Cálculo de Limites e Integrais Indefinidas

125 pontos Calcular limy vet sent Solugao Primeiro calculemos 0 limz45 sen2x Como a imagem da fungao trigonométrica seno é 11 temos 1 sen22 1 2 De x0 Ja que limeco 73 0 o teorema do confronto nos garante que sen2x lingo S028 x a13 Por outro lado limgy2 ve lim 3 xun v 225 pontos Calcular a integral indefinida I ee esenedx Solucao Primeiro calculemos J eseneae Se ue sendo duedz obtemos J etseneaa J senwyau cosuc cose Para calcular f xedx usaremos 0 método de integragao por partes u x e e dvEntao dudz ve e ectae xe peu xe e Combinando os dois resultados anteriores seguese I cose we e C 1 325 pontos Mostre que sena cosa V2 para qualquer ntimero real 2 Prova Observar que senx cosx V2 V2 senx cosx V2 Definimos a fungao fx senax cosx Derivando fa temos que fx cosx senzx Assim fz 0e2 at 2kn ou Tt abn keZ Por outro lado em 2kr 0 e ne 2k 0 Portanto 3 7 V2 oo senx cosx V2 Va Assim terminamos a prova 425 pontos Calcular V4x 1 limgoo 3 2 5 Solugao Observar que para x 0 temos V2 x ax Logo 1 J4a2 1 yrr4 ze lima so 55 8 lime rco aay 3 Va244 4 28 a44 lt w00 TE 3 esa 8 nytt Maso 32 2