Exercícios de Geometria Analítica

Exercicios Prova Ay 1 Considere a reta r que passa por 00 1 e tem v 12 1 como vetor diretor assim como a reta rz dada por 2 ts oe a Encontre os pontos de P r e Py re que satisfazem dP P2 dr1 12 b Encontre as projegdes ortogonais da origem em 7 e rg a projecdo ortogonal de um ponto P em uma reta r a intersecdo de r com a reta s que contém FP e intersecta r ortogonalmente c Encontre equagGées gerais dos planos 77 e 72 que contém 1 rz respectivamente e satisfazem d71 72 dr1 2 2 Considere os pontos P 100 P 111 e Py 001 ea reta r que passa por P e tem o vetor v 11 1 como vetor diretor a Calcule dP1r dP21r e encontre o ponto da reta r que é equidistante aos pontos P e Pp b Encontre uma equagao linear que descreva o plano paralelo a r contendo P e P 3 a Encontre equagées lineares que descrevem os dois planos 7 e 72 que ttm N 111 como vetor normal e distam 5 do ponto P 11 1 b Sejar a reta que passa por 11 1 e 10 1 Calcule 0 cosseno do angulo que r forma com os planos 771 79 1 1 4 a Encontrar 0 angulo entre as retasr cx 1ty2t z 2tera an 5 b Encontrar a distancia do ponto P123 ao plano 7 20 yz1 c Encontrar a distancia entre as retasr 7 ty142tz213teslxv 5 z d O plano z é paralelo aos vetores u 1 12 e v 2 10 e contém o ponto Pp 11 1 Qual éa distancia da origem O ao plano z 5 Sejamr 142tylzterexrly12z42 duas retas a Mostrar que 7 e rg sao retas reversas b Encontrar pontos P r e Pp rg tais que areta P Py seja perpendicularar ear 6 a O plano z passa pelos pontos A100 B020 C003 Encontrar as coordenadas da projeao ortogonal da origem O no plano z a projecao ortogonal de um ponto sobre um plano é a intersecao do plano com a reta perpendicular a ele que passa pelo ponto b Encontrar as coordenadas do ponto simétrico de P2 1 1 em relacgdo aretar 1 2ty2t z2t 1 c Encontrar a distancia entre as retasr x 1ty2tzterg y3272 7 Sejam A1 10 B3 1 2 C1 3 5 e D1 1 2 quatro pontos no espago a Mostrar que ABC D é um tetraedro nao degenerado b Encontrar as coordenadas dos pontos M dareta ABe N daretaCD tais que MN ABe MN LCD 8 As retas r e s sdo dadas por x12t 9 ri y3t teR sa frs2 4 zai l z1t a Encontrar a distˆancia entre as retas r e s e mostrar que as duas retas sao reversas b Encontrar a equacao parametrica da reta l concorrente com ambas retas r e s e paralela ao vetor V 0 3 1 9 Encontrar a equacao geral de um plano que forma ˆangulo de 30º com a reta definida por r x 1 1 z y 7 e que contem os pontos P 1 0 1 e Q 1 1 0 10 A cˆonica ℓ no plano tem equacao ℓ x2 4y2 2 5x 8y 5 a Encontrar a mudancas de coordenadas que reduz ℓ a forma canˆonica b Determinar o tipo da cˆonica sua excentricidade e as coordenadas dos focos e vertices de ℓ no sistema Oxy Se ℓ tiver assıntotas encontrar suas equacoes no sistema Oxy c Fazer um esboco do grafico de ℓ 11 A cˆonica ℓ no plano tem equacao ℓ x2 16y2 2x 16y 1 a Encontrar a mudancas de coordenadas que reduz ℓ a forma canˆonica b Determinar o tipo da cˆonica sua excentricidade e as coordenadas dos focos e vertices de ℓ no sistema Oxy Se ℓ tiver assıntotas encontrar suas equacoes no sistema Oxy c Fazer um esboco do grafico de ℓ 12 A cˆonica ℓ no plano tem equacao ℓ 2y2 4y 8x 6 a Encontrar a mudancas de coordenadas que reduz ℓ a forma canˆonica b Determinar o tipo da cˆonica sua excentricidade e as coordenadas dos focos e vertices de ℓ no sistema Oxy Se ℓ tiver assıntotas encontrar suas equacoes no sistema Oxy c Fazer um esboco do grafico de ℓ 13 Escreva a equacao da elipse com focos em F1 1 2 e F2 1 2 e que satisfaz distP F1 distP F2 4 Encontre as coordenadas do centro da elipse e a excentricidade Faca um esboco l P 56 53 16 Pe 12 2 12 b Q1 16 13 56 Qe Mia 87 114 c my y2107mxy220 2 a dPr 23 dP2r V2 P 1 00 b ra2y0 3 a meyt23V150mey234V150 b cos 2s 4 a 6 arccos b 2V6 c 1v3 d 3v29 5 P 111 Ph 20 1 6 a 3649 1849 1249 b 03 5 c 9vi4 7 M 53 1 43 N 73 13 0 8 a 4Vi7 c 13 b y133k z1k 9 mytzloum4ryz25 Hipérbole 6 a1b2cV5 10 W5I V5 VIF VB J50 V52 a n re EOE CS G1 60 12 Parabola Vertice 1 1 Foco 0 1 Diretriz x 2 Excentricidade 1 13 a 2 c 1 b 3 C 0 2 e 1 2 3x2 4y2 16y 4 0