Análise de Sistemas de Segunda Ordem: Polos e Respostas

Sistemas de segunda ordem Os sistemas de primeira ordem a ndo representam adequadamente sistemas cuja resposta ao degrau exibe oscilagdes amortecidasb Os sistemas de primeira ordem também nao representam bem os sistemas cuja resposta ao degrau tem um inicio suave de transitorio c wo fo a b c Para casos como esses costumase utilizar uma funcdo de transferéncia de segunda ordem do tipo a seguir pois sua resposta ao degrau pode produzir os aspectos b e c de acordo coma escolha dos seus trés parametros 2 Gs k k k Kgn S TT eX aaa s2as w2 s a wi s 20wnS w2 s 2wns w2 em que WW frequéncia natural ndo amortecida rads Wa frequéncia natural amortecida rads sendo wg w a a coeficiente de amortecimento sendo a Wy grau de amortecimento k constante de ganho kg constante de ganho de frequéncia nula Polos dos sistemas de segunda ordem Para obter seus polos Igualamos o polindmio do denominador de Gs a zero ou seja s2aswz 0 Obtemos entao Sy2 at J aaf Dependendo dos valores de 𝛼𝛼2 e 𝜔𝜔𝑛𝑛2 as raízes serão Reais ou Complexas e existirão três casos distintos a Se 𝛼𝛼2 𝜔𝜔𝑛𝑛2 ou seja se 𝜻𝜻 𝟏𝟏 o sistema apresentará dois polos reais e distintos e denominase de sistema de segunda ordem superamortecido ou simplesmente sistema superamotecido b Se 𝛼𝛼2 𝜔𝜔𝑛𝑛2 ou seja se 𝜻𝜻 𝟏𝟏 o sistema apresentará dois polos reais e iguais e denominase de sistema de segunda ordem com amortecimento crítico ou simplesmente sistema crítico c Se 𝛼𝛼2 𝜔𝜔𝑛𝑛2 ou seja se 𝟎𝟎 𝜻𝜻 𝟏𝟏 o sistema apresentará dois polos complexos conjugados e denominase de sistema de segunda ordem subamotecido ou simplesmente sistema subamotecido Note que 0 𝜁𝜁 pois estamos considerando apenas sistemas estáveis Sistemas de segunda ordem superamortecidos 𝜻𝜻 𝟏𝟏 Sistemas com essa característica têm dois polos Reais e distintos 𝑎𝑎 𝑏𝑏 conforme ilustração a seguir por meio do diagrama de polos e zeros de 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝑘𝑘 𝑠𝑠2 2𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛2 ou 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑏𝑏 Obs o valor do ganho de frequência nula é 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑏𝑏 A resposta 𝑦𝑦𝑡𝑡 corresponde a resposta de dois sistemas de primeira ordem em série Considere então uma entrada tipo degrau 𝑢𝑢𝑡𝑡 𝐴𝐴 para 𝑡𝑡 0 A saída pode ser obtida por 𝑌𝑌𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑠𝑠𝑈𝑈𝑠𝑠 I X X ht ut yt Consultando a tabela de pares de Laplace paraut A ft 0 Fs es 1 degrau unitario 7 Ss obtemos s k A Ss a stastb s Consultando a tabela de pares de Laplace para este Ys ft 0 Fs 1 1 oat 4 em to ab ba ba ss as b Obtemos Ak b a b a t0 1 e N ae Ak 1 e N ae y ab ba ba g ba ba Ou seja a resposta tem duas componentes exponenciais sendo que uma acelera mais 0 tempo que a outra ja que os valores de ae b sao distintos A parcela mais rapida é aquela que suaviza o inicio da resposta enquanto que a mais lenta domina o aspecto da reposta transitoria Q A questdo é como determinar os valores dos pardmetros da fungdo de transferéncia Gs a partir dos dados experimentais da resposta yt a uma entrada tipo degrau Tal como para sistemas de primeira ordem a medida do valor final da saida dividido pela amplitude A do degrau de entrada aplicado resulta no valor de Kg yt Kg ut Para se determinar os valores de a e b podemos utilizar pontos do grafico de yt Porém essas medidas deve ser feitas em pontos da resposta que podem ser bem discriminados Uma possibilidade é escolher dois instantes correspondentes a 30 e 80 do valor final da resposta yt 03Ak Ak 1 Penats 4 et 1 g 9 ba ba yty 08Ak Ak 1 Pgnate 4 et 2 9 9 ba ba Dificilmente a solucdo do sistema sera exata entdo devese formular um problema de otimizacgdo que busca pelos valores a e b que minimizam a soma dos erros quadraticos da estimativa Vale dizer que mais pontos poderiam ser utilizados na otimizacao resultando em J e ef e2 No exemplo min ef e onde b a e 031 e et 1 ba ba e 08 1 pO ete 7 eb 2 ba ba Exemplo Considere a seguinte resposta de um sistema a uma entrada degrau unitario e determine a funao de transferéncia de segunda ordem superamortecida que pode representar aproximadamente o sistema 1 i fi 3 i A 2 4 i cs i iS i igh 5 4 S 08 4 4 i a a 3 4 4 i é a a H t 2 3 07 4 e 4 4 de it rs i 4 is 4 a aS i é z 06 wi ir 2 si a i FS i 3 is é 4 3 i a i a 04 02 i i i z t z 2 4 3 01 i ds f 4 i i is 4 i é 4 4 é i i i ou ad 005115 225335445 555665775 8 85 9 95 1010511 115 12 125 13 135 14 145 15 155 16 165 17 175 18 185 19 195 20 Paray 03Ak t 2sParay 08Ak tz 6s X fminuncsuper 4 1 function J superx a x1 b x2 tl 2 t2 6 e 31bexpat1baaexpbt1ba 81bexpat2baaexpbt2ba J e12 e22 end A funcgdo fminnc realiza a minimizacdo da funado J para uma estimativa inicial arbitrariaa 4eb 1 O resultado da otimização é X 10143 03338 Ou seja os valores 𝑎𝑎 10143 e 𝑏𝑏 03338 Também sabese que a função de transferência procurada possui 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑦𝑦𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑡𝑡 1 logo 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑏𝑏 03386 s2 1348s 03386 Para validar o modelo plotase a resposta de 𝐺𝐺𝑠𝑠 vermelho a um degrau unitário sobre a curva experimental azul Sistemas de segunda criticamente amortecidos 𝜻𝜻 𝟏𝟏 Sistemas com essa característica têm dois polos Reais e iguais 𝑎𝑎 𝑎𝑎 conforme ilustração a seguir por meio do diagrama de polos e zeros de 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝑘𝑘 𝑠𝑠2 2𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛2 ou 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑎𝑎2 Obs o valor do ganho de frequência nula é 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑘𝑘 𝑎𝑎2 I XX A resposta yt corresponde a resposta de dois sistemas idénticos de primeira ordem em série ut k At 1 yt sa s a Considere entdo uma entrada tipo degrau ut A parat 0 A saida pode ser obtida por Ys GsUs Consultando a tabela de pares de Laplace paraut A ft 0 Fs es 1 degrau unitario 7 Ss obtemos s k A s sta s Consultando a tabela de pares de Laplace para este Ys ft 0 Fs 1 at te a e so az ss a obtemos Ak at at yt 20 7 1 at1e Ak 1 at1e Note que um procedimento analogo ao que foi feito para os sistemas superamortecidos pode ser feito para se identificar o parametros kg e a da fungao de transferéncia do sistema criticamente amortecido Entretanto como buscamos aproximacgdes a mesma rotina de otimizacdo de sistemas superamortecidos pode ser usada para se determinar a funcdo do sistema supostamente critico pois os polos encontrados serdo naturalmente proximos um do outro Sistemas de segunda ordem subamortecidos 0 7 1 Os sistemas de segunda ordem de maior interesse sdo os subamortecidos Sistemas com essa caracteristica tem dois polos Complexos Conjugados s 2 a jWq conforme ilustracdo a seguir por meio do diagrama de polos e zeros de Gs Im k Koo jWq G Ss earX Wn s s 20wnS w2 Q Re ou k a1 Gs s s aw2 TTT S STS TST JWq ns k Obs o valor do ganho de frequéncia nula é ky oe Considere uma entrada tipo degrau ut A parat 0a saida pode ser obtida por Ys GsUs A ut k yt sta 04 0 Ou seja Ak Ak s s staa3 s s2lonst wh Consultando a tabela de pares de Laplace obtemos On at yt20 Ak 1e sen wat Wa onde Ww d atan 4 a Considere o esboco da resposta tipica de um sistema subamortecido de segunda ordem a uma entrada degrau de amplitude A T ent I I Me LIN 2 he Akg Wn ene nnn 1 4 1 I I 1 I I 1 I I 1 I I 1 I I I I I I I I I I I I i I I I I I i I I I I I i I I I I i I I o f f yp fac A partir da expressdo analitica da resposta ao degrau podese determinar suas caracteristicas notaveis Instante de pico t nstante de pico oa s 7 on 21 Pseudo periodo de oscilagdo T m s d 4 Tempo de acomodagao para o critério de 2 tg a s a 7r c2 Maximo sobressinal Mp 100e ne3 100e yrs m Tempo de subida s Od Com base nas formulas das caracteristicas notaveis da resposta de sistemas de segunda ordem superamortecidos podese esbocar a resposta ou ao contrario determinar a fundo de transferéncia Exemplo Dada a funcgdo de transferéncia Gs esboce sua resposta a um entrada tipo degrau unitario Gs 25 s s6s25 Reescrevendo C 25 25 syT Fs s s6s25 s 23s 52 Identificase k25 Wn 5 a3 Que permite calcular os valores notaveis que ajudam o esboco V2 py Wg wz a 4 rads 11 Tt 1 3 i tp 078 s Wd 09 i ee 9 08 ieoned i 1 T a 157 S O7 06 4 MN tac 1335 05 Poche aed fececbennd Feed 04 cr Mp 100e a 95 a eee T atan122 01 t 055s 0 a 0 01 02 03 04 05 06 O07 08 O9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 Exemplo Considere a resposta abaixo de um sistema Determine a fungdo de transferéncia de segunda ordem Gs que pode representar aproximadamente este sistema Sabese que a resposta foi obtida por meio da aplicacdo de uma entrada tipo degrau de amplitude unitaria 14 13 h i a i é i 2 A b Q 12 perme freeform 1 2 2 k i 4 i i A A i Hl fi O07 j t 05 Oo 01 02 03 04 05 06 O7 08 09 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 Do grafico do experimento podese estimar os valores abaixo porém é inviavel medir tg tp 05s e Ytp y 1251 Mp Pt 100 100 25 yo 1 it A partir det oa obtémse Wq 628 rads a 25 obté Como Mp 100e a obtémse a 227 Que permite estimar 144 to 1445 ac a Com a amplitude do degrau de entrada e com o valor de regime permanente da saída podese calcular o ganho de frequência nula 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑦𝑦𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑡𝑡 1 1 1 A partir de 𝛼𝛼 e 𝜔𝜔𝑑𝑑 calculase 𝜔𝜔𝑛𝑛2 𝜔𝜔𝑑𝑑 2 𝛼𝛼2 4711 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑𝑠𝑠 Como 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑘𝑘 𝜔𝜔𝑚𝑚2 𝑘𝑘 𝜔𝜔𝑚𝑚 2 4711 Obtemos então a função de transferência 𝐺𝐺𝑠𝑠 4711 𝑠𝑠2 554𝑠𝑠 4711 Vamos validar o modelo plotando a resposta de 𝐺𝐺𝑠𝑠 a um degrau unitário e comparando com o experimento s tfs G 4711s2 554s 4711 stepG25