Coeficiente de Poisson e Lei de Hooke Generalizada

Coeficiente de Poisson Lei de Hooke Generalizada Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2022 arianecardosoeng RESMAT2 Módulo de Elasticidade Longitudinal Módulo de Young UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Em geral as estruturas são projetadas de modo a sofrerem pequenas deformações que não ultrapassem os valores do diagrama tensão x deformação correspondente ao trecho reto pois ali o regime é elástico e a tensão σ é diretamente proporcional à deformação específica Ɛ σ Ɛ σL ƐL tg𝜶 E E σ Ɛ Onde E Módulo de Elasticidade ou módulo de Young Pa σ Tensão Normal Ɛ Deformação Específica arianecardosoeng RESMAT2 Lei de Hooke UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 σ E Ɛ Onde σ Tensão Normal E Módulo de Elasticidade ou módulo de Young Ɛ Deformação Específica arianecardosoeng RESMAT2 Módulo de Elasticidade Longitudinal Módulo de Young UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BOTELHO 2008 Cada material nas suas deformações por tração ou compressão tem um índice que mostra a sua deformabilidade que é o Módulo de Elasticidade também chamado de Módulo de Young Concreto 35000 MPa arianecardosoeng RESMAT2 Coeficiente de Poisson UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Quando uma barra delgada homogênea é carregada axialmente a tensão e a deformação específica resultantes satisfazem a lei de Hooke desde que o limite de elasticidade do material não seja excedido Supondo que a direção da força P seja a do eixo x temos σx PA em que A é a área da seção transversal da barra e pela lei de Hooke temos Ɛx σx E Onde σx Tensão Normal E Módulo de Elasticidade Ɛx Deformação Específica Longitudinal arianecardosoeng RESMAT2 Coeficiente de Poisson UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 As tensões normais nas faces respectivamente perpendiculares aos eixos y e z são iguais a zero σ y σ z 0 Porem as deformações específicas correspondentes Ɛy e Ɛz não são iguais a zero Em todos os materiais de engenharia a deformação produzida por uma força axial de tração P na direção da força é acompanhada por uma contração em qualquer direção Transversal arianecardosoeng RESMAT2 Coeficiente de Poisson UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Considerandose que todos os materiais estudados são homogêneos e isotrópicos ou seja suas propriedades mecânicas serão consideradas independentes da direção e posição concluise daí que a deformação específica deve ter o mesmo valor para qualquer direção transversal Portanto para este carregamento devemos ter Ɛy Ɛz Esse valor comum é chamado de deformação específica lateral ou transversal arianecardosoeng RESMAT2 Coeficiente de Poisson UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 O coeficiente de Poisson assim chamado em homenagem ao matemático francês Siméon Denis Poisson 17811840 e designado pela letra grega 𝝂 nu é definido como Para obter um valor positivo de 𝝂 as deformações específicas axial e lateral têm de ter sinais opostos arianecardosoeng RESMAT2 Deformação Específica Longitudinal e Transversal UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Ɛx Para Ɛy e Ɛz temos as seguintes relações que descrevem completamente a condição de deformação específica de uma barra submetida a uma força axial aplicada em direção paralela ao eixo x Onde Ɛx Deformação Específica Longitudinal σx Tensão Normal E Módulo de Elasticidade Ɛy e Ɛz Deformação Específica Lateral ou Transversal 𝜈 Coeficiente de Poisson Ɛy Ɛz σx E 𝝂σx E arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ex 27 Beer et al 2011 Observase que uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro feita de um material homogêneo e isotrópico aumenta no comprimento em 300 𝜇m e diminui no diâmetro em 24 𝜇m quando submetida a uma força axial de 12 kN Determine a o módulo de elasticidade b o coeficiente de Poisson do material arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI d 16mm A 𝜋 𝑑² 4 A π 16² 4 A 20106 mm² Analisando o eixo x σx P 𝐴 σx 12 x 10³N 20106 mm² 5968 MPa P 12kN 12 x 103 N δx L Ɛx Ɛx 0300 500 6 x 104 δx 300μm 0300 mm L 500mm δy d Ɛy Ɛy 00024 16 15 x 104 δy 24μm 00024 mm d 16mm arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI a Da Lei de Hooke temos b 𝜈 Ɛ𝑦 Ɛ𝑥 σ E Ɛ E σx Ɛx E 597MPa 6 x 104 E 9946667 MPa 995 GPa Módulo de Elasticidade 𝜈 15 x 104 6 x 104 𝜈 025 Coeficiente de Poisson arianecardosoeng RESMAT2 Carregamento multiaxial Lei de Hooke Generalizada UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Todos os exemplos considerados até agora tratavam de elementos delgados submetidos a forças axiais isto é a forças com direção de um único eixo Escolhemos esse eixo como o eixo x designamos por P a força interna em uma dada localização e as componentes de tensão correspondentes eram σ x PA σy 0 e σz 0 Vamos agora considerar elementos estruturais submetidos a cargas que atuam nas direções dos três eixos coordenados e produzem tensões normais σx σy e σz que são todas diferentes de zero Essa condição é conhecida como carregamento multiaxial arianecardosoeng RESMAT2 Carregamento multiaxial Lei de Hooke Generalizada UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Considere um elemento de um material isotrópico na forma de um cubo podemos supor que as arestas do cubo tenham um comprimento unitário desde que seja sempre possível considerar a aresta do cubo como uma unidade de comprimento Sob um carregamento multiaxial dado o elemento se deformará transformandose em um paralelepípedo retangular de lados respectivamente iguais a 1 Ɛx 1 Ɛy e 1 Ɛz em que Ɛx Ɛy e Ɛz são os valores da deformação específica normal nas direções dos três eixos coordenados arianecardosoeng RESMAT2 Carregamento multiaxial Lei de Hooke Generalizada UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Para expressarmos as componentes de deformação Ɛx Ɛy e Ɛz em função das componentes de tensão σx σy e σz consideraremos separadamente o efeito de cada componente de tensão e combinaremos os resultados obtidos O princípio da superposição diz que o efeito de determinado carregamento combinado em uma estrutura pode ser obtido determinandose separadamente os efeitos das várias forças e combinando os resultados obtidos desde que sejam satisfeitas as condições a seguir 1 Cada efeito está linearmente relacionado com a força que o produz 2 A deformação resultante de determinada força é pequena e não afeta as condições de aplicação das outras forças arianecardosoeng RESMAT2 Carregamento multiaxial Lei de Hooke Generalizada UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 No caso de um carregamento multiaxial a primeira condição será satisfeita se as tensões não excederem o limite de proporcionalidade do material A segunda condição será satisfeita se a tensão em qualquer face não provocar deformações nas outras faces suficientemente grandes para afetar o cálculo das tensões nessas faces Ɛx Ɛy Ɛz σx E 𝜈σx E Ɛy Ɛx Ɛz σ𝑦 E 𝜈σ𝑦 E Ɛz Ɛx Ɛy σ𝑧 E 𝜈σ𝑧 E arianecardosoeng RESMAT2 Carregamento multiaxial Lei de Hooke Generalizada UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Combinando os resultados obtidos concluímos que as componentes de deformação específica correspondentes a um carregamento multiaxial para um material isotrópico homogêneo são Ɛx σx E 𝜈σ𝑦 E 𝜈σ𝑧 E Ɛy 𝜈σ𝑥 E σ𝑦 E 𝜈σ𝑧 E Ɛz 𝜈σ𝑥 E 𝜈σ𝑦 E σz E arianecardosoeng RESMAT2 Fique Atento UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Os resultados obtidos são válidos somente enquanto as tensões não excederem o limite de proporcionalidade e desde que as deformações envolvidas permaneçam pequenas Um valor positivo para a componente de tensão significa tração e um valor negativo compressão Um valor positivo para uma componente de deformação específica indica expansão na direção correspondente e um valor negativo contração arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ex 28 Beer et al 2011 Um bloco de aço mostrado está submetido a uma pressão uniforme em todas as suas faces Sabendo que a variação no comprimento da aresta AB é 003 mm e considerando E 200 GPa e ν 029 determine a a variação no comprimento das outras arestas b a pressão p aplicada às faces do bloco arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Substituindo σx σy e σz nas relações por p obtemos Ɛx σx E 𝜈σ𝑦 E 𝜈σ𝑧 E Ɛy 𝜈σ𝑥 E σ𝑦 E 𝜈σ𝑧 E Ɛz 𝜈σ𝑥 E 𝜈σ𝑦 E σz E arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Substituindo σx σy e σz nas relações por p obtemos Ɛx 𝑝 E 𝜈𝑝 E 𝜈𝑝 E Ɛy 𝜈𝑝 E 𝑝 E 𝜈𝑝 E Ɛz 𝜈𝑝 E 𝜈𝑝 E 𝑝 E Ɛx Ɛy Ɛz 𝒑 E x 1 2 𝝂 arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI a a variação no comprimento das outras arestas Sabese que δ L Ɛ Ɛx 003 𝑚𝑚 100 𝑚𝑚 300 x106 δx 003mm L AB 100mm δ ƐL δy Ɛy x BC δy 300 x106 x 50mm 0015mm Ɛx Ɛy δz Ɛz x BD Ɛx Ɛz δ𝑧 300 x106 x 80mm 0024mm Variação do comprimento na aresta BC Variação do comprimento na aresta BD Ɛ σ E arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ɛx Ɛy Ɛz 𝒑 E x 1 2 𝝂 p Ɛx E 1 2 𝝂 p 300 x106 2 0 0 𝐺 𝑃 𝑎 1 2 𝑥 0 29 P 1429 MPa Pressão P aplicada b a pressão p aplicada às faces do bloco arianecardosoeng RESMAT2 Dilatação e módulo de compressibilidade volumétrica UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Considerando o volume ilustrado vamos avaliar o efeito das tensões normais σx σy e σz no volume de um elemento de material isotrópico Em seu estado livre de tensões ele está na forma de um cubo de volume unitário e sob as tensões σx σy e σz ele se deforma transformandose em um paralelepípedo retangular de volume V 1 Ɛ𝑥 1 Ɛ𝑦 1 Ɛ𝑧 Como as deformações específicas Ɛ𝑥 Ɛ𝑦 𝑒 Ɛ𝑧 são muito menores que a unidade seus produtos serão ainda menores e poderão ser omitidos depois do desenvolvimento da expressão acima Temos portanto V 1 Ɛ𝑥 Ɛ𝑦 Ɛ𝑧 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 e V 1 1 Ɛ𝑥 Ɛ𝑦 Ɛ𝑧 1 Designando por e a variação do volume de nosso elemento temos e Ɛ𝒙 Ɛ𝒚 Ɛ𝒛 Como o elemento tinha originalmente um volume unitário a quantidade e representa a variação em volume por unidade de volume e é conhecida como dilatação volumétrica específica do material arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Substituindo e Ɛ𝒙 Ɛ𝒚 Ɛ𝒛 Ɛx σx E 𝜈σ𝑦 E 𝜈σ𝑧 E Ɛy 𝜈σ𝑥 E σ𝑦 E 𝜈σ𝑧 E Ɛz 𝜈σ𝑥 E 𝜈σ𝑦 E σz E Podemos escrever e σx σy σz E 2ν σx σy σz E arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Um caso de interesse especial é aquele de um corpo sujeito a uma pressão hidrostática uniforme p Fazendo cada uma das componentes de tensão igual a p temos Introduzindo a seguinte constante K A constante k é conhecida como módulo de compressibilidade volumétrica do material ou módulo de bulk Ela é expressa nas mesmas unidades do módulo de elasticidade E ou seja em pascal ou em psi e 3 1 2ν E p arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Podemos descrever a variação do volume por A observação e o bom senso indicam que um material estável submetido a uma pressão hidrostática só pode diminuir em volume assim a dilatação e na Equação acima é negativa da qual se conclui que o módulo de compressibilidade volumétrica k é uma quantidade positiva arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Examinando a Equação Notase que 1 2 𝜈 0 ou 𝜈 1 2 Em contrapartida vimos que 𝜈 é positivo para todos os materiais de engenharia Concluise então que para qualquer material de engenharia 0 𝜈 1 2 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Ex 29 Beer et al 2011 Determine a variação em volume V do bloco de aço ilustrado quando ele é submetido a uma pressão hidrostática p 180 MPa Use E 200 GPa e 𝜈 029 Praticando arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Determinase o módulo de compressibilidade volumétrica do aço k 200 𝐺𝑃𝑎 3 1 2 029 1587 GPa Determinase a variação volumétrica e 180 MPa 1587 103MPa 1134 103 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Como o volume V do bloco em seu estado livre de tensões é V 100 mm 80 mm 50 mm 400 10³ mm³ e como e representa a variação em volume por unidade de volume temos e 𝑽 𝑽 Logo 𝑽 𝒆 𝑽 𝑽 1134 103 400 10³ mm³ 454 mm³ UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Praticando Um círculo de diâmetro d 220 mm é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões de espessura t 19mm Forças que atuam posteriormente no plano da placa provocam tensões normais 𝜎𝑥 82 MPa e 𝜎z 138 Mpa Para E 69 GPa e 𝜈 13 determine a variação a Do comprimento do diâmetro AB b Do comprimento do diâmetro CD c Da espessura da placa e d Do volume da placa 𝝈𝒙 𝝈𝒛 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Bons Estudos UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Apresentação Contato Email ascpecpolibr Profª MSc Ariane Cardoso Minicurrículo Engenheira Civil UNICAP 2016 Mestre em Engenharia Civil PECUPE 2019 Especialista em Estruturas de Concreto e Fundações INBECUNIP 2021 Graduanda em Arquitetura e Urbanismo UNINASSAU Professora PoliUPE desde 2020