9M3 fornece a resposta em magni tude HΩ desejada para um filtro real Ma tematicamente como o filtro digital é real HΩ HΩ e HΩ HΩ 2π para todo Ω Figura P9M3 Resposta em magnitude HΩ desejada a Um filtro realizável pode ter exatamente essa resposta em magnitude Explique b Utilize o método de amostragem em fre qüência para projetar um filtro FIR com esta resposta em magnitude um uma aproximação razoável Utilize o MA TLAB para traçar a resposta em magnitu de do seu filtro 9M4 A resposta em magnitude de um filtro FIR combinado deve ser HΩ 0 3 0 3 0 3 0 3 para Ω 0 π4 π2 3π4 π 5π4 3π2 7π4 respectivamente Forneça uma resposta hn ao impulso de um filtro que atenda a es sas especificações 9M5 Uma matriz de permutação P possui um úni co um em cada linha e coluna com todos os demais elementos iguais a zero Matrizes de permutação são úteis para o reordenamento dos elementos de um vetor A operação Px reordena os elementos de um vetor coluna x baseado na forma de P a Descreva completamente uma matriz de permutação N0 N0 chamada RN0 que in verta a ordem dos elementos de um vetor coluna x b Data a matriz TDF WN0 verifique que WN0WN0 W 2 N0 produz uma matriz de permutação escalonada Como W 2 N0x or dena os elementos de x c Qual o resultado de W 2 N0W 2 N0x W 4 N0x Na Seção 110 as notações básicas de variáveis de estado foram apresentadas Neste capítulo iremos discutir esse assunto com mais detalhes Grande parte deste livro trabalha com a descrição externa entradasaída de sistemas Como ressaltado no Ca pítulo 1 tal descrição pode ser inadequada em alguns casos e precisamos de uma forma sistemática de obter a des crição interna do sistema A análise por espaço de estados preenche essa necessidade Nesse método inicialmen te selecionamos um conjunto de variáveis chave chamadas de variáveis de estado do sistema Cada possível sinal ou variável no sistema em qualquer instante t pode ser descrita em termos das variáveis de estado e das entradas naquele instante Se conhecermos todas as variáveis de estado em função de t podemos determinar todo possível sinal ou variável do sistema em qualquer instante através de uma relação relativamente simples A descrição do sis tema nesse método consiste em duas partes 1 Um conjunto de equações relacionando as variáveis de estado com as entradas a equação de estado 2 Um conjunto de equações relacionando as saídas com as variáveis de estados e entradas a equação de saída O procedimento de análise portanto consiste em resolver primeiro a equação de estado e então resolver a equação de saída A descrição de espaço de estado é capaz de determinar toda possível variável do sistema ou saída a partir do conhecimento da entrada e do estado condição inicial do sistema Por essa razão ela é uma descrição interna do sistema Devido à sua natureza a análise por variável de estado é eminentemente adequada para sistemas de múltiplas entradas múltiplas saídas MIMO Um sistema de entrada única saída única SISO é um caso especial de sistemas MIMO Além disso as técnicas de espaço de estado são úteis por diversas outras razões mencionadas na Seção 110 e repetidas aqui 1 Equações de estado de um sistema fornecem um modelo matemático de grande generalidade que pode descrever não somente sistemas lineares mas também sistemas não lineares não somente sistemas in variantes no tempo mas também sistemas com parâmetros variantes no tempo não somente sistemas SISO mas também sistemas MIMO De fato equações de estado são idealmente adequadas para análi se síntese e otimização de sistemas MIMO 2 A notação matricial compacta e as poderosas técnicas de álgebra linear facilitam muito as manipulações complexas Sem tais características muitos resultados importantes da moderna teoria de sistemas teriam sido difíceis de serem obtidos Equações de estado podem resultar em uma grande quantidade de informa ção sobre um sistema mesmo quando elas não são explicitamente resolvidas 3 Equações de estado resultam em uma fácil situação para a simulação em computadores digitais de siste mas complexos de alta ordem lineares ou não e com múltiplas entradas e saídas 4 Para sistemas de segunda ordem N 2 um método gráfico chamado de análise no plano de fase pode ser utilizado nas equações de estado sejam elas lineares ou não N de T Multipleinput multipleoutput N de T Singleinput singleoutput ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS C A PÍTU LO 10 792 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Este capítulo requer algum conhecimento sobre álgebra matricial A Seção B6 é um tratado autocontido de álgebra matricial o qual deve ser mais do que adequado para os propósitos deste capítulo 101 INTRODUÇÃO A partir das discussões do Capítulo 1 sabemos que para determinarmos as respostas do sistema em qualquer instante t precisamos conhecer as entradas do sistema durante todo o passado de a t Se as entradas forem conhecidas somente para t t0 ainda podemos determinar as saídas do sistema para qualquer t t0 desde que conheçamos certas condições iniciais do sistema para t t0 Essas condições iniciais são coletivamente cha madas de estado inicial do sistema para t t0 As variáveis de estado q1t q2t qNt são a menor quantidade possível de variáveis do sistema tal que seus valores iniciais no instante t0 são suficientes para determinar o comportamento do sistema para todo tempo t t0 quando as entradas do sistema forem conhecidas para t t0 Essa afirmativa implica que uma saída do sistema em qualquer instante é determinada completamente a partir do conhecimento dos valores do estado do sistema e da entrada em qualquer instante As condições iniciais de um sistema podem ser especificadas por diversas formas Conseqüentemente o estado do sistema também pode ser especificado por diversas formas Isso significa que as variáveis de estado não são únicas Essa discussão também é válida para sistemas de múltiplas entradas múltiplas saídas MIMO nos quais ca da possível saída do sistema em qualquer instante t é determinada completamente do conhecimento do estado do sistema e das entradas no instante t Essas idéias devem ficar mais claras no exemplo a seguir de um cir cuito RLC Obtenha a descrição por espaço de estados do circuito RLC mostrado na Fig 101 Verifique que todas as possíveis saídas do sistema em algum instante t podem ser determinadas do conhecimento do estado do sis tema e da entrada no instante t É sabido que correntes de indutor e tensões de capacitor em um circuito RLC podem ser utilizadas como uma possível escolha de variáveis de estado Por essa razão iremos escolher q1 a tensão do capacitor e q2 a corrente do indutor como nossas variáveis de estado A equação do nó intermediário é mas i3 02q 1 i1 2x q1 i2 3q1 Logo ou 101 Figura 101 EXEMPLO 101 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 793 Essa é a primeira equação de estado Para obter a segunda equação de estado somamos as tensões na ma lha mais a direita formada por C L e o resistor de 2 Ω tal que a tensão seja igual a zero ou 102 Portanto as duas equações de estado são 103a 103b Cada possível saída pode agora ser descrita como uma combinação linear de q1 e q2 e x A partir da Fig 101 temos que 104 Esse conjunto de equações é chamado de equação de saída do sistema Fica claro nesse conjunto que cada possível saída em algum instante t pode ser determinada a partir do conhecimento de q1t q2t e xt o estado do sistema e a entrada no instante t Uma vez que tenhamos resolvido as equações de estado 103 para obter q1t e q2t poderemos determinar cada possível saída para qualquer entrada xt Para sistemas contínuos no tempo as equações de estado são N equações diferenciais simultâneas de primei ra ordem com N variáveis de estado q1 q2 qN na forma 105 na qual x1 x2 xj são as j entradas do sistema Para um sistema linear essas equações se reduzem a uma forma linear mais simples 106a Se existirem k saídas y1 y2 yk as k equações de saída estarão na forma 106b As N equações de estado simultâneas de primeira ordem também são chamadas de equações forma normal Essas equações podem ser escritas mais convenientemente na forma matricial 107a Escreva as equações de estado para o circuito mostrado na Fig 102 Figura 102 794 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e 107b ou 108a 108b A Eq 108a é a equação de estado e a Eq 108b é a equação de saída q y e x são chamados de vetor de estado vetor de saída e vetor de entrada respectivamente Para sistemas em tempo discreto as equações de estado são N equações diferença simultâneas de primeira ordem Sistemas em tempo discreto são discutidos na Seção 106 102 PROCEDIMENTO SISTEMÁTICO PARA A DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ESTADO Iremos discutir agora um procedimento sistemático para a determinação da descrição por espaço de estados de sistemas lineares invariantes no tempo Em particular iremos considerar sistemas de dois tipos 1 Circuitos RLC e 2 sistemas especificados pelo diagrama em blocos ou funções de transferência de ordem N 1021 Circuitos Elétricos O método utilizado no exemplo 101 é eficiente na maioria dos casos simples Os passos a serem seguidos são 1 Escolha todas as tensões independentes de capacitores e correntes independentes de indutores como va riáveis de estado 2 Escolha um conjunto de correntes de malha Expresse as variáveis de estado e suas derivadas primeiras em termos destas correntes de malha 3 Escreva as equações de tensão de malha e elimine todas as variáveis que não sejam as variáveis de esta do se suas derivadas primeiras das equações obtidas nos passos 2 e 3 EXEMPLO 102 Utilize esse procedimento alternativo de três passos para escrever as equações de estado do circuito da Fig 102 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 795 Passo 1 Existe um indutor e um capacitor no circuito Portanto iremos escolher a corrente q1 do indutor e a tensão q2 do capacitor como variáveis de estado Passo 2 A relação entre as correntes de malha e as variáveis de estado podem ser obtidas por inspeção 109a 109b Passo 3 As equações de malha são 1010a 1010b 1010c Eliminamos agora i1 i2 e i3 das Eqs 109 e 1010 como mostrado a seguir A partir da Eq 1010b temos Podemos eliminar i1 e i2 dessa equação usando as Eqs 109a e 1010a para obter A substituição das Eqs 109a e 1010c na Eq 109b resulta em Essas são as equações de estado desejadas Podemos expressálas na forma matricial como 1011 A obtenção das equações de estado a partir das equações de malha é consideravelmente facilitada pela es colha de malhas de tal forma que apenas uma corrente de malha passe através de cada indutor ou capacitor PROCEDIMENTO ALTERNATIVO Também podemos determinar as equações de estado através do seguinte procedimento 1 Escolha todas as tensões independentes dos capacitores e correntes independentes dos indutores como variáveis de estado 2 Substitua cada capacitor por uma fonte de tensão igual à tensão do capacitor e substitua cada indutor por uma fonte de corrente igual à corrente do indutor Este passo irá transformar o circuito RLC em um circuito constituído apenas por resistores fontes de corrente e fontes de tensão 3 Obtenha a corrente através de cada capacitor e igualeas a Cq i na qual qi é a tensão do capacitor Similar mente obtenha a tensão em cada indutor e igualea a Lq j na qual qj é a corrente do indutor EXEMPLO 103 796 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 1022 Equações de Estado a partir da Função de Transferência É relativamente simples determinar as equações de estado de um sistema especificado por sua função de trans ferência Considere por exemplo um sistema de primeira ordem com função de transferência 1013 A realização do sistema aparece na Fig 104 A saída q do integrador serve como variável de estado natural pois na realização prática as condições iniciais são colocadas na saída do integrador A entrada do integral é na turalmente Da Fig 104 temos Esse procedimento requer modificações se o sistema contiver conjuntos unidos somente com capacitores e fontes de tensão ou con juntos unidos somente com indutores e fontes de corrente No caso de conjuntos unidos somente com capacitores e fontes de ten são todos as tensões dos capacitores não podem ser independentes Uma tensão de capacitor pode ser expressa em termos das ou tras tensões dos capacitores e a das fontes de tensão no conjunto Conseqüentemente uma das tensões dos capacitores não po de ser utilizada como variável de estado e o capacitor não deve ser substituído por uma fonte de tensão Similarmente em um con junto unido somente com indutores e fontes de corrente um indutor não pode ser substituído por uma fonte de corrente Se hou ver conjuntos com somente capacitores unidos ou somente indutores unidos não haverá nenhuma outra complicação Em conjun tos com somente capacitores e fontes de tensão unidos eou conjuntos somente com indutores e fontes de corrente unidas temos dificuldades adicionais nos termos envolvendo as derivadas da entrada Esse problema pode ser solucionado redefinindo as variá veis de estado As variáveis de estado finais não serão as tensões dos capacitores ou as correntes dos indutores Implicitamente presumimos que o sistema é controlável e observável Isso implica que não existem cancelamentos de póloszeros na função de transferência Se tais cancelamentos existirem a descrição por variáveis de estado representa apenas a parte do sistema que é controlável e observável a parte do sistema que acopla a saída à entrada Em outras palavras a descrição interna representada pe las equações de estado não é melhor do que a descrição externa representada pela equação de entradasaída No circuito da Fig 102 substituímos o indutor por uma fonte de corrente com corrente q1 e o capacitor por uma fonte de tensão com tensão q2 como mostrado na Fig 103 O circuito resultante é constituído por quatro resistores duas fontes de tensão e uma fonte de corrente Podemos determinar a tensão vL do indutor e a corrente ic do capacitor usando o princípio da superposição Este passo pode ser realizado por inspeção Por exemplo vL possui três componentes vindas de três fontes Para calcular a componente de vido a x assumimos que q1 0 circuito aberto e q2 0 curtocircuito Com essas condições todo o cir cuito do lado direito do resistor de 2Ω ficará aberto e a componente de vL devido a x é a tensão no resis tor de 2Ω Essa tensão é claramente 12x Similarmente para obtermos a componente de vL devido a q1 curtocircuitamos x e q2 A fonte q1 enxerga um resistor equivalente de 1 Ω e logo vL q1 Conti nuando nesse processo verificamos que a componente de vL devido a q2 é q2 Logo 1012a Usando o mesmo procedimento obtemos 1012b Essas equações são idênticas às equações de estado 1011 obtidas anteriormente Figura 103 Diagrama equivalente ao circuito da Fig 102 Determine a descrição no espaço de estados do sistema especificado pela função de transferência 1015a 1015b 1015c Figura 105 Realizações do sistema na forma a canônica b transposta c cascata e d paralela CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 797 1014a 1014b Na Seção 46 mostramos que uma dada função de transferência pode ser realizada de diversas formas Conseqüentemente devemos ser capazes de obter diferentes descrições no espaço de estados do mesmo sis tema usando diferentes realizações Essa consideração ficará mais clara pelo exemplo a seguir Figura 104 EXEMPLO 104 798 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura 105 Continuação Iremos utilizar o procedimento desenvolvido na Seção 46 para realizar Hs da Eq 1015 por quatro formas i a forma direta II FDII e ii a transposta da FDII Eq 1015a iii a realização em cascata Eq 1015b e iv a realização paralela Eq 1015c Essas realizações estão mostradas na Fig 105 Co mo mencionado anteriormente a saída de cada integrador é naturalmente uma variável de estado FORMA DIRETA II E SUA TRANSPOSTA Iremos realizar o sistema usando a forma canônica forma direta II e sua transposta discutida na Seção 46 Se esco lhermos as variáveis de estado como sendo as saídas dos três integradores q1 q2 e q3 então de acordo com a Fig 105 1016a Além disso a saída y é dada por 1016b As Eqs 1016a são as equações de estado e a Eq 1016b é a equação de saída Na forma matricial obtemos 1017a CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 799 e 1017b Podemos realizar também Hs usando a transposta da forma FDII como mostrado na Fig 105b Se cha marmos as saídas dos três integradores de v1 v2 e v3 as variáveis de estado então de acordo com a Fig 105b 1018a e a saída y será dada por 1018b Logo 1019a e 1019b Observe atentamente a relação entre a descrição no espaço de estados de Hs obtida pela realização FDII Eqs 1017 e a obtida pela transposta da FDII Eqs 1019 As matrizes A dos dois casos são uma a trans posta da outra além disso B de um é a transposta de C da outra e viceversa Logo 1020 Isso não é uma coincidência Essa relação de dualidade geralmente é verdadeira 1 REALIZAÇÃO EM CASCATA As saídas dos três integradores w1 w2 e w3 da Fig 105c são as variáveis de estado As equações de estado são 1021a 1021b 1021c e a equação de saída é 1022 Através da eliminação de da Eq 1021c utilizando a Eq 1021b convertemos essas equações para a for ma desejada de estado 1023a 800 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e 1023b REALIZAÇÃO EM PARALELO REPRESENTAÇÃO DIAGONAL As saídas dos três integradores z1 z2 e z3 da Fig 105d são as variáveis de estado As equações de estado são 1024a e a equação de saída é 1024b Portanto as equações na forma matricial são 1025a 1025b EXEMPLO DE COMPUTADOR C101 Utilize o MATLAB para determinar a primeira forma canônica FDI para o sistema dado no Exemplo 104 Cuidado A convenção do MATLAB para representar as variáveis de estado q1 q2 qn em um diagrama de blocos tal como o mostrado na Fig 105a é invertida Ou seja o MATLAB chama q1 de qn q2 de qn1 e assim por diante CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 801 UM CASO GERAL Ficou claro que um sistema possui diversas descrições por espaço de estados Dentre as possíveis opções é no tável as variáveis obtidas pela FDII sua transposta e as variáveis diagonalizadas realização em paralelo As equações de estado nessas formas podem ser escritas imediatamente por inspeção da função de transferência Considere uma função de transferência de ordem N genérica 1026a 1026b As realizações de Hs obtidas usando a forma direta II Eq 1026a e a forma paralela Eq 1026b são mostradas na Fig 106a e 106b respectivamente As saídas dos N integradores q1 q2 qN da Fig 106a são as variáveis de estado Por inspeção dessa figu ra obtemos 1027a e a saída y é 1027b Podemos eliminar usando a última equação do conjunto 1027a obtendo 1027c Na qual bˆi bi b0ai ou 1028a Também é possível determinar a função de transferência da representação por espaço de estados Inserir Equação T 8 802 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e 1028b Na Fig 106b as N saídas dos integradores z1 z2 zN são as variáveis de estado Por inspeção dessa figu ra obtemos 1029a e 1029b ou 1030a Figura 106 Realizações de um sistema LCIT de ordem N na a forma direta II e b na forma paralela CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 803 e 1030b Observe que a forma diagonalizada da matriz de estado Eq 1030a possui os pólos da função de transfe rência como os elementos de sua diagonal A presença de pólos repetidos em Hs irá modificar um pouco o pro cedimento A forma de trabalhar com esses casos é discutida na Seção 46 Fica claro a partir da discussão anterior que a descrição por espaço de estados não é única Para qualquer rea lização de Hs obtida de integradores multiplicadores escalares e somadores podemos encontrar uma descri ção por espaço de estados Como existem incontáveis possíveis realizações para Hs existem incontáveis pos síveis descrições por espaço de estados 103 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO As equações de estado de um sistema linear são N equações diferenciais simultâneas de primeira ordem Estu damos técnicas para a resolução de equações lineares nos Capítulos 2 e 4 As mesmas técnicas podem ser apli cadas para as equações de estado sem qualquer modificação Entretanto é mais conveniente obtermos uma so lução utilizando diretamente a notação matricial Essas equações podem ser resolvidas tanto no domínio do tempo quanto no domínio da freqüência trans formada de Laplace É relativamente mais fácil trabalhar do domínio da freqüência do que no domínio do tempo Por essa razão iremos considerar primeiro a solução pela transformada de Laplace 1031 Solução pela Transformada de Laplace de Equações de Estado A iésima equação de estado Eq 106a possui a forma 1031a iremos obter a transformada de Laplace desta equação Seja tal que Além disso seja A transformada de Laplace da Eq 1031a resulta em 1031b Obtendo as transformadas de Laplace de todas as N equações de estado obtemos 1032a Obtenha o vetor de estado qt para o sistema cuja equação de estado é dada por Na qual e as condições iniciais são q10 2 q20 1 A partir da Eq 1033b temos Vamos primeiro obter Temos 804 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 1032a Definindo os vetores como indicado temos ou e 1032b Na qual I é a matriz identidade N N A partir da Eq 1032b temos 1033a 1033b na qual 1034 Portanto da Eq 1033b 1035a e 1035b A Eq 1035b fornece a solução desejada Observe as duas componentes da solução A primeira componen te resulta em qt quando a entrada é xt 0 Logo a primeira componente é a componente de entrada nula De forma semelhante vemos que a segunda componente é a componente de estado nulo EXEMPLO 105 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 805 e 1036a Agora q0 é dado por Além disso Xs 1s e Portanto e A transformada de Laplace inversa dessa equação resulta em 1036b EXEMPLO DE COMPUTADOR C102 Repita o Exemplo 105 usando o MATLAB Cuidado veja o cuidado no Exemplo de Computador C101 806 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A SAÍDA A equação de saída é dada por e Substituindo a Eq 1033b nessa equação temos 1037 A resposta de estado nulo isto é Ys quando q0 0 é dada por 1038a Note que a função de transferência de um sistema é definida para a condição de estado nulo veja a Eq 432 A matriz é a matriz da função de transferência Hs do sistema a qual relaciona as res postas y1 y2 yk com as entradas x1 x2 xj 1038b e a resposta de estado nulo é 1039 A matriz Hs é uma matriz k j k é o número de saídas e j é o número de entradas O ijésimo elemento Hijs de Hs é a função de transferência que relaciona a saída yit com a entrada xjt Figura C102 A seguir o gráfico é gerado do vetor de estado O gráfico é mostrado na Fig C102 Vamos considerar um sistema com equação de estado 1040a e equação de saída 1040b Neste caso 1040c e 1041 Logo a matriz Hs de função de transferência é dada por 1042 e a resposta de estado nulo é Lembrese de que o ijésimo elemento da matriz de função de transferência da Eq 1042 representa a função de transferência que relaciona a saída yit com a entrada xjt Por exemplo a função de transferên cia que relaciona a saída y3 com a entrada x2 é H32s CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 807 EXEMPLO 106 EXEMPLO DE COMPUTADOR 103 Repita o Exemplo 106 usando o MATLAB 808 SINAIS E SISTEMAS LINEARES As funções de transferência relacionando uma entrada particular com uma saída particular podem ser ob tidas usando a função ss2tf RAÍZES CARACTERÍSTICAS AUTOVALORES DE UMA MATRIZ É interessante observar que o denominador de cada função de transferência da Eq 1042 é s 1s 2 exceto para H21s e H22s nas quais o fator s 1 é cancelado Isso não é uma coincidência Vimos que o denominador de todo elemento de é sI A pois sI A 1 e a inversa de uma matriz possui o seu determinante no denominador Como C B e D são matrizes com elementos constantes vimos na Eq 1038b que o denominador de também será o denominador de Hs Logo o denominador de cada elemento de Hs é sI A exceto pa ra possíveis cancelamentos de fatores mencionados anteriormente Em outras palavras os zeros do polinômio sI A também são os pólos de todas as funções de transferência do sistema Portanto os zeros do polinômio sI A são as raízes características do sistema Logo as raízes características do sistema são as raízes da equação 1043a Como sI A é um polinômio em s de ordem N com N zeros λ1 λ2 λN podemos escrever a Eq 1043a como 1043b Para o sistema do Exemplo 106 1044a 1044b Logo A Eq 1043a é chamada de equação característica da matriz A e λ1 λ2 λN são as raízes características de A O termo autovalor significando valor característico em alemão também é geralmente utilizado na literatura Por tanto mostramos que as raízes características de um sistema são os autovalores valores característicos da matriz A CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 809 Neste ponto o leitor irá lembrar que λ1 λ2 λN são os pólos da função de transferência então a resposta de entrada nula é da forma 1045 Esse fato também é óbvio pela Eq 1037 O denominador de todo elemento da resposta de entrada nula da matriz é sI A s λ1s λ2s λN Portanto a expansão por frações parciais e a subseqüen te transformada de Laplace inversa irá resultar na componente de entrada nula na forma da Eq 1045 1032 Solução no Domínio do Tempo de Equações de Estado A equação de estado é 1046 Mostramos agora que a solução da equação diferencial vetorial 1046 é 1047 Antes de prosseguirmos devemos definir a exponencial da matriz que aparece na Eq 1047 Uma exponen cial de uma matriz é definida por uma série infinita idêntica à utilizada na definição da exponencial de um esca lar Devemos definir 1048a 1048b Por exemplo se então 1049 e 1050 e assim por diante Podemos mostrar que a série infinita da Eq 1048a é absoluta e uniformemente convergente para todo valor de t Conseqüentemente ela pode ser diferenciada ou integrada termo a termo Portanto para obter mos ddte At diferenciamos a série do lado direito da Eq 1048a termo a termo 1051a 1051b A série infinita do lado direito da Eq 1051a também pode ser descrita por 810 SINAIS E SISTEMAS LINEARES logo 1052 Observe também que da definição 1048a temos que 1053a na qual Se prémultiplicarmos ou pósmultiplicarmos a série infinita para e At Eq 1048a por uma série infinita pa ra e At obtemos 1053b Na Seção B63 mostramos que Usando essa relação observamos que 1054 Prémultiplicamos agora os dois lados da Eq 1046 por e At para obter 1055a ou 1055b Um rápido vislumbre na Eq 1054 mostra que o lado esquerdo da Eq 1055b é Logo A integração dos dois lados dessa equação de 0 a t resulta em 1056a ou 1056b Logo 1056c Prémultiplicando a Eq 1056c por e At e usando a Eq 1053b temos 1057a Utilize o método do domínio do tempo para obter a solução do Problema do Exemplo 105 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 811 Essa é a solução desejada O primeiro termo do lado direito representa qt quando a entrada é xt 0 Lo go essa é a componente de entrada nula O segundo termo usando um argumento similar é a componente de estado nulo Os resultados da Eq 1057a podem ser expressos mais convenientemente em termos da convolução matricial Podemos definir a convolução de duas matrizes de forma semelhante à multiplicação de duas matrizes exceto pelo fato de que a multiplicação de dois elementos é substituída pela convolução dos elementos Por exemplo Usando essa definição de convolução matricial podemos descrever a Eq 1057a por 1057b Note que os limites da integral de convolução Eq 1057a são de 0 a t Logo todos os elementos de e At no termo da convolução da Eq 1057b são implicitamente considerados como tendo sido multiplicados por ut O resultado das Eqs 1057 pode ser facilmente generalizado para qualquer valor inicial de t É deixado como um exercício para o leitor mostrar que a solução da equação de estado pode ser descrita por 1058 DETERMINANDO e At A exponencial e At necessária nas Eqs 1057 pode ser calculada a partir da definição da Eq 1048a In felizmente essa é uma série infinita e seu cálculo é muito trabalhoso Além disso podemos não conseguir uma expressão fechada para a resposta Existem vários métodos eficientes para a determinação de e At em uma forma fechada Foi mostrado na Seção B65 que para uma matriz A N N 1059a na qual e λ1 λ2 λN são os N valores característicos autovalores de A Também podemos determinar e At comparando as Eqs 1057a e 1035b Fica claro que 1059b 1059c Portanto e At e são um par transformada de Laplace Para ser consistente com a notação de transforma da de Laplace e At é geralmente representado por a matriz de transição de estado MTE EXEMPLO 107 812 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Para este caso as raízes características são dadas por As raízes são λ1 4 e λ2 9 logo e 1060 A componente de entrada nula é dada por veja a Eq 1057a 1061a Note a presença de ut na Eq 1061a indicando que a resposta começa em t 0 A componente de estado nulo é e At Bx veja a Eq 1057b na qual e Note novamente a presença do temo ut em cada elemento de e At Isso ocorre porque os limites da inte gral de convolução são de 0 a t Eqs 1056 Portanto A substituição das integrais de convolução da equação anterior utilizando a tabela de convolução Tabe la 21 resulta em CapiTULoO 10 ANALISE NO Espaco DE Estapos 813 1 4t 2 9t pU eut ZU e ut es Bxt 60 45 1e ut 1 e ut 1061b G6 we seul ie eut A soma das duas componentes Eq 1061a e Eq 1061b fornece a solucao desejada para qt a 7 36 a9 Y Ge uy qzt Be 4 Be ut 1061c Esse resultado confirma a solugdo obtida pelo método no dominio da freqiiéncia veja a Eq 1036b Uma vez que as variaveis de estado g e g tenham sido obtidas para t 2 0 todas as demais varidveis podem ser determinadas utilizando a equacao de saida A SAIDA A equacio de saida é dada por yt Cqt Dxr A substituicgao da solucao de q Eq 1057B nesta equacg4o resulta em yt Ceq0 e Bx Dxr 1062a Como os elementos de B sao constantes e Bxt eB xt Com esse resultado a Eq 1062a se torna yt Cleq0 eB xt Dxr 1062b Lembrese agora de que a convolucao de xt com um impulso unitdrio 7 resulta em x7 Vamos definir uma matriz diagonal 5 j xj tal que os termos de sua diagonal sejam funcées de impulso unitério Dessa for ma fica 6bvio que dt xt xt ea Eq 1062b pode ser descrita por yt Cleq0 eB xt D81 xt 1063a Ce q0 CeB D8t xt 1063b Com a notacio Pt para ea Eq 1063b pode ser expressa por yt CotqO CprB D8r x1 SSS 1063c resposta de entrada nula resposta de estado nulo A resposta de estado nulo ou seja a resposta quando q0 0 é yt ChtB Ddz xt 1064a 814 Sinals E SISTEMAS LINEARES ht xt 1064b na qual h CotB Dér 1065 A matriz ht é uma matriz k x j chamada de matriz de resposta ao impulso A razao para esse nome é obvia O ijésimo elemento de hy h o qual representa a resposta de estado nulo y quando a entrada xt Ot e quando todas as outras entradas e todas as condiGées iniciais sio zero Também podemos observar da Eq 1039 e 1064b que Liht Hs Para o sistema descrito pelas Eqs 1040a e 1040b utilize a Eq 1059b para determinar e ot e Ls Este problema foi resolvido anteriormente com técnicas do dominio da freqtiéncia A partir da Eq 1041 temos st3 1 1 1642 s1s2 soya etn sea s1s2 s1s2 a a co st2 stl 2 2 1 2 sett 542 set P54 2e7 et ete et det 4260 et 4 20 O mesmo resultado é obtido no Exemplo B13 Sec4o B65 usando a Eq 1059a veja a Eq B84 Além disso 5f é uma matriz diagonal j x j ou 2 x 2 bt 0 81 0 dt Substituindo as matrizes t 1 C D e B Eq 1040c na Eq 1065 temos 1 0 0 0 2e e ee T1 0 5t O MO ET pet ye ee pel alt flo am 0 2 0 1 3e 2e ee 5t2e77 er 6e 8e dt 2e7 4e 1066 O leitor pode verificar que a matriz de func4o de transferéncia Hs da Eq 1042 é a transformada de Laplace da matriz de resposta ao impulso unitario ht da Eq 1066 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 815 104 TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO VETOR DE ESTADO Na Seção 101 vimos que o estado de um sistema pode ser especificado de diversas formas Os conjuntos de todas as possíveis variáveis de estado são relacionados em outras palavras se tivermos um determina do conjunto de variáveis de estado somos capazes de relacionálo como outro conjunto Estamos particu larmente interessados em um tipo linear de relação Sejam q1 q2 qN e w1 w2 wN dois conjuntos dife rentes de variáveis de estado especificando o mesmo sistema Esses conjuntos são relacionados por uma equação linear por 1067a ou 1067b Definindo o vetor w e a matriz P como mostradas acima podemos escrever a Eq 1067 como 1067c e 1067d Portanto o vetor de estados q é transformado em outro vetor de estado w através da transformação linear da Eq 1067c Se conhecermos w poderemos determinar q usando a Eq 1067d desde que P 1 exista Isso é equivalente a dizer que P é uma matriz não singular P 0 Portanto se P é uma matriz não singular o vetor w definido pela Eq 1067c também é um vetor de estado Considere a equação de estado de um sistema 1068a Se 1068b então e Logo a equação de estado 1068 se torna ou 1068c 1068d Essa condição é equivalente a dizer que todas as N equações da Eq 1067a são linearmente independentes ou seja nenhuma das N equações pode ser expressa como a combinação linear das equações restantes As equações de estado de um certo sistema são dadas por 1070a Obtenha as equações de estado para esse sistema quando as novas variáveis de estados w1 e w2 são ou 1070b De acordo com a Eq 1068d a equação de estado para a variável de estado w é dada por na qual veja as Eqs 1069 e Portanto Essa é a equação de estado desejada para o vetor de estado w A solução dessa equação requer o conhe cimento do estado inicial w0 o qual pode ser obtido do estado inicial q0 fornecido usando a Eq 1070b 816 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO 109 EXEMPLO DE COMPUTADOR C104 Repita o Exemplo 109 usando o MATLAB CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 817 na qual 1069a e 1069b A Eq 1068d é a equação de estado do mesmo sistema mas expressada em termos do vetor de estado w A equação de saída também é modificada Seja a equação original de saída igual a Em termos da nova variável de estado w essa equação se torna na qual 1069c INVARIÂNCIA DOS AUTOVALORES Vimos que os pólos de todas as possíveis funções de transferência de um sistema são os autovalores da matriz A Se transformarmos o vetor de estado de q para w as variáveis 1 2 N serão as combinações lineares de q1 q2 qN e portanto podem ser consideradas como as saídas Logo os pólos das funções de transferência relacionando 1 2 N com as várias entradas também devem ser os autovalores da matriz A Por outro la do o sistema também é especificado pela Eq 1068d Isso significa que os pólos das funções de transferência devem ser os autovalores de  Portanto os autovalores da matriz A permanecem inalterados para a transforma ção linear das variáveis representada pela Eq 1067 e os autovalores da matriz A e da matriz   PAP 1 são idênticos Conseqüentemente as equações características de A e  também são idênticas Esse resultado também pode ser provado alternativamente como mostrado a seguir Considere a matriz PsI AP 1 Temos Obtendo o determinante dos dois lado Os determinantes de P e P 1 são recíprocos um do outro Logo 1071 Portanto 818 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Esse é o resultado desejado Mostramos que as equações características de A e  são idênticas Logo os au tovalores de A e  são idênticos No Exemplo 109 a matriz A é dada por A equação característica é Além disso e Esse resultado confirma que as equações características de A e  são idênticas 1041 Diagonalização da Matriz A Por diversas razões é desejável tornarmos a matriz A diagonal Se A não for diagonal podemos transformar as variáveis de estado de tal forma que a matriz resultante  seja diagonal Pode ser mostrado que para qualquer matriz A diagonal os elementos da diagonal dessa matriz são necessariamente λ1 λ2 λN os autovalores da matriz Considere a matriz diagonal A A equação característica é dada por ou Logo os autovalores de A são a1 a2 aN Os elementos não nulos diagonal da matriz diagonal são portanto os autovalores λ1 λ2 λN Iremos representar a matriz diagonal por um símbolo especial Λ 1072 Vamos agora considerar a transformação do vetor de estado A tal que a matriz  resultante seja a matriz diagonal Λ Nessa discussão presumimos autovalores distintos Se os autovalores não forem distintos podemos reduzir a matriz para uma forma diagonalizada modificada Jordan Obtenha a forma diagonalizada da equação de estado para o sistema do Exemplo 109 Neste caso Com essa matriz obtemos λ1 1 e λ2 2 Logo e a Eq 1074 se torna Igualando os quatro elementos dos dois lados temos 1075a 1075b 1075c 1075d O leitor irá perceber imediatamente que as Eqs 1075a e 1075b são idênticas Similarmente as Eqs 1075c e 1075d são idênticas Logo duas equações podem ser descartadas deixando apenas duas equa ções Eqs 1075a e 1075c e quatro incógnitas Essa observação significa que não existe uma única so lução Existe na verdade um número infinito de soluções Podemos associar qualquer valor a p11 e p21 para CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 819 Considere o sistema Iremos assumir que λ1 λ2 λN os autovalores de A são distintos sem raízes repetidas Vamos transformar o vetor de estado q em um novo vetor de estado z usando a transformação 1073a então após o desenvolvimento da Eq 1068c temos 1073b Procuramos uma transformação tal que PAP 1 seja a matriz diagonal Λ dada pela Eq 1072 ou seja 1073c Logo 1074a ou 1074b Conhecemos Λ e A Logo a Eq 1074b pode ser resolvida para determinarmos P EXEMPLO 1010 820 SINAIS E SISTEMAS LINEARES obtermos uma possível solução Se p11 k1 e p21 k2 então a partir das Eqs 1075a e 1075c temos p12 k12 e p22 k2 1075e Podemos associar quaisquer valores a k1 e k2 Por conveniência iremos fazer k1 2 e k2 1 Essa substi tuição resulta em 1075f As variáveis transformadas Eq 1073a são 1076 Portanto as novas variáveis de estado z1 e z2 são relacionadas com q1 e q2 pela Eq 1076 A equação do sistema com z como vetor de estado é dada por veja a Eq 1073c na qual Logo 1077a ou 1077b Note a natureza distinta dessas equações de estado Cada equação de estado utiliza apenas uma variável e portanto pode ser resolvida por ela mesma Uma equação de estado genérica possui a derivada de uma variável de estado igual à combinação linear de todas as outras variáveis de estado Isso não ocorre quando utilizamos a matriz diagonalizada Λ Cada variável de estado zi é escolhida de tal forma que ela fique desa coplada das demais variáveis Assim um sistema com N autovalores é dividido em N sistemas desacopla dos cada um com uma equação na forma Esse fato também pode ser facilmente observado na Fig 107a a qual é a realização do sistema represen tado pela Eq 1077 Por outro lado considere as equações de estado originais veja a Eq 1070a Se entretanto quisermos que as equações de estado estejam na forma diagonalizada tal como na Eq 1030a na qual todos os elementos da matriz Bˆ são unitários existe uma única solução A razão é que a equação Bˆ PB na qual todos os elementos de Bˆ são unitário impõe restrições adicionais No exemplo atual essa condição irá resultar em p11 12 p12 14 p21 13 e p22 13 A relação entre z e q é então CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 821 A realização dessas equações está mostrada na Fig 107b Pode ser visto na Fig 107a que os estados z1 e z2 são desacoplados enquanto que os estados q1 e q2 Fig 107b estão acoplados Deve ser ressaltado que a Fig 107a e 107b são realizações do mesmo sistema Figura 107 Duas realizações de um sistema de segunda ordem Neste caso temos apenas as equações de estado simuladas As saídas não estão mostradas As saídas são combinações lineares das va riáveis de estado e entradas Logo a equação de saída pode ser facilmente incorporada nesses diagramas EXEMPLO DE COMPUTADOR C105 Repita o Exemplo 1010 usando o MATLAB Cuidado P e Bˆ não são únicas Portanto e Investigue a controlabilidade e observabilidade dos sistemas da Fig 108 Figura 108 822 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 105 CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE Considere a seguinte descrição de espaço de estado diagonalizada de um sistema 1078a e 1078b Iremos presumir que todos os N autovalores λ1 λ2 λN são distintos As equações de estado 1078a são da forma Se bˆ m1 bˆ m2 bˆ mj a mésima linha da matriz Bˆ são iguais a zero então e a variável zm é não controlável porque zm não estará acoplada a nenhuma entrada Além disso zm estará desa coplada de todas as demais N 1 variáveis de estado devido à natureza diagonalizada das variáveis Logo não existe acoplamento direto ou indireto de zm com qualquer entrada e o sistema será não controlável Por outro la do se ao menos um elemento da mésima linha de Bˆ for diferente de zero zm estará acoplado ao menos com uma entrada e portanto será controlável Logo um sistema com um estado diagonalizado Eqs1078 é completa mente controlável se a matriz Bˆ não possuir uma linha de elementos iguais a zero As saídas Eqs 1078b são da forma Se cˆim 0 então o estado zm não irá aparecer na expressão de yi Como todos os estados são desacoplados devido à natureza diagonalizada das equações o estado zm não pode ser observado diretamente ou indiretamente através dos outros estados na saída yi Logo o mésimo modo e λmt não será observado na saída yi Se cˆ1m cˆ2m cˆxm a mésima coluna da matriz Cˆ são iguais a zero o estado zm não será observável em nenhuma das k saídas e o estado zm será não observável Por outro lado se ao menos um elemento da mésima coluna de Cˆ for diferente de zero zm é observável ao menos em uma saída Portanto um sistema com equações diagonalizadas na forma da Eq 1078 é completa mente observável se e somente se a matriz Cˆ não possuir uma coluna de elementos nulos Nesta discussão presumi mos autovalores distintos Para autovalores repetidos o critério modificado por ser encontrado na literatura 12 Se a descrição em espaço de estado não estiver na forma diagonalizada ela pode ser convertida na forma dia gonalizada usando o procedimento do Exemplo 1010 Também é possível testar a controlabilidade e observabi lidade mesmo se a descrição no espaço de estados estiver na forma não diagonalizada 12 EXEMPLO 1011 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 823 Figura 108 Continuação Nos dois casos as variáveis de estados são identificadas como sendo as saídas dos dois integradores q1 e q2 As equações de estado para o sistema da Fig 108a são 1079 e Logo Portanto e 1080 Iremos utilizar o procedimento da Seção 1041 para diagonalizarmos esse sistema De acordo com a Eq 1074b temos A solução para essa equação é Escolhendo p11 1 e p21 1 temos e 1081a 824 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Todas as linhas de são diferentes de zero logo o sistema é controlável Além disso 1081b e 1081c A primeira coluna de Cˆ é zero Dessa forma o modo z1 correspondente a λ1 1 é não observável O sis tema é portanto controlável mas não observável Chegamos a essa mesma conclusão realizando o sistema com variáveis de estado diagonalizadas z1 e z2 cujas equações de estado são De acordo com as Eqs 1080 e 1081 temos e A Fig 109a mostra a realização dessas equações Fica claro que os dois modos são controláveis mas o primeiro modo correspondente a λ1 1 é não observável na saída As equações de estado para o sistema da Fig 108b são 1082 Figuras 109 Equivalentes dos sistemas da Fig 108 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 825 e Logo tal que λ1 1 e λ2 1 e 1083 Diagonalizando a matriz temos A solução para essa equação resulta em p11 p12 e p22 0 Escolhendo p11 1 e p21 1 obtemos e 1084a 1084b A primeira linha de Bˆ é zero Logo o modo correspondente a λ1 1 não é controlável Entretanto como nenhuma das colunas de Cˆ é nula os dois modos são observáveis na saída Dessa forma o sistema é obser vável mas não controlável Obtemos a mesma conclusão realizando o sistema com as variáveis de estado diagonalizadas z1 e z2 As duas equações de estado são A partir das Eqs 1083 e 1084 temos e portanto 1085 A Fig 109b mostra a realização dessas equações Claramente os dois modos são observáveis na saída mas o modo correspondente a λ1 1 não é controlável 826 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO DE COMPUTADOR C106 Repita o Exemplo 1011 usando o MATLAB a Sistema da Fig 108b Como todas as linhas de Bhat Bˆ são diferentes de zero o sistema é controlável Entretanto uma colu na de Chat Cˆ é zero logo um modo é não observável b Sistema da Fig 108b Uma das linhas de Bhat Bˆ é zero logo um modo é não controlável Como todas as colunas de Chat Cˆ são diferentes de zero o sistema é observável 1051 Incapacidade da Descrição por Função de Transferência de um Sistema O Exemplo 1011 demonstra a incapacidade da função de transferência em descrever um sistema LIT genérico Os sistemas da Fig 108a e 108b possuem a mesma função de transferência Mesmo assim os dois sistemas são diferentes Sua verdadeira natureza é revelada na Fig 109a e 109b res pectivamente Os dois sistemas são instáveis mas suas funções de transferência Hs 1s 1 não dão uma única dica disso E os sistemas são diferentes do ponto de vista de controlabilidade e observabilidade O siste ma da Fig 108a é controlável mas não observável enquanto que o sistema da Fig 108b é observável mas não controlável A descrição por função de transferência de um sistema olha para o sistema apenas dos terminais de entrada e saída Conseqüentemente a descrição por função de transferência pode especificar apenas a parte do sistema que acopla os terminais de entrada aos terminais de saída A partir da Fig 109a e 109b vemos que nos dois ca sos apenas a parte do sistema que possui função de transferência Hs 1s 1 acopla a entrada à saída Es se é o motivo pelo qual os dois sistemas possuem a mesma função de transferência Hs 1s 1 A descrição por variável de estado Eqs 1079 e 1082 por outro lado contém toda a informação sobre esses sistemas descrevendoos completamente A razão é que a descrição por variáveis de estado é uma descri ção interna e não a descrição externa obtida do comportamento do sistema nos terminais externos Aparentemente a função de transferência falha ao descrever completamente esses sistemas pois as fun ções de transferência desses sistemas possuem um fator comum s 1 no numerador e no denominador Esse CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 827 fator comum é cancelado no sistema na Fig 108 com a conseqüente perda de informação Tal situação ocor re quando um sistema é não controlável ou não observável Se um sistema for tanto controlável quanto obser vável o qual é o caso na maioria dos sistemas práticos a função de transferência descreverá completamen te o sistema Em tais casos as descrições interna e externa são equivalentes 106 ANÁLISE POR ESPAÇO DE ESTADOS DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO Mostramos que uma equação diferencial de ordem N pode ser descrita em termos de N equações diferenciais de primeira ordem No procedimento análogo a seguir veremos que uma equação diferença genérica de ordem N pode ser descrita em termos de N equações diferença de primeira ordem Considere a função de transferência em z 1086a A entrada xn e a saída yn desse sistema estão relacionadas pela equação diferença 1086b A realização na FDII dessa equação está apresentada na Fig 1010 Os sinais que aparecem nas saídas dos N elementos de atraso são representadas por q1n q2n qNn A entrada do primeiro atraso é qNn 1 Pode mos escrever N equações uma para cada entrada de cada atraso 1087 e Podemos eliminar qN 1n dessa equação usando a última equação do conjunto 1087 obtendo 1088 na qual bˆi bi b0ai As Eqs 1087 são N equações diferença de primeira ordem com N variáveis q1n q2n qNn Essas va riáveis são imediatamente reconhecidas como variáveis de estado pois a especificação dos seus valores iniciais na Fig 1010 irá determinar unicamente a resposta yn para um dado xn Portanto as Eqs 1087 represen tam as equações de estado e a Eq 1088 é a equação de saída Na forma matricial podemos escrever essas equações por 1089a 828 SINAIS E SISTEMAS LINEARES e 1089b Em geral 1090a 1090b Neste caso representamos um sistema em tempo discreto com equações de estado para a forma FDII Exis tem várias outras possíveis representações como discutido na Seção 102 Podemos por exemplo utilizar a for ma em cascata paralela ou a transposta da FDII para realizar o sistema ou então podemos utilizar alguma transformação linear do vetor de estado para realizar outras formas Em todos os casos a saída de cada elemen to de atraso é uma variável de estado Escrevemos então a equação da entrada de cada elemento de atraso As N equações obtidas são as N equações de estado 1061 Solução no Espaço de Estados Considere a equação de estado 1091 A partir dessa equação temos que 1092a Figura 1010 Realização na forma direta II de um sistema em tempo discreto de ordem N CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 829 e 1092b 1092c Substituindo a Eq 1092b na Eq 1092a obtemos Substituindo a Eq 1092c nessa equação temos Continuando dessa forma obtemos 1093a O limite superior do somatório da Eq 1093a é não negativo Logo n 1 e o somatório é reconhecido co mo a soma de convolução Conseqüentemente 1093b e 1094a 1094b Na Seção B65 mostramos que 1095a na qual assumindo N autovalores distintos de A 1095b e λ1 λ2 λN são os N autovalores de A Também podemos determinar A n pela fórmula da transformada z a qual será obtida posteriormente na Eq 10102 1095c 830 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Dada a descrição por espaço de estados do sistema da Fig 1011 Obtenha a saída yn se a entrada for xn un e as condições iniciais forem q10 2 e q20 3 Figura 1011 Reconhecendo que q2n q1n 1 as equações de estados são veja a Eq 1089 1096a e 1096b Para determinar a solução Eq 1094 devemos primeiro determinar A n A equação característica de A é Logo λ1 13 e λ2 12 são os autovalores de A e veja a Eq 1095a na qual veja a Eq 1095b e 1097 EXEMPLO 1012 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 831 Podemos agora determinar o vetor de estados qn a partir da Eq 1093b Como estamos interessados na saída yn iremos utilizar a Eq 1094 diretamente Note que 1098 e a resposta de entrada nula é CA nqn com Logo a resposta de entrada nula é 1099a A componente de estado nulo é dada pela soma de convolução de CA n 1un 1 com Bxn Pode mos utilizar a propriedade de deslocamento da soma de convolução Eq 946 para obtermos a com ponente de estado nulo através da determinação da soma de convolução de CA n un e Bxn e então substituindo n por n 1 no resultado Utilizamos esse procedimento porque as somas de convolução estão listadas na Tabela 31 para funções do tipo xnun em vez de xnun 1 Usando a Tabela 31 par 4 obtemos A resposta desejada estado nulo é obtida substituindo n por n 1 logo 1099b Dessa forma temos 10100a Essa é a resposta procurada Podemos simplificar essa resposta observando que 12 63 n 182 n 0 para n 0 Logo un 1 pode ser substituído por un na Eq 1099b e 10100b EXEMPLO DE COMPUTADOR C107 Utilize o MATLAB para obter uma solução gráfica do Exemplo 1012 832 SINAIS E SISTEMAS LINEARES EXEMPLO DE COMPUTADOR C108 Utilize o MATLAB para traçar a resposta de estado nulo do sistema do Exemplo 1012 Similar ao Exemplo de Computador C107 também é possível calcular a saída usando Figura C108 Figura C107 Utilize a transformada z para obter a resposta yn do sistema do Exemplo 1012 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 833 1062 Solução pela Transformada z A transformada z da Eq 1091 é dada por Portanto e 10101a Logo 10101b Comparando a Eq 10101b com a Eq 1093b observamos que 10102 A equação de saída é dada por 10103a na qual 10103b Note que Hz é a matriz de função de transferência do sistema e Hijz o ijésimo elemento de Hz é a fun ção de transferência que relaciona a saída yin com a entrada xjn Se definirmos hn por então hn representa a matriz de resposta à função impulso do sistema Logo hijn o ijésimo elemento de hn representa a resposta yin de estado nulo quando a entrada é xjn δn e todas as demais entradas são nulas EXEMPLO 1013 834 SINAIS E SISTEMAS LINEARES TRANSFORMAÇÃO LINEAR CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE O procedimento para transformação linear é semelhante ao utilizado no caso em tempo contínuo Seção 104 Se w é o vetor de estado transformado dado por então e A controlabilidade e observabilidade podem ser investigadas diagonalizando a matriz como explicado na Se ção 1041 107 RESUMO Um sistema de ordem N pode ser descrito em termos de N variáveis chave as variáveis de estado do siste ma As variáveis de estado não são únicas pelo contrário elas podem ser selecionadas por diversas formas Cada possível saída do sistema pode ser descrita como a combinação linear das variáveis de estado e das en tradas Portanto as variáveis de estados descrevem todo o sistema não somente a relação entre certas entra das e saídas Por essa razão a descrição por variáveis de estados é uma descrição interna do sistema Tal descrição é portanto a descrição mais geral do sistema e contém a informação das descrições externas tais como resposta ao impulso e função de transferência A descrição por variável de estado também pode ser es tendida para sistemas com parâmetros variantes no tempo e sistemas não lineares Uma descrição externa de um sistema pode não caracterizar completamente o sistema As equações de estado de um sistema podem ser escritas diretamente do conhecimento da estrutura do siste ma das equações do sistema ou da representação em diagrama de blocos do sistema As equações de estado são constituídas de um conjunto de N equações diferenciais de primeira ordem e podem ser resolvidas pelos méto dos no domínio do tempo ou no domínio da freqüência Existem procedimentos adequados para transformar um dado conjunto de variáveis de estado em outro conjunto Como o conjunto de variáveis de estado não é único De acordo com a Eq 10103a Portanto CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 835 podemos ter uma quantidade infinita de descrições em espaço de estados para o mesmo sistema A utilização de uma transformação apropriada nos permite ver claramente quais dos estados do sistema são controláveis e quais são observáveis REFERÊNCIAS MATLAB Seção 10 Toolboxes e Análise por Espaço de Estados As seções anteriores do MATLAB forneceram uma introdução abrangente do ambiente básico do MATLAB Entretanto o MATLB também oferece uma grande quantidade de toolboxes que executam tarefas especiali zadas Uma vez instalado as funções do toolbox funcionam de forma igual às funções ordinárias do MA TLAB Apesar de os toolboxes serem comprados representando um curso extra eles economizam tempo e oferecem funções convenientes e prédefinidas Seria necessário um grande esforço para duplicar a funciona lidade de um toolbox através da adição de programas definidos pelo usuário Três toolboxes são particularmente apropriados para o estudo de sinais e sistemas o toolbox de sistemas de controle control system o toolbox de processamento de sinais signal processing e o toolbox de matemática simbólica symbolic math As funções destes toolboxes já foram utilizadas ao longo do texto nos Exemplos de Computador e em certos problemas Esta seção é utilizada para uma introdução mais formal de uma seleção de funções tanto padrões quanto de toolboxes que são apropriadas para problemas em espaço de estados M101 Soluções pela Transformada z de Sistemas em Espaço de Estados em Tempo Discreto Tal como em sistemas em tempo contínuo geralmente é mais conveniente resolver sistemas em tempo discreto no domínio da transformada em vez do domínio do tempo Tal como no Exemplo 1012 considere a descrição no espaço de estados do sistema mostrado na Fig 1011 e Estamos interessados na saída yn em resposta à entrada xn un com condições iniciais q10 2 e q20 3 Para descrever esse sistema as matrizes de estado A B C e D são inicialmente definidas Além disso o vetor de condições iniciais é definido No domínio da transformada a solução da equação de estado é M101 A solução é separada em duas partes a componente de entrada nula e a componente de estado nula O toolbox de matemática simbólica do MATLAB possibilita a representação simbólica da Eq M101 Ini cialmente a variável simbólica z precisa ser definida O comando sym é utilizado para construir variáveis objetos e números simbólicos Digitar whos confirma que z é de fato um objeto simbólico O comando syms é um atalho para a construção de objetos simbólicos Por exemplo syms z s é equivalente às duas instruções 836 SINAIS E SISTEMAS LINEARES A seguir a expressão simbólica para Xz precisa ser construída para a entrada em degrau unitário xn un A transformada z é calculada através do comando ztrans Vários comentários são necessários Primeiro o comando ztrans assume um sinal causal Para n 0 un possui um valor constante igual a um Segundo o argumento de ztrans precisa ser uma expressão simbólica mesmo se a expressão for constante Portanto um número um simbólico obtido por sym1 é necessário Além disso note que sistemas em tempo contínuo utilizam transformadas de Laplace no lugar de transformadas z Em tais casos o comando laplace substitui o comando ztrans A construção de Qz é agora trivial Infelizmente nem todas as funções do MATLAB funcionam com objetos simbólicos Mesmo assim o tool box de simbólico redefine várias funções padrões do MATLAB tais como inv para trabalhar com objetos sim bólicos Lembrese de que as funções redefinidas possuem nomes idênticos mas comportamento diferente a se leção da função apropriada é tipicamente determinada pelo contexto A expressão de Q é de alguma forma incômoda O comando simplify utiliza várias técnicas algébricas pa ra simplificar o resultado A expressão resultante é matematicamente equivalente à original mas com uma notação mais compacta Como D 0 a saída Yz é dada por Yz CQz A expressão correspondente no domínio do tempo é obtida usando o comando da transformada z inversa iztrans Tal como ztrans iztrans assume um sinal causal de tal forma que o resultado é implicitamente multi plicado pelo degrau unitário Ou seja a saída do sistema é yn 12 312 n 213 nun a qual é equiva lente a Eq 10100b obtida no Exemplo 1012 Sistemas em tempo contínuo utilizam a transformada inversa de Laplace em vez da transformada z inversa Em tais casos o comando ilaplace substitui o comando iztrans Seguindo um procedimento similar é muito fácil calcular a resposta de entrada nula y0n A resposta de estado nulo é dada por A digitação de iztranssimplifyCinvzeye2ABX produz o mesmo resultado As funções de gráfico do MATLAB tais como plot e stem não suportam diretamente expressões simbóli cas Entretanto utilizando o comando subs podemos facilmente substituir uma variável simbólica por um ve tor de valores desejados CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 837 A Fig M101 mostra o resultado o qual é equivalente aos resultados obtidos usando o programa CE107 Apesar de existirem comandos para traçar gráficos no toolbox de matemática simbólica tais como ezplot que traça uma expressão simbólica essas rotinas de gráfico não possuem a flexibilidade necessária para traçar satis fatoriamente funções em tempo discreto M102 Funções de Transferência a partir de Representações por Espaço de Estados Uma função de transferência de um sistema fornece uma abundância de informações úteis A partir da Eq 10103b a função de transferência para o sistema descrito no Exemplo 1012 é Também é possível determinar os coeficientes do numerador e denominador da função de transferência a partir do modelo em espaço de estados usando a função ss2tf do toolbox de processamento de sinais O denominador de Hz fornece o polinômio característico De forma equivalente o polinômio característico é o determinante de zI A Neste caso o comando subs substitui a variável simbólica z pela variável simbólica gamma desejada O comando roots não trabalha com expressões simbólicas Portanto o comando sym2poly converte a expressão simbólica em um vetor de coeficientes polinomiais adequado para o comando root Determinando a transformada z inversa de Hz obtemos a resposta ao impulso hn Como sugerido pelas raízes características os modos característicos do sistema são 12 n e 13 n Observe que o toolbox de matemática simbólica representa δn por charfnc0n Em geral δn a é representado por charfncan Essa notação é freqüentemente encontrada Considere por exemplo atrasar a entrada xn Figura M101 Saída yn calculada usando o toolbox de matemática simbólica 838 SINAIS E SISTEMAS LINEARES un por 2 resultando em xn 2 un 2 No dominio da transformada isso é equivalente a z Xz Ob tendo a transformada z inversa de z Xz temos iztransz2 X ans charfcn1 ncharfcn0 n1 Ou seja o MATLAB representa a funcao degrau unitdrio atrasada un 2 por dn 1 6n 0 1un A fungao de transferéncia também permite 0 calculo da resposta de estado nulo iztrans HX ans 18 12 n6 13 n12 M103 Controlabilidade e Observabilidade de Sistemas em Tempo Discreto Na questao de controlabilidade e observabilidade sistemas em tempo discreto so andlogos a sistemas em tempo continuo Por exemplo considere 0 sistema LDIT descrito pela equag4o diferencga com coeficientes constantes yn 2yn 1 yn 2 xn xn 1 A Fig M102 ilustra a realizagao pela forma direta II FDII desse sistema A entrada do sistema é xn a sai da o sistema yn e as saida dos blocos de atraso sao consideradas como as variaveis de estado qgn e qn As equac6es de estado e de saida correspondentes veja 0 Prob 10M1 sao qiln 1 O 1 Jaitn 0 Qin 1 3 xn AQn Bxn gin 1 se ele I e vin 2 21 etn CQIn Del 6 qn Para descrever esse sistema no MATLAB as matrizes de estado A B C e D sido inicialmente definidas A 0 116 56 B 0 1 C 16 13 D1 Para avaliar a controlabilidade e observabilidade desse sistema a matriz de estado A precisa ser diagonaliza da Como mostrado na Eq 1074b isso requer uma matriz P de transformacio tal que PA AP M102 na qual A é a matriz diagonal contendo os autovalores distintos de A Lembrese de que a matriz P de transfor macao nao é unica ni Qin 2 qin 6 Figura M102 Realizacao na forma direta II de yn 56yn 1 1yn 2 xn 12xn 1 Essa abordagem requer que a matriz de estado A possua autovalores distintos Sistemas com raizes repetidas requerem que a matriz de estado A seja modificada em uma forma diagonal modificada também chamada de forma de Jordan A fungéo j ordan do MATLAB é utilizada nesses casos CapiTuLO 10 ANALISENO Espaco DE Estapos 839 Para determinar a matriz P é interessante rever o problema de autovalores Matematicamente a decomposi cao em autovaloresautovetores de A é descrita por AVVA M103 na qual V é a matriz de autovetores de A é a matriz diagonal de autovalores Pré e pésmultiplicando os dois la dos da Eq M103 por V resulta em VAVV VVAV Simplificando temos VIAAV M104 Comparando as Eqs M102 e M104 vemos que uma matriz P de transformacgao adequada é dada pela inversa da matriz de autovetores vi O comando eig utilizado para verificar que A possui autovalores distintos além de calcular a matriz V de autovetores necessaria VLambda eigA V 09487 08944 03162 04472 Lambda 03333 0 0 05000 Como os elementos da diagonal de Lambda sio distintos a matriz de transformagao P é dada por P invV As matrizes de estado transformadas A PAP B PB e CCP sao facilmente calculadas usando a ma triz P de transformagao Observe que a matriz D permanece inalterada pela transformagao de variaveis de estado Ahat PAinvP Bhat PB Chat CinvP Ahat 03333 00000 00000 05000 Bhat 63246 67082 Chat 00527 00000 A operaciio adequada de P é verificada pela diagonalizaciio correta de A A A Como nenhuma linha de B nula o sistema é controlavel Entretanto como uma coluna de C é zero 0 sistema é nao observavel Essas ca racteristicas n4o sao coincidéncias A realizagaéo FDII a qual é de forma mais descritiva chamada de forma ca nOdnica do controlador é sempre controlavel mas nem sempre observavel Como um segundo exemplo considere 0 mesmo sistema realizado usando a transposta da forma direta II TFDID mostrada na Fig M103 A entrada do sistema é xn a saida do sistema é yn e as saidas dos blocos de atraso sao as varidveis de estado vn e vn As equacées de estado e saida correspondentes veja o Prob 10M2 sao 1 1 vila 1 0 6 Juiln 6 Vin1 xfn AVIn Bxn vlna 1 1 8 voted 2 e vin yin 0 1 in Ixn CVn Dxn U2nN 840 SrNals E SISTEMAS LINEARES xin 7 via vain 1 a S vi n L 6 Figura M103 Realizacao pela transposta da forma direta II de yn 56yn 1 16yn 2 xn 12xn 1 Para descrever esse sistema no MATLAB inicialmente definimos as matrizes A B C e D A 0 161 56 B 16 13 C 0 1 De1 Para diagonalizar A a matriz P de transformac4o é criada VLambda eigA V 04472 03162 08944 09487 Lambda 03333 0 0 05000 Os modos caracteristicos do sistema nao dependem da implementagao logo os autovalores das realizacgdes FDII e TFDII sao os mesmos Entretanto os autovetores das duas realizagdes sao bem diferentes Como a ma triz P de transformagao depende dos autovetores realizag6es diferentes iréo possuir caracteristicas de observa bilidade de controlabilidade diferentes n Usando a matriz P de transformacio as matrizes de estado transformadas A PAP B PBe C CP sao calculadas P invV Ahat PxAxinvP Bhat PB Chat CxinvP Ahat 03333 0 00000 05000 Bhat 03727 00000 Chat 08944 09487 Novamente a operaiio adequada de P é verificada pela correta diagonalizacio de A A A Como nenhu ma coluna de C é nula o sistema é observavel Entretanto ao menos uma linha de Bé nula e portanto o sis tema é nao controlavel A realizagéo TFDII a qual é de forma mais descritiva chamada de forma canénica do observador é sempre observavel mas nem sempre controlavel E interessante notar que as propriedades de controlabilidade e observabilidade sao influenciadas pela realizagao particular do sistema M104 Potenciacao de Matriz e a Exponencial de Matriz A potenciac4o de matriz é importante em diversos problemas incluindo a solugdo de equagdes de espaco em tempo discreto A Eq 1093b por exemplo mostra que a resposta do estado necessita de uma potenciacao de CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 841 matriz A n Para uma matriz quadrada A e um n específico o MATLAB retorna A n através do operador A par tir do sistema do exemplo 1012 e n 3 temos O mesmo resultado também é obtido digitando AAA Geralmente é útil resolver A n simbolicamente Observando que A n 1I z 1A 1 o toolbox simbólico pode produzir uma expressão simbólica para A n Observe que esse resultado é idêntico à Eq 1097 obtida anteriormente A substituição do caso n 3 em An fornece um resultado idêntico ao obtido com o comando An utilizado anteriormente Para sistemas em tempo contínuo a exponencial de Matriz e At geralmente é necessária O comando expm pode calcular a exponencial da matriz simbolicamente Usando o sistema do exemplo 107 temos Esse resultado é idêntico ao resultado apresentado pela Eq 1060 Similar ao caso em tempo discreto um resultado idêntico é obtido digitando syms s simplifyilaplaceinvseye2A Para um t específico a exponencial de matriz também é facilmente calculada seja por substituição ou mani pulação direta Considere o caso de t 3 O comando expmA3 produz o mesmo resultado P R O B L E M A S 1011 Converta cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem em um con junto de equações diferenciais de primeira ordem equações de estado Informe qual desses conjuntos representa equações não lineares 1021 Escreva as equações de estado para o circuito RLC da Fig P1021 1022 Escreva as equações de estado e saída para o circuito da Fig P1022 1023 Escreva as equações de estado e de saída para o circuito da Fig P1023 1024 Escreva as equações de estado e de saída para o circuito elétrico da Fig P1024 1025 Escreva as equações de estado e de saída para o circuito da Fig P1025 1026 Escreva as equações de estado e de saída para o sistema mostrado na Fig P1026 842 SINAIS E SISTEMAS LINEARES Figura P1021 Figura P1022 Figura P1023 Figura P1024 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 843 Figura 1025 Figura 1026 1027 Escreva as equações de estado e de saída para o sistema mostrado na Fig P1027 Figura P1027 1028 Para um sistema especificado pela função de transferência escreva o conjunto de equações de estado para a realização pela FDII sua transposta forma em cascata e forma em paralelo Além disso escreva as equações correspondentes de saída 1029 Repita o Prob 1028 para 1031 Obtenha o vetor de estado qt usando o méto do da transformada de Laplace se na qual 1032 Repita o Prob 1031 para 1033 Repita o Prob 1031 para 1034 Repita o Prob 1031 para 1035 Utilize o método da transformada de Laplace para obter a resposta y para na qual e 844 SINAIS E SISTEMAS LINEARES 1036 Repita o Prob 1035 para 1037 A função de transferência Hs no Prob 102 8 é realizada como a cascata de H1s seguida por H2s na qual Sejam as saídas desses subsistemas as variá veis de estado q1 e q2 respectivamente Escre va as equações de estado e a equação de saída para esse sistema e verifique que Hs 1038 Determine a matriz Hs de função de transfe rência para o sistema do Prob 1035 1039 Determine a matriz Hs de função de transfe rência para o sistema do Prob 1036 10310 Determine a matriz Hs de função de transfe rência para o sistema na qual 10311 Repita o Prob 1031 usando o método do do mínio do tempo 10312 Repita o Prob 1032 usando o método do do mínio do tempo 10313 Repita o Prob 1033 usando o método do do mínio do tempo 10314 Repita o Prob 1034 usando o método do do mínio do tempo 10315 Repita o Prob 1035 usando o método do do mínio do tempo 10316 Repita o Prob 1036 usando o método do do mínio do tempo 10317 Determine a matriz ht de resposta ao impul so unitário para o sistema do Prob 1037 usando a Eq 1065 10318 Determine a matriz ht de resposta ao impul so unitário para o sistema do Prob 1036 10319 Determine a matriz ht de resposta ao impul so unitário para o sistema do Prob 10310 1041 As equações de estado de um certo sistema são dadas por Defina um novo vetor de estado w tal que Determine as equações de estado do sistema com w como sendo o vetor de estado Deter mine as raízes características autovalores da matriz A nas equações de estado original e transformada 1042 As equações de estado de um certo sistema são a Determine um novo vetor w em termos do vetor q tal que as equações de estado re sultantes estejam na forma diagonalizada b para a saída y dada por na qual determine a saída y em termos do novo vetor de estado w 1043 Dado um sistema Determine um novo vetor w tal que as equa ções de estado sejam diagonalizadas CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 845 1044 As equações de estado de um certo sistema são dada na forma diagonalizada por A equação de saída é dada por Determine a saída y para 1051 Escreva as equações de estado para o sistema mostrado na Fig P1051 Determine um no vo vetor w tal que as equações de estado re sultantes estejam na forma diagonalizada Es creva a saída y em termos de w Determine em cada caso se o sistema é controlável e ob servável Figura 1051 1061 Um sistema LIT em tempo discreto é especi ficado por e a Determine a saída yn usando o método do domínio do tempo b Determine a saída yn usando o método do domínio da freqüência 1062 Um sistema LIT em tempo discreto é especi ficado pela equação diferença a Mostre as realizações desse sistema pela FDII sua transposta cascata e paralela b Escreva as equações de estado e saída a partir dessas realizações usando a saída de cada elemento de atraso como variável de estado 1063 Repita o Prob 1062 para 10M1 Verifique as equações de estado e saída para o sistema LDIT mostrado na Fig M102 10M2 Verifique as equações de estado e saída para o sistema LDIT mostrado na Fig M103 A Abscissa de convergência 312 Aceleração angular 117 Adição de matrizes 50 de números complexos 2627 de senóides 3135 Aditividade 102104 Álgebra de números complexos 2030 matriz 5054 Algoritmo de decimação na freqüência 719723 Algoritmo de decimação no tempo 719723 Aliasing 483485 688694 704 721723 condição geral em senóides 692694 definição 483 traição do 688691 verificação de em senóides 691692 Amortecedor linear 115116 torsional ou de torsão 116 117 Amostragem 678737 espectral 665667 699702 prática 681685 propriedades da 9495 126 reconstrução do sinal e 685697 Veja também Transformada Discreta de Fourier Transfor mada rápida de Fourier Amostras de Nyquist 679680 691692 Amplificadores de malha direta 374401 Amplificadores nãoinversores 354355 Amplificadores operacionais 354355 369373 417418 Amplitude 30 Análise no domínio da freqüência 307 340342 632634 740741 da série de Fourier 532533 535536 de circuitos elétricos 345350 Veja também Transformada de Laplace visão bidimensional e 641642 Análise no domínio do tempo 632634 da interpolação 685688 da série de Fourier 532533 535536 de sistemas discretos no tempo 224306 de sistemas em tempo contínuo 145223 solução de equação de estado no 808814 visão bidimensional 641642 Análise no plano de fase 124125 791792 Análise por espaço de estado 791845 controlabilidadeobservabilidade em 821827 833834 de sistemas em tempo discreto 826837 no MATLAB 834842 Ângulos calculadoras eletrônicas na determinação de 2227 valor principal de 2425 Arquivos M 208214 função 209211 script 208211 Ars Magna Cardano 1720 Atraso de envelope Veja Atraso de grupo Atraso de grupo 635638 768769 Atraso de tempo variação com a freqüência 635 Atraso ideal 342343 384385 Atraso unitário 466469 Autofunções 182183 Autovalores Veja Raízes características Autovetores 55 B Bhaskar 1718 Bôcher M 552553 Bombelli Raphael 1920 Bonaparte Napoleão 322323 544545 C Caixa preta 100101 119121 Calculadoras eletrônicas 2227 Camadas da atmosfera de KennellyHeaviside 323324 Cardano Gerolamo 1720 Casamento de impulso 157159 Circuito SallenKey 354355 423 Circuitos ativos 354357 Circuitos RLC 791796 Código binário natural CBN 697698 Coeficiente de amortecimento 115116 Compact disc CD 697698 Condição de dominância 341342 Condições auxiliares 147148 e equação diferença 278 e solução da equação diferencial 154155 185186 189 192193 Condições de Dirichlet 545547 604 Condições iniciais 101103 311312 em 0 e 0 336338 geradores de 347349 sistemas em tempo contínuo e 152155 solução clássica e 187188 Condições internas resposta de sistema em tempo contínuo a 145156 resposta de sistema em tempo discreto a 224256 Conexão de realimentação 365366 Conjugação 602603 617 Conjunto ortonormal 572573 Constante de tempo de exponenciais 3537 de sistemas em tempo contínuo 199204 207208 dispersão de pulso e 202203 filtragem e 201203 taxa de transmissão de informação e 202204 tempo de subida e 201 Constantes 61 9697 126 388 ÍNDICE 848 ÍNDICE Controlabilidadeobservabilidade 120124 126127 de sistemas em tempo contínuo 194197 207208 de sistemas em tempo discreto 284285 837841 na análise por espaço de estados 821827 833834 Convergência abscissa de 312 da série de Fourier 545547 para a média 545547 região de Veja Região de convergência Conversão analógico para digital AD 695700 Convolução com um impulso 261262 da transformada de Fourier 627630 da transformada z bilateral 505 em tempo discreto 291293 linear 716717 rápida 716717 773774 tabela de 166167 Convolução circular Veja Convolução periódica Convolução em freqüência da transformada de Fourier 627630 da transformada de Fourier em tempo discreto 763765 da transformada de Laplace 332 da transformada de Laplace bilateral 414415 Convolução no tempo da transformada de Fourier 627630 da transformada de Fourier em tempo discreto 763765 da transformada de Laplace 332 da transformada de Laplace bilateral 414415 da transformada z 457458 Convolução periódica transformada de Fourier em tempo discreto 714717 transformada discreta de Fourier 763764 Cooley J W 719720 Coordenadas polares 2021 Correntes de malha sistema em tempo contínuo e 152156 185 191192 transformada de Laplace e 347348 Critério de invariância ao impulso no projeto de filtro 493494 Critério de PaleyWiener 407408 640 688689 D Décadas 388389 Decibel 388 Decimação 227230 Decomposição 103104 106 145146 Definição de Dirac de um impulso 95 126 Demodulação 626627 da modulação em amplitude 650653 de sinais DSBSC 646649 síncrona 647648 650655 Densidade espectral 605606 Densidade espectral de energia 642643 Descartes René 1718 Descrição de um sistema por espaço de estado 121125 Descrição entradasaída 112119 Descrição externa de um sistema 119121 126127 Descrição interna de um sistema 119121 126127 791 Veja também Descrição de um sistema por espaço de estado Deslocamento da integral de convolução 162164 da soma de convolução 261 da transformada z bilateral 505 de sinais em tempo discreto 226227 Veja também Deslocamento na freqüência Deslocamento no tempo Deslocamento na freqüência da transformada de Fourier 625626 da transformada de Fourier em tempo discreto 760763 da transformada de Laplace 327328 da transformada de Laplace bilateral 413414 da transformada discreta de Fourier 714715 Deslocamento no tempo 8687 125126 da integral de convolução 169 da transformada de Fourier 621622 da transformada de Fourier em tempo discreto 759760 da transformada de Laplace 324326 da transformada de Laplace bilateral 413414 da transformada discreta de Fourier 714715 da transformada z 453457 460461 descrição 8083 Deslocamento para a direita 8182 125126 454456 460462 Deslocamento para a esquerda 8182 125126 455456 460462 Detecção Veja Demodulação Detector de envelope 649653 Diagramas de bloco 357360 374375 469 Diagramas de Bode 386400 de constante 388 pólo de primeira ordem e 389393 pólo de segunda ordem e 391400 pólo na origem e 388390 Diferenciação em freqüência 758759 Diferenciação no tempo da transformada de Fourier 629631 da transformada de Laplace 328330 da transformada de Laplace bilateral 414415 Diferenciadores digital 240241242 ideal 343345 384385 Dirac PAM 9394 Dispersão de pulso 202203 Distorção do sinal 633636 Distorção harmônica 562563 Divisão 2628 Dobramento espectral Veja Aliasing Dualidade 617619 Dualidade tempofreqüência 616617 633634 662 E Efeito de batimento 648649 Efeito de cerca de poste 704 Einstein Albert 323324 Elasticidade de uma mola de torsão 117 de uma mola linear 115116 Eliminação de frações 3941 4546 318319 Energia do sinal 7578 125126 132133 641645 662 Ve ja também Sinais de energia Entrada 75 complexa 168169 265266 constante 189 279 em degrau 376379 em sistemas lineares 102103 exponencial 188189 279281 múltiplas 168169 266 Entrada externa resposta de um sistema em tempo contínuo 160185 resposta de um sistema em tempo discreto 259275 ÍNDICE 849 Entrada senoidal resposta em freqüência e 380385 sistemas em tempo contínuo e 189 201203 sistemas em tempo discreto e 279 Entrada senoidal causal em sistemas em tempo contínuo 385387 em sistemas em tempo discreto 475 Equação cúbica reduzida 61 Equação diferença 242243 245251 condição de causalidade em 246247 formas recursiva e não recursiva de 242243 ordem da 243 relação com equação diferencial 242243 solução clássica de 274281 287288 solução pela transformada z de 442 460468 507508 solução recursiva de 246250 Equação forma normal 793794 Equação integrodiferenciais 334346 417418 442 Equação quadrática 61 Equações características de sistemas em tempo contínuo 147149 de sistemas em tempo discreto 252253 de uma matriz 5557 808809 Equações cúbicas 1720 61 Equações de estado 121125 791793 834835 para o vetor de estado 816 procedimento sistemático para a determinação 793803 solução de 802815 Equações de saída 121124 791 792794 806807 812815 Equações diferenciais 154155 condição de dominância em 341342 relação com equação diferença 242243 solução clássica de 185193 206207 solução pela transformada de Laplace de 334346 Equilíbrio estável 193194 Equilíbrio instável 193194 Equilíbrio neutro 193194 Erro de aliasing 582583 707708 Erro de regime permanente 378381 Escalamento 102104 da transformada de Fourier 620621 662664 da transformada de Laplace 331 Escalamento no tempo 8687 da transformada de Laplace bilateral 414 descrição 8385 Espaço de sinais ortogonais 572574 Espaço de vetores ortogonais 571573 Espalhamento espectral 656660 662663 704 Espectro de amplitude 532533 535536 547549 583584 621622 740741 Espectro de fase 532533 535536 549550 583584 621 622 740741 MATLAB 586590 usando valores principais 623624 Espectro de Fourier 532541 678 de um sinal periódico 740747 exponencial 556562 584 natureza do 748751 Espectro de freqüência 532533 535536 Estabilidade BIBO Veja Estabilidade entrada limitadasaída limitada da transformada de Laplace 343346 da transformada z 467468 de sistemas em tempo contínuo 192198 de sistemas em tempo discreto 245246 280288 marginal Veja Sistemas marginalmente estáveis Estabilidade assintótica Veja Estabilidade interna Estabilidade entrada limitadasaída limitada BIBO 111 112 126127 245246 da transformada de Laplace 344346 da transformada z 467468 de sistemas em tempo contínuo 192198 207208 de sistemas em tempo discreto 280288 474 475 relação de estabilidade interna com 195198 283287 resposta de freqüência e 380383 resposta em regime permanente e 386387 transmissão de sinais e 631632 Estabilidade externa Veja Estabilidade entrada limitadasaída limitada Estabilidade interna 111112 126127 245246 da transformada de Laplace 344346 da transformada z 468 de sistemas em tempo contínuo 194198 204205 207208 de sistemas em tempo discreto 280288 474 475 relação BIBO com 195198 283287 Estados de equilíbrio 193194 Euler Leonhard 1720 Exemplo de conta bancária 237239 Exemplo de diferenciador digital 240242 Exemplo de estimativa de venda 239 Expansão polinomial 420421 Exponenciação de matriz 840842 Exponenciais cálculo da matriz 5658 complexas em tempo discreto 236237 matriz 840842 monotônica 3537 9698 126 senóides descritas por 3435 senóides variantes 3638 9697 126 tempo discreto 232234 Exponenciais de duração infinita série de Fourier e 563564 566 sistemas em tempo contínuo e 179 182185 206207 sistemas em tempo discreto e 273274 287288 transformada de Fourier e 605 transformada de Laplace e 340342 Exposition du Système du monde Laplace 322323 Extensão periódica do espectro de Fourier 740746 propriedades da 8890 F Faixa fundamental 480484 692693 Faixa lateral 655 Faixa lateral dupla portadora suprimida DSBSC modu lação 644655 Faixa lateral inferior LSB 646647 651655 Faixa lateral superior USB 646647 651655 Faixa lateral vestigial VSB 655 Falha da ponte de Tacoma Narrows 205 Fase linear descrição física da 621624 explicação física da 759760 transmissão sem distorção e 635 768769 Fase linear generalizada 637638 Fase linear ideal 635 637638 Fasores 3134 Fatores complexos de Qx 4243 Fatores de primeira ordem método dos 450451 Fatores distintos de Qx 4041 850 ÍNDICE Fatores quadráticos 4244 para a transformada de Laplace 316318 para a transformada z 451 Fatores repetidos de Qs 4445 Fenômeno da ressonância 155156 198200 203205 286287 Fenômeno Gibbs 546547 549553 584587 Filtragem constante de tempo e 201203 MATLAB em 288292 seletiva 654655 transformada discreta de Fourier 716718 Filtros analógico 243244 antialiasing 484485 689692 721723 Chebyshev 404405 424428 corte abrupto 654655 critério de invariância ao impulso de 493494 digital 110111 224225 243244 em tempo contínuo 418428 ideal 639642 662 685691 769771 janelas no projeto de 660 notch 404407 485487 491492 párafaixa 407408 487489 Veja também Filtros Notch passaaltas 407408 487 639640 770771 pólos e zeros de Hs e 400408 práticos 406408 769771 RC em cascata 420421 resposta em freqüência de 380383 resposta finita ao impulso FIR 472473 778782 resposta infinita ao impulso IIR 472473 508516 retentor de ordem zero ROZ 686687 retentor de primeira ordem 686687 Filtros de Butterworth 404405 495798 no MATLAB 421425 transformação de 513515 Filtros de corte agudo 654655 Filtros Notch 404407 485487 491492 Veja também Fil tros párafaixa Filtros passabaixas 407408 487 ideal 639640 685691 769771 pólos e zeros de 659660 Filtros passafaixa 407408 487491 655 768770 e atraso de grupo 635638 ideal 639640 770771 pólos e zeros de Hs 404405 Forma cartesiana 2029 Forma polar 2229 operações aritméticas na 2629 senóides e 3133 Fórmula de derivada 6061 Fórmula de Euler 2021 3435 236237 Fórmula de interpolação 680681 687688 Fourier Barão JeanBaptisteJoseph 543546 Frações 17 eliminação 3941 4546 318319 Frações parciais expansão de 3949 7071 modificado 4749 448450 transformada de Laplace e 315 317319 transformada z e 448450 Freqüência aparente 481482 692694 canto 390391 complexa 9698 corte 201202 de senóides 30 dobra 689693 fundamental 528529 542544 738739 negativa 556558 neperiana 9697 radianos 3031 9697 528529 redução em faixa 481482 variação do atraso de tempo com 635 Freqüências harmonicamente relacionadas 542543 Função de interpolação 607608 Função de porta unitário 606607 Função degrau unitário 9094 de sistemas em tempo discreto 231 operadores relacionais e 128131 Função delta de Kronecker 230231 Função impulso unitário 126 com função generalizada 9597 de sistemas em tempo discreto 230231 287288 propriedades da 9397 Função indicadora Veja Operadores relacionais Função sinc 662664 Função triângulo unitário 606607 Funções característica 182183 contínua 748749 de quadrado de matrizes 5557 exponencial 9698 126 ímpar 97101 126 imprópria 3940 4647 inline 126129 interpolação 607608 MATLAB em 126133 matriz 5557 par 97101 126 própria 3941 racional 3942 314 singularidade 9596 Funções de janela 656660 662663 Funções de transferência da representação por espaço de estado 837838 da resposta em freqüência 400 de sistemas em tempo contínuo 182184 206207 de sistemas em tempo discreto 273274 464468 507508 diagramas de bloco e 357360 equações de estado a partir de 793794 796803 incapacidade para a descrição do sistemas 826827 realização de filtro analógico com 493495 realização de 359370 469471 Funções periódicas espectro de Fourier como 748749 MATLAB e 584587 G Gauss Karl Friedrich 1920 Gibbs Josiah Willard 549550 552553 Gráfico de fluxo de sinal em borboleta 720721 Gráfico de póloszeros 508510 Gráficos de barra 288289 H Hs projeto de filtros e 400408 realização de 493495 Veja também Função de transferência Heaviside Oliver 322324 545 Homogeneidade Veja Escalamento ÍNDICE 851 I Identidades trigonométricas 5860 Impedância 346350 354355 Impulso atrasado 160 Inércia momento de 116 118119 Integração no tempo da transformada de Fourier 629631 da transformada de Laplace 330331 da transformada de Laplace bilateral 414415 Integradores digital 241243 ideal 343344 384386 realização do sistema e 370371 Integral de matrizes 5355 indefinida 5961 Integral de convolução 162163 206207 261 287288 632633 compreensão gráfica da 168180 212214 explicação de uso 179180 propriedades da 162164 Integral de Fourier 632633 em tempo discreto 747757 sinal não periódico 599607 662 Interpolação 685688 de sinais em tempo discreto 227231 espectral 701702 ideal 686688 simples 685687 Interpretação gráfica da integral de convolução 168180 212214 da soma de convolução 266271 Intervalo de amostragem 494798 Intervalo de Nyquist 679681 Inversão freqüência 620621 matriz 5254 Inversão no tempo 620621 J Janela de Bartlett 659660 Janela de Blackman 659660 667 Janela de Kaiser 659660 666667 Janela Hamming 659660 667 Janela Hanning 659660 Janela triangular 656657 Veja também Janela de Bartlett Janelas amortecidas 659660 662663 704 Janelas retangulares 656657 660 662663 667 K Kelvin Lord 323324 L Laços For 210213 Lagrange Luis de 322323 545546 Laplace Marquis PierreSimon de 321323 544546 Largura da integral de convolução 163164 178 da soma de convolução 261262 Largura de faixa 558 e sistemas em tempo contínuo 201204 e transformada de Fourier 609610 620621 662 e truncagem de dados 656659 essencial 644645 663666 Lei de WeberFechner 388 Leibniz Gorrfried Wilhelm 699700 Leis de Kirchhoff 100101 corrente LKC 112 208209 346347 tensão LTK 112 346347 Linearidade conceito de 102104 da transformada de Fourier 604605 719720 da transformada de Fourier em tempo discreto 757 da transformada de Laplace 307308 da transformada de Laplace bilateral 413414 da transformada discreta de Fourier 713714 719720 da transformada z 442443 da transformada z bilateral 505 de sistemas em tempo discreto 244245 M Magnitude logarítmica 388393 Maior fator comum de freqüências 542544 Massa ideal 115116 Massa rotacional Veja Momento de inércia MATLAB análise por espaço de estados no 442409 aplicações de séries de Fourier no 584590 arquivos M no 208215 expansão em frações parciais no 7071 filtros de resposta infinita ao impulso no 508516 filtros em tempo contínuo no 418428 funções no 126133 gráficos simples no 6567 operações de calculadora no 6265 operações elementares no 6271 operações matriciais no 6771 operações vetoriais no 6465 séries e transforma da Fourier em tempo discreto no 775782 sinaissistemas em tempo discreto no 288293 tópicos de transformada de Fourier no 662668 transformada discreta de Fourier no 723730 Matriz nula 49 Matriz unitária 49 Matrizes 4858 álgebra de 5054 definições e propriedades de 4950 derivadas e integrais de 5355 diagonal 49 diagonalização de 817819 equação característica de 5557 808809 funções de 5557 identidade 49 igual 49 inversão de 5254 não singular 5354 operações do MATLAB 6771 quadrada 4849 5257 raízes características de 807809 resposta ao impulso 813814 simétrica 49 transição de estado MTE 811812 transposta 50 zero 49 Método de filtragem seletiva 654655 Método de Heaviside 4047 317319 450 Método do deslocamento de fita 268271 852 ÍNDICE Método dos resíduos 4041 Métodos dos coeficientes indeterminados 185189 Michelson Albert 551553 Modelos matemáticos de sistemas 100101 Modos característicos de sistemas em tempo contínuo 147149 155158 162 185 194195 198201 203207 de sistemas em tempo discreto 251252 256259 274 275 281282 286288 Modos naturais Veja Modos característicos Modulação 626628 644656 amplitude de pulso PAM 695 amplitude 625626 644645 648653 662 ângulo 644645 662 código de pulso PCM 695 697698 da transformada de Fourier em tempo discreto 761763 faixa lateral dupla portadora suprimida 644655 faixa lateral única SSB 651655 largura de pulso PWM 695 posição de pulso PPM 695 Molas linear 115116 torsional 116 117 Momento de inércia 116 118119 Múltiplas entradas 168169 266 Multiplexação por divisão em freqüência FDM 626627 655 Multiplexação por divisão no tempo TDM 655 696697 Multiplicação da função por um impulso 9495 de números complexos 2628 escalar 5051 369371 458 matriz 5052 transformada de Fourier em tempo discreto 758759 transformada z e 458459 transformada z bilateral e 505506 N Não unicidade 480481 Newton Sir Isaac 1718 322323 Níveis de quantização 697698 Nós de derivação 180 238239 366367 Números complexos 1730 5859 álgebra de 2030 conjugado de 22 identidade úteis 2223 logaritmos de 30 nota histórica 1718 operações aritméticas para 2629 origens de 1721 Números imaginários 1721 Números irracionais 1718 Números naturais 17 Números negativos 1720 Números ordinários 1921 Números reais 1921 O Observabilidade Veja Controlabilidadeobservabilidade Oitava 388389 Operadores relacionais 128131 Ortogonalidade 553 Osciladores 198 P Par transformada de Fourier 601602 Par transformada de Laplace bilateral 307308 Párafaixa 404405 407408 654655 Pares transformada de Laplace 307308 309310 Passafaixa 404405 407408 654655 Percepção intuitiva da transformada de Laplace 340342 em sistemas em tempo contínuo 179180 198205 em sistemas em tempo discreto 286287 Períodos fundamental 8788 125126 226227 528530 738739 senóide 3031 Pingala 699700 Pitágoras 1718 Polinômio característicos da transformada de Laplace 343345 da transformada z 467468 de sistemas em tempo contínuo 147150 205 de sistemas em tempo discreto 251254 257258 312 286287 de uma matriz 55 Pólos aumento do ganho pelo 401403 complexo 365366 450 472473 controlando o ganho pelos 485487 Hs projeto de filtro e 400408 na origem 388390 no semiplano direito 399400 parede de 404405 487 primeira ordem 389393 repetidos 365367 472473 802803 segunda ordem 391400 Posição angular 116117 Posição de póloszeros 485493 Potência matriz 5658 números complexos 2629 Potência do sinal 7581 7778 125126 Veja também Sinais de potência Preece Sir Willliam 323324 Preenchimento nulo 706708 725727 Préwarping 512514 Processamento digital de sinais analógicos 492798 Propriedade associativa 162163 261 Propriedade comutativa da integral de convolução 162164 171172 180182 da soma de convolução 261 Propriedade distributiva 162163 261 Pupin M 322323 Q Quantização 697698 727730 R Raízes complexa 148150 252254 de números complexos 2629 não repetidas 195196 207208 281284 polinomial 514515 Raízes características de sistemas em tempo contínuo 147150 194196 198 201 203205 207208 de sistemas em tempo discreto 251253 279 281288 ÍNDICE 853 de uma matriz 5556 807809 invariância de 816818 Raízes quadradas de números negativos 1720 Raízes repetidas 195196 207208 281284 de sistemas em tempo contínuo 147149 184185 195 196 207208 de sistemas em tempo discreto 252253 273274 281284 Rascunhando sinais 3538 Razão de potência sinalruído 7677 Realimentação negativa 375376 Realimentação positiva 375376 Realização de sistema 359373 417418 469474 508509 cascata 363367 469 472473 797800 de pólos complexos conjugados 365366 diferenças na performance 473474 direta Veja Realização pela forma direta I Realização pela forma direta II hardware 75 100101 125126 software 75 100101 125126 Realização direta canônica Veja Realização na forma direta II Realização paralela 363367 469 472473 797801 Realização pela forma direta I FDI transformada de Fourier e 360363 365 transformada z e 469 Realização pela forma direta II FDII 797801 826829 837841 transformada de Laplace e 361365 transformada z e 469474 Veja também Realização pela transposta da forma direta II Realização pela transposta da forma direta II TFDII 366 369 839841 equações de estado e 797801 transformada z e 469474 Reconstrução do sinal 685697 Veja também Interpolação Região de convergência RDC para a transformada de Laplace 307313 407408 410416 para a transformada z 442445 501507 para sinais de duração finita 309310 para sistemas em tempo contínuo 182184 Regra de Cramer 3739 5253 351 357 Regra de LHôpital 5758 203204 607608 Resolução de freqüência 704 706707 Resolução espectral 704 Resposta ao impulso unitário convolução com 163164 de sistemas em tempo contínuo 155160 162 179183 205207 641 de sistemas em tempo discreto 255260 271273 286287 determinação 205206 Resposta de estado nulo 106 causalidade e 163164 da transformada de Laplace 336340 da transformada z 463464 de sistemas em tempo contínuo 145146 154155 160 185 206207 464468 de sistemas em tempo discreto 259275 278 287288 descrição 103105 independência da resposta de entrada nula com 154155 Resposta de regime permanente de sistemas em tempo contínuo 385387 de sistemas em tempo discreto 475 Resposta em amplitude 381388 Resposta em entrada nula 106 da transformada de Laplace 336338 da transformada z 463464 de sistemas em tempo contínuo 145156 184185 198 199 206207 de sistemas em tempo discreto 250256 278 281282 descrição 103105 em osciladores 198 independência da resposta de estado nulo com 154155 percepção do comportamento de 155156 Resposta em fase 382399 Resposta em freqüência 634 da posição dos póloszeros 485493 de sistemas em tempo contínuo 380386 641642 de sistemas em tempo discreto 474485 diagramas de Bode e 387388 função de transferência 400 gráfico de póloszeros e 508510 MATLAB na 418420 508510 natureza periódica da 479483 pólos e zeros de Hs e 400404 Resposta em magnitude Veja Resposta em amplitude Resposta forçada equações diferença e 274281 287288 equações diferenciais e 185189 206207 Resposta natural equação diferença e 274278 287288 equação diferencial e 185186 206207 Resposta total de sistemas em tempo contínuo 184185 de sistemas em tempo discreto 273275 Reversão em freqüência 758759 Reversão na freqüência 620621 Reversão no tempo 125126 da integral de convolução 169 171172 da transformada de Fourier em tempo discreto 758759 da transformada de Laplace bilateral 414415 da transformada z 459460 da transformada z bilateral 505506 de sinais em tempo discreto 226228 descrição 8586 Ruído 7677 156157 344345 384385 691692 696697 S Saída 102103 Semiplano direito SPD 9798 194196 399400 Semiplano esquerdo SPE 9798 194 195 400 Senóides 3035 9698 126 condição geral para aliasing em 692694 em tempo contínuo 235236 483485 em tempo contínuo amostrada 475479 em tempo discreto 234236 480483 em termos exponenciais 3435 variando exponencialmente 3638 9697 126 verificação de aliasing em 691692 Seqüência de lado direito 502 Seqüências de lado esquerdo 502 Série convergente no ponto 545546 Série de Fourier em tempo discreto SFTD 738747 cálculo da 772774 MATLAB na 775782 sinais periódicos e 738740 774775 Série de Fourier 528598 cálculo dos coeficientes da 529531 existência da 545546 forma compacta da 532533 536540 formatação da onda na 547553 generalizada 566582 584 854 ÍNDICE Legendre 579580 limitações do método de análise 566 Série de Fourier exponencial 552563 584 700702 efeito da simetria na 560561 entradas periódicas e 563566 razões de utilização 565566 581582 Série de Maclaurin 21 5758 Série de potência 5758 Série de Taylor 5758 Série trigonométrica de Fourier 557559 561562 565566 580582 584 amostragem e 678679 683 efeito da simetria na 541542 sinais periódicos e 528544 583584 Série uniformemente convergente 545546 Simetria série exponencial de Fourier e 560561 série trigonométrica de Fourier e 541542 Simetria de conjugado 714715 da transformada de Fourier 602603 617 da transformada de Fourier em tempo discreto 748751 758 da transformada discreta de Fourier 714715 Simetria de meia onda 542 Sinais 75101 125126 aleatórios 90 125126 anticausais 8990 áudio 635636 654655 banda base 644647 651654 causais 8990 125126 classificação de 8690 125126 como vetores 566582 comparação e componentes de 567570 de base 574575 584 de duração finita 309310 de duração infinita 8990 125126 de energia 90 125126 224227 Veja também Energia do sinal de potência 90 125126 225227 Veja também Potência do sinal definição 75 determinísticos 90 125126 erro 574576 fantasmas de 179 limitado em faixa 480481 688692 721723 limitados no tempo 688691 702 704 modelos úteis 9098 modulação 625626 644647 não causal 8990 não limitado em faixa 691692 operações úteis 8087 rascunhando sinais 3538 tamanho do 7581 125126 vídeo 635636 655 visão bidimensional de 641642 Sinais analógicos 125126 definição 8687 processamento digital de 492798 propriedades de 8688 Sinais digitais 125126 695697 binário 697700 definição 8687 Lário 697698 propriedades de 8688 vantagens de 243244 Veja também Conversão analógico para digital Sinais em tempo contínuo 125126 definição 8687 série de Fourier e 528598 sistemas em tempo discreto e 224225 transformada de Fourier e 599677 Sinais em tempo discreto 125126 224237 análise de Fourier de 738790 definição 8687 inerentemente limitado em faixa 480481 modelos úteis 230237 operações úteis 226231 tamanho de 224227 Sinais não periódicos 125126 integral de Fourier e 599607 662 integral de Fourier em tempo discreto e 747757 propriedades de 8790 Sinais ortogonais 567568 584 energia da soma de 571 representação de sinal por um conjunto de 571582 Sinais periódicos 125126 espectro de Fourier de 740747 propriedades de 8790 se em tempo discreto e 738740 774775 série exponencial de Fourier e 563566 série trigonométrica de Fourier e 528544 583584 sistemas em tempo contínuo 563566 transformada de Fourier de 612613 Sistema de controle automático de posição 375376 Sistema de diferença para trás 241242 271273 468 510511 Sistemas 100125126 acumuladores 242243 271273 468 amortecimento crítico 378379 analógicos 110111 126127 243244 cascata 180182 357358 classificação de 102112 126127 dados para o cálculo da resposta 101103 definição 75 descrição entradasaída 112119 diferença atrasada 241242 271273 468 510511 digitais 110111 126127 243244 dinâmicos 106108 126 245246 eletromecânicos 118119 entrada única saída única 103104 124125 791 estáveis 111112 245246 fantasmas de 181182 fase mínima 400 identidade 111112 181182 244245 instantâneos 106108 126 245246 instáveis 111112 245246 inversíveis 111112 126127 244246 linear Veja Sistemas lineares mecânicos 115119 memória finita 106108 modelos matemáticos de 100101 múltiplas entrada múltiplas saídas 103104 124125 791 não inversíveis 111112 126127 244246 não lineares 102107 126 paralelo 180 357358 rotacionais 115119 subamortecidos 378 superamortecidos 378379 translacional 115116 visão bidimensional 641642 Sistemas antecipativos Veja Sistemas não causais ÍNDICE 855 Sistemas causais 108110 126 244245 propriedades de 108109 resposta de estado nulo e 163164 261262 Sistemas com parâmetros constantes Veja Sistemas invari antes no tempo Sistemas de controle 373381 análise de 375381 entrada em degrau e 376379 especificações de projeto 380381 Sistemas de memória finita 106108 Sistemas de múltiplas entradasmúltiplas saídas MIMO 103104 124125 791 Sistemas elétricos 112115 análise pela transformada de Laplace de 346357 417418 equações de estado para 794797 Sistemas em malha fechada Veja Sistemas realimentados Sistemas em tempo contínuo 126 145223 análise pela transformada de Laplace 307441 condições internas resposta a 145156 entrada externa resposta a 160185 entradas periódicas e 563566 equações de estado para 793794 equações diferencias de 154155 185193 206207 estabilidade de 192206 percepção intuitiva de 179180 198205 propriedades da 110111 transmissão de sinais através 631639 resposta em freqüência de 380386 641642 sistemas analógicos comparados com 243244 sistemas em tempo discreto comparado com 224225 Sistemas em tempo contínuo invariantes no tempo LCIT Veja Sistemas em tempo contínuo Sistemas em tempo discreto 126 224306 análise pela transformada de Fourier em tempo discreto de 766771 análise por espaço de estados 826837 análise por transformada z 442527 classificação de 243246 condições internas resposta a 250256 controlabilidadeobservabilidade de 284285 837841 entrada externa resposta a 259275 equações diferença de 242243 245251 274281 287288 estabilidade de 245246 280288 exemplos de 236246 percepção intuitiva de 286287 propriedades de 110111 resposta em freqüência de 474485 Sistemas em tempo discreto invariantes no tempo LDIT Veja Sistemas em tempo discreto Sistemas entrada única saída única SISO 103104 124 125 791 Sistemas físicos Veja Sistemas causais Sistemas interconectados em tempo contínuo 180183 em tempo discreto 271273 Sistemas invariantes no tempo 126 em temo discreto 244245 linear Veja Sistemas lineares invariantes no tempo propriedades de 106108 Sistemas inversos em tempo contínuo 181183 Sistemas inversos em tempo discreto 792794 Sistemas lineares 102107 126 compreensão heurística de 632634 resposta de 103105 Sistemas lineares invariantes no tempo LIT 106108 183185 Sistemas lineares variantes no tempo 106108 Sistemas marginalmente estáveis tempo contínuo 194196 198 204205 207208 tempo discreto 281284 287288 transformada de Laplace 345 transformada z 468 transmissão de sinal e 631632 Sistemas não antecipativos Veja Sistemas causais Sistemas não causais 108110 126 244245 propriedades de 108109 razões para o estudo de 109110 Sistemas realimentados transformada de Laplace e 357358 365366 373381 transformada z e 469 Sistemas sem memória Veja Sistemas instantâneos Sistemas variantes no tempo 126 em tempo discreto 244245 linear 106108 propriedades de 106108 Sobresinal percentual SP 378379 Soma Veja Soma de convolução Soma de convolução 261265 287288 de uma tabela 262264 procedimento gráfico para 266271 propriedades da 261262 Somadores 370371 Subamostragem 227230 Subportadora 655 Superposição 103104 106 126 de sistemas em tempo contínuo e 160 162 de sistemas em tempo discreto 266 T Taxa de amostragem 227231 483485 Taxa de Nyquist 679681 686689 691694 697698 716717 Taxa de rolloff 657660 Taxa de transmissão de informação 202204 Tempo de pico 378379 Tempo de subida 201 378 380381 Tempo real 108109 Teorema da amostragem 484485 678685 721723 aplicações da 695697 espectral 700701 Teorema de CayleyHamilton 5557 Teorema de Norton 346347 Teorema de Parseval 561562 575576 642643 663666 764766 Teorema de Thévenin 346347 351 Teorema do valor final 333335 460461 Teorema do valor inicial 333335 460461 Théorie Analytique de la chaleur Fourier 545 Torque 116119 Traité de mécanique céleste Laplace 322323 Transformação bilinear 511514 Transformação linear de vetores 4849 814822 833834 Transformada de Fourier bilateral 307308 311312 407 417 418419 na análise de sistemas lineares 414417 propriedades da 413415 Transformada de Fourier 599677 679680 677 apreciação física da 605607 direta 601602 616617 662 em tempo contínuo 757 770774 existência da 603604 funções úteis da 606616 interpolação e 685686 856 ÍNDICE inversa 601602 616617 662 686687 propriedades da 616631 rápida Veja Transformada rápida de Fourier Transformada de Fourier em Tempo contínuo TFTC 757 770774 Transformada de Fourier em tempo discreto TFTD 748775 apreciação física da 750751 conexão da transformada z com 756757 773776 existência da 750751 inversa 772773 MATLAB na 775782 propriedades da 757766 tabela de 751 transformada de Fourier em tempo contínuo e 770774 Transformada de Fourier em tempo discreto inversa TFTDI 772773 Transformada de Laplace 159 307441 631632 análise de circuito elétrico e 345357 417418 bilateral Veja Transformada de Laplace bilateral conexão com a transformada de Fourier 615616 756757 conexão da transformada z com 442445 411414 508509 estabilidade de 343346 existência da 312313 interpretação intuitiva 340342 propriedades da 324335 realização de sistema e 359373 417418 solução de equação de estado pela 802809 solução de equação diferencial e 334346 unilateral 307313 407410 417418 Transformada de Laplace bilateral 307308 311312 407419 na análise do sistema linear 414417 propriedades da 413415 Transformada de Laplace inversa 307 309312 345346 493494 obtenção 314322 Transformada discreta de Fourier TDF 581582 702723 aliasing e vazamento e 704 aplicações da 715719 direta 704705 747748 efeito de certa de posta e 704 inversa 704705 721723 747748 MATLAB na 723730 obtenção da 704707 pontos de descontinuidade e 704 preenchimento nulo e 706708 725727 propriedades da 713716 transformada de Fourier em tempo discreto e 771776 Transformada rápida de Fourier FFT 582583 707708 716717 719721724 cálculos reduzidos pela 719720 série de Fourier em tempo discreto e 739740 transformada de Fourier em tempo discreto e 771776 Transformada z 442527 análise por espaço de estados e 829830 833834 direta 442443 estabilidade da 467468 existência da 443447 propriedades da 452461 realização de sistemas e 469474 508509 soluções da equação diferença da 442 460468 507508 transformada de Fourier em tempo discreto e 756757 773776 unilateral 442445 508509 Transformada z bilateral 442445 500509 na análise de sistemas em tempo discreto 505506 propriedades da 505506 Transformada z inversa 442445 468 505 obtenção 448453 Transmissão de sinal 631639 Transmissão sem distorção 634 635 639640 662 768770 medida da variação do atraso 768769 sistemas passabaixa e 635638 768770 Transposta de uma matriz 50 Trem de impulso unitário 612613 Truncagem de dados 656660 662663 Tukey J W 719720 U Unicidade 312 V Valor principal de ângulo 2425 espectro de fase usando 623624 Valores característicos Veja Raízes características Variáveis de estado 121122 126127 791792 833834 Vazamento 656660 662663 704 Velocidade angular 116 Vetores 4849 base 572573 característico 55 coluna 4849 componentes de 566568 erro 567568 espaço ortogonal 571573 estado 814822 833834 linha 4849 multiplicação de matriz por 5152 operações no MATLAB 6465 sinais como 566582 Z Zeros controlando o ganho por 485487 de segunda ordem 391400 Hs projeto de filtro e 400408 na origem 388390 primeira ordem 389393 supressão de ganho por 402404