Dinâmica dos Sistemas Materiais - TMA Geral

Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 1 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 2 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Introdução Mitsubishi Gyro ARG httpswwwyoutubecomwatchvYJuCiDjQB6Mfeatureemblogo Objetivos Variação da quantidade de movimento angular Dedução do tensor de inércia Propriedades do momento de inércia Balanceamento Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 3 𝐽𝑂 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 Teorema do momento angular TMA corpo rígido movimento de rotação do corpo rígido momento resultante aplicado em um corpo rígido 𝐾𝑂 𝑃 𝑂 𝑚 Ԧ𝑣 momento angular de uma partícula momento da quantidade de movimento 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 momento angular de um sistema de partículas ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝑣𝑂 𝑀𝑂 𝐸𝑥𝑡 Derivando em relação ao tempo utilizando a definição de baricentro e a 2 Lei de Newton Considerando corpo rígido utilizando fórmula fundamental da cinemática conceito de baricentro e vetores 𝑷𝒊 𝑶 e 𝝎 genéricos 𝐾𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝑣𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Derivando em relação ao tempo utilizando a definição de baricentro e a 2 Lei de Newton 𝑀𝑂 𝐸𝑥𝑡 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 TMA geral corpo rígido momento angular do corpo rígido TMA sist partículas TMA corpo rígido Tensor de inércia Igualando o TMA do sistema de partículas e o TMA do corpo rígido Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 4 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 TMA Sistema de partículas Derivando em relação ao tempo utilizando a definição de baricentro e a 2 Lei de Newton ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝑣𝑂 𝑀𝑂 𝐸𝑥𝑡 ሶ𝐾𝑂 0 ሶ𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑘 Ԧ𝑗 Ԧ𝑖 Ԧ𝑓13 Ԧ𝑓31 Ԧ𝑓12 Ԧ𝑓32 Ԧ𝑓23 Ԧ𝑓21 Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡 Ԧ𝐹3𝑒𝑥𝑡 Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡 𝑂 𝑃1 𝑃3 𝑃2 Ԧ𝑓21 Ԧ𝑓12 Ԧ𝑓31 Ԧ𝑓13 Ԧ𝑓32 Ԧ𝑓23 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑃1 𝑂 Ԧ𝑓12 𝑃1 𝑂 Ԧ𝑓13 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑃1 𝑂 𝑃2 𝑂 Ԧ𝑓12 𝑃1 𝑂 𝑃3 𝑂 Ԧ𝑓13 𝑃2 𝑂 𝑃3 𝑂 Ԧ𝑓23 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 𝑃1 𝑃2 Ԧ𝑓12 𝑃1 𝑃3 Ԧ𝑓13 𝑃2 𝑃3 Ԧ𝑓23 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 0 𝑀𝑂 𝐸𝑥𝑡 𝑖1 𝑁 Ԧ𝑣𝑖 Ԧ𝑣𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 𝑚 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝐹𝑖𝐸𝑥𝑡 𝑗1 𝑁 Ԧ𝑓𝑖𝑗 0 0 0 0 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 Ԧ𝑣3 Ԧ𝑣2 Ԧ𝑣1 𝑚1 𝑚3 𝑚2 𝑃1 𝑂 Ԧ𝑓12 𝑃1 𝑂 Ԧ𝑓13 𝑃2 𝑂 Ԧ𝑓21 𝑃2 𝑂 Ԧ𝑓23 𝑃3 𝑂 Ԧ𝑓31 𝑃3 𝑂 Ԧ𝑓32 𝑃2 𝑂 Ԧ𝑓12 𝑃2 𝑂 Ԧ𝑓23 𝑃3 𝑂 Ԧ𝑓13 𝑃3 𝑂 Ԧ𝑓23 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 5 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 𝜔 𝑃𝑖 𝑂 𝐾𝑂 𝑖1 𝑁 𝑃𝑖 𝑂 𝑚𝑖 Ԧ𝑣𝑖 Momento angular do corpo rígido Considerando corpo rígido utilizando fórmula fundamental da cinemática definição de baricentro e vetores 𝑷𝒊 𝑶 e 𝝎 genéricos Ԧ𝑣𝑖 Ԧ𝑣𝑂 𝜔 𝑃𝑖 𝑂 𝐺 𝑂 σ 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 σ 𝑚𝑖 𝑚 𝐺 𝑂 𝑚𝑖 𝑃𝑖 𝑂 𝑃𝑖 𝑂 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝜔 𝜔𝑥Ԧ𝑖 𝜔𝑦Ԧ𝑗 𝜔𝑧𝑘 𝐾𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝜔𝑥Ԧ𝑖 𝜔𝑦Ԧ𝑗 𝜔𝑧𝑘 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝐾𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝜔𝑥𝑦𝑖𝑘 𝜔𝑥𝑧𝑖Ԧ𝑗 𝜔𝑦𝑥𝑖𝑘 𝜔𝑦𝑧𝑖Ԧ𝑖 𝜔𝑧𝑥𝑖Ԧ𝑗 𝜔𝑧𝑦𝑖Ԧ𝑖 𝐾𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑥𝑖Ԧ𝑖 𝑦𝑖Ԧ𝑗 𝑧𝑖𝑘 𝜔𝑦𝑧𝑖 𝜔𝑧𝑦𝑖 Ԧ𝑖 𝜔𝑧𝑥𝑖 𝜔𝑥𝑧𝑖 Ԧ𝑗 𝜔𝑥𝑦𝑖 𝜔𝑦𝑥𝑖 𝑘 𝐾𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖𝜔𝑥 𝑦𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖𝜔𝑦𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑚𝑖𝜔𝑧𝑥𝑖𝑦𝑖 Ԧ𝑖 𝑚𝑖𝜔𝑦 𝑥𝑖 2 𝑧𝑖 2 𝑚𝑖𝜔𝑥𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑚𝑖𝜔𝑧𝑦𝑖𝑦𝑖 Ԧ𝑗 𝑚𝑖𝜔𝑧 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 2 𝑚𝑖𝜔𝑥𝑥𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖𝜔𝑦𝑦𝑖𝑧𝑖 𝑘 𝐾𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑦𝑖2 𝑧𝑖2 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 𝑧𝑖2 𝑚𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 𝑦𝑖2 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Tensor de inércia 𝐽𝑂 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 𝐾𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 6 𝐽𝑂 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 𝐽𝑥 𝑚𝑖 𝑦𝑖2 𝑧𝑖2 𝐽𝑥𝑦 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑦𝑖 𝐽𝑥𝑧 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑧𝑖 𝐽𝑥𝑦 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑦𝑖 𝐽𝑦 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 𝑧𝑖2 𝐽𝑦𝑧 𝑚𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 𝐽𝑥𝑧 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑧𝑖 𝐽𝑦𝑧 𝑚𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 𝐽𝑧 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 𝑦𝑖2 Momento de inércia Produto de inércia 𝐽𝑂 𝑖1 𝑁 𝑚𝑖 𝑦𝑖2 𝑧𝑖2 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 𝑧𝑖2 𝑚𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 𝑚𝑖 𝑥𝑖2 𝑦𝑖2 Tensor de inércia Indica como a massa de um corpo está distribuída no espaço mostrando a contribuição de cada partícula e suas distâncias Quantifica a dificuldade de alterar o movimento de rotação do corpo Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 7 𝑚 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝑣𝑂 Ԧ𝑣𝑂 TMA Corpo rígido Derivando em relação ao tempo utilizando a definição de baricentro e a 2 Lei de Newton 𝐾𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑣𝑂 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 ሶ𝐾𝑂 ሶ𝐾𝑂 𝑚 Ԧ𝑣𝐺 Ԧ𝑣𝑂 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 0 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 8 Produto vetorial Representação matricial 𝑏 𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧 𝑎 0 𝑎𝑧 𝑎𝑦 𝑎𝑧 0 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑥 0 Ԧ𝑎 𝑎𝑥Ԧ𝑖 𝑎𝑦Ԧ𝑗 𝑎𝑧𝑘 𝑏 𝑏𝑥Ԧ𝑖 𝑏𝑦Ԧ𝑗 𝑏𝑧𝑘 Ԧ𝑎 𝑏 Ԧ𝑎 𝑏 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 0 𝑎𝑧 𝑎𝑦 𝑎𝑧 0 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑥 0 𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧 Ԧ𝑎 𝑏 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 𝑎𝑦𝑏𝑧 𝑎𝑧𝑏𝑦 Ԧ𝑖 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑧 Ԧ𝑗 𝑎𝑥𝑏𝑦 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑘 𝑎𝑥𝑏𝑦𝑘 𝑎𝑥𝑏𝑧Ԧ𝑗 𝑎𝑦𝑏𝑥𝑘 𝑎𝑦𝑏𝑧Ԧ𝑖 𝑎𝑧𝑏𝑥Ԧ𝑗 𝑎𝑧𝑏𝑦Ԧ𝑖 𝑎𝑦𝑏𝑧 𝑎𝑧𝑏𝑦 Ԧ𝑖 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑧 Ԧ𝑗 𝑎𝑥𝑏𝑦 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑘 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑎 𝑏 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑎𝑦𝑏𝑧 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑧 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑧 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑎𝑦𝑏𝑧 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑎𝑥𝑏𝑦 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 9 TMA Representação matricial Se a base 𝑶 Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌 for solidária ao corpo rígido 𝑀𝑂 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂 𝐸𝑥𝑡 𝑚 ෫ 𝐺 𝑂 𝑎𝑂 𝜔 𝐽𝑂 𝜔 𝐽𝑂 ሶ𝜔 Escrevendo na representação matricial 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑥𝑡 𝑚 0 𝑟𝑂𝐺𝑧 𝑟𝑂𝐺𝑦 𝑟𝑂𝐺𝑧 0 𝑟𝑂𝐺𝑥 𝑟𝑂𝐺𝑦 𝑟𝑂𝐺𝑥 0 𝑎𝑂𝑥 𝑎𝑂𝑦 𝑎𝑂𝑧 0 𝜔𝑧 𝜔𝑦 𝜔𝑧 0 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑥 0 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 ሶ𝜔𝑥 ሶ𝜔𝑦 ሶ𝜔𝑧 𝑀𝑂 𝐸𝑥𝑡 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝑑 𝑑𝑡 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 TMA geral corpo rígido 𝑚 𝐺 𝑂 Ԧ𝑎𝑂 𝜔 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝐽𝑂 ሶ𝜔𝑥 ሶ𝜔𝑦 ሶ𝜔𝑧 ሶԦ𝑖 ሶԦ𝑗 ሶ𝑘 𝜔 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 0 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 10 Exercício 3 Nos virabrequins massas de contrapeso e furos de balanceamento desempenham a função de reduzir os esforços cíclicos sobre os mancais Aplique o TMA no virabrequim simplificado abaixo e analise o efeito dos produtos de inércia Modelo simplificado do virabrequim massa do eixo é desprezível duas massas concentradas deslocadas do eixo de rotação base Ԧ𝒊 Ԧ𝒋 𝒌 rotação em torno de 𝒌 𝝎 𝝎𝒌 baricentro G coincide com O eixo de rotação balanceado estaticamente 𝑀𝑂 𝐸𝑥𝑡 𝑚 ෫ 𝐺 𝑂 𝑎𝑂 𝜔 𝐽𝑂 𝜔 𝐽𝑂 ሶ𝜔 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑥𝑡 0 𝜔𝑧 0 𝜔𝑧 0 0 0 0 0 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 0 0 𝜔𝑧 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 0 0 ሶ𝜔𝑧 Ԧ𝑎𝑂 0 ሶ𝜔𝑥 ሶ𝜔𝑦 0 𝜔𝑥 𝜔𝑦 0 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑥𝑡 𝑚 0 𝑟𝑂𝐺𝑧 𝑟𝑂𝐺𝑦 𝑟𝑂𝐺𝑧 0 𝑟𝑂𝐺𝑥 𝑟𝑂𝐺𝑦 𝑟𝑂𝐺𝑥 0 𝑎𝑂𝑥 𝑎𝑂𝑦 𝑎𝑂𝑧 0 𝜔𝑧 𝜔𝑦 𝜔𝑧 0 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑥 0 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 ሶ𝜔𝑥 ሶ𝜔𝑦 ሶ𝜔𝑧 Engenharia Mecânica Cinemática e Dinâmica Prof André Mendes Prof Leandro Perestrelo 8 Dinâmica dos sistemas materiais TMA Geral Rev03 Slide 11 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑥𝑡 0 𝜔𝑧 0 𝜔𝑧 0 0 0 0 0 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 0 0 𝜔𝑧 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑥𝑧 𝐽𝑦𝑧 𝐽𝑧 0 0 ሶ𝜔𝑧 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑥𝑡 0 𝜔𝑧 0 𝜔𝑧 0 0 0 0 0 𝐽𝑥𝑧𝜔𝑧 𝐽𝑦𝑧𝜔𝑧 𝐽𝑧𝜔𝑧 𝐽𝑥𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝐽𝑦𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝐽𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑥𝑡 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑥𝑡 𝐽𝑦𝑧𝜔𝑧2 𝐽𝑥𝑧𝜔𝑧2 0 𝐽𝑥𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝐽𝑦𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝐽𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑥𝑡 𝐽𝑦𝑧𝜔𝑧2 𝐽𝑥𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑥𝑡 𝐽𝑥𝑧𝜔𝑧2 𝐽𝑦𝑧 ሶ𝜔𝑧 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑥𝑡 𝐽𝑧 ሶ𝜔𝑧 Para verificar o balanceamento dinâmico é necessário determinar os produtos de inércia 𝐽𝑥𝑧 𝑚𝑖𝑥𝑖𝑧𝑖 𝐽𝑦𝑧 𝑚𝑖𝑦𝑖𝑧𝑖 𝑚0𝑙 𝑚0 𝑙 𝑚 𝑅 𝑙 𝑚𝑅 𝑙 𝐽𝑦𝑧 2𝑚𝑅𝑙 𝐽𝑥𝑧 0 𝑀𝑂𝑥 𝐸𝑥𝑡 2𝑚𝑅𝜔𝑧2𝑙 𝑀𝑂𝑦 𝐸𝑥𝑡 2𝑚𝑅 ሶ𝜔𝑧𝑙 𝑀𝑂𝑧 𝐸𝑥𝑡 𝐽𝑧 ሶ𝜔𝑧 Como 𝐽𝑦𝑧 0 não está balanceado dinamicamente