Lista 5 - Análise Matemática - 2023-1

LISTA 5 Exercicios Nos proximos exercicios, f : J] C Rt R é uma fungao e J é um intervalo conexo, ou seja, J é um intervalo da forma (c,d), [c, d], [c,d) ou (c,d], podendo ser c = —co ed = ow. 1. FUNGOES CONTINUAS (1) Se f(-) é continua em zo € I, entao f(-) é limitada numa vizinhanga de xo, ou seja, existe 6>0eM >0 tal que | f(x) |< M para todo x € (ap — 6,29 + 0). (2) Se f(-) é continua em xv € Ie f(x) > 0 para todo x > xp entao f(x) > 0. (3) Se f(-) é continua em xp € Ie f(x) > 0 para todo x > xp entao f(x) > 0. ? (4) Se f(-) 6 continua em a € Ie f(x) < 0 para todo x < 2p entao f(a) < 0. Se f(-) é continua em 2% € I e f(x) < 0 para todo x < a, entao f(x) < 0. (5) Suponha que f(-) 6 continua em x € I, que f(ap +h) > 0 para todo h > Ve que f(apt+h) <0 para todo h < 0. Mostre que f(a) = 0. (6) Suponha que f(-) é continua em xp € I e que f(ao) > 0. Mostre que existe d > 0 tal que f(a) > £(@0) para todo x € (ap — 6, % + 5). (7) Suponha que f(-) é continua em xo € I, que a € (0,1) e que f(a) > 0. Mostre que existe 6 >0 tal que f(x) > f(ao)a para todo x € (a — 4,29 + 4). (8) Suponha que I = [a,b], que f(a) < f(b) e que f(-) é continua em I = [a,b]. Estude as seguintes afirmagoes (de uma exemplo se a afirmacaéo é falsa e apresente uma demonstracao se é verdadeira): (a) Para todo a € (f(a), f(b)) existe € € (a,b) tal que f(€) =a, (b) [f(@), f)] = f(a), (c) [Fla), F(O)] < f(a, 8). (d) O conjunto f([a, b]) é um intervalo fechado (ou seja, da forma |[c, d]), (e) Existem pontos x1, 22 € [a,b] tais que [f(x1), f(x2)] = f({a, 4]), (9) Suponha que I = (a,b) e que f(-) é continua. Estude as afirmacoes: (a) f((a,b)) é um intervalo da forma (c, d). (b) f((a,b)) é um intervalo da forma [c, d]. (c) f((a,b)) é um intervalo da forma (c, d] ou [c, d). (d) f((a,b)) é um da forma (c,d), [c,d], [c,d) ou (c,d], podendo ser c = —co ed =n, 2. FUNCGOES DIFERENCIAVEIS (1) Se f’(xo) existe e f(@oth)- Feo) > 0 para todo h > 0, mostre que f’(x9) > 0. (2) Se f’(x) =0 para todo x € I, entao f(-) é uma fungao constante. (3) Se f(-) 6 uma fungio de classe C” e f(x) = 0 para todo x € I, entao f(-) é um polindmio de graun—1. ? (4) Seja n € N. Estude a diferenciabilidade da funcdéo f : R +> R dada por f(z) = x” sin(4) para x #0 e f(0) =0. (5) Dizemos que f(-) é localmente Lipschitz se para todo xz € I existe 6 > 0 e Lz,5 > 0 tal que | f(y) — f(z) |S Las | y— 2 | para todo y, z € (x — 6,446). Estude se as seguintes fungées sao localmente Lipschitz. (a) f : RR dada por f(x) = 2” sendon EN (b) f : (0,00) 4 R dada por f(#) = x* sendo n EN. (c) f : (0,00) + R dada por f(z) = 4 sendo n EN. 1 2 (d) De um exemplo de uma funcgao localmente Lipschitz, que nao seja Lipschitz. (6) Suponha que f(-) é de classe O?, que f’(zo) =0e f” (xo) 4 0. Mostre que zp 6 um ponto de maximo local ou minimo local. (7) Suponha que f,g : [a,b] + R sao fungdes continuas, que c € (a,b), que f’(c) e g’(c) existem e que g'(c) £0. Se f(c) = 0, mostre que lim,_,. oe = — ou limz_s¢ oe =0. (8) Suponha I = (a,b) e que existe L > 0 ea > 1 tal que | f(y) — f(z) |< L| «—y |® para todo y, z € I. Mostre que f(-) é uma funcao constante. (9) Suponha J = (a,b) e que para cada x € I existem 6, > 0, Lz > 0e az > 1 tal que | f(y) — f(z) |< Le | x —y |% para todo y,z € (x — 6,2 +6). A fungao f(-) é constante. ? (10) Suponha que f(-) é de classe C1 e que f’(xo) = 0. Se existe 5 > 0 tal que f’(x) < 0 para x E (x9 — 6,20) e f'(x) > 0 para x € (29,6 + 2), mostre que xo é ponto de minimo local. Estabeleca e mostre um resultado similar para o caso de maximo local. (11) Se f : [0,a] C RH R possui derivada lateral direita am “a” e “a” é ponto de maximo local, entao a f(a) < 0. Mostre um resultado similar para caso de minimo local. (12) Se lim: +. f’(t) = L, mostre que lim: +.. ft) =L. (13) Suponha que existem a,b € (0,00) tais que f’(x) > @ para todo x > b. Mostre que limy_.o. f(t) = oo. Enuncie e prove um resultado similar de modo que lim;_,.. f(t) = —oo.