Introdução à Econometria: Regressão Múltipla

Introdução à Econometria Regressão Múltipla Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de definir a especificação de um modelo de regressão múltipla estimar os parâmetros do modelo interpretar as estimativas e a relação entre as variáveis explicativas e a variável explicada Prontos para mais uma aula Na aula 5 veremos sobre regressão múltipla Até agora falamos sobre a especificação de modelo com duas variáveis uma explicativa e outra explicada Nesta aula aumentaremos o número de variáveis trazendo duas ou mais variáveis explicativas A derivação do modelo de regressão múltipla faremos um pouco diferente do modelo de regressão linear simples ou seja vamos derivar através de um método matricial Fiquem tranquilos assim como na regressão linear simples desenvolveremos o processo passo a passo utilizando exemplo numérico para melhor compreensão boa aula Bons estudos 5º Aula 25 Seções de estudo 1 Estimando o modelo de regressão múltipla 2 Aplicando em Exemplo Numérico 1 Estimando o modelo de regressão múltipla Vamos imaginar nosso exemplo utilizado na regressão linear simples com as variáveis consumo Y e renda X Sabemos que é muito difícil explicar a quantidade consumida apenas por uma variável logo poderíamos incluir outras variáveis importantes dentro do modelo Quando passamos a ter mais de uma variável explicativa para justifi car uma variável Y deixamos de ter uma regressão simples para ter uma regressão múltipla O modelo passa a ser então Para estimar os coefi cientes utilizaremos o método de mínimos quadrados da mesma maneira que fi zemos na regressão simples porém iremos adotar uma pequena diferença vamos trabalhar com matrizes para facilitar na estimação dos coefi cientes Importante Relembre os conceitos de matrizes pois para algumas derivações do método de MQO para a regressão múltipla são adotados alguns passos importantes a fi m de demonstrar que seria necessário fazer toda uma revisão de matrizes Se coletarmos n observações temos Podemos reescrever as n equações em forma matricial Reduzimos então como vetor matriz linha da variável dependente Y matriz com as observações das variáveis independentes além de uma coluna de números 1 correspondente ao intercepto vetor com os coefi cientes a serem estimados vetor dos termos de erro Analisando sobre a regressão múltipla e encontrando o vetor de erros temos Assim como na regressão simples que estimamos pelo método dos mínimos quadrados também queremos encontrar a soma dos quadrados dos erros Em notação matricial temos a multiplicação de sua matriz pela sua transposta Derivando a fórmula acima em relação a e passando a chamar seu estimador de b podemos escrevêla como Multiplicando pela matriz inversa a multiplicação pela matriz inversa ocorre pelo fato de não existir divisão de matrizes a divisão é substituída pela multiplicação da matriz inversa de que é o termo que acompanha b ambos os lados Podemos verifi car uma coincidência em relação à estimação de b na regressão linear simples Vamos analisar as estimações a seguir Os termos e são análogos respectivamente a e Para que o estimador b exista é necessário que a matriz seja inversível e a condição para que uma matriz seja inversível é que não exista combinação linear entre nenhuma das colunas da matriz X SARTORIS 2003 p 261 26 Introdução à Econometria Importante A todo momento temos que ter em nossas cabeças as hipóteses básicas pois elas servirão tanto para regressão linear simples quanto para regressão múltipla Em relação às hipóteses referentes à variância do erro ser constantes e os erros não serem correlacionados podemos colocar em notação matricial a nossa variância do erro Essa é a nossa matriz de variância e covariância dos erros pois essa matriz cobre tanto a hipótese da variância como da covariância Isso ocorre porque o multiplica toda a matriz identidade mantendose constante e a covariância entre os erros é zero pois na matriz identidade os elementos que não estão na diagonal principal são zero SARTORIS 2003 p 262 1 Aplicando em Exemplo Numérico Vamos agora pegar como exemplo um conjunto de dados formado pelas variáveis dependentes e e a variável dependente Y Tabela 7 Valores de Y e Y 800 2 08 1160 4 07 1580 6 05 2010 8 04 1890 7 02 2600 12 02 2070 11 08 1890 10 07 1830 9 06 1740 8 01 1380 6 05 1060 4 04 Fonte Elaborado pelo autor 1º Passo O modelo a ser estimado é 2º Passo Imaginar como seria cada uma das equações em todas as observações 3º Passo Reescrever os dados em forma matricial 4º Passo Pelas fórmulas temos e logo 5º Passo As matrizes XX a inversa e XY será 27 6º Passo Para calcular a matriz inversa devemos utilizar algumas propriedades de matrizes Mostraremos o cálculo detalhado apenas da primeira coluna para não fi car muito extenso 7º Passo Defi nir a matriz XY 8º Passo Defi nindo todas as matrizes agora podemos estimar os parâmetros de encontrando assim o intercepto e os estimadores e Vimos a diferença da estimação pelo método de mínimos quadrados da regressão simples para a regressão múltipla Nossa estimação da reta de regressão múltipla para os dados desse exemplo é a seguinte Antes de iniciar nossa aula 6 trazendo o que é uma variável dummy e como colocamos essas variáveis dentro de um modelo de regressão vamos retomar o que foi visto nesta aula de regressão múltipla Retomando a aula 1 Estimando o modelo de regressão múltipla Nessa aula conseguimos estimar os parâmetros de um modelo de regressão múltipla através de um método matricial para facilitar a compreensão na estimação dos parâmetros 28 Introdução à Econometria Vimos que a estimação de b na regressão linear simples e na regressão múltipla são semelhantes conforme pode ser observado abaixo 2 Aplicando em Exemplo Numérico Após verifi carmos como se estima um modelo de regressão múltipla diferenciando um pouco do modelo de regressão linear simples em que utilizamos o método matricial fi zemos o passo a passo para a obtenção do estimador do parâmetro para que vocês pudessem acompanhar como chegamos à estimação do modelo através de exemplo numérico Por fi m como fi zemos na aula referente à regressão linear simples defi nimos nosso modelo de regressão múltipla sendo possível analisar o impacto das variáveis explicativas sobre a variável explicada Disponível em httpswwwyoutubecom watchvC2xc0z6yKp0 Vale a pena acessar HILL R C GRIFFITHS W E JUDGE G G Econometria São Paulo Saraiva 2006 SARTORIS A Estatística e Introdução à Econometria São Paulo Saraiva 2003 Vale a pena ler Vale a pena Minhas anotações