Transformação de Tensão e Estado Plano de Tensão em Estruturas

2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 1 UNIDADE VII Estado Plano e Transformação Objetivos transformação das componentes de tensão obtenção das tensões máximas circulo de Mohr 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 2 O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento A tensão produzida em um elemento estrutural ou mecânico pode ser analisada em um único plano Quando isso ocorre o material está sujeito a tensões no plano Transformação de tensão no plano 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 3 Componentes de tensão podem se transformar em um elemento caso tenha uma orientação diferente 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 4 O estado plano de tensão em um ponto da superfície da fuselagem do avião é representado no elemento orientado como mostra a figura Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada Exemplo 91 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 5 Solução O elemento é secionado pela reta aa O diagrama de corpo livre do segmento é mostrado 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 6 68 8 MPa Resposta 0 sen30 sen30 25 sen30 cos30 80 cos30 cos30 25 cos30 sen30 50 0 xy xy y A A A A A F Aplicando as equações de equilíbrio de força nas direções x e y 4 15 MPa Resposta 0 sen30 cos30 25 sen30 sen30 80 cos30 sen30 25 cos30 cos30 50 0 x x x A A A A A F 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 7 68 8 MPa Resposta 0 sen30 cos30 50 sen30 sen30 25 cos30 sen30 80 cos30 cos30 25 0 xy xy y A A A A A F Repita o procedimento para obter a tensão no plano perpendicular bb 25 8 MPa Resposta 0 sen30 sen30 50 sen30 cos30 25 cos30 cos30 80 cos30 sen30 25 0 x x x A A A A A F O estado de tensão no ponto pode ser representado escolhendo um elemento orientado 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 8 A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento cos2 sen2 2 sen2 cos2 2 2 xy y x y x xy y x y x x Equações gerais de transformação de tensão no plano 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 9 O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada Exemplo 92 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 10 Solução Pela convenção de sinal temos Para obter as componentes de tensão no plano CD 30 MPa 25 MPa 50 MPa 80 xy y x 68 8 MPa Resposta cos2 sen2 2 25 8 MPa Resposta sen2 cos2 2 2 xy y x y x xy y x y x x 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 11 Para obter os componentes de tensão no plano BC 60 25 MPa 50 MPa 80 MPa xy y x 68 8 MPa Resposta cos2 sen2 2 415 MPa Resposta sen2 cos2 2 2 xy y x y x xy y x y x x Os resultados são motrados na figura abaixo 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 12 Tensões principais no plano A orientação dos planos irá determinar se a tensão normal é máxima ou mínima A solução tem duas raízes portanto temos a tensão principal 2 2 tg y x xy p 2 1 2 2 1 2 onde 2 2 xy y x y x Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima no plano 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 13 Tensão de cisalhamento máxima no plano A orientação de um elemento irá determinar a máxima e a mínima da tensão de cisalhamento A solução possui duas raízes portanto nós temos tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média xy y x s 2 tg2 2 2 no plano máx 2 xy y x 2 méd y x 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 14 Quando a carga de torção T é aplicada à barra ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material Determine a a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada e b as tensões principais Exemplo 93 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 15 Solução Pela convenção de sinal definida a Tensão de cisalhamento máxima é xy y x 0 0 0 Resposta 2 2 méd 2 2 no plano máx y x xy y x b Para tensões principais Resposta 2 2 135 45 2 2 tg 2 2 2 1 1 2 xy y x y x p p y x xy p 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 16 O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no elemento mostrado na figura abaixo Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada Exemplo 96 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 17 Solução Como temos 60 90 20 xy y x 35 MPa Resposta 2 81 4 MPa Resposta 2 méd 2 2 no plano máx y x xy y x A tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal média são 1113 213 2 tg2 1 2 s s xy y x s 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 18 Problemas do livrotexto 91 910 914 918 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 19 A transformação da tensão no plano têm uma solução gráfica que é fácil de lembrar Círculo de Mohr tensão no plano 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 20 A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostrado na figura abaixo Construa o círculo de Mohr para esse caso Exemplo 98 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 21 Solução Primeiro desenhamos o círculo xy y x 0 e 0 0 méd no plano máx O centro do círculo C está no eixo em 0 2 méd y x O ponto A representa um ponto de tensão normal média e tensão de cisalhamento máxima no plano Assim As tensões principais são identificadas como os pontos B e D no círculo Assim 2 1 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 22 O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na figura abaixo Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento sobre o qual ela age Exemplo 910 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 23 Solução Primeiro desenhamos o círculo 60 90 e 20 xy y x 81 4 MPa 55 60 2 2 R O centro do círculo C está no eixo em 35 MPa 2 90 20 méd O ponto C e o ponto de referência A20 60 estão marcados Temos A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média são 35 MPa Resposta 814 MPa méd no plano máx O ângulo em sentido antihorário é Resposta 213 60 35 20 tg 2 1 1 1 s s 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 24 Uma força axial de 900 N e um torque de 25 Nm são aplicados ao eixo Se o diâmentro do eixo for de 40 mm determine as tensões principais em um ponto P sobre sua superfície Exemplo 912 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 25 Solução As tensões produzidas no ponto P são 2 kPa 716 0 02 900 9 kPa 198 02 0 0 02 52 2 4 2 A P J Tc 358 1 kPa 2 716 2 0 méd As tensões principais podem ser determinadas pelo círculo de Mohr As tensões principais estão representadas pelos pontos B e D portanto 51 5 kPa Resposta 409 7 1 358 767 7 kPa Resposta 409 7 1 358 2 1 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 26 A viga mostrada está sujeita ao carregamento distribuído w 120 kNm Determine as tensões principais na viga no ponto P que se encontra na parte superior da alma Despreze o tamanho dos filetes e as concentrações de tensão nesse ponto Exemplo 913 I 674106 m4 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 27 Solução 30 6 kNm 84 kN M V O equilíbrio da viga selecionada é mostrado onde 35 2 MPa Resposta 0 01 4 10 67 0 015 0175 01075 10 84 45 4 MPa Resposta 4 10 67 10 6 10 30 6 3 6 3 It VQ I My No ponto P 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 28 64 6 MPa 419 7 22 19 2 MPa 22 7 9 41 2 1 22 7 2 0 45 4 Portanto o resultado é o seguinte Portanto o raio é calculado como 419 e as tensões principais são O centro do círculo é e o ponto A é 454 325 O ângulo em sentido antihorário é 28 6 57 2 2 2 2 p p 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 29 A tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal média associada podem também ser localizadas usando o círculo de Mohr 2 2 min max min max max abs avg Tensão de cisalhamento máxima absoluta 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 30 Devido ao carregamento aplicado o elemento no ponto sobre a estrutura está sujeito ao estado plano de tensão mostrado na figura Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta no ponto Exemplo 914 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 31 Solução O centro do círculo é 10 kPa 2 0 20 méd O ponto de referência é A 20 40 O raio é 41 2 kPa 40 10 20 2 2 R 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 32 51 2 kPa 41 2 10 31 2 kPa 41 2 10 mín máx 38 0 10 20 40 tg 2 1 As tensões principais encontramse nos pontos onde o círculo intercepta o eixo σ Pelo círculo o ângulo antihorário é Como não há nenhuma tensão principal no elemento na direção z temos 51 2 kPa Resposta 0 2 kPa 31 mín int máx 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 33 Para tensão de cisalhamento máxima absoluta 10 kPa Resposta 2 51 2 2 31 2 41 2 kPa Resposta 2 51 2 2 31 2 mín máx méd mín máx máx abs 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 34 Procedimento Geométrico 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 35 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 36 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 37 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 38 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 39 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 40 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 41 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 42 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 43 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 44 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 45 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 46 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 47 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 48 715º 2009 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 49 Problemas do livrotexto 959 963 968 970 978