Análise de Respostas de Sistemas Dinâmicos de Primeira Ordem

Sistemas de primeira ordem Respostas tipicas Considere alguns exemplos de sistemas dindamicos estudados e suas respostas Para poder comparar as respostas vamos considerar uma mesma entrada do tipo degrau Exemplo 1 Seja o tanque da ilustragdo abaixo em que ht é0 nivel e a vazdo qi t 6 a entrada ut do sistema com a13e 6 07 Seu modelo é dado pela EDO a seguir q SE ZIN d Pde PDKEF Ss a A 2 A resposta ht para uma entrada tipo degrau ut 05 ms para h0 0 é dada abaixo Bh Gu Exemplo 2 Considere a dindmica longitudinal do veiculo ilustrado na figura a seguir cuja forca resistiva é do tipo viscosa A equacdo do movimento é dada por ft vt 20t Seja entado uma forca tipo degrau ft 1 N para v0 0 A velocidade vt 0 é dada a seguir Note que nos dois exemplos a resposta tem aspecto exponencial Isto também ocorre para a saída de outros sistemas tais como velocidade de um motor de corrente contínua a temperatura de um forno etc Essa constatação induz a considerarmos que deve haver uma função de transferência geral para sistemas cuja resposta ao degrau é do tipo exponencial Se isto for possível os parâmetros da função de transferência poderão ser identificados a partir de dados experimentais e o sistema será modelado sem a necessidade de um procedimento fenomenológico tais como aqueles que usam a lei de Newton para sistemas mecânicos A função de transferência que possui essa característica tem a seguinte estrutura e é denominada de função e transferência de primeira ordem pois só apresenta um polo ou seja o polinômio do denominador é de primeira ordem 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝜏𝜏 𝑠𝑠 1 Para comprovarmos que essa função é adequada para representar sistemas cuja reposta ao degrau é do tipo exponencial vamos aplicar um sinal 𝑢𝑢𝑡𝑡 0 1 Consultando a tabela de pares de Laplace 𝒇𝒇𝒕𝒕 𝟎𝟎 𝑭𝑭𝒔𝒔 degrau unitário 1 1 𝑠𝑠 obtemos 𝑈𝑈𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 Pela propriedade da função de transferência podemos calcular sua saída fazendo 𝑌𝑌𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑠𝑠𝑈𝑈𝑠𝑠 𝑌𝑌𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑠𝑠𝜏𝜏 𝑠𝑠 1 ut yt que pode ser reescrita como k s ee s ss1 T ss4 Consultando a tabela de pares para a 1 ft 0 Fs 1 1 at to a e ss a OU seja yio2 Fae T 1 Simplificando yt 0 k1e 7 que é a expressdo analitica da safda yt para uma entrada ut degrau unitario e que resulta de fato exponencial ilustrada com os seguintes dados kg 2 Tau 4 h t kg1exptTau t 00012 plottht Note que a funcdo de transferéncia de primeira ordem k Gs s TSs1 necessita de apenas dois parametros kgT para ser completamente definida Determinacdado experimental da funcao de transferéncia de primeira ordem Considere uma entrada tipo degrau ut 0 A cujo grafico é ilustrado abaixo A o 0 t Com Us areposta Ys GsUs resuta Ak k 1 Ys a sts1 T ss1 Consultando a tabela de pares obtemos yt 0 Ak1e cujo grafico é ilustrado abaixo Akg 0 0 t Note que yt Akg e claro ut 00 A Logo kg pode ser determinado pelos valores de regime permanente yt Kg ut Como o valor de A é conhecido e uma vez obtido o valor de Kg podese determinar o valor de t por meio da expressdo analitica yt A k4 e t dispondose de um par de valores t yt para qualquer valor durante o transitdrio 0 t 0 No caso de maior interesse esse par de valores sera obtido experimentalmente ou seja 6 o valor medido de saida em um determinado instante Vale lembrar que os sinais obtidos em experimentos sao normalmente corrompidos por ruidos de medida como ilustrado na figura a seguir 0 Por causa da presenca de ruidos 6 dificil discriminar a amplitude do sinal e o tempo correspondente principalmente quando estamos nos aproximando do regime permanente O instante de tempo normalmente utilizado é t 1 pois ytt Ak1e Ake7 yt Akg 036787944117 063212055883 Ak yt 063 Ak Ou seja um ponto que é bem discriminado na resposta mesmo na presenga de ruidos moderados e permite que o valor de T seja obtido sem necessidade de calculos como ilustra a figura a seguir Akg pnatnnns nnn nen enna nnn nnten nina aden n dened nne dane ene n nen penet ene tanndanndanndencdssccesscenssees O63 Akg 5555 0 fot ns k Em resumo seja uma fungao de transferéncia de primeira ordem Gs candidata a representar um sistema Seus parametros kgt podem ser determinados por meio de um experimento com o sistema real submetido a uma entrada degrau de amplitude A cuja a saida tem caracteristica exponencial por meio de yt kg ut Tt y 63 do valor final Constante de tempo T O parametro t é denominado constante de tempo do sistema e esse parametro 6 uma métrica da lentidao da reposta ao degrau pois quanto maior a constante de tempo mais tempo deve passar até que a resposta atinja 63 do valor final Note que o polo da funcao de transferéncia é A 1 Tempo de acomodacao A resposta de sistemas de primeira ordem é assintotica ou seja o valor final s6 é atingido para t oo Nos casos praticos costumase considerar que quando o sistema chega perto do valor final o sistema ja acomodou Em circuitos elétricos comum se usar o critério de 1 mas para as demais aplicacdes tipicamente se usa o critério de 2 ou seja dizse que o sistema acomodou quando sua resposta a uma entrada ao degrau atinge 98 do seu valor final no instante t tg conforme ilustragdo a seguir Akg 098 Akg I I I I I I 1 I I I I I I I I 0 I v 0 i toc i latetatet altel telat alee telat tal ale ale telat atlas tale tala late arta tale tal ae tate alte tat arat ater I I O instante de acomodacado t tg para o critério de 2 pode ser calculado pela expressdo de yt tac yt tac 098Aky Akg1e tac e t002 tg 3912t Lembrese que se o gráfico da resposta 𝑦𝑦𝑡𝑡 for obtido experimentalmente tipicamente será corrompido por ruídos inviabilizando a medição do tempo de acomodação conforme ilustração a seguir O que se faz então é estimar a constante de tempo 𝜏𝜏 e dai calcular 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 4𝜏𝜏 Observação Note que o método de identificação se sistemas de primeira ordem se presta também para a identificação de modelos aproximados de modelos mais complexos e para a redução de ordem de modelos Exercício Considere o sistema de aquecimento de líquido por meio de vapor da figura a seguir cujas vazões de entrada e de saída são idênticas A temperatura de entrada do líquido é Tit e a de saída é Tt a mesma do interior do tanque pois há uma agitação perfeita do líquido A vazão de vapor pode ser alterada pela abertura ut da válvula 0 a 100 Ao invés de usar uma modelagem fenomenológica um engenheiro mecânico decidiu identificar a função de transferência aproximada do sistema por meio de ensaios experimentais e aplicou um sinal de teste ut do tipo degrau de amplitude 10 10 de abertura e registrou o comportamento de Tt conforme o gráfico abaixo cujo ruído presente é devido ao sensor Responda os itens de a a d 90 i open pocponfenfonfoating Freon rb suena von vm sven voc nn sss rnp sos 2 65 pee fh tes ets monn nn fener o 40 oy pope pepe ee epee nner poe 20 be fries eon te pega estan ommannnnnn nnn jenna 10 Fontenot vapor 0 3 Spb PF FF EE 3 3 3 5 012345678910 15 20 25 30 35 40 45 50 Tempo ts a Escreva a funcdo de transferéncia que pode representar o modelo desse sistema supondo que sua dinamica é bem caracterizada por um sistema linear de 12 ordem k Gg Gs s TS1 b Determine os pardmetros dessa funcdo de transferéncia com base nos dados do ensaio k yt o 100 I uto 10 e Tt 5s c O tempo de acomodacao pelo critério de 2 tac 4T 205 d A resposta simulada do sistema yt 0 Ak1e yt 0 1001e s Observacao Depois de identificados os pardmetros kt da fungdo de transferéncia devese fazer a validacdo 9g do modelo por meio da comparacao da reposta experimental com a resposta simulada