·
Agronomia ·
Cálculo 1
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Prefere sua atividade resolvida por um tutor especialista?
- Receba resolvida até o seu prazo
- Converse com o tutor pelo chat
- Garantia de 7 dias contra erros
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Roteiro 1 Funções Revisão Básica Todo cálculo diferencial e integral desenvolvese em torno de dois conceitos fundamentais o conceito de função e o conceito de limite O conceito de funções referese essencialmente à correspondência entre conjuntos Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de IR As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real Definição 1 Sejam A e B subconjuntos de IR Uma função B A f é uma lei ou regra que associa a cada elemento x A um único elemento y B Observações Escrevemos y f x para indicar que o elemento y é o valor atribuído pela função f ao elemento x O conjunto A é chamado de domínio da função f O conjunto de todos os valores A x f x é chamado de imagem da função f Exemplo 1 Encontre o domínio e a imagem da função x2 f x Exemplo 2 Encontre o domínio e a imagem da função 4 3 x x f x Exemplo 3 Encontre o domínio e a imagem da função 2 1 f x x Exemplo 4 Encontre o domínio e a imagem da função 3 x f x Exemplo 5 Encontre o domínio e a imagem da função 1 1 2 x x f x 2 Gráficos de funções A propriedade da reta vertical O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos x y que satisfazem a equação y f x Existe uma simples mas importante propriedade que distingue gráficos de funções de gráficos de equações que não são funções É chamada de propriedade da reta vertical e significa que qualquer reta vertical paralela ao eixoy pode interceptar o gráfico de uma função no máximo uma vez Alguns tipos de funções Seja b um número real A função constante associa a cada x IR o valor fx b Exemplo 6 1 fx 2 2 fx 1 3 fx 7 4 fx 0 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas eixo horizontal Uma função identidade é uma função f IR IR que para cada x em IR associa fx x O gráfico da identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais x y x y 3 Seja a um número real Uma função linear é uma função f IR IR que para cada x em IR associa fx ax Exemplo 7 1 fx 3x 2 fx 2x 3 fx x2 Observações 1 O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem 00 2 Observe que a função identidade é um caso particular de função linear quando a 1 Sejam a e b números reais sendo a não nulo Uma função afim é uma função f IR IR que para cada x em IR associa fx axb Exemplo 8 fx 3x 1 fx 2x 7 fx 12 x 4 O gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem 00 Funções Potência e Quadrática As funções potência representam o tipo mais simples de funções e tem a forma xn f x em que n é um inteiro positivo O domínio de qualquer função potência é o conjunto dos números reais Se n é ímpar a imagem é o conjunto dos reais Se n é par a imagem é o conjunto de todos os números reais não negativos 4 Uma função quadrática é qualquer função que pode ser escrita na forma C Bx Ax f x 2 em que A B e C são constantes Obs O gráfico de uma função quadrática é dado por uma parábola Exemplo 9 Esboce o gráfico da função quadrática x x f x 2 4 1 Observação Usando Báskara encontramos as raízes da equação O sinal de A nos informa a se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo O vértice da parábola é dado por a a b V 4 2 Uma função polinomial é uma função que pode ser escrita da forma 0 1 1 1 a a x x a a x x f n n n n em que an a a 1 0 são constantes e n é um inteiro positivo Obs O inteiro n é chamado grau do polinômio desde que an 0 O domínio de qualquer função polinomial é o conjunto dos números reais Exemplo 10 funções polinomiais 2 7 3 x x f x grau 3 10 1 x f x grau 10 3 4 5 2 3 x x f x grau 4 5 Funções Potências Fracionárias Se m e n são inteiros positivos com nenhum fator comum então a expressão m n x é definida como a mésima raiz da nésima potência de x O domínio da função m n x f x depende se m é par ou ímpar Por exemplo o domínio da função 3 1 x f x é o conjunto dos números reais enquanto que o domínio de 6 5 x f x é o conjunto dos números reais não negativos Exemplo 11 Encontre o domínio e a imagem da função 2 3 2 2 x x f x Obs Expoentes negativos representam inversos multiplicativos Assim se m n é um número racional positivo então a função m n x x f é definida por m n x f x 1 Como não podemos dividir por zero devemos excluir o zero do domínio de uma potência fracionária negativa Leis dos expoentes 1 n m n m x x x 2 0 x x x x m n m n 3 nm n m x x 4 m n n m m n x x x 1 1 5 m n m n m n y x xy 6 Funções Racionais Uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais Uma função racional não é definida para números x para os quais seu denominador é igual a zero Por exemplo a função racional x x x x f x 12 4 2 3 2 não está definida para x 0 x 3 ou x 4 pois o denominador 4 3 12 2 3 x x x x x x é zero para estes valores Portanto o domínio de f é a união dos três intervalos 4 40 0 3 e 3 ou DIR 4 0 3 Função Valor Absoluto 0 se 0 se x x x x x f x Seu gráfico é x y fx x x fx x x 7 A Álgebra das Funções Definição 2 Dadas as funções f e g e o número real c as funções f g f g cf fg e g f são definidas pelas seguintes equações a g x f x g x f b g x f x g x f c cf x x cf d f x g x fg x e 0 g x x g f x x g f Exemplo 12 Sejam f x x3 2 e 1 x g x Então a A soma f g é definida pela equação 1 2 3 x x g x f x g x f Por exemplo 31 1 3 2 3 3 3 3 3 g f g f f g 2 é indefinida pois 1 2 1 2 g é indefinida b O quociente g f 3 é definido por 1 3 2 3 3 3 x x x g f x x g f Por exemplo 3 2 1 0 3 2 0 0 3 3 g f Exemplo 13 Sejam 3 2 x f x e 1 x g x Utilizando a lei dos expoentes simplifique a expressão g f fg h 4 8 Função Composta Definição 3 Dadas duas funções f e g a função composta fog é o resultado da função f atuando sobre valores da função g isto é f g x f g x o y fu fgx O domínio da função composta fog é o conjunto de todos os x no domínio de g para os quais o número u gx pertence ao domínio de f Exemplo 14 Para a função x f x e g x x 4 calcule a fog x b x gof Exemplo 15 Sejam f x x2 1 4 x g x e h fog Determine o domínio de h Funções Trigonométricas A medida do ângulo θ em radianos é igual ao comprimento do arco AP do círculo unitário determinado pelo ângulo Como a circunferência do círculo unitário é 2π então 2π radianos é igual a 360º A relação entre qualquer ângulo θr medido em radianos e o mesmo ângulo θd medido em graus é 360 2 d r ou d r 360 2 θ 1 A P x y x fog f g u gx 9 Exemplo 16 A tabela a seguir dá a medida angular em graus e radianos de alguns ângulos conhecidos θd 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 180º 210º 270º 315º 360º θr 0 6 4 3 2 3 2 4 3 π 6 7 2 3 4 7 2π Funções Seno e Cosseno Seja x um ângulo qualquer medido em radianos e M um ponto sobre um círculo unitário associado a x Definimos o cos x como sendo a abscissa x de M e sen x como sendo a ordenada y de M Todos os ângulos com medidas x 2nπ n 0 1 2 são associados com o mesmo ponto M no círculo unitário Em virtude disso temos as identidades senx senx 2nπ n 1 2 cosx cosx 2nπ n 1 2 Em virtude destas identidades dizemos que estas funções são periódicas com período T 2π Observemos graficamente as funções seno e cosseno Podemos notar que para ambas as funções o valor máximo é 1 e o valor mínimo é 1 Ou seja senx 1 e cosx 1 10 Outras Funções Trigonométricas Quatro funções trigonométricas adicionais são definidas como quocientes e recíprocas das funções seno e cosseno São elas 1 Tangente n x x x x 2 cos sen tan 2 Cotangente n x x x x sen cos cotg 3 Secante n x x x 2 cos 1 sec 4 Cossecante n x x x sen 1 cossec 11 Observação Em geral valores de senx e cosx são difíceis de serem calculados Entretanto esses valores têm sido tabelados para muitos ângulos A tabela a seguir mostra alguns desses valores arco xº Senx cosx tanx cotgx secx cossecx 0 0º 0 1 0 não existe 1 não existe 6 30º 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 2 4 45º 2 2 2 2 1 1 2 2 3 60º 2 3 2 1 3 3 3 2 3 2 3 2 90º 1 0 não existe 0 não existe 1 Exemplo 17 Calcule e cossec 7 3 2 sec 3 tan 4 cotan 5 Funções Trigonométricas e Triângulos Retângulos h sen l h cos a a tan l a sec h l cossec h l cotan a l a h θ 12 Identidades Trigonométricas 1 cos sen 2 2 Se 0 cos então 2 2 2 2 2 sec 1 tan cos 1 1 cos sen Se 0 sen então 2 2 2 2 2 cossec cotan 1 sen 1 sen cos 1 sen sen cos cos Fórmulas da Adição b a b a b a cos sen sen cos sen b a b a b os a sen sen cos cos c b a b a b a tan tan 1 tan tan tan Fórmulas do Ângulo Complementar cos 2 sen sen 2 cos Fórmulas do Ângulo Duplo sen2 2sen cos 2 2 sen cos cos2 Fórmulas do Meio Ângulo 2 cos2 1 sen2 2 cos2 1 cos2 13 Lei dos Senos A Lei dos Senos nos diz que em um triângulo QUALQUER os seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos Diz também que a constante desta proporcionalidade é igual ao diâmetro de uma circunferência que circunscreva este triângulo R C c B b A a 2 sen ˆ sen ˆ ˆ sen Lei dos cossenos A Lei dos Cossenos nos diz que em um triângulo QUALQUER o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros lados menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos ˆ 2 cos ˆ 2 cos ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Exemplo 18 Dado o triângulo ABC e sabendo que o lado a mede 16 o lado b mede 10 e o ângulo formado por estes lados é 60o quais são os valores dos outros elementos lado c e ângulos A e B do triângulo 14 Função Logarítmica Chamamos de função logarítmica qualquer função de IR em IR definida por x x f loga com a 0 e a 1 Observações b a x b x a log Se a base a 1 a função é crescente Se a base 1 0 a a função é decrescente Propriedades de logaritmos 1 0 log 1 a 2 1 log a a 3 c b bc a a a log log log 4 c b c b a a a log log log 5 b n b a n a log log 6 a b b c c a log log log mudança de base Exemplo 19 Sendo x IR esboce o gráfico da função x x f log 2 Dê o domínio e a imagem dessa função Exemplo 20 Sendo x IR esboce o gráfico da função x x f 2 log1 Dê o domínio e a imagem dessa função
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª Dra Selma Helena Marchiori Hashimoto Roteiro 1 Funções Revisão Básica Todo cálculo diferencial e integral desenvolvese em torno de dois conceitos fundamentais o conceito de função e o conceito de limite O conceito de funções referese essencialmente à correspondência entre conjuntos Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de IR As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real Definição 1 Sejam A e B subconjuntos de IR Uma função B A f é uma lei ou regra que associa a cada elemento x A um único elemento y B Observações Escrevemos y f x para indicar que o elemento y é o valor atribuído pela função f ao elemento x O conjunto A é chamado de domínio da função f O conjunto de todos os valores A x f x é chamado de imagem da função f Exemplo 1 Encontre o domínio e a imagem da função x2 f x Exemplo 2 Encontre o domínio e a imagem da função 4 3 x x f x Exemplo 3 Encontre o domínio e a imagem da função 2 1 f x x Exemplo 4 Encontre o domínio e a imagem da função 3 x f x Exemplo 5 Encontre o domínio e a imagem da função 1 1 2 x x f x 2 Gráficos de funções A propriedade da reta vertical O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos x y que satisfazem a equação y f x Existe uma simples mas importante propriedade que distingue gráficos de funções de gráficos de equações que não são funções É chamada de propriedade da reta vertical e significa que qualquer reta vertical paralela ao eixoy pode interceptar o gráfico de uma função no máximo uma vez Alguns tipos de funções Seja b um número real A função constante associa a cada x IR o valor fx b Exemplo 6 1 fx 2 2 fx 1 3 fx 7 4 fx 0 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas eixo horizontal Uma função identidade é uma função f IR IR que para cada x em IR associa fx x O gráfico da identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais x y x y 3 Seja a um número real Uma função linear é uma função f IR IR que para cada x em IR associa fx ax Exemplo 7 1 fx 3x 2 fx 2x 3 fx x2 Observações 1 O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem 00 2 Observe que a função identidade é um caso particular de função linear quando a 1 Sejam a e b números reais sendo a não nulo Uma função afim é uma função f IR IR que para cada x em IR associa fx axb Exemplo 8 fx 3x 1 fx 2x 7 fx 12 x 4 O gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem 00 Funções Potência e Quadrática As funções potência representam o tipo mais simples de funções e tem a forma xn f x em que n é um inteiro positivo O domínio de qualquer função potência é o conjunto dos números reais Se n é ímpar a imagem é o conjunto dos reais Se n é par a imagem é o conjunto de todos os números reais não negativos 4 Uma função quadrática é qualquer função que pode ser escrita na forma C Bx Ax f x 2 em que A B e C são constantes Obs O gráfico de uma função quadrática é dado por uma parábola Exemplo 9 Esboce o gráfico da função quadrática x x f x 2 4 1 Observação Usando Báskara encontramos as raízes da equação O sinal de A nos informa a se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo O vértice da parábola é dado por a a b V 4 2 Uma função polinomial é uma função que pode ser escrita da forma 0 1 1 1 a a x x a a x x f n n n n em que an a a 1 0 são constantes e n é um inteiro positivo Obs O inteiro n é chamado grau do polinômio desde que an 0 O domínio de qualquer função polinomial é o conjunto dos números reais Exemplo 10 funções polinomiais 2 7 3 x x f x grau 3 10 1 x f x grau 10 3 4 5 2 3 x x f x grau 4 5 Funções Potências Fracionárias Se m e n são inteiros positivos com nenhum fator comum então a expressão m n x é definida como a mésima raiz da nésima potência de x O domínio da função m n x f x depende se m é par ou ímpar Por exemplo o domínio da função 3 1 x f x é o conjunto dos números reais enquanto que o domínio de 6 5 x f x é o conjunto dos números reais não negativos Exemplo 11 Encontre o domínio e a imagem da função 2 3 2 2 x x f x Obs Expoentes negativos representam inversos multiplicativos Assim se m n é um número racional positivo então a função m n x x f é definida por m n x f x 1 Como não podemos dividir por zero devemos excluir o zero do domínio de uma potência fracionária negativa Leis dos expoentes 1 n m n m x x x 2 0 x x x x m n m n 3 nm n m x x 4 m n n m m n x x x 1 1 5 m n m n m n y x xy 6 Funções Racionais Uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais Uma função racional não é definida para números x para os quais seu denominador é igual a zero Por exemplo a função racional x x x x f x 12 4 2 3 2 não está definida para x 0 x 3 ou x 4 pois o denominador 4 3 12 2 3 x x x x x x é zero para estes valores Portanto o domínio de f é a união dos três intervalos 4 40 0 3 e 3 ou DIR 4 0 3 Função Valor Absoluto 0 se 0 se x x x x x f x Seu gráfico é x y fx x x fx x x 7 A Álgebra das Funções Definição 2 Dadas as funções f e g e o número real c as funções f g f g cf fg e g f são definidas pelas seguintes equações a g x f x g x f b g x f x g x f c cf x x cf d f x g x fg x e 0 g x x g f x x g f Exemplo 12 Sejam f x x3 2 e 1 x g x Então a A soma f g é definida pela equação 1 2 3 x x g x f x g x f Por exemplo 31 1 3 2 3 3 3 3 3 g f g f f g 2 é indefinida pois 1 2 1 2 g é indefinida b O quociente g f 3 é definido por 1 3 2 3 3 3 x x x g f x x g f Por exemplo 3 2 1 0 3 2 0 0 3 3 g f Exemplo 13 Sejam 3 2 x f x e 1 x g x Utilizando a lei dos expoentes simplifique a expressão g f fg h 4 8 Função Composta Definição 3 Dadas duas funções f e g a função composta fog é o resultado da função f atuando sobre valores da função g isto é f g x f g x o y fu fgx O domínio da função composta fog é o conjunto de todos os x no domínio de g para os quais o número u gx pertence ao domínio de f Exemplo 14 Para a função x f x e g x x 4 calcule a fog x b x gof Exemplo 15 Sejam f x x2 1 4 x g x e h fog Determine o domínio de h Funções Trigonométricas A medida do ângulo θ em radianos é igual ao comprimento do arco AP do círculo unitário determinado pelo ângulo Como a circunferência do círculo unitário é 2π então 2π radianos é igual a 360º A relação entre qualquer ângulo θr medido em radianos e o mesmo ângulo θd medido em graus é 360 2 d r ou d r 360 2 θ 1 A P x y x fog f g u gx 9 Exemplo 16 A tabela a seguir dá a medida angular em graus e radianos de alguns ângulos conhecidos θd 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 180º 210º 270º 315º 360º θr 0 6 4 3 2 3 2 4 3 π 6 7 2 3 4 7 2π Funções Seno e Cosseno Seja x um ângulo qualquer medido em radianos e M um ponto sobre um círculo unitário associado a x Definimos o cos x como sendo a abscissa x de M e sen x como sendo a ordenada y de M Todos os ângulos com medidas x 2nπ n 0 1 2 são associados com o mesmo ponto M no círculo unitário Em virtude disso temos as identidades senx senx 2nπ n 1 2 cosx cosx 2nπ n 1 2 Em virtude destas identidades dizemos que estas funções são periódicas com período T 2π Observemos graficamente as funções seno e cosseno Podemos notar que para ambas as funções o valor máximo é 1 e o valor mínimo é 1 Ou seja senx 1 e cosx 1 10 Outras Funções Trigonométricas Quatro funções trigonométricas adicionais são definidas como quocientes e recíprocas das funções seno e cosseno São elas 1 Tangente n x x x x 2 cos sen tan 2 Cotangente n x x x x sen cos cotg 3 Secante n x x x 2 cos 1 sec 4 Cossecante n x x x sen 1 cossec 11 Observação Em geral valores de senx e cosx são difíceis de serem calculados Entretanto esses valores têm sido tabelados para muitos ângulos A tabela a seguir mostra alguns desses valores arco xº Senx cosx tanx cotgx secx cossecx 0 0º 0 1 0 não existe 1 não existe 6 30º 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 2 4 45º 2 2 2 2 1 1 2 2 3 60º 2 3 2 1 3 3 3 2 3 2 3 2 90º 1 0 não existe 0 não existe 1 Exemplo 17 Calcule e cossec 7 3 2 sec 3 tan 4 cotan 5 Funções Trigonométricas e Triângulos Retângulos h sen l h cos a a tan l a sec h l cossec h l cotan a l a h θ 12 Identidades Trigonométricas 1 cos sen 2 2 Se 0 cos então 2 2 2 2 2 sec 1 tan cos 1 1 cos sen Se 0 sen então 2 2 2 2 2 cossec cotan 1 sen 1 sen cos 1 sen sen cos cos Fórmulas da Adição b a b a b a cos sen sen cos sen b a b a b os a sen sen cos cos c b a b a b a tan tan 1 tan tan tan Fórmulas do Ângulo Complementar cos 2 sen sen 2 cos Fórmulas do Ângulo Duplo sen2 2sen cos 2 2 sen cos cos2 Fórmulas do Meio Ângulo 2 cos2 1 sen2 2 cos2 1 cos2 13 Lei dos Senos A Lei dos Senos nos diz que em um triângulo QUALQUER os seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos Diz também que a constante desta proporcionalidade é igual ao diâmetro de uma circunferência que circunscreva este triângulo R C c B b A a 2 sen ˆ sen ˆ ˆ sen Lei dos cossenos A Lei dos Cossenos nos diz que em um triângulo QUALQUER o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros lados menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos ˆ 2 cos ˆ 2 cos ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Exemplo 18 Dado o triângulo ABC e sabendo que o lado a mede 16 o lado b mede 10 e o ângulo formado por estes lados é 60o quais são os valores dos outros elementos lado c e ângulos A e B do triângulo 14 Função Logarítmica Chamamos de função logarítmica qualquer função de IR em IR definida por x x f loga com a 0 e a 1 Observações b a x b x a log Se a base a 1 a função é crescente Se a base 1 0 a a função é decrescente Propriedades de logaritmos 1 0 log 1 a 2 1 log a a 3 c b bc a a a log log log 4 c b c b a a a log log log 5 b n b a n a log log 6 a b b c c a log log log mudança de base Exemplo 19 Sendo x IR esboce o gráfico da função x x f log 2 Dê o domínio e a imagem dessa função Exemplo 20 Sendo x IR esboce o gráfico da função x x f 2 log1 Dê o domínio e a imagem dessa função