Transformação da Deformação - Capítulo 2

Capítulo 2 Transformação da Deformação 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 1 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 2 Deformação Plana Estado geral de deformação em um ponto em um corpo é representado por uma combinação de três componentes de deformação normal e três de deformação por cisalhamento As componentes da deformação normal e por cisalhamento no ponto variarão de acordo com a orientação do elemento z y x z y x 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 3 Equações gerais de transformação no plano de deformação Equações de Transformação 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 4 Equações gerais de transformação no plano de deformação Transformações principais Deformação por cisalhamento máxima no plano Deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média são as seguintes 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 5 Exemplo 103 Um elemento diferencial de material em um ponto está sujeito a um estado de plano de deformação definido por que tende a distorcer o elemento como mostra a figura abaixo Determine a deformação por cisalhamento máxima no plano no ponto e a orientação do elemento associada 6 6 6 8010 20010 35010 xy y x 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 6 Solução Olhando pela orientação do elemento Para deformação por cisalhamento máxima no plano 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 7 Círculo de Mohr plano de deformação Também podemos resolver problemas que envolvem a transformação da deformação usando o círculo de Mohr Com centro sobre o eixo ε no ponto Cεméd 0 e raio R 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 8 O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes Determine as deformações principais e a orientação do elemento 6 6 6 12010 15010 25010 xy y x Exemplo 105 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 9 Das coordenadas do ponto E nós temos Para orientar o elemento podemos determinar o ângulo em sentido horário Solução 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 10 Deformação por cisalhamento máxima absoluta Deformação por cisalhamento máximo absoluto é determinada pelo círculo que tem maior raio Ela ocorre no elemento orientado a 45º em torno do eixo em relação ao elemento mostrado em sua posição original 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 11 Deformação por cisalhamento máxima absoluta Deformação plana Para deformação plana nós temos Este valor representa a deformação por cisalhamento máxima absoluta para o material 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 12 O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas componentes da deformação Determine a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação por cisalhamento máxima absoluta 6 6 6 15010 20010 40010 xy y x Exemplo 107 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 13 Pelas componentes da deformação o centro do círculo encontrase sobre o eixo ε Como as coordendas do ponto de referência são 7510 6 2 xy 6 6 7510 40010 A Portanto o raio do círculo é 9 6 2 2 30910 10 75 100 400 R Solução 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 14 Calculando as deformações principais do plano temos Pelo círculo a deformação por cisalhamento máxima no plano é O círculo de Mohr como o seguinte Pelos resultados acima temos 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 15 Rosetas de deformação A deformação normal em um corpo de prova de tração pode ser medida com a utilização de um extensômetro de resistência elétrica A equação de transformação da deformação para cada extensômetro são as seguintes 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 16 O estado de deformação no ponto A sobre o suporte na figura a é medido por meio da roseta de deformação como mostrada nas figura b Devido às cargas aplicadas as leituras do extensômetros dão εa 6010 6 εb 135106 e εc 264106 Determine as deformações principais no plano no ponto e as direções nas quais elas agem Exemplo 108 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 17 Medindo os ângulos em sentido anti horário Substituindo os valores por 3 equações de transformação da deformação temos Usando o círculo de Mohr temos A60106 60106 e centro C 153106 0 Solução 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 18 Relações entre o material e suas propriedades Lei de Hooke Generalizada Para um estado de tensão triaxial a lei de Hooke generalizada é como a seguir Eles são válidos somente para materiais lineares elásticos A lei de Hooke para tensão de cisalhamento e deformação por cisalhamento pode ser escrita como y x z z z x y y z y x x v E v E v E 1 1 1 xz xz yz yz xy xy G G G 1 1 1 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 19 Relações entre o material e suas propriedades Relações que envolvem E v e G Dilatação e Módulo de compressibilidade Dilatação ou deformação volumétrica é causada somente por tensão normal não tensão de deformação Módulo de compressibilidade é uma medida de inflexibilidade do volume de um material Escoamento plástico ocorre à v 05 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 20 A barra de cobre na figura está sujeita a uma carga uniforme ao longo de suas bordas Se tiver comprimento a 300 mm largura b 500 mm e espessura t 20 mm antes da carga ser aplicada determine seus novos comprimentos largura e espessura após a aplicação da carga Considere Exemplo 108 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 21 Pelas cargas temos As deformações normais associadas são determinadas pela lei de Hooke generalizada 0 000850 0 00643 0 00808 y x z z z x y y z y x x E v E E v E E v E Os novos comprimentos largura e espessura são portanto Solução 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 22 Teoria de Falhas Falha para material dúctil cororre pelo escoamento ao passo que se for frágil isso ocorrerá pela ruptura Materiais Dúcties O escoamento do material dúctil acontece ao longo dos planos de contato dos cristais orientados aleatoriamente e que formam o material Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou critério de escoamento de Tresca é usada para prever a tensão de falha de um material dúctil sujeito a qualquer tipo de carga 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 23 Teoria de Falhas Materias Dúcteis Em referência a tensão do plano a teoria da tensão de cisalhamento máxima para tensão do plano podem ser expressadas pelas duas tensões principais 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 24 Teoria de Falhas Materias Dúcteis A energia por volume de material é chamada de densidade de energia de deformação O escoamento em um material dúctil ocorre quando a energia de distorção por unidade de volume do material é igual ou ultrapassa a energia de distorção por unidade de volume do mesmo material Essa teoria é chamada teoria da energia de distorção máxima 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 25 Materiais Frágeis Teoria da tensão normal máxima afirma que esses materiais tendem a falhar repentinamente por rupturaquando ocorre a tensão de tração máxima Teoria de Falhas 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 26 O eixo maciço mostrado na figura a tem raio de 05 cm e é feito de aço com tensão de escoamento de σ 360 MPa Determine se as cargas provocam a falha do eixo de acordo com a teoria da tensão de cisalhamento máxima e a teoria da energia de distorção máxima Exemplo 108 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 27 Visto a tensão de cisalhamento máxima causada pelo torque nós temos Tensões principais também podem ser obtidas pelas equações de transformação de tensão Solução 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 28 Visto que as tensões principais tem sinais opostos a deformação por cisalhamento máxima absoluta ocorrerá no plano Usando a teoria da energia de distorção máxima Assim a falha por cisalhamento do material ocorrerá de acordo com essa teoria Usando esta teoria não ocorrerá falha