Circuitos Térmicos e Equação de Fourier

Circuitos Térmicos Quando falamos de circuito logo vem à mente a imagem de resistores capacitores indutores placas transistores diodos etc enfim tudo que se refere ao uso desses dispositivos bem como suas funções nos circuitos elétricos Em transferência de calor e massa usamos também um outro tipo de circuito o circuito térmico que possui diversas analogias com o circuito elétrico que devemos perceber ao longo de toda a nossa discussão aqui Para adentrar às nossas discussões vamos lembrar da Equação de Fourier da Condução Térmica Essa equação diz a respeito da condução térmica quando um material recebe uma potência térmica e o comportamento da variação da temperatura ao longo da profundidade desse material Suponha um material necessariamente com o formato de um paralelepípedo de face A de espessura L que recebe uma potência térmica 𝑄 Esse material ao longo do tempo recebe aquecimento na face até que a temperatura dessa se estabilize com uma temperatura To porém esse fluxo de calor ao adentrar no material é possível que atinja a outra face com uma temperatura menor T É importante salientar que o fluxo térmico é constante e é o mesmo que adentra e o mesmo que sai do material Para pequenas espessuras é observado que o decréscimo da temperatura é linear conforme a equação e ilustração a seguir 𝑄 𝑘 𝐴 𝛥𝑇 𝛥𝐿 Portanto temos uma constante k que se refere a condutibilidade térmica 𝑘 𝑄𝛥𝑇 𝐴𝛥𝐿 Não muito raro também podemos observar o seguinte comportamento e nesse caso o k pode não ser uma constante porém sim uma função não linear 𝑄 𝑘 𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝐿 Porém nesse momento vamos nos ater apena no primeiro caso onde a equação é 𝑄 𝑘 𝐴 𝛥𝑇 𝛥𝐿 A Equação 𝑄 𝑘 𝐴 𝛥𝑇 𝛥𝐿 também poderá ser usada porém a variação de temperatura deve ser considerada a maior subtraída da menor Agora pensemos uma outra situação temos duas placas com materiais diferentes com espessuras diferentes dispostas em série conforme o desenho a seguir Há algumas considerações a serem feitas para essa situação O declive da temperatura é diferente para materiais diferentes Os valores de To e T seriam os mesmos caso fosse invertida a posição das placas Porém o valor de T12 poderiam ser diferentes Notem que o fluxo de calor é o mesmo que atravessa as duas placas Onde as placas se unem existe a mesma temperatura T12 para ambas as faces unidas ou seja não há descontinuidade da queda da temperatura Agora vamos fazer uma analogia ao circuito elétrico usando resistores Vocês se lembram da Lei de Ohm URi onde U é a ddp ou tensão dada em Volts V R é a resistência elétrica dada em Ohms Ω e i é a corrente elétrica dada em Ampères A Observe o circuito a seguir Nesse circuito elétrico percebemos que há potenciais entre os terminais de 7 V e 0 V e mesmo que houvesse a inversão na sequência dos resistores continuaria a existir esses valores de potenciais finais A corrente elétrica é a mesma que percorre todo o circuito e depende dos valores de resistência apresentados Vamos comparar as grandezas Corrente elétrica i com Potência térmica 𝑄 Potencial elétrico V com Temperatura T Diferença de Potencial U com Diferença de Temperatura ΔT Resistência Elétrica R Resistência Térmica Aí vem uma analogia muito interessante a ser feita e agora temos que descobrir na Equação de Fourier o que vem a ser a resistência térmica também denotada por R U R i de forma análoga ΔT R 𝑄 𝛥𝑇 𝐿 𝑘𝐴 𝑄 Dessa forma temos que a resistência térmica R para um condutor paralelepípedo seja RLkA Outras formas de resistência podem ser associadas Lei de Newton do Resfriamento 𝑄 ℎ 𝐴 𝛥𝑇 𝛥𝑇 𝑅 𝑄 𝛥𝑇 1 ℎ𝐴 𝑄 𝑅 1 ℎ𝐴 Lei de StefanBoltzmann 𝑄 𝜀 𝐴 𝜎 𝑇𝑠 4 𝑇 4 ou 𝑄 𝜀 𝐴 𝜎 𝑇𝑠 𝑇𝑇𝑠 2 𝑇 2𝑇𝑠 𝑇 Logo 𝑅 1 𝜀 𝐴 𝜎 𝑇𝑠𝑇𝑇𝑠2 𝑇2 Ou também podemos ter a equação que já vem com o hcomb hradhconv e assim inserir na equação de Newton de Resfriamento A representação das resistências Uma casa recebeu calor do Sol por irradiação combinada por convecção sabese que a temperatura do ar externo era de 25oC que a parede na sua parte externa fosse de 23oC na e na interna 20o e que num ponto dentro da casa a temperatura fosse 18oC A situação se descreve da seguinte forma Condução Térmica em outras geometrias O fluxo de calor 𝑄 até o momento foi pensado como se fosse unidirecional no entanto há outras situações que merecem atenção Imagine quando é colocado um bife numa frigideira o calor praticamente o aquecerá ao longo de uma única direção o que é bastante trivial e podemos usar tudo o que estudamos até aqui Agora porém vamos exemplificar o aquecimento de algum alimento cilíndrico como uma salsicha ou uma lata de leite condensado ou mesmo algo que não seja um alimento mas sim um cano que transporta algum fluido peças cilíndricas que recebem uma têmpera após a forja ou a placa cerâmica de proteção de um resistor etc No caso do cilindro por exemplo podemos dizer que a direção de aquecimento ou arrefecimento não são unidirecionais mas podemos dizer que eles caminham de forma convergente ou divergente ao centro do eixo desse cilindro ou seja são concêntricos O resistor acima possui um aquecimento que está sob regime permanente e no eixo possui uma temperatura mais alta e na sua extremidade possui uma temperatura menor Já uma lata de leite condensado ao ser aquecida com água numa panela de pressão possui uma temperatura maior na sua extremidade e uma temperatura menor ao longo do eixo do cilindro Porém depois que essa lata e seu conteúdo possui um equilíbrio térmico por completo ou seja atingir a mesma temperatura em toda a sua extensão ela poderia ser colocada num recipiente de água fria e assim o processo ser exatamente ao contrário ou seja com uma temperatura maior no seu centro e uma temperatura menor em sua superfície Dessa forma vamos representar no desenho a seguir uma situação observando um cilindro supondo que o calor que advir de suas tampas não venham a interferir no seu gradiente Aqui está exposto apenas uma parede cilíndrica delimitado por r1 e r2 Dessa forma a equação que demonstra a Resistência Térmica é 𝑅 ln𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝑘 Também podese ter paredes concêntricas associadas Uma outra geometria bastante importante é a propagação esférica Um exemplo bastante aproximado é o cozimento de ovos aquecimento das esferas de rolamento entre outros 𝑅 1 4𝜋𝑘 1 𝑅1 1 𝑅2 Exercícios de Exemplo 1 Uma dispensa isolada possui uma área projetada ao Sol de 50 m² e está totalmente vedada Em determinado momento possui uma temperatura interior de 20C Sabendo que a temperatura exterior nesse momento à temperatura externa era de 25oC para um dia de 80 Wm² de calor calcule a resistência térmica total Lembremos primeiro que a Intensidade é a razão entre a potência e a área 𝐼 𝑄 𝐴 80 𝑄 50 𝑄 4000𝑊 A Princípio a Resistência Térmica Total pode ser obtida pela razão da variação da temperatura em C pela potência térmica dada em W de todo o circuito 𝑅 𝛥𝑇 𝑄 𝑅 255 4000 R 125 103𝐶𝑊 Vamos lembrar que embora não saibamos do valor de cada uma das resistências do circuito sabemos que a soma delas é R 125103𝐶𝑊 2 Embora nos gases seja mais susceptível a convecção térmica há diversos momentos que podemos dizer que ele está estagnado e assim vale a essa porção gasosa as leis de condução como nos sólidos Um exemplo muito comum é a do uso de vidros duplos em janelas de lugares frios No vão desses vidros duplos há a observância de que o ar aprisionado não possua convecção Uma determinada janela possui duas placas de vidro de espessura de 5mm com um vão de ar de 12 mm Sabendo que a área dessa janela seja de 2 m² que o ambiente externo tenha 5C e o interno tenha 15C Sabese que os valores de condutibilidade térmica do ar estagnado e do vidro são respectivamente k0025 WmK e k08WmK e que os coeficientes de convecção combinados com irradiação internos e externos sejam de respectivos h10Wm²K e h50Wm²K Determine a potência térmica que perpassa essa janela Assim como as temperaturas em cada parte das interfaces Primeiro devemos reconhecer todas as resistência térmicas envolvidas As resistências são resistência de irradiação e convecção combinada interna resistência de condução térmica do vidro interno resistência de condução térmica do ar estagnado resistência térmica do vidro externo resistência térmica combinada de irradiação e convecção externa Devese calcular a resistência térmica de cada parte Rar interno1hA 1102 R005CW RvidroLkA 0004082 R00025CW Rar LkA 001200252 R024 CW RvidroLkA 0004082 R00025CW Rar externo1hA 1402 R00125CW Como todos esses elementos estão em série a resistência térmica é a soma de todos eles R equivalente 03075CW Logo 𝑄 𝛥𝑇 𝑅 𝑄 155 03075 𝑄 20 03075 𝑄 65407𝑊 Agora que conhecemos a potência que é a mesma para todo o circuito podemos calcular a temperatura de qualquer face conhecendo algum ponto de partida Temperatura na face externa do vidro interno 𝑄 𝛥𝑇 𝑅 65407 15𝑇 005 T153271173C Temperatura da face interna do vidro interno 𝑄 𝛥𝑇 𝑅 65407 1173𝑇 00025 T11730161157C Temperatura da face interna do vidro externo 𝑄 𝛥𝑇 𝑅 65407 1157𝑇 024 T11571570413C Temperatura da face externa do vidro externo 𝑄 𝛥𝑇 𝑅 65407 413𝑇 00025 T413016429C Temperatura no infinito externo 𝑄 𝛥𝑇 𝑅 65407 429𝑇 00125 T413082495C aproximadamente 5C como já indicado no exercício No text detected