Lista de Exercícios sobre Vibrações Mecânicas

Lista 1 Vibrações Mecânicas 1 Uma montagem roda pneu e suspensão de um veículo pode ser modelada grosseiramente como um sistema massamola de um grau de liberdade A massa da montagem é aproximadamente 30Kg Foi observado que sua freqüência de oscilação é de 10Hz Qual é a rigidez aproximada da montagem da suspensão 2 Considere uma pequena mola com 30mm de comprimento uma de suas extremidades está soldada a uma mesa fixa a outra extremidade está soldada a um parafuso e está livre para mover A massa do sistema é aproximadamente 00492Kg Sabendo que a rigidez da mola é 8578Nm calcule a máxima amplitude da resposta se a mola é inicialmente deslocada de 10 mm 3 Um pêndulo em Bruxelas g981ms² oscila com um período de 3 segundos Calcule o comprimento do pendulo Em outro local um pêndulo de 2m de comprimento oscila com um período de 2839 segundos qual é a aceleração da gravidade nesse local 4 Massa e mola são usualmente medidas de forma direta Contudo existem certas circunstâncias em que o procedimento direto não pode ser aplicado Nesses casos medidas de freqüência de oscilação antes e depois de uma massa conhecida ser adicionada ao sistema podem ser utilizadas para determinar a massa e a rigidez do sistema original Suponha que a freqüência de oscilação na figura 133a seja de 2rads e a freqüência da figura 133b com uma massa adicional de 1kg seja de 1rads Calcule m e k 5 Uma massa de 05Kg é conectada a uma mola linear de rigidez de 01Nm Determine a freqüência natural em Hz Repita o cálculo para uma massa de 50 Kg e uma rigidez de 10Nm e compare os resultados 6 Um automóvel é modelado como uma massa de 1000Kg suportada por uma mola de rigidez de 400000Nm Quando ele oscila o máximo deslocamento é de 10cm Quando ocupado com passageiros a massa passa a ser 1300Kg Calcule a mudança de freqüência amplitude de velocidade e amplitude de aceleração se o deslocamento máximo de oscilação permanece em 10cm 7 Um automóvel apresenta uma oscilação vertical com amplitude máxima de 5cm e máxima aceleração de 2000 cms² Assumindo que o automóvel possa ser modelado como um sistema livre de um grau de liberdade na direção vertical calcule a freqüência natural do automóvel 8 Calcule a freqüência natural e o coeficiente de amortecimento para o sistema da figura P172 dados os valores m10Kgc100Kgs K14000Mm k2200Nm e K31000Nm Despreze o atrito de fricção nos rolamentos O sistema é subsuper ou criticamente amortecido 9 Um sistema massamolaamortecedor possui 100Kg rigidez de 3000Nm e amortecimento de 300kgs Calcule o coeficiente de amortecimento e a freqüência natural amortecida O sistema oscilará livremente 10 Considere um sistema massamola com 10kg e 1000Nm Especifique o valor do amortecedor para que a freqüência de oscilação livre passe para 9 rads 11 Em um teste de vibração um acelerômetro mediu uma aceleração máxima de 145 ms² e um osciloscópio mediu o período da vibração em 166 ms Determinar a amplitude da vibração assumindo movimento harmônico 12 Durante um teste a velocidade máxima e a aceleração máxima da vibração de uma máquina foram medidas como vmáx 001 ms e amáx 02 g Assumindo que ocorre um movimento harmônico determinar a freqüência da vibração 13 Para localizar a fonte de uma vibração foram medidas suas amplitude e velocidade máxima sendo iguais a xmáx 0002 m e vmáx 075 ms Existem duas máquinas operando no mesmo setor uma a 3580 rpm e outra a 1720 rpm A vibração medida é compatível com uma destas duas máquinas Justifique 14 O comprimento de um pêndulo é l 05m mas devido a defeitos de fabricação o mesmo pode variar 3 para mais e para menos Determinar qual será a variação correspondente no seu período de oscilaçãodesprezar a massa do pêndulo 15 Quatro passageiros com massa total igual a 250kg comprimem 400 cm as molas de um carro com amortecedores gastos Modele o carro e os passageiros como um único corpo sobre uma única mola ideal Sabendo que o período da oscilação do carro com os passageiros é igual a 108 s qual é o período da oscilação do carro vazio 16 A figura esquemática é de um canhão Quando a arma é disparada gases a alta pressão aceleram o projétil dentro do tubo até o mesmo atingir uma alta velocidade A conservação da quantidade de movimento faz com que o corpo do canhão se mova em sentido oposto ao do projétil Para retornar o corpo do canhão a sua posição de equilíbrio no menor tempo possível e sem oscilar colocase um sistema molaamortecedor no mecanismo de recuo No caso particular o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa de 500 kg com uma mola de rigidez 10000 Nm Determinar a O valor do amortecedor em kgs b Calcule a velocidade inicial de retorno do canhão após o disparo sabendo que o recuo é de 04metro e a equação do movimento do canhão após o disparo é nt v t e x x t ω 0 0 onde x é a posição do canhão medida em relação à posição de equilíbrio 0 x e 0 v são respectivamente a posição inicialnesse caso nula e a velocidade inicialincógnita a ser encontrada n ω é a freqüência natural do sistema e t é o tempo decorrido após o disparo 17 Um isolador de choque é projetado para uma máquina de massa m igual a 200 kg vide figura Quando a massa é submetida a uma velocidade inicial devido a uma perturbação a curva resultante do deslocamento da vibração livre é como a mostrada na figura Determinar a constante de rigidez k e o amortecimento c necessário para o isolador se o período de vibração amortecida é 2 segundos e em um ciclo a amplitude deve ser reduzida para 16 1 de seu valor ou seja 16 1 2 x x 18 Considere um sistema composto por uma massa m de 20kg e duas molas de rigidez 1k e 2 k quando as molas são montadas conforme a figura a o sistema oscila livremente na vertical com 0975Hz na configuração da figura b o sistema oscila livremente na vertical com 225Hz Calcule os valores das rigidez das molas 19 Considere que o conjunto de suspensão de um microônibus possa ser modelado como um sistema massamola amortecedor de 1 grau de liberdade A massa do microônibus é 2 toneladas e sob seu próprio peso a suspensão deflete 40mm a Especifique o valor do amortecedor para que vazio o microônibus seja criticamente amortecido b Considerando que cada passageiro possua uma massa média de 75 kg escreva uma expressão que relacione a razão de amortecimento com o número N de passageiros c Calcule a razão de amortecimento quando o microônibus está ocupado por 20 passageiros 20 O modelo de oscilação livre de um sistema de um grau de liberdade é representado pela seguinte equação Calcule o fator de amortecimento desse sistema e diga se o mesmo é subamortecido criticamente amortecido ou superamortecido Dados c200Kgs l15cm m600g J0005kgm² K1000Nm 21 O gráfico seguinte mostra a resposta livre de um sistema massamolaamortecedor Estime a frequência natural amortecida o fator de amortecimento e a freqüência natural do sistema 22 A figura mostra o desenho esquemático de uma mola helicoidal de compressão típica utilizada em suspensões automotivas A constante elástica K em Nm dessa mola é calculada pela expressão D N d G K 3 4 8 onde d é diâmetro do fiom G é o módulo de elasticidade transversal do materialPa D é o diâmetro médio da molam N é o número de espirasadimensional Para rebaixar um veículo foi feita a retirada corte de espiras de suas molas Desejase que o carro rebaixado tenha o mesmo fator de amortecimento do carro original Com base no apresentado e considerando que a constante do amortecedorkgs é proporcional à viscosidade do fluido responda e justifique apresentando fórmulas o que deve ser feito com o fluido do amortecedor no carro rebaixado manter o mesmo fluido no amortecedor trocar o fluido do amortecedor por um menos viscoso ou trocar o fluido do amortecedor por um mais viscoso 23 Indique se cada uma das seguintes afirmações é verdadeiraV ou falsaF Durante a oscilação livre a amplitude de um sistema não amortecido não mudará ao longo do tempo Um sistema que vibra no ar pode ser considerado um sistema amortecido O princípio da conservação de energia pode ser usado na obtenção da equação de movimento de sistemas de um grau de liberdade tanto amortecidos quanto não amortecidos A equação de movimento livre de um sistema massamola com um grau de liberdade será a mesma quer esse esteja em um plano horizontal ou em um plano inclinado Em alguns casos a frequência natural amortecida pode ser maior que a frequência natural não amortecida Para se aumentar a frequência natural amortecida de um sistema massamolaamortecedor podese adicionar uma mola associada em série no mesmo Para um sistema de um grau de liberdade conhecendose apenas o valor do decremento logarítmico é possível determinar o fator de amortecimento de um sistema Um sistema de um grau de liberdade e criticamente amortecido quando oscila livremente apresenta um movimento periódico com período igual a 1 segundo Para um sistema de um grau de liberdade quanto maior o valor do fator de amortecimento maior é a dissipação de energia e consequentemente ele precisa de menos tempo para voltar ao repouso O movimento de oscilação livre de um sistema massamola é um movimento harmônico cuja amplitude de deslocamento e ângulo de fase dependem dos valores da massa e da rigidez da mola e também da posição inicial e velocidade inicial do sistema 24 Durante parte do Campeonato Mundial de Fórmula 1 de 2006 a Equipe Renault utilizou em seus carros absorvedores de vibração na dianteira e na traseira com o objetivo de minimizar as oscilações do chassi provocadas pela passagem sobre as zebras e conseqüentemente melhorar seu desempenho No detalhe está mostrado o dispositivo empregado na dianteira que consiste basicamente em um sistema massamola amortecedor de 1 grau de liberdade com uma massa de 7 kg 1 apoiada sobre molas 2 e 3 de diferente rigidez com relação 13 inseridas em uma carcaça 4 de fibra de carbono e com um amortecedor regulável 5 contendo um fluido viscoso Sabendo que a freqüência natural não amortecida do absorvedor de vibração utilizado na dianteira é de 2 2 Hz determine a faixa de valores do amortecedor para que os sistema possua um fator de amortecimento na faixa de 09 a 11 25 Alguns tipos de balança utilizam em seu funcionamento a relação entre o peso P e a deformação elástica δ que ele provoca em uma mola de constante elástica K ou seja PK x δ Lei de Hooke Ao se colocar certa mercadoria no prato de uma balança desse tipo a deformação não ocorre instantaneamente Existe um movimento transiente que depende de outro parâmetro o nível de amortecimento no mecanismo da balança dado pelo parâmetro adimensional ζ denominado fator de amortecimento O movimento transiente a partir do instante em que a mercadoria é colocada no prato da balança pode ser descrito por 3 equações diferentes e tem comportamentos diferentes conforme o valor de ζ e ilustradas nos quadros a seguir Baseado no apresentado das três situações acima qual seria a mais adequada para uma balança que será instalada em uma linha de produção Justifique 26 Uma barra rígida e uniforme de massa m e comprimento l está pivotada no ponto O e é suportada por uma mola de constante elástica K e conectada a um amortecedor viscoso de constante c conforme ilustra a figura a seguir Medindo o ângulo θ a partir da posição de equilíbrio estático e considerando pequenos ângulos determine a A equação diferencial do movimento literal b A equação da freqüência natural do sistema literal c O valor do fator de amortecimento para k100000Nm c50kgs m45kg l05m e a02m O sistema apresentará oscilação em resposta livre Justifique 27 Uma parte de uma máquina é modelada como um pêndulo conectado a uma mola como mostrado na figura P116 Ignore a massa da haste do pêndulo e obtenha a equação diferencial do movimento linearize a equação e determine a freqüência natural Considere que a rotação é pequena de modo que a mola se deforma apenas horizontalmente 28 O esboço de uma válvula e o sistema de balancim para um motor de combustão interna é mostrado na figura P145 Modele o sistema como um pêndulo conectado a uma mola e massa e assuma que o óleo promova um amortecimento viscoso linear Determine a equação diferencial do movimento e obtenha uma expressão para a freqüência natural Aqui J é o momento polar de inércia do balancim em torno de seu pivô k é a rigidez da mola da válvula e m é a massa da válvula e da haste Ignore a massa da mola 29 Use o método da energia para obter a equação diferencial do movimento em x e a freqüência natural de um mecanismo de direção da roda dianteira do trem de pouso de um avião O mecanismo é modelado como um sistema livre de um grau de liberdade como mostrado na figura P154 Para o cálculo considere que o volante steering wheel está fixado A cremalheira é modelada como um sistema massamola mk2 e oscila na direção x A barra de direção e o pinhão são modelados como um disco de inércia J e rigidez torcional k1 Obtenha a equação diferencial do movimento na direção x e determine sua freqüência natural 30 No sistema mostrado o cabo arrasta o disco sem deslizamento Determinar o modelo matemáticoequação diferencial do movimento na direção x e explicitar sua freqüência natural em termos das variáveis apresentadas e sabendo que o momento de inércia do disco é 2 2 1 md r sendo d m a massa do disco 31 Uma haste rígida em forma de Lde momento de inércia 0 J está pivotada no ponto O e conectada a uma esfera de massa s m e a um bloco de massa m A esfera e o bloco estão conectados a molas de rigidez 1 K e 2 K conforme é mostrado na figura A esfera rola sem deslizamento sobre a superfície Medindo o x a partir da posição de equilíbrio estático e considerando pequenos ângulos determine a expressão para a freqüência natural do sistema Dado momento de inércia de uma esfera de massa m e raio r 2 10 J 4 mr 32 Na figura seguinte as hastes rígidas haste 1 link 1 e haste 2 link 2 possuem massa desprezível e são articuladas na junta que as conecta A haste 1 é solidária à polia que está pivotada no ponto O A haste 2 está conectada por uma articulação ao cilindro de massa c m A polia está conectada a um bloco de massa m O cilindro e o bloco estão conectados a molas de rigidez 1 K e 2 K conforme é mostrado na figura O cilindro rola sem deslizamento sobre a superfície Medindo o x a partir da posição de equilíbrio estático e considerando pequenos ângulos determine a expressão para a freqüência natural do sistema Dado momento de inércia de um cilindro de massa m e raio r 2 2 J 1 mr 33 A figura seguinte mostra uma polia de raio r e massa m A polia é mostrada em sua posição de equilíbrio pode rotacionar em torno do mancal O e é conectada a molas de rigidez k cada e a um amortecedor de valor c conforme mostrado a Sendo dado o momento de inércia da barra igual a 2 mr2 e considerando pequenos ângulos de vibração mostre que a freqüência natural do sistema é m k 2 b Sabendo que o amortecedor c é montado ao lado esquerdo do mancal O e na sua montagem ele pode ter sua posição ajustada entre 4 r 1 a 2 r 1 distâncias medidas a partir do mancal O determine uma expressão em função da massa m e da rigidez k para calcular o menor valor possível do amortecedor que ainda assim permita ao técnico a possibilidade de regular o fator de amortecimento em 15 na montagem 34 O desenho esquemático mostra um medidor analógico de vibração O ponteiro é pivotado no ponto I e possui um momento de inércia P J em relação a esse ponto O bloco suspenso possui massa m As molas possuem a mesma rigidez k a e b são cotas distâncias A posição mostrada indicador na vertical é a posição de equilíbrio Considerando que a faixa do ângulo de operação do ponteiro é de 10 a 10pequenos ângulos e levando em consideração o contexto da disciplina de vibrações mecânicas pedese a A equação diferencial do movimento livre tendo como variável o deslocamento vertical x da massa a partir da posição de equilíbrio Obs Além da inércia do ponteiro considerar o momento de inércia do bloco como massa concentrada produto da massa pelo quadrado da distância em relação ao centro de giro b A expressão da freqüência natural do sistema 35 O desenho seguinte mostra uma haste de momento de inércia 0J conectada a duas massas Considerando pequenos ângulos modele o sistema e encontre a equação diferencial para a vibração livre θ x