P1 - Análise Matemática 2021-2

Prova 1 1. Usando a definicao de funcao diferencidvel, prove que a funcao f : R® — R dada por f(x,y, 2) = xy? é diferenciavel em (x,y, z) € R® (3 pontos). Usando a definicao de derivada direcional, calcule (er, y, z). (1 pontos). 2. Prove que a funcao f : R? > R dada por f(x,y) = Sige é continua em (1,1) (3 pontos). Estude o limite limy 2 ,y)40 f(x, y) (1 ponto). 3. Suponha que K,S C R sao compactos. Prove que 0 conjunto K+ S = {k?+s:ke K,s € S} 6 compacto. (Hint. Use sequéncias) (2 pontos). 4. Suponha que f : B,[0,R?] > R é tal que f(x) = 0 para todo (a, y) tal que |] (x,y) |= x? + y? = 1. Prove que para todo vetor v € R? \ {0} existe (2, y) € Bi(0,R?) tal que SF (er, y) = 0. (Hint. Veja a prova do teorema do valor médio) (2 pontos). OBS: 1. Permanecer na sala até o final da prova, de modo contrario, sera penalizado com nota zero. [2 horas.] 2. No final da prova serao escolhidos 5 alunos. Cada aluno tera que explicar as respostas da sua prova. Se os alunos nao conseguem explicar as suas respostas, serao penalizados como nota zero. Se a partir do anterior existem indicios de fraude generalizada, a prova sera cancelada. 3. Como nas aulas, se x € R”, usamos a notacéo x = (#1, 22,...,2n). Em R", use a métrica || x — y |= />2;_) (vi — yi)?. 4. Lembre que Bi[0,R*] = {(a,y): Ve? +y? <1, B(0,R*) = {(,y): Va? +y? < 1}. 5. Escolha um exercicio dentre os problemas 3 e 4. 1