EFB110 Vetores Curvas e Superfícies - Estudo do Plano

EFB110 Vetores Curvas e Superfícies Capítulo 4 Parte I Estudo do Plano Prof Vitor Alex Oliveira Alves Profa Eloiza Gomes Colaboradores Karina Bradaschia Rocha 2021 Sumário 1 Introdução 4 2 Construção geométrica 4 3 Equações do plano 7 4 Exercícios resolvidos 12 5 Exercícios propostos 14 6 Respostas dos exercícios propostos 15 4 1 Introdução Em Matemática um plano é um objeto geométrico infinito a duas dimensões Sob o ponto de vista da Álgebra Linear um plano é o análogo bidimensional de um ponto zero dimensional de uma reta ou linha unidimensional e de um espaço geométrico tridimensional1 Planos podem ser criados como subespaços de um espaço vetorial de dimensão superior como paredes em uma sala ou podem possuir existência independente como enunciado na Geometria Euclidiana É neste contexto que este estudo se concentra embora em alguns momentos os conceitos de subespaço e espaço vetorial sejam brevemente retomados Euclides estabeleceu o primeiro tratamento axiomático da Geometria Em seu trabalho Elementos selecionou um pequeno núcleo de termos primordiais sem definição rigorosa aos quais denominou noções comuns e postulados ou axiomas os quais empregou para demonstrar diversas proposições geométricas Embora nos Elementos não seja fornecida nenhuma definição do objeto geométrico plano no sentido compreendido pela Matemática moderna este pode ser compreendido como parte das noções comuns De fato no espaço euclidiano um plano é uma superfície tal que dados quaisquer pontos na superfície esta também contém a única linha reta que passa pelos pontos 2 Construção geométrica A noção de plano exposta na seção de introdução leva a quatro formas de se construir geometricamente um plano todas elas ilustradas na Figura 01 Em a notase que é possível construir um plano a partir de três pontos não colineares Na parte b um plano no espaço euclidiano é definido por duas retas concorrentes Já na construção ilustrada em c um plano é estabelecido por uma reta e um ponto não pertencente à esta reta Por fim em d definese um plano a partir de duas retas paralelas 1 A noção de dimensão é aqui empregada de forma intuitiva A descrição rigorosa deste conceito será abordada mais adiante 5 a b c d A C B r s r A r s Figura 01 Construção geométrica de planos a partir de a Três pontos não colineares b Retas concorrentes c Uma reta e um ponto fora desta reta d Duas retas paralelas Sob o ponto de vista vetorial as quatro situações ilustradas na Figura 01 podem ser resumidas em um único conceito Os elementos necessários à construção de um plano são duas direções vetores independentes e um ponto como visto na Figura 02 Devese notar que o ponto selecionado determina qual dos infinitos planos paralelos definidos pelas duas direções independentes chamados de feixe de planos paralelos ou família de planos paralelos será escolhido para estudo a b c d A C B r s r A r s u v A u v R r u v R r S s u v Figura 02 As formas de se construir um plano podem ser condensadas em um único conceito duas direções independentes e um ponto determinam um e um só plano 6 Na Figura 02a situação em que o plano foi determinado anteriormente por três pontos não colineares as duas direções independentes foram adotadas como 𝑢 𝐴𝐵 e 𝑣 𝐴𝐶 o ponto selecionado foi A Evidentemente outras configurações são equivalentes Em b em que havia sido construído um plano a partir de duas retas concorrentes as direções independentes são as direções das referidas retas 𝑢 𝑢𝑟 e 𝑣 𝑢𝑠 em que 𝑢𝑟 e 𝑢𝑠 são os vetores diretores das retas r e s respectivamente o ponto selecionado foi o ponto 𝐴 𝑟 𝑠 Em c o plano havia sido criado a partir de uma reta r e um ponto 𝐴 𝑟 Selecionase o ponto A e as direções independentes podem ser construídas a partir de 𝑢 𝑅𝑆 com 𝑅 𝑟 e 𝑣 𝑢𝑟 Finalmente em d o plano antes concebido com base em duas retas paralelas agora é construído pela seleção do ponto 𝑅 𝑟 e das direções independentes 𝑢 𝑅𝑆 com 𝑆 𝑠 e 𝑣 𝑢𝑠 A abordagem vetorial adotada na Figura 02 embora correta não é tão efetiva do ponto de vista de manipulação algébrica das equações condições de pertinência que descreverão os planos Este fato será investigado na próxima seção De fato a condição geométrica de que duas direções independentes e um ponto determinam um plano também pode ser entendida como Um plano pode ser determinado a partir de uma direção normal ortogonal a este plano e de um ponto conhecido deste plano Figura 03 Abordagem vetorial na qual um plano é definido por um ponto conhecido e também por uma direção ortogonal a ele A Figura 03 revela que é sempre possível encontrar uma direção ortogonal a um plano caso sejam conhecidas duas direções independentes que determinem um feixe de planos paralelos Um plano específico deste feixe é determinado por um ponto a ele pertencente 7 3 Equações do plano No Capítulo 4 foram estudadas as retas no espaço ℝ3 Foi estabelecido que uma reta s que passa pela origem com direção dada pelo vetor 𝑣 é definida como o conjunto de todos os vetores paralelos ao vetor 𝑣 Ou seja a reta s é um subespaço unidimensional do ℝ3 Devese notar que uma reta r construída pela translação de s não é um subespaço do ℝ3 Por quê O que ocorre se ao invés de um único vetor 𝑣 não nulo considerarmos dois vetores 𝑢 e 𝑣 não paralelos Neste caso todas as combinações lineares de 𝑢 e 𝑣 serão do tipo 𝑤 𝜆𝑢 𝜇𝑣 com 𝜆 𝜇 ℝ Assim o conjunto de todos os vetores 𝑤 𝜆𝑢 𝜇𝑣 gerados por 𝑢 e 𝑣 é um subespaço bidimensional do ℝ3 Este subespaço é um plano que passa na origem como mostra a Figura 04 Devese notar que esta definição estabelecida sob o ponto de vista da Álgebra Linear é equivalente à afirmação geométrica de que um plano é definido por duas direções independentes 𝑢 e 𝑣 e um ponto conhecido neste caso a origem do sistema de coordenadas Oxyz x y Q2 lm n T v l m n z O 1 r st Q T r s t u P x yz O plano 𝜋 definido pelas direções dos vetores 𝑢 e 𝑣 e que passa pela origem é o conjunto de todos os pontos 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 tais que 𝑂𝑃 𝜆𝑢 𝜇𝑣 com 𝜆 𝜇 ℝ 𝐼 𝐼 é a condição de pertinência dos pontos P ao plano 𝜋 sendo denominada equação paramétrica vetorial de 𝜋 Utilizando as coordenadas dos pontos e vetores envolvidos na Figura 04 é possível escrever a partir de 𝐼 Figura 04 Construção de um plano que passa na origem do sistema de coordenadas Oxyz 𝑥 𝑦 𝑧𝑇 𝜆 𝑟 𝑠 𝑡𝑇 𝜇 𝑙 𝑚 𝑛𝑇 𝐼𝐼 𝑥 𝜆𝑟 𝜇𝑙 𝑦 𝜆𝑠 𝜇𝑚 𝑧 𝜆𝑡 𝜇𝑚 As relações presentes em 𝐼𝐼 são as equações paramétricas do plano 𝜋 Outra representação algébrica do plano é encontrada ao se notar que a construção 𝑂𝑃 𝜆𝑢 𝜇𝑣 implica em que os vetores 𝑂𝑃 𝑃 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧𝑇 𝑢 𝑟 𝑠 𝑡𝑇 e 𝑣 𝑙 𝑚 𝑛𝑇 são coplanares 8 Então A equação 𝐼𝐼𝐼 é denominada equação geral ou equação cartesiana do plano 𝜋 Devese notar a maneira pela qual os coeficientes a b e c foram calculados De fato tais coeficientes são as coordenadas do vetor produto vetorial entre 𝑢 e 𝑣 direções que definem o feixe ou família de planos paralelos Assim na equação geral 𝜋𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 0 o vetor 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐𝑇 possui direção ortogonal ao plano sendo chamado de vetor normal associado ao plano 𝜋 Um plano 𝛼 paralelo ao plano 𝜋 que passa pelo ponto 𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 é construído como a translação de 𝜋 por um vetor 𝑂𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑇 como visto na Figura 05 O plano 𝛼 não é um subespaço do ℝ3 por quê Figura 05 Construção do plano α como uma translação do plano π O plano 𝛼 definido pelas direções independentes dos vetores 𝑢 e 𝑣 e que passa pelo ponto 𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 é o conjunto dos pontos 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 tais que 𝑂𝑃 𝑂𝑃0 𝜆𝑢 𝜇𝑣 com 𝜆 𝜇 ℝ 𝐼𝑉 A equação 𝐼𝑉 é denominada equação vetorial paramétrica de 𝛼 Utilizando as coordenadas dos pontos e vetores envolvidos em 𝐼𝑉 escrevese 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 𝛼 𝑃 𝑂 𝑃0 𝑂 𝜆𝑢 𝜇𝑣 𝑃 𝑃0 𝜆𝑢 𝜇𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝜆 𝑟 𝑠 𝑡𝑇 𝜇 𝑙 𝑚 𝑛𝑇 𝛼 𝑥 𝑥0 𝜆𝑟 𝜇𝑙 𝑦 𝑦0 𝜆𝑠 𝜇𝑚 𝑧 𝑧0 𝜆𝑡 𝜇𝑛 𝑉 As relações presentes em 𝑉 são chamadas equações paramétricas de 𝛼 9 Analogamente ao que foi feito no caso dos planos que passam pela origem do sistema de coordenadas devese notar que 𝑃 𝑃0 𝜆𝑢 𝜇𝑣 𝑃 𝑃0 𝜆𝑢 𝜇𝑣 𝑃0𝑃 𝜆𝑢 𝜇𝑣 Logo o vetor 𝑃0𝑃 é uma combinação linear única de 𝑢 e 𝑣 Em outras palavras os vetores 𝑃0𝑃 𝑢 e 𝑣 são coplanares Então A forma 𝑉𝐼 é chamada equação geral ou equação cartesiana do plano 𝛼 Nesta equação o vetor 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐𝑇 0 dá a direção normal do plano 𝜋 ou seja fornece a direção das retas perpendiculares a 𝜋 Deve se notar que 𝐼𝐼𝐼 é um caso particular de 𝐼𝑉 no qual o plano passa pela origem resultando em 𝑑 0 Assim um plano será um subespaço do ℝ3 quando 𝑑 0 A seguir são apresentados alguns exemplos de construção da equação de um plano a partir das situações geométricas presentes na Figura 01 Exemplo 01 Sejam os pontos 𝐴 2 73 𝐵 3 54 e 𝐶 4 42 Determine as formas vetorial paramétrica e geral da equação do plano 𝜋 determinado por 𝐴 𝐵 e 𝐶 Figura 06 Um plano Da Figura 06 podese escrever 𝑢 𝐵 𝐴 3 54 2 73 1 2 1𝑇 𝑣 𝐶 𝐴 4 42 2 73 2 3 1𝑇 Adotandose 𝑃0 𝐴 2 73 como referência o ponto 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 pertencerá ao plano se e somente se 𝑃0𝑃 𝜆𝑢 𝜇𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 2 73 𝜆 1 2 1𝑇 𝜇2 3 1𝑇 Esta é a equação paramétrica vetorial do plano 𝜋 As equações paramétricas são 𝜋 𝑥 2 𝜆 2𝜇 𝑦 7 2𝜆 3𝜇 𝑧 3 𝜆 𝜇 A forma geral é construída a partir de 𝑃0𝑃 𝑢 𝑣 0 Uma vez que 𝑃0𝑃 𝑃 𝑃0 𝑥 𝑦 𝑧 2 73 𝑥 2 𝑦 7 𝑧 3𝑇 escrevese A C B P u v u v 10 𝑃0𝑃 𝑢 𝑣 𝑥 2 𝑦 7 𝑧 3 1 2 1 2 3 1 5𝑥 2 3𝑦 7 𝑧 3 0 𝜋5𝑥 3𝑦 𝑧 34 0 Exemplo 02 Escreva a equação geral do plano 𝛼 determinado pelas retas 𝑟 𝑥 5 2𝜆 𝑦 1 𝜆 𝑧 3 3𝜆 e 𝑠 𝑥 4 𝛼 𝑦 13 2𝛼 𝑧 9 Primeiramente notase que 𝑟 e 𝑠 não são paralelas pois 𝑢𝑟 2 1 3𝑇 𝑢𝑠 1 2 0𝑇 Logo para que r e s determinem um plano devem ser concorrentes em um ponto I De fato 5 2𝜆 4 𝛼 1 𝜆 13 2𝛼 3 3𝜆 9 5 2𝜆 4 𝛼 1 𝜆 13 2𝛼 𝜆 2 𝛼 5 𝜆 2 o que mostra que existe um ponto de intersecção das retas r e s pois o sistema linear acima é consistente e determinado com coordenadas 𝐼 𝑟𝜆 2 𝑠𝛼 5 13 9 O problema proposto será resolvido de duas formas a primeira usa a coplanaridade entre três vetores como no Exemplo 01 a segunda emprega a direção normal ao plano 𝛼 1ª Solução O ponto 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 𝛼 se e somente se os vetores 𝐼𝑃 𝑢𝑟 e 𝑢𝑠 forem coplanares Então com 𝐼𝑃 𝑃 𝐼 𝑥 𝑦 𝑧 13 9 𝑥 1 𝑦 3 𝑧 9𝑇 temse 𝐼𝑃 𝑢𝑟 𝑢𝑠 𝑥 1 𝑦 3 𝑧 9 2 1 3 1 2 0 6 𝑥 1 3 𝑦 3 3 𝑧 9 0 Ou seja 𝛼6𝑥 3𝑦 3𝑧 42 0 ou 𝛼3 3𝑥 𝑦 𝑧 14 0 𝛼3𝑥 𝑦 𝑧 14 0 Esta última manipulação algébrica mostra que planos que possuem equações gerais múltiplas umas das outras são na verdade coincidentes 2ª Solução As direções de r e s determinam a direção normal ao plano 𝛼 por meio do vetor 𝑛 𝑢𝑟 𝑢𝑠 𝑖 𝑗 𝑘 2 1 3 1 2 0 6 3 3𝑇 3 2 1 1𝑇 Adotase por exemplo 2 1 1 T n Esta direção define uma família de planos paralelos todos ortogonais à n como mostra a Figura 07 11 Figura 07 Família ou feixe de planos paralelos ao plano 𝛼 Esta família de planos paralelos é descrita pela expressão 2 0 i i x y z d 1 2 i O valor do parâmetro id é quem determina qual dos planos da planilha está sendo selecionado Este valor por sua vez depende do ponto 0 0 0 P x y z tomado como referência para o plano devese lembrar que 0 0 0 0 0 0 2 id ax by cz x y z no presente caso A expressão anterior não precisa ser memorizada pois surge diretamente do fato de que a equação do plano selecionado deve ser satisfeita em especial para o ponto tomado por referência Assim uma vez que o plano 𝛼 deve passar por 1 3 9 I temse 2 1 1 3 1 9 0 14 i i d d E então 3 14 0 x y z Exemplo 03 Construa a equação do plano 𝛽 que passa pelo ponto 1 5 0 M e contém a reta 2 6 1 2 0 1 T t T x yx como ilustrado na Figura 08 Todos os pontos da reta t são também pontos do plano 𝛽 Seja 2 6 1 T um desses pontos Assim os pontos P x yz do espaço pertencem ao plano 𝛽 se e somente se os vetores 𝑀𝑃 𝑀𝑇 e 𝑢𝑡 vetor diretor da reta t são coplanares como visto na Figura 09 t M Figura 08 Um plano definido por um ponto e uma reta t M tu T MT P MP Figura 09 Determinando a equação do plano Portanto é necessário que 𝑀𝑃 𝑀𝑇 𝑢𝑡 0 Assim temse 𝑀𝑃 𝑃 𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 1 50 𝑥 1 𝑦 5 𝑧𝑇 𝑀𝑇 𝑇 𝑀 2 61 1 50 1 1 1𝑇 e 𝑢𝑡 2 0 1𝑇 Então 𝑀𝑃 𝑀𝑇 𝑢𝑡 𝑥 1 𝑦 5 𝑧 1 1 1 2 0 1 1 𝑥 1 3 𝑦 5 2𝑧 0 Finalmente 𝑥 1 3𝑦 15 2𝑧 0 𝛽 𝑥 3𝑦 2𝑧 14 0 12 Também é possível resolver este problema utilizando a estratégia descrita na 2ª Solução do Exemplo 02 verifique Exemplo 04 Escrever a equação geral do plano definido pelas retas paralelas 4 2 3 1 3 x r y z e 1 4 2 5 6 x s y z como visto na Figura 10 Figura 10 Um plano definido por duas retas paralelas r s S R P S R r u S P Figura 11 Determinando a equação do plano O plano contém as retas r e s Logo todos os pontos de r e s são também pontos do plano Sejam 4 3 1 R r e 1 0 5 S s Desta forma os pontos P x yz do espaço pertencem ao plano se e somente se os vetores 𝑆𝑃 𝑃 𝑆 𝑥 𝑦 𝑧 105 𝑥 1 𝑦 𝑧 5𝑇 𝑆𝑅 𝑅 𝑆 43 1 105 5 3 6𝑇 e 𝑢𝑟 2 1 3𝑇 ou 𝑢𝑠 são coplanares Ou seja 0 r S P S R u e então 𝑆𝑃 𝑆𝑅 𝑢𝑟 𝑥 1 𝑦 𝑧 5 5 3 6 2 1 3 3 𝑥 1 3𝑦 1 𝑧 5 0 𝛾3𝑥 3𝑦 𝑧 2 0 4 Exercícios resolvidos R01 Determine a equação geral do plano determinado pelos três pontos não colineares 1 2 3 1 20 2115 334 P P P Solução 1 Vamos determinar primeiro uma equação vetorial para o plano Precisamos de um ponto pertencente ao plano e de dois vetores paralelos ao plano que sejam linearmente independentes isto é que não sejam paralelos Tomando 1 2 3 3 15 T u PP 1 3 2 5 4 T v PP sendo que u e v são paralelos a e não são paralelos entre si Uma equação vetorial para é 13 1 20 3 3 15 2 5 4 T T x y z R Agora para obtermos uma equação geral para precisamos de um vetor normal a ele e um ponto que nele esteja contido O produto vetorial u v dará um vetor ortogonal ao plano o que significa que podemos tomar como vetor normal a qualquer vetor não nulo paralelo a este 3 3 15 63 42 21 2 5 4 T i j k u v Escolheremos 1 3 2 1 21 T n u v 3 2 0 x y z d Então é fácil ver que 1 31 2 2 0 0 7 3 2 7 0 P d d x y z Solução 2 Para qualquer ponto P x y z podemos construir o vetor 1PP e o produto misto deste vetor com u e v tem de ser nulo já que todos os três são coplanares Então 1 1 1 2 1 2 3 3 15 0 3 2 7 0 2 5 4 T x y z PP x y z PP u v x y z R02 Determine a equação do plano de modo que i P com P r s onde 0 3 1 3 2 x r y R z e 1 2 1 0 x s y R z ii t com 4 9 1 6 2 8 x t y R z Solução Em primeiro lugar devemos determinar o ponto P que é a interseção das duas retas e que pertence ao plano procurado 0 3 1 2 1 1 1 1 30 1 3 2 0 P r s P Vamos determinar agora dois pontos da reta t para obter dois vetores diretores do plano Na equação da reta t se tomarmos 0 e 1 obtemos respectivamente A 4 1 2 e 556 B com A B Assim temse 1 1 1 T PA e 8 5 7 T PB Logo podemos obter um vetor normal ao plano por 14 1 1 1 2 1 3 2 3 0 8 5 7 T i j k n PA PB n x y z d 301 23 0 31 0 3 P d d Assim a equação do plano fica 2 3 3 0 x y z R03 Determine a equação geral do plano de modo que r e s com 1 6 2 x r y z 1 3 1 5 x s y z com R Solução Em primeiro lugar podemos determinar os vetores diretores das retas r e s os quais também são vetores diretores do plano procurado Em seguida podemos obter um vetor normal ao plano a partir do produto vetorial destes Então 1 0 1 1 2 6 2 T r x r y u z e 1 3 1 0 3 0 1 5 T s x s y u z 1 1 2 1 5 3 5 3 0 3 0 1 T r s i j k n u u n x y z d 106 1 50 36 0 19 5 3 19 0 P d d x y z 5 Exercícios propostos P01 Passe a equação do plano 2 3 2 x y z com 𝜆 𝜇 ℝ para a forma cartesiana A resposta é única P02 Dado o plano 2 3 1 0 x y z determine uma forma paramétrica para a equação de P03 Escrever uma equação geral para o plano das retas paralelas 1 5 3 1 2 1 2 x y z r e 2 1 3 4 2 1 2 T r P 15 P04 Mostre que o ponto 4 1 1 P não pertence à reta 2 4 1 1 1 2 T r R e obtenha a equação geral do plano determinado por r e P P05 Obtenha equações paramétricas e cartesianas dos planos coordenados P06 Sejam os planos 1 2 e 3 tais que 1 contém 1 0 0 A 0 1 0 B e 0 0 1 C 2 contém 1 1 0 Q e é paralelo a 0 1 1 T u e 1 0 1 T v 3 1 1 1 2 1 0 1 0 1 T T X Obtenha equações gerais dos três planos e mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determineo A seguir calcule a medida angular 𝜃 𝜋1 𝜋3 6 Respostas dos exercícios propostos P01 5 0 x y z qualquer equação 5 0 k x y z 0 k é representativa do plano P02 1 2 1 2 3 2 x y z 𝜆 𝜇 ℝ P03 3 14 4 23 0 x y z P04 Não existe tal que P r e 8 6 39 0 x y z P05 Plano xy 1 0 0 0 1 0 0 T T T x x y z y z 𝜆 𝜇 ℝ e 𝑂𝑃 𝑖 𝑗 0 𝑥 𝑦 𝑧 1 0 0 0 1 0 𝑥 0 0 1 0 𝑦 1 0 0 0 𝑧 1 0 0 1 0 𝑧 0 Plano yz 0 0 1 0 0 0 1 T T T x x y z y z 𝜆 𝜇 ℝ e 𝑂𝑃 𝑗 𝑘 0 𝑥 𝑦 𝑧 0 1 0 0 0 1 𝑥 1 0 0 1 𝑦 0 0 0 1 𝑧 0 1 0 0 0 𝑥 0 Plano xz 1 0 0 0 0 1 0 T T T x x y z y z 𝜆 𝜇 ℝ e 16 𝑂𝑃 𝑖 𝑘 0 𝑥 𝑦 𝑧 1 0 0 0 0 1 𝑥 0 0 0 1 𝑦 1 0 0 1 𝑧 1 0 0 0 0 𝑦 0 P06 1 1 0 x y z 2 0 x y z 3 2 2 0 x y z 𝑃 1 2 2 3 1 6 e 𝜃 6187