Torção em Barras de Seção Circular

Torção em barras de seção circular Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2021 arianecardosoeng RESMAT2 O que você vai aprender Tensão de cisalhamento devido à torção Ângulo de torção Transmissão de potência UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 O que é torção É o efeito causado pela aplicação de momentos na estrutura UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Esses momentos têm a mesma intensidade T e sentidos opostos Eles são grandezas vetoriais e podem ser representados por setas curvas como na Fig a ou por vetores conjugados como na Fig b arianecardosoeng RESMAT2 Deformação por torção de um eixo circular UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Tensões devido à torção UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Há uma relação entre o torque interno e a distribuição de tensão de cisalhamento Se o material for linear elástico aplicase a Lei de Hooke e temse uma variação linear na tensão de cisalhamento em uma linha radial qualquer da seção transversal arianecardosoeng RESMAT2 Tensões devido à torção Imaginando a seção de uma estrutura cilíndrica UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI F Fazendo o balanço dos momentos dT F ρ 𝜌 τ dF dA F τ dA T 0 𝑐 τ dA ρ Considerando o comportamento linear da tensão com o raio τ ρ 𝐶 τ máx T τ máx C 0 c ρ² dA arianecardosoeng RESMAT2 Tensões devido à torção UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI T τ máx C 0 c ρ² dA Momento polar de inércia J Então podemos reescrever a equação desta forma Quanto maior o valor do torque T Maior a tensão de cisalhamento 𝛕 T τ máx C J arianecardosoeng RESMAT2 Tensões devido à torção 𝛕 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Então obtemos as equações das tensões de cisalhamento devido ao torque 𝛕máx 𝐓 𝐂 𝐉 Onde 𝛕máx Tensão de cisalhamento máxima no eixo 𝛕 Tensão de cisalhamento no eixo T Torque interno que age na seção transversal C Raio externo do eixo 𝝆 Raio intermediário do eixo J Momento polar de inércia da área da seção transversal 𝛕 𝐓 𝛒 𝐉 arianecardosoeng RESMAT2 Momento Polar de Inércia J UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Depende da geometria da seção Circulares J 𝜋 𝐷𝑒4 32 𝐷𝑒 𝐷𝑖 J 𝜋 𝐷𝑒4𝐷𝑖4 32 Retangulares h b J bh 2 b² h² J 𝜋 2 𝐶𝑒 4 𝐶𝑖 4 J 𝜋 2 𝐶4 ou ou Onde C Raio 𝐷𝑒 Diâmetro externo 𝐷𝑖 Diâmetro interno arianecardosoeng RESMAT2 Ângulo de torção UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Considerando uma peça cilíndrica 𝛾𝑚á𝑥 γmáx C L A partir da Lei de Hooke sabese que τ máx G γ máx γmáx T C J G 𝐓 𝐋 𝐉 𝐆 Considerando uma peça cilíndrica em que o eixo permanece elástico em qualquer parte com eixo de comprimento L e de seção transversal uniforme de raio c submetida a um momento torçor T em sua extremidade livre o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento máxima 𝛄 máx estão relacionados da seguinte forma τmáx T C J radianos arianecardosoeng RESMAT2 Ângulo de torção UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Onde Ângulo de torção radianos T Torque interno que age na seção transversal Nm L Comprimento de referência m G Módulo de elasticidade transversal ao cisalhamento do material Nm² J Momento polar de inércia da área da seção transversal m4 𝐓 𝐋 𝐉 𝐆 é expresso em radianos A relação obtida mostra que dentro do regime elástico o ângulo de torção é proporcional ao momento torçor T aplicado no eixo arianecardosoeng RESMAT2 Módulo de elasticidade transversal G UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Um método conveniente para determinar o módulo de elasticidade transversal de um material é com um corpo de prova do material a ser analisado na forma de uma barra cilíndrica de diâmetro e comprimento conhecidos O corpo de prova é colocado em uma máquina para ensaios de torção e são aplicados Torques T de intensidades crescentes e os valores correspondentes do ângulo de torção em determinado comprimento L do corpo de prova são registrados Enquanto a tensão de escoamento do material não é excedida os pontos obtidos em um gráfico de T em função de estarão em uma linha reta A inclinação dessa linha representa a quantidade JGL por meio da qual pode ser calculado o módulo de elasticidade transversal G arianecardosoeng RESMAT2 Transmissão de potência UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Onde P Potência watts T Torque interno que age na seção transversal Nm 𝛚 Velocidade angular rads ƒ Frequência Hz 𝐏 T 𝛚 𝛚 2 𝛑 ƒ 2 π 360 arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 1 Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 15 m de comprimento e diâmetros interno e externo respectivamente iguais a 40 mm e 60 mm a Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder 120 MPa b Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra circular Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI a Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder 120 MPa Beer et al 2011 O maior torque T que pode ser aplicado à barra de seção circular é aquele para o qual τ máx 120 MPa τ T C J T 𝐉 𝛕 𝐦á𝐱 𝐂 O momento polar de inércia J da seção transversal é dado pela Equação J 𝜋 𝐷𝑒4𝐷𝑖4 32 J 𝜋 00640044 32 1021 106 m4 arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI T J τ máx C Substituindo os valores na equação temos T 1021 106 m4 120 106 𝑁 m2 006 2 m T 4084 Nm 4084 kNm arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI b Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra circular Beer et al 2011 O valor mínimo da tensão de cisalhamento ocorre na superfície interna da barra 𝝉 𝒎í𝐧 𝑪𝒊 𝑪𝒆 𝝉 𝒎á𝐱 𝜏 𝑚ín 0042 0062 120 MPa 𝜏 𝑚ín 80 MPa arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 2 De acordo com a ilustração o eixo maciço de 30 mm é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo Hibbeler 2010 arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝛕máx 𝐓 𝐂 𝐉 Determinar o torque resultante máximo T Diagrama de torção T máx 400 Nm Hibbeler 2010 arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝛕máx 𝐓 𝐂 𝐉 Determinar o momento polar de inércia J J 𝜋 𝐷𝑒4 32 Circular maciça J 𝜋 0034 32 J 795 108 m4 Hibbeler 2010 arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 𝛕máx 𝐓 𝐂 𝐉 Sendo o diâmetro de 30mm temos C 15mm 0015m τmáx 400 Nm 0015m 795 108 m4 τmáx 7547 106 N m² 𝛕máx 7547 MPa Hibbeler 2010 arianecardosoeng RESMAT2 Agora é sua vez de praticar UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 3 Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta desenvolvida no eixo tubular de diâmetro externo de 32mm e diâmetro interno de 25mm submetido aos torques indicados Considere que os mancais lisos em A e B não resistem a torque Hibbeler 2010 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 4 Para o exercício anterior faça o gráfico da distribuição da tensão de cisalhamento que age ao longo de uma linha radial que se encontra no interior EA do eixo Considere que os mancais lisos em A e B não resistem a torque Hibbeler 2010 Agora é sua vez de praticar arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 5 Qual o torque que deverá ser aplicado à extremidade de um eixo para produzir um ângulo de torção de 2 Considere os seguintes valores G 77 Gpa L 15 m J 1021 106 m4 arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI G 77 Gpa 77 109 Pa L 15 m J 1021 106 m4 2 Transformar graus em radianos 𝐓 𝐋 𝐉 𝐆 2 2𝜋𝑟𝑎𝑑 360 349 103 rad Calcular o T através da equação T J 𝐺 𝐿 T 1021 106 m4 77 109 Pa 15 m 349 103 rad 𝐓 1829 10³ Nm 1829 kNm arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Beer et al 2011 6 Qual o ângulo de torção que criará uma tensão de cisalhamento de 70 MPa na superfície interna do eixo vazado de aço Considere G 77 Gpa Agora é sua vez de praticar arianecardosoeng RESMAT2 Agora é sua vez de praticar UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 7 Para o eixo cilíndrico mostrado determine a a tensão de cisalhamento máxima provocada por um torque de intensidade T 15 kNm b o torque T que provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 80 MPa no eixo cilíndrico de aço mostrado Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 Agora é sua vez de praticar UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 8 Sabendo que o diâmetro interno do eixo vazado mostrado é d 229 mm determine a máxima tensão de cisalhamento causada por um torque de intensidade T1017 kNm aplicado Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 Agora é sua vez de praticar UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 9 Para o eixo de aço com seção transversal cheia mostrado G 77 GPa determine a o ângulo de torção em A b O ângulo de torção em A considerando que o eixo de aço é vazado com 30 mm de diâmetro externo e 20 mm de diâmetro interno Beer et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Contato Profª Ariane Cardoso Minicurrículo Engenheira Civil UNICAP 2016 Mestre em Engenharia Civil PECUPE 2019 Especialista em Estruturas de Concreto e Fundações INBECUNIP 2021 Professora PoliUPE desde 2020 Email ascpecpolibr