Notas de Aula: Parametrização de Curvas

EFB110 Vetores Curvas e Superfícies Notas de Aula Parametrização de curvas Profa Eloiza Gomes Profa Juliana Martins Philot Colaboradores Karina Bradaschia Rocha 2023 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies 2 EFB110 2023 Sumário 1 Equações paramétricas de curvas 3 2 Parametrização de curvas no ℝ𝟑 4 3 Exercícios 6 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies 2 EFB110 2023 Este texto de apoio trata inicialmente do conceito de curvas Embora bastante familiar e intuitivo em espaços geométricos ℝ2 e ℝ3 em que conhecemos circunferências retas elipses etc a conceituação de curvas pode ser generalizada para um espaço arbitrário ℝn com n ℕ Do ponto de vista intuitivo uma curva é um conjunto de pontos descritos com o auxílio de um único parâmetro como por exemplo as retas no ℝ3 Definição 01 Uma curva no ℝn é uma função 𝛼 𝐼 ℝ ℝ𝑛 𝑡 𝛼𝑡 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 A imagem de 𝛼 ou seja todos os possíveis 𝛼𝑡 é denominada traço ou trajetória da curva 1 Equações paramétricas de curvas Em geral determinar equações para curvas não é tarefa fácil Uma estratégia muito empregada é descrever as curvas empregando funções que expliquem o comportamento de cada coordenada 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 para cada t Este modo de lidar com as curvas têm grande aplicação nas disciplinas Cálculo II e Mecânica Geral da segunda série Definição 02 Sejam 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 funções de uma variável t 𝐼 ℝ 𝑥1 𝑓1𝑡 𝑥2 𝑓2𝑡 𝑥𝑛 𝑓𝑛𝑡 para todo t 𝐼 ℝ Quando t assume todos os valores em I então o ponto 𝑃𝑡 𝑓1𝑡 𝑓2𝑡 𝑓𝑛𝑡 ℝ𝑛 descreve uma curva C em ℝ𝑛 As equações 𝑥1 𝑓1𝑡 𝑥2 𝑓2𝑡 𝑥𝑛 𝑓𝑛𝑡 são chamadas de equações paramétricas da curva Em geral denotase por 𝐶 𝑥1 𝑓1𝑡 𝑥2 𝑓2𝑡 𝑥𝑛 𝑓𝑛𝑡 𝑡 𝐼 Exemplo 01 A função definida por 𝛼𝑡 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 em que 𝑥𝑡 cos7𝑡 𝑦𝑡 sen7𝑡 e 𝑧𝑡 𝑡 representa uma curva C com equações paramétricas dadas por 𝐶 𝑥𝑡 cos7𝑡 𝑦𝑡 sen7𝑡 𝑧𝑡 𝑡 𝑡 ℝ A curva C está representada na Figura 1 Notase que quando t assume todos os valores reais o vetor 𝑣 cos7𝑡 sen7𝑡 𝑡𝑇 representado a partir da origem tem extremidade percorrendo todos os pontos da curva como ilustrado na Figura 2 Observase que a projeção da curva C no plano Oxy é uma circunferência 𝜉 de raio 1 Para cada valor de 𝑡 ℝ a extremidade do vetor 𝑢 cos7𝑡 sen7𝑡 0𝑇 percorre todos os pontos de 𝜉 como observase na Figura 3 Assim os valores da abscissa e ordenada de cada ponto da curva C são determinados pela primeira e segunda coordenadas dos pontos de 𝜉 Notase ainda que que a curva C está contida na superfície cilíndrica de equação 𝑥2 𝑦2 1 como visto na Figura 4 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies 2 EFB110 2023 Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 2 Parametrização de curvas no ℝ3 Não é pretensão deste texto expor uma abordagem geral para o assunto Ao contrário o objetivo é familiarizar o estudante com a representação paramétrica de curvas que será bastante útil em seus estudos nas séries posteriores do curso de engenharia Assim as parametrizações das curvas geradas pela intersecção de superfícies será discutida aqui por meio de exemplos Exemplo 02 Sejam as superfícies 𝑆1 𝑥2 𝑦2 2 e 𝑆2 𝑧 1 𝑥2 𝑦2 Neste caso é simples verificar seja por inspeção dos gráficos das superfícies ou por manipulações algébricas de suas equações que a curva de intersecção é uma circunferência C de raio 2 situada no plano 𝑧 3 como mostra a Figura 5 Para escrever a parametrização desta curva de instersecção lançase mão do fato de que todos os seus pontos satisfazem as relações 𝐶 𝑥2 𝑦2 2 𝐼 𝑧 1 𝑥2 𝑦2 𝐼𝐼 Substituindo I em II temse 𝑧 3 Assim até o momento 𝐶 𝑥 𝑦 𝑧 3 Figura 5 Figura 6 Para finalizar a parametrização é preciso determinar as funções 𝑥𝑡 e 𝑦𝑡 Neste caso notase que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C são iguais àquelas dos pontos da circunferência C1 situada no plano Oxy e de equação 𝑥2 𝑦2 2 como ilustrado na Figura 6 Temse 𝐶1 𝑥 2 cos𝑡 𝑦 2 sent 𝑡 ℝ EFB110 Vetores Curvas e Superfícies 2 EFB110 2023 Logo a parametrização da curva 𝐶 𝑥2 𝑦2 2 𝑧 1 𝑥2 𝑦2 é dada por 𝐶 𝑥𝑡 2 cos𝑡 𝑦𝑡 2 sen𝑡 𝑧𝑡 3 𝑡 ℝ Exemplo 03 Sejam as superfícies 𝑆1 𝑥 12 𝑦2 1 e 𝑆2 𝑧 𝑦 4 0 Observase que 𝑆1 é uma superfície cilíndrica paralela ao eixo Oz e 𝑆2 é um plano Para determinar uma equação paramétrica da curva 𝐶 𝑥 12 𝑦2 1 I 𝑧 𝑦 4 0 II observase que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C são iguais àquelas dos pontos da circunferência C1 situada no plano Oxy e de equação 𝑥 12 𝑦2 1 vide Figura 7 Figura 7 Temse 𝐶1 𝑥 1 cos𝑡 𝑦 sent 𝑡 ℝ Logo a parametrização de 𝐶 𝑥 12 𝑦2 1 𝑧 𝑦 4 0 é dada por 𝐶 𝑥 1 cos𝑡 𝑦 sen𝑡 𝑡 ℝ 𝑧 Para determinar a função 𝑧𝑡 substuise na equação II a relação 𝑦 sen 𝑡 Assim 𝑧𝑡 4 sen 𝑡 o que completa a parametrização de C 𝐶 𝑥 1 cos𝑡 𝑦 sen𝑡 𝑡 ℝ 𝑧 4 sen𝑡 Exemplo 04 Seja a curva 𝐶 𝑥2 1 𝑧 I 𝑦2 𝑧 II Para parametrizála substituise II em I obtendo 𝑥2 1 𝑦2 𝑥2 𝑦2 1 III Observandose a equação III concluise que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C estão sobre a circunferência C1 situada no plano Oxy vide Figura 8 A parametrização de III é dada por 𝐶 𝑥 cos𝑡 𝑦 sen𝑡 EFB110 Vetores Curvas e Superfícies 2 EFB110 2023 Até o momento uma possível parametrização para C é 𝐶 𝑥 cos𝑡 𝑦 sen𝑡 𝑧 𝑡 ℝ Para completar a parametrização basta substituir em II a relação 𝑦 sen𝑡 e obter 𝑧 sen2𝑡 Figura 8 Logo escrevese 𝐶 𝑥 cos𝑡 𝑦 sen𝑡 𝑧 sen2𝑡 𝑡 ℝ Observação Podese também substituir em I 𝑥 cos𝑡 e obter 𝑧 1 cos2𝑡 A parametrização final seria a mesma uma vez que 𝑧 1 cos2𝑡 sen2𝑡 3 Exercícios Determine as equações paramétricas da curva de intersecção das superfícies faça um esboço das superfícies e assinale a curva1 𝒂 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 𝑥2 𝑦2 1 𝒃 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧 3 𝑥 𝒄 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 𝑧 3𝑥 𝒅 𝑥2 1 𝑧 𝑦2 𝑧 𝒆 𝑥2 1 𝑧 𝑥2 1 𝑦 𝒇 𝑥2 𝑦2 4 𝑧 2 𝑥2 2 𝒈 𝑥2 𝑦2 𝑧 4 𝑥 𝑦 2 𝒉 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 𝑦 𝑧 1 𝒊 𝑥2 𝑦2 𝑧 3 𝑥 2𝑦 𝑧 0 𝒋 𝑥2 𝑦2 𝑧 3 𝑦 32 2𝑧 𝒌 𝑥2 4 2𝑦2 1 𝑦 12 𝑧 𝒎 𝑧2 1 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑧 2 Desafio 𝑥2 𝑦2 𝑧2 3 𝑥 22 𝑦2 𝑧 12 2 1 Um modo de verificar as respostas dos exercícios é usar um software gráfico exemplo Geogebra EFB110 Vetores Curvas e Superfícies 2 EFB110 2023 Referências Bibliograficas Frensel K Delgado J Equações paramétricas das cônicas Disponível em httpwwwprofessoresuffbrkatiafrenselaulasga2ga2aula1pdf Santos R J Seções Cônicas Disponível em httpwwwmatufmgbrregigaaltconicaspdf Santos R J Superfícies e curvas no espaço Disponível em httpwwwmatufmgbrregigaaltquadricaspdf