Geometria Analítica e Vetorial - Cônicas

Geometria Analítica e Vetorial Versão 13 Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici UFABC julho de 2020 I have not yet any clear view as to the extent to which we are at liberty arbitrarily to create imaginaries and endow them with supernatural properties John Graves Copyright 2019 Licenciado sob a Creative Commons Attribution 40 Você não pode usar esse arquivo exceto em conformidade com a Licença Você pode obter uma cópia da Licença em httpcreativecommonsorglicensesbync40 A menos que exigido por lei aplicável ou acordado por escrito o livro distribuído sob a Licença é distribuído como está sem garantias ou condições de qalqer tipo expressa ou implícita Consulte a Licença para permissões específicas e limitações sob a Licença 26 de abril de 2022 Sumário Sumário i Símbolos e notações gerais 1 1 Cônicas 2 11 Introdução 2 12 Elipse 4 13 Hipérbole 11 14 Parábola 18 15 Excentricidade 25 16 Construções de Dandelin 29 17 Cônicas em Coordenadas Polares 31 18 Cônicas e a Trajetória dos Planetas 33 Referências Bibliográficas 35 Referências Bibliográficas 35 i Símbolos e notações gerais existe qualquer que seja ou para todos implica se e somente se portanto definição o termo à esquerda de é definido pelo termo ou expressão à direita ie id est em português isto é indica o final de uma demonstração AB reta passando pelos pontos A e B AB segmento de reta ligando os pontos A e B AB segmento orientado de reta ligando os pontos A e B AB vetor determinado pelos pontos A e B v vetor v AB comprimento do segmento AB v comprimento do vetor v AB comprimento do vetor AB A determinante da matriz A 1 Cônicas 11 Introdução As curvas cônicas ou seções cônicas são as curvas obtidas pela intersecção de um cone com planos que não contenham o vértice desse cone Existem essencialmente três tipos de cônicas que podem ser obtidas a partir de um cone cuja reta geratriz faz ângulo α com o eixo desse cone parábola obtida pela intersecção do cone com um plano que forma ângulo α com o eixo do cone elipse obtida pela intersecção do cone com um plano que forma um ângulo θ α com o eixo do cone hipérbole obtida pela intersecção do cone com um plano que forma um ângulo θ α com o eixo do cone Podese mostrar que o lugar geométrico de tais curvas num plano pode ser caracterizado por relações envolvendo a distância de seus pontos a seus focos e retas diretrizes como descrito a seguir ver Seção 16 Assim sendo definimos Definição 11 Uma elipse E de focos F1 e F2 de eixo maior medindo 2a F1F2 é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2é igual a 2a Ou seja 2 CAPITULO 1 CONICAS 3 dados F e F2 com F F5 2c e um nimero a c dizemos que P é um ponto da elipse se somente se FP FP 2a 11 DEFINICAO 12 Uma hipérbole 1 de focos F e Fy de eixo transverso medindo 2a F F5 é 0 lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujo médulo da diferenca das distancias a dois pontos fixos F e F é igual a 2a Ou seja dados F e Fb com Fy F5 2c e um numero a c dizemos que P é um ponto da hipérbole H se somente se FP ll F2Pl 20 12 CAPÍTULO 1 CÔNICAS 4 Definição 13 Uma parábola P de foco F e reta diretriz d é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias ao ponto F e a reta d são iguais Ou seja dados F e d dizemos que P é um ponto da parábola P se somente se FP dP d 13 12 Elipse r s b F2 b F1 E bB1 bB2 b O b A2 b A1 Fig 11 Elipse Conforme descrito na Definição 11 uma elipse E é o lugar geométrico formado por pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante Nesta seção estudaremos a equação chamada forma canônica da elipse que representa uma elipse alinhada com plano cartesiano e centrada em sua origem Antes porém fixemos a terminologia bá sica envolvida no estudo de elipses Terminologia Os pontos F1 e F2 descritos na Definição 11 são denominados focos da elipse O segmento F1F2 de comprimento 2c é o segmento focal da elipse e 2c é a distância focal da elipse A reta r contendo F1 e F2 é denominada reta focal da elipse A intersecção de E com r consiste de dois pon tos A1 e A2 que são os vértices da elipse so bre a reta focal O segmento A1A2 de com primento 2a é o chamado eixo focal da elipse ou eixo maior da elipse O ponto médio O r do segmento F1F2 é o centro da elipse A reta s perpendicular a r por O é a reta não focal da elipse A intersecção de E com s consiste de dois pon tos B1 e B2 que são os vértices da elipse sobre CAPITULO 1 CONICAS 5 a reta nao focal O segmento B By é o cha mado eixo nao focal da elipse ou eixo menor da elipse Qualquer segmento cujos extremos estio so bre é denominado corda da elipse Chamamos de amplitude focal o compri mento de uma corda que contenha um dos fo cos da elipse e que seja perpendicular ao eixo focal desta Notamos que existem duas dessas cordas usualmente denominadas individual mente por lactus rectum A menor regido retangular que contém a elipse é chamada retangulo fundamental da elipse A menor coroa circular que contém a elipse é denominada coroa fundamental da elipse Equacao da Elipse Comecemos nosso estudo da equacao da elipse observando os dois exemplos abaixo descritos EXEMPLO 14 Usando a mesma notacdo descrita na Subsecao 12 consideremos num sistema de coordenadas car tesiano uma elipse de focos F 00 e Fy 2 1 e eixo focal medindo 2a 4 Tomando P x y a equacao 11 fica Jete Me y1P4 Vamos entéo manipular tal equacéo de modo a eliminar suas raizes quadradas Isolando 0 termo a 2 y 1 e elevemos a igualdade resultante ao quadrado de modo a obter x 4x 4 y 2x 1 16 82 y2 2 y Simplificando e isolando 8a y Ar 2y 11 822 y Finalmente elevando ao quadrado e simplificando a expressao obtida chegamos a 48x 60y 16xy 88a 44y 121 0 14 CAPITULO 1 CONICAS 6 Essa equacdo quadratica é entao a representacao cartesiana procurada da elipse q 3 F Q Fi ee Fig 12 Exemplo 14 EXEMPLO 15 Considere agora num sistema de coordenadas cartesiano F 40 e F 40 de modo que o eixo focal r fica alinhado com o eixo Ox e 0 centro O da elipse fica sobre a origem do sistema de coordenadas Estudemos uma elipse de eixo focal medindo 2a 10 Seja P x y um ponto qualquer da elipse Em coordenadas cartesianas a equacao 11 fica Vet4 y2 4 y 10 Tentaremos no que se segue simplificar tal equacéo eliminando as raizes quadradas manipulandoa algebricamente Inicialmente isolemos a raiz a 4 y e elevemos a igualdade obtida ao quadrado x 4 y 100 w 4 y 20 4 9 Simplificando tal equacéo chegamos e manipulandoa de modo a isolar 0 termo 204 a 4 y ficamos com 100 16x 20 a 4 92 ou ainda 4 AC Elevando esta igualdade ao quadrado chegamos a 16 95 2 2 25 aew 8r27168ry CAPITULO 1 CONICAS 7 Donde temos 9 22 9 35 xu y Finalmente dividindoa por 9 segue ay 1 15 a to oh 15 que é a forma canGnica da elipse q Esses exemplos e os cAalculos neles envolvidos sugerem que toda elipse pode ser representada no é plano cartesiano por um equacdo quadratica da forma Ax Bry Cy Dx Ey F 0 9 6 p onde A BC D E e F sao constantes que depen dem da elipse a ser representada Tal suposicaéo provase de fato verdadeira deixamos ao leitor in teressado sua demonstracio foe Fig 13 Exemplo 15 No entanto é visivel que a Equacao 15 obtida no segundo exemplo é muito mais simples que a Equacao 14 obtida no primeiro Isso ocorre devido a uma melhor escolha no Exemplo 15 do sistema de coordenadas usado Encontremos entao a equacao da elipse num sistema de coordenadas adequado a Assuma que os focos F e F2 possuem coordenadas c 0 e c 0 respectivamente Tomando P xy Da Equacao 11 obtemos Vc e y 2a e logo c y 2a a c y Elevando ao quadrado ambos os lados dessa ex pressdo obtemos C7 Qcx x y 4a 2cx dav 2 2cxn 2 y2 C427 4y Simplificando temos que avc2 2cx a y2 a cx CAPITULO 1 CONICAS 8 Elevando novamente ao quadrando ambos os lados da equacao obtemos a c 2Qex a y a ca a c 2Qex a y a 2acr Cx a 2Qex x y a 2acx cx 0 a 4 a2 a a ay ea 0 ae Ge Ge x a2y Substituindo b a c temos ab bx ay Dividindo ambos os lados por ab chegamos finalmente a equacdo 2 2 x 4521 a2 b Chegamos assim a seguinte proposicao PRoposiAo 16 Umaelipse de focos F c0 e Fy c 0 e eixo maior medindo 2a tem equacaéo 2 2 x yo po 1 16 onde b é tal que a b c Tal equagao é usualmente conhecida como a forma canG6nica da elipse ou equacao reduzida da elipse Os numeros a b e c sao conhecidos como parametros geométricos da elipse OBSERVACAO 17 Sena deducdo da equacao da elipse tivéssemos adotado 0 sistema de coordenadas com os focos sobre o eixo y e a origem entre os focos isto é 0 sistema com 0 eixo maior A Az de comprimento 2a sobre 0 eixo y e o eixo menor B By de comprimento 20 sobre o eixo x teriamos no final a equacao 2 2 x 4 4 b a OBSERVACAO 18 Para uma elipse de equagao a2 ete coma 8 é facil ver que O retangulo fundamental da elipse é a regido retangular R xy Ex aay 6 b A coroa fundamental da elipse é a regiao C x y E730 a y a CAPITULO 1 CONICAS 9 Esboco da Elipse Considere uma elipse de equagao a2 Dip t a2 b com ab 0 Observe inicialmente que se um ponto P x y esta na elipse também a ela pertencem os pontos P z y P xy e P 2 y Desse modo basta para esbocarmos basta estudarmos a elipse no primeiro quadrante do sistema de coordenadas e refletirmos tal esbocgo ao longo dos eixos Ox e Oy que sao eixos de simetria da elipse Além disso isolandose o parametro y da equacao de obtemos b y Va 2 a donde observamos que para esbocarmos no primeiro quadrante basta estudarmos o grafico da funco f0a R b rr vVa x a OBsERVACAO 19 Note que para x a temos a x Oe portanto f nao fica bem definida Como f 0 be fa 0 temos que dois dos vértices da elipse tém coordenadas 0 b e a 0 Além disso temos que f é decrescente ja que para Xo X1 0 a temos ro a Se araii eds x b b av x2 av 2 fx fr1 O uso de calculo diferencial nos permite concluir que o grafico de f é céncavo isto é fixos dois pontos Po e P quaisquer sobre o grafico de f temos que o grafico de f fica acima do segmento PoP A concavidade do grafico de f decorre do fato de que a segunda derivada de f é dada por n ab f x a x232 que é negativa para todo x 0 a OBSERVACAO 110 Umaelipse pode ser facilmente desenhada com 0 auxilio de um barbante de comprimento 2a Basta para isso fixarmos as extremidades do barbante nos focos e tragarmos uma curva com 0 lapis apoiado porém nAo preso no barbante de modo a manter este sempre esticado CAPÍTULO 1 CÔNICAS 10 y x b F2 b F1 E b O b B2 b B1 0 b b A2 b A1 a 0 b P0 b P1 Fig 14 Esboço da Elipse Exemplos Exemplo 111 Determine a equação da elipse de focos 3 0 e 3 0 e vértices 0 4 e 0 4 Solução Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos no eixo Ox pois a segunda coor denada dos focos é 0 Então usando a mesma notação da Proposição 16 temos c 3 e b 4 e como a2 b2 c2 segue que a 5 Desse modo a equação procurada é x2 25 y2 16 1 que é uma elipse com vértices A1 5 0 A2 5 0 B1 0 4 B2 0 4 e focos F1 3 0 e F2 3 0 Exemplo 112 Determine a equação da elipse de focos 0 4 e 0 4 e eixo maior medindo 12 Solução Nesse exemplo temos uma elipse de focos no eixo Oy pois a primeira coordenada dos focos é 0 Assim usando a notação da Observação 115 temos c 4 e 2a 12 e como a2 b2 c2 segue que b 2 5 Desse modo a equação procurada é x2 20 y2 36 1 CAPITULO 1 CONICAS 11 que é uma elipse com vértices A 06 Ay 0 6 By 2V50 By 2V5 0 e focos Fi 0 4 e Fy 0 4 O EXEMPLO 113 Seja uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a reta focal é 05 6V5 Sabendo que passa pelo ponto 45 determine a equacao da elipse J Solucdo Nesse exemplo temos novamente uma elipse de focos no eixo Oy nesse caso porque nos é informado que o centro da elipse esta na origem e o ponto 05 sobre a reta focal Assim usando a notacao da Observacao 115 temos a 5 Desse modo a equacao procurada é do tipo 2 2 z y 42 pm com 0 b65 6V5 Usando agora que o ponto 45 pertence a temos que 2 2 ov55 v5 b 2500 Resolvento tal equacao de incdgnita b obtemos b 3 Logo a equagao da elipse é 2 2 x ee iy 9 25 O 13 Hipérbole De acordo com a Definicao 12 uma hipérbole H é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano a my cujo modulo da diferena das distancias a F e Fo é o igual a 2a onde 2a F F4 sy By J Desenvolveremos nesta secéo a equacao tida MS fe como a forma canénica da hipérbole que descreve Fy A2 ox pA Fi r uma hipérbole cujos focos estao em um dos eixos My coordenados simetricamente dispostos em retacao a oo ss Bo origem Assim como fizemos para a elipse fixemos a primeiramente a terminologia basica envolvida no a estudo de hipérboles Fig 15 Hipérbole CAPÍTULO 1 CÔNICAS 12 Terminologia Os pontos F1 e F2 descritos na Definição 12 são denominados focos da hipérbole O segmento F1F2 de comprimento 2c é o segmento focal da hipérbole e 2c é a distância focal da hipérbole A reta r contendo F1 e F2 é denominada reta focal da hipérbole A intersecção de H com r consiste de dois pontos A1 e A2 que são os vértices da hipér bole sobre a reta focal O segmento A1A2 de comprimento 2a é o chamado eixo transverso da hipérbole O ponto médio O r do segmento F1F2 é o centro da hipérbole O segmento B1B2 de comprimento 2b onde c2 a2 b2 cujos extremos B1 e B2 es tão simetricamente localizados em relação ao centro O da hipérbole sobre a reta s perpendi cular a r por O é denominado eixo conjugado da hipérbole Os números a b e c são conhecidos como pa râmetros geométricos da hipérbole As retas r e r pelo centro O de inclinação ba e ba respectivamente são as assíntotas da hipérbole ver Subseção 13 Qualquer segmento cujos extremos estão so bre H é denominado corda da hipérbole Chamamos de amplitude focal da hipérbole o comprimento de uma corda que contenha um dos focos da hipérbole e que seja perpendicu lar à reta focal desta O retângulo fundamental da hipérbole é a região retangular R x y E2 x a a y b b CAPÍTULO 1 CÔNICAS 13 Uma hipérbole é dita equilátera quando os pa râmetros geométricos a e b dessa hipérbole são iguais Equação da Hipérbole Escrevendo a equação 12 apresentada na Definição 12 e manipulandoa algébricamente de modo análogo ao que fizemos para a elipse chegamos ao seguinte resultado Proposição 114 Uma hipérbole H de focos F1 c 0 e F2 c 0 e eixo transverso medindo 2a tem equação x2 a2 y2 b2 1 17 onde b é tal que c2 a2 b2 Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da hipérbole ou equação reduzida da hipérbole Observação 115 Se na dedução da equação da hipérbole tivéssemos partido de focos localizados sobre o eixo Oy ou seja F1 0 c e F2 0 c teríamos chegado à equação y2 a2 x2 b2 1 Assíntotas Definição 116 Uma reta r de equação y mxn é dita ser uma assíntota de uma dada função f a R em a R se a distância entre o gráfico de f a reta r tende a zero quando x vai para infinito isto é se lim x dP r 0 18 onde P x fx Analogamente podemos definir assíntota de f em A proposíção abaixo mostra que hipérboles admitem duas assíntotas Proposição 117 As retas r e r de equações r y b ax e r y b ax são assíntotas da hipérbole H de equação x2 a2 y2 b2 1 CAPITULO 1 CONICAS 14 Demonstracao De fato para uma tal hipérbole H temos que P xy H se e somente se bx ay ab Entao temos br ax dPr 2 qe a bx ay ba ay Vb a ba ay bx ay 1 Ve ta2 bray ab 1 Vb a ba ay Assim sendo temos que lim dP r 0 ey aldo oo 74 Analogamente temos também que lim dPr 0 xy 400 Foo O OBSERVACAO 118 Rigorosamente r e r séo assintotas no sentido da Definicao 116 da funcao 2 x fa byf 51 a em 00 e ox respectivamente e da funcao 2 x z b451 fle 5 em oo e 00 respectivamente Funcg6es essas obtidas da equacao de KH isolandose o parametro y Esboco da Hipérbole Seja uma Hipérbole H de equacao ay ep com ab 0 Como na elipse observamos que se um ponto P 2 y esta na hipérbole H também a ela pertencem os pontos P z y P xy e P x y Assim sendo a hipérbole H é simétrica em relagao aos eixos Ox e Oy CAPITULO 1 CONICAS 15 Além disso isolandose o parametro y da equacao de H obtemos b y V x a a Estudemos entao o grafico da funcao f acoo R b Lr V ux a a OxBsERVACAO 119 Observe que no caso a hipérbole para x 0a temos x a Oe portanto f nado fica bem definida Note agora que fa 0 nos da o vértice A a0 da hipérbole Além disso temos que f é crescente ja que para o 11 a 00 temos ry Sa ari Seu aje b b V2 aw avi a fx fx Calculo diferencial nos permite concluir que o grafico de f também é céncavo no caso da hipér bole A concavidade do grafico de f decorre do fato de que a segunda derivada de f é dada por P ab f x a a232 que é negativa para todo x a 00 b b Finalmente sabemos que fx tema retary y x como assintota e é tal que fx x a a para todo x a00 Desse modo sabemos que fx se aproxima assintoticamente de r por baixo dessa reta quando x tende a 00 Exemplos EXEMPLO 120 Uma hipérbole H tem vértices nos pontos 0 4 e 0 4 e um foco no ponto 0 5 Obtenha a equacéo da hipérbole e de suas assintotas q CAPITULO 1 CONICAS 16 Solucao E facil perceber que H é uma hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy Assim sua equacao é do tipo 2 2 fea a2 b com c a b e 2c a distancia focal Como H tem vértices 04 e 04 segue que a 4 Como um dos focos de H é 50 segue que c 5 Logo a partir da igualdade c a b obtemos b 3 Assim a equacao de H é 2 2 Yeo Hy 16 9 As assintotas de H sféo ry x bayer a bay ou seja 3 3 reig roixy 44 a O EXEMPLO 121 Uma hipérbole tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem Sabendo que uma das assintotas de H é a reta 3a 2y 0 e que P 426 H determine a equacio de H q Solucao Focos no eixo Oz ay Seja po 1 a equacao da hipérbole procurada Como a reta 3x 2y 0 que éa a 3 também a reta de equacdo y gu éuma das assintotas obtemos b 3 a 2 3 jab a ou seja 54 Usando que P H obtemos 42 6 1 a be 3 od Usando que b 52 simplificando algebricamente a igualdade chegamos entao a 16 seal a2 CAPÍTULO 1 CÔNICAS 17 Donde a2 16 ou seja a 4 Usando novamente que b 3 2a obtemos então b 6 Logo chegamos à equação H x2 16 y2 36 1 Focos no eixo Oy Seja agora y2 a2 x2 b2 1 a equação da hipérbole procurada Como a reta 3x 2y 0 que é a também a reta de equação x 2 3y é uma das assíntotas obtemos b a 2 3 ou seja b 2 3a Usando que P H obtemos 62 a2 4 22 b2 1 Usando que b 3 2a e simplificando a equação chegamos a 36 a2 1 Como a2 0 observamos que não existe a tal que a igualdade acima seja satisfeita ou seja não existe hipérbole com focos no eixo Oy contendo P e com assíntota 3x 2y 0 Conclusão A única hipérbole cuja equação resolve o problema é H x2 16 y2 36 1 Exemplo 122 Encontre o centro os focos e vértices da hipérbole de equação 9x2 4y2 18x 8y 31 0 Solução Tentaremos aqui manipular a equação dada de forma a obter uma equação da forma x x02 a2 y y02 b2 1 CAPÍTULO 1 CÔNICAS 18 que representa uma hipérbole de centro C x0 y0 focos F1 x0 c y0 e F2 x0 c y0 onde c2 a2 b2 e vértices V1 x0 a y0 e V1 x0 a y0 Comecemos completando quadrados escrevendo 9x2 18x 9 4y2 8y 4 9 4 31 0 Donde temos 9x 12 4y 12 36 E finalmente x 12 4 y 12 9 1 Tal equação representa uma hipérbole de centro C 1 1 de parâmetros a 2 b 4 e c 2 5 Logo temos focos F1 1 2 5 1 e F2 1 2 5 1 e vértices V1 3 1 e V1 1 1 14 Parábola b F d b O V P y x b A b B Fig 16 Parábola Conforme descrito na Definição 13 uma parábola P de foco F e reta diretriz d é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias a F e d são iguais Nesta seção estudaremos funções quadráticas de uma variável cujos gráficos representam pará bolas com retas diretrizes paralelas aos eixos coor denados Em particular veremos a chamada forma canônica da parábola que é a equação que repre senta uma parábola com vértice na origem foco so bre um dos eixos coordenados e reta diretriz paralela ao outro eixo coordenado Terminologia O ponto F descrito na Definição 13 é denominado foco da parábola A reta d também descrita na Definição 13 é denominada diretriz da parábola A distância 2p entre o foco F e a reta diretriz d da parábola é chamada parâmetro da parábola O ponto V de intersecção da perpendicular à d por F com a parábola é o vértice da parábola CAPITULO 1 CONICAS 19 A reta perpendicular a d por F 0 eixo de simetria da parabola Qualquer segmento cujos extremos estao sobre P é denominado corda da parabola Tomando A e B os extremos da corda que contém F e é paralela a diretriz d obtemos o triangulo AV AB denominado triangulo fundamental da parabola Equacao da Parabola Para uma parabola com diretriz paralela ao eixo Oz e vértice na origem do sistema de coordenadas vale o seguinte resultado ProposicAo 123 Uma parabola de foco F 0 p e reta diretriz d y p p 0 tem equacao L 2 19 a 0 Tal equacao é usualmente conhecida como a forma candénica da parabola ou equacao reduzida da parabola Demonstracao Seja P xy um ponto da parabola A partir da equacaéo FP dPd obtemos Va yp y p Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos xy 2py p y Qpy p Simplificando e isolando y chegamos entao a L 2 a O OBSERVAGAO 124 Para uma parabola de foco F p 0 e reta diretriz vertical d x p uma demonstracao analoga nos levaria a equacao 1 r y 110 dp a qual também é conhecida como forma canénica da parabola No caso particular da parabola porém é importante destacar sua descricéo como grafico de fungdes quadraticas de uma variavel real CAPITULO 1 CONICAS 20 DEFINICAO 125 Uma funcao f R R é dita quadratica quando existem abc reais com a O tais que fx ax br c para todo x R Sobre fungdes quadraticas vale o seguinte resultado ProposicAo 126 O grafico da funcdo quadratica fx ax br c é uma parabola com foco A P A 2a 4a diretriz dy A1 y da vértice 5 A V s 2a 4a onde A b 4ac OBSERVAGCAO 127 O grafico de uma fungado f R R é 0 lugar geométrico dado pela equacdo y fx Logo pela Proposicao 126 y ax bx c é a equacao de uma parabola com diretriz paralela ao eixo Ox E anadloga a demonstracao da proposicao acima o fato de que x ay by c é equacdo de uma parabola com foco A1 8 F 4a 2a diretriz d A1 x2 da vértice A V TT 3 EB Od 4a 2a onde A b 4ac OxssERvACAO 128 E importante notar que as funcdes fx ax br ce gx ax 0x Cc com abc Aa bc para algeum 4 0 tém mesmas raizes ou seja fz 0 se e somente se gx 0 no entanto seus graficos sAo distintos e portanto representam parabolas diferentes CAPITULO 1 CONICAS 21 A Proposicao 126 segue imediatamente dos Lemas 129 e 130 abaixo demonstrados Lema 129 O grafico de uma funcao quadratica fa ax m k é uma parabola com foco Fmk 9 da diretriz 1 dyk Ta vértice V mk Demonstracao Seja P xy um ponto qualquer do grafico de f de modo que y ax m 1 1 k Tome F k x edyk a Mostremos que FP dP d ver Definicao 13 a a Por um lado temos 1 FP matem 2 4a Donde segue 1 1 FP 4 m a2a m4 2aw m2 4a 4a 4ax m4 2aax m2 4a 4a 4 ax m 7 4a 1 yea ate m al Por outro lado 1 1 Pd aamkk a2m dP d ate m al ate m El Logo vale P dP d Como o vértice da parabola 0 ponto médio do menor segmento que liga Fa d é facil ver que V mk O Lema 130 Vale a igualdade 9 b b dac ax brcalx 2a 4a Essa forma de escrever a funcao quadratica é conhecida como forma canénica do trindmio de segundo grau CAPITULO 1 CONICAS 22 Demonstracao De fato 9 d az brealaxx a a b 2 Completando quadrado de modo a obter temos a 2 4 249 2 Pc alaalz2 r a a 2a 4a 4a a 1 b b 4ac alr 2a 4a 1 b b 4dac alrxj 2a 4a O OBSERVAGAO 131 Vale a reciproca da Proposiao 126 ou seja fixos mnp Rn p tais que F mn e d y p sao respectivamente foco e diretriz de uma parabola entdo existem a bc R tais que a parabola é grafico da funcao fx ax br Deixamos ao leitor interessado verificar que vale tal afirmagao para 1 bh m 4 m a cnp 2n p np 2n p Esboco da Parabola y c 0 P me Za x b e Lf b A TEE Ey 4a 2a dx att 4a Fig 17 Parabola CAPITULO 1 CONICAS 23 O esboco da parabola de equacao y ax ba c ou grafico de fx ax bx c pode ser facilmente estudado a partir da forma canénica do trindmio Lema 130 b b dac 2 b fx axr bre oo 5 qa Fixemos para estudo a 0 Facilmente observamos que f tem seu minimo no ponto onde b b x 0 ou seja quando x 2a 2a a b Além disso para 3a x1 2 temos que a b b r r2 n 3 3 pe b donde segue que fx1 fx2 ou seja f é crescente em 3q oo Analogamente vemos que a b f é decrescente em Ga 5 2a Um pouco de calculo diferencial nos permite concluir que para a 0 0 grafico de f é convexo isto é fixos dois pontos Py e P quaisquer sobre o grafico de f temos que o grafico de f fica abaixo do segmento PoP A convexidade do grafico de f decorre do fato de que a segunda derivada de f é dada por fx a0 Finalmente se A b 4ac 0 podemos obter as raizes de f facilmente igualando a forma can6nica do trindmio e isolando o parametro z obtendo assim a Formula de Bhaskara b Vb 4ac x 2a x 2 so db b OBSERVAGAO 132 Sea 0 fx ax bx c tem seu maximo em x aq7 decrescente em 3 oo e a a b crescente em c 3 tem grafico céncavo e tem suas raizes dada pela mesma Formula de a Bhaskara quando A 0 Exemplos EXEMPLO 133 Determine a equacao da parabola de foco F 1 2 e reta diretriz r y 4 CAPITULO 1 CONICAS 24 J Solucdo Seja P xy um ponto da parabola A equacao F P dpr em coordenadas fica Vx 1 y 2 y 4 Elevando essa igualdade ao quadrado obtemos a 2a 1 y 4y 4 yy 8y 16 Isolando entao o parametro y chegamos a 1l 9 4 1 4 11 PMT Na Vay O EXEMPLO 134 Consider uma parabola com vértice na origem e com 0 eixo Ox como reta focal Suponha que o ponto 3 6 pertenca 4 P Determine a equacdo de seu foco F e reta diretriz d J Solucdo Sabemos que P é uma parabola de parametro 2p com equacao da forma 1 a Como a primeira coordenada do ponto 3 6 é positiva temos 1 Pie ue 3 Substituindo as coordenadas do ponto 3 6 na equacdo acima chegamos a p 3 Logo temos 1 Pry a Tal parabola tem assim foco F 30 e reta diretriz d x 3 O EXEMPLO 135 Considere a funcao quadratica fx 2 6x 8 Escreva f na forma quadratica canénica e a partir de tal determine suas raizes Determine as coordenadas do vértice foco e a equacao da reta diretriz da parabola que é grafico de f J CAPITULO 1 CONICAS 25 Solucdo Completando quadrado obtemos fx x 62 9 1 a 3 1 que éa forma canonica de f Igualando a forma canénica a zero chegamos a a 3 1 Donde temos z 3 1 ou aindax 3 1 Logo x 2e x 4 séo as raizes de f O vértice da parabola que é grafico de f ocorre no ponto onde f é minimo ou seja em x 3 Logo as coordenadas do vértice sdo 3 1 Claramente o eixo de simetria da parabola em questao é paralelo ao eixo Oy Suponhamos entao que o foco da parabola tenha coordenadas F 3 1c ea diretriz tenha equacdo d y 1c Note que o vértice da parabola dista o mesmo do foco e da diretriz da parabola Considere um ponto P qualquer da parabola diferente do vértice Tome por exemplo P 08 Devemos ter F P dPd Por um lado temos entao FP 39 ce FP 9 e Por outro lado dPd 81c9e Deve valer entao 9 9c 94 0 Donde temos c 14 Logo F 3 34 ed y 54 O 15 x Excentricidade ProposicAo 136 Sejam7 07 4 1e F c0 Tome ra reta de equacao x c17 logo paralela ao eixo Oy Entao se P x y satisfaz a igualdade FP ndPr 111 temos que CAPITULO 1 CONICAS 26 se 0 7 1 entao P pertence a elipse de equacao 2 2 rn we Rp 1 onde a cn e b tal que a b 4 c se 7 1 entao P pertence a hipérbole de equacao 2 2 oe rn onde a cn e b tal que c a b Demonstracao Escrevendo a equacao 111 em coordenadas cartesianas temos c Vx 0 y n5c Elevando essa equacdo ao quadrado e manipulando algebricamente o resultado facilmente chegamos na igualdade 1 2022 41 4 x 21 Dividindo tal equacao por c 1 obtemos 2 2 x lp 7 1 C2 i 21 Xo 2 2 2 Entao para 0 7 1 observamos que c 1 0 Tomando entao a cn e 1 P i de modo que a b c temos 2 2 v y Rp 1 at 2 22 o p2 at Caso 7 1 temos que c 1 0 Tomando a cn eb c 51 de modo que c a b segue 2 2 4 4 a2 bP O CAPITULO 1 CONICAS 27 ProposiAo 137 Sejam7 1e F c0 Tome r a reta de equacdo x c Entao se P x y satisfaz a igualdade FP ndPr 112 temos que y Ace Demonstracao Escrevendo a equacao 112 em coordenadas cartesianas temos Va oc y ca Elevando essa equacdo ao quadrado e manipulando algebricamente o resultado facilmente obtemos y Ace O OBSERVACAO 138 A retar eo ponto F desctritos nas proposicées 136 e 137 so denominados respectivamente reta diretriz e foco da cénica em questao O parametro 77 que aparece em ambas as proposicoes é denominado excentricidade da cénica OxssERvACAO 139 E facil mostrar que as reciprocas das proposides acima sao validas ou seja Se P xy éum ponto da elipse de equacao 2 2 t y ete entao tomando c 0 tal que a b c n ca note 0 7 1 F c0e r 2 cn temos que P satisfaz a equacdo 111 Se P xy um ponto da hipérbole de equacao 2 2 x 51 rn entao tomando c 0 tal que c a b 7 ca note 7 1 F c0er 2 c7 temos que P satisfaz a equacao 111 Se P xy é um ponto da parabola de equacao y Aca entao tomando 7 1 F c0 er x c temos que P satisfaz a equacao 112 que é a mesma que a equacdo 111 CAPÍTULO 1 CÔNICAS 28 Excentricidade e a forma de uma cônica A excentricidade η de uma cônica é usualmente usada para estudar o formato das cônicas No caso da elipse quanto mais η for próximo à 0 maior a semelhança da elipse com um círculo De fato dividindo a2 b2 c2 por a2 teríamos que ba2 1 η2 Logo para η pequeno ba estaria próximo de 1 Assim sendo a e b seriam aproximadamente iguais Tomando b a teríamos então a equação do círculo x2 y2 a2 Para η 1 próximo de 1 teríamos por outro lado que ba seria próximo de 0 ou seja b seria muito menor que a o que nos levaria a uma elipse bem alongada ao longo do eixo Ox Na hipérbole por sua vez se η 0 estiver perto de 1 teremos ba próximo de 0 pois divi dindo c2 a2 b2 por a2 obtemos η2 1 ba2 Isso implica que as assíntotas da hipérbole tem inclinação próxima a 0 ou seja a medida que η fica mais perto de 1 as hipérboles ficam mais próximas do eixo Ox Por outro lado a medida que η tende à temos que ba também tende a ou seja a inclinação das assíntotas da hipérbole crescem de modo que as hipérboles se aproximam do eixo Oy Em geometria dizemos que duas figuras são semelhantes se podese obter uma a partir da outra pela composição de isometrias translação rotação reflexão e homotetias fixos centro O e razão k uma homotetia leva P em P pela relação OP k OP Sobre a semelhança das cônicas valem o seguinte resultado Proposição 140 Se duas cônicas têm mesma excentricidade então elas são semelhantes em particular todas as pará bolas são semelhantes entre si Demonstração Consideraremos apenas as cônicas cujas equações estão na sua forma canônica pois como veremos no capítulo todas as cônicas podem ser transformadas na forma canônica por rotações e translações Considere duas elipses E e E de equações E x2 a2 y2 b2 1 E x2 a2 y2 b2 1 Se ambas têm mesma excentricidade temos que ba ba donde segue que aa bb k Tome então a homotetia h com centro na origem e razão k ou seja tal que hx y kx ky Então afirmamos que se P x y está em E hP está em E De fato se P satisfaz x2 a2 y2 b2 1 CAPITULO 1 CONICAS 29 temos que kx ky ala by ay q2 b2 qi2q2 b2h2 gz be 1 A semelhanca de hipérboles de mesma excentricidade segue de modo analogo No caso de duas parabolas P y ax e P y ax tome k aa Dai se P 2 y esta em P temos que vale y ax Por outro lado tomando a homotetia hx y kx ky temos a2 a al ka al g ax ky O 16 Construcées de Dandelin Elipse Dado um cone com Angulo de abertura 2a e um plano 7 que intersepta 0 cone e faz um Angulo su perior a a com 0 eixo do cone temos na interseccao uma elipse E possivel encontrar duas esferas S e Sg que tangenciam o plano 7 e 0 cone internamente ver Figura 18 Tais esferas sto conhecidas como R esferas de Dandelin da elipse 3 Ff Mostremos usando as esferas de Dandelin que a J soma das distancias de um ponto X da elipse aos focos F e F é constante isto é a ee FX FXII b onde é é um numero real fixado obviamente maior que a distancia focal da elipse Suponha que 5 e Sy tangenciam o cone nos cir culos C e C2 respectivamente Seja X um ponto Ap qualque da elipse A reta OX que passa por X e pelo vértice O do cone intersepta C e Cp em pontos Hy Fig 18 Elipse e Hz respectivamente Observe que a soma X H X H9 inde pende do ponto X da elipse medindo sempre H2 Parabola CAPITULO 1 CONICAS 30 Mostraremos no que se segue que a curva parabola for O mada pela interseccéo de um cone de Angulo de abertura x 2a e vértice O com plano 7 que faz um Angulo a com o eixo do cone obedece de fato a equacao ale JS 5 i com 7 1 onde F é 0 foco da parabola r a sua diretriz e ae 7 y X um ponto qualquer da cénica Considere a esfera simultaneamente tangente interna ao cone e tangente ao plano 7 Seja y 0 plano que contém os pontos de tangéncia da esfera com o cone Afirmamos que o ponto de tangéncia da esfera com o plano 7 é 0 foco lh da parabola e que a reta r obtida pela intersecco de 7 e é a reta diretriz da parabola Seja X um ponto qualquer da parabola Seja C a in terseccao da reta OX uma geratriz no cone com y Con Fig 19 Pardbola Foco e Diretriz sidere B a projecdo ortogonal de X em y e D 0 ponto na diretriz r 77 tal que o triangulo AX BD se encontre num plano ortogonal a 7 Afirmamos que qualquer que seja X ponto da parabola os triangulos AX BC e AX BD sao congruentes OBSERVACAO 141 Cuidado nao confundir sua intuicao com a Figura 19 que é apenas uma projecao no plano de uma figura tridimensional O triangulo AX BC esta nao é coplanar ao plano da figura no papel ele entra no papel A congruéncia dos triangulos segue do fato de que os angulos a e sao todos congruentes por qué XBC XBD e XB é um lado comum a ambos os triangulos Congruéncia ALA Observe assim que XC XDI Mas XD dXre XC Fl onde F é 0 foco da parabola pois XC e X F sao tangentes a esfera em Ce F Logo FX ndXr com 7 1 Exercicios 11 Provemos que a curva elipse formada pela interseccao de um cone de angulo de abertura 2a com plano 7 que faz um angulo a com o eixo do cone obedece a equagao FX ndXr CAPITULO 1 CONICAS 31 com 7 1 onde Fé 0 foco da elipse e r a sua diretriz Considere como fizemos para a parabola a esfera simultaneamente tangente interna ao cone e tangente ao plano 7 esfera de Dandelin a Encontre o foco F ea diretriz r da elipse do mesmo modo que fizemos para a parabola b Considere X e X dois pontos da elipse Encontre os pontos B C e D da mesma forma que fizemos para a parabola Encontre B C e D a partir de X de forma semelhante c Mostre que os seguintes tridngulos sAo semelhantes AX BD AXBD AX BC AXBC d Mostre que XCI XC sm 1 XD xD onde 7 é uma constante real e Conclua que vale FX ndXr com 7 1 12 Mostre que a curva hipérbole formada pela interseccéo de um cone de Angulo de abertura 2a com plano 7 que faz um angulo a com 0 eixo do cone obedece a equagao FX ndXr com 7 1 onde Fé 0 foco da hipérbole e r a sua diretriz 13 Mostre usando as esferas de Dandelin que os pontos X da hipérbole satisfazem a equacao FX F2X k onde F e F sao os focos da hipérbole e k uma constante real 17 x Cénicas em Coordenadas Polares Considere a cénica de equacdo FX ndX1 Consi y deremos agora coordenadas polares com a origem O loca lizada em F e com 0 eixo polar perpendicular a diretriz da cénica B F CAPÍTULO 1 CÔNICAS 32 Suponha que a distância entre a diretriz l e o foco F é uma dada constante p e que a cônica está localizada em relação a l no mesmo lado de F como na Figura 110 É fácil ver que no sistema de coordenadas acima descrito FX r e dX l p r cos θ donde temos r ηp r cos θ Isolando r segue que r ηp 1 η cos θ x y b O bX b A θ Fig 111 Cônica coordenadas polares Suponha agora que que a cônica está localizada em re lação a l no lado oposto a F como na Figura 111 A equa ção FX ηdX l tornase então r ηr cos θ p Donde segue r ηp η cos θ 1 Observe no entanto que como r é positivo para que a equação acima represente um lugar geométrico não vazio devemos ter η 1 ou seja a cônica deve ser uma hipérbole Temos então Teorema 142 Considere uma cônica com excentricidade η foco F na origem e com uma diretriz l distando p de F e perpendicular ao eixo polar Ox Se 0 η 1 a cônica é uma elipse η 0 1 ou uma parábola η 1 e todo ponto da curva está localizado no mesmo semiplano em relação a l que F Nesse caso a cônica tem equação r ηp η cos θ 1 113 Se η 1 a curva é uma hipérbole com ramos em ambos os lados de l O ramo à esquerda de l satisfaz a Equação 113 e o ramo à direita de l satisfaz r ηp η cos θ 1 114 CAPITULO 1 CONICAS 33 18 x Cénicas e a Trajetoria dos Planetas Nesta secéo mostraremos a partir das leis de Newton que a trajetéria de planetas sujeitos apenas a forca gravitacional exercida por um sol é uma cénica Tal trajetoria sera uma elipse parabola ou hipérbole dependendo da velocidade inicial do planeta A prova que fazemos aqui foi fortemente inspirada na demonstracao das leis de Kepler apresentada no livro Calculus Volume I de Tom Apostol 1 Assim sendo suponha um sol e um planeta de massas M e m respectivamente A segunda lei de Newton afirma que a aceleracao a é proporcional a forca F por Fma 115 Denotando por r o vetor que liga o sol ao planeta por u o versor de r e por r a norma de r a lei universal da gravitacdo afirma que a forga exercida pelo sol no planeta obedece GMm F ur 116 r onde G é a constante gravitacional A partir das equacées 115 e 116 temos GM r Mostremos inicialmente que a trajetoria do planeta esta contida no plano perpendicular aos vetores posicao r e velocidade v Observe para isso que 0 vetor r x v é constante Linx a xverx xKutrx x O rxXv Xv4rxvxv4rxarxaO0 dt dt dt Denotemos r X v por c Como rc 1rr X v O segue que o vetor posicao é sempre perpendicular a c logo a trajetoria é de fato plana Observe que se c O temos que r e v sao paralelos e a trajetOria sera uma reta c6nica degenerada Suponhamos no que se segue que c 0 Mostremos agora que a trajetéria é de fato uma cénica Fixe um eixo polar passando peso sol e seja 0 angulo entre r e tal eixo Seja ug o vetor unitario dtr perpendicular a r dado por 7 Usando coordenadas polares temos que r ru Disso segue dr drf dr 1 Ur adr 1 du dO dr 1 dé yp HP ee H TS ey HY UG dt dt dt dt dt ddd dt ad Donde obtemos x rttp x dr 1 dé 2 dé x crxvru Urp 7ruUup 1 Ur X Us me Nat dt dt 7 CAPITULO 1 CONICAS 34 Dessa expressao segue axc CM x 208 xug 7 ro dt 0 do dé GMu x x GMug 118 ptr X ur x Us que 118 Observe agora que 1 xeca xctux fe aaxe 119 dt dt dt Por outro lado d dur du dé dé GMu GM GM GMu59 120 di OM Ur dt dO dt dt oa Das equacoes 118 119 e 120 segue entaéo que d d v x c GMu Donde por integracéo obtemos vxcGMu5 onde b é um vetor constante Tomando e tal que GMe b segue que vxcGMu e Multiplicando escalarmente ambos os lados da equacao acima por r temos rvxcGMrreGMr17cos 9 onde 7 e e é o Angulo entre r e e Como c r v temos por outro lado que rvXCPrxvcccC onde c el Assim temos finalmente GMr1ncos e 2 Fazendo p e isolando r segue a equacao GMn P r ncoos1 que é a equacao de uma cénica com foco no sol e excentricidade 7 como queriamos demonstrar OBSERVAGAO 143 Observe que como e é uma constante de integracao e 7 e temos que a excentricidade depende fundamentalmente das condig6es iniciais do movimento isto é da posicdo e velocidade iniciais do planeta Verifique Referências Bibliográficas 1 APOSTOLT Calculus Vol I Wiley 1967 2 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analitica Um tratamento Vetorial Prentice Hall 2006 3 CAROLIA CALLIOLI C FEITOSA M Matrizes vetores geometria analítica Nobel 1984 4 CHATTERJEE D Analytic Solid Geometry PHI Learning 2004 5 CROWE M A history of vector analysis the evolution of the idea of a vectorial system Dover 1994 6 HILBERT D The Foundations Of Geometry Gradiva 2003 7 LEHMANN C Geometria Analítica Editora Globo 1985 8 MELLO D A WATANABER G Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica Editora Livra ria da Física 9 LEITE O Geometria analítica espacial Edicoes Loyola 1996 10 SANTOS R Matrizes Vetores e Geometria Analítica Imprensa Universitária da UFMG 2004 11 WEXLER C Analytic Geometry A vector approach AddisonWesley Publ 1961 35