Aula 2 - Cargas Combinadas 2021-2

4- 1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – UERJ CAMPUS REGIONAL DE RESENDE – FAT Resistência dos Materiais II e XI ■ CARGAS COMBINADAS NOTA: Esta apostila é baseada no conteúdo do livro-texto do curso: Resistência dos Materiais 7° edição – R.C.Hibbeler Mecânica dos Materiais 7° edição – Beer Jhonston b. Distância entre o eixo que passa pelo centroide e a linha neutra. A distância y0 do eixo que passa pelo centroide para a linha neutra da seção é obtida fazendo σx = 0 na Eq. (11.28) e resolvendo para y0: 0 = P/A - My0/I y0 = (P/A)(I/M) = (6,63 x 10^6 N/m^2)(1,018 x 10^-9 m^4/12 N·m) y0 = 0,56 mm Para σx^N > σx^M DIAGR. DE TENSAO σx = σx^N + σx^M σx = (σx)centrada + (σx)flexão σx = P/A - My/I Ou se σx^N < σx^M Exemplo 11.4. Uma corrente de elos abertos é obtida quando se dobram barras de aço de baixo teor de carbono, de 12 mm de diâmetro, na forma mostrada (Fig. 11.29). Sabendo que a corrente suporta uma força de 750 N, determine (a) as tensões máximas de tração e compressão na parte reta de um elo e (b) a distância entre o eixo que passa pelo centroide e a linha neutra de uma seção transversal. P = 750 N M = Pd = (750 N)(0,016 m) = 12 N·m A = πc^2 = π(6 x 10^-3 m)^2 = 1,131 x 10^-4 m^2 σ0^N = P/A = 750 N/1,131 x 10^-4 m^2 = 6,63 MPa I = 1/4πc^4 = 1/4π(6 x 10^-3 m)^4 = 1,018 x 10^-9 m^4 σm^M = Mc/I = (12 N·m)(6 x 10^-3 m)/1,018 x 10^-9 m^4 = 70,73 MPa σt = σ0 + σm = 6,63 + 70,73 = 77,36 MPa σc = σ0 - σm = 6,63 - 70,73 = -64,10 MPa ■ A relação obtida mostra que a distribuição de tensão ao longo da seção é linear, mas não uniforme; ■ Dependendo dos valores das tesões obtidas, elas podem ter o mesmo sinal ao longo da seção ■ A posição da linha neutra (LN), pode estar fora da seção ou a uma distancia do centroide ao longo da seção; sendo PROBLEMA RESOLVIDO 11.5 Sabendo que, para a peça de ferro fundido mostrada, as tensões admissíveis são 30 MPa na tração e 120 MPa na compressão, determine a maior força P que pode ser aplicada à peça. σ₀ = \frac{P}{A} = \frac{P}{3 \times 10^{-3}} = 333P (Compressão) \sigma_A = \frac{P}{A} + \frac{M_C A}{I} = -333P + 710P = +377P (Tração) \sigma_B = -333P - 1.226P = -1.559P (Compressão) \sigma_A = 377P = 30 MPa \sigma_B = -1.559P = -120 MPa P = 79,6 kN P = 77,0 kN \text{A intensidade da maior força P que pode ser aplicada sem ultrapassar nenhuma das tensões admissíveis é o menor dos dois valores que encontramos.} Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento. Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C. Exemplo 8.1 Solução:    ,3 75 MPa 40 100 15.000    A P  Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15.000 N agindo no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo centroide ou principal. A tensão máxima é      ,25 MPa 11 12 40 100 1 .000 50 75 3 máx    I Mc  Elementos de material em B e C estão submetidos somente a tensão normal ou tensão uniaxial. Por consequência, MPa (compressão) (Resposta) 15 MPa (tração) (Resposta) 5,7   C B     33 3, mm 100 15 75    x x x A localização da linha de tensão nula pode ser determinada por cálculo proporcional de triângulos: FLEXÃO ASSIMÉTRICA ■ Momentos não atuam em um plano de simetria da barra ■ Como o plano vertical não é um plano de simetria, não podemos esperar que a barra venha a flexionar nesse plano ou que a linha neutra da seção coincida com a direção do momento. ■ O princípio da superposição pode ser usado para determinar tensões no caso mais geral de flexão assimétrica. Considere primeiro uma barra com um plano vertical de simetria, que está sub- metida aos momentos fletores M e Mʹ que atuam em um plano formando um ângulo θ com o plano vertical. O vetor momento M representando os esforços que atuam em uma dada seção transversal formará o mesmo ângulo θ com o eixo z horizontal. Ao decompormos o vetor M nas direções z e y, nas componentes Mz e My, respectivamente, escrevemos \sigma_x = -\frac{M_z y}{I_z} + \frac{M_y z}{I_y} Se considerarmos a equação anterior igual a zero: z Exemplo 11.5. Um momento de 180 N · m é aplicado a uma viga de madeira, de seção transversal retangular de 38 × 90 mm, em um plano formando um ângulo de 30° com a vertical (Fig. 11.43). Determine (a) a tensão máxima na viga e (b) o ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal. I_z = \frac{bh^3}{12} I_y = \frac{hb^3}{12} M_z = (180 N · m) \cos 30° = \underline{156 N · m} M_y = (180 N · m) \sen 30° = \underline{90 N · m} \sigma = -\frac{M_z\underline{y}}{I_z} + \frac{M_y\underline{z}}{I_y} Calculamos também os momentos de inércia da seção transversal em relação aos eixos ze y: I_z = \frac{1}{12} (0,038 \ m)(0,090 \ m)^3 = 2,31 \times 10^{-6} \ m^4 I_y = \frac{1}{12} (0,090 \ m)(0,038 \ m)^3 = 0,41 \times 10^{-6} \ m^4 O ângulo que a LN forma com o plano horizontal: Caso geral de carregamento axial excêntrico Fazendo σx = 0 , obtemos a equação de uma linha reta que representa a li nha neutra da seção: O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40 kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD. Exemplo 8.3 Solução:    125 kPa 4,0 8,0 40    A P  Para 8 kN, a tensão máxima é        kPa 375 4,0 8,0 2,0 8 3 12 1 máx    x x x I M c  Para a distribuição uniforme da tensão normal temos Para 16 kN, a tensão máxima é        kPa 375 8,0 4,0 4,0 16 3 12 1 máx    y y x I M c  125 kPa 375 375 125 875 kPa 375 375 125 125 kPa 375 375 125 625 kPa 375 375 125                        D C B A     Considerando que a tensão de tração é positiva, temos A linha de tensão nula pode ser localizada ao longo de cada lado por triângulos proporcionais     ,0133 m 125 625 8,0 ,0 0667 m e 125 625 4,0         h h e e e e Vasos de pressão de paredes finas ■ Paredes finas refere-se a um vaso para o qual a relação interno-espessura da parede tem valor igual ou superior a 10.  / 10 t r tensão normal na direção longitudinal 2 normal na direção circunferencial tensão 2 1 t pr t pr     Para vasos cilíndricos submetido a tensões normais, há tensão normal na direção circunferencial ou do aro e no sentido longitudinal ou axial. O tanque tem raio interno de 600 mm e uma espessura de 12 mm. Está cheio até em cima com água cujo peso específico é γágua = 10 kN/m3. Se o tanque for feito de aço com peso específico de γaço = 78 kN/m3, determine o estado de tensão no ponto A. A parte superior do tanque é aberta. Exemplo 8.2 Solução:   ,3 56 kN 1 .1 000 600 .1 000 612 78 2 2 aço aço aço                        V W A pressão do tanque no nível A é .    10 kPa 1 10 água    z p  O peso do tanque é Para tensão circunferencial e longitudinal, temos           77 9, kPa (Resposta) 56 ,3 500 kPa (Resposta) 10 2 .1 000 600 2 .1 000 612 aço aço 2 .1 000 12 .1 000 600 1           A W t pr