Tensões de Flexão: Fundamentos e Equações

Tensões de flexão Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2021 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Flexão Normal Simples Mx 0 ou My 0 e N 0 Flexão Normal Composta Mx 0 ou My 0 e N 0 Flexão Oblíqua Simples Mx 0 e My 0 e N 0 Flexão Oblíqua Composta Mx 0 e My 0 e N 0 Estado de Flexão arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝜎 𝑀𝑦 𝐼𝑦 x 𝑀𝑥 𝐼𝑥 y 𝑁 𝑆 Equação de Navier Onde 𝜎 Tensão normal na flexão Ix e Iy Momento de inércia em relação aos eixos x e y baricêntricos x e y Coordenadas de um ponto qualquer da seção onde se deseja calcular a tensão normal Xk e Yk Coordenadas do ponto de aplicação do esforço normal N em relação ao centro de gravidade S Área da seção transversal 𝐌𝐱 N Yk My N Xk Equação das tensões arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 0 𝑋𝑘 𝐼𝑦 x 𝑌𝑘 𝐼𝑥 y 1 𝑆 Equação da reta do eixo neutro Precisase de 2 pontos que possibilite o traçado do eixo neutro Hn 0 Yn fazendo x0 y yn 𝐌𝐱 N Yk My N Xk Posição da linha neutra eixo neutro A determinação da posição do eixo neutro é feita baseandose na sua principal propriedade as tensões normais são nulas em todo o seu comprimento Substituindose 𝜎 0 na equação anterior temse Yn Ix SYk Xn Iy SXk Mn Xn 0 fazendo y0 x xn arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI tg 𝛼 𝑀𝑥 𝑀𝑦 Eixo de solicitação O eixo de solicitação é definido pela linha que passa pelo centro de gravidade CG e pelo ponto de aplicação do esforço normal ponto K Quando não é possível determinar o ponto K calculase o ângulo 𝛼 através da tangente tg 𝛽 𝑌𝑛 𝑋𝑛 tg β 1 tgα Ix Iy Eixo de solicitação Eixo Neutro arianecardosoeng RESMAT2 Exercício UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Dada a seção indicada na figura submetida a um estado de flexão com esforço normal nulo momento fletor Mx 1200000 kgfcm e My 1600000 kgfcm determine a A classificação do estado de flexão b As posições dos eixos neutro e de solicitação c O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da seção dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central d As tensões normais máximas ou máxima e mínima que se desenvolvem na seção e as posições correspondentes Medidas em centímetros arianecardosoeng RESMAT2 1º Dividir em áreas e calcular o CG UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Cálculo do centro de gravidade CG da seção em relação aos eixos x e y auxiliares Observando a seção plana indicada percebese que o eixo x é de simetria então ത𝐲 20 20 𝟐𝟎 𝟐 50 cm Precisamos calcular o തx arianecardosoeng RESMAT2 2º Encontrar o CG de cada área UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI ÁREA I AI 60 x 100 6000 cm² തx I 602 30 cm ÁREA II AII 20 x 40 800 cm² തx II 20 402 40 cm ÁREA III AII 20 x 40 800 cm² തx II 20 402 40 cm arianecardosoeng RESMAT2 3º Encontrar o CG da seção chamaremos de ഥ𝒙G UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI ത𝐱G ത𝐱𝐀 𝐀 തxG 180000 32000 32000 6500 800 800 ഥ𝒙G 264 cm Quant Áreas A cm² ഥ𝒙 𝐜𝐦 ത𝐱𝐀 𝐜𝐦𝟑 6500 800 800 30 40 40 180000 32000 32000 I II III arianecardosoeng RESMAT2 3º Encontrar o CG da seção chamaremos de ഥ𝒙G UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 4º Calcular o Momento de Inércia em relação aos eixos x e y UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ix IxI IxII IxIII IxI 60 100³ 12 5000000 cm4 O momento de inércia em relação aos eixos x e y é calculado determinando o momento de inércia de cada área em relação ao seu eixo baricêntrico e em seguida transferindo para os eixos x e y utilizando o teorema dos eixos paralelos 𝐈𝐱 𝟒 𝟑𝟎𝟔 𝟔𝟔𝟔 𝟕 𝐜𝐦𝟒 Ix 𝒃𝒉³ 𝟏𝟐 A d² IxII 40 20³ 12 800 x 202 34666670 cm4 IxIII 40 20³ 12 800 x 202 34666670 cm4 arianecardosoeng RESMAT2 4º Calcular o Momento de Inércia em relação aos eixos x e y UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Iy IyI IyII IyIII IyI 100 60³ 12 6000 𝑥 30 2640² 1877760 cm4 O momento de inércia em relação aos eixos x e y é calculado determinando o momento de inércia de cada área em relação ao seu eixo baricêntrico e em seguida transferindo para os eixos x e y utilizando o teorema dos eixos paralelos 𝐈𝐲 𝟏 𝟑𝟔𝟖 𝟒𝟗𝟎 𝟔 𝐜𝐦𝟒 Iy 𝒃𝒉³ 𝟏𝟐 A d² IyII 20 40³ 12 800 𝑥 40 2640² 2546347 cm4 IyIII 20 40³ 12 800 x 40 2640² 2546347 cm4 arianecardosoeng RESMAT2 5º Calcular o Xk e Yk coordenadas do ponto de aplicação do esforço normal em relação ao centro de gravidade UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Yk Mx N Mx NYk Sabese que Mx 1200000 kgfcm My 1600000 kgfcm N 0 Yk 1200000 0 Xk My N My NXk Xk 1600000 0 O ponto K se encontra no infinito arianecardosoeng RESMAT2 6º Calcular o Xn e Yn coordenadas para passar a reta do eixo neutro UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Xn 136849060 4400 x 𝐗n 𝐈𝐲 𝐒 𝐗𝐤 Xn 0 Yn 430666670 4400 x Yn 𝐈𝐱 𝐒 𝐘𝐤 Yn 0 O eixo neutro passa pela origem em uma direção a ser determinada O eixo de solicitação passa pela origem e pelo ponto K XkYk visto que o ponto K se encontra no infinito precisase calcular a direção do eixo de solicitação com o eixo x arianecardosoeng RESMAT2 7º Calcular a direção do eixo de solicitação UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI tg 𝛼 1200000 1600000 075 tg 𝜶 𝐌𝐱 𝐌𝐲 𝛼 arctg 075 Como o ângulo é negativo marcase a partir do eixo x na rotação horária 𝛼 3687 arianecardosoeng RESMAT2 8º Calcular a direção do eixo neutro UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI tg 𝛃 𝟏 𝐭𝐠 𝛂 𝑰𝒙 𝑰𝒚 Para determinarmos a direção do eixo neutro partese que tg β 1 075 43066667 13684906 tg β 42 β arctg 42 β 7661 Como o ângulo é positivo marcase a partir do eixo x na rotação antihorária arianecardosoeng RESMAT2 9º Calcular as tensões UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝜎 𝑀𝑦 𝐼𝑦 x 𝑀𝑥 𝐼𝑥 y 𝑁 𝑆 Equação de Navier No ponto 1 temse que x1 2640 cm y1 50 cm 𝜎1 1600000 13684906 264 1200000 43066667 50 0 𝝈1 4480 kgfcm² Tensão de tração arianecardosoeng RESMAT2 9º Calcular as tensões UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝜎 𝑀𝑦 𝐼𝑦 x 𝑀𝑥 𝐼𝑥 y 𝑁 𝑆 Equação de Navier No ponto 2 temse que x2 60 264 336 cm y1 50 cm 𝝈2 5316 kgfcm² Tensão de compressão 𝜎2 1600000 13684906 336 1200000 43066667 50 0 arianecardosoeng RESMAT2 10º Diagrama de tensões e classificação do estado de flexão UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI ESTADO DE FLEXÃO Flexão Oblíqua Simples Mx 0 My 0 e N 0 arianecardosoeng RESMAT2 Exercício de fixação UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Dada a seção indicada na figura submetida a uma força normal de compressão de 40tf aplicada no ponto K determine a A classificação do estado de flexão b As posições dos eixos neutro e de solicitação c O diagrama representativo das tensões normais em todos os pontos da seção dizer a posição do ponto de aplicação da normal em relação ao núcleo central d As tensões normais máximas ou máxima e mínima que se desenvolvem na seção e as posições correspondentes Medidas em centímetros arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Contato Profª Ariane Cardoso Minicurrículo Engenheira Civil UNICAP 2016 Mestre em Engenharia Civil PECUPE 2019 Especialista em Estruturas de Concreto e Fundações INBECUNIP 2021 Professora PoliUPE desde 2020 Email ascpecpolibr