Posições Relativas entre Retas no Plano

Versão Preliminar 4 POSIÇÕES RELATIVAS Nosso objetivo nesta seção é entender a posição relativa entre duas retas dois planos e ou uma reta e um plano isto é se estes se interseccionam se são paralelos etc 41 posição relativas entre retas 411 Posição Relativas entre Retas no Plano Comecemos com o estudo da posição relativa de duas retas no plano Lembremos primeiro que duas retas em um mesmo plano podem ser coincidentes ie são a mesma reta paralelas concorrentes ou seja se interceptam em um único ponto Tomemos então duas retas dadas em forma vetorial como r A vt e s B ut Como a direção de uma reta é dada pelo seu vetor direcional é fácil ver que r e s são paralelas se seus vetores diretores v e u são paralelos ou seja se um é múltiplo do outro Duas retas coincidentes r e s são coincidentes se possuem o mesmo lugar geométrico isto é o mesmos pontos Assim um primeiro requisito para coincidência é claramente paralelismo Uma vez estabelecido o paralelismo basta agora que localizemos um ponto comum as duas retas Podemos por exemplo verificar se o ponto inicial de r ponto A pertence à reta s Caso as retas não possuam pontos em comum então elas serão paralelas não coincidentes Como as retas estão em um mesmo plano uma vez que não sejam paralelas elas clara mente só podem possuir um ponto em comum Resumindo duas retas em um mesmo plano são Paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos um do outro Neste caso elas podem ser Coincidentes se o lugar geométrico de r e de s são o mesmo Neste casos as retas são paralelas e passam pelo mesmo ponto Para verificar se suas retas paralelas 109 Versão Preliminar são coincidentes é suficiente verificar se elas possuem um ponto em comum Por exemplo se o ponto B pertence a reta r Paralelas não coincidentes se não possuem pontos em comum Concorrentes ou seja se interceptam em um único ponto Neste caso os vetores diretores não são paralelos u v u v Exemplo 41 Ache a posição relativa entre as retas 1 r 1 2 3 1t e s 4 1 3 2 1 2t 2 r 1 2 3 1t e s 2 2 1 1 3t 3 r 1 2 3 1t e s 2 2 0 1t Solução 1 Coincidentes Os vetores diretores são paralelos ie múltiplos um do outro e o ponto 4 1 pertence a r 2 Paralelas não coincidentes Os vetores diretores são paralelos ie múltiplos um do outro e o ponto 2 2 pertence a r 3 Concorrente pois os vetores diretores não são paralelos As condições acima valem apenas para equações vetoriais e consequentemente para equações paramétricas Mas no caso bidimensional as equações ficam mais simples e pode mos representar uma reta através de uma única equação linear Seria interessante então que tivéssemos uma maneira de comparar equações nesta forma Tome então duas retas r ax by c 0 e s ax by c 0 Vamos supor por um instante que b 0 e b 0 r e s não são paralelas ao eixo y Não é difícil se convencer 110 Versão Preliminar que r e s são paralelas se e só se seus coeficientes angulares forem os mesmos Ou seja precisamos que a b a b Mas isto é equivalente a dizer que a λa e b λb para algum λ R Observe que se ambas forem paralelas ao eixo y então b b 0 e a mesma condição vale Se r e s forem coincidentes então pela condição dada acima temos que 0 ax by c λax by c λax by c λc c λc c e portanto c λc Resumindo obtemos o seguinte resultado Teorema 42 Dadas duas retas no plano descritas pelas equações r ax by c 0 e s ax by c 0 então 1 Se o vetor a b c é múltiplo de a b c as retas são coincidentes 2 Se o vetor a b é múltiplo de a b ou equivalentemente os coeficientes angulares são iguais então as retas são paralelas 3 Se o vetor a b não é múltiplo de a b ou equivalentemente os coeficientes angulares são distintos então as retas são paralelas b A b B v u Figura 41 Retas Reversas 412 Posição Relativas entre Retas no Espaço Passemos agora para uma análise espacial Quando consideramos duas retas no espaço elas podem estar ou não num mesmo plano Caso elas estejam num um mesmo plano serão ditas retas coplanares e podemos para essas retas aplicar a análise de posição relativa que fizemos na seção anterior Ressaltamos que se duas retas são paralelas elas 111 são necessariamente coplanares Por outro lado retas não coplanares recebem o nome de reversas Em resumo duas retas no espaço podem ser Exemplo 44 Determine a posição relativa entre as seguintes retas a r 120 t222 e s 133 t223 b r 100 t222 e s 230 t112 c r 100 t111 e s 230 t111 d r 100 t111 e s 211 t111 Ex 11 Sejam r a reta representada parametricamente por x at b e y ct d e s a reta cuja equação é ax by c a Quando r intercepta s b Se r interceptar s determine o ponto P de interseção entre as duas retas Ex 12 Verifique se as retas r e s são concorrentes e se forem obtenha o ponto de intersecção Dadas as retas r X 0 1 0 λ1 0 0 e s X 1 2 7 λ2 1 3 obtenha uma equação vetorial da reta t concorrente com r e s e paralela a u 151 Versão Preliminar são transversais se e somente se a b c v1 v2 v3 0 ou seja num sistema de coordenadas ortogonais av1 bv2 cv3 0 Reescrevendo esta condição utilizando o vetor normal ao plano n a b c e o vetor diretor v v1 v2 v3 obtemos o seguinte critério A reta r X P vt é transversal ao plano π de vetor normal n se e somente se v n 0 Caso r não seja transversal à π nos restam duas opções ou r é paralela ou está contida em π Para decidirmos qual é o caso basta tomarmos um ponto qualquer da reta e verificar mos se este pertence ao plano Se isso ocorrer a reta está contida no plano caso contrário a reta é paralela Exemplo 45 Determine a posição relativa entre o plano π X 1 2 1 1 1 1t1 0 1 2t2 e a reta r X 1 3 4 1 1 1s Solução O vetor normal ao plano é dado por 1 1 1 0 1 2 3 2 1 E como 3 2 1 1 1 1 4 0 a reta é transversal ao plano O ponto de intersecção ocorre quando 1 2 1 1 1 1t1 0 1 2t2 1 3 4 1 1 1s cuja solução é s 1 4 t1 1 4 t2 3 2 Substituindo s 1 4 na equação da reta obtemos o ponto 5 4 13 4 17 4 que é portanto o ponto de intersecção de r com π Exercícios 116 Mostre que a reta x 3t 2 y 4t 1 z 4t 5 é paralela ao plano 4x 3y 6z 0 Mostre que a equação do plano que passa pelos pontos x0 y0 z0 e é paralelo a reta x a1 l1 y b1 l2 z c1 l3 pode ser escrita como x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0 l1 l2 l3 0 Os planos π₁ e π₂ são paralelos se os seus vetores normais forem paralelos isto é se a₁b₁c₁ λa₂b₂c₂ Nesse caso se a₁b₁c₁ for proporcional a a₂b₂c₂ então os planos são coincidentes a₁b₁c₁ não for proporcional a a₂b₂c₂ então os planos são paralelos distintos Os planos π₁ e π₂ são transversais se os seus vetores normais não forem paralelos isto é se a₁b₁c₁ não são proporcionais É interessante observar que se π₁ e π₂ forem transversais então a reta r determinada pela interseção dos dois planos deve ser perpendicular aos vetores normais n₁ a₁b₁c₁ e n₂ a₂b₂c₂ e podemos tomar o vetor n₁ n₂ como vetor diretor de r Assim escolhendo um ponto P qualquer na interseção de π₁ e π₂ obtemos r X P λn₁ n₂ Exemplos 47 Os planos π₁ 2x 3y 4x 5 e π₂ 6x 2y 2x 3 são transversais E assim a sua interseção ou seja o sistema 2x 3y 4x 5 6x 2y 2x 3 determina uma reta Os planos π₁ 2x 3y 4x 5 e π₂ 4x 6y 8x 2 são paralelos e não coincidentes E assim a sua interseção é o conjunto vazio Ou seja o sistema 2x 3y 4x 5 6x 2y 2x 3 não possui soluções Os planos π₁ 2x 3y 4x 5 e π₂ 4x 6y 8x 10 são coincidentes E assim a sua interseção é o plano π₁ π₂ Ou seja o sistema 2x 3y 4x 5 4x 6y 8x 10 tem como solução um plano 119 Exemplo 48 A reta r é dada como intersecção de dois planos x y 2x 0 x z 1 Escreva as equações paramétricas para essa reta Solução Um modo de escrever as equações paramétricas é escolher uma das variáveis e fazêla igual ao parâmetro t Assim por exemplo fazendo z t A equação x z 1 nos diz que x 1 t Substituindo esses valores na equação x y 2x 0 temos y 1 3t E assim as equações paramétricas são x 1 t y 1 3t z t Outro modo de escrever a equação vetorial é encontrando dois pontos que satisfazem a equação Assim por exemplo tomando z 0 o sistema de equações 41 fica x y 0 x 1 Cuja solução é o ponto 1 10 que pertence a reta determinada pela intersecção dos dois planos Similarmente tomando z 1 temos que o ponto 021 pertence a reta De posse dos pontos podemos escrever a equação vetorial dos planos x 1 t y 1 3t z t Exercícios Versão Preliminar está contida no plano 4x 3y 7z 7 Ex 33 Determine os valores de a e b de modo que os planos x 2y z b e 3x 5y 3z 1 e 2x 7y az 8 se interceptem a um ponto b uma reta c três retas distintas e paralelas 121