Lista 3 - Análise Matemática 2023-1

LISTA 3 (1) Suponha que a sequéncia (S7"_, Zi)nen 6 convergente. Mostre que (a) limp +o 2; = 0, (b) para todo e > 0 existe N- € N tal que | 7; |< € para todo m > Ne, (c) para todo ¢ > 0 existe N. € N tal que | )Uj"y_ vi |< € para todo m > Nz, (d) se existe p € N tal que 2; > 0 para todo i > Dp, entaéo para todo € > 0 existe N- € N tal que D7" y,,_ | vi |< € para todo m > Ne. (2) Suponha que (>7"_, 2i)nen 6 uma série tal que para todo € > 0 existe N- € N tal que Vien, | ti |< € para todo m > N-. Mostre que (37j_; Zi)nen € convergente. (3) Suponha que (x;)ien € (Yi)ieN SAO Convergentes para a. Prove que (a) para todo € > 0 existe N. € N tal que | 2; — y; |< € para todo i > Ne, (b) para todo < > 0 existe N- € N tal que | x2 — yj2 |< € para todo i > Ne, (c) se f: Nw N é estritamente crescente, entéo para todo € > 0 existe N. € N tal que | © F(a) — Yea) |S € para todo i > Nz. (4) Suponha que (2;);cen 6 uma sequéncia tal que que as sequéncias (X2;);cen € (@2j41)icn SAO convergentes para a € R. Prove que (2;)ien Converge para a. (5) De um exemplo de uma sequéncia (x;)ien que tenha “n” subsequéncias convergentes para um mesmo valor a € R, mas que nao seja convergente para a. (6) De um exemplo de uma sequéncia (2;);en que tenha uma quantidade nao finita de sub- sequéncias convergente para um mesmo valor a € R, mas que nao seja convergente para Qa. (7) (Tente usar as dicas no final da lista) Suponha que f : R ++ R é uma contragao e que xo ER. (a) Mostre que a série (37, (f**! (xo) — f’(@0))nen € convergente, (b) mostre que a sequéncia (f"(2o0))nen € limitada, (c) mostre que a sequéncia (f"(2)) é convergente. (d) mostre que se (f"(xo)) é convergente para a, entao f(a) =a. (e) Do anterior, se yo € R entaéo a sequéncia (f”(Yyo))nen Converge para algum { € R. Prove que a = £. (8) Suponha que a série (S77, Zi)nen 6 convergente e que z, > 0 para todo nEN. Se f(-) é uma contracao, f(x) > 0 para todo x € Re f(0) = 0, mostre que }77°, f (xi) é convergente. (9) Suponha que f : [a,b] > R é crescente. Mostre que (a) f(-) é limitada superiormente e que sup{f(x) : « € [a,b]} = f(b), (b) f(-) é limitada inferiormente e que inf{f(x) : x € [a, b]} = f(a), (c) f(-) é limitada. (10) Suponha que f : [a,b] + R é crescente, que (2;)ien 6 monotona e formada por elementos de [a,b]. Prove que (f(x;))ien € convergente. Se (2;)jen 3 @ € [a,b], entao (f(x;))ien O f(a). ? (11) Suponha que f,g : R+> R sao crescentes. (a) f +4 é crescente? (b) fg é crescente? (c) fog é crescente? (d) a fungdo h(aw) = max{f (x), g(x)} é crescente? 1 2 0.1. Dicas. (a) Lembre que uma série 6 uma sequéncia da forma (37}_, @i)nen e que usualmente é denotada Co na forma )>;~) a. . (b) Lembre que uma série da forma (}7;_, @")nen 6 convergente se a € (0, 1). (b) Lembre que uma série (> ;"_, ai) nen 6 convergente se a série (Y>i_, | ai |)nen 6 convergente.