Movimento Retilíneo: Conceitos de Rapidez, Velocidade e Aceleração

Movimento Retilíneo Objetivos Compreender e distinguir rapidez de velocidade Aprender a calcular a rapidez e a velocidade Entender o conceito e calcular a aceleração Aprender sobre queda livre Escrever as equações do movimento retilíneo Vimos das leis de Newton que a causa do movimento é a ação de uma força resultante Agora vamos estudar o movimento a partir das suas equações Começaremos com o conceito de velocidade Vamos estudar 3 maneiras de obter essa grandeza rapidez velocidade média e velocidade instantânea Estas palavras no cotidiano soam como sinônimas No entanto em Física elas tem conotações diferentes Rapidez e Velocidade Uma das medidas mais importantes na Física é a da velocidade Na Física é estudado o conceito de rapidez ou velocidade escalar e velocidade Estas duas palavras no cotidiano soam como sinônimas No entanto na Física elas tem conotações diferentes 𝑹𝒂𝒑𝒊𝒅𝒆𝒛 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝑹𝒂𝒑𝒊𝒅𝒆𝒛 𝒏𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 Rapidez e Velocidade Vemos inicialmente que para medir a rapidez bem como a velocidade é necessário conhecermos a distância percorrida e o tempo transcorrido E então fazemos a divisão da distância pelo tempo Rapidez ou Velocidade envolve 𝑈𝑚𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 Velocidade Definimos velocidade média 𝒗𝒎 𝒓 𝒕 𝒓𝒇 𝒓𝒊 𝒕𝒇 𝒕𝒊 Deslocamento Vetorial 𝒓𝒊 𝒓f 𝒓 A soma de vetores é Ԧ𝑟𝑖 Ԧ𝑟 Ԧ𝑟𝑓 𝒓 𝒓𝒇 𝒓𝒊 Velocidade z x y 𝒓 Num percurso de ida e volta 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝒓 𝟎 A velocidade média é um vetor 𝒓𝟏 P1 t1 P2 t2 𝒓𝟐 t2 t1 Velocidade t1 x1 t3 x3 posição tempo A inclinação desta reta fornece o valor da velocidade média 𝒗𝒎 𝒙 𝒕 Ԧ𝒊 t x Interpretação gráfica da velocidade média Velocidade A velocidade média nos informa a velocidade num intervalo de tempo da trajetória inteira Podemos conhecer a velocidade em cada instante Chamamos esta de velocidade instantânea 𝒗 𝒗 lim 𝒕𝟎 𝒓 𝒕 lêse limite quando t tende a zero da razão 𝒓 𝒕 Velocidade posição tempo Interpretação gráfica da velocidade instantânea t1 x1 t2 x2 x3 t3 x4 t4 Reta tangente quando t 0 A inclinação desta reta fornece o valor da velocidade instantânea Rapidez e Velocidade Instantâneas Para representar a velocidade instantânea podemos usar um gráfico da posição versus tempo v0 v0 v0 t1 x1 t2 t3 x2 x3 posição tempo Em cada ponto da trajetória podemos calcular a velocidade instantânea traçando uma reta tangente a este ponto e medindo a sua inclinação Rapidez e Velocidade Outra maneira de dizer sobre a distinção entre rapidez e velocidade é que a rapidez é um escalar e velocidade é um vetor No entanto a melhor maneira de compreender esta distinção é observando um exemplo Considere que o hodômetro deste veículo registrou uma viagem de ida e volta em 4 horas Rapidez e Velocidade A sua rapidez média é 𝟒𝟏𝟐 𝟕 𝒌𝒎 𝟒 𝒉 𝟏𝟎𝟑 𝟐 𝒌𝒎 𝒉 A sua velocidade média é 𝟎 𝒌𝒎 𝒉 Como isso é possível Rapidez e Velocidade Podemos compreender melhor este resultado com o auxílio da matemática Definimos rapidez 𝑣 𝑑 𝑡 Definimos velocidade Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 𝑡 Distância registrada no hodômetro Deslocamento vetorial Rapidez e Velocidade No cálculo anterior usamos a rapidez média e a velocidade média O valor obtido é o equivalente ao veículo percorrer toda a distância com este valor sem mudálo Para estas velocidades usamos o tempo total transcorrido Definimos rapidez média 𝑣 𝑑 𝑡 Definimos velocidade média Ԧ𝑣 Ԧ𝑟 𝑡 Tempo Total Rapidez e Velocidade No cálculo anterior usamos uma unidade que não é a do padrão internacional de medidas o chamado Sistema Internacional de Unidades SI No SI a unidade de medida para a velocidade é o metrosegundo ou ms Esta unidade não é a que estamos acostumados no diaadia No entanto podemos utilizar a regra de 3 a seguir 1 𝑘𝑚 ℎ 1000 𝑚 1 𝑘𝑚 1ℎ 3600 𝑠 𝑘𝑚 ℎ 𝑚 𝑠 36 36 ou Isto é para converter um valor em kmh para ms dividimos o valor em kmh pelo fator 36 E o contrário de ms para kmh multiplicamos por este fator Aceleração Outra importante quantidade da Física é a aceleração Qualquer alteração da velocidade na sua direção ou na sua rapidez chamamos de aceleração Podemos calcular a aceleração a partir de 𝑨𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒂𝒐 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒂𝒐 𝒅𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 ou 𝒂 𝒗 𝒕 𝒗 𝒗𝒊 𝒕 𝒕𝒊 em que v velocidade no final do percurso vi velocidade no início do percurso t tempo no final ti tempo no início Aceleração Mesmo com rapidez constante esta pessoa na bicicleta está acelerada Mesmo com a rapidez diminuindo este carro está acelerado Estes corredores estão aumentando a rapidez e portanto estão acelerados Aceleração Neste exemplo supondo que o veículo parou após 10 s a sua aceleração média foi 𝑎 𝑣 𝑡 0 100 𝑘𝑚ℎ 10 𝑠 𝑎 10 𝑘𝑚 ℎ 𝑠 278 𝑚 𝑠2 Este resultado significa que a cada segundo a velocidade varia de 10 kmh Aceleração No cálculo anterior usamos uma unidade que não é a do SI No SI a unidade de medida para a aceleração é o metrosegundo2 ou ms2 Esta unidade aparentemente estranha vem da definição de aceleração 𝑨𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒂𝒐 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒂𝒐 𝒅𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒎 𝒔 𝒔 𝒎 𝒔𝟐 Galileo Galilei estudava a queda dos corpos no ar No entanto a aceleração com que os objetos caem é muito elevada Desta forma era difícil com a tecnologia da época conseguir medir as grandezas tempo e distância que são necessários para obter a aceleração Para contornar este problema Galileo utilizou planos inclinados Quanto mais inclinado for o plano maior será a aceleração da esfera Aceleração da gravidade e os planos inclinados de Galileo Galileo observou que a distância percorrida pelas esferas em intervalos de tempos sucessivos aumentava segundo a ordem dos números ímpares Aceleração da gravidade e os planos inclinados de Galileo Galileo foi além e enxergou o que realmente acontecia No primeiro intervalo de tempo a distância total percorrida pelas esferas é de uma unidade de distância Aceleração da gravidade e os planos inclinados de Galileo No segundo intervalo de tempo a distância total percorrida pelas esferas é de quatro unidades de distância Aceleração da gravidade e os planos inclinados de Galileo No terceiro intervalo de tempo a distância total percorrida pelas esferas é de nove unidades de distância Aceleração da gravidade e os planos inclinados de Galileo No quarto intervalo de tempo a distância total percorrida pelas esferas é de 16 unidades de distância Aceleração da gravidade e os planos inclinados de Galileo No quinto intervalo de tempo a distância total percorrida pelas esferas é de vinte e cinco unidades de distância E assim por diante Aceleração da gravidade e os planos inclinados de Galileo Galileo descobriu que a distância total percorrida pelas esferas a partir do repouso é proporcional ao quadrado do tempo de queda Isto é 𝒅 𝒈 𝒕𝟐 𝟐 em que g 98 ms2 aceleração da gravidade Aceleração da gravidade e os planos inclinados de Galileo Por outro lado Galileo também descobriu como calcular a rapidez de um objeto em queda livre Ele observou que a rapidez das esferas aumentava numa taxa constante Assim podemos escrever 𝒗 𝒈 𝒕 em que g 98 ms2 aceleração da gravidade Velocidade de queda livre dos corpos Você é capaz de calcular as leituras do velocímetro e do hodômetro da figura ao lado Considere uma queda livre Equações do Movimento Retilíneo Para um objeto em queda livre com velocidade inicial diferente de zero 𝒛 𝒛𝒊 𝒗𝒊𝒛 𝒕 𝒈 𝒕𝟐 𝟐 𝒗𝒛 𝒗𝒊𝒛 𝒈 𝒕 Para um objeto em queda livre a partir do repouso 𝒛 𝒛𝒊 𝒈 𝒕𝟐 𝟐 𝒗𝒛 𝒈𝒕 Para um objeto em movimento retilíneo qualquer com aceleração constante com aceleração 𝒅 𝒅𝒊 𝒗𝒊 𝒕 𝒂 𝒕𝟐 𝟐 𝒗 𝒗𝒊 𝒂 𝒕 sem aceleração 𝒅 𝒅𝒊 𝒗𝒕 𝒗 𝒗𝒊 z x Equações do Movimento Retilíneo Se o penhasco tem 30 m e a esfera é solta ela chegará no solo no instante desconsiderando a resistência do ar 𝒛 𝒛𝒊 𝒗𝒊𝒛 𝒕 𝒈 𝒕𝟐 𝟐 𝟎 𝟑𝟎 𝟎 𝒕 𝟏𝟎 𝒕𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟓 𝒕𝟐 𝒕 𝟑𝟎 𝟓 𝟐 𝟒𝟓 𝒔 Equações do Movimento Retilíneo Se a bola é lançada verticalmente de uma altura de 2 m com uma velocidade de 5 ms a bola se eleva do solo Sabemos que na altura máxima v0 Assim 𝒗𝒛 𝒗𝒊𝒛 𝒈 𝒕 𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝒕 𝟓 𝟏𝟎 𝒕 𝒕 𝟎 𝟓 𝒔 Substituindo este valor na equação 𝒛 𝒛𝒊 𝒗𝒊𝒛 𝒕 𝒈𝒕𝟐 𝟐 𝒛 𝟐 𝟓 𝟎 𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟓 𝟏 𝟐𝟓 𝒛 𝟑 𝟐𝟓 𝒎 Gráficos do MRU Movimento Retilíneo e Uniforme Gráfico de um MRU com velocidade positiva Da esquerda para a direita no eixo dos tempos t os valores do eixo das posições x aumenta linearmente t v Gráfico de um MRU com velocidade positiva Da esquerda para a direita no eixo dos tempos t os valores do eixo das velocidades v permanece constante Gráficos do MRU Movimento Retilíneo e Uniforme t v Gráfico de um MRU com velocidade negativa Da esquerda para a direita no eixo dos tempos t os valores do eixo das velocidades v permanece constante Gráfico de um MRU com velocidade negativa Da esquerda para a direita no eixo dos tempos t os valores do eixo das posições x diminui linearmente t x Gráficos do MRUV Movimento Retilíneo Uniformemente Variado Gráficos do MRUV Movimento Retilíneo Uniformemente Variado Gráfico de um MRUV com aceleração negativa Gráfico de um MRUV com aceleração negativa Diagramas de Movimento Diagramas de Movimento Diagramas de Movimento a Gráfico v x t para o deslocamento de um objeto pelo eixo O x b Posição velocidade e aceleração do objeto no eixo x Inclinação zero a x 0 Inclinação positiva a x 0 Inclinação negativa a x 0 Quanto maior a inclinação positiva ou negativa do gráfico v x t de um objeto maior a aceleração do objeto no sentido positivo ou negativo de x Exemplo Um veículo num trecho retilíneo de uma via de 40 kmh trafega a 54 kmh Ao passar por um policial com sua motocicleta estacionada este inicia uma perseguição por esta via com uma aceleração constante de 3 ms2 Em quanto tempo e com que velocidade o carro da polícia alcança o veículo As equações de movimento do veículo e da polícia são 𝒙𝑽 𝟏𝟓𝒕 𝒙𝑷 𝟏 𝟓𝒕𝟐 𝒏𝒐 𝑺𝑰 Na interceptação xV xP 𝟏𝟓𝒕 𝟏 𝟓𝒕𝟐 A solução desta equação fornece dois tempos t 0 s e t 10 s A solução que é compatível com o enunciado é t 10 s Para este tempo a velocidade do carro da polícia pode ser obtida 𝒗𝑷 𝟑𝒕 𝒏𝒐 𝑺𝑰 𝒗𝑷 𝟑 𝟏𝟎 𝟑𝟎 𝒎𝒔 Referências Halliday D Resnick R Física Volume 1 Tipler P Física para cientistas e engenheiros Volume 1 Hewitt P G Física Conceitual Young Friedmann Sears Zemansky Física Volume 1 httpphetcoloradoedu