Notas de Aula: Superfícies Esféricas

EFB110 Vetores Curvas e Superfícies 1 Notas de Aula Superfícies Esféricas Prof Vitor Alex Oliveira Alves Profa Eloiza Gomes Colaboradora Karina Bradaschia Rocha 2023 2 Sumário 1 Definições 3 2 Intersecção e posição relativa entre reta e superfície esférica 7 3 Interseção e posição relativa entre plano e superfície esférica 8 4 Exercícios propostos 10 5 Respostas dos exercícios propostos 12 3 NOTAS DE AULA SUPERFÍCIES ESFÉRICAS 1 Definições O P r Considere a origem de um dado sistema cartesiano Oxyz e o número real 𝑟 0 Definição 1 Superfície esférica 𝜏 de centro na origem O e raio 𝑟 0 é o conjunto dos pontos 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 do espaço extremidades dos vetores 𝑂𝑃 tal que 𝑂𝑃 𝑟 Desta maneira 𝑃 𝜏 se e somente se 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑃 𝑂 𝑟 Equivalentemente 𝑃 𝑂 𝑟 Ou ainda 𝑃 𝜏 𝜏𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟2 que é a equação reduzida da superfície esférica 𝜏 P r C OC O r Definição 2 Superfície esférica 𝜀 de centro 𝐶 𝑥0 𝑦0 𝑧0 e raio 𝑟 0 é o conjunto dos pontos 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 do espaço extremidades dos vetores 𝑂𝑃 𝑂𝐶 𝐶𝑃 tal que 𝐶𝑃 𝑟 Em outras palavras a superfície esférica 𝜀 é a translação de 𝜏 pelo vetor 𝑂𝐶 𝑥0 𝑦0 𝑧0𝑇 Logo 𝑃 𝜀 se e somente se 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑃 𝐶 𝑟 ou seja 𝑃 𝜀 𝜀𝑥 𝑥02 𝑦 𝑦02 𝑧 𝑧02 𝑟2 I que é a equação reduzida de 𝜀 Generalização Desenvolvendo a equação I forma transladada obtémse uma nova expressão para a equação da superfície esférica 𝜀 𝜀𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥0𝑥 2𝑦0𝑦 2𝑧0𝑧 𝑥0 2 𝑦0 2 𝑧0 2 𝑟2 0 II Fazendose 2𝑥0 𝑎 2𝑦0 𝑏 2𝑧0 𝑐 e 𝑥0 2 𝑦0 2 𝑧0 2 𝑟2 𝑑 na equação anterior teremos a forma geral da equação da superfície esférica 𝜀𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 III 4 Devese notar que na equação geral da superfície esférica III os coeficientes dos monômios 𝑥2 𝑦2 e 𝑧2 são iguais Além disso a equação III é a representação em coordenadas da expressão dist2𝑃 𝐶 𝑟2 0 Porém nem toda equação da forma III descreve uma superfície esférica Como exemplo podemse considerar as seguintes equações 𝑥2 𝑦2 𝑧2 5 0 e 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑧 1 0 A primeira não admite soluções reais ou seja descreve um conjunto vazio Por outro lado a segunda tem como única solução o ponto 001 Assim nenhuma dessas equações descreve uma superfície esférica Para determinar se uma equação da forma III representa ou não a equação geral de uma superfície esférica usase o recurso de completar quadrados como visto a seguir 𝜀 𝑥2 2 𝑎 2 𝑥 𝑦2 2 𝑏 2 𝑦 𝑧2 2 𝑐 2 𝑧 𝑑 𝜀 𝑥2 2 𝑎 2 𝑥 𝑎2 4 𝑦2 2 𝑏 2 𝑦 𝑏2 4 𝑧2 2 𝑐 2 𝑧 𝑐2 4 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4 𝑑 ou 𝜀 𝑥 𝑎 2 2 𝑦 𝑏 2 2 𝑧 𝑐 2 2 𝑎2𝑏2𝑐24𝑑 4 Essa equação anterior representa uma superfície esférica de centro 𝐶 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 e raio 𝑟 1 2 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4𝑑 0 se e somente se 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4𝑑 0 No caso em que 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4𝑑 0 a equação ganha a forma 𝜀 𝑥 𝑎 2 2 𝑦 𝑏 2 2 𝑧 𝑐 2 2 0 que só é satisfeita pelo ponto 𝐶 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 Finalmente no caso em que 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4𝑑 0 o conjunto dos pontos 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 definido por é vazio Exemplo 01 Verifique quais das seguintes equações definem superfícies esféricas a seguir determine o centro C e o raio r a 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥 2𝑦 1 0 Essa equação define uma superfície esférica De fato temse 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥 2𝑦 1 0 𝑥 2𝑥 1 𝑦2 2𝑦 1 𝑧2 1 1 1 0 𝑥 12 𝑦 12 𝑧 02 1 𝐶 110 e 𝑟 1 5 b 𝑥2 𝑦2 2𝑧2 2𝑥 2𝑦 0 Essa equação não define uma superfície esférica uma vez que os coeficientes dos monômios 𝑥2 𝑦2 e 𝑧2 não são iguais c 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥 8𝑦 20 0 Essa equação não define uma superfície esférica Temse 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥 8𝑦 20 0 𝑥2 2𝑥 1 𝑦2 8𝑦 16 𝑧2 20 1 16 0 𝑥 12 𝑦 42 𝑧2 3 uma incoerência Exemplo 2 Obtenha a equação geral da superfície esférica S de centro 𝐶 1 10 e raio 𝑟 2 Seja 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 um ponto pertencente a S Uma vez que a condição para que uma equação descreva uma superfície esférica é dist2𝑃 𝐶 𝑟2 obtémse a equação reduzida 𝑆𝑥 12 𝑦 12 𝑧2 4 Ao desenvolver os quadrados escrevese a equação geral 𝑥 12 𝑦 12 𝑧2 4 𝑥2 2𝑥 1 𝑦2 2𝑦 1 𝑧2 4 0 𝑆𝑥2 2𝑥 𝑦2 2𝑦 𝑧2 2 0 Exemplo 3 Obtenha a equação geral da superfície esférica 𝜀 que contém os pontos 𝑃 000 𝑄 100 𝑅 020 e 𝑆 003 Existem duas maneiras de se resolver o problema A primeira delas emprega a forma geral da equação que descreve a superfície esférica 𝜀 A forma da equação procurada é 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 Os pontos P Q R e S devem satisfazer tal equação Assim obtêmse as relações 𝑑 0 1 𝑎 𝑑 0 4 2𝑏 𝑑 0 9 3𝑐 𝑑 0 a partir das quais concluise que 𝑎 1 𝑏 2 𝑐 3 e 𝑑 0 Portanto a equação geral da superfície esférica 𝜀 é expressa por 𝜀𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥 2𝑦 3𝑧 0 Observação Para que 𝜀 seja uma superfície esférica os coeficientes a b c e d presentes na forma geral 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 devem obedecer à condição 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4𝑑 0 Mas essa verificação é necessária no presente caso Na realidade não Como os quatro pontos fornecidos são solução de 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥 2𝑦 3𝑧 0 não ocorrerão as situações em que a solução seria vazia 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4𝑑 0 ou um único ponto 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4𝑑 0 6 O segundo modo de resolução emprega o conceito de plano mediador de um segmento de reta Assim para que esta estratégia de resolução seja analisada é preciso primeiramente investigar os planos mediadores A B M P d1 1 d d2 2 d Para tanto seja um segmento de reta AB O plano 𝛽 mediador deste segmento é o plano que contém todos os pontos equidistantes de A e B ou seja 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 𝛽 se e somente se dist𝐴 𝑃 dist𝐵 𝑃 Notase claramente que o ponto M médio do segmento AB é um ponto do plano mediador Na ilustração ao lado verificase que 𝑃 𝛽 pois dist𝐴 𝑃 dist𝐵 𝑃 𝑑2 Voltando ao problema da determinação da equação da superfície esférica 𝜀 que passa p por P Q R e S Sejam 𝐶 𝑥0 𝑦0 𝑧0 e 𝑟 0 o centro e raio da superfície 𝜀 O ponto C é equidistante de P Q R e S a distância é o raio r e portanto é determinado pela interseção dos planos 𝛼 𝛽 e γ mediadores de PQ PR e PS respectivamente vide figura As equações dos planos 𝛼 𝛽 e γ são t C t 𝛼 2𝑥 1 0 𝛽 𝑦 1 𝛾 2𝑧 3 0 Verifique A intersecção destes planos ocorre no ponto 𝐶 1 2 1 3 2 Por outro lado sabese que 𝑟2 𝑑𝑖𝑠𝑡2𝑃 𝐶 𝑃𝐶 2 𝐶 𝑃2 1 2 1 3 2 000 2 1 4 1 9 4 7 2 Com isso a equação reduzida da superfície esférica é expressa por 𝜀 𝑥 1 2 2 𝑦 12 𝑧 3 2 2 7 2 Desenvolvendose os quadrados obtémse a equação geral 𝜀𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥 2𝑦 3𝑧 0 Exemplo 4 Sejam os pontos 𝐹 111 𝐺 000e 𝐻 110 Localizeos em relação à superfície esférica 𝑆𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥 2𝑦 4𝑧 0 Existem três situações possíveis acerca da posição relativa entre pontos e superfícies esféricas Os pontos podem ser exteriores interiores ou pertencerem à superfície esférica em questão O teste fundamentase no cálculo da distância entre o ponto de interesse e o centro da superfície esférica 7 Assim seja P um ponto qualquer do espaço geométrico tridimensional e S uma superfície esférica de centro C e raio r Caso dist𝑃 𝐶 𝑟 temse 𝑃 𝑆 se dist𝑃 𝐶 𝑟 o ponto P é exterior à S finalmente caso dist𝑃 𝐶 𝑟 concluise que P é interior à S No caso específico do exemplo a equação da superfície esférica na forma na forma reduzida é 𝑆𝑥 12 𝑦 12 𝑧 22 6 Sabendose que dist2𝑃 𝐶 𝑥 12 𝑦 12 𝑧 22 e 𝑟2 6 é possível localizar os pontos em questão Substituindo as coordenadas dos pontos F G e H temse dist2𝑃 𝐶 1 12 1 12 1 22 13 Uma vez que dist2𝑃 𝐶 𝑟2 concluise que o ponto F é exterior a superfície esférica S dist2𝑃 𝐶 0 12 0 12 0 22 6 Como dist2𝑃 𝐶 𝑟2 temse que o ponto G pertence à superfície esférica S dist2𝑃 𝐶 1 12 1 12 0 22 4 O ponto H é interior à superfície esférica S pois dist2𝑃 𝐶 𝑟2 2 Intersecção e posição relativa entre reta e superfície esférica As intersecções e posições relativas entre retas e superfície esféricas podem ser descritas a partir da comparação da distância entre a reta e o centro da superfície esférica com o raio desta superfície Sejam t uma reta e S uma superfície esférica de raio r e centro C As possíveis intersecções e posições relativas entre t e S são definidas a seguir a Se dist𝐶 𝑡 𝑑 𝑟 então t é exterior a S ou seja 𝑆 𝑡 b Se dist𝐶 𝑡 𝑑 𝑟 então t é tangente a S no ponto 𝑆 𝑡 𝑃 De forma equivalente 𝑃 𝑡 e 𝑃𝐶 𝑢 𝑡 a reta 𝑃𝐶 é perpendicular a reta t c Se dist𝐶 𝑡 𝑑 𝑟 então t é secante a S Portanto 𝑆 𝑡 𝑃1 𝑃2 tais que M médio de 𝑃1𝑃2 é a projeção ortogonal de C na reta t Neste caso todos os pontos interiores ao segmento 𝑃1𝑃2 são interiores à S e os demais pontos de t são exteriores à S 8 t r S C d r d r r S C P d r r S C 1 P r 2 P r t t Exemplo 05 Verifique se a reta 𝑠𝑥 𝑦 1 𝑧 é tangente a 𝑆 𝑥 12 𝑦2 𝑧 12 8 3 Se for o caso determine o ponto de tangência Se s for tangente a S então dist𝐶 𝑠 𝑟 em que C é o centro e r é o raio da superfície esférica S Temos 𝐶 101 𝑟 83 e as equações paramétricas da reta s são 𝑠𝑋 010 𝑡 1 1 1𝑇 É necessário calcular dist𝐶 𝑠 Temse 𝑑 dist𝐶 𝑠 𝑅𝐶 𝑢 𝑢 com 𝑅 𝑠 por quê Então 𝑅𝐶 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘 1 1 1 1 1 1 2 0 2𝑇 Logo 𝑑 dist𝐶 𝑠 𝑅𝐶 𝑢 𝑢 2 0 2𝑇 1 1 1𝑇 22 3 8 3 𝑟 Portanto s é tangente a S Resta determinar o ponto 𝑃 𝑠 𝑆 Temse 𝑃 𝑠 𝑃 𝑡 1 𝑡 𝑡 No entanto 𝑃 𝑆 Então é possível escrever 𝑡 12 1 𝑡2 𝑡 12 8 3 2𝑡2 4𝑡 2 1 2𝑡 𝑡2 8 3 3𝑡2 2𝑡 3 8 3 9𝑡2 6𝑡 1 0 3𝑡 12 0 𝑡 1 3 𝑃 1 3 4 3 1 3 3 Interseção e posição relativa entre plano e superfície esférica O estudo das intersecções e das posições relativas entre planos e superfícies esféricas pode ser tratado de maneira análoga à realizada na seção anterior Assim o estudo será realizado a partir da comparação entre o raio da superfície esférica e a distância entre o plano e o centro desta superfície 0 1 0 R 1 0 1 C d s 1 1 1 T u 9 Sejam π um plano e S uma superfície esférica de raio r e centro C As possíveis intersecções e posições relativas entre π e S são definidas a seguir a Se dist𝐶 𝜋 𝑑 𝑟 então π é exterior a S ou seja 𝑆 𝜋 b Se dist𝐶 𝜋 𝑑 𝑟 então π é tangente a S no ponto 𝑆 𝜋 𝑃 De forma equivalente 𝑃 𝜋 e 𝑃𝐶 𝑛 a reta 𝑃𝐶 é perpendicular ao plano π c Se dist𝐶 𝜋 𝑑 𝑟 então π é secante a S Portanto 𝑆 𝜋 𝜙 uma circunferência de raio 𝜌 𝑟2 dist2𝐶 𝜋 contida em π cujo centro 𝐶 é a projeção ortogonal do centro C de S no plano π r S C d r d r r S C S C r P d r Exemplo 06 Determine as intersecçãoões entre a reta 𝑟𝑃 102 𝑡1 1 1𝑇 e a superfície esférica 𝑆𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥 23 0 Seja 𝑅 1 𝑡 𝑡 2 𝑡 𝑟 É necessário determinar o valor do parâmetro t para que o ponto R pertença à superfície esférica S 1 𝑡2 𝑡2 2 𝑡2 21 𝑡 23 0 3𝑡2 4𝑡 20 0 𝑡1 2𝑒𝑡2 10 3 Logo 𝑟 𝑆 é o conjunto formado pelos pontos 𝑅1 124 e 𝑅2 13 3 10 3 4 3 Consequentemente a reta r é secante à superfície esférica S Exemplo 07 Obtenha equações gerais dos planos paralelos a 𝜋𝑥 𝑦 𝑧 2 0 que são tangentes a superfície esférica 𝑆𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥 2𝑦 1 0 A família de planos paralelos a 𝜋 é expressa por 𝜋𝑖𝑥 𝑦 𝑧 𝑑 0 Uma vez que existem planos 𝜋𝑖 tangentes a S então dist𝐶 𝜋𝑖 𝑟 Temse 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2𝑥 2𝑦 1 0 𝑥 12 𝑦 12 𝑧2 3 𝐶 1 10𝑒𝑟 3 Logo dist𝐶 𝜋𝑖 3 11𝑑 111 𝑑 2 3 𝑑 2 3 10 Finalmente 𝑑1 1 e 𝑑2 5 Logo 𝜋1𝑥 𝑦 𝑧 1 0 e 𝜋2𝑥 𝑦 𝑧 5 0 são tangentes a superfície esférica S Exemplo 08 Obtenha uma parametrização para a curva gerada pela intersecção do plano 𝜋 𝑥 𝑧 1 0 com a superfície esférica 𝑆 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 A curva gerada por essa intersecção é uma circunferência pois 𝑑𝑖𝑠𝑡𝐶 𝜋 1 2 2 Note que 𝐶 000 é o centro da superfície esférica e 2 é o valor do raio Então podemos afirmar que a circunferência C é gerada pelos pontos que satisfazem o sistema 𝐶 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 𝐼 𝑥 𝑧 1 0 𝐼𝐼 Podemos escrever que 𝑥 𝑧 1 0 𝑧 𝑥 1 Substituindo em 𝐼 temos 𝑥2 𝑦2 𝑥 12 4 𝑥2 𝑦2 𝑥2 2𝑥 1 4 2𝑥2 𝑦2 2𝑥 3 0 Assim obtemos a equação de uma elipse 𝑥1 2 2 7 4 𝑦2 7 2 1 Uma parametrização para essa elipse pode ser 𝑥 1 2 7 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 7 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 0 𝑡 2𝜋 Substituindo em 𝑥 𝑧 1 0 𝑧 𝑥 1 𝑧 1 2 7 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 Desta forma uma parametrização para a circunferência é C 𝑥 1 2 7 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 7 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑧 1 2 7 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 0 𝑡 2𝜋 4 Exercícios propostos E01 Verifique quais dentre as seguintes equações definem superfícies esféricas a seguir determine o centro C o raio r e esboce em Oxyz as superfícies esféricas encontradas a 2 2 2 0 0 x y z az a b 2 2 2 3 3 3 1 x y z c 2 2 2 2 2 4 0 x y z x y z F nos casos em que 1 F 2 2 F 6 e 3 F 8 d 2 2 2 2 2 2 0 x y z x y E02 Obtenha uma equação da superfície esférica de centro 𝐶 112 que contém o ponto 𝐴 113 E03 Calcule a menor distância 𝛿 do ponto 𝑃 1 13 à superfície esférica 𝑆𝑥2 𝑦2 𝑧2 6𝑥 4𝑦 10𝑧 62 0 11 E04 Localize em relação à superfície esférica 𝑆𝑥2 𝑦2 𝑧2 6𝑥 2𝑦 2𝑧 7 0 os pontos 𝐴 2 13 e 𝐵 3 10 E05 Sejam 𝑟𝑅 10 𝑎 𝜆 1 1 0𝑇 e 𝑆8𝑥2 8𝑦2 8𝑧2 16𝑥 24𝑦 8𝑧 19 0 Determine em cada caso valores do parâmetro a para que a r seja tangente a S b r seja secante a S c r seja exterior a S E06 Obtenha uma equação da superfície esférica 𝜏 de centro 𝐶 32 2 que tangencia o plano 𝜋𝑥 3𝑦 2𝑧 1 0 E07 Determine uma equação da superfície esférica de centro 2 3 1 C e tangente ao plano 2 2 9 0 x y z Calcule também as coordenadas do ponto de tangência 0 P E08 São dados os pontos 5 2 4 A 4 1 2 B e a reta 3 3 3 r P Pedese a Um ponto R na reta r que seja equidistante de A e B b Uma equação para a superfície esférica de centro na reta r e passando pelos pontos A e B c As coordenadas do ponto D de mais distante do plano coordenado Oxy E09 São dados o plano 4 4 7 96 0 x y z e o ponto 1 6 3 A Pedese a Determinar o valor do parâmetro m para o qual 7 8 M m b Escrever equações para métricas da reta p que passa por M perpendicularmente ao plano c Encontrar as coordenadas do ponto C da reta p que é equidistante do ponto A e do plano d Escrever uma equação cartesiana da superfície esférica tangente ao plano em M e passando pelo ponto A dado E10 Determine as equações dos planos 1 e 2 perpendiculares à reta 1 10 4 6 5 x y z s e tangentes à superfície esférica 2 2 2 10 2 26 113 0 x y z x y z E11 Determine a equação da superfície esférica que passa pelos pontos 1 8 14 R e 3 9 11 S e tem centro na reta 𝑥 𝑦 𝑧 102 𝜆0 2 3𝑇 E12 Dada a equação da superfície esférica 2 2 2 1 4 1 5 12 x y z pedese a A equação do plano tangente a 1 no ponto 0 2 3 3 P b A equação da superfície esférica 2 simétrica de 1 em relação ao plano 12 E13 Encontre a equação da superfície esférica tangente ao plano 2 0 x y z no ponto 0 1 1 1 P e que tem centro C no plano 2 3 0 x z E14 Obtenha uma parametrização para a curva gerada pela intersecção do plano com a superfície esférica quando a 𝜋 𝑦 𝑧 1 0 e 𝑆 𝑥 22 𝑦 32 𝑧 12 2 b 𝜋 𝑦 𝑧 0 e 𝑆 𝑥 32 𝑦 42 𝑧 42 6 5 Respostas dos exercícios propostos E01 a 𝐶 00 𝑎 2 𝑟 𝑎 2 b 𝐶 000 𝑟 1 3 c 𝐹1 2 𝐶 11 2 𝑟 5 𝐹2 6 𝐶 11 2 3 F 8 não é superfície esférica d Não é superfície esférica E02 𝜏𝑥 12 𝑦 12 𝑧 22 1 E03 𝛿 7 E04 𝐴 2 13 é externo à S 𝐵 3 10 é interno à S E05 a 𝑎 1 2 b Esta situação não ocorre c 𝑎 1 2 E06 𝜏𝑥 32 𝑦 22 𝑧 22 14 E07 𝑃0 17 9 25 9 7 9e 𝜏9𝑥2 9𝑦2 9𝑧2 36𝑥 54𝑦 18𝑧 125 0 E08 a 𝑅 333 b 𝜉𝑥 32 𝑦 32 𝑧 32 6 c 𝐷 333 6 E09 a 𝑚 3 b 𝑝𝑃 738 𝜆 4 4 7𝑇 c 𝐶 3 11 d 𝜉𝑥 32 𝑦 12 𝑧 12 9 E10 𝜋14𝑥 6𝑦 5𝑧 205 0 e 𝜋24𝑥 6𝑦 5𝑧 103 0 E11 𝜏𝑥 12 𝑦 62 𝑧 112 13 E12 a 𝛼𝑥 𝑦 𝑧 2 0 b 𝜁2𝑥2 𝑦 52 𝑧 12 12 E13 𝜏𝑥 12 𝑦 52 𝑧 12 24 E14 a 𝑥 2 2cos 𝑡 𝑦 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑧 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 0 𝑡 2𝜋 b 𝑥 3 6 cos 𝑡 𝑦 4 3 sen 𝑡 𝑧 3 3 sen 𝑡 0 𝑡 2𝜋