Descontos de Títulos e Juros: Conceitos e Fórmulas

11 05 2022 Descontos de Títulos Alexandre Assaf Neto 2019 Podemos ter desconto sob o regime de juros simples em operações de curto prazo e desconto sob o regime de juros compostos em operações de longo prazo Tanto no regime linear como no regime composto são identificados dois tipos de descontos Desconto por dentro racional e desconto por fora bancário ou comercial a DESCONTO RACIONAL Dr POR DENTRO Incorpora os conceitos e as relações básicas de juros simples já vistas tais como 𝑱 𝑷𝑽 𝒊 𝒏 e 𝑭𝑽 𝑷𝑽 𝟏 𝒊 𝒏 O desconto racional representa exatamente as mesmas relações de juros simples já conhecidas PV passa a ser chamado de Valor Descontado Racional de um título Vr J passa a ser chamado de Dr e FV passa a ser chamado de N Resumo Valor presente PV Valor descontado Racional Vr Juros simples J Desconto Racional Dr Valor futuro FV Valor Nominal N Valor Nominal N ou valor de resgate valor definido para um título em sua data de vencimento Representa em outras palavras o próprio montante da operação Valor descontado racional de um título Vr é o seu valor atual na data do desconto sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto É o valor creditado ou pago ao titular Das equações de juros simples vem De 𝑭𝑽 𝑷𝑽 𝟏 𝒊 𝒏 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔 𝑷𝑽 𝑭𝑽 𝟏𝒊𝒏 e então 𝑽𝒓 𝑵 𝟏𝒊𝒏 1 Desconto Racional Dr é a recompensa pelo pagamento antecipado De 𝑱 𝑷𝑽 𝒊 𝒏 vem 𝑫𝒓 𝑽𝒓 𝒊 𝒏 2 Importante observar que a taxa de juro incide sobre o capital liberado da operação Vr representando o custo efetivo de todo o período de desconto Mas Desconto Racional Dr é a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento Desconto Valor Nominal Valor Descontado Racional 𝑫𝒓 𝑵 𝑽𝒓 3 Substituindo a equação 1 na equação 3 temos Então 𝑫𝒓 𝑵 𝑵 𝟏𝒊𝒏 𝑵𝟏𝒊𝒏𝑵 𝟏𝒊𝒏 𝑵𝒊𝒏 𝟏𝒊𝒏 𝑫𝒓 𝑵𝒊𝒏 𝟏𝒊𝒏 4 Esta fórmula 4 é muito importante porque a partir dela é possível calcular o valor do desconto racionalDr obtido de determinado valor nominal N que é sempre conhecido a uma dada taxa simples de juros i e a determinado prazo de antecipação do título n A taxa de juros neste caso representa o custo efetivo de todo o período de desconto Exemplo 1 Seja um título de Valor Nominal de R 4 00000 vencível em um ano que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento Sendo de 42 aa a taxa nominal de juros corrente pedese calcular o desconto Dr e o valor descontado desta operação Vr Solução Calculando o desconto racional ou por dentro Dr 𝑵 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒊 𝟒𝟐𝒂 𝒂 𝟑 𝟓 𝒂 𝒎 𝟎 𝟎𝟑𝟓 Para calcular Dr temos três fórmulas 2 3 e 4 A fórmula 2 e a fórmula 3 não podemos usar porque precisam do valor desconta racional Vr Assim calculamos o desconto racional pela fórmula 4 𝑫𝒓 𝑵 𝒊 𝒏 𝟏 𝒊 𝒏 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎𝟑𝟓 𝟑 𝟏 𝟎 𝟎𝟑𝟓 𝟑 𝟒𝟐𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟏𝟎𝟓 𝟑𝟖𝟎 𝟏𝟎 Para calcular o valor descontado racional Vr usamos a fórmula 3 𝑽𝒓 𝑵 𝑫𝒓 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟑𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟑𝟔𝟏𝟗 𝟗𝟎 ou Uma outra maneira de fazer seria calcular primeiro o valor descontado racional Vr 𝑽𝒓 𝑵 𝟏𝒊𝒏 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟑𝟓𝟑 𝟑𝟔𝟏𝟗 𝟗𝟎 O desconto racional 𝑫𝒓 𝑵 𝑽𝒓 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟑𝟔𝟏𝟗 𝟗𝟎 𝟑𝟖𝟎 𝟏𝟎 Do ponto de vista do devedor R 38010 é um valor que está deixando de pagar por saldar a dívida antecipadamente Exemplo 2 Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes do vencimento sendo seu valor de resgate igual a R 26 00000 e seu valor atual na data do desconto de R 24 43610 Solução 𝒏 𝟔𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔 𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝑵 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑽𝒓 𝟐𝟒𝟒𝟑𝟔 𝟏𝟎 𝑫𝒓 𝟐𝟔 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟒 𝟒𝟑𝟔 𝟏𝟎 156390 Usando a equação 𝑫𝒓 𝑽𝒓 𝒊 𝒏 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒊 𝑫𝒓 𝑽𝒓𝒏 𝟏𝟓𝟔𝟑𝟗𝟎 𝟐𝟒𝟒𝟑𝟔𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟓𝟔𝟑𝟗𝟎 𝟒𝟖𝟖𝟕𝟐𝟐𝟎 𝟎 𝟎𝟑𝟐 ou 32 am b DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU POR FORA Modalidade de desconto amplamente usada no mercado em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo Este tipo de desconto por incidir sobre o valor nominal N ou de resgate do título proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações Fórmulas Sabendo que N é o valor de resgate do título d é a taxa de desconto periódica por fora e n é o prazo de antecipação definido para o desconto 𝑫𝒇 𝑵 𝒅 𝒏 1 𝑽𝒇 𝑵 𝑫𝒇 𝑵 𝑵 𝒅 𝒏 𝑵𝟏 𝒅 𝒏 𝑽𝒇 𝑵𝟏 𝒅 𝒏 2 Vamos usar os mesmos exemplos dados no caso de desconto racional ou por dentro Exemplo 3 Seja um título de valor Nominal de R 4 00000 vencível em um ano que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento Sendo de 42 aa a taxa de desconto d bancário por fora adotada pedese calcular o desconto por fora Df e o valor descontado desta operação Vf Solução 𝒅 𝟒𝟐 𝒂 𝒂 𝒐𝒖 𝟑 𝟓 𝒂 𝒎 𝒏 𝟑 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝑵 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑫𝒇 𝑵 𝒅 𝒏 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎𝟑𝟓 𝟑 𝟒𝟐𝟎 𝟎𝟎 𝑽𝒇 𝑵 𝑫𝒇 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟒𝟐𝟎 𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟖𝟎 𝟎𝟎 Ou ainda 𝑽𝒇 𝑵𝟏 𝒅 𝒏 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟑𝟓 𝟑 𝟑𝟓𝟖𝟎 𝟎𝟎 Observação No caso do exemplo 1 e 3 explorando os mesmos dados tivemos 𝑫𝒓 𝟑𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝒆 𝑫𝒇 𝟒𝟐𝟎 𝟎𝟎 RESUMO DAS FÓRMULAS Desconto racional por dentro Desconto bancário por fora 𝑫𝒓 𝑽𝒓 𝒊 𝒏 𝑫𝒇 𝑵 𝒅 𝒏 𝑽𝒓 𝑵 𝑫𝒓 𝑽𝒇 𝑵 𝑫𝒇 𝑽𝒓 𝑵 𝟏 𝒊 𝒏 𝑽𝒇 𝑵𝟏 𝒅 𝒏 𝑫𝒓 𝑵 𝒊 𝒏 𝟏 𝒊 𝒏 Exemplo 4 Determinar a taxa mensal de desconto por fora de um título negociado 60 dias antes do vencimento sendo seu valor de resgate igual a R 26 00000 e seu valor atual na data do desconto de R 24 43610 Solução 𝒏 𝟔𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔 𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝑵 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑽𝒇 𝟐𝟒𝟒𝟑𝟔 𝟏𝟎 𝑫𝒇 𝟐𝟔 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟒 𝟒𝟑𝟔 𝟏𝟎 156390 Mas 𝑫𝒇 𝑵 𝒅 𝒏 𝟏𝟓𝟔𝟑 𝟗𝟎 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒅 𝟐 𝒅 𝟏𝟓𝟔𝟑 𝟗𝟎 𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟎 𝒂 𝒎 𝟑 𝒂 𝒎 Despesas bancárias Em operações de desconto com bancos comerciais são cobradas taxas adicionais de desconto a pretexto de cobrir certas despesas administrativas e operacionais incorridas pela instituição financeira Essas taxas são prefixadas e incidem sobre o valor nominal N do título uma única vez no momento do desconto Chamando de t a taxa administrativa cobrada pelos bancos e incluindo esta taxa na formulação do desconto temos 𝑫𝒇 𝑵 𝒅 𝒏 𝒕 𝑵 𝑵𝒅 𝒏 𝒕 𝑫𝒇 𝑵𝒅 𝒏 𝒕 O valor descontado liberado Vf incluindo a cobrança da taxa administrativa t é apurado da seguinte forma 𝑽𝒇 𝑵 𝑫𝒇 𝑵 𝑵𝒅 𝒏 𝒕 𝑉𝑓 𝑵𝟏 𝒅 𝒏 𝒕 Exemplo Uma duplicata de valor nominal N R 60 00000 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento Sendo 28 ao mês a taxa de desconto usada na operação calcular o desconto e o valor descontado Sabese ainda que o banco cobra 15 sobre o valor nominal do título descontados integralmente no momento da liberação dos recursos como despesa administrativa Solução 𝑵 𝟔𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒅 𝟐 𝟖 𝒂 𝒎 𝒏 𝟐𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 t 15 sobre o valor nominal Desconto 𝑫𝒇 𝑵 𝒅 𝒏 𝒕 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟐𝟖 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟓 𝟒𝟐𝟔𝟎 𝟎𝟎 Valor descontado 𝑽𝒇 𝑵𝟏 𝒅 𝒏 𝒕 𝑽𝒇 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟐𝟖 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟓 𝟓𝟓𝟕𝟒𝟎 𝟎𝟎