Teorema Fundamental do Cálculo: Introdução e Exercícios Resolvidos

Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo Beto Rober Bautista Saavedra UNIVASF 4 de Dezembro de 2023 Teorema Fundamental do Cálculo Sumário 1 Introdução 2 Teorema Fundamental do Cálculo 3 Exercícios Resolvidos Teorema Fundamental do Cálculo Introdução Introdução Teorema Fundamental do Cálculo Introdução Escopo Norteador 1 Ensinar o arcabouço fundamental teórico e técnico do Cálculo I vigilando o entendimento correto 2 Munir de técnicas e habilidades próprias da disciplina necessárias na formação de um engenheiro manuseio aprimorado de propriedades de teoremas e de técnicas da disciplina Teorema Fundamental do Cálculo Introdução Epigrafe1 Jamais considere seus estudos como uma obrigação mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer Albert Einstein Teorema Fundamental do Cálculo Introdução Epigrafe2 Não existe uma estrada real para a ciência e somente aqueles que não temem a fadiga de galgar suas trilhas escarpadas têm chance de atingir seus cumes luminosos Tirado do Prefácio da Edição Francesa do O Cápital Karl Marx Londres 18 de março de 1872 Teorema Fundamental do Cálculo Introdução Epigrafe3 Ex nihilo nihil fit Nada surge da nada 1 Poeta e Filósofo Lecrecio 1Enuncio este princípio na sua obra De Rerum Natura Teorema Fundamental do Cálculo Introdução Epigrafe4 Muitas das atuais teorias matemáticas surgiram da ciência aplicada e só depois adquiriram aquel aspecto axiomático e abstrato que tanto dificulta o seu aprendizado VI ArnoldEminente Matemático Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Calculo L Teorema Fundamental do Calculo O Teorema Fundamental do Calculo nos permitira calcular a Integral Definida sf fxdx de uma gama de fungées de abrangencia relevante Contém as condigé6es necessarias para uma fungao ser Fungao Derivada Alem disso nos permite definir ou redefinir fungdes como a fungao Logaritmo Natural Teorema Fundamental do Calculo L Teorema Fundamental do Calculo O Teorema do Valor Intermediario para Integrais Se f ab R 6 uma fungao continua entao existe c ab tal que 1 fc fxdx fcb a Fx dx bajJa a Na figura vemos a interpretagao do teorema quando f é continua e nao negativa A area da regiao sob o grafico e acima do SF 6 segmento ab é igual ao area do retangulo de base ab e altura fcIsto é a area de toda regiao dentro do retangulo e acima do grafico de fle f 6 igual a area de toda a regiao fora do retangulo e sob o grafico de f Fa poo a c 5b Teorema Fundamental do Calculo L Teorema Fundamental do Calculo Prova O Teorema de Weierestrass para Valores Extremos afirma a existéncia de numeros X1 Xo a b tais que x1 fx fx Integrando sobre ab resulta b b b b fx dx fxdx fxdx fxb adx fxdx fxob a b iq LO i ba Agora pelo Teorema do Valor Intermediario existe c a b tal que 1 b fc fxdx 5419 Teorema Fundamental do Calculo L Teorema Fundamental do Calculo Primeira Parte do Teorema Fundamental do Calculo Seja fR éuma fungao continua definida no intervalo abertole FR umaprimitiva de f Entao se a 6 c b fxdx Fb Fa Fx2 a Como f é integravel podemos fazer uma escolha muito especial do ponto c xi1 xi Seja qualquer partiao de ab P Xo X11 Xo Xn1 Xn D Para escolher os c xj1 Xi aplicase o Teorema do Valor Médio a F restrita a cada x1 xi ci Fa A Fa FO EY 10 Ax Fa FO Xi Xi1 Axi Logo SfP S fCAX SS Fx F1 Fb Fa Quando P 0 temos b n fxdx HD fCAX dim Fb Fa Fb Fa Teorema Fundamental do Calculo L Teorema Fundamental do Calculo Exercicio Resolvido Calcular a area da regiao delimitada pelo grafico da fungao fx senx e pelo eixo OX ao longo do intervalo 0 27 4 valli UL A fungao Fx cosx éaantiderivadade fx senx Porém o valor da integral definida Qa senxdx cosx2 cos27 cos0 0 nao é a area esperada pois essa integral 6 a soma de duas areas com sinais opostas que devido a simetria sao de igual valor absoluto Para calcular o area devemos fazer 7 Qn A senx dx senxdx cos7 cos0 cos27 cosz 4 JO JT Teorema Fundamental do Calculo L Teorema Fundamental do Calculo Segunda Parte do Teorema Fundamental do Calculo Se fR éuma fungao continua definida no intervalo intervalo aberto entao existe a primitiva def FR Escolhemos qualquer a edefinese a fungao t Ft fxax a Como f é continua a fungao F esta bem definida Lembrar que nao necessariamente t a e Fa0 Provaremos que F é primitiva de f FthFt 17 stn t tpt th t 1 ttn h L fxdx Hx h L fxdx fxdx 1x6 h fxdx Teorema Fundamental do Calculo L Teorema Fundamental do Calculo Consideremos 0 caso h 0 O caso h 0 é tratada analogamente Sejam s e S2 respectivamente os pontos de minimo e de maximo de f no intervalo tthEntao th fsih Fxdx Fsoh t Como h 0 temse 1 th Hs pf txjde 160 t Orase h0 entao ss2 t Acontinuidade de f e o Teorema do Confronto garantem que 1 th liMpo A fxdx ft t Istoé Ft ft a Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo Observação Importante O Teorema só garante existência da Primitiva ou Antiderivada de uma função continua Mas não nos fornece uma formulação explícita da Primitiva Teorema Fundamental do Calculo L Exercicios Resolvidos Exercicio Resolvido1 Calcule a derivada das seguintes fungdes 2 Fx J costat Fx fe senfat 1 1 Gx Joe Trsenty A Pelo Teorema Fundamental do Calculo e pela Regra da Cadeia Fx 2xcosx Fx 2sen2x 1 2sen4x 4x 1 2 4 Como Gx J apseqp at temse 2Xx 2x Cd a 3senx 3 senx Teorema Fundamental do Calculo L Exercicios Resolvidos Exercicio Resolvido2 Calcule a area da regiao limitada pelas curvas yx e yx Primeiro encontramos os pontos de intersegao da reta e da parabola a equagao x x Assim x 0O ou x 1 Isto é os pontos de intersegao sao 00 e 11 Entdo a area procurada é 1 A x xdx JO x x8 2 3 1 1 1 2 3 6 Y yx 1 yx 1 x Teorema Fundamental do Calculo LExercicios Resolvidos Exercicio Resolvido3 A seguinte figura mostra uma curva y fx coma seguinte propriedade paracadaponto P nacurva y 2x asareas Ae B sao iguais Ache uma equagao para a fungado y fx Y yx yoo x2 yx 2x P A 0 x x Configuramos 0 problema como segue Sejao ponto P x 2x Com as fung6es inversas x Vs exf7 y calculamos B 2x2 y 1 B f yay JO 2 Assim obtemos 2 x 2x A ae Pare 2 Py J0 0 2 Logo pelo Teorema fundamental do Calculo e pela Regra da Cadeia obtemos 3x 32 x 4x axt2x Axt 2x7 3x 2x Fx Calcule i 1 1 1 1 beeed 1 lim a wee DON nn tt Vnvnt2 Vnvn3 Vnnn Das seguintes igualdades 1 1 1 1 1 1 Vavn 1 Vnn nnn mjftd mi2 nfi2 n i 1 Sof1 onde fxx 2 in nn Podemos escrever que 1 1 1 2 1 2 lim a tt me we ck 2v5 222 nto Jnntt Snvn2 Jnnn 1 1 Provar que lim artg x0 9 x 2 A fungdo x at f at atx ff 12 0 Jo 148 6 constante Provase que g 0 em R 0 Agora g1 2 fj az 2artg1 F Logo 1 1 x at wT i dt ee arta 14 2 0 14