Aula 2: Modelo de Regressão Linear Simples - Especificação e Estimação

2º Aula O Modelo de Regressão Linear Simples Especifi cação e Estimação Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de identificar o que é um modelo econômico e econométrico explicar o que são variáveis dependentes e independentes a importância do termo de erro e por que esse termo de erro não pode ser significante dentro do modelo derivar os parâmetros dos modelos e saber encontrar os estimadores interpretar um modelo de regressão linear simples Sejam bemvindosas novamente alunosas Em nossa primeira aula vimos um pouco sobre a obtenção de dados como organizálos e a importância da Econometria em nosso dia a dia Em nossa segunda aula veremos o lado mais aprofundado dos modelos econômicos e econométricos iniciando com a especificação e estimação de um modelo de regressão linear simples Modelo esse no qual inicialmente teremos duas variáveis a serem analisadas uma variável explicada e uma variável explicativa assim como em funções lineares vistas na matemática básica do nosso Ensino Médio Em nossos primeiros momentos de estudo dentro de um curso de economia deparamonos com algumas relações de variáveis econômicas como por exemplo sabemos que para um bem normal temos uma relação positiva entre quantidade e preços no lado da oferta ou seja quando aumenta o preço do bem no mercado a tendência é o ofertante aumentar sua quantidade a relação inversa ocorre entre preço e quantidade demandada Uma outra teoria econômica bastante analisada pelos alunos de Economia é conhecida pela Curva de Phillips que representa uma relação de tradeoff entre inflação e desemprego Ao final de nossa aula retomaremos algumas questões vistas portanto boa aula Bons estudos 10 Introdução à Econometria Seções de estudo 1 Modelo Econômico 2 Termo de Erro 3 Método dos Mínimos Quadrados 4 Aplicando em exemplo numérico 5 Predição e Interpretação das Estimativas 1 Modelo Econômico Vamos tomar como exemplo para todo nosso guia de estudos a relação linear da função demanda analisando a relação entre renda e consumo Chamaremos genericamente de Y e X respectivamente consumo e renda A variável independente X será então nossa renda e a variável dependente Y será o consumo Estamos buscando então uma relação entre consumo e renda buscando verifi car se Y consumo é realmente afetado por X renda Inicialmente temos que defi nir a amostra de dados que serão analisados dentro do nosso modelo Tabela 1 Valores de X renda e Y consumo semanal Observação i X RendaR Y Consumo 1 403 160 2 423 167 3 445 207 4 426 173 5 489 256 6 511 290 7 478 237 8 455 209 9 441 193 10 456 219 11 466 235 12 479 234 13 497 273 14 504 272 15 425 181 16 412 166 17 407 161 18 435 195 19 444 201 20 488 255 Fonte Elaborado pelo autor Após a coleta dos dados vocês devem estar se perguntando o que faremos com eles Qual o próximo passo Temos que começar a dar forma ao nosso modelo econométrico que é a base de uma análise quantitativa Devemos então inicialmente encontrar a despesa semanal média de alimentação de uma família representada pela média condicional em relação à renda x das famílias de acordo com nossa amostra Temos então um primeiro esboço de nosso modelo como média condicional e parâmetros de regressão o intercepto o coefi ciente angular Devemos fazer mais algumas suposições para tornar nosso modelo mais real entre elas Como queremos um modelo não tendencioso e estamos afi rmando que os dados que iremos abordar no modelo de regressão linear são variáveis independentes logo os valores de y não devem ser correlacionados logo a covariância é igual a zero o Uma outra suposição está relacionada ao fato de que para cada valor de x os valores de y se distribuem normalmente em torno de sua média Observação iremos abordar mais à frente sobre Distribuição Normal mas fi quem tranquilos não atrapalhará no entendimento da regressão linear simples pois é um pressuposto opcional o E por fi m uma terceira condição que devemos trazer é a introdução do termo de erro em nossa equação 2 Termo de Erro O termo de erro já foi explicado anteriormente mas reforçando o termo de erro representa todas as variáveis omitidas no modelo mas que coletivamente afetam a variável Y GUJARATI 2011 Esse termo de erro deve ser defi nido como Como estamos trabalhando com uma amostra e não com a população estaremos encontrando a média condicional da variável y Sabendo que a média condicional da variável y é Logo o termo de erro passa a ser Sendo assim nosso modelo de regressão linear simples passa a ser Antes de estimar os parâmetros do modelo de regressão e nos quais utilizaremos o Método de Mínimos Quadrados vamos combinar algumas hipóteses do modelo de regressão em termos do erro aleatório que devemos seguir durante nosso processo de estimação 11 Gujarati 2011 defi ne 7 hipóteses tais hipóteses são de extrema importância quanto às variáveis x e ao termo de erro para a interpretação das estimativas da regressão Tabela 2 Pressupostos do Modelo de Regressão Linear Simples Hipóteses Condições Hipótese 1 O modelo de regressão é linear nos parâmetros embora possa não ser linear nas variáveis Hipótese 2 Valores de X fi xos ou independentes do termo de erro Hipótese 3 Valor médio do termo de erro é zero Hipótese 4 A variância do termo de erro é a mesma independentemente do valor de X Homocedasticidade ou variância constante de Hipótese 5 Não há correlação entre os termos de erro a correlação entre e com é zero Ausência de autocorrelação Hipótese 6 O número de observações n deve ser maior que o número de parâmetros a serem estimados Hipótese 7 Os valores de x em uma amostra não devem ser os mesmos e não pode haver valores extremos outliers da variável X Variabilidade dos valores de X Fonte Elaborado pelo autor Gujarati 2011 p 8489 3 Método dos Mínimos Quadrados Já explicamos que nosso modelo de regressão linear simples seguirá um formato de Defi nimos também que iremos respeitar algumas hipóteses básicas em relação aos termos do erro aleatório A pergunta que todos devem estar fazendo nesse momento é Como podemos encontrar os valores dos parâmetros e ou seja como vamos estimar esses valores Iremos responder essa pergunta utilizando o Método de mínimos quadrados Esse método tem como objetivo encontrar a melhor reta de regressão que se ajusta aos dados Vimos anteriormente que os erros aleatórios existem em qualquer modelo pois nem sempre conseguimos colocar todas as variáveis explicativas dentro de um modelo de regressão O que nós queremos é que esse termo de erro tenha uma média zero ou seja na média elas não serão estatisticamente signifi cativas e não afetarão nos resultados de y Se pegássemos todos os dados relacionados ao erro aleatório e somássemos poderíamos ter uma situação de um erro positivo anular um erro negativo e portanto não acrescentando muita informação conforme podemos ver na fi gura abaixo Figura 1 Critério dos mínimos quadrados Fonte Gujarati 2011 p 79 Para evitar esse problema no método dos mínimos quadrados iremos elevar ao quadrado todos os termos de erro eliminando assim os números negativos Vamos começar então a estimação dos nossos parâmetros e Defi nindo as variáveis x e y centradas na média temos 1 2 Como defi nimos dadas às hipóteses que a média dos erros é igual a zero e adequando a reta de regressão em relação à média 3 4 Subtraindo a equação 3 da equação 4 temos 5 12 Introdução à Econometria Substituindo na equação 5 as equações 1 e 2 6 Continuando a usar as variáveis centradas vamos reorganizar a equação 6 colocando em função do termo de erro 7 Adequandose a fórmula do termo de erro aos métodos dos mínimos quadrados ou seja colocando os termos de erro ao quadrado para evitar a anulação de erros positivos com negativos e no intuito de escolher a reta de regressão cuja soma dos quadrados dos erros seja a menor possível temos 8 9 Temos que o é uma constante assim como o número 2 que colocamos para fora do somatório portanto na equação 9 fi ca 10 Estamos quase chegando na obtenção do parâmetro de Agora como nosso objetivo é estimar esse parâmetro vamos denominar a estimação dele como para que o leitor consiga identifi car que o valor será um estimador Para encontrar o estimador vamos agora derivar a equação 10 em relação a 11 Arranjando os termos e dividindo ambos os lados por 2 chegaremos ao estimador Só resta agora encontrar o estimador de que chamaremos de porém esse é mais facilmente encontrado apenas sendo necessário partir da equação da reta para as médias nossa equação 4 substituindo pelos seus respectivos estimadores Conseguimos então com um pouco de álgebra encontrar os estimadores de nossa reta de regressão linear simples 4 Aplicando em exemplo numérico Partindo do exemplo numérico que começamos a demonstrar sobre renda e consumo vamos aplicar um passo a passo para conseguir estimar a reta de regressão linear simples O primeiro passo sobre os dados coletados é calcular a soma e a média das variáveis x renda e y consumo Tabela 3 Valores de X renda e Y consumo semanal com a soma dos valores e média Observação i X RendaR Y Consumo 1 403 160 2 423 167 3 445 207 4 426 173 5 489 256 6 511 290 7 478 237 8 455 209 9 441 193 10 456 219 11 466 235 12 479 234 13 497 273 14 504 272 15 425 181 16 412 166 17 407 161 18 435 195 19 444 201 20 488 255 Soma 9084 4284 Média 45420 2142 Fonte Elaborado pelo autor O próximo passo é calcular as variáveis x e y centradas na média e 13 Tabela 4 Valores de X renda e Y consumo semanal centrados na média Observação i X RendaR Y Consumo x y 1 403 160 512 542 2 423 167 312 472 3 445 207 92 72 4 426 173 282 412 5 489 256 348 418 6 511 290 568 758 7 478 237 238 228 8 455 209 08 52 9 441 193 132 212 10 456 219 18 48 11 466 235 118 208 12 479 234 248 198 13 497 273 428 588 14 504 272 498 578 15 425 181 292 332 16 412 166 422 482 17 407 161 472 532 18 435 195 192 192 19 444 201 102 132 20 488 255 338 408 Soma 9084 4284 0 0 Média 45420 2142 0 0 Fonte Elaborado pelo autor Ao estimar os parâmetros e conforme as equações abaixo verifi camos que bastaria calcular as médias de Y e X e os valores centrados na média de x e y com seus respectivos valores elevados ao quadrado As médias de X renda e Y consumo e os valores centrados na média já foram calculados na tabela bastando agora apenas calcular os valores de x² y² e xy Tabela 5 Quadrados e produto das variáveis centradas de X renda e Y consumo i X Y X Y x² y² xy 1 403 160 512 542 262144 293764 277504 2 423 167 312 472 97344 222784 147264 3 445 207 92 72 8464 5184 6624 4 426 173 282 412 79524 169744 116184 5 489 256 348 418 121104 174724 145464 6 511 290 568 758 322624 574564 430544 7 478 237 238 228 56644 51984 54264 8 455 209 08 52 064 2704 416 9 441 193 132 212 17424 44944 27984 10 456 219 18 48 324 2304 864 11 466 235 118 208 13924 43264 24544 12 479 234 248 198 61504 39204 49104 13 497 273 428 588 183184 345744 251664 14 504 272 498 578 248004 334084 287844 15 425 181 292 332 85264 110224 96944 16 412 166 422 482 178084 232324 203404 17 407 161 472 532 222784 283024 251104 18 435 195 192 192 36864 36864 36864 19 444 201 102 132 10404 17424 13464 20 488 255 338 408 114244 166464 137904 Soma 9084 4284 0 0 211992 315132 255912 Média 45420 2142 0 0 105996 157566 127956 Fonte Elaborado pelo autor Agora com todos os dados prontos podemos calcular os estimadores e lembrando que estamos sempre calculando sobre a média Portanto a reta estimada será dada por 5 Predição e Interpretação das Estimativas O papel do Economista é trazer soluções para o mercado imaginando que vocês após fi nalizar o curso sejam contratados para fazer uma análise de demanda a uma rede de supermercados Com o modelo de regressão linear simples estimado acima podemos prever valores e interpretar as estimativas Com a equação estimada de Podemos interpretar que apenas famílias com renda semanal superior a R 27673 poderão consumir desse determinado tipo de bem Logo podemos observar que esse tipo de consumo não é de um bem normal Dúvida Se o consumo desse bem só é possível para famílias com renda semanal acima de R 27673 temos como saber o tipo de bem que estamos tratando Sim e podemos verifi car qual tipo de bem estamos falando através das Elasticidades visto na disciplina de Microeconomia Mas agora vamos analisar a predição ou seja podemos prever quanto uma pessoa com determinada renda x deverá consumir em média de determinado produto y Por exemplo uma família com renda semanal de R 30000 teria em média um consumo do bem defi nido pela variável y de 14 Introdução à Econometria Disponível em httpswwwyoutubecom watchvBuDMT4mfTE Disponível em httpswwwyoutubecom watchvGreM9PK5NQ Vale a pena acessar GUJARATI D N PORTER D C Econometria básica 5 ed Porto Alegre AMGH 2011 SARTORIS A Estatística e Introdução à Econometria São Paulo Saraiva 2003 Vale a pena ler Vale a pena Podemos comparar esse modelo de regressão linear simples com uma função de demanda relacionando a renda de uma família com o consumo de carne de primeira ou seja uma família que ganha menos de R 27673 em média não consome carne de primeira Se essa família passa a ter uma renda média de R 30000 semanal logo ela passa a consumir em média R 2809 em carne de primeira Espero que tenha sido do entendimento de vocês a demonstração de todos os passos abordados nesta aula de modo que ao fi nal vocês econometristas estejam aptos a analisar o impacto entre duas variáveis e a determinação de um modelo de regressão linear simples através da derivação pelo método de mínimos quadrados Antes de entrarmos na aula 3 na qual veremos sobre métodos de validação do nosso modelo de regressão linear simples intervalos de confi ança e teste de hipóteses vamos retomar o que foi visto nesta aula Retomando a aula 1 Modelo Econômico Nesta seção começamos em um primeiro momento fazer o esboço de nosso modelo podendo ser visto como Onde média condicional e parâmetros de regressão o intercepto o coefi ciente angular Esse modelo genérico tem uma semelhança aparente com a função linear vista em matemática básica 2 Termo de Erro Na seção seguinte trouxemos a introdução do termo de erro em nosso modelo de regressão linear simples passando a ser Lembrando que o termo de erro é caracterizado por todas as variáveis que não estão representadas no modelo que uma das hipóteses indica que o termo de erro em média deverá ser igual a zero ou seja não deve ser estatisticamente signifi cante 3 Método dos Mínimos Quadrados Nesta seção utilizamos nossos conhecimentos matemáticos fazendo passo a passo a derivação do nosso modelo de regressão linear simples pelo método de mínimos quadrados conseguimos estimar nossos parâmetros e Obtendo A melhor explicação de como chegamos aos resultados dos estimadores dos parâmetros pode ser visto dentro da seção do Método de Mínimos Quadrados 4 Predição e Interpretação das Estimativas Por fi m nesta seção após serem feitas as estimativas dos parâmetros e conseguimos formular nosso modelo econométrico Consequentemente temos uma função linear entre duas variáveis na qual podemos explicar uma variável em função de outra variável Logo com o modelo de regressão linear simples derivado pelo método de mínimos quadrados e estimado os parâmetros de acordo com os dados observados no exemplo utilizado podemos fazer a interpretação das estimativas chegando a resultados sobre a base de dados utilizada 5 Predição e Interpretação das Estimativas Mostramos aqui que o papel do Economista é trazer soluções para o mercado imaginando que vocês após fi nalizar o curso sejam contratados para fazer uma análise de demanda a uma rede de supermercados Com o modelo de regressão linear simples podemos prever valores e interpretar as estimativas