Geometria Analítica e Vetorial - Universidade Federal do ABC

Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Geometria Analítica e Vetorial Geometria Analítica e Vetorial Universidade Federal do ABC Santo André Versão 9 17 de Setembro 2015 httpgradmatufabcedubrdisciplinaga Escrito em LATEX C ONT E NT S Símbolos e notações gerais v Agradecimentos vii 1 Estrutura Vetorial do Plano e do Espaço 1 11 Definições Elementares 1 111 Operações com Vetores 6 12 Dependência e Independência Linear de Vetores 20 121 Caracterização Geométrica de Dependência e Independência Linear 29 13 Bases 37 14 Soma de Ponto com Vetor 42 15 Exercícios Complementares 47 2 Vetores em Coordenadas 51 21 Sistemas de Coordenadas 52 211 Operações Vetoriais em Coordenadas 57 22 Bases Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 64 23 Produto Escalar Ângulo entre dois Vetores 68 231 Projeção Ortogonal 72 24 Produto Vetorial Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados 76 241 Área de um Paralelogramo e de um Triângulo 78 242 Volume de um Paralelepípedo 79 25 Escolha do Sistema de Coordenadas 83 26 O Problema do Lugar Geométrico 86 261 O lugar geométrico de uma equação 87 27 Coordenadas Polares 91 271 Relação entre Coordenadas Cartesianas e Polares 92 3 Retas e Planos 97 31 Equações da Reta 97 311 Equações da reta no plano 102 32 Equações do Plano 109 321 Equações Paramétricas e Vetoriais do Plano 109 322 Equação Geral de um Plano 110 i 4 Posições Relativas 115 41 Posição Relativas entre Retas 115 411 Posição Relativas entre Retas no Plano 115 412 Posição Relativas entre Retas no Espaço 118 42 Posição relativas entre retas e planos 121 43 Posição relativas entre planos 124 5 Ângulos e Distância 129 51 Ângulos 129 511 Ângulo entre duas Retas 129 512 Ângulo entre uma Reta e um Plano 135 513 Ângulo entre dois Planos 136 52 Distâncias 137 521 Distância de um ponto a uma reta 138 522 Distância de um ponto a um plano 141 523 Distância entre Duas Retas 142 53 Retas em Coordenadas Polares 145 6 Círculos e Esferas 149 61 Equações Canônicas de Círculos e Esferas 149 611 Círculo por três pontos 152 62 Retas Tangentes e Planos Tangentes 155 63 Circunferência em coordenadas polares 161 7 Cônicas 163 71 Introdução 163 72 Elipse 164 721 Terminologia 165 722 Equação da Elipse 166 723 Esboço da Elipse 169 724 Exemplos 171 73 Hipérbole 172 731 Terminologia 172 732 Equação da Hipérbole 174 733 Assíntotas 174 734 Esboço da Hipérbole 176 735 Exemplos 177 74 Parábola 179 741 Terminologia 180 ii 742 Equação da Parábola 180 743 Esboço da Parábola 184 744 Exemplos 185 75 Excentricidade 187 76 Construções de Dandelin 191 77 Cônicas em Coordenadas Polares 193 78 Cônicas e a Trajetória dos Planetas 195 8 Curvas 199 81 Parametrização de Curvas 199 82 Curvas em Coordenadas Polares 204 83 Coordenadas Esféricas e Cilindrícas 207 84 Comprimento de uma Curva 212 85 Regiões planas limitadas por curvas 214 9 Mudança de Coordenadas Ortogonais no Plano 221 91 Translação 221 92 Eliminação dos termos lineares de uma equação quadrática 222 93 Rotação 225 94 Equações Geral do Segundo Grau no Plano 229 941 Caso 4AB C2 0 231 942 Caso 4AB C2 0 231 95 Um pouco de Álgebra Linear 233 Apêndice 237 A Notação de Somatório 239 B Funções Trigonométricas 241 B1 Identidades Trigonométricas 242 B2 Gráficos das Funções Trigonométricas 243 B21 Gráfico das Funções Seno e Cosseno 243 B22 Gráfico das funções tangente e secante 244 B23 Gráfico das funções funções cotangente e cossecante 245 B3 Funções trigonométricas inversas 246 B31 Função arco seno 246 B32 Função arco cosseno 246 B33 Função arco tangente 247 iii B34 Função arco cotangente 247 B35 Função arco secante 248 B36 Função arco cossecante 248 C Matrizes e Sistemas Lineares 251 C1 Matrizes 251 C11 Operações com Matrizes 251 C2 Determinantes 252 C21 Matriz Inversa 255 C3 Teorema de Cramer 256 C4 Método de Eliminação de Gauss 258 D Wolfram Alpha e Mathematica 265 D1 Plotagem 265 D11 No Plano 265 D12 No Espaço 269 D2 Cálculo e Álgebra Linear 271 Respostas de Alguns Exercícios 275 Referências Bibliográficas 281 Índice Remissivo 282 iv Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici SÍ M B OLOS E NOTAÇ ÕE S G E RAI S existe qualquer que seja ou para todos implica se e somente se portanto definição o termo à esquerda de é definido pelo termo ou expressão à direita ie id est em português isto é indica o final de uma demonstração AB reta passando pelos pontos A e B AB segmento de reta ligando os pontos A e B AB segmento orientado de reta ligando os pontos A e B AB vetor determinado pelos pontos A e B v vetor v AB comprimento do segmento AB v comprimento do vetor v AB comprimento do vetor AB A determinante da matriz A Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici AG RADE C I M E NTOS Gostaríamos de agradecer à profa Mariana Rodrigues da Silveira e ao prof Alexei Maga lhães Veneziani pelas inúmeras sugestões e correções Também gostaríamos de agradecer aos alunos André Peric Tavares e Rafael Romano pelas correções Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 1 E ST RUT URA VE TORI AL DO P LANO E DO E SPAÇ O Meça o que for mensurável e torne mensurável o que não o for Galileu Galilei 11 definições elementares Como veremos ao longo desse texto a utilização da linguagem vetorial permite uma de scrição elegante e unificada dos principais resultados da geometria Euclideana bem como possibilita uma transição natural da formulação axiomática para a descrição analítica em coordenadas dessa mesma geometria Nesse capítulo daremos o primeiro passo nessa caminhada e apresentaremos o básico da linguagem vetorial Antes porém no intuito de motivar começaremos entendendo um pouco do papel fundamental que os vetores desempenham nas ciências naturais b A b B b E b F Figure 11 Todos os três camin hos ligando dois pon tos correspondem ao mesmo deslocamento Para entendermos o papel que os vetores desempen ham nas ciências começamos observando que por um lado diversas grandezas físicas ficam completamente determinadas por um único valor um número real num sistema de unidades Assim por exemplo o vol ume de um corpo fica especificado quando dizemos quantos metros cúbicos esse corpo ocupa bem como a massa a temperatura a carga elétrica a energia etc Grandezas que ficam determinadas por um único valor real são denominadas grandezas escalares Por outro lado diversas grandezas físicas exigem para sua completa determinação além de uma valor numérico o conhecimento de sua direção orientada Tais grandezas são denominadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores O exemplo mais simples e ilustrativo é o deslocamento de um corpo Se um corpo se move do ponto A para o ponto B dizemos que ela sofreu um deslocamento de A para B Para sabermos precisamente o deslocamento de um corpo precisamos conhecer o quanto o ele se deslocou a intensidade do deslocamento mas também em que direção ele se 1 deslocou Pelas mesmas raz6es apresentadas serao grandezas vetoriais a velocidade a aceleracao a quantidade de movimento a forca e 0 torque E importante que observemos que para as grandezas escalares uma parte significativa da utilidade de medilas ie associar um numero provém da riqueza de estruturas dos numeros os numeros podem ser somados subtraidos comparados etc Para que as grandezas descritas vetorialmente sejam uteis tanto para a ciéncia como para a propria geometria temos que construir no conjunto dos vetores estruturas andlogas Assim neste e no préximo capitulo descreveremos e construiremos diversas operacdes vetoriais e suas interpretagoes Como boa parte da construcao dos vetores e de suas operac6es que faremos neste texto sera de natureza primordialmente geométrica assumiremos que o leitor conhece os prin cipais conceitos e resultados da geometria Euclideana plana e espacial Em particular su poremos conhecidos os conceitos de angulos retas planos comprimento de segmentos distancia de dois pontos etc Notacao 11 De modo a fixar notacdo ao longo deste texto denotaremos por E o espaco euclideano tridimensional e por E o plano euclideano usaremos letras latinas maitiscu las A B etc para representar pontos letras latinas mintsculas rs etc para indicar retas as letras gregas minusculas 7t etc para denotar planos Eventualmente usare mos letras latinas ou gregas mintsculas também para denotar denotar ntimeros reais escalares ou pardmetros de equacdes Nesse caso 0 contexto deve deixar claro a que a letra se refere Para tornarmos clara a definicao de vetor comecaremos com um termo relacionado os vetores aplicados Definicao 12 Um vetor aplicado ou segmento orientado é um par ordenado de pontos do espaco Euclideano ou de modo equivalente um segmento de reta no qual se escolheu um dos extremos A como ponto inicial Nesse caso 0 outro extremo B do segmento sera denominado ponto final e o vetor aplicado com ponto inicial A e final B sera denotado por AB Para nossas consideracdes um ponto A é considerado um segmento que denominaremos segmento nulo Esse segmento seré denotado por AA ou por 0 O comprimento do um segmento AB sera denotado por AB e sera de nominado também tamanho intensidade magnitude ou norma do vetor Os vetores aplicados servem apenas parcialmente ao proposito de repre B sentar grandezas que possuem intensidade direcao e sentido pois apesar de A 2 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici podemos representar grandezas com esses atributos como vetores aplicados essa representação não é única Ou seja existem vários vetores aplicados com pontos iniciais e finais distintos mas que possuem intensidade direção e sentido iguais Para eliminarmos esse problema identificaremos ie diremos que são iguais todos esses vetores Assim diremos que dois vetores aplicados são equivalentes ou equipolentes se e somente se possuem o mesmo comprimento a mesma direção e o mesmo sentido ou ainda se ambos são nulos u v w u v w Uma identificação análoga ocorre com as frações duas frações podem ter numeradores e denominadores diferentes e mesmo assim diremos que elas são iguais ou equivalentes pois representam a mesma grandeza Quando identificamos os vetores aplicados equivalentes obtemos vetores livres ou sim plesmente vetores Definição 13 O conjunto de todos os vetores aplicados que possuem o mesmo com primento a mesma direção e o mesmo sentido é dito vetor É fundamental observar que dado um vetor podemos escolher livremente o ponto onde inicia tal vetor ou seja dado um vetor e um ponto podemos escolher um vetor aplicado que inicia nesse ponto e que possui a mesma intensidade direção e sentido do vetor Cada vetor aplicado com a mesma direção sentido e comprimento do vetor é dita ser um repre sentante do vetor É importante que fique clara a seguinte diferença se por um lado vetores aplicados fi cam bem definidos pela escolha de direção sentido comprimento e origem por outro vetores precisam apenas de direção sentido e comprimento Isso significa que consider amos equivalentes segmentos orientados que são paralelos apontam no mesmo sentido e tem o mesmo comprimento mas consideramos iguais vetores paralelos de mesmo sentido e com mesmo comprimento 3 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici O vetor cujos representantes são segmentos orientado nulos ou seja com pontos iniciais e finais coincidentes será denominado vetor nulo O vetor nulo será denotado por AA ou por 0 AB v b A b B Denotaremos os vetores utilizando fontes minúsculas em negrito a através de uma flecha superior a ou ainda no caso em que tivermos dois pontos A e B denotaremos por AB o vetor que tem como repre sentante o vetor aplicado AB Graficamente vetores são representados como flechas no qual a ponta da flecha aponta no sentido do vetor Dado um vetor e um segmento que o representa teremos que a di reção do vetor é a direção desse segmento o sentido vem de termos escolhido uma orientação no segmento ou seja de termos escolhido um ponto inicial e final e o comprimento de um vetor é o comprimento do segmento que o representa Como consequência dos axiomas de congruência da geometria Eu clideana temos que dado um segmento ou um representante de um vetor e um ponto podemos construir um segmento paralelo e de mesmo comprimento iniciando em A Se denotarmos por B o ponto final desse segmento então teremos provado o seguinte resul tado Proposição 14 Dados um vetor v e um ponto A existe um único ponto B tal que o vetor aplicado AB é representante de v ou seja tal que v AB O comprimento de um vetor v denotado por v ou ainda por AB será também denominado norma do vetor e será AB Notação 15 O conjunto de todos os vetores de E3 será denotado por V3 De modo anál ogo denotaremos por V2 o conjunto de vetores associados a E2 ie classe de equivalência de segmentos de retas no plano De modo geral conceitos envolvendo vetores são definidos utilizando seus represen tantes Nesse espírito temos as seguintes definições Diremos que dois vetores são paralelos quando seus representantes tiverem a mesma direção ou quando um desses vetores for o vetor nulo 0 O termo vetores paralelos inclui o caso especial onde os vetores estão sobre a mesma reta ou mesmo o caso em que coincidem Como consequência da definição anterior temos que o vetor nulo é paralelo a todo vetor e também que todo vetor é paralelo a si mesmo Diremos que um conjunto de vetores são coplanares se esses vetores possuem represen tantes contidos no mesmo plano 4 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici u v Figure 12 Vetores paralelos π u v w v w b A b B bJ bI b D b C b K b L bE bF b H b G Figure 13 u v e w são coplanares Definimos o ângulo entre dois vetores u e v como o ângulo θ com θ satisfazendo 0 θ π entre representantes AB e AC de u e v respectivamente com mesma origem bA b B b C u v θ Figure 14 Ângulo entre vetores Finalmente dois vetores u e v são ditos ortogonais se um dos vetores for o vetor nulo ou se ao escolhermos dois representantes para esses vetores que iniciam no mesmo ponto AB e AC esses segmentos forem ortogonais ou seja se o ângulo determinado por esses segmentos for um ângulo reto 5 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici u v Figure 15 Vetores ortogonais Observação 16 Note que segundo nossa definição o vetor nulo 0 é o único vetor paralelo e ortogonal a qualquer outro vetor e coplanar a qualquer par de vetores 111 Operações com Vetores Por tradição grandezas que possuem apenas magnitude ou seja grandezas que são repre sentadas por números reais são denominadas grandezas escalares Seguindo essa tradição denominamos um número real λ de escalar Vamos definir duas operações envolvendo vetores a soma de vetores e a multiplicação por escalares Definição 17 Multiplicação por Escalar Dado um vetor v e um escalar λ podemos realizar a multiplicação de λ e v obtendo o vetor λv definido do seguinte modo Se o vetor v é nulo ou o escalar λ é zero então λv 0 Se λ 0 o vetor λv é o vetor com o mesmo sentido mesma direção e com comprimento λ v Se λ 0 então o vetor λv tem a mesma direção e sentido oposto ao vetor v e comprimento λ v v v 1 2v Figure 16 Multiplicação de um vetor por um escalar 6 Observacao 18 Dados um vetor v e um escalar A denotaremos usualmente o vetor 5 v Vv Sew sow por A equacao anterior pode ser vista como uma definicao da divisao de um vetor por um escalar Um vetor de comprimento 1 é denominado vetor unitario Dado um vetor v 4 0 temos que o vetor 1 Vv y IIv Iv é unitario e possui a mesma direcao e sentido que v e é denominado versor associado a v Para maiores detalhes veja exercicio 111 Um termo que usaremos ocasionalmente é o de vetor direcional ou vetor diretor Muito frequentemente estaremos interessados apenas na direcao de um vetor e nao no seu tamanho Por exemplo como veremos posteriormente uma reta é completamente de terminada por um ponto P e um vetor v Nesse caso 0 tamanho de v nao é importante e podemos multiplicalo livremente por um escalar Através da multiplicagcao de vetores por escalares podemos dar uma caracterizacao al gébrica para o paralelismo de vetores Teorema 19 Se dois vetores uv sdo paralelos e v 4 0 entdo u Av para algum A R Demonstracao Iremos considerar primeiramente 0 caso em que u e v tém mesmo sentido Neste caso visto que v 4 0 podemos escolher lel IIv Com essa escolha provaremos que u Av Como ue v sao paralelos ue Av possuem a mesma direcao E como estamos assumindo que ue v possuem o mesmo sentido e como A é maior que zero entao pela definicao de multiplicagao por escalares u e Av possuem 0 mesmo sentido Finalmente Av Allyl roilvl u O que prova que eles tem 0 mesmo comprimento Logo como os vetores u e Av possuem mesma direcao sentido e comprimento eles sao iguais A demonstracao do caso em que u e Av possuem direcao contraria é andloga porém nesse caso escolhendo A Ter O 7 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Proposição 110 Dois vetores u v são paralelos se e somente se u λv para algum λ R ou v θu para algum θ R Demonstração Suponha que u v são paralelos Caso v 0 pelo teorema acima temos que u λv para algum λ R Caso contrário ie se v 0 então v θu para θ 0 A implicação contrária segue da definição de multiplicação de um vetor por um escalar Se u λv ou v θu então u e v têm mesma direção ou seja são paralelos E como consequência do corolário anterior temos Teorema 111 Três pontos A B C pertencem a mesma reta se e somente se AB λ BC ou BC θ AB b A b B b C AB BC Demonstração Claramente se A B C pertencem a mesma reta então os vetores AB e BC são paralelos e consequentemente pelo corolário acima temos AB λ BC ou BC θ AB Se AB λ BC ou BC θ AB então pelo corolário anterior os segmentos AB e BC são paralelos Consequentemente são paralelas as retas AB e BC Mas como o ponto B per tence a ambas as retas essas são coincidentes ie os pontos A B C pertencem a mesma reta Definição 112 Soma de vetores Dois ou mais vetores podem ser somados do seguinte modo a soma v u de dois vetores v e u é determinada da seguinte forma A par tir de um segmento orientado AB representante arbitrário de v tome um segmento orientado BC que representa u ie tome um representante de u com origem na ex tremidade final do representante de v desta forma o vetor v u é definido como o 8 vetor representado pelo segmento orientado AC ou seja pelo segmento que vai da origem do representante de v até a extremidade final do representante de u v uty u Figure 17 Soma de Vetores A soma de vetores também pode ser feita através da regra do paralelogramo Para somar dois vetores v e u através dessa regra tomamos representantes desses vetores que comecam num ponto comum O como na figura 18 Entao a partir do ponto final de cada vetor tragamos uma reta paralela ao outro vetor Essas retas se interceptam no ponto P E logo um paralelogramo é formado O vetor diagonal OP é a soma dos vetores v e u O vetor v u obtido por esse método é 0 mesmo que o obtido pelo método anterior pois o segmento OP divide o paralelogramo em triangulos congruentes que representam a soma dos vetores v e u Vv Vv Figure 18 Regra do paralelogramo Pela definicdo da soma de vetores temos que em geral o comprimento de w uvé diferente da soma dos comprimento dos vetores u v ie Iw juv lull lvl Para determinarmos 0 comprimento de w u v podemos utilizar a lei dos cossenos para o triangulo da figura Considerando y o angulo indicado na Figura 19 pela Lei dos Cossenos temos 2 2 Iw lal lvl 2lallv cos 7 11 Considerando B e y os angulos indicados na Figura 19 pela Lei dos Senos segue w u V lw ful v 49 seny sena senf 9 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici β γ α u v w u v Figure 19 comprimento e direção de w u v As equações 11 e 12 são a formulação vetorial das Leis dos Cossenos e dos Senos respectivamente Observação 113 Note que o ângulo γ representado na Figura 19 é na verdade o suple mentar do ângulo entre u e v Notamos que como 1 cos γ 1 um resultado imediato de 11 é Teorema 114 Desigualdade Triangular Dados dois vetores u e v temos que u v u v 13 Além disso vale a igualdade de 13 se e somente se os vetores u e v tiverem mesma direção e sentido Observamos também que a partir da definição de soma vetorial é fácil ver que v0 0v v ou seja o vetor nulo é um elemento neutro para a adição Mais podemos definir o vetor oposto a um vetor dado Para isso consideremos a seguinte propriedade cuja demonstração deixamos como exercício 17 Para cada vetor u existe um único vetor u tal que u u 0 O vetor u é denominado como o vetor oposto de u e é o vetor com o mesmo compri mento e direção de u mas com sentido oposto A partir do vetor oposto podemos definir subtração de vetores definimos a subtração v u como a soma do vetor v com o vetor u De modo equivalente podemos definir o vetor v u como o o vetor que adicionado a u dá o vetor v Consequentemente se representarmos os vetores v e u começando no mesmo ponto o vetor v u será o vetor que liga a extremidade final de u a extremidade final de v vide figura 111 10 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici u u Figure 110 Vetor oposto v u v v u u Figure 111 Subtração de Vetores v u v u Uma observação importante é que sempre que os vetores formam um polígono fechado como a figura abaixo sua soma é nula Como um caso especial dessa regra é a soma de um vetor com seu oposto ie v v 0 v u r s Figure 112 A soma de vetores que formam um polígono fechado é nula v u r s 0 As seguintes propriedades da soma e multiplicação de vetores devem ser evidentes Proposição 115 Sejam u v w vetores e λ λ1 λ2 escalares As operações com vetores possuem as seguintes propriedades Propriedades da soma S1 Propriedade Comutativa v u u v 11 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici S2 Propriedades associativa u v w u v w S3 Elemento Neutro 0 u u S4 Elemento oposto Para cada vetor u existe um único vetor u tal que u u 0 u u Propriedades da multiplicação de vetor por escalar M1 Propriedade distributiva de escalares em relação aos vetores λu v λu λv M2 Multiplicação por zero 0u 0 M3 Associatividade da multiplicação por escalares λ1λ2u λ1λ2u M4 Distributiva dos vetores em relação aos escalares λ1 λ2u λ1u λ2u M5 Elemento neutro multiplicativo 1u u Demonstração Esboçaremos a demonstração de algumas dessas propriedades A propriedade comutativa segue da regra do paralelogramo para a adição dos vetores u e v veja a figura 113 A diagonal é simultaneamente os vetores u v e u v u v v u uv Figure 113 Propriedade Comutativa da Soma A propriedade associativa segue de imediato do fato que quando três vetores são adi cionados o mesmo vetor fecha o polígono como na figura 114 u v u v w u v w v w Figure 114 Propriedade Associativa da Soma 12 As propriedades S3 e S4 sao deixadas como exercicio ao leitor A propriedade M1 segue de modo simples a partir da regra do paralelogramo Deixamos os detalhes a cargo do leitor M2 e M5 sao resultados imediatos da definicéo de multipli cacao de vetor por escalar Para demonstrarmos a propriedade M3 ie a associatividade da multiplicagao por es calares AA2u A1A2u observamos inicialmente que os vetores A1A2u e Ay Au pos suem a mesma direcao e sentido independentemente do sinal de A e Az terao o mesmo sentido de u se A e Az tiverem o mesmo sinal e sentido oposto a u se A e Az tiverem sinais contrarios Além disso os comprimentos de AA2u e AA2u sao os mesmos pois Ar Agu Aa Azul Art Az Hall Ara fall 1A2ull A propriedade M4 ie a distributiva dos vetores em relacao aos escalares Ay Azu AuApu segue da observacao de que a direcdo e o sentido dos vetores A A2ue AyuAzuéa mesma Esse fato é claro se A e Az tiverem o mesmo sinal ou se A Ay 0 no outros casos 0 sentido é determinado pelo escalar de maior médulo A e A2 Se o sinal de A e Az forem o mesmo teremos que IAr Azul Aa AzI lll Al Ag fal Aral Azull Pela definicao de adicdo de vetores é facil ver que a soma de dois vetores de mesmo sentido é um vetor também de mesmo sentido e com o comprimento igual a soma do comprimento dos vetores somados Dai temos Aral Azul Aru Azul Por outro lado caso os sinais de A e Az sejam contrarios teremos Ar Aaul Aa Az fall Aa Ag hl Avel Azull Novamente pela definicao de soma vetorial segue que Aral Agul Aru Agull O Todas as propriedades algébricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades acima Essas propriedades sao analogas as propriedades dos nimeros reais e grande parte da algebra desenvolvida para numeros reais se estende para as operac6es vetoriais De 13 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici modo mais geral podemos definir um espaço vetorial como um conjunto com uma operação e uma operação de multiplicação por escalares satisfazendo os nove axiomas acima Os espaços vetoriais são uma das estruturas matemáticas de maior importância Vejamos algumas propriedades algébricas dos vetores Exemplo 116 v v 2v Demonstração Pela propriedade M5 temos que v v 1v 1v e pela propriedade M4 temos que1v 1v 1 1v 2v e logo v v 2v Exemplo 117 v 1v 0 ou seja o vetor oposto a v é 1v Demonstração Pela propriedade M5 temos que v 1v 1v 1v e pela pro priedade M4 temos que 1v 1v 1 1 v 0v Finalmente a propriedade M2 nos diz que 0v 0 Como o vetor oposto é único temos que o vetor oposto a v é 1v Exemplo 118 u v w se e somente se u w v Demonstração Vamos provar a primeira implicação Se u v w então u w v Vamos começar calculando u v v u v v u v v por S2 14 u v v u por M4 e M5 15 por outro lado como w u v u v v w v u 16 e consequentemente por 15 e 16 temos u u v v w v A implicação contrária é semelhante O leitor pode tentar assim completar os detalhes O seguinte exemplo ilustra como podemos atacar um problema geométrico utilizando a linguagem vetorial Exemplo 119 Os segmentos que unem os pontos médios de dois lados de um triângulo é 14 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici bA b B b C b M2 b M1 paralelo ao terceiro lado Solução Seja o triângulo ABC e seja M1 o ponto médio do lado AB e M2 o ponto médio do lado AC Como M1 é ponto médio do lado AB temos que vetor AM1 é igual a metade do vetor AB Analogamente temos que AM2 é metade do vetor AC ie AM1 1 2 AB 17 AM2 1 2 AC 18 e consequentemente AB 2 AM1 19 CA 2 M2A 110 Então como CB CA AB 111 substituindo 19 e 110 em 111 temos CB 2 M2A 2 AM1 112 CB 2 M2A AM1 2 M2M1 113 e consequentemente M2M1 1 2 CB E assim o segmento M2M1 é paralelo ao segmento CB e seu comprimento é metade do último 15 Exemplo 120 Dado um triangulo de vértices ABC Dado P o ponto de encontro da coin de Ane A sas CA CB bissetriz do Angulo C com o lado AB Entao o vetor CP é paralelo ao vetor eal ca ou seja A CB cpa A a4 ea cel Solucao Note primeiramente que para provarmos a equacao 114 basta mostrarmos que se F é tal que 4 p CA CB a cal jca Le a Pe entao F esta sob a bissetriz do Angulo C a vy Be Faremos isso observando que a diagonal AC de u um losango ABCD divide os angulos Ae Cem 4n u gulos iguais ou seja é bissetriz de A eC Isso segue C VOB do caso LLL de congruéncia de triangulos A ABC AADC D B Figure 115 Se ABCD é losango entao AABC AADC CA CB Considere agora os vetores u 7 V 77 Como 0s vetores u e v possuem 0 eal ica mesmo comprimento pois sao unitarios o paralelogramo determinado por estes vetores é um losango Consequentemente como u e v sao paralelos aos lados CA e CB do triangulo AABC e a regra do paralelogramo nos diz que a soma de dois vetores é a diagonal do paralelogramo por eles formado temos que se CF uv entao o segmento CF divide o Angulo C em Angulos iguais 16 Finalmente se P é um ponto qualquer da bissetriz de C o vetor CP é paralelo ao vetor Ch ie w Teal eal cal lice O Exercicios Ex 11 Sendo ABCDEFGH 0 paralelogramo abaixo expresse os seguintes vetores em fungao de AB AC e AE H Fh B a BE b AG Cc AE d BC e AC f ABEG g AD He h 2AD FGBHGH Ex 12 Sendo ABCDEF um hexagono regular como na figura abaixo Expresse os seguintes vetores em funcao dos vetores DC DE E D LL C A B 17 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici a DF b DA c DB d DO e EC f EB g OB Ex 13 Sendo ABCDEF um hexágono regular como no exercício anterior Expresse os seguintes vetores em função dos vetores OD OE a OA OB OC OD OE OF b AB BC CD DE EF FA c AB BC CD DE EF d OA OB OD OE e OC AF EF Ex 14 Se o vetor a tem tamanho 3 e o vetor b tem tamanho 2 qual é o maior e o menos valor para o comprimento de a b Ex 15 Dados os vetores f1 f5 os vetores que ligam um vértice de um hexágono regular aos outros vértices como mostra a figura abaixo Determine a soma desses vetores em função dos vetores f1 e f3 f5 f4 f3 f2 f1 Ex 16 Dado um triângulo ABC sejam M N P os pontos médios dos segmentos AB BC e CA respectivamente Exprima os vetores BP AN e CM em função dos vetores AB e AC 18 Ex 17 Prove que para cada vetor u existe um unico vetor u tal que u u 0 Ex 18 Dado um tridngulo AABC seja M um ponto do segmento AB Suponha que o vetor AM é igual a A vezes o vetor MB Exprima 0 vetor CM em funcao dos vetores AC e BC Ex 19 Dado um quadrilatero ABCD tal que AD 5u BC 3u e tal que AB v a determine o lado CD e as diagonais BD e CA em funcao de ue v b prove que ABCD é um trapézio Ex 110 Mostre que a soma de vetores cujos representantes formam um poligono fechado é nula Ex 111 Dado v um vetor nao nulo Prove que Ww é um vetor unitario com a mesma V direcao e sentido que v Ex 112 Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicacao por escalares resolva a equacao nas incdgnitas x e y ie escreva os vetores x e y em funcdo de ue v a x3yu 3x Sy uv b x2yu 3x 2y u2v Ex 113 Dados os vetores uv w e z tais que w u ve u paralelo a z Prove que w é paralelo a z se e somente se v é paralelo a z Ex 114 Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicacao por escalares prove que a v av 19 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b α v αv c α v αv Ex 115 Prove que αv 0 então ou α 0 ou v 0 Ex 116 Prove que se αv βv e v 0 então α β Ex 117 Dado um pentágono regular e O o seu centro Mostre que a soma dos vetores ligando o centro do pentágono a seus vértices é o vetor nulo Ex 118 Prove que dados dois vetores u e v não paralelos então se λ1u λ2v 0 então λ1 λ2 0 Ex 119 Se EFG é um triângulo qualquer e P Q e R são os pontos médios dos lados EF FG e GE respectivamente demostrar que EPQR é um paralelogramo b E b F b G b P b Q b Q 12 dependência e independência linear de vetores Tanto no plano como no espaço existem infinitas direções de movimento Apesar desse fato nossa intuição nos diz no espaço existem essencialmente três direções de movimento enquanto que no plano existem essencialmente duas direções de movimento O que real mente queremos dizer ao afirmarmos que existem essencialmente apenas três direções de movimento O objetivo dessa seção é responder matematicamente a essa questão Para isso intro duziremos os conceitos de combinação linear dependência e independência linear e posteriormente o conceito de dimensão 20 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Como vimos na seção anterior a adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar nos permitem obter novos e diferentes vetores a partir de alguns vetores dados Os vetores assim obtidos são ditos combinação linear dos vetores iniciais v λv u θu w λv θu Figure 116 O vetor w pode ser escrito como somas de múltiplos dos vetores u e v Já os conceitos de dependência e independência linear estão intuitivamente associados a capacidade ou não de se escrever um vetor de um conjunto em função de outros Assim por exemplo ainda de maneira intuitiva um conjunto de vetores será linearmente dependente se as direções desses vetores são dependentes nos sentido de não podermos obter uma dessas direções a partir como combinação das outras Geometricamente veremos ainda que o conceito de dependência linear estará associ ado como o fato que as direções desses vetores estarem em uma posição especial restrita como ocorre por exemplo quando dois vetores são colineares ou quando três vetores são coplanares De posse desses conceitos a afirmação inicial poderá ser reescrita de modo preciso como no espaço existem apenas três direções de movimento linearmente independentes Para tanto passemos a uma descrição mais cuidadosa de todos esses conceitos Definição 121 Diremos que um vetor w é combinação linear dos vetores v1 vn se existem escalares λ1 λn tal que w n i1 λivi u u v w v v Figure 117 w 2u 3v Nesse caso diremos também que o vetor w é de pendente dos vetores vi com i 1 n ou ainda que o vetor w pode ser representado em função dos vetores vi com i 1 n Exemplo 122 O vetor w ilustrado na figura 117 é 21 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici combinação de u v Pois w 2u 3v Exemplo 123 Na figura 118 temos que vetor f1 é combinação linear de f2 f3 f4 f5 Como os vetores f1 f2 f3 f4 f5 formam um polígono fechado sua soma é 0 f1 f2 f3 f4 f5 0 e assim f1 f2 f3 f4 f5 f1 f2 f3 f4 f5 Figure 118 O vetor f1 é combinação linear dos vetores f2 f3 f4 f5 Exemplo 124 Escreva o vetor AD como combinação linear de AB e AC 30o 45o 2 3 4 bA b B b C b D Solução Queremos encontrar λ1 e λ2 tais que AD λ1 AB λ2 AC 115 Primeiramente vamos escolher convenientemente dois vetores i j ortogonais e de norma 1 e vamos escrever todos os demais vetores em função desses Figura 21 Escolheremos i AB AB e j como a rotação de i de um ângulo de 90o no sentido antihorário 22 Cc D D Cc 2 4 A 30 B Z cK 4 op i 3 A i 1 Figure 119 Vetores ij Figure 120 Vetor AD Figure 121 Vetor AC Facilmente observamos que AB 3i Observando a Figura 120 concluimos que AD Ak KD E por trigonometria do triangulo retangulo temos AK 4cos 30i e KD 4sen 30 j Dessa forma temos que AD 2V3i 2j De modo analogo observando o triangulo da Figura 121 concluimos que AC AP PC Mas novamente por trigonometria temos que AB 2cos 45i e PC 2sen 45 j Logo AC 2i Vj Voltando a equagao 115 obtemos entao 2V3i 2j Ay 3i A2V2i V2 Isolando i e j obtemos finalmente 2V3 3A V2A2i 2 V2A2j 0 Como os vetores ij sao LI segue que 23 3A V2A2 0 2V2A2 0 2 1 E assim podemos concluir que A 231 e Ay V2 Finalmente 2 1 AD v3 0 7B V2AC O 23 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Definição 125 Um vetor v é dito linearmente dependente LD se v 0 Os vetores v1 vn n 2 são ditos linearmente dependentes LD se existe um i 1 2 n tal que o vetor vi seja combinação linear dos demais vetores ou seja vi ji λjvj onde λ1 λ2 λn R Definição 126 Dizemos que os vetores v1 vn são linearmente independentes LI se eles não são linearmente dependentes Temos a seguinte caracterização simples para a dependência linear de dois vetores Essa caracterização será generalizada para um número maior de vetores na seção 121 Proposição 127 Quaisquer dois vetores não nulos e não paralelos e1 e e2 são linear mente independentes Demonstração Por redução ao absurdo suponha que os vetores e1 e e2 são linearmente dependentes Então pela definição de dependência linear temos que e1 λe2 ou e2 θe1 Donde pelo Corolário 110 temos que e1 e e2 são paralelos o que contradiz nossas hipóteses Logo e1 e e2 são linearmente independentes A partir da definição anterior podemos provar a seguinte caracterização Proposição 128 Os vetores v1 vn são linearmente dependentes se e somente se exis tem λ1 λ2 λn R NÃO todos nulos tal que n i1 λ1v1 0 Demonstração Para n 1 temos que se v é linearmente dependente então v 0 daí para λ 1 por exemplo temos λv 0 Reciprocamente se λv 0 para algum λ 0 pela definição de multiplicação por escalar segue que v 0 logo v é linearmente dependente 24 Para n 2 suponha que os vetores v1V sao linearmente dependentes Sem perda de generalidade suponha que n v Avi i2 para AzA3An R Somando 1v a ambos os lados da igualdade chegamos a n 1v4 oAivi 0 i2 Logo V Av 0 com Aq A2A nao todos nulos pois A 1 Reciprocamente considere que existem A1A2A nao todos nulos tal que n yo AiV1 0 i1 Suponha sem perda de generalidade que A 4 0 Multiplicando ambos os lados da igual 1 dade por 7 isolando v1 chegamos a 1 n A 1 V1 yo 7Vi ia M1 Ou seja 0 vetor v combinacao linear dos demais O A contrapositiva da proposiao anterior nos leva ao seguinte teorema Teorema 129 Os vetores vjV sao linearmente independentes se e somente se n yo Aivi 0 A An 0 i1 Ou seja a nica relacao linear entre os vetores é a trivial ou ainda 0 vetor 0 pode ser escrito de modo tinico como combinacao dos vetores v comi 12n Desse teorema é imediata a unicidade da representacgao de um vetor como combinacao linear de vetores LI Proposicao 130 Seja u um vetor que possa ser escrito como combinacdo linear do con junto de vetores linearmente independente v1 n u AiNi i1 25 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici então essa representação é única Demonstração Dadas duas representações de u ie suporemos que u possa ser escrito como combinação linear de vii1n de duas maneiras distintas u n i1 λivi 116 e u n i1 λ ivi 117 mostraremos que essas representações são iguais isto é que λi lambda i Subtraindo a equação 117 da equação 117 obtemos n i1 λivi n i1 λ ivi 0 e logo n i1 λi λ ivi 0 Finalmente como os vetores vii1n são linearmente independentes temos que para cada i λi λ i 0 e assim λi λ i Dessa forma temos que a representação é única Observação 131 A partir do Teorema 129 e da Proposição 128 estudar a dependência linear dos vetores v1 vn é uma tarefa simples Basta estudar a equação n i1 λivi 0 com incógnitas λi i 1 2 n Se tal equação admitir apenas a solução λi 0 para todo i 1 2 n então os vetores v1 vn são LI Caso contrário são linearmente dependentes Exemplo 132 Suponha que os vetores u v w são LI Mostre que os vetores u v u v e u v w também são LI Solução Para demonstrar que os vetores u v u v e u v w são LI vamos estudar a equação au v bu v cu v w 0 26 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Expandindo e agrupando temos a b cu a b cv cw 0 Como u v w são LI temos que a b c 0 a b c 0 c 0 Resolvendo o sistema anterior temos que a b c 0 Consequentemente temos que au v bu v cu v w 0 a b c 0 e logo os vetores u v u v e u v w são LI Exercícios Ex 21 Dados os vetores a OA b OB c OC então se AD 1 4c e BE 5 6a Escreva o vetor DE em função de a b c Ex 22 Dados os vetores a b e c como na figura abaixo Escreva o vetor c como combi nação de a e b b c a 3 2 6 30 30 Ex 23 Dados os vetores a b e c como na figura abaixo Escreva o vetor c como combi nação de a e b 4 3 3 a b c 135 120 27 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 24 Em um triângulo ABC o ponto M é tal que 3 BM 7MC Escreva o vetor AM em função de AB e AC Ex 25 Se AB BC 0 prove que os vetores OA OB e OC são linearmente depen dentes para qualquer ponto O Ex 26 Suponha que os vetores u v w são LI Mostre que os vetores u v u v w e u v w também são LI Ex 27 Suponha que os vetores u v w são LI e seja t au bv cw Mostre que os vetores u t u v e w t são LI se e somente se a b c 1 Ex 28 Mostre que a Se os vetores u v são linearmente dependentes então os vetores u v w são linear mente dependentes b Se os vetores u v w são LI então os vetores u v são LI Ex 29 Dados a b vetores LI sejam OA a 2b OB 3a 2b e OC 5a xb Determine x de modo que os vetores AC e BC sejam linearmente dependentes Ex 210 Dado o tetraedro OABC se denotarmos a OA b OB e c OC M o ponto médio de AB N o ponto médio de BC e Q o ponto médio de AC e P o ponto tal que OP 2 3 Oc Calcule em função de a b vetorc a OM ON OQ b PM PN PQ 28 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 121 Caracterização Geométrica de Dependência e Independência Linear Nas seções anteriores apresentamos uma série de caracterizações algébricas da dependên cia e independência linear de vetores de V2 e V3 esses conceitos podem também ser caracterizados geometricamente como nos mostra o enunciado do teorema a seguir Teorema 133 Caracterização Geométrica da Dependência e Independência Lin ear Para vetores em V2 e V3 temos 1 Um vetor v é linearmente dependente se e somente se v 0 2 Dois vetores u v são linearmente dependentes se e somente se u e v são paralelos 3 Três vetores u v w são linearmente dependentes se e somente se u v e w são coplanares 4 Quatro ou mais vetores são sempre linearmente dependentes A demonstração dessa teorema será feito na próxima seção após introduzirmos o con ceito de base Antes disso porém ilustraremos como utilizar essa caracterização para re solver problemas geométricos Exemplo 134 Mostre que as diagonais de um paralelogramo se intersectam nos seus pon tos médios Solução b A b B b C b D b M Considere um paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD Seja M o ponto de intersecção de AC e BD ponto que a priori não é necessariamente ponto médio das diagonais Queremos mostrar que AM 1 2 AC BM 1 2 BD Como A M e C são colineares temos AM λ AC 118 Da mesma forma como B M e D são colineares BM θ BD 119 Como ABM é um triângulo temos AM AB BM 29 Usando entao as equacoes 118 e 119 na equacao acima segue que AAC AB OBD Escrevendo todos os vetores da equacao acima em funcao de AB e AD dois vetores nao paralelos obtemos A AB AD AB 0 AB AD Ou reescrevendo convenientemente NAB AAD 16AB0AD ve re ae om Usando entao que AB e AD sao LI segue da Proposicao 130 que A180 A0 1 donde temos A 9 5 como queriamos Oj Observacao 135 Note que nas equacodes 118 e 119 usamos letras distintas para os escalares que multiplicam AC e AC pois a principio nao sabiamos se a proporcao que AM guardava em relacado a AC é a mesma que BM guardava em relacao a BD Exemplo 136 Sejam M M2 M3 os pontos médios dos lados AB BC e CA do triangulo AABC Seja G 0 ponto de interseccao das medianas AM e BM Mostre que G se divide AM e BM na razao 2 para 1 A c M3 C My B Solucao Para mostrar que as medianas AM e BMp se intersectam num ponto G que divide AM e BM na razao 2 para 1 devemos provar que 2 2 AG AM BG BM 30 De modo a tornar a notacao da resolucao mais limpa chamemos os vetores AB e AC de ae b respectivamente Observe que como os vetores ab nao sao paralelos pelo 133 eles sao LI E expressaremos todos os demais vetores da figura em funcao desses vetores Fixada a notacao passemos a cada uma das etapas Para estudarmos a interseccao G das medianas AM e BM expressaremos os vetores s AM e BM em fungao de a b Observamos inicialmente que pela definigao de subtragao que CB ab Eassim 1 1 1 AM AC 5CB zat 5b 1 1 BM BA5AC at 5b Como os pontos A G e M sao colineares temos A AG AAM 3 ab Analogamente 1 BG BM 0 a 56 Observamos que nesse estagio nao sabemos ainda que G divide os segmentos AM e BM na mesma proporao Assim sendo usamos letras diferentes A e a para os escalares das equacoes acima E facil ver que uma equacdo envolvendo os vetores AG e BG é BG BA AC Donde temos 1 Xr a a 56 atsatb Isolando os vetores a b temos entao A a A a a 65 0 Como ab sao LI segue entao que A a A 0 2 2 31 Desse sistema obtemos entao 2 3 Ou seja G divide tanto 0 segmento AM quanto 0 segmento BM narazao2 paral UO Exemplo 137 Usando a mesma nomenclatura do exemplo anterior prove que as trés medianas do triangulo AABC tém um unico ponto comum G que divide as trés medianas AM BM2 e CM3 na razao 2 para 1 G conhecido como baricentro do triangulo Solucao Para mostrar a afirmacao acima nos falta apenas provar que C G e Ms sao colin eares e que G divide CM3 na razao 2 para 1 Desse modo nos basta provar a igualdade 2 Mostremos entao que a equacao C6 BCM3 com incdgnita em f admite solucao real Continuemos como na resolucao do exemplo anterior denotando os vetores AB e AC por ae b respectivamente Escrevamos fae e CM3 em fungao de ab cé AG Ae 22 CG AG AC 3 3 F 77 1 CM AM AC za b Temos assim a seguinte equacao 1 2 1 ab ab 323 P2 Isolando ab temos 1 6 2 b 0 soa 38 Como ab sao LI 1 a 3 5 2 4 0 3 B 32 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Tal sistema admite uma solução β 2 3 Dessa forma temos que os pontos C G e M3 são colineares e que G divide CM3 na razão 2 para 1 Exemplo 138 Dado as retas r e s e um ponto O não pertencente as retas Dadas duas retas t1 e r2 que interceptam r e s nos pontos A B C D conforme a figura abaixo Mostre os segmentos AB e CD são paralelos se e somente se OA AC OB BD u v s r t1 t2 b O b C b D b A b B Solução Como os pontos O A B não são colineares os vetores u OA e v OB não são paralelos e assim são LI Como os segmentos AB CD são paralelos temos que AB λ CD Como OC é paralelo à OA temos que OC xu De modo análogo temos que OD yv E assim CD OD OC yv xu 33 Consequentemente AB vuAyvxu e logo 1Axu Ay1v 0 Como os vetores uv sao LI temos que 1Ax0 Ay10 1 elogoxy 7 E finalmente temos que JOAT OBI AC BD Faremos agora a reciproca Se OAT B AC BD entao JACI BDI OAl OB e assim JOAl ACI O8B BDI OA OB OC OD OA OB a OCI ODI e assim igualando a k temos que k JOAl OB Como os segmentos OC e OA sao paralelos temos que oc KOA De modo similar temos que OD kOB E assim AB OA OB CD OD 06 KOA OB Consequentemente os vetores Abe CD sao paralelos O Exercicios 34 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 211 Sejam B um ponto no lado ON do paralelogramo AMNO e e C um ponto na diagonal OM tais que OB 1 n ON e OC 1 1 n OM Prove que os pontos A B e C estão na mesma reta Ex 212 Dado um paralelogramo MNPQ seja A o ponto de intersecção das diagonais e sejam B e C os pontos médios dos lados opostos MN e PQ Prove que se os pontos A B e C estão sobre a mesma reta então MNPQ é um trapézio um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos b Q b P b M b N b A bC b B Ex 213 Os pontos P e Q dividem os lados CA e CB de um triângulo ABC nas razões x 1 x y 1 y respectivamente Prove que se PQ λ AB então x y λ Ex 214 As diagonais AC e BD de um quadrilátero ABCD se interceptam no ponto P que divide o segmento AC na razão m n e o segmento BD na razão m n Dado Q o ponto de intersecção das retas contendo os segmentos AC e BD Encontre a razão AQ DQ e BQ CQ m n m n b Q b A b B bD b C b P Ex 215 Chamase diagonal de um paralelepípedo a um segmento ligando dois vértices não pertencentes a uma mesma face Demostre que as diagonais de um paralelepípedo dividemse mutuamente ao meio 35 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 216 Dado um triângulo OAB sejam C e D pontos sobre o lado AB dividindo esse segmento em três partes congruentes Por B traçamos a reta paralela a OA e sejam X e Y a intersecção dessa reta com as retas ligando OC e OD respectivamente a Expresse os vetores OX e OY em função de OA e OB b Determine as razões nas quais X divide BY C divide a OX e D divide a OY b O b B b A b C bD b X b Y Ex 217 Num quadrilátero ABCD o Q o ponto de intersecção das diagonais AC e BD se interceptam dividem as diagonais nas razões 4 3 e 2 3 respectivamente Em qual razão divide o ponto P determinado pelas intersecção os lados AB e CD a estes segmentos Ex 218 Dado o ponto médio da mediana AE do triângulo ABC se a reta BD corta o lado AC no ponto F determine a razão que F divide AC b A bB b C b E bD bF Ex 219 Dado um paralelogramo ABCD Seja l uma linha reta que intercepta AB AC e AD nos pontos B1 C1 e D1 respectivamente Prove que se AB1 λ1 AB AD1 λ2 AD e AC1 λ3 AC então 1 λ3 1 λ1 1 λ2 36 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b A b D bB b C b B1 l bC1 bD1 Ex 220 Dado um triângulo ABC e I um ponto interior ao triângulo Passando por I traçamos os segmentos PQ RS TU paralelos respectivamente a AB BC e CA respectiva mente Com os pontos P S em AC T Q em BC e U R em AB Demonstre que PQ AB RS BC TU CA 2 bA bB b C b I b T bQ bS bP b U b R 13 bases Dizemos que um conjunto de vetores vii1n gera o espaço um dado plano se qual quer vetor w do espaço do plano puder ser escrito como combinação linear dos vetores vii1n w n i1 λivi Proposição 139 Dois vetores não paralelos de V2 geram V2 Ou sejadados um vetor f V2 e dois vetores não nulos e não paralelos e1 e e2 de V2 temos que existem m e n R tais que f me1 ne2 37 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b O e2 e1 b P f b K ne2 me1 Figure 122 Dois vetores não paralelos geram o plano Demonstração Considere um ponto arbitrário O do espaço Primeiramente observe que f é paralelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores u v Considere o representante de f que começa no ponto O e termina em P ie seja f OP Considere a reta paralela a u que passa pelo ponto P e a reta paralela a v que passa por O Essas retas se encontram num ponto K Por quê É fácil ver então que f OK KP Como KP é paralelo a u tal vetor é um escalar vezes u ou seja KP λ1u De maneira análoga OK λ2v Desta forma temos f λ1u λ2v Proposição 140 Dados f um vetor qualquer de V3 e e1 e2 e3 três vetores não nulos não paralelos entre si e não paralelos ao mesmo plano temos que existem l m n R tais que f le1 me2 ne3 ne3 b O bP f e1 e3 e2 b K le1 me2 OK Figure 123 Três vetores não coplanares geram espaço Demonstração A demonstração é análoga a da Proposição 139 38 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Começamos escolhendo representantes dos vetores f u v w que começam no ponto O veja a figura 123 Seja então a reta paralela a w passando por P Essa reta intercepta o plano determinado por u v no ponto K O vetor OK estando no mesmo plano que u v pode ser escrito como combinação linear desses vetores OK lu mv O vetor KP é paralelo a w ie KP nw Finalmente como OP OK KP temos que f lu mv nw Proposição 141 Quaisquer três vetores e1 e2 e3 não coplanares são linearmente inde pendentes Demonstração Suponha que e1 e2 e3 são linearmente dependentes Temos então que um dos vetores é combinação linear dos demais Suponha sem perda de generalidade que e1 λe2 θe3 Segue que o vetor e1 é par alelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores e2 e e3 Por quê Donde temos que os vetores e1 e2 e3 seriam coplanares Definição 142 Uma base para o espaço um dado plano é um conjunto ordenado de vetores vi linearmente independentes e que geram o espaço o plano Teorema 143 Teorema da Base para o Plano Qualquer vetor f V2 pode ser es crito de maneira única como combinação linear de dois vetores não nulos e não paralelos e1 e e2 de V2 isto é f me1 ne2 com m e n R únicos Ou seja dois vetores não nulos e não paralelos de V2 formam uma base para V2 Demonstração Consequência imediata das Proposições 139 130 e 127 Corolário 144 Toda base para o plano tem exatamente dois vetores Ou seja o plano tem dimensão 2 39 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Teorema 145 Teorema da Base para o Espaço No espaço tridimensional sejam três vetores não nulos e1 e2 e3 não paralelos entre si e não paralelos ao mesmo plano Então qualquer vetor f no espaço pode ser escrito como combinação linear única de e1 e2 e3 isto é f le1 me2 ne3 com l m n R Ou seja três vetores não nulos não paralelos entre si e não paralelos ao mesmo plano formam uma base para V3 Demonstração A demonstração do Teorema segue diretamente das Proposições 140 130 e 141 Corolário 146 Toda base para o espaço tem exatamente três vetores Ou seja o espaço V3 tem dimensão 3 Intimamente relacionado ao conceito de base está o conceito de dimensão de um planoespaço A dimensão é definida como o número de vetores numa base ou seja o número de vetores independentes a partir do qual podemos obter todos os outros Como provamos o plano tem dimensão 2 e o espaço tem dimensão 3 Agora demonstraremos o teorema de caracterização geométrica da dependência e inde pendência linear que enunciamos na seção anterior Teorema 147 Caracterização Geométrica da Dependência e Independência Lin ear Para vetores em V2 e V3 temos 1 Um vetor v é linearmente dependente se e somente se v 0 2 Dois vetores u v são linearmente dependentes se e somente se u e v são paralelos 3 Três vetores u v w são linearmente dependentes se e somente se u v e w são coplanares 4 Quatro ou mais vetores são sempre linearmente dependentes Demonstração 1 A demonstração segue de imediato a partir Definição 125 2 Se u é paralelo a v Pelo Corolário 110 ou u λv ou v θu λ θ R Logo como um dos vetores é necessariamente combinação linear do outro segue que u v são linearmente dependentes 40 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici A recíproca é a contrapositiva da Proposição 127 3 Se três vetores u v w são coplanares temos dois casos a considerar ou u v são par alelos ou u v não são paralelos Se u v são paralelos pela argumentação acima um dos vetores é combinação linear do outro Suponha sem perda de generalidade que u λv Temos então que u λv 0w Logo u é combinação linear dos demais vetores e portanto u v w são linearmente dependentes Se u v w são coplanares e u v não são paralelos pelo Teorema temos que w λ1u λ2v para λ1 λ2 R Assim os vetores u v w são linearmente dependentes A recíproca segue da Proposição 141 4 Considere n vetores v1 v2 vn com n 4 Duas coisas podem ocorrer ou os v1 v2 v3 são coplanares ou não o são Se v1 v2 v3 são coplanares um dos vetores é combinação linear dos demais Suponha v1 λv2 θv3 Segue que v1 λv2 θv3 n i4 0vi Logo v1 v2 vn são linearmente dependentes Caso v1 v2 v3 não sejam coplanares pelo Teorema v4 λ1v1 λ2v2 λ3v3 para λ1 λ2 λ3 R Daí temos v4 λ1v1 λ2v2 λ3v3 n i5 0vi Logo v1 v2 vn são linearmente dependentes Exercícios 41 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 31 Mostre que os vetores u v w são coplanares se e somente se um deles é com binação linear dos outros dois Ex 32 Prove que se o conjunto de vetores u v é uma base para o plano então o conjunto u v u v também é uma base para o plano Ex 33 Prove que se o conjunto de vetores u v w formam uma base para o espaço então o conjunto u v u v w 2u também formam uma base para o espaço Ex 34 Dado um tetraedro ABCD explique por que os vetores AB AC AD formam uma base para o espaço Ex 35 Descreva uma base para os planos xy yz e xz Ex 36 Descreva uma base diferente da anterior para os planos xy yz e xz 14 soma de ponto com vetor A soma do ponto com o vetor v nos retorna a translação do ponto P ao ser transportado pela direção sentido e comprimento de v Definição 148 Dado um ponto P e um vetor v podemos definir a soma de ponto com vetor do seguinte modo Seja um representante de v que começa em P e seja Q o ponto final desse repre sentante Definimos então P v Q Podemos reescrever a definição de soma de ponto com vetor de outra forma diremos que P v Q se e somente se PQ v 42 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b P b Q v Se escolhermos um ponto fixo no espaço O que chamaremos de origem cada ponto P do espaço ou plano pode ser escrito como P O OP Nesse caso o vetor OP é dito vetor posição de P Proposição 149 A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades 1 P O P 2 P u P v se e somente se u v 3 P u v P u v 4 P u u P 5 P PQ Q Demonstração Faremos a demonstração dos três primeiras propriedades e deixaremos as outras como exercício ao leitor 1 É imediata pois PP 0 2 Se P u P v seja Q P u então u PQ v e assim u v A recíproca é imediata 3 Seja Q1 P u Q2 Q1 v e Q3 P u v Para demonstrar que P u v P u v basta mostrarmos que Q2 Q3 Por definição Q1 P u implica que u PQ1 De modo análogo Q2 Q v implica que v Q1Q2 e Q3 P u v implica que u v PQ3 Logo PQ3 u v PQ1 Q1Q2 120 PQ3 PQ2 121 Q3 Q2 122 43 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Exemplo 150 Dado ABC um triângulo e P um ponto sobre BC Se Q P AP PB PC demonstre que ABQC é um paralelogramo e assim Q não depende da escolha de P b A b B bC b Q b P Solução Como Q P AP PB PC então PQ AP PB PC e logo AQ AP AP AB AP AC AP e logo AQ AB AC E assim CQ AQ AC AB De modo análogo podemos provar que BQ AC e assim ABQC é um paralelogramo Exemplo 151 Dado um triângulo ABC e O um ponto qualquer Então o baricentro G do triângulo ABC é dado por G O OA OB OC 3 Solução Seja P O OA OB OC 3 44 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b A b B b C b O b G Como OB OA AB e OC OA AC temos que P O OA OA AB OA AC 3 que simplificando fica P O OA AB AC 3 E como A O OA a expressão anterior é equivalente a P A AB AC 3 No exercício 121 já provamos que AG AB AC 3 ou na forma de soma de ponto com vetor que G A AB AC 3 E assim temos que G P ou seja demonstramos que G O OA OB OC 3 Exercícios Ex 41 Prove que a P u u P b P u Qv então u PQv c P PQ Q 45 Ex 42 Prove que as diagonais de um paralelogramo se dividem mutualmente ao meio Ex 43 Sendo A e B dois pontos mostrar que AB BA0 Ex 44 Dados AB dois pontos distintos e A um numero real Determine vetorialmente o ponto M no segmento AB tal que AM AMB Ex 45 Seja ABCD um quadrilatero Se E é 0 ponto médio do lado AB e F é 0 ponto 1 médio do lado oposto DC prove que EE 5 4D BC Ex 46 Seja G o baricentro ou seja o ponto de encontro das medianas do triangulo ABC Prove que GA GB GC 0 Ex 47 Prove que 0 segmento que une os pontos médios dos lados nao paralelos de um trapézio é paralelo as bases e sua medida é a semisoma das medidas das bases Ex 48 Prove que existe um unico ponto comum as bissetrizes internas de um triangulo e que esse ponto conhecido como incentro do triangulo é interior a ele Ex 49 Dado ABCD um tetraedro seja M o ponto de encontro das medianas do trian De De gulo ABC Exprima o vetor DM em funcao dos vetores DA DB e DC Ex 410 Prove que se os pontos A BC formam um triangulo equilatero entao os pon tos AvBvCv formam um tridngulo equilatero para qualquer v Ex 411 Dado ABCD um quadrilatero e O um ponto qualquer e seja P 0 ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD Prove que lr PO5 OA 08 0 0D Ex 412 Demostre que o baricentro de um triangulo é também o baricentro do trian gulo cujos vértices sao pontos que dividem os lados do primeiro na mesma razao 46 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 413 Mostre que dados os vetores m OA e n OB sua soma é igual a n m OP sendo P o ponto de intersecção do segmento AB com a reta OR onde R O m OA n OB b O b R b A b B bP Ex 414 Dado O o circuncentro e H o ortocentro de um triângulo ABC mostre que a OA OB OC OH b HA HB HC 2 HO 15 exercícios complementares Exercícios Ex 51 O objetivo desse exercício é definir formalmente quando dois segmentos orien tados possuem o mesmo sentido Dados dois segmentos orientados de reta e paralelos AB e CD Dizemos que esses segmentos possuem o mesmo sentido se os segmentos AC e BD não se intersectam Segmentos que não possuem o mesmo sentido são ditos de sentidos opostos a Mostre que se os segmentos AB e CD possuem o mesmo sentido e CD e EF possuem o mesmo sentido então AB e EF possuem o mesmo sentido b Mostre que se os segmentos AB e CD possuem sentido opostos e CD e EF possuem sentidos opostos então AB e EF possuem o mesmo sentido Ex 52 Prove que se PQ PQ então PP QQ 47 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 53 Dado um triângulo ABC e sejam D E e F os pontos médios dos lados BC CA e AB respectivamente Mostre que AD DE CF 0 Ex 54 Mostre que AB CB 2 BA e 1 3 AC são colineares Ex 55 Dado um paralelogramo ABCD e sejam K L os pontos médios dos lados BC e CD Escreva o vetor BC como combinação de a AK e b AL b A b B b C b D b L b K Ex 56 Mostre que as alturas de um triângulo ABC de ângulos α β γ se interceptam num único ponto denominado ortocentro cujo vetor posição é tg αa tg βb tg γc tg α tg β tg γ Ex 57 Mostre que a bissetriz de um triângulo ABC se interceptam num único ponto denominado circuncentro cujo vetor posição é sen 2αa sen 2βb sen 2γc sen 2α sen 2β sen 2γ Ex 58 Num plano são dados dois triângulos ABC e CDE Sejam G H I os pon tos médios dos segmentos AC BD e CE respectivamente Mostre que os baricentros dos triângulos ABC DEF e GHI são colineares 48 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici bA b B b C b D b E b F bG b H b I b J b K b L Ex 59 Mostre que para vetores não colineares a e b a igualdade m1a n1b m2a n2b equivale ao sistema de igualdades m1 m2 n1 n2 Ex 510 Dado um paralelogramo ABCD e sejam E e F pontos nos lados BC e CD de modo que BF FC µ DE EC λ sendo µ λ números reais positivos Os segmentos FD e AE se intersectam no ponto O Determine FO OD 49 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 2 VETORES EM COORDENADAS No primeiro capitulo estudamos vetores de um ponto de vista totalmente geométrico Porém o ferramental geométrico se mostra ineficiente e quica insuficiente quando nos deparamos com problemas de maior complexidade Neste capitulo introduziremos a rep resentacdo algébrica dos vetores e do espaco Euclidiano E essa representacdo que nos permite converter problemas geométricos em problemas algébricos e efetivamente realizar calculos com vetores Os primeiros passos no sentido de encontrar tais representac6es ja foram dados no capi tulo anterior ao estudarmos o conceito de base Neste capitulo daremos continuidade a estas ideias e veremos como utilizar as propriedades geométricas estudadas até agora para encontrar representacoes algébricas nao apenas para vetores mas também para os pontos do espaco Euclidiano Tais representagdes serao chamadas de sistemas de coordenadas e serao o foco principal deste capitulo Mais precisamente um sistema de coordenadas é uma identificacao continua do plano espaco euclideano com uma regiao de IR IR que nos permita localizar pontos através de pares triplas de nimeros reais Vejamos por exemplo como podemos relacionar vetores e pontos no espaco de modo a obter um sistema de coordenadas Se considerarmos B e1e2e3 uma base de V pelo teorema da base para o espaco temos que qualquer vetor pP v pode ser representado como a v Azse3 v Aye Aven A3e3 e e1 Mer onde os coeficientes AA2A3 sao unicos 2 a fhnes Tal igualdade nos permite construir a seguinte bijecao oy rk entre V e R 4 V R Vr Ay A2 A3 Lembramos ao leitor que bijecao é uma funcao que identifica univocamente os elemen tos do dominio com os do contradominio Mais precisamente uma funcao bijetora é uma aplicacao simultaneamente injetora isto é que leva elementos distintos do dominio em 51 elementos distintos da imagem e sobrejetora ou seja tal que todo elemento do contra dominio é imagem de algum elemento do dominio Devido existéncia da bijecao descrita acima definimos a seguinte notacao Vv A1 A2 A3B E denominamos a tripla AA2A3 de coordenadas do vetor v na base B Considere agora 0 espaco Euclidiano E O primeiro passo necessdrio para encontrar mos um sistema de coordenadas é localizar os pontos no espaco Observe que para isso nao basta uma base de vetores pois como ja dissemos anteriormente vetores nao sao lo calizados no espaco Assim tornase necessaria a escolha de um ponto qualquer para nos servir de referéncia Fixemos entéo um ponto O E a que chamaremos de origem do sistema de coordenadas A partir de tal ponto as posicdes de todos os pontos de E serao determinadas Observe que fixado O um ponto P qualquer em E pode ser escrito como P O op Tal igualdade nos permite identificar univocamente pontos de E com vetores de V ly EX V8 Pr OP O vetor OP é denominado vetor posicao de P Tomando a funcado composta 1 0 2 obtemos uma bijecdo entre os pontos de E e os elementos de IR a cada ponto P podemos associar a tripla A A2A3 21 SISTEMAS DE COORDENADAS Motivado pelo exposto acima definimos Definicao 21 Um sistema vetorial de coordenadas no espaco é 0 conjunto for mado por uma base de vetores B e1e2e3 e um ponto O chamado de origem do sistema de coordenadas Denotaremos o sistema de coordenadas por Xx OB A bijecdo entre E e R dada por devido 4 nos permite definir a seguinte notacdo P AyA2A3x 52 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici onde λ1 λ2 λ3 são as coordenadas do vetor posição OP na base B Chamamos nesse caso λ1 λ2 λ3 de coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas Σ Observação 22 Fixado um sistema de coordenadas Σ é usual representar as coordenadas de um vetor v na base B associada a Σ também por λ1 λ2 λ2Σ Muitas vezes quando o sistema de coordenadas Σ e a base B estão claros pelo contexto é comum também denotar tanto o ponto P quanto seu vetor posição OP indistintamente por suas coordenadas λ1 λ2 λ3 sem indicar os subíndices Σ ou B Nesse caso cabe ao leitor entender pelo contexto a quem se referem as coordenadas descritas a um ponto ou a um vetor Finalmente observamos que podemos de forma totalmente análoga à descrita acima identificar pontos do plano euclideano E2 com vetores de V2 e com elementos de R2 Para isso tudo que precisamos é de um sistema de coordenadas Σ O B onde B é uma base de V2 ou seja um conjunto formado por dois vetores linearmente independentes No que se segue apresentaremos os resultados apenas para V3 deixando implícita sua validade em V2 Se i j e k forem três vetores ortonormais ou seja ortogonais dois a dois e de norma 1 então o sistema de coordenadas Σ O B onde B i j k é chamado de sistema cartesiano de coordenadas Daqui em diante as letras i j e k sempre denotarão vetores ortonormais Um sistema de coordenadas cujos vetores não são ortogonais é dito sistema de coor denadas oblíquo b O i j k Figure 21 Sistema de Coor denadas Ortonormais O b e1 e2 e3 Figure 22 Sistema de Coor denadas Oblíquo 53 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Exemplo 23 Dado um retângulo ABCD conforme a figura abaixo vamos encontrar as coordenadas dos pontos A B C D e dos vetores BD e AC nos seguintes sistemas de coor denadas 1 Σ1 A B1 onde B1 e1 e2 2 Σ2 B B2 onde B2 e3 1 2e1 A B C D e1 e2 e3 e1 AB e2 AD e3 AC Solução 1 Vamos primeiro escrever as coordenadas de A B C D no sistema Σ1 Para isso devemos escrever os vetores AA AB AC e AD como combinação linear de e1 e e2 Por definição AB e1 e AD e2 Temos também que AC e1 e2 e que AA sendo o vetor nulo é igual a 0e1 0e2 Assim as coordenadas são A 0 0Σ1 pois AA 0e1 0e2 B 1 0Σ1 pois AB 1e1 0e2 C 1 1Σ1 pois AC 1e1 1e2 D 0 1Σ1 pois AD 0e1 1e2 Para encontrar as coordenadas dos vetores BD e AC basta observar que BD e1 e2 e AC e1 e2 e portanto temos BD 1 1Σ1 AC 1 1Σ1 54 1 2 Vamos agora escrever as coordenadas dos pontos A BC D no sistema X2 2 e3 xe Para tanto devemos escrever os vetores BA BB BC e BD como combinacao de f e f 1 sendo f e3 e f2 5e1 Observe que 1 BA ey 2 52 2f BB Of Of vetor nulo BC e e3 e 1f 2fp BD e3 2e f Af E assim as coordenadas dos pontos sao A 0 2s B 00s C 12s D14s Calculando as coordenadas dos vetores BD e AG usando que e2 e3 e obtemos que BD e e e3 2e f 4fo AC e f e portanto vale BD 14s AC 103y O Exercicios Ex 11 Dado o hexagono regular ABCDEF de centro O conforme a figura abaixo E D OO A B 55 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Determine as coordenadas dos pontos O A B C D E e F nos seguintes sistemas de coor denadas a O OC OD b O OC OE c B BC BO d B BC BE Ex 12 Encontre as coordenadas dos seguintes vetores nos sistemas de coordenadas do exercício anterior a CD b BD c AC d BE Ex 13 Dado o paralelogramo retângulo ABCDEFGH abaixo Sejam e1 AB e2 AC e3 AF e4 AE Determine as coordenadas dos pontos A B C D E F G e H nos seguintes sistemas de coordenadas a A e1 e2 e3 b A e2 e1 e3 c A e4 e1 e3 d H e1 e2 e3 e G e3 1 2e1 3e3 f A 1 2e1 1 2e2 1 2e3 56 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 14 Determine as coordenadas dos vetores AB AC AF AG EF FG EH nos seguintes sistemas de coordenadas a A e1 e2 e3 b A e2 e1 e3 c H e1 e2 e3 d H e2 e1 e3 e G e3 1 2e1 3e3 211 Operações Vetoriais em Coordenadas Agora que sabemos como representar vetores e pontos em coordenadas precisamos saber como operar com estas representações A proposição abaixo nos diz como as operações com pontos e vetores vistas no capítulo anterior podem ser traduzidas para a representação que acabamos de apresentar Proposição 24 Se u a1 a2 a3Σ v b1 b2 b3Σ e P p1 p2 p3Σ então 1 u v a1 b1 a2 b2 a3 b3Σ 2 λu λa1 λa2 λa3Σ 3 P u a1 p1 a2 p2 a3 p3Σ Demonstração 1 Dado um sistema de coordenadas Σ B O onde B e1 e2 e3 como u a1 a2 a3Σ e v b1 b2 b3Σ por definição temos que u a1e1 a2e2 a3e3 v b1e1 b2e2 b3e3 E logo u v a1e1 a2e2 a3e3 b1e1 b2e2 b3e3 a1 b1e1 a2 b2e2 a3 b3e3 57 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici E desta forma as coordenadas de u v no sistema de coordenadas Σ são u v a1 b1 a2 b2 a3 b3 2 Como u a1 a2 a3Σ por definição temos que u a1e1 a2e2 a3e3 Desta forma temos que λu λ a1e1 a2e2 a3e3 21 λa1e1 λa2e2 λa3e3 22 E consequentemente λu λa1 λa2 λa3 3 Deixaremos como exercício para o leitor Considere fixado um sistema de coordenadas Σ B O Observadas as operações com pontos e vetores em coordenadas uma pergunta que resta ser respondida é dados os pontos A a1 a2 a3 e B b1 b2 b3 como podemos encontrar as coordenadas do vetor AB Observe que pela definição de subtração de vetores vale que AB OB OA Então como OA a1e1 a2e2 a3e3 e OB b1e1 b2e2 b3e3 temos AB b1 a1e1 b2 a2e2 b3 a3e3 AB b1 a1 b2 a2 b3 a3 Tal igualdade dá origem a notação de Grassmann que diz AB B A Observe que a igualdade acima é no entanto apenas uma notação já que em nenhum momento foi definida soma ou subtração de pontos Exemplo 25 Dados os pontos A 1 3 2 B 1 1 1 e C 1 1 0 determine as coorde nadas 58 1 dos vetores AB BC 2 do vetor AB zac 3 do ponto C 548 Solucao 1 AB 111312 021 BC 111101 001 1 1 1 4 2 AB BC 02 1 00 1 0 21 0 2 2 3 3 3 3 1 1 1 3 C 5AB 110 502 1 105 O Exemplo 26 Determine 0 ponto médio M mm2m3 de um segmento com ponto inicial A aa2a3 e B bb2b3 num sistema de coordenadas BO onde B e1 eo e3 Wag Solucao Primeiro observamos que AB 2AM pois os vetores possuem 0 mesmo sentido e o comprimento 48 é duas vezes o comprimento Am Assim by ay Jey bz az32 b3 e3e3 2m aj ey 2m2 a2e2 2m3 a3e3 o que implica em b a 2m ai para todo i 123 Logo nm b aj 1 9 y para todo i e M by a boa2 b34 43 2 2 2 O De posse da representacao dos vetores em coordenadas podemos agora fornecer critérios para a dependéncia e a independéncia linear de vetores 59 Teorema 27 Os vetores u 414243 V b1b2b3 e w c1C2C3 sao linearmente independentes se e somente se a ad az b bp b3 0 Cy C2 Demonstracao Os vetores uv w sao linearmente independentes se o sistema xuyvzw 0 23 possuir somente a solucao trivial x y z0 Em coordenadas podemos expressar a equacao 24 como x a1 4203 y b1 b2b3 2 c1C23 0 24 E logo teremos o sistema axbycoz0 ax boy coz 0 a3x b3y c3z 0 Pela regra de Cramer ver Apéndice C pag C3 0 sistema anterior tem solucdo unica se e somente se seu determinante for nao nulo a a2 a3 b by bz 0 Cy C2 3 O Exemplo 28 Considere fixada uma base de vetores B e1 e2e3 Sejam f 111g fy 101g e f3 011g 1 Mostre que C fj f2 3 é uma base de V 2 Encontre as coordenadas do vetor u 123 na base B 3 Encontre as coordenadas do vetor v 123g na base C Solucao 1 Pelo teorema da base basta mostrarmos que fj f2 e f3 sao linearmente indepen dentes 60 Como 1 1 1 1 0 11F0 0 1 1 pelo Teorema 27 temos que de fato f1 f2 e f3 sao linearmente independentes 2 u 123e 1f 2f 3f3 1111g 2101g 30 11g 3 26p 3 Antes de escrevermos v na base C precisamos obter as coordenadas dos vetores ey ep e e3 na base C f 1e1le1e3 fo le Oe le3 f3 Oe leo le3 f 1e1e1e3 f f O0e le 0e3 f3 f1 f Oe Oe2 le3 fy f1 f fs f1 f2 le Oe 0e3 f f Oe 1e2 0e3 f3 f1 f Oe 0e2 1le3 Donde temos eq 1fy 2f2 1f3 12 1e eo 1fy 1f Of 1 10 e3g0F 1fy 1f 1f3 1 11e Finalmente v 123z le 2e 3e3 1121e 21 10 31 11 6 32e O 61 Observacao 29 Mais detalhes sobre mudanga de base podem ser encontrados no Capi tulo Exemplo 210 Determine m de modo que os vetores uv e w sejam linearmente depen dentes onde v1m1m2 w10m k 023 Solucao Para que os vetores sejam linearmente dependentes pelo teorema 27 0 seguinte determinante deve se anular 1 ilm 2m 1 0 m 0 0 2 3 Calculando o determinante temos que 1 ilm 2m 1 0 m 13m 0 2 3 1 E assim queremos determinar os valores de m para os quas 1 3m Oe assim m 3 O Exercicios Ex 15 Os pontos médios dos lados de um tridngulo sao 25 42 e 11 Determine as coordenadas dos trés vértices Ex 16 Dados dois pontos P x1yi1Z1 Q x2y2Z2 encontre a coordenada do ponto R que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal dRQ AdR P Ex 17 Prove utilizando coordenada que o segmento de reta que une os pontos médios das laterais de um trapézio é paralelo as bases e sua medida é a média aritmética das medidas das bases 62 Ex 18 Prove que se u 14203y e P pi p2 p3y entao Pu a p1d2 p2a3 p3s Ex 19 Determine quais dos conjuntos abaixo sao LI a 112110111 b 111121122 c 101001 205 Ex 110 Exprima o vetor w 11 como combinagao linear de u 21 ev 11 Ex 111 Sejam u 21 e B 13 Mostre que todo vetor cc2 pode ser expresso como combinacao linear de uv Ex 112 Sejam u 111 v 011 e w 110 vetores no espaco a encontre as componentes de um vetor z abc na base formada por u v w b Mostre que se z 0 entado as componentes de z na base formada por uv w sao todas iguais a zero c encontre as componentes de um vetor z 123 na base formada por u v e w Ex 113 Mostre que dois vetores nao nulos u 142a3 e v b1b2b3 sao linear mente dependentes se e somente se existe A tal que a1 4243 Aby Abz Ab3 Utilize esse critério para decidir se os vetores abaixo sao linearmente independentes ou linearmente dependentes a u 123 v 456 b u 103 v 20 6 15 125 1 c u Vv 5 3 63 Ex 114 Utilizando o exercicio anterior mostre que dois vetores nao nulos u a1 4243 ev b1b2b3 sao linearmente independentes se e somente se ao menos um dos determi nantes a ag aa a3 a az ou by bo bo b3 by b3 é nao nulo Ex 115 Determine mn de modo que os vetores u v sejam linearmente dependentes onde a v1mn1w mn2 b v 1m1mw mn4 Ex 116 Sejam u m1m 1 ev m1m0 ew m11 Mostre que os vetores u v e w formam uma base para 0 espaco independentemente do valor de m Ex 117 Dado e1e2e3 uma base Determine condic6es necessarias e suficientes so bre ab de modo que os vetores uv w sejam linearmente independentes com uv w dados por a ueeve e63w ae ben 03 b uee23v e ep 3e3 w ae bez b 2ae3 Ex 118 Dado um tetraedro ABCD Determine a coordenadas dos pontos médios dos lados ABCD BD BC no sistema de coordenadas determinado pelo ponto A e pela base AB AC AD compare com o exemplo 34 22 BASES ORTONORMAIS E COORDENADAS CARTESIANAS Vamos agora explorar algumas das vantagens de se tra balhar com as chamadas bases ortonormais ou mais geral eixo y mente com sistemas de coordenadas cartesianas P xy Lembrando uma base é dita ortonormal se seus vetores ra sao unitarios possuem norma 1 e perpendiculares dois a yj 6 64 O xi eixo X dois Um sistema de coordenadas formado por uma base ortonormal é chamado de sistemas de coordenadas carte sianas A partir deste ponto vamos fixar notacao e utilizar ij para denotar uma base ortonormal para o plano e ijk para 0 espaco Seja B ij uma base ortonormal para V7 O um ponto no plano e BO o sistema de coordenadas cartesianas determinado por eles Dado agora um ponto P no plano considere o vetor r OP e sua representacdo no sistema dada por r xy ou seja r xi yj Como a base em consideragao é ortonormal segue diretamente do Teorema de Pitagoras que 2 12 12 el all Tyill D042 2212 iP lil 24 Assim se denotarmos por r 0 tamanho do vetor r temos que r 4xy A mesma ideia pode ser generalizada para o espaco onde obtemos que se r xi yj zk entao P r r Pty 2 ko k Voltemos por momento para o caso planar e denote por 0 i oxi o angulo entre o eixo OX e o vetor r Neste caso nao é jo f dificil ver que Pea LF x rcos6 y rsen6 Utilizando o Teorema de Pitagoras temos também que a distancia entre os pontos P a1a2 Q bi bz é dada por dPQ yb1 a1 b2 ap E no caso tridimensional distancia entre os pontos P a1a2a3 e Q byb2b3 é dada por dPQ y bi a1 b2 a2 b3 a3 65 Q x2 2 oe P x141 xo x1i Figure 23 Distancia entre dois pontos no plano Observacio 211 E importante observar que para realizarmos os cdlculos acima foi absolu tamente necessdrio supor que o sistema de coordenadas considerado fosse cartesiano Podemos calcular as mesmas quantidades utilizando outros sistemas de coordenadas mas nesse caso as expressoes obtidas serdo diferentes e geralmente mais complicadas Exemplo 212 Suponha fixado um sistema de coordenadas cartesiano Calcule a distancia dos pontos A 102 e B 321 Solucao Temos que dA B AB Como AB B A 221 segue que dAB 2221 3 O Exercicios Nos proximos exercicios as coordenadas s4o expressas num sistema carte siano Ex 21 Dados os vetores abc conforme a figura abaixo Determine as componentes dos vetores abcedeabc 6 120 45 30 3 Vetores a bc respectivamente 66 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 22 Dados os vetores a b c conforme a figura abaixo Determine as componentes dos vetores a b c e de a b c 4 3 3 a b c 135 120 Ex 23 Dados A 3 2 B 3 5 e C 0 3 desenhe o triângulo ABC e ache a A distância entre os pontos A e B b A distância entre os pontos B e C c O vetor BA e o vetor AC d O vetor BA AC e O ponto médio do segmento AC f O ponto na reta AB que dista três vezes mais de A do que de B Duas respostas Ex 24 Dados A 4 8 11 B 3 1 4 e C 2 3 3 desenhe o triângulo ABC e ache a O comprimento dos três lados do triângulo b Os pontos médios dos três lados do triângulo c Os vetores AB BC e CA d A soma AB BC CA Porque essa soma deve ser zero e Os ângulos entre AB e BC Dica use a lei dos cossenos f A área do triângulo g O ponto D tal que ABCD é um paralelogramo Três respostas Ex 25 Qual o ponto do eixo x é equidistante dos pontos A 1 3 e B 3 1 Ex 26 O triângulo ABC com A a 0 B a 0 C 0 y é equilátero Quais são os possíveis valores de y 67 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 27 Três vértices de um retângulo são 2 1 7 1 e 7 3 Determinar o quarto vértice e a área 23 produto escalar ângulo entre dois vetores É de fundamental importância em toda geometria a determinação de medidas angulares Veremos mais adiante que além de diversas outras aplicações ângulos entre vetores ou entre vetores e retas podem ser usados na definição de uma nova forma de representar pontos do espaço Euclidiano coordenadas polares Surge então a pergunta como pode mos utilizar os sistemas de coordenadas para determinar o ângulo entre dois vetores u e v C b A b B u b D b C b D v θ Figure 24 Ângulo entre u e v Conforme já vimos no início do Capítulo 1 entendemos por ângulo entre dois vetores u e v o ângulo θ com 0 θ π formado por representantes de u e v com mesma origem Para determinarmos uma expressão para ângulo entre dois ve tores u e v o primeiro passo é escolher um sistema de coorde nadas cartesiano Σ B O com B i j k e escrever os vetores neste sistema u a1i a2j a3k v b1i b2j b3k Utilizando a lei dos cossenos temos que b O u v v u θ v u2 u2 v2 2uv cosθ 68 e consequentemente 2 2 2 a1 b1 a2 b2 a3 3 ay 3 05 bf b3 b 2 u v cos6 Assim aby abo a3b3 cos ful Iv Ao termo 4 b aybz a3b3 daremos o nome de produto escalar de u por v e denotare mos por u v Resumindo Definigdo 213 Se BO com B ijk é um sistema de coordenadas carte siano u 4a14243y e Vv b1b2b3y entao definimos 0 produto escalar ou produto interno de u e v como uv 440 agb2 a3b3 Além disso os argumentos apresentados anteriormente provam que Proposicao 214 Dados dois vetores u e v temos que uv ulv cos e assim o Gngulo entre esses vetores satisfaz uv arccos Cance lall Iv Como consequéncia imediata da definicao de produto escalar temos Proposicao 215 Dois vetores u e v sdo perpendiculares se e somente se u v 0 Observacao 216 Dado um vetor v xy num sistema cartesiano no plano é interes sante notar que o vetor n yx é ortogonal a v e tem mesma norma de v Note ven xyxy0 Ppape In Vx y IvI De fato veremos no Capitulo 9 Secao 93 que nj yx é obtido rotacionado de 90 o vetor v no sentido antihorario e np y x é obtido rotacionado de 90 0 vetor v no sentido horario 69 Exemplo 217 Determine o angulo entre u i2jkevij2k Solucao Iv 3 1 vovo 2 1 7U 5 6 arccos 5 3 60 O Exemplo 218 Mostre que os vetores u 3i 4j k e v 2i 3j 6k sao ortogonais Solucao uv 341236 32431661260 Logo ue v sao ortogonais O Proposicao 219 O produto escalar possui as seguintes propriedades 1 uvvu 2 uvwuvuw 3 uulul 0 4 uu0 see somente se u 0 5 u Av Auv Demonstracao Se u 414203 ev b1b2b3 ew C1C2C3 1 uv 41b azb2 a3b3 bya baz b3a3 Vu 2 uvtw 41d243 bi 1b2 c2b3 c3 a by C1 apbo C2 a3b3 C3 ab anby a3b3 ayc azc2 4303 uvuw 70 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 3 u u a2 1 a2 2 a2 3 u2 0 4 Se u u 0 então u 0 e consequentemente u 0 Reciprocamente se u 0 temos u 0 0 0 e então u u 02 02 02 0 5 A demonstração desse item é deixada como exercício ao leitor Exemplo 220 Num quadrado ABCD tem se A 3 4 e B 5 6 Quais são as coordenadas dos vetores C e D b A b B b C1 b D1 b D2 b C2 Figure 25 Quadrados de lado AB Solução 1 Denotando as coordenadas de C e D por C c1 c2 e D d1 d2 temos que AB 2 10 BC c1 5 c2 6 CD d1 c1 d2 c2 e DA d1 3 d2 4 O vetor BC é perpendicular ao vetor AB logo o produto escalar entre eles é nulo ou seja BC AB 0 Isto implica que 2c1 5 10c2 6 0 que sim plificando resulta em 2c1 10c2 70 25 Temos ainda que AB BC 104 logo c1 52 c2 62 104 26 Substituindo 25 em 26 teremos que c2 62 4 e logo c2 8 ou c2 4 Quando c2 8 por 25 c1 5 e quando c2 4 então c1 15 ou seja C 5 8 ou C 15 4 O cálculo de D é análogo Solução 2 Uma segunda solução para o exemplo acima faz uso da Observação 216 Temos que AB 2 10 e daí rotacionando AB de 90 no sentido antihorário temos BC AD 10 2 Logo C B BC 5 8 D A AD 7 2 71 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Finalmente se rotacionamos AB de 90 no sentido horário temos BC AD 10 2 Assim C B BC 15 4 D A AD 13 6 Exemplo 221 Mostre que as três alturas de um triângulo são concorrentes em único ponto b A b B bC bB b A b C b O c b a Solução Dado um triângulo ABC então as alturas BB e CC se interceptam num ponto O Sejam então os vetores a OA b OB e c OC Como as retas OB e CA são perpendiculares OB CA 0 b a c 0 b a b c De modo análogo como as retas OC e AB são perpendiculares OC AB 0 c b a 0 c b c a E logo b a c a ou seja a c b 0 OA BC 0 Desta forma a reta OA é perpendicular ao lado BC sendo assim a altura relativa ao vértice A Essa reta intercepta as outras alturas no ponto O e assim as três retas se interceptam num único ponto que é denominado ortocentro do triângulo ABC 231 Projeção Ortogonal 72 Passemos agora a um novo problema Dados dois vetores v e u com u nao nulo queremos decompor o vetor v em dois vetores pq tais que p paralelo a ue q perpendicular a u ou seja V queremos encontrar pq tais que vpq pAu paraalgumA Re qu0 Q u Reescrevendo as condi6des acima temos que p Proj v vpu0 I Figure 26 Projecao de e logo 8 v sobre u vAuu0 vuAljul 0 Desta forma uv As ul e uv p 7 uU u Do mesmo modo podemos ver que o vetor p assim determinado é unico Tal vetor é chamado de projecao ortogonal de v sobre u e é denotado por Proj v Demostramos assim 0 seguinte resultado Proposigao 222 Dado u um vetor ndo nulo e v um vetor qualquer entdo a projecdo ortogonal Proj v de v em u existe e unica uv Proj Vv u 27 Observacao 223 Veja que um modo facil de lembrar da projegdo é observar a Figura 26 e ver que esta um vetor p tal que seu comprimento obedece w v cos 6 uv P viicosa Htinieest Ila e tem mesma direcdao e sentido que u donde temos uv u uv Proj Vv 5 u lull 7 lull ial Note também que o vetor p Proj v ndo depende do comprimento de u Tal fato encontra se expresso no lado direito da Equagdo 27 se observamos que o vetor u aparece duas vezes no seu numerador e ao quadrado no denominador 73 Exemplo 224 Determine a area do triangulo AABC cujos vértices num sistema de coor denadas cartesiano sdo A 12 B 31 eC 25 Solugao Temos que AB 2le AC 13 Além disso n 12 é um vetor ortogonal a AB A area do triangulo AABC é dada por 1 S ABlh 2 AC onde h Proj AC a é a altura do triangulo AABC relativa ao lado AB n 1 Como n AB temos que S sAc n Logo 1 7 S16 5 n6l3 O Exercicios Ex 31 Pela férmula do cos ache os trés angulos do triangulo cujos vértices sao a 2171 e 73 use uma calculadora b 4711314 e 23 3 Ex 32 Se u 211 e v 112 encontre um vetor nao nulo w tal que uwvw0 Ex 33 Seu 212 ev 12 2 encontre escalares ab tais que w au bw ewv0 Ex 34 Prove que os vetores u 7i 3j 6kv 3i 3j 2k e w 6i 16j 15k sao dois a dois perpendiculares Ex 35 Determine os trés angulos de um tridngulo cujos vértices sao 31 52 e 63 Encontre também a area do tridngulo Ex 36 Dados vetores ab ec tais queabc 0com la 3b 5e le 7 Calcule o angulo entre ae b 74 1 Ex 37 Prove que v w Z ilv wl v w Ex 38 Mostre que se as diagonais de um paralelogramo sao perpendiculares entao ele é um losango Ex 39 Decomponha o vetor u i 3j 2k como a soma de dois vetores vj e v2 com v paralelo ao vetor j 3k e v2 ortogonal a este ultimo Ex 310 Suponha que AB seja o diametro de um circulo e seja C outro ponto qualquer desse circulo Mostre que os vetores CA e CB sao ortogonais Ex 311 Prove que a Proj Av A Proj v b Projv w Proj v Proj w Cc Proj Proj v Proj Vv d v Proj w Proj vw Ex 312 Calcule 0 cosseno do angulo formado por duas diagonais de um cubo Ex 313 Prove que u v ul v e que u v ul v se e somente se um vetor é multiplo do outro Desigualdade de Schwarz Ex 314 Prove que u v ul v Desigualdade Triangular Ex 315 Mostre que u v u v se e somente se u v 0 Ex 316 Prove que se u v 0 para todo vetor v entao u 0 Ex 317 Num tridngulo retangulo a altura relativa a hipotenusa é a média geométrica das projecdes ortogonais dos catetos sobre essa hipotenusa Prove esse fato escolhendo um sistema de coordenadas no qual a hipotenusa esta sobre 0 eixo OX e 0 vértice do angulo reto sobre 0 eixo OY 75 Ex 318 Mostre que 0 angulo entre as projecdes Proj u e Proj v é igual ao angulo entre Os vetores u v 24 PRODUTO VETORIAL VETOR PERPENDICULAR A DOIS VETORES DADOS Voltemos nossa atencao agora para um novo problema dado dois vetores nao paralelos u e v como podemos encontrar um novo vetor w perpendicular aos dois vetores dados Note que ao contrario do que ocorre com a projecao este problema nao possui uma tinica solucao De fato se encontrarmos um vetor w satisfazendo as condic6es acima qualquer vetor Aw também satisfara Passemos a solucgdo Como sempre tomemos primeiro uma base ortonormal ijk e fagamos u ai aj a3k e v bji boj b3k Vamos denotar por w xi yj zk o vetor que queremos determinar Como queremos que o vetor w seja perpendicular aos vetores u e v precisamos entao quewu 0e quewv0 Temos assim o seguinte sistema linear AX ary a3z 0 bx boy b3z 0 ou ainda ax agy A3Z byx boy b3z Como u e v pelo exercicio 114 podemos supor sem perda de generalidade que a ag 0 e usando a regra de Cramer concluimos que a3Z ao a3 a2 a2 a3 b3z bo b3 by bo b3 a a2 a a2 ay a2 by bo by by by by 76 e a Aa3Z a a3 az ay by b3z by b3 b3 by y ee USF ES TS sog2 a a2 a a2 ay a2 by by by by b bo Escolhendo ay a2 Z by bo temos que a2 a3 a3 a a a w 35 j 1 k bob bs by by bo Motivados pelos calculos acima definimos Definicao 225 O produto vetorial de u a4203 e v b1b2b3 num sistema de coordenadas cartesiano denotado por u x v é 0 vetor obtido pelo seguinte deter minante formal ij k UXV a4 a2 4 by by bg Antes de continuar apresentaremos algumas propriedades do produto vetorial Teorema 226 Dados os vetores u 414203 V b1b2b3 e w C1C2C3 0 produto vetorial possui as seguintes propriedades 1 Antisimetria ux w w Xu 2 Distributiva uv xX wuxwtvxw a a2 43 3 Produto misto uv xX w uxvw bh bo bg C1 C2 C3 2 22 2 4 jux vil lull ivi luv 5 u x v lul v sen onde 6 é 0 dngulo entre os vetores ue v Demonstracao A demonstracao dos trés primeiros itens é direta e sera deixada como exercicios Para demonstrarmos a quarta propriedade basta observar que 77 22 2 Jul Iv io Jae vo a2 a5 03 02 b5 03 ayy aby 03b3 ajbt atbs abs azby a3b5 a3b3 azby a3b5 a3b3 aybt 2a a2b b2 20030 b3 asb5 20703b7b3 axby atb5 at by 2a a2b1b2 2aa3b1b3 ast aby 2a203b2b3 axbi axbs azb3 a3bz a1b3 a3b ayb2 anb 2 ju xvi A quinta propriedade decorre facilmente da anterior bastando para isso lembrar que 2 242 Ju vi ull v cos 8 e portanto 2 22 2 Ju x vf fall vio fav 22 242 lull lvl lll lvl cos 8 242 2 lull lvlP 1 cos 242 u lvsen 8 O Vamos agora explorar algumas consequéncias geométricas do produto vetorial 241 Area de um Paralelogramo e de um Triangulo Primeiro considere o paralelogramo determinado por dois vetores nao paralelos u e v como na figura abaixo 2 v sen 6 u A altura do paralelogramo é dada por v sen e portanto da propriedade 5 do pro duto vetorial concluimos facilmente que sua area é dada por u v sen u x v Em resumo mostramos que a area do paralelogramo de lados u e v é igual ao comprimento do produto vetorial destes vetores A luxy 78 A partir da expresséo anterior podemos encontrar uma ex Cc D pressdo para a area de um tridngulo AABC Para isso considere é o paralelogramo determinado pelos vetores AB e BC como na é figura abaixo A diagonal BC desse paralelogramo divide este f em dois triangulos de areas iguais Logo a area do tridngulo sera A B metade da area do paralelogramo 1 Aa abr 242 Volume de um Paralelepipedo A seguir vamos calcular o volume de um paralelepipedo em funcao dos vetores u AB v ADewAE h Za me u vVw Areada base u x v Sabemos que o volume do paralelepipedo é dado pelo produto V Ah da area A da base pela altura h Como ja vimos a area da base pode ser calculada por A u x v Ja a altura é dada pela norma da projecao do vetor w sobre 0 vetor u x v Como x Projyyy W uxvw u Xv lu x v segue que u x v w Projaxy Wl 5 Iu x v lu x v uxvw Juxvl 79 Segue portanto que u x vw V Ah lu x v u x v w lu x v Exemplo 227 Sejam A a1a2B b1b2C c1c2 pontos no plano Entao a area do AABC é dada por 1 a a2 1 SAABC 5 det by bo 1 Cy co 1 Demonstracao Considere os vetores a b e c de coordenadas a a421 b b1b21 ec C1C21 E facil ver que eles sao arestas de um tetraedro de altura 1 que tem como base um trian gulo congruente ao triangulo AABC Se Sa agc a area do triangulo AABC 0 volume Vr desse tetraedro é 1 Vr zo A ABC 28 Por outro lado temos que se Vp é o volume do paralelepipedo de arestas a b e c também vale 1 Vr aVP 29 Igualando as equac6es 28 e 29 segue a ay 1 1 1 1 as Saasc 5Vp 5laxbel 5 det by bo 1 Cy C2 1 O O resultado anterior nos da um critério simples para que trés pontos no plano sejam colineares Proposicao 228 Sejam A a1a2B bib2C c1c2 pontos no plano Entdo eles sdo colineares se a drea do tridngulo formado por eles for zero ou seja se a ag 1 by by 10 Cy co 1 80 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Exercícios Ex 41 Calcule o produto vetorial entre a 7i 3j 6k e 5i 15j 13k b 6i 16j 15k e 3i 3j 2k c 3i 3j e 5i 4j Ex 42 Se u 3 41 v 2 3 2 e w 4 2 3 encontre a 2u3v 7w b u w c v w d u v e u v f v u g w v u Ex 43 Dados os vetores u 1 2 1 e v 2 1 0 Expresse o vetor a 2 2 3 como combinação de u v u v Ex 44 Dado b 1 2 1 determine a tal que a é ortogonal ao eixo z e a b 1 1 1 Ex 45 Determine v x y z tal que x y z 1 2 1 1 1 3 x y z 3 1 1 3 Ex 46 Sejam os pontos P 1 1 2 Q 1 2 0 e R 3 1 2 pontos médios dos lados de um triângulo ABC Calcule a área do triângulo ABC 81 Ex 47 Prove queuxvvxu Ex 48 Prove queuvvu Ex 49 Prove que uvwuvuw Ex 410 Prove que ux vwuxvtuxw Ex 411 Prove que u x v pode ser escrito como o determinante formal ij k UXV a4 ad a3 b bo be Ex 412 Prove que uu x v vu x v 0 de dois modos primeiro calculando diretamente e segundo utilizando as propriedades de u x v Ex 413 Mostre que dois vetores u e v sao paralelos se e somente se u x v 0 Ex 414 Prove que em geral u v x w pode ser escrito como o determinante da ma triz que tem como componentes a a2 a3 by by bg Cy C2 6 Ex 415 Dado um triangulo AABC como na figura a seguirUsando o produto vetorial demonstre a lei dos senos ep Iwi ivi al 82 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici bA b B b C α β γ u v w Ex 416 Dado um triângulo ABC e O um ponto qualquer mostre que a área A do triângulo ABC é A 1 2a b b c c a sendo a OA b OB e c OC 25 escolha do sistema de coordenadas Um sistema de coordenadas cartesianas do plano pode ser escolhido tomando qualquer ponto O como origem e qualquer duas retas perpendiculares como os eixos Em geral re sultados geométricos não dependem de como escolhemos nosso sistema de coordenadas mas ao fazermos a escolha correta podemos simplificar significativamente o resolução de um problema É possível por exemplo fazer com que as coordenadas dos vértices de certas figuras geométricas fiquem mais simples aumentando a quantidade zeros em suas coorde nadas simplificando assim a manipulação algébrica Considere por exemplo um triângulo ABC Vamos descrever esse triângulo através de coordenadas A x1 y1 B x2 y2 e C x3 y3 em um sistema de coordenadas Σ Consideraremos o seguinte sistema de coordenadas escolha como eixo x a reta AB e como eixo y a reta perpendicular a AB passando por C Determine o sistema de coorde nadas colocando a origem no ponto O dado pela intersecção dos dois eixos e escolhendo uma base ortonormal i j formada por vetores unitários paralelos a estes eixos Neste sis tema o vértice A tem então coordenadas do tipo a 0 e o ponto B coordenadas do tipo b 0 já que ambos estão sobre o eixo x Já o ponto C que está posicionado sobre o eixo y tem coordenadas do tipo 0 c Veja que com a escolha adequada do sistema de coordenadas conseguimos reduzir o número de variáveis de 6 para apenas 3 83 x3 ys 2 Y2 y x4 41 O x YR0 c a0 0 00 A seguir apresentamos exemplos onde a escolha de um sistema de coordenadas ade quado facilita a demonstracao de propriedades geométricas Vocé consegue demonstrar estas propriedades usando um sistema de coordenadas arbitrario Exemplo 229 Se um tridngulo é isdsceles as medianas dos dois lados de mesmo compri mento possuem o mesmo tamanho Solucao Consideremos 0 mesmo sistema de coordenadas descrito acima Neste sistema temos A 40 B b0 eC 0c Supondo que segmentos CA e CB possuem 0 mesmo comprimento concluimos que Va c CA CB Vb 0 e logo a b Segue que a b oua b Se a b nao temos um triangulo ja que dois vértices coincidem de onde segue que a b Seja M 0 ponto médio de AC Pelo exemplo 211 temos que as coordenadas de M b b 5 5 Analogamente 0 ponto médio M de BC tem coordenadas 3 5 84 Como a mediana de CA é dada pelo segmento BM e a de CB é dada pelo segmento AMg segue que bc 9b7 BM 39 0 VOT e bc 9b AM IG9 Coo TtT e as medianas relativas aos vértices A e B possuem 0 mesmo tamanho Oj Exemplo 230 Num triadngulo retangulo 0 ponto médio da hipotenusa é equidistante dos trés vértices Solucao Para um triangulo retangulo AABC com hipotenusa AB um sistema de coorde nadas adequado é o que toma como origem o vértice C O e como eixos as retas que ligam Ca AeCaB Neste Sistema de coordenadas temos que A a0 B 0b e C 00 O comprimento da y KB 0b hipotenusa é AB Va 0 Ja o ponto médio M da hipotenusa tem coorde ab A a0 nadas M e logo o comprimento da mediana 22 O z é 7 Pol 1 CM P47 iV R H AB 4 4 2 2 Logo temos que a distancia do vértice C a M é metade da distancia entre os vértices A e B e logo M esta equidistante dos trés vértices Oj 0c dc 0c bac y dc y O9 a0 O b0 a0 O b 0 trapézio paralelogramo 85 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Exercícios Ex 51 Mostrar que 5 0 0 2 e 0 2 são os vértices de um triângulo isósceles e achar sua área Ex 52 Sejam A a 0 e B 0 a com a 0 Determine x de modo que o ponto C x x seja o terceiro vértice do triângulo equilátero ABC Ex 53 Dado um paralelogramo ABCD escolha um sistema de coordenadas adequado e mostre que AB 2 BC 2 CD 2 DA 2 AC 2 BD 2 ou seja a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das suas diagonais Ex 54 Num triângulo retângulo a altura relativa a hipotenusa é a média geométrica das projeções ortogonais dos catetos sobre essa hipotenusa Prove esse fato escolhendo um sistema de coordenadas no qual a hipotenusa esta sobre o eixo OX e o vértice do ângulo reto sobre o eixo OY Ex 55 Se no triângulo ABC as medianas que partem dos vértices A e B são iguais prove que os lados AC e BC são iguais logo o triângulo é isósceles Ex 56 Enunciar e demonstrar a recíproca do teorema de Pitágoras Ex 57 Se as diagonais de um paralelogramo são iguais então ele é um retângulo Ex 58 Determine a soma dos quadrados dos comprimentos das medianas do triân gulo ABC sabendo que os lados do δABC medem a b e c 26 o problema do lugar geométrico Até este ponto estudamos como representar algebricamente o espaço euclidiano e como podemos usar tais representações na resolução de alguns problemas geométricos Nesta seção vamos dar uma passo além e iniciar os estudos sobre um dos problemas fundamen tais da geometria analítica o problema do lugar geométrico Em poucas palavras dada 86 uma figura ou condicaéo geométrica queremos determinar uma equacao ou condicoes al gébrica que a represente Ou ainda de modo contrdario dada uma equaao ou condiao algébrica determinar sua representacao geométrica 261 O lugar geométrico de uma equacao Dada uma equacao por simplicidade em duas x y ou trés variaveis x y Z fxy 0 ou gxyz 0 210 cada par ou tripla de numeros reais que satisfizer a equacao acima é dito solucao da equacao e o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a equacao 210 acima é chamado de lugar geométrico da equacao E importante ressaltar que o lugar geométrico como definido acima depende do sistema de coordenados escolhidos Em outras palavras uma certa figura ou condicao geométrica pode ser descrita algebricamente de varias formas distintas dependendo dentre outros fa tores do sistema de coordenadas escolhido Por esta razao buscaremos dentre as possiveis representacdes aquela que proporcione a maior simplicidade algébrica Durante esse processo e em varios outros podemos substituir uma certa equaao por outra que possua as mesmas soluc6es ou seja que defina o mesmo lugar geométrico Neste sentido duas equacoes algébricas sao ditas equivalentes se definem 0 mesmo lugar ge ométrico Exemplo 231 Analisemos a equacao x 2 y 3 25 Observe que tomando C 23 a distancia r de um ponto qualquer xy no plano euclid iano até C é dada por r x 2 y3 ou de modo equivalente x 2 y3 Deste modo vemos que um ponto xy no plano satisfaz a equagdo acima se e somente se sua distancia para o ponto C 23 for igual a 5 Em outras palavras escolhido o sistema de coordenadas descrito acima o lugar ge ométrico da equagao 2 2 xa yby r 87 é um circulo de raio r e centro no ponto de coordenadas ab Exemplo 232 Generalizando o exemplo anterior um circulo de centro C e raio r é definido como o conjunto dos pontos cuja distancia ao centro é igual a r Esta é a condicao ge ométrica que descreve o circulo Busquemos agora uma representacao algébrica Se escol hermos um sistema de coordenadas cartesiano no qual C ab entao todo ponto P xy no circulo deve satisfazer CP r ou seja 2 2 Vxa yb1 ou ainda a equacao algébrica equivalente 2 2 xa yb P E importante observar que um ponto pertence ao circulo ou seja esse ponto dista r do centro se e somente se satisfizer a equaciio x a yb r Em geral sempre que tivermos este tipo de relagaéo entre uma curva e uma equacao diremos que esta é a equacdo da curva Definigado 233 Diremos que uma equacao f xy 0 é a equacao de um dado lugar geométrico se todo ponto que satisfaz a equacao pertence ao lugar geométrico e todo ponto que pertence ao lugar geométrico satisfaz a equacao Exemplo 234 Dado um sistema de coordenadas cartesiano lugar geométrico conhecido descrito pelo eixo x é formado por todos os pontos cuja segunda coordenada y é zero ou seja a equacao do eixo x é y 0 Exemplo 235 Como vimos x a yb 1 é a equacio do circulo de raio r e centro em P ab Exemplo 236 Determinar a equacao do lugar geométrico formado por todos os pontos cuja a distancia a um ponto fixoF é igual a distancia a uma reta fixa d Solucao Dados uma reta fixa d chamada diretriz e um ponto fixo F chamado foco a parabola é 0 conjunto O F 88 dos pontos P equidistantes do foco e da diretriz ou seja o ponto P tal que P5 PF onde D é0 ponto de d mais préximo de P A reta passando por F perpendicular a d é chamada eixo da parabola O ponto de interseccao entre o eixo da parabola e a parabola é chamado vértice da parabola Observe que o vértice esta localizado na metade da distancia do foco a diretriz Escolheremos como sistema de coordenadas os eixos formados pelo eixo da parabola e a reta passando pelo vértice da parabola perpen dicular ao eixo Essa ultima reta é paralela a diretriz P L Im P 2 da parabola LA oe Seja 2m a distancia entre o foco e a diretriz d No sistema de coordenadas que adotamos F tem coor O1 FR mm 0 denadas m0 e a equacao da diretriz 6 x m Como P satisfaz P Pe temos que rmM Vxm y2xm Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade concluimos que 2 2 xm y x m m 2mx 37 y m 2mx x y 4mx é a equacao satisfeita pelos pontos da parabola neste sistema de coordenadas Oj Interseccao Dadas duas equacdes fxy 0 g xy 9 Os pontos que pertencem ao lugar geométrico de ambas as equac6es é chamados de pontos de interseccao Analiticamente as coordenadas de tal ponto satisfazem ambas as equacoes A interseccao de duas equacoes pode ser vazia neste caso diremos que os seus lugares geométrico nao se interceptam Exemplo 237 Determinar analitica e graficamente os pontos de interseccao de 89 x120 y 3x 0 Solugao Primeiro observemos que x 12 0 é a equacao de uma reta paralela ao eixo y enquanto y 3x 0 é a equacdo de uma parabola com vértice na origem e diretriz paralela ao eixo y Assim 0 conjunto dos pontos de interseccao dos dois lugares geométricos é formado de no maximo dois pontos Analiticamente concluimos da primeira equacado que todo ponto de interseccao xy deve ter x 12 Substituindo na equacao da parabola encontramos que y 36 e portanto y 6 De modo que os pontos de interseccao sao 126 e 12 6 O Exercicios Ex 61 Escrever a equacao do lugar geométrico dos pontos no plano que satisfazem a condicao a Oconjunto dos pontos P tal que P esta sempre duas unidades a esquerda do eixo Y b Oconjunto dos pontos P tal que P dista sempre duas unidades do eixo X c Oconjunto dos pontos P tal que a abscissa de P é igual ao inverso da sua ordenada d Oconjunto dos pontos P tal que P esta a distancia igual do eixo x e do eixo y Ex 62 Determine a equacao do lugar geométrico de um ponto que se move de modo de modo que a soma das distancias a dois pontos F c0 e FcO constante igual a 2a Ex 63 Determinar a equacao do lugar geométrico de um ponto no espaco que se move de modo que a soma das distancias a dois pontos F c00 e Fc00 é constante igual a 2a Ex 64 Dados dois pontos dois pontos F c00 e Fc00 determinar a equacdo do lugar geométrico de um ponto P que se move no espaco de modo que PF PF 2a 90 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 65 Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de modo que a distância ao ponto 1 0 0 é sempre igual a distância ao plano YZ 27 coordenadas polares Nesta seção estudaremos uma nova forma de descrever a localização de pontos no plano euclideano E2 as coordenadas polares A principal motivação para a utilização desse sis tema de coordenadas é que neste sistema curvas com algum tipo de simetria em relação a origem O do plano como por exemplo o círculo e a elipse podem ser descritas de maneira mais simples que nos sistemas de coordenadas vetoriais Num sistema de coordenadas polares um ponto P é localizado no plano em relação a uma semireta OA A origem O dessa semi reta é denominada origem do sistema de coordenadas polares ou polo e a semireta OA é dito eixo polar b O b A b P θ As coordenadas de um ponto P num sistema de coordenadas polares é um par r θ onde r é a distância do ponto ao polo isto é r dO P e θ é o ângulo orientado que a semireta OP faz com a semireta OA Claramente a posição do ponto fica bem determi nada se conhecemos r e θ O par r θ é denominado coordenadas polares do ponto P e neste caso escreveremos simplesmente P r θ Como θ é o ângulo orientado entre o eixo OA e a reta OP seus valores podem ser positivo ou negativo conforme a orientação no sentido antihorário ou horário do ângulo Por outro lado o raio r sendo a distância de P a origem é naturalmente um número real positivo porém podemos estender seu significado de modo a termos raios negativos Para isso convencionamos que o ponto r θ com r 0 deve ser construído do seguinte modo construímos uma semireta faz uma ângulo θ com o eixo polar e estendemos essa semireta marcarmos o ponto r θ como sendo o ponto sobre a extensão da semi reta que dista r do polo O 91 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 0 1 2 3 4 5 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o P1 P2 P3 P4 P1 2 60o P2 4 120o P3 2 0 P4 5 240o Figure 27 Coordenadas polares b O b P r θ r θ b P r θ r Uma diferença fundamental entre os sistemas de coordenadas cartesianas e o sistema de coordenadas polares é que em coordenadas polares um ponto P pode ser descrito por uma infinidade de coordenadas Por exemplo a origem O é descrita por todas as coordenadas da forma 0 θ enquanto que um ponto P r θ distinto da origem é descrito por todas as coordenadas da forma r θ 2πn e r θ π 2n 1 Todo ponto distinto da origem possui pelo menos uma coordenada na qual o raio é positivo e o angulo θ esteja entre 0 θ 2π Denominamos esse par como o conjunto principal de coordenadas polares do ponto em questão 271 Relação entre Coordenadas Cartesianas e Polares A cada sistema de coordenadas polares podemos associar um sistema cartesiano escol hendo como a origem o polo o eixo x como o eixo polar e o eixo y como a reta perpendic ular ao eixo polar passando pela origem Esse sistema de coordenadas é chamado sistema cartesiano associado Quando ao tratarmos de coordenadas polares nos referirmos as 92 coordenadas x y eixos x ou y etc de um sistema cartesiano este sempre sera 0 sistema cartesiano associado Observe a Figura 28 y Yob 222222259 P r 0 tk O Xo xX Figure 28 Coordenadas polares E facil ver que xo rcos6 Yo rsen 2442 r x YM tga 2 8 Xo Assim temos que as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas do sistemas asso ciado se relacionam segundo a seguinte tabela Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares r cos 0r sen 6 r0 xy x2 7 arctg Exemplo 238 Determinar as coordenadas retangulares do ponto P cujas coordenadas polares sao 3 120 Solucao Neste caso r 3 e 0 120 logo as coordenadas sao 1 3 6 32 211 x 1rcos 0 5 5 211 3 3V3 y rsen 6 33 3Vv3 212 2 2 93 3 3V3 O ja P O u seja 59 Exemplo 239 Determinar as coordenadas polares do ponto cujas coordenadas retangu lares sao 11 Solugdo Temos que r 11 V2e que 6 arctg 1 Para 0 277 temos 7 67 que a7 Logo o conjunto principal de coordenadas do ponto é 1 ir 7 7 Outras coordenadas possiveis para 0 ponto sao 1 a7 2c e 1 a7 7 27n 1 O Exemplo 240 Determinar a equacdo retangular do lugar geométrico cuja equagao polar é 2 1cosé Solucao A equacao dada é equivalente a r rcos 2 Substituindo r e rcos 6 temos tyx27yx2 Transpondo x e elevando ao quadrado temos P y 24x que simplifica para y 4x 1 uma parabola O Exemplo 241 Mostre que a distancia d entre os pontos 1161 r262 em coordenadas polares é d yr 173 2ryr2 cos6 62 Solucao Usando a lei dos cossenos temos PQ OP OQ 2IOPOQ cos42 61 213 rt et 2rjr2 cos2 61 214 94 Q 0 E consequentemente a distancia do ponto P ao ponto Q é PQ 77 13 2rir2 cosO 61 O 95 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 3 RE TAS E P LANOS Dando continuidade ao nosso estudo sobre lugares geométricos e suas equações vamos nos concentrar agora no estudo de dois elementos geométricos fundamentais da geometria as retas e os planos Ressaltamos que em todo este capítulo utilizaremos um sistema de coordenadas carte siano i j k O 31 equações da reta Um dos postulados da geometria Euclidiana nos diz que dados dois pontos no espaço ex iste uma única reta contendo estes pontos Isso nos leva ao seguinte problema dados dois pontos A e B determinar a equação da reta r que passa por estes dois pontos Para isto observe que dado um ponto X em r o vetor AX é paralelo ao vetor AB e portanto existe um escalar t R tal que AX t AB Assim temos que X A AX A t AB e considerando A a b c e v AB v1i v2j v3k vemos que um ponto X x y z pertence a reta r se e somente se AX vt ou ainda r X A vt 31 Expandindo obtemos x y z a b c v1 v2 v3 t 32 97 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici ou de forma mais simplificada r x a v1t y b v2t z c v3t 33 A equação 31 é conhecida como equação vetorial da reta r e nestas condições o ponto A é chamado ponto inicial e o vetor v é dito vetor diretor da reta reta r As equações em 33 são chamadas as equações paramétricas da reta r Heuristicamente pensando no parâmetro t como tempo podemos entender esta equação como a trajetória de um ponto que se move no espaço tendo o ponto A como o ponto inicial e o vetor v como a velocidade e assim para cada valor de t obtemos um ponto no espaço Outra forma de representar a reta r pode ser obtida ao isolarmos o parâmetro t nas equações paramétricas Assim se em 33 tivermos v1 0 v2 0 e v3 0 podemos eliminar o parâmetro t e obter x a v1 y b v2 z c v3 chamadas de equações da reta r na forma simétrica É importante observar que a equação de uma reta em qualquer uma de suas formas não é única De fato as equações dependem fundamentalmente da escolha do ponto inicial e do vetor diretor gerando assim uma infinidade de equações para representar um mesma reta Para entender esta afirmativa consideremos uma reta r X A vt Escolhendo um ponto B em r podemos trocar o ponto inicial por B e assim representar r por r X B vt Do mesmo modo trocando o vetor diretor v por outro vetor v paralelo obtemos que X A vt é também uma equação vetorial para r veja exercício Exemplo 31 Encontre as equações da reta que passa pelos pontos A 0 1 1 e B 1 3 0 Solução Escolhendo v AB 1 2 1 como vetor diretor e A como ponto inicial obte mos a equação vetorial r X A vt x y z 0 1 1 1 2 1 t As equações paramétricas ficam então x t y 1 2t z 1 t 98 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici As equações simétricas para essa reta são obtidas isolando o parâmetro t nas equações anteriores ou seja x y 1 2 z 1 1 Exemplo 32 Dada a reta r de equação paramétricas r X 1 3 2 1 1 2t 1 Encontre três pontos pertencentes a essa reta 2 Encontre um conjunto de equações vetoriais para essa reta na qual o ponto inicial seja distinto 3 Encontre um conjunto de equações vetoriais para essa reta na qual o vetor diretor seja distinto Solução 1 Claramente o ponto 1 3 2 pertence a essa reta Para obter outros pontos desta reta bastam que escolhamos valores distintos para o parâmetro t Assim se t 1 temos que 1 3 2 1 1 2 2 4 4 pertence a reta Tomando t 2 temos que 1 3 2 21 1 2 1 1 2 pertence a reta 2 Substituindo o ponto inicial por outro ponto pertencente a reta obtemos equações com as propriedades exigidas Escolhendo por exemplo o ponto 1 1 2 obtemos a equação vetorial r X 1 1 2 1 1 2t 3 Substituindo o vetor diretor por um de seus múltiplos não nulos obtemos equações com as propriedades exigidas Se por exemplo multiplicarmos o vetor diretor por 1 2 encontramos a equação vetorial r X 1 1 2 1 2 1 2 1t Exemplo 33 Verifique se os pontos A 4 1 5 e B 0 0 0 pertencem a reta r 1 1 2 1 0 1t 99 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Solução Para que o ponto A pertença a reta r é necessário que exista t R tal que 4 1 5 1 1 2 1 0 1t Ou seja deve existir t tal que o sistema de equações 4 1 t 1 1 0t 5 2 t tenha solução O sistema acima possui solução t 3 e logo o ponto A pertence à reta r De modo análogo para que o ponto B pertença a reta r é necessário que exista t R tal que 0 0 0 1 1 2 1 0 1t ou seja deve existir t tal que o sistema de equações 0 1 t 0 1 0t 0 2 t tenha solução Como sistema acima não possui solução o ponto B não pertence à reta r Exemplo 34 Identifique o lugar geométrico dado pelas equações 2 3x 7 2y 2 3 5z 1 2 Solução Dividindo os numeradores e os denominadores de cada fração pelo coeficiente das variáveis obtemos x 2 3 7 3 y 1 3 2 z 1 5 2 5 Esta são as equações na forma simétrica de uma reta E portanto o lugar geométrico é uma reta passando pelo ponto 2 3 1 1 5 com vetor diretor 7 3 3 2 2 5 100 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Exemplo 35 Verifique se as retas r X 1 1 1 1 0 1t e s X 0 4 3 1 1 0t se interceptam Solução Para que um ponto P pertença simultaneamente as retas r e s devem existir números reais t1 e t2 tais que P 1 1 1 1 0 1t1 e P 0 4 3 1 1 0t2 De onde encontramos que 1 1 1 1 0 1t1 0 4 3 1 1 0t2 Resolvendo o sistema acima encontramos t1 2 t2 3 Como o sistema possui solução concluímos que as retas r e s se interceptam Para determinar o ponto de intersecção substituímos t t1 na equação P 1 1 1 1 0 1t1 e obtemos P 3 1 3 É importante observar que para determinarmos se as retas interceptam usamos parâmet ros distintos para cada reta Isso é fundamental pois o ponto P apesar de pertencer a ambas as retas é descrito em cada conjunto de equações por um valor distinto de t Exercícios Ex 11 Dados v e v vetores não nulos paralelos ou seja v λv Mostre que r X A vt e s X A vt são equações vetoriais para a mesma reta isto é mostre que se P r P A vt0 para algum t0 R então P s existe t 0 R tal que P A vt 0 Ex 12 Determine as equações na forma paramétrica e na forma simétricas das seguintes retas a A reta que passa pelos pontos A 1 4 2 e B 0 1 1 b A reta que passa pelos pontos A 1 0 2 e B 3 1 1 c As retas que determinam os eixos x y z d A reta paralela ao eixo z que passa pelo ponto 1 2 1 e A reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto 1 2 1 f A reta paralela a reta 1 2x 3 y 4 2z 1 4 que passa pelo ponto 2 1 0 101 g Areta paralela a reta x13t y ot zl1t que passa pelo ponto 2 10 311 Equacgées da reta no plano No caso bidimensional as equagdes que descrevem as linhas re B tas podem ser descritas de modo mais simplificado Comecamos V observando que de modo andalogo ao caso tridimensional escol hidos um ponto inicial A e um vetor diretor v esta reta pode ser descrita vetorialmente como rXAvt 34 Nesse caso a expressao em coordenadas fica x a v t 35 Yy b 02 Se v1 V2 0 podemos escrever a forma simétrica das equacoes da reta no plano xa yb O41 7 02 ou ainda 02 bxa y oe 02 O numero real m é denominado coeficiente angular da reta r e admite uma O71 interpretacao geométrica muito simples o coeficiente angular é a tangente do angulo an gulo entre a reta e o eixo x Com essa definicao é facil ver que para as retas nao paralelas ao eixo y podemos escolher o vetor diretor como i mj e assim obter equacgao afim ou reduzida da reta bidimensional ymxn onde n b ma 102 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici v1i v2j θ As retas paralelas aos eixos coordenados v1 0 ou v2 0 são especiais Para as retas paralelas ao eixo y ou seja retas com vetor diretor j o coeficiente angular não está definido já que m v2 v1 Para obter uma equação para este tipo de reta basta observar que todos os pontos possuem a primeira coordenada coordenada x iguais Ou seja se a reta passa pelo ponto A a b então todo ponto x y em r é do tipo a y e portanto sua equação será dada por x a Do mesmo modo se a reta é paralela ao eixo x e passa por um ponto A a b então sua equação é dada por y b xconstante b yconstante b A Figure 31 Retas paralelas aos eixos coordenados Observação 36 É fácil ver que a equação de toda reta no plano pode ser escrita na forma ax by c 0 com a b c constantes reais Tal forma é conhecida como forma canônica ou equação carte siana da reta no plano A equação na forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa isto é ax by c 0 e ax by c 0 representam uma mesma reta se e somente se existe λ R tal que a λa b λb e c λc Por quê Exemplo 37 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto 1 1 e que faz ângulo de 60o com o eixo x Exemplo 38 Seja r a reta que passa pelos pontos x1 y1 e x2 y2 Mostre que o coefi 103 ciente angular da reta r é A y21 x2 X1 Solucao O vetor diretor dessa reta é x2 x1 i Y2 1j E consequentemente m pon O xX2 X1 Exemplo 39 Mostre que a equacao da reta passando pelos pontos A x1y1B x2Y2 pode ser escrita como x y 1 XY 10 X2 Y2 1 Solucao Seja P xy um ponto qualquer O ponto P pertence a reta determinada pelos pontos A e B se e somente se A B P forem colineares e o resultado segue do critério da proposicao 228 O Exercicios Ex 13 Desenhe a reta que passa por 13 e 30 Determine sua equacao e onde ela intercepta os eixos Ex 14 Determine as equacdes paramétricas e na forma canénica das retas que passam pelos pontos A e B a A 35 e B 23 b A 01 eB 10 Ex 15 Determine as equacdes paramétricas e na forma simétrica se existirem das retas que passam pelos pontos A e B a A 351 eB 232 b A 010 e B 100 c A 011 e B 000 104 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici d A 3 2 1 e B 6 1 4 Ex 16 Escreva as equações do movimento do ponto P x y z que começa em 3 1 5 e que se move retilineamente e uniformemente na direção do vetor 2 6 3 com velocidade v 14 Ex 17 Escreva as equações do movimento do ponto P x y z que se move retilin eamente e uniformemente e percorreu a distância distância entre os pontos 7 12 5 e 9 4 3 no intervalo de tempo t1 1 e t2 4 Ex 18 Duas partículas P1 e P2 se movem retilineamente e uniformemente A primeira partícula inicia seu movimento em A 5 4 5 e se move com velocidade v 14 na direção do vetor 3 6 3 a segunda partícula começa no ponto B 5 16 6 e se move com velocidade v 13 na direção oposta ao vetor 4 12 3 a Escreva as equações de movimento para cada partícula b Mostre que suas trajetórias se interceptam e ache o ponto P de intersecção c Determine o tempo que a primeira partícula gasta para ir de A até P d Determine o tempo que a segunda partícula gasta para ir de B até P Ex 19 Dados A 1 2 3 e B 4 5 6 determine a equação paramétrica da reta que passa por A e B Determine também os pontos onde essa reta corta os planos coordenados XY XZ e YZ Ex 110 Os lados de um triângulo estão sobre as retas y 2x 1 y 3x 2 e y 1 x Determine os vértices desse triângulo Ex 111 Dado A 1 2 Determine o ponto B tal que o triângulo OAB seja equilátero Ex 112 Determine a equação das três medianas de um triângulo com vértices a 0 b 0 0 c Ex 113 Os pontos A 2 5 e B 14 1 são simétricos em relação a uma reta Determine a equação padrão e paramétrica dessa reta 105 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 114 Chama se baricentro de um triângulo o ponto de encontro das três medianas Determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC nos seguintes casos a A 1 5 B 3 2 C 2 4 b A x1 y1 B x2 y2 e C x3 y3 Ex 115 Determine as coordenadas do ponto de trissecção de uma mediana o ponto que está a 2 3 do caminho do vértice ao ponto médio do lado oposto e prove que não somente ele satisfaz a equação das outras duas medianas mas que também ele é o ponto de trissecção das outras duas medianas Conclua que as três medianas são concorrentes ie elas passam pelo mesmo ponto Dica Para triângulo genérico as coordenadas podem ser escolhidas de modo que os vértices sejam 0 0 0 a e b c Ex 116 O ponto em que duas retas não paralelas se encontram deve satisfazer ambas equações Determine o ponto de intersecção de 3x 4y 1 e 4x 6y 14 Ex 117 Determine a inclinação o ponto de intersecção com o eixo y e desenhe Quando a inclinação ou o ponto de intersecção não existir diga a 3x 4y 6 b 2x 3y 6 c 7y 9 0 d x a y b 1 e y mx b f bx ay 0 g 4x2 9 h xy2x 3y 4 0 i x cosα y senα h indique h e α em sua figura j x 3 2t y 1 3t Nos próximos exercícios ache a equação da reta e desenhe uma figura de cada Ex 118 A linha que passa por 5 7 perpendicular a 4x 5y 10 Ex 119 Duas retas por 2 3 uma paralela e outra perpendicular a 3x 2y 5 0 106 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 120 A reta que passa por a 0 perpendicular a x a y b 1 Ex 121 No triângulos de vértice a 0 b 0 0 c a ache as equações das três alturas b ache as equações das três medianas c prove que as três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do triân gulo d prove que as três medianas se encontram num ponto O chamado circuncentro do triângulo Ex 122 Encontre duas linhas retas de inclinação 2 3 que fazem com os eixos coordena dos um triângulo de área 4 3 Ex 123 Mostre que para quaisquer valores de s e t as retas 2s 3t x 3s 2t y 5s 4t passam pelo mesmo ponto Determine esse ponto e mostre também que toda reta que passa por esse ponto é representada por uma equação da forma acima para uma es colha conveniente de s e t Ex 124 Determine a e b de modo que as equações x at 1 e y bt 5 sejam uma representação paramétrica da reta y 2x 3 Ex 125 Identifique a linha cujas equações são 2x 1 4y 8 3z 5 Determine o vetor diretor e três pontos que pertençam a essa reta Ex 126 Faça o mesmo para a reta 2x 3 e 4y 5 Ex 127 Determine a equação padrão da reta 3x 2y 5z 6 2x y 3z 0 Escreva a equação da reta na forma paramétrica Ex 128 Encontre a equação da reta perpendicular ao plano que passa pelos pontos 3 4 2 1 5 3 2 1 4 e que passe pela origem 107 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 129 Sejam P 1 0 1 e Q 0 1 1 Em cada um dos casos a seguir ache um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1 2 a A 1 2 1 B 1 2 3 b A 1 3 2 B 2 2 2 c A 3 0 2 B 2 1 2 d A 3 2 1 B 0 0 1 Ex 130 A reta que intercepta o eixo x no ponto a 0 e o eixo y no ponto 0 b sendo ambos os pontos distintos da origem Mostre que a equação dessa reta pode ser escrita como x a y b 1 Ex 131 a Considere uma reta r contida no plano de equação ax by c 0 Mostre que o vetor n a b é normal a todo vetor diretor de r b Mostre que toda reta r contida no plano normal ao vetor n a b tem uma equação na forma ax by c 0 para algum c R Ex 132 Determine a equação da reta que passa a uma distância h da origem e cujo seg mento de tamanho h forma um ângulo α como o eixo x veja h α Dica Determine os pontos onde a reta intercepta o eixo x e o eixo y em termos de h α e use o resultado do item a 108 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 32 equações do plano 321 Equações Paramétricas e Vetoriais do Plano b P0 b P1 b P2 u v b P Passemos agora a um novo problema determinar uma equação ou conjunto de equações que rep resentem um dado plano no espaço euclidiano Primeiro lembremos que dados três pontos P0 P1 e P2 não colineares existe um único plano π passando por esses pontos Seguindo então as mesmas ideias utilizadas no caso da reta para determinar as equações de π utilizaremos um ponto inicial por exem plo P0 em conjunto com vetores u P0P1 determinados pelos pontos escolhidos Tome agora um ponto P qualquer deste plano e observe que o vetor P0P é paralelo ao plano π e portanto coplanar aos vetores u e v Como os pontos P0 P1 e P2 são não colineares concluímos que os vetores u e v são linearmente independentes e assim pelo Teorema da Base podemos escrever o vetor P0P como combinação linear de u e v isto é existem escalares s t R tais que P0P us vt e portanto P P0 us vt 36 Assim como no caso das retas a equação 36 é chamada de equação vetorial do plano Escrevendo P x y z P0 x0 y0 z0 u u1 u2 u3 e v v1 v2 v3 obtemos x x0 u1s v1t y y0 u2s v2t z z0 u3s v3t encontrando assim equações paramétricas do plano Vale comentar que assim como no caso das retas as equações apresentadas acima não são únicas pois dependem do ponto e dos vetores considerados Exemplo 310 Encontre as equações vetorial e paramétricas do plano π determinado pelos 109 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici pontos P0 1 0 1 P1 1 2 3 e P2 3 1 0 Solução Definindo u P0P1 2 2 2 e u P0P2 2 1 1 a equação vetorial de π fica π P 1 0 1 2 2 2s 2 1 1t A forma paramétrica é encontrada ao olharmos coordenada por coordenada ou seja x 1 2s 2t y 2s t z 1 2s t 322 Equação Geral de um Plano b P1 b P n Na seção anterior vimos como encontrar a equação de um plano a partir das coordenadas de três pon tos não colineares neste plano Mas a geometria Eu clidiana nos dá uma outra forma de encontrarmos a equação de um plano Para isso vamos primeiro lem brar que dada uma reta e um ponto P1 podemos en contrar um único plano π que contenha o ponto P1 e que seja ortogonal a reta dada Observe que neste resultado a reta serve apenas para determinar uma direção Isso nos permite portanto substituir esta reta por um vetor paralelo a ela Neste sentido dado um plano π dizemos que um vetor n não nulo é normal a π se n é ortogonal a todos os vetores paralelos a π É fundamental notar que todo plano possui uma infinidade de vetores normais veja o exercício 23 Sejam dois pontos P1 x1 y1 z1 e P x y z no plano π Como o vetor P1P é perpendicular a n a b c calculando o produto interno obtemos que ax x1 b y y1 cz z1 0 e assim ax by cz ax1 by1 cz1 e assim definindo d ax1 by1 cz1 encontramos que ax by cz d para qualquer ponto P x y z pertencente ao plano Em resumo determinamos que se um ponto P x y z pertence ao plano π então suas coordenadas satisfazem ax by cz d 110 Reciprocamente se as coordenadas do ponto P xyz satisfazem a relagao ax by cz d tomando P x1121 teremos pela definicao de d que d ax by cz e subtraindo obtemos que ax 2x1byy1 ez2z1 0 Ou seja o vetor PP é ortogonal ao vetor n e consequentemente paralelo a 77 Observe que para que o plano fique bem determinado o vetor n abc deve ser nao nulo ou seja é necessério que a b c 4 0 A equacao ax by cz d é chamada de equagao geral do plano e dada esta equacao é facil recuperarmos um vetor normal ao plano Mais precisamente teremos n abc Exemplo 311 Encontre a equacao geral do plano passando pelos pontos A 210B 332 eC 124 Solucao Como AB e AC sao paralelos ao plano que queremos um possivel vetor normal a esse plano é dado por n AB x AC Calculando obtemos i jk ABx AC 1 22 1 1 4 e logo n AB x AC 6 63 Segue dai que a equacao geral do plano é da forma 6x 6y 3z d Para determinar d basta notar que o ponto A 210 pertence ao plano e logo deve satisfazer esta equacao Assim obtemos 626130d e logo a equacao geral do plano é 6x 6y 3z 6 O Exemplo 312 Encontre a equacao geral do plano com equacao vetorial P 012 312t 121s Solucao O vetor normal ao plano nesse caso é n 312 x 121 315 111 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici e logo a equação do plano é da forma 3x y 5z d Como 0 1 2 pertence a esse plano temos que 3 0 1 5 2 d e a equação geral do plano fica 3x y 5z 9 Exemplo 313 Encontre equações paramétricas para o plano cuja equação geral é 2x 3y z 1 Solução Apresentaremos duas soluções possíveis para este problema Solução 1 O primeiro modo é encontrar três pontos não colineares do plano Podemos por exemplo fazer x 0 e y 0 Substituindo na equação geral encontramos z 1 e portanto o ponto A 0 0 1 pertence ao plano De modo análogo fazendo x 0 e y 1 e depois x 2 e y 1 encontramos que B 0 1 2 e C 2 1 0 pertencem ao plano Como AB 0 1 3 e AC 2 1 1 são LI os pontos A B C não são colineares e assim um conjunto possível de equações paramétricas para π é x 0 2s y 0 t s z 1 3t s Solução 2 Outro modo mais eficiente é o que chamamos de isolar os parâmetros Para isso fazemos x t e y s e substituindo em 2x 3y z 1 obtemos que z 1 3s 2t Assim outro conjunto possível de equações paramétricas para este plano é dada por x y z t s 1 3s 2t Exercícios Ex 21 Determine as equações paramétricas do plano a passando pelos pontos 4 3 1 3 0 4 e 0 0 3 b pelo ponto 2 1 3 e contendo a reta z 1 2 y 2 3 z 4 5 c passando pelos pontos a 0 0 0 b 0 e 0 0 c 112 Ex 22 Mostre que os pontos 123312546 e 912 sao colin eares Ex 23 Seja 7 passando pelos pontos A BC nao colineares a Mostre que para qualquer escalar A o vetor AAB x AC é um vetor normal a 7t b Mostre que todos os vetores normais a 7 sao da forma AAB x AC Ex 24 Mostre que a equacao rnd 0 representa um plano perpendicular ao vetor n Ex 25 Determine a equacao geral do plano a passando pelos pontos 431 304 e 003 b passando pelo ponto 101 e de vetor normal 3 45 c passando pelos pontos A 401 B 320 eC 123 d pelo ponto 213 e contendo a reta z1 y2 24 2 3 5 e passando pelos pontos a00 0b0 e 00c f por 115 e contendo a reta Ix 3y2z2 2xyz4 g de equacgdo paramétrica X 121 101t 342s h de equacao paramétrica X 132 221t 512s Ex 26 Dado um plano ax by cz d Mostre que a a 0 entao uma equacao paramétrica do plano é xyz oe co4 4 ts 1Y a a a J b b 0 entao uma equacao paramétrica do plano é xyz t a cou 4 s 1Y b b b 113 c c 0 entao uma equacao paramétrica do plano é xyz ts11 2s 44 1Y yor C C C 114 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 4 P OSI Ç ÕE S RE LAT I VAS Nosso objetivo nesta seção é entender a posição relativa entre duas retas dois planos e ou uma reta e um plano isto é se estes se interseccionam se são paralelos etc 41 posição relativas entre retas 411 Posição Relativas entre Retas no Plano Começaremos com o estudo da posição relativa de duas retas no plano Lembremos primeiro que duas retas em um mesmo plano podem ser coincidentes ie são a mesma reta paralelas concorrentes ou seja se interceptam em um único ponto Tomemos então duas retas dadas em forma vetorial como r A vt e s B ut Como a direção de uma reta é dada pelo seu vetor direcional temos que as retas r e s são paralelas se seus vetores diretores v e u são paralelos ou seja se um é múltiplo do outro Duas retas coincidentes r e s são coincidentes se possuem o mesmo lugar geométrico isto é o mesmos pontos Assim um primeiro requisito para coincidência é claramente paralelismo Uma vez estabelecido o paralelismo basta agora que localizemos um ponto comum as duas retas Podemos por exemplo verificar se o ponto inicial de r ponto A pertence à reta s Caso as retas não possuam pontos em comum então elas serão paralelas não coincidentes Como as retas estão em um mesmo plano uma vez que não sejam paralelas e ou coinci dentes elas claramente só podem possuir um ponto em comum Resumindo Proposição 41 Duas retas em um mesmo plano são Paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos um do outro 115 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Neste caso elas podem ser Coincidentes se o lugar geométrico de r e de s são o mesmo Neste casos as retas são paralelas e passam pelo mesmo ponto Para verificar se suas retas paralelas são coincidentes é suficiente verificar se elas possuem um ponto em comum Por exemplo se o ponto B pertence a reta r Paralelas não coincidentes se não possuem pontos em comum Concorrentes ou seja se interceptam em um único ponto Neste caso os vetores diretores não são paralelos u v u v Exemplo 42 Determine a posição relativa entre as retas 1 r 1 2 3 1t e s 4 1 3 2 1 2t 2 r 1 2 3 1t e s 2 2 1 1 3t 3 r 1 2 3 1t e s 2 2 0 1t Solução 1 Coincidentes Os vetores diretores são paralelos ie múltiplos um do outro e o ponto 4 1 pertence a r 2 Paralelas não coincidentes Os vetores diretores são paralelos ie múltiplos um do outro e o ponto 2 2 pertence a r 3 Concorrente pois os vetores diretores não são paralelos As condições acima valem apenas para equações vetoriais e consequentemente para equações paramétricas Mas no caso bidimensional as equações ficam mais simples e pode mos representar uma reta através de uma única equação linear Seria interessante então que tivéssemos uma maneira de comparar equações nesta forma 116 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Tome então duas retas r ax by c 0 e s ax by c 0 Vamos supor por um instante que b 0 e b 0 r e s não são paralelas ao eixo y Não é difícil se convencer que r e s são paralelas se e só se seus coeficientes angulares forem os mesmos Ou seja precisamos que a b a b Mas isto é equivalente a dizer que a λa e b λb para algum λ R Observe que se ambas forem paralelas ao eixo y então b b 0 e a mesma condição vale Se r e s forem coincidentes então pela condição dada acima temos que 0 ax by c λax by c λax by c λc c λc c e portanto c λc Resumindo obtemos o seguinte resultado Teorema 43 Dadas duas retas no plano descritas pelas equações r ax by c 0 e s ax by c 0 então 1 Se o vetor a b c é múltiplo de a b c as retas são coincidentes 2 Se o vetor a b é múltiplo de a b ou equivalentemente os coeficientes angulares são iguais então as retas são paralelas 3 Se o vetor a b não é múltiplo de a b ou equivalentemente os coeficientes angu lares são distintos então as retas são paralelas b A b B v u Figure 41 Retas Reversas 117 412 Posigdo Relativas entre Retas no Espaco Passemos agora para a andlise do caso espacial Quando consideramos duas retas no espaco elas podem estar ou nao num mesmo plano Caso elas estejam num um mesmo plano serao ditas retas coplanares e podemos para essas retas aplicar a analise de posicao relativa que fizemos na secao anterior Ressaltamos que se duas retas sao paralelas elas sao necessariamente coplanares Por outro lado retas nao coplanares recebem o nome de reversas Em resumo duas retas no espaco podem ser Reversas se as duas retas nao estiverem contidas num mesmo plano Coplanares se as duas retas estiverem contidas num mesmo plano Neste caso valem as classificacdes vistas até agora e as retas podem ser Coincidentes Paralelas Concorrentes Precisamos entao encontrar um critério para determinar se duas retas sao ou nao coplanares Para tanto considere duas retasr Avwtes Buscom A B Seres forem coplanares entao necessariamente o vetor AB deve ser coplanar aos vetores u e v ou seja os vetores ABu e v sao linearmente dependentes Do mesmo modo se ABu e v forem coplanares entao a reta s esta contida no mesmo plano determinado pela reta r e pelo ponto B Isso nos da o seguinte resultado Teorema 44 Duas retasr A vtesB us sdo coplanares se e somente se os vetores AB u v forem linearmente dependentes ou seja se u x v AB 0 A 4 nS AB ee r ni en Ce y Exemplo 45 Determine a posicao relativa entre as seguintes retas 118 a r 120 222 es 133 223 b r 100 222 es 230 112 c r 100 111 es 230 111 d r 100 111 es 211 111 Solucao a Para determinar se r e s sao coplanares precisamos estudar a dependéncia linear dos vetores 222 223 e 013 133 120 Como o determinante formado pelas coordenadas destes vetores vale 22 2 22 3240 01 3 concluimos que as retas nao sao coplanares sendo portanto reversas b Como o determinante formado pelas coordenadas dos vetores 222 112 e 130 2 2 2 1 1 20 1 3 0 as retas sao coplanares Como os vetores diretores nao sao multiplos as retas sao concorrentes c As retas acima possuem 0 mesmo vetor diretor de onde concluimos que sao coplanares e paralelas Como o ponto 100 nao pertence a s as retas sao paralelas e nao coin cidentes d Assim como no item anterior as retas sao coplanares e paralelas Como o ponto 100 pertence a reta s basta fazer f 1 na equacao de s obtemos que r e s sao de fato coincidentes O Exercicios Ex 11 Sejam ra reta representada parametricamente por x atbeyctdes a reta cuja equacao é ax By c 119 a Quando r intercepta s b Ser interceptar s determine o ponto P de interseccao entre as duas retas Ex 12 Verifique se as retas r e s sao concorrentes e se forem obtenha o ponto de interseccao a rX 110 A123 8 X 233 n321 x12A x14A b r4 yA 84 y12A Z143A Z26A x24A Cc r 45A stat a SIZ St z11 xX2 yt2 xX y z3 d r 37 49 7 55 7 Ex 13 A altura e a mediana relativas ao vértice B do triangulo ABC estao contidas respectivamente em r X 603 A320 es X 003 3 20 Sendo C 413 determine A e B Ex 14 Mostre que duas retas rf xmzaynzb e S xmzayanz0 se interceptam se e somente se a an n bbmm Ex 15 Estude a posicao relativa das retas re s a r144123tes 251 246t b r 144 123t es 251 141t 1 1 oor a 7 es X 000 A120 d rX 819 A213 es X 344 A1 22 e 22 79 242 ya zil i 120 2y 4 1 f rix3 es X 022 A111 Ex 16 Sejamr X 102 A213 es X 011 A1m2m Estude segundo os valores de m a posicao relativa de re s Ex 17 Dadas as retas r X 010 A100 es X 127 A213 obtenha uma equacao vetorial da reta t concorrente com r ese paralelaa ii 15 1 Ex 18 Determine o ponto de interseccdo entre a reta que passa pelos pontos 1 23 e 321 ea reta que passa pelos pontos 211 e 121 Ex 19 Determine ab de modo que as retas sejam paralelas Ye ax 3y 7z10 5x 6y bz 0 e ax by 5 S 2x 3y 8 42 POSICAO RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS Passemos agora para 0 estudo da posicao de uma reta e um plano Dado um plano z e uma reta r temos trés possibilidades a interseccdo de r e 7 é vazia Nesse caso a reta r é dita paralela a 7z a interseccao de 7 e r 6 um unico ponto Nesse caso dizemos que a reta r é transversal a 7 a interseccao de 7 e r tem pelo menos dois pontos Nesse caso temos que todos os pontos da reta r pertencem ao plano 7 e dizemos que a reta r esta contida em 77 121 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Não é difícil ver que uma reta r é transversal ao plano π se e somente se o vetor diretor dessa reta não é paralelo ao plano π Ou equivalentemente se o vetor diretor dessa reta não é ortogonal ao vetor normal ao plano Colocando em coordenadas obtemos que o plano π de equação geral ax by cz d e a reta r de equação paramétrica x y z x0 y0 z0 v1 v2 v3t são transversais se e somente se a b c v1 v2 v3 0 ou seja num sistema de coordenadas ortogonais av1 bv2 cv3 0 Reescrevendo esta condição utilizando o vetor normal ao plano n a b c e o vetor diretor v v1 v2 v3 obtemos o seguinte critério Proposição 46 A reta r X P vt é transversal ao plano π de vetor normal n se e somente se v n 0 Caso a reta r não seja transversal ao plano π nos restam duas opções ou r é paralela disjuntas ou está contida em π Para decidirmos qual é o caso basta tomarmos um ponto qualquer da reta e verificarmos se este pertence ao plano Se isso ocorrer a reta está contida no plano caso contrário a reta é paralela Exemplo 47 Determine a posição relativa entre o plano π X 1 2 1 1 1 1t1 0 1 2t2 e a reta r X 1 3 4 1 1 1s Solução O vetor normal ao plano é dado por 1 1 1 0 1 2 3 2 1 E como 3 2 1 1 1 1 4 0 a reta é transversal ao plano 122 O ponto de interseccao ocorre quando 121 111f 01 2t2 134 111s cuja solucdo és t 1 to 3 J gl 4 5 wo 1 5 13 17 Substituindo s q fa equacao da reta obtemos o ponto 7 Tt 7 que é portanto o ponto de interseccao de r com 71 O Exercicios Ex 21 Mostre que a reta x 3t2y4t1z4t5 é paralelo ao plano 4x 3y 6z 5 0 Ex 22 Determine a equacao do plano contendo a reta 2x 3yz5 2x 5y 2z 6 Zz lelaaretax 2 e paralela a reta x 59 Ex 23 Mostre que a reta 1 37 y3z4 intersecciona os planos 71 6x 4y 5z 4e 7 x 5y 2z 12 no mesmo ponto Conclua que essa reta é coplanar com a reta determinada pela interseccao desses planos Ex 24 Encontre o ponto de interseccao da reta dada com o plano dado x1 ytl 2z a i é X 3YZ 0 x3 y2 Zz1 b 2 150 3 T 55 ey F 2 x2 y1 23 c 5 3 7 x2y2z60 123 Ex 25 Escreva as equacoes do plano que passa por 12 3 e é paralelo as retas x1l yt1l z7 x5 y2 243 2 3 3 3 2 1 Ex 26 Mostre que as equacoes do plano que passa pelo ponto x90 yo 20 e é paralelo as retas xa Ybh zG xa2 yb2 zc L 7 I 7 I My 7 my 7 m3 pode ser escrita como XX9 YYo 242 ly In Is 0 m1 my m3 Ex 27 Mostre que a equacao do plano que passa pelos pontos x9 YoZ0 X1Y121 e é paralelo a reta xa Yb zGy ho bb pode ser escrita como x Xo Y Yo Z Zo X1X YWiYo 22 0 hy ly ls Ex 28 Prove que as retas x1 y2 25 3 4 e xyz 3t 72t22t 1 sao coplanares e determine a equacao desse plano 43 POSICAO RELATIVAS ENTRE PLANOS Queremos agora estudar a posicao de dois planos no espaco Para comecar analisemos quais as possiveis posicées relativas para depois determinar condicées algébricas que as determinem Dados entao dois planos 71 e 712 temos trés possibilidades 124 a interseccao de 7r 72 é vazia Nesse caso os planos sao ditos paralelos distintos a interseccao de 71 e 712 nao vazia e dois subcasos sao possiveis ainterseccao de 71 e 772 uma reta e os planos sao ditos transversais 71 7 sao coincidentes Assim como no caso retax plano para estudar a posicao relativa entre dois planos uti lizaremos intensamente os vetores normais a estes planos Para dois planos serem paralelos por exemplo precisamos que seus vetores normais sejam paralelos entre si A seguinte proposicao caracteriza a posicao relativa de dois planos Sua demonstracao é simples e fica como exercicio para 0 leitor Proposicao 48 Sejam 71 e 7t2 dois planos de equacdes ax byy c dy e agx boy C2Z dy respectivamente entdo Os planos 7 e 72 sdo paralelos se os seus vetores normais forem paralelos isto é se 4101c1 Aa1b1c1 Nesse caso se ab11d for proporcional a azb2Czd2 entdo os planos sdo coinci dentes abc1d nao for proporcional a azb2c2d2 entdo os planos sdo par alelos distintos Os planos 7t1 e 72 sdo transversais se os seus vetores normais ndo forem paralelos isto é se a1b1C1 e a1b1c1 ndo sao proporcionais E interessante observar que se 71 712 forem transversais entao a reta r determinada pela intersecdo dos dois planos deve ser perpendicular aos vetores normais ny 41 b1c1 Ny a2b2c2 e podemos tomar o vetor n x nz como vetor diretor de r Assim escol hendo um ponto P qualquer na interseao de 77 e 712 obtemos rXPn xX my Exemplos 49 Os planos 71 2x 3y 4x 5e m2 6x 2y 2x 3 sao transversais E assim a sua interseccao ou seja o sistema 2x 3y4x5 6x 2y 2x 3 125 determina uma reta Os planos 7 2x 3y 4x 5e 72 4x 6y 8x 2 sao paralelos e nao coinci dentes E assim a sua interseccdo é 0 conjunto vazioOu seja o sistema 2x 3y 4x 5 6x 2y 2x 3 nao possui solugoes Os planos 71 2x 3y 4x 5 e 72 4x 6y 8x 10 sao coincidentes E assim a sua interseccao é 0 plano 71 712 Ou seja o sistema 2x 3y4x 5 4x 6y 8x 10 tem como solucao um plano Exemplo 410 A reta r é dada como intersecgao de dois planos xy2z0 41 xz1 Escreva as equacdes paramétricas para essa reta Solucao Um modo de obter as equagées paramétricas da reta é escolher uma das variaveis é fazela igual ao parametro t Assim por exemplo fazendo z t A equacao x z 1 nos diz que x 1 ft Substituindo esse valores na equacao x y 2z 0 temos y 1t E assim obtemos que as equacoes paramétricas da reta sao x1t y13t zt Outro modo de obter a equacao vetorial é encontrando dois pontos que satisfazem a equacao Assim por exemplo tomando z 0 o sistema de equacoes 41 fica xy0 x1 Cuja solugdo é 0 ponto 110 que pertence a reta determinada pela interseccao dos dois planos Similarmente tomando z 1 temos que o ponto 02 1 pertence a reta 126 De posse dos pontos podemos escrever a equacao vetorial dos planos x1t y13t zt O Exercicios Ex 31 Mostre que os planos bx ay n cy bz 1 e az cx mse interceptam numa reta se e somente se al bm cn 0 Ex 32 Mostre que a reta 5x 3y2z50 2xyz10 esta contida no plano 4x 3y 7z 7 Ex 33 Determine os valores de a e b de modo que os planos x 2yz be 3x Sy 3z 1e2x7y az 8 se interceptem a um ponto b uma reta c trés retas distintas e paralelas 127 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici ANGULOS E DISTANCIA N 51 ANGULOS No capitulo anterior nos concentramos no estudo da posicao relativa entre dois objetos no espaco Tal estudo nos permitiu determinar se dois objetos sao ou nao paralelos e neste capitulo vamos aprofundar um pouco mais o estudo de posicao relativa definindo e estudando uma medida de posicao relativa entre estes o que denominaremos por medida angular ou angulo entre dois objetos no espaco 511 Angulo entre duas Retas O angulo entre duas retas é definido como o angulo entre seus vetores diretores r 0 u S Figure 51 Angulo entre as retas res Assim ser Avtes B ut entao o angulo 6 entre r es sera dado por uv cos 0 51 Iul Iv e consequentemente uv arccos aaa Iul Iv Lembramos que a fungao arccosx retorna um angulo x tal que 0 x 7 Como cosx cosx o Angulo que obtemos acima é nao orientado ou seja obtemos apenas o valor absoluto do angulo Em outras palavras nesta definicao o Angulo entre a reta re a reta s o0 mesmo que o Angulo entre a retas earetar 129 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Observamos também que entre duas retas não paralelas sempre existem dois ângulos possíveis e o ângulo que encontramos não é necessariamente o menor deles ou seja o ângulo agudo Em algumas situações é desejável conhecermos o ângulo agudo entre as retas r e a reta s Para isto observe que se u v 0 então u v u v 0 Portanto arccos u v u v π 2 e o objetivo foi alcançado Caso contrário se u v 0 temos que π 2 arccos u v u v π e estamos interessados portanto no ângulo suplementar π θ Mas note que cosπ θ cosθ e portanto substituindo em 51 obtemos que se u v 0 então cosπ θ u v u v u v u v 52 Desta forma se denotarmos por α o ângulo agudo entre as retas r e s temos que cos α u v u v com 0 α π Exemplo 51 Encontre o ângulo entre as reta r X 1 2 1 1 1 0t e s x 2 12 y 3 12 z 7 1 2 Solução A reta r tem vetor diretor 1 1 0 e a reta s tem vetor direto 12 12 1 2 E assim cos θ 1 1 012 12 1 2 1 1 012 12 1 2 1 2 2 2 e logo θ π 4 É importante observar que para medir o ângulo entre duas retas não é necessário que estas se interceptem já que a nossa definição de ângulos entre retas é na verdade o ângulo entre os vetores diretores das retas Observamos também que o ângulo entre duas retas paralelas coincidentes ou não é sempre 0 Também neste sentido duas retas são ditas ortogonais se seus vetores diretores são perpendiculares E duas retas são ditas perpendiculares se elas se interceptam e são or togonais 130 E F Tle el D B C Figure 52 As retas AB e FG sao ortogonais mas nao perpendiculares Exemplo 52 Verifique se as retas r 121 1L0t es 134 113t sao ortogonais eou se sao perpendiculares Solucao Como 110 113 0 elas sao ortogonais Para verificar se elas se interceptam basta resolvemos o sistema linear 121 110t 134 1 13t2 Como o sistema acima nao possui soluc6es as retas nao se interceptam e assim elas nao sao perpendiculares O No caso bidimensional lancando mao da representacao por equacoes lineares podemos redefinir as formulas para o angulo entre duas retas e colocalas em funcao da inclinacao das retas estudadas Tome entao duas retas r y mjxdes y m2x d e lembrese que podemos expressar seus vetores diretores respectivamente por v i mj e u i moj Assim obtemos que uv 1m m2 cos 8 Peel Frama 1 pom A expressao acima assim como no caso tridimensional nos permite calcular 0 angulo 0 nao orientado entre as retas Esse Angulo esta entre 0 e 72 se 1 m mz é positivo e entre t2e pi se 1 mm negativo Se 1 m m2 0 0 angulo é igual a 72 e assim as retas sao perpendiculares 131 De modo analogo podemos encontrar m2 m sen ima 2 a 14 mi1 m3 ou equivalentemente mz m arcsen ism 2 2 1 mj1 m5 mz m Neste caso como 0 re 1 temos que 0 6 72 V1 mi1 m3 Outro modo de determinar o angulo entre duas retas no plano é lembrando que 0 coe ficiente angular é a tangente do Angulo orientado no sentido antihorario entre a reta é a parte positiva do eixo x Assim dadas duas retas de coeficiente angulares m tg e mM tg Po Pela figura 53 temos que 2 e logo teg2tepi m2 m1 tg teg2g BBP 1 tg fi tg oo 1mmp r Ss Q UN i pV Figure 53 Uma vantagem da expressao m2 M4 6 arctg 5 1m m2 é que o angulo determinado por esta é 0 angulo orientado entre as retas r 12 Dadas duas retas de coeficientes angulares m1 m2 entao o angulo entre elas é dado por 1 m m2 cos 8 1 mi1 m5 m2 m sen fim sm 14 mit1 m5 m2 m 132 Exemplo 53 Ache o angulo entre as retas 2x y 3e x 3y 4 Solucao Neste caso temos que 1 2 ga 3 7 1 2 3 E assim arctg7 818699 1 1 2 3 O Exemplo 54 Ache duas retas que passe pelo ponto 22 e que faca um angulo de 45com areta 2x 3y4 Solucao Inicialmente vamos encontrar o coeficiente angular dessas retas Para isso obser vamos que 2 m tg45 1 3 lm 3 2 2 5 1 1 E dessa forma 1 gma7me logo git 3 e assim m Logo a equacao da reta 1 éy2 5 2 No caso m 2 tg45 1 3 142 3 E dessa forma m 5 Logo a equagao da reta é y 2 5x 2 O 133 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Exercícios Ex 11 Ache o ângulo agudo entre as retas 3x 4y 2 0 e 2x 3y 7 Ex 12 Qual o ângulo entre o eixo x e 5x 12 3 Ex 13 Ache duas retas passando por 1 1 que faz um ângulo de 45o com 3x 4y 7 Ex 14 Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são 2 1 1 2 3 2 Veja se eles somam 180o Ex 15 Seja α um dos ângulos formados pelas retas ax by c e y px q Dê uma expressão para cos α Ex 16 Escreva a equação da reta que passa pela origem e faz um angulo de 45o com a reta x 2 y 3 2 1 Ex 17 Mostrar que os quatro pontos 2 2 5 6 9 9 e 6 5 são os vértices de um losango e que suas diagonais se cortam mutuamente ao meio e uma é perpendicular a outra Ex 18 O segmento retilíneo que une os pontos médios de dois lados opostos de qual quer quadrilátero e o segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais do quadrilátero cortam se mutualmente ao meio Ex 19 Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 1 2 1 e é perpendicular as retas r 1 3 0 1 2 1t e s 2 1 0 1 1 1t Ex 110 Determine as equações paramétricas da reta perpendicular as retas x 3t 7 y 2t 4 z 3t 4 e x t 1 y 2t 9 z t 12 134 512 Angulo entre uma Reta e um Plano O angulo 6 entre uma reta r e um plano 7 é definido como o angulo complementar ao angulo agudo entre o vetor diretor a essa reta e 0 vetor normal ao plano ver figura 54 Se v é um vetor diretor da reta r e n é um vetor normal ao plano 7 entao 7 sen sen a cos e logo v n sen0 Iv In Ah Figure 54 Angulo entre uma reta e um plano Dizemos que um plano 7 com vetor normal n e uma reta r com vetor diretor v sao or togonais se o angulo entre eles é ou equivalentemente se os vetores v e n sao paralelos Exemplo 55 Determine 0 angulo entre a reta X 670 110t e 0 plano de equacao vetorial X 8 42 102t 1 20s Solucao Vamos encontrar inicialmente um vetor normal a esse plano n 102 x 1 20 422 Logo o angulo entre a reta é o plano é dado por 110 422 3 sen 110 422 v3 V2V24 2 e assim O 3 Exemplo 56 Determine a equacao geral do plano que passa pelo ponto 121 e que é 135 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici perpendicular a reta X 1 0 0 1 3 1t Solução O vetor normal ao plano pode ser escolhido como 1 3 1 e assim a equação geral desse plano é x 3y z d Como o ponto 1 2 1 pertence ao plano ele satis faz a equação do plano ie 1 3 2 1 d Logo d 6 e a equação geral do plano é x 3y z 6 513 Ângulo entre dois Planos O ângulo entre dois planos π1 e π2 é definido como o ângulo agudo entre os vetores normais n1 e n2 cosθ n1 n2 n1 n2 n1 n2 θ Figure 55 Dois planos π1 e π2 com vetores normais n1 e n2 respectivamente são ditos ortogonais se o ângulo entre eles é π 2 o que implica que seus vetores diretores são perpendiculares ie n1 n2 0 Exemplo 57 Determine a equação do plano que contém o ponto 1 0 1 e que é perpen dicular aos planos 2x y z 2 e x z 7 Solução O vetor n normal ao plano será ortogonal aos vetores 2 1 1 e 1 0 1 E assim n 2 1 1 1 0 1 1 3 1 136 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Logo a equação geral do plano é da forma x 3y z d Como o ponto 1 0 1 pertence ao plano d 1 3 0 1 2 E a equação geral é x 3y z 2 Exercícios Ex 111 Ache os ângulos entre os planos a 3x y z 2 e x y 6 b x 2y 3z 8 e 2x 4y 6z 31 0 c x 0 e y 0 d x 1 e x y 1 Ex 112 Escreva a equação vetorial do plano que passa pelo ponto P e é perpendicular as planos rn1 D1 0 rn1 D1 0 Escreva também a equação geral desse plano dado que P x0 y0 z0 n1 a1 b1 c1 n1 a2 b2 c2 Ex 113 Ache a equação do plano perpendicular ao plano xz que contem o ponto 1 2 3 e que faz um ângulo de π 4 com 3x 2y z 1 52 distâncias Passemos agora a um novo problema definir e determinar a distância entre dois objetos ponto reta ou plano no espaço Sabemos facilmente como determinar a distância entre dois pontos no espaço Bastando para isso medir o tamanho do vetor determinado por estes pontos Mas como medir a distância entres outros dois objetos Este será nosso objetivo nesta seção 137 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 521 Distância de um ponto a uma reta A distância entre um ponto P e uma reta r é definida como a distância entre P e ponto A r mais próximo de P Para determinar a distância de P a r sejam A e B dois pontos de r e considere o triângulo ABP h r b A b B bP A área do triangulo ABP pode ser calculada usando o produto vetorial e assim temos A 1 2 AP AB Por outro lado usando que a área do triângulo é metade da base vezes a altura temos A ABh 2 e assim AP AB ABh e logo h dP r AP AB AB Exemplo 58 Calcule a distância do ponto P 1 0 2 a reta r 1 0 1 2 0 1t Solução Escolhemos A 1 0 1 e B 3 0 2 E assim AP 0 0 1 e AB 2 0 1 dP r 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 5 Distância de um ponto a uma reta no plano o caso bidimensional Assim como nas seções anteriores o caso bidimensional pode ser estudado separadamente Queremos então utilizar as expressões determinadas anteriormente para encontrar uma maneira de expressar a distância do ponto P p q a reta Ax By C 0 138 Comecaremos tratando o caso onde a reta é paralela ao eixo x A 0 Neste caso a C SA reta tera equacao y zea distancia sera dada pela diferenca entre a coordenada y do ponto e da reta ou seja dPr q 4 C Se a reta r nao é paralela ao eixo y entao ela intercepta 0 eixo x no ponto F 0 e seu vetor diretor pode ser escolhido como v Bi Aj por qué Desta forma a equacaéo vetorial da reta ér 5 0 B At Escolhendo A 5 0 e B Av temos que AB p 9 e temos AP 1pr AP xl Iv onde o vetor AP x v pode ser calculado através do seguinte determinante formal i jk B A 0 C pzZ 4 9 e assim AP x v Bg ArCk Segue entao que AP x v Ar BsC e assim Ap BqC dPr Observe que fazendo A 0 na expressao acima recuperamos a expressao encontrada para retas paralelas ao eixo x e portanto esta férmula pode ser usada em qualquer caso Exemplo 59 Calcule a distancia do ponto 13 a reta 4x 2y 3 0 Solucao i 41233 5 V164 V20 O Exemplo 510 Existem duas pontos cuja coordenadas x sao iguais a 3 e que distam 6 da reta r 5x 12y 3 0 Ache as coordenadas y desse ponto Solugao Ambos os pontos podem ser representados como 3s Para esses pontos temos que 53 12s 3 d SO SCi 13 6 139 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici e logo 18 12s 78 e logo s 5 ou s 8 E os pontos são 3 5 e 3 8 Exercícios Ex 21 Ache as distâncias entre os pontos e as retas dadas a 3 4 a 5x 2y 3 b 2 5 a 7x 3 0 c 3 4 a 4y 5 0 d Origem a 3x 2y 6 0 Ex 22 Determine a distância δ entre o ponto A 3 1 e a reta x 2y 3Pelo seguinte método primeiro ache o ponto B sobre essa reta tal que d A B δ Escreva a equação da reta de forma paramétrica r r0vt e calcule o produto interno dos vetores AB e v Conclua Ex 23 Ache o comprimento das alturas de um triângulo com vértices a 0 b 0 0 c Ex 24 Ache a distância entre as duas retas paralelas 3x 2y 6 e 6x 4y 9 Porque essas retas são paralelas Ex 25 Prove que a distância entre duas retas paralelas cujas equações são Ax By C 0 e Ax By C 0 é C C A2 B2 Ex 26 Ache os pontos da reta y 2x 1que estão situados a distância 2 da origem Ex 27 Quais são as retas paralelas a reta 3x 4y 1 que estão a distância 5 desta 140 522 Distdncia de um ponto a um plano A distancia entre um ponto e um plano é definida de maneira analoga ao caso pontoreta Considere entao um plano 7 com vetor normal n e P um ponto qualquer Para calcularmos a distancia de P a 71 tome A um ponto qualquer de 7 e considere o vetor AP A distancia de P a 7 sera dada entao pela norma da projecao de AP sobre n ou seja AP n dP 7 Proj AP Tal P dP 1 A n Se na expressdo anterior tomarmos P x0YoZ0 A a142a3 supormos que o plano 7t tem equacao geral ax by cz d teremos que o vetor normal a este plano é n abc e portanto byo dP7 axo x1 byo yx cYo 91 53 Vat b c axo byo cyo ax by cy1 54 Var b c Como o ponto A pertence ao plano temos que axo byo cyo de assim d dPn xotbyo eyo 4 55 Var b C2 Observe que como seria de se esperar a distancia nao depende do ponto A escolhido Exercicios Ex 28 Determine a distancia entre os planos dados e a origem a x5 141 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b x y 1 c 2x y z 0 d 2x y z 2 Ex 29 Se a distância da origem a um plano é d e esse plano intercepta os eixos em a 0 0 0 b 0 e 0 0 c prove que 1 d2 1 a2 1 b2 1 c2 523 Distância entre Duas Retas Seguindo as ideias utilizadas nos casos anteriores a distância entre duas retas r e s será definida como a menor distância entre um ponto r e um ponto de s Sejam então r s duas retas no espaço tais que r A ut e s B vt Se as retas forem coincidentes ou concorrentes claramente a distância entre elas é nula Se as retas forem paralelas e não coincidentes a distância entre elas é igual a distância de um ponto P qualquer de r a s e assim essa distância pode ser calculada usando os conhecimentos obtidos na seção anterior b b b b P dr s Se as retas r e s forem reversas começamos escolhendo um ponto P sobre r e um ponto Q sobre s Projetamos então o vetor PQ sobre o vetor n u v que é ortogonal as retas r e s A norma dessa projeção é a distância entre as retas Como Projn PQ PQ n n n e assim 142 jee Figure 56 Distancia entre retas reversas Po drs 56 In Po drs 57 lu x v Exercicios Ex 210 Determinar as equacao da reta que passa pelo ponto 31 e tal que a distancia desta reta ao ponto 11 éiguala 22 Duas solucées Ex 211 Determinar a equacao do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que sua distancia a reta 4x 3y 12 0 é sempre igual a duas vezes a distancia ao eixo x Ex 212 O angulo de inclinagao de cada uma de duas retas paralelas é Se uma reta passa pelo ponto ab e a outra pelo ponto cd mostrar que a distancia entre elas é c a sena d b cosa Ex 213 Ache as equacoes dos planos paralelos ao plano 3x 2y 6z 8 0e que distam 2 desse plano 143 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 214 Ache a distância entre os planos paralelos a 4x 8y z 9 e 4x 8y z 18 0 b 3x 2y 6z 8 0 e 6x 4y 12z 12 0 Ex 215 Ache a equação da reta que passa pelo ponto 2 1 5 e que intercepta a reta x 1 3 y 2 4 z 3 2 perpendicularmente 2 1 é sempre igual a três vezes a distância a reta y 4 0 Ex 216 Determinar a distância do ponto a reta a ponto 7 7 4 à reta 6x 2y z 4 0 e 6x y 2z 10 0 b ponto 1 2 3 à reta x 7 6 y 3 2 z 3 Ex 217 Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x 2y 2z 0 Ex 218 Determinar a distância d do plano 3x 12y 4z 3 0 ao ponto A 3 1 2 pelo seguinte processo Encontrar o ponto B pé da perpendicular desde A até o plano Então determinar d como o comprimento do segmento AB Ex 219 Determine a distância do ponto 2 2 2 a reta x 2t 1 y 3t 2 z 5t 1 Ex 220 Determine a distância entre as retas r que tem equação paramétricas x 2t 1 y 3t 2 z 5t 1 144 e areta s que tem equacao paramétrica x 4s1 y 2s2 z1s5 53 RETAS EM COORDENADAS POLARES Se sobrepormos um sistemas de coordenadas polares a um sistema de coordenadas cartesianas de modo quep xy 1xO y o polo e a origem coincida e a direcao principal OA Moc sobreponhase a parte positiva do eixo x veja figura 57 podemos ver que a relacao entre as coordenadas para o y mesmo ponto é dada por 9 x O xrcosé 58 1XO X y rsené sendo Figure 57 24y aretet y y r x7 y arctg arcsen 5 Pp arccos Pp Substituindo as relacdes dada por 58 na equacao geral de uma retas Ax By C temos que esta pode ser expressa em coordenadas polares como rAcos Bsen C 59 ou equivalentemente C Acos Bsen 510 Exemplo 511 A equacao da reta 3x 2y 7 em coordenadas polares é r3cos2sen0 7 145 Sem perda de generalidade podemos assumir que C V AZ B2 é positivo Mudando os sinais de ambos os lados se B necessario Se construirmos no quadrante apropriado um triangulo aw a retangulo de lados A e B a hipotenusa desse triangulo sera A V A B2 logo B aw A aX sen cos VA B2 SA2 B Se dividirmos ambos os lados da equagAo 59 por VA B ficamos com r A 0 2 6 C cos sen é VA B2 VA2 B2 VA2 B2 e consequentemente r cosacossenacos h 78 sendo h Cc r Oo Vv A B e desse modo a equacao da reta em coordenadas po 0 lares pode ser escrita como rcosah A equacao anterior é conhecida como equagao padrao da reta em coordenadas polares O significado geométrico de h é a distancia da reta a origem enquanto a é o angulo entre o eixo polar e a reta passando pela origem e pelo ponto que realiza a distancia minima entre a origem e a reta s Podemos ver esse fato revertendo o problema isto é seja s uma reta tal que a distancia dessa reta a origem O é h Se tomarmos um ponto de coordenadas r sobre essa reta de vetor posigao r Entao o triangulo delimitado por h r e a reta s forma um triangulo retangulo com hipotenusa r Em relacao ao angulo 6 a o lado adjacente é h e assim h cosa r e logo rcos h Exemplo 512 Ache o tamanho e a direcao do segmento que liga a perpendicularmente 146 origem a reta abaixo 1 8cos 6sen Solucao Comecaremos colocando a equacao 1 8cos 6sen na forma padrao rcos h que expandindo fica 1 1 1 cosacosé senasené r oh h Igualando os temos temos 1 7 os 8 511 1 i sena 6 512 Elevando as equacoes 511 e 512 ao quadrado e somando temos 1 1 e consequentemente h 10 Dividindo a equacao 512 pela equacao 511 temos tow 6 3 oe 8 4 wins Lew 3 Consequentemente temos que a distancia é 0 inclinagao da reta é arctg Z O Exercicios Ex 31 Ache a distancia da reta cosé V3sen0 a origem 147 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 32 Ache o tamanho e a direção do segmento que liga a perpendicularmente origem a reta abaixo 2 r 4 cos θ 3 sen θ Ex 33 Identifique e desenhe as seguintes retas colocando as na forma padrão Confira suas respostas usando coordenadas cartesianas a r cos θ 3 b r sen θ 3 c r5 cos θ sen θ 3 2 d 55 cos θ 12 sen θ 39 Ex 34 Mostre que se uma reta é paralela ao eixo x e dista h da origem então sua equação é dada por r sen θ h Ex 35 Mostre que se uma reta é paralela ao eixo y e dista h da origem então sua equação é dada por r cos θ h ou por r cos θ h dependendo se a reta se encontra a esquerda ou a direita do eixo y Ex 36 Mostre que a equação da reta ligando os pontos de coordenadas polares r1 θ1 r2 θ2 é dada por senθ2 θ1 r senθ θ1 r2 senθ2 θ r1 Ex 37 Dada a equação C r fθ com fθ a cosθ α b cosθ β a Mostre que esta equação representa uma linha reta b Conclua que C2 r fθ π2 também representa uma linha reta E que essa reta é perpendicular a reta de equação C r fθ c Mostre finalmente que todas as retas perpendiculares a C r fθ são da forma C2 r fθ π2 para algum C2 148 6 CIRCULOS E ESFERAS 61 EQUAGOES CANONICAS DE CIRCULOS E ESFERAS Um circulo é 0 conjunto de pontos no plano que estao a uma certa distancia r de um ponto dado ab Desta forma temos que um ponto xy pertence ao circulo de centro ab e raio r se e somente se satisfaz a equacao Vxayyb r ou equivalentemente x ay y by Figure 61 Circulo de cen tro Ae raior De modo analogo a equacao reduzida de uma esfera de centro abc e raio r é xayb zcy r Figure 62 Esfera de Centro C e raio r Exemplo 61 Determine a equacao do circulo de centro 31 que é tangente a reta 3x 4y 20 Solucao Ja conhecemos o centro e precisamos determinar o raio Nesse caso 0 raio é a distancia entre a reta e o ponto ja que a tangente a um circulo é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangéncia Logo re 33 412 3 32 42 149 e assim a equacao do circulo é x 3 y1 9 ou x 6x 2y10 O Exemplo 62 Determine a equacao da esfera cujo didmetro é o segmento que liga 3 12 a 534 Solucao Nesse caso aparentemente nao conhecemos nem 0 centro nem o raio Mas temos que o centro é 0 ponto médio do segmento e que o raio é metade do diametro Logo 1 r 5V 63 1 42 v6 O ponto médio é 413 e logo a equacao da esfera é x4 y1 z3 6 O Exemplo 63 Identifique a curva cuja equacao é y 6x 4y 12 0 Solucdo Identificaremos a curva completando quadrados O termo x 6x pode ser con vertido num quadrado se somarmos 9 e y 4y pode ser convertido num quadrado so mando 4 Desta forma somaremos 4 9 em cada lado da equacdo x y 6x 4y 12 0 Logo temos y 6x 4y 120 61 x 6x9 y 4y 4 124449 62 x3 y2 5 63 Logo a curva é um circulo de raio 5 e centro 32 O Podemos generalizar o exemplo anterior Exemplo 64 Identifique a curva cuja equacao é yAxByC0 150 Solucao Como no exemplo anterior identificaremos a curva completando quadrados O A2 termo x Ax pode ser convertido num quadrado se somarmos Te y By pode ser B Az B convertido num quadrado somando Tr Desta forma somaremos 7 Zen cada lado da equacao ryAxByC0 64 A B A B 2 2 Ax By 4 5 P4ar e ByZ tta7e 65 A B A B 3 v5 7tq77e 66 Ar B Observamos que para a equacdo anterior ser a equacdo de um circulo 17 Tr 77 C A B e assim temos que ter TT 77 C0 A B No caso em que T 77 C 0 o lugar geométrico descrito pela equacdo 66 é vazio pois a equacado nao pode ser satisfeita pois a soma de quadrados é necessariamente negativa A B No caso em que T 7 C 0 o lugar geométrico descrito pela equacgao 66 é o A B ponto 4 5 pois se a soma de quadrados perfeitos é 0 cada termo da soma é zero O De modo analogo podemos demonstrar que a equacao Pty 2AxByCzD0 A Be C A Be C descreve uma esfera se 7 7 D 0 um ponto se D0eo A2 B2 C2 D t 4 4 conjunto vazio se a Z 0 Exemplo 65 A superficie cuja equacao é 122x2x744yy8z270 é uma esfera Encontre seu centro e raio Solucao Completando os quadrados temos x 2x 1 y 4y 4 2 8z416 1416120 151 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Daí segue que x 12 y 22 z 42 9 E logo o centro dessa esfera é 1 2 4 e o raio é 3 611 Círculo por três pontos É conhecido que três pontos não colineares determinam um único círculo Assim sendo fixados P1 P2 e P3 não colineares podemos facilmente encontrar a equação do círculo que passa por tais pontos Tal equação pode ser encontrada observando que a equação geral de um círculo é da forma x2 y2 Ax By C 0 e que um ponto pertence ao círculo se e somente se suas coordenadas satisfazem tal equação A substituição de cada ponto resulta assim numa equação linear nas variáveis A B C e assim o fato dos três pontos pertencerem ao círculo nos fornecem um sistema lin ear em três equações e três variáveis A B C Resolvendo tal sistema encontramos então a equação do círculo Exemplo 66 Determine a equação do círculo que passa pelos pontos 1 2 0 1 e 3 2 Solução Substituindo os pontos na equação temos o sistema 5 A 2B C 0 1 B C 0 13 3A 2B C cujas solução é A 4 B 0 C 1 E logo a equação é x2 y2 4x 1 0 Completando quadrado obtemos então x2 4x 4 y2 4 1 0 152 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Donde segue x 22 y2 5 Desse modo vemos que o círculo que passa por tais pontos tem centro 2 0 e raio 5 É possível encontrar a equação de um círculo por três pontos não colineares de uma outra maneira Para esse fim consideramos o triângulo determinado pelos pontos P1 P2 P3 e esse circunscrito na circunferência Assim o seu centro é o circuncentro desse triângulo isto é o encontro das mediatrizes b P1 b P3 b P2 b b b Centro Exemplo 67 Determine a equação do círculo que passa pelos pontos 1 2 0 1 e 3 2 Solução A equação da reta passando pelos pontos 1 2 0 1 é y 1 x e como o ponto médio desses pontos é 1 2 3 2 temos que a mediatriz relativa a esse lado é y 3 2 x 1 2 lembrando que como a mediatriz é perpendicular ao lado seu coeficiente angular é igual a menos o inverso do coeficiente da reta De modo análogo a equação da reta passando pelos pontos 0 1 e 3 2 é y x 3 1 e a equação da mediatriz é 3x 6 y temos o sistema 3x 6 y y 3 2 x 1 2 cujas solução é x 2 y 0 ou seja o centro da circunferência é 2 0 O raio pode ser calculado observando que este será a distância do centro 2 0 a um dos vértices do triângulo por exemplo 0 1 Assim r2 5 e logo a equação é x 22 y2 5 153 Exemplo 68 Obtenha a equacao da esfera que passa pelos pontos 00 1 200 1 11 0 10 Solucao Impondo que os pontos pertencam a esfera temos 0 seguinte sistema linear 1CD0 42AD0 3ABCD0 1BD0 x 4 5 1 1 2 cuja solucado é A 3 B 3 C 3 D assim a equacao da esfera é 5x Y Zz 2 2452 2 9 YY 2 fF xy 2 37737373 0 Completando quadrado obtemos 5x 5 y 1 2 9x 2 2Y e 5 9 43 4 fe23 5 1 1 24 3 6 6 6 6 36 Donde segue 5 1 1 51 229 2t 2 4 e8 P8 o s O Exercicios Ex 11 Determine a equacao dos seguintes circulos a Centro 25 eraior 3 b Centro 13 e raior 2 c Centro a origem e raior a d Centro 52 e passando pelo ponto 23 e Tangente ao eixo y na origem e raio a f Diametro 52 a 210 g Centro 32 tangente a 2x y 0 h Tangente a 2x 5y 1 0 no ponto 2 1 e raio 3 duas respostas 154 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 12 Identifique dando o centro e o raio a x2 y2 4x 6y 12 b x2 y2 2x 4y 5 c x2 y2 2ax d 4x2 4x 5y 4y2 e x2 y2 z2 2az Ex 13 Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos 4 0 0 3 e a origem Ex 14 Encontre a equação dos seguintes círculos a Tangente aos eixos coordenados coordenados no segundo quadrante e com raio r 4 b Tangente ao eixo x ao eixo y e a linha que intercepta o eixo x e o eixo y em 3 e 2 respectivamente Ex 15 Verifique que as equações abaixo descrevem esferas em caso afirmativo identi fique o centro e o raio a x2 y2 z2 2x 4y 10 0 b x2 6x y2 4y z2 14z 58 c x2 y2 6y z2 4z 16 d x2 2x y2 4y z2 6z 29 Ex 16 Dados P1 x1 y1 z1 e P2 x2 y2 z2 então a equação da esfera que tem P1P2 como diâmetro é x x1 x x2 y y1 y y2 z z1 z z2 0 62 retas tangentes e planos tangentes Uma reta é dita tangente a um círculo se a intersecção entre essa reta e o círculo for somente um ponto Para uma reta tangente o seu vetor diretor é perpendicular ao vetor 155 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici ligando o raio ao ponto de intersecção Além disso a distância do centro do círculo a reta tangente é igual ao raio do círculo b A b B r Figure 63 Reta tangente a um círculo De modo análogo dizemos que um plano é tangente a uma esfera se esse plano inter ceptar a esfera num único ponto Nesse caso o vetor normal ao plano é paralelo ao vetor radial ligando o centro da esfera ao ponto onde o plano intercepta a esfera E a distância do plano tangente ao centro da esfera é igual ao raio da mesma b b n Figure 64 Plano tangente a uma esfera Exemplo 69 Encontre a reta tangente ao círculo de equação x2 y2 2y 4x 0 no ponto 3 3 156 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Solução Completando quadrados podemos colocar a equação x2 y2 2y 4x 0 na forma reduzida x 22 y 12 0 Logo o centro do círculo tem coordenadas 2 1 Logo o vetor ligando o centro do círculo ao ponto 3 3 é i 2k e assim o coeficiente angular da reta passando por estes pontos é igual a 2 Logo o coeficiente da reta tangente é 1 2 Por quê Tente escrever a equação da reta tangente na forma padrão obtendo antes equações paramétricas para a mesma E assim a equação da reta tangente é y 3 1 2x 3 ou x 2y 9 b3 3 b2 1 a Podemos generalizar o exemplo anterior Dado um círculo de equação x a2 y b2 r2 Vamos calcular a equação da reta tangente no ponto x1 y1 Para tanto consideraremos o vetor ligando o centro do círculo ao ponto de tangencia x1 ai y1 bj Consequentemente a inclinação da reta passando por esses pontos é y1 b x1 a Logo o coeficiente angular da reta tangente é x1 a y1 b E assim a equação da reta tangente é da forma y y1 x1 a y1 bx x1 e logo y y1y1 b x1 ax x1 157 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici e assim expandindo x1 ax y1 by k para alguma constante k Somando x1 aa y1 bb em ambos os lados da equação obtemos x1 ax a y1 by b k2 para alguma constante k2 que determinaremos agora Se substituirmos x x1 e y y1 teremos que k2 x1 a2 y1 b2 r2 e assim a equação da reta tangente no ponto x1 y1 é x1 ax a y1 by b r2 Exemplo 610 Obtenha as equações dos planos tangentes a esfera 3 2x x2 4y y2 2z z2 0 que são paralelos ao plano x 2y 2z 3 Solução Completando quadrados temos que a equação da esfera pode ser escrita como x 12 y 22 z 12 9 Logo o centro dessa esfera é 1 2 1 e o raio é 3 A equação geral de um plano paralelo a x 2y 2z 3 tem equação da forma x 2y 2z d Como esse plano é tangente a esfera a distância do centro dessas esferas ao plano é igual ao raio dessa esfera E assim dC π 1 22 21 d 9 3 e logo d 6 ou d 12 e assim as equações dos planos são x 2y 2z 6 e x 2y 2z 12 Exercícios Ex 21 Encontre a equação a reta tangente no ponto indicado a x2 y2 25 3 4 b x2 y2 2x 4y origem 158 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici c Encontre as retas tangentes ao circulo x2 y2 4x que passam pelo ponto 3 2 d Uma corda da circunferência x2 y2 25 se encontra sobre a reta cuja equação é x 7y 25 0 Qual o comprimento dessa corda Ex 22 Para um triângulo qualquer encontrar a a equação da circunferência circunscrita ao triângulo b a equação da circunferência inscrita ao triângulo c a equação da circunferência que passa pelos pontos médios dos lados do triângulo Ex 23 As equações dos lados de um triângulo são 9x 2y 13 0 3x 8y 47 0 e x y 1 0 Encontrar a equação da circunferência circunscrita Ex 24 Mostrar que as tangentes de inclinação m à circunferência x2 y2 r2 são y mx r 1 m2 Ex 25 Qual a equação da circûnferencia que passa pelos pontos 1 2 3 4 e que tem centro sobre o eixo y Ex 26 Fixado a quais devem ser os dois valores de b para que a reta y ax b seja tangente ao círculo de centro na origem e raio r Ex 27 Uma circunferência de raio 5 é tangente a reta 3x 4y 1 0 no ponto 3 2 Determinar sua equação duas soluções Ex 28 Mostrar analiticamente que qualquer reta que passa pelo ponto 1 5 não pode ser tangente a circunferência x2 y2 4x 6y 6 0 Interprete o resultado geo metricamente Ex 29 Encontre a equação dos círculos que passam pelos seguintes conjuntos de pon tos Diga qual o centro o raio e desenhe a 3 4 1 2 2 4 b 4 2 2 3 1 6 c a 0 b 0 0 c 159 Ex 210 Mostrar que o plano tangente a esfera x y z 1 no ponto abc tem equacdo ax by cz 17 Ex 211 Encontre a equacao da esfera que passa pelos pontos 001100 0 10 e cujo centro esta no plano x yz0 Ex 212 Encontre a esfera que tem centro na reta x2z3 r yz1 e passa pelos pontos 6 13 e 075 Ex 213 Calcule a distancia do ponto 234 a esfera x 4x y 2y2744 Ex 214 Determine a equacao da esfera cujo centro é 322 é que é tangente ao plano x 1 3 2 y 07 1 t 0 s Zz 1 0 1 Ex 215 Determine a equacao da esfera cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos pontos 3 42 e 621 Ex 216 A equacdo de uma esfera é x y 2 6y 4z 9 0 Determinar a equacao da esfera concéntrica que é tangente ao plano x 1 i 1 2 y 0 4 st 0 t Z 1 1 1 Ex 217 Encontre os planos tangentes a esfera x7 y z 1 1 que sao paralelos ao plano 4x y3z 2 160 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 218 Encontre a equação dos planos que contem a reta r e são tangentes a esfera S r x 6 2 y 3 z 1 e S x2 y2 z2 4x 2y 4z 4 0 63 circunferência em coordenadas polares centrada na origem O caso mais simples ocorre quando a circunferência está cen trada na origem nesse caso a circunferência é o conjunto de pontos que distam uma con stante a da origem ou seja a equação em coordenadas polares é r a É fácil de ver que essa equação coincide com a em equação em coordenadas cartesianas Observe que em coordenadas cartesianas P x y pertence a tal círculo se e somente se x a cos θ e y a sen θ Daí segue que x2 y2 a2cos2 θ sen2 θ a2 passando pela origem Dada uma circunferência de raio a e passando pela origem As coordenadas polares do centro dessa circunferência são a α K a α a α P r θ O θ α Considere o triângulo OKP Como OK é diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo vemos que OKP é retângulo em P Da definição de cosseno segue então r 2a cos θ α 161 FORMA GERAL Dado uma circunferéncia de centro c a e raio a usando a lei dos cossenos temos que a 1 c 2recos 6 a que é a equacao da circunferéncia na forma geral 0 f O Exercicios Ex 31 Mostre que 0 centro do circulo de equacao r Acos Bsené é Vv A B B arctg 2 SA Ex 32 Mostre que a retarsené 4 é tangente ao circulo r 8cos Ex 33 Mostre que a equacao da tangente ao circulo r 2acos no ponto 116 é rcos 20 2acos 6 Ex 34 Mostre que para todos os valores de a a reta rcos ar cosa é tangente ao circulo 2rry cos 6 17 a0 162 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 7 C ÔNI C AS 71 introdução As curvas cônicas ou seções cônicas são as curvas obtidas pela intersecção de um cone com planos que não contenham o vértice desse cone Existem essencialmente três tipos de cônicas que podem ser obtidas a partir de um cone cuja reta geratriz faz ângulo α com o eixo desse cone parábola obtida pela intersecção do cone com um plano que forma ângulo α com o eixo do cone 163 elipse obtida pela interseccao do cone com um plano que forma um angulo a com 0 eixo do cone hipérbole obtida pela interseccao do cone com um plano que forma um angulo 0 a com 0 eixo do cone Podese mostrar que o lugar geométrico de tais curvas num plano pode ser caracterizado por relacdes envolvendo a distancia de seus pontos a seus focos e retas diretrizes como descrito a seguir ver Secdo 76 Assim sendo definimos Definicao 71 Uma elipse de focos F e Fy de eixo maior medindo 2a FFy é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cuja soma das distancias a dois pontos fixos F e Fé igual a 2a Ou seja dados F e Fr com FBI 2c e um numero a c dizemos que P é um ponto da elipse se somente se Pll FP 20 7 Definicao 72 Uma hipérbole H de focos F e Fy de eixo transverso medindo 2a F F o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujo médulo da diferenca das distancias a dois pontos fixos F e F é igual a 2a Ou seja dados F e Fy com FiF2 2c e um numero a c dizemos que P é um ponto da hipérbole H se somente se FP Pll 22 72 Definicao 73 Uma parabola P de foco F e reta diretriz d é 0 lugar geométrico for mado pelos pontos do plano cujas distancias ao ponto F e a reta d sao iguais Ou seja dados F e d dizemos que P é um ponto da parabola P se somente se FPl aPd 73 72 ELIPSE 164 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici r s b F2 b F1 E b B1 b B2 b O b A2 b A1 Figure 71 Elipse Conforme descrito na Definição 71 uma elipse E é o lugar geométrico formado por pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante Nesta seção estudaremos a equação chamada forma canônica da elipse que representa uma elipse alinhada com plano cartesiano e centrada em sua origem Antes porém fixe mos a terminologia básica envolvida no estudo de elipses 721 Terminologia Os pontos F1 e F2 descritos na Definição 71 são denominados focos da elipse O segmento F1F2 de comprimento 2c é o segmento focal da elipse e 2c é a distância focal da elipse A reta r contendo F1 e F2 é denominada reta focal da elipse A intersecção de E com r consiste de dois pontos A1 e A2 que são os vértices da elipse sobre a reta focal O segmento A1A2 de comprimento 2a é o chamado eixo focal da elipse ou eixo maior da elipse O ponto médio O r do segmento F1F2 é o centro da elipse A reta s perpendicular a r por O é a reta não focal da elipse A intersecção de E com s consiste de dois pontos B1 e B2 que são os vértices da elipse sobre a reta não focal O segmento B1B2 é o chamado eixo não focal da elipse ou eixo menor da elipse Qualquer segmento cujos extremos estão sobre E é denominado corda da elipse Chamamos de amplitude focal o comprimento de uma corda que contenha um dos focos da elipse e que seja perpendicular ao eixo focal desta Notamos que existem duas dessas cordas usualmente denominadas individualmente por lactus rectum A menor região retangular que contém a elipse é chamada retângulo fundamental da elipse A menor coroa circular que contém a elipse é denominada coroa fundamental da elipse 165 722 Equacdo da Elipse Comecemos nosso estudo da equacao da elipse observando os dois exemplos abaixo de scritos Exemplo 74 Usando a mesma notacdo descrita na 3 Subsecao 721 consideremos num sistema de coor denadas cartesiano uma elipse de focos F 00 e Fy 21 e eixo focal medindo 2a 4 52 Tomando P xy a equacao 71 fica F 2 yerytyx2y1pP4 ie Vamos entao manipular tal equacao de modo a SS eliminar suas raizes quadradas Isolando o termo x 2 y 1 e elevemos Figure 72 Exemplo 722 a igualdade resultante ao quadrado de modo a obter x 4x 4 y2x 1 168x2 424 x y Simplificando e isolando 8yx2 Ax 2y 11 8x Finalmente elevando ao quadrado e simplificando a expressao obtida chegamos a 48x 60y l6xy 88x 44y 121 0 74 Essa equacao quadratica é entao a representacao cartesiana procurada da elipse Exemplo 75 Considere agora num sistema de coordenadas cartesiano F 40 e f F 40 de modo que o eixo focal r fica alinhado com o eixo Ox e 0 centro O da elipse fica sobre a origem do sistema de coordenadas Estudemos uma elipse de eixo focal medindo feafh 2a 10 Seja P xy um ponto qualquer da elipse Em coordenadas cartesianas a equacao 4 71 fica Figure 73 Exemplo 722 Vx 4 42 x4 y2 10 166 Tentaremos no que se segue simplificar tal equacao eliminando as raizes quadradas manipulandoa algebricamente Inicialmente isolemos a raiz x 4 y e elevemos a igualdade obtida ao quadrado x4 y 100 x4 20y x4 97 Simplificando tal equacgdo chegamos e manipulandoa de modo a isolar 0 termo 20 x 4 y ficamos com 100 16x 20 x 4 y ou ainda 4 5 5t Vx 4 y2 Elevando esta igualdade ao quadrado chegamos a 165 9 2 2 25 55 8x x 168xy Donde temos 922 Finalmente dividindoa por 9 segue 2 42 5 55 tg 75 que é a forma canonica da elipse Esses exemplos e os calculos neles envolvidos sugerem que toda elipse pode ser repre sentada no plano cartesiano por um equacao quadratica da forma Ax Bxy Cy Dx EyF 0 onde ABCDE e F sao constantes que dependem da elipse a ser representada Tal suposicao provase de fato verdadeira deixamos ao leitor interessado sua demonstracao No entanto é visivel que a Equacao 75 obtida no segundo exemplo é muito mais simples que a Equacao 74 obtida no primeiro Isso ocorre devido a uma melhor escolha no Exemplo 722 do sistema de coordenadas usado Encontremos entao a equacao da elipse num sistema de coordenadas adequado a Assuma que os focos F e Fy possuem coordenadas c0 e c0 respectivamente Tomando P xy Da Equacao 71 obtemos Vx0 x40 2a 167 e logo x c y2 2a 4x c y2 Elevando ao quadrado ambos os lados dessa expressao obtemos C4 2ex 27 y 4a 2cx 4ayc2 2cx 2 yY4e4x74y Simplificando temos que ayc2 2cx x2 y a cx Elevando novamente ao quadrando ambos os lados da equacao obtemos a c 2cx x a cx a c 2cx x7 a 2acx 07x a c 2cx x y G 2aex cx 0 a at 4 ac a2 Py 2x2 0 a a c a c e ay Substituindo b a c temos arb bx a7y Dividindo ambos os lados por ab chegamos finalmente a equacdo 2 2 545e1 ai Chegamos assim a seguinte proposicao Proposigao 76 Uma elipse de focos F c0 e Fy c0 e eixo maior medindo 2a tem equado 2 2 od ptpath 76 onde b é tal que a b c Tal equacdo é usualmente conhecida como a forma canénica da elipse ou equado reduzida da elipse Os nuimeros ab e c sdo conhecidos como paradmetros geométricos da elipse Observacao 77 Se na deducdo da equacdo da elipse tivéssemos adotado o sistema de coorde nadas com os focos sobre o eixo y e a origem entre os focos isto 0 sistema com 0 eixo maior 168 Ay Az de comprimento 2a sobre o eixo y e o eixo menor BB2 de comprimento 2b sobre o eixo x teriamos no final a equado 2 2 x y 1 b2 a Observacao 78 Para uma elipse de equacdo 2 2 ebay ai coma b é facil ver que O retdngulo fundamental da elipse é a regiGo retangular R xy Ex aay bb A coroa fundamental da elipse é a regido C xy Eb x7 y a 723 Esboco da Elipse Considere uma elipse de equacao 2 2 Bat ai com ab 0 Observe inicialmente que se um ponto P xy esta na elipse também a ela per tencem os pontos P xy P xy e P xy Desse modo basta para esbocgarmos basta estudarmos a elipse no primeiro quadrante do sistema de coordenadas e refletirmos tal esboco ao longo dos eixos Ox e Oy que sao eixos de simetria da elipse Além disso isolandose 0 pardametro y da equacao de obtemos b y va x7 donde observamos que para esbocgarmos no primeiro quadrante basta estudarmos 0 gra fico da fungao f0a R b Xi ov a x Observacdo 79 Note que para x a temos a x 0 e portanto f ndo fica bem definida 169 Como f0 be fa 0 temos que dois dos vértices da elipse tém coordenadas 0 b e a0 Além disso temos que f é decrescente ja que para xo x1 0a temos x0 x Sy x ew x w xt b b Ve x5 Ve xt f xo f x1 O uso de calculo diferencial nos permite concluir que o grafico de f é céncavo isto é fixos dois pontos Pp e P quaisquer sobre o grafico de f temos que o grafico de f fica acima do segmento PoP y B 0b E Po Pi A2 Ay a 0 x Bo Figure 74 Esboco da Elipse A concavidade do grafico de f decorre do fato de que a segunda derivada de f é dada por 1 ab fa a2 x2372 que é negativa para todo x 02 Observacao 710 Uma elipse pode ser facilmente desenhada com o auxilio de um barbante de comprimento 2a Basta para isso fixarmos as extremidades do barbante nos focos e tragarmos uma curva com o ldpis apoiado porém ndo preso no barbante de modo a manter este sempre esticado 170 724 Exemplos Exemplo 711 Determine a equacao da elipse de focos 30 e 30 e vértices 04 e 0 4 Solucao Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos no eixo Ox pois a se gunda coordenada dos focos é 0 Entaéo usando a mesma notacao da Proposicao 76 temos c 3e b 4 e como a b c segue que a 5 Desse modo a equacdo procurada é 2 2 Pry 25 16 que é uma elipse com vértices A 50 Ao 50 B1 04 Bz 0 4 e focos F 30 e Fy 30 O Exemplo 712 Determine a equacao da elipse de focos 04 e 0 4 e eixo maior medindo 12 Solugao Nesse exemplo temos uma elipse de focos no eixo Oy pois a primeira coordenada dos focos é 0 Assim usando a notagao da Observacao 715 temos c 4e 2a 12 e como a b c segue que b 25 Desse modo a equacio procurada é 2 2 Po Py 20 36 que é uma elipse com vértices A 06 Az 06 Bi 250 Bz 2V50 e focos F 04 e Fs 0 4 O Exemplo 713 Seja uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a 6V5 reta focal é 05 Sabendo que passa pelo ponto V5 determine a equacdo da elipse Solugao Nesse exemplo temos novamente uma elipse de focos no eixo Oy nesse caso porque nos é informado que o centro da elipse esta na origem e o ponto 05 sobre a reta focal Assim usando a notacgao da Observacao 715 temos a 5 Desse modo a equacao procurada é do tipo 2 2 Pipi b2 25 171 com0b5 65 Usando agora que o ponto V5 pertence a temos que 2 2 6v55 v5 Ay RY 1 ns Resolvento tal equacao de incdgnita b obtemos b 3 Logo a equacao da elipse é 2 2 x t 1 9 25 O 73 HIPERBOLE De acordo com a Definicao 72 uma hipérbole L rae ST s rye H o lugar geométrico formado pelos pontos a do plano cujo médulo da diferenca das distan sy cias a F e Fy é igual a 2a onde 2a B a By H Desenvolveremos nesta secao a equacao tida M como a forma can6nica da hipérbole que de Fy Ao Of 4A Fi screve uma hipérbole cujos focos estao em um oe 7 dos eixos coordenados simetricamente dispos oo sy tos em retacao a origem Assim como fizemos a Bo a para a elipse fixemos primeiramente a termi a nologia basica envolvida no estudo de hipér a SS boles Figure 75 Hipérbole 731 Terminologia Os pontos F e F descritos na Definicao 72 sao denominados focos da hipérbole O segmento F F de comprimento 2c é 0 seg mento focal da hipérbole e 2c é a distancia focal da hipérbole A reta r contendo F e Fy é denominada reta focal da hipérbole 172 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici A intersecção de H com r consiste de dois pontos A1 e A2 que são os vértices da hipérbole sobre a reta focal O seg mento A1A2 de comprimento 2a é o chamado eixo transverso da hipérbole O ponto médio O r do segmento F1F2 é o centro da hipérbole O segmento B1B2 de comprimento 2b onde c2 a2 b2 cujos extremos B1 e B2 estão simetricamente localizados em re lação ao centro O da hipérbole sobre a reta s perpendicular a r por O é denom inado eixo conjugado da hipérbole Os números a b e c são conhecidos como parâmetros geométricos da hipérbole As retas r e r pelo centro O de incli nação ba e ba respectivamente são as assíntotas da hipérbole ver Subseção 733 Qualquer segmento cujos extremos estão sobre H é denominado corda da hipér bole Chamamos de amplitude focal da hipér bole o comprimento de uma corda que contenha um dos focos da hipérbole e que seja perpendicular à reta focal desta O retângulo fundamental da hipérbole é a região retangular R x y E2 x a a y b b Uma hipérbole é dita equilátera quando os parâmetros geométricos a e b dessa hipérbole são iguais 173 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 732 Equação da Hipérbole Escrevendo a equação 72 apresentada na Definição 72 e manipulandoa algébrica mente de modo análogo ao que fizemos para a elipse chegamos ao seguinte resultado Proposição 714 Uma hipérbole H de focos F1 c 0 e F2 c 0 e eixo transverso medindo 2a tem equação x2 a2 y2 b2 1 77 onde b é tal que c2 a2 b2 Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da hipérbole ou equação reduzida da hipérbole Observação 715 Se na dedução da equação da hipérbole tivéssemos partido de focos local izados sobre o eixo Oy ou seja F1 0 c e F2 0 c teríamos chegado à equação y2 a2 x2 b2 1 733 Assíntotas Definição 716 Uma reta r de equação y mx n é dita ser uma assíntota de uma dada função f a R em a R se a distância entre o gráfico de f a reta r tende a zero quando x vai para infinito isto é se lim x dP r 0 78 onde P x fx Analogamente podemos definir assíntota de f em A proposíção abaixo mostra que hipérboles admitem duas assíntotas Proposição 717 As retas r e r de equações r y b a x e r y b a x 174 sdo assintotas da hipérbole H de equacdo 2 2 4e1 ax Demonstracao De fato para uma tal hipérbole H temos que P xy H see so mente se bx ay ab Entéo temos bx ax dPr Pr4 bx ay bx ay Viet a bx ay at a2y Veta lox tay b 1 Vb a bx ay Assim sendo temos que lim dPr 0 xy o000 Pr Analogamente temos também que lim dPr 0 xy 4e0Foe0 O Observacao 718 Rigorosamente r e r sdo assintotas no sentido da Definido 716 da fundo 2 x fx byf5 1 em 00 e oo respectivamente e da funcdo 2 x f x b p 1 em oo e 00 respectivamente Fungoes essas obtidas da equacdo de H isolandose 0 pardmetro y 175 734 Esboco da Hipérbole Seja uma Hipérbole H de equacao 2 2 Zo poh ax com ab 0 Como na elipse observamos que se um ponto P xy esta na hipérbole H também a ela pertencem os pontos P xy P xy e P xy Assim sendo a hipérbole 1 é simétrica em relagao aos eixos Ox e Oy Além disso isolandose 0 pardmetro y da equacao de H obtemos b y V x a Estudemos entao o grafico da funcao f ac00 R b XV x a Observacao 719 Observe que no caso a hipérbole para x 0a temos x a Oe portanto f ndo fica bem definida Note agora que fa 0 nos da 0 vértice A a0 da hipérbole Além disso temos que f é crescente ja que para X9x1 a 00 temos x9 x Sp x Sep a b b VO P aVt a fxo fx1 Calculo diferencial nos permite concluir que o grafico de f também é céncavo no caso da hipérbole A concavidade do grafico de f decorre do fato de que a segunda derivada de f é dada por Mi ab fx x2 a2372 que é negativa para todo x a00 b Finalmente sabemos que fx temaretar y 7x como assintota e é tal que fx b 7X para todo x a 00 Desse modo sabemos que fx se aproxima assintoticamente de r por baixo dessa reta quando x tende a o 176 735 Exemplos Exemplo 720 Uma hipérbole H tem vértices nos pontos 04 e 04 e um foco no ponto 50 Obtenha a equacao da hipérbole e de suas assintotas Solucdo E facil perceber que H é uma hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy Assim sua equacao é do tipo 2 2 Yoox ep com c a b e 2c a distancia focal Como H tem vértices 04 e 0 4 segue que a 4 Como um dos focos de H é 50 segue que c 5 Logo a partir da igualdade c a b obtemos b 3 Assim a equacao de H é 2 2 Yo o 4 16 9 As assintotas de H sao r x bayerx bay ou seja rixe rix A y 4 y O Exemplo 721 Uma hipérbole H tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem Sabendo que uma das assintotas de H éa reta 3x 2y Oe que P 4V26 H determine a equacao de H Solucao Focos no eixo Ox 2 2 Seja a 1 a equacao da hipérbole procurada Como a reta 3x 2y 0 que é 30 a também a reta de equacao y 5 uma das assintotas obtemos b 3 a2 3 ja b a ou seja 5 Usando que P H obtemos vie a 177 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Usando que b 3 2a e simplificando algebricamente a igualdade chegamos então a 16 a2 1 Donde a2 16 ou seja a 4 Usando novamente que b 3 2a obtemos então b 6 Logo chegamos à equação H x2 16 y2 36 1 Focos no eixo Oy Seja agora y2 a2 x2 b2 1 a equação da hipérbole procurada Como a reta 3x 2y 0 que é a também a reta de equação x 2 3y é uma das assíntotas obtemos b a 2 3 ou seja b 2 3a Usando que P H obtemos 62 a2 4 22 b2 1 Usando que b 3 2a e simplificando a equação chegamos a 36 a2 1 Como a2 0 observamos que não existe a tal que a igualdade acima seja satisfeita ou seja não existe hipérbole com focos no eixo Oy contendo P e com assíntota 3x 2y 0 Conclusão A única hipérbole cuja equação resolve o problema é H x2 16 y2 36 1 Exemplo 722 Encontre o centro os focos e vértices da hipérbole de equação 178 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 9x2 4y2 18x 8y 31 0 Solução Tentaremos aqui manipular a equação dada de forma a obter uma equação da forma x x02 a2 y y02 b2 1 que representa uma hipérbole de centro C x0 y0 focos F1 x0 c y0 e F2 x0 c y0 onde c2 a2 b2 e vértices V1 x0 a y0 e V1 x0 a y0 Comecemos completando quadrados escrevendo 9x2 18x 9 4y2 8y 4 9 4 31 0 Donde temos 9x 12 4y 12 36 E finalmente x 12 4 y 12 9 1 Tal equação representa uma hipérbole de centro C 1 1 de parâmetros a 2 b 4 e c 2 5 Logo temos focos F1 1 2 5 1 e F2 1 2 5 1 e vértices V1 3 1 e V1 1 1 74 parábola b F d b O V P y x b A b B Figure 76 Parábola Conforme descrito na Definição 73 uma parábola P de foco F e reta diretriz d é o lu gar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias a F e d são iguais Nesta seção estudaremos funções quadráti cas de uma variável cujos gráficos represen tam parábolas com retas diretrizes paralelas aos eixos coordenados Em particular veremos a chamada forma canônica da parábola que é a equação que representa uma parábola com vértice na origem foco sobre um dos eixos co ordenados e reta diretriz paralela ao outro eixo coordenado 179 741 Terminologia O ponto F descrito na Definicao 73 é denominado foco da parabola A reta d também descrita na Definicao 73 é denominada diretriz da parabola A distancia 2p entre o foco F e a reta diretriz d da parabola é chamada parametro da parabola O ponto V de interseccdo da perpendicular a d por F com a parabola é 0 vértice da parabola A reta perpendicular a d por F é 0 eixo de simetria da parabola Qualquer segmento cujos extremos estado sobre P é denominado corda da parabola Tomando A e B os extremos da corda que contém F e é paralela a diretriz d obtemos o tridngulo AVAB denominado triangulo fundamental da parabola 742 Equagdo da Parabola Para uma parabola com diretriz paralela ao eixo Ox e vértice na origem do sistema de coordenadas vale o seguinte resultado Proposigao 723 Uma pardbola P de foco F 0 p e reta diretriz d y p p 0 tem equado 1 2 x 79 Y a Tal equacdo é usualmente conhecida como a forma canénica da parabola ou equagdo reduzida da pardbola Demonstracao Seja P xy um ponto da parabola A partir da equacado FBI dPd obtemos VetypPhytp Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos xy 2py pe y 2py pr 180 Simplificando e isolando y chegamos entao a 1 2 r ap O Observacao 724 Para uma pardbola de foco F p0 e reta diretriz vertical d x p uma demonstragdo andloga nos levaria a equacdo 1 2 1 x a y 710 a qual também é conhecida como forma canénica da pardbola No caso particular da parabola porém é importante destacar sua descricao como grafico de func6es quadraticas de uma variavel real Definiao 725 Uma funcao f R R é dita quadratica quando existem abc reais com a 0 tais que fx ax bx c para todo x R Sobre funcdes quadraticas vale 0 seguinte resultado Proposicéo 726 O grdfico da funcdo quadrdtica fx ax bx c é uma pardbola com foco b A1 F 2a s Aaa diretriz A1 dy Y Aa veértice b UA V 2a onde A b 4ac Observacao 727 O grafico de uma funcdo f R R é o lugar geométrico dado pela equacdo y fx Logo pela Proposicdo 726 y ax bx c a equacdo de uma pardbola com diretriz paralela ao eixo Ox 181 E andloga a demonstragdo da proposigdo acima o fato de que x ay by c é equacdo de uma pardbola com foco A1 b F Aq diretriz A1 dx Aq véertice Ab v 4a onde A b 4ac Observacdo 728 E importante notar que as funcées fx ax bx c e gx ax bx c com abc Aabc para algum A F 0 tém mesmas raizes ou seja fx 0 se e somente se gx 0 no entanto seus grdficos sdo distintos e portanto representam pardbolas diferentes A Proposicao 726 segue imediatamente dos Lemas 729 e 730 abaixo demonstrados Lema 729 O grdfico de uma fungdo quadratica fx ax m k uma pardbola com foco 1 F k mira diretriz 1 dyk Y 4a vértice V mk Demonstracao Seja P xy um ponto qualquer do grafico de f de modo que y ax m k Tome F 1m k x edyk Mostremos que FBI dPd ver Definicao 73 Por um lado temos 1 FP x my max m a 182 Donde segue Eby e m2 e2xm4 2ax mt LY 4a 4a 4a2x m 4 2ax m2 4a 4a 12 m24 ax m a 1 ay 4 atx m z Por outro lado dPd ax m k k ax m2 4a 4a Logo vale FP dPd Como o vértice da parabola é 0 ponto médio do menor segmento que liga F ad é facil ver que V mk O Lema 730 Vale a igualdade 9 b b 4ac axbxcax 2a 4a Essa forma de escrever a fundo quadrdatica é conhecida como forma canonica do trinémio de segundo grau Demonstracao De fato b axbxcalxx4 a a b2 Completando quadrado de modo a obter x temos a ea ee a ear Fhe a aj 2a 4a Aa a allx4 b P 4ac 7 2a 4a alx4 b a b 4ac 7 2a 4a O 183 Observagao 731 Vale a reciproca da Proposicdo 726 ou seja fixos mnp Rn p tais que F mn ed y p sdo respectivamente foco e diretriz de uma pardbola entdo existem abc RR tais que a pardbola é grdfico da funcdo fx ax bx c Deixamos ao leitor interessado verificar que vale tal afirmagdo para a p cntpe 2n p np 2n p 743 Esboco da Parabola y P c0 1 x ta aa A Ga x ATI dx a Figure 77 Parabola O esboco da parabola de equacao y ax bx c ou grafico de fx ax bx c pode ser facilmente estudado a partir da forma can6nica do trindmio Lema 730 b b 4ac 2 fx ax bxc ox 5 ha Fixemos para estudo a 0 Facilmente observamos que f tem seu minimo no ponto onde x op 0 ou seja quando x b Qa Jaq 2a Além disso para x1 x2 temos que x4 bY X2 bY 1 2a 2 20 184 donde segue que fx1 fx2 ou seja f é crescente em 5 00 Analogamente b vemos que f decrescente em 0o rb Um pouco de calculo diferencial nos permite concluir que para a 0 o grafico de f é convexo isto é fixos dois pontos Pp e P quaisquer sobre o grafico de f temos que o grafico de f fica abaixo do segmento PP A convexidade do grafico de f decorre do fato de que a segunda derivada de f é dada por fx a0 Finalmente se A b 4ac 0 podemos obter as raizes de f facilmente igualando a forma canonica do trindmio e isolando o paradmetro x obtendo assim a Formula de Bhaskara b Vb 4ac 7 2a Observacdo 732 Sea 0 fx ax bx c tem seu mdximo em x é decrescente b b pA em oo e crescente em oo a tem grdfico céncavo e tem suas raizes dada pela mesma Formula de Bhaskara quando A Q 744 Exemplos Exemplo 733 Determine a equacao da parabola de foco F 12 e reta diretrizr y 4 Solucao Seja P xy um ponto da parabola A equacao EB dpr em coordenadas fica y x 1 y 2 y4l Elevando essa igualdade ao quadrado obtemos x 2x 1 y 4y4 8y 16 Isolando entao o pardmetro y chegamos a 1 4 1 xt 11 I 4 2 a 185 O Exemplo 734 Consider uma parabola P com vértice na origem e com 0 eixo Ox como reta focal Suponha que o ponto 3 6 pertenca a P Determine a equacao de P seu foco F e reta diretriz d Solucao Sabemos que P é uma parabola de pardametro 2p com equacao da forma 1 y 3 Como a primeira coordenada do ponto 3 6 é positiva temos 1 2 Substituindo as coordenadas do ponto 36 na equacdo acima chegamos a p 3 Logo temos 1 2 Pix 3 y Tal parabola tem assim foco F 30 e reta diretriz d x 3 O Exemplo 735 Considere a funcdo quadratica fx x 6x 8 Escreva f na forma quadratica candnica e a partir de tal determine suas raizes Determine as coordenadas do vértice foco e a equacao da reta diretriz da parabola que é grafico de f Solucdo Completando quadrado obtemos fx x 6x 9 1 x 31 queé a forma canonica de f Igualando a forma canonica a zero chegamos a x3 1 Donde temos x 3 1 ou ainda x 341 Logo x 2e x 4 sao as raizes de f O vértice da parabola que é grafico de f ocorre no ponto onde f é minimo ou seja em x 3 Logo as coordenadas do vértice sao 3 1 Claramente o eixo de simetria da parabola em questao é paralelo ao eixo Oy Supon hamos entao que o foco da parabola tenha coordenadas F 31 c ea diretriz tenha equacao d y 1c Note que 0 vértice da parabola dista o mesmo do foco e da diretriz da parabola Considere um ponto P qualquer da parabola diferente do vértice Tome por exemplo P 08 Devemos ter EBI dPd 186 Por um lado temos entao FP 39ce EB 9 92 Por outro lado dPd 81c9c Deve valer entao 99c 9 c Donde temos c 14 Logo F 334 ed y 54 O 75 EXCENTRICIDADE Proposicéo 736 Sejam 7 04 1e F c0 Tome ra reta de equacdo x cy logo paralela ao eixo Oy Entdo se P xy satisfaz a igualdade FP ydPr 711 temos que se 0 y 1 entdo P pertence a elipse de equacdo 2 ete onde a cy eb tal que a b c se 4 1 entdo P pertence a hipérbole de equadao 2 ep onde a cy eb tal que c a b Demonstracao Escrevendo a equacao 711 em coordenadas cartesianas temos c VoePe1Sx 1 187 Elevando essa equacao ao quadrado e manipulando algebricamente o resultado facilmente chegamos na igualdade 1 V1lpPy e 1 was 1 Dividindo tal equacao por c p 1 obtemos x2 2 aat t 1 eG 1 Entao para 0 74 1 observamos que c 1 0 Tomando entao a c7 e b2 c 1 de modo que a b c temos eo G2 n 1 23 2 272 e2 21 Caso 7 1 temos que c pt 0 Tomando a cy e b c pz de modo que c a b segue 2 2 551 a vb O Proposicao 737 Sejam 7 1e F c0 Tome r a reta de equacdo x c Entdo se P xy satisfaz a igualdade FP ydPr 712 temos que y 4ex Demonstracao Escrevendo a equacao 712 em coordenadas cartesianas temos Vxc cx Elevando essa equacao ao quadrado e manipulando algebricamente o resultado facilmente obtemos y cx O 188 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Observação 738 A reta r e o ponto F desctritos nas proposições 736 e 737 são denominados respectivamente reta diretriz e foco da cônica em questão O parâmetro η que aparece em ambas as proposições é denominado excentricidade da cônica Observação 739 É facil mostrar que as recíprocas das proposições acima são válidas ou seja Se P x y é um ponto da elipse de equação x2 a2 y2 b2 1 então tomando c 0 tal que a2 b2 c2 η ca note 0 η 1 F c 0 e r x cη2 temos que P satisfaz a equação 711 Se P x y é um ponto da hipérbole de equação x2 a2 y2 b2 1 então tomando c 0 tal que c2 a2 b2 η ca note η 1 F c 0 e r x cη2 temos que P satisfaz a equação 711 Se P x y é um ponto da parábola de equação y2 4cx então tomando η 1 F c 0 e r x c temos que P satisfaz a equação 712 que é a mesma que a equação 711 Excentricidade e a forma de uma cônica A excentricidade η de uma cônica é usualmente usada para estudar o formato das cônicas No caso da elipse quanto mais η for próximo à 0 maior a semelhança da elipse com um círculo De fato dividindo a2 b2 c2 por a2 teríamos que ba2 1 η2 Logo para η pequeno ba estaria próximo de 1 Assim sendo a e b seriam aproximadamente iguais Tomando b a teríamos então a equação do círculo x2 y2 a2 Para η 1 próximo de 1 teríamos por outro lado que ba seria próximo de 0 ou seja b seria muito menor que a o que nos levaria a uma elipse bem alongada ao longo do eixo Ox Na hipérbole por sua vez se η 0 estiver perto de 1 teremos ba próximo de 0 pois dividindo c2 a2 b2 por a2 obtemos η2 1 ba2 Isso implica que as assíntotas 189 da hipérbole tem inclinacao proxima a 0 ou seja a medida que y fica mais perto de 1 as hipérboles ficam mais proximas do eixo Ox Por outro lado a medida que 7 tende a co temos que ba também tende a 00 ou seja a inclinagao das assintotas da hipérbole crescem de modo que as hipérboles se aproximam do eixo Oy Em geometria dizemos que duas figuras sao semelhantes se podese obter uma a partir da outra pela composicao de isometrias translacdo rotacao reflexao e homotetias fixos centro O e razao k uma homotetia leva P em P pela relagao OP kOP Sobre a semelhanca das cénicas valem 0 seguinte resultado Proposicao 740 Se duas cénicas tém mesma excentricidade entdo elas sao semelhantes em particular todas as pardbolas sdo semelhantes entre si Demonstracao Consideraremos apenas as cOnicas cujas equacOes estao na sua forma canonica pois como veremos no capitulo todas as cOnicas podem ser transformadas na forma can6nica por rotacoes e translacoes Considere duas elipses e de equacoes 2 2 a 1 2 2 E a am 1 Se ambas tém mesma excentricidade temos que ba ba donde segue que aa bb k Tome entado a homotetia i com centro na origem e razdo k ou seja tal que hxy kxky Entao afirmamos que se P xy estaem hP esta em E De fato se P satisfaz eo a pe 1 temos que ke ky ae mye ee qi2 p2 a2q2 b2p2 a2 b2 A semelhanga de hipérboles de mesma excentricidade segue de modo analogo No caso de duas pardbolas P y ax e P y ax tome k aa Dai se P xy esta em P temos que vale y ax Por outro lado tomando a homotetia hx y kx ky temos 2 147 9 a 2 a kx a x ax ky O 190 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 76 construções de dandelin Elipse Figure 78 Elipse Dado um cone com ângulo de abertura 2α e um plano π que intersepta o cone e faz um ângulo superior à α com o eixo do cone temos na intersecção uma elipse É possível encontrar duas esferas S1 e S2 que tangenciam o plano π e o cone internamente ver Figura 78 Tais es feras são conhecidas como esferas de Dandelin da elipse Mostremos usando as esferas de Dandelin que a soma das distâncias de um ponto X da elipse aos focos F1 e F2 é constante isto é F1X F2X k onde k é um número real fixado obviamente maior que a distância focal da elipse Suponha que S1 e S2 tangenciam o cone nos círculos C1 e C2 respectivamente Seja X um ponto qualque da elipse A reta OX que passa por X e pelo vértice O do cone intersepta C1 e C2 em pontos H1 e H2 respectivamente Observe que a soma XH1 XH2 independe do ponto X da elipse medindo sempre H1H2 Parábola X π γ b O bD b b B b C α β θ φ Mostraremos no que se segue que a curva parábola formada pela intersecção de um cone de ângulo de abertura 2α e vértice O com plano π que faz um ângulo α com o eixo do cone obedece de fato a equação FX ηdX r 191 com 7 1 onde F é o foco da parabola r a sua diretriz e X um ponto qualquer da cénica Considere a esfera simultaneamente tangente in terna ao cone e tangente ao plano 7r Seja y o plano que contém os pontos de tangéncia da esfera com o cone Afirmamos que o ponto de tangéncia da esfera com o plano z é 0 foco da parabola e que a reta r obtida pela interseccao de 71 e y a reta diretriz da parabola Seja X um ponto qualquer da parabola Seja C a interseccao da reta OX uma geratriz no cone com y Considere B a projecao ortogonal de X em y e D o ponto na diretriz r 71 tal que o triangulo AXBD se encontre num plano ortogonal a 7 Afirmamos que qualquer que seja X ponto da parabola os tridngulos AXBC e AXBD sao congruentes Observacao 741 Cuidado ndo confundir sua intuigdo com a Figura 79 que apenas uma projecdo no plano de uma figura tridimensional O triangulo AXBC estd ndo é coplanar ao plano da figura no papel ele entra no papel A congruéncia dos tridngulos segue do fato de que os angulos a B 8 e sao todos congruentes por qué XBC XBD e XB é um lado comum a ambos 0s triangulos Congruéncia ALA Observe assim que XC XD Mas XD dXr e XC XE onde F é 0 foco da parabola pois XC e XF sao tangentes a esfera em C e F Logo FX yaXr com 4 1 Exercicios Ex 61 Provemos que a curva elipse formada pela interseccao de um cone de angulo de abertura 2x com plano 7 que faz um angulo 8 a com o eixo do cone obedece a equacao FX yaXr com 7 1 onde F 0 foco da elipse e r a sua diretriz Considere como fizemos para a parabola a esfera simultaneamente tangente interna ao cone e tangente ao plano 7 esfera de Dandelin 192 a Encontre o foco F e a diretriz r da elipse do mesmo modo que fizemos para a parabola b Considere X e X dois pontos da elipse Encontre os pontos B C e D da mesma forma que fizemos para a parabola Encontre B C e D a partir de X de forma semelhante c Mostre que os seguintes tridngulos sao semelhantes AXBD AXBD AXBC AXBC d Mostre que XC XC XD xD onde 7 é uma constante real e Conclua que vale FX yaXr com 7 1 Ex 62 Mostre que a curva hipérbole formada pela interseccdo de um cone de angulo de abertura 2x com plano 7 que faz um angulo a com o eixo do cone obedece a equacao FX yaXr com 7 1 onde F é 0 foco da hipérbole e r a sua diretriz Ex 63 Mostre usando as esferas de Dandelin que os pontos X da hipérbole satisfazem a equacao FX FXll k onde F e F sao os focos da hipérbole e k uma constante real 77 xX CONICAS EM COORDENADAS POLARES 193 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Figure 710 Cônica coordenadas polares Considere a cônica de equação FX ηdX l Consideremos agora coordenadas polares com a origem O localizada em F e com o eixo polar per pendicular a diretriz l da cônica Suponha que a distância entre a diretriz l e o foco F é uma dada constante p e que a cônica está local izada em relação a l no mesmo lado de F como na Figura 710 É fácil ver que no sistema de co ordenadas acima descrito FX r e dX l p r cos θ donde temos r ηp r cos θ Isolando r segue que r ηp 1 η cos θ x y b O bX b A θ Figure 711 Cônica coordenadas polares Suponha agora que que a cônica está localizada em relação a l no lado oposto a F como na Figura 711 A equação FX ηdX l tornase então r ηr cos θ p Donde segue r ηp η cos θ 1 Observe no entanto que como r é positivo para que a equação acima represente um lugar ge ométrico não vazio devemos ter η 1 ou seja a cônica deve ser uma hipérbole Temos então Teorema 742 Considere uma cônica com excentricidade η foco F na origem e com uma diretriz l distando p de F e perpendicular ao eixo polar Ox Se 0 η 1 a cônica é uma elipse η 0 1 ou uma parábola η 1 e todo ponto da curva está localizado no mesmo semiplano em relação a l que F Nesse caso a cônica tem equação r ηp η cos θ 1 713 194 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Se η 1 a curva é uma hipérbole com ramos em ambos os lados de l O ramo à esquerda de l satisfaz a Equação 713 e o ramo à direita de l satisfaz r ηp η cos θ 1 714 78 cônicas e a trajetória dos planetas Nesta seção mostraremos a partir das leis de Newton que a trajetória de planetas sujeitos apenas a força gravitacional exercida por um sol é uma cônica Tal trajetória será uma elipse parábola ou hipérbole dependendo da velocidade inicial do planeta A prova que fazemos aqui foi fortemente inspirada na demonstração das leis de Kepler apresentada no livro Calculus Volume I de Tom Apostol 1 Assim sendo suponha um sol e um planeta de massas M e m respectivamente A segunda lei de Newton afirma que a aceleração a é proporcional a força F por F ma 715 Denotando por r o vetor que liga o sol ao planeta por ur o versor de r e por r a norma de r a lei universal da gravitação afirma que a força exercida pelo sol no planeta obedece F GMm r2 ur 716 onde G é a constante gravitacional A partir das equações 715 e 716 temos a GM r2 ur 717 Mostremos inicialmente que a trajetória do planeta está contida no plano perpendicular aos vetores posição r e velocidade v Observe para isso que o vetor r v é constante d dtr v dr dt v r dv dt v v r a r a 0 Denotemos r v por c Como r c r r v 0 segue que o vetor posição é sempre perpendicular a c logo a trajetória é de fato plana Observe que se c 0 temos que r e v são paralelos e a trajetória será uma reta cônica degenerada Suponhamos no que se segue que c 0 Mostremos agora que a trajetória é de fato uma cônica 195 Fixe um eixo polar passando peso sol e seja 0 o Angulo entre r e tal eixo Seja ug 0 vetor wor du unitario perpendicular a r dado por 7 Usando coordenadas polares temos que r ruy Disso segue dr drt dr 4 ue dr 4 ples 10 dr 4 7 dt dt dt dt dt d0dt dt dt Donde obtemos rX v ru x dr 478 pi x c ru apts awe Ur X Up Dessa expressao segue GM dé axc 2 Ur x rapt ue dé dé GM ur x uy X ug GM uo 718 Observe agora que d dv de av Xo Gp Xetvx a axe 719 Por outro lado d duy du dO dg Das equacoes 718 719 e 720 segue entao que d d a xc i CMur Donde por integracao obtemos vxcGMub onde b é um vetor constante Tomando e tal que GMe b segue que vxcGMue Multiplicando escalarmente ambos os lados da equagao acima por r temos rvxcGMrre GMr1yncos onde 7 e e é o Angulo entre re e Como c r v temos por outro lado que revxXcrxvcccC 196 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici onde c c Assim temos finalmente GMr1 η cos φ c2 Fazendo p c2 GMη e isolando r segue a equação r ηp η cos φ 1 que é a equação de uma cônica com foco no sol e excentricidade η como queríamos demon strar Observação 743 Observe que como e é uma constante de integração e η e temos que a excentricidade depende fundamentalmente das condições iniciais do movimento isto é da posição e velocidade iniciais do planeta Verifique 197 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 8 C URVAS 81 parametrização de curvas No Capítulo 3 estudamos as equações de uma reta no espaço e vimos que tal entidade geométrica pode ser representada pelas equações paramétricas r x a v1t y b v2t z c v3t 81 onde S0 a b c é um ponto da reta r e v v1 v2 v3 é um vetor paralelo a r A y x z Xt xtytzt Figure 81 Curva Parametrizada Nesse ponto observamos que a reta representada pelas equações 81 pode ser inter pretada como a trajetória no espaço E3 descrita por um corpo em movimento retilíneo uniforme com posição inicial S0 e velocidade v Assim as equações 81 são meramente a representação em coordenadas da clássica equação da física St S0 vt na qual St xt yt zt descreve a posição do corpo em questão no instante de tempo t 199 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Um dos objetivos desse capítulo será o de representar outras curvas no espaço de modo semelhante isto é imaginando um corpo que se move livremente pelo espaço e descrevendo a posição Xt xt yt zt desse corpo no instante t onde agora x y e z são funções não necessariamente lineares de R em R ver Figura 81 Nesse intuito podemos então definir Definição 81 Uma curva parametrizada no espaço com parâmetro t é função contínua no qual I a b é um intervalo da reta real De modo análogo podemos definir uma curva no plano como uma função contínua X I R2 Usualmente pedimos uma certa regularidade para as funções xt yt e zt pedimos tenham derivadas de toda ordem para que seja possível definir um vetor velocidade um vetor aceleração etc Observamos que no caso de uma curva qualquer o vetor velocidade que era constante nas equações da reta agora é um vetor tangente a curva que varia com o parâmetro t Definição 82 Dado uma curva X I R3 Xt xt yt zt com xt yt e zt diferenciáveis então o vetor tangente é dado pela derivada Xt xt yt zt da função X em relação a t O processo de descrever uma curva geométrica como uma função X I R3 é con hecido como parametrização Exemplo 83 A equação mais simples para uma parábola y x2 pode ser trivialmente transformada em uma parametrização utilizando um parâmetro livre t e estabelecendo x t y t2 para t Exemplo 84 Parametrize o círculo de raio 2 em R2 e descreva seu vetor tangente 200 y X AN L Solucao Para parametrizar o circulo utilizaremos como parametro o angulo t Com essa escolha temos as coordenadas de um ponto P xy pode ser descritas utilizando que x 2cost e que y 2sent Para descrevermos todos os pontos o angulo t deve variar em 0 271 Assim a curva plana X 027 IR dada por Xt 2cost2sent descreve um circulo de raio 2 em R Finalmente o vetor tangente de X no instante t pode ser calculado derivando a parametriza cao Xt 2cost2sent e é dado por Xt 2sent2cost O Observacdo 85 Uma curva X ab IR como por exemplo a curva descrita no Exem plo 81 para a qual o ponto inicial é igual ao ponto final Xa Xb é denominada curva fechada f 7 ee SY Figure 82 Hélice 201 Exemplo 86 Descreva a curva espacial cuja parametrizacao é Xt costsentt10 Solugao Para descrevermos a curva comecamos observando que a projecao da curva Xt no plano xy é dada por Xt costsent e consequentemente é um ponto do circulo de raio unitdrio Logo a curva esta contida no cilindro x y 1 Na diregao z a curva se move com velocidade constante Assim a curva espacial Xt costsentt10 descreve uma hélice contida no cilin 2 9 270 dro x y 1 Tal curva caminha io direcao de z para completar uma volta em torno do cilindro Observe a figura ao lado Oj Exemplo 87Grafico de Fungao O grafico de uma fungao f R D R diferenciavel é uma curva em R Tal curva pode ser representada pelas equac6es paramétricas Xt t ft Observe que o vetor velocidade de tal curva é dado por Xt 1 ft Na figura 83 apresentamos a curva tsent dada pelo grafico da funcdo sen x em R cujo vetor velocidade no tempo t é 1cosf Figure 83 Grafico de sen x Figure 84 Curva nao injetora Exemplo 88 A curva Xt f 4t 4 é uma curva parametrizada nAo injetora ver Figura 84 pois X2 X2 00 Esse exemplo mostra que que nem toda curva do plano pode ser descrita como grafico de uma funcao 202 Observacao 89 Uma curva parametrizada injetora sem autointersecgdes é dita ser uma curva simples Figure 85 Curva diferenciavel com bico Exemplo 810 Observamos por fim um fato que pode parecer a principio contradizer nossa intuicao de diferenciabilidade propiciada pelo estudo de funcoes reais e seus graficos em cursos de calculo diferenciavel Uma curva parametrizada pode ser diferenciavel e ter Dicos ou arestas desde que o vetor velocidade se anule nesses pontos Observe a curva Xt 8 t cujo vetor velocidade existe para todo t e é dado por Xt 37 2t Observacao 811 Uma curva parametrizada diferencidvel Xt tal que Xt 4 0 para todo t é dita ser uma curva regular Podese mostrar que curvas regulares ndo admitem bicos Exemplo 812 A cicloide uma curva classica estudada por Galileu entre outros consiste na curva tracada por um ponto fixado numa circunferéncia que rola ao longo de uma reta ver Figura y 1 4 e xX Figure 86 Cicldide 203 y y Ts I c A X B a O rt x Figure 87 Cicldide parametrizada A cicldide esta ligada por exemplo ao problema da braquistécrona que descreve uma curva ligando dois pontos A e B com B localizado a uma altura menor que A e que tem a propriedade de ser a trajetoria rampa capaz de minimizar 0 tempo para um corpo ir de A a B quando este esta submetido apenas a gravidade Além disso a cicldide invertida também é solucao do problema da tautécrona que trata de uma curva onde nao importa onde uma particula seja colocada ela leva o mesmo tempo para deslizar até o fundo Obtenha as equacgdes paramétricas da cicldide passando pela origem O do sistema de coordenadas e obtida a partir de um circulo de raio r rolando sobre 0 eixo x Solucao Seja t o pardmetro que representa o angulo de rotacao do circulo Quando o circulo girar de um angulo f teremos que a distancia percorrida ao longo do eixo sera o comprimento do setor circular entre A e B ver Figura 87 ou seja rt Dessa forma é facil concluir que as coordenadas de A sao x rtrsent y rrcost Logo a equacdo que representa tal curva é dada por Xt rt sentr1 cost O 82 CURVAS EM COORDENADAS POLARES Coordenadas polares séo muito titeis quando trabalhamos com curvas com algum tipo de simetria em relagao a origem do sistema de coordenadas Observe isso nos proximos exemplos 204 fo 4 1 r 1 1 Figure 88 Circulo de raio 2 Exemplo 813 Um circulo de raio 2 como na figura ao lado como sabemos pode ser representado num sistema cartesiano pela equacdo x y 4 Note que em coordenadas polares o mesmo lugar geométrico pode ser representado pela equacao r 2 Olhando o circulo como curva parametrizada em coordenadas cartesianas podemos representalo pela equacgdo Xt 2cost2sent para t 027 Em coordenadas po lares teriamos o seguinte r V4cost4sent 2 9 t 4sent arctg t 8 4Acost Logo a mesma equacdo em coordenadas polares ficaria Xt 2f COM t 027 aN fo 10 Es 10 r af 20 j 30 ti NN SN 20 a oO J Figure 89 Espiral Exemplo 814 Observe a espiral que é 0 lugar geométrico dado equacao r 20 0 205 em coordenadas polares No mesmo sistema de coordenadas poderiamos parametrizar tal curva com Xt 2tt para t 0 Em coordenadas cartesianas no entanto teriamos x rcosé 2tcost y rsené 2tsent Donde obteriamos Xt 2fcost2tsent para t 0 Observe no entanto que apesar de podermos representar o lugar geométrico de tal curva por r 20 6 0 é dificil representala no sistema cartesiano como uma equacao envolvendo x e y apenas Poderiamos pensar em escrever 4 x y 2arctg m7 7 mas como a curva tem pontos com x 0 e a funcao arctg tem imagem em Gz tal 7 equacao descreveria apenas o trecho de r 20 para 0 0 Melhor seria escrever tg Vet 2 x que descreve toda espiral exceto os pontos onde x 0 Mesmo assim tal equacao é evi dentemente mais complexa que r 20 Mais alguns exemplos de curvas classicamente representadas em coordenas polares estao descritos abaixo Tente verificar e comparar nesses exemplos as equacdes nos sistemas cartesiano e polar St Figure 810 Cardioide Exemplo 815 O cardidide descrito em coordenadas polares pela equacao r a1 cost 206 onde a é um ntimero real positivo tem em coordenadas cartesianas equacdo x y ax ax 7 A sua representacao paramétrica que em coordenadas polares assumiria a forma Xt a1costt para t 0271 tem no sistema cartesiano a forma 1f t Xt 2a da 1 1 4 1 F 2 4 6 8 SK Z Figure 811 Elipse de eixos 10 e 6 Exemplo 816 A elipse ao lado com eixo maior 10 eixo menor 6 e com um dos focos na origem pode ser representada em coordenadas polares pela equacao re 9 54cost Num sistema cartesiano tal curva seria descrita por x4 2 2 x 4 y 1 25 9 83 COORDENADAS ESFERICAS E CILINDRICAS Durante o século XV quando a Europa vivenciava o periodo das grandes navegacoes os navegadores que sabiam caminhar sobre um globo aproximadamente esférico comecaram a usar um sistema de localizacao na Terra formado pela latitude e longitude de um ponto Nesse sistema a Terra fica dividida por paralelos circulos centrados no eixo de rotacao da Terra e localizados em planos perpendiculares a este mesmo eixo e meridianos circu los com centro localizado no centro do globo terrestre passando pelos polos norte e sul determinados pela interseccao do eixo de rotacao do planeta com o globo 207 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Figure 812 Latitude e Logitude Como podemos observar na Figura 812 podemos localizar um ponto na Terra pela sua latitude que mede o ângulo entre 90o e 90o com vértice no centro da Terra formado entre o ponto e a linha do Equador e pela sua longitude que mede o ângulo entre 180o e 180o entre o ponto e o meridiano de Greenwich tido desde 1884 como o meridiano de referência para navegação Figure 813 Coordenadas Esféricas O sistema de coordenadas esférico de grande utilidade em problemas com simetrias em relação a origem do espaço é semelhante ao sistema de latitudes e longitudes usado em navegação A única diferença é que para localizar um ponto qualquer do espaço é necessária além dos dois ângulos a distância do ponto a origem do espaço Observe que para localizar uma estrela qualquer no universo poderíamos dar a distância da mesma à Terra e a latitude e longitude do ponto onde aquela estrela estará exatamente em cima de nós 208 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Para definir um sistema de coordenadas esférico precisamos escolher um ponto de origem O e duas direções ortogonais conhecidas como zênite e referência do azimute No caso do exemplo descrito acima o zênite é dado pela direção do eixo de rotação da Terra e a referência de azimute é dada pela reta que liga o centro da Terra ao meridiano de Greenwich As coordenadas esféricas r phi θ de um ponto P são então dadas por raio ou distância radial r que é a distância Euclideana entre O e P ângulo polar ou colatitude φ dado pelo ângulo entre 0 e π entre o zênite e a direção do segmento OP azimute ou longitude θ ângulo entre 0 e 2π entre a referência de azimute e a projeção ortogonal de OP sobre um plano ortogonal ao zênite plano de referência Notamos que no exemplo dado pelos paralelos e meridianos da Terra o ângulo de longi tude é igual ao azimute θ mas o ângulo dado pela latitude de um dado ponto é o ângulo complementar ao ângulo polar φ Note que no sistema de coordenadas esférico os pontos localizados sobre o zênite podem ser representados por mais de uma tripla r φ θ De fato para tais pontos com φ 0 ou φ π o ângulo θ não importa Observando a Figura 814 concluímos facilmente que as coordenadas esféricas se rela cionam com as coordenadas cartesianas segundo as seguintes equações Figure 814 Sphere Spirals de MC Escher x r sen φ cos θ y r sen φ sen θ z r cos φ 209 e r x2 y ze 2442 Vxe g arctg L Zz 0 arct 8y Tente verificar isso Exemplo 817 Curva Loxodrémica Problemas com simetria esférica em geral tem uma representacao mais simples em co ordenadas esféricas Observe a curva desenhada por MC Escher em sua obra Sphere Spirals Tal curva é conhecida como curva loxodrdémica e é a curva que cruza os meridi anos sempre com o mesmo Angulo Tal curva é representada por uma linha reta na projedo de Mercator ver Wikipedia isto é se m é a inclinagao da reta e tg é o instante onde a curva cruza o Equador na projecao de Mercator teriamos xt t yt mt to Olhando para a curva numa esfera de raio 1 teriamos em coordenadas esféricas rt 1 At t 7 gt arcsintanhmt to 5 Em coordenadas cartesianas no entanto tal curva seria representada pelas equacoes cost xt coshmt to t sent Wy coshmt to zt tanhmt to Observe que nos sistema cartesiano é dificil a primeira vista até mesmo saber que a curva se encontra numa esfera fato que no sistema esférico é imediato O sistema de coordenadas cilindrico é simplificadamente o sistema de coordenadas polar do plano euclideano complementado com uma terceira coordenada para descrever a altura z do ponto em relacao ao plano Oxy Para definir as coordenadas cilindricas de um ponto é necessaria a escolha de um ponto de origem O eixo Oz para marcar a altura e uma referéncia de azimute no plano perpendicular a Oz pela origem plano de referéncia As coordenadas rz do ponto P sao definidas por 210 r Gz ay 1 oN y Xx Figure 815 Coordenadas Cilindricas distancia radial dada pela distancia euclideana de P ao eixo Oz azimute 0 angulo entre a referéncia de azimute e a projecao de OP sobre 0 plano de referéncia altura z que é a distancia de P ao plano de referéncia As coordenadas cilindricas e cartesianas se relacionam de forma muito parecida com aa relacado entre coordenadas polares e cartesianas x rcosé y rsené Z2 e inversamente r x2 y 0 arct 8y Z2 Exemplo 818 Hélice Voltemos ao Exemplo 81 que descrevia uma hélice que em coordenadas cartesianas pos suia equacao Xt cost sentt10 Em coordenadas cilindricas as equacdes paramétri cas se simplificariam a Xt 1tt10 Estude isso 211 84 COMPRIMENTO DE UMA CURVA Provavelmente em cursos de fisica vocé ja se deparou com a formula As vAt que indica a distancia percorrida As por um corpo que se move durante um periodo de tempo At com velocidade constante v onde v é igual ao comprimento do vetor velocidade v Como poderiamos generalizar o calculo da distancia percorrida para um corpo que se move com velocidade nao constante entre os instantes fp e t ao longo de uma curva parametrizada Xt xt yt Algo que talvez também ja seja familiar a vocé é que tal formula se generaliza por t As vtdt fo onde vt vt Inspirados por essas equacées definimos o comprimento de uma curva X I R parametrizada por Xt xt ytzt no tempo t a partir do ponto fg por t st Ix lat 0 ou de modo mais explicito t st y xb y 2 Pat to Figure 816 Comprimento de uma curva Intuitivamente a formula acima admite a seguinte interpretacao Dividamos o intervalo to t em partes de modo que tp fy t2 ty41 t O comprimento do segmento de reta que liga Xt a Xtj1 obtido pelo Teorema de Pitagoras é dado por As 4 Ax Ay Az2 onde Ax xtiz1 xti Ayi yti41 yti e Az zti41 zt Assim o comprimento As da curva parametrizada Xt de to a t é dado aproximadamente por n As Yo As i0 212 Ver Figura 816 Mas se Att1 t temos AX 2 Az 2 AZ 2 As At i 4 2 F At Ati Vee P GP at AX AYyj AZj onde vt su PYi ez aumentando a particao e diminuindo os i At J At i At intervalos t t temos que no limite a expressdo n as So yn At i0 tornase t st y xb y 2 Pat to Exemplo 819 Qual o comprimento do circulo de raio 1 Solucao O circulo de raio 1 pode ser representado como uma curva parametrizada por Xt costsent Para obtermos 0 comprimento do circulo integramos a norma do vetor velocidade Xt sentcost 270 27 s27 V sen t cos tdt 1dt 271 0 0 O Exemplo 820 Qual 0 comprimento da hélice dada por Xt costsentt10 entre os instantes 0 e 471 Solucao O vetor velocidade da curva é dado por Xt sentcost110 Logo 4 1 4c 101 47101 47t 2t 2 at qt s470 sen t cos t 5 0 100 10 O 213 85 REGIOES PLANAS LIMITADAS POR CURVAS Frequentemente em problemas de fisica e engenharia precisamos encontrar areas de regides do plano limitadas por curvas planas Nao é raro também problemas que envolvem den sidades de massa por exemplo variaveis numa placa plana sobre a qual estamos inter essados em entidades como o peso ou centro de massa Para lidar com tais problemas utilizamse ferramentas desenvolvidas em calculo integral um tema que vai muito além do escopo deste livro No presente momento nao nos é necessario entender quais sao e como podemos utilizar tais ferramentas No entanto a descricao de regides do plano limi tadas por curvas é um tema de grande interesse para a geometria analitica Temas este que trataremos a seguir Um modo interessante de descrevermos regides limitas por curvas é nos utilizarmos de coordenadas cartesianas e escanearmos a regido analisando a interseccao da regiao com retas verticais ou seja retas do tipo x k onde k é uma constante real y B O A x Figure 817 Regido limitada por 3 retas Exemplo 821 Imagine que queiramos descrever a regido interna ao triangulo representado na Figura 817 isto é a area limitada pelos pontos O 00 A 20 e B 12 Podemos descrevéla analisando a interseccao das retas de equacéo x k para k 02 oA 1 com o triangulo Como a reta OB tem equagdo y 5 verlamos que para um dado x oA 1 fixado os pontos do triangulo teriam a coordenada y no intervalo 0 5 Simbolicamente representariamos a area do triangulo por 1 x2 pyrx AAOAB 2 dydx x0 y0 214 y A B E I O I x Figure 818 Regido limitada por 3 retas Exemplo 822 Considere agora 0 tridngulo AOAB limitado pelos pontos O 00 B 42 e C 24 Figura 818 Nesse caso x deve variar no intervalo 04 para cobrir todo o triangulo No entanto quando x pertence ao intervalo 02 a coordenada y fica limitada pelas retas OB e OA e quando x esta no intervalo 24 a coordenada y fica limitada por OB e AB Assim sendo para simplificar a descricdo da regido escaneada por retas verticais descrevemos a area do triangulo AOAB como a soma dos triangulos AOAE e AEAB Descrevendo o triangulo AOAE temos entao que para x entre 0 e 2 os pontos do 1 triangulo ficam entre as retas OB e OA de equacoes y axe y 2x respectivamente 1 1 Logo para x 02 devemos ter 5 y 2x ou seja y 5 2x Simbolicamente x2 py2x AAOAE 1 dydx x0 Jy7x 2 Para o triangulo AE AB teriamos x variando entre 2 e 4 Nesse caso os pontos do trian 1 gulo ficam entre as retas OBe AB de equacdes y sr eyx 6 respectivamente 1 1 Logo para x 24 devemos ter 5x y x6 ou seja y 5k k 6 O que simbolicamente ficaria x4 pyx6 AAEAB 1 dydx x2 Jyr7x 2 215 Finalmente a area do tridangulo AOAB seria representada por AjoaB AAoAE AAEAB x2 py2x x4 pyx6 1 dydx 1 dydx x0 y5 x2 y5 y A O B xX Figure 819 Setor circular Exemplo 823 Considere agora a regido do plano acima do eixo Ox e limitada pelo circulo de equacao x y 4 Figura 819 Podemos descrevéla variando x no intervalo 2 2 e para cada x fixado fazer y percorrer o intervalo de 0 reta y 0 até y V4 x parte da curva x2 y 4 sobre 0 eixo Ox Desse modo a area seria simbolicamente indicada por x2 yV 42 AAoB dydx x2 Jy0 Exemplo 824 Suponha agora que queiramos descrever a regido do plano acima do eixo Ox e limitada pelos circulos centrados em 0 00 e de raios 1 e 2 Figura 820 Nova mente podemos descrevéla variando x no intervalo 22 Mas agora para x 2 1 ex 12 y fica entre a reta y Oe acurvay 4x e para x 11 y esta lim itado pelas curvas y V1 x e y V4 x2 Desse modo a area seria simbolicamente indicada por x1 yV 42 x1 yV432 x2 yV 42 Accua dydx dydx dydx CGHA x2 Jy0 Y x1 yV1x2 Y x1 Jy0 4 216 y Cc G oO H Ax Figure 820 Meio anel Alternativamente poderiamos descrever a mesma area subtraindo a area entre 0 eixo Ox e o circulo de raio 1 da area entre Ox e 0 circulo de raio 2 ou seja x2 pyV4x x1 pyV1x AcCGHA dydx dydx x2 Jy0 x1 Jy0 Quando as regides a serem descritas tém certa simetria circular como nos Exemplos 85 e 85 um modo interessante de descrever as areas é através do uso de coordenadas polares Podemos descrever uma dada regiao variando a coordenada 6 e olhando para a interseccao da regiao com a semireta de equacao 6 k em coordenadas polares Assim a area do Exemplo 85 poderia ser representada variando 6 no intervalo 0 71 e fazendo para cada 0 fixado r percorrer o intervalo 0 2 Simbolicamente representarfamos isso por 0nx pr2 AAoB rdrdé é0 Jr0 Observacao 825 Em coordenadas cartesianas usualmente escrevemos dydx na descrido da drea motivados pelo fato de que a drea de um retdngulo de base Ax e altura Ay é AyAx Em coordenadas polares escrevemos rdrdé ao invés de apenas drd pois a drea de um setor circular definido por um dado A e com raio variando entre r e r Ar aproximadamente dada por rArAé se Ar é pequeno Mais detalhes podem ser encontrados em referéncias cldssicas de cdlculo A regiao do Exemplo 85 por sua vez poderia ser representada variando no inter valo 07 e fazendo para cada fixado r percorrer o intervalo 12 Simbolicamente representarfamos isso por 0nx pr2 AAoB rdrdé 00 Jr1 217 SS 5 Figure 821 Cardioide Exemplo 826 Imagine que queiramos usar coordenadas polares para descrever a regiao do plano limitada pelo cardidide de equagao r 1 cos Para isso fazemos 6 variar no intervalo 0271 e para cada 0 fixado fazemos r variar entre 0 e 1 cos Assim tal regiao seria descrita por 027 pr1cosé A rdrdé 60 r0 Exercicios Ex 51 Esboce as regides descritas abaixo a f L dydx b Io Jo dydx 1 p2 C fo Sox dyax 2 pl dD fof yy axdy e I Joe dydx 3 pV9x A fu J yo dydx 3 pV9x 8 Jo Jo dydx ae h Jo dydx Ex 52 Descreva as regides abaixo de dois modos diferentes usando a notacao para coordenadas cartesianas descrita acima a Regiao limitada pelos eixos coordenados Ox e Oy ea retay2x 4 218 b Regio limitada pelas pardbolas x y 1ex 2y 3 sn 2 2 c Regiao dentro da elipse 1 1 d Regido acima do eixo Ox a direita do eixo Oy e entre os circulos x y 4e Py 9 e Regiao limitada da figura abaixo yA y142 z1 zl1 gy yl Ex 53 Inverta a notacao de para ou para nos itens do Exercicio 51 Ex 54 Esboce as regides descritas abaixo usando coordenadas polares a fc fo rdrdé b fo fp rdrdé c fo fo rdrdé Ex 55 Use coordenadas polares para descrever as regides abaixo a Anel centrado na origem de raio interno 2 e raio externo 4 b Parte do anel centrado na origem de raio interno 1 e raio externo 2 localizada no primeiro quadrante c Parte do anel centrado na origem de raio interno 1 e raio externo 2 localizada no primeiro quadrante entre o eixo Oy e a reta y x 219 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Q MUDANCA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO Como sabemos um sistema de coordenadas no plano é um conjunto de dois vetores linearmente independentes f f2 ou seja uma base E para V7 e um ponto O chamado de origem do sistema de coordenadas Sabemos de modo geral que um ponto fixo P ao ser representado em diferentes sis temas de coordenadas possuira coordenadas distintas Esse fato foi usado inimeras vezes ao escolhermos um sistema de coordenadas para representarmos um problema o mote era que através de uma escolha adequada para o sistema de coordenadas podemos simplificar diversos problemas de geometria analitica Neste capitulo iremos um pouco além e entenderemos a relacao entre a representacao em diferentes sistemas de coordenadas através das mudancas de coordenadas isto é de al gumas transformacoes que nos permitem identificar os objetos geométricos nos diferentes sistemas Mas antes de irmos ao caso geral concentraremos nossos esforcos num tipo espe cial de mudangas de coordenadas as transformacoes ortogonais e em especial a translacdo e rotagdo Estas apresentamse como transformacoes de fundamental importancia para nos uma vez que levam sistemas de coordenadas cartesianos em sistemas cartesianos Q1 TRANSLACAO Uma translacao é uma mudanga de coordenadas entre dois sistemas 4 O B e1e2 eX OB f1 f2 na qual as bases B e B sao iguais isto é apenas O e O diferem Fixado um ponto P do espaco qual a relagdo entre as coordenadas xy de P no sistema Xe as coordenadas x y de P no sistema Sejam hk as coordenadas do ponto O no sistema X Temos entao que na base e1e2 op 1 7 op 7 OP xy OP xy e OO hk Como OP OO OP temos que xy xy hk Dessa forma a mudanga de coordenadas de para assume a seguinte forma x x 4 h y y k onde hk as coordenadas do ponto O no sistema de coordenadas sistema 41 221 y P y O x an x O Figure 91 Translacao 92 ELIMINACAO DOS TERMOS LINEARES DE UMA EQUAGCAO QUADRATICA Vamos agora usar a translacdo para simplificar a equacao fxy Ax By Cxy Dx Ey F 0 eliminando seus os termos lineares As equacoes das translacdes sao xx h yyk Substituindo na equagao de segundo grau temos Ax h B y k C x h y k D x h Ey h F 0 expandindo temos Ah Chk 2Ahx Chy Dh Bk Ckx 2Bky Ek Ax Cxy Dx Bly Ey F 0 Agrupando os termos Ax By Cxy 2Ah CkDxCh2BkEy 91 Ah Bk Chk DhEkF 0 Queremos que os termos lineares se anulem logo 2AhCkD0 Ch2BkE0 222 Se o sistema tiver solucdo entao teremos resolvido o problema Isso ocorre por exemplo se 2A C 4ABC 40 C 2B Caso o determinante se anule podemos nao ter nenhuma solucao sistema impossivel ou um numero infinito de solucdes sistema indeterminado Notemos também que os coeficientes dos termos de grau dois nao se alteram e que o termo constante F vale fhk Ah Bk Chk DhEkF 0 Exemplo 91 Achar uma translacao que elimine os termos lineares da equacao x 5xy 11y x 37y 52 0 Solucao Se substituirmos x xhey k Teremos x h5 x h y k 11 y k x h 37 y k 52 0 92 Donde temos x 5xy 11y 2h 5k 1x 5h 22k 37y h 5hk 11k h 37k 52 0 Como queremos que os termos em x e em y se anulem devemos ter para isso 2h 5k10 5h 22k 37 0 O sistema linear acima possui uma unica solucao h 3k 1 E logo a equagao 92 se simplifica a x 5xy 11y 69 0 O Exemplo 92 Simplifique a equacdo g xy 4x 4xy 7y 12x 6y 9 0 Solucao Usemos agora o deduzido imediatamente antes do Exemplo 92 223 Sejam xx h yay k Para termos os termos lineares nulos devemos ter 8h 4k 12 0 4414k60 Resolvendo esse sistema linear chegamos ah 2ek 1 Temos assim que F g21 42 42 1 71 122 61 9 24 Logo a equago no sistema fica 4 x 4xy 7 y 24 0 O Exercicios Ex 21 Em cada um dos seguintes itens transformar a equacao dada por uma translacao dos eixos coordenados para a nova origem indicada 1x y 2x 6y 6 0 13 23x 2y 12x 4y 8 0 21 3y x7 3y 4y 3y 3 0 21 4xy 3x 4y 13 0 43 Ex 22 Nos iten abaixo por uma translacao dos eixos coordenados transformar a equacao dada em outra desprovida de termos do primeiro grau 12x y 16x 4y 32 0 23x 2y 42x 4y 133 0 3xy x2y100 Ex 23 Dada uma equacdo geral de segundo grau Ax Bxy Cy DxEyF 0 prove que uma translacdo ira eliminar os termos lineares se e somente se B 4AC 4 0 224 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 24 Prove que na equação de segundo grau fx y Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 quando a origem é transladada para o ponto h k o termo constante é transformado em fh k 93 rotação Considere no plano um sistema de coordenadas Σ O e1 e2 A rotação de Σ por um ângulo α corresponde a um sistema de coordenadas Σ O f1 f2 onde os vetores f1 f2 são iguais aos vetores e1 e2 girados de α no sentido antihorário b O x y y x α Figure 92 Rotação Em coordenadas polares temos o seguinte Considere um ponto P de coordenadas r θ Substituindo θ por θ α rotacionamos o ponto P pelo angulo α Por quê Ou seja definindo um novo sistema de coordenadas polares por r r e θ θ α obtemos um sistema de coordenadas polares rotacionado de α A partir da identificação do sistema polar com o sistema cartesianas associado temos que as coordenadas x y de P obedecem x r cos θ y r sen θ Por outro lado denotando por x y as coordenadas de P no sistema cartesiano rota cionado temos então x r cos θ α y r sen θ α 225 e assim x rcoscosa rsenésena y rcosasené rcossena Como x rcos e y rsen segue que x xcosa ysena y xsena ycosa o que relaciona as coordenadas xy de P no sistema com as coordenadas x y de P no sistema cartesiano X rotacionado de um Angulo w Em notacao matricial temos v cosa sena x y sena cosa y Calculando a transformacao inversa matriz inversa segue entao que x cosa sena x y sena cosa y Donde x x cosa y sena y xsenay cosa Eliminemos agora 0 termo misto de Ax By Cxy Dx Ey F 0 através de rotacao Queremos achar uma rotacao por um Angulo tal que a equacao acima se reduza a Ax Bly Dx EyF 0 Substituindo x x cosa ysenaey ycosaxsena em Ax By Cxy Dx Ey F 0 teremos A x cosa y sena B y cos x senw C x cosa ysena y cosa xsena D x cosa y sena E y cosa xsena F 0 226 Expandindo Ax cos a Axy2sena cosa Ay sen By cos Bxy2sena cosa Bx sen Cxy cos a Cx sena cosa Cy sena cos Cxy sen a Dx cosa Dy sena Ey cosa Ex senaF 0 Donde chegamos a Ax2 Bly Cxy Dx Ey 4 F 0 onde A Acos a Bsen Ccosasena B Bcos Asen Ccosasena C Ccos w Csen a 2A cosa sena 2Bcosasena D DcosaEsena E EcosaDsena FF Para eliminar 0 termo misto devemos ter C Ccos a Csen 2A cosa sena 2B cosa sen a seja zero OU seja queremos que C Ccos 2a sen2a A B 0 E assim AB t 2a cot 2a C Um modo mais facil de lembrar dessas equacées é notar que A B A Be que A B Acosa Bsen a Ccosasena Bcos Asen a Ccosasena Acos a Bcos Asen a Bsen 2C cosasena Usando as formulas de Angulo duplo cos sen 6 cos 26 e 2sen cos sen 26 temos A B Acos2a B cos 2a C sen2a A B cos 2a C sen 2a 227 Logo AB 2 A B Csen2a eo coset 1 C sen2a Csen 2a cot 2w 1 Assim A B Cesc 2x Desse modo para acharmos A e B temos de resolver o sistema AB AB AB AB Ccsc2aC 1 Exemplo 93 Simplifique a equacdo g xy 4x 4xy 7y 12x 6y 9 0 Solucao Como vimos na secao anterior a translacao xx2 yy1 elimina os termos lineares e transforma a equacao para 4 x 4xy 7 y 24 0 h2ek1 AB 3 3 Entao uma rotacao por cot 2a eta ira eliminar o termo misto Note 3 5 que se cot 2a 2 entao o angulo esta no primeiro quadrante e csc 2a r SO para sua curiosidade a 26565 Logo Al B ABl11 A BY Cesc 2a 5 Resolvendo o sistema linear temos que A 3 e B 8 e logo a equacao fica 3 x 8 y 24 Y y 8 30 Como veremos depois uma elipse horizontal O Exercicios 228 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Ex 31 Determinar as novas coordenadas dos pontos 1 0 e 0 1 quando os eixos coordenados são girados de um ângulo de 30o Ex 32 Para cada equação abaixo transformar a equação dada por uma rotação dos eixos coordenados do ângulo indicado 12x 5y 3 0 arctg 2 5 2x2 2xy y2 x 0 45o 3 3y2 3xy 1 0 60o Ex 32 Por uma rotação dos eixos coordenados transformar a equação dada em outra desprovida do termo xy 14x2 4xy y2 5x 1 29x2 3xy 9y2 5 3x2 2xy y2 4 0 416x2 24xy 9y2 25x 0 Ex 32 Prove que os números A C e B2 4AC são invariantes por rotações 94 equações geral do segundo grau no plano Através do uso de translações e rotações do sistema de coordenadas podemos observar que as equações de elipses parábolas hipérboles e circunferências podem ser escritas na forma Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0 No entanto nem toda equação nessa forma representa uma dessas cônicas Por exemplo a equação x2 y2 0 ou de modo mais conveniente x yx y 0 representa duas retas concorrentes x y 0 e x y 0 É um bom exercício observar que podemos dividir equações quadráticas do tipo Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0 em três grupos de acordo com as curvas que elas represen tam Equações do tipo elíptico onde C2 4AB 0 vazio ponto circunferência ou elipse Equações do tipo parabólico onde C2 4AB 0 vazio reta união de duas retas paralelas ou parábola 229 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Equações do tipo hiperbólico onde C2 4AB 0 união de duas retas concorrentes ou hipérbole Exemplo 94 Exemplos de equações quadráticas em x y 1 Equações do tipo elíptico x2 y2 1 0 Vazio x2 y2 0 Ponto x2 y2 1 0 Circunferência x2 2y2 1 0 Elipse 2 Equações do tipo parabólico x y2 x2 2xy y2 0 Uma reta x yx y 1 x2 2xy y2 x y 0 União de duas retas paralelas x y2 0 Parábola 3 Equações do tipo hiperbólico x yx y x2 y2 0 União de duas retas concorrentes x yx y 1 x2 y2 1 0 Hipérbole Para uma identificação exata da curva representada pela equação devemos através de translações e rotações obter uma equação simplificada isto é sem termos lineares e misto Para isso sugerimos o seguinte método 1 Verifique se existe termo misto isto é se C 0 Se C 0 complete quadrado e faça uma translação para finalizar a simplificação da equação 2 Caso C 0 proceda como indicado no capítulo de Mudança de Coordenadas para eliminar os termos de primeiro grau via translação Observação 95 Podemos nesse ponto chegar a um sistema incompatível Nesse caso partimos para o próximo passo sem nada fazer 3 Como feito no capítulo de Mudança de Coordenadas eliminamos agora o termo misto via rotação Como vimos no exercício 23 é possível através de translações eliminar os termos lin eares de Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 com certeza se 4AB C2 0 230 941 Caso 4ABC 40 Nesse caso a simplificagado segue via translacao e rotacao Exemplo 96 Reduzir a equacdo x 5xy 11ly x 37y 52 0 Solucao Fazemos a translagdo x xhey y k e queremos que os coeficientes de x ey se anulem Para isso teremos que 2h 5k10 5h 22k 37 0 Cujas solucdes sao h 3 e k 1 Ou seja a nova origem 0 ponto 31 e nesse sistema a equacao fica x 5xy 11 y 690 Para eliminar 0 termo misto devemos rotar a equacao por cot 20 125 E a equacao apos a rotacao fica sendo Mo WM2 ny2 A x By 69 Onde A BY ABe A B Bcot 20 1 e assim 23 3 Av Zepl2z 2 2 e a equacao se reduz a x y 4f 6 46 O 942 Caso 4AB Cc 0 Neste caso nao tentaremos eliminar os termos lineares e passaremos direto ao termo misto Para eliminar 0 termo misto faremos uma rotacao pelo angulo dado por AB t 2x cot 2a C 231 Exemplo 97 16x 24xy 9y 15x 17y 15 0 Solucao Neste caso 4AB C 0 Eliminaremos 0 termo misto rotacionando por um angulo de AB 7 Neste caso temos um tridngulo de lados 7 24 e 25 e desta forma sen 20 2425 e cos 20 725 Também sabemos que 0 sen 20 1 cos 26 e logo tg 0 2418 43 e logo sen 45 e cos 35 e as equagoes da rotacao ficam sen 20 2cossené cos 20 cos 6 sen 6 3 4 TS 5N 5 e 43 e a equacao reduzida pode ser calculada pelas equac6es ABAB25 A B Cesc 2a 25 e logo A 0 e B 25 ea equacao se reduz a 3 4 4 3 2 2 Py 2 34 2x 4 24 71 5 y 38 3x v 3 5 3y 0 25 y 50x 10y 71 0 Completando os quadrados temos 1 7 2 4 5 25 O Exercicios 232 Ex 41 Identifique e desenhe as curvas mostrando os novos eixos apos a rotacao e translacao 12x7 4xy 5y 8x 14y50 2x 5xy 13y 7x 31ly 37 0 33x7 12xy 8y 24x 40y 60 0 411x 6xy 3y 12x 12y 12 0 57x 8xy y 14x 8y 16 0 66x 12xy y 36x 6y 0 79x 15xy y 63x 0 825x 120xy 144y 86x 233y 270 0 95x 120xy 144y 312x 130y 156 0 10x 4xy 4y 3x 6y 28 0 114x 12xy 9y 2x 3y 2 0 dois problemas 95 UM POUCO DE ALGEBRA LINEAR Dado uma matriz real 2 x 2 A ayy 442 421 422 ev xy um vetor no plano Definimos o produto da matriz A pelo vetor v como Av ax ay2y ao1X a22Y O produto da matriz A pelo vetor v definida acima é linear isto é satisfaz AAyu Agv AAju Adov para todos os vetores uv e para todos escalares AA2 A demonstracao desse fato sera deixada como exercicio Definicgao 98 Um numero real A é dito autovalor para a matriz A se existir um vetor v nao nulo tal que Av Av 233 Dado A um autovalor da matriz A diremos que que um vetor u é um autovetor de A associado ao autovalor A se Au Au Em coordenadas temos as seguintes condicoes a11x ayzy aarx any Ax Ay Ou equivalentemente ay Ax ayy 0 ay x a22 Ay 0 O sistema acima tem solucao nao trivial somente se aiA ar det 0 az1 ao2 A Ou seja A é um autovalor da matriz A se e somente se for raiz do polindmio pyA a11 A az22 A 412421 O polinémio pA é dito polinédmio caracteristica da matriz A Os argumentos anteriores provam o seguinte teorema Teorema 99 Os autovalores de uma matriz A sdo as raizes do polinémio caracteristico da matriz A Para uma matriz simétrica temos Teorema 910 Dado uma matriz A simétrica 2 x 2 entdo 1 A possui dois autovalores reais A e Ap 2 Existe um par de autovetores u e v relativos aos autovalores 1 Az respectivamente Esses autovetores sao ortogonatis 3 Considere a matriz B cuja primeira coluna é formada pelas coordenadas de u e a segunda coluna é formada pela coordenadas do vetor v entdo A 0 BAB O Ag Demonstracao O discriminante da equacdo quadratica p4A 0 é A AC B Como o discriminante é nao negativo as raizes sao reais 234 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 1 2 Se 0 a equação tem pAλ 0 tem raízes reais distintas λ1 λ2 Sejam u e v tais que Au λ1u e Av λ1v Vamos provar que u e v são ortogonais Au v u Av Logo λ1u v λ2u v λ1 λ2u v 0 e logo u v 0 3 Fazer 235 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Apêndice 237 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici A NOTAÇ ÃO DE SOM AT ÓRI O A notação de Somatório é um modo sucinto de escrever somas tais como 12 22 n2 Observe que na soma acima o termo típico a ser somado é da forma k2 e estamos so mando esses termos de 1 até n Um modo sucinto e muito útil de escrever essa soma é utilizando a notação de somatório n k1 k2 A expressão anterior deve ser lida como soma de k2 com k variando de 1 até n E de modo mais geral a soma dos números reais a1 an pode ser escrita usando a notação de somatório como n k1 ak a1 an Claramente não é necessário que a soma comece do 1 Assim por exemplo podemos escrever 4 s0 2s 1 1 3 5 7 9 5 j2 jj 22 33 44 55 De modo análogo ao fatorial podemos definir o somatório recursivamente como Definição A1 Dado ak uma sequência de números reais Definimos o somatório de ak de 1 até n como sendo a função n k1 ak N R que satisfaz as seguintes pro priedades 1 1 k1 ak a1 2 n k1 ak an n1 k1 ak para todo n maior que 1 239 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Assim por exemplo pelas definições acima temos que 2 k1 ak a2 1 k1 ak a2 a1 3 k1 ak a3 2 k1 ak a3 a2 a1 4 k1 ak a4 3 k1 ak a4 a3 a2 a1 Exercícios Ex 01 Ache o valor das seguintes somas a 5 k1 k b 5 k2 2k c 5 k0 2k 1 d 5 k1 1 3k2 240 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici B F UNÇ ÕE S T RI G ONOM É T RI C AS Começaremos com uma definição provisória porém muito útil Para um ângulo agudo as funções trigonométricas são definidas como cateto adjacente cateto oposto hipotenusa θ sen θ cateto oposto hipotenusa cossec hipotenusa cateto oposto cos θ cateto adjacente hipotenusa sec θ hipotenusa cateto adjacente tg θ cateto oposto cateto adjacente cotg θ cateto adjacente hipotenusa As definições acima não se aplicam para ângulos obtusos e negativos porém podemos generalizar as funções trigonométricas para um ângulo θ qualquer através do circulo trigonométrico O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas x y b O bP θ Para cada ângulo θ existe um único ponto P perten cente ao círculo tal que o segmento OP faz um ângulo θ com o eixo x O seno é definido como a projeção do segmento OP sobre o eixo y O cosseno é definido como a projeção do segmento OP com o eixo y Isto é sen θ y cos θ x As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir tg θ sen θ cos θ sec θ 1 cos θ csc θ 1 sen θ cot θ cos θ sen θ 241 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b1 identidades trigonométricas Lembrando que a equação da circunferência unitária é x2 y2 1 e observando que para todo número real x o ponto de coordenadas cos x sen x está na circunferência unitária reobtemos a relação fundamental sen2 x cos2 x 1 B1 Dividindo a equação B1 por cos2 x temos tg2 x 1 sec2 x B2 De modo análogo dividindo a equação B1 por sen2 x temos 1 cotg2 x cossec2 x B3 Também temos as fórmulas para adição senx y sen x cos y cos x cos y B4 cosx y cos x cos y sen x sen y B5 Substituindo y por y nas equações anteriores senx y sen x cos y cos x cos y cosx y cos x cos y sen x sen y B6 Dividindo as expressões para senx y pelas expressões para cosx y temos tgx y tg x tg y 1 tg x tg y B7 Colocando y x nas equações B4 e B5 temos cos 2x 2 cos2 x 1 B8 cos 2x 1 2 sen2 x B9 Isolando cos2 x e sen2 x nas equações anteriores obtemos cos2 x 1 cos 2x 2 B10 sen2 x 1 cos 2x 2 B11 242 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b2 gráficos das funções trigonométricas b21 Gráfico das Funções Seno e Cosseno Começamos observando que ambas as funções seno e cosseno são limitadas 1 sen x 1 1 cos x 1 B12 E que que a função seno é ímpar pois senx senx para todo x R enquanto que a função cosseno é par pois cosx cosx para todo x R As funções seno e cosseno são periódicas pois senx 2kπ sen x para todo x R e para todok Z B13 cosx 2kπ sen x para todo x R e para todo k Z B14 Das equações B4 temos que cos x senx π 2 e sen x cosx π 2 E consequentemente o gráfico da função cosseno pode ser obtido a partir do gráfico da função seno através de uma translação horizontal para a esquerda por uma distância π2 Os gráficos das funções seno e cosseno são apresentados abaixo 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 fx sen x π π 2 3π 2 2π 5π 2 π 2 π 3π 2 b b b b b b b b b 243 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 fx cos x π π 2 3π 2 2π 5π 2 π 2 π 3π 2 b b b b b b b b b b b22 Gráfico das funções tangente e secante As funções tangente e secante estão definidas no domínio R π 2 k π k Z A função secante tem a mesma periodicidade da função cosseno mas a tangente tem período π uma vez que tgx π senx π cosx π sen x cos x sen x cos x tg x A função secante assim como a função cosseno é par Já a função tangente sendo quo ciente de uma função ímpar e uma par é uma função ímpar Os gráficos das funções tan gente e secante estão representados abaixo 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 π 2 3π 2 5π 2 π 2 3π 2 fx tg x 244 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 π 2 3π 2 5π 2 π 2 3π 2 fx sec x b23 Gráfico das funções funções cotangente e cossecante As funções cotangente e cossecante estão definidas no domínio Rkπ k Z A função cossecante tem a mesma periodicidade da função seno mas a cotangente tem período π 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 π 2π π 2π fx cotg x 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 π 2π π 2π fx cossec x 245 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici b3 funções trigonométricas inversas As funções trigonométricas definidas acima não são bijetoras em seus domínios Entretanto é possível falar em suas inversas desde que tomemos domínios restritos Apresentamos abaixo sem maiores detalhes as funções trigonométricas restritas a domínios nos quais são bijetoras e as respectivas funções inversas Acompanham os respectivos gráficos b31 Função arco seno A função sen π 2 π 2 1 1 tem por inversa a função arcsen 1 1 π 2 π 2 definida como arcsen y x sen x y 1 2 1 1 1 fx arcsen x π 2 π 2 b32 Função arco cosseno A função cos 0 π 1 1 tem por inversa a função arccos 1 1 0 π definida como arccos y x cos x y 246 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 1 2 3 1 1 fx arccos x b33 Função arco tangente A função tg π 2 π 2 R tem por inversa a função arctg R π 2 π 2 definida como arctg y x tg x y 1 2 1 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 π 2 π 2 fx arctg x b34 Função arco cotangente A função cotg 0 π R tem por inversa a função arccotg R 0 π definida como arccotg y x cotg x y 247 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 fx arccotg x b35 Função arco secante A função sec 0 π 2 π 2 π 1 1 tem por inversa a função arcsec 1 1 0 π 2 π 2 π definida como arcsec y x sec x y 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 fx arcsec x y π y π 2 b36 Função arco cossecante A função cossec π 2 0 0 π 2 1 1 tem por inversa a função arccossec 1 1 π 2 0 0 π 2 definida como arccossec y x cossec x y 248 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 1 2 1 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 y π 2 y π 2 fx arccossec x 249 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici C MATRIZES E SISTEMAS LINEARES C1 MATRIZES Uma matriz real m x n é um conjunto ordenado de ntmeros reais dispostos em m linhas e n colunas Os elementos de uma matriz serdo indicados por dois indices dos quais o primeiro indica a posicao na linha e o segundo na coluna Desta forma o elemento ajj referese ao elemento que esta na iésima linha e na jésima coluna 4440 4120 tn 421 422 42n A Ami 4m2 Amn Uma matriz é dita quadrada se 0 nimero de entradas é igual ao numero de colunas Uma matriz 1 x n é dito matriz linha e uma matriz m x 1 é dita matriz coluna A matriz nula n x m é a matriz cujas todas as coordenadas sao 0 A matriz identidade n x n é a matriz cujos termos da diagonal isto os termos a com i j sA0 iguais a 1 e os termos fora da diagonal sao zeros C11 Operacdes com Matrizes Podemos definir a soma é a multiplicacao de matrizes por escalares coordenada a coorde nada Definigéo C1 Dadas duas matrizes n x m A aj e B bj e c um escalar definimos as matrizes A Be cA como AB aij bij cA cajj Exemplo 32 Se 12 4 4 0 2 A e B 35 1 4 2 3 251 entao 5 4 6 2 4 8 7 7 2 6 10 2 Definigao C3 Dado A uma matriz m x p e B uma matriz p x n O produto de A por B denotado AB é definido como a matriz C cij cuja entrada ij é definida como P cig Yo ibe k1 E fundamental observar que 0 produto AB so esta definido se o numero de colunas de A igual ao numero de linhas de B Exemplo 34 Se 2 1 0 2 A B1 4 3 2 1 1 5 entao AB 22411401 23414405 5 10 32421411 3342415 9 12 C2 DETERMINANTES Recordaremos sem apresentar as demonstracoes algumas propriedades dos determinantes Dada uma matriz A o menor dessa matriz com respeito do elemento a a matriz que se obtém ao remover da matriz A a iésima linha e a jésima coluna Denotaremos tal menor por Ajj Exemplo 35 O menor de uma matriz 3 x 3 em relagao ao elemento a3 é am a U a a A4g0O oO 9c 431 432 a3 432 U O determinante de uma matriz quadrada é uma funcdao que associa a cada matriz quadrada um numero real determinado pelo seguinte procedimento indutivo 252 1 O determinante de uma matriz 1 x 1 é igual ao valor da entrada dessa matriz ie Ja a 2 O determinante de uma matriz n x n pode ser calculado somando ao longo de uma linha ou coluna o produto de um elemento aj por 1 vezes o determinante do menor em relagao ao elemento aj ie Assim escolhendo uma linha ou seja fixando um i temos n I q JA dy aij Aij jl De modo andlogo escolhendo uma coluna ou seja fixando um j temos n I q JA 2Y 1 a9j Aii i1 O determinante nao depende da escolha da linha ou coluna na expansao anterior Utilizando o procedimento anterior para uma matriz 2 x 2 e expandindo em relacao a primeira linha temos a b ad bc ad bc c d Utilizando o procedimento anterior para uma matriz 3 x 3 e expandindo em relacao a primeira linha temos a by Cy by c2 a2 C2 a2 by a2 bo co a by Cy b3 c3 43 C3 a3 bz a3 b3 3 O sinal 1 da definicdo anterior pode ser facilmente calculado notando que esse fator troca de sinal para cada termo adjacente da matriz conforme o padrao abaixo 11 1 1 1 1 11 1 Notacao Dado uma matriz quadrada de ordem n e de entradas a A aij denotare mos suas colunas por Aj Ay Logo Aj Mi Ani 253 e assim podemos reescrever a matriz A como A Aj Az An Usaremos também a seguinte notacao para representar o determinante de uma matriz quadrada ay by C1 eee la boc J 4 bo co s Assim por exemplo h a by Cy ay DY ja bl la b clm kb oc a2 by a3 b3 63 Teorema C6 Se todos os elementos de uma coluna ou linha forem multiplicados por A entdo o determinante fica multiplicado por A Ay AzAAjAnAA1 AzAj An Teorema C7 O valor do determinante é inalterado se transpormos a matriz a by cy a a2 a3 Por exemplo a2 bo olb by by a3 b3 3 C1 C2 Teorema C8 O valor do determinante troca de sinal se duas colunas ou linha sao intercambiadas Ay Az Aj Aj An A Ag Ajr Aje An Teorema C9 Se duas linhas ou colunas de uma matriz sdo idénticas entdo o determi nante dessa matriz é nulo 254 Teorema C10 O valor do determinante permanece inalterado se adicionarmos um muilti plo de uma coluna linha a outra coluna linha Ay Az Aj Aj An Ai Az Aj Aj AAj An C21 Matriz Inversa Dada uma matriz A o cofator do elemento aj cj 1 Ajj A matriz formada pelos cofatores é denominada matriz dos cofatores de A e denotada por cof A cofA ci 1 Aij A transposta da matriz dos cofatores é denominada matriz adjunta de A e é denotada por adjA Uma matriz quadrada A é dita invertivel inversa de uma matriz se existir uma matriz B tal que ABBAI Teorema C11 Dada uma matriz A essa matriz é invertivel se e somente se A 4 0 e nesse caso a inversa de A denotada A é dada por adjA At Al Exemplo 312 Dado 1 2 1 A2 1 0 1 1 2 Calcule a matriz inversa Solucao Vamos comecar calculando a matriz de cofatores O cofator em relacao ao coeficiente a1 é 1 1 0 2 1 2 255 O cofator em relagao ao coeficiente a2 é 2 1 0 ja4 1 2 Calculando os cofatores como acima temos que a matriz de cofatores é dada por 2 4 3 cofA 3 3 3 1 2 3 Ea matriz adjunta é 2 3 1 adjA 4 3 2 3 3 3 E assim como det A 3 temos que a matriz inversa é 31 4 Al adj A 4 4 2 det A 3 3 1 1 1 O C39 TEOREMA DE CRAMER Dado um sistema linear de n equacoes e n incdégnitas Ay X14 Ay2X2 Ain ky Ay X1 Ay2X2 Aon kp Any xX An2X2 ann kn podemos escrever esse sistema como AX k onde M1 a2 Mn x1 ky a a2 ag x2 kp Afo X k Qn1 4n2 Ann Xn kn A matriz A é denominada matriz de coeficientes e k a matriz de constantes 256 Teorema C13 Dado um sistema linear de n equacoes e n incdgnitas axtbhytaztkh Arx boy Coz ky AnX Day CyZ ky com A 0 Entdo as solucdes desse sistema sdo us Ik Ag AgjAn A1 k Ag3An A1 Az Ag3k Soop So n 00ST oan n Wy po DT Ay Ao An Ay AzAn A Az An Demonstracao Escrevendo o sistema linear como AX k Como det A 0 a matriz A é invertivel e assim multiplicando ambos os lados do sistema por A temos XAk Usando a caracterizacao da matriz inversa como a transposta da matriz de cofatores divi dido pelo determinante temos que esse sistema pode ser escrito na forma matricial como x4 Ci ott Cnt ky i detA Xn Cin Cnn kn Dessa forma temos que X key kien Se expandirmos 0 determinante k az 43 aemrelacdo a primeira coluna temos ky ayn Min Dt key kien kn Qn2 Ann e assim temos que Ik Az Ag3An re A Az An De modo andalogo temos que A Ag k An j eee A Az An O 257 Exemplo 314 Resolva o sistema linear 2xy5z1 x2y2z2 3xy7z1 Pelo teorema de Cramer como 2 1 5 1 2 2240 3 1 7 temos que as solucdes sao 1 1 5 2 2 2 11 7 8 SO 4 2 2 2 1 5 1 2 2 3 1 7 2 2 1 1 1 2 2 3 1 1 4 SSO Sri a 2 2 2 C4 METODO DE ELIMINACAO DE GAUSS O método de eliminagao de Gauss para sistemas lineares baseiase na aplicacao de trés operacoes basicas nas equacoes de um sistema linear m Trocar duas equacoes Multiplicar todos os termos de uma equacao por um escalar nao nulo 258 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Adicionar a uma equação o múltiplo da outra Ao aplicarmos as operações acima a um sistema linear obtemos um novo sistema tendo as mesma soluções que o anterior Dois sistemas que possuem as mesmas soluções serão di tos equivalentes Ao utilizar as aplicações anteriores de modo sistemático podemos chegar a um sistema equivalente mais simples e cuja solução é evidente Ilustraremos a utilização dessa técnica em alguns exemplos Exemplo 315 Um sistema com solução única Considere o sistema 2x 8y 6z 30 2x y 3 4x y z 12 Vamos determinar as soluções desse sistema se existirem Solução Começaremos representando esse sistema através de sua matriz aumentada 2 8 6 30 2 1 0 3 4 1 1 12 Essa matriz é obtida adicionando a matriz de coeficientes uma coluna com a matriz de constantes No método de Gauss o primeiro objetivo é colocar um 1 na entrada superior a esquerda da matriz Para isso começamos dividido a primeira linha por 2 Fazendo isso obtemos 1 4 3 15 2 1 0 3 4 1 1 12 O próximo passo é fazer com que os outros coeficientes da primeira coluna sejam 0 Para isso multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos a segunda e multiplicamos a primeira linha por 4 e adicionamos na terceira Feito isso obtemos 1 4 3 15 0 9 6 27 0 15 11 48 Agora repetiremos o procedimento na segunda coluna ignorando a primeira linha Para isso multiplicaremos a segunda linha por 19 259 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 1 4 3 15 0 1 2 3 3 0 15 11 48 Multiplicando a segunda linha por 15 e adicionando a terceira temos 1 4 3 15 0 1 2 3 3 0 0 1 3 E desta forma o sistema de equações correspondente é x 4y 3z 15 y 2 3z 3 z 3 E logo z 3 Substituindo na segunda equação temos y 1 e substituindo esses valores na primeira equação temos x 4 9 15 e assim x 2 Exemplo 316 Um sistema com múltiplas soluções Considere o sistema 2x 6y 2z 4w 34 3x 2y 2 2x 2y z 2w 15 Vamos determinar as soluções desse sistema se existirem Solução Neste caso a matriz aumentada é 2 6 2 4 34 3 2 0 0 2 2 2 1 2 15 Dividindo a primeira linha por 2 temos 1 3 1 2 17 3 2 0 0 2 2 2 1 2 15 260 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Multiplicando a primeira linha por 3 e somando na segunda e multiplicando a primeira linha por 2 e somando na terceira temos 1 3 1 2 17 0 11 3 6 53 0 4 1 2 19 Trocando a segunda linha com a terceira e dividindo posteriormente a segunda por 4 temos 1 3 1 2 17 0 1 1 4 1 2 19 4 0 11 3 6 53 Multiplicando a segunda linha por 11 e adicionando a terceira temos 1 3 1 2 17 0 1 1 4 1 2 19 4 0 0 1 4 1 2 3 4 Finalmente multiplicando a terceira linha por 4 temos 1 3 1 2 17 0 1 1 4 1 2 19 4 0 0 1 2 3 A última linha nos permite expressar z em função de w z 3 2w Substituindo o valor de z na segunda linha temos que y 4 e finalmente substituindo esses valores na primeira linha temos que x 2 1 0 0 0 2 0 1 0 0 4 0 0 1 2 3 Exemplo 317 Resolva o sistema linear por escalonamento 1x 4y 12 2x y 3 3x y 10 261 Solucao Neste caso a matriz aumentada do sistema é 1 4 Oj 12 2 1 0 3 3 1 010 que pode ser reduzida a 1 4 Of 12 7 0 1 0 3 1 0 0 0 3 Esse sistema nao possui solucoes pois a ultima linha é impossivel de ser satisfeita 0 4 O Exercicios Ex 41 Prove que o sistema x 2y 3z 3t a 2x 5y3z12t b 7x y8z5t Cc admite solucao se e somente se 37a 13b 9c Ache a solucao geral do sistema quando a2eb4 Ex 42 Resolva os seguintes sistemas por escalonamento a x 5y 13 4x 3y 1 x 2y 3z0 b 5x 3yz10 2xyz1 xy2z6 c 4 2xyz3 x3yz3 262 xy2zt0 d 3xy3zt0 xyzSt0 xyz 4 e 2x5y2z 3 x7y7z 5 3x2y4z 1 XYtHzZ 3 f xy3z 3 3x3y5z 0 xyz 1 x2y3z 0 2x5y6z 0 Ex 43 Determine m de modo que o sistema linear seja indeterminado mx 3y 12 2x12y 5 Ex 44 Para o seguinte sistema linear mx y 0 Ix ky 0 Determine o valor de m de modo que o sistema a tenha solucao unica trivial b seja impossivel Ex 45 Determinar a e b para que o sistema seja possivel e determinado 3x 7y a xyb 5x 3y 5a 2b x2yab1 263 Ex 46 Determinar o valor de k para que o sistema x2ykz1 2x ky 8z3 tenha a solucao unica b nenhuma solucgao c mais de uma solucao Ex 47 Resolva o sistema 23 11 a i Ex 48 Discuta os seguintes sistemas xz4 a yz5 axzA4 xzw0 b xkyhw1 xk1zw1 xzkw2 Ex 49 Determine k para que o sistema admita solugao 4x3y 2 5x4y 0 2x y k 264 D WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA Uma ferramenta interessante para 0 estudo matematica geometria calculo algebra linear disponivel gratuitamente na internet é o WolframAlpha httpwwwwolframalphacom que aceita alguns dos comandos do software Wolfram Mathematica Para mais exemplos do que é possivel fazer com o Wolfram Alpha veja httpwwwwolframalphacomexample D1 PLOTAGEM Existem alguns comandos do Mathematica que permitem a plotagem de graficos e curvas no espaco e no plano titeis por exemplo no estudo do contetido do Capitulo 8 Descreverei aqui alguns comandos que podem ser util ao estudante que quer ganhar uma intuicao com os diversos sistemas de coordenadas e com a parametrizacao de curvas D11 No Plano Plotfx x Xmin Xmax O comando acima plota o grafico da funcao fx para x entre Xin Xmax 30 of 1 7 1 2 3 4 5 Figure D1 Grafico de x 2x 3 Exemplo 41 Plotar o grafico de x 2x 3 entre 2e 5 Solucao 265 5 1 7 Figure D2 Grafico de e Figure D3 Grafico de sen x Plotx73 2x72 3 x 2 5 O Exemplo 42 Plotar o grafico de e entre 3 e 2 Solucao Plot Expx x 3 2 O Exemplo 43 Plotar 0 grafico de sen x entre 0 e 471 Solucao Plot Sinx x 0 4Pi O PolarPlotr 0 Onin Omaxt 266 So 4 1 r 1 1 NN L Figure D4 Circulo de raio 2 So a aN fof p30 t 10 rt wh 20 30 Figure D5 Espiral O comando PolarPlot plota o grafico da funcdo r para 6 entre Onin Omax usando coordenadas polares Exemplo 44 Plotar o grafico da funcao constante r 2 para entre 0 e 271 em coorde nadas polares Solucao PolarPlot2 t 0 2 Pi O Exemplo 45 Plotar o grafico de rt 2 para t entre 0 e 677 em coordenadas polares Solucao PolarPlot2 t t 0 6 Pi 267 4 m a eo I 4 N 7 Figure D6 Trevo de quatro folhas Figure D7 Lemniscata O Exemplo 46 Plotar 0 grafico de sen2t para t entre 0 e 477 em coordenadas polares Solucao PolarPlotSin2 t t 0 2 Pi O ParametricPlotfyt fytt twin tmax ParametricPlot pode ser usado para plotar curvas parametrizadas no plano euclideano No caso 0 comando esta plotando a curva Xt fxt fyt para t variando entre tynin Emax Exemplo 47 Plotar a curva Xt costsen2t para t entre 0 e 27 Solucao 268 fa 3 yy Figure D8 Curva com autointerseccao ParametricPlotCost Sin2t t 0 2 Pi O Exemplo 48 Plotar a curva Xt u 4uu 4 para u entre 25 e 25 Solucao ParametricPlotu73 4 u u72 4 u 25 25 O D12 No Espaco ParametricPlot3Dfyt fyt ftt tmin tmaxt A funcao descrita acima permite para plotar a curva parametrizada Xt fxt fy t fz no espaco euclideano para t variando entre tinin tmax Exemplo 49 Plotar a helicdide Xt sentcostt10 para t entre 0 e 20 Solucao ParametricPlot3DSint Cost t10 t 0 20 O Plot3Df xy x Xmin Xmaxt y Ymin Ymaxt Tal comando plota o grafico da funcgao fxy no espaco para x entre Xjyj7 Xmax Y entre Yin Ymax 269 Ss Figure D9 Helicdide R oO SS 00 SS 7 RY js WY mL l OF 1h Sh Figure D10 Plot3D 270 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Exemplo 410 Plotar o gráfico de fx y sen x cos x para x e y entre 0 e 2π Solução Plot3DSinx Cosy x 0 2 Pi y 0 2 Pi d2 cálculo e álgebra linear Limitfxxa Calcula o limite de fx quando x tende à a lim xa fx Exemplo 411 Calcule limx1x Solução Limit1x x Infinity Resultado lim x1x 0 Dfx x Calcula a derivada de fx qem relação à x d f d xx Exemplo 412 Calcule d cos x d x x Solução DCosx x 271 Resultado dcos x senx dx 7 O Integratefx x Encontra uma primitiva da funcao fx quando integramos em relacao a x fedex Exemplo 413 Encontre uma primitiva de 1x Solucao Integrate1x x Resultado 1xdx logx O Inverse M Calcula a inversa da matriz M Exemplo 414 Encontre a matriz inversa de 12 0 M3 11 201 Solucao Inverse120311201 Resultado 1 2 2 Mt 1 1 1 2 4 5 O 272 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Respostas de Alguns Exercícios 273 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Respostas de Alguns Exercícios Capítulo 1 11 a AB BF AF BF AF AB b AG AC CG AC BF AC AF AB cComo AE EF AF e EF AB AE AF AB d BG BF FG eDica AG AC BF f AC gDica AD BC e HG AB 12 a DF DC CO OF DC 2 DE c DB DC CO OB DC DE DC 2 DC DE e EC ED DC DE DC f2 DC g DC 13 a0 b0 c FA DC d OF DE 15 3f3 16 AN 1 2 AB 1 2 BC BP AB 1 2 AC CM AC 1 2 AB 18 Note que AM λ λ 1 AB e como CM MA AC 0 temos que CM λ λ 1 AB AC CM λ λ 1 AC BC AC CM 1 λ 1 AC λ λ 1 BC 275 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 19 a CD 2u v BD 5u v bOs lados AD e BC são paralelos 112 ax 4u 7 3v 14 y u 7 v 14 bx u v 2 y u v 4 114 aObserve que α v αv 0 Porque Conclua que α v é o oposto de αv 118 Dica suponha λ1 0 então u λ2 λ1 v e logo u e v são paralelos absurdo Logo λ1 0 214 AQ DQ n mm n mn BQ CQ n mm n mn 218 Seja b AB e c AC então temos AD AE 2 e AE AB AC 2 e logo AD AB AC 4 Também temos que AF AC 1 λ Como F D e B são colineares então AF α AD 1 α AD e assim AF 1 3 4α AB 1 4α AC E consequentemente 1 3 4α 0 e 1 4α 1 1 λ e assim λ 2 Logo F divide o segmento AC na razão 1 2 276 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici 219 Assuma que AB a AD b e AC a b Então AB1 λ1a AD1 λ2b e AC1 λ3a b Como os três pontos A1 B1 e C1 estão na mesma reta então B1C1 k B1D1 D1 Mas B1C1 AC1 AB1 λ3 λ1 a λ3b e B1D1 AD1 AB1 λ1a λ2b Substituindo as expressões acima em D1 obtemos λ3 λ1 a λ3b kλ1a kλ2b Isolando a b a λ3 λ1 kλ1 b λ3 kλ2 0 E logo λ3 λ1 kλ1 0 e λ3 kλ2 0 Da segunda equação obtemos k λ3 λ2 Substituindo k na primeira equação e dividindo a mesma por λ1λ3 segue 1 λ3 1 λ1 1 λ2 44 M A λ λ 1 AB 54 Dica Observe que AB CB 2 BA AB BA CB BA CA AC 55 BC 4 3b 2 3a 59 A igualdade equivale a m1 m2a n1 n2b 0 Como os vetores são LI temos que m1 m2 0 e n1 n2 0 510 1 λ µ λ1 µ Capítulo 2 277 36 Dado que a bc 0 calculando o produto de ambos os lados da equagao sucessi vamente com ab e c temos aatabac0abac9 babbbc0babc25 caecbcc05cacb49 15 1 Resolvendo o sistema anterior temos a b ze assim cos 6 7 logo 6 5 310 Denotando u OA u OB e u OC temos u ul v r E assim AC BC vuvu vvuu0 J B 4u io u A 43 9 1 12 11 Me aqutavqquxy 44 a 110 5 1 1 5 v 49 Vv 3 2 i 414 Dica Escreva 0 determinante em termos dos menores da primeira linha e compare com u v X w Isto também prova que u v X w v w X u Porque 415 A area do triangulo é dada por 1 1 1 A5 lux vl 5 lux wl 5 vx wl e assim temos que lu x v ju x wl v x wl Mas u x v ullv sena u x wi ullwl sen 6 e v x w vw sen 7 E logo py Iwi ivi al 278 Capitulo 3 xt 12 A resposta ndo é unica aEquagées paramétricas y 13t z13t x12t rar x y1 z1 hs Equacoes na forma simétrica qs bEquac6es paramétricas y Z23t 1 2 Equacées na forma simétrica y cEquac6es paramétricas xt Fixox y0 z0 x0 EFixoy 4 yt z0 x0 Eixoz 4 y0 zt x1 Equacoes na forma simétrica Ndo existem d y 2 z1t Equacoes na forma simétrica Ndo existem x1t ej y2 z1 Equacoes na forma simétrica Ndo existem x 23t fEquacoes paramétricas y 1 8t zAt x2 y1 2z E f Stricas quagoes na forma simetrica 3 Z x23t gEquacdes paramétricas y 1 5t zt 2 1 Equacées na forma simétrica NTE YO FF 3 5 1 9 13 r3x4y 9 0 Interseccées 0 4 30 t 14 aEquac6es paramétricas T 345 y52t Equacoes na forma canonica 2x 5y 19 0 279 rs xt bEquac6es paramétricas y1t Equacoes na forma canonica x y10 Capitulo 4 280 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici B I B LI OG RAP H Y 1 APOSTOLT Calculus Vol I Wiley 1967 2 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analitica Um tratamento Vetorial Prentice Hall 2006 3 CAROLIA CALLIOLI C FEITOSA M Matrizes vetores geometria analítica Nobel 1984 4 CHATTERJEE D Analytic Solid Geometry PHI Learning 2004 5 CROWE M A history of vector analysis the evolution of the idea of a vectorial system Dover 1994 6 HILBERT D The Foundations Of Geometry Gradiva 2003 7 LEHMANN C Geometria Analítica Editora Globo 1985 8 MELLO D A WATANABER G Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica Edi tora Livraria da Física 9 LEITE O Geometria analítica espacial Edicoes Loyola 1996 10 SANTOS R Matrizes Vetores e Geometria Analítica Imprensa Universitária da UFMG 2004 11 WEXLER C Analytic Geometry A vector approach AddisonWesley Publ 1961 281 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici I NDE X 255 ângulo entre dois vetores 5 polar 209 amplitude focal elipse 165 hipérbole 173 assíntota 174 assíntotas hipérbole 173 175 azimute 209 base 39 bases ortonormais 64 bijeção 51 braquistócrona 204 cônicas 163 cardióide 206 centro elipse 165 hipérbole 173 ciclóide 203 circuncentro 48 coeficiente angular 102 colatitude 209 colinear 8 combinação linear 21 conjunto principal de coordenadas polares 92 convexo 185 coordenadas 52 esféricas 209 polares 91 corda elipse 165 hipérbole 173 parábola 180 coroa fundamental elipse 165 curva 200 fechada 201 loxodrómica 210 regular 203 simples 203 curva parametrizada 200 determinante 252 dimensão 40 diretriz 88 parábola 180 distância focal elipse 165 hipérbole 172 eixo da parábola 89 eixo conjugado hipérbole 173 eixo de simetria parábola 180 eixo focal elipse 165 eixo maior elipse 165 283 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici eixo menor elipse 165 eixo não focal elipse 165 eixo polar 91 eixo transverso hipérbole 173 elementos de uma matriz 251 eliminação gaussiana 258 elipse 164 equação afim 102 cartesiana 103 forma canônica 103 reduzida 102 equação geral do plano 111 equação quadrática 167 equação reduzida elipse 168 hipérbole 174 parábola 180 equação vetorial da reta 98 equação vetorial do plano 109 equações paramétricas da reta 98 equações paramétricas da reta 98 equações paramétricas do plano 109 equações simétricas da reta 98 escalar 6 excentricidade 189 Fórmula de Bhaskara 185 foco parábola 180 focos elipse 165 hipérbole 172 forma canônica elipse 165 168 hipérbole 172 174 parábola 179 180 froma canônica função quadrática 183 função bijetora 51 injetora 51 sobrejetora 52 função quadrática uma variável 181 gera 37 hipérbole 164 equilátera 173 injeção 51 lactus rectum 165 LD 24 Lei dos Cossenos 9 dos Senos 9 LI 24 linearmente dependentes 24 independentes 24 longitude 209 lugar geométrico 87 matriz 251 coluna 251 identidade 251 invertível 255 linha 251 nula 251 284 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici produto 252 quadrada 251 soma 251 menor de uma matriz 252 multiplicação por escalar 6 norma 4 notação de Grassmann 58 operações com vetores 11 ortocentro 48 72 parábola 164 parâmetro parábola 180 parâmetros geométricos elipse 168 hipérbole 173 plano equação geral 111 equação vetorial 109 equações paramétricas 109 polo 91 ponto inicial 98 ponto médio 59 pontos colineares 8 produto de matrizes 252 escalar 69 interno 69 ramos da hipérbole 195 regra do paralelogramo 9 retângulo fundamental elipse 165 hipérbole 173 reta equações simétricas 98 diretriz 189 equação vetorial 98 equações paramétricas 98 reta focal elipse 165 hipérbole 172 reta não focal elipse 165 retas coincidentes 115 concorrentes 115 ortogonais 130 paralelas 115 perpendiculares 130 retas coplanares 118 retas reversas 118 reversas 118 segmento nulo 2 orientado 2 segmento focal elipse 165 hipérbole 172 semelhança 190 sistema cartesiano de coordenadas 53 sistema de coordenadas 51 associado 92 oblíquo 53 sistema de coordenadas vetorial 52 sistema linear 256 sobrejeção 52 soma de ponto com vetor 42 285 Geometria Analítica e Vetorial Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici de matrizes 251 soma de vetores 8 somatório 239 subtração de vetores 10 tautócrona 204 Teorema de Cramer 257 teorema da base espaço 40 plano 39 transversal 121 triângulo ortocentro 72 triângulo fundamental parábola 180 vértice parábola 180 vértices elipse 165 hipérbole 173 versor 7 vetor multiplicação por escalar 6 aplicado 2 coordenadas 52 direcional 7 diretor 7 98 nulo 4 oposto 10 posição 52 unitário 7 vetores 3 coplanares 4 ortogonais 5 paralelos 4 8 soma 8 subtração 10 zênite 209 286