Modelagem e Controle de Sistemas: Funções de Transferência e Representação no Espaço de Estados

Modelagem e Controle de Sistemas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profª Drª Claudia Barros dos Santos Revisão Textual Prof Esp Claudio Pereira do Nascimento Funções de Transferência Sistemas Submetidos a Distúrbios Representação de Sistemas no Espaço de Estados Eliminar todas as dúvidas relativas a simplificar um diagrama de blo cos escrevendo sua função de transferência de malha fechada Além disso vamos estudar a função de transferência de sistemas com per turbação Para finalizar vamos verificar que existe outra maneira de representar sistemas é a representação no espaço de estados OBJETIVO DE APRENDIZADO Funções de Transferência Não se esqueça que o nosso objetivo é encontrar C como função de D Analisando a equação I a pergunta é o que é o sinal E Pois demos escrever E R M Equação II Por fim podemos escrever que o sinal M será M HC Equação III Para organizar as nossas equações vamos reescrever a Equação I agora substituindo as incógnitas E e M então teremos C G2D G1R HC Enfim todas as incógnitas da equação acima são desejáveis na solução Logo vamos aplicar a propriedade distributiva e em seguida isolar a variável Cs C G2D G2GR G2G1HC C1 G1G2H G2D G1G2R C G2 1 G1G2H D G1G2 1 G1G2H R Observe a solução na linha acima considere um caso em que o produto G1G2 é muito maior que 1 A parcela que contém o termo D será muito próxima de zero e o efeito do distúrbio será suprido Logo você já sabe que tipo de manipulação realizar no sistema para obter uma otimização No entanto essa manipulação tem limite visto que para o termo que contém R a função C será dependente de 1H logo o produto G1G2 não terá mais efeito sobre o resultado Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Funções de Transferência Sistemas Submetidos a Distúrbios Observe bem a imagem da figura abaixo temse um diagrama de blocos com duas entradas Rs e Ds onde Ds é considerado um distúrbio ou uma perturbação a mais no sistema Distúrbio Ds G1s Rs Cs Hs G2s Figura 1 Quando ocorre distúrbio num sistema linear e invariante no tempo podemos analisar a saída em relação a cada entrada separadamente visto que não haverá interferência de uma na outra Ou seja poderemos resolver a equação de saída como CDs CRs ou seja a somatória de Cs em relação ao distúrbio Ds com Cs em relação à entrada de referência Rs Vamos escrever a função de transferência de malha fechada para o sistema com distúrbio da imagem acima No entanto nesse momento vamos utilizar uma técnica útil para escrever as equações de interesse A técnica consiste em escrever sinais parciais ao longo do caminho Observe a imagem do exercício já com esses sinais redesenhados no destaque vermelho D G1 R C H G2 E M Figura 2 Vamos observar que embora não esteja na imagem acima todas as funções são função de s como mostra a imagem original do exercício As equações de interesse serão as seguintes C G2 D G1E Equação I 8 Representação de Sistemas no Espaço de Estados Com a necessidade de representar tarefas complexas com muita precisão os sistemas têm cada vez mais possibilidades de ter múltiplas entradas e múltiplas saídas tornando as variáveis mais complexas e com múltiplas dimensões Daí a necessidade da representação de sistema no espaço de estados Essa representação com múltiplas dimensões é feita por vetores O significado do estado está relacionado ao menor conjunto de variáveis variáveis de estado que determinam completamente o comportamento do sistema para t t0 De modo que as condições iniciais são essenciais para definir as soluções UNIDADE Funções de Transferência Assim como o significado de variáveis de estado é o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado de um sistema dinâmico São n variáveis do tipo x1 x2 xn necessárias para descrever o comportamento total de um sistema dinâmico Essas variáveis são representadas por vetores Vamos fazer uma breve introdução sobre essa representação visto que para compreensão total deste tema é necessário que o aluno conheças as transformadas de Laplace tema da nossa próxima unidade de estudos Nesse tipo de representação estão presentes as variáveis de entrada as variáveis de saída e as variáveis de estado Leia com atenção a seguinte informação Todo sistema dinâmico deve conter elementos que memorizem as variáveis de entrada para t t1 ou seja dados iniciais conhecidos Os integradores num sistema de tempo contínuo são capazes de memorizar essas variáveis pois servem como dispositivos de memória a saída desses integradores pode ser considerada como as variáveis que definem o estado interno desse sistema Logo as saídas desses integradores podem ser escolhidas como variáveis de estado de um sistema O número de integradores no sistema é igual ao número de variáveis de estado No geral considere um sistema invariante no tempo onde existem múltiplas entradas ur t e múltiplas saídas ymt e portanto n integradores As n saídas desses integradores podem ser definidas como variáveis de estado x1 x2 xn t Para encontrar soluções para esse sistema devemos nos perguntar qual é a solução para uma integral Você já tem a resposta em mente Se sim podemos escrever que o sistema será descrito por x 1 tf1 x1x2 xn u1u2 urt x 2 tf2 x1x2 xn u1u2 urt x n tfn x1x2 xn u1u2 urt As saídas do sistema são dadas por y1 tg1 x1x2 xn u1u2 urt y2 tg2 x1x2 xn u1u2 urt ym tgm x1x2 xn u1u2 urt 10 E sendo cada uma das variáveis vetores do tipo x x1 x2 xk u1 u2 uτ y y1t y2t ynt e gx u t Logo as soluções são xt fx u t e yt gx u t Para ilustrar com mais exatidão observe o diagrama de blocos abaixo A imagem acima mostra um diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contínuo no espaço de estados Agora interpreteo de acordo com a análise teórica que fizemos Durante a interpretação olhe para o diagrama de blocos quantas vezes forem necessárias para compreender de onde vem as soluções propostas Vamos iniciar a análise ut é uma força externa que desequilibra ou provoca o sistema e yt é a saída do sistema Se recorrermos a segunda lei de Newton ou Lei da dinâmica para o sistema acima sabemos que a força resultante em uma mola representada no sistema por k é ky assim como a força resultante em uma massa representada no sistema por m é kȳ Já em um elemento de viscosidade representado no sistema por b a força será by Portanto a equação que soluciona este sistema pode ser escrita por mjȳ by ky u Equação IV Observe que este resultado representa um sistema de 2ª ordem logo esse sistema contém dois integradores Sejam x₁t yt e x₂t ȳt as variáveis de estado então x₁ x₂ visto que x₁t yt E x₂ ȳ₂ Ora são dois integradores duas variáveis de estado já a temos nas duas linhas acima Vamos resolver este sistema utilizando a Equação IV mjȳ mjȳ ky u ȳ 1mby ky 1mu Sendo assim vamos reescrever a equação acima em função das variáveis de estado x₁ e x₂ x₂ 1mkx₁ bx₂ 1mu A equação de estado será dada por x₁ 0 1x₁ 0u Equação de Estado E y 1 0x₁ x₂ Equação de Saída Com este resultado ainda podemos compreender o formato padrão desse sistema Conforme citamos acima na teoria xt Axt But e yt Cxt Dut Então podemos dizer que A 0 1 km bm B 1m C 1 0 e D 0 Este sistema pode ser ilustrado com o seguinte diagrama de blocos UNIDADE Funções de Transferência transformar uma função definida numa variável complexa s para uma variável mais usual como o tempo t por exemplo e viceversa Felizmente existe um software que auxilia o engenheiro na transformação da função de transferência para o espaço de estados ou o inverso o Matlab ampla mente utilizado em projetos de sistemas e na solução de problemas Representação de Sistemas no Espaço de Estados httpsgoogly3qjcp Explor 14 Podese afirmar que existe relação entre equações no espaço de estado e função de transferência no entanto para estabelecêla é necessário que o aluno esteja a par das transformadas de Laplace nosso objeto de estudo da próxima Unidade E por que conhecer as transformadas de Laplace nos será tão útil Você deve ter notado que no primeiro tema desta unidade exploramos um sistema submetido a um distúrbio qualquer Ds note D é função de uma variável complexa s A transformação de Laplace assim como a antitransformada nos darão habilidades para 15 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Física I Mecânica Física I Mecânica Young Freedman et al 14 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2016 Vídeos Erro em estado estacionário Referência e Distúrbio ELT009 ELT013 httpsyoutubeHrPDM78H3Hk Leitura Introdução os Sistemas de Controle Indicação de páginas 1 a 22 httpsgoogl7dNX8D Representação de Sistemas Dinâmicos na Forma do Espaço dos Estados httpsgoogl2sF5iu Apontamentos de MATLAB Control System Toolbox Recomendação Capítulo 1 e 2 httpsgooglBGjYCf 15 UNIDADE Funções de Transferência Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5 ed São Paulo Pearson Pren tice Hall 2010 KUO B C Automatic Control Systems 2 ed Englewood Cliffs Prentice Hall International 1982 PHILLIPS C L HARBOR R D Sistemas de Controle e Realimentação v 1 São Paulo Makron Books do Brasil 1996 16 Cruzeiro do Sul Educacional