Flexão em Vigas: Estudo e Representação Gráfica de Diagramas

2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 1 UNIDADE V Flexão Objetivo estudar a tensão devido à flexão em vigas 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 2 Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal são denominados vigas Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas Diagramas de força cortante e momento fletor 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 3 As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada Exemplo 61 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 5 Solução Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo A aplicação das equações de equilíbrio produz 4 2 2 2 0 2 3 0 2 0 x P L M P x L P x M M P V V P P Fy 2 2 0 2 1 0 P x M M P V Fy Segmento esquerdo da viga se estende até a distância x na região BC 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 6 O diagrama de força cortante representa as equações 1 e 3 O diagrama de momento fletor representa as equações 2 e 4 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 7 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura Exemplo 64 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 8 Solução A carga distribuída é substituída por sua força resultante L w x w L w x w 0 0 ou 0 2 3 1 2 1 2 3 0 1 2 0 2 1 2 0 0 0 2 0 2 2 0 0 0 M x x L w x w L x w L M x L L w V x V L w x w L Fy A intensidade da cargar triangular na seção é determinada por cálculo proporcional A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o diagrama 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 9 O diagrama de força cortante representa a equação 1 O diagrama de momento fletor representa a equação 2 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 10 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada ao lado Exemplo 66 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 11 Solução Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem as funções de cisalhamento e momento da viga inteira 80 kNm 2 5 75 0 5 75 80 0 5 75 kN 1 0 5 75 0 5 m 0 1 1 1 x M M x M V V F x y 92 5 kNm 4 1575 52 0 2 5 5 5 5 15 5 75 80 0 kN 3 5 1575 0 5 5 5 75 15 0 10 m m 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x M M x x x x M x V V x F x y 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 12 O diagrama de força cortante representa as equações 1 e 3 O diagrama de momento fletor representa as equações 2 e 4 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 13 Regiões de carga distribuida Essas duas equações proporcionam um meio conveniente para se obter rapidamente os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga w x dx dV inclinação do diagrama de força cortante em cada ponto intensidade da carga distríbuida em cada ponto V dx dM inclinação do diagrama de momento em cada ponto cisalhamentoforç a cortante em cada ponto Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 14 Podemos integrar essas áreas entre quaisquer dois pontos para mudar a carga distribuída e a força cortante dx w x V mudança na força cortante área sob a carga distribuída dx V x M mudança no momento área sob o diagrama de força cortante 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 15 Regiões de força e momento concentrados Alguns dos casos comuns de carregamento 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 16 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Exemplo 67 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 17 Solução As reações são mostradas no diagrama de corpo livre ao lado De acordo com a convenção de sinal em x 0 V P e em x L V P Visto que w 0 a inclinação do diagrama de força cortante será zero portanto 0em todos os pontos dx w dV Para o diagrama de momento fletor de acordo com a convenção de sinal em x 0 M PL e em x L M 0 P em todos os pontos V dM dx O diagrama de força cortante indica que o cisalhamento é positivo constante Portanto 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 18 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Exemplo 68 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 19 Solução A reação no apoio fixo é mostrada no diagrama de corpo livre Visto que não existe nenhuma carga distribuída na viga o diagrama de força cortante terá inclinação nula em todos os pontos Pelo diagrama de força cortante a inclinação do diagrama de momento será nula V 0 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 20 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga Exemplo 610 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 21 Solução As reações nos apoios foram calculadas e são mostradas no diagrama de corpo livre A carga distribuída na viga é positiva porém decrescente Portanto a inclinação no diagrama de força cortante é negativa decrescente A curva do diagrama de momento que apresenta esse comportamento de inclinação é uma função cúbica de x 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 24 Problemas do livrotexto 61 63 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo Os mancais em A e D exercem somente reações verticais sobre o eixo A carga é aplicada às polias em B C e E 66 613 616 Represente graficamente os diagramas de cortante e fletor para a viga 623 Represente graficamente os diagramas de cortante e fletor para a viga 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 25 A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado Deformação por flexão de um elemento reto 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 26 A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo O eixo natural passa pelo centroide da área da seção transversal 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 27 O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro Pela regra da mão direita o sinal negativo é compressivo já que age na direção negativa de x I My σ tensão normal no membro M momento interno I momento de inércia y distância perpendicular do eixo neutro A fórmula da flexão 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 28 A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização Exemplo 615 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 29 Solução O momento máximo interno na viga é M 22 5 kNm 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 30 Por razões de simetria o centroide C e portanto o eixo neutro passa a meia altura da viga e o momento de inercia é 4 6 3 2 3 2 m 3013 10 30 0 02 12 1 016 0 02 0 25 0 02 0 25 12 2 1 Ad I I Aplicando a fórmula da flexão para c 170 mm 12 7 MPa Resposta 3 10 301 017 22 5 6 máx máx I Mc 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 31 A viga mostrada na figura tem área de seção transversal em forma de um canal Determine a tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção aa Exemplo 616 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 32 Solução O momento interno resultante deve ser calculado em torno do eixo neutro da viga na seção aa Visto que o eixo passa pelo centroide 5909 mm 0 05909 m 0 25 0 02 0 015 20 2 0 25 0 02 0 01 0 015 20 10 2 A yA y 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 33 Aplicando a equação do equilíbrio de momento sobre o eixo neutro temos 4 859 kNm 0 0 05909 01 2 0 42 M M M NA O momento de inércia sobre o eixo neutro é 4 6 2 3 2 3 m 4226 10 0 05909 10 20 0 015 20 0 015 12 2 1 0 01 0 05909 0 02 0 25 0 02 0 25 12 1 I A tensão de flexão máxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro 16 2 MPa Resposta 2610 42 0 05909 20 859 4 6 máx I Mc 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 34 Problemas do livrotexto 643 644 A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita a um momento interno M 300 Nm Determine a tensão criada nos pontos A e B Represente a distribuição de tensão na seção 651 652 A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M 75 Nm Determine as tensões de flexão máximas tanto de tração quanto de compressão na peça 674 675 Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito às forças concentradas Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais e a tensão de flexão admissível é adm 150 MPa 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 35 Momento aplicado ao longo do eixo principal Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal em termos gerais como y y z z I z M I M y σ tensão normal no ponto y z coordenadas do ponto medidas em relação a x y z My Mz componentes do momento interno resultante direcionados ao longo dos eixos y e z Iy Iz momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y e z Flexão assimétrica 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 36 Orientação do eixo neutro O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ 0 Temos tg tg y z I I 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 37 Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm Determine a tensão normal máxima na viga e a orientação do eixo neutro Exemplo 619 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 38 Solução Ambas as componentes do momento são positivas Temos 7 50 kNm sen30 15 1299 kNm cos30 15 z y M M Para propriedades da seção temos 0 0890 m 20 0 03 0 04 10 20 0 03 0115 0 04 10 0 05 A zA z 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 39 Pelo teorema dos eixos paralelos os principais momentos da inércia são 4 6 2 3 2 3 4 6 3 3 m 1392 10 0 089 0115 0 03 20 0 03 20 12 1 0 05 0 089 0 04 10 10 0 04 12 1 m 205310 20 0 03 12 1 0 04 10 12 1 y z I I Ad2 I I A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C 90 3 MPa Resposta 92 10 13 0 089 99 12 5310 20 0 02 57 74 8 MPa 92 10 13 99 0 041 12 5310 20 10 57 6 6 6 6 C B y y z z I z M I y M 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 40 y deve representar o eixo para o momento principal de inércia mínimo e z deve representar o eixo para o momento principal de inércia máximo 68 6 tg60 92 10 13 205310 tg 6 6 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 41 Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas O fator de transformação é uma razão entre os módulos de elasticidade dos diferentes materiais que compõem a viga Vigas compostas 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 42 Seja a viga abaixo com E1 E2 Então temos que o fator de transformação n é dado por n E1E2 Esse fator indica que a seção transversal com largura b na viga original deve ser aumentada para b2 nb na região onde o material 1 está sendo transformado no material 2 De maneira geral se n 1 transforma pro menos rígido b2nb se n 1 transforma pro mais rígido b1nb Vigas compostas 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 43 Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo Se for submetida a um momento fletor M 2 kNm determine a tensão normal nos pontos B e C Considere Emad 12 GPa e Eaço 200 GPa Exemplo 621 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 44 Solução Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço 9 mm 200 150 12 mad aço nb b A localização do centroide eixo neutro é 0 03638 m 015 0 009 015 02 0 015 0 009 0 095 0150 0 02 0 01 A yA y A seção transformada é mostrada na figura ao lado 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 45 Portanto o momento de inércia em torno do eixo neutro é 4 6 2 3 2 3 m 9 35810 0 03638 0 095 015 0 009 015 0 009 12 1 0 01 0 03638 0 02 015 0 02 015 12 1 NA I Aplicando a fórmula da flexão a tensão normal em B e C é 7 78 MPa Resposta 358 10 9 0 03638 10 2 28 6 MPa 358 10 9 0 03638 017 10 2 6 3 6 3 C B A tensão normal na madeira em B é 171 MPa Resposta 200 2856 12 B B n 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 46 A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo Se for submetida a um momento fletor M 60 kNm determine a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto Considere Eaço 200 GPa e Econc 25 GPa Exemplo 623 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 47 Solução A área total de aço é 2 2 aço 982 mm 12 5 2 A Exigese que o centroide se encontre no eixo neutro 2 9 9 aço 7 856 mm 982 10 25 200 10 nA A 12090 mm 0 5237 2094933 0 7 856 400 2 300 0 2 h h h h h h yA 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 48 O momento de inércia da seção transformada calculado em torno do eixo neutro é 4 6 2 2 3 78867 10 m 120 9 7 856 400 2 120 9 300 120 9 12 300 120 9 1 I Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada a tensão normal máxima no concreto é 2123 MPa 67 10 788 120 9 10 400 60 10 9 20 MPa Resposta 67 10 788 120 9 10 10 60 6 3 3 conc 6 3 3 máx conc 16984 MPa Resposta 2123 10 25 200 10 9 9 conc aço n A tensão normal em cada uma das duas hastes é portanto 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 49 Problemas do livrotexto 6102 6103 6105 A viga em T está sujeita a um momento fletor M 15 kNm direcionado como mostra a figura Determine a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo neutro 6122 6123 A viga em U de aço é usada para reforçar a viga de madeira Determine a tensão máxima no aço e na madeira se a viga for submetida a um momento M 12 kNm Eaço 200 GPa Emad 12 GPa