Aula 42 - Flambagem de Colunas 2021-2

4- 1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – UERJ CAMPUS REGIONAL DE RESENDE – FAT Resistência dos Materiais II e XI ■ FLAMBAGEM DE COLUNAS NOTA: Esta apostila é baseada no conteúdo do livro-texto do curso: Resistência dos Materiais 7° edição – R.C.Hibbeler Mecânica dos Materiais 7° edição – Beer Jhonston   2 2 2 2 / r L E σ L EI P cr cr     Pcr = carga crítica ou carga axial σcr = tensão crítica E = módulo de elasticidade para o material I = menor momento de inércia para a área da seção transversal L = comprimento da coluna sem apoio r = menor raio de giração da coluna L/r = índice de esbeltez ■ Portanto, temos,     2 2 2 2 / r KL E KL EI P cr cr      KL/r = índice de esbeltez efetivo Le  KL Projeto de colunas para cargas concêntricas ■ Para levar em conta o comportamento de colunas de comprimentos diferentes, os códigos e manuais de projeto especificam várias fórmulas que se ajustarão melhor aos dados que se encontram dentro de cada uma das faixas de colunas curtas, intermediárias e longas. As fórmulas empíricas que expressam a tensão e o índice de esbeltez, e passaram por um refino processo de melhora a um século. A figura mostra fórmulas empíricas típicas usadas para aproximas dados de ensaios 2. Deve ser introduzido um coeficiente de segurança para obtermos as fórmulas finais de projeto do AISC. O coeficiente de segurança determinado por essas especificações é 1,67. Portanto, \[ \sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_{\text{cr}}}{1,67} \] (16.26) Observamos que, ao usarmos as Eqs. (16.22), (16.24), (16.25) e (16.26), podemos determinar a tensão admissível axial para uma dada classe de aço e um dado valor de L/r. Deve-se primeiramente calcular o valor de L/r na interseção entre as duas equações usando a Eq. (16.25). Para valores de L/r menores do que aquele dado pela Eq. (16.25), usamos as Eqs. (16.24) e (16.26) para determinarmos \( \sigma_{\text{adm}} \), e para valores maiores do que aquele dado pela Eq. (16.25), usamos as Eqs. (16.24) e (16.26) para determinarmos \( \sigma_{\text{adm}} \). A Figura 16.21 proporciona uma visão geral sobre como \( \sigma_{\text{adm}} \) varia com L/r para diferentes classes de aço estrutural. Exemplo 16.2. Determine o maior comprimento L para o qual o elemento de compressão AB, que é um perfil de aço laminado S100 × 11,5, possa suportar com segurança a força centrada mostrada (Fig. 16.22). Considere que \( \sigma_e = 250 \text{ MPa} \) e \( E = 200 \text{ GPa} \). Do Apêndice B, temos para um perfil I100 × 11,5 \[ A = 1,460 \text{ mm}^2 \quad r_x = 41,6 \text{ mm} \quad r_y = 14,8 \text{ mm} \] Se a força de 60 kN deve ser suportada com segurança, devemos ter \[ \sigma_{\text{adm}} = \frac{P}{A} = \frac{60 \times 10^3 \text{ N}}{1,460 \times 10^{-6} \text{ m}^2} = 41,1 \times 10^6 \text{ Pa} \] Devemos calcular a tensão crítica \( \sigma_{\text{cr}} \). Considerando que L/r é maior que o coeficiente esbeltez calculado pela Eq. (16.25), usamos a Eq. (16.24) com (16.23) e escrevemos \[ \sigma_{\text{cr}} = 0,877 \sigma_{e} = 0,877 \frac{\pi^2 E}{(L/r)^2} = 0,877 \frac{\pi^2 (200 \times 10^9\text{ Pa})}{(L/r)^2} = \frac{1,731 \times 10^{12} \text{ Pa}}{(L/r)^2} \] Usando essa expressão na Eq. (16.26) para \( \sigma_{\text{adm}} \), escrevemos \[ \sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_{\text{cr}}}{1,67} = \frac{1,037 \times 10^{12} \text{ Pa}}{(L/r)^2} = 41,1 \times 10^6 \text{ Pa} \] Igualando essa expressão ao valor requerido para \( \sigma_{\text{adm}} \), escrevemos \[ \frac{1,037 \times 10^{12} \text{ Pa}}{(L/r)^2} = 41,1 \times 10^6 \text{ Pa} \quad \rightarrow \quad L/r = 158,8 \] O coeficiente de esbeltez dado pela Eq. (16.25) é \[ \frac{L}{r} = 4,71 \sqrt{\frac{200 \times 10^9}{250 \times 10^6}} = 133,2 \] Nossa suposição de que L/r era maior que esse coeficiente de esbeltez estava correta. Ao escolhermos o menor entre os dois raios de giração, temos \[ \frac{L}{r_y} = \frac{L}{14,6 \times 10^{-3} \text{ m}} = 158,8 \quad \rightarrow \quad L = 2,32 \text{ m} \] ALUMÍNIO Existem muitas ligas de alumínio, As especificações da Aluminum Association fornecem duas fórmulas para a tensão admissível em colunas submetidas a carregamento centrado. A variação da tensão e o índice de esbeltez esta apresentado na figura. MADEIRA Para madeira, as especificações da American Forest & Paper Association fornecem uma única equação para obter a tensão admissível para colunas curtas, intermediarias e longas submetidas a carregamento centrado. Exemplo 16.3. Sabendo que a coluna AB (Fig. 16.25) tem um comprimento de flambagem de 4,2 m e que ela deve suportar com segurança uma força de 142 kN, projete uma coluna usando uma seção transversal quadrada composta de laminados colados. O módulo de elasticidade ajustado para a madeira é E = 5,52 GPa, e a tensão admissível ajustada à compressão paralela às fibras da madeira é σC = 7,3 MPa. Observamos que c = 0,90 para colunas de madeira constituídas de laminados colados. Devemos calcular o valor de σCE. Usando a Eq. (16.33), escrevemos σCE = \frac{0,822E}{(L/d)^2} = \frac{0,822(5.520 MN/m^2)}{(4,2 m/d)^2} = 257,2 d^2 MN/mm^2 Usamos então a Eq. (16.32) para expressar o coeficiente de estabilidade da coluna em termos de d, com (σCE/σC) = (257,2 d^2/7,3) = 35,24 d^2, C_P = \frac{1 + \frac{(σCE/σC)}{2c}}{c} - \sqrt{\frac{1 + \frac{(σCE/σC)}{2c}}{c} - \frac{σCE/σC}{c}} = \frac{1 + 35,24 d^2}{2(0,90)} - \sqrt{\frac{1 + 35,24 d^2}{2(0,9)}} Como a coluna deve suportar 142 kN, que é igual a σCd^2, usamos a Eq. (16.31) para escrever σadm = \frac{0,142 MN}{d^2} = σCCP = 7,3 CP Resolvendo essa equação para CP e substituindo na equação anterior o valor obtido, escrevemos \frac{19,5 \times 10^{-3}}{d^2} = \frac{1 + 3,5 d^2}{2(0,90)} - \sqrt{\left[\frac{1 + 3,5 d^2}{2(0,90)}\right]^2 - \frac{3,5 d^2}{0,90}} Resolvendo para d por tentativa e erro, obtemos d = 0,163 m. Principalmente com relação as cargas excêntrica. PROBLEMA RESOLVIDO 16.2 A coluna AB consiste em um perfil de aço laminado W250 x 58 feito com uma classe de aço para a qual σe = 250 MPa e E = 200 GPa. Determine a força centrada P admissível (a) se o comprimento de flambagem da coluna for de 7,2 m em todas as direções e (b) se houver contraventamento para impedir o movimento do ponto médio C no plano xz. (Considere que o movimento do ponto C no plano yz não seja afetado pelo contraventamento.) Trecho AB σcr = [0,658^(σy/σe)]σE Trecho BC σe = \frac{π^2E}{(L/r)^2} σcr = 0,877σe \frac{L}{r} = 4,71\sqrt{\frac{E}{σE}} σadm = \frac{σcr}{1,67} Primeiro calculamos o coeficiente de esbeltez por meio da Eq. (16.25) corres-pondente à tensão de escoamento dada σE = 250 MPa. L/r = 4,71 \sqrt{\frac{200 \times 10^3}{250}} = 133,2 a. Comprimento de flambagem = 7,2 m. Como ry < rx, a flambagem ocorreirá no plano xz. Para L = 7,2 m e r = ry = 50,3 mm, o coeficiente de esbeltez é \frac{L}{r_y} = \frac{720 \text{ cm}}{5,03 \text{ cm}} = 143,1 Como L/r > 133,2, usamos a Eq. (16.23) na Eq. (16.24) para determinarmos σcr σcr = 0,877 \sigma_e = 0,877 \frac{\pi^2 E}{(L/r)^2} = 0,877 \frac{\pi^2 (200 \times 10^3 \text{ MPa})}{(143,1)^2} = 84,5 \text{ MPa} A tensão admissível, determinada com base na Eq. (16.26), e Padm são σadm = \frac{σcr}{1,67} = \frac{84,5 \text{ MPa}}{1,67} = 50,6 \text{ MPa} Padm = σadm A = (50,6 \text{ MN/m}^2) (7,420 \times 10^{-6} \text{ m}^2) = 0,376 \text{ MN} b. Contraventamento no ponto médio C. Como o contraventamento impede o movimento do ponto C no plano xz, mas não no plano yz, devemos calcular o coeficiente de esbeltez correspondente à flambagem em cada plano e determinar qual dos valores é maior. Plano xz: Comprimento de flambagem = 3,6 m = 3.600 mm, r = ry = 50,3 mm. L/r = (3.600 \text{ mm})/(50,3 \text{ mm}) = 71,6 Plano yz: Comprimento de flambagem = 7,2 m = 7.200 mm, r = rx = 108 mm. L/r = (7.200 \text{ mm})/(108 \text{ mm}) = 66,7 Como um coeficiente de esbeltez maior corresponde a uma força admissível menor, escolhemos L/r = 71,6. Uma vez que esse valor é menor que L/r = 133,2, usamos as Eqs. (16.23) e (16.22) para determinarmos σCR σe = \frac{\pi^2 E}{(L/r)^2} = \frac{\pi^2 (200 \times 10^3 \text{ MN/m}^2)}{(71,6)^2} = 385,0 \text{ MN/m}^2 σcr = [0,658(\sigma_e/\sigma_y)] F_y = [0,658(250 \text{ MPa}/385 \text{ MPa})] 250 = 190,5 \text{ MPa} Agora calculamos a tensão admissível usando a Eq. (16.26) e a carga admissível. σadm = \frac{σcr}{1,67} = \frac{190,5 \text{ MPa}}{1,67} = 114,1 \text{ MPa} Padm = σadm A = (114,1 \text{ MN/m}^2)(7,420 \times 10^{-6} \text{ m}^2) = 0,846 \text{ MN} PROBLEMA RESOLVIDO 16.3 Usando a liga de alumínio 2014-T6, determine a barra de menor diâmetro que pode ser utilizada para suportar a força centrada P = 60 kN se (a) L = 750 mm e (b) L = 300 mm. Liga 2014-T6: L/r < 55: σadm = [30,7 - 0,23(L/r)] \text{ ksi } \quad (16.29) = [212 - 1,585(L/r)] \text{ MPa } \quad (16.29') L/r \geq 55: σadm = \frac{54.000 \text{ ksi}}{(L/r)^2} = \frac{372 \times 10^3 \text{ MPa}}{(L/r)^2} \quad (16.30) Para a seção transversal de uma barra circular cheia, temos I = \frac{\pi}{4}c^4 \quad A = \pi c^2 \quad r = \sqrt{\frac{I}{A}} = \frac{\sqrt{\pi c^4/4}}{\pi c^2} = \frac{c}{2} a. Comprimento de 750 mm. Como o diâmetro da barra não é conhecido, deve-se adotar um valor de L/r; consideramos que L/r > 55 e usamos a Eq. (16.30). Para a força centrada P, temos σ = P/A e escrevemos \frac{P}{A} = σadm = \frac{372 \times 10^3 \text{ MPa}}{(L/r)^2} \frac{60 \times 10^3 \text{ N}}{\pi c^2} = \frac{372 \times 10^9 \text{ Pa}}{(0,750 \text{ m})/\frac{c}{2}} c^4 = 115,5 \times 10^{-9} \text{ m}^4 \quad c = 18,44 \text{ mm} Para c = 18,44 mm, o coeficiente de esbeltez é L/r = L/c/2 = 750 mm/(18,44 mm)/2 = 81,3 > 55 Nossa suposição está correta, e, para L = 750 mm, o diâmetro necessário é d = 2c = 2(18,44 mm) d = 36,9 mm b. Comprimento de 300 mm. Novamente consideramos que L/r > 55. Usando a Eq. (16.30), e seguindo o procedimento adotado na parte a, encontramos c = 11,66 mm e L/r = 51,5. Como L/r é menor que 55, nossa suposição está errada; consideramos agora que L/r < 55 e usamos a Eq. (16.29') para o projeto dessa barra. P/A = σ adm = 212 - 1,585 (L/r) MPa 60 x 10³ N/πc² = 212 - 1,585 (0,3 m/c/2) 10⁶ Pa c = 12,00 mm Para c = 12,00 mm, o coeficiente de esbeltez é L/r = L/c/2 = 300 mm/(12,00 mm)/2 = 50 Nossa segunda suposição de que L/r < 55 está correta. Para L = 300 mm, o diâmetro necessário é d = 2c = 2(12,00 mm) d = 24,0 mm P/A = σ adm = 372 x 10³ MPa/(L/r)² 60x10³ N/πc² = 372x10⁹ Pa/(0,300m/c/2) c = 11,66 mm c Projeto de colunas para cargas excêntricas ■ O momento fletor M = Pe causado pela carga excêntrica deve ser levado em conta no projeto da coluna. ■ Tensão de compressão máxima é ■ Para um projeto conservador, ■ Quando projetamos uma coluna submetida a carga excêntrica, requer uma área para suportar a carga P I Mc A P máx    adm máx     adm a a P A   σa = tensão admissível para carga axial A coluna de madeira na figura ao lado é composta por duas tábuas pregadas de modo que a seção transversal tem as dimensões mostradas na figura. Se a coluna estiver engastada na base e livre no topo, determine a carga excêntrica P que pode ser suportada. Exemplo 13.14   ,2 324 MPa 40 718 .3 / d KL 718 .3 2 2 adm     Com K = 2,   40 60 .1 200 2 d KL         ,3 35 kN (Resposta) P 12 600 120 1 P 120 60 P 324 ,2 I Mc A P 3 adm       Visto que 26 < KL/d < 50, a tensão axial admissível é Com σadm = σmáx, Solução: