Estudo do Plano: Posições Relativas entre Planos, Retas e Exercícios

EFB110 Vetores Curvas e Superfícies 1 Capítulo 4 Parte II Estudo do Plano Prof Vitor Alex Oliveira Alves Profa Eloiza Gomes Colaboradores Karina Bradashia Rocha 2021 2 Sumário 1 Posições relativas entre planos 3 11 Planos paralelos 3 12 Planos concorrentes 3 2 Posições relativas entre retas e planos 4 21 Retas e planos paralelos 4 22 Retas e planos concorrentes 4 23 Ângulo entre planos 8 24 Ângulo entre plano e reta 9 3 Exercícios resolvidos 9 4 Exercícios propostos 11 5 Respostas dos exercícios propostos 14 3 1 Posições relativas entre planos 11 Planos paralelos Dois planos 𝛼 e 𝛽 são paralelos quando compartilham uma mesma direção normal Duas situações são possíveis 𝛼 e 𝛽 são estritamente paralelos ou coincidentes como visto nas Figuras 1 e 2 em que também são vistas as condições geométricas que permitem diferenciar uma situação da outra Figura 1 Planos estritamente paralelos Figura 2 Planos coincidentes 12 Planos concorrentes Dois planos 𝛼 e 𝛽 são concorrentes quando a intersecção entre eles é uma reta ou seja reta r como visto na Figura 3 Uma situação especial é o caso em que 𝛼 e 𝛽 são perpendiculares Figura 4 Figura 3 Planos concorrentes Figura 4 Planos perpendiculares 4 2 Posições relativas entre retas e planos 21 Retas e planos paralelos Uma reta r e um plano 𝛼 são paralelos se e somente se a direção da reta r é também uma direção do plano 𝛼 Equivalentemente o paralelismo entre reta e plano ocorre quando a direção da reta r vetor 𝑢𝑟 é ortogonal à direção normal ao plano 𝛼 vetor 𝑛𝑎 São duas situações possíveis r e 𝛼 são estritamente paralelos ou r está contida em 𝛼 como ilustrado nas Figuras 5 e 6 Figura 5 Reta e plano estritamente paralelos Figura 6 Reta contida em plano 22 Retas e planos concorrentes Uma reta r e um plano 𝛼 são concorrentes quando se interceptam Ou seja r I vide Figura 7 Um caso particular de grande interesse consiste em uma reta perpendicular a um plano como ilustrado na Figura 8 Figura 7 Reta e plano concorrentes Figura 8 Reta perpendicular a um plano Exemplo 01 Sejam o plano 2 7 0 x y z e as retas 1 2 3 1 2 x r y z 2 4 1 3 3 x r y z 3 2 1 2 x a t r y m t z t 5 a Mostre que 𝑟1 𝜋 e determine P tal que 1 P r A condição de paralelismo entre reta e plano exige a ortogonalidade entre os vetores diretor da reta e normal do plano Na situação de interesse ou seja 𝑟1 𝜋 𝑢𝑟1 𝑛𝜋 𝑢𝑟1 𝑛𝜋 0 Mas 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 ur n Logo temse 1r e existe um ponto de intersecção da reta 1r com o plano Assim as coordenadas deste ponto devem satisfazer as equações da reta 1r e do plano simultaneamente Podese escrever 2 3 1 2 2 7 0 x y z x y z o que leva a 1 1 2 2 3 1 2 7 0 1 3 2 1 r P b Mostre que 𝑟2 𝜋 e que 2r A seguir determine a distância da reta 2r ao plano Novamente devese investigar a ortogonalidade entre os vetores diretor da reta e normal do plano Temos 𝑢𝑟2 𝑛𝜋 1 3 1 2 1 1 2 3 1 0 𝑢𝑟2 𝑛𝜋 𝑟2 𝜋 No entanto a condição de paralelismo pode indicar 2r Para testar essa possibilidade é necessário verificar se os pontos da reta 2r também são pontos do plano Seja 2 4 1 3 A r Caso A as coordenadas de A devem também satisfazer a equação do plano De fato 2 2 4 1 3 7 8 1 3 7 1 0 r e então 𝑟2 𝜋 Figura 9 A distância da reta r2 ao plano π é igual à distância de entre qualquer ponto de r2 e o plano π Resta determinar a distância da reta 2r ao plano Notase que esta distância é igual à distância entre qualquer ponto de 2r e o plano como visto na Figura 9 Existem dois caminhos para a determinação desta distância O primeiro deles é ilustrado na Figura 10 De início constroise a reta t que passa por um ponto de 2r A por exemplo perpendicularmente ao plano 6 Figura 10 Determinando a distância de ponto a plano A seguir determinase o ponto T t Assim a distância d do ponto A ao plano é igual à norma do vetor 𝐴𝑇 Este método é simples e de fácil aplicação No entanto é possível determinar a distância d por meio de uma expressão fechada sem a necessidade da construção da reta t e da determinação do ponto T Esta estratégia se fundamenta no esquema ilustrado na Figura 11 Figura 11 Uma expressão para a distância de ponto a plano Seja A um ponto do espaço A distância d do ponto A ao plano pode ser determinada a partir de dist dist d A A A A A A A projn A P n A P n I Além disso é possível escrever 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 P x y z ax by cz d d ax by cz II 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 T A P x y z x y z x x y y z z 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 A P n a x x b y y c z z ax by cz ax by cz III Aplicando I em III temse 0 0 0 A P n ax by cz d IV Também 𝑛𝜋 𝑎2 𝑏2 𝑐2 V Levando IV e V em I vem 𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐴 𝜋 𝑎𝑥0 𝑏𝑦0 𝑐𝑧0 𝑑 𝑎2 𝑏2 𝑐2 Na situação examinada neste exemplo a distância da reta 2r ao plano é igual à distância do ponto 4 1 3 A ao plano Aplicando a expressão VI temse 2 2 2 2 2 4 1 1 1 3 7 1 1 6 6 2 1 1 d r d A VI 7 c Determinar os valores de a e m para que 3r esteja contida em A condição 3r implica em que 𝑟3 𝜋 Logo temse 𝑢𝑟3 𝑛𝜋 𝑢𝑟3 𝑛𝜋 0 Então 2 1 2 1 2 2 0 4 1 m m m Agora é preciso garantir que todos os pontos da reta 3r pertençam também ao plano Seja 3 2 1 B a r Se 3r então B Daí 2 2 1 7 0 5 a a A situação geométrica examinada neste exemplo é resumida no esquema da Figura 12 Figura 12 Situação geométrica do Exemplo 01 Exemplo 02 Determine os valores dos parâmetros a e b para que os planos 1 2 3 2 0 ax y z e 2 2 2 6 0 x by z fiquem paralelos A seguir mostre que 1 2 A condição 𝜋1 𝜋2 implica em 𝑛1 𝑛2 Então 2 3 2 2 a b A segunda igualdade revela que 4 b 3 Daí 3 a Para mostrar que 1 2 basta verificar que 1 2 P P Outra maneira mais elegante é mostrar que o sistema linear S é inconsistente 𝑆 3𝑥 2𝑦 3𝑧 2 0 2𝑥 4 3 𝑦 2𝑧 6 0 3 2 3 2 4 3 2 2 6 𝐸212 3 3 2 3 0 0 0 2 14 3 que é um sistema inconsistente 8 Exemplo 03 Determine os parâmetros l e n para que a reta 2 4 1 4 T r P x yz l n fique perpendicular ao plano 2 2 5 0 x y z Calcule as coordenadas de P r 𝑆𝑒 𝑟 𝜋 𝑢𝑟 𝑛𝜋 𝑙 2 4 2 𝑛 1 𝑙 4 𝑒 𝑛 2 Assim 2 4 1 4 4 2 T r P x yz Para determinar as coordenadas do ponto P basta lembrar que 2 4 4 4 1 2 P r P Então 2 2 4 2 4 4 1 2 5 0 1 P Logo 1 1 2 0 1 r P Exemplo 04 Construa uma equação cartesiana para o plano que passa por 4 7 3 A e é perpendicular à reta 4000 5000 7000 1 2 1 T r x yz Desejase r Ou seja r n u Adotando 1 2 1 T r n u constróise a família de planos paralelos 2 0 i x y z d Mas 4 7 3 A Logo as coordenadas de A devem satisfazer a equação do plano Logo 4 2 7 3 0 13 d d e 2 13 0 x y z 23 Ângulo entre planos Sejam e dois planos concorrentes Desejase determinar definido como o menor ângulo entre e Equivalentemente é o menor ângulo entre retas normais aos planos e como ilustrado na Figura 13 De fato é sempre possível construir r e s tal que P r s e r s Assim utilizando o produto escalar determinase a partir de cos n n n n Figura 13 Ângulo entre dois planos 9 24 Ângulo entre plano e reta O ângulo estabelecido entre uma reta r e um plano 𝜃 𝑟 𝛼 é definido como o menor ângulo possível entre todos os ângulos que a reta r faz com as retas contidas no plano que a interceptam Este menor ângulo é realizado justamente pela reta do plano que é a projeção ortogonal da reta r veja a Figura 25 Outra forma de visualizar é dizer que o ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo mínimo entre o plano e a reta dentre todas as visões de perfil possíveis do plano A Figura 14 ainda revela que 𝜃 𝑟 𝛼 é o complemento do ângulo formado pela reta r e por uma reta s normal ao plano 𝜑 𝑟 𝑠 Assim tem se arccos 2 2 r r n u n u arcsen sen r r r r n u n u n u n u n r u r I n proj r r s Figura 14 Ângulo entre reta e plano 3 Exercícios resolvidos R01 Determine a equação geral do plano 1 com 1 2 sendo 2 1 13 1 3 2 0 1 3 T T x y z R e 1 3 14 P Solução A partir da equação vetorial dada para o plano 2 podemos determinar dois de seus vetores diretores e fazendo o produto vetorial deles obteremos um vetor normal a ele e já que 2 1 o mesmo vetor será normal ao plano 1 depois basta utilizar o ponto P para terminar o problema 2 2 1 1 1 1 3 2 0 1 3 1 3 2 11 3 1 0 1 3 11 3 0 3 14 113 3 1 4 0 32 T T i j k u v n u v x y z d P d d 1 11 3 32 0 x y z 10 R02 Determine a equação geral do plano 1 de modo que 1 40 2 P e 1 r com 3 2 1 5 3 x r y R z Solução É fácil observar que 40 2 P r logo se construirmos um vetor que ligue P com o ponto 3 15 A r teremos dois vetores paralelos ao plano 1 e não paralelos entre si depois tomando o produto vetorial destes vetores teremos um vetor normal ao plano e bastará utilizar a informação de que 1 P para determinarmos a equação procurada Então 1 1 1 1 3 15 1 1 7 2 1 3 1 1 7 4 17 3 4 17 3 0 2 1 3 T T T A r AP u i j k n AP u x y z d 1 1 40 2 44 170 3 2 0 10 4 17 3 10 0 P d d x y z R03 Dados 1 4 3 6 0 x z e 2 3 2 4 0 x y z determine 1 2 ang Solução O ângulo entre os dois planos é igual ao ângulo entre seus respectivos vetores normais Então 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 0 3 3 1 2 4 0 3 1 4 3 01 32 6 2 6 6 cos arccos 5 14 5 14 T T n n n n n n n n R04 Determine a equação geral do plano 1 de modo que 1 40 5 A 1 12 2 B e 1 2 com 2 3 2 2 6 0 x y z Solução 1 1 1 5 2 3 A B AB Então 1 1 1 5 2 3 5 2 3 0 1 T a n a b c AB n b a b c c 2 2 2 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 0 2 T a n n n b a b c c 11 1 1 1 1 5 2 3 0 2 2 0 3 2 2 0 2 2 40 5 4 10 0 6 2 6 0 2 2 2 4 12 0 a b c a a c a b ax y az d a b c a P a a d d a ax y az a a x y z 4 Exercícios propostos P01 Esboce em Oxyz os planos de equações 1 3 z 2 2 0 x 3 1 0 x y 4 2 0 x z 5 2 3 1 0 y z 6 2 3 6 x y z P02 Determinar a equação cartesiana do plano 1 paralelo a 2 2 10000 0 x y z que passa pelo ponto 1 10 10 10 P P03 Sejam o plano 9 0 ax y cz e as retas 1 4 3 1 x r y z e 2 4 2 1 x r y z Pedese a Encontrar a e c para que se tenha paralelo tanto a 1r como a 2r b Mostrar qual dentre as retas 1r e 2r fica mais próxima de Qual é a distância desta reta mais próxima até o plano P04 Determine o valor dos parâmetros m e n para que 1 3 0 x m y z fique paralelo ao plano 2 2 4 0 nx y z A seguir aponte um ponto 1 1 A e B Finalmente construa uma equação cartesiana para o plano 2 simétrico de 1 em relação a P05 Construa uma equação cartesiana para o plano que passa por 5 7 1 Q e é paralelo às retas 5 3 1 1 1 2 T r x yz e 2 100 2 2 1 x y z e s P06 Determine a equação do plano das retas paralelas 1 1 1 6 3 2 x y z r e 2 2 3 r x y z P07 São dados o plano 2 0 x y z e o ponto 1 2 3 D Pedese a Equações paramétricas da reta t que passa pelo ponto D b As coordenadas do ponto M t c A equação geral do plano que passa por D e é paralelo a d A distância entre os planos e 12 P08 São dados o plano 2 6 0 x y z e a reta com Pedese a As coordenadas do ponto P onde r intercepta o plano b A equação do plano que projeta r ortogonalmente no plano c Equações paramétricas da reta r que é a projeção ortogonal da reta r no plano d Equações paramétricas da reta r simétrica de r em relação a P09 Obtenha a equação geral do plano 1 que contém a reta 1 0 1 0 3 1 T r R e é perpendicular ao plano 2 2 2 0 x y z Obtenha uma equação vetorial de 1 2 P10 Obtenha uma equação paramétrica da reta t paralela a 1 2 1 0 x y z e 2 4 2 0 x y z e também concorrente com as retas 2 2 3 1 x y z r x y e 4 2 2 2 3 x y z s x y z P11 São dados a reta 10 3 1 2 x r y z e o plano 3 2 0 x y z Pedemse a As coordenadas do ponto Q r b Seja 10 1 2 A Escreva equações paramétricas da reta p que passa por A e é perpendicular a c Determine a projeção ortogonal A de A em d Encontre o ponto A simétrico de A em relação a e Escreva equações paramétricas da reta r simétrica de r em relação a e Determine a medida angular 𝜃 𝑟 𝜋 f Faça um esboço da situação geométrica P12 A reta t é paralela ao plano Oxz está contida em 2 2 x y z e é concorrente com 2 1 1 1 0 2 T s S Obtenha uma equação vetorial de t P13 Obtenha uma equação geral do plano π que contém a origem do sistema de coordenadas é paralelo a 1 1 4 5 y z r x e perpendicular ao plano 1 2 3 0 4 3 1 1 2 T T X P14 Sejam os planos 1 2 5 0 m x y z e 6 6 12 0 x ny z a Determine o valor dos parâmetros m e n para que 1 fique paralelo ao plano b A seguir escolha um ponto 1 A e um ponto B c Escreva a equação cartesiana do plano 2 simétrico de 1 em relação a d Determine 1 2 2 1 4 4 x r y z 13 P15 O triângulo ABC é retângulo em B e está contido em 1 1 x y z O cateto BC está contido em 2 2 2 0 x y z e a hipotenusa mede 2 6 3 Sendo 0 1 0 A determine os pontos B e C P16 Na figura ao lado temos i 2 7 0 x y z ii 3 5 2 A 8 1 4 B e 8 3 1 C iii O AB C é a projeção ortogonal do ABC em iv O AB C é o simétrico do ABC em relação a a Determinar para que se tenha A e fornecer as coordenadas de A b Escrever equações paramétricas da reta p que passa por B perpendicularmente c Fornecer as coordenadas da projeção ortogonal B de B em d Determinar as coordenadas do simétrico B de B em relação a e Encontrar para que o lado BC do ABC fique paralelo a dê as coordenadas de C f Escreva as coordenadas do vértice C do AB C g Escreva as coordenadas do vértice C do AB C h As áreas dos triângulos envolvidos são iguais Justifique sua resposta sem o auxílio de cálculos P17 Sejam as retas 1 1 2 0 1 1 T r X 2 1 s x y z z e 3 0 2 1 0 x z t x y z Mostre que existe um único ponto comum entre essas três retas e calcule o volume do tetraedro determinado por elas e pelo plano 3 0 x y z P18 Existe uma reta paralela a 1 1 1 3 0 1 T T X que contenha 2 2 1 P e seja concorrente com 1 0 0 2 0 1 T r R Por quê P19 Especifique de acordo com os valores de h e k o lugar geométrico dos pontos caracterizado pelo sistema de equações 2 1 x y z kx y z h P20 Calcule a distância entre a reta r e o plano a 0 2 3 r x y z x y z e 4 y z b 1 3 r x y z e 2 3 10 0 x y z c r é o eixo das abscissas e 2 y z 14 P21 Calcule a distância entre os planos a 1 2 2 9 0 x y z e 2 4 2 4 21 0 x y z b 1 5 2 x y z e 2 2 1 2 1 0 3 1 1 0 T T X c 1 5 2 x y z e 2 2 0 0 1 0 1 1 1 0 T T X P22 O plano é determinado por 5 4 r x z y e 4 1 1 4 2 3 T s S Obtenha as equações gerais dos planos que distam 2 de P23 Obtenha a medida angular entre as retas e os planos a seguir a 0 r x y z e 0 z b 0 0 1 1 1 0 T r X e 3 4 0 x y c 1 0 0 1 1 2 T r X e 1 0 x y z P24 Calcule a medida angular entre os planos a 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 T T X e 2 0 x y z b 1 1 0 0 1 1 1 T T X e 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 T T X 5 Respostas dos exercícios propostos P01 1 3 z 2 2 0 x 15 3 1 0 x y 4 2 0 x z 5 2 3 1 0 y z 6 2 3 6 x y z P02 1 2 2 10 0 x y z P03 a a 1 1 c b 6 3 e a reta mais próxima de é a reta 2r P04 1 m 2 n 2 1 0 x y z P05 3 5 4 16 0 x y z P06 2 2 9 0 x y z P07 a 1 2 3 x t y z 𝛼 ℝ b 1 2 5 3 3 3 M c 6 0 x y z d 4 3 P08 a 3 3 3 P b 6 0 x z 16 c 6 6 x t r y t z t 𝑡 ℝ d 3 3 3 3 x r y z 𝜌 ℝ P09 1 7 3 10 0 x y z e 3 1 1 17 0 1 2 2 8 8 T P 𝜆 ℝ P10 1 2 2 x t y z 𝛼 ℝ P11 a 1 2 1 Q b 10 3 1 2 x p y z 𝛼 ℝ c 29 16 49 11 11 11 A d 52 43 76 11 11 11 A e 1 63 2 21 1 87 x r y z 𝜃 ℝ f Faça seu esboço P12 3 1 3 x t y z 𝜆 ℝ P13 𝛼𝑥 51𝑦 41𝑧 0 P14 a m 2 n 3 b 0 1 3 A 1 0 3 B c 2 2 2 3 0 x y z d 𝜃 0 P15 𝐵 2 3 2 3 1 3 𝐶 2 3 5 3 4 3 ou 𝐶 2 3 1 3 2 3 P16 a 1 b 8 2 1 4 x t p y t z t 𝑡 ℝ c 4 3 2 B d 0 5 0 B e 5 13 8 1 C 17 f 9 10 1 C g 5 12 3 C h Pense a respeito das projeções P17 𝑃 112 e 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 5 3 P18 A reta r não é paralela ao plano 𝜋 verifique A reta s está contida em um plano 𝜋1 𝜋 logo r não é paralela a 𝜋1 Então existe um ponto 𝑅𝑅 𝑟 𝜋1 Assim s é a reta que passa por P e R P19 Se 𝑘 2 há duas possibilidades Onde ℎ 1 acarreta em um sistema de dois planos coincidentes ou seja os pontos caracterizados pelo sistema serão todos aqueles que pertencem a ambos planos Quando ℎ 1 temos dois planos paralelos desta forma os pontos serão um conjunto vazio já que dois planos paralelos não possuem intersecção Se 𝑘 2 cairemos na situação onde há dois planos não paralelos que se cruzam desta forma os pontos caracterizados pelo sistema serão colineares e pertencem a reta que define a intersecção dos planos P20 a 𝑑 22 b 𝑑 0 c 𝑑 1 P21 a 𝑑 3 b Impossível pois 𝜋1 não é paralelo a 𝜋2 c 𝑑 3 6 P22 𝜋12𝑥 𝑦 2𝑧 15 0 e 𝜋22𝑥 𝑦 2𝑧 3 0 P23 a 𝜃 𝜋 4 b 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 2 10 c 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 22 3 P24 a 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1 3 b 𝜃 𝜋 4