Capítulo 3: Estudo da Reta no Espaço Tridimensional

Capítulo 3 Parte 2 Estudo da Reta no Espaço Tridimensional Profa Drª Eloiza Gomes Prof Dr Vitor Alex Oliveira Alves Colaboradora Profa Karina Bradaschia Rocha 2021 8 Sumário 1 ÂNGULO ENTRE RETAS 2 2 DISTÂNCIA DE PONTO À RETA 3 3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4 4 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6 8 1 Ângulo entre retas Se duas retas r e s são concorrentes podese determinar a medida do ângulo formado por elas Este ângulo é por definição o menor ângulo gerado pelas retas Logo a variação do ângulo entre duas retas é tal que 0 90 ou seja 𝜃 é um ângulo agudo veja Figura 1 𝑠 𝑟 𝑆 𝑅 𝑢 𝑠 Retas concorrentes 𝐼 𝜃 𝑢 𝑟 Figura 1 Para calcular a medida desse ângulo utilizase o produto escalar cos 𝑢𝑟 𝑢𝑠 𝑢𝑟 𝑢𝑠 Observe que o uso do módulo valor absoluto neste produto escalar é necessário pois a variação da medida do ângulo entre vetores é de 0 a 180 e queremos analisar um ângulo que varia entre 0 e 90 Exemplo 01 Dados o ponto 𝐸 1 2 1 e a reta 1 1 x r y z conforme a Figura 2 𝑟 𝑠 𝑡 𝐸 30 30 Sendo as retas r e s paralelas determine as equações paramétricas das duas retas t que passam pelo ponto E e que formam ângulos de medida 30 com r e s Figura 2 Para determinar as equações paramétricas de uma das retas t é preciso encontrar as coordenadas do vetor diretor dessa reta uma vez que já se dispõe das coordenadas do ponto 𝐸 1 2 1 Definese então um vetor T ER 1 1 em que r R 1 1 Assim para determinar o ângulo entre as retas r e t utilizase 0 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 2 0 1 2 3 cos30 2 2 2 2 2 ER u ER u r r Da relação anterior temse 2 ou 1 Portanto T ER 2 1 1 ou T ER 1 1 2 8 Assim as possíveis equações das retas t são 2 1 2 1 z y x t ou 1 2 2 1 z y x t 2 Distância de ponto à reta Existem vários modos de determinar a distância de um ponto P a uma reta r Observe a Figura 3 𝑟 𝑃 𝑝 𝑄 𝑑 𝑟 𝑃 𝑄 𝑑 𝑅 𝑢 𝑟 𝑅𝑃 Figura 3 A Figura 3 induz as maneiras de calcular a medida da distância d Por exemplo i Utilizando projeção ortogonal observase que 𝑅𝑄 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑟 𝑅𝑃 assim encontramse as coordenadas do ponto Q e a seguir 𝑃𝑄 𝑑 ii Pensando na área do paralelogramo ilustrado d é a medida da altura do paralelogramo medida da altura do paralelogramo medida da área do paralelogramo medida da base 𝑑 𝑅𝑃 𝑢𝑟 𝑢𝑟 iii Por meio de intersecção entre retas podese determinar as coordenadas do ponto Q e posteriormente 𝑃𝑄 𝑑 observando que Q é o ponto de intersecção da reta p perpendicular à reta r passando por P com a própria reta r 8 3 Exercícios propostos R01 O ponto 𝐴 214 é um vértice do hexágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 cujos vértices 𝐵 e 𝐹 pertencem à reta 𝑟 𝑥 1 𝜆 𝑦 3 𝜆 𝑧 1 2𝜆 𝜆 ℝ a Qual é o ângulo E qual é um vetor diretor u da reta r b Encontre 𝐴𝐹 em função de 𝜆 c Determinar as coordenadas de 𝐵 e 𝐹 sabendose que a abscissa do vértice 𝐹 é maior que a abscissa do vértice 𝐵 d Encontre as coordenadas do ponto 𝑀 médio de 𝐵 e 𝐹 e A seguir encontre as coordenadas dos vértices 𝐶 𝐷 e 𝐸 do hexágono R02 Escreva equações paramétricas da perpendicular comum p das retas reversas 𝑟 𝑥 7 𝜆 𝑦 2 𝜆 𝑧 3 𝜆 ℝ e 𝑠 𝑥 2 𝜇 𝑦 3 3𝜇 𝑧 3 𝜇 𝜇 ℝ Encontre os pontos 𝑅 e 𝑆 onde p encontra as retas r e s respectivamente R03 São dadas as retas não paralelas 𝛼 𝑥 7 2𝜆 𝑦 2 𝜆 𝑧 𝛼 𝜆 𝜆 ℝ e 𝛽 𝑥 1 3𝜇 𝑦 2 𝜇 𝑧 1 2𝜇 𝜇 ℝ Pedese a Achar o valor 𝛼1 de 𝛼 para o qual 𝛼 e 𝛽 são concorrentes Neste caso determine 𝑃 tal que 𝑃 𝛼 𝛽 b A seguir faça 𝛼 2 e expresse para cada par de valores 𝜆 e 𝜇 as coordenadas do vetor 𝑣 𝜆 𝜇 𝑃𝜆 𝑄𝜇 c Calcule valores 𝜆 e 𝜇 tais que 𝑣 𝜆 𝜇 dê a direção da perpendicular comum p das retas 𝛼 e 𝛽 d Encontre os pontos A e B onde p corta e respectivamente 2 u u1 p v B A r u M A B C D E F 8 e Estabeleça equações paramétricas para a perpendicular comum p de e R04 Sejam o ponto 𝐴 002𝛼 com 𝛼 0 e a reta 𝑠 𝑥 0 𝑦 𝜆 𝑧 𝛼 𝜆 ℝ Pedese a Representar A e s no sistema Oxyz b Considere o ponto 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 genérico e determine em função de x y e z as fórmulas que fornecem 𝛿1 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑃 𝐴 e 𝛿2 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑃 𝑠 c Encontre a equação do lugar geométrico L dos pontos P equidistantes de A e s d Esboce em Oxyz o lugar geométrico L destacando as intersecções 𝐿 Oz e 𝐿 𝑂𝑥𝑦 R05 Determine os valores de e para os quais 𝐴 𝛼 2𝛽 1 𝛼 e 𝐵 𝛼 1 𝛽 12 são os pés da perpendicular comum p das retas 1 1 2 T r P A t e 3 1 1 T s P B Qual a distância destas retas Escreva equações paramétricas para a reta p R06 São dadas as retas 𝑟 𝑥 4 2𝜆 𝑦 4 𝜆 𝑧 3 2𝜆 𝜆 ℝ e 𝑠 𝑥 7 3𝑡 𝑦 1 2𝑡 𝑧 2 𝑡 𝑡 ℝ Pedese a Determinar as coordenadas dos pontos P de r tais que 2 3 dist P s b Interpretar geometricamente o resultado R07 Sejam as retas 𝑟 𝑥 1 𝜆 𝑦 3 𝑎𝜆 𝑧 2 2𝜆 𝜆 ℝ e Pedese os valores de a para os quais o menor ângulo 𝜃 de r e s é igual a 30 R08 O ponto 3 3 2 A é um dos vértices do quadrado ABCD que tem diagonal BD na reta 𝑠 𝑥 1 4 𝑦 3 5 𝑧 2 3 8 𝑟 𝑥 4 𝜆 𝑦 𝜆 𝑧 2 com 𝜆 ℝ Pedese a Escrever a norma do vetor 𝑣 𝜆 𝑃𝜆 𝐴 b As coordenadas dos pontos B e D sabendose que a abscissa de B é menor do que a abscissa de D c Determinar as coordenadas do vértice C do quadrado ABCD d É possível verificar suas respostas anteriores efetuando o produto escalar entre os vetores 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷 Por quê R09 São dados o ponto 𝐴 3 31 e a reta 𝑟 𝑥 6 𝜆 𝑦 1 𝑧 2 𝜆 com 𝜆 ℝ Pedese a Calcular B y e B z para que 2 B B B y z r b As coordenadas do vetor v P A c As coordenadas do vértice D d As coordenadas do vértice C e do ponto M de simetria do losango ABCD e A área do losango 4 Respostas dos exercícios propostos R01 a 30 e 1 1 2 T u b 𝐴𝐹 6𝜆2 18𝜆 14 c 3 1 5 F e 2 2 3 B d 5 3 4 2 2 M e 3 3 3 C 4 3 4 D e 4 2 5 E P B C D A ur r M C A r D B P 8 R02 6 1 3 2 x t p y t z t 𝑡 ℝ 6 1 3 R e 4 3 1 S R03 a 1 a 7 b 8 2 3 3 2 T v c 4 3 e 3 d 29 10 10 3 3 3 A e 8 5 5 B e 8 5 5 x p y z 𝛼 ℝ R04 a Faça seu esboço b 2 2 2 1 2 dist P A x y z a 2 2 2 dist P s a z x c 2 2 2 3 0 L y az a d L é uma superfície cilíndrica parabólica Faça seu esboço R05 5 6 66 5 12 7 6 4 x p y z R06 a 1 6 3 5 P e 2 34 73 19 15 15 15 P b Faça seu esboço R07 a 7 e a 1 R08 a 2 2 1 3 0 1 3 T v b 1 3 2 B e 3 1 2 D c 1 1 2 C d Pense a respeito R09 a 1 yB e 6 zB b 3 2 3 T v c 10 1 2 D d 9 1 5 C e 6 1 2 M e 16 11