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Agronomia ·
Cálculo 1
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Cálculo Diferencial e Integral I LIMITES DE FUNÇÕES E CONTINUIDADE 1 TANGENTES ÁREAS E LIMITES Os matemáticos do século XVI tinham dois problemas a serem resolvidos 1 O Problema da Reta Tangente Encontrar a inclinação da reta l tangente ao gráfico da função f no ponto P 2 O Problema da Área Encontrar a área da região R limitada pelo gráfico da função f e o eixox para a x b O Cálculo Diferencial analisa a taxa de variação de uma função Portanto resolve o problema 1 O Cálculo Integral envolve um processo de soma generalizada que resolve o problema 2 2 11 A Tangente de uma Curva O primeiro passo ao atacar o problema da reta tangente é definir claramente o que significa reta tangente ao gráfico de f no ponto P Da geometria sabemos que se o gráfico de f é um arco de uma circunferência então a tangente no ponto P pode ser definida como a única reta que intercepta a circunferência apenas no ponto P Esta definição é perfeitamente adequada para arcos de circunferências mas fracassa para curvas mais gerais Por exemplo a figura a mostra várias retas interceptando o gráfico de f apenas no ponto P mas nenhuma delas é uma tangente A figura b mostra a tangente a P interceptando o gráfico de f em outros pontos Existe um outro meio entretanto de definir a tangente a uma circunferência que tem uma generalização satisfatória para as curvas mais gerais A figura a seguir ilustra que um segundo ponto Q sobre a circunferência determina uma secante que liga os pontos P e Q Quando o ponto Q se move em direção a P ao longo da circunferência a reta secante gira tendo o ponto P fixo Vamos usar esta idéia para definir a tangente de forma mais geral 3 Definição 11 Sejam P e Q pontos sobre uma curva C A reta tangente à curva C no ponto P se existir é a posição limite da reta secante que passa por P e Q quando Q se aproxima de P ao longo da curva C Vamos agora determinar como definir a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto P de tal modo que seja consistente com esta noção de tangente a uma curva Considere a figura abaixo A inclinação da reta secante é h f x h x f x y 0 0 À medida que o ponto Q se aproxima de P ao longo do gráfico de f o número h 0 se aproxima de zero Então a tangente ao gráfico de f em P é a posição limite da secante por P e Q quando h se aproxima de zero ou seja a inclinação da tangente a P é igual ao valor limite da inclinação da reta secante quando h se aproxima de zero e isto é igual ao limite quando h se aproxima de zero de h f x h x f 0 0 0 0 f x h f x y 4 Exemplo 11 Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de x2 f x no ponto 24 Solução h 1 01 001 0001 0001 001 01 1 h f h f 2 2 3 39 399 3999 4001 401 41 5 Quando h se aproxima de zero para estes valores a inclinação das secantes parecem aproximar se de 4 De fato 2 2 0 4 4 2 2 h h h h f h f x e 4 2 2 2 0 f f x A inclinação da tangente é portanto 4 4 lim 0 h m h Definição 12 A inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto 0 0 f x x se existir é o número h f x h f x m h 0 0 0 lim 5 Exemplo 12 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de 2 3 3 x x f x no ponto 12 Solução 2 2 3 1 1 3 f 2 6 3 2 31 1 1 2 3 3 h h h h h h f A inclinação da reta secante que passa por 12 é 0 6 3 2 2 6 3 1 1 2 2 3 h h h h h h h h f h f A inclinação da reta tangente é portanto 6 6 3 lim 2 0 h h m h Uma equação para a reta tangente que tem a inclinação m 6 e passa pelo ponto 12 é 0 4 6 1 6 2 x y x y Exercícios 1 Use a definição 12 para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado a 2 4 2 3 P x f x b 3 18 2 2 P x f x c 1 5 3 2 2 P x f x d 2 6 2 4 3 2 P x x f x e 2 11 3 3 P x f x f 2 16 4 P x f x g 12 3 1 P x f x h 12 4 2 P x f x 2 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função 3x2 f x no ponto 1 3 3 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função ax2 f x no ponto 1 a 4 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função x x f x 2 2 no ponto em que x 1 6 5 Usando uma calculadora podemos aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em 0 0 f x x calculando a inclinação da secante h f x h x f 0 0 para h pequeno a Aproxime a inclinação da reta tangente ao gráfico de x x f x 3 3 no ponto 2 2 completando a tabela 11 b Use o método dos exemplos 11 e 12 para calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico de x x f x 3 3 no ponto 2 2 Compare com a parte a Tabela 11 0x h h f x h x f 0 0 01 001 0001 00001 00001 0001 001 01 6 Use a tabela 12 para aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de x y sen no ponto 0 0 Aplique o método dos exemplos 11 e 12 para obter uma expressão para o limite que deve ser calculado a fim de obter a inclinação da reta tangente 7 Mostre que a inclinação da reta tangente ao gráfico de 1 6 2 x x f x no ponto em que x a é m 2a 6 Use esta informação para encontrar o número x em que a inclinação da tangente ao gráfico é zero 8 Seja x f x Complete a tabela 12 para o ponto 0 0 A função valor absoluto tem um tangente no ponto 0 0 7 2 LIMITES DE FUNÇÕES A afirmação f x L xa lim significa que os valores f x estão tão próximos de L quanto desejarmos para todo x a mas suficientemente próximo de a Esta definição não é uma definição rigorosa porque as frases tão próximos de L quanto desejarmos e suficientemente próximo de a são de algum modo imprecisas Exemplo 21 Seja 2 1 x f x Então 7 lim 3 x f x Para ver como esta função satisfaz a definição intuitiva de limite dada acima analisaremos duas escolhas diferentes de tão próximo de f x para L 7 Por exemplo vamos supor que f x esteja próximo de 7 com um precisão de 05 isto é 57 1 2 56 x Mas 3 25 2 75 56 2 55 57 1 2 56 x x x Assim para obter a precisão desejada de 05 em torno de L 7 restringimos x ao intervalo 3 25 2 75 x Agora se quisermos que f x esteja próximo de 7 com uma precisão de 01 temos 3 05 2 95 16 2 95 17 1 2 96 x x x Portanto se 3 05 2 95 x então f x está próximo de 7 com precisão de 01 Em geral dada qualquer precisão desejada de f x para 7 podemos encontrar um intervalo aberto I centrado em 3 tal que se x pertence ao intervalo I então o valor f x difere de 7 por não mais do que a precisão prescrita Assim dizemos que 7 1 2 lim 3 x x 8 Exemplo 22 A função x x f x sen não é definida em x 0 Entretanto o limite 1 sen lim 0 x x x Observe a tabela 12 Tabela 12 X x x sen x x x sen 08 0896695 0002 0999999 05 0958851 0005 0999996 02 0993347 002 0999933 008 0998934 005 0999583 005 0999583 008 0998934 002 0999933 02 0993347 0005 0999996 05 0958851 0002 0999999 08 0896695 Esta evidência numérica é consistente com o gráfico de f x 9 Exemplo 23 Calcule x x x 1 1 lim 3 0 Solução A função x x f x 1 1 3 não é definida para x 0 Mas observando a tabela 13 vemos que quando x está se aproximando de zero o valor f x se aproxima de L 3 Tabela 13 X x x 1 1 3 x x x 1 1 3 20 130 0001 2997 15 975 001 29701 10 70 01 271 05 475 02 244 02 364 05 175 01 331 10 10 001 30301 15 075 0001 3003 20 10 Os dados sugerem que 3 1 1 lim 3 0 x x x Podemos verificar este limite utilizando uma álgebra simples De fato 0 3 3 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 3 2 3 3 x x x x x x x x x x x x x Concluímos portanto que as funções x x f x 1 1 3 e 3 3 2 x x g x tem os mesmos valores exceto para x 0 em que f 0 não é definida Assim os limites quando x se aproxima de zero destas duas funções devem ser os mesmos Nosso limite pode ser calculado como segue 3 3 0 0 3 3 lim 1 1 lim 2 0 3 0 x x x x x x Graficamente temos 10 Exemplo 24 Calcule o limite 6 2 3 lim 2 2 2 x x x x x Solução Primeiro observemos que para x 2 obtemos o quociente 0 0 6 2 4 2 6 4 6 2 2 2 3 2 2 2 2 que não está definido Portanto devemos fatorar o numerador e o denominador obtendo para x 2 3 1 3 2 1 2 6 2 3 2 2 x x x x x x x x x x Assim 5 1 3 2 1 2 3 1 lim 6 2 3 lim 2 2 2 2 x x x x x x x x Exemplo 25 Calcule x x x cos 1 sen lim 2 Solução Primeiro observemos que 0 sen sen 2 2 e 0 1 1 cos 1 Assim numerador e denominador são ambos iguais a zero quando x Temos então de encontrar uma expressão equivalente para x x cos 1 sen2 isto é 1 1 cos se cos cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 sen 2 2 x x x x x x x x x Assim 2 1 1 lim 1 cos cos 1 sen lim 2 x x x x x 11 21 Limites que não existem Exemplo 26 O limite x x x 0 lim não existe Para ver porque utilizamos a definição de módulo 0 se 0 se x x x x x Para reescrever a função x x f x como 0 se 0 se x x x x x x f x Se x está próximo de zero e for positivo f x 1 Mas se x está próximo de zero e for negativo f x 1 Para que o limite exista quando x 0 os valores de f x devem se aproximar de um número L quando x se aproxima de zero por qualquer um dos lados Como não é o que acontece nesse exemplo o limite não existe Exemplo 27 x x sen 1 lim 0 não existe De fato os valores x f sen 1 x não se aproximam de um único número L quando x 0 As tabelas 14 15 e 16 a seguir ilustram as oscilações de f x numericamente A tabela 14 sugere que o limite seria 1 a tabela 15 sugere que o limite seria 0 e a tabela 16 sugere que o limite seria 2 2 Tabela 14 X x sen 1 2 1 5 2 1 9 2 1 13 2 1 17 2 1 Tabela 15 x x sen 1 2 1 0 4 1 0 6 1 0 8 1 0 10 1 0 Tabela 16 x x sen 1 4 2 2 9 4 2 2 17 4 1 25 4 2 2 25 4 2 2 Exercícios 9 Para cada uma das funções dadas pelos seus gráficos indique se i x f xa lim existe e é igual a f a ii x f xa lim existe mas não é igual a f a iii x f xa lim não existe a b c 10 Calcule o limite se existir a 7 3 lim 2 x x b x x x 9 3 lim 2 0 c 1 1 lim 2 1 h h h d 2 6 lim 2 2 x x x x e x x x x cos sen 1 cos lim 2 0 f x x x cossec sen 2 lim 2 g 1 3 2 lim 2 1 x x x x h x x x x cos sec lim 2 i h h h 9 3 lim 0 11 Esboce o gráfico de y f x e determine o limite de f x quando x 0 se existir Se o limite não existir explique o porquê a 0 2 se 2 0 se 2 x x x x f x b 0 se 2 0 se 2 3 2 x x x x f x c 0 1 se 1 0 3 se 3x 3 2 x x x x x f x d 0 se sen 0 se 1 2 x x x x x f x 13 22 Definição Formal de Limite Na seção anterior definimos o limite de uma função de maneira informal dizendo que f x L xa lim Significando que os valores f x estão tão próximos de L quanto desejarmos para todo x a mas suficientemente próximo de a Do ponto de vista da precisão matemática esta noção informal de limite é problemática A dificuldade repousa no uso da frase próximo de a Uma afirmação matemática precisa pode envolver constantes variáveis sinal de igual desigualdades expressões aritméticas e assim por diante mas não referências vagas como proximidade Para recuperar nossa noção intuitiva de limite com uma linguagem precisa procedemos da seguinte forma 1 Em lugar da frase os valores de f x estão tão próximos de L quanto desejarmos usamos a desigualdade f x L 21 2 Em lugar da frase para todo x a mas suficientemente próximo de a usamos a desigualdade em que é um número positivo pequeno a x 0 22 A razão da parte esquerda da desigualdade é que não queremos x a 3 Para ligar estas duas frases na forma desejada dizemos que não importa que seja dado podemos encontrar um número tal que se x satisfaz a desigualdade 22 então f x satisfaz a desigualdade 21 Isto é queremos dizer que L é pequeno a pequenogaranteque f x x Estas convenções nos permitem fazer a definição formal de limite 14 Definição 21 Seja f x definida para todo x em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente em a Dizemos que o número L é o limite da função f quando x se aproxima de a e escrevemos f x L xa lim se e somente se dado qualquer número 0 existe um número correspondente 0 tal que se a x 0 então f x L Em outras palavras f x L xa lim significa que os valores f x estão tão próximos de L quanto desejarmos dentro de unidades para todo x a mas suficientemente próximo de a Exemplo 28 Demonstre usando a definição 21 que 7 1 2 lim 3 x x Solução De acordo com a definição 21 L 7 e a 3 Além disso as seguintes desigualdades são equivalentes Dado qualquer número pertencente a f x L 7 1 2x 23 3 2 6 2 x x 2 3 x 24 Ainda de acordo com a definição 21 devemos encontrar uma distância aceitável para cada precisão 0 dada afim de provar que o limite é 7 A equação 24 obtida a partir de 23 é a chave para isto De fato os cálculos acima mostram que 2 3 7 1 2 x x É exatamente esta equivalência que nos mostra como escolher Com 2 sabemos que se 3 0 x então a desigualdade 2 3 x é verdadeira e portanto a desigualdade 23 Formalmente a demonstração é 15 Seja 0 dado Vamos escolher 2 Segue então que se 3 0 x então 2 2 3 pois 2 3 2 6 2 7 1 2 x x x x Ou seja se 3 0 x então 7 1 2x como exigido pela definição 21 Exemplo 29 Prove que 11 3 4 lim 2 x x Solução Neste caso 2 11 e 3 4 a L x f x Temos as seguintes desigualdades equivalentes 4 2 2 4 8 4 11 3 4 x x x x L x f Dado 0 escolhemos 4 Segue então que se 2 0 x então 4 4 4 2 4 8 4 11 3 4 x x x Assim com 4 temos que se 2 0 x então 11 3 4x 16 Exemplo 210 Prove que 3 7 4 lim 2 2 x x x Solução Neste caso temos que 2 3 e 7 4 2 a L x x f x Assim se é um número positivo dado as seguintes desigualdades são equivalentes 2 2 4 4 3 7 4 2 2 2 x x x x x x L x f Se tomarmos segue que se 2 0 x então 3 7 4 2 x x Isto prova que 3 7 4 lim 2 2 x x x de acordo com a definição 21 23 Propriedades de Limite 1 c c x a lim c constante 2 a x x a lim A afirmação 1 diz que o limite da função constante c f x é sempre o número c independente de quem seja a A afirmação 2 diz que o limite da função linear x g x quando x se aproxima de a é o valor da função em a isto é ga a O teorema que segue estabelece uma álgebra dos limites pela qual limites de somas produtos e quocientes de funções podem ser calculados a partir de limites de termos individuais Teorema 21 Suponhamos que L x f x a lim e M x g x a lim existem Seja c um número qualquer Então cada um dos seguintes limites existem com os valores indicados a M L g x f x g x x f a x a x x a lim lim lim b f x cL c x cf a x x a lim lim c L M g x f x g x x f a x a x x a lim lim lim d 0 desde que lim lim lim M M L x g x f x g x f a x a x x a 17 Demonstração Faremos a demonstração das partes a e b As duas últimas embora similares às duas primeiras são logicamente mais complexas a Queremos mostrar que dado 0 existe um 0 tal que M L g x f x a x então se0 Para isto consideremos as hipóteses dadas do problema Dado 0 como L x f x a lim então existe um número 1 0 tal que se 1 0 a x então f x L 1 Da mesma forma dado 0 como M x g x a lim então existe um número 2 0 tal que se 2 0 a x então g x M 2 Consideramos então como sendo o menor dos números 1 e 2 isto é 1 2 min Assim utilizando estas informações temos 2 2 1 M g x L x f M g x L f x M L g x x f Isto demonstra que M L g x x f x a lim ou seja O limite da soma é a soma dos limites b Primeiro observemos que se c 0 então cL x cf x a lim é exatamente 0 lim 0 xa que é obviamente verdadeiro Vamos supor então que c 0 Queremos provar que dado 0 existe um 0 tal que se a x 0 então cf x cL Mas por hipótese temos que dado 0 existe 0 tal que se a x 0 então c L f x lembrese que c 0 Assim dado 0 existe um 0 tal que se a x 0 então c c L c f x L c f x cL cf x Isto mostra que cL x cf x a lim 18 Exemplo 211 Calcule 6 lim 3 2 2 x x Exemplo 212 Calcule 2 1 1 3 2 lim x x x Teorema 22 Extensão do teorema 21 para potências inteiras de x e funções potência Suponhamos que L x f x a lim Para qualquer inteiro positivo n 123 vale que a n n x a a x lim b n n a x n x a L f x f x lim lim Exemplo 213 Calcule x x x x 4 7 lim 3 2 4 2 Exemplo 214 Calcule 3 2 3 2 5 3 lim x x x x Exemplo 215 Calcule 3 3 2 1 7 lim x x x Teorema 23 Sejam m n inteiros positivos Então a se m é par m n m n x a a x lim para 0 a b se m é ímpar m n m n x a a x lim para a Exemplo 216 Calcule 2 3 4 3 lim x x x 19 Teorema 24 Teorema do Confronto ou Sanduíche Suponha que o limite de g x e o limite de h x existam quando x a e que h x L x g a x a x lim lim Se a função f satisfaz a desigualdade h x f x g x para todo x em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente para x a então L x f x a lim Interpretação Geométrica do Teorema do Sanduíche Exemplo 217 Use o teorema do sanduíche para mostrar que 0 sen lim 0 x x Exemplo 218 Limite Fundamental Mostre usando o teorema do sanduíche que 1 sen lim 0 x x x Exercícios 12 Considerando 9 5 2 lim 2 x x a Mostre que 9 5 2x se e somente se 2 2 x b Encontre um apropriado para 0 05 40 2 13 Considerando 3 3 lim 2 0 x x a Mostre que 3 3 x2 se e somente se x b Encontre um apropriado para 30 1 2 20 14 Use as propriedades de limites para calcular a 7 3 lim 3 x x b 3 3 lim 2 2 x x x x c x x x x x 2 5 2 3 4 2 lim d 2 4 1 lim x x x e 3 3 2 lim 2 3 x x x x f x x x sen2 tan lim 0 g 2 4 lim 4 x x x h 2 3 2 3 7 1 2 lim x x x 15 Nas questões a e b suponha que 2 lim x f x a e 3 lim x g x a e calcule o limite especificado a x g x f x a 3 lim b f x x g g x x f x a 4 4 6 lim 2 16 Use a desigualdade trigonométrica sen x x para provar que 0 sen lim 0 x x x 17 Use o fato de que 1 sen lim 0 x x x limite fundamental para calcular o limite a x x x 2 sen lim 0 b x x x 4 tan lim 0 18 Suponha que 2 2 1 1 x f x x para todo x Calcule x f x 0 lim 21 24 Limites Laterais Considere o gráfico de uma função f x Este gráfico tem a propriedade de que quando x é escolhido próximo de a mas à direita de a os correspondentes valores da função f x estão próximos ao número L Este é o conceito de limite à direita cuja notação é L x f x a lim Analogamente escrevendo M x f x a lim significa que os valores de fx estão próximos de M se x está próximo de a pela esquerda limite à esquerda Observação O conceito de limite lateral obedece a definição intuitiva e formal de limite Exemplo 217 Como x f x não é definida para x 0 o limite de x quando x 0 não existe Entretanto podemos escrever que 0 lim 0 x x Exemplo 218 Para a função x x f x quando x 0 como já concluímos x x x 0 lim não existe Entretanto seus limites laterais existem De fato 22 Exemplo 219 O gráfico a seguir corresponde à função maior inteiro definida por maior inteiro com x n n x Por exemplo 7 7 3 2 21 2 52 etc Embora x xn lim não exista ambos limites laterais existem Por exemplo 1 2 e lim x x lim 2 x x 2 3 2 e lim lim 2 2 x x x x Teorema 25 x f xa lim existe se e somente se ambos os limites laterais existem e são iguais Isto é L x f x a lim se e somente se f x L x f a x a x lim lim Exemplo 220 Dada a função 1 2 1 3 4 2 x x x x f x calcule o x f x 1 lim 23 25 Limites Infinitos Seja f uma função definida por x f x 1 Iremos analisar o comportamento numérico desta função através das tabelas a seguir a Comportamento de f à esquerda de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 10 100 1000 10000 Podemos notar que quando x 0 ou seja por valores menores que zero os valores da função decrescem sem limite b Comportamento de f à direita de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 10 100 1000 10000 Podemos notar que quando x 0 ou seja por valores maiores que zero os valores da função crescem sem limite Baseado neste exemplo podemos afirmar que quando x está próximo de 0 esta função não tem os valores se aproximando de um limite bem definido Observe o gráfico Analisando agora o comportamento da função 2 1 x f x nas proximidades de x 0 observamos que 24 a Comportamento de f à esquerda de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 100 10000 1000000 100000000 b Comportamento de f à direita de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 100 10000 1000000 100000000 Observamos pelas tabelas que se x 0 ou x 0 os valores da função crescem sem limite Assim podemos afirmar por este exemplo que quando x 0 esta função tem os valores se aproximando de um limiar infinito Observe o gráfico Neste caso dizemos que não existe o limite de 2 1 x f x no ponto x 0 mas denotamos tal fato por 2 0 1 lim x x Por causa desta notação costumase dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa deste limite dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota vertical que é uma reta cuja equação é dada por x 0 neste caso 25 Definição 22 Seja f x definida para todo x em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente em a Dizse que f tem limite infinito quando x se aproxima de a o que é denotado por x f a xlim se para todo número real 0existir um 0 tal que se a x 0 então f x Observação De modo similar podese chegar à conclusão que para a função 2 1 x g x não existe limite no ponto x 0 no entanto podese representar um resultado como descrito anteriormente por 2 0 1 lim x x 26 Limites no Infinito Analisaremos agora o comportamento de x f x 1 quando x cresce arbitrariamente x ou quando x decresce arbitrariamente x a Comportamento de f para x pequenos x 1 10 100 1000 10000 100000 fx 1 01 001 0001 00001 000001 b Comportamento de f para x grandes x 1 10 100 1000 10000 100000 fx 1 01 001 0001 00001 000001 Pelas tabelas observamos que 0 lim x f x e 0 lim x f x E quando construímos o gráfico de f observamos que existe uma reta assíntota horizontal que é a reta y 0 que nunca toca a função mas se aproxima dela em e em 26 Temos então uma definição geral englobando tal situação Definição 23 Seja f x definida para todo x em um intervalo a Escrevemos L x f x lim quando para todo número real 0existir um 0 tal que f x L e sempre que x Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal Definição 24 Dizemos que a reta y L é uma assíntota horizontal do gráfico de f se L x f x lim ou L x f x lim Exemplo 221 Calcule o 4 2 2 1 3 lim 2 2 x x x x A interpretação geométrica deste fato é que a reta horizontal 2 y 3 é uma assíntota do gráfico da função 4 2 2 1 3 2 2 x x x f x 27 A figura a seguir é um esboço do gráfico de f OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Quando no cálculo do limite de uma função aparecer uma das seguintes formas 1 0 0 0 0 0 0 que são denominadas expressões indeterminadas nada se poderá concluir de imediato sobre o limite sem um estudo mais aprofundado de cada caso Exercícios 20 Para cada função cujo gráfico é o da figura indicada calcule os limites se existirem a i x f x 1 lim ii x f x 1 lim iii x f x 0 lim 28 b i x f x 2 lim ii x f x 2 lim iii x f x 2 lim 21 Considere o gráfico de f x mostrado na figura abaixo Para que números a temos a f a x f x a lim b f a x f x a lim c x f xa lim existe d x f xa lim existe e é igual a f a 22 Calcule o limite se existir a 2 lim 2 x x b 2 3 2 5 0 5 lim x x x c 2 4 lim 4 x x x d 2 4 4 lim 2 2 x x x x e x x x 3 lim f x x 1 lim 3 g 4 1 2 lim 3 2 x x x x h x x 1 lim 0 i 4 1 2 lim 2 3 4 x x x x x j 1 lim x x x k x x x 1 lim 0 29 23 Seja 0 1 0 cos x x x x f x a Calcule x f x 0 lim b Calcule x f x 0 lim c x f x 0 lim existe 24 Seja 3 1 2 3 2 x x x x f x Prove que 5 lim 3 x f x 25 Seja 1 1 1 1 2 2 x x x x x f x a Esboce o gráfico de f b x f x 1 lim existe Justifique c x f x 1 lim existe Justifique 3 CONTINUIDADE Quando definimos limite de f x quando x tende para a enfatizamos que este limite não é necessariamente igual a f a De fato f a pode nem mesmo ser definida A partir de agora voltaremos nossa atenção para o caso em que f a x f x a lim Se isto ocorrer dizemos que a função f é contínua em x a Definição 31 Suponhamos que a função f é definida em um intervalo aberto contendo o número a Então f é contínua em a se f a x f x a lim Caso contrário dizemos que f é descontínua em a 30 Observações 1 A definição de continuidade exige duas coisas primeiro que x f xa lim exista e segundo que a função f seja definida no número a 2 A definição 31 é uma definição de continuidade no número a para funções que são definidas sobre um intervalo aberto em torno de a Geometricamente continuidade é uma propriedade que garante que o gráfico de f não terá uma interrupção ou será quebrado em a f a Cada uma das funções cujos gráficos são dados a seguir são descontínua em a Exemplo 31 Calcule os números x para os quais 2 4 2 x x f x é contínua f a não é definida não existe lim lim lim f x f x x f a x a x a x f x a f xa lim 31 A descontinuidade no número 2 é chamada de descontinuidade removível pois podemos eliminar remover a descontinuidade em x 2 definindo 4 lim 2 2 f x f x Em outras palavras acrescentamos x 2 ao domínio de f definindo a nova função 2 4 2 2 4 ˆ 2 x se se x x x f x A função fˆ é então contínua para todo x e concorda com f para x 2 Exemplo 32 Outra função com uma descontinuidade removível é x x f x sen Embora f 0 é indefinida já mostramos que 1 sen lim 0 x x x Podemos portanto remover a descontinuidade para x 0 definindo 0 1 0 sen ˆ x para para x x x f x A função fˆ é então contínua para x 0 Teorema 31 Se a função f e g são contínuas para x a e se c é um número real qualquer então as seguintes funções são também contínuas em x a a f g b c f c f g d g f desde que g a 0 32 Teorema 32 Para cada inteiro positivo n 1 2 3 a a função xn f x é contínua para todo x b se a função g é contínua em x a a função g x n f x é contínua em x a A combinação dos teoremas 31 e 32 mostra que qualquer polinômio é contínuo para todo x e qualquer função racional é contínua para todo x diferente daquele que anula seu denominador Por exemplo a O polinômio 7 2 2 3 x x f x é contínuo para todo x b A função racional 6 7 3 x x x g x é contínua para todo x com x 6 c A quarta potência de g x 4 3 4 6 7 x x x g x h x é contínua para todo x com x 6 31 Continuidade em Intervalos Definição 32 i A função f é contínua no intervalo aberto a b se for contínua em cada a b x ii A função f é contínua no intervalo fechado ab se for contínua em a b e além disso f a x f x a lim e f b x f x b lim 33 A continuidade é definida de modo análogo em intervalos tais como a b a etc Exemplo 33 A função x f x é contínua no intervalo 0 Em outras palavras 0 lim a a x x a e 0 0 lim 0 f x x Teorema 33 Sejam m e n inteiros positivos A função m n x f x é a contínua em 0 se m é par b contínua em se m é ímpar Exemplo 34 Utilizando os teoremas anteriores podemos concluir que as seguintes funções são contínuas nos intervalos dados a x x f x 2 3 em 0 b x x x f x 1 3 2 2 em 1 e 1 c 3 2 5 6 2 3 3 2 x x x x x f x em 02 e 2 311 Definição Alternativa de Continuidade Teorema 34 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo o número a Então f é contínua em a se e somente se f a h a f h 0 lim A função f é contínua em a b mas não em a b 34 Demonstração Seja a x h Então x a se e somente se h 0 Além disso x a x a h a tal que f x h f a e f x h a f a x h lim lim 0 Portanto f a h a f h 0 lim é equivalente a f a x f x a lim que é a definição de continuidade definição 31 Exemplo 35 Mostre que a função x f x sen é contínua para todo x Teorema 35 Seja f uma função contínua em um intervalo aberto contendo o número L Se o limite L x g x a lim existe então f L g x f g x f a x x a lim lim Este teorema afirma que se a função de fora na função composta fog é contínua podemos passar o limite para dentro da função f Exemplo 36 a 0 sen 0 sen sen lim lim sen 2 0 2 0 x x x x Neste caso x f x sen e 2x g x b 2 2 2 1 2 lim sen 1 2 lim sen 2 sen lim 0 0 0 x x x x x x x x x 35 312 Teorema do Valor Intermediário Teorema 36 Seja f contínua no intervalo a b com f b f a Seja d um número qualquer entre f a e f b Então existe no mínimo um número a b c tal que d f c O teorema do valor intermediário é um teorema de existência Ele simplesmente garante que no mínimo um número c existe que satisfaz a condição d f c Entretanto não nos diz como encontrará este número Exemplo 37 A função 3 1 x f x é contínua no intervalo 02 Como f 0 1 e f 2 3 o teorema do valor intermediário garante que se d é qualquer valor intermediário com 1 d 3 existe um número 20 c com d f c Em particular se 2 5 d então 2 5 f c Portanto 3 3 3 4 1 4 1 2 5 1 c c c 36 Exemplo 38 Use o teorema do valor intermediário para resolver a desigualdade x x x 5 4 2 3 Solução Primeiro convertemos a desigualdade na forma f x 0 0 5 4 2 3 x x x Assim seja x x x f x 5 4 2 3 Com f é um polinômio f é contínua em Os zeros de f são 5 1 5 4 5 4 2 2 3 x x x x x x x x x f x tal que f x 0 para x 1 0 e 5 A tabela a seguir mostra o sinal de f em cada intervalo Intervalo X f x Conclusão 1 x 2 0 14 2 f 1 0 em f x 1 0 2 x 1 0 8 11 2 1 f 1 0 0 em f x 0 5 x 1 0 8 1 f f x 0 em 0 5 5 x 6 0 42 6 f 0 em 5 f x Exercícios 26 Dê os intervalos sobre os quais a função é contínua a 1 1 f x x b 2 1 2 1 x x x x f x c 2 2 2 x x x f x d 2 1 2 1 2 1 4 1 2 x x x x x x f x 27 A função 1 1 2 x x f x tem uma descontinuidade removível em x 1 Determine como definir 1 f tal que a função seja contínua em 1 28 Calcule a constante k que torne a função contínua em x a 2 10 2 x x x x y k a 2 29 Use o teorema 35 para calcular o limite a 5 3 8 1 lim x x b x x cos lim 2 30 Resolva a desigualdade f x 0 ou f x 0 usando o teorema do valor intermediário a 8 6 x x b 0 9 2 4 x x
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Cálculo Diferencial e Integral I LIMITES DE FUNÇÕES E CONTINUIDADE 1 TANGENTES ÁREAS E LIMITES Os matemáticos do século XVI tinham dois problemas a serem resolvidos 1 O Problema da Reta Tangente Encontrar a inclinação da reta l tangente ao gráfico da função f no ponto P 2 O Problema da Área Encontrar a área da região R limitada pelo gráfico da função f e o eixox para a x b O Cálculo Diferencial analisa a taxa de variação de uma função Portanto resolve o problema 1 O Cálculo Integral envolve um processo de soma generalizada que resolve o problema 2 2 11 A Tangente de uma Curva O primeiro passo ao atacar o problema da reta tangente é definir claramente o que significa reta tangente ao gráfico de f no ponto P Da geometria sabemos que se o gráfico de f é um arco de uma circunferência então a tangente no ponto P pode ser definida como a única reta que intercepta a circunferência apenas no ponto P Esta definição é perfeitamente adequada para arcos de circunferências mas fracassa para curvas mais gerais Por exemplo a figura a mostra várias retas interceptando o gráfico de f apenas no ponto P mas nenhuma delas é uma tangente A figura b mostra a tangente a P interceptando o gráfico de f em outros pontos Existe um outro meio entretanto de definir a tangente a uma circunferência que tem uma generalização satisfatória para as curvas mais gerais A figura a seguir ilustra que um segundo ponto Q sobre a circunferência determina uma secante que liga os pontos P e Q Quando o ponto Q se move em direção a P ao longo da circunferência a reta secante gira tendo o ponto P fixo Vamos usar esta idéia para definir a tangente de forma mais geral 3 Definição 11 Sejam P e Q pontos sobre uma curva C A reta tangente à curva C no ponto P se existir é a posição limite da reta secante que passa por P e Q quando Q se aproxima de P ao longo da curva C Vamos agora determinar como definir a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto P de tal modo que seja consistente com esta noção de tangente a uma curva Considere a figura abaixo A inclinação da reta secante é h f x h x f x y 0 0 À medida que o ponto Q se aproxima de P ao longo do gráfico de f o número h 0 se aproxima de zero Então a tangente ao gráfico de f em P é a posição limite da secante por P e Q quando h se aproxima de zero ou seja a inclinação da tangente a P é igual ao valor limite da inclinação da reta secante quando h se aproxima de zero e isto é igual ao limite quando h se aproxima de zero de h f x h x f 0 0 0 0 f x h f x y 4 Exemplo 11 Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de x2 f x no ponto 24 Solução h 1 01 001 0001 0001 001 01 1 h f h f 2 2 3 39 399 3999 4001 401 41 5 Quando h se aproxima de zero para estes valores a inclinação das secantes parecem aproximar se de 4 De fato 2 2 0 4 4 2 2 h h h h f h f x e 4 2 2 2 0 f f x A inclinação da tangente é portanto 4 4 lim 0 h m h Definição 12 A inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto 0 0 f x x se existir é o número h f x h f x m h 0 0 0 lim 5 Exemplo 12 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de 2 3 3 x x f x no ponto 12 Solução 2 2 3 1 1 3 f 2 6 3 2 31 1 1 2 3 3 h h h h h h f A inclinação da reta secante que passa por 12 é 0 6 3 2 2 6 3 1 1 2 2 3 h h h h h h h h f h f A inclinação da reta tangente é portanto 6 6 3 lim 2 0 h h m h Uma equação para a reta tangente que tem a inclinação m 6 e passa pelo ponto 12 é 0 4 6 1 6 2 x y x y Exercícios 1 Use a definição 12 para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado a 2 4 2 3 P x f x b 3 18 2 2 P x f x c 1 5 3 2 2 P x f x d 2 6 2 4 3 2 P x x f x e 2 11 3 3 P x f x f 2 16 4 P x f x g 12 3 1 P x f x h 12 4 2 P x f x 2 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função 3x2 f x no ponto 1 3 3 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função ax2 f x no ponto 1 a 4 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função x x f x 2 2 no ponto em que x 1 6 5 Usando uma calculadora podemos aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em 0 0 f x x calculando a inclinação da secante h f x h x f 0 0 para h pequeno a Aproxime a inclinação da reta tangente ao gráfico de x x f x 3 3 no ponto 2 2 completando a tabela 11 b Use o método dos exemplos 11 e 12 para calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico de x x f x 3 3 no ponto 2 2 Compare com a parte a Tabela 11 0x h h f x h x f 0 0 01 001 0001 00001 00001 0001 001 01 6 Use a tabela 12 para aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de x y sen no ponto 0 0 Aplique o método dos exemplos 11 e 12 para obter uma expressão para o limite que deve ser calculado a fim de obter a inclinação da reta tangente 7 Mostre que a inclinação da reta tangente ao gráfico de 1 6 2 x x f x no ponto em que x a é m 2a 6 Use esta informação para encontrar o número x em que a inclinação da tangente ao gráfico é zero 8 Seja x f x Complete a tabela 12 para o ponto 0 0 A função valor absoluto tem um tangente no ponto 0 0 7 2 LIMITES DE FUNÇÕES A afirmação f x L xa lim significa que os valores f x estão tão próximos de L quanto desejarmos para todo x a mas suficientemente próximo de a Esta definição não é uma definição rigorosa porque as frases tão próximos de L quanto desejarmos e suficientemente próximo de a são de algum modo imprecisas Exemplo 21 Seja 2 1 x f x Então 7 lim 3 x f x Para ver como esta função satisfaz a definição intuitiva de limite dada acima analisaremos duas escolhas diferentes de tão próximo de f x para L 7 Por exemplo vamos supor que f x esteja próximo de 7 com um precisão de 05 isto é 57 1 2 56 x Mas 3 25 2 75 56 2 55 57 1 2 56 x x x Assim para obter a precisão desejada de 05 em torno de L 7 restringimos x ao intervalo 3 25 2 75 x Agora se quisermos que f x esteja próximo de 7 com uma precisão de 01 temos 3 05 2 95 16 2 95 17 1 2 96 x x x Portanto se 3 05 2 95 x então f x está próximo de 7 com precisão de 01 Em geral dada qualquer precisão desejada de f x para 7 podemos encontrar um intervalo aberto I centrado em 3 tal que se x pertence ao intervalo I então o valor f x difere de 7 por não mais do que a precisão prescrita Assim dizemos que 7 1 2 lim 3 x x 8 Exemplo 22 A função x x f x sen não é definida em x 0 Entretanto o limite 1 sen lim 0 x x x Observe a tabela 12 Tabela 12 X x x sen x x x sen 08 0896695 0002 0999999 05 0958851 0005 0999996 02 0993347 002 0999933 008 0998934 005 0999583 005 0999583 008 0998934 002 0999933 02 0993347 0005 0999996 05 0958851 0002 0999999 08 0896695 Esta evidência numérica é consistente com o gráfico de f x 9 Exemplo 23 Calcule x x x 1 1 lim 3 0 Solução A função x x f x 1 1 3 não é definida para x 0 Mas observando a tabela 13 vemos que quando x está se aproximando de zero o valor f x se aproxima de L 3 Tabela 13 X x x 1 1 3 x x x 1 1 3 20 130 0001 2997 15 975 001 29701 10 70 01 271 05 475 02 244 02 364 05 175 01 331 10 10 001 30301 15 075 0001 3003 20 10 Os dados sugerem que 3 1 1 lim 3 0 x x x Podemos verificar este limite utilizando uma álgebra simples De fato 0 3 3 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 3 2 3 3 x x x x x x x x x x x x x Concluímos portanto que as funções x x f x 1 1 3 e 3 3 2 x x g x tem os mesmos valores exceto para x 0 em que f 0 não é definida Assim os limites quando x se aproxima de zero destas duas funções devem ser os mesmos Nosso limite pode ser calculado como segue 3 3 0 0 3 3 lim 1 1 lim 2 0 3 0 x x x x x x Graficamente temos 10 Exemplo 24 Calcule o limite 6 2 3 lim 2 2 2 x x x x x Solução Primeiro observemos que para x 2 obtemos o quociente 0 0 6 2 4 2 6 4 6 2 2 2 3 2 2 2 2 que não está definido Portanto devemos fatorar o numerador e o denominador obtendo para x 2 3 1 3 2 1 2 6 2 3 2 2 x x x x x x x x x x Assim 5 1 3 2 1 2 3 1 lim 6 2 3 lim 2 2 2 2 x x x x x x x x Exemplo 25 Calcule x x x cos 1 sen lim 2 Solução Primeiro observemos que 0 sen sen 2 2 e 0 1 1 cos 1 Assim numerador e denominador são ambos iguais a zero quando x Temos então de encontrar uma expressão equivalente para x x cos 1 sen2 isto é 1 1 cos se cos cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 sen 2 2 x x x x x x x x x Assim 2 1 1 lim 1 cos cos 1 sen lim 2 x x x x x 11 21 Limites que não existem Exemplo 26 O limite x x x 0 lim não existe Para ver porque utilizamos a definição de módulo 0 se 0 se x x x x x Para reescrever a função x x f x como 0 se 0 se x x x x x x f x Se x está próximo de zero e for positivo f x 1 Mas se x está próximo de zero e for negativo f x 1 Para que o limite exista quando x 0 os valores de f x devem se aproximar de um número L quando x se aproxima de zero por qualquer um dos lados Como não é o que acontece nesse exemplo o limite não existe Exemplo 27 x x sen 1 lim 0 não existe De fato os valores x f sen 1 x não se aproximam de um único número L quando x 0 As tabelas 14 15 e 16 a seguir ilustram as oscilações de f x numericamente A tabela 14 sugere que o limite seria 1 a tabela 15 sugere que o limite seria 0 e a tabela 16 sugere que o limite seria 2 2 Tabela 14 X x sen 1 2 1 5 2 1 9 2 1 13 2 1 17 2 1 Tabela 15 x x sen 1 2 1 0 4 1 0 6 1 0 8 1 0 10 1 0 Tabela 16 x x sen 1 4 2 2 9 4 2 2 17 4 1 25 4 2 2 25 4 2 2 Exercícios 9 Para cada uma das funções dadas pelos seus gráficos indique se i x f xa lim existe e é igual a f a ii x f xa lim existe mas não é igual a f a iii x f xa lim não existe a b c 10 Calcule o limite se existir a 7 3 lim 2 x x b x x x 9 3 lim 2 0 c 1 1 lim 2 1 h h h d 2 6 lim 2 2 x x x x e x x x x cos sen 1 cos lim 2 0 f x x x cossec sen 2 lim 2 g 1 3 2 lim 2 1 x x x x h x x x x cos sec lim 2 i h h h 9 3 lim 0 11 Esboce o gráfico de y f x e determine o limite de f x quando x 0 se existir Se o limite não existir explique o porquê a 0 2 se 2 0 se 2 x x x x f x b 0 se 2 0 se 2 3 2 x x x x f x c 0 1 se 1 0 3 se 3x 3 2 x x x x x f x d 0 se sen 0 se 1 2 x x x x x f x 13 22 Definição Formal de Limite Na seção anterior definimos o limite de uma função de maneira informal dizendo que f x L xa lim Significando que os valores f x estão tão próximos de L quanto desejarmos para todo x a mas suficientemente próximo de a Do ponto de vista da precisão matemática esta noção informal de limite é problemática A dificuldade repousa no uso da frase próximo de a Uma afirmação matemática precisa pode envolver constantes variáveis sinal de igual desigualdades expressões aritméticas e assim por diante mas não referências vagas como proximidade Para recuperar nossa noção intuitiva de limite com uma linguagem precisa procedemos da seguinte forma 1 Em lugar da frase os valores de f x estão tão próximos de L quanto desejarmos usamos a desigualdade f x L 21 2 Em lugar da frase para todo x a mas suficientemente próximo de a usamos a desigualdade em que é um número positivo pequeno a x 0 22 A razão da parte esquerda da desigualdade é que não queremos x a 3 Para ligar estas duas frases na forma desejada dizemos que não importa que seja dado podemos encontrar um número tal que se x satisfaz a desigualdade 22 então f x satisfaz a desigualdade 21 Isto é queremos dizer que L é pequeno a pequenogaranteque f x x Estas convenções nos permitem fazer a definição formal de limite 14 Definição 21 Seja f x definida para todo x em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente em a Dizemos que o número L é o limite da função f quando x se aproxima de a e escrevemos f x L xa lim se e somente se dado qualquer número 0 existe um número correspondente 0 tal que se a x 0 então f x L Em outras palavras f x L xa lim significa que os valores f x estão tão próximos de L quanto desejarmos dentro de unidades para todo x a mas suficientemente próximo de a Exemplo 28 Demonstre usando a definição 21 que 7 1 2 lim 3 x x Solução De acordo com a definição 21 L 7 e a 3 Além disso as seguintes desigualdades são equivalentes Dado qualquer número pertencente a f x L 7 1 2x 23 3 2 6 2 x x 2 3 x 24 Ainda de acordo com a definição 21 devemos encontrar uma distância aceitável para cada precisão 0 dada afim de provar que o limite é 7 A equação 24 obtida a partir de 23 é a chave para isto De fato os cálculos acima mostram que 2 3 7 1 2 x x É exatamente esta equivalência que nos mostra como escolher Com 2 sabemos que se 3 0 x então a desigualdade 2 3 x é verdadeira e portanto a desigualdade 23 Formalmente a demonstração é 15 Seja 0 dado Vamos escolher 2 Segue então que se 3 0 x então 2 2 3 pois 2 3 2 6 2 7 1 2 x x x x Ou seja se 3 0 x então 7 1 2x como exigido pela definição 21 Exemplo 29 Prove que 11 3 4 lim 2 x x Solução Neste caso 2 11 e 3 4 a L x f x Temos as seguintes desigualdades equivalentes 4 2 2 4 8 4 11 3 4 x x x x L x f Dado 0 escolhemos 4 Segue então que se 2 0 x então 4 4 4 2 4 8 4 11 3 4 x x x Assim com 4 temos que se 2 0 x então 11 3 4x 16 Exemplo 210 Prove que 3 7 4 lim 2 2 x x x Solução Neste caso temos que 2 3 e 7 4 2 a L x x f x Assim se é um número positivo dado as seguintes desigualdades são equivalentes 2 2 4 4 3 7 4 2 2 2 x x x x x x L x f Se tomarmos segue que se 2 0 x então 3 7 4 2 x x Isto prova que 3 7 4 lim 2 2 x x x de acordo com a definição 21 23 Propriedades de Limite 1 c c x a lim c constante 2 a x x a lim A afirmação 1 diz que o limite da função constante c f x é sempre o número c independente de quem seja a A afirmação 2 diz que o limite da função linear x g x quando x se aproxima de a é o valor da função em a isto é ga a O teorema que segue estabelece uma álgebra dos limites pela qual limites de somas produtos e quocientes de funções podem ser calculados a partir de limites de termos individuais Teorema 21 Suponhamos que L x f x a lim e M x g x a lim existem Seja c um número qualquer Então cada um dos seguintes limites existem com os valores indicados a M L g x f x g x x f a x a x x a lim lim lim b f x cL c x cf a x x a lim lim c L M g x f x g x x f a x a x x a lim lim lim d 0 desde que lim lim lim M M L x g x f x g x f a x a x x a 17 Demonstração Faremos a demonstração das partes a e b As duas últimas embora similares às duas primeiras são logicamente mais complexas a Queremos mostrar que dado 0 existe um 0 tal que M L g x f x a x então se0 Para isto consideremos as hipóteses dadas do problema Dado 0 como L x f x a lim então existe um número 1 0 tal que se 1 0 a x então f x L 1 Da mesma forma dado 0 como M x g x a lim então existe um número 2 0 tal que se 2 0 a x então g x M 2 Consideramos então como sendo o menor dos números 1 e 2 isto é 1 2 min Assim utilizando estas informações temos 2 2 1 M g x L x f M g x L f x M L g x x f Isto demonstra que M L g x x f x a lim ou seja O limite da soma é a soma dos limites b Primeiro observemos que se c 0 então cL x cf x a lim é exatamente 0 lim 0 xa que é obviamente verdadeiro Vamos supor então que c 0 Queremos provar que dado 0 existe um 0 tal que se a x 0 então cf x cL Mas por hipótese temos que dado 0 existe 0 tal que se a x 0 então c L f x lembrese que c 0 Assim dado 0 existe um 0 tal que se a x 0 então c c L c f x L c f x cL cf x Isto mostra que cL x cf x a lim 18 Exemplo 211 Calcule 6 lim 3 2 2 x x Exemplo 212 Calcule 2 1 1 3 2 lim x x x Teorema 22 Extensão do teorema 21 para potências inteiras de x e funções potência Suponhamos que L x f x a lim Para qualquer inteiro positivo n 123 vale que a n n x a a x lim b n n a x n x a L f x f x lim lim Exemplo 213 Calcule x x x x 4 7 lim 3 2 4 2 Exemplo 214 Calcule 3 2 3 2 5 3 lim x x x x Exemplo 215 Calcule 3 3 2 1 7 lim x x x Teorema 23 Sejam m n inteiros positivos Então a se m é par m n m n x a a x lim para 0 a b se m é ímpar m n m n x a a x lim para a Exemplo 216 Calcule 2 3 4 3 lim x x x 19 Teorema 24 Teorema do Confronto ou Sanduíche Suponha que o limite de g x e o limite de h x existam quando x a e que h x L x g a x a x lim lim Se a função f satisfaz a desigualdade h x f x g x para todo x em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente para x a então L x f x a lim Interpretação Geométrica do Teorema do Sanduíche Exemplo 217 Use o teorema do sanduíche para mostrar que 0 sen lim 0 x x Exemplo 218 Limite Fundamental Mostre usando o teorema do sanduíche que 1 sen lim 0 x x x Exercícios 12 Considerando 9 5 2 lim 2 x x a Mostre que 9 5 2x se e somente se 2 2 x b Encontre um apropriado para 0 05 40 2 13 Considerando 3 3 lim 2 0 x x a Mostre que 3 3 x2 se e somente se x b Encontre um apropriado para 30 1 2 20 14 Use as propriedades de limites para calcular a 7 3 lim 3 x x b 3 3 lim 2 2 x x x x c x x x x x 2 5 2 3 4 2 lim d 2 4 1 lim x x x e 3 3 2 lim 2 3 x x x x f x x x sen2 tan lim 0 g 2 4 lim 4 x x x h 2 3 2 3 7 1 2 lim x x x 15 Nas questões a e b suponha que 2 lim x f x a e 3 lim x g x a e calcule o limite especificado a x g x f x a 3 lim b f x x g g x x f x a 4 4 6 lim 2 16 Use a desigualdade trigonométrica sen x x para provar que 0 sen lim 0 x x x 17 Use o fato de que 1 sen lim 0 x x x limite fundamental para calcular o limite a x x x 2 sen lim 0 b x x x 4 tan lim 0 18 Suponha que 2 2 1 1 x f x x para todo x Calcule x f x 0 lim 21 24 Limites Laterais Considere o gráfico de uma função f x Este gráfico tem a propriedade de que quando x é escolhido próximo de a mas à direita de a os correspondentes valores da função f x estão próximos ao número L Este é o conceito de limite à direita cuja notação é L x f x a lim Analogamente escrevendo M x f x a lim significa que os valores de fx estão próximos de M se x está próximo de a pela esquerda limite à esquerda Observação O conceito de limite lateral obedece a definição intuitiva e formal de limite Exemplo 217 Como x f x não é definida para x 0 o limite de x quando x 0 não existe Entretanto podemos escrever que 0 lim 0 x x Exemplo 218 Para a função x x f x quando x 0 como já concluímos x x x 0 lim não existe Entretanto seus limites laterais existem De fato 22 Exemplo 219 O gráfico a seguir corresponde à função maior inteiro definida por maior inteiro com x n n x Por exemplo 7 7 3 2 21 2 52 etc Embora x xn lim não exista ambos limites laterais existem Por exemplo 1 2 e lim x x lim 2 x x 2 3 2 e lim lim 2 2 x x x x Teorema 25 x f xa lim existe se e somente se ambos os limites laterais existem e são iguais Isto é L x f x a lim se e somente se f x L x f a x a x lim lim Exemplo 220 Dada a função 1 2 1 3 4 2 x x x x f x calcule o x f x 1 lim 23 25 Limites Infinitos Seja f uma função definida por x f x 1 Iremos analisar o comportamento numérico desta função através das tabelas a seguir a Comportamento de f à esquerda de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 10 100 1000 10000 Podemos notar que quando x 0 ou seja por valores menores que zero os valores da função decrescem sem limite b Comportamento de f à direita de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 10 100 1000 10000 Podemos notar que quando x 0 ou seja por valores maiores que zero os valores da função crescem sem limite Baseado neste exemplo podemos afirmar que quando x está próximo de 0 esta função não tem os valores se aproximando de um limite bem definido Observe o gráfico Analisando agora o comportamento da função 2 1 x f x nas proximidades de x 0 observamos que 24 a Comportamento de f à esquerda de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 100 10000 1000000 100000000 b Comportamento de f à direita de x 0 x 1 01 001 0001 00001 fx 1 100 10000 1000000 100000000 Observamos pelas tabelas que se x 0 ou x 0 os valores da função crescem sem limite Assim podemos afirmar por este exemplo que quando x 0 esta função tem os valores se aproximando de um limiar infinito Observe o gráfico Neste caso dizemos que não existe o limite de 2 1 x f x no ponto x 0 mas denotamos tal fato por 2 0 1 lim x x Por causa desta notação costumase dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa deste limite dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota vertical que é uma reta cuja equação é dada por x 0 neste caso 25 Definição 22 Seja f x definida para todo x em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente em a Dizse que f tem limite infinito quando x se aproxima de a o que é denotado por x f a xlim se para todo número real 0existir um 0 tal que se a x 0 então f x Observação De modo similar podese chegar à conclusão que para a função 2 1 x g x não existe limite no ponto x 0 no entanto podese representar um resultado como descrito anteriormente por 2 0 1 lim x x 26 Limites no Infinito Analisaremos agora o comportamento de x f x 1 quando x cresce arbitrariamente x ou quando x decresce arbitrariamente x a Comportamento de f para x pequenos x 1 10 100 1000 10000 100000 fx 1 01 001 0001 00001 000001 b Comportamento de f para x grandes x 1 10 100 1000 10000 100000 fx 1 01 001 0001 00001 000001 Pelas tabelas observamos que 0 lim x f x e 0 lim x f x E quando construímos o gráfico de f observamos que existe uma reta assíntota horizontal que é a reta y 0 que nunca toca a função mas se aproxima dela em e em 26 Temos então uma definição geral englobando tal situação Definição 23 Seja f x definida para todo x em um intervalo a Escrevemos L x f x lim quando para todo número real 0existir um 0 tal que f x L e sempre que x Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal Definição 24 Dizemos que a reta y L é uma assíntota horizontal do gráfico de f se L x f x lim ou L x f x lim Exemplo 221 Calcule o 4 2 2 1 3 lim 2 2 x x x x A interpretação geométrica deste fato é que a reta horizontal 2 y 3 é uma assíntota do gráfico da função 4 2 2 1 3 2 2 x x x f x 27 A figura a seguir é um esboço do gráfico de f OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Quando no cálculo do limite de uma função aparecer uma das seguintes formas 1 0 0 0 0 0 0 que são denominadas expressões indeterminadas nada se poderá concluir de imediato sobre o limite sem um estudo mais aprofundado de cada caso Exercícios 20 Para cada função cujo gráfico é o da figura indicada calcule os limites se existirem a i x f x 1 lim ii x f x 1 lim iii x f x 0 lim 28 b i x f x 2 lim ii x f x 2 lim iii x f x 2 lim 21 Considere o gráfico de f x mostrado na figura abaixo Para que números a temos a f a x f x a lim b f a x f x a lim c x f xa lim existe d x f xa lim existe e é igual a f a 22 Calcule o limite se existir a 2 lim 2 x x b 2 3 2 5 0 5 lim x x x c 2 4 lim 4 x x x d 2 4 4 lim 2 2 x x x x e x x x 3 lim f x x 1 lim 3 g 4 1 2 lim 3 2 x x x x h x x 1 lim 0 i 4 1 2 lim 2 3 4 x x x x x j 1 lim x x x k x x x 1 lim 0 29 23 Seja 0 1 0 cos x x x x f x a Calcule x f x 0 lim b Calcule x f x 0 lim c x f x 0 lim existe 24 Seja 3 1 2 3 2 x x x x f x Prove que 5 lim 3 x f x 25 Seja 1 1 1 1 2 2 x x x x x f x a Esboce o gráfico de f b x f x 1 lim existe Justifique c x f x 1 lim existe Justifique 3 CONTINUIDADE Quando definimos limite de f x quando x tende para a enfatizamos que este limite não é necessariamente igual a f a De fato f a pode nem mesmo ser definida A partir de agora voltaremos nossa atenção para o caso em que f a x f x a lim Se isto ocorrer dizemos que a função f é contínua em x a Definição 31 Suponhamos que a função f é definida em um intervalo aberto contendo o número a Então f é contínua em a se f a x f x a lim Caso contrário dizemos que f é descontínua em a 30 Observações 1 A definição de continuidade exige duas coisas primeiro que x f xa lim exista e segundo que a função f seja definida no número a 2 A definição 31 é uma definição de continuidade no número a para funções que são definidas sobre um intervalo aberto em torno de a Geometricamente continuidade é uma propriedade que garante que o gráfico de f não terá uma interrupção ou será quebrado em a f a Cada uma das funções cujos gráficos são dados a seguir são descontínua em a Exemplo 31 Calcule os números x para os quais 2 4 2 x x f x é contínua f a não é definida não existe lim lim lim f x f x x f a x a x a x f x a f xa lim 31 A descontinuidade no número 2 é chamada de descontinuidade removível pois podemos eliminar remover a descontinuidade em x 2 definindo 4 lim 2 2 f x f x Em outras palavras acrescentamos x 2 ao domínio de f definindo a nova função 2 4 2 2 4 ˆ 2 x se se x x x f x A função fˆ é então contínua para todo x e concorda com f para x 2 Exemplo 32 Outra função com uma descontinuidade removível é x x f x sen Embora f 0 é indefinida já mostramos que 1 sen lim 0 x x x Podemos portanto remover a descontinuidade para x 0 definindo 0 1 0 sen ˆ x para para x x x f x A função fˆ é então contínua para x 0 Teorema 31 Se a função f e g são contínuas para x a e se c é um número real qualquer então as seguintes funções são também contínuas em x a a f g b c f c f g d g f desde que g a 0 32 Teorema 32 Para cada inteiro positivo n 1 2 3 a a função xn f x é contínua para todo x b se a função g é contínua em x a a função g x n f x é contínua em x a A combinação dos teoremas 31 e 32 mostra que qualquer polinômio é contínuo para todo x e qualquer função racional é contínua para todo x diferente daquele que anula seu denominador Por exemplo a O polinômio 7 2 2 3 x x f x é contínuo para todo x b A função racional 6 7 3 x x x g x é contínua para todo x com x 6 c A quarta potência de g x 4 3 4 6 7 x x x g x h x é contínua para todo x com x 6 31 Continuidade em Intervalos Definição 32 i A função f é contínua no intervalo aberto a b se for contínua em cada a b x ii A função f é contínua no intervalo fechado ab se for contínua em a b e além disso f a x f x a lim e f b x f x b lim 33 A continuidade é definida de modo análogo em intervalos tais como a b a etc Exemplo 33 A função x f x é contínua no intervalo 0 Em outras palavras 0 lim a a x x a e 0 0 lim 0 f x x Teorema 33 Sejam m e n inteiros positivos A função m n x f x é a contínua em 0 se m é par b contínua em se m é ímpar Exemplo 34 Utilizando os teoremas anteriores podemos concluir que as seguintes funções são contínuas nos intervalos dados a x x f x 2 3 em 0 b x x x f x 1 3 2 2 em 1 e 1 c 3 2 5 6 2 3 3 2 x x x x x f x em 02 e 2 311 Definição Alternativa de Continuidade Teorema 34 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo o número a Então f é contínua em a se e somente se f a h a f h 0 lim A função f é contínua em a b mas não em a b 34 Demonstração Seja a x h Então x a se e somente se h 0 Além disso x a x a h a tal que f x h f a e f x h a f a x h lim lim 0 Portanto f a h a f h 0 lim é equivalente a f a x f x a lim que é a definição de continuidade definição 31 Exemplo 35 Mostre que a função x f x sen é contínua para todo x Teorema 35 Seja f uma função contínua em um intervalo aberto contendo o número L Se o limite L x g x a lim existe então f L g x f g x f a x x a lim lim Este teorema afirma que se a função de fora na função composta fog é contínua podemos passar o limite para dentro da função f Exemplo 36 a 0 sen 0 sen sen lim lim sen 2 0 2 0 x x x x Neste caso x f x sen e 2x g x b 2 2 2 1 2 lim sen 1 2 lim sen 2 sen lim 0 0 0 x x x x x x x x x 35 312 Teorema do Valor Intermediário Teorema 36 Seja f contínua no intervalo a b com f b f a Seja d um número qualquer entre f a e f b Então existe no mínimo um número a b c tal que d f c O teorema do valor intermediário é um teorema de existência Ele simplesmente garante que no mínimo um número c existe que satisfaz a condição d f c Entretanto não nos diz como encontrará este número Exemplo 37 A função 3 1 x f x é contínua no intervalo 02 Como f 0 1 e f 2 3 o teorema do valor intermediário garante que se d é qualquer valor intermediário com 1 d 3 existe um número 20 c com d f c Em particular se 2 5 d então 2 5 f c Portanto 3 3 3 4 1 4 1 2 5 1 c c c 36 Exemplo 38 Use o teorema do valor intermediário para resolver a desigualdade x x x 5 4 2 3 Solução Primeiro convertemos a desigualdade na forma f x 0 0 5 4 2 3 x x x Assim seja x x x f x 5 4 2 3 Com f é um polinômio f é contínua em Os zeros de f são 5 1 5 4 5 4 2 2 3 x x x x x x x x x f x tal que f x 0 para x 1 0 e 5 A tabela a seguir mostra o sinal de f em cada intervalo Intervalo X f x Conclusão 1 x 2 0 14 2 f 1 0 em f x 1 0 2 x 1 0 8 11 2 1 f 1 0 0 em f x 0 5 x 1 0 8 1 f f x 0 em 0 5 5 x 6 0 42 6 f 0 em 5 f x Exercícios 26 Dê os intervalos sobre os quais a função é contínua a 1 1 f x x b 2 1 2 1 x x x x f x c 2 2 2 x x x f x d 2 1 2 1 2 1 4 1 2 x x x x x x f x 27 A função 1 1 2 x x f x tem uma descontinuidade removível em x 1 Determine como definir 1 f tal que a função seja contínua em 1 28 Calcule a constante k que torne a função contínua em x a 2 10 2 x x x x y k a 2 29 Use o teorema 35 para calcular o limite a 5 3 8 1 lim x x b x x cos lim 2 30 Resolva a desigualdade f x 0 ou f x 0 usando o teorema do valor intermediário a 8 6 x x b 0 9 2 4 x x