Lista de Exercícios: Introdução aos Sinais em Tempo Contínuo e Discreto

L 1 LISTA INTRODUÇÃO AOS SINAIS EM TEMPO CONTÍNUO E DISCRETO Questão 1 Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma cartesiana x j a 12 ejπ b 12 ejπ c 2 ejπ4 Questão 2 Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma polar rejθ π θ π a 5 b 12 j32 c 1 j1 j Questão 3 Determine os valores de Pe e Ee para cada um dos sinais abaixo a x1t e2tut b x2n ejπ2n π8 Em alguns casos uma única expressão matemática é suficiente para descrever um sinal Mas com frequência isso não acontece Uma operação que permite versatilidade na representação matemática de sinais arbitrários é a combinação de duas ou mais funções Estas combinações podem se dar através de somas diferenças produto eou divisão de funções A figura abaixo apresenta alguns exemplos Questão 4 Um sinal de tempo contínuo xt é mostrado na Figura 1 Esboce e coloque a escala cuidadosamente para cada um dos seguintes sinais a xt 1 b x2 t c x2t 1 Vamos usar o Matlab para apresentar gráficos de combinações de funções Questão 5 Um sinal de tempo discreto xn é mostrado na Figura 1 Esboce e coloque a escala cuidadosamente para cada um dos seguintes sinais a xn 4 b x3n c xn 2 δn 2 Agora vamos criar uma função e um programa no Matlab para realizar o escalonamento e deslocamento de sinais Questão 6 Determine e esboce as partes par e ímpar do sinal representado abaixo Coloque cuidadosamente a escala em seus esboços S 1 SIMULAÇÃO NUMÉRICA COMBINAÇÃO DE FUNÇÕES A notação padrão para uma função em tempo contínuo é gt sendo g o nome da função e tudo que está dentro do parêntesis é chamado argumento da função O argumento é escrito em termos da variável independente No caso de gt t é a variável independente e a expressão é em termos de t S 1 SIMULAÇÃO NUMÉRICA Arquivo Exemplo3m Função para apresentar o gráfico das partes pares e ímpares de um sinal gp glt glt2 cálculo dos valores da parte par gi glt glt2 cálculo dos valores da parte ímpar Apresentação dos gráficos subplot211 ptr plottgpk setptrLineWidth2 grid on xlabeltFontNameTimesFontSize24 ylabelgpit tFontNameTimesFontSize24 subplot212 ptr plottgik setptrLineWidth2 grid on xlabeltFontNameTimesFontSize24 ylabelgiit tFontNameTimesFontSize24 SIMULAÇÃO NUMÉRICA S 1 ENERGIA DO SINAL No estudo de sinais e sistemas os sinais comumente são tratados como abstrações matemáticas Muitas vezes o significado físico do sinal é ignorado para simplificar a análise Os sinais típicos em sistemas eletrônicos são tensões e correntes Em sistemas de outras áreas do conhecimento no entanto os sinais também podem ser força temperatura umidade concentração química etc Por conta dessa gama de possibilidades de tipos de sinais que podem ser alterados por sistemas o termo energia do sinal foi criado Energia do sinal em oposição a energia somente é definida como sendo a área abaixo do quadrado da magnitude do sinal A unidade vai depender da unidade do sinal Se for volt V a energia será V²s A energia do sinal é proporcional a energia física entregue pelo sinal mas não necessariamente igual a esta energia física Ex xt2 dt Encontre a energia do sinal xt xt 31t4 t 4 0 qualquer outro valor Arquivo Exemplo4m dt 001 incremento de tempo deltat t 8dt8 vetor para cálculo do tempo cálculo das amostras xt x 31abst4abst4 Cálculo da energia de xt usando a regra trapezoidal para aproximação da integral Ex trapzx2dt dispEnergia do Sinal num2strEx Exemplo4 Energia do Sinal 240001 S 1 SIMULAÇÃO NUMÉRICA POTÊNCIA DO SINAL Em muitos casos a integral da energia do sinal não converge porque o sinal possui energia infinita Isso normalmente acontece com sinais que não são limitados no tempo Um exemplo de sinal que possui energia infinita é o cosseno Para sinais com essa característica calculamos a Potência do sinal em um único período de repetição dele Px limT o infty frac1T intT2T2 xt2 dt Calcule a Potência do sinal xt A cos2pi f0 t heta Arquivo Exemplo5m A 1 Amplitude of xt th 0 deslocamento de fase de xt f0 1 Frequência fundamental T0 1f0 Período fundamental dt T0100 incremento temporal para amostragem de xt t 0dtT0 vetor temporal para as correspondências de tempo de xt x Acos2pif0t th Cálculo das amostras de xt para o período fundamental Cálculo da energia de xt usando a regra trapezoidal para aproximação da integral Px trapzx2dtT0 dispSignal Power num2strPx Exemplo5 Signal Power 05 SIMULAÇÃO NUMÉRICA S 1 SINAIS EM TEMPO DISCRETO APRESENTAÇÃO DE DESLOCAMENTO E ESCALA No caso de sinais discretos no tempo teremos algumas mudanças na forma de apresentação gráfica Iremos utilizar a função stem ao invés de plot Sinais em tempo discreto são mais fáceis de programar no Matlab Para este tipo de sinal não precisamos estipular um incremento temporal para amostrar o sinal xt por exemplo O único problema computacional é como lidar com dois sinais com descrições temporais diferentes Abaixo está uma função para calcular a função gn 1008nsin3πn16un Depois plotar os sinais g2n e gn3 Arquivo g2m function y g2n Cálculo do sinal yn y 1008nsin3pin16usDn I findroundn n Encontrando todos os valores não inteiros nEs yI NaN coloca estes valores encontrados para NaN Nós precisamos decidir o range do tempo discreto para plotar o sinal Como ele é zero para valores negativos nós temos que apresentar pelo menos alguns pontos menores que zero para podermos ver a transição que ocorre em n0 Depois notamos que em instantes temporais positivos temos um sinal senoidal decaindo com uma senóide Se nós plotarmos algumas constantes de tempo de decaimento da exponencial o sinal será praticamente zero naquele instante temporal Desta forma um intervalo como 5 n 16 seria razoável para o sinal gn No entanto temos que pensar que vamos plotar também o sinal no tempo estendido n3 Ele será mais largo e irá requerer um intervalo maior para a representação Iremos utilizar então o intervalo 5 n 48 Arquivo Exemplo6m S1 SIMULAÇÃO NUMÉRICA Apresentando o gráfico do sinal discreto no tempo g2n e suas transformações de compressão e expansão Calculando os valores do sinal original e suas versões transformadas n 548 amostras de tempo discreto para o cálculo da função g0 g2n cálculo dos valores da função original g1 g22n cálculo dos valores de g2 no tempo comprimido g2a g2n3 cálculo dos valores de g2 no tempo expandido Apresentação dos sinais original comprimido e expandido no tempo Gráfico do sinal original subplot311 primeiro de três gráficos empilhados p stemng0kfilled Stem plot do sinal original setpLineWidth2MarkerSize4 ylabelgn título da ordenada Apresentação do sinal comprimido no tempo subplot312 segundo de três gráficos empilhados p stemng1kfilled Stem plot do sinal comprimido setpLineWidth2MarkerSize4 ylabelg2n título da ordenada Apresentação do sinal expandido no tempo subplot313 terceiro de três gráficos empilhados p stemng2akfilled Stem plot do sinal expandido setpLineWidth2MarkerSize4 xlabelTempo discreto n título do eixo das abscissas ylabelgn3 título das ordenadas SIMULAÇÃO NUMÉRICA S 1 gn g2n gn3 SIMULAÇÃO NUMÉRICA S 1 SIMULAÇÃO NUMÉRICA Arquivo Exemplo7m SIMULAÇÃO NUMÉRICA SINAIS PARES E ÍMPARES SIMULAÇÃO NUMÉRICA S 1 Graficamente notamos que o período fundamental é N040 Uma forma de checar o resultado é de forma analítica ou seja esta função também pode ser descrita pela equação gn 2 cos2π 98 n 3 sin2π 35 n Os dois períodos fundamentais individuais são 8 e 5 Como elas estão somadas em gn o período fundamental de gn é a multiplicação dos dois períodos fundamentais 8x540 amostras ENERGIA DO SINAL A energia do sinal é dada pela equação Ex n xn ² e a unidade será a unidade do sinal ao quadrado Encontre a energia do sinal xn 12ⁿ un Arquivo Exemplo8m Programa que calcula a energia de um sinal exponencial em tempo discreto a 12 n 5round40a vetor com os tempos discretos Cálculo do sinal xn12ⁿ un x an usDn Apresentando o gráfico do sinal close all figurePosition20201200800 ptr stemnxkfilled grid on setptrLineWidth2MarkerSize4 xlabelitnFontNameTimesFontSize24 ylabelxitnFontNameTimesFontSize24 setgcaFontNameTimesFontSize18 Elevando o sinal ao quadrado xsq x2 Ex sumxsq Calculando a energia do sinal dispEx num2strEx apresentando o resultado Exemplo8 Ex 13333 S 1 SIMULAÇÃO NUMÉRICA POTÊNCIA DO SINAL EM TEMPO DISCRETO Para os sinais em que a energia não converge ou seja ela tende a infinito é mais conveniente trabalhar com a média da potência do sinal A definição da potência para o tempo discreto é Px limN o infty frac12N sumninftyN1 xn² No caso de sinais periódicos o cálculo da potência média do sinal é simples consistindo no somatório da média do sinal ao quadrado Px limN o infty frac12N sumn0n0N1 xn² frac1N sumnNN xn² sendo n0 um inteiro A notação sumnN significa a soma em qualquer intervalo consecutivo de n com tamanho N sendo N o período de repetição do sinal Vamos calcular a energia e a potência dos sinais abaixo usando o Matlab a xn 09ⁿsin2πn4 e b xn 4δ₇n 7δ₁n Arquivo Exemplo9m Programa que calcula a energia e potencia de sinais a n 100100 vetor com os tempos discretos Cálculo do sinal a x 09absnsin2pin4 xsq x2 Ex sumxsq Calculando a energia do sinal dispb Ex num2strEx apresentando o resultado b N0 75 o período fundamental é 35 n 0N01 vetor com os tempos discretos para um período de repetição Cálculo do sinal x 4impND5n 7impND7n xsq x2 Px sumxsqN0 Calculando a potência do sinal dispd Px num2strPx apresentando o resultado SIMULAÇÃO NÚMERICA S 1 Exemplo9 b Ex 47107 d Px 86 Verificando através do cálculo analítico a Ex sumninftyinfty xn² sumninftyinfty 09ⁿsin2πn4² Ex sumn0infty09ⁿsin²2πn4 sumninfty0 09ⁿsin2πn4² x0² 0 Ex sumn0infty 2ⁿsin²2πn4 sumninfty0 09²n sin²2πn4 Ex frac12 sumn0infty 09²n1 cosπn frac12 sumninfty0 09²n1 cosπn Usando a simetria par do cosseno colocando n n no segundo somatório Ex sumn0infty 09²n 09²n fracej pi n ej pi n2 sumn0infty081ⁿ frac12 sumn0infty081ej pi n sumn0infty081ej pi n sumn0infty rⁿ frac11 r r 1 Ex frac11 081 frac12 left frac11 081 ejpi frac11 081 ejpi right Ex frac11 081 frac12 left 1 081 1 081 right frac11 081 frac11 081 47107 Check Usando os exemplos apresentados nessa seção de simulação numérica use o Matlab para verificar todas as suas respostas na Lista 1 L 2 LISTA Seções 13 e 14 Questão 1 Determine se cada um dos sinais é ou não periódico ax₁t 2ejtπ4 b x₂nunun Questão 2 Expresse a parte real do sinal x₃t etsin3tπ na forma A eatcosωtφ sendo A a ω e φ números reais com A 0 e π φ π Questão 3 Determine se o sinal x₂t e1jt é ou não periódico Caso seja periódico especifique seu período fundamental Questão 4 Determine o período fundamental do sinal xn 1 ej4πn7 ej2πn5 30 Seções 15 e 16 Seções 21 e 22 Seção 23 L 6 LISTA Seção 24 Questão 1 Considere um sistema LTI cuja entrada xt e saída yt sejam relacionadas pela equação diferencial dytdt 4yt xt equação 1 O sistema também satisfaz a condição de repouso inicial a Se xt e13jt ut qual é yt b Note que Rext satisfará a equação 1 com Reyt Determine a saída yt do sistema LTI se xt etcos3tut Questão 2 Considere um sistema LTI causal cuja entrada xn e saída yn sejam relacionadas a equação de diferença yn 14 yn 1 xn Determine yn se xn n1 Questão 3 Considere a cascata dos dois sistemas a seguir S₁ e S₂ como representado na figura abaixo S₁ LTI causal wn 12 wn 1 xn S₂ LTI causal yn αyn 1 βwn A equação da diferenças que relaciona xn e yn é yn 18 yn 2 34 yn 1 xn a Determine α e β b Encontre a resposta ao impulso da conexão em cascata S₁ e S₂ 34 Entregar até dia 2609 Questão 1 Encontre o período fundamental e a frequência fundamental do sinal gt 10 cos50πt π4 Questão 2 inspirado na pág 70 30 Roberts 2018 Calcule a energia e a potência do sinal rectt rectt 1 t 12 12 t 12 0 t 12 Questão 3 Suponha que um sistema LTI possui a resposta ao impulso ht e a entrada xt ambas representadas na figura abaixo Utilize o procedimento gráfico da convolução para determinar yt xtht Faça um esboço gráfico de yt Quando for resolver yt espalhe e desloque o sinal xt e apresente a integral de convolução Não precisa resolver as integrais apenas apresentálas Questão 4 Considere a interconexão em cascata dos três sistemas LTI ilustrados na Figura 4a A resposta ao impulso h₂n é h₂n un un2 e a resposta ao impulso global é mostrada na Figura 4b Encontre a resposta ao impulso h₁n 35 L 7 LISTA Secções 33 até 36 Questão 1 Um sinal periódico de tempo contínuo xt tem valor real e período fundamental T8 Os coeficientes diferentes de zero da série de Fourier de xt são a12 a34j Expresse xt na forma xt k0 Ak cosωkn φk Questão 2 Seja xn um sinal periódico real e ímpar com período N7 e coeficientes de Fourier ak Dado que a5j a162j a173j determine os valores de a0 a1 e a2 Questão 3 Para os sinais apresentados na Figura 1 encontre a equação da forma compacta da série de Fourier e esboce o espectro de amplitude e de fase Caso termos do seno ou cosseno forem iguais a zero explique o por quê LISTA L 7 Figura 1 a b c e e Questão 4 Determine os coeficientes da série de Fourier para cada um dos seguintes sinais periódicos de tempo discreto Represente graficamente a magnitude e fase de cada conjunto de coeficientes ak xn 1 14 7 0 7 14 21 n a xn 1 18 12 6 0 6 12 18 n b xn 2 18 12 6 0 6 12 18 n c L 8 LISTA Secções 38 e 39 Questão 1 Encontre a resposta de um sistema LTI com a função de transferência Hs y s2 2s 3 para a entrada periódica apresentada na Figura 1 Questão 2 Considere um sistema LTI causal implementado como o circuito RLC mostrado na Figura 2 Nesse circuito xt é a tensão de entrada A tensão yt no capacitor é considerada a saída do sistema a Encontre a equação diferencial relacionando xt e yt b Determine a resposta em frequência desse sistema considerando a saída do sistema para as entradas na forma xt ejωt c Determine a saída yt se xt sent Questão 3 Considere um filtro S passabaixas ideal cuja resposta em frequência é Hjω 1 ω 100 0 ω 100 de k é garantido que ak0 Seções 40 até 42 Seções 43 até 46 Seções 50 até 52 Utilize as tabelas 41 42 51 e 52 do Oppenheim L13 LISTA Entregar até dia 0512 Referências das questões Referências Bibliográficas