Séries de Pagamentos com Carência e Cálculo de Valor Presente

1 26 10 2023 Séries de pagamentos com carência Para resolver os problemas com carência vamos utilizar as fórmulas de séries de pagamentos postecipadas com termos vencidos nas quais as prestações acontecem sempre nos finais de períodos Pontos importantes 1 Nas séries de pagamentos postecipadas o PV apurase no momento zero 𝑛 6 𝑃𝑀𝑇 900000 𝑃𝑉 4000000 𝑖 2 Nas séries de pagamentos postecipadas o FV é apurado no momento em que o último pagamento é feito 2 Fórmula de Capitalização composta para pagamento único 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 e 𝑃𝑉 𝐹𝑉 1𝑖𝑛 Exemplos 1 Uma empresa obtém um empréstimo de R 100 00000 para ser quitado em cinco prestações mensais iguais Sabendose que a primeira prestação tem o seu vencimento 90 dias após a data do contrato e que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 6 ao mês calcular o valor do pagamento Solução Esquematicamente PV100 00000 PMT PMT PMT PMT PMT O segredo para solucionar facilmente casos como este consiste em fazer com que o problema apresentado recaia 3 num esquema básico de séries de pagamentos postecipadas ou seja o esquema em que o valor presente se refere ao momento zero e que o pagamento da primeira prestação ocorre no final do período contado a partir daquele momento A solução do problema pode ser obtida por partes 1 Calculase o montante no final do segundo mês período de carência usando a fórmula para pagamento único 𝑷𝑽 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒏 𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝒊 𝟔 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 𝟎 𝟎𝟔 𝑷𝑽 𝑭𝑽 𝑷𝑽𝟏 𝒊𝒏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟔𝟐 𝟏𝟏𝟐 𝟑𝟔𝟎 𝟎𝟎 2 Este valor se constitui no valor presente da segunda parte do nosso problema que vamos representar por 𝑷𝑽 𝟏𝟏𝟐 𝟑𝟔𝟎 𝟎𝟎 𝒏 𝟓 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝒊 𝟔 𝟎 𝟎𝟔 𝑷𝑴𝑻 𝑷𝑴𝑻 𝑷𝑽 𝟏 𝒊𝒏 𝒊 𝟏 𝒊𝒏 𝟏 𝑷𝑴𝑻 𝟏𝟏𝟐 𝟑𝟔𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟔𝟓 𝟎 𝟎𝟔 𝟏 𝟎𝟔𝟓 𝟏 𝑷𝑴𝑻 𝟏𝟏𝟐 𝟑𝟔𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟐𝟑𝟕𝟒 𝟐𝟔 𝟔𝟕𝟒 𝟐𝟔 Resposta 𝑹 𝟐𝟔 𝟔𝟕𝟒 𝟐𝟔 2 O Sr Alfredo adquire um aparelho de som para ser pago em 12 prestações iguais de R 220000 Sabendo que a primeira prestação vence a 120 dias da data do contrato que as demais têm vencimentos mensais sucessivos e que 4 a taxa cobrada pela loja é de 5 ao mês calcular o valor financiado pelo Sr Alfredo a Vamos inicialmente esquecer do período de carência e calcular o PV que é o valor presente da série postecipada onde 𝒊 𝟓 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔005 𝑷𝑴𝑻 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒏 𝟏𝟐 𝑷𝑽 𝑷𝑴𝑻 𝟏𝒊𝒏𝟏 𝟏𝒊𝒏𝒊 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟓𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟎𝟓𝟏𝟐𝟎𝟎𝟓 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟕𝟗𝟓𝟗 𝟎𝟎𝟖𝟗𝟖 𝟏𝟗𝟒𝟗𝟕 𝟓𝟗 b Calcular o valor presente no momento zero período de carência 𝑷𝑽 𝑭𝑽 𝟏𝟗𝟒𝟗𝟕 𝟓𝟗 O valor PV em relação ao momento zero é um valor futuro 𝒎 𝟑 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝒊 𝟓 𝑷𝑽 𝑷𝑽 𝑭𝑽 𝟏 𝒊𝒎 𝟏𝟗𝟒𝟗𝟕 𝟓𝟗 𝟏 𝟎𝟓𝟑 𝟏𝟔 𝟖𝟒𝟖 𝟕𝟓 3 Qual o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais à taxa de 35 ao mês sendo as quatro primeiras prestações de R 300000 𝒆 𝒂𝒔 6 últimas de R 450000 5 PV Observase pelo esquema dado que temos duas séries distintas uma composta de 4 parcelas iguais de R 300000 e outra de seis parcelas iguais de R 450000com quatro meses de carência A soluçao do problema será dada pela soma dos valores presentes nessas duas séries 1 Valor presente das quatro primeiras prestações 𝑷𝑴𝑻 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒏 𝟒 𝒊 𝟑 𝟓 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔0035 PV1 𝑷𝑴𝑻 𝟏𝒊𝒏𝟏 𝟏𝒊𝒏𝒊 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟑𝟓𝟒𝟏 𝟏𝟎𝟑𝟓𝟒𝟎𝟎𝟑𝟓 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟗 𝟐𝟒 2 Valor presente das seis últimas prestações com 4 meses de carência 𝑷𝑴𝑻 𝟒𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒏 𝟔 m4 meses 𝒊 𝟑 𝟓 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 PV2 𝑷𝑴𝑻 𝟏𝒊𝒏𝟏 𝟏𝒊𝒏𝒊 𝟏 𝟏𝒊𝒎 𝟒𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟑𝟓𝟔𝟏 𝟏𝟎𝟑𝟓𝟔𝟎𝟎𝟑𝟓 𝟏 𝟏𝟎𝟑𝟓𝟒 𝟒𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟓 𝟑𝟐𝟖𝟓𝟓 𝟎 𝟖𝟕𝟏𝟒 𝟐𝟎 𝟖𝟗𝟓 𝟖𝟎 6 Valor do empréstimo 1101924 2089580 3191504