Regressão e Análise de Variância em Estatística Experimental

EST 220 Estatística Experimental I2008 111 10 Regressão 101 Introdução Um fator em estudo num experimento pode ser classificado como qualitativo ou quantitativo Um fator qualitativo é aquele onde os seus níveis diferem por algum atributo qualitativo Como exemplos têmse variedades tipos de defensivos métodos de conduzir uma determinada tarefa etc Por outro lado um fator quantitativo é aquele onde os níveis se diferem com relação a quantidade do fator Como exemplos têmse temperatura umidade concentração de um princípio ativo níveis de insumo pH etc Quando o fator é qualitativo devese proceder à análise de variância dos dados e às comparações entre médias dos níveis do fator usando algum dos procedimentos para comparações múltiplas quando o F for significativo Para o caso de um fator quantitativo devese estudar o efeito do fator quantitativo pó r meio de uma relação funcional entre o mesmo e a variável resposta A técnica indicada neste caso é a análise de regressão A análise de regressão consiste na realização de uma análise estatística com o objetivo de verificar se a relação funcional estabelecida entre um fator quantitativo e uma variável resposta é significativa Em outras palavras consiste na obtenção de uma equação que tenta explicar a variação significativa de uma variável resposta em função da variação dos níveis de um ou mais fatores quantitativos 102 Escolha do modelo para equacionar o fenômeno em estudo Para tentar estabelecer uma equação que representa o fenômeno em estudo podese plotar um diagrama de dispersão para verificar como se comportam os valores da variável resposta Y em função da variação dos níveis do fator quantitativo X O comportamento de Y em relação a X pode se apresentar de diversas maneiras linear quadrático cúbico exponencial logarítmico etc Para se estabelecer o modelo para explicar o fenômeno devese verificar qual tipo de curva e equação de um modelo matemático que mais se aproxime dos pontos plotados no diagrama de dispersão Contudo podese verificar que os pontos do diagrama de dispersão não vão se ajustar perfeitamente à curva do modelo matemático proposto Haverá na maioria dos pontos uma distância entre os pontos do diagrama e aqueles obtidos quando a curva do modelo proposto é traçada Isto acontece devido ao fato do fenômeno que está em estudo não ser um fenômeno matemático e sim um fenômeno que está sujeito a influências de inúmeros fatores Assim o objetivo da regressão é obter um modelo matemático que melhor se ajuste aos valores observados de Y em função da variação dos níveis da variável X O modelo matemático que irá ser ajustado deve satisfazer as seguintes condições Modelo selecionado deve ser coerente para representar em termos práticos o fenômeno em estudo Modelo deve conter apenas as variáveis que são relevantes para explicar o fenômeno 103 Método para obter a equação estimada Como foi dito anteriormente os pontos do diagrama de dispersão ficam um pouco distantes da curva do modelo matemático escolhido Um dos métodos que se pode utilizar para obter a relação funcional se baseia na obtenção de uma equação estimada de tal forma que as distâncias entre os pontos do diagrama e os pontos da curva do modelo matemático no todo sejam as menores possíveis Este método é denominado de Método dos Mínimos Quadrados MMQ Em resumo por este método a soma de quadrados das Cap 10 Regressão 112 distâncias entre os pontos do diagrama e os respectivos pontos na curva da equação estimada é minimizada obtendose desta forma uma relação funcional entre X e Y para o modelo escolhido com um mínimo de erro possível 1031 Modelo linear de 1º grau O modelo estatístico para esta situação seria i i 1 0 i e X Y β β em que iY é o valor observado para a variável dependente Y no iésimo nível da variável independente X 0 β é a constante de regressão Representa o intercepto da reta com o eixo dos Y 1 β é o coeficiente de regressão Representa a variação de Y em função da variação de uma unidade da variável X i X é o iésimo nível da variável independente X n 1 2 i K e ie é o erro que está associado à distância entre o valor observado Yi e o correspondente ponto na curva do modelo proposto para o mesmo nível i de X Para se obter a equação estimada vamos utilizar o MMQ visando a minimização dos erros Assim temse que i 1 0 i i X Y e β β elevando ambos os membros da equação ao quadrado 2 i 1 0 i i2 X Y e β β aplicando o somatório β β n 1 i 2 i 1 0 i n 1 i i2 X Y e 1 Por meio da obtenção de estimadores de β0 e β1 que minimizem o valor obtido na expressão anterior é possível alcançar a minimização da soma de quadrados dos erros Sabemos do Cálculo que para se encontrar o mínimo de uma equação devese derivar a equação em relação à variável de interesse e igualar a derivada resultante ao valor zero Portanto derivando a expressão 1 em relação a β0 e β1 e igualandoas a zero obtémse β β β β β β β β β β 0 X ˆ X ˆ Y 0 X ˆ X ˆ Y 2 0 e 0 ˆ X ˆ Y 0 1 ˆ X ˆ Y 2 0 e n i 1 i i 1 0 i n i 1 i i 1 0 i 1 n 1 i 2 i n i 1 i 1 0 i n i 1 i 1 0 i 0 n 1 i 2 i β β β β β β β β 0 X ˆ X ˆ Y X 0 ˆ X ˆ X X Y 0 X ˆ nˆ Y 0 ˆ X ˆ Y n 1 i 2 i 1 n i 1 i 0 i n i 1 i 2 i n i 1 1 i n i 1 0 i n i 1 i n 1 i n 1 i n i 1 i 1 0 n i 1 i i 1 0 n i 1 i EST 220 Estatística Experimental I2008 113 β β β β n 1 i 2 i 1 n i 1 i 0 n i 1 i i n i 1 i 1 0 n i 1 i X ˆ X ˆ X Y X ˆ nˆ Y Este é o sistema de equações normais que permite a obtenção de estimativas de β0 e β1 que minimizam a soma de quadrados dos erros Uma vez obtidas estas estimativas podemos escrever a equação estimada i 1 0 i ˆ X ˆ Yˆ β β 1032 Modelo linear de 2º grau O modelo estatístico para esta situação seria i 2 i 2 i 1 0 i e X X Y β β β em que iY é o valor observado para a variável dependente Y no iésimo nível da variável independente X 0 β é a constante de regressão 1 β é o coeficiente de regressão i X é o iésimo nível da variável independente X n 1 2 i K 2 β é o coeficiente de regressão i2 X é o iésimo nível da variável independente X elevado ao quadrado ie é o erro que está associado à distância entre o valor observado Yi e o correspondente ponto na curva para o mesmo nível i de X Utilizando o MMQ no modelo de 2º grau chegarseá ao seguinte sistema de equações normais para se obter as estimativas de 2 1 0 e β β β β β β β β β β β β n 1 i n 1 i 4 i 2 3 i 1 n 1 i 2 i 0 n 1 i 2 i i n 1 i n 1 i 3 i 2 2 i 1 n i 1 i 0 n i 1 i i n 1 i 2 i 2 n i 1 i 1 0 n i 1 i X ˆ X ˆ X ˆ X Y X ˆ X ˆ X ˆ X Y X ˆ X ˆ nˆ Y Uma vez obtidas estas estimativas podemos escrever a equação estimada 2 i 2 i 1 0 i ˆ X ˆ X ˆ Yˆ β β β 104 Análise de variância da regressão A equação estimada obtida apenas estabelece uma relação funcional entre a variável dependente e a variável independente para representar o fenômeno em estudo Portanto a simples obtenção da equação estimada não responde ao pesquisador se a variação da variável independente influencia significativamente na variação da variável dependente Para se responder a esta pergunta é necessário realizar um teste estatístico para as estimativas dos coeficientes da equação de regressão estimada Um teste que pode Cap 10 Regressão 114 ser realizado para verificar tal fato é o teste F da análise de variância Portanto é necessário realizar uma análise de variância dos dados observados em função do modelo proposto Contudo a estratégia da análise de variância depende se houve ou não repetições no experimento 1041 Apenas um único valor observado para cada nível da variável independente Nesta situação não existe repetição A única estimativa da variância residual é aquela dada pela falta de ajuste dos valores observados ao modelo ajustado O quadro para a análise de variância para a regressão para esta situação é do seguinte tipo FV GL SQ QM F Ftab α Regressão p SQReg p SQReg QMInd QMReg pn1p Independente da Regressão n1p SQInd 1 p n SQInd Total n1 SQTotal em que p no de coeficientes de regressão não inclui o 0 β n no de observações As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados total e da soma de quadrados do independente da regressão são as mesmas tanto para o modelo linear de 1o grau quanto para o de 2o grau as quais são dadas a seguir n Y Y SQTotal 2 n i 1 i n 1 i i2 SQInd SQTotal SQRegressão Já a soma de quadrados para a regressão varia de acordo com o modelo em teste 1º grau 2º grau n Y Y X ˆ Y ˆ Regressão SQ 2 n i 1 i n i 1 i i 1 n i 1 i 0 β β n Y Y X ˆ Y X ˆ Y ˆ Regressão SQ 2 n i 1 i n 1 i 2 i i 2 n i 1 i i 1 n i 1 i 0 β β β As hipóteses estatísticas para o teste F são as seguintes 0 H p 2 1 0 β β β o que significa dizer que as p variáveis independentes não exercem influência na variável dependente segundo o modelo proposto 0 H i a β para pelo menos um i o que significa dizer que pelo menos uma das p variáveis independentes exerce influência na variável dependente segundo o modelo proposto EST 220 Estatística Experimental I2008 115 O valor de F da análise de variância deve ser comparado com o valor de F tabelado Ftab o qual se obtém na tabela da distribuição F de acordo com o nível de significância do teste e o número de graus de liberdade para a regressão e independente da regressão ou seja p 1 np F Ftab α A regra decisória para o teste F é Se Ftab F Rejeitase 0 H ao nível de significância que foi realizado o teste Pode se inferir que a variável independente influência significativamente a variável dependente Y Se Ftab F Não rejeitase 0 H ao nível de significância que foi realizado o teste Podese inferir que a variável independente não influência significativamente a variável dependente Y 1042 Mais de um valor observado para cada nível da variável independente Nesta situação existe mais de um valor observado para cada nível da variável independente Assim é possível obter uma estimativa da variância residual tal como aquela obtida em modelos de delineamento o que não é possível quando se tem uma única observação para cada nível da variável independente Normalmente o que se faz numa situação como esta é inicialmente proceder a uma análise de variância usual considerando o efeito do fator quantitativo como se fosse a fonte de variação tratamentos numa análise de variância usual Isto é realizado para que se quantifique a variância residual Posteriormente o efeito de tratamentos é desdobrado nos efeitos associado a um ajuste de um modelo de regressão e também a falta de ajuste deste modelo A escolha do modelo de regressão a ser ajustado é aquele que mais se aproxima dos pontos médios observados para cada nível da variável independente O quadro abaixo resume o que acabou de ser descrito para uma situação geral em que se está testando I níveis da variável independente em um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado com K repetições Pressupõese também que se está testando um modelo de regressão com p coeficientes de regressão O total de observações neste experimento é igual a NIK FV GL SQ QM F Ftab α Regressão p SQReg p SQReg QMRes QMReg p IK 1 Falta de Ajustamento I 1 p SQFalta 1 I SQFalta QMRes QMFalta I 1 p IK 1 Tratamentos I 1 SQTrat Resíduo IK 1 SQRes 1 I J SQRes Total IK 1 SQTotal O teste F para a falta de ajustamento é realizado para verificar se o modelo adotado está se ajustando bem aos dados Se o teste F para a falta de ajustamento for significativo indica que o modelo ajustado não é apropriado e um novo modelo que se ajuste melhor aos dados deve ser testado Se por outro lado a falta de ajustamento for nãosignificativa indica que o modelo adotado se ajusta bem aos dados Conseqüentemente faz sentido analisar o teste F para a fonte de variação regressão para saber se a variável independente tem influência significativa sobre a variável dependente Cap 10 Regressão 116 No caso de falta de ajustamento significativa não faz sentido realizar o teste para a regressão pois o modelo de regressão não se ajustou significativamente aos dados As hipóteses para a falta de ajustamento são H0 a falta de ajustamento não é significativa Ha a falta de ajustamento é significativa O valor tabelado de F para a falta de ajustamento é encontrado usando p 1 Ip F Ftab α A regra decisória para o teste F para a falta de ajustamento é Se Ftab F Rejeitase 0 H ao nível de significância que foi realizado o teste O modelo adotado não se ajusta bem aos dados Um novo modelo deve ser testado Se Ftab F Não rejeitase 0 H ao nível de significância que foi realizado o teste O modelo adotado se ajusta bem aos dados Não há necessidade de se testar um novo modelo Procedese ao teste F para regressão O teste F para a regressão é idêntico ao caso anterior ou seja com apenas uma observação para cada nível da variável independente 105 Coeficiente de determinação R2 O coeficiente de determinação fornece uma informação auxiliar ao resultado da análise de variância da regressão para verificar se o modelo proposto é adequado ou não para descrever o fenômeno Para o caso em que se tem uma única observação para cada nível da variável independente o 2 R é obtido por SQTotal R2 SQRe g Já para o caso em que se tem mais de um valor observado para cada nível da variável independente o valor de 2 R é obtido por SQTrat R 2 SQReg O valor de 2 R varia no intervalo de 0 a 1 Valores próximos de 1 indicam que o modelo proposto é adequado para descrever o fenômeno 106 Exercícios 101 Verificar utilizando os dados amostrais fornecidos abaixo se a temperatura tem influência significativa sobre o comprimento de uma barra de aço Utilize o modelo linear de 1º grau e o nível de 5 de significância Temperatura ºC 10 15 20 25 30 Comprimento mm 1003 1005 1010 1011 1014 102 Para verificar se existe uma relação linear de 1º grau entre Umidade Relativa UR do ar da secagem de sementes e a germinação das mesmas um pesquisador realizou um teste com 4 diferentes valores para a de UR do ar que atravessava as sementes armazenadas obtendose os seguintes valores amostrais EST 220 Estatística Experimental I2008 117 UR 20 30 40 50 Germinação 94 96 95 97 Ao nível de 5 de probabilidade qual seria a conclusão do pesquisador Qual seria a equação estimada 103 Para o seguinte conjunto de valores de X variável independente e Y variável dependente faça a análise de regressão segundo o modelo linear de 1º grau e obtenha a equação de regressão estimada Use o nível de significância de 5 X 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Y 103 182 251 356 430 500 591 678 752 850 104 De acordo com os dados fornecidos abaixo para a variável X dose do micronutriente Zn em ppm e a variável Y matéria seca em gplanta verifique usando o nível de 5 de probabilidade e o modelo linear de 2º grau se a relação entre as variáveis X independente e Y dependente é significativa X 10 25 40 55 70 85 Y 203 313 346 351 302 197 105 O modelo linear abaixo foi proposto para explicar a relação entre a quantidade de ração fornecida e produção de leite por cabras i i i e bX a Y Pedese por meio dos dados abaixo verificar se a ração influencia significativamente a produção de leite α 5 Níveis de Ração g 50 75 100 125 150 Produção de leite ldia 12 17 20 21 25 106 Para o modelo ajustado e dados fornecidos abaixo 0 000783X2 0 2737X 1407835 Yˆ SQIndependente da Regressão 681691 7 1 i 7 1 i 2 i i 171712384 Y 1094800 Y 7 1 i 7 1 i 2 i i i i 35986875000 Y X 166942500 Y X Proceder a análise de variância da regressão e concluir α 5 Cap 10 Regressão 118 107 Para se avaliar o efeito de diferentes dosagens de um micronutriente no desenvolvimento de duas espécies vegetais foi realizado em experimento fatorial 4x2 no DBC com 5 repetições Após a coleta e tabulação dos dados em produção de matéria verde por determinada unidade de área foi montado o seguinte quadro de totais de tratamentos Dose 1 Dose 2 Dose 3 Dose 4 Espécie 1 60 52 60 90 262 Espécie 2 56 50 40 40 186 116 102 100 130 448 A análise de variância dos dados no computador forneceu o seguinte quadro incompleto da ANOVA FV GL SQ QM Fator A 1 Fator B 3 582 Int AxB 4920 Trat Blocos Resíduo 1000 Total Com base nos dados apresentados acima pedese obs use α 5 a Obtenha a soma de quadrados para o fator A Apresente os cálculos b Os fatores em estudo atuam independentemente na variável em análise JUSTIFIQUE c Qual espécie deveria ser usada de modo a termos uma maior produção de massa verde quando for usada a dose 3 do micronutriente JUSTIFIQUE d Como deveríamos continuar a análise caso fosse de nosso interesse determinar a melhor dose do micronutriente Descreva a estratégia de análise de maneira resumida apresentando a seqüência dos procedimentos a serem realizados juntamente com algumas discussões mas sem precisar fazer nenhum tipo de cálculo Cap 10 Regressão 120 109 Com o objetivo de estudar o efeito da temperatura no ganho de peso de determinada espécie de animal de pequeno porte foi realizado um estudo em que alguns animais foram submetidos a diferentes temperaturas no local em que eram confinados Com base nos dados de ganho de peso obtidos depois de determinado período ajustou se a seguinte equação de regressão 0 02X2 0 93X 6 89 Yˆ Considerando que a análise de variância da regressão resultou em F significativo para regressão pedese a Qual seria o ganho de peso em quilos esperado se fosse mantida constante no local de confinamento do animal em questão a temperatura de 23 oC b Qual seria a temperatura a ser usada para que fosse obtido o máximo de ganho de peso 1010 Suponha que tenha sido realizada uma pesquisa a respeito da influência do tempo de estudo na nota da prova de determinada disciplina Os dados obtidos com respeito a cinco alunos aleatoriamente entrevistados são dados abaixo Xi Tempo de estudo em horas 2 3 4 5 6 Y Nota obtida em 10 3 5 6 8 9 215 Y 139 X Y 31 Y 90 X 20 X 2 i i i i 2 i i Pedese a Ajuste um modelo de regressão linear de 1o grau para tentar explicar a variação na nota do aluno em função do tempo de estudo OBS Indique a resolução inclusive apresentando o sistema de equações normais b Poderíamos dizer que o tempo de estudo influencia significativamente a nota obtida use α 5 1011 Com os dados relativos à equação de regressão 2 108Xi 1038Xi aˆ 0 i Yˆ obter a ANOVA da regressão e concluir para α 5 DADOS 34648 X 256 5 X 1837538 Y 4238684 X Y 34087 X Y 12043 Y 20 1 i 2 i 20 i 1 i 20 1 i 2 i 20 i 1 i 2 i 20 i 1 i i 20 i 1 i 1012 Obter a equação de regressão para o modelo e a2X2 a1X a0 Y e concluir para α 1 X 4 3 2 1 1 2 3 4 Y 12 101 132 143 141 127 85 03 EST 220 Estatística Experimental I2008 121 1013 Fazer a análise de variância da regressão concluindo para α 1 dados 192 WiZi 146 Wi 32 Zi 6980 2 i Z 15 321 1546W ii 1040 Zˆ 1014 Suponha que um biólogo realizou um experimento no DIC com 3 repetições para comparar o efeito de 5 dosagens Xi em mg de uma droga farmacêutica desenvolvida para aumentar o tempo de sono Yi em horas A análise dos dados oriundos deste experimento produziu as seguintes informações i X 1 2 3 4 5 iY 3 4 8 5 9 13 8 10 12 9 13 17 12 11 16 Usando o nível de 5 de significância pedese 10141 Proceda ao teste para a falta de ajustamento e conclua se o modelo de regressão linear de 1o grau é apropriado para descrever o tempo de sono em função da dosagem de sonífero 10142 O valor estimado para 1 β é estatisticamente diferente de zero Justifique a sua resposta 10143 De acordo com a equação de regressão estimada qual seria o tempo de sono dos ratos se uma dosagem de 17 mg fosse usada 1015 Foi realizada uma pesquisa para estudar o efeito de determinado medicamento usado no controle de peso de cavalos de corrida Seis doses do medicamento foram ministradas a seis animais A perda de peso obtida para estes animais bem como a dose do medicamento ministrada a cada um deles é fornecida na tabela a seguir Dose mg 20 25 30 35 40 45 Perda de Peso kg 10 45 60 75 58 43 Suponha que o pesquisador decida usar o seguinte modelo linear de segundo grau i 2 i 2 i 1 0 i X X Y ε β β β 9521875 X 248625 X 6775 X 195 X 3578750 YX 100050 YX 291 Y n 1 i n 1 i 4 i 3 i n 1 i 2 i n i 1 i n 1 i 2 i i n i 1 i i n i 1 i Com base nas informações fornecidas pedese 10151 A estimativa do intercepto ou seja constante da regressão 10152 As estimativas dos coeficientes de regressão 1ˆβ e 2ˆβ 10153 A dose que proporciona o máximo de perda de peso 10154 O valor do F da análise de variância da regressão calculado para testar se existe efeito do medicamento sobre a perda de peso segundo o modelo proposto 1016 Um experimento foi instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado para verificar se existe efeito significativo do fator quantitativo X sobre uma variável Cap 10 Regressão 122 dependente Y Suponha que foram utilizadas 2 repetições e que são fornecidas as seguintes informações Modelo adotado i i 1 o i X Y ε β β FV GL SQ QM F Regressão 7605 Falta de Ajustamento Tratamentos 4 10160 Resíduo Total 12610 Pedese 10161 O valor do F calculado para a regressão 10162 O valor do F calculado para a falta de ajustamento 1017 Suponha que em uma pesquisa 10 dosagens de uma droga foram ministradas a um grupo de 10 indivíduos para verificar se o efeito da mesma era capaz de reduzir o peso em seres humanos Cada dosagem foi testada em um único indivíduo O modelo linear de 2o grau ajustado a SQResíduo as dosagens testadas e as respectivas perdas de peso observadas e alguns somatórios relacionados foram 2 i i i 009564X 2 66174X 115000 Yˆ SQRegressão17987 Dosagem mg 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Perda de peso kg 5 8 10 13 15 17 20 18 15 13 405328 X 24200 X 1540 X 110 X 23876 Y X 1658 Y X 1990 Y 134 Y 10 1 i 10 1 i 4 i 3 i 10 1 i 2 i 10 i 1 i 10 1 i 2 i i 10 i 1 i i 10 1 i 2 i 10 i 1 i Com base nas informações fornecidas acima e usando o nível de 5 de significância quando necessário pedese 10171 É possível concluir que o uso da droga resulta em uma perda de peso significativa 10172 Qual a dosagem da droga que proporciona maior perda de peso 10173 Qual seria a perda de peso esperada se a dosagem de 35 mg fosse utilizada EST 220 Estatística Experimental I2008 123 1018 Suponha que um pesquisador tendo como objetivo desenvolver uma bebida Láctea com sabor natural de laranja e temendo que o uso do suco natural resultasse em elevada acidez resolveu testar 10 dosagens de suco natural 10 15 20 25 30 35 40 45 50 e 55 ml com relação ao ph da bebida Láctea Para tanto preparou um lote da fórmula básica da bebida Láctea A fórmula básica é aquela que contém todos os ingredientes da bebida Láctea exceto o suco de laranja Como o lote era completamente homogêneo dividiu o lote em 30 amostras Procedeuse então a distribuição inteiramente ao acaso das dosagens de suco de laranja às amostras Ao final cada dosagem foi designada a 3 amostras Após a mistura do suco de laranja às amostras o pH da bebida Láctea foi medido Um gráfico de dispersão da dosagem versus pH mostrou que o modelo linear de 1o grau era indicado para estudar o fenômeno Com base nos dados as seguintes informações foram obtidas Quadro da ANOVA da Regressão FV GL SQ QM F F5 Regressão 237692 Falta de Ajustamento Tratamentos 243720 Resíduo Total 251520 Equação da regressão ajustada i i 008X 7 63 Yˆ Com base nas informações fornecidas acima e usando o nível de 5 de significância pedese OBSERVAÇÃO UTILIZAR QUATRO DECIMAIS NOS CÁLCULOS 10181 O modelo ajustado é adequado para descrever o fenômeno 10182 A dosagem do suco de laranja tem efeito significativo na acidez da bebida Láctea 10183 Quanto se espera que varie o pH da bebida Láctea em função da variação de 1 ml de suco de laranja 1019 Um padeiro resolveu testar 10 diferentes dosagens de um determinado tipo de fermento para verificar se o mesmo influenciava o peso final dos pães Os resultados obtidos foram 2 i i i 0 45X 6 36X 193 Yˆ SQTotal 31040 25333 X 3025 X 385 X 55 X 8461 Y X 1179 Y X 4074 Y 194 Y 10 1 i 10 1 i 4 i 3 i 10 1 i 2 i 10 i 1 i 10 1 i 2 i i 10 i 1 i i 10 1 i 2 i 10 i 1 i Com base nas informações fornecidas acima e usando o nível de 5 de significância quando necessário pedese 10191 É possível concluir que as dosagens do fermento influenciaram no peso final dos pães 10192 De acordo com a equação de regressão ajustada qual é a dosagem estimada que proporciona o maior peso final de pães Cap 10 Regressão 124 1020 Uma droga desenvolvida para o controle do nível de açúcar Y foi testada em as doses 20 30 40 50 60 70 e 80 mg X Os resultados apresentados abaixo foram publicados em uma revista científica i i 0 83X 28632 Yˆ SQTotal 193371 SQRegressão190575 Com base nestas informações pedese 10201 A droga tem influência significativa sobre o teor de glicose 10202 Qual é a estimativa do teor de glicose no sangue quando se usa a dose de 90 mg Cap 11 Respostas dos Exercícios 148 Interação Fcal 042 Ftab5212 389 Não rejeitase Ho Os fatores atuam independentemente Fator A Fcal 2205 Ftab516 599 Rejeitase Ho Existe pelo menos um contraste estatisticamente diferente de zero entre médias de niveis do fator A Fator B Fcal 583 Ftab5212 339 Rejeitase Ho Existe pelo menos um contraste estatisticamente diferente de zero entre médias de niveis do fator B Teste de Duncan Fator A não é necessário Teste F já é conclusivo Fator B D3 187 e D2 178 Médias mˆ B3 629 a mˆ B1 396 b mˆ B2 379 b Capítulo 10 101 0ˆβ 9974 1ˆβ 056 x i Fcal 843 A variável independente influencia significativamente a variável dependente 102 0ˆβ 927 1ˆβ 008x i Fcal 355 A variável independente não influencia significativamente a variável dependente 103 0ˆβ 1 52 1ˆβ 41282 F significativo A variável independente influencia significativamente a variável dependente 104 0ˆβ 1124 1ˆβ 104677 x i 2ˆβ 11135 F cal2314 A variável independente influencia significativamente a variável dependente 105 0ˆβ 07 1ˆβ 0012 x i F cal 6752 A variável independente influencia significativamente a variável dependente 106 F cal1224 A variável independente influencia significativamente a variável dependente 107 EST 220 Estatística Experimental 149 a 1444 bNão F cal interação foi significativo c Espécie 1 i GL1 F conclusivo dFazer uma análise por meio de regressão Escolhendo o modelo mais adequado 108 Modelo 3 F falta ajustamento ns F regressão significativo F cal 506 R²782 109 a 392 kg b 2325C 1010 aF cal 225 b Sim F significativo da regressão 1011 1012 9763 F 09x 016x 161 Yˆ cal 2 i i i 1013 F 1097 ns Ftab 907 1014 10141 Falta de Ajustamento Fcalc 04 Ftab5310 371 Não rejeitase Ho O modelo linear de 1o grau é apropriado para descrever o tempo de sono em função da dosagem de sonífero 10142 Regressão Fcalc 12 Ftab5110 496 Rejeitase Ho O coeficiente β1 é estatisticamente diferente de zero 10143 Não é recomendável fazer tal estimativa pois a dose de 17 mg não está dentro do intervalo de dosagem testada 1015 OBSERVAÇÃO VALORES APROXIMADOS 10151 2376 10152 188 e 0027 10153 3481 10154 6313 1016 10161 1552 10162 174 4449 12044 ˆ 0 Fcal β Cap 11 Respostas dos Exercícios 150 1017 10171 Fcalc 4368 Ftab527 474 Rejeitase Ho A droga resulta em uma perda de peso significativa 10172 1391 10173 Como 35 mg está fora do intervalo testado então a equação de regressão ajustada não pode ser usada para estimar a perda de peso para esta dosagem 1018 10181 Falta de Ajustamento Fcal 193 Ftab5820 245 Não rejeitase Ho Logo o modelo ajustado é adequado para descrever o fenômeno 10182 Regressão Fcalc 60947 Ftab5120 435 Rejeitase Ho A dosagem do suco de laranja tem efeito significativo na acidez da bebida láctea 10183 008 1019 10191 Fcal 12269 Ftab527 474 Rejeitase Ho O fermento tem influência significativa no peso final dos pães 10192 707 1020 10201 Fcal 34031 Ftab515 661 Rejeitase Ho A droga tem influência sobre o nível de açúcar 10202 Não é possível obter tal estimativa pois a dose de 90 mg está fora do intervalo testado