Lista 1 - Análise Matemática 2023-1

LISTA 1 1. Sobre conjuntos Nos pr´oximos exercicios suponha que I, Ω s˜ao conjuntos. 1.1. Exercicios. (1) Suponha que {Ai : i ∈ I} ´e uma familia de conjuntos e que Ai ⊂ Ω para todo i. Mostre que (a) (∩i∈IAi)c = ∪i∈IAc i (b) (∪i∈IAi)c = ∩i∈IAc i (2) Suponha que A, B, C s˜ao subconjuntos de Ω. Nos seguintes exercicios, o comple- mentar de un conjunto ´e definido em rela¸c˜ao a Ω. Mostre que (a) A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B. Mais geralmente, se {Ai : i ∈ Ω} ´e uma familia de conjuntos ent˜ao ∩i∈ΩAi ⊂ Aj para todo j ∈ Ω. (b) A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B, (c) A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B, (d) A ⊂ B ⇔ Bc ⊂ Ac, (e) A ∩ A = A, (f) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) (g) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) (3) Suponha que que {Ai : i ∈ I} ´e uma familia de subconjuntos de R, que A, B s˜ao subconjuntos de R e que f : R → R ´e uma fun¸c˜ao. Estude se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras. (a) f(A \ B) ⊃ f(A) \ f(B), (b) f −1(f(A)) ⊃ A. (c) f −1(f(A)) = A?. (d) f −1(∪i∈IAi) = ∪i∈If −1(Ai). (e) f −1(∩i∈IAi) = ∩i∈If −1(Ai). (4) Mostre que Q ´e enumeravel. (5) Mostre que todo n´umero real pode ser aproximado por n´umeros racionais. Em particular, mostre que dado x ∈ R existem n´umeros racionais x1, x2, . . . , xn, . . . tais que | x − xn |≤ 1 n para todo n ∈ N. (6) Suponha que A, B, C s˜ao subconjuntos de R. (a) Prove que sup(A∪B) = max{sup A, sup B} e que que inf(A∪B) = min{inf A, inf B}. (b) Sejam A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} e A · B = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. Se A, B s˜ao limitados superiormente, ent˜ao A+B e A·B s˜ao limitados superiormente.? (c) Se A, B s˜ao limitados superiormente e formados por n´umeros positivos, prove that A · B ´e limitados superiormente. (d) Se A, B s˜ao limitados, mostre que A + B e A · B s˜ao limitados. (e) Se A, B s˜ao limitados, sup(A · B) = sup A · sup B. ? 2. Sobre Sequˆencias Antes, lembremos de alguns conceitos. 1 2 Definition 1. Seja (an)nen uma sequéncia de ntimeros reais. Dizemos que (an)nen Converge para a € R se para todo € > 0 existe Nz € N tal que | an — &@m |< € para todo n,m > Nez. Definition 2. Seja (an)nen wma sequéncia de ntimeros reais. Dizemos que (%n)nen € uma sequéncia de Cauchy, se para todo « > 0 existe N. € N tal que | tn — Xm |< € para todo nem > Nz. Definition 3. Seja (tn)nen uma sequéncia de ntimeros reais. Dizemos que ({n)nen € (1) limitada superiormente, se existe L > 0 tal que x, < L para todon EN, (2) limitada inferiormente, se existe L > 0 tal que L < x» para todon EN, (3) limitada, se existe L > 0 tal que | a |< L para todoneN, (4) crescente se tp, <%n41 para todon EN, (5) decrescente se 2n > Ln41 para todon EN, (6) monotona se é crescente ou decrescente, (7) estritamente crescente se %n41 > Xn para todon EN, (8) estritamente decrescente se Up > Ln41 para todon EN. Definition 4. Sejam (an)nen € (Yn)nen sequéncias de ntimeros reais. Dizemos que (Yn)nen é uma subsequéncia de (an)nen se existen ntiimeros naturais ny < no <...np... tais que Yj = %n, para todo j © N. Equivalentemente, (Yn)nen € uma subsequéncia de (an)nen $e existe uma fungao estritamente crescente f : N++ N tal que y; = x53) para todo j7 EN. 2.1. Exercicios. (1) Estude o limite lim,_,.. a” nos casos a > 1,a=1eaé (0,1). (2) Suponha que L € (0,1) e que 0 < a, < Lay_1 para todo n € N. Mostre que limp—sco An = O. (3) Suponha que (ay), 6 uma sequéncia de ntiimeros reais positivos e que limn+o0 ait = 1. Mostre que se 0 < 1 < 1 entao lim,_5., a, = 0 e que lim,_,. a, = 00 sel > 1. Estude o caso / = 1. (4) Prove, usando a definigéo de sequéncia convergente, que limy_+oo gat = 2 e que liMn soo $2rt5 = §. (1) Mostre que se (a)nen € convergente, entao (%n)nen 6 uma sequéncia de Cauchy. (2) Suponha que (%p)nen € convergente em R. Mostre que (%,)nen nao pode ser con- vergente a mais de um numero. (3) Suponha que (%n)nen 6 convergente em R. Mostre que (%n)nen 6 limitada. (4) Se (tn)n € limitada, entao (ap), 6 convergente. ? (5) Prove que se (%n)n é limitada superiormente e crescente, entao (%)n 6 convergente. (6) Suponha (2,)nen 6 uma sequéncia convergente a um ponto x € Re que f: NN é uma fungao estritamente crescente (f(s) < f(t) se s < t). Mostre que a sequéncia (Yn)nen definida por Yn = x fim) 6 convergente a x. (7) Estudar as seguintes afirmagoes. (a) Toda sequéncia limitada e convergente. (b) Uma sequéncia monotona crescente de numeros reais nao pode ser convergente. (c) Toda sequéncia tem uma subsequéncia convergente. (8) Achar uma sequéncia limitada com trés subsequéncias convergentes a ntiimeros difer- entes. (9) Achar uma sequéncia (b,,), tal que limyp—yoo ben € limn—+oo ban4i existem e limn-+50 ban F limn—oo bon+1- (10) Se a, < by para todo n € Ne limn-+o0 by = 0, entdo limyp+0 Gn, =0? (11) Achar uma sequéncia (ay), que seja estritamente crescente tal que limp. An existe. (12) Suponha que a, = a para todo n € N. Mostre que limy_..5 dn = Q. (13) Suponha que limyo0 dn = a. Mostre que limn—oo dan41 = Q. (14) Suponha que limy-o0 dn = a. Mostre que limnoo dan = @. 3 (15) Suponha que limn→∞ an = α. Mostre que limn→∞ a4n+1 = α. (16) Suponha que limn→∞ an = α ∈ R. Mostre que limn→∞ an+p = α para todo p ∈ N. (17) Suponha que limn→∞ an = α e que n1 < n2 < n3 . . . < nk < nk+1 < . . . s˜ao n´umeros naturais. Mostre que limk→∞ ank = α. (18) Suponha que (an)n∈N ´e uma sequˆencia em R que converge a α ∈ R. Mostre que toda sub-sequˆencia de (an)n∈N converge a α.