Dinâmica do Ponto Material: Teoremas Gerais - Rev02

Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 1 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 2 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Introdução Teaching with style Mechanical Energy Conservation httpswwwyoutubecomwatchvmhIOylZMg6Qfeatureemblogo Objetivos Revisão dos teoremas gerais da dinâmica Aplicação vetorial nos teoremas gerais Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 3 Quantidade de movimento Vetor quantidade de movimento Ԧ𝑓𝑅𝑒𝑠 𝑚 Ԧ𝑎 𝑄 𝑚 Ԧ𝑣 𝑑𝑄 𝑑𝑡 𝑑 𝑚 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑄 𝑑𝑡 𝑑𝑚 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 𝑚 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 ሶ𝑄 ሶ𝑚 Ԧ𝑣 𝑚 ሶԦ𝑣 0 ሶ𝑄 𝑚 Ԧ𝑎 Segunda Lei de Newton ሶ𝑄 Ԧ𝑓𝑅𝑒𝑠 Se a resultante das forças que agem em um ponto for nula a quantidade de movimento se conserva Derivando o vetor quantidade de movimento obtêmse A derivada do vetor quantidade de movimento do ponto P é igual à resultante das forças que agem neste ponto Ԧ𝑓𝑛 Ԧ𝑓2 Ԧ𝑓𝑖 Ԧ𝑓1 Ԧ𝑓𝑅𝑒𝑠 Ԧ𝑓1 Ԧ𝑓2 Ԧ𝑓𝑖 Ԧ𝑓𝑛 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 4 ሶ𝐻𝑂 Ԧ𝑣 𝑚 Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 𝑚 ሶԦ𝑣 Momento angular Momento da quantidade de movimento 𝐻𝑂 Ԧ𝑟 𝑚 Ԧ𝑣 𝑑𝐻𝑂 𝑑𝑡 𝑑 Ԧ𝑟 𝑚 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝐻𝑂 𝑑𝑡 𝑑Ԧ𝑟 𝑑𝑡 𝑚 Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 𝑑𝑚 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 𝑚 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 0 𝐻𝑂 Ԧ𝑟 𝑄 Derivando o vetor momento angular obtêmse 0 ሶ𝐻𝑂 Ԧ𝑟 𝑚 Ԧ𝑎 Ԧ𝑟 Ԧ𝑓𝑅𝑒𝑠 ሶ𝐻𝑂 𝑀𝑂 ሶ𝐻𝑂 𝑀𝑂𝑅𝑒𝑠 ሶ𝐻𝑂 Ԧ𝑟 Ԧ𝑓1 Ԧ𝑓2 Ԧ𝑓𝑖 Ԧ𝑓𝑛 ሶ𝐻𝑂 𝑀𝑂𝑓1 𝑀𝑂𝑓2 𝑀𝑂𝑓𝑖 𝑀𝑂𝑓𝑛 Se o momento da força resultante for nulo o momento angular se conserva A derivada do momento da quantidade de movimento momento angular do ponto P é igual ao momento da força resultante em relação a O Ԧ𝑓𝑛 Ԧ𝑓2 Ԧ𝑓𝑖 Ԧ𝑓1 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 5 Ԧ𝑟 𝑡 Trabalho 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න 𝑡0 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 Quantidade escalar Possui módulo e sinal mas não direção Se a força 𝑭 tem mesma direção e sentido do vetor 𝒅𝒓 o trabalho é positivo e é igual ao produto dos módulos dos vetores Se a força 𝑭 tem mesma direção e sentido oposto ao vetor 𝒅𝒓 o trabalho é negativo e é igual ao produto dos módulos dos vetores Se a força 𝑭 é perpendicular ao vetor 𝒅𝒓 o trabalho é igual a zero 𝑑Ԧ𝑟 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑑Ԧ𝑟 𝑑𝑡 Ԧ𝑣 Ԧ𝐹 Ԧ𝑟 𝑡 𝑡 𝑑Ԧ𝑟 𝑑Ԧ𝑟 Ԧ𝑟 𝑡 𝑡 Ԧ𝑟 𝑡 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 6 Potência É definida como a quantidade de trabalho realizado por unidade de tempo 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න 𝑡0 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 Quantidade escalar 𝑃 𝑑𝑊 𝑑𝑡 𝑃 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 𝑡 Ԧ𝑟 𝑡 𝑡 Ԧ𝐹 𝑑Ԧ𝑟 𝑑Ԧ𝑟 Ԧ𝑟 𝑡 𝑡 Ԧ𝑟 𝑡 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 7 Exercício 1 Considere um bloco de massa 𝑚 2 𝑘𝑔 ilustrado abaixo Uma força Ԧ𝐹 10Ԧ𝑖 10Ԧ𝑗 𝑁 é responsável por manter o bloco se movimentando com velocidade constante de Ԧ𝑣 05Ԧ𝑖 𝑚𝑠 Determine a potência exercida pela força Ԧ𝑣 05Ԧ𝑖 𝑚𝑠 Ԧ𝐹 10Ԧ𝑖 10Ԧ𝑗 𝑁 𝑃 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑚 2 𝑘𝑔 𝑃 10Ԧ𝑖 10Ԧ𝑗 05Ԧ𝑖 𝑃 10 05 1 10 05 0 𝑃 5 𝑊 𝑃 10 05 Ԧ𝑖 Ԧ𝑖 10 05 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 8 Energia cinética EC 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න 𝑡0 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑚 Ԧ𝑎 Ԧ𝑣 Ԧ𝑎 ሶ𝑣Ԧ𝑡 𝑣2 𝜌 𝑛 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑚 ሶ𝑣Ԧ𝑡 𝑣2 𝜌 𝑛 𝑣Ԧ𝑡 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑚 ሶ𝑣 𝑣 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 න 𝑡0 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 න 𝑣 𝑡0 𝑣 𝑡𝑓 𝑚 𝑣 𝑑𝑣 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 อ 𝑚 𝑣2 2 𝑣0 𝑣𝑓 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 𝑚 𝑣𝑓2 2 𝑚 𝑣02 2 Definindo 𝐸𝐶 𝑚 𝑣2 2 Teorema da energia cinética 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 𝐸𝐶 𝑡𝑓 𝐸𝐶 𝑡0 A variação da energia cinética de um ponto material entre duas posições quaisquer do movimento é igual ao trabalho das forças atuantes sobre ele durante este deslocamento Ԧ𝑣 𝑣Ԧ𝑡 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 9 Energia potencial EP 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 𝐸𝑃 𝑈 Definindo 𝐸𝑀 𝐸𝐶 𝐸𝑃 Concluise que para um ponto material sujeito apenas à forças conservativas a variação da energia mecânica é nula ou seja Quando o trabalho de uma força aplicada a um ponto material depende apenas das posições inicial e final e não da trajetória essa força é chamada de conservativa Definindo 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡0 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 𝐸𝑃 Ԧ𝑟 𝑡0 𝐸𝑃 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 𝐸𝐶 𝑡𝑓 𝐸𝐶 𝑡0 𝐸𝐶 𝑡𝑓 𝐸𝐶 𝑡0 𝐸𝑃 Ԧ𝑟 𝑡0 𝐸𝑃 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝐸𝑀 𝑡0 𝐸𝑀 𝑡𝑓 𝐸𝐶 𝑡0 𝐸𝑃 Ԧ𝑟 𝑡0 𝐸𝐶 𝑡𝑓 𝐸𝑃 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝐸𝑀 𝑡0 𝐸𝑀 𝑡𝑓 𝐸𝐶 𝑡0 𝐸𝑃 Ԧ𝑟 𝑡0 𝐸𝐶 𝑡𝑓 𝐸𝑃 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝐸𝑀 0 Que é uma característica de um sistema conservativo Força conservativa Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 10 Exercício 2 energia potencial gravitacional A partir da força peso e da definição de energia potencial determine a energia potencial gravitacional Ԧ𝐹 𝑚𝑔𝑘 Ԧ𝑟 𝑥Ԧ𝑖 𝑦Ԧ𝑗 𝑧𝑘 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න Ԧ𝑟 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑚𝑔𝑘 𝑑𝑥Ԧ𝑖 𝑑𝑦Ԧ𝑗 𝑑𝑧𝑘 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 න 𝑧 𝑡0 𝑧 𝑡𝑓 𝑚𝑔𝑑𝑧 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 𝑚𝑔𝑧𝑓 𝑚𝑔𝑧0 𝐸𝑃 𝑈 𝐸𝑃𝑔 𝑚𝑔𝑧 𝑈 𝑚𝑔𝑧 𝑊 𝑡0 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡𝑓 𝑈 Ԧ𝑟 𝑡0 ቚ 𝑚𝑔𝑧 𝑧 𝑡0 𝑧 𝑡𝑓 Como o trabalho da força peso depende apenas das posições inicial e final essa força é conservativa Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 11 Exercício 3 energia potencial elástica Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 12 Exercício 4 Considere uma esfera de pequenas dimensões ponto material e massa m 06 kg presa a um elástico de constante k 100 Nm que está relaxado quando a esfera está na origem O A esfera pode deslizar sem atrito sobre a superfície horizontal Sabendo que na posição mostrada na figura a velocidade da esfera é vA 200 ms determine As distâncias máxima e mínima em relação à origem e as correspondentes velocidades Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 13 Se o momento da força resultante for nulo o momento angular se conserva Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 14 801x Lect 15 Momentum Conservation of Momentum Center of Mass httpswwwyoutubecomwatchvaIhScO3I50featureemblogo Objetivos Movimento do baricentro Formulação vetorial do TMB Teorema do movimento do baricentro Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 15 Baricentro 𝑃2 𝑃1 𝐺 σ 𝑚𝑖𝑃𝑖 σ 𝑚𝑖 𝑂 𝑚 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝐺 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑚 Ԧ𝑎𝐺 𝑚1 𝑚2 𝐺 𝑃𝑖 𝑚𝑖 𝑚𝑖 𝐺 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑑2 σ 𝑚𝑖 𝐺 𝑑𝑡2 𝑑2 σ 𝑚𝑖𝑃𝑖 𝑑𝑡2 Exemplo Determine a posição do baricentro de um sistema com dois pontos materiais cujas massas e posições são conhecidas 𝑃2 4 𝑚 𝑃1 1 𝑚 𝑚1 2 𝑘𝑔 𝑚2 4 𝑘𝑔 𝐺 𝑚1𝑃1 𝑚2𝑃2 𝑚1 𝑚2 𝐺 3 𝑚 2 1 4 4 2 4 𝑃2 𝑃1 𝑂 𝑚1 𝑚2 𝐺 𝑚1 𝑚𝑖 𝑚2 𝑃𝑖 𝑃2 𝑃1 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑂 ҧ𝑥𝐺 σ 𝑚𝑖𝑥𝑖 σ 𝑚𝑖 ത𝑦𝐺 σ 𝑚𝑖𝑦𝑖 σ 𝑚𝑖 ҧ𝑧𝐺 σ 𝑚𝑖𝑧𝑖 σ 𝑚𝑖 𝐺 𝐺 𝑂 𝐺 𝑂 ҧ𝑥𝐺Ԧ𝑖 ത𝑦𝐺Ԧ𝑗 ҧ𝑧𝐺𝑘 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 16 Movimento do Baricentro O objetivo é encontrar um expressão que permita estudar o movimento de um sistema de partículas Sistema com N partículas Base fixa 𝑶 Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌 Vetor posição partículas Forças de iteração entre as partículas Forças externas Ԧ𝐹𝑖𝑅𝑒𝑠 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 Para uma partícula i qualquer podese escrever 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 Ԧ𝐹𝑖𝑅𝑒𝑠 Segunda Lei de Newton Aplicada em uma partícula i Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 Segunda Lei de Newton Aplicada a um sistema com N partículas Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 17 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 Segunda Lei de Newton Aplicada a um sistema com N partículas 𝑚1 Ԧ𝑎1 Ԧ𝐹1𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓1𝑗 𝑖 1 𝑚2 Ԧ𝑎2 Ԧ𝐹2𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓2𝑗 𝑖 2 𝑚𝑁 Ԧ𝑎𝑁 Ԧ𝐹𝑁𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑁𝑗 𝑖 𝑁 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑖1 𝑁 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑖1 𝑁 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑚 Ԧ𝑎𝐺 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑚 Ԧ𝑎𝐺 𝑚 Ԧ𝑎𝐶 𝑖1 𝑁 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 TMB sistema de partículas TMB corpo rígido 𝑖1 𝑁 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 0 Baricentro Ԧ𝑓12 Ԧ𝑓1𝑖 Ԧ𝑓21 Ԧ𝑓2𝑖 Ԧ𝑓𝑖1 Ԧ𝑓𝑖2 O baricentro G de qualquer sistema material movese como se fosse um ponto material de massa igual a m sujeito à resultante de forças externas ao sistema Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 18 Exercício 1 Considere um barco de massa M e comprimento L Uma pessoa de massa m se encontra inicialmente t t0 na popa do barco O sistema está inicialmente em repouso Se a pessoa deslocarse da popa para a proa do barco qual será o deslocamento do barco Considerar o atrito entre a água e o barco desprezível TMB O baricentro G de qualquer sistema material movese como se fosse um ponto material de massa igual a masso total do sistema sujeito à resultante de forças externas ao sistema Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 6 Dinâmica do ponto material Teoremas gerais Rev02 Slide 19 Exercício 2 Uma bala de 30 g possui velocidade horizontal de 450 ms e colide com um bloco de 3 kg em repouso Supondo que não houve dissipação de energia determine a velocidade do conjunto após o impacto Despreze a massa do carrinho