Resumo - Input-output e Função de Transferência - 2024-1

Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 1 1 INTRODUÇÃO Veremos, agora, dois outros tipos de representação do modelo matemático de um sistema dinâmico: (1) Representação por Equação I/O (Input/Output = Entrada/Saída) (2) Representação por Função de Transferência 2 REPRESENTAÇÃO POR EQUAÇÃO I/O Trata-se da representação do modelo matemático do sistema por uma só EDOL, na qual, no lado direito da equação aparece a entrada e suas derivadas temporais e, no lado esquerdo, a saída e suas derivadas temporais. No caso mais geral, teremos: u b u b ... b u b u a y y a ... a y y m . m 1 (m 1) 1 (m) 0 n . n 1 (n 1) 1 (n) + + + + = + + + + − − − − m ≤ n (1) onde ai (i = 1, 2, ..., n) e bk (k = 1, 2, ...,m) são coeficientes constantes u(t) é a entrada y(t) é a saída Para um sistema com apenas um grau de liberdade, a obtenção da equação I/O é bastante natural. Por exemplo, para o sistema m-c-k padrão, o modelo matemático é dado pela EDOL de 2a ordem f(t) mx cx kx . .. = + + (2) que, após divisão pela massa m, constitui um caso particular bastante simplificado da eq. (1). Entretanto, quando o sistema tem vários graus de liberdade, torna-se bastante complicado “fundir” todas as equações diferenciais em uma só equação, com a forma da eq. (1). Isso se deve ao fato de que, na maioria dos casos, as coordenadas generalizadas estão acopladas, ou seja as próprias coordenadas e suas derivadas aparecem simultaneamente em 03 Representação De Modelos de Sistemas Dinâmicos: - Equação Input-Output (I/O) - Função de Transferência Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 2 algumas das equações que constituem o modelo matemático. Para suplantar essa dificuldade podemos usar um enfoque alternativo que usa a transformada de Laplace: Exemplo 1: Obter a equação I/O correspondente ao modelo dado pela eq. (2), considerando f(t) como entrada e o deslocamento x(t) como saída. Solução No caso, y = x e u = f(t), logo a equação I/O fica u(t) my c y ky . .. = + + , ou m f(t) 1 m x k m x c x . .. = + + . Portanto, n = 2, m = 0, a1 = c/m, a2 = k/m e b0 = 1/m. Exemplo 2: Obter a equação I/O correspondente ao modelo de um sistema mecânico com 2 GDL, dado pelas EDOL’s abaixo, considerando como entrada f(t) e como saída o deslocamento x1(t). f(t) x ) k (x x ) c (x x m 0 x ) k (x k x x ) c (x c x x m 1 2 2 1 . 2 . 2 2 .. 2 1 2 2 1 1 1 . 2 . 2 1 . 1 1 .. 1 = − + − + = − − + − − + Solução Como agora são 2 GDL, devemos aplicar a estratégia acima: (1) Tomando as transformadas de Laplace e organizando em forma matricial:     =               + + − − − − + + + + F(s) 0 X (s) (s) X k c s m s k c s k c s k k c )s (c s m 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 (2) Como a saída é x1, aplicamos a regra de Cramer para obter X1(s): Estratégia: (1) Tomar a transformada de Laplace de cada uma das equações diferenciais, considerando condições iniciais nulas (sistema inicialmente em repouso), obtendo, assim, um conjunto de equações algébricas em termos das transformadas das coordenadas; (2) Eliminar as variáveis que não representam a entrada e a saída, através de métodos algébricos, tais como a Regra de Cramer, de modo a obter uma só equação em termos das transformadas da entrada e da saída; (3) Finalmente, levar essa equação para o domínio do tempo e interpretá-la como uma equação diferencial na forma da eq. (1). Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 k c s m s k c s k c k k c )s (c s m k c s m s F(s) k c s 0 (s) X + + − − + − + + + + + + − − = Calculando os determinantes e após manipulações algébricas, obtemos {m1m1s4 + [m1c2 + m2(c1 + c2)]s3 +[ m1k2 + c1c2 + (k1 + k2)m2]s2 + (c2k1 + c1k2)s + k1k2} X1(s) = = (c2s + k2)F(s) (3) Voltando ao domínio do tempo: c f k f k k x c k )x c k ( k )m ]x (k c c [m k c )]x m (c [m c x m m 2 . 2 1 1 2 1 . 1 2 1 2 1 .. 2 2 1 1 2 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 4) ( 2 1 + = + + + + + + + + + + + a qual está na forma de equação I/O dada pela eq. (1). Portanto, obtivemos uma EDOL que relaciona apenas a entrada f(t) e a saída x1(t). Entretanto, o sistema de duas equações diferenciais de 2a ordem foi transformado em uma só EDOL de 4a ordem. Vemos que uma equação I/O fornece um relação entre uma entrada e uma saída, o que é o caso de sistemas SISO (Single Input Single Output = Simples Entrada Simples Saída). Contudo, para sistemas MIMO (Multi Input Multi Output = Múltiplas Entradas Múltiplas Saídas), existirá uma equação I/O para cada par de entrada e saída. Assim, se no exemplo 2 tivéssemos uma entrada f(t) e duas saídas x1(t) e x2(t), teríamos então duas equações I/O, uma relacionando f(t) e x1(t) e outra relacionando f(t) e x2(t). Em geral, portanto, se tivermos p entradas e q saídas, teremos p x q equações I/O. 3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA Consideremos, novamente, a eq. (1). Definimos Função de Transferência do sistema, G(s), como sendo a razão da Transformada de Laplace da saída (resposta) para a Transformada de Laplace da entrada (excitação), considerando condições iniciais nulas (sistema inicialmente em repouso): U(s) c.i. nulas Y(s) G(s) = (3) Evidentemente, para determinar funções de transferência de sistemas dinâmicos temos que ter à mão tabelas com as transformadas de Laplace mais conhecidas. Como subsídio, podemos utilizar os quadros 1 e 2, apresentados no final desta nota de aula. Para o caso geral da eq. (1), podemos aplicar a transformada de Laplace na mesma e obter a função de transferência do sistema: n n 1 n 1 1 n m m 1 1 m 0 c.i . nulas a s a ... a s s b ... b s b s U(s) G(s) Y(s) + + + + + + + = = − − − (4) Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 4 Exemplo 3: O modelo matemático de sistemas mecânicos com 1 GDL com apenas uma massa m, uma mola k e um amortecedor c é dado pela EDOL )t(f c x kx m x . .. = + + onde x(t) é a resposta no tempo e f(t) é a excitação. Achar a função de transferência. Solução Transformada de Laplace da EDOL (usando a Tab. 2), para condições iniciais nulas: (ms2 + cs + k)X(s) = F(s) Pela definição de Função de Transferência: F(s) c.i. nulas X(s) G(s) = Logo: G(s) = k cs ms 1 2 + + Podemos aplicar o método da Transformada de Laplace para resolver a eq. (4), ou seja, para achar a resposta no tempo do sistema, calculando antes a função de transferência G(s) e colocando a eq. (4) na forma Y(s) = G(s)U(s) (5) que pode ser ilustrada pelo diagrama de blocos da fig. 1: Fig. 1 Diagrama de Blocos A resposta do sistema no domínio do tempo é obtida através da aplicação da transformação inversa de Laplace na eq. (5): y(t) = L-1[G(s)U(s)] (6) As transformadas inversas podem ser buscadas nas tabelas de transformadas de Laplace, como as apresentadas a seguir. Em geral, antes de usar as tabelas, é necessário fazer o desenvolvimento do membro direito da eq. (6) em frações parciais pelos métodos usuais. Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 5 Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 6 Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 7 EXERCÍCIOS 1 Considere um sistema mecânico rotacional cujo modelo matemático é dado pelas EDOL’s 0 2K K J T(t) K 2K J 2 1 2 .. 2 1 1 .. = θ − θ + θ = θ − θ + θ e que T(t) é a entrada e θ2(t) é a saída. Sendo J = 1 kg.m2, achar a equação I/O para esse sistema. Resp.: KT(t) 3K 4K 2 2 2 .. 2 (4) = θ θ + + θ 2 O modelo matemático do sistema mecânico da fig. 1 é dado por ky c y kx c x mx . . .. + = + + , onde x(t) é a resposta no tempo e y(t) é a excitação do tipo deslocamento da base. Achar a função de transferência. Resp.: G(s) = k cs ms k cs 2 + + + 3 A fig. 2 representa um sistema mecânico com dois graus de liberdade, x1(t) e x2(t). O modelo matemático é dado pelo sistema de EDOL's )t( f kx kx c x c x x m )t( f kx kx c x c x x m 2 2 1 2 . 1 . 2 .. 2 1 2 1 2 . 1 . 1 .. 1 = + − + − = − + − + onde f2(t) = 0. Considerando f1(t) como entrada e x1(t) e x2(t) como saídas, achar as funções de transferência X1(s)/F1(s) e X2(s)/F1(s). Resp.: 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 k) (cs k) cs k)(m s cs (m s (s) onde (s) k cs F (s) X (s) (s) G (s) k cs m s F (s) X (s) (s) G + − + + + + = ∆ ∆ + = = ∆ + + = =