Sinais e Sistemas - 2ª Edição

Alan V Oppenheim Alan S Willsky Com colaboração de S Hamid Nawab SINAIS e SISTEMAS 2ª EDIÇÃO SINAIS e SISTEMAS 2ª EDIÇÃO Alan V Oppenheim Alan S Willsky Massachusetts Institute of Technology Com colaboração de S Hamid Nawab Boston University Tradutores Daniel Vieira Rogério Beltoni Revisores técnicos Profa Dra Maria D Miranda Departamento de Telecomunicações e Controle Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Prof Dr Marcio Eisencraft Centro de Engenharia Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas Universidade Federal do ABC 2010 by Pearson Education do Brasil Para Phyllis Jason e Justine Para Susana Lydia e Kate Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Sumário 1 Sinais e sistemas 1 10 Introdução 1 11 Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto 1 111 Exemplos e representação matemática 1 112 Energia e potência de um sinal 4 12 Transformações da variável independente 5 121 Exemplos de transformações da variável independente 5 122 Sinais periódicos 7 123 Sinais com simetria par e com simetria ímpar 9 13 Sinais senoidais e exponenciais 10 131 Sinais senoidais e exponenciais complexas de tempo contínuo 10 132 Sinais senoidais e exponenciais complexas de tempo discreto 14 133 Propriedades de periodicidade das exponenciais complexas de tempo discreto 16 14 Funções impulso unitário e degrau unitário 20 141 Sequências impulso unitário e degrau unitário de tempo discreto 20 142 Funções impulso unitário e degrau unitário de tempo contínuo 21 15 Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto 25 151 Exemplos simples de sistemas 25 152 Interconexões de sistemas 27 16 Propriedades básicas de sistemas 28 161 Sistemas com e sem memória 29 162 Sistemas inversos e invertibilidade 29 163 Causalidade 30 164 Estabilidade 31 165 Invariância no tempo 33 166 Linearidade 34 17 Resumo 36 2 Sistemas lineares invariantes no tempo 47 20 Introdução 47 21 Sistemas LIT de tempo discreto a soma de convolução 47 211 A representação de sinais de tempo discreto em termos de impulsos 47 212 A resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução dos sistemas de tempo discreto LIT 48 22 Sistemas LIT de tempo contínuo a integral de convolução 56 221 A representação de sinais de tempo contínuo em termos de impulsos 56 222 A resposta ao impulso unitário e a representação por integral de convolução dos sistemas de tempo contínuo LIT 58 23 Propriedades dos sistemas lineares invariantes no tempo 62 231 A propriedade comutativa 62 232 A propriedade distributiva 63 233 A propriedade associativa 64 234 Sistemas LIT com e sem memória 65 235 Sistemas LIT invertíveis 66 236 Causalidade dos sistemas LIT 67 237 Estabilidade para sistemas LIT 68 238 A resposta ao degrau unitário de um sistema LIT 69 Sistemas LIT causais descritos por equações diferenciais e de diferenças 69 Sumário ix 43 Propriedades da transformada de Fourier de tempo contínuo 174 431 Linearidade 175 432 Deslocamento no tempo 175 433 Conjugação e simetria conjugada 176 434 Diferenciação e integração 177 435 Mudança de escala no tempo e na frequência 178 436 Dualidade 179 437 Relação de Parseval 180 44 A propriedade da convolução 181 441 Exemplos 183 45 A propriedade da multiplicação 186 451 Filtragem seletiva em frequência com frequência central variável 188 46 Tabelas de propriedades de Fourier e de pares básicos da transformada de Fourier 189 47 Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes 192 48 Resumo 193 5 A transformada de Fourier de tempo discreto 207 50 Introdução 207 51 Representação de sinais aperiódicos a transformada de Fourier de tempo discreto 207 511 Dedução da transformada de Fourier de tempo discreto 207 512 Exemplos de transformadas de Fourier de tempo discreto 209 513 Considerações sobre a convergência associada da transformada de Fourier de tempo discreto 212 52 Transformada de Fourier para sinais periódicos 212 53 Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto 215 531 Periodicidade da transformada de Fourier de tempo discreto 216 532 Linearidade da transformada de Fourier 216 533 Deslocamento no tempo e deslocamento na frequência 216 534 Conjugação e simetria conjugada 217 535 Diferenciação e acumulação 217 536 Reflexão no tempo 218 537 Expansão no tempo 218 538 Diferenciação na frequência 220 539 Relação de Parseval 220 54 A propriedade da convolução 221 541 Exemplos 221 55 A propriedade da multiplicação 224 56 Tabelas de propriedades da transformada de Fourier e pares básicos da transformada de Fourier 224 57 Dualidade 227 571 Dualidade na série de Fourier de tempo discreto 227 572 Dualidade entre a transformada de Fourier de tempo discreto e a série de Fourier de tempo contínuo 228 58 Sistemas caracterizados por equações de diferenças lineares com coeficientes constantes 229 59 Resumo 231 6 Caracterização no tempo e na frequência dos sinais e sistemas 245 60 Introdução 245 61 A representação magnitudefase da transformada de Fourier 245 62 A representação magnitudefase da resposta em frequência dos sistemas LIT 248 621 Fase linear e não linear 249 622 Atraso de grupo 250 623 Gráficos do logaritmo da magnitude e diagramas de Bode 255 63 Propriedades no domínio do tempo dos filtros seletivos em frequência ideais 256 64 Aspectos no domínio da frequência e no domínio do tempo dos filtros não ideais 258 65 Sistemas de primeira ordem e de segunda ordem de tempo contínuo 262 651 Sistemas de primeira ordem de tempo contínuo 262 652 Sistemas de segunda ordem de tempo contínuo 265 653 Diagramas de Bode para respostas em frequência racionais 268 66 Sistemas de primeira ordem e de segunda ordem de tempo discreto 270 661 Sistemas de primeira ordem de tempo discreto 271 662 Sistemas de segunda ordem de tempo discreto 272 67 Exemplos de análise de sistemas no domínio do tempo e da frequência 280 671 Análise de um sistema de suspensão de automóveis 280 672 Exemplos de filtros não recursivos de tempo discreto 282 68 Resumo 287 7 Amostragem 305 70 Introdução 305 71 Representação de um sinal de tempo contínuo por suas amostras o teorema da amostragem 305 711 Amostragem com trem de impulsos 306 712 Amostragem com um retentor de orden zero 307 72 Reconstrução de um sinal a partir de suas amostras usando interpolação 309 73 O efeito da subamostragem aliasing 311 74 Processamento em tempo discreto de sinais de tempo contínuo 316 741 Diferenciador digital 321 742 Atraso de meia amostra 322 75 Amostragem de sinais de tempo discreto 324 751 Amostragem com trem de impulsos 324 752 Dizimação e interpolação de tempo discreto 325 76 Resumo 329 8 Sistemas de comunicação 345 80 Introdução 345 81 Modulação em amplitude senoidal e exponencial complexa 346 811 Modulação em amplitude com uma portadora exponencial complexa 346 812 Modulação em amplitude com uma portadora senoidal 347 82 Demodulação para AM senoidal 348 821 Demodulação síncrona 348 Sumário xi 952 Deslocamento no tempo 408 953 Deslocamento no domínio s 409 954 Mudança de escala no tempo 409 955 Conjugação 410 956 Propriedade de convolução 410 957 Diferenciação no domínio do tempo 410 958 Diferenciação no domínio s 411 959 Integração no domínio do tempo 411 9510 Os teoremas dos valores inicial e final 412 9511 Tabela de propriedades 412 96 Alguns pares da transformada de Laplace 412 97 Análise e caracterização de sistemas LIT usando a transformada de Laplace 412 971 Causalidade 413 972 Estabilidade 415 973 Sistemas LIT caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes 417 974 Exemplos relacionando o comportamento do sistema à função de sistema 418 975 Filtros Butterworth 420 98 Álgebra da função de sistema e representações em diagrama de blocos 422 981 Funções de sistema para interconexões de sistemas LIT 422 982 Representações por diagrama de blocos para sistemas LIT causais descritos por equações diferenciais e funções de sistema racionais 422 99 A transformada de Laplace unilateral 426 991 Exemplos de transformadas de Laplace unilateral 426 992 Propriedades da transformada de Laplace unilateral 427 993 Resolvendo equações diferenciais usando a transformada de Laplace unilateral 429 910 Resumo 430 10 A transformada z 442 100 Introdução 442 101 A transformada z 442 102 A região de convergência para a transformada z 446 103 A transformada z inversa 451 104 Cálculo geométrico da transformada de Fourier a partir do diagrama de polos e zeros 454 1041 Sistemas de primeira ordem 455 1042 Sistemas de segunda ordem 455 105 Propriedades da transformada z 457 1051 Linearidade 457 1052 Deslocamento no tempo 458 1053 Mudança de escala no domínio z 458 1054 Reflexão no tempo 459 1055 Expansão do tempo 459 1056 Conjugação 459 1057 A propriedade da convolução 459 1058 Diferenciação no domínio z 460 1059 O teorema do valor inicial 461 10510 Resumo das propriedades 462 106 Alguns pares comuns da transformada z 462 107 Análise e caracterização de sistemas LIT usando transformadas z 462 1071 Causalidade 463 1072 Estabilidade 463 1073 Sistemas LIT caracterizados por equações de diferenças lineares com coeficientes constantes 465 1074 Exemplos relacionando o comportamento do sistema à função de sistema 466 108 Álgebra da função de sistema e representações em diagrama de blocos 467 1081 Funções de sistema de interconexões de sistemas LIT 467 1082 Representações em diagrama de blocos para sistemas LIT causais descritos por equações de diferenças e funções de sistema racionais 467 109 A transformada z unilateral 470 1091 Exemplos de transformadas z unilaterais e transformadas inversas 471 1092 Propriedades da transformada z unilateral 472 1093 Resolvendo equações de diferenças usando a transformada z unilateral 474 1010 Resumo 475 11 Sistemas lineares com realimentação 486 110 Introdução 486 111 Sistemas com realimentação linear 488 112 Algumas aplicações e consequências da realimentação 489 1121 Projeto de sistema inverso 489 1122 Compensação de elementos não ideais 490 1123 Estabilização de sistemas instáveis 490 1124 Sistemas com realimentação de dados amostrados 493 1125 Sistemas de rastreio 494 1126 Desestabilização causada pela realimentação 496 113 Análise do lugar das raízes para sistemas lineares com realimentação 497 1131 Um exemplo introdutório 497 1132 Equação para polos em malha fechada 498 1133 Pontos terminais do lugar das raízes polos em malha fechada para K 0 e K 499 Prefácio Esta é a segunda edição de um livrotexto para cur sos de graduação em sinais e sistemas Embora esses cursos sejam frequentemente encontrados em currículos de en genharia elétrica os conceitos e as técnicas que formam a base do assunto são de importância fundamental em todas as áreas da engenharia De fato o escopo do potencial e das aplicações reais dos métodos de análise de sinais e sis temas continua a se expandir à medida que os engenheiros são confrontados com novos desafios envolvendo a síntese ou a análise de processos complexos Por essas razões pen samos que um curso de sinais e sistemas não apenas é um elemento essencial em um programa de engenharia mas também pode ser um dos cursos mais gratificantes empol gantes e úteis que os estudantes de engenharia realizam durante sua educação universitária Nosso tratamento do assunto sinais e sistemas nes ta segunda edição mantém a mesma filosofia geral da primeira edição mas com significativa reescrita reestru turação e acréscimos Estas mudanças foram elaboradas pensando em ajudar tanto ao professor na apresentação do assunto quanto ao aluno a dominálo No prefácio da primeira edição afirmamos que nossa abordagem geral em sinais e sistemas foi guiada pelos desenvolvimentos con tínuos em tecnologias para projeto e implementação de sinais e sistemas que tornaram cada vez mais importante ao aluno ter igual familiaridade com técnicas adequadas para analisar e sintetizar sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto No momento em que escrevemos o prefácio desta segunda edição esta observação e premissa são ainda mais verdadeira que antes assim embora os alunos dos cursos de sinais e sistemas certamente devam ter um alicerce sólido em disciplinas baseadas nas leis da física eles também precisam ter um conhecimento sólido no uso dos computadores para a análise de fenômenos e a implementação de sistemas e algoritmos Como conse quência os currículos de engenharia agora refletem uma combinação de assuntos alguns envolvendo modelos de tempo contínuo e outros focalizando o uso de compu tadores e representações discretas Por esses motivos os cursos de sinais e sistemas que reúnem conceitos de tem po discreto e de tempo contínuo de um modo unificado desempenham um papel cada vez mais fundamental na educação dos alunos de engenharia e em sua formação para desenvolvimentos atuais e futuros em suas áreas de atuação É com esses objetivos em mente que estruturamos este livro para desenvolver em paralelo os métodos de aná lise para sinais e sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto Essa técnica também oferece uma vantagem pedagógica distinta e extremamente importante Espe cificamente podemos extrair as semelhanças entre os métodos de tempo contínuo e de tempo discreto a fim de compartilhar ideias e percepções desenvolvidas em cada domínio De modo semelhante podemos explorar as diferenças entre eles para aguçar uma compreensão das propriedades distintas de cada um Organizando o material tanto originalmente quan to agora na segunda edição consideramos essencial apre sentar ao aluno alguns dos usos importantes dos métodos básicos que são desenvolvidos no livro Isso fornece ao estudante uma visão ampla e geral da gama de aplicações das técnicas estudadas bem como orientações de estudos adicionais além de ajudar no aprofundamento do conheci mento Para conseguir esse objetivo incluí mos tratamen tos introdutórios sobre os assuntos de filtragem comuni cações amostragem processamento em tempo discreto de sinais de tempo contínuo e realimentação De fato em uma das principais mudanças nesta edição apresentamos o conceito de filtragem no domínio da frequência bem no início de nossa abordagem da análise de Fourier com a fi nalidade de oferecer motivação e compreensão para esse tópico tão importante Além disso novamente incluímos uma bibliografia atualizada ao final do livro para auxiliar o aluno que estiver interessado em buscar estudos adicionais e mais avançados dos métodos e aplicações da análise de sinais e sistemas Prefácio xv da do nosso desenvolvimento do caso de tempo discreto como um auxílio na dedução e compreen são de seu cor respondente de tempo contínuo Depois passamos para uma discussão de sistemas LIT causais caracterizados por equações diferenciais e de diferenças Nessa discussão in trodutória revemos as ideias básicas envolvidas na solu ção de equações diferenciais lineares que a maioria dos alunos já tiveram anteriormente e também oferecemos uma discussão acerca de métodos análogos para as equa ções de diferenças lineares Contudo o foco principal do nosso desenvolvimento nesse capítulo não está nos mé todos de solução pois as abordagens mais convenientes são desenvolvidas posteriormente usando métodos de transformada Em vez disso nessa primeira visão nossa intenção é oferecer ao aluno alguma apreciação dessas classes de sistemas extremamente importantes que serão encontradas com frequência nos capítulos seguintes Por último o Capítulo 2 conclui com uma breve discussão sobre as funções de singularidade degraus impulsos doublets e assim por diante no contexto do seu papel na descrição e análise dos sistemas LIT de tempo contínuo Em particular enfatizamos a interpretação desses sinais em termos de como eles são definidos sob convolução ou seja em termos das respostas de sistemas LIT a esses sinais idealizados Os capítulos 3 a 6 apresentam um desenvolvimento completo e autocontido dos métodos de análise de Fourier em tempo contínuo e em tempo discreto e juntos repre sentam a reorganização e revisão mais significativas desta edição Conforme indicamos anteriormente introduzimos o conceito da filtragem no domínio de frequência muito mais cedo no desenvolvimento a fim de fornecer motiva ção e uma aplicação concreta dos métodos de Fourier a se rem desenvolvidos Como na primeira edição iniciamos as discussões no Capítulo 3 enfatizando e ilustrando os dois motivos fundamentais para o importante papel que a aná lise de Fourier desempenha no estudo de sinais e sistemas em tempo contínuo e em tempo discreto 1 classes de si nais extremamente amplas podem ser representadas como somas ponderadas ou integrais de exponenciais complexas e 2 a resposta de um sistema LIT a uma entrada exponen cial complexa é a mesma exponencial multiplicada por um número complexo característico do sistema No entanto em contraste com a primeira edição o foco de atenção no Capítulo 3 está nas representações da série de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo e em tempo discreto Dessa maneira não apenas apresentamos e examinamos muitas das propriedades das representações de Fourier sem a generalização matemática adicional exigida para obter a transformada de Fourier para sinais aperiódicos mas também podemos apresentar a aplicação na filtragem em um estágio muito mais cedo no desenvolvimento Em particular tirando proveito do fato de que as exponenciais complexas são autofunções dos sistemas LIT introduzimos a resposta em frequência de um sistema LIT e a utilizamos para discutir o conceito de filtragem seletiva em frequên cia para introduzir filtros ideais e oferecer vários exemplos de filtros não ideais descritos por equações diferenciais e de diferenças Desse modo com um mínimo de preliminares matemáticas oferecemos ao aluno uma apreciação mais profunda do que significa uma representação de Fourier e por que ela é tão útil Os capítulos 4 e 5 então baseiamse nos funda mentos do Capítulo 3 enquanto desenvolvemos primeiro a transformada de Fourier de tempo contínuo no Capí tulo 4 e de modo paralelo a transformada de Fourier de tempo discreto no Capítulo 5 Nos dois capítulos dedu zimos a representação da transformada de Fourier de um sinal aperiódico como o limite da série de Fourier para um sinal cujo período se torna arbitrariamente gran de Esse ponto de vista enfatiza a relação próxima en tre séries e transformadas de Fourier que desenvolve mos com mais detalhes nas seções seguintes e que nos permite transferir a intuição desenvolvida para as séries de Fourier no Capítulo 3 para o contexto mais geral das transformadas de Fourier Nos dois capítulos incluímos uma discussão das muitas propriedades importantes das transformadas de Fourier com ênfase especial imposta sobre as propriedades de convolução e multiplicação Em particular a propriedade de convolução permitenos dar uma segunda abordagem no assunto de filtragem seletiva em frequência ao passo que a propriedade de multiplica ção serve como ponto de partida para nosso tratamento de amostragem e modulação nos capítulos seguintes Por fim nas últimas seções dos capítulos 4 e 5 usamos mé todos de transformada para determinar as respostas em frequência dos sistemas LIT descritos por equações dife renciais e de diferenças e para fornecer vários exemplos ilustrativos de como as transformadas de Fourier podem ser usadas para calcular as respostas para tais sistemas Suplementando essas discussões e os tratamentos pos teriores das transformadas de Laplace e z incluímos um Apêndice no final do livro que inclui uma descrição do método de expansão em frações parciais Nosso tratamento da análise de Fourier nesses dois capítulos é característica do tratamento paralelo que de senvolvemos Especificamente em nossa discussão no Capítulo 5 podemos ampliar grande parte das ideias de consideravelmente mais coisas das questões de domínio de tempo e frequência Em resposta a sugestões e preferências expressas por muitos leitores da primeira edição modificamos a notação na discussão das transformadas de Fourier para que seja mais consistente com a notação mais utilizada para as transformadas de Fourier de tempo contínuo e de tempo discreto Especificamente a partir do Capítulo 3 agora indicamos a transformada de Fourier de tempo contínuo como Xjω e a transformada de Fourier de tempo discreto como Xejω Assim como todas as opções de notação não existe uma única melhor escolha para a notação das transformadas de Fourier Nosso tratamento da amostragem no Capítulo 7 preocupase principalmente com o teorema da amostragem e suas implicações Entretanto para termos um panorama desse assunto começamos discutindo os conceitos gerais da representação de um sinal de tempo contínuo em termos de suas amostras e a reconstrução de sinais usando a interpolação Após usar os métodos do domínio da frequência para deduzir o teorema da amostragem consideramos os fenômenos da frequência e do aliasing resultante da subamostragem Um dos usos mais importantes da amostragem consiste no processamento em tempo discreto dos sinais de tempo contínuo um tópico que exploramos com mais detalhes neste capítulo Depois disso passamos para a amostragem de sinais em tempo discreto O resultado básico por trás da amostragem em tempo discreto é desenvolvido de maneira que corresponda ao que é usado em tempo contínuo e as aplicações desse resultado são problemas de diminuição e interpolação são descritos na prática Novamente várias outras aplicações tanto em tempo contínuo quanto em tempo discreto são tratadas nos problemas Prefácio xvii da AM senoidal de tempo contínuo que começa com a aplicação direta da propriedade de multiplicação para descrever o efeito da AM senoidal no domínio de frequên cia e para sugerir como o sinal modulado original pode ser recuperado Depois disso desenvolvemos uma série de questões e aplicações adicionais relacionadas à modu lação senoidal incluindo a multiplexação por divisão de frequên cia e modulação de banda lateral única Muitos outros exemplos e aplicações são descritos nos problemas Vários tópicos adicionais são abordados no capítulo 8 O primeiro deles é a modulação de amplitude de um trem de pulsos e a multiplexação por divisão de tempo que tem uma conexão estreita com o tópico de amostragem no Capítulo 7 De fato tornamos esse vínculo ainda mais explícito e oferecemos uma visão do importante campo das comunicações digitais introduzindo e descrevendo rapidamente os tópicos de modulação por amplitude de pulso PAM e interferência intersimbólica Por último nossa discussão de frequência modulada FM oferece ao leitor uma visão de um problema de modulação não line ar Embora a análise de sistemas de FM não seja tão sim ples quanto para o caso da AM nossa abordagem intro dutória indica como os métodos de domínio de frequência podem ser usados para obter uma percepção significativa das características dos sinais e sistemas de FM No decor rer dessas discussões e em muitos outros aspectos da mo dulação e comunicações explorados nos problemas desse capítulo acreditamos que o aluno possa apreciar a riqueza do campo de comunicações e o papel central que as ferra mentas de análise de sinais e sistemas desempenham nele Os capítulos 9 e 10 tratam das transformadas de Laplace e z respectivamente Em sua maior parte foca lizamos as versões bilaterais dessas transformadas em bora na última seção de cada capítulo abordemos as transformadas unilaterais e seu uso na solução de equa ções diferenciais e de diferenças com condições iniciais não nulas Os dois capítulos incluem discussões sobre a relação estreita entre essas transformadas e as transfor madas de Fourier a classe de transformadas racionais e sua representação em termos de polos e zeros a região de convergência de uma transformada de Laplace ou z e sua relação com as propriedades do sinal com o qual está associada transformadas inversas usando expansão em frações parciais o cálculo geométrico de funções de sistema e respostas em frequência a partir de diagramas de polos e zero e propriedades básicas da transformada Além disso em cada capítulo examinamos as proprieda des e os usos das funções de sistema para sistemas LIT Incluímos nessas discussões a determinação das funções de sistema para os sistemas caracterizados por equações diferenciais e de diferenças o uso da álgebra de função de sistema para interconexões de sistemas LIT e a cons trução das representações de diagrama de blocos em cas cata de forma paralela e direta para sistemas com fun ções de sistemas racionais As ferramentas das transformadas de Laplace e z formam a base para nosso exame de sistemas com re alimentação linear no Capítulo 11 Começamos esse capítulo descrevendo uma série de usos e propriedades importantes dos sistemas com realimentação incluindo a estabilização de sistemas instáveis projeto de sistemas de rastreamento e redução da sensibilidade de sistemas Em subsequentes seções usamos as ferramentas que de senvolvemos nos capítulos anteriores para examinar três tópicos que são importantes para os sistemas de realimentação de tempo contínuo e de tempo discreto São estes a análise pelo lugar das raízes diagramas de Nyquist e o critério de Nyquist e diagramas de mag nitudefase e os conceitos de margens de ganho e fase para sistemas com realimentação estáveis O assunto de sinais e sistemas é extraordinariamen te rico e diversas abordagens podem ser usadas na elabo ração de um curso introdutório Foi nossa intenção com a primeira edição e novamente com esta segunda edição fornecer aos professores muita flexibilidade na estrutu ração de suas apresentações do assunto Para obter essa flexibilidade e maximizar a utilidade deste livro para os professores escolhemos apresentar abordagens comple tas e profundas de um conjunto coeso de tópicos que forma o núcleo da maioria dos cursos introdutórios sobre sinais e sistemas Alcançando essa profundidade neces sariamente omitimos introduções a tópicos como descri ções de sinais aleatórios e modelos de espaço de estado que às vezes são incluídos nos primeiros cursos sobre sinais e sistemas Tradicionalmente em muitas escolas esses assuntos não são contemplados em cursos introdu tórios mas são desenvolvidos com mais profundidade em cursos de graduação posteriores ou em cursos dedicados explicitamente à sua investigação Embora não tenhamos incluído uma introdução a espaço de estados no livro os professores de cursos introdutórios podem facilmente incorporála nas abordagens de equações diferenciais e de diferenças que podem ser encontradas no decorrer do livro Em particular as discussões nos capítulos 9 e 10 sobre representações em diagrama de blocos para sistemas com funções de sistemas racionais e sobre transforma das unilaterais e seu uso na solução de equações diferenciais e de diferenças com condições iniciais formam pontos de partida naturais para as discussões das representações no espaço de estados Um curso típico de um semestre no nível de se gundo ano usando este livro abordaria os capítulos 1 a 5 gundo ano usando este livro abordaria os capítulos 1 a 5 esta segunda edição Também expressamos nosso apreço por John Buck Michael Daniel e Andrew Singer por escreverem o livro complementarem o desenvolvimento MATLAB para este livro Além disso gostaríamos de agradecer a Jason Oppenheim pelo uso de uma das fotografias originais e a Vivian Berman por suas ideias e ajuda para chegarmos a um projeto de capa Além disso conforme indicado na página de agradecimentos a seguir somos profundamente gratos aos muitos alunos e colegas que dedicaram uma quantidade de horas significativa a um série de aspectos da preparação desta segunda edição Também gostaríamos de expressar nossos sinceros agradecimentos ao Sr Ray Stata e a Analog Devices Inc por seu suporte generoso e contínuo ao processamento de sinais a este texto por meio do patrocínio da Cadeira de Distinto Professor em Engenharia Elétrica Também agradecemos ao MIT por oferecer suporte e um ambiente estimulante para desenvolvermos nossas ideias O encorajamento a paciência o apoio técnico e o entusiasmo fornecidos pela PrenticeHall e em particular por Marcia Horton Tom Robbins Don Fowley e seus predecesores além de Ralph Prentice da TKM Productions e o pessoal de produção da PrenticeHall foram fundamentais para tornar esta segunda edição uma realidade Alan V Oppenheim Alan S Willsky Cambridge Massachusetts Na produção desta edição tivemos a felicidade de receber assistência de muitos colegas alunos e amigos que foram extremamente generosos com seu tempo Ex pressamos nosso profundo reconhecimento a Jon Maiara e Ashok Popat por sua ajuda na cria ção de muitas das figuras e imagens Babak Ayazifar e Austin Frakt por sua ajuda na atualização e montagem da bibliografia Ramamurthy Mani por preparar o manual de so luções para o texto e por sua ajuda na criação de muitas das figuras Michael Daniel pela coordenação e gerenciamen to dos arquivos em LaTeX à medida que os vários rascu nhos desta edição eram produzidos e modificados John Buck por sua leitura atenta do rascunho in teiro desta obra Robert Becker Sally Bemus Maggie Beucler Ben Halpern Jon Maira Chirag Patel e Jerry Weins tein por seus esforços na produção dos diversos rascu nhos deste livro em LaTeX E a todos os que ajudaram na revisão cuidadosa das provas de página Agradecimentos Sean Lindsay Jeffrey T Ludwig Seth Pappas Adrienne Prahler Ryan Riddolls Alan Seefeldt Sekhar Tatikonda Shawn Verbout Kathleen Wage Alex Wang Joseph Winograd Babak Ayazifar Richard Barron Rebecca Bates George Bevis Sarit Birzon Nabil Bitar Nirav Dagli Anne Findlay Austin Frakt Siddhartha Gupta Christoforos Hadjicostis Terrence Ho Mark Ibanez Seema Jaggi Patrick Kreidl Christina Lamarre Nicholas Laneman Li Lee Agradecimentos da editora sobre a edição brasileira Agradecemos a todos os profissionais que trabalha ram na produção desta edição de Sinais e sistemas em es pecial aos revisores técnicos a professora doutora Maria D Miranda do Departamento de Telecomunicações e Controle da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo e ao professor doutor Marcio Eisencraft do Centro de Engenharia Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas da Universidade Federal do ABC pela atenção pelo cui dado com a revisão e principalmente pela preocupação em manter a obra fiel à edição original Agradecemos também aos demais professores que colaboraram com a avaliação desta edição auxiliandonos a manter a qualidade do livro Newton Maruyama Renato da Rocha Lopes José Carlos de Souza Jr Eduardo Lobo Lustosa Cabral Ivan R S Casella José Carlos Teixeira de Barrros Moraes Eduardo de Azevedo Botler Marco Antonio A Melo Magda A S Duro Os conceitos de sinais e sistemas surgem em diver sos campos e as ideias e técnicas associadas a esses con ceitos desempenham um papel importante em áreas di versificadas da ciência e tecnologia como comunicações aeronáutica e astronáutica projeto de circuitos acústica sismologia engenharia biomédica sistemas de geração e distribuição de energia controle de processos químicos e processamento de voz Embora a natureza física dos si nais e sistemas que surgem nessas várias especialidades possa ser drasticamente diferente todos eles possuem duas características muito básicas em comum Os sinais que são funções de uma ou mais variáveis independentes contêm informações sobre o comportamento ou natureza de algum fenômeno enquanto os sistemas respondem a sinais em particular produzindo outros sinais ou algum comportamento desejado Tensões e correntes como uma função do tempo em um circuito elétrico são exemplos de sinais e um circuito por si só é um exemplo de um sistema que nesse caso responde a tensões e correntes aplicadas Como outro exemplo quando um motorista de automóvel pressiona o pedal do acelerador o veículo responde aumentando a velocidade Nesse caso o sistema é o automóvel a pressão sobre o pedal do acelerador é a entrada do sistema e a velocidade do veículo é a resposta Um programa de computador para o diagnóstico auto matizado de eletrocardiogramas pode ser visto como um sistema que tem como sua entrada um eletrocardiogra ma digitalizado e que produz estimativas de parâmetros como a frequência cardíaca como saídas Uma câmera é um sistema que recebe luz de diversas fontes inclusive refletidas de objetos e produz uma fotografia Um braço de robô é um sistema cujos movimentos são a resposta a entradas de controle Nos muitos contextos em que surgem sinais e sis temas existem diversos problemas e questões importan tes Em alguns casos somos apresentados a um sistema Prólogo específico e estamos interessados em caracterizálo em detalhes para entender como ele responderá a várias en tradas Exemplos incluem a análise de um circuito a fim de quantificar sua resposta a diferentes fontes de tensão e corrente e a determinação das características de resposta de uma aeronave tanto aos comandos do piloto quanto às rajadas de vento Em outros problemas de análise de sinais e sistemas em vez de analisar os sistemas existentes nosso interesse pode estar focalizado no projeto de sistemas para proces sar sinais de maneiras particulares Um contexto muito comum em que esses problemas surgem é no projeto de sistemas para melhorar ou restaurar sinais que foram de gradados de alguma maneira Por exemplo quando um piloto está se comunicando com uma torre de controle de tráfego aéreo a comunicação pode ser degradada pelo alto nível de ruído de fundo na cabine Neste e em mui tos casos semelhantes é possível projetar sistemas que retenham o sinal desejado nesse caso a voz do pilo to e rejeitem pelo menos aproximadamente o sinal indesejado ou seja o ruído Um conjunto de objetivos semelhante também pode ser encontrado na área geral de restauração e melhoria de imagens Por exemplo as imagens de sondas espaciais ou de satélites de observação da Terra tipicamente representam versões degradadas das cenas apresentadas devido a limitações do equipamen to de imagem efeitos atmosféricos e erros na transmissão de sinais no retorno das imagens à Terra Consequen temente as imagens retornadas do espaço costumam ser processadas por sistemas para compensar algumas dessas degradações Além disso tais imagens usualmen te são processadas para melhorar certas características como linhas correspondentes por exemplo a leitos de rio ou falhas geológicas ou limites de regiões em que existem contrastes nítidos na cor ou no brilho Prólogo xxi Além da melhoria e restauração em muitas apli cações há a necessidade de projetar sistemas para ex trair informações específicas dos sinais A estimativa da frequên cia cardíaca a partir de um eletrocardiograma é um exemplo Outro exemplo está na projeção econômica Podemos por exemplo querer analisar o histórico de uma série temporal econômica como um conjunto de médias de ações para estimar tendências e outras características como variações sazonais que podem ser úteis para fazer previsões sobre o comportamento futuro Em outras apli cações o foco pode estar no projeto de sinais com pro priedades particulares Especificamente em aplicações de comunicações há uma atenção considerável no projeto de sinais de modo a atender às restrições e aos requisitos para a transmissão bemsucedida Por exemplo a comu nicação por longa distância através da atmosfera requer o uso de sinais com frequências em determinada parte do espectro eletromagnético O projeto de sinais de comuni cação também deve levar em consideração a necessidade de recepção confiável na presença tanto de distorção de vido à transmissão pela atmosfera quanto de interferência de outros sinais sendo transmitidos simultaneamente por outros usuários Outra classe de aplicações muito importante em que aparecem os conceitos e as técnicas de análise de sinais e sistemas são aquelas aplicações em que queremos modi ficar ou controlar as características de determinado siste ma talvez pela escolha de sinais de entrada específicos ou pela combinação do sistema com outros sistemas Como ilustração desse tipo de aplicação temse o projeto de sis temas de controle para regular plantas de processamento químico As plantas desse tipo são equipadas com diver sos sensores que medem sinais físicos como temperatu ra umidade e composição química O sistema de controle em tal planta responde aos sinais dos sensores ajustando quantidades como taxas de fluxo e temperatura a fim de regular o processo químico em andamento O projeto de pilotos automáticos de aeronaves e sistemas de con trole por computador representa outro exemplo Nesse caso os sinais medindo velocidade da aeronave altitude e direção são usados pelo sistema de controle da aerona ve para ajustar as variáveis como a aceleração e a posição do leme de direção e dos ailerons Esses ajustes são feitos para garantir que a aeronave siga um curso especifica do para suavizar a viagem da aeronave e para melhorar a capacidade de resposta aos comandos do piloto Nes se caso e no exemplo anterior de controle de processo químico um conceito importante conhecido como rea limentação desempenha um papel fundamental pois os sinais medidos são realimentados e usados para ajustar as características de resposta de um sistema Os exemplos citados nos parágrafos anteriores represen tam apenas algumas de uma variedade extraordinariamente grande de aplicações para os conceitos de sinais e sistemas A importância desses conceitos vem não apenas da diver sidade de fenômenos e processos em que eles surgem mas também de um acervo de ideias técnicas analíticas e meto dologias que existem e estão sendo desenvolvidas e usadas para solucionar problemas envolvendo sinais e sistemas A história desse desenvolvimento remete a muitos séculos e apesar de a maior parte desse trabalho ter sido motivada por aplicações específicas muitas dessas ideias provaram ter importância essencial para problemas em uma varie dade muito maior de contextos do que aqueles para os quais foram intencionadas originalmente Por exemplo as ferramentas de análise de Fourier que formam a base para a análise de domínio de frequência de sinais e sis temas e que desenvolveremos em detalhes neste livro foram estudados desde os problemas de astronomia ana lisados pelos antigos babilônios até o desenvolvimento da física matemática nos séculos XVIII e XIX Em alguns dos exemplos que mencionamos os si nais variam continuamente no tempo enquanto em ou tros sua evolução é descrita apenas em instantes discretos no tempo Por exemplo na análise de circuitos elétricos e sistemas mecânicos preocupamonos com sinais que variam continuamente Por outro lado a média de fecha mento diário no mercado de ações é por sua própria na tureza um sinal que evolui em pontos discretos no tem po ou seja no fechamento de cada dia Em vez de uma curva como uma função de uma variável contínua en tão a média de fechamento do mercado de ações é uma sequência de números associados a instantes de tempo discretos em que ela é especificada Essa distinção na descrição básica da evolução dos sinais e dos sistemas que respondem ou processam esses sinais leva natural mente a duas estruturas paralelas para análise de sinais e sistemas uma para fenômenos e processos que são descritos em tempo contínuo e uma para aqueles que são descritos em tempo discreto Os conceitos e técnicas associados a sinais e sistemas de tempo contínuo e a sinais e sistemas de tempo discreto possuem uma história rica e em conceito são bastante relacionados Historicamente porém como suas aplica ções no passado foram um tanto diferentes em sua maior parte eles têm sido estudados e desenvolvidos separada mente Os sinais e sistemas de tempo contínuo possuem raízes muito fortes nos problemas associados à física e no passado mais recente a circuitos elétricos e comunicações As técnicas de sinais e sistemas de tempo discreto possuem várias formas de análise numérica estatística e análise de série de tempo associadas a aplicações como análise de dados econômicos e demográficos Durante as últimas décadas contudo essas duas áreas usam sinais e sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto tornaramse cada vez mais interrelacionadas O principal incentivo para isso veio dos incríveis avanços na tecnologia para a implementação de sistemas e para a geração de sinais Especificamente o desenvolvimento contínuo de computadores digitais de alta velocidade os circuitos integrados e as técnicas sofisticadas de fabricação de dispositivos de alta densidade têm tornado cada vez mais viável considerado o processamento de sinais de tempo contínuo representandoo por amostras no tempo ou seja convertendoos em sinais de tempo discreto Como um exemplo o sistema de controle de computador leva aeronave moderna ao alto desempenho digitalizado saídas do sensor como a velocidade do veículo a fim de produzir uma sequência de medições amostrais que são então processadas pelo sistema de controle Em virtude do interrelacionamento crescente entre sinais e sistemas de tempo contínuo e sinais e sistemas de tempo discreto e por causa da relação estreita entre os conceitos e as técnicas associados a cada um decidimos desenvolver neste texto os conceitos de sinais e sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto em paralelo Como muitos dos conceitos são semelhantes mas não idênticos tratandoos em paralelo podemse compartilhar percepção e intuição e as semelhanças entre eles tornamse mais bem focadas Além disso conforme será evidente enquanto proseguimos com o material existem alguns conceitos que são inerentemente mais fáceis de entender em uma estrutura do que na outra e uma vez compreendidos a ideia é facilmente transferível Além disso esse tratamento paralelo facilita bastante a nossa compreensão do contexto prático muito importante em que tempo contínuo e tempo discreto são reunidos ou seja a amostragem de sinais de tempo contínuo e o processamento de sinais de tempo contínuo usando sistemas de tempo discreto Como descrevemos no Prólogo noções intuitivas de sinais e sistemas surgem em ampla variedade de contextos Além disso como veremos neste livro existe um esquema de análise isto é uma linguagem adequada para descrever sinais e sistemas e um conjunto extremamente poderoso de ferramentas para analisálos que se aplica igualmente bem em problemas originários de diversos domínios Neste capítulo começaremos a desenvolver nosso esquema de análise para sinais e sistemas introduzindo sua descrição matemática e suas representações Exemplo de uma gravação de fala Adaptado de Oppenheim A V ed Applications of digital signal processing Englewood Cliffs N J PrenticeHall Inc 1978 p 121 O sinal representa variações de pressão acústica em função de tempo para as palavras faladas em inglês should we chase A primeira linha da figura corresponde à palavra should a segunda linha corresponde à palavra we e as últimas duas linhas à palavra chase Indicamos o início e o final aproximado de cada som sucessivo em cada palavra Exemplo de sinal de tempo discreto índice semanal DowJones da Bolsa de Valores de Nova York de 5 de janeiro de 1929 a 4 de janeiro de 1930 tempo discreto xn representa amostras sucessivas de um fenômeno para o qual a variável independente é contínua Devido à sua velocidade capacidade computacional e flexibilidade os processadores digitais modernos são usados para implementar muitos sistemas práticos que vão dos pilotos automáticos até os sistemas de áudio digital Sistemas desse tipo requerem o uso de sequências de tempo discreto representando versões amostradas de sinais de tempo contínuo por exemplo posição da aeronave velocidade e direção para um piloto automático ou fala e música para um sistema de áudio Além disso imagens em jornais ou neste livro por exemplo consistem de fato em uma muito fina de pontos e cada um desses pontos representa uma amostra do brilho do ponto correspondente na imagem original No entanto independentemente de fonte dos dados o sinal xn é definido somente para valores inteiros de n Não faz sentido referirse tanto a amostra 35 de um sinal de fala digital quanto à renda média de uma família com 25 membros Ao longo de quase todo o livro trataremos os sinais de tempo discreto e os sinais de tempo contínuo separadamente porém em paralelo de forma que os conhecimentos desenvolvidos para um caso possam auxiliar a compreensão do outro No Capítulo 7 voltaremos à questão da amostragem e nesse contexto utilizaremos conjuntamente os conceitos de tempo discreto e de tempo contínuo para examinar a relação entre um sinal de tempo contínuo e um sinal de tempo discreto obtido a partir de sua amostragem A energia total dissipada no intervalo de tempo t1 leq t leq t2 é E intt1t2 ptdt intt1t2 frac1R xt2 dt A potência média durante esse intervalo de tempo é barP frac1t2 t1 intt1t2 ptdt frac1t2 t1 intt1t2 frac1R xt2 dt Tendo como motivação exemplos físicos simples como estes é usual considerar a mesma terminologia para potência e energia de qualquer sinal de tempo contínuo xt e de qualquer sinal de tempo discreto xn Assim como veremos a seguir muitos sinais na prática é conveniente considerar sinais que assumem valores complexos Nesse caso a energia total no intervalo de tempo t1 leq t leq t2 do sinal de tempo contínuo xt é definida como intt1t2 xt2 dt e em sumnt1t2 xn2 Notese que para alguns sinais a integral na Equação 16 ou a soma na Equação 17 podem não convergir por exemplo se xt e xn forem iguais a um valor constante diferente de zero para todo t ou n Sinais desse tipo têm energia infinita enquanto sinais com Ex infty têm energia finita Com essas definições podemos identificar três importantes classes de sinais A primeira é a classe de sinais com energia total finita isto é os sinais para os quais Ex infty Um sinal desse tipo deve ter potência média igual a zero pois no caso do tempo contínuo por exemplo temos a partir da Equação 18 que Pinfty limT o infty fracExT 0 Sinais e sistemas 7 de xt como uma gravação em fita magnética então x2t será essa gravação reproduzida com o dobro da velocidade e xt2 com a metade da velocidade É interessante determinar o efeito da transformação da variável independente do sinal xt para se obter um si nal da forma xαt β em que α e β são números dados Uma transformação como esta da variável independente preserva a forma de xt exceto pelo fato de que o sinal re sultante pode ser linearmente estendido se α 1 linear mente comprimido se α 1 refletido no tempo se α 0 e deslocado no tempo se β for diferente de zero Isso é ilustrado no conjunto de exemplos a seguir Exemplo 11 Dado o sinal xt mostrado na Figura 113a veja p 8 o sinal xt 1 corresponde a um adiantamento desloca mento para a esquerda por uma unidade ao longo do eixo t conforme ilustra a Figura 113b Especificamente percebe mos que o valor de xt em t t0 ocorre em xt 1 no instante t t0 1 Por exemplo o valor de xt em t 1 é encontrado em xt 1 em t 1 1 0 Igualmente se xt é zero para t 0 temos xt 1 igual a zero para t 1 De modo se melhante se xt é zero para t 2 xt 1 é zero para t 1 Consideremos também o sinal x t 1 que pode ser obtido ao substituirmos t por t em xt 1 Isto é x t 1 é a versão em tempo refletido de xt 1 Assim x t 1 pode ser obtido graficamente espelhandose xt 1 em relação ao eixo t como mostra a Figura 113c Exemplo 12 Dado o sinal xt mostrado na Figura 113a o sinal x3 2 t corresponde a uma compressão linear de xt por um fator de 2 3 como ilustrado na Figura 113d Notamos espe cificamente que o valor de xt em t t0 acontece em x3 2 t para t 2 3 t0 Por exemplo o valor de xt em t 1 acontece em x3 2 t no instante t 2 3 1 2 3 Também como xt é zero para t 0 teremos x3 2 t igual a zero para t 0 De modo seme lhante como xt é zero para t 2 então x3 2 t é zero para t 4 3 Exemplo 13 Suponha que gostaríamos de determinar o efeito de trans formar a variável independente de um dado sinal xt para ob ter um sinal da forma xαt β em que α e β são números dados Um método sistemático de fazer isso é primeiro atrasar ou adiantar xt de acordo com o valor de β e depois efetuar a mudança de escala no tempo eou a reflexão no tempo no sinal resultante de acordo com o valor de α O sinal adiantado ou atrasado será linearmente estendido se α 1 linearmente comprimido se α 1 e refletido no tempo se α 0 Para ilustrar esse método vamos mostrar como x3 2 t 1 pode ser determinado para o sinal xt exibido na Figu ra 113a Sendo β 1 primeiro adiantamos deslocamos para a esquerda xt de 1 como mostra a Figura 113b Sendo α 3 2 podemos comprimir linearmente o sinal des locado da Figura 113b por um fator de 2 3 para obter o sinal mostrado na Figura 113e Além de serem usadas na representação de fenô menos físicos como o deslocamento no tempo em um sinal de sonar ou a aceleração ou reflexão de uma fita de áudio as transformações da variável independente são extremamente úteis na análise de sinais e sistemas Na Seção 16 e no Capítulo 2 usaremos transformações da variável independente para apresentar e analisar as propriedades dos sistemas Essas transformações também são importantes para definirmos e examinarmos algumas propriedades importantes dos sinais 122 Sinais periódicos Uma classe fundamental de sinais que encontrare mos com frequência em todo o livro é a classe dos sinais periódicos Um sinal periódico de tempo contínuo xt tem a propriedade de que existe um valor positivo T para o qual xt xt T 111 para todos os valores de t Em outras palavras um sinal periódico tem a propriedade de não se modificar pelo des locamento no tempo de T Nesse caso dizemos que xt xt2 t x2t xt t t Figura 112 Sinais de tempo contínuo relacionados por mudança de escala no tempo Sinais e sistemas é periódico com período T Sinais periódicos de tempo contínuo aparecem em muitos contextos Por exemplo como ilustrado no Problema 261 as respostas naturais de sistemas em que a energia é conservada como os circuitos Lidéais sem dissipação de energia resistiva e os sistemas mecânicos ideais sem perdas por atrito são periódicos e na verdade são compostas de alguns dos sinais periódicos básicos que apresentamos na Seção 13 Um sinal ímpar deve necessariamente ser 0 em t 0 ou n 0 pois as equações 116 e 117 determinam que x0 x0 e x0 x0 Exemplos de sinais de tempo contínuo com simetria par e com simetria ímpar são mostrados na Figura 117 Portanto os sinais ejomega t e ejomega t têm o mesmo período fundamental Um sinal diretamente relacionado à exponencial complexa periódica é o sinal senoidal xt A cosomega0 t phi como ilustrado na Figura 120 Sendo a unidade de t em segundos as unidades de φ e ω0 são radianos e radianos por segundo respectivamente Também é comum escrevermos ω0 2pi f0 sendo que f0 tem a unidade de ciclos por segundo ou hertz Hz Assim como o sinal exponencial complexo o sinal senoidal é periódico com período fundamental T0 dado pela Equação 124 Sinais exponenciais complexos e sinais senoidais também são usados para descrever as características de muitos processos físicos em particular sistemas físicos nos quais a energia é conservada Por exemplo conforme mostrado no Problema 261 a resposta natural de um circuito LC é senoidal bem como o movimento harmônico simples de um sistema mecânico consistindo em uma massa conectada por uma mola a uma base fixa As variações de pressão acústica correspondentes a um único tom musical também são senoidais Usando a relação de Euler a exponencial complexa na Equação 121 pode ser escrita em termos de sinais senoidais com o mesmo período fundamental ejomega0 t cosomega0 t j senomega0 t Do mesmo modo o sinal senoidal da Equação 125 pode ser escrito em termos de exponenciais complexas periódicas novamente com o mesmo período fundamental A cosomega0 t phi fracA2 ejomega0 t phi fracA2 ejomega0 t phi Note que as duas exponenciais na Equação 127 têm amplitudes complexas Alternativamente podemos expressar um sinal senoidal em termos de um sinal exponencial complexo como A cosomega0 t phi A Reejomega0 t phi em que se c é um número complexo Rec denota sua parte real Também usaremos a notação Imc para a parte imaginária de c de modo que por exemplo A senomega0 t phi A Imejomega0 t phi A partir da Equação 124 vemos que o período fundamental T0 de um sinal senoidal de tempo contínuo ou de uma exponencial periódica complexa é inversamente proporcional a ω0 à qual nos referimos como frequência fundamental A Figura 121 nos mostra graficamente o que isso significa Se diminuímos o módulo de ω0 reduziremos a taxa de oscilação ω com isso aumentamos o período Efeitos exatamente opostos ocorrem se aumentamos o módulo de ω0 Considere agora ω0 0 Nesse caso como mencionamos anteriormente xt é constante e portanto periódico com período T para todo valor positivo de T Assim o período fundamental de um sinal constante é indefinido Por outro lado não há ambiguidade em definirmos a frequência fundamental de um sinal constante como sendo zero Ou seja um sinal constante tem taxa de oscilação zero que examinamos até agora a exponencial real e a exponencial periódica complexa Especificamente considere uma exponencial complexa C extexp na qual C é expresso na forma polar e a na forma retangular Ou seja C Cej heta e a r jomega Então C extexp Cej heta jomega t Cejleftomega t hetaright Usando a relação de Euler podemos expandila como C extexp Cejcosomega0 t heta jCejsinomega0 t heta Portanto para r 0 as partes real e imaginária de uma exponencial complexa são senoidais Para r 0 elas correspondem a sinais senoidais multiplicados por uma exponencial crescente e para r 0 elas correspondem a sinais senoidais multiplicados por uma exponencial decrescente Esses dois casos são mostrados na Figura 123 As linhas pontilhadas na figura correspondem às funções C extexp A partir da Equação 142 vemos que Ce extexp é o módulo da exponencial complexa Assim as curvas xt Calphan Portanto se C é uma constante como descrito anteriormente e n é um número complexo também podemos expressar essa equação na forma xn Cebeta n sendo alpha ejbeta Embora a forma da sequência exponencial complexa de tempo discreto dada na Equação 145 seja parecida à forma da exponencial de tempo contínuo costuma ser mais conveniente expressar a sequência exponencial complexa de tempo discreto na forma da Equação 144 Sinais exponenciais reais Se C e alpha são reais podemos ter diferentes tipos de comportamento como ilustrado na Figura 124 Se alpha 1 o módulo do sinal cresce exponencialmente com n ao passo que alpha 1 temos uma exponencial decrescente Além disso se alpha é positivo todos os valores de Calphan terão o mesmo sinal mas se alpha é negativo o sinal de xn é alternado Note também que se alpha 1 o valor de xn é alternado entre C e C Exponenciais de tempo discreto e valor real também são geralmente usadas para descrever o crescimento xn A cosomega0 n phi Se assumimos n como adimensional então tanto omega0 quanto φ têm unidades de radianos Três exemplos de sequências senoidais são mostrados na Figura 125 Como anteriormente a relação de Euler permitenos relacionar senóides e exponenciais complexas ejomega0 n cosomega0 n jsinomega0 n e A cosomega0 n phi fracA2 ejphi j omega0 n fracA2 ejphi j omega0 n Os sinais nas equações 146 e 147 são exemplos de sinais de tempo discreto com energia total infinita mas potência média finita Por exemplo como omega 1 qualquer amostra do sinal representado na Equação 146 contribui com 1 para a energia do sinal Assim a energia total para infty n infty é infinita enquanto a potência média para amostra é obviamente igual a 1 Outros exemplos de cálculos de energia e da potência dos sinais de tempo discreto são dados nos Problemas 12 e 13 Sinais e sistemas 17 Da Equação 151 vemos que o sinal exponencial na fre quência ω0 2π é o mesmo na frequência ω0 Logo temos uma situação bem diferente do caso do tempo contínuo em que os sinais ejω0t são todos distintos para valores distintos de ω0 No tempo discreto esses sinais não são distintos pois o sinal de frequência ω0 é idêntico aos sinais de frequências ω0 2π ω0 4π e assim por diante Dessa forma ao con siderarmos os sinais exponenciais complexos de tempo discreto precisamos apenas considerar ω0 em um inter valo de comprimento 2π De acordo com a Equação 151 embora qualquer intervalo de comprimento 2π possa ser usado na maioria das vezes usaremos o intervalo 0 ω0 2π ou o intervalo π ω0 π Devido à periodicidade indicada na Equação 151 o sinal ejω0n não tem uma taxa crescente de oscilação com o aumento do módulo de ω0 Em vez disso como ilustra a Figura 127 quando aumentamos ω0 a partir de 0 obte mos sinais que oscilam cada vez mais rápido até alcançar ω0 π À medida que continuamos a aumentar ω0 dimi nuímos a taxa de oscilação até chegar em ω0 2π o que gera a mesma sequência constante que ω0 0 Portanto os sinais exponenciais de baixa frequência ou seja varia ção lenta de tempo discreto têm valores de ω0 próximos de 0 2π e qualquer outro múltiplo par de π e os valo res das altas frequências que correspondem a variações rápidas estão próximos de ω0 π e outros múltiplos ímpares de π Notese que em particular para ω0 π ou qualquer múltiplo ímpar de π ejπn ejπn 1n 152 de modo que esse sinal oscila rapidamente mudando o sinal em todos os instantes de tempo como ilustrado na Figura 127e A segunda propriedade que devemos considerar diz respeito à periodicidade do sinal exponencial complexo de tempo discreto Para que o sinal ejω0N seja periódico com período N 0 devemos ter ejω0nN ejω0n 153 ou de modo equivalente ejω0N 1 154 Para que a Equação 154 seja satisfeita ω0N deve ser múl tiplo de 2π Ou seja deve haver um número inteiro m de modo que ω0N 2πm 155 ou de modo equivalente ω π 0 2 m N 156 n n a b Figura 126 a Sinais senoidais crescentes de tempo discreto b senoide decrescente de tempo discreto xn cos0n 1 Sinais e sistemas 19 De acordo com a Equação 156 o sinal ejω0n é periódico se ω02π é um número racional caso contrário ele é não periódico Essas mesmas observações são válidas para as sequências senoidais de tempo discreto Por exemplo os sinais representados na Figura 125a e b são periódi cos mas o sinal na Figura 125c não é Usando os cálculos que acabamos de fazer tam bém podemos determinar a frequência e o período funda mental das exponenciais complexas de tempo discreto sendo que definimos a frequência fundamental de um sinal periódico de tempo discreto da mesma forma que fizemos no tempo contínuo Ou seja se xn é perió dico com período fundamental N sua frequência fun damental é 2πN Considere então uma exponencial periódica complexa xn ejω0n com ω0 0 Como aca bamos de ver ω0 deve satisfazer a Equação 156 para algum par de números inteiros m e N sendo N 0 No Problema 135 mostraremos que se ω0 0 e se N e m não têm nenhum fator em comum então o período fundamental de xn é N Usando este fato com a Equa ção 156 encontramos que a frequência fundamental do sinal periódico ejω0n é 2 0 π ω N m 157 Notese que o período fundamental também pode ser escrito como N m 2 0 π ω 158 Essas duas últimas expressões diferem novamen te de suas equivalentes de tempo contínuo Na Tabela 11 resumimos algumas das diferenças entre o sinal de tem po contínuo ejω0t e o sinal de tempo discreto ejω0n Notese que como no caso do tempo contínuo o sinal constante de tempo discreto resultante da escolha ω0 0 tem uma frequência fundamental igual a zero e seu período fun damental é indefinido Para compreender melhor essas propriedades vamos examinar mais uma vez os sinais representa dos na Figura 125 Primeiro considere a sequência xn cos2πn12 mostrada na Figura 125a que podemos interpretar como um conjunto de amostras do sinal senoidal de tempo contínuo xt cos2πt12 em instantes de tempo inteiros Nesse caso xt é pe riódico com período fundamental 12 e xn também é periódico com período fundamental 12 Ou seja os va lores de xn repetemse a cada 12 pontos exatamen te no mesmo passo que o período fundamental de xt Em contrapartida considere o sinal xn cos8πn31 representado na Figura 125b o qual pode ser visto como o conjunto de amostras de xt cos8πt31 em instantes de tempo inteiros Nesse caso xt é periódico com período fundamental 314 Por outro lado xn é periódico com período fundamental 31 A razão dessa diferença é que o sinal de tempo discreto é definido so mente para valores inteiros da variável independente Por isso não há nenhuma amostra no instante t 314 quando xt completa um período começando em t 0 Do mesmo modo não há nenhuma amostra em t 2 314 ou t 3 314 quando xt completa dois ou três perío dos mas há uma amostra em t 4 314 31 quando xt completa quatro períodos Isso pode ser visto na Figura 125b em que o padrão dos valores xn não se repete a cada ciclo de valores positivos e negativos Em vez disso o padrão repetese depois de quatro desses ciclos isto é a cada 31 pontos De modo semelhante o sinal xn cosn6 pode ser visto como um conjunto de amostras do sinal xt cost6 em instantes de tempo inteiros Nesse caso os valores de xt em instantes de tempo inteiros nunca se repetem uma vez que esses pontos de amostragem nun TABELA 11 Comparação dos sinais e jω0t e e jω0n e jω0t ejω0n Sinais diferentes para valores diferentes de ω0 Sinais idênticos para valores de ω0 espaçados por múltiplos de 2π Periódico para qualquer escolha de ω0 Periódico somente se ω0 2πmN para valores inteiros de N 0 e m Frequência fundamental ω0 Frequência fundamental ω0m Período fundamental Período fundamental ω0 0 indefinido ω0 0 indefinido ω0 0 2 0 ωπ ω0 0 m 2 0 π ω Supõe que m e N não têm fatores em comum Um dos sinais de tempo discreto mais simples é o impulso unitário ou amostra unitária definido como δn 0 n 0 1 n 0 Há uma relação direta entre o impulso unitário de tempo discreto e o degrau unitário de tempo discreto Particularmente o impulso unitário de tempo discreto é a primeira diferença do degrau de tempo discreto Funcionamento de grau unitário de tempo contínuo Impulso com área k O produto xt δt Sinais e sistemas 25 Para conferir nosso resultado verificamos que pode mos recuperar xt a partir de xt Mais especificamente como xt e xt são ambos zero para t 0 precisamos ape nas conferir que para t 0 x t x d t ɺ τ τ 0 177 Conforme ilustrado na Figura 140c para t 1 a integral no membro direito da Equação 177 é zero pois nenhum dos impulsos que constituem xt está dentro do intervalo da integração Para 1 t 2 o primeiro impulso localiza do em t 1 é o único dentro do intervalo da integração e portanto a integral na Equação 177 é igual a 2 a área desse impulso Para 2 t 4 os dois primeiros impulsos es tão dentro do intervalo da integração e a integral acumu la a soma de ambas as áreas ou seja 2 3 1 Por fim para t 4 todos os três impulsos estão dentro do intervalo da integra ção de modo que a integral é igual à soma de todas as três áreas isto é 2 3 2 1 O resultado é exatamente o sinal xt representado na Figura 140a 15 Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto Os sistemas físicos em sentido amplo são uma in terconexão de componentes dispositivos ou subsistemas Em contextos que vão desde as comunicações e o proces samento de sinais até os motores eletromecânicos veícu los automotores e plantas de processamento químico um sistema pode ser visto como um processo em que os sinais de entrada são transformados pelo sistema ou induzem o sistema a responder de alguma forma resultando em outros sinais de saída Por exemplo um sistema de alta fidelidade toma um sinal de áudio gravado e gera uma reprodução daquele sinal Se o sistema de alta fidelidade tem controles de tom podemos mudar a qualidade to nal do sinal reproduzido Da mesma forma o circuito na Figura 11 pode ser visto como um sistema com tensão de entrada vst e tensão de saída vct enquanto o auto móvel na Figura 12 pode ser tido como um sistema com entrada igual à força ft e saída igual à velocidade vt do veículo Um sistema de realce de imagem transforma uma imagem de entrada em uma imagem de saída com algu mas propriedades desejadas como contraste melhorado Um sistema de tempo contínuo é um sistema em que os sinais de entrada de tempo contínuo são aplicados e resultam em sinais de saída de tempo contínuo Os siste mas desse tipo serão representados em ilustrações como na Figura 141a em que xt é a entrada e yt é a saída Alternativamente representaremos de forma frequente a relação entradasaída de um sistema de tempo contínuo pela notação xt yt 178 Do mesmo modo um sistema de tempo discreto isto é um sistema que transforma entradas de tempo discreto em saídas de tempo discreto será esboçado como na Figura 141b e por vezes representado simbolicamente como xn yn 179 Na maior parte deste livro trataremos os sistemas de tem po discreto e os sistemas de tempo contínuo separadamen te mas em paralelo No Capítulo 7 colocaremos juntos os sistemas de tempo discreto e de tempo contínuo por meio do conceito de amostragem e desenvolveremos algumas ideias sobre o uso dos sistemas de tempo discreto para pro cessar sinais de tempo contínuo que foram amostrados 151 Exemplos simples de sistemas Uma das motivações mais importantes para o de senvolvimento de ferramentas gerais para a análise e o projeto de sistemas é o fato de sistemas de muitas apli cações diferentes terem descrições matemáticas muito parecidas Para ilustrar esse fato começamos com alguns exemplos simples Exemplo 18 Vejamos o circuito RC representado na Figura 11 Se consideramos vst como o sinal de entrada e vct como o si nal de saída podemos usar a análise simples do circuito para obter uma equação descrevendo a relação entre a entrada e a saída De modo explícito a partir da lei de Ohm a corrente Sistema de tempo contínuo a yt xt Sistema de tempo discreto b yn xn Figura 141 a Sistema de tempo contínuo b sistema de tempo discreto yn xn 1 xn 186 Sinais e sistemas 27 mos ferramentas para uma classe particular de sistemas definidos como sistemas lineares e invariantes no tempo Na próxima seção apresentaremos as propriedades que caracterizam essa classe bem como várias outras pro priedades básicas muito importantes de sistemas A segunda característica mencionada no parágra fo anterior é de importância evidente para que qualquer técnica de análise de sistemas tenha valor prático É um fato bastante consolidado que uma gama muito ampla de sistemas físicos inclusive aqueles dos exemplos 18 a 110 pode ser formulada dentro da classe de sistemas na qual nos concentramos neste livro No entanto um ponto crí tico é que qualquer modelo usado na descrição ou análise de um sistema físico representa uma idealização desse sis tema e portanto qualquer análise resultante será tão boa quanto o próprio modelo Por exemplo o modelo linear simples de um resistor na Equação 180 e de um capacitor na Equação 181 são idealizações Entretanto essas idea lizações são bastante precisas para capacitores e resistores reais em muitas aplicações e dessa forma análises que aplicam essas idealizações fornecem conclusões e resul tados úteis desde que as tensões e correntes permaneçam dentro das condições de operação sob as quais esses modelos lineares simples são válidos De modo semelhan te o uso de uma força linear retardadora para representar efeitos de atrito na Equação 183 é uma aproximação com uma faixa de validade Consequentemente embora não abordemos essa questão neste livro é importante lembrar que um componente essencial da prática da engenharia quando usamos os métodos desenvolvidos aqui consiste em identificar a faixa de validade das hipóteses usadas em um modelo e garantir que toda análise ou projeto baseado naquele modelo não viole aquelas hipóteses 152 Interconexões de sistemas Um conceito importante que usaremos em todo o livro é o de interconexão de sistemas Muitos sistemas reais são construídos como interconexões de diversos subsistemas Podemos citar como exemplo um sistema de áudio que envolve a interconexão de um receptor de rádio um CD player ou um tocafitas com um ampli ficador e uma ou mais caixas acústicas Outros exem plos são uma aeronave controlada digitalmente que é a interconexão da aeronave descrita por suas equa ções de movimento e as forças aerodinâmicas que a afetam os sensores que medem diversas variáveis da aeronave como acelerações taxas de rotação e rumo um piloto automático que responde às variáveis medi das e a entradas de comando do piloto como a direção a altitude e a velocidade desejadas e os atuadores que respondem a entradas fornecidas pelo piloto automático para usar as superfícies de controle da aeronave leme cauda ailerons de forma a mudar as forças aerodinâmicas na aero nave Interpretando um sistema desse tipo como uma interconexão de seus componentes podemos usar nosso entendimento dos componentes e de como eles estão interconectados para analisar a operação e o com portamento do sistema como um todo Além disso ao descrever um sistema em termos de interconexão dos subsistemas mais simples podemos na verdade definir formas úteis para construir sistemas complexos a partir de elementos fundamentais básicos e mais simples Apesar de ser possível construir uma variedade de interconexões de sistemas alguns tipos básicos são frequentemente encontrados Uma interconexão em série ou cascata de dois sistemas é mostrada na Figura 142a Diagramas como este são chamados de diagra mas de blocos Aqui a saída do Sistema 1 é a entrada para o Sistema 2 e o sistema como um todo transforma uma entrada processandoa primeiro pelo Sistema 1 e depois pelo Sistema 2 Um exemplo de interconexão em série é um receptor de rádio seguido de um amplificador Se melhantemente podese definir uma interconexão em série de três ou mais sistemas Uma interconexão paralela de dois sistemas é ilustra da na Figura 142b Aqui o mesmo sinal de entrada é aplicado aos Sistemas 1 e 2 O símbolo na figura sig nifica adição de modo que a saída da interconexão pa ralela é a soma das saídas dos Sistemas 1 e 2 Um exemplo de interconexão paralela é um sistema simples de áudio com vários microfones ligados a um amplificador e a um sistema de caixas acústicas único Além da interconexão paralela simples na Figura 142b podemos definir as interconexões paralelas de mais de dois sistemas e combinar a interconexão paralela com a interconexão em cascata para obter interconexões mais complica das Um exemplo desse tipo de interconexão é dado na Figura 142c4 Outro tipo importante de interconexão de sistemas é a interconexão com realimentação cujo exemplo pode ser visto na Figura 143 Aqui a saída do Sistema 1 é a en trada para o Sistema 2 ao passo que a saída do Sistema 2 é realimentada e adicionada à entrada externa para produzir a entrada total do Sistema 1 Sistemas com re alimentação podem ser encontrados em uma grande variedade de aplicações Por exemplo um sistema de piloto automático em um automóvel mede a velocidade 4 Quando for apropriado também usaremos o símbolo em nossa representação gráfica dos sistemas para denotar a operação de multiplicação de dois sinais ver por exemplo a Figura 426 yn xn 1 axn 189 Sinais e sistemas 29 161 Sistemas com e sem memória Um sistema é dito sem memória se sua saída para cada valor da variável independente em um dado instante é depende da entrada somente naquele mesmo instante Por exemplo o sistema descrito pela relação yn 2xn x 2n2 190 é sem memória pois o valor de yn em qualquer instante particular n0 depende somente do valor de xn naquele mesmo instante De forma semelhante um resistor é um sistema sem memória sendo a entrada xt tida como a corrente e a tensão tida como a saída yt a relação entra dasaída do resistor é yt Rxt 191 em que R é a resistência Um sistema sem memória par ticularmente simples é o sistema identidade cuja saída é idêntica à entrada Ou seja a relação entradasaída para o sistema identidade de tempo contínuo é yt xt e a relação correspondente de tempo discreto é yn xn Um exemplo de sistema de tempo discreto com me mória é um acumulador ou somador y n x k k n 192 e um segundo exemplo seria o atracador yn xn 1 193 Um capacitor é um exemplo de sistema de tempo contí nuo com memória pois se a entrada é tida como a cor rente e a saída é a tensão então y t C x d t 1 τ τ 194 sendo C a capacitância Em linhas gerais o conceito de memória em um sistema corresponde à presença de um mecanismo que retém ou guarda a informação sobre os valores de entra da em instantes que não o atual Por exemplo o atraso na Equação 193 deve reter ou guardar o valor prece dente da entrada Da mesma maneira o acumulador na Equação 192 deve lembrarse ou guardar a informação sobre entradas passadas Particularmente o acumulador computa a soma cumulativa de todas as entradas até o instante atual e portanto em cada instante do tempo o acumulador adiciona o valor de entrada atual ao valor precedente da soma cumulativa Em outras palavras a relação entre a entrada e a saída de um acumulador pode ser descrita como y n x k x n k n 1 195 ou de maneira equivalente yn yn 1 xn 196 Representado na forma da última equação para obter a saída do instante corrente n o acumulador deve lembrar se do somatório dos valores de entrada anteriores que é exatamente o valor precedente da saída do acumulador Em muitos sistemas físicos a memória está dire tamente associada ao armazenamento de energia Por exemplo o capacitor na Equação 194 armazena energia acumulando carga elétrica representada como a integral da corrente Portanto o circuito RC simples no Exem plo 18 e na Figura 11 tem memória fisicamente ar mazenada no capacitor Do mesmo modo o automóvel na Figura 12 tem memória armazenada em sua energia cinética Em sistemas de tempo discretos implementa dos com computadores ou microprocessadores digitais a memória é tipicamente associada de forma direta aos registros de armazenamento que retêm valores entre os pulsos do relógio Apesar de o conceito de memória em um sistema geralmente sugerir o armazenamento de valores passados de entrada e de saída nossa definição formal também nos leva a nos referirmos a um sistema como tendo memória se a saída corrente for dependente de valores futuros da entrada e da saída Apesar de sistemas com essa dependên cia de valores futuros poderem a princípio não parecer naturais eles na verdade formam uma importante clas se de sistemas como discutiremos adiante na Seção 163 162 Sistemas inversos e invertibilidade Dizemos que um sistema é invertível se entradas dis tintas levam a saídas distintas Conforme a Figura 145a para o caso do tempo discreto se um sistema é invertí vel então um sistema inverso existe de modo que quan do colocado em cascata com o sistema original produz uma saída wn igual à entrada xn do primeiro sistema Portanto a interconexão em série na Figura 145a tem uma relação entradasaída total que é a mesma do siste ma identidade Um exemplo de um sistema invertível de tempo contínuo é yt 2xt 197 wt frac12yt 198 Sinais e sistemas 31 sistemas de significância prática Por exemplo a causali dade nem sempre é uma restrição essencial em aplicações nas quais a variável independente não é o tempo como no processamento de imagens Além disso quando pro cessamos dados que foram gravados previamente como costuma acontecer com sinais de fala geofísicos ou meteo rológicos entre muitos outros não estamos limitados ao processamento causal Dando outro exemplo em muitas aplicações incluindo análises históricas do mercado de ações e estudos demográficos podemos estar interessados em determinar uma tendência que varia lentamente nos dados que também contêm flutuações de alta frequência sobre aquela tendência Nesse caso é comum optarse pelo cálculo da média dos dados sobre um intervalo para suavizar as flutuações e manter somente a tendência Um exemplo de sistema de média não causal é y n M x n k k M M 1 2 1 1104 Exemplo 112 Ao verificar a causalidade de um sistema é importante observar cuidadosamente a relação entradasaída Para ilus trar alguns problemas envolvidos nessa tarefa vamos verifi car a causalidade de dois sistemas particulares O primeiro sistema é definido por yn xn 1105 Veja que a saída yn0 em um tempo positivo n0 depende apenas do valor do sinal de entrada xn0 no tempo n0 que é negativo e portanto no passado de n0 Poderíamos concluir precipitadamente neste ponto que o dado sistema é causal No entanto devemos sempre ter cuidado e testar a relação entradasaída para todos os instantes Em particular para n 0 por exemplo n 4 vemos que y4 x4 de modo que a saída nesse instante depende de um valor futuro da entrada Logo o sistema não é causal Também é importante distinguir cuidadosamente os efeitos da entrada dos efeitos de quaisquer outras funções usadas na definição do sistema Por exemplo considere o sistema yt xt cost 1 1106 Nesse sistema a saída em qualquer tempo t é igual à entra da naquele mesmo tempo multiplicada por um número que varia com o tempo Mais especificamente podemos reescre ver a Equação 1106 como yt xtgt sendo gt uma função que varia no tempo a saber gt cost 1 Portanto somente o valor da entrada xt in fluencia o valor corrente da saída yt e concluímos que esse sistema é causal e na verdade sem memória 164 Estabilidade Estabilidade é outra propriedade importante dos siste mas Informalmente um sistema estável é aquele em que pequenas entradas levam a respostas que não são divergen tes Por exemplo considere o pêndulo na Figura 146a no qual a entrada é a força aplicada xt e a saída é o desvio angular yt a partir da vertical Nesse caso a gravidade aplica uma força restauradora que tende a fazer que o pêndulo regresse para a posição vertical e as perdas por atrito devido a resistência do ar tendem a desacelerálo Consequentemente se uma pequena força xt é aplicada o desvio resultante da vertical também será pequeno Em contraste para o pêndulo invertido na Figura 146b o efeito da gravidade é aplicar uma força que tende a au mentar o desvio da vertical Portanto uma pequena força aplicada leva a um grande desvio vertical que faz que o pêndulo caia independentemente de quaisquer forças de retardamento devido ao atrito O sistema na Figura 146a é um exemplo de sis tema estável e o sistema na Figura 146b instável Modelos para reações em cadeia ou para crescimento po pulacional com distribuição de suprimentos ilimitada e nenhum predador por exemplo são sistemas instáveis pois a resposta ao sistema cresce sem limites em resposta a pequenas entradas Outro exemplo de sistema instá vel é o modelo para o balanço de uma conta bancária na Equação 186 pois se for feito um depósito inicial isto yt yt xt xt a b Figura 146 a Pêndulo estável b pêndulo invertido instável y0 1 y1 2 y2 3 e assim por diante e y1 cresce sem limite Sinais e sistemas 33 tulos no restante desta seção apresentaremos discussões iniciais desses conceitos muito importantes 165 Invariância do tempo Conceitualmente um sistema é invariante no tempo se o comportamento e as características do sistema são fixos ao longo do tempo Por exemplo o circuito RC da Figura 11 é invariante no tempo se os valores de resis tência e capacitância R e C são constantes no decorrer do tempo Esperaríamos obter amanhã exatamente os mesmos resultados de um experimento que fizemos hoje com esse circuito Por outro lado se os valores de R e C são modificados ou flutuam ao longo do tempo então esperamos que os resultados de nosso experimento de pendam do instante em que ele é executado De manei ra semelhante se o coeficiente de atrito b e a massa m do automóvel na Figura 12 são constantes esperamos que o veículo responda da mesma forma independente mente de quando o dirigimos Por outro lado se enche mos o portamalas do automóvel com malas pesadas em um dia e assim aumentarmos m esperamos que o carro se comporte de maneira diferente em outros instantes quando não estiver extremamente carregado A propriedade da invariância no tempo pode ser descrita de forma bem simples nos termos da linguagem de sinais e sistemas que apresentamos Especificamente um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no tempo do sinal de entrada resulta em um deslocamen to no tempo idêntico no sinal de saída Ou seja se yn é a saída de um sistema invariante no tempo e de tempo discreto quando xn é a entrada então yn n0 é a saída quando xn n0 é aplicado No tempo contínuo sen do yt a saída correspondente à entrada xt um sistema invariante no tempo terá yt t0 como saída quando xt t0 for a entrada Para ver como determinar se um sistema é ou não invariante no tempo e para compreender um pouco mais essa propriedade considere os seguintes exemplos Exemplo 114 Considere o sistema de tempo contínuo definido por yt senxt 1114 Para verificar se esse sistema é invariante no tempo devemos determinar se a propriedade de invariância no tempo é vá lida para qualquer entrada e para qualquer deslocamento no tempo t0 Portanto consideremos x1t como uma entrada arbitrária para esse sistema e seja y1t senx1t 1115 a saída correspondente Então consideremos uma segun da entrada obtida pelo deslocamento invariante x1t no tempo x2t x1t t0 1116 A saída correspondente a essa entrada é y2t senx2t senx1t t0 1117 De modo semelhante a partir da Equação 1115 y1t t0 senx1t t0 1118 Comparando as equações 1117 e 1118 vemos que y2t y1t t0 e que portanto esse sistema é invariante no tempo Exemplo 115 Como segundo exemplo considere o sistema de tem po discreto yn nxn 1119 Tratase de um sistema variante no tempo fato que pode ser verificado usandose o mesmo procedimento formal utiliza do no exemplo anterior ver Problema 128 No entanto quando se suspeita que um sistema seja variante no tempo um método bastante útil para tirar a dúvida é procurar um contraexemplo isto é usar nossa intuição para encontrar um sinal de entrada para o qual a condição de invariân cia no tempo seja violada Em particular o sistema neste exemplo representa um sistema com um ganho variante no tempo Por exemplo se sabemos que o valor corrente da en trada é 1 não podemos determinar o valor corrente de saída sem conhecer o tempo corrente Consequentemente considere o sinal de entrada x1n δn que produz uma saída y1n idêntica a 0 já que n δn 0 No entanto a entrada x2n δn 1 gera a saída y2n nδn 1 δn 1 Dessa forma enquanto x2n é uma versão deslocada de x1n y2n não é uma ver são deslocada de y1n Enquanto o sistema no exemplo anterior tem um ga nho variante no tempo e como resultado é um sistema variante no tempo o sistema na Equação 197 tem um ganho constante e de fato é invariante no tempo Outros exemplos de sistemas invariantes no tempo são dados pe las equações 191 a 1104 No exemplo seguinte é apresen tado um sistema variante no tempo de tempo contínuo Exemplo 116 Considere o sistema yt x2t 1120 Este sistema representa uma mudança de escala no tempo Sinais e sistemas 35 Nos próximos exemplos ilustramos como a linea ridade de dado sistema pode ser verificada diretamente pela aplicação da definição Exemplo 117 Considere um sistema S cuja entrada xt e a saída yt são relacionadas por yt txt Para determinar se S é linear ou não consideramos duas entradas arbitrárias x1t e x2t x1t y1t tx1t x2t y2t tx2t Suponhamos que x3t seja uma combinação linear de x1t e x2t Ou seja x3t ax1t bx2t em que a e b são escalares arbitrários Se x3t é a entrada para S então a saída correspondente pode ser expressa como y3t tx3t tax1t bx2t atx1t btx2t ay1t by2t Concluímos que o sistema S é linear Exemplo 118 Vamos aplicar o procedimento de verificação da linea ridade do exemplo anterior para outro sistema S cuja entra da xt e a saída yt são relacionadas por yt x2t Definindo x1t x2t e x3t como no exemplo anterior te mos x t y t x t x t y t x t 1 1 1 2 2 2 2 2 e x t y t x t ax t bx t a x t b 3 3 3 2 1 2 2 2 1 2 2 x t abx t x t a y t b y t abx t x 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 t Claramente podemos especificar x1t x2t a e b de tal forma que y3t não é o mesmo que ay1t by2t Por exemplo se x1t 1 x2t 0 a 2 e b 0 então y3t 2x1t2 4 mas 2y1t 2x1t2 2 Concluímos que o sistema S é não linear Exemplo 119 Ao verificar a linearidade de um sistema é importan te lembrar que o sistema deve satisfazer a propriedade de homogeneidade e de aditividade e que é permitido que os sinais bem como quaisquer constantes de mudança de escala sejam complexos Para enfatizar a importância desses pon tos considere o sistema especificado por yn xn 1126 Como mostrado no Problema 129 esse sistema é aditivo no entanto ele não satisfaz a propriedade de homogenei dade como demonstraremos agora Seja x1n rn jsn 1127 uma entrada complexa arbitrária com partes real e ima ginária rn e sn respectivamente de modo que a saída correspondente é y1n rn 1128 Agora considere a mudança de escala de x1n por um número complexo por exemplo a j isto é considere a entrada x2n jx1n jrn jsn sn jrn 1129 A saída correspondente a x2n é y2n x2n sn 1130 que não é igual à versão com mudança de escala de y1n ay1n jrn 1131 Concluímos que o sistema viola a propriedade de homoge neidade e que por isso não é linear Exemplo 120 Considere o sistema yn 2xn 3 1132 Esse sistema não é linear como pode ser verificado de diver sas maneiras Por exemplo o sistema viola a propriedade de aditividade Se x1n 2 e x2n 3 então x1n y1n 2x1n 3 7 1133 x2n y2n 2x2n 3 9 1134 No entanto a resposta a x₁n x₂n é y₁n 2x₁n x₂n 3 13 1135 que não é igual a yn 3 se x1n 0 vemos que o sistema viola a propriedade entradanulasaídanula das respostas lineares dada pela Equação 1125 12 j32 1 j j1 j² j1 j 1 j1 j 2 j21 j3 19 Determine se cada um dos sinais é ou não periódico Se um sinal for periódico especifique seu período fundamental a x₁t jej10t b x₂t e1 jπt c x₃t ejπmt d x₄t 3ej25πt 12 e x₅t 3ej35πt 12 111 Determine o período fundamental do sinal xn 1 ejπn ej2πn 112 Considere o sinal de tempo discreto xn 1 Σk3 δn1k Determine os valores dos números inteiros M e n₀ de modo que xn possa ser expresso como xn un n₀ 40 Sinais e sistemas Sinais e sistemas 41 Os sinais y1n e y2n respectivamente representam de certa forma versões mais rápidas e mais lentas de xn No entanto devese notar que as noções de tem po discreto de acelerado e desacelerado têm diferenças sutis no que se refere às suas equivalentes de tempo contínuo Considere as seguintes declarações a Se xn é periódico então y1n é periódico b Se y1n é periódico então xn é periódico c Se xn é periódico então y2n é periódico d Se y2n é periódico então xn é periódico Determine se cada uma das declarações é verdadeira Se for determine a relação entre os períodos fundamen tais dos dois sinais considerados na declaração Se a de claração for falsa produza um contraexemplo para ela 134 Neste problema exploramos diversas propriedades dos sinais pares e ímpares a Mostre que se xn é um sinal ímpar então x n n 0 b Mostre que se x1n é um sinal ímpar e x2n é um sinal par então x1nx2n é um sinal ímpar c Suponha que xn seja um sinal arbitrário com parte par e parte ímpar representadas por xen xn e xon xn Mostre que x n x n x n n e n o n 2 2 2 d Apesar de os itens a a c terem sido determina dos em termos de sinais de tempo discreto as pro priedades análogas também são válidas no tempo contínuo Para demonstrar isso mostre que x t dt x t dt x t dt e o 2 2 2 em que xet e xot são respectivamente as partes par e ímpar de xt 135 Considere o sinal exponencial periódico de tempo discreto xn ejm2πNn Mostre que o período fundamental desse sinal é N0 Nmdcm N em que mdcm N é o maior divisor comum de m e N ou seja o maior número inteiro pelo qual tanto m quanto N podem ser divididos um número inteiro de vezes Por exemplo mdc23 1 mdc24 2 mdc8 12 4 Notese que N0 N se m e N não têm fatores em comum 136 Suponha que xt seja um sinal exponencial complexo de tempo contínuo xt ejω0t com frequência fundamental ω0 e período fundamen tal T0 2πω0 Considere o sinal de tempo discreto ob tido ao serem tomadas amostras igualmente espaçadas de xt isto é xn xnT ejω0nT a Mostre que xn é periódico se e somente se TT0 for um número racional ou seja se e somente se algum múltiplo do intervalo de amostragem for exatamente igual a um múltiplo do período de xt b Suponha que xn seja periódico isto é que T T p q 0 P1361 em que p e q são números inteiros Qual é o perío do fundamental e qual é a frequência fundamen tal de xn Expresse a frequência fundamental como uma fração de ω0T c Supondo mais uma vez que TT0 satisfaça a Equação P1361 determine precisamente quantos períodos de xt são necessários para obtermos as amostras que formam um único período de xn 137 Um conceito importante em muitas aplicações de co municação é a correlação entre dois sinais Nos pro blemas no final do Capítulo 2 teremos mais coisas a dizer sobre esse tópico e daremos algumas indicações de como ele é usado na prática Por ora vamos nos contentar com uma breve introdução às funções de cor relação e algumas de suas propriedades Suponhamos que xt e yt sejam dois sinais então a função de correlação é definida como φ τ τ τ xy t x t y d A função φxxt é geralmente chamada de função de au tocorrelação do sinal xt enquanto φxyt costuma ser denominada função de correlação cruzada a Qual é a relação entre φxyt e φyxt b Calcule a parte ímpar de φxxt c Suponha que yt xt T Expresse φxyt e φyyt em termos de φxxt 138 Neste problema examinamos algumas propriedades da função impulso unitário 42 Sinais e sistemas 43 Sinais e sistemas 156 Calcule cada uma das integrais e expresse sua resposta na forma cartesiana retangular O número complexo z também pode ser representado na forma polar como z rejθ em que r 0 é o módulo de z e θ é o ângulo ou fase de z Essas quantidades geralmente são escritas como r z θ z 155 Usando os resultados do Problema 154 calcule cada uma das somas a seguir e expresse sua resposta na forma cartesiana retangular Capítulo 2 Sistemas lineares invariantes no tempo 20 Introdução Na Seção 16 apresentamos e discutimos diversas propriedades básicas dos sistemas Duas delas a invariân cia no tempo e a linearidade têm um papel fundamental na análise dos sinais e sistemas por duas razões princi pais A primeira diz respeito ao fato de muitos processos físicos terem essas propriedades e por isso poderem ser modelados como sistemas lineares invariantes no tempo LIT Além disso os sistemas LIT podem ser analisados de forma detalhada facilitando a compreensão de suas propriedades e também fornecendo um conjunto de fer ramentas poderosas que formam a base da análise de sinais e sistemas Um dos objetivos principais deste livro é desenvol ver uma compreensão dessas propriedades e ferramentas e apresentar várias das importantes aplicações nas quais essas ferramentas são usadas Neste capítulo começamos o desenvolvimento mostrando e examinando uma re presentação fundamental e extremamente útil para os sistemas LIT e apresentando uma classe importante des ses sistemas Uma das principais razões de os sistemas LIT serem passíveis de análise é o fato de qualquer sistema desse tipo ter a propriedade de superposição descrita na Seção 166 Como consequência se pudermos representar a entrada de um sistema LIT em termos de uma combinação linear de um conjunto de sinais básicos então podemos usar a su perposição para computar a saída do sistema em termos de suas respostas a esses sinais básicos Como veremos nas próximas seções uma das carac terísticas importantes do impulso unitário tanto de tem po discreto como de tempo contínuo é o fato de sinais bastante gerais poderem ser representados como combi nações lineares de impulsos deslocados Esse fato junta mente com as propriedades de superposição e invariância no tempo permite que desenvolvamos uma caracteriza ção completa de qualquer sistema LIT em termos de sua resposta a um impulso unitário Tal representação cha mada soma de convolução no caso de tempo discreto e integral de convolução em tempo contínuo fornece uma grande facilidade analítica para lidar com os sistemas LIT Dando continuidade ao nosso desenvolvimento da soma de convolução e da integral de convolução usamos essas caracterizações para examinar algumas das outras pro priedades dos sistemas LIT Então consideramos a classe dos sistemas de tempo contínuo descritos por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e sua correspondente de tempo discreto a classe de sistemas descrita por equações de diferenças lineares com coefi cientes constantes Nos capítulos subsequentes teremos várias oportunidades de examinar essas duas classes mui to importantes de sistemas Por fim estudaremos mais uma vez a função impulso unitário de tempo contínuo e vários outros sinais relacionados a ela para que possamos compreender melhor esses sinais idealizados e especifi camente seu uso e interpretação no contexto da análise dos sistemas LIT 21 Sistemas LIT de tempo discreto a soma de convolução 211 A representação de sinais de tempo discreto em termos de impulsos A principal ideia para a compreensão de como o impulso unitário de tempo discreto pode ser usado para formar qualquer sinal de tempo discreto é pensar em um sinal de tempo discreto como uma sequência de im pulsos individuais Para percebermos como esse quadro intuitivo pode ser transformado em uma representação matemática considera o sinal xn representado na Figura 21a Nas partes restantes dessa figura traçamos cinco sequências de impulsos unitários ponderados e deslocados no tempo nas quais o fator de escala em cada impulso é igual ao valor de xn no instante específico em que a amostra unitária ocorre Por exemplo xn1 δn 1 x1 n 1 0 n 1 x0δn x0 n 0 0 n 0 x1δn1 x1 n 1 0 n 1 Portanto a soma das cinco sequências na figura é igual a xn para 2 n 2 De modo mais geral ao incluir impulsos adicionais ponderados e deslocados podemos escrever xn x3 δn 3 x2 δn 2 x1 δn 1 x0 δn x1 δn 1 x2 δn 2 x3 δn 3 Sistemas lineares invariantes no tempo 49 uma superposição de versões ponderadas de um con junto muito simples de funções elementares impulsos unitários deslocados δn k sendo que cada um deles é diferente de zero com valor 1 em um único instante de tempo especificado pelo valor correspondente de k A resposta de um sistema linear a xn será a superposição das respostas ponderadas do sistema a cada um desses impulsos deslocados Além disso a propriedade de inva riância no tempo nos diz que as respostas de um sistema invariante no tempo aos impulsos unitários deslocados no tempo são simplesmente versões deslocadas no tempo dessas respostas A representação por soma de convolu ção para os sistemas de tempo discreto que são tanto line ares quanto invariantes no tempo resulta da junção desses dois fatos básicos De modo mais específico considere a resposta de um sistema linear mas possivelmente variante no tempo a uma entrada arbitrária xn Pela Equação 22 podemos representar a entrada como uma combinação linear de impulsos unitários deslocados Considere que hkn deno te a resposta do sistema linear ao impulso unitário desloca do δ n k Então a partir da propriedade de superpo sição para um sistema linear equações 1123 e 1124 a resposta yn do sistema linear à entrada xn na Equação 22 é simplesmente a combinação linear ponderada des sas respostas básicas Ou seja com a entrada xn para um sistema linear expresso na forma da Equação 22 a saída yn pode ser expressa como y n x k h n k k 23 Portanto de acordo com a Equação 23 se soubermos qual é a resposta de um sistema linear a um conjunto de impulsos unitários deslocados podemos construir a resposta a uma entrada arbitrária Na Figura 22 temos uma interpretação da Equação 23 O sinal xn é aplica do como entrada em um sistema linear cujas respostas h1n h0n e h1n aos sinais δn 1 δn e δn 1 res pectivamente são mostradas na Figura 22b Como xn pode ser escrito como uma combinação linear de δn 1 δn e δn 1 a superposição permitenos escrever a res posta a xn como uma combinação linear das respostas aos impulsos individuais deslocados Os impulsos indivi duais ponderados e deslocados que constituem xn são ilustrados no lado esquerdo da Figura 22c enquanto as respostas a esses sinais componentes são representadas no lado direito Na Figura 22d retratamos a entrada efetiva xn que é o somatório dos componentes do lado esquerdo da Figura 22c e a saída efetiva yn que por superposição é o somatório dos componentes do lado direito da Figura 22c Portanto a resposta no instante n de um sistema linear é simplesmente a superposição das respostas devido ao valor de entrada em cada ins tante de tempo Em geral as respostas hkn não precisam estar re lacionadas uma à outra para diferentes valores de k No entanto se o sistema linear também é invariante no tempo então essas respostas aos impulsos unitários deslocados no tempo são todas versões deslocadas no tempo umas das outras Especificamente como δn k é uma versão deslocada no tempo de δn a resposta hkn é uma ver são deslocada no tempo de h0n isto é hkn hon k 24 Para facilitar a notação eliminaremos o subscrito em h0n e definiremos a resposta ao impulso unitário ou à mos tra unitária hn hon 25 Ou seja hn é a saída do sistema LIT quando δn é a en trada Então para um sistema LIT a Equação 23 tornase y n x k h n k k 26 Referimonos a esse resultado como a soma de con volução ou soma de superposição e a operação no membro direito da Equação 26 é conhecida como a convolução das sequências xn e hn Representaremos simbolicamente a operação da convolução como yn xn hn 27 Note que a Equação 26 expressa a resposta de um sistema LIT a uma entrada arbitrária em termos da res posta do sistema ao impulso unitário Disso vemos que um sistema LIT é totalmente caracterizado por sua res posta a um único sinal isto é sua resposta ao impulso unitário A interpretação da Equação 26 é semelhante à que demos para a Equação 23 em que no caso de um sis tema LIT a resposta devida ao impulso xk aplicada no instante k é xkhn k ou seja é uma versão ponderada Interpretacao grafica da resposta de um sistema linear de tempo discreto conforme representado na Equacao 23 Considere mais uma vez o problema de convolução visto no Exemplo 21 A sequência xk é mostrada na Figura 24a enquanto a sequência hn k com n fixo é vista como uma função de k mostrada na Figura 24b para diversos valores diferentes de n Ao traçarmos essas sequências usamos o fato de que hn k vista como função de k com n fixo é uma versão deslocada e refletida no tempo da resposta hk ao impulso Em particular quando k aumenta o argumento n k diminui explicando a necessidade de uma reflexão no tempo de hk Sabendo disso então para traçar o sinal hn k precisamos determinar seu valor para algum valor particular de k y1 k xkh1 k 05 20 25 210 Exemplos 23 Considere uma entrada xn e uma resposta ao impulso unitário hn dadas por xn αn un hn un yn k0n αk un frac1 αn11 α un para n 0 213 Usamos novamente a Equação 213 para efetuar esse somatório Fazendo r k n 6 obtemos yn n4 r0 αeαr6 2α11α α 1αn1 1α1 αn4 α7 1α Intervalo 5 Para n 6 4 ou equivalentemente n 10 não há sobreposição entre as amostras não nulas de xk e hn k por essa razão yn 0 Resumindo portanto temos 0 n 0 1αn1 1α 0 n 4 αn4α7 1α 4 n 6 1α αn4 1α 6 n 10 0 10 n que é representado na Figura 210 yn Encontrar o cálculo da convolução Esses exemplos ilustram a utilidade de visualizar o cálculo da soma de convolução graficamente Note que além de fornecer uma forma útil de calcular a resposta de um sistema LIT a soma de convolução também fornece uma representação extremamente útil dos sistemas LIT que nos permite examinar suas propriedades de modo bem detalhado Em particular na Seção 23 descreveremos algumas propriedades da convolução e examinaremos algumas propriedades dos sistemas apresentadas no capítulo anterior para vermos como essas propriedades podem ser caracterizadas para sistemas LIT 22 Sistemas LIT de tempo contínuo a integral de convolução De modo análogo aos resultados obtidos e discutidos na seção anterior o objetivo desta seção é obter uma caracterização completa de um sistema LIT de tempo contínuo em termos de sua resposta ao impulso unitário Em tempo discreto a base para desenvolvermos a soma de convolução foi a propriedade seletiva do impulso unitário de tempo discreto ou seja a representação matemática de um sinal como superposição de funções de impulso unitário deslocadas e ponderadas Na Figura 212 percebemos que assim como no caso de tempo discreto Equação 22 para qualquer valor de t geralmente uma parcela com k m é não nula no somatório da Equação 226 e não nula Quando consideramos 0 a aproximação xt tornase cada vez melhor e no limite igualase a xt Portanto xt lim 0 k xτ δt k dτ Além disso quando 0 o somatório na Equação 226 aproximase de uma integral Isso pode ser visto considerando a interpretação gráfica desta equação ilustrada na Figura 213 Illustramos os sinais xτ δst τ e seu produto Também marcamos uma região sombreada cuja área se aproxima da área sob xτ δst τ quando 0 Notese que a região sombreada tem uma área igual a xm sendo t m t Além disso para esse valor de t somente a parcela com k m é não nula no somatório da Equação 226 e portanto o membro direito dessa equação também é igual a xm Consequentemente a partir da Equação 226 e do argumento precedente temos que xt é igual ao limite quando 0 da área sob xτ δt τ Além disso com base na Equação 174 sabemos que o limite quando 0 de δst é a função impulso unitário δt Logo xt xτ δt τ dτ Em particular considere a Figura 215 que é o correspondente em tempo contínuo da Figura 22 Na Figura 215a representamos a entrada xt e sua aproximação hatxt enquanto nas figuras 215b a d mostramos as respostas do sistema a três dos pulsos ponderados na expressão para hatxt Então a saída yt correspondente a hatxt é a superposição de todas as respostas como indicado na Figura 215e A resposta ao impulso unitário e a representação por integral de convolução dos sistemas de tempo contínuo LTI Assumindo como no caso do tempo discreto a representação obtida na seção anterior mostranos uma forma de interpretar um sinal arbitrário de tempo contínuo como a superposição de pulsos deslocados e ponderados Em particular a representação aproximada da Equação 225 representa o sinal hatxt como um somatório de versões deslocadas e ponderadas do sinal básico deltat Consequentemente a resposta yt de um sistema linear a esse sinal será a superposição das respostas às versões deslocadas e ponderadas de deltat A interpretação da Equação 229 é semelhante à interpretação da Equação 23 para tempo discreto Sistemas lineares invariantes no tempo 61 Sinal yt xt ht para Exemplo 27 Propriedades dos sistemas lineares invariantes no tempo 63 correspondendo ao membro esquerdo da Equação 247 Aplicando a Equação 247 à Equação 249 e comparando os resultados com a Equação 248 vemos que os sistemas para figuras 223a e 223b são idênticos A convolução na Equação 256 para y1n pode ser obtida a partir do Exemplo 23 com α 12 enquanto y2n foi calculado no Exemplo 25 Sua soma é yn exibida na Figura 224 Da Equação 239 vemos que o único modo de isso ser verdadeira para um sistema LIT de tempo discreto é se hn 0 para n 0 Nesse caso a resposta ao impulso tem a forma hn Kδn sendo K h0 uma constante e a soma de convolução se reduz à relação yt Kxt Sistemas lineares invariantes no tempo 67 então ht h1t δt t0 δt t0 δt De modo semelhante um deslocamento no tempo em tempo discreto tem resposta ao impulso unitário δn n0 de modo que convoluir um sinal com um impulso deslocado é o mesmo que deslocar o sinal Além disso o inverso do sistema LIT com resposta ao impulso δn n0 é o sistema LIT que desloca o sinal na direção oposta pela mesma quantida de isto é o sistema LIT com resposta ao impulso δn n0 Exemplo 212 Considere um sistema LIT com resposta ao impulso hn un 271 Usando a soma de convolução podemos calcular a resposta desse sistema a uma entrada arbitrária y n x k u n k k 272 Como un k é 0 para n k 0 e 1 para n k 0 a Equação 272 tornase y n x k k n 273 Ou seja esse sistema que vimos pela primeira vez na Se ção 161 ver Equação 192 é um somador ou acumu lador que calcula a soma cumulativa de todos os valores da entrada até o instante presente Como vimos na Seção 162 um sistema desse tipo é invertível e seu inverso conforme dado pela Equação 199 é yn xn xn 1 274 que é simplesmente uma operação de diferença de primeira ordem Escolhendo xn δn descobrimos que a resposta ao impulso do sistema inverso é h1 n δn δn 1 275 Para verificar que hn na Equação 271 e h1n na Equação 275 são de fato as respostas ao impulso de sistemas LIT que são inversos um do outro podemos testar a Equação 267 por cálculo direto h n h n u n n n u n n u n 1 1 δ δ δ δ δ n u n u n n 1 1 276 236 Causalidade dos sistemas LIT Na Seção 163 apresentamos a propriedade de cau salidade a saída de um sistema causal depende apenas dos valores presentes e passados da entrada do sistema Usando a integral e a soma de convolução podemos re lacionar essa propriedade a uma propriedade correspon dente da resposta ao impulso de um sistema LIT Em ou tras palavras para que um sistema LIT de tempo discreto seja causal yn não deve depender de xk para k n Tendo como base a Equação 239 vemos que para que isso ocorra todos os coeficientes hn k que multiplicam valores de xk para k n devem ser nulos Sendo assim isso requer que a resposta ao impulso de um sistema LIT causal de tempo discreto satisfaça a condição hn 0 para n 0 277 De acordo com a Equação 277 a resposta ao impulso de um sistema LIT causal deve ser nula antes que o impulso ocorra o que é consistente com o conceito intuitivo de causalidade De modo mais geral como mostra o Pro blema 144 a causalidade de um sistema linear é equi valente à condição de repouso inicial isto é se a entrada de um sistema causal é 0 até determinado instante en tão a saída também deve ser 0 até aquele instante É im portante realçar que a equivalência da causalidade e da condição de repouso inicial aplicase somente a sistemas lineares Por exemplo como discutido na Seção 166 o sistema yn 2xn 3 é não linear No entanto ele é causal e de fato sem memória Por outro lado se xn 0 yn 3 0 por isso ele não satisfaz a condi ção de repouso inicial Para um sistema LIT causal de tempo discreto a condição na Equação 277 implica que a representação da soma de convolução na Equação 239 se torna y n x k h n k k n 278 e a forma alternativa equivalente a Equação 243 tornase y n h k x n k k 0 279 De modo semelhante um sistema LIT de tempo contínuo é causal se ht 0 para t 0 280 e nesse caso a integral de convolução é dada por y t x h t d h x t d t τ τ τ τ τ τ 0 281 Tanto o acumulador hn un quanto seu in verso hn δn δn 1 descritos no Exemplo 212 satisfazem a Equação 277 e portanto são causais O des locamento simples no tempo com resposta ao impulso ht δt t₀ é causal para t₀ 0 quando o deslocamento no tempo é um atraso mas não é causal para t₀ 0 nesse caso o deslocamento no tempo é um adiantamento de modo que a saída antecipa valores futuros da entrada Sistemas lineares invariantes no tempo 69 De modo semelhante considere o integrador o cor respondente de tempo contínuo do acumulador y t x d t τ τ 290 Este é um sistema instável exatamente pela mesma razão dada para o acumulador isto é uma entrada constante gera uma saída que cresce sem limite A resposta ao impulso para o integrador pode ser encontrada ao se supor que xt δt e nesse caso h t d u t t δ τ τ e u d d τ τ τ 0 Como a resposta ao impulso não é absolutamente integrável o sistema não é estável 238 A resposta ao degrau unitário de um sistema LIT Até agora vimos que a representação de um siste ma LIT em função da sua resposta ao impulso unitário nos permite obter caracterizações bem explícitas das pro priedades do sistema Especificamente como hn ou ht determinam completamente o comportamento de um sistema LIT fomos capazes de relacionar as propriedades do sistema como estabilidade e causalidade às proprie dades da resposta ao impulso Há outro sinal também usado com bastante frequên cia na descrição do comportamento dos sistemas LIT a res posta ao degrau unitário sn ou st correspondendo à saída quando xn un ou xt ut Será útil em certas oca siões fazermos referência à resposta ao degrau por isso é importante relacionála à resposta ao impulso Tendo como base a representação por soma de convolução a resposta ao degrau de um sistema LIT de tempo discreto é a convolu ção do degrau unitário com a resposta ao impulso ou seja sn un hn No entanto pela propriedade comutativa da convolução sn hn un e portanto sn pode ser visto como a resposta à entrada hn do sistema LIT de tempo discreto com resposta ao impulso unitário un Como vimos no Exemplo 212 un é a resposta ao impulso unitário do acumulador Logo s n h k k n 291 Tendo como base essa equação e o Exemplo 212 fica claro que hn pode ser recuperado a partir de sn usan do a relação h n s n s n 1 292 Ou seja a resposta ao degrau de um sistema LIT de tempo discreto é a soma cumulativa de sua resposta ao impulso Equação 291 Inversamente a resposta ao impulso de um sistema LIT de tempo discreto é a diferença de pri meira ordem de sua resposta ao degrau Equação 292 De maneira similar em tempo contínuo a resposta ao degrau de um sistema LIT com resposta ao impulso ht é dada por st ut ht que também é igual à resposta de um integrador com resposta ao impulso ut à entrada ht Ou seja a resposta ao degrau unitário de um sistema LIT de tempo contínuo é a integral de sua resposta ao impulso ou s t h d t τ τ 293 e a partir da Equação 293 a resposta ao impulso unitário é a primeira derivada da resposta ao degrau unitário1 ou h t ds t dt s t 294 Portanto tanto em tempo contínuo como em tempo discreto a resposta ao degrau unitário também pode ser usada para caracterizar um sistema LIT já que podemos calcular a resposta ao impulso unitário a partir dela No Problema 245 expressões análogas à soma de convolu ção e à integral de convolução são obtidas para as repre sentações de um sistema LIT em termos da sua resposta ao degrau unitário 24 Sistemas LIT causais descritos por equações diferenciais e de diferenças Uma classe extremamente importante de sistemas de tempo contínuo é aquela em que a entrada e a saí da são relacionadas por meio de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes Essas equações aparecem na descrição de uma grande variedade de sistemas e de fenômenos físicos Por exemplo conforme ilustramos no Capítulo 1 a resposta do circuito RC na Figura 11 e o movimento de um veículo sujeito a entradas de acelera ção e forças de atrito como representado na Figura 12 podem ser descritos por meio de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes Equações diferenciais semelhantes surgem na descrição de sistemas mecânicos contendo forças restauradoras e amortecedoras em ciné tica das reações químicas e em muitos outros contextos 1 Em todo o livro usaremos as duas notações indicadas na Equação 294 para nos referirmos às primeiras derivadas Uma notação análoga será usada para derivadas mais elevadas Portanto a estabilidade de um sistema LTI de tempo discreto é completamente equivalente à Equação 286 Sistemas lineares invariantes no tempo 71 Exemplo 214 Considere a solução da Equação 295 quando o sinal de entrada é xt K e3t ut 296 sendo K um número real A solução completa para a Equação 296 consiste na soma de uma solução particular ypt e uma solução homogê nea yht isto é yt ypt yht 297 sendo que a solução particular satisfaz a Equação 295 e yht é uma solução da equação diferencial homogênea dy t dt y t 2 0 298 Um método usual para encontrar a solução particular para um sinal exponencial de entrada como o da Equação 296 é procurar pela chamada resposta forçada isto é um sinal com a mesma forma que a entrada Com referência à Equação 295 como xt Ke3t para t 0 admitimos a hipótese de uma solução para t 0 da forma ypt Ye3t 299 sendo Y um número que devemos determinar Substituindo as equações 296 e 299 na Equação 295 para t 0 temos 3Ye3t 2Ye3t Ke3t 2100 Cancelando o fator e3t nos dois membros da Equação 2100 obtemos 3Y 2Y K 2101 ou Y K 5 2102 de modo que y t K e t p t 5 0 3 2103 Para determinar yht supomos uma solução da forma yht Aest 2104 Substituindoa na Equação 298 chegamos a Asest 2Aest Aests 2 0 2105 A partir dessa equação percebemos que devemos tomar s 2 e que Ae2t é uma solução para a Equação 298 para qualquer escolha de A Fazendo uso desse fato e da Equação 2103 na Equação 297 obtémse que a solução da equação di ferencial para t 0 é y t Ae K e t t t 2 3 5 0 2106 Como notado anteriormente a Equação diferencial 295 não especifica por si só unicamente a resposta yt à entra da xt na Equação 296 Particularmente a constante A na Equação 2106 ainda não foi determinada Para que o valor de A seja determinado precisamos especificar uma condição auxiliar além da Equação diferencial 295 Como explorado no Problema 234 escolhas diferentes para a condição auxiliar levam a diferentes soluções yt e con sequentemente a relações diferentes entre a entrada e a saída Conforme indicamos em quase todo o livro vamos nos concentrar nas equações diferenciais e de diferenças usadas para descrever sistemas LIT causais e nesse caso as condições auxiliares tomam a forma da condição inicial de repouso Ou seja conforme é mostrado no Problema 144 para um sistema LIT causal se xt 0 para t t0 então yt deve ser igual a 0 para t t0 Da Equação 296 vemos que para nosso exemplo xt 0 para t 0 e portanto a condição de repouso inicial significa que yt 0 para t 0 Calculando a Equação 2106 em t 0 e considerando y0 0 temos 0 5 A K ou A K 5 Logo para t 0 y t K e e t t 5 2 3 2107 ao passo que para t 0 yt 0 por causa da condição de repouso inicial Combinando esses dois casos temos a solu ção completa y t K e e u t t t 5 3 2 2108 O Exemplo 214 elucida diversos pontos importan tes que dizem respeito às equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aos sistemas que elas re presentam Primeiro a resposta a uma entrada xt geral mente consistirá da soma de uma solução particular para a equação diferencial e uma solução homogênea isto é uma solução da equação diferencial com entrada nula A solução homogênea costuma ser chamada de resposta natural do sistema As respostas naturais de circuitos elé tricos e sistemas mecânicos simples são exploradas nos problemas 261 e 262 No Exemplo 214 também vimos que para determi nar completamente a relação entre a entrada e a saída de um sistema descrito por uma equação diferencial como a Assim como no caso de primeira ordem a Equação diferencial 2109 não define completamente a saída em termos de entrada e precisamos identificar condições auxiliares para determinar completamente a relação entradasaída do sistema Sistemas lineares invariantes no tempo 73 na Equação 2112 a saída yt pode em princípio ser determinada pela solução da equação diferencial da ma neira usada no Exemplo 214 e ilustrada em diversos pro blemas no final do capítulo No entanto nos capítulos 4 e 9 desenvolveremos algumas ferramentas para a análise dos sistemas LIT de tempo contínuo que facilitam signi ficativamente a solução das equações diferenciais e em particular fornecem métodos poderosos para a análise e caracterização das propriedades dos sistemas descritos por essas equações 242 Equações de diferenças lineares com coeficientes constantes A correspondente de tempo discreto da Equação 2109 é a equação de diferenças linear com coeficientes constantes de N ésima ordem a y n k b x n k k k k M k N 0 0 2113 Uma equação desse tipo pode ser resolvida de maneira exatamente análoga à empregada para as equações di ferenciais Ver Problema 2324 Especificamente a so lução yn pode ser escrita como a soma de uma solução particular da Equação 2113 e uma solução da equação homogênea a y n k k k N 0 0 2114 As soluções dessa equação homogênea são frequente mente chamadas de respostas naturais do sistema descri to pela Equação 2113 Assim como em tempo contínuo a Equação 2113 não descreve completamente a saída em termos da en trada Para isso devemos especificar algumas condições auxiliares Como há muitas escolhas possíveis para as condições iniciais que levam a diferentes relações entrada saída vamos nos concentrar praticamente apenas na con dição de repouso inicial isto é se xn 0 para n n0 então yn 0 para n n0 também Com o repouso inicial o sistema descrito pela Equação 2113 é LIT e causal Embora todas essas propriedades possam ser de senvolvidas seguindo uma abordagem que corresponde diretamente à nossa discussão das equações diferenciais o caso de tempo discreto oferece um caminho alterna tivo Esse caminho originase da observação de que a Equação 2113 pode ser reestruturada na forma y n a b x n k a y n k k k k N k M 1 0 1 0 2115 A Equação 2115 expressa de maneira direta a saída no tempo n em termos dos valores prévios da entrada e da saída A partir dela percebemos imediatamente a necessi dade de condições auxiliares Para calcularmos yn preci samos conhecer yn 1 yn N Portanto se temos a entrada para todo n e um conjunto de condições auxiliares como y N y N 1 y 1 a Equação 2115 pode ser resolvida para valores sucessivos de yn Uma equação na forma da Equação 2113 ou da Equação 2115 é chamada de equação recursiva pois ela especifica um procedimento recursivo para determinar mos a saída em termos da entrada e de saídas prévias No caso específico de N 0 a Equação 2115 reduzse a y n b a x n k k k M 0 0 2116 Esse é o correspondente em tempo discreto do sistema de tempo contínuo dado na Equação 2110 Aqui yn é uma função explícita dos valores presentes e prévios da entrada Por essa razão a Equação 2116 costuma ser de nominada equação não recursiva pois não usamos recur sivamente valores da saída calculados previamente para calcular o valor presente da saída Portanto assim como no caso do sistema dado na Equação 2110 não precisamos de condições auxiliares para determinar yn Além disso a Equação 2116 define um sistema LIT e por cálculo direto obtémse que a resposta ao impulso desse sistema é h n b a n M n 0 caso contrário 0 0 2117 Ou seja a Equação 2116 nada é além de uma soma de convolução Notese que a resposta ao impulso para ela tem duração finita isto é é diferente de zero somente durante um intervalo de tempo de duração finita Por causa dessa propriedade o sistema especificado pela Equa ção 2116 costuma ser chamado de sistema com resposta ao impulso de duração finita FIR Finite Impulse Response Embora não sejam necessárias condições auxiliares para o caso N 0 tais condições são necessárias para o caso recursivo em que N 1 Para ilustrar a solução desse tipo de equação e para compreender um pouco mais o 4 Para uma abordagem detalhada dos métodos de resolução de equações de diferenças lineares com coeficientes constantes ver Finite Difference Equations de LEVY H LESSMAN F Nova York Macmillan Inc 1961 ou Finite Difference Equations and Simulations Englewood Cliffs PrenticeHall 1968 de HILDEBRAND F B No Capítulo 6 apresentamos outro método para resolver as equações de diferenças o qual facilita bastante a análise dos siste mas lineares invariantes no tempo que são descritos dessa forma Além disso indicamos ao leitor os problemas que lidam com a solução de equações de diferenças no fim deste capítulo Comportamento e as propriedades das equações de diferenças recursivas vamos examinar um exemplo simples Exemplo 215 Considere a equação de diferença yn12 yn1 xn A Equação 218 também pode ser expressa na forma yn xn 12 yn1 destacando o fato de que precisamos do valor prévio da saída yn1 para calcular o valor corrente Portanto para começar a recursão precisamos de uma condição inicial Por exemplo vamos impor a condição de repouso inicial e considerar a entrada xn Kθn Nesse caso como xn 0 para n 1 a condição de repouso inicial indica que y1 0 para n 1 e temos como condição inicial y1 0 Começando com essa condição inicial podemos encontrar valores sucessivos de yn para n 0 conforme se segue y0 x0 12 y1 K y1 x1 12 y0 12 2 K y2 x2 12 y1 122 K yn xn 12 yn1 12 n K Como o sistema especificado pela Equação 218 é a condição de repouso inicial e LTI seu comportamento entradasaída é totalmente caracterizado por sua resposta ao impulso Estabelecendo K 1 vemos que a resposta ao impulso para o sistema considere nosso exemplo é hn 12 n un Note que o sistema LTI causou no Exemplo 215 tem resposta ao impulso de duração infinita De fato se N 1 na Equação 213 de modo que a equação de diferenças seja recursiva então o sistema LTI correspondente a essa equação juntamente com a condição de repouso inicial tem uma resposta ao impulso de duração infinita Tais sistemas comumente são chamados de sistemas com resposta ao impulso de duração infinita IIRInfinite Impulse Response Conforme indicamos na maior parte do livro usaremos as equações de diferenças recursivas no contexto de descrição e análise dos sistemas lineares invariantes no tempo e causais como consequência assumiremos a condição de repouso inicial quase sempre Nos capítulos 5 e 10 desenvolveremos ferramentas para a análise de sistemas de tempo discreto que fornecerão métodos bastante úteis e eficientes para resolver equações de diferenças lineares com coeficientes constantes e para analisar as propriedades dos sistemas que elas descrevem 243 Representações em diagrama de blocos de sistemas de primeira ordem descritos por equações diferenciais e de diferenças Uma propriedade importante dos sistemas descritos por equações diferenciais e de diferenças lineares com coeficientes constantes é que eles podem ser representados de maneiras bem simples e naturais em termos de interconexões das operações elementares em diagramas de blocos Isso é significativo por uma série de razões Uma delas é que esse fato fornece uma representação gráfica capaz de ajudar na nossa compreensão do comportamento e das propriedades desses sistemas Além disso essas representações poderão ter considerável para a simulação ou implementação dos sistemas Por exemplo a representação em diagrama de blocos que apresentaremos nesta seção para os sistemas em tempo contínuo é a base das primeiras simulações em computadores analógicos dos sistemas descritos por equações diferenciais e também pode ser diretamente transformada em um programa para a simulação de um sistema desse tipo em um computador digital Além do mais a representação correspondente para as equações de diferenças de tempo discreto surge formas simples e eficazes nas quais os sistemas descritos pelas equações podem ser implementados em hardware digital Nesta seção ilustraremos as ideias básicas por trás dessas representações em diagramas de blocos construindoas para os sistemas causais de primeira ordem introduzidos nos exemplos 18 a 111 Nos problemas 257 a 260 e nos capítulos 9 e 10 consideramos os diagramas de blocos para sistemas descritos por outras equações diferenciais e de diferenças mais complexas Começamos com o caso de tempo discreto e em particular com o sistema causal definido pela equação de diferenças de primeira ordem yn ayn1 bxn Para uma representação em diagrama de blocos deste sistema note que o cálculo da Equação 2126 requer Sistemas lineares invariantes no tempo 83 representações são extremamente importantes pois nos permitem calcular a resposta de um sistema LIT para uma entrada arbitrária em termos da resposta do sistema a um impulso unitário Além disso na Seção 23 a integral e a soma de convolução deramnos um meio de analisar as propriedades dos sistemas LIT e particularmente um meio de relacionar as propriedades dos sistemas LIT in cluindo a causalidade e a estabilidade às propriedades correspondentes da resposta ao impulso unitário Além disso na Seção 25 desenvolvemos uma interpretação do impulso unitário de tempo contínuo e outras funções de singularidade relacionadas em termos de seu compor tamento em convolução Tal interpretação é particular mente útil na análise dos sistemas LIT Uma classe importante de sistemas de tempo contí nuo consiste naqueles sistemas descritos pelas equações diferenciais lineares com coeficientes constantes De modo semelhante em tempo discreto as equações de diferenças lineares com coeficientes constantes têm um papel igual mente importante Na Seção 24 examinamos exemplos simples de equações diferenciais e de diferenças e discuti mos algumas das propriedades dos sistemas descritos por esses tipos de equações Especialmente sistemas descritos por equações de diferenças lineares com coeficientes cons tantes e equações diferenciais lineares com coeficientes constantes juntamente com a condição de repouso inicial são causais e LIT Nos próximos capítulos desenvolvere mos ferramentas adicionais que facilitam amplamente nossa capacidade de analisar sistemas desse tipo Capítulo 2 Problemas A primeira seção de problemas pertence à catego ria básica e as respostas são fornecidas no final do livro As três seções posteriores contêm problemas que per tencem respectivamente às categorias básica avançada e de extensão Os problemas de extensão trazem aplicações conceitos ou métodos diferentes dos apresentados no texto Problemas básicos com respostas 21 Sejam xn δn 2δ n 1 δn 3 e hn 2δn 1 2δn 1 Calcule e represente graficamente cada uma das convoluções a seguir a y1n xn hn b y2n xn 2 hn c y3n xn hn 2 22 Considere o sinal h n u n u n n 1 2 3 10 1 Expresse A e B em termos de n de modo que a seguinte equa ção seja válida h n k A k B n k 1 2 1 0 caso contrário 23 Considere uma entrada xn e uma resposta ao impulso unitário hn dadas por x n u n h n u n n 1 2 2 2 2 Determine e represente graficamente a saída yn xn hn 24 Calcule e represente graficamente yn xn hn sendo que x n n h n n 1 3 8 0 1 4 caso contrário 15 0 caso contrário 25 Sejam x n n h n 1 0 9 0 1 caso contrário e 00 0 n N caso contrário em que N 9 é um número inteiro Determine o valor de N dado que yn xn hn e y4 5 y14 0 26 Calcule e represente graficamente a convolução yn xn hn sendo que x n u n h n u n n 1 3 1 1 e 27 Um sistema linear S tem a relação y n x k g n k k 2 entre sua entrada xn e sua saída yn sendo gn un un 4 a Determine yn quando xn δn 1 b Determine yn quando xn δn 2 Sistemas lineares invariantes no tempo 95 f Mostre que os dois elementos de atraso unitário na representação em diagrama de blocos de S ob tidos no item e podem ser reduzidos a um único elemento de atraso unitário O diagrama de blocos resultante é chamado realização na Forma Direta II de S enquanto os diagramas de blocos obtidos nos itens d e e são conhecidos como realizações na Forma Direta I de S 258 Considere um sistema LIT causal S cuja entrada xn e a saída yn sejam relacionadas pela equação de diferenças 2yn yn 1 yn 3 xn 5xn 4 a Verifique que S pode ser considerado uma conexão em cascata de dois sistemas LIT causais S1 e S2 com as seguintes relações entradasaída S1 2y1n x1n 5x1n 4 S y n y n y n x n 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 b Esboce uma representação em diagrama de blocos de S1 c Esboce uma representação em diagrama de blocos de S2 d Esboce uma representação em diagrama de blocos de S como uma conexão em cascata da representa ção em diagrama de blocos de S1 seguida da repre sentação em diagrama de blocos de S2 e Esboce uma representação em diagrama de blocos de S como uma conexão em cascata da representa ção em diagrama de blocos de S2 seguida da repre sentação em diagrama de blocos de S1 f Mostre que os quatro elementos de atraso na re presentação em diagrama de blocos de S obtidos no item e podem ser reduzidos a três O diagrama de blocos resultante é chamado de realização na Forma Direta II de S enquanto os diagramas de blo cos obtidos nos itens d e e são conhecidos como realizações na Forma Direta I de S 259 Considere um sistema LIT causal S cuja entrada xt e a saída yt sejam relacionadas pela equação diferencial a dy t dt a y t b x t b dx t dt 1 0 0 1 a Mostre que y t A y d Bx t C x d t t τ τ τ τ e expresse as constantes A B e C em função das constantes a0 a1 b0 e b1 b Mostre que S pode ser considerado uma conexão em cascata dos dois sistemas LIT causais a seguir S y t Bx t C x d t 1 1 1 τ τ S y t A y d x t t 2 2 2 2 τ τ c Esboce uma representação em diagrama de blocos de S1 d Esboce uma representação em diagrama de blocos de S2 e Esboce uma representação em diagrama de blocos de S como uma conexão em cascata da representa ção em diagrama de blocos de S1 seguida da repre sentação em diagrama de blocos de S2 f Esboce uma representação em diagrama de blocos de S como uma conexão em cascata da representa ção em diagrama de blocos de S2 seguida da repre sentação em diagrama de blocos de S1 g Mostre que os dois integradores na resposta dada no item f podem ser reduzidos a um O diagrama de blocos resultante é chamado realização na For ma Direta II de S enquanto os diagramas de blocos obtidos nos itens e e f são conhecidos como rea lizações na Forma Direta I de S 260 Considere um sistema LIT causal S cuja entrada xt e a saída yt sejam relacionadas pela equação diferencial a d y t dt a dy t dt a y t b x t b dx t dt b 2 2 2 1 0 0 1 2 2 2 d x t dt a Mostre que y t A y d B y d d Cx t t τ τ σ σ τ τ t D x d E x d d t t τ τ σ σ τ τ e expresse as constantes A B C D e E em termos das constantes a0 a1 a2 b0 b1 e b2 b Mostre que S pode ser considerado uma conexão em cascata dos dois sistemas LIT causais a seguir S y t Cx t D x d E x d 1 1 1 1 1 τ τ σ σ τ d S y t A y d B y d t t τ τ τ σ σ τ 2 2 2 2 d x t t t τ 2 c Esboce uma representação em diagrama de blocos de S1 d Esboce uma representação em diagrama de blocos de S2 e Esboce uma representação em diagrama de blocos de S como uma conexão em cascata da representa ção em diagrama de blocos de S1 seguida da repre sentação em diagrama de blocos de S2 f Esboce uma representação em diagrama de blocos de S como uma conexão em cascata da represen Sistemas lineares invariantes no tempo 103 1 Se xt ht e gt são três sinais e se xt gt xt ht e ht gt são todos definidos e fi nitos então a propriedade associativa Equa ção P2711 é válida 2 Seja ht a resposta ao impulso de um sis tema LIT e suponhamos que a resposta ao impulso gt de um segundo sistema tenha a propriedade ht gt δt P2713 Logo de 1 para todas as entradas xt para as quais xt ht e xt gt são definidas e de duração finita as duas cascatas de sistemas re presentadas na Figura P271 agem como o sis tema identidade e portanto os dois sistemas LIT podem ser considerados inversos um do outro Por exemplo se ht ut e gt u1t então desde que nos limitemos às entradas que satisfazem a Equação P2712 podemos considerar esses dois sistemas como inversos Portanto vemos que a propriedade associativa da Equação P2711 e a definição dos inversos LIT confor me foi dada na Equação P2713 são válidas desde que todas as convoluções envolvidas sejam finitas Como este é certamente o caso em qualquer problema práti co usaremos em geral essas propriedades sem comen tários ou ressalvas Vale notar que embora tenhamos pautado a maior parte de nossa discussão em termos de sinais e sistemas de tempo contínuo as mesmas ressalvas podem ser feitas em tempo discreto como é evidente a partir de c 272 Suponhamos que δΔt represente o pulso retangular de altura 1 Δ para 0 t Δ Verifique que d dt t t t δ δ δ Δ Δ Δ 1 273 Mostre por indução que u t t k u t k k k 1 1 1 2 3 para Capítulo 3 Representação de sinais periódicos em série de Fourier 30 Introdução A representação e a análise dos sistemas LIT por meio da soma de convolução conforme desenvolvido no Capítulo 2 são baseadas na representação de sinais como combinações lineares de impulsos deslocados Neste e nos próximos dois capítulos exploramos uma represen tação alternativa para sinais e sistemas LIT Assim como no Capítulo 2 o ponto de partida para nossa discussão é o desenvolvimento de uma representação dos sinais como combinações lineares de um conjunto de sinais básicos Para essa representação alternativa usamos exponenciais complexas As representações resultantes são conhecidas como série e transformada de Fourier de tempo contínuo e tempo discreto Como veremos estas podem ser usa das para construir classes abrangentes e úteis de sinais Em seguida prosseguimos como fizemos no Capí tulo 2Ou seja devido à propriedade de superposição a resposta de um sistema LIT a qualquer entrada consistindo em uma combinação linear de sinais básicos é uma combi nação linear das respostas individuais a cada um dos sinais básicos No Capítulo 2 essas respostas foram todas ver sões deslocadas da resposta ao impulso unitário levando à soma ou integral da convolução Como veremos neste capítulo a resposta de um sistema LIT a uma exponen cial complexa também tem uma forma particularmente simples que então fornece outra representação conve niente para os sistemas LIT e outro modo de analisar esses sistemas e obter compreensão sobre suas propriedades Neste capítulo focamos a representação dos sinais periódicos de tempo contínuo e tempo discreto conheci da como a série de Fourier Nos capítulos 4 e 5 estende mos a análise para a representação com a transfor mada de Fourier de classes amplas de sinais aperiódicos de energia finita Juntas essas representações proporcionam um dos conjuntos de ferramentas e conceitos mais po derosos e importantes para analisar projetar e entender sinais e sistemas LIT e dedicamos uma atenção conside rável neste e nos capítulos subsequentes à exploração dos usos dos métodos de Fourier Começamos na próxima seção com uma breve pers pectiva histórica a fim de proporcionar melhor compre ensão sobre os conceitos e as questões que desenvolve mos com mais detalhes nas seções e capítulos posteriores 31 Uma perspectiva histórica O desenvolvimento da análise de Fourier tem uma longa história envolvendo diferentes pessoas e a investigação de diversos fenômenos físicos1 A utili zação de somas trigonométricas ou seja somas de senos e cossenos relacionados harmonicamente ou ex ponenciais complexas periódicas para descrever fe nômenos periódicos é datado pelo menos da época dos babilônios que usavam ideias desse tipo para prever eventos astronômicos2 A história moderna sobre o as sunto começa em 1748 com L Euler que examinou o 1 O material histórico neste capítulo foi retirado das seguintes re ferências GRATTANGUINESS I Joseph Fourier 17681830 Cam bridge The MIT Press 1972 SIMMONS G F Differential equa tions with applications and historical notes Nova York McGrawHill Book Company 1972 LANCZOS C Discourse on Fourier series Londres Oliver and Boyd 1966 EDWARDS R E Fourier series a modern introduction 2 ed Nova York SpringerVerlag 1970 ALEKSANDROV A D KOLMOGOROV A N LAVRENTEV M A Mathematics its content methods and meaning tradução de GOULD S H vol II tradução de HIRSCH K vol III Cambridge The MIT Press 1969 Destes o trabalho de GrattanGuiness fornece o relato mais completo da vida e contribuições de Fourier Outras referências são citadas em diferentes partes do capítulo 2 DYM H MCKEAN H P Fourier series and integrals Nova York Aca demic Press 1972 Esse texto e o livro de Simmons citado na nota de rodapé no 1 também contêm discussões sobre o problema da corda vibratória e seu papel no desenvolvimento da análise de Fourier Representação de sinais periódicos em série de Fourier 105 movimento de uma corda vibrante Na Figura 31 indi camos os primeiros modos normais de uma corda desse tipo Se considerarmos a deflexão vertical ft x da corda no instante t e a uma distância x ao longo da corda então para qualquer instante fixo do tempo os modos normais são funções senoidais de x harmonicamente relacionadas Euler observou que se a configuração de uma corda vi brante em algum ponto no tempo for uma combinação linear desses modos normais o mesmo acontece com a configuração em qualquer tempo subsequente Além do mais Euler mostrou que é possível calcular os coeficien tes da combinação linear em tempos posteriores de uma forma direta a partir dos coeficientes em um tempo an terior Ao fazer isso Euler realizou o mesmo tipo de cál culo que faremos na próxima seção derivando uma das propriedades das somas trigonométricas que as tornam tão úteis para a análise de sistemas LIT Especificamen te veremos que se a entrada para um sistema LIT for expressa como uma combinação linear de senoides ou exponenciais complexas periódicas a saída também pode ser expressa desta forma com coeficientes que são rela cionados de forma direta com os da entrada A propriedade descrita no parágrafo anterior não seria particularmente útil a menos que fosse verdade que uma grande classe de funções importantes pudesse ser representada por combinações lineares de exponen ciais complexas Em meados do século XVIII esse pon to foi assunto de intenso debate Em 1753 D Bernoulli demonstrou com bases na física que todos os movimen tos físicos de uma corda poderiam ser representados por combinações lineares de modos normais mas ele não provou isso matematicamente e suas ideias não foram amplamente aceitas Na verdade o próprio Euler descar tou as séries trigonométricas e em 1759 J L Lagrange criticou fortemente o uso das séries trigonométricas no estudo de cordas vibrantes Sua crítica foi baseada em sua própria convicção de que era impossível represen tar sinais com quebras ou seja com descontinuidades usando séries trigonométricas Como essas configurações surgem do pinçaresticar uma corda ou seja puxála e depois soltála Lagrange argumentou que as séries tri gonométricas tinham uso muito limitado Foi nesse ambiente um tanto hostil e cético que Jean Baptiste Joseph Fourier Figura 32 apresentou suas ideias meio século mais tarde Fourier nasceu em 21 de março de 1768 em Auxerre França e quando entrou na polêmica sobre as séries trigonométricas já possuía uma vasta experiência científica Suas muitas contribuições em particular aquelas referentes à série e à transformada que levam seu nome se tornam ainda mais impressio nantes pelas circunstâncias sob as quais ele atuava Suas descobertas revolucionárias embora não completamente apreciadas durante seu tempo de vida tiveram um gran de impacto no desenvolvimento da matemática e foram e ainda são de grande importância em um vastíssimo leque de disciplinas das ciências e da engenharia Deflexão vertical Posição ao longo da corda ftx 0 x Figura 31 Modos normais de uma corda vibrante Linhas sólidas indicam a configuração de cada um desses modos em algum instante fixo no tempo t Figura 32 Jean Baptiste Joseph Fourier retrato de J B J Fourier Oeuvres de Fourier vol II Paris GauthierVillars et Fils 1980 Representação de sinais periódicos em série de Fourier 107 Embora muitas das aplicações citadas no parágrafo anterior bem como o trabalho original de Fourier e seus contemporâneos sobre problemas da física matemática focalizem os fenômenos em tempo contínuo as ferra mentas da análise de Fourier para sinais e sistemas de tempo discreto têm suas próprias raízes históricas e con junto de aplicações igualmente rico Em particular concei tos e métodos de tempo discreto são fundamentais para a área de análise numérica As fórmulas para o proces samento de conjuntos discretos de pontos de dados para produzir aproximações numéricas para interpolação integração e diferenciação estavam sendo investigadas desde a época de Newton no século XVII Além disso o problema de prever o movimento de um corpo celeste dada uma sequência de observações do corpo incentiva a investigação das séries de tempo harmônicas nos séculos XVIII e XIX por eminentes cientistas e matemáticos in cluindo Gauss e desse modo proporcionou um segundo cenário em que grande parte dos trabalhos iniciais em sinais e sistemas de tempo discreto foi realizada Em meados da década de 1960 um algoritmo conhe cido atualmente como transformada rápida de Fourier ou FFT fast Fourier transform foi apresentado Esse algorit mo que foi descoberto independentemente por Cooley e Tukey em 1965 também tem uma história considerável e pode na verdade ser encontrado nas anotações de Gauss6 O que tornou sua descoberta moderna tão importante foi o fato de que a FFT mostrouse perfeitamente adequada para uma eficiente implementação digital o que reduziu em algumas ordens de grandeza o tempo necessário para calcular as transformadas Com essa ferramenta muitas ideias interessantes mas anteriormente impraticáveis utilizando a série e transformada de Fourier de tempo discreto de repente se tornaram realizáveis e o desen volvimento das técnicas de análise de sinais e sistemas de tempo discreto seguiu em um ritmo acelerado O que emergiu dessa longa história é uma estru tura poderosa e coesa para a análise de sinais e sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto e um conjunto extraordinariamente amplo de aplicações existentes e po tenciais Neste e nos próxiamos capítulos desenvolvere mos as ferramentas básicas dessa estrutura e examinaremos algumas de suas importantes implicações 32 Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas Conforme indicamos na Introdução é vantajoso no estudo de sistemas LIT representar sinais como com binações lineares de sinais básicos que possuam as se guintes propriedades 1 O conjunto de sinais básicos pode ser usado para construir uma classe ampla e útil de sinais 2 A resposta de um sistema LIT para cada sinal deve ser simples o suficiente na sua estrutura para nos forne cer com uma representação conveniente a resposta a qualquer sinal construído como uma combinação linear dos sinais básicos Grande parte da importância da análise de Fourier resulta do fato de que essas duas propriedades são satis feitas pelo conjunto de sinais exponenciais complexas no tempo contínuo e no discreto ou seja sinais na forma e st em tempo contínuo e z n em tempo discreto sendo s e z números complexos Nas próximas seções deste capítu lo e nos dois capítulos seguintes vamos examinar a pri Comprimento de onda 150 ft Comprimento de onda 500 ft Comprimento de onda 800 ft 100 ft 198 ft 800 ft 500 ft 150 ft Nível médio do mar Figura 33 Navio encontrando a superposição de três sequenciais ondas cada uma com um período espacial diferente Quando essas ondas se reforçam uma onda muito grande pode ser gerada Em mares revoltos pode haver uma onda gigante indicada pela linha pontilhada Tal situação ocorre quando as fases relativas dos componentes ficam superpostas Adaptado de uma ilustração de Mion P Nightmare waves are all too real to deepwater sailors In BRITTON P Smithsonian v 8 p 6465 fev 1978 6 HEIDEMAN M T JOHNSON D H BURRUS C S Gauss and the history of the fast Fourier transform The IEEE ASSP Magazine I p 1421 1984 Representação de sinais periódicos em série de Fourier 109 tínuo for representada como uma combinação linear de exponenciais complexas ou seja se x t a e k k s t k 313 então a saída será y t a H s e k k k s t k 314 De uma maneira exatamente análoga se a entrada para um sistema LIT de tempo discreto for representada como uma combinação linear de exponenciais complexas ou seja se x n a z k k k n 315 então a saída será y n a H z z k k k k n 316 Em outras palavras tanto para tempo contínuo como para tempo discreto se a entrada de um sistema LIT for representada como uma combinação linear de exponenciais complexas então a saída também pode ser representada como uma combinação linear dos mesmos sinais exponenciais complexas Cada coeficiente nessa representação da saída é obtido como o produto do coe ficiente correspondente ak da entrada e do autovalor do sistema Hsk ou Hzk associado à autofunção eskt ou z n k respectivamente Foi exatamente esse fato que Euler des cobriu para o problema da corda vibrante que Gauss e outros usaram na análise das séries de tempo e que moti vou Fourier e outros depois dele a considerar a questão da extensão da classe de sinais que poderia ser representada como uma combinação linear de exponenciais comple xas Nas próximas seções examinamos essa questão para sinais perió dicos primeiro em tempo contínuo e depois em tempo discreto e nos capítulos 4 e 5 consideramos a extensão dessas representações para sinais aperiódicos Embora em geral as variáveis s e z nas equações 31 a 316 possam ser números complexos quaisquer a análise de Fourier restringe nossa atenção a formas particulares dessas variáveis Em particular em tempo contínuo fo calizamos valores puramente imaginários de s ou seja s jω e assim consideramos apenas as exponenciais complexas na forma e jωt De modo semelhante em tem po discreto restringimos a faixa de valores de z àquelas de magnitude unitária ou seja z e jω de modo que focamos em exponenciais complexas na forma e jωn Exemplo 31 Como ilustração das equações 35 e 36 considere um sistema LIT para o qual a entrada xt e a saída yt estão relacionadas por um deslocamento de tempo de 3 ou seja yt xt 3 317 Se a entrada desse sistema for o sinal exponencial complexo xt e j2t então da Equação 317 yt e j2t 3 e j6 e j2t 318 A Equação 318 está na forma da Equação 35 como poderíamos esperar pois e j2t é uma autofunção O autovalor associado é Hj2 e j6 É muito simples con firmar a Equação 36 para este exemplo Especificamen te pela Equação 317 a resposta ao impulso do sistema é ht δt 3 Substituindo na Equação 36 obtemos H s e d e s s δ τ τ τ 3 3 de modo que Hj2 e j6 Como um segundo exemplo nesse caso ilustran do as equações 311 e 312 considere o sinal de entrada xt cos4t cos7t Da Equação 317 yt será yt cos4t 3 cos7t 3 319 Para ver que isso também resultará da Equação 312 pri meiro expandimos xt usando a relação de Euler x t e e e e j t j t j t j t 1 2 4 1 2 4 1 2 7 1 2 7 320 Das equações 311 e 312 y t e e e e e e e j j t j j t j j t j 1 2 12 4 1 2 12 4 1 2 21 7 1 2 21ee j t 7 ou y t e e e e j t j t j t j t 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 7 3 1 2 7 3 4 3 7 3 cos cos t t Para este exemplo simples a multiplicação de cada compo nente exponencial periódico de xt por exemplo 1 2 e j4t pelo autovalor correspondente por exemplo Hj4 e j12 efetivamente faz com que o componente de entrada se desloque no tempo por 3 Obviamente nesse caso podemos determinar yt na Equação 319 por inspeção em vez de em pregar as equações 311 e 312 Contudo conforme veremos a propriedade geral representada pelas equações 311 e 312 não apenas nos permite calcular as respostas de sistemas LIT mais complexos mas também fornece a base para represen tação e análise no domínio de frequência dos sistemas LIT 33 Representação de sinais periódicos de tempo contínuo em série de Fourier 331 Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas Conforme definido no Capítulo 1 um sinal é periódico se para algum valor positivo de T Representação de sinais periódicos em série de Fourier 119 propriedades pode ser deduzida das propriedades corres pondentes da transformada de Fourier de tempo contí nuo Consequentemente limitamonos aqui à discussão de algumas dessas propriedades para ilustrar como elas podem ser obtidas interpretadas e usadas Durante a discussão a seguir de propriedades sele cionadas da Tabela 31 constataremos que é convenien te usar uma notação abreviada para indicar a relação entre um sinal periódico e seus coeficientes da série de Fourier Especificamente suponha que xt seja um si nal periódico com período T e frequência fundamental ω0 2πT Então se os coeficientes da série de Fourier de xt forem denotados por ak usaremos a notação x t a S k para relacionar um sinal periódico com seus coeficientes da série de Fourier 351 Linearidade Sejam xt e yt dois sinais periódicos com período T e que possuem coeficientes da série de Fourier indicados por ak e bk respectivamente Ou seja x t a y t b S S k k Como xt e yt têm o mesmo período T podemos ver que qualquer combinação linear dos dois sinais também será periódica com período T Além do mais os coe ficientes ck da série de Fourier da combinação linear de xt e yt zt Axt Byt são dados pela mesma com binação linear dos coeficientes da série de Fourier para xt e yt Ou seja z t Ax t By t c Aa Bb S k k k 358 A prova segue diretamente da aplicação da Equação 339 Também observamos que a propriedade de linearidade é facilmente estendida a uma combinação linear de um número arbitrário de sinais com período T 352 Deslocamento no tempo Quando um deslocamento de tempo é aplicado a um sinal periódico xt o período T do sinal é preservado Os coeficientes bk da série de Fourier do sinal resultante yt xt t0 podem ser expressos como b T x t t e dt k jk t T 1 0 0 ω 359 Fazendo τ t t0 na integral e notando que a nova variá vel τ também variará sobre um intervalo de duração T obtemos 360 sendo ak o késimo coeficiente da série de Fourier de xt Ou seja se x t a S k então x t t e a e a S jk t jk T t k k 0 0 0 0 2 ω π Uma consequência dessa propriedade é que quando um sinal periódico é deslocado no tempo as magnitudes de seus coeficientes da série de Fourier permanecem inalte radas Ou seja bk ak 353 Reflexão no tempo O período T de um sinal periódico xt também per manece inalterado quando o sinal é refletido no tempo Para determinar os coeficientes da série de Fourier de yt xt vamos considerar o efeito da reflexão no tem po sobre a Equação de síntese 338 x t a e k jk t T k 2π 361 Fazendo a substituição k m obtemos y t x t a me jm t T m 2π 362 Observamos que o membro direito dessa equação tem a forma de uma equação de síntese da série de Fourier para xt sendo que os coeficientes da série de Fourier bk são b a k k 363 Ou seja se x t a S k então x t a S k Em outras palavras a reflexão no tempo aplicada a um sinal de tempo contínuo resulta em uma reflexão no tempo da sequência correspondente dos coeficientes da série de Fourier Uma consequência interessante da pro priedade de reflexão de tempo é que se xt for par ou seja se xt xt então seus coeficientes da série de 1 1 0 0 0 0 0 T x e d e T x e d jk t jk t jk T T τ τ τ τ ω τ ω ω τ e a e a jk t jk T t k k ω π 0 0 0 2 Representação de sinais periódicos em série de Fourier 121 Observe que o membro esquerdo da Equação 367 é a potência média ou seja energia por unidade de tempo em um período do sinal periódico xt Além disso 1 1 0 2 2 2 T a e dt T a dt a k jk t k k T T ω 368 de modo que ak2 é a potência média no késimo compo nente harmônico de xt Assim o que a relação de Par seval assegura é que a potência total média de um sinal periódico é igual à soma das potências médias de todos os seus componentes harmônicos 358 Resumo das propriedades da série de Fourier de tempo contínuo Na Tabela 31 resumimos estas e outras proprieda des importantes da série de Fourier de tempo contínuo Tabela 31 Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo Propriedade Seção Sinal periódico Coeficientes da série de Fourier xt Periódicos com período T e yt frequência fundamental ω0 2πT ak bk Linearidade 351 Ax t By t Aak Bbk Deslocamento no tempo 352 xt t0 akejkω0t0 akejk2πTt0 Deslocamento em frequência e x t e x t jM t jM T t ω π 0 2 akM Conjugação 356 xt a k Reflexão no tempo 353 xt ak Mudança de escala no tempo 354 xαt α 0 periódico com período Tα ak Convolução periódica x y t d T τ τ τ Takbk Multiplicação 355 xtyt al l l bk Diferenciação dxt dt jk jk 2π T 0 k k ω a a Integração xtdt t com valor finito e periódica somente se a0 0 1 jk k 1 jk2π T k 0 ω a a Simetria conjugada para sinais reais 356 xt real a a k k k k k ak ak ak ak a a a a k Sinais reais e pares 356 xt real e par ak real e par Sinais reais e ímpares 356 xt real e ímpar ak puramente imaginário e ímpar Decomposição parímpar de sinais reais x t x t x t t e real re 0 al xt xt x ak jak Relação de Parseval para sinais periódicos 1 2 2 T xt dt k k T a Representação de sinais periódicos em série de Fourier 125 361 Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas Conforme definido no Capítulo 1 um sinal de tem po discreto xn é periódico com período N se xn xn N 384 O período fundamental é o menor inteiro positivo N para o qual a Equação 384 é válida e ω0 2πN é a fre quência fundamental Por exemplo a exponencial com plexa ej2πNn é periódica com período N Além do mais o conjunto de todos os sinais exponenciais complexos de tempo discreto que são periódicos com período N é dado por φ ω π k n e e k jk n jk N n 0 2 0 1 2 385 Todos esses sinais possuem frequências fundamentais que são múltiplas de 2πN e assim são harmonicamente relacionadas Conforme mencionamos na Seção 133 existem ape nas N sinais distintos no conjunto dado pela Equação 385 Isso é uma consequência do fato de que as exponenciais complexas de tempo discreto que diferem em frequência por um múltiplo de 2π são idênticas Especificamente φ0n φNn φ1n φN1n e em geral φkn φk rNn 386 Ou seja quando k é adicionado a qualquer inteiro múlti plo de N uma sequência idêntica é gerada Esse fato dife re da situação em tempo contínuo porque os sinais φkt definidos na Equação 324 são todos diferentes entre si Agora queremos considerar a representação de se quências periódicas mais gerais em termos de combina ções lineares das sequências φkn da Equação 385 Essa combinação linear tem a forma x n a n a e a e k k k k k k k jk n jk N n φ ω π 0 2 387 Como as sequências φkn são distintas apenas para uma faixa de N valores sucessivos de k o somatório na Equa ção 387 só precisa incluir termos nesse intervalo Assim o somatório é em k em que k varia em um intervalo de N inteiros sucessivos começando em qualquer valor de k Indicamos isso expressando os limites do somatório como k N Ou seja 388 Por exemplo k poderia assumir os valores k 0 1 N 1 ou k 3 4 N 2 Em ambos os casos devido à Equação 386 exatamente o mesmo conjunto de sequên x n a n a e a e k k k k N k N k k N jk n jk φ ω π 0 2 N n cias exponenciais complexas aparece no somatório no membro direito da Equação 388 A Equação 388 é co nhecida como série de Fourier de tempo discreto e os coefi cientes ak como os coeficientes da série de Fourier 362 Determinação da representação de um sinal periódico em série de Fourier Suponha agora que é dada uma sequência xn que é periódica com período fundamental N Gostaríamos de determinar se existe uma representação de xn na forma da Equação 388 e se existir quais são os valores dos coeficientes ak Essa questão pode ser reformulada em termos de se encontrar uma solução para um conjunto de equações lineares Especificamente se calcularmos a Equação 388 em N valores sucessivos de n correspon dentes a um período de xn obteremos x a x a e x N a e k k N k j k N k N k j k 0 1 1 2 2 π π N N k N 1 389 Assim a Equação 389 representa um conjunto de N equações lineares para os N coeficientes desconhecidos ak em que k varia sobre um conjunto de N inteiros su cessivos Podese mostrar que esse conjunto de equações é linearmente independente e consequentemente pode ser solucionado para obtermos os coeficientes ak em ter mos dos valores dados de xn No Problema 332 con sideramos um exemplo em que os coeficientes da série de Fourier são obtidos solucionandose explicitamente o conjunto de N equações dadas na Equação 389 Contu do seguindo etapas equivalentes àquelas usadas em tem po contínuo é possível obter uma expressão em forma fechada para os coeficientes ak em termos dos valores da sequência xn A base para esse resultado é o fato mostrado no Problema 354 de que e N k N N jk N n 2 0 2 0 π caso contrário n N 390 A equação 390 estabelece que a soma dos valores de uma exponencial complexa periódica sobre um periodo é zero a menos que a exponencial complexa seja uma constante Agora considere a representação em série de Fourier da Equação 388 Multiplicando os dois membros por e jr2πNn e somando sobre N parcelas obtemos Representação de sinais periódicos em série de Fourier 131 como aquelas consideradas na Seção 34 surgem quando levamos em conta o problema de avaliar o limite à me dida que o número de parcelas se aproxima de infinito 37 Propriedades da série de Fourier de tempo discreto Existem grandes semelhanças entre as propriedades das séries de Fourier de tempo discreto e contínuo Isso pode ser facilmente visto comparandose as propriedades da série de Fourier de tempo discreto resumidas na Tabela 32 com suas correspondentes na Tabela 31 As dedu ções de muitas dessas propriedades são muito similares àquelas das propriedades correspondentes para a série de Fourier de tempo contínuo e várias delas são consi deradas nos problemas ao final do capítulo Além disso no Capítulo 5 veremos que a maioria das propriedades pode ser inferida a partir das propriedades correspon dentes da transformada de Fourier de tempo discreto Tabela 32 Propriedades da série de Fourier de tempo discreto Propriedade Sinal periódico Coeficientes da série de Fourier xn Periódicas com período N e yn frequência fundamental ω0 2πN ak Periódico com bk período N Linearidade Axn Byn Aak Bbk Deslocamento no tempo x n n0 ake jk N n 2 0 π Deslocamento em frequência e jM 2πN n xn akM Conjugação x n ak Reflexão no tempo x n ak Mudança de escala no tempo x n x n m n m n m se é múltiplo de se não é 0 múltiplo de m periódica com período mN 1 m mN ka vistos como periódico com perído Convolução periódica x r y n r r N Nakbk Multiplicação xnyn a l l 1bk N Primeira diferença xn xn 1 Soma acumulada x k de valor finito e periódico apenas se a0 0 k n 1 1 1 2 2 e e jk N k jk N k π π a a Simetria conjugada para sinais reais xn real a a k k k k k ak ak ak ak a a a a k Sinais reais e pares xn real e par ak real e par Sinais reais e ímpares xn real e ímpar ak puramente imaginário e ímpar Decomposição parímpar de sinais reais x n n x n n x n e real re 0 al x x n x ak j ak Relação de Parseval para sinais periódicos 1 2 2 N x n k k N n N a Representação de sinais periódicos em série de Fourier 137 então a Equação 3135 se reduz a y n r N n cos 2π θ 3136 Por exemplo se N 4 1 1 1 1 1 1 2 4 2 1 α α α π α e j e j j tan e assim y n n cos 1 1 2 2 1 α π α tan Devese notar que para expressões como as equa ções 3124 e 3131 façam sentido as respostas em frequên cia Hjω e He jω nas equações 3121 e 3122 precisam estar bem definidas e serem finitas Conforme veremos nos capítulos 4 e 5 isso acontecerá se os sistemas LIT con siderados forem estáveis Por exemplo o sistema LIT no Exemplo 316 com resposta ao impulso ht e tut é estável e tem uma resposta em frequência bem definida dada pela Equação 3125 Por outro lado um sistema LIT com resposta ao impulso ht e tut é instável e é fácil ve rificar que a integral na Equação 3121 para Hjω diverge para qualquer valor de ω De forma similar o sistema LIT no Exemplo 317 com resposta ao impulso hn anun é estável para α 1 e tem resposta em frequência dada pela Equação 3134 Entretanto se α 1 o sistema é instável e o somatório na Equação 3133 diverge 39 Filtragem Em diversas aplicações é interessante mudar as am plitudes relativas dos componentes em frequência de um sinal ou talvez eliminar por completo alguns componentes em frequência tal processo é conhecido como filtragem Os sistemas lineares invariantes no tempo que mudam a for ma do espectro são conhecidos como filtros conformadores de frequência Os sistemas que são projetados para deixar passar algumas frequências essencialmente não distorcidas e que atenuam significativamente ou eliminam outras são chamados filtros seletivos em frequência Conforme indicado pelas equações 3124 e 3131 os coeficientes da série de Fourier da saída de um sistema LIT são aqueles da entra da multiplicados pela resposta em frequência do sistema Consequentemente a filtragem pode ser realizada conve nientemente com o uso de sistemas LIT com uma resposta em frequência apropriadamente escolhida e métodos no domínio da frequência nos proporcionam as ferramentas ideais para examinar essa classe tão importante de aplica ções Nesta e nas duas seções seguintes abordamos pela primeira vez a filtragem por meio de alguns exemplos 391 Filtros formadores em frequência Sistemas de áudio constituem uma aplicação em que os filtros conformadores de frequência são encontrados facilmente Por exemplo os filtros LIT frequentemente estão incluídos em tais sistemas para permitir que o ouvin te modifique as quantidades relativas de energia de baixa frequência graves e energia de alta frequência agudos Esses filtros correspondem a sistemas LIT cujas respostas em frequência podem ser alteradas manipulandose os controles de tonalidade Além disso em sistemas de áudio de alta fidelidade um chamado filtro de equalização nor malmente é incluído no préamplificador para compen sar as características de resposta em frequência dos alto falantes Em geral esses estágios de filtragem em cascata são conhecidos como circuitos equalizadores para o siste ma de áudio A Figura 322 ilustra os três estágios dos cir cuitos equalizadores para uma série em particular de alto falantes de áudio Nessa figura a magnitude da resposta em frequência para cada um desses estágios aparece em um gráfico loglog Especificamente a magnitude está em unidades de 20 log10 Hjω conhecidas como decibéis ou dB O eixo de frequência é rotulado em Hz ou seja ω2π ao longo de uma escala logarítmica Como discutiremos com mais detalhes na Seção 623 uma representação lo garítmica da magnitude da resposta em frequência nesse formato é comum e de grande utilidade Juntos os circuitos equalizadores na Figura 322 são projetados para compensar a resposta em frequência dos altofalantes e o ambiente em que estão localizados e permitir que o ouvinte controle a resposta em frequên cia total Em particular como os três sistemas são co nectados em cascata e como cada sistema modifica uma entrada exponencial complexa Ke jωt multiplicandoa pela resposta em frequência do sistema nessa frequên cia concluise que a resposta em frequência total da cascata dos três sistemas é o produto das três respostas em frequência Os dois primeiros filtros indicados nas figuras 322a e b compõem o estágio de controle do sistema pois o comportamento de frequência desses filtros pode ser ajustado pelo ouvinte O terceiro filtro mostrado na Figura 322c é o estágio equalizador que tem uma resposta em frequência fixa indicada O filtro na Figura 322a é um filtro de baixa frequência controlado por uma chave de duas posições para ofe recer uma das duas respostas de frequência indicadas O segundo filtro no estágio de controle tem duas cha Representação de sinais periódicos em série de Fourier 149 usar filtros com N 0 Em outras como as que envolvem o processamento em tempo real a causalidade é essencial e nesses casos devemos considerar N 0 312 Resumo Neste capítulo introduzimos e desenvolvemos re presentações em série de Fourier de tempo contínuo e tempo discreto e usamos essas representações para uma primeira análise de uma das mais importantes aplicações dos métodos de análise de sinais e sistemas a filtragem Em particular conforme discutimos na Seção 32 uma das principais motivações para o uso da série de Fourier é o fato de que sinais exponenciais complexos são autofun ções dos sistemas LIT Também vimos nas seções 33 a 37 que qualquer sinal periódico de interesse prático pode ser representado em uma série de Fourier ou seja como uma soma ponderada de exponenciais complexas harmo nicamente relacionadas que compartilham um período comum com o sinal representado Além disso vimos que a representação em série de Fourier tem várias propriedades importantes que descrevem como diferentes característi cas dos sinais são refletidas em seus coeficientes da série de Fourier Uma das propriedades mais importantes da série de Fourier é uma consequência direta da propriedade de au tofunção das exponenciais complexas Especificamente se um sinal periódico for aplicado a um sistema LIT então a saída será periódica com o mesmo período e cada um dos coeficientes de Fourier da saída é o coeficiente de Fou rier correspondente da entrada multiplicado por um núme ro complexo cujo valor é uma função da frequência cor respondente a esse coeficiente de Fourier Essa função da frequência é característica do sistema LIT e é conhecida como resposta em frequência do sistema Examinando a resposta em frequência fomos levados diretamente à ideia de filtra gem dos sinais usando sistemas LIT um conceito que tem diversas aplicações incluindo várias que descrevemos Uma importante classe de aplicações envolve a noção de filtra gem seletiva em frequência ou seja a ideia de usar um sistema LIT para deixar passar certas bandas de frequências especificadas e suprimir ou atenuar outras significativa mente Introduzimos o conceito de filtros seletivos em fre quência ideais e também demos vários exemplos de filtros seletivos em frequência descritos por equações diferenciais ou de diferenças lineares com coeficientes constantes A finalidade deste capítulo foi iniciar o processo de desenvolvimento tanto das ferramentas de análise de Fourier como da apreciação da utilidade dessas ferramentas em diversas aplicações Nos capítulos seguintes continuare mos desenvolvendo as representações da transformada de Fourier para sinais aperiódicos em tempo contínuo e dis creto e examinando mais detalhadamente não apenas a filtragem mas também outras aplicações importantes dos métodos de Fourier Capítulo 3 Problemas A primeira seção de problemas pertence à categoria básica e as respostas são fornecidas no final do livro As três seções posteriores contêm problemas que pertencem res pectivamente às categorias básica avançada e de extensão Problemas básicos com respostas 31 Um sinal periódico de tempo contínuo xt tem valor real e período fundamental T 8 Os coeficientes dife rentes de zero da série de Fourier de xt são a a a a j 1 1 3 3 2 4 Expresse xt na forma x t A t k k k k cos ω φ 0 32 Um sinal periódico de tempo discreto xn tem valor real e período fundamental N 5 Os coeficientes da série de Fourier diferentes de zero de xn são a a a e a a e j j 0 2 2 4 4 4 3 1 2 π π Expresse xn na forma x n A A n k k k k 0 1 senω φ 33 Para o sinal periódico de tempo contínuo x t t t cos 2 2 3 4 5 3 π π sen determine a frequência fundamental ω0 e os coeficien tes da série de Fourier ak tais que x t a e k jk t k ω0 34 Use a Equação de análise da série de Fourier 339 para calcular os coeficientes ak para o sinal periódico de tem po contínuo x t t t 1 5 0 1 1 5 1 2 com frequência fundamental ω0 π 35 Seja x1t um sinal periódico de tempo contínuo com frequência fundamental ω1 e coeficientes de Fourier ak Dado que x2t x11 t x1t 1 como a frequência fundamental ω2 de x2t se relaciona com ω1 Além disso encontre também uma relação entre os coeficientes da série de Fourier bk de x2t e os coeficientes ak Você pode usar as propriedades listadas na Tabela 31 Representação de sinais periódicos em série de Fourier 155 339 Considere um sistema LIT de tempo discreto S cuja res posta em frequência é H e j ω ω ω π π π 1 0 8 8 Demonstre que se a entrada xn para esse sistema tem período N 3 a saída yn tem apenas um coeficiente da série de Fourier diferente de zero por período Problemas avançados 340 Seja xt um sinal periódico com período fundamental T e coeficientes da série de Fourier ak Obtenha os coe ficientes da série de Fourier de cada um dos seguintes sinais em termos de ak a xt t0 xt t0 b xt c xt d d x t dt 2 2 e x3t 1 para este item primeiro determine o pe ríodo de x3t 1 341 Suponha que sejam dadas as seguintes informações so bre um sinal periódico de tempo contínuo com período 3 e coeficientes de Fourier ak 1 ak ak2 2 ak ak 3 0 5 0 5 1 x t dt 4 x t dt 2 1 2 Determine xt 342 Seja xt um sinal real com período fundamental T e coeficientes da série de Fourier ak a Demonstre que ak a k e a0 devem ser reais b Demonstre que se xt for par então seus coefi cientes da série de Fourier devem ser reais e pares c Demonstre que se xt for ímpar então seus coefi cientes da série de Fourier são imaginários e ímpa res e a0 0 d Demonstre que os coeficientes de Fourier da parte par de xt são iguais a ak e Demonstre que os coeficientes de Fourier da parte ímpar de xt são iguais a j ak 343 a Um sinal periódico de tempo contínuo xt com pe ríodo T é dito harmônico ímpar se em sua represen tação por série de Fourier x t a e k jk T t k 2π P3431 ak 0 para cada k inteiro par diferente de zero i Demonstre que se xt for harmônico ímpar então x t x t T 2 P3432 ii Demonstre que se xt satisfaz a Equação P3432 então ele é harmônico ímpar b Suponha que xt seja um sinal periódico harmôni co ímpar com período 2 tal que xt t para 0 t l Esboce xt e encontre seus coeficientes da série de Fourier c De maneira análoga ao sinal harmônico ímpar po deríamos definir um sinal harmônico par como um sinal para o qual ak 0 para k ímpar na represen tação da Equação P3431 T poderia ser o período fundamental para tal sinal Explique sua resposta d De modo geral mostre que T é o período funda mental de xt na Equação P3431 se ocorre um dos seguintes eventos 1 Ou a1 ou a1 é diferente de zero ou 2 Existem dois inteiros k e l que não possuem fatores comuns e são tais que ak e a1 são dife rentes de zero 344 Suponha que sejam dadas as seguintes informações so bre um sinal xt 1 xt é um sinal real 2 xt é periódico com período T 6 e tem coeficientes de Fourier ak 3 ak 0 para k 0 e k 2 4 xt xt 3 5 1 6 3 3 2 1 2 x t dt 6 a1 é um número real positivo Mostre que xt A cosBt C e determine os valores das constantes A B e C 345 Seja xt um sinal periódico real com representação em série de Fourier dada na forma de senocosseno da Equação 332 ou seja x t a B k t C k t k k k cos 0 1 0 0 2 ω sen ω P3451 a Determine a representação em série de Fourier ex ponencial das partes par e ímpar de xt ou seja encontre os coeficientes αk e βk em termos dos coe ficientes da Equação P3451 de modo que k jk t k k jk t k α β ω ω 0 0 t e e t x x b Qual é a relação entre αk e αk no item a Qual é a relação entre βk e βk Capítulo 4 A transformada de Fourier de tempo contínuo 40 Introdução No Capítulo 3 desenvolvemos uma representação dos sinais periódicos como combinações lineares de ex ponenciais complexas Também vimos como essa repre sentação pode ser usada para descrever o efeito dos siste mas LTI sobre os sinais Neste capítulo e no seguinte estendemos esses con ceitos para aplicar a sinais que não são periódicos Como veremos uma ampla classe de sinais incluindo todos os sinais com energia finita também pode ser representa da como uma combinação linear de exponenciais com plexas Enquanto para sinais periódicos as exponenciais complexas que o representam estão relacionadas harmo nicamente para sinal aperiódico elas estão infinitesimal mente próximas em frequência e a representação em termos de uma combinação linear toma a forma de uma integral em vez de uma soma O espectro de coeficientes resultante nessa representação é chamado transformada de Fourier e a integral de síntese que usa esses coeficien tes para representar o sinal como uma combinação linear de exponenciais complexas é denominada transformada inversa de Fourier O desenvolvimento dessa representação para sinais aperiódicos em tempo contínuo é uma das contribuições mais importantes de Fourier Nosso desenvolvimen to da transformada de Fourier segue muito de perto a técnica que ele usou em seu trabalho original Em par ticular Fourier intuiu que um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico com um período infinito Mais precisamente na representação da série de Fourier de um sinal periódico enquanto o período aumenta a frequência fundamental diminui e os componentes har monicamente relacionados tornamse mais próximos em frequência À medida que o período se torna infinito os componentes de frequência se aproximam de modo a for mar um conjunto contínuo e a soma da série de Fourier tornase uma integral Na próxima seção desenvolvemos a representação da série de Fourier para sinais periódicos de tempo contínuo e nas seções seguintes usamos esse fundamento enquanto exploramos muitas das proprie dades importantes da transformada de Fourier de tempo contínuo que formam a base dos métodos no domínio de frequência para sinais e sistemas de tempo contínuo No Capítulo 5 fazemos esse desenvolvimento analogamente para sinais de tempo discreto 41 Representação de sinais aperiódicos a transformada de Fourier de tempo contínuo 411 Dedução da representação por transformada de Fourier para um sinal aperiódico Para termos um entendimento da natureza da re presentação em transformada de Fourier começamos revisitando a representação por série de Fourier para a onda quadrada periódica de tempo contínuo examinada no Exemplo 35 Especificamente em um período x t t T T t T 1 0 2 1 1 e repetese periodicamente com período T como mostra do na Figura 41 Conforme determinamos no Exemplo 35 os coefi cientes ak da série de Fourier para essa onda quadrada são Eq 344 a k T k T k 2 0 1 0 sen ω ω 41 A transformada de Fourier de tempo contínuo 191 aplicarmos as ferramentas da análise de Fourier em nossa análise de sinais e sistemas Todos os pares trans formados exceto o último da tabela foram considera dos nos exemplos das seções anteriores O último par é considerado no Problema 440 Além disso observe que diversos sinais na Tabela 42 são periódicos e para estes também listamos os coeficientes das séries de Fourier cor respondentes Tabela 42 Pares transformados básicos de Fourier Sinal Transformada de Fourier Coeficientes da série de Fourier se periódica ak k jk t e ω0 2 0 π δ ω ω ak k k ak e j ω0t 2πδ ω ω0 a1 1 ak 0 caso contrário cos ω0t πδ ω ω0 δ ω ω0 a a a 1 1 1 2 0 k caso contrário sen ω0t π δ ω ω δ ω ω j 0 0 a a a 1 1 1 2 0 j k caso contrário xt 1 2πδω a0 1 ak 0 k 0 esta é a representação em série de Fourier para qualquer escolha de T 0 Onda quadrada periódica x t t T T t T 1 0 1 1 2 e x t T x t 2 0 1 0 sen k T k k k ω δ ω ω ω π ω π ω π 0 1 0 1 0 1 T k T k T k sinc sen δ t nT n 2 2 π δ ω π T k T k ak T k 1 para todo x t t T t T 1 0 1 1 2 sen ω 1 ω T sen Wt tπ X j W W ω ω ω 1 0 δ t 1 u t 1 jω πδ ω δ t t0 e j t ω 0 eatu t a 0 1 a jω teatu t a 0 1 2 a jω t n t n e u t 1 1 a a 0 1 a j ω n A transformada de Fourier de tempo discreto 229 Substituindo n por n nos dois membros da Equação 577 e observando que a função sinc é par obtemos sen π π π ω ω π π n2 1 2 1 2 2 n e jn d O membro direito dessa equação tem a forma da equação de síntese da transformada de Fourier para xn assim X e j ω ω π π ω π 1 2 0 2 Na Tabela 53 apresentamos um resumo compac to das expressões da série de Fourier e da transformada de Fourier para sinais de tempo contínuo e tempo discreto também indicamos as relações de dualidade que se apli cam em cada caso 58 Sistemas caracterizados por equações de diferenças lineares com coeficientes constantes Uma equação de diferenças com coeficientes cons tantes linear geral para um sistema LIT com entrada xn e saída yn tem a forma a y n k b x n k k k N k k M 0 0 578 A classe de sistemas descrita por essas equações de dife renças é muito importante e útil Nesta seção usamos várias das propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto para determinar a resposta em frequência He jω para um sistema LIT descrito por tal equação A técnica que seguimos é análoga à discussão da Seção 47 para sistemas LIT de tempo contínuo descritos por equa ções diferenciais lineares com coeficientes constantes Existem duas maneiras relacionadas para determi nar He jω A primeira que ilustramos na Seção 311 para várias equações de diferenças simples usa explicitamente o fato de que exponenciais complexas são autofunções de sistemas LIT Especificamente se xn e jωn é a entrada para um sistema LIT então a saída precisa ser na forma He jωe jωn Substituindo essas expressões na Equação 578 e realizando alguma álgebra podemos encontrar He jω Nesta seção usamos uma segunda técnica utilizando as propriedades de convolução linearidade e deslocamento no tempo da transformada de Fourier de tempo discreto Sejam Xe jω Ye jω e He jω as transformadas de Fourier da entrada xn da saída yn e da resposta ao impul so hn respectivamente A propriedade de convolução Equação 548 então da transformada de Fourier de tem po discreto implica que H e Y e X e j j j ω ω ω 579 Aplicando a transformada de Fourier em ambos os membros da Equação 578 e usando as propriedades de linearidade e deslocamento no tempo obtemos a expressão a e Y e b e X e k jk k N j k jk k M j ω ω ω ω 0 0 ou de modo equivalente H e Y e X e b e a e j j j k M k jk k N k jk ω ω ω ω ω 0 0 580 Comparando a Equação 580 com a Equação 476 ve mos que como no caso de tempo contínuo He jω é uma razão de polinômios mas em tempo discreto os polinô mios estão na variável e jω Os coeficientes do polinômio Tabela 53 Resumo das expressões de série e transformada de Fourier Tempo contínuo Tempo discreto Domínio do tempo Domínio da frequência Domínio do tempo Domínio da frequência Série de Fourier x t k jk t k a e ω0 tempo contínuo periódico no tempo ak jk t T T x t 1 0 0 0 e ω frequência discreta aperiódico em frequência x n k jk N n k N a e 2π tempo discreto periódico no tempo a N x n k jk N n k N 1 2 e π frequência discreta periódico em frequência Transformada de Fourier x t X j d j t 1 2π ω ω ω e tempo contínuo aperiódico no tempo X j x t j tdt ω ω e frequência contínua aperiódico em frequência x n X d j j n 1 2 2 π ω ω π ω e e tempo discreto aperiódico no tempo X x n j j n n e e ω ω frequência contínua periódico em frequência dualidade dualidade dualidade A transformada de Fourier de tempo discreto 231 59 Resumo Neste capítulo desenvolvemos a transformada de Fourier para sinais de tempo discreto e examinamos mui tas de suas propriedades essenciais de forma paralela ao que fizemos no Capítulo 4 No decorrer do capítulo vimos muitas semelhanças entre a análise de Fourier de tempo contínuo e tempo discreto bem como algumas diferen ças importantes Por exemplo a relação entre a série de Fourier e a transformada de Fourier de tempo discreto é exatamente análoga à de tempo contínuo Em particular nossa dedução da transformada de Fourier de tempo dis creto para sinais aperiódicos a partir das representações da série de Fourier de tempo discreto é muito parecida com a dedução correspondente em tempo contínuo Além do mais muitas das propriedades das transformadas de tem po contínuo possuem correspondentes exatos em tempo discreto Por outro lado contrastante com a de tempo con tínuo a transformada de Fourier de tempo discreto de um sinal aperiódico sempre é periódica com período 2π Além das semelhanças e diferenças como estas descrevemos as relações de dualidade entre as representações de Fourier dos sinais de tempo contínuo e tempo discreto As semelhanças mais importantes entre a análise de Fourier de tempo contínuo e tempo discreto estão em seus usos na análise e representação de sinais e sistemas LIT Especificamente a propriedade de convolução nos dá a base para a análise no domínio da frequência dos siste mas LIT Já vimos parte da utilidade dessa abordagem em nossa discussão da filtragem nos capítulos 3 a 5 e em nos so exame dos sistemas descritos por equações diferenciais ou diferenças lineares com coeficientes constantes no Capítulo 6 em que examinamos a filtragem e as questões de tempo versus frequência com mais detalhes novamente apreciaremos sua utilidade Além disso as propriedades de multiplicação no tempo contínuo e no discreto são essenciais para o nosso desenvolvimento sobre amostra gem no Capítulo 7 e sobre comunicações no Capítulo 8 Capítulo 5 problemas A primeira seção de problemas pertence à categoria básica e as respostas são fornecidas no final do livro As três seções posteriores contêm problemas que pertencem res pectivamente às categorias básica avançada e de extensão Problemas básicos com respostas 51 Use a Equação de análise 59 da transformada de Fourier para calcular as transformadas de a 1 2 1 1 n u n b 1 2 1 n Esboce um período da magnitude de cada transformada de Fourier 52 Use a Equação de análise 59 da transformada de Fourier para calcular as transformadas de a δn 1 δn 1 b δn 2 δn 2 Esboce um período da magnitude de cada transformada de Fourier 53 Determine a transformada de Fourier para π ω π no caso de cada um dos seguintes sinais periódicos a sen π π 3 4 n b 2 6 8 cos π π n 54 Use a Equação de síntese 58 da transformada de Fourier para determinar as transformadas inversas de Fourier de a X e k k j k 1 2 2 2 2 ω π πδ ω π πδ ω π πδ ω π π 2 2 k b X e j j j 2 2 0 2 0 ω ω π π ω 55 Use a Equação de síntese 58 da transformada de Fou rier para determinar a transformada inversa de Fourier de X e X e e j j j X e ω ω δω com X e X e j j ω π π ω ω ω π 1 0 0 4 4 e 3 2 ω Use sua resposta para determinar os valores de n para os quais xn 0 56 Dado que xn tem transformada de Fourier Xe jω ex presse as transformadas de Fourier dos seguintes sinais em termos de Xe jω Você pode usar as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela 51 a x1n x1 n x1 n b x n x n x n 2 2 c x3n n 12 xn 57 Para cada uma das seguintes transformadas de Fourier use propriedades da transformada de Fourier Tabela 51 para determinar se o sinal no domínio do tempo cor respondente é i real imaginário ou nenhum dos dois e ii par ímpar ou nenhum dos dois Faça isso sem calcular a inversa das transformadas indicadas a X e e k j j k 1 1 10 ω ω ω sen b X2e jω j senωcos5ω c X3e jω Aω e jBω com A B ω ω ω π ω π π ω 1 0 0 8 8 3 2 e π A transformada de Fourier de tempo discreto 241 b A Figura P551 representa uma implementação em diagrama de blocos de um sistema LIT causal i Encontre uma equação de diferenças relacio nando xn e yn para esse sistema ii Qual é a resposta em frequência do sistema iii Determine a resposta ao impulso do sistema 552 a Seja hn a resposta ao impulso de um sistema LIT real causal de tempo discreto Mostre que o sis tema é completamente especificado pela parte real de sua resposta em frequência Dica Mostre como hn pode ser recuperado a partir de hn Qual é a transformada de Fourier de hn Este é o correspondente de tempo discreto da propriedade de suficiência da parte real dos sistemas LIT causais considerada no Problema 447 para sistemas de tempo contínuo b Seja hn real e causal Se He jω 1 α cos 2ω α real determine hn e He jω c Mostre que hn pode ser completamente recu perado a partir do conhecimento de He jω e h0 d Encontre dois sistemas LIT reais e causais cujas res postas em frequência possuem partes imaginárias iguais a sen ω Problemas de extensão 553 Um dos motivos para o grande crescimento no uso de métodos de tempo discreto para a análise e sínte se de sinais e sistemas foi o desenvolvimento de fer ramentas extremamente eficientes para a realização da análise de Fourier de sequências de tempo discre to No cerne desses métodos está uma técnica que está ligada de perto à análise de Fourier de tempo discreto e que é adequada para uso em um compu tador digital ou para a implementação em circuitos eletrônicos digitais de uso específico Essa técnica é a transformada discreta de Fourier DFT em inglês dis crete Fourier transform para sinais de duração finita Seja xn um sinal de duração finita ou seja existe um inteiro N1 de modo que xn 0 fora do intervalo 0 n N1 1 Além do mais seja Xejω a transformada de Fourier de xn Podemos construir um sinal periódico ɶxn que seja igual a xn em um período Especificamente seja N N1 um inteiro qualquer e seja ɶxn periódico com período N e tal que ɶx n x n n N 0 1 Os coeficientes da série de Fourier para ɶxn são dados por a N x n e k jk N n N 1 2 ɶ π Escolhendo o intervalo do somatório de modo que ɶxn xn obtemos a N x n e k jk N n n N 1 2 0 1 π P5531 O conjunto de coeficientes definidos pela Equação P5531 representa a DFT de xn Especificamente a DFT de xn é comumente indicada por ɶXk e é definida como ɶ X k a N x n e k N k jk N n n N 1 0 1 1 2 0 1 π P5532 A importância da DFT decorre de vários fatos Pri meiro observe que o sinal de duração finita original pode ser recuperado a partir da sua DFT Especifica mente temos x n X k e n N jk N n k N ɶ 2 0 1 0 1 1 π P5533 Assim o sinal de duração finita xn pode ser especifi cado pelo conjunto finito de valores não nulos que as sume ou pelo conjunto finito de valores de ɶXk de sua DFT Uma segunda característica importante da DFT é que existe um algoritmo extremamente rápido cha mado transformada rápida de Fourier FFT em inglês fast Fourier transform para o seu cálculo ver no Problema 554 uma introdução a essa técnica extremamente im portante Além disso devido a sua relação próxima com a série e a transformada de Fourier de tempo discreto a DFT herda algumas das suas propriedades importantes a Suponha que N N1 Mostre que ɶX k N X e j k N 1 2π sendo ɶXk a DFT de xn Isto é a DFT correspon de a amostras de Xejω tomadas a cada intervalo de 2πN A Equação P5533 levanos a concluir que xn pode ser representado unicamente por essas amostras de Xejω b Vamos considerar amostras de Xejω tomadas a cada 2πM sendo M N1 Essas amostras corres pondem a mais de uma sequência de duração N1 Para ilustrar isso considere os dois sinais x1n e x2n representados na Figura P553 Mostre que se escolhermos M 4 teremos X e X j k j k 1 2 4 2 2 4 π π para todos os valores de k A transformada de Fourier de tempo discreto 243 256 1024 e 4096 Compare os resultados com o método de cálculo direto do item a 555 Neste problema apresentamos o conceito de janela mento que é de grande importância tanto no projeto de sistemas LIT quando na análise espectral de sinais O janelamento é a operação de tomar um sinal xn e multiplicálo por uma janela wn de duração finita Ou seja pn xnwn Note que pn também tem duração finita A importância do janelamento na análise espectral vem do fato de que em diversas aplicações desejamos calcular a transformada de Fourier de um sinal que foi medido Como na prática só podemos medir um sinal xn por um intervalo de tempo finito a janela de tem po o sinal real disponível para a análise espectral é p n x n M n M 0 caso contrário sendo M n M a janela de tempo Então pn xnwn sendo wn a janela retangular isto é w n M n M 1 0 caso contrário P5551 O janelamento também desempenha um papel im portante no projeto de sistemas LIT Especificamente por diversos motivos como a utilidade em potencial do algoritmo FFT ver Problema P554 costuma ser van tajoso projetar um sistema que tenha uma resposta ao impulso de duração finita para obter algum objetivo de processamento de sinal desejado Isto é frequente mente começamos com uma resposta em frequência desejada Hejω cuja transformada inversa hn é uma resposta ao impulso de duração infinita ou pelo me nos excessivamente longa O que é necessário então é a construção de uma resposta ao impulso gn de du ração finita cuja transformada Gejω se aproxima ade quadamente de Hejω Uma técnica geral para escolher gn é encontrar uma função de janela wn tal que a transformada de hnwn atenda às especificações de sejadas para Gejω Evidentemente o janelamento de um sinal tem um efeito sobre o espectro resultante Neste problema ilustramos esse efeito a Para compreender o efeito do janelamento consi dere o janelamento do sinal x n n k k δ usando a janela retangular dada na Equação P5551 i Calcule Xejω ii Esboce a transformada de pn xnwn quando M 1 iii Faça o mesmo para M 10 b Em seguida considere um sinal xn cuja transfor mada de Fourier é especificada por X e j ω ω π π ω π 1 4 0 4 Seja pn xnwn em que wn é a janela re tangular da Equação P5551 Esboce Pejω para M 4 8 e 16 c Um dos problemas do uso de uma janela retangu lar é que ela introduz ondulações na transformada Pejω Isso de fato está relacionado diretamente ao fenômeno de Gibbs Por esse motivo diversas outras janelas foram propostas Esses sinais decaem suavemente ou seja eles vão de 0 a 1 mais gradu almente do que a transição brusca da janela retan gular O resultado é uma redução na amplitude das ondulações em Pejω à custa da inclusão de um pouco de distorção em termos de mais suavização de Xejω Para ilustrar os pontos apresentados consi dere o sinal xn descrito no item b e seja pn xnwn sendo wn a janela triangular ou janela de Bartlett isto é w n M n M Mn 1 0 1 caso contrário Esboce a transformada de Fourier de pn xnwn para M 4 8 e 16 Dica Observe que o sinal trian gular pode ser obtido como uma convolução de um sinal retangular com ele mesmo Esse fato leva a uma expressão conveniente para Wejω d Seja pn xnwn sendo wn um sinal cosseno levantado conhecido como janela de Hanning isto é w n n M M n M cos 1 2 1 0 π caso contrário Esboce Pejω para M 4 8 e 16 556 Seja xm n um sinal que é uma função de duas variá veis independentes e discretas m e n Em analogia com a técnica para uma dimensão e com o caso de tempo contínuo tratado no Problema 453 podemos definir a transformada de Fourier bidimensional de xm n como X e e x m n e j j j m n m n ω ω ω ω 1 2 1 2 P5561 a Mostre que a Equação P5561 pode ser calculada como duas transformadas de Fourier unidimensio nais sucessivas primeiro em m com n fixo e de pois em n Use esse resultado para determinar uma expressão para xm n em termos de X ejω1 ejω2 Capítulo 6 Caracterização no tempo e na frequência dos sinais e sistemas 60 Introdução A caracterização no domínio da frequência dos sis temas LIT em termos de sua resposta em frequência re presenta uma alternativa à caracterização no domínio do tempo por meio da convolução Analisando os sistemas LIT muitas vezes é particularmente conveniente utilizar o domínio da frequência porque equações diferenciais e de diferenças e operações de convolução no domínio do tempo se tornam operações algébricas no domínio da frequência Além do mais conceitos como filtragem se letiva em frequência são visualizados de forma simples e imediata no domínio da frequência Contudo no projeto do sistema surgem tipicamente considerações tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência Por exemplo como discutimos rapidamente nos exemplos 418 e 512 e conforme ilustraremos com mais detalhes neste capítulo o comportamento oscilatório significativo na resposta ao impulso de um filtro seletivo em frequên cia pode ser indesejável e consequentemente podemos querer sacrificar o nível de seletividade em frequência de um filtro a fim de atender às tolerâncias exigidas sobre o comportamento da resposta ao impulso Na prática situ ações assim são a regra em vez da exceção pois na maio ria das aplicações gostaríamos de especificar ou restringir certas características de um sistema no domínio do tempo e da frequência constantemente resultando em exigências contraditórias Consequentemente em projeto e análi se de sistemas é importante relacionar características e compromissos no domínio do tempo e da frequência A introdução dessas questões e relações é o foco principal deste capítulo 61 A representação magnitudefase da transformada de Fourier A transformada de Fourier em geral é complexa e como discutimos pode ser representada em termos de seus componentes real e imaginário ou em termos de magnitude e fase A representação magnitudefase da trans formada de Fourier de tempo contínuo Xjω é X j X j e j X j ω ω ω 61 De modo semelhante a representação magnitudefase para a transformada de Fourier de tempo discreto Xejω é X e X e e j j j X e j ω ω ω 62 Na discussão a seguir concentramonos quase por com pleto no caso de tempo contínuo para descrever e ilustrar vários pontos relacionados a representações de magnitu defase Os pontos essenciais aplicamse igualmente ao caso de tempo discreto Da Equação de síntese da transformada de Fourier 48 podemos pensar em Xjω como nos fornecendo uma decomposição do sinal xt em uma soma de expo nenciais complexas em diferentes frequências De fato conforme discutimos na Seção 437 Xjω2 pode ser interpretado como o espectro de densidade de ener gia de xt Ou seja Xjω2dω2π pode ser considerado como a quantidade de energia no sinal xt que se en contra na banda de frequência infinitesimal entre ω e ω dω Assim a magnitude Xjω descreve o conteúdo de frequência básico de um sinal ou seja Xjω pro porciona a informação sobre as magnitudes relativas das Caracterização no tempo e na frequência dos sinais e sistemas 249 e relações exatamente análogas são mantidas no caso de tempo discreto Da Equação 65 vemos que o efeito que um sistema LIT tem sobre a magnitude da transfor mada de Fourier da entrada é ponderála pela magnitu de da resposta em frequência Por esse motivo Hjω ou Hejω comumente é chamado ganho do sistema Além disso da Equação 66 vemos que a fase da entra da Xjω é modificada pelo sistema LIT acrescentando a fase Hjω a ela e Hjω é chamado tipicamente de deslocamento de fase do sistema O deslocamento de fase do sistema pode mudar as relações de fase entre os com ponentes de entrada possivelmente resultando em mo dificações significativas nas características no domínio do tempo do sinal da entrada mesmo quando o ganho do sistema é constante para todas as frequências As mu danças na magnitude e fase que resultam da aplicação de uma entrada a um sistema LIT podem ser desejáveis se o sinal de entrada for modificado de um modo útil ou indesejáveis se a entrada for mudada de forma in desejada No último caso os efeitos nas equações 65 e 66 são conhecidos como distorções de magnitude e fase Nas próximas seções descrevemos vários conceitos e fer ramentas que nos permitem entender esses efeitos um pouco mais a fundo 621 Fase linear e não linear Quando o deslocamento de fase na frequência ω é uma função linear de ω existe uma interpretação parti cularmente direta do efeito no domínio do tempo Con sidere o sistema LIT de tempo contínuo com resposta em frequência Hjω ejωt0 67 de modo que o sistema tem ganho unitário e fase linear ou seja H j H j t ω ω ω 1 0 68 Como mostrado no Exemplo 415 o sistema com essa característica de resposta em frequência produz uma sa ída que é simplesmente um deslocamento no tempo da entrada ou seja yt xt t0 69 No caso de tempo discreto o efeito da fase linear é análogo ao do caso de tempo contínuo quando a in clinação da fase linear é um inteiro Especificamente do Exemplo 511 sabemos que o sistema LIT com resposta em frequência ejωn0 com função de fase linear ωn0 produz uma saída que é um simples deslocamento da entrada ou seja yn xn n0 Assim um deslocamento de fase linear com uma inclinação inteira corresponde a um des locamento de xn por um número inteiro de amostras Quando a inclinação de fase não é um inteiro o efeito no domínio de tempo é um pouco mais complexo e é discu tido no Capítulo 7 Seção 75 Informalmente o efeito é um deslocamento no tempo da envoltória dos valores da sequência mas os valores em si podem mudar Embora os deslocamentos de fase linear ocasionem mudanças muito simples e facilmente entendidas e visua lizadas em um sinal se um sinal de entrada estiver sujeito a um deslocamento de fase que seja uma função não line ar de ω então as componentes exponenciais complexas da entrada serão deslocadas de uma maneira que resulte em uma mudança nas fases relativas Quando essas ex ponenciais são sobrepostas obtemos um sinal que pode parecer consideravelmente diferente do sinal de entra da Este fato é ilustrado na Figura 63 no caso de tempo contínuo Na Figura 63a representamos um sinal que é aplicado como a entrada para três sistemas diferentes A Figura 63b mostra a saída quando o sinal é aplicado como entrada para um sistema com resposta em frequên cia H1jω ejωt0 resultando em uma saída que é igual à entrada atrasada de t0 segundos Na Figura 63c apre sentamos a saída quando o sinal é aplicado a um sistema com ganho unitário e função de fase não linear ou seja H j e j H j 2 2 ω ω 610 em que H2jω é uma função não linear de ω A Figura 63d mostra a saída de outro sistema com fase não linear Nesse caso a resposta em frequência correspondente tem deslocamento de fase que é obtido acrescentandose um termo de fase linear a H2jω ou seja H j H j e j t 3 2 0 ω ω ω 611 Assim a saída na Figura 63d pode ser considerada como a resposta a uma cascata do sistema H2jω segui da por um deslocamento no tempo de modo que as for mas de onda na Figura 63c e d estejam relacionadas por meio de um deslocamento no tempo simples Na Figura 64 ilustramos o efeito da fase linear e não linear no caso de tempo discreto Mais uma vez o sinal na Figura 64a é aplicado como entrada em três diferentes sistemas LIT todos com ganho unitário ou seja He jω 1 Os sinais nas partes subsequentes da Figura 64 descrevem as saídas correspondentes No caso da Figura 64b o sistema tem fase linear com inclinação inteira de 5 de modo que a saída é igual à entrada atra sada de cinco amostras Os deslocamentos de fase para os sistemas associados às figuras 64c e d são não line ares mas a diferença entre essas duas funções de fase é linear com inclinação inteira de modo que os sinais nas figuras 64c e d estão relacionados por um desloca mento no tempo Caracterização no tempo e na frequência dos sinais e sistemas 251 de modo que Y j X j H j e j e j ω ω ω φ ωα 613 Assim o efeito aproximado do sistema na transformada de Fourier dessa entrada de banda estreita consiste na for matação da magnitude correspondente a Hjω na mul tiplicação por um fator complexo sempre constante ejφ e um termo de fase linear ejωα correspondente a um atraso de tempo de α segundos Esse atraso de tempo é conhecido como atraso de grupo em ω ω0 pois é o atraso efetivo co mum experimentado por uma pequena faixa ou grupo de frequências centradas em ω ω0 O atraso de grupo em cada frequência é igual ao negativo da inclinação da fase nessa frequência ou seja o atraso de grupo é definido como τ ω ω ω d d H j 614 O conceito de atraso de grupo também se aplica direta mente a sistemas de tempo discreto No próximo exem plo ilustramos o efeito do atraso de grupo não constante sobre um sinal Exemplo 61 Considere a resposta ao impulso de um sistema passa tudo com um atraso de grupo que varia com a frequência A resposta em frequência Hjω para nosso exemplo é o pro duto de três termos ou seja H j H j i i ω ω 1 3 em que H j j j j j i i i i i i ω ω ω ζ ω ω ω ω ζ 1 2 1 2 2 2 ω ω ω ζ ω rads e rads i 1 1 2 315 0 066 943 e rads e ζ ω ζ 2 3 3 0 033 1888 0 058 615 Muitas vezes é útil expressar as frequências ωi medidas em radianos por segundo em termos de frequências fi medidas em hertz sendo ωi 2πfi Nesse caso f1 50 Hz f2 150 Hz f3 300 Hz Como o numerador de cada um dos fatores Hijω é o complexo conjugado do denominador correspondente segue se que Hijω 1 Consequentemente também podemos concluir que Hjω 1 A fase para cada Hijω pode ser determinada da Equa ção 615 H j i i i i ω ζ ω ω ω ω 2 2 1 2 arctg e H j H j i i ω ω 1 3 Se restringimos os valores de Hjω ao intervalo entre π e π obtemos a função de fase principal ou seja a fase mó dulo 2π como mostrada na Figura 65a em que esboça 0 n a 5 0 n b 0 n c 5 0 n d Figura 64 a Sinal de tempo discreto que é aplicado como entrada para diversos sistemas para os quais a resposta em frequência tem magnitude unitária b resposta para um sistema com fase linear com inclinação de 5 c resposta para um sistema com fase não linear d resposta para um sistema cuja característica de fase é aquela do item c mais um termo de fase linear com inclinação inteira Caracterização no tempo e na frequência dos sinais e sistemas 255 rem mais tarde que os componentes na faixa de média fre quência Isso é compatível com as características de atraso de grupo correspondentes na Figura 66a De modo se melhante a Figura 67b ilustra o mesmo fenômeno para a resposta ao impulso correspondente a ligações de média distância 623 Gráficos do logaritmo da magnitude e diagramas de Bode Na apresentação gráfica das transformadas de Fou rier de tempo contínuo ou de tempo discreto e as respos tas em frequência dos sistemas na forma polar é muitas vezes conveniente o uso de uma escala logarítmica para a magnitude da transformada de Fourier Um dos prin cipais motivos para isso pode ser visto das equações 65 e 66 que relacionam a magnitude e a fase da saída de um sistema LIT às da entrada e à resposta em frequência Observe que a relação de fase é aditiva enquanto a rela ção de magnitude envolve o produto de Hjω e Xjω Assim se as magnitudes das transformadas de Fourier forem representadas em uma escala de amplitude logarít mica a Equação 65 toma a forma de uma relação aditiva ou seja log log log Y j H j X j ω ω ω 616 com uma expressão exatamente análoga em tempo discreto Consequentemente se tivermos um gráfico da magnitude logarítmica e da fase da transformada de Fourier da entrada e a resposta em frequência de um sistema LIT a transformada de Fourier da saída é obtida somandose os gráficos de logaritmo da magnitude e os gráficos de fase De modo semelhante como a respos ta em frequência da cascata de sistemas LIT é o produto das respostas em frequência individuais podemos obter gráficos da magnitude logarítmica e da fase da resposta em frequência total dos sistemas em cascata somando se os gráficos correspondentes de cada um dos sistemas componentes Além disso a magnitude da transforma da de Fourier em uma escala logarítmica permite que os detalhes sejam exibidos por um intervalo dinâmico mais amplo Por exemplo em uma escala de magnitude line ar as características de magnitude detalhadas na banda de rejeição de um filtro seletivo em frequência com alta rejeição geralmente não são evidentes embora se desta quem em uma escala logarítmica Em geral a escala de amplitude logarítmica especí fica usada está em unidades de 20 log10 conhecida como decibéis2 abreviado como dB Assim 0 dB corresponde a uma magnitude de resposta em frequência igual a 1 20 dB são equivalentes a um ganho de 10 20 dB corres pondem a uma rejeição de 01 e assim por diante Além disso é útil notar que 6 dB correspondem aproximada mente a um ganho de 2 Para sistemas de tempo contínuo também é comum e útil usarmos uma escala de frequência logarítmica Grá ficos de 20 log10Hjω e Hjω em função de log10ω são conhecidos como diagramas de Bode Um diagrama de Bode típico é ilustrado na Figura 68 Observe que conforme discutimos na Seção 433 se ht é real então Hjω é uma função par de ω e Hjω é uma função ímpar de ω Por isso os diagramas para ω negativo são supérfluos e podem ser obtidos imediatamente pelos dia gramas para ω positivo Isso naturalmente possibilita o desenho das características de resposta em frequência em função de log10ω para ω 0 como na figura O uso de uma escala de frequência logarítmica ofe rece uma série de vantagens em tempo contínuo Por exemplo permite que seja representada uma faixa de fre quências muito mais ampla que uma escala de frequência linear Além disso em uma escala de frequência logarít mica a forma de uma particular curva de resposta não muda diante de uma mudança de escala em frequência ver Problema 630 Além do mais para sistemas LIT de tempo contínuo descritos por equações diferenciais um esboço aproximado da magnitude logarítmica em função de frequência logarítmica pode ser facilmente obtido pelo uso de assíntotas Na Seção 65 isso é ilustrado por meio do desenvolvimento de diagramas de Bode simples apro ximados por segmentos lineares para sistemas de tempo contínuo de primeira e segunda ordens Em tempo discreto as magnitudes das transforma das de Fourier e respostas em frequência muitas vezes são exibidas em dB pelos mesmos motivos do caso de 2 A origem dessa escolha de unidades em particular e do termo deci béis pode ser atribuída à definição de razões de potência nos siste mas Especificamente como a magnitude ao quadrado da transfor mada de Fourier de um sinal pode ser interpretada como a energia por unidade de frequência ou potência em um sinal a magnitude ao quadrado Hjω2 ou Hejω2 da resposta em frequência de um sistema pode ser considerada como a razão de potência entre en trada e saída de um sistema LIT Em honra a Alexandre Graham Bell o inventor do telefone o termo bel foi introduzido para in dicar um fator de 10 em uma razão de potência e decibel foi usa do para indicar um décimo desse fator em uma escala logarítmica de modo que a cascata de 10 sistemas com razões de potência de 1 dB cada resultaria em 1 bel de amplificação de potência Assim 10 log10Hjω2 é o número de decibéis de amplificação de potên cia para a resposta em frequência Hjω e isso por sua vez é igual a 20 log10Hjω em amplificação de magnitude Caracterização no tempo e na frequência dos sinais e sistemas 263 frequência logarítmica podemos sem muita dificuldade obter um diagrama de Bode aproximado útil para um sis tema de primeira ordem de tempo contínuo Para isso primeiro vamos examinar o diagrama da magnitude lo garítmica da resposta em frequência Especificamente da Equação 622 obtemos 625 Daí vemos que para ωτ 1 a magnitude logarítmica é aproximadamente zero enquanto para ωτ 1 a magni tude logarítmica é aproximadamente uma função linear de log10ω Ou seja 20 0 1 log10 H jω ω τ para 626 e 627 01 02 03 04 05 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 02 04 06 08 1 12 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 06 07 08 09 1 Filtro elíptico Filtro elíptico Filtro Butterworth Filtro Butterworth Magnitude da resposta em frequência Frequência Hz Tempo ms Figura 618 Exemplo de um filtro Butterworth de ordem 5 e um filtro elíptico de ordem 5 projetados para terem a mesma ondulação na banda de passagem e banda de rejeição e a mesma frequência de corte conforme Exemplo 63 a magnitudes da resposta em frequência em função da frequência medida em hertz b respostas ao degrau Caracterização no tempo e na frequência dos sinais e sistemas 265 H j 1 4 τ π 630 Essa aproximação assintótica também é representada grafi camente na Figura 620 a partir desta podemos ver como se for desejado é possível modificar a aproximação por seg mentos de reta para obtermos um esboço mais preciso de Hjω A partir desse sistema de primeira ordem podemos novamente ver a relação inversa entre tempo e frequên cia À medida que tornamos τ menor aceleramos a res posta temporal do sistema ou seja ht tornase mais comprimido em direção à origem e o tempo de subida da resposta ao degrau é reduzido e simultaneamente tor namos a frequência de quebra maior ou seja a banda de Hjω tornase mais larga uma vez que Hjω 1 para um intervalo maior de frequências Esses fatos também podem ser vistos multiplicando a resposta ao impulso por τ e observando a relação entre τht e Hjω τ ω ωτ τ h t e u t H j j t 1 1 Assim τht é uma função de tτ e Hjω é uma função de ωτ e com isso vemos que mudar τ é essencialmente o mesmo que mudar a escala no tempo e na frequência 652 Sistemas de segunda ordem de tempo contínuo A equação diferencial linear com coeficientes cons tantes para um sistema de segunda ordem é d y t dt dy t dt y t x t n n n 2 2 2 2 2 ζω ω ω 631 Equações desse tipo surgem em muitos sistemas físi cos incluindo circuitos RLC e sistemas mecânicos como ilustrado na Figura 621 composto por uma mola uma massa e um amortecedor viscoso dashpot No sistema da Figura 621 a entrada é a força aplicada xt e a saída é o deslocamento yt da massa a partir de alguma posição de equilíbrio em que a mola não exerce força de restaura ção A equação do movimento para esse sistema é m d y t dt x t ky t b dy t dt 2 2 ou d y t dt b m dy t dt k m y t 2 2 1 m x t Comparando com a Equação 631 vemos que se iden tificamos ωn k m 632 e ζ b km 2 então exceto por um fator de escala de k em xt a equa ção do movimento para o sistema da Figura 621 se reduz à Equação 631 A resposta em frequência para o sistema de segunda ordem da Equação 631 é H j j j n n n ω ω ω ζω ω ω 2 2 2 2 633 O denominador de Hjω pode ser fatorado resultando H j j c j c n ω ω ω ω 2 1 2 com c c n n n n 1 2 2 2 1 1 ζω ω ζ ζω ω ζ 634 Para ζ 1 c1 e c2 são diferentes e podemos realizar uma expansão em frações parciais na forma H j M j c M j c ω ω ω 1 2 635 com M n ω 2 ζ 1 2 636 Da Equação 635 a resposta ao impulso correspondente para o sistema é h t M e e u t c t c t 1 2 637 Se ζ 1 então c1 c2 ωn e H j j n n ω ω ω ω 2 2 638 Mola k yt deslocamento xt força aplicada Amortecedor b Massa m Figura 621 Sistema de segunda ordem consistindo em uma mola e um amortecedor acoplados a uma massa móvel e um suporte fixo Capítulo 7 Amostragem 70 Introdução Sob certas condições um sinal de tempo contínuo pode ser completamente representado por seus valores ou amostras uniformemente espaçadas no tempo Essa propriedade um tanto surpreendente vem de um resulta do básico que é conhecido como o teorema da amostragem Esse teorema é extremamente importante e útil Ele é ex plorado por exemplo nas imagens em movimento que consistem em uma sequência de quadros individuais cada qual representando uma exibição instantânea ou seja uma amostra no tempo de uma cena continua mente em movimento Quando essas amostras são vistas sequen cialmente no tempo a uma velocidade suficientemente rápida percebemos uma representação precisa da cena original em movimento Como outro exemplo as ima gens impressas normalmente consistem em uma grade de pontos muito minuciosa cada um correspondendo a uma amostra da imagem espacialmente contínua a ser representada Se as amostras estiverem suficientemente próximas a imagem parece ser espacialmente contínua embora sob uma lente de aumento sua representação em termos de amostras se torne evidente Grande parte da importância do teorema da amos tragem se encontra no papel de ponte entre sinais de tempo contínuo e sinais de tempo discreto Como vere mos com mais detalhes neste capítulo o fato de que sob certas condições um sinal de tempo contínuo pode ser completamente recuperado a partir de uma sequência de suas amostras fornece um meio forma para representar um sinal de tempo contínuo por um sinal de tempo dis creto Em muitos contextos o processamento de sinais de tempo discreto é mais flexível e normalmente preferível ao processamento de sinais de tempo contínuo Isso se deve em grande parte ao desenvolvimento significati vo da tecnologia digital nas últimas décadas resultando na disponibilidade de sistemas de tempo discreto bara tos portáteis programáveis e facilmente reproduzíveis O conceito de amostragem então sugere um método extremamente atraente e amplamente empregado para usar o ferramental de sistema de tempo discreto para im plementar sistemas de tempo contínuo e processar sinais de tempo contínuo exploramos o conceito de amostra gem para converter um sinal de tempo contínuo em um sinal de tempo discreto processar o sinal de tempo dis creto usando um sistema de tempo discreto e então con verter de volta para tempo contínuo Na discussão a seguir primeiro apresentamos e de senvolvemos o conceito de amostragem e o processo de reconstrução de um sinal de tempo contínuo a partir de suas amostras Nessa discussão identificamos as condi ções sob as quais um sinal de tempo contínuo pode ser reconstruído exatamente a partir de suas amostras e exa minaremos as consequências quando essas condições não forem satisfeitas Depois disso exploramos o processamento de sinais de tempo contínuo que foram convertidos para sinais de tempo discreto por meio da amostragem Por fim examinamos a amostragem de sinais de tempo discreto e os conceitos relacionados de dizimação e interpolação 71 Representação de um sinal de tempo contínuo por suas amostras o teorema da amostragem Em geral na ausência de quaisquer condições ou informações adicionais não esperaríamos que um sinal pudesse ser especificado unicamente por uma sequência de amostras uniformemente espaçadas Por exemplo na Figura 71 ilustramos três sinais distintos de tempo con tínuo todos com valores idênticos em múltiplos inteiros de T ou seja x1kT x2kT x3kT Claramente existe um número infinito de sinais que podem gerar determinado conjunto de amostras Porém conforme veremos se um sinal for limitado em banda ou seja se sua transformada de Fourier for nula fora de um Capítulo 8 Sistemas de comunicação 80 Introdução Sistemas de comunicação têm um importante papel em nosso mundo moderno na transmissão das informa ções entre pessoas sistemas e computadores Usualmen te em todos os sistemas de comunicação a informação na origem é primeiro processada por um transmissor ou modulador para convertêla em uma forma adequada para a transmissão pelo canal de comunicação No re ceptor o sinal é então recuperado por meio do processa mento apropriado Esse processamento é necessário por diversos motivos Em especial usualmente um canal de comunicação tem associado a ele uma faixa de frequên cia sobre a qual a transmissão de sinal é mais adequada e fora da qual a comunicação é severamente degradada ou impossível Por exemplo a atmosfera atenuará rapi damente sinais na faixa de frequência audível 10 Hz a 20 kHz ao passo que propagará sinais em uma faixa de frequência mais alta por distâncias maiores Assim na transmissão de sinais de áudio como voz ou música por um canal de comunicação que depende da propagação através da atmosfera o transmissor primeiro associa o si nal a outro sinal de frequência mais alta por meio de um processo apropriado Muitos dos conceitos e técnicas que desenvolvemos nos capítulos anteriores desempenham um papel funda mental na análise e projeto de sistemas de comunicação As sim como qualquer conceito fortemente ligado a uma gran de variedade de aplicações importantes existe um grande número de questões detalhadas a serem consideradas e conforme indicado na bibliografia existem muitos textos excelentes sobre o assunto Embora uma análise completa e detalhada dos sistemas de comunicação esteja bem além do escopo de nossas discussões aqui com o conhecimento fornecido nos capítulos anteriores agora estamos em condi ções de apresentar alguns dos princípios básicos e questões encontradas no projeto e análise desses sistemas O processo geral de incorporar um sinal que contém a informação em um outro sinal é tipicamente chamado de modulação Extrair o sinal que contém informações é um processo conhecido como demodulação Como vere mos as técnicas de modulação não apenas nos permi tem incorporar informações em sinais que podem ser efetivamente transmitidos mas também possibilitam a transmissão simultânea de mais de um sinal com espec tros sobrepostos no mesmo canal por intermédio de um conceito chamado de multiplexação Há uma grande variedade de métodos de modulação usados na prática e neste capítulo examinamos alguns dos mais importantes Uma grande classe de métodos de modulação baseiase no conceito de modulação em ampli tude ou AM amplitude modulation em que o sinal que queremos transmitir é usado para modular a amplitude de outro sinal Uma forma muito comum de modulação em amplitude é a modulação em amplitude senoidal que ex ploramos com algum detalhamento nas seções 81 a 84 junto com os conceitos relacionados de multiplexação por divisão de frequência Outra classe importante de siste mas AM envolve a modulação da amplitude de um sinal pulsado e nas seções 85 e 86 examinamos essa forma de modulação bem como o conceito de multiplexação por divisão de tempo Na Seção 87 examinamos uma forma diferente de modulação denominada modulação em frequência senoidal em que o sinal que contém in formação é usado para variar a frequência de um sinal senoidal Toda a discussão até a Seção 87 focaliza a atenção nos sinais de tempo contínuo pois a maior parte dos meios de transmissão como a atmosfera é considerada um fenô meno de tempo contínuo Contudo não apenas é possí vel desenvolver técnicas semelhantes para sinais de tempo discreto mas é de importância prática considerar os con ceitos de modulação envolvendo sinais de tempo discreto e na Seção 88 examinamos algumas das ideias básicas por trás da comunicação de sinais de tempo discreto Sistemas de comunicação 365 uma portadora senoidal Os sistemas de modulação des se tipo possuem uma série de vantagens em relação aos sistemas de amplitude modulada Como sugerido pela Fi gura 810 na modulação em amplitude senoidal a am plitude de pico da envoltória da portadora é diretamente dependente da amplitude do sinal modulante xt que pode ter uma grande faixa dinâmica ou seja pode variar significativamente Com a modulação de frequência a envoltória da portadora é constante Consequentemente um transmissor de FM sempre pode operar na potência máxima Além disso nos sistemas de FM as variações de amplitude introduzida por um canal de transmissão de vido a distúrbios aditivos ou desvanecimento podem de certo modo ser eliminadas no receptor Por esse motivo na transmissão pública e em diversos outros contextos a recepção FM tipicamente é melhor que a recepção AM Por outro lado conforme veremos a modulação de fre quência geralmente requer maior largura de banda que a modulação de amplitude senoidal Sistemas de modulação em frequência são altamen te não lineares e consequentemente não são tão simples de analisar quanto os sistemas de modulação em ampli tude discutidos nas seções anteriores Porém os métodos que desenvolvemos nos capítulos anteriores permitem nos obter algum conhecimento da natureza e da opera ção desses sistemas Começamos apresentando a noção mais geral de modulação angular Considere uma portadora senoidal ex pressa na forma ct A cosωc t θc A cos θt 830 sendo θt ωc t θc em que ωc é a frequência e θc é a fase da portadora A modulação angular em geral cor responde a usar o sinal modulante para alterar ou variar o ângulo θt Uma forma que às vezes se utiliza é usar o sinal modulante xt para variar a fase θc de modo que o sinal modulado adquira a forma yt A cosωct θct 831 em que θc agora é uma função do tempo especifica mente na forma θct θ0 kpxt 832 Se xt é constante por exemplo a fase de yt será cons tante e proporcional à amplitude de xt A modulação angular na forma da Equação 831 é conhecida como mo dulação em fase Outra forma de modulação angular cor responde a variar a derivada do ângulo proporcionalmen te ao sinal modulante ou seja yt A cos θt 833 em que d t dt k x t c f θ ω 834 Para xt constante yt é senoidal com uma frequência que é deslocada da frequência de portadora ωc por uma quantidade proporcional à amplitude de xt Por esse motivo a modulação angular na forma das equações 833 e 834 é comumente chamada de modulação em frequência Embora a modulação em fase e a modulação em frequência sejam formas diferentes de modulação an gular elas podem ser facilmente relacionadas Pelas equações 831 e 832 para modulação em fase d t dt k dx t dt c p θ ω 835 e assim comparando as equações 834 e 835 a modula ção em fase com xt é idêntica à modulação em frequên cia com a derivada de xt Da mesma forma a modulação em frequência com xt é idêntica à modulação em fase com a integral de xt Uma ilustração da modulação em fase e da modulação em frequência é mostrada nas fi guras 832a e b Nos dois casos o sinal modulante é xt tut ou seja um sinal rampa crescendo linear mente com o tempo para t 0 Na Figura 832c um exemplo de modulação em frequência é mostrado com um degrau a derivada de uma rampa como sinal mo dulante ou seja xt ut A correspondência entre as figuras 832a e c deve ser evidente A modulação em frequência com um degrau cor responde à frequência da portadora senoidal mudando instantaneamente de um valor para outro quando xt muda de valor em t 0 assim como a frequência de um oscilador senoidal muda quando o ajuste da frequên cia é trocado instantaneamente Quando a modulação em frequência é uma rampa como na Figura 832b a frequência muda linearmente com o tempo Essa no ção de uma frequência variando no tempo costuma ser mais bem expressa em termos do conceito de frequência instantânea Para yt A cos θt 836 a frequência instantânea da senoide é definida como ω θ i t d t dt 837 Assim para yt verdadeiramente senoidal ou seja θt ωc t θ0 a frequência instantânea é ωc como esperaríamos Para a modulação em fase expressa nas equações 831 e 832 a frequência instantânea é ωc kp dxtdt e para a modulação em frequência expres Capítulo 9 A transformada de Laplace 90 Introdução Nos capítulos anteriores vimos que as ferramen tas da análise de Fourier são extremamente úteis no estudo de muitos problemas de importância prática substan cial envolvendo sinais e sistemas LIT Em grande parte isso se deve ao fato de que classes abrangentes de sinais podem ser representadas como combinações lineares de exponenciais complexas periódicas e de que expo nenciais complexas são autofunções de sistemas LIT A transformada de Fourier de tempo contínuo oferecenos uma representação dos sinais como combinações line ares de exponenciais complexas na forma est com s jω Contudo a propriedade de autofunção introduzida na Seção 32 e muitas de suas consequências também se aplicam para valores arbitrários de s e não apenas àqueles valores que são puramente imaginários Essa observação leva a uma generalização da transformada de Fourier de tempo contínuo conhecida como trans formada de Laplace que desenvolvemos neste capítulo No próximo capítulo desenvolveremos a generaliza ção do tempo discreto correspondente conhecida como transformada z Conforme veremos transformadas de Laplace e trans formadas z possuem muitas das propriedades que tornam a análise de Fourier útil Além do mais não apenas essas transformadas oferecem ferramentas e conhecimentos adi cionais para sinais e sistemas que podem ser analisados usandose a transformada de Fourier mas também podem ser aplicadas em alguns contextos muito importantes em que as transformadas de Fourier não se aplicam Por exem plo transformadas de Laplace e transformadas z podem ser aplicadas à análise de muitos sistemas instáveis e con sequentemente desempenham um papel importante na investigação da estabilidade ou instabilidade dos sistemas Esse fato combinado com as propriedades algébricas que a transformada de Laplace e a transformada z compartilham com as transformadas de Fourier levam a um conjunto muito importante de ferramentas para análise de sistemas e em particular para a análise de sistemas com realimentação que desenvolvemos no Capítulo 11 91 A transformada de Laplace No Capítulo 3 vimos que a resposta de um sistema invariante no tempo com resposta ao impulso ht a uma entrada exponencial complexa na forma est é yt Hsest 91 em que H s h t e st dt 92 Para s imaginário ou seja s jω a integral na Equação 92 corresponde à transformada de Fourier de ht Para valores genéricos da variável complexa s ela é chamada de a transformada de Laplace da resposta ao impulso ht A transformada de Laplace de um sinal qualquer xt é definida como1 X s x t e st dt 93 e notamos em particular que ela é uma função da vari ável independente s correspondente à variável complexa no expoente de est A variável complexa s pode ser escrita como s σ jω sendo σ e ω as partes real e imaginá ria respectivamente Por conveniência indicaremos às vezes a transformada de Laplace na forma de operador como Lxt e indicaremos a relação de transformada en tre xt e Xs como x t X s L 94 1 A transformada definida pela Equação 93 frequentemente é cha mada transformada de Laplace bilateral para distinguila da trans formada de Laplace unilateral que discutimos na Seção 99 A transformada bilateral na Equação 93 envolve uma integração de a enquanto a transformada unilateral tem uma forma semelhante à da Equação 93 mas com limites de integração de 0 a Como estamos essencialmente interessados na transfor mada bilateral omitiremos a palavra bilateral exceto onde ela é necessária na Seção 99 para evitar ambiguidade A transformada de Laplace 393 que o conjunto de valores de s para os quais a expressão é válida é muito diferente nos dois exemplos Isso serve para ilustrar o fato de que para especificar a transfor mada de Laplace de um sinal a expressão algébrica e o intervalo de valores de s para os quais essa expressão é válida são necessários Em geral o intervalo de valores de s para os quais a integral na Equação 93 converge é chamado de região de convergência que abreviamos como RDC da transformada de Laplace Ou seja a RDC consis te nos valores de s σ jω para os quais a transformada de Fourier de xteσt converge Vamos falar mais sobre a RDC à medida que desenvolvermos algum conhecimento sobre as propriedades da transformada de Laplace Um modo conveniente de exibir a RDC é mostrado na Figura 91 A variável s é um número complexo e na Figura 91 exibimos o plano complexo geralmente chamado de plano s associado a essa variável complexa Os eixos de coordenadas são s no eixo horizontal e s no eixo vertical Os eixos horizontal e vertical às vezes são chamados de eixo σ e eixo jω respectiva mente A região sombreada na Figura 91a representa o conjunto de pontos no plano s correspondente à região de convergência para o Exemplo 91 A região sombreada na Figura 91b indica a região de convergência para o Exemplo 92 a plano s b a plano s a Figura 91 a RDC para o Exemplo 91 b RDC para o Exemplo 92 Exemplo 93 Neste exemplo consideramos o sinal que é a soma de duas exponenciais reais xt 3e2tut 2etut 920 A expressão algébrica para a transformada de Laplace é então X s e u t e u t e dt e t t st t 3 2 3 2 2 e u t dt e e u t dt st t st 2 921 Cada uma das integrais na Equação 921 tem a mesma forma da integral na Equação 910 e consequentemente podemos usar o resultado no Exemplo 91 para obter X s s s 3 2 2 1 922 Para determinar a RDC notamos que xt é uma soma de duas exponenciais reais e pela Equação 921 vemos que Xs é a soma das transformadas de Laplace de cada um dos termos individuais A primeira parcela é a transformada de Laplace de 3e2tut e a segunda parcela a transformada de Laplace de 2etut Do Exemplo 91 sabemos que e u t s e u t s t t L L 1 1 1 2 2 s 1 s 2 O conjunto de valores de s para os quais as transfor madas de Laplace dos dois termos convergem é s 1 e assim combinando as duas parcelas no membro direito da Equação 922 obtemos 3 2 1 3 2 1 2 2 e u t e u t s s s s t t L 923 Exemplo 94 Neste exemplo consideramos um sinal que é a soma de uma exponencial real e de uma complexa xt e2tut etcos 3tut 924 Usando a relação de Euler podemos escrever x t e e e u t t j t j t 2 1 3 1 3 1 2 1 2 A transformada de Laplace 395 Ou seja uma especificação completa a menos de um fator de escala de uma transformada de Laplace racional consis te no gráfico de polos e zeros da transformada juntamente com sua RDC que geralmente é mostrada como uma re gião sombreada no plano s como nas figuras 91 e 92 Além disso embora não sejam necessários para es pecificar a forma algébrica de uma transformada racio nal Xs às vezes é conveniente referirse aos polos ou zeros de Xs no infinito Especificamente se a ordem do polinômio do denominador for maior que a ordem do polinômio do numerador então Xs se tornará nulo à medida que s se aproxime de infinito De modo oposto se a ordem do polinômio do numerador for maior que a ordem do denominador então Xs se tornará ilimitado à medida que s se aproxime de infinito Esse comporta mento pode ser interpretado como zeros ou polos no infi nito Por exemplo a transformada de Laplace na Equação 923 tem um denominador de ordem 2 e um numerador de ordem apenas 1 de modo que nesse caso Xs tem um zero no infinito O mesmo acontece para a transfor mada na Equação 930 em que o numerador é de ordem 2 e o denominador é de ordem 3 Em geral se a ordem do denominador exceder a ordem do numerador por k Xs terá k zeros no infinito De modo semelhante se a ordem do numerador exceder a ordem do denominador por k Xs terá k polos no infinito Exemplo 95 Seja x t t e u t e u t t t δ 4 3 1 3 2 932 A transformada de Laplace da segunda e terceira parcelas da Equação 932 pode ser calculada a partir do Exemplo 91 A transformada de Laplace do impulso unitário pode ser cal culada diretamente como L δ δ t t e st dt 1 933 que é válida para qualquer valor de s Ou seja a RDC de Lδt é o plano s inteiro Usando esse resultado juntamen te com as transformadas de Laplace das outras duas parcelas na Equação 932 obtemos X s s s s 1 4 3 1 1 1 3 1 2 2 934 ou X s s s s s 1 1 2 2 2 935 sendo a RDC o conjunto de valores de s para os quais as transformadas de Laplace de todas as três parcelas em xt convergem O gráfico de polos e zeros para este exemplo é mostrado na Figura 93 juntamente com a RDC Além disso como os graus do numerador e do denominador de Xs são iguais Xs não possui polos nem zeros no infinito 1 1 2 plano s Figura 93 Diagrama de polos e zeros e a RDC para o Exemplo 95 Lembrese de que da Equação 96 para s jω a transformada de Laplace corresponde à transformada de Fourier Porém se a RDC da transformada de Laplace não incluir o eixo jω ou seja s 0 então a transforma da de Fourier não converge Como vemos na Figura 93 esse de fato é o caso para o Exemplo 95 que é consis tente com o fato de que o termo 13e2tut em xt não tem transformada de Fourier Observe também para este exemplo que os dois zeros na Equação 935 ocorrem no mesmo valor de s Em geral vamos nos referir à ordem de um polo ou zero como o número de vezes que ele é re petido em determinado local No Exemplo 95 existe um zero de segunda ordem em s 1 e dois polos de primeira ordem um em s 1 outro em s 2 Neste exemplo a RDC encontrase à direita do polo mais à direita Em ge ral para transformadas de Laplace racionais existe uma relação direta entre a localização dos polos e as possíveis RDCs que podem estar associadas a determinado gráfico de polos e zeros Restrições específicas sobre a RDC estão associadas diretamente com as propriedades no domínio do tempo de xt Na próxima seção exploramos algumas dessas restrições e propriedades 92 A região de convergência para transformadas de Laplace Na sessão anterior vimos que uma especificação completa da transformada de Laplace exige não apenas a expressão algébrica para Xs mas também a região de convergência associada Conforme evidenciado pelos A transformada de Laplace 401 Exemplo 99 Seja X s s s s 1 1 2 1 958 Para obter a transformada de Laplace inversa nosso primei ro passo é realizar a expansão em frações parciais para obter X s s s A s B s 1 1 2 1 2 959 Como discutimos no apêndice podemos obter os coefi cientes A e B multiplicando os dois membros da Equação 959 por s 1s 2 e depois igualando os coeficientes de potências iguais de s em ambos os membros Como alterna tiva podemos usar a relação A s X s B s X s s s 1 1 2 1 2 1 960 961 Assim a expansão em frações parciais de Xs é X s s s 1 1 1 2 962 Dos exemplos 91 e 92 sabemos que existem duas transformadas inversas possíveis para uma transformada na forma 1s a dependendo se a RDC está à esquerda ou à direita do polo Consequentemente precisamos determinar a RDC a ser associada a cada uma das parcelas individuais de primeira ordem na Equação 962 Isso é feito usando as propriedades da RDC apresentadas na Seção 92 Como a RDC para Xs é s 1 a RDC para as parcelas individu ais na expansão em frações parciais da Equação 962 inclui s 1 A RDC para cada termo pode então ser esten dida à esquerda ou à direita ou ambas sendo limitada por um polo ou infinito Isso é ilustrado na Figura 914 A Figura 914a mostra o gráfico de polos e zeros e a RDC para Xs conforme especificado na Equação 958 As figuras 914b e c representam os termos individuais na expansão em fra ções parciais da Equação 962 Para o termo representado pela Figura 914c a RDC para a soma pode ser estendida para a esquerda conforme mostrado de modo que está limi tada por um polo Como a RDC está à direita dos dois polos o mesmo é verdade para cada um dos termos individuais como pode mos ver nas figuras 914b e c Consequentemente pela Propriedade 8 da seção anterior sabemos que cada um desses termos corresponde a um sinal lateral direito A transfor mada inversa dos termos individuais na Equação 962 pode então ser obtida como no Exemplo 91 e u t s e u t s t t L L 1 1 1 2 2 s 1 963 s 2 964 Assim obtemos e e u t s s t t 2 1 1 2 L s 1 965 Exemplo 910 Vamos supor que a expressão algébrica para Xs no vamente seja aquela dada na Equação 958 mas que a RDC agora é o semiplano esquerdo s 2 A expansão em frações parciais para Xs relacionase apenas à expressão algébrica e assim a Equação 962 ainda é válida Com essa nova RDC porém a RDC está à esquerda dos dois polos e as sim o mesmo deve ser verdade para cada um dos dois termos na equação Ou seja a RDC para o termo correspondente ao polo em s 1 é s 1 enquanto a RDC para o termo com polo em s 2 é s 2 Então pelo Exemplo 92 e u t s t L 1 1 s 1 966 plano s b 2 a plano s c plano s 1 1 2 Figura 914 Construção das RDCs para os termos individuais na expansão em frações parciais de X s do Exemplo 98 a diagrama de polos e zeros e RDC para X s b polo em s 1 e sua RDC c polo em s 2 e sua RDC A transformada de Laplace 411 Essa propriedade segue diferenciandose ambos os mem bros da transformada inversa de Laplace conforme ex pressa na Equação 956 Especificamente seja x t j X s e ds st j j 1 2π σ σ Então dx t dt j sX s e ds st j j 1 2π σ σ 999 Consequentemente dxtdt é a transformada inversa de Laplace de sXs A RDC de sXs inclui a RDC de Xs e pode ser maior se Xs tiver um polo de primeira ordem em s 0 que é cancelado pela multiplicação por s Por exemplo se xt ut então Xs 1s com uma RDC que é s 0 A derivada de xt é um impulso com uma transformada de Laplace associada que é unitária e com uma RDC que é o plano s inteiro 958 Diferenciação no domínio s Diferenciando ambos os membros da Equação 93 da transformada de Laplace ou seja X s x t e st dt obtemos dX s ds t x t e st dt Consequentemente se x t X s R L com RDC então tx t dX s ds R L com RDC 9100 Os próximos dois exemplos ilustram o uso dessa proprie dade Exemplo 914 Vamos encontrar a transformada de Laplace de xt teat ut 9101 Como e u t s a at L 1 sa pela Equação 9100 sabemos que te u t d ds s a s a at L 1 1 2 sa 9102 De fato da aplicação repetida da Equação 9100 obtemos t e u t s a at 2 3 2 1 L sa 9103 e generalizando t n e u t s a n at n 1 1 1 L sa 9104 Como o próximo exemplo ilustra esse par de trans formadas de Laplace específico é particularmente útil quando se aplica expansão em frações parciais para a de terminação da transformada inversa de Laplace de uma função racional com polos de ordem múltipla Exemplo 915 Considere a transformada de Laplace X s s s s s 2 5 5 1 2 2 2 s1 Aplicando o método da expansão em frações parciais des crito no apêndice podemos escrever Xs como X s s s s 2 1 1 1 3 2 2 s1 9105 Como a RDC está à direita dos polos em s 1 e s 2 as transformadas inversas de cada um dos termos é um sinal lateral direito e aplicando as equações 914 e 9104 obtemos a transformada inversa xt 2tet et 3e2t ut 959 Integração no domínio do tempo Se x t X s R L com RDC então x d s X s R s t τ τ L 1 0 com RDC contendo 9106 Essa propriedade é o inverso da propriedade de diferen ciação apresentada na Seção 957 Ela pode ser deduzida usando a propriedade de convolução apresentada na Se ção 956 Especificamente x d u t x t t τ τ 9107 A transformada de Laplace 413 contexto mais amplo da transformada de Laplace Hs é comumente chamado de função de sistema ou alternati vamente função de transferência Muitas propriedades dos sistemas LIT podem ser estreitamente associadas com as características da função de sistema no plano s Ilustramos esse fato em seguida examinando diversas propriedades e classes importantes de sistemas 971 Causalidade Para um sistema LIT causal a resposta ao impulso é zero para t 0 e portanto é lateral direita Consequen temente da discussão na Seção 92 vemos que A RDC associada à função de sistema para um sistema causal é um semiplano direito Tabela 91 Propriedades da transformada de Laplace Seção Propriedade Sinal Transformada de Laplace RDC x t X s R x1t X1s R1 x2t X2s R2 951 Linearidade ax1t bx2t aX1s bX2s Pelo menos R1 R2 952 Deslocamento no tempo x t t0 est0X s R 953 Deslocamento no domínio s es0 tx t X s s0 Versão deslocada de R ou seja s está na RDC se s s0 estiver em R 954 Mudança de escala no tempo x at 1 a a X s RDC com mudança de escala ou seja s está na RDC se sa estiver em R 955 Conjugação xt X s R 956 Convolução x1t x2t X1sX2s Pelo menos R1 R2 957 Diferenciação no domínio do tempo d dt x t sX s Pelo menos R 958 Diferenciação no domínio s tx t d ds X s R 959 Integração no domínio do tempo x d t τ τ 1 s X s Pelo menos R s 0 9510 Teoremas dos valores inicial e final Se x t 0 para t 0 e x t não contém impulsos ou singularidades de ordem mais elevada em t 0 então x sX s s lim 0 Se x t 0 para t 0 e x t tem um limite finito quando t então lim lim t s x t sX s 0 A transformada de Laplace 415 Exemplo 917 Considere um sistema com resposta ao impulso ht etut 9113 Como ht 0 para t 0 esse sistema é causal Além disso a função de sistema pode ser obtida do Exemplo 91 H s s 1 1 s 1 9114 Nesse caso a função de sistema é racional e a RDC na Equa ção 9114 está à direita do polo mais à direita consistente com nossa afirmação de que a causalidade para os sistemas com funções de sistema racionais é equivalente à RDC estar à direita do polo mais à direita Exemplo 918 Considere um sistema com resposta ao impulso ht et Como ht 0 para t 0 esse sistema não é causal Além disso do Exemplo 97 a função do sistema é H s s 2 1 2 1 s 1 Então Hs é racional e tem uma RDC que não está à direita do polo mais à direita consistente com o fato de que esse sistema é não causal Exemplo 919 Considere a função do sistema H s e s s 1 s 1 9115 Para esse sistema a RDC está à direita do polo mais à direi ta Portanto a resposta ao impulso deve ser lateral direita Para determinar a resposta ao impulso primeiro usamos o resultado do Exemplo 91 e u t s t L 1 1 s 1 9116 Em seguida pela propriedade de deslocamento no tempo da Seção 952 Equação 987 o fator es na Equação 9115 pode ser representado por um deslocamento na função de tempo na Equação 9116 Então e u t e s t s 1 1 1 L s 1 9117 de modo que a resposta ao impulso associada ao sistema é ht et1ut 1 9118 que é não nula para 1 t 0 Portanto o sistema é não causal Este exemplo serve como um lembrete de que a causalidade implica que a RDC está à direita do polo mais à direita mas a afirmação contrária em geral não é ver dadeira a menos que a função de sistema seja racional De uma maneira exatamente análoga podemos tra tar o conceito de anticausalidade Especificamente o sis tema é anticausal se sua resposta ao impulso ht 0 para t 0 Como nesse caso ht é lateral esquerdo pela Se ção 92 sabemos que a RDC da função de sistema Hs precisa ser um semiplano esquerdo Em geral a implica ção reversa não é verdadeira Ou seja se a RDC de Hs é um semiplano esquerdo tudo o que sabemos é que ht é lateral esquerda Porém se Hs é racional então ter uma RDC à esquerda do polo mais à esquerda é equivalente ao sistema ser anticausal 972 Estabilidade A RDC de Hs também pode ser relacionada com a estabilidade do sistema Conforme mencionado na Se ção 237 a estabilidade de um sistema LIT é equivalen te à sua resposta ao impulso ser absolutamente integrá vel caso em que Seção 44 a transformada de Fourier da resposta ao impulso converge Como a transformada de Fourier de um sinal é igual à transformada de Laplace calculada ao longo do eixo jω temos o seguinte Um sistema LIT é estável se e somente se a RDC de sua função do sistema Hs incluir o eixo jω inteiro ou seja s 0 Exemplo 920 Vamos considerar um sistema LIT com a função de sis tema H s s s s 1 1 2 9119 Como a RDC não foi especificada sabemos pela nossa dis cussão na Seção 92 que existem diversas RDCs diferentes e consequentemente diversas respostas ao impulso do sis tema diferentes que podem estar associadas à expressão al gébrica para Hs dada na Equação 9119 Porém se as infor mações sobre causalidade ou estabilidade forem conhecida a RDC apropriada pode ser identificada Por exemplo se o sistema for conhecidamente causal a RDC será aquela indi cada na Figura 925a com resposta ao impulso h t e e u t t t 2 3 1 3 2 9120 A transformada de Laplace 419 e 1 e à direita do polo em s 1 vemos que a única esco lha que é coerente com as RDCs de Xs e Y s é s 1 Como está à direita do polo mais à direita de Hs concluí mos que Hs é causal e como os dois polos de Hs possuem parte real negativa segue que o sistema é estável Além dis so a partir da relação entre as equações 9131 e 9133 pode mos especificar a equação diferencial que juntamente com a condição de repouso inicial caracteriza o sistema d y t dt dy t dt y t dx t dt x t 2 2 3 2 3 Exemplo 926 Suponha que tenhamos as seguintes informações so bre um sistema LIT 1 O sistema é causal 2 A função de sistema é racional e tem apenas dois polos em s 2 e s 4 3 Se xt 1 então yt 0 4 O valor da resposta ao impulso em t 0 é 4 A partir dessa informação gostaríamos de determinar a fun ção de sistema do sistema Dos dois primeiros fatos sabemos que o sistema é ins tável pois é causal e tem um polo em s 4 com parte real positiva e que a função de sistema tem a forma H s p s s s p s s s 2 4 2 8 2 em que ps é um polinômio em s Como a resposta yt à entrada xt 1 e0t deve ser igual a H0 e0t H0 con cluímos pelo fato 3 que p0 0 ou seja que ps deve ter uma raiz em s 0 e portanto tem a forma ps sqs em que qs é outro polinômio em s Por fim do fato 4 e do teorema do valor inicial da Se ção 9510 vemos que lim lim s s sH s s q s s s 2 2 2 8 4 9138 Quando s os termos de maior potência em s no nu merador e denominador de sHs dominam e portanto são os únicos importantes na avaliação da Equação 9138 Além do mais se o numerador tiver grau maior que o deno minador o limite divergirá Consequentemente podemos obter um valor não nulo finito para o limite somente se o grau do numerador de sHs for o mesmo que o grau do denominador Como o grau do denominador é 2 con cluímos que para a Equação 9138 ser verdadeira qs precisa ser constante ou seja qs K Podemos obter essa constante calculando lim lim s s Ks s s Ks s K 2 2 2 2 2 8 9139 Igualando as equações 9138 e 9139 vemos que K 4 e assim H s s s s 4 2 4 Exemplo 927 Considere um sistema estável e causal com resposta ao impulso ht e função de sistema Hs Suponha que Hs é racional contém um polo em s 2 e não tem um zero na origem A localização de todos os outros polos e zeros é desconhecida Vamos determinar se cada uma das seguintes declarações pode ser com certeza verdadeira falsa ou se não existem informações suficientes para garantir a veracidade da declaração a F hte3t converge b h t dt 0 c tht é a resposta ao impulso de um sistema causal e estável d dhtdt contém pelo menos um polo em sua trans formada de Laplace e ht tem duração finita f Hs Hs g lims Hs 2 A declaração a é falsa pois Fhte3t corresponde ao valor da transformada de Laplace de ht em s 3 Se essa expressão converge implica que s 3 está na RDC Um sistema causal e estável sempre deve ter sua RDC à direita de todos os seus polos Porém s 3 não está à direita do polo em s 2 A declaração b é falsa porque é equivalente a afirmar que H0 0 Isso contradiz o fato de que Hs não tem um zero na origem A declaração c é verdadeira De acordo com a Tabela 91 e a propriedade apresentada na Seção 958 a transfor mada de Laplace de tht tem a mesma RDC de Hs Essa RDC inclui o eixo jω e portanto o sistema correspondente é estável Além disso ht 0 para t 0 implica que tht 0 para t 0 Assim tht representa a resposta ao impulso de um sistema causal A declaração d é verdadeira De acordo com a Ta bela 91 dhtdt tem a transformada de Laplace sHs A multiplicação por s não elimina o polo em s 2 A declaração e é falsa Se ht tem duração finita en tão se a transformada de Laplace tem quaisquer pontos em sua RDC a RDC deve ser o plano s inteiro Porém isso não é consistente com o polo em s 2 A declaração f é falsa Se fosse verdadeira então como Hs tem um polo em s 2 ela também deveria ter um polo em s 2 Isso é inconsistente com o fato de que todos os polos de um sistema causal e estável precisam estar na metade esquerda do plano s A transformada de Laplace 431 indique a localização de seus polos e sua região de con vergência 95 Para cada uma das seguintes expressões algébricas da transformada de Laplace de um sinal determine o nú mero de zeros localizados no plano s finito e o número de zeros localizados no infinito a 1 1 1 3 s s b s s 1 1 2 c s s s 3 2 1 1 96 Sabese que um sinal absolutamente integrável xt tem um polo em s 2 Responda às seguintes pergun tas a xt poderia ter duração finita b xt poderia ser lateral esquerdo c xt poderia ser lateral direito d xt poderia ser bilateral 97 Quantos sinais tem uma transformada de Laplace que pode ser expressa como s s s s s 1 2 3 1 2 em suas regiões de convergência 98 Seja xt um sinal que tem uma transformada de Laplace racional com exatamente dois polos localizados em s 1 e s 3 Se gt e2txt e Gjω a transformada de Fourier de gt converge determine se xt é lateral esquerdo lateral direito ou bilateral 99 Dado que e u t s a at L 1 s a determine a transformada inversa de Laplace de X s s s s 2 2 7 12 2 s 3 910 Usando o cálculo geométrico da magnitude da trans formada de Fourier a partir do diagrama de polos e zeros correspondente determine para cada uma das seguintes transformadas de Laplace se a magnitude da transformada de Laplace correspondente é aproxima damente passabaixas passaaltas ou passafaixa a H s s s 1 1 1 3 s 1 b H s s s s 2 2 1 s 1 2 c H s s s s 3 2 2 2 1 s 1 911 Use o cálculo geométrico a partir do diagrama de polos e zeros para determinar a magnitude da transformada de Fourier do sinal cuja transformada de Laplace é es pecificada como X s s s s s 2 2 1 1 s 1 2 912 Suponha que tenhamos os três fatos a seguir sobre o sinal xt 1 xt 0 para t 0 2 xk80 0 para k 1 2 3 3 x1160 e120 Seja Xs a transformada de Laplace de xt e determi ne quais das seguintes afirmações são consistentes com as informações dada sobre xt a Xs tem apenas um polo no plano s finito b Xs tem apenas dois polos no plano s finito c Xs tem mais de dois polos no plano s finito 913 Seja gt xt αxt em que xt βetut e a transformada de Laplace de gt é G s s s 2 1 1 s 1 Determine os valores das constantes α e β 914 Suponha que os seguintes fatos sejam dados sobre o sinal xt com transformada de Laplace Xs 1 xt é real e par 2 Xs tem quatro polos e nenhum zero no plano s finito 3 Xs tem um polo em s 12ejπ4 4 x t dt 4 Determine Xs e sua RDC 915 Considere dois sinais laterais direitos xt e yt relacio nados através das equações diferenciais dx t dt Y t t 2 δ e dy t dt x t 2 Determine Ys e Xs juntamente com suas regiões de convergência 916 Um sistema LIT causal S com resposta ao impulso ht tem sua entrada xt e saída yt relacionadas por meio A transformada de Laplace 439 e Hs não tem menos que quatro polos f Hjω 0 para pelo menos um valor finito de ω g Se a entrada de S é e3t sen t a saída é e3t cos t 952 Conforme indicamos na Seção 95 muitas das proprie dades da transformada de Laplace e sua dedução são semelhantes às propriedades correspondentes da trans formada de Fourier e sua dedução conforme desenvol vida no Capítulo 4 Neste problema é pedido que você esboce a dedução de uma série de propriedades da transformada de Laplace Observando a dedução para a propriedade cor respondente no Capítulo 4 para a transformada de Fourier deduza cada uma das seguintes propriedades da transformada de Laplace Sua dedução deve incluir uma consideração sobre a região de convergência a Deslocamento no tempo Seção 952 b Deslocamento no domínio s Seção 953 c Mudança de escala no tempo Seção 954 d Propriedade de convolução Seção 956 953 Conforme apresentado na Seção 9510 o teorema do valor inicial estabelece que para um sinal xt com transformada de Laplace Xs e para o qual xt 0 para t 0 o valor inicial de xt ou seja x0 pode ser obtido a partir de Xs através da relação x sX s s lim 0 Eq 9110 Primeiro observamos que como xt 0 para t 0 xt xtut Em seguida expandindo xt em série de Taylor em t 0 obtemos x t x x t x t n n n 0 0 0 1 u t P9531 em que xn0 indica a nésima derivada de xt cal culada em t 0 a Determine a transformada de Laplace de um termo arbitrário xn0t nnut no membro direito da Equação P9531 Pode ser útil rever o Exemplo 914 b Pelo seu resultado no item a e a expansão na Equação P9531 mostre que Xs pode ser expres so como X s x s n n n 0 1 1 0 c Demonstre que a Equação 9110 segue do resultado do item b d Determinando primeiro xt verifique o teorema do valor inicial para cada um dos seguintes exemplos 1 X s s 1 2 2 X s s s s 1 2 3 e Uma forma mais geral do teorema do valor ini cial afirma que se xn0 0 para n N então xN0 limssN1Xs Demonstre que essa afirmação mais geral também segue do resultado no item b 954 Considere um sinal real xt com transformada de La place Xs a Aplicando a conjugação complexa nos dois mem bros da Equação 956 mostre que Xs Xs b Do resultado em a mostre que se Xs tem um polo zero em s s0 ele também deve ter um polo zero em s s 0 ou seja para xt real os polos e ze ros de Xs que não estão no eixo real devem ocorrer em pares conjugados complexos 955 Na Seção 96 Tabela 92 listamos diversos pares de transformada de Laplace e indicamos especificamente como os pares de transformada de 1 a 9 seguem dos exemplos 91 e 914 juntamente com diversas proprie dades da Tabela 91 Explorando as propriedades da Tabela 91 mos tre como os pares de transformada de 10 a 16 seguem dos pares de transformada de 1 a 9 na Tabela 92 956 A transformada de Laplace existe para um s complexo específico se a magnitude da transformada for finita ou seja se Xs Mostre que uma condição suficiente para a exis tência da transformada Xs em s s0 σ0 jω0 é que x t e t dt σ0 Em outras palavras mostre que xt ponderado expo nencialmente por eσ0t é absolutamente integrável Você precisará usar o resultado de que para uma fun ção complexa ft f t dt f t dt a b a b P9561 Sem provar rigorosamente a Equação P9561 argu mente sua plausibilidade 957 A transformada de Laplace Xs de um sinal xt tem quatro polos e um número desconhecido de zeros Sa bese que o sinal xt tem um impulso em t 0 Deter mine que informação se houver alguma isso fornece sobre o número de zeros e suas localizações 958 Seja ht a resposta ao impulso de um sistema LIT cau sal e estável com função de sistema racional Hs Mos tre que gt ht também é a resposta ao impulso de um sistema causal e estável 959 Se s indica a transformada de Laplace unilateral de xt determine em termos de s a transformada de Laplace unilateral de a xt 1 c x d τ τ b xt 1 d d x t dt 3 3 Capítulo 10 A transformada z 100 Introdução No Capítulo 9 desenvolvemos a transformada de Laplace como uma extensão da transformada de Fou rier de tempo contínuo Essa extensão foi motivada em parte pelo fato de que a transformada de Laplace pode ser aplicada a uma classe mais ampla de sinais do que a transformada de Fourier pois existem muitos sinais para os quais a transformada de Fourier não converge mas a transformada de Laplace sim Isso nos permitiu por exemplo realizar a análise de transformada de sistemas instáveis e desenvolver percepção e ferramentas adicio nais para a análise de sistemas LIT Neste capítulo usamos a mesma abordagem para tempo discreto à medida que desenvolvemos a transfor mada z que é o equivalente de tempo discreto da trans formada de Laplace Conforme veremos as motivações e as propriedades da transformada z são análogas às da transformada de Laplace No entanto assim como na rela ção entre as transformadas de Fourier de tempo contínuo e tempo discreto encontraremos também algumas distin ções importantes entre a transformada z e a transformada de Laplace que surgem das diferenças fundamentais en tre sinais e sistemas de tempo contínuo e tempo discreto 101 A transformada z Como vimos na Seção 32 para um sistema inva riante no tempo linear de tempo discreto com resposta ao impulso hn a resposta yn do sistema a uma entrada exponencial complexa na forma z n é yn Hzz n 101 em que H z h n z n n 102 Para z ejω com ω real ou seja com z 1 o somatório na Equação 102 corresponde à transformada de Fourier de tempo discreto de hn De forma mais geral quando z não está limitado à unidade o somatório é conhecido como a transformada z de hn A transformada z de um sinal genérico de tempo discreto xn é definida como1 X z x n z n n 103 em que z é uma variável complexa Por conveniência a transformada z de xn às vezes será indicada como Zxn e a relação entre xn e sua transformada z in dicada como x n X z Z 104 No Capítulo 9 consideramos diversas relações im portantes entre a transformada de Laplace e a transfor mada de Fourier para sinais de tempo contínuo De um modo semelhante mas não idêntico existem diversas relações importantes entre a transformada z e a transfor mada de Fourier de tempo discreto Para explorar essas re lações expressamos a variável z complexa na forma polar z re jω 105 em que r é a magnitude de z e ω o ângulo de z Em termos de r e ω a Equação 103 tornase X x n re re j j n n ω ω ou de modo equivalente X re x n r e j n j n n ω ω 106 1 A transformada z definida na Equação 103 frequentemente é de nominada transformada z bilateral para distinguir da transformada z unilateral que desenvolvemos na Seção 109 A transformada z bilateral faz o somatório de a enquanto a transformada unilateral tem uma forma semelhante à Equação 103 mas com limites de somatório de 0 a Como estamos mais interessados na transformada z bilateral vamos nos referir a Xz como defini do na Equação 103 simplesmente como a transformada z exceto na Seção 109 em que usamos as palavras unilateral e bilateral para evitar ambiguidade A transformada z 445 A transformada z deste sinal é X z j e u n j e j n j 1 2 1 3 1 2 1 3 4 4 π π n n n u n z j e 1 2 1 3 j n j n z j e z π π 4 1 4 1 1 2 1 3 n n j j j e z j e z 0 0 1 3 4 1 1 3 4 1 1 2 1 1 1 2 1 1 π π 1019 ou de modo equivalente X z z z e z e j j 1 3 2 1 3 4 1 3 4 π π 1020 Para convergência de Xz as duas somas na Equa ção 1019 devem convergir exigindo que 13ejπ4 z 1 1 e 13ejπ4 z1 1 ou de modo equivalente z 13 O diagrama de polos e zeros e a RDC para este exemplo são mostrados na Figura 105 Em cada um dos quatro exemplos anteriores ex pressamos a transformada z como uma razão de poli nômios em z e como uma razão de polinômios em z 1 A partir da definição de transformada z como dada na Equação 103 vemos que para sequências que são nu las para n 0 Xz envolve apenas potências negativas de z Assim para essa classe de sinais é particularmente conveniente expressar Xz em termos de polinômios em z 1 e não em z e quando for apropriado usaremos essa forma em nossa discussão Porém a referência aos po los e zeros é sempre em termos das raízes do numerador e denominador expressas como polinômios em z Além disso às vezes é conveniente nos referirmos a Xz ex presso como uma razão de polinômios em z como tendo polos no infinito se o grau do numerador exceder o grau do denominador ou zeros no infinito se o numerador tiver grau menor que o denominador plano z X plano z X 1 1 plano z X X 1 3 1 3 1 2 1 3 2 a b c 1 2 Figura 104 Diagrama de polos e zeros e região de convergência para as parcelas individuais e a soma do Exemplo 103 a 1 1 1 3 1 1 3 z z b 1 1 1 2 1 1 2 z z c 7 1 6 1 1 3 1 1 2 1 1 2 z z z plano z X 1 1 3 X Figura 105 Diagrama de polos e zeros e RDC para a transforma da z do Exemplo 104 A transformada z 451 Assim para sequências laterais esquerdas os polos de Xz exceto os em z 0 estão mais longe da origem do que qualquer ponto da RDC Para um dado diagrama de polos e zeros ou de modo equivalente uma dada expressão algébrica racional Xz existe um número limitado de diferentes RDCs que são consistentes com as propriedades consideradas anterior mente Para ilustrar como diferentes RDCs podem ser as sociadas ao mesmo diagrama de polos e zeros considera mos o exemplo a seguir que é semelhante ao Exemplo 98 Exemplo 108 Vamos considerar todas as RDCs possíveis que podem ser associadas à função X z z z 1 1 1 2 1 3 1 1 1037 O diagrama de polos e zeros associado é mostrado na Fi gura 1012a Com base no apresentado nesta seção exis tem três possíveis RDCs que podem ser associadas com essa expressão algébrica para a transformada z Estas RDCs são indicadas nas figuras 1012b a d Cada região indicada corresponde a sequências diferentes A Figura 1012b está associada a uma sequência lateral direita a Figura 1012c a uma sequência lateral esquerda e a Figura 1012d a uma sequência bilateral Como a Figura 1012d é a única para a qual a RDC inclui a circunferência unitária a sequên cia correspondente a essa escolha de RDC é a única das três para a qual a transformada de Fourier converge 103 A transformada z inversa Nesta seção consideramos diferentes procedimen tos para determinar uma sequência quando sua transfor mada z é conhecida Para começar vamos considerar a relação formal expressando uma sequência em termos de sua transformada z Essa expressão pode ser obtida com base na interpretação desenvolvida na Seção 101 da transformada z como transformada de Fourier de uma se quência exponencialmente ponderada Especificamente conforme expresso na Equação 107 Xrejω xnr n 1038 plano z Circunferência unitária X X b plano z X X Circunferência unitária plano z Circunferência unitária X X a c d plano z Circunferência unitária X X Figura 1012 As três RDCs possíveis que podem ser associadas à expressão da transformada z no Exemplo 108 a diagrama de polos e zeros para X z b diagrama de polos e zeros e RDC se x n for lateral direita c diagrama de polos e zeros e RDC se x n for lateral esquerda d diagrama de polos e zeros e RDC se x n for bilateral Em cada caso o zero na origem é um zero de segunda ordem A transformada z 453 frações parciais válida para a expressão algébrica de Xz mas a RDC associada às parcelas individuais vão mudar Em particular como a RDC de Xz está fora do polo em z 14 a RDC correspondente a essa parcela na Equação 1043 também está fora do polo e consiste em todos os pon tos com magnitude maior que 14 como feito no exemplo anterior Porém como neste exemplo a RDC para Xz está dentro do polo em z 13 ou seja como todos os pontos na RDC têm magnitude menor que 13 a RDC correspon dente a essa parcela também está dentro desse polo Assim os pares de transformada z para os componentes individuais na Equação 1044 são x n z z 1 1 4 1 1 4 1 1 Z 1050 e x n z z 2 1 3 1 1 3 2 1 Z 1051 O sinal x1n permanece como na Equação 1047 enquanto pelo Exemplo 102 podemos identificar x n u n n 2 2 1 3 1 1052 de modo que x n u n u n n n 1 4 2 1 3 1 1053 Exemplo 1011 Por fim considere Xz como na Equação 1042 mas agora com a RDC z 14 Nesse caso a RDC está interna a ambos os polos ou seja todos os pontos na RDC possuem magnitude menor que qualquer um dos polos em z 13 ou z 14 Consequentemente a RDC para cada termo na ex pansão em frações parciais na Equação 1043 também deve estar dentro do polo correspondente Como resultado o par transformado z para x1n é dado por x n z z 1 1 4 1 1 4 1 1 Z 1054 enquanto o par transformado para x2n é dado pela Equa ção 1051 Aplicando o resultado do Exemplo 102 à Equação 1054 encontramos x n u n n 1 1 4 1 de modo que x n u n u n n n 1 4 1 2 1 3 1 Os exemplos anteriores ilustram o procedimento básico do uso de expansões em frações parciais para deter minar as transformadas z inversas Assim como o método correspondente para a transformada de Laplace o procedi mento conta com a expressão da transformada z como uma combinação linear de termos mais simples A transformada inversa de cada termo pode então ser obtida por inspeção Em particular suponha que a expansão em frações parciais de Xz tenha a forma X z A a z i i i m 1 1 1 1055 de modo que a transformada inversa de Xz seja igual à soma das transformadas inversas das parcelas individuais na Equação 1055 Se a RDC de Xz estiver para fora do polo em z a i a transformada inversa da parcela corres pondente na Equação 1055 é Ai a i nun Por outro lado se a RDC de Xz estiver para dentro do polo em z a i a transformada inversa desse termo é A ia i n u n 1 Em geral a expansão em frações parciais de uma trans formada racional pode incluir outras parcelas além das parcelas de primeira ordem da Equação 1055 Na Seção 106 listamos outros diversos pares de transformada z que podem ser usados em conjunto com as propriedades da transformada z a serem desenvolvidas na Seção 105 para estender o método de transformada inversa esboçado no exemplo anterior para transformadas z racionais arbitrárias Outro procedimento muito útil para determinar a transformada z inversa conta com uma expansão em série de potências de Xz Esse procedimento é motivado pela observação de que a definição da transformada z dada na Equação 103 pode ser interpretada como uma série de potências envolvendo potências positivas e negativas de z Os coeficientes nessa série de potências são de fato os va lores da sequência xn Para ilustrar como uma expansão da série de potências pode ser usada para obter a transfor mada z inversa vamos considerar três exemplos Exemplo 1012 Considere a transformada z Xz 4z 2 2 3z 1 0 z 1056 Pela definição por série de potências da transformada z da Equação 103 podemos determinar a transformada inversa de Xz por inspeção x n n n n 4 2 3 0 2 0 1 caso contrário A transformada z 455 cia unitária em vez de até o eixo imaginário Para ilustrar o procedimento vamos considerar os sistemas de primeira e segunda ordens conforme discutidos na Seção 66 1041 Sistemas de primeira ordem A resposta ao impulso de um sistema de tempo dis creto causal de primeira ordem tem a forma geral hn anun 1064 e pelo Exemplo 101 sua transformada z é H z az z z a z a 1 1 1 1065 Para a 1 a RDC inclui a circunferência unitária e conse quentemente a transformada de Fourier de hnconver ge e é igual a Hz para z ejω Assim a resposta em frequência para o sistema de primeira ordem é H e ae j j ω ω 1 1 1066 A Figura 1013a representa o diagrama de polos e zeros para Hz na Equação 1065 incluindo os vetores do polo em z a e zero em z 0 até a circunferência uni tária Com este gráfico o cálculo geométrico de Hz pode então ser efetuado usandose exatamente o mesmo pro cedimento descrito na Seção 94 Em particular se quiser mos calcular a resposta em frequência da Equação 1065 realizamos esse cálculo para valores de z na forma z ejω A magnitude da resposta em frequência na frequência ω é a razão entre o comprimento do vetor v1 e o vetor v2 mostrados na Figura 1013a A fase da resposta em frequência é o ângulo de v1 com relação ao eixo real me nos o ângulo de v2 Além do mais o vetor v1 do zero na origem até a circunferência unitária tem uma exten são constante unitária e portanto não tem efeito sobre a magnitude de Hejω A contribuição do zero para a fase de Hejω é o ângulo do vetor do zero com relação ao eixo real que vemos que é igual a ω Para 0 a 1 o vetor do polo tem comprimento mínimo em ω 0 e que aumenta monotonicamente à medida que ω au menta de zero até π Assim a magnitude da resposta em frequência será máxima em ω 0 e diminuirá mo notonicamente à medida que ω aumentar de 0 até π O ângulo do vetor do polo começa em zero e aumenta monotonicamente à medida que ω aumenta de zero até π A magnitude e a fase resultantes de Hejω são mos trados nas figuras 1013b e c respectivamente para dois valores de a A magnitude do parâmetro a no sistema de pri meira ordem de tempo discreto desempenha um pa pel similar ao da constante de tempo τ para o sistema de primeira ordem de tempo contínuo da Seção 941 Observe primeiro que conforme ilustrado na Figura 1013 a magnitude do pico de Hejω em ω 0 dimi nui à medida que a diminui Além disso conforme foi discutido na Seção 661 e ilustrado nas figuras 626 e 627 à medida que a diminui a resposta ao impulso decai abruptamente e a resposta em degrau se estabele ce mais rapidamente Com múltiplos polos a velocidade da resposta associada a cada polo está relacionada à sua distância a partir da origem com aquele mais próximo da origem contribuindo com termos que decaem mais rapidamente na resposta ao impulso Isso é melhor ilus trado no caso dos sistemas de segunda ordem que con sideramos em seguida 1042 Sistemas de segunda ordem Em seguida vamos considerar a classe de sistemas de segunda ordem como discutidos na Seção 662 com resposta ao impulso e resposta em frequência dadas nas equações 664 e 660 que repetimos aqui com o h n r n u n n sen sen 1 θ θ 1067 e H e r e r e j j j cos ω ω ω θ 1 1 2 2 2 1068 sendo 0 r 1 e 0 θ π Como Hejω Hzz e jω podemos concluir a partir da Equação 1068 que a função de sistema correspondendo à transformada z da resposta ao impulso do sistema é H z r z r z cos 1 1 2 1 2 2 θ 1069 Os polos de Hz estão localizados em z1 rejθ z2 rejθ 1070 e existe um zero duplo em z 0 O diagrama de polos e zeros e os vetores de polos e zeros com 0 θ π2 são ilustrados na Figura 1014a Nesse caso a magni tude da resposta em frequência é igual ao quadrado da magnitude de v1 pois existe um zero duplo na origem dividido pelo produto das magnitudes de v2 e v3 Como o comprimento do vetor v1 do zero na origem é 1 para todos os valores de ω a magnitude da resposta em fre quência é igual ao recíproco dos produtos dos compri mentos dos dois vetores de polos v2 e v3 Além disso a fase da resposta em frequência é igual ao dobro do ângulo de v1 com relação ao eixo real menos as somas dos ângulos de v2 e v3 Na Figura 1014b mostramos a magnitude da resposta em frequência para r 095 e r 075 enquanto na Figura 1014c mostramos a fase de Hejω para os mesmos dois valores de r Obser A transformada z 459 priedade de deslocamento na frequência apresentada na Seção 533 em que se mostrou que a multiplicação por uma exponencial complexa no domínio de tempo corresponde a um deslocamento na frequência da trans formada de Fourier Além disso no caso mais geral em que z0 r0ejω0 na Equação 1073 as localizações de po los e zeros são rotacionados por ω0 e modificados em magnitude por um fator r0 1054 Reflexão no tempo Se x n X z R Z com RDC então x n X R z Z 1 1 com RDC 1075 Ou seja se z0 está na RDC para xn então 1z0 está na RDC para xn 1055 Expansão do tempo Como discutimos na Seção 537 o conceito de tem po contínuo de mudança de escala no tempo não se es tende diretamente para tempo discreto pois o índice de tempo discreto é definido apenas para valores inteiros Porém o conceito de tempo discreto da expansão do tem po ou seja da inserção de uma série de zeros entre valores sucessivos de uma sequência de tempo discreto xn pode ser definido e desempenha um papel impor tante na análise de sinais e sistemas de tempo discreto Especificamente a sequência xkn introduzida na Se ção 537 e definida como x n x n k n k n k se for múltiplo de se não 0 for múltiplo de k 1076 tem k 1 zeros inseridos entre valores sucessivos do sinal original Nesse caso se x n X z R Z com RDC então x n X z R k k k Z com RDC 1 1077 Ou seja se z está na RDC de Xz então o ponto z1k está na RDC de Xz k Além disso se Xz tem um polo ou zero em z a então Xz k tem um polo ou zero em z a1k A interpretação desse resultado decorre da forma de série de potências da transformada z da qual observamos que o coeficiente do termo z n é igual ao valor do sinal no instante n Ou seja com X z x n z n n seguese que X z x n z x n z k k n kn n n 1078 Examinando o membro direito da Equação 1078 vemos que os únicos termos que aparecem têm a forma z kn Em outras palavras o coeficiente do termo z m nessa série de potências é igual a 0 se m não for múltiplo de k e é igual a xmk se m for múltiplo de k Assim a transformada inversa da Equação 1078 é xkn 1056 Conjugação Se x n X z R Z com RDC 1079 então x X z R com RDC n Z 1080 Consequentemente se xn é real podemos concluir da Equação 1080 que Xz X z Assim se Xz tem um polo ou zero em z z0 ele também deverá ter um polo ou zero no ponto conjugado complexo z z0 Por exemplo a transformada Xz para o sinal real xn no Exemplo 104 tem polos em z 13e jπ4 1057 A propriedade da convolução Se x n X z R 1 1 1 Z com RDC e x n X z R 2 2 2 Z com RDC então x n x n X z X z 1 2 1 2 Z com RDC contendo R1 R2 1081 Assim como na propriedade da convolução para a transformada de Laplace a RDC de X1zX2z inclui a inter secção de R1 e R2 e pode ser maior se ocorrer cancelamento de polos e zeros no produto A propriedade de convolução para a transformada z pode ser demonstrada de diversas maneiras diferentes Uma demonstração formal é elabo rada no Problema 1056 Uma demonstração também pode ser obtida de modo semelhante à que é usada para a propriedade de convolução da transformada de Fou rier de tempo contínuo na Seção 44 que contou com a A transformada z 461 X z az az z a 1 1 2 1 1092 Do Exemplo 101 a u n az z a n Z 1 1 1 1093 e portanto na u n z d dz az az az n Z 1 1 1 1 1 1 2 z a 1094 Tabela 101 Propriedades da transformada z Seção Propriedade Sinal Transformada z RDC x n X z R x1n X1z R1 x2n X2z R2 1051 Linearidade ax1n bx2n aX1z bX2z Pelo menos a intersecção de R1 e R2 1052 Deslocamento no tempo x n n0 z n0Xz R exceto pela possível adição ou exclusão da origem 1053 Mudança de escala no domínioz e jω0n x n X e jω0z R z x n n 0 X z z0 z0R an x n X a 1 z Versão com mudança de escala de R ou seja aR o conjunto de pontos az para z em R 1054 Reflexão no tempo x n X z 1 R invertido ou seja R 1 o conjunto de pontos z 1 sendo que z está em R 1055 Expansão no tempo x n x r n rk n rk k 0 para algum inteiro r X zk R1k ou seja o conjunto de pontos z 1k sendo que z está em R 1056 Conjugação x n Xz R 1057 Convolução x 1n x 2n X1z X2z Pelo menos a intersecção de R1 e R2 1057 Primeira diferença x n x n 1 1 z 1X z Pelo menos a intersecção de R e z 0 1057 Acumulação Σkn x k 1 1 1 z X z Pelo menos a intersecção de R e z 1 1058 Diferenciação no domínioz nx n z dX z dz R 1059 Teorema do valor inicial Se x n 0 para n 0 então x X z z lim 0 1059 O teorema do valor inicial Se xn 0 n 0 então x X z z lim 0 1095 Essa propriedade segue tomando o limite de cada par cela individual na expressão para a transformada z com xn nulo para n 0 Com essa restrição X z x n z n n 0 Quando z z n 0 para n 0 enquanto para n 0 z n 1 Daí a Equação 1095 segue A transformada z 463 Hz é chamada de função de sistema ou função de transferên cia do sistema Para um z calculado sobre a circunferência unitária ou seja para z e jω Hz reduzse à resposta em frequência do sistema desde que a circunferência unitária esteja na RDC de Hz Além disso da discussão na Seção 32 sabemos que se a entrada de um sistema LIT for o sinal exponencial complexo xn z n então a saída será Hzz n Ou seja z n é uma autofunção do sistema com autovalor dado por Hz a transformada z da resposta ao impulso Muitas propriedades de um sistema podem ser rela cionadas diretamente a características dos polos zeros e região de convergência da função de sistema e nesta se ção ilustramos algumas dessas relações examinando vá rias propriedades essenciais de sistema e uma importante classe de sistemas 1071 Causalidade Um sistema LIT causal tem uma resposta ao im pulso hn que é nula para n 0 e portanto é lateral direita Da Propriedade 4 na Seção 102 sabemos que a RDC de Hz é o exterior de um círculo no plano z Para alguns sistemas por exemplo se hn δn de modo que Hz 1 a RDC podese estender a todo plano z possivelmente incluindo a origem Além disso em ge ral para uma resposta ao impulso lateral direita a RDC pode ou não incluir o infinito Por exemplo se hn δn 1 então Hz z que tem um polo no infinito Porém como vimos na Propriedade 8 na Seção 102 para um sistema causal a série de potência H z h n z n n 0 não inclui quaisquer potências positivas de z Conse quentemente a RDC inclui infinito Resumindo temos o seguinte princípio Um sistema LIT de tempo discreto é causal se e so mente se a RDC de sua função de sistema for o exte rior de um círculo incluindo o infinito Se Hz é racional então pela Propriedade 8 na Seção 102 para que o sistema seja causal a RDC deve estar fora do polo mais externo e o infinito deve estar na RDC De modo equivalente o limite de Hz quando z deve ser finito Conforme discutimos na Seção 1059 isso é equivalente ao numerador de Hz ter um grau não maior que o denominador quando ambos são expressos como polinômios em z Ou seja Um sistema LIT de tempo discreto com função de sis tema Hz racional é causal se e somente se a a RDC for o exterior de um círculo que inclui o polo mais externo e b com Hz expresso como uma ra zão de polinômios em z a ordem do numerador não for maior que a ordem do denominador Exemplo 1020 Considere um sistema com função de sistema cuja ex pressão algébrica é H z z z z z z 3 2 2 1 4 1 8 3 Sem mesmo saber a RDC para esse sistema podemos con cluir que o sistema não é causal porque o numerador de Hz tem ordem mais alta que o denominador Exemplo 1021 Considere um sistema com função de sistema H z z z z 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1097 Como a RDC para essa função de sistema é o exterior de um círculo externo do polo mais distante sabemos que a respos ta ao impulso é lateral direita Para determinar se o sistema é causal devemos apenas verificar a outra condição exigida para a causalidade ou seja que Hz quando expresso como uma razão de polinômios em z tenha grau do numerador não maior que o do denominador Para este exemplo H z z z z z z z z 2 1 1 2 2 1 5 2 1 1 2 1 1 2 5 2 2 5 2 1098 como o numerador e o denominador de Hz são ambos de grau dois consequentemente podemos concluir que o siste ma é causal Este fato também pode ser verificado calculan dose a transformada inversa de Hz Em particular usando o Par de transformadas 5 na Tabela 102 encontramos que a resposta ao impulso desse sistema é h n u n n n 1 2 2 1099 Uma vez que hn 0 para n 0 podemos confirmar que o sistema é causal 1072 Estabilidade Conforme discutimos na Seção 237 a estabilidade de um sistema LIT de tempo discreto é equivalente à sua resposta ao impulso ser absolutamente somável Nesse caso a transformada de Fourier de hn converge e conse quentemente a RDC de Hz deve incluir a circunferência unitária Resumindo obtemos o seguinte resultado A transformada z 465 1073 Sistemas LIT caracterizados por equações de diferenças lineares com coeficientes constantes Para os sistemas caracterizados por equações de dife renças lineares com coeficientes constantes as proprieda des da transformada z provêm um procedimento particu larmente conveniente para se obter a função de sistema resposta em frequência ou resposta no domínio de tempo do sistema Vamos ilustrar isso com um exemplo Exemplo 1025 Considere um sistema LIT para o qual a entrada xn e a saída yn satisfaçam a equação de diferenças lineares com coeficientes constantes y n y n x n x n 1 2 1 1 3 1 10102 Aplicando a transformada z aos dois membros da Equação 10102 e usando a propriedade de linearidade enunciada na Seção 1051 e a propriedade de deslocamento no tempo apresentada na Seção 1052 obtemos Y z z Y z X z z X z 1 2 1 3 1 1 ou Y z X z z z 1 1 1 3 1 1 2 1 10103 Da Equação 1096 então H z Y z X z z z 1 1 1 3 1 1 2 1 10104 Esse procedimento fornece a expressão algébrica para Hz mas não a região de convergência De fato existem duas respostas ao impulso distintas que são consistentes com a Equação de diferenças 10102 uma lateral direita e a outra lateral esquerda De modo correspondente existem duas escolhas diferentes para a RDC associada à expressão algébrica 10104 Uma z 12 está associada à suposição de que hn é lateral direita e a outra z 12 está asso ciada à suposição de que hn é lateral esquerda Considere primeiro a escolha da RDC igual a z 1 Escrevendo H z z z 1 1 3 1 1 1 1 2 1 podemos usar o Par de transformadas 5 na Tabela 102 juntamente com as propriedades de linearidade e deslo camento no tempo para obter a resposta ao impulso cor respondente h n u n u n n n 1 2 1 3 1 2 1 1 Para a outra escolha de RDC ou seja z 1 po demos usar o Par de transformadas 6 na Tabela 102 e as propriedades de linearidade e deslocamento no tempo re sultando em h n u n u n n 1 2 1 1 3 1 2 1 n Nesse caso o sistema é anticausal hn 0 para n 0 e instável Para o caso mais geral de uma equação de dife renças de ordem N procedemos de forma semelhante ao Exemplo 1025 aplicando a transformada z aos dois membros da equação e usando as propriedades de linea ridade e deslocamento no tempo Em particular con sidere um sistema LIT para o qual a entrada e a saída satisfaçam uma equação de diferenças com coeficientes constantes na forma a y n k b x n k k k N k k M 0 0 10105 Então tomando as transformadas z dos dois membros da Equação 10105 e usando as propriedades de linea ridade e deslocamento no tempo obtemos a z Y z b z X z k k k N k k k M 0 0 ou Y z a z X z b z k k k k k M k N 0 0 de modo que H z Y z X z b z a z k k k M k k k N 0 0 10106 Notamos em particular que a função de sistema para um sistema satisfazendo uma equação de diferenças linear com coeficientes constantes é sempre racional Consis tente com nosso exemplo anterior e com a discussão re lacionada para a transformada de Laplace a equação de diferenças por si só não oferece informações sobre a RDC para associar com a expressão algébrica Hz Uma restri ção adicional como causalidade ou estabilidade do siste ma serve para especificar a região de convergência Por exemplo se soubermos adicionalmente que o sistema é causal a RDC estará para fora do polo mais externo Se for estável a RDC deverá incluir a circunferência unitária A transformada z 471 análise de sistemas causais especificados por equações de diferenças lineares com coeficientes constantes com condi ções iniciais diferentes de zero ou seja que não estão inicialmente em repouso Nesta seção apresentamos a transformada z unilateral e ilustramos algumas de suas propriedades e usos em paralelo com nossa discussão da transformada de Laplace unilateral da Seção 99 A transformada z unilateral de uma sequência xn é definida como z x n z n n 0 10125 Como nos capítulos anteriores adotamos uma notação abreviada conveniente para um sinal e sua transformada z unilateral x n UZ z UZxn 10126 A transformada z unilateral difere da transformada bila teral porque o somatório é executado apenas para valores não negativos de n sendo ou não xn nulo para n 0 Assim a transformada z unilateral de xn pode ser consi derada como a transformada bilateral de xnun ou seja xn multiplicado por um degrau unitário Em particular então para qualquer sequência que seja nula para n 0 as transformadas z unilaterais e bilaterais serão idênticas Em referência à discussão de regiões de convergência na Seção 102 também vemos que como xnun sempre é uma sequência lateral direita a região de convergência de z é sempre o exterior de um círculo Devido à conexão direta entre transformadas z bi laterais e unilaterais o cálculo de transformadas unila terais prossegue de modo semelhante às transformadas bilaterais com o lembrete de que devemos ter o cuidado de limitar o intervalo de somatório na transformada para n 0 De modo semelhante o cálculo de transformadas unilaterais inversas é basicamente o mesmo que as trans formadas bilaterais desde que levemos em conta o fato de que a RDC para uma transformada unilateral é sempre o exterior de um círculo 1091 Exemplos de transformadas z unilaterais e transformadas inversas Exemplo 1032 Considere o sinal xn anun 10127 Como xn 0 n 0 as transformadas unilateral e bilateral são iguais para este exemplo e assim em par ticular z az z a 1 1 1 10128 Exemplo 1033 Seja xn an1un 1 10129 Nesse caso as transformadas unilateral e bilateral não são iguais pois x1 1 0 A transformada bilateral é obtida a partir do Exemplo 101 e da propriedade de deslocamento no tempo na Seção 1052 Especificamente X z z az z a 1 1 10130 Em contraste a transformada unilateral é z x n z a z n n n n n 0 1 0 ou z a az z a 1 1 10131 Exemplo 1034 Considere a transformada z unilateral z z z z 3 1 1 5 6 1 1 4 1 1 3 1 10132 No Exemplo 109 consideramos a transformada inversa para uma transformada z bilateral Xz da mesma forma da Equação 10132 e para diversas RDCs diferentes No caso da transformada unilateral a RDC deve ser o exterior do cír culo de raio igual à maior magnitude dos polos de z nesse caso todos os pontos z com z 13 Podemos en tão inverter a transformada unilateral exatamente como no Exemplo 109 resultando em x n u n u n n n 1 4 2 1 3 para n 0 10133 Na Equação 10133 enfatizamos o fato de que as transfor madas z unilaterais inversas nos fornecem informações so bre xn apenas para n 0 Outra técnica para as transformadas inversas intro duzida na Seção 103 identificando as transformadas in versas a partir dos coeficientes na expansão em série de potência da transformada z também pode ser usada para A transformada z 475 outros exemplos que ilustram o uso de transformadas unila terais para solucionar equações de diferenças com condições iniciais diferentes de zero Por fim para quaisquer valores de α e β podemos ex pandir z na Equação 10152 pelo método de expansão em frações parciais e inverter para obter yn Por exemplo se α 8 e β 1 z z z 3 1 3 2 1 1 1 10153 e aplicando o par de transformadas unilateral do Exemplo 1032 a cada termo obtemos yn 33n 2 un para n 0 10154 1010 Resumo Neste capítulo apresentamos a transformada z para sinais e sistemas de tempo discreto A abordagem e a apresentação são análogas ao tratamento correspon dente da transformada de Laplace para sinais de tempo contínuo mas com algumas diferenças importantes Por exemplo no plano s complexo a transformada de Laplace reduzse à transformada de Fourier no eixo imaginário enquanto no plano z complexo a transformada z reduz se à transformada de Fourier na circunferência unitária Para a transformada de Laplace a RDC consiste em uma faixa ou semiplano ou seja uma faixa que se estende até o infinito em uma direção enquanto para a transfor mada z a RDC é um anel talvez se estendendo para fora até infinito e para dentro para incluir a origem Assim como a transformada de Laplace características no domí nio do tempo como a sequência ser lateral direita lateral esquerda ou bilateral e a causalidade ou estabilidade de um sistema LIT podem ser associadas às propriedades da região de convergência Em particular para transforma das z racionais essas características de domínio de tempo podem ser associadas à localização dos polos em relação à região de convergência Devido às propriedades das transformadas z os sis temas LIT incluindo aqueles descritos por equações de diferenças lineares com coeficientes constantes podem ser analisados no domínio transformado por manipula ções algébricas A álgebra da função de sistema também é uma ferramenta muito útil para a análise de interco nexões de sistemas LIT e para a construção de represen tações por diagrama de blocos dos sistemas LIT descritos por equações de diferenças Na maior parte deste capítulo focamos as transfor madas z bilaterais Porém assim como a transformada de Laplace também apresentamos uma segunda forma da transformada z conhecida como transformada z unilate ral A transformada unilateral que pode ser vista como a transformada bilateral de um sinal cujos valores para n 0 foram definidos como zero é particularmente útil para analisarmos sistemas descritos por equações de diferen ças lineares com coeficientes constantes com condições iniciais diferentes de zero Capítulo 10 Problemas A primeira seção de problemas pertence à catego ria básica e as respostas são fornecidas no final do livro As três seções posteriores contêm problemas que per tencem respectivamente às categorias básica avançada e de extensão Problemas básicos com respostas 101 Determine a restrição sobre r z para cada uma das seguintes somas convergir a 1 2 1 1 n n n z b 1 2 1 1 n n n z c 1 1 2 0 n z n n d cos 1 2 4 n n n π n z 102 Considere o sinal x n u n n 1 5 3 Use a Equação 103 para calcular a transformada z desse sinal e especifique a região de convergência cor respondente 103 Seja xn lnun anun n0 Determine as restrições sobre o número complexo α e o inteiro n0 dado que a RDC de Xz é 1 z 2 104 Considere o sinal x n n n n n cos 1 3 1 4 0 0 0 Determine os polos e a RDC para Xz A transformada z 481 1039 Considere as três funções de sistema a seguir corres pondendo a sistemas LIT causais H z z z z z 1 1 1 4 2 2 3 1 1 9 2 1 1 1 H z z z z z 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 H z z z z z 3 1 1 2 2 1 1 4 2 1 1 1 a Para cada função de sistema esboce um diagra ma de blocos na forma direta b Para cada função de sistema esboce um diagra ma de blocos que corresponda à conexão em cascata de dois diagramas de blocos de segunda ordem Cada diagrama de blocos de segunda or dem deve estar na forma direta c Para cada função de sistema determine se exis te uma representação por diagrama de blocos que é a cascata de quatro diagramas de blocos de primeira ordem com a restrição de que todas as constantes dos multiplicadores devam ser reais 1040 Determine a transformada z unilateral para cada uma das sequências no Problema 1021 1041 Considere os dois sinais a seguir x n u n x n n 1 1 2 1 2 1 1 4 n u n Sejam 1z e X1z respectivamente as transforma das z unilateral e bilateral de x1n e sejam 2z e X2z respectivamente as transformadas z unilateral e bilateral de x2n a Calcule a transformada z bilateral inversa de X1zX2z para determinar gn x1n x2n b Calcule a transformada z unilateral inversa de 1z 2z para obter um sinal qn para n 0 Observe que qn e gn não são idênticos para n 0 1042 Para cada uma das seguintes equações de diferenças e condições iniciais e entradas associadas determine as respostas à entrada nula e ao estado nulo usando a transformada z unilateral a y n y n x n x n u n y n 3 1 1 2 1 1 b y n y n x n x n x n u n y 1 2 1 1 2 1 1 0 c y n y n x n x n x n u n y 1 2 1 1 2 1 1 1 Problemas avançados 1043 Considere uma sequência xn par ou seja xn x n com transformada z racional Xz a Pela definição da transformada z mostre que X z X z 1 b Pelos seus resultados no item a mostre que se um polo zero de Xz ocorre em z z0 então um polo zero também deve ocorrer em z 1z0 c Verifique o resultado no item b para cada uma das seguintes sequências 1 δn 1 δn 1 2 δ δ δ n n n 1 1 5 2 1044 Seja xn um sinal de tempo discreto com transforma da z Xz Para cada um dos sinais a seguir determine a transformada z em termos de Xz a Δxn sendo Δ o operador de primeira diferença definido por Δxn xn xn 1 b x n x n n n 1 0 2 par ímpar c x1n x2n 1045 Determine quais das seguintes transformadas z po deriam ser a função de transferência de um sistema linear de tempo discreto que não é necessariamen te estável mas para o qual a resposta à amostra unitária é zero para n 0 Indique suas razões cla ramente a 1 1 1 2 1 2 1 z z c z z 1 4 5 1 2 6 b z z 1 2 1 2 d z z 1 4 6 1 2 5 1046 Uma sequência xn é a saída de um sistema LIT cuja entrada é sn O sistema é descrito pela equação de diferença xn sn e8α sn 8 sendo 0 α 1 A transformada z 485 Compare seus resultados para a e b com os resul tados obtidos no Problema 1063 em que a expansão em série de potência foi usada 1065 A transformação bilinear é um mapeamento para se obter uma transformada z racional Hdz a partir da transformada de Laplace Hcs Esse mapeamento tem duas propriedades importantes 1 Se Hcs é a transformada de Laplace de um siste ma LIT causal e estável então Hdz é a transfor mada z de um sistema LIT causal e estável 2 Certas características importantes de Hcjω são preservadas em Hdejω Neste problema ilustramos a segunda dessas proprie dades para o caso de filtros passatudo a Seja H s a s s a c sendo a real e positivo Mostre que Hcjω 1 b Agora vamos aplicar a transformação bilinear a Hcs a fim de obter Hdz Ou seja H z H s z z d c s 1 1 1 1 Mostre que Hdz tem um polo que está dentro do círculo unitário e um zero que está fora do círculo unitário c Para a função de sistema Hdz obtida no item b mostre que Hdejω 1 1066 A transformação bilinear apresentada no problema anterior também pode ser usada para se obter um filtro de tempo discreto cuja magnitude da resposta em frequência é semelhante à magnitude da respos ta em frequência de determinado filtro passabaixas de tempo contínuo Neste problema ilustramos a semelhança por meio do exemplo de um filtro But terworth de segunda ordem de tempo contínuo com função de sistema Hcs a Seja H z H s d c s z z 1 1 1 1 Mostre que H e H j d j c tg ω ω 2 b Dado que H s s e s e c j j 1 4 4 π π e que o filtro correspondente é causal verifique que Hc0 1 que Hcjω diminui monotonica mente com valores positivos crescentes de ω que Hcj2 12 ou seja que ωc 1 é a frequên cia de meia potência e que Hc 0 c Mostre que se a transformação bilinear for apli cada a Hcs do item b a fim de se obter Hdz então o seguinte pode ser afirmado sobre Hdz e Hdejω 1 Hdz tem apenas dois polos ambos dentro do círculo unitário 2 Hdej0 1 3 Hdejω diminui monotonicamente à medida que ω vai de 0 até π 4 A frequência de meia potência de Hdejω é π2 110 Introdução Há muito tempo que se reconhece que em muitas si tuações existem vantagens em se utilizar realimentação ou seja usar a saída de um sistema para controlar ou modifi car a entrada Por exemplo em sistemas eletromecânicos como um motor cuja posição do eixo deve ser mantida em um ângulo constante é comum medir o erro entre a po sição desejada e a posição verdadeira e usar esse sinal de erro para girar o eixo na direção apropriada Isso é ilustrado na Figura 111 na qual representamos o uso de um motor dc para o direcionamento preciso do telescópio Na Figura 111a indicamos esquematicamente como esse sistema se pareceria sendo vt a tensão de entrada do motor e θt a posição angular da plataforma do telescópio O diagrama de blocos para o sistema de direcionamento controlado por motor é mostrado na Figura 111b Um sistema de reali mentação para controlar a posição do telescópio é ilustrado na Figura 111c e um diagrama de blocos equivalente a esse sistema é mostrado na Figura 111d A entrada externa ou de referência para esse sistema de realimenta ção é o ângulo do eixo desejado θD Um potenciômetro é usado para converter esse ângulo desejado em uma tensão K1θD proporcional a θD De modo semelhante um segundo potenciômetro produz uma tensão K1θt proporcional ao ângulo verdadeiro da plataforma Essas duas tensões são comparadas produzindo uma tensão de erro K1θD θt que é amplificada e depois usada para impulsionar o motor elétrico A Figura 111 sugere dois métodos diferentes para di recionar o telescópio Um deles é o sistema com realimenta ção das figuras 111c e d Aqui a entrada que devemos fornecer é o ângulo desejado ou de referência θD Alternati vamente se o ângulo inicial o ângulo desejado e as caracte rísticas elétricas e mecânicas detalhadas do conjunto motor eixo fossem conhecidas exatamente poderíamos especifi car o histórico preciso da tensão de entrada vt que primeiro Capítulo 11 Sistemas lineares com realimentação aceleraria e depois desaceleraria o eixo fazendo a plataforma parar na posição desejada sem o uso da realimentação como nas figuras 111a e b Um sistema em ope ração como nas figuras 111a e b é tipicamente chamado de sistema em malha aberta em contraste com o sistema em malha fechada das figuras 111c e d Em um ambiente prático existem claras vantagens em se controlar o ângulo do eixo do motor com o sistema de malha fechada em vez do sistema de malha aberta Por exemplo no sistema de malha fechada até o eixo ser rotacionado na posição correta qualquer distúrbio dessa posição será sentido e o erro resultante será usado para fornecer uma correção No sistema de malha aberta não existe um mecanismo para fornecer uma correção Como outra vantagem do sistema de malha fechada considere o efeito dos erros na modelagem das carac terísticas do conjunto motoreixo No sistema de malha aberta uma caracterização precisa do sistema é necessá ria para projetar a entrada correta No sistema de malha fechada a entrada é simplesmente o ângulo desejado do eixo e não requer um conhecimento exato do sistema Essa insensibilidade do sistema de malha fechada aos distúrbios e ao conhecimento impreciso do sistema são duas vantagens importantes da realimentação O controle de um motor elétrico é apenas uma das grandes variedades de exemplos em que a realimentação desempenha um papel importante Usos semelhantes da realimentação podem ser encontrados em uma grande va riedade de aplicações como o controle de processos quí micos sistemas de combustível automotivo sistemas de aquecimento doméstico e sistemas aeroespaciais para citar apenas alguns Além disso a realimentação também está presente em muitos processos biológicos e no controle do movimento humano Por exemplo ao apanhar um obje to é usual durante esse processo monitorar visualmente a distância entre a mão e o objeto de modo que a velocidade Sistemas lineares com realimentação 491 H s b s a 119 Com a 0 o sistema é instável Escolhendo a função de sistema Gs com um ganho constante K vemos que a fun ção de sistema de malha fechada na Equação 111 se torna Q s H s KH s b s a Kb 1 1110 O sistema de malha fechada será estável se o polo for movido para o semiplano esquerdo do plano s Este será o caso se Kb a 1111 Assim podemos estabilizar esse sistema com um ganho constante na malha de realimentação se esse ganho for escolhido de modo que satisfaça a Equação 1111 Esse tipo de sistema de realimentação é chamado sistema de realimentação proporcional pois o sinal que é alimentado de volta é proporcional à saída do sistema Como outro exemplo considere o sistema de se gunda ordem H s b s a 2 1112 Se a 0 o sistema é um oscilador ou seja Hs tem seus polos no eixo jω e a resposta ao impulso do sistema é se noidal Se a 0 Hs tem um polo no semiplano esquer do e um no semiplano direito Assim em ambos os casos o sistema é instável De fato conforme consideramos no Problema 1156 a função de sistema dada na Equação 1112 com a 0 pode ser usada para modelar a dinâmica do pêndulo invertido descrito na introdução Vamos primeiro considerar o uso da realimenta ção proporcional para esse sistema de segunda ordem ou seja tomamos Gs K 1113 Substituindo na Equação 111 obtemos Q s b s a Kb 2 1114 Em nossa discussão dos sistemas de segunda ordem no Capítulo 6 consideramos uma função de transferência na forma ω ω n n n s 2 2 2 ζ s ω 2 1115 Para que tal sistema seja estável ωn deve ser real e po sitivo ou seja ωn 2 0 e ζ deve ser positivo correspon dente ao amortecimento positivo Das equações 1114 e 1115 segue que com a realimentação proporcional só podemos influenciar o valor de ωn 2 e consequentemen te não podemos estabilizar o sistema pois não podemos introduzir qualquer amortecimento Para sugerir um tipo de realimentação que possa ser usado para estabi lizar esse sistema notamos o sistema mecânico massa molaamortecedor descrito em nosso estudo de sistemas de segunda ordem na Seção 652 Vimos que o amor tecimento nesse sistema era o resultado da inclusão de um amortecedor que fornecia uma força de restauração proporcional à velocidade da massa Isso sugere que con sideremos a realimentação proporcionalderivativa ou seja Gs na forma Gs K1 K2s 1116 que resulta Q s b s bK s a K b 2 2 1 1117 Os polos de malha fechada estarão no semiplano esquerdo e portanto o sistema de malha fechada será estável desde que escolhamos K1 e K2 de modo a garantir que bK2 0 a K1b 0 1118 A discussão acima ilustra como a realimentação pode ser usada para estabilizar sistemas de tempo contí nuo A estabilização de sistemas instáveis é uma aplicação importante da realimentação também para sistemas de tempo discreto Alguns exemplos de sistemas de tempo discreto que são instáveis na ausência de realimentação são modelos de crescimento de população Para ilustrar como a realimentação pode prevenir o crescimento ex ponencial de populações vamos considerar um modelo simples para a evolução da população de uma única espé cie de animal Seja yn o número de animais na nésima geração e suponha que sem a presença de quaisquer influências de impedimento a taxa de nascimento é tal que a população dobraria a cada geração Nesse caso a equação básica para a dinâmica da população da espécie é yn 2yn 1 en 1119 em que en representa quaisquer acréscimos ou exclu sões da população causados por influências externas Esse modelo de população é obviamente instável com uma resposta ao impulso que cresce exponencialmente Sistemas lineares com realimentação 493 população de inimigos naturais causar uma diminuição drástica na população de uma espécie uma redução nos limites de caça ou pesca e esforços acelerados para aumentar a população podem ser usados para diminuir β a fim de desestabilizar o sistema para permitir o rápido crescimento até que o tamanho normal da população seja novamente alcançado Note também que para esse tipo de problema não se deseja usualmente uma estabilidade estrita Especifica mente se as influências reguladoras forem tais que β 12 e se todas as outras influências externas forem nulas ou seja se xn 0 então yn yn 1 Portanto des de que xn seja pequeno e tenha média nula em várias gerações um valor de β 12 resultará em uma popula ção basicamente constante Porém para esse valor de β o sistema é instável pois nesse caso a Equação 1121 se reduz a yn yn 1 xn 1126 Ou seja o sistema é equivalente a um acumulador As sim se xn for um degrau unitário a saída crescerá sem limite Consequentemente se uma tendência cons tante for esperada em xn por exemplo causada por uma migração de animais para uma região um valor de β 12 deve ser usado para estabilizar o sistema e portan to manter a população dentro de limites e manter um equilíbrio ecológico 1124 Sistemas com realimentação de dados amostrados Além de lidar com problemas como o que acaba mos de descrever as técnicas de realimentação em tem po discreto são de grande importância em uma grande variedade de aplicações envolvendo sistemas em tempo contínuo A flexibilidade dos sistemas digitais tornou a implementação de sistemas de realimentação com dados amostrados uma opção extremamente atrativa Nesse tipo de sistema a saída de um sistema em tempo contínuo é amostrada algum processamento é feito sobre a sequên cia de amostras resultante e uma sequência discreta de comandos de realimentação é gerada Essa sequência é então convertida em um sinal de tempo contínuo o qual é realimentado e subtraído da entrada externa para pro duzir a entrada real para o sistema em tempo contínuo Notadamente a restrição de causalidade para sis temas com realimentação impõe uma restrição sobre o processo de converter o sinal de realimentação em tempo discreto para um sinal em tempo contínuo por exemplo a filtragem passabaixas ideal ou qualquer aproxima ção não causal dela não é permitida Um dos sistemas de conversão mais utilizados é o retentor de ordem nula apresentado na Seção 712 A estrutura de um sistema com realimentação de dados amostrados envolvendo um retentor de ordem nula é representada na Figura 116a Na figura temos um sistema LIT de tempo contínuo com função de sistema Hs que é amostrada para produzir uma sequência de tempo discreto pn ynT 1127 A sequência pn é então processada por um sistema LIT de tempo discreto com função de sistema Gz e a sa ída resultante passa por um retentor de ordem nula para produzir o sinal de tempo contínuo zt dn para nT t n 1T 1128 Esse sinal é subtraído da entrada externa xt para pro duzir et Suponha também que xt seja constante em inter valos de comprimento T Ou seja xt rn para nT t n 1T 1129 em que rn é uma sequência de tempo discreto Essa é uma aproximação que usualmente é válida na prática pois a taxa de amostragem geralmente é rápida o sufi ciente para que xt não mude de forma apreciável em in tervalos de tempo de comprimento T Além do mais em muitas aplicações a entrada externa por si só é de fato gerada aplicandose uma operação de retenção de ordem nula a uma sequência discreta Por exemplo em sistemas como os de aeronaves avançadas as entradas externas representam comandos do operador humano que por si sós são primeiro processados digitalmente e depois con vertidos de volta a sinais de entrada em tempo contínuo Como a retenção de ordem nula é uma operação linear o sistema com realimentação da Figura 116a quando xt é dado pela Equação 1129 é equivalente ao sistema da Figura 116b Conforme mostramos no Problema 1160 o siste ma de tempo discreto com entrada en e saída pn é um sistema LIT com função de sistema Fz que está re lacionada à função de sistema em tempo contínuo Hs por meio de uma transformação invariante em degrau Ou seja se st for a resposta ao degrau do sistema de tempo contínuo então a resposta ao degrau qn do sistema de tempo discreto consistirá em amostras de st igualmente espaçadas Matematicamente qn snT para todo n 1130 Sistemas lineares com realimentação 497 com a visão cética em relação à realimentação negativa De fato a realimentação positiva pode ser útil Por exem plo já era conhecido na década de 1920 que a influência desestabilizadora da realimentação positiva poderia ser usada para gerar sinais oscilatórios Esse uso da realimen tação positiva é ilustrado no Problema 1154 Nesta seção descrevemos uma série de aplicações da realimentação Estas e outras como o uso da reali mentação na implementação de filtros em tempo discreto recursivos Problema 1155 são consideradas com mais detalhes nos problemas ao final do capítulo Pelo nosso exame dos usos da realimentação e dos possíveis efeitos estabilizantes e desestabilizantes que ela pode ter é claro que algum cuidado precisa ser tomado no projeto e aná lise de sistemas de realimentação para garantir que o sis tema de malha fechada se comporte de uma forma dese jável Especificamente nas seções 1123 e 1126 vimos vários exemplos de sistemas de realimentação em que as características do sistema de malha fechada podem ser significativamente alteradas pela mudança dos valores de um ou dois parâmetros no sistema com realimentação Nas próximas seções deste capítulo desenvolvemos vá rias técnicas para analisar o efeito das mudanças em tais parâmetros sobre o sistema de malha fechada e para pro jetar sistemas para atender aos objetivos desejados como estabilidade amortecimento adequado etc 113 Análise do lugar das raízes para sistemas lineares com realimentação Conforme vimos em vários dos exemplos e aplicações que discutimos um tipo útil de sistema com realimentação é aquele em que o sistema tem um ganho ajustável K asso ciado a ele À medida que esse ganho é variado é de inte resse examinar como os polos do sistema de malha fechada mudam pois a localização desses polos nos dizem muito sobre o comportamento do sistema de malha fechada Por exemplo na estabilização de um sistema instável o ganho ajustável é usado para mover os polos para o semiplano es querdo para um sistema de tempo contínuo ou para den tro da circunferência unitária para um sistema de tempo discreto Além disso no Problema 1149 mostramos que a realimentação pode ser utilizada para ampliar a largura de banda de um sistema de primeira ordem movendo o polo de modo a diminuir a constante de tempo do sistema Além do mais assim como a realimentação pode ser em pregada para reposicionar os polos visando melhorar o de sempenho do sistema como vimos na Seção 1126 existe o perigo potencial de que com uma escolha imprópria de realimentação um sistema estável possa ser desestabiliza do o que é usualmente indesejável Nesta seção discutimos um método em particular para examinar o lugar geométrico ou seja o caminho no plano complexo dos polos do sistema de malha fechada à medida que um ganho ajustável é variado O procedimen to conhecido como método do lugar geométrico das raízes é uma técnica gráfica para representar os polos de malha fechada de uma função de sistema racional Qs ou Qz como uma função do valor do ganho A técnica funcio na de uma maneira idêntica tanto para sistemas de tempo contínuo quanto para sistemas de tempo discreto 1131 Um exemplo introdutório Para ilustrar a natureza básica do método do lugar geométrico das raízes para um sistema com realimenta ção vamos examinar novamente o exemplo de tempo discreto considerado na seção anterior e especificado pelas funções de sistema Equação 1123 H z z z z 1 1 2 2 1 1138 e Equação 1124 G z z z 2 2 1 β β 1139 em que β agora é visto como um ganho ajustável En tão como notamos anteriormente a função de sistema de malha fechada é Equação 1125 Q z z z z 1 1 21 21 1 β β 1140 Neste exemplo é imediato identificar o polo de malha fechada como estando localizado em z 21 β Na Fi gura 119a mostramos o lugar geométrico do polo para esse sistema à medida que β varia de 0 a Na parte b dessa figura mostramos o lugar geométrico à medida que β varia de 0 a Em cada gráfico indicamos o ponto z 2 que é o polo de malha aberta ou seja é o polo de Qz para β 0 À medida que β aumenta a partir de 0 o polo movese para a esquerda do ponto z 2 ao longo do eixo real e indicamos esse fato incluindo uma seta na linha mais grossa para mostrar como o polo muda quando β aumenta De modo semelhante para β 0 o polo de Qz movese para a direita de z 2 e a direção da seta na Figura 119b indica como o polo muda quando a magnitude de β aumenta Para 12 β 32 o polo encontrase dentro da circunferência unitária e assim o sistema é estável Sistemas lineares com realimentação 505 nhecimento dessas funções de sistema é obtido puramente de modo experimental Nesta seção apresentamos outro método para de terminar a estabilidade dos sistemas com realimentação como uma função de um parâmetro de ganho ajustável Essa técnica conhecida como critério de Nyquist difere do método do lugar das raízes de duas formas distintas Dife rente do método do lugar geométrico das raízes o critério de Nyquist não provê informações detalhadas com rela ção à localização dos polos de malha fechada em função de K mas simplesmente determina se o sistema é estável ou não para qualquer valor especificado de K Por outro lado o critério de Nyquist pode ser aplicado a funções de sistema não racionais e em situações em que nenhuma descrição analítica das funções de sistema de caminho di reto e de realimentação esteja disponível Nosso objetivo nesta seção é esboçar as ideias básicas por trás do critério de Nyquist para sistemas de tempo con tínuo e tempo discreto Conforme veremos os testes de Ny quist em tempo discreto e tempo contínuo são o resultado do mesmo conceito fundamental embora assim como o método do lugar geométrico das raízes os critérios de fato para estabilidade sejam diferentes devido às diferenças en tre tempo contínuo e tempo discreto Desenvolvimentos mais detalhados das ideias por trás do critério de Nyquist e seu uso no projeto de sistemas com realimentação podem ser encontrados em textos sobre a análise e síntese com sis temas de realimentação e sistemas de controle automático incluindo aqueles listados na Bibliografia ao final do livro Para introduzir o método vamos lembrar que os polos dos sistemas de malha fechada da Figura 1110 e seus cor respondentes em tempo discreto são as soluções da equação 1 KGsHs 0 tempo contínuo 1179 e 1 KGzHz 0 tempo discreto 1180 Para sistemas de tempo discreto queremos determinar se qualquer uma das soluções da Equação 1180 se en 1 2 1 4 Circunferência unitária a 1 2 1 4 b Circunferência unitária Figura 1116 Lugar geométrico das raízes para o Exemplo 113 a K 0 b K 0 Os polos de G zH z em z 14 e z 12 e o zero de G zH z em z 0 são indicados na figura Sistemas lineares com realimentação 507 Plano p Plano W C4 d e Plano p Plano W C5 Plano p C2 Plano p C3 Plano W b c Plano W Plano p Plano W C1 a Figura 1118 Propriedade de mapeamento básica para o Exemplo 114 a o contorno não circunda polos ou zeros e consequentemente W p não tem circundações da origem b o contorno circunda um polo e logo W p possui uma circundação da origem c o contorno circunda três polos e portanto W p tem três circundações da origem d o contorno circunda um polo e um zero e dessa forma W p não apresenta circundações da origem e o contorno circunda três polos e um zero W p possui duas circundações da origem ros de Wp e consequentemente o diagrama de Wp não possui circundações da origem Na Figura 1118b somente o polo em p 1 está contido dentro do contorno C2 e o diagrama de Wp circunda a origem uma vez no sentido antihorário menos uma circundação em sentido horário Na Figura 1118c C3 circunda todos os três polos e o dia grama de Wp circunda a origem três vezes em sentido anti horário Na Figura 1118d C4 circunda um polo e um zero e portanto o diagrama de Wp não possui circunda ções da origem Por fim na Figura 1118e todos os polos e o único zero de Wp estão contidos dentro de C5 e por tanto o diagrama de Wp ao longo desse contorno tem duas circundações completas da origem em sentido antihorário 1142 O critério de Nyquist para sistemas de tempo contínuo com realimentação Nesta seção exploramos a propriedade do mapea mento examinando a estabilidade do sistema com reali mentação de tempo contínuo da Figura 1110 A estabili dade desse sistema requer que nenhum zero de 1 KGs Hs ou de forma equivalente da função R s K G s H s 1 1182 se encontre no semiplano direito do plano s Assim aplicando o resultado geral desenvolvido na subseção Sistemas lineares com realimentação 521 1123 Considere os sistemas com realimentação básicos da Figura 113b Determine a resposta ao impulso do sistema de malha fechada para cada uma das seguin tes especificações das funções de sistema nos cami nhos direto e de realimentação a H z G z z z z 1 1 2 1 1 2 3 1 6 1 b H z z G z z z 2 3 1 6 1 1 1 2 1 1 1124 Esboce o lugar das raízes para K 0 e K 0 para cada um dos seguintes itens a G s H s s 1 1 b G s H s s s 1 1 3 c G s H s s s 1 1 2 d G s H s s s 1 2 e G s H s s s 1 2 3 f G s H s s s s s 2 2 2 2 1 g G s H s s s s s s 1 1 2 2 2 h G s H s s s s 1 2 3 1125 Esboce o lugar das raízes para K 0 e K 0 para cada um dos seguintes itens a G z H z z z 1 2 14 b G z H z z 2 2 14 c G z H z z z z 1 1 14 2 1 1 d GzHz z 1 z 2 e GzHz é a função de sistema do sistema LIT causal descrito pela equação de diferenças yn 2yn 1 xn 1 xn 2 1126 Considere um sistema com realimentação G s H s s a s b s s s 3 6 Esboce o lugar das raízes para K 0 e K 0 para os seguintes valores de a e b a a 1 b 2 b a 2 b 2 c a 4 b 2 d a 7 b 2 e a 1 b 2 f a 4 b 2 g a 7 b 2 h a 5 b 4 i a 7 b 4 j a 7 b 8 1127 Considere um sistema com realimentação H s s s s G s K 2 2 4 2 a Esboce o lugar das raízes para K 0 b Esboce o lugar das raízes para K 0 c Encontre o menor valor positivo de K para o qual a resposta ao impulso de malha fechada não exi be qualquer comportamento oscilatório 1128 Esboce o diagrama de Nyquist para cada uma das es pecificações a seguir de GsHs e use o critério de Nyquist de tempo contínuo para determinar o inter valo de valores de K se houver esse intervalo para o qual o sistema de malha fechada é estável Nota Nos esboços dos diagramas de Nyquist você pode achar útil esboçar primeiro os diagramas de Bode corres pondentes Também é útil determinar os valores de ω para os quais GjωHjω é real a G s H s s 1 1 b G s H s s 1 1 2 c G s H s s 1 1 2 d G s H s s 1 1 3 e G s H s s s 1 1 2 f G s H s s s 1 1 2 g G s H s s s 1 4 2 h G s H s s s 1 2 2 2 i G s H s s s s 1 2 2 2 j G s H s s s s 1 100 1 2 k G s H s s s 2 3 1 1129 Considere o sistema com realimentação básico de tempo contínuo da Figura 113a Esboce o diagrama logarítmico de magnitudefase e determine aproxi madamente a margem de fase e ganho para cada uma das seguintes escolhas de Gs e Hs Você pode achar útil usar as aproximações por retas dos diagramas de Bode desenvolvidas no Capítulo 6 para auxiliálo no esboço dos diagramas logarítmicos de magnitudefa se Porém tenha o cuidado de levar em consideração como a resposta em frequência real se desvia de sua aproximação perto das frequências de quebra quando existem parcelas de segunda ordem subamortecidas presentes Ver Seção 652 A1 Introdução A finalidade deste apêndice é descrever a técnica de expansão em frações parciais Essa ferramenta tem gran de valor no estudo de sinais e sistemas em particular ela é muito útil na inversão de transformadas de Fourier transformadas de Laplace e transformadas z bem como na análise de sistemas LIT descritos por equações diferenciais ou de diferenças lineares com coeficientes constantes O método de expansão em frações parciais consiste em to mar uma função que é a razão de polinômios e expandila como uma combinação linear de termos mais simples do mesmo tipo A determinação dos coeficientes nessa com binação linear é o problema básico a ser solucionado na obtenção da expansão Como veremos este é um proble ma relativamente simples em álgebra que pode ser resol vido de modo muito eficiente com alguma manipulação Para ilustrar a ideia básica por trás e o papel da ex pansão em frações parciais considere a análise desenvolvi da na Seção 652 para um sistema LIT de segunda ordem em tempo contínuo especificado pela equação diferencial d y t dt dy t dt y t x t n n n 2 2 2 2 2 ζω ω ω A1 A resposta em frequência desse sistema é H j j j n n n ω ω ω ζω ω ω 2 2 2 2 A2 ou se fatorarmos o denominador H j j c j c n ω ω ω ω 2 1 2 A3 sendo c n n 1 2 1 ζω ω ζ A4 c n n 2 2 1 ζω ω ζ Tendo Hjω estamos em posição de responder a uma série de perguntas relacionadas a esse sistema Por exemplo para determinar a resposta em impulso do Apêndice Expansão em frações parciais sistema lembrese de que para qualquer número α com s 0 a transformada de Fourier de x1t eαtut A5 é X j j 1 1 ω ω α A6 enquanto se x2t teαtut A7 então X j j 2 2 1 ω ω α A8 Portanto se pudermos expandir Hjω como uma soma de termos na forma da Equação A6 ou A8 podere mos determinar a transformada inversa de Hjω por inspe ção Por exemplo na Seção 652 observamos que quando c1 c2 Hjω na Equação A3 pode ser reescrito na forma H j c c j c c c n n ω ω ω ω 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 j c ω A9 Nesse caso o par de transformadas de Fourier das equa ções A5 e A6 permitenos escrever imediatamente a transformada inversa de Hjω como h t c c e c c e u t n c t n c t ω ω 2 1 2 2 2 1 1 2 A10 Embora tenhamos descrito a discussão anterior em termos de transformadas de Fourier em tempo contínuo conceitos semelhantes também surgem na análise de Fourier em tempo discreto e no uso das transformadas de Laplace e transformadas z Especificamente em todos esses casos encontramos a importante classe de transfor madas racionais ou seja transformadas que são razões de polinômios em alguma variável Além disso em cada um desses contextos achamos motivos para expandir essas Expansão em frações parciais 543 Nosso objetivo agora é focalizar a função racional própria Gυ na Equação A12 e expandila para uma soma de funções racionais próprias mais simples Para ver como isso pode ser feito considere o caso de n 3 de modo que a Equação A12 se reduz a G b b b a a a υ υ υ υ υ υ 2 2 1 0 3 2 2 1 0 A17 Como um primeiro passo fatoramos o denominador de Gυ a fim de escrevêlo na forma G b b b υ υ υ υ ρ υ ρ υ ρ 2 2 1 0 1 2 3 A18 Supondo por um momento que as raízes ρ1 ρ2 e ρ3 do denominador sejam todas distintas gostaríamos de ex pandir Gυ em uma soma na forma G A A A υ υ ρ υ ρ υ ρ 1 1 2 2 3 3 A19 O problema então é determinar as constantes A1 A2 e A3 Uma técnica é igualar as equações A18 e A19 e mul tiplicar pelo denominador Nesse caso obtemos a equa ção b2υ2 b1υ b0 A1υ ρ2υ ρ3 A2υ ρ1υ ρ3 A3υ ρ1υ ρ2 A20 Expandindo o membro direito da Equação A20 e depois igualando os coeficientes de potências iguais de υ obte mos um conjunto de equações lineares que podem ser resolvidas para A1 A2 e A3 Embora essa técnica sempre funcione existe um mé todo muito mais fácil Considere a Equação A19 e supo nha que queiramos calcular A1 Então multiplicandose por υ ρ1 obtemos υ ρ υ υ ρ υ ρ υ ρ υ ρ 1 1 2 1 2 3 1 3 G A A A A21 Como ρ1 ρ2 e ρ3 são distintos às duas últimas parcelas no membro direito da Equação A21 são nulas para υ ρ1 Portanto A1 υ ρ1Gυυ ρ1 A22 ou usando a Equação A18 A b b b 1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 3 ρ ρ ρ ρ ρ ρ A23 De modo semelhante A G b b b 2 2 2 2 2 1 2 0 2 1 2 3 2 υ ρ υ ρ ρ ρ ρ ρ ρ υ ρ A24 A G b b b 3 3 2 3 2 1 3 0 3 1 3 2 3 υ ρ υ ρ ρ ρ ρ ρ ρ υ ρ A25 Agora suponha que ρ1 ρ3 ρ2 ou seja G b b b p p υ υ υ υ υ 2 2 1 0 1 2 2 A26 Nesse caso procuramos uma expansão da forma G A A A υ υ ρ υ ρ υ ρ 11 1 12 1 2 21 2 A27 Aqui precisamos do termo 1υ ρ12 a fim de obter o denominador correto na Equação A26 quando agrupa mos termos sob um mínimo denominador comum Tam bém precisamos incluir o termo 1υ ρ1 em geral Para ver por que considere igualar as equações A26 e A27 e multiplicálas pelo denominador da Equação A26 b2υ2 b1υ b0 A11υ ρ1υ ρ2 A12υ ρ2 A21υ ρ12 A28 Novamente se igualamos os coeficientes de potências iguais de υ obtemos três equações para os coeficientes dos termos υ 0 υ1 e υ 2 Se omitirmos o termo A11 na Equa ção A27 então teremos três equações em duas incógnitas que em geral não terão uma solução Incluindo esse ter mo sempre podemos encontrar uma solução No entanto também nesse caso existe um método muito mais simples Considere a Equação A27 e multiplique por υ ρ12 υ ρ υ υ ρ υ ρ υ 1 2 11 1 12 21 1 2 2 G A A A p A29 Pelo exemplo anterior vemos imediatamente como de terminar A12 A G b b b 12 1 2 2 1 2 1 1 0 1 2 1 υ ρ υ ρ ρ ρ ρ υ ρ A30 Quanto a A11 suponha que diferenciemos a Equação A29 com relação a υ d d G A A υ υ ρ υ υ ρ υ ρ υ ρ υ ρ 1 2 11 21 1 2 1 2 2 22 2 A31 Então fica aparente que o termo final na Equação A31 é nula para υ ρ1 e portanto A d d G b b b 11 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 υ υ ρ υ ρ ρ ρ υ ρ ρ ρ ρ ρ 1 2 1 1 0 1 2 2 b b A32 Expansão em frações parciais 545 Substituindo jω por υ obtemos a função racional G υ υ υ υ 2 1 3 2 A49 A expansão em frações parciais para essa função é G A A A υ υ υ υ 11 12 2 21 1 1 3 A50 em que pela Equação A36 A d d G 11 2 1 1 2 1 1 1 4 υ υ υ υ A51 A G 12 1 2 υ υ υ 1 1 2 A52 υ υ υ 12 3 3 1 4 A G A53 Portanto Y j j j j ω ω ω ω 1 4 1 2 2 1 4 1 1 3 A54 e com as transformadas inversas obtemos y t e te e u t t t t 1 4 1 2 1 4 3 A55 Novamente essa análise também poderia ter sido rea lizada usando transformadas de Laplace e a álgebra agora seria idêntica à que foi dada nas equações A49 a A55 A3 Expansão em frações parciais e sinais e sistemas de tempo discreto Como já dissemos ao realizar expansões em frações parciais para transformadas de Fourier em tempo discreto ou para transformadas z em geral é mais conveniente lidar com um formato ligeiramente diferente para funções racio nais Agora especificamente vamos supor que temos uma função racional no formato G d d d f f n n n n υ υ υ υ υ 1 1 1 0 1 1 A56 Esse formato para Gυ pode ser obtido a partir de Gυ na Equação A12 dividindo numerador e denominador por a0 Com Gυ dado como na Equação A56 a fatoração correspondente tem o formato G d d d n n υ υ υ ρ υ ρ υ σ σ 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ρ υ σ r r 1 A57 e o formato da expansão em frações parciais resultante é G Bik i k k i l r i υ ρ υ σ 1 1 1 A58 O Bik pode ser calculado de uma maneira semelhante à que usamos anteriormente B k d d G ik i i k k k i i i i i 1 1 1 σ ρ υ ρ υ υ σ σ σ σ υ ρi A59 Como antes a validade da Equação A59 pode ser deter minada multiplicando os dois membros da Equação A58 por 1 ρi 1υσi depois diferenciando repetidamente com relação a υ até que Bik não seja mais multiplicado por uma potência de 1 ρi 1υ e finalmente fazendo υ ρi Exemplo A3 Considere o sistema LIT causal no Exemplo 519 ca racterizado pela equação de diferença y n y n y n x n 3 4 1 1 8 2 2 A60 A resposta em frequência do sistema é H e e e j j j ω ω ω 2 1 3 4 1 8 2 A61 Para transformadas em tempo discreto como esta é mais conveniente substituir e jω por υ Fazendo a substituição obtemos a função racional G υ υ υ υ υ 2 1 2 1 1 3 4 1 8 2 1 2 1 4 A62 Usando a expansão em funções parciais especificada pelas equações A57 a A59 obtemos G B B υ υ υ 11 1 2 21 1 4 1 1 A63 B υ G υ 11 1 1 2 υ 2 1 2 2 1 4 A64 υ υ 21 1 1 4 B G υ 4 2 1 2 2 A65 Assim H e e e j j j ω ω ω 4 1 2 1 1 2 1 4 A66 e tomando a transformada inversa da Equação A66 obte mos a resposta ao impulso unitário h n u n u n n n 4 1 2 2 1 4 A67 Na Seção 107 desenvolvemos as ferramentas de aná lise de transformada z para o exame de sistemas LIT em tem po discreto especificados por equações de diferença lineares Expansão em frações parciais 547 Além disso podemos usar o método desenvolvido aqui para expandir a função racional própria na Equação A81 1 6 5 6 1 6 2 1 6 1 3 1 2 11 1 3 21 1 1 1 1 υ υ υ υ υ υ υ B B 1 1 2 υ A85 Os coeficientes são B11 1 6 1 2 3 1 1 υ υ υ B21 1 6 1 3 1 υ υ υ 2 1 Portanto descobrimos que H e e e e j j j j ω ω ω ω 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 A86 e por inspeção podemos determinar a resposta ao impulso desse sistema h n n n n δ 2δ 1 1 3 1 2 n u n A87 Bibliografia A finalidade desta bibliografia é oferecer ao leitor fon tes de abordagem adicional e mais avançada sobre os tópi cos de análise de sinais e de sistemas Esta de forma alguma é uma lista completa mas serve para indicar rumos para estudo adicional e várias referências para cada assunto Dividimos a bibliografia em 16 áreas de assuntos diferentes As primeiras tratam das técnicas matemáti cas de análise de sinais e de sistemas incluindo textos sobre matemática básica cálculo equações diferenciais e de diferenças variáveis complexas a teoria da série de Fourier e das transformadas de Fourier Laplace e z além de tópicos adicionais sobre matemática que comu mente são encontrados e usados na análise de sinais e de sistemas Várias seções seguintes possuem abordagens mais profundas e especializadas dos tópicos sobre sinais e sistemas introduzidos neste texto incluindo filtragem amostragem e processamento de sinal de tempo discre to comunicações e realimentação e controle Também oferecemos uma lista de outros livros básicos sobre si nais e sistemas bem como diversos textos sobre teoria de circuitos Além disso fornecemos listas de referências sobre vários tópicos que representam temas de estudo mais avançados para aqueles interessados em expandir seu conhecimento dos métodos de sinais e de sistemas ou em explorar aplicações que utilizam essas técnicas avan çadas Em particular incluímos seções sobre modelos de espaço de estados processamento multidimensional de sinais e imagens processamento de voz análise de sinal multitaxa e multirresolução sinais aleatórios e processa mento estatístico de sinais e sistemas não lineares Por fim incluímos uma lista de referências que trata de uma amostragem de outras aplicações e tópicos avançados Juntas as referências coletadas nesta bibliografia deve rão oferecer ao leitor uma ideia da quantidade de tópi cos e aplicações que compreendem o campo de sinais e sistemas B1 Fundamentos e matemática básica B11 Cálculo análise e matemática avançada Arfken G Weber H J Mathematical 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B142 Processos estocásticos detecção e estimativa Kay S M Fundamentals of statistical signal processing estima tion theory Englewood Cliffs NJ PrenticeHall Inc 1993 LeonGarcia A Probability and random processes for electri cal engineering 2 ed Reading MA AddisonWesley Pu blishing Co 1994 Papoulis A Probability random variables and stochastic proces ses 3 ed Nova York NY McGrawHill 1991 Peebles Jr P Z Probability random variables and random sig nal principles 3 ed Nova York NY McGrawHill 1993 Porat B Digital processing of random signals theory and metho ds Englewood Cliffs NJ Prentice Hall Inc 1994 Therrien C W Discrete random signals and statisti cal signal processing Englewood Cliffs NJ Prentice Hall Inc 1992 Van Trees H L Detection estimation and modulation theory part I Nova York NY John Wiley and Sons Inc 1968 Respostas Respostas do Capítulo 1 11 05 05 j j j 1 j 1 j 1 j 1 j 12 5ej0 2ejπ 3ejπ2 ejπ3 2 4 e jπ 2e j π2 2 4 2 e e j j π π ejπ12 13 a P 0 E 1 4 b P 1 E c P 1 2 E d P 0 E 4 3 e P 1 E f P 1 2 E 14 a n 1 e n 7 b n 6 e n 0 c n 4 e n 2 d n 2 e n 4 e n 6 e n 0 15 a t 2 b t 1 c t 2 d t 1 e t 9 16 a Não b Não c Sim 17 a n 3 b tudo t c n 3 n d t 18 a A 2 a 0 ω 0 φ π b A 1 a 0 ω 3 φ 0 c A 1 a 1 ω 3 φ π 2 d A 1 a 2 ω 100 φ π 2 19 a T π 5 b Não periódico c N 2 d N 10 e Não periódico 110 π 111 35 112 M 1 n0 3 113 4 114 A1 3 t1 0 A2 3 t2 1 115 a yn 2xn 2 5xn 3 2xn 4 b Não 116 a Não b 0 c Não 117 a Não por exemplo yπ x0 b Sim 118 a Sim b Sim c C 2n0 1B 119 a Linear não invariante no tempo b Não linear invariante no tempo c Linear invariante no tempo d Linear não invariante no tempo 120 a cos3t b cos3t 1 Respostas 559 1020 a 1 2 n u n b 1 3 1 2 1 6 1 4 n n u n u n c 2 3 1 2 1 6 1 4 n n u n u n Respostas do Capítulo 11 111 H z H z G z H z 0 1 1 1 112 H s H s H s G s H s H s G s 1 2 1 1 1 2 2 1 113 b 1 114 G s S 1 115 5 2 3 2 b 116 FIR 117 K 6 118 3 K 0 119 Não O lugar geométrico permanece no eixo real 1110 Polo duplo em s 1 duplo zero em s 1 1111 0 5 4 k 1112 Posições de polos e zeros se alternam no eixo real 1113 Instável para todo K 1114 a 0 b 1 1115 K 1 1116 K 1 1117 1 K 4 1118 1 K 1 1119 Instável 1120 Margem de ganho é infinita margem de fase é 2 2 tan1 Índice remissivo A Acumulador 29 Adiantamento de fase 292 Algoritmo para transformada chirp 389 Aliasing 311316 AM Veja Amplitude Modulada AM Amostragem 19 25 305344 aliasing 311316 com retentor de ordem zero 307311 processamento de tempo discreto de sinais de tempo contínuo 316323 atraso de meia amostra 322323 diferenciador digital 321322 reconstrução usando interpolação 309311 sinais de tempo contínuo 1 sinais de tempo discreto 324329 sinal passafaixa 334 dizimação e interpolação 325330 trem de impulsos 324325 Amostragem do trem de impulsos 306 324 Amplificador Chopper 390 Operacional 489 Amplificador chopper 390 Amplificadores operacionais 489 534535 Amplitude Modulada AM 141 364365 381 banda lateral única 356358 portadora senoidal 347349 portadora trem de pulsos 358360 senoidal 346348 demodulação para 348353 portadora exponencial complexa 346347 tempo discreto 370373 uso da multiplexação por divisão de frequência FDM 353355 Analisador harmônico 117 Análise do lugar das raízes 497504 critério de ângulo 499501 equação para os polos em malha fechada 498499 501 pontos terminais 499 propriedades da 502504 Análise do sistema de suspensão 280282 Ângulo fase do número complexo 45 Anticausalidade 415 Atraso de fase 292 Atraso 29 de grupo 250255 de meia amostra 322323 unitário 75 Atraso tempo de 235 Autofunções 108159160 Autovalor 108109 160 B Banda de transição 261 Bernoulli D 105 Bit 364 C Capacitor 29 Caracterização do domínio da frequência Veja Caracterização do domínio da frequência e do domínio de tempo Caracterização do domínio da frequência e do domínio de tempo 245304 exemplos de 280287 filtro não recursivo de tempo discreto 282287 sistema de suspensão dos automóveis 280282 filtros não ideais 258262 representação do módulo e da fase da transformada de Fourier 245248 resposta em frequência dos sistemas LIT 248256 sistemas de tempo contínuo 262270 de primeira ordem 262265 de segunda ordem 265268 diagramas de Bode para respostas em frequência racional e 268270 sistemas de tempo discreto 270280 de primeira ordem 270272 de segunda ordem 272280 Caracterização no domínio de tempo e no domínio de frequência dos filtros não ideais 258262 Circuito qualidade Q do 268 Círculo unitário 464 Codificação sem perdas 30 Coeficiente espectral Veja Coeficientes da série de Fourier Coeficientes da série de Fourier partes reais e imaginárias dos 128 propriedade de convolução dos 134 tempo contínuo 112113 165 tempo discreto 124134 Combinações lineares harmonicamente relacionadas Veja Coeficientes da série de Fourier modulação em amplitude senoidal 346 periódicas 112 resposta do sistema LIT às 107109 Compensação de elementos não ideais 490 Complexo conjugado 45 Componentes de segunda harmônica 110 Componentes fundamentais 111 Componentes harmônicos 110 Comprimento de onda 107 Comutação em frequência FSK frequency shift keying 386 Condições de Dirichlet 116117 168 183 Constante de tempo dominante 297 Constantes de tempo 262 dominantes 297 Controlador PI proporcionalmaisintegral 539 Controlador PID proporcionalmaisintegral maisdiferencial 539 Controle P proporcional 538 Convergência Veja também Região de convergência série de Fourier de tempo contínuo 118119 série de Fourier de tempo discreto 131132 transformada de Fourier de tempo contínuo 165166 transformada de Fourier de tempo discreto 207209 Conversão de tempo contínuo para tempo discreto 317318 Conversor analógicodigital AD 317 Conversor digitalanalógico DA 317 Índice remissivo 561 Convolução aperiódica 132 definindo a função impulso unitário em tempo contínuo por meio da 7777 operação de 49 53 periódica 132 224225 propriedade associativa da 6465 propriedade comutativa da 6263 propriedade distributiva da 6364 Convolução aperiódica 132 Convolução periódica 132 224225 série de Fourier de tempo contínuo 121 série de Fourier de tempo discreto 131132 Critério de ângulo 499500 Critério de estabilidade de Nyquist 504512 de tempo contínuo 507510 de tempo discreto 510512 propriedade do circundamento 506507 D Decibéis dB 137 255 Demodulação 347 definição 345 modulação senoidal em amplitude 347353 assíncrona 350353 síncrona 348350 tempo discreto 371 Descontinuidades 115118 Deslizamento 53 Deslocamento de fase 249 380 Detector de envoltória 351 352 Diagrama de blocos em forma paralela 424425 469470 Diagrama de blocos na forma direta 424425 469470 Diagrama de blocos usando somadores 76 Diagramas de blocos 27 forma direta 436 469470 forma em cascata 436 469470 forma paralela 436 469470 sistemas de primeira ordem descritos por equações diferenciais e de diferenças 7476 sistemas LIT causais 422426 Diagramas de polos e zeros sistemas de primeira ordem 403404 455 sistemas de segunda ordem 405 455457 sistemas passatudo 407408 transformada z 454455 transformadas de Laplace 394395 402408 Diagramas de blocos de forma em cascata 436 469470 Diagramas de Bode 255 resposta em frequência racional 269 sistema de suspensão de automóveis 280 Diagramas de Nyquist 508511 Diferença 7476 Diferenciação no domínio do tempo 411411 no domínio s 410 no domínio z 458 Diferenciador digital 321322 representação em diagrama de blocos do 76 Difusão e propagação de calor 106 Doublets unitários 8083 Dirichlet P L 106 Dispersão 252 Distorção fase e magnitude de módulo e de fase 249 quadratura 368 Distorção por quadratura 380 Dizimação 325329 Dualidade entre a transformada de Fourier de tempo discreto e a série de Fourier de tempo contínuo 231 transformada de Fourier em tempo contínuo 165 174175 183 transformada de Fourier em tempo discreto 229230 E Efeito estroboscópico 316317 Energia dos sinais 45 Equação de análise série de Fourier de tempo contínuo 113 série de Fourier de tempo discreto 125 transformada de Fourier de tempo contínuo 165 transformada de Fourier de tempo discreto 223 Equação de síntese série de Fourier de tempo contínuo 113 série de Fourier de tempo discreto 126 transformada de Fourier de tempo contínuo 165 174 183 transformada de Fourier de tempo discreto 212 227 228 Equações de diferença filtros de tempo discreto descritos por 145149 não recursivas 147149 recursivas de primeira ordem 146147 lineares com coeficientes constantes Veja Equações de diferença lineares com coeficientes constantes Equações de diferença lineares com coeficientes constantes 70 73 74 229230 465 não recursivas 73 recursivas 73 respostas naturais como soluções das 73 sistema FIR de resposta ao impulso de duração finita 73 sistema IIR de resposta ao impulso de duração infinita 74 transformada z unilateral para resolver 474475 Equações de diferença lineares e não recursivas com coeficientes constantes 7374 Equações de diferença lineares recursivas com coeficientes constantes 7374 Equações diferenciais filtro passaaltas RC 144145 filtro passabaixas RC 143144 filtros de tempo contínuo descritos por 142145 lineares com coeficientes constantes Veja Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes 69 7073 192194 417418 condição de repouso inicial 7173 representação em diagrama de blocos das 7476 respostas naturais como soluções das 7172 soluções homogêneas e particulares das 71 transformada unilateral de Laplace para resolver 429430 Equalização 389 de canal 364 Equalizador zeroforcing ZF 389 Equalizadores circuitos 138 Espectro 167 209 Veja também Transformada de Fourier densidade de energia 180 220 Espectro de densidade de energia 180 201 220 Estabilidade 3033 sistemas de realimentação 512517 sistemas LIT 6768 412413 462463 Estabilização com realimentação 476479 Estágio intermediário de modulação IF 354 Euler L 104105 Expansão em frações parciais 541 sinais e sistemas de tempo contínuo e 542 sinais e sistemas de tempo discreto e 545 Exponenciais Veja Exponencial complexa Exponenciais complexas gerais 1314 1516 Exponenciais complexos harmonicamente relacionados 13 Exponenciais periódicosas complexosas 1113 109 Exponencial complexa geral 1314 harmonicamente relacionadas 20 tempo discreto propriedades de periodicidade 1620 F Fase angular ângulo do número complexo 45 Fase estendida 252 Fator de amortecimento 266267 Fator de escala de amplitude 286 Fenômeno de Gibbs 118 129 170 Filtragem definida 137 Filtro de resposta ao impulso infinita recursivo 74 282 Filtro casado 99101 161 Filtro elíptico 262263 Índice remissivo 563 Interconexão paralela 27 Interferência intersimbólica 361364 Interpolação 328 de banda limitada 309311 linear 309311 313 reconstrução por 309313 Interpolação de banda limitada 323 Interpolação linear 309311 313 Intersimbólica interferência 361364 Invariância do tempo 32 33 3436 47 Inversão da fase 316 Inversibilidade dos sistemas LIT 6667 J Janela de Hanning 243 Janela de tempo 243 Janela retangular 243 L Lacroix S F 106 Lagrange J L 104107 Laplace P S de 106 Limite da banda de passagem 261 Limite da banda de rejeição 261 Linearidade 3436 LIT Veja Sistemas lineares invariáveis no tempo LIT M Margem de fase nos sistemas de realimentação linear 512517 Média ponderada 147 Método de expansão em série de potências 453454 Michelson Albert 117 Misturador scrambler de voz 378379 Modelo de realimentação da dinâmica de populações 492494 Modulação Veja também Modulação em amplitude senoidal angular 365 banda larga 367369 de banda lateral dupla DSB 356 de fase 367 de tempo discreto 370372 definição 346 em frequência senoidal 345 364366 banda estreita 366367 sinal modulador periódico de onda quadrada 369370 percentual 352 por amplitude de pulso 360364 digital 364 interferência intersimbólica na 361364 por código de pulso 364 Modulação angular 365 Modulação de fase 365366 Modulação de frequência em banda estreita 366367 Modulação de frequência em banda larga 367369 Modulação de tempo discreto 370372 banda lateral única 356358 com portadora senoidal 347348 demodulação para 348353 assíncrona 350353 síncrona 348350 Modulação em amplitude senoidal 346348 Modulação em banda lateral dupla DSB 356 Modulação em frequência senoidal 345 364370 banda estreita 366367 banda larga 367369 sinal modulante de onda quadrada periódica 369370 Modulação percentual 352 Modulação por amplitude de pulso 360364 digital 364 interferência intersimbólica na 361364 Modulação por código de pulso 364 Modulação senoidal em amplitude de banda lateral única 356358 Módulo de número complexo 45 Monge G 106 Mudança de escala no domínio z 458459 472 Mudança de escala no tempo 6 7 série de Fourier de tempo contínuo 118121 série de Fourier de tempo discreto 131132 transformada de Fourier de tempo contínuo 165166 transformada de Fourier de tempo discreto 217218 transformada de Laplace 408409 unilateral 426 transformada z 458 unilateral 470471 Mudança no tempo e na frequência da transformada de Fourier de tempo contínuo 174175 Multiplexação definição 345 em quadratura 387 por divisão de frequência FDM 353355 por divisão do tempo TDM 360 361 Multiplexação em quadratura 387 Multiplexação por divisão de frequência FDM frequencydivision multiplexing 353355 portadora de exponencial complexa 346347 tempo discreto 370372 Multiplexação por divisão de tempo 360 Multiplicação por um coeficiente 75 Multiplicidades 92 N Nível dc 122 Números complexos 45 O Onda quadrada Veja Onda quadrada periódica Onda quadrada periódica de tempo contínuo 114 117118 123 165166 172173 de tempo discreto 129131 132 Oscilação da banda de passagem 261262 Oscilação da banda de rejeição 261262 Osciloscópio de amostragem 316 P Par de série de Fourier de tempo discreto 126 Pares da transformada de Fourier 179 tempo contínuo 183 tempo discreto 207 225 Parte imaginária coeficientes da série de Fourier 127 128 número complexo 45 Parte real coeficientes da série de Fourier 127 128 número complexo 45 Pêndulo invertido 488 Período de amostragem 306 Período fundamental 9 sinal periódico de tempo contínuo 112 sinal periódico de tempo discreto 124 Plano lateral esquerdo 397 Planta 494 Polinômios de Laguerre 440 Polos malha fechada 497 transformada de Laplace 394 Portadora trem de pulsos 358359 360 Posição angular do telescópio 486488 Potência dos sinais 45 180 Primeira diferença 21 132 Veja também Propriedade da diferenciação Primeiros componentes harmônicos 110 Problemas complementares 96 Processamento de imagem filtros diferenciadores para 139 representação da fase e 248249 Projeto de sistema inverso 489 Propriedade associativa dos sistemas LIT 6566 Propriedade comutativa dos sistemas LIT 64 Propriedade da aditividade 34 Propriedade da conjugação série de Fourier de tempo contínuo 120 série de Fourier de tempo discreto 131132 transformada de Fourier de tempo contínuo 176177 transformada de Fourier de tempo discreto 217 transformada de Laplace 410 unilateral 426 transformada z 459 unilateral 470471 Índice remissivo 565 sistemas de tempo discreto de segunda ordem 272 275276 Resposta ao degrau unitário dos sistemas LIT 69 Resposta ao estado nulo 429 Resposta ao impulso absolutamente integrável 68 absolutamente somável 68 associada ao atraso de grupo 251 filtro passabaixas ideal 186 222 filtro passabaixas ideal de tempo contínuo 259 filtro passabaixas ideal de tempo discreto 259 sistema de primeira ordem de tempo discreto 271272 sistema LIT causal 67 sistemas de segunda ordem 404407 sistemas de tempo discreto 271272 Resposta ao impulso unitário de tempo discreto 4856 Veja também Resposta ao impulso Resposta em frequência 134135 análise de sistemas LIT e 182 atraso em tempo contínuo 323 atraso em tempo discreto 323 cosseno levantado 376 diferenciador ideal de banda limitada em tempo contínuo 321 filtro de tempo discreto 322 filtro passaaltas 217 filtro passabaixas 217 ideal 184 ideal em tempo discreto 222 malha aberta 490 racional diagramas de Bode para 268270 sistema de primeira ordem 404 sistemas de segunda ordem 404405 sistemas LIT 248256 Resposta em frequência de cosseno levantado 376 Resposta em frequência de malha aberta 490 Resposta forçada 71 Respostas naturais 72 73 Retentor de ordem zero 307309 310 311 Retentores de ordem elevada 311 de ordem zero 307309 310 311 Retentores de ordem elevada 311 Ringing oscilação 258 266 S Semiplano lateral direito 397 Senoidais amortecidas 14 Sequência dc 133 Série de Fourier Veja também Filtros 104164 tempo contínuo 109124 combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas 109112 condições de Dirichlet 116 conjugação e simetria conjugada da 120 convergência da 115118 determinação da 112114 dualidade entre transformada de Fourier de tempo discreto e 227229 equação de análise da 113 equação de síntese da 112113 exemplos 122124 fenômeno de Gibbs 117118 129 onda quadrada 114 115 117 118 123 129 130 133 propriedade de deslocamento no tempo da 119120 propriedade de escala do tempo da 120 propriedade de linearidade da 119 propriedade de multiplicação da 120 propriedade de reflexão do tempo da 119120 relação de Parseval para 120121 121 tabela de propriedades 121 tempo discreto 124131 combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas 125 convergência da 129131 determinação da 125131 equação de análise da 126 equação de síntese da 126 propriedade da primeira diferença da 132 propriedade de multiplicação da 132 relação de Parseval para 132 tabela de propriedades 131 perspectiva histórica 104107 sistemas LIT e 134137 Série infinita de Taylor 162 Séries trigonométricas 105106 Simetria conjugada 120 121 131 176177 217 Sinais de entrada de banda limitada 320 Sinais de tempo contínuo amostragem dos 3 energia e potência dos 45 exemplos e representação matemática dos 14 Sinais de tempo discreto 124 amostragem dos 324329 decimação e interpolação 325329 trem de impulsos 306307 energia e potência dos 45 exemplos e representação matemática dos 14 Sinais exponenciais 1020 complexas de tempo contínuo 1014 complexas de tempo discreto 1420 reais 1415 15 Sinais exponenciais complexos gerais 15 Sinais exponenciais reais 10 1415 Sinais ortogonais 160 Sinais ortonormais 160 Sinais pares 121 série de Fourier de tempo contínuo 121 série de Fourier de tempo discreto 131 Sinais periódicos 79 Veja também Transformada de Fourier Série de Fourier Exponenciais periódicosas complexosas Sinais senoidais de tempo contínuo 79 de tempo discreto 9 potência dos 180 Sinais senoidais 1020 complexos de tempo contínuo 914 complexos de tempo discreto 1420 de tempo discreto 15 reais 1415 Sinal aperiódico 9 106 transformada de Fourier de tempo contínuo para 165168 transformada de Fourier de tempo discreto para 207209 Sinal bilateral 398399 Sinal de portadora 346 Sinal em tempo contínuo periódico harmônico ímpar 155 série de Fourier de tempo contínuo 121 série de Fourier de tempo discreto 131 sinais com simetria ímpar 910 Sinal lateral direito 397 Sinal lateral esquerdo 398 Sinal modulador 345 Sinal passafaixa 334 Sinal periódico harmônico ímpar 155 Sinalis 125 Veja também Sinais periódicos exponenciais e senoidais 1020 109 complexas de tempo contínuo 1014 complexas de tempo discreto 1420 reais 14 15 impulso unitário e Funções do degrau unitário 2025 amostragem do 34 324325 exemplos e representação matemática do 14 energia e potência do 45 tempo contínuo 2125 tempo discreto 2021 tempo discreto e tempo contínuo 15 transformação da variável independente 57 exemplos de 57 Sistema de malha aberta 486 Sistema de malha fechada 486 Sistema de média não causal 31 Sistema de média ou de medianização não causal 31 Sistema de realimentação de dados amostrados 493494 realimentação proporcional 491 realimentação tipo 1 539 Sistema de suspensão de automóveis análise de um 280282 Sistema identidade 29 Sistema LIT inverso 438 Sistema mecânico de amortecedor de mola e massa 491 Índice remissivo 567 passaaltas para passabaixas 295 passabaixas para passaaltas 295 Transformações de passaaltas para passabaixas 295 Transformações de passabaixas para passaaltas 295 Transformada bilateral de Laplace Veja Transformada de Laplace Transformada de Fourier 106 avaliação geométrica a partir do diagrama de polos e zeros 402408 454457 sistemas de primeira ordem 403404 455 sistemas de segunda ordem 404407 455457 sistemas passatudo 407408 inversa 167 170 rápida ou FFT fast Fourier transform 107 241 representação da fase e magnitude da 245248 Transformada de Fourier de tempo contínuo 165206 Veja também Transformada de Laplace bidimensional 205 condições de Dirichlet 168 183 convergência das 168169 de impulso unitário 169170 de um sinal aperiódico 165168 equação de síntese para 167 177 181 equações de análise 174 exemplos de 169171 fenômeno de Gibbs 170 função par 176 função ímpar 176 funções sinc 171 inversa 165 167 onda quadrada periódica simétrica 173 parte imaginária da 176 parte real da 176 propriedades de 174191 conjugação e simetria conjugada 176177 convolução 181186 deslocamento no tempo 175 diferenciação e integração 177178 dualidade 171 179180 linearidade175 mudança de escala no tempo e na frequência 178179 multiplicação 186189 relação de Parseval 180181 tabelas de 189191 sinais periódicos 171174 sinal pulso retangular 170 trem de impulsos 173174 Transformada de Fourier de tempo discreto 207244 desenvolvimento da 207209 equação de análise 209 223 equação de síntese 209 221222 exemplos de 209212 impulso unitário 212 problemas de convergência associados com 212 propriedades da 215221 conjugação e simetria conjugada 217 convolução 221224 deslocamento no tempo e deslocamento na frequência 216217 diferenciação e acumulação 217218 diferenciação na frequência 220 dualidade 227229 expansão no tempo 218220 linearidade 216 multiplicação 224 periodicidade 216 reflexão no tempo 218 relação de Parseval 220221 tabelas de 224226 pulso retangular 211212 sinais de duração finita 241 sinais periódicos 212215 transformada z e 432 trem de impulsos 212214 215 Transformada de Laplace 391441 bilateral 391 426 cálculo geométrico da 402408 sistemas passatudo 407408 sistemas de primeira ordem 403404 sistemas de segunda ordem 404407 caracterização e análise de sistema LIT usando a 412421 causalidade 413415 418 equações diferenciais lineares com coeficientes constantes 417418 estabilidade 415417 como função de sistema 413 418426 filtros de Butterworth 420421 interconexões dos sistemas LIT 422 representações por diagrama de blocos 422426 diagrama de polos e zeros da 395 399 402408 inversa 400402 pares de transformadas 412 polos da 394 propriedades da 408412 conjugação 410 convolução 410 deslocamento no domínio s 409 deslocamento no tempo 408409 diferenciação no domínio do tempo 410411 diferenciação no domínio s 411 escala no 409410 integração no domínio do tempo 411412 linearidade 408 tabela de 412 teoremas dos valores inicial e final 412 região de convergência das 393 394 395400 sinal bilateral 398 sinal lateral direito 397 398 sinal lateral esquerdo 398 399 400 transformada racional 399 representação no plano s da 393 394395 unilateral 426430 exemplos da 426427 propriedades da 427429 resolvendo equações diferenciais usando a 429430 zeros da 395 Transformada discreta de Fourier para sinais de duração finita 241 Transformada inversa de Fourier 165 167 Transformada inversa de Laplace 400 401 Transformada rápida de Fourier FFT 107 241 Transformada de Laplace unilateral 426430 exemplos de 426427 propriedades da 427429 resolvendo equações diferenciais usando a 429430 Transformada z 442485 análise e caracterização dos sistemas LIT usando 462467 causalidade 463 equações de diferença lineares com coeficientes constantes 465 estabilidade 463464 avaliação geométrica da 454457 sistemas de primeira ordem 455 sistemas de segunda ordem 455457 bilateral 442 470471 definição 442 diagramas de polos e zeros 454457 função de sistema 463467 para interconexões de sistemas LIT 467 representações em diagrama de blocos 467470 inversa 451454 exemplos de 5156 pares da transformada z 462 464 propriedades da 457462 conjugação 459 convolução 459460 deslocamento do tempo 458 diferenciação no domínio z 460461 escala no domínio z 458459 expansão do tempo 459 linearidade 457458 reflexão no tempo 459 tabela de 461 teorema do valor inicial 461462 região de convergência para 443 444 446451 centrado na origem 446 limitada pelos polos ou infinidade 449 sequência bilateral 449 sequência de duração finita 446 sequência lateral direita 447 448