Aula 3 - Deflexão em Vigas e Eixos 2021-2

Tensão admissível. Para um coeficiente de segurança de 3,00 e um limite de tensão de 414 MPa, temos σ_adm = σ_L / C.S. = 414 MPa / 3,00 = 138 MPa Como σ_adm < σ_ε, o tubo permanece no regime elástico e podemos aplicar os resultados da Seção 11.4. a. Momento fletor. Com c = 1/2 (0,125 m) = 0,0625 m, escrevemos σ_adm = Mc/I M = I/c σ_adm = 5,3 × 10^6 m^4 (138 × 10^3 kN/m^2) / 0,0625 m M = 11,7 kN · m b. Raio de curvatura. Lembrando que E = 73 × 10^6 kN/m^2, substituímos esse valor e os valores obtidos para I e M na Eq. (11.21) e encontramos 1/ρ = M/EI = 11,7 kN · m / (73 × 10^6 kN/m^2)(5,3 × 10^−6 m^4) = 0,030 m^−1 ρ = 33,07 m ρ = 33,07 m [Diagram image with various beam and load illustrations.] d^2y/dx^2 = M(x)/EI EI dy/dx = ∫_0^x M(x) dx + C_1 dy/dx = tg θ ≈ θ(x) EI θ(x) = ∫_0^x M(x) dx + C_1 EI y = ∫_0^x [∫_0^x M(x) dx + C_1] dx + C_2 EI y = ∫_0^x dx ∫_0^x M(x) dx + C_1 x + C_2 L = ρ θ Pela Lei de Hooke: ou Deformação na Barra O valor da deformação específica é válido em qualquer lugar , e concluímos que a deformação normal longitudinal ϵx varia linearmente com a distância y da superfície neutra. A deformação específica ϵx atinge seu valor absoluto máximo quando o valor de y é máximo. Chamando de c a maior distancia da superfície neutra ( que corresponde a superfície superior ou inferior da viga) e de ϵm o valor absoluto máximo da deformação, assim temos Substituindo ρ na eq 1 temos: Eq 1 Tensão e deformação σx = Eεx εx = -y/c εm σm = E εm σx = -y/c σm εx = -y/ρ σm = Mc/I σx = -My/I εx/y = -1/ρ εm = c/ρ 1/ρ = εm/c substituindo σm = E εm e σm = Mc/I 1/ρ = σm/Ec = 1/Ec (Mc/I) 1/ρ = M/EI A Curva Elástica ρ = raio de curvatura em um ponto específico M = momento fletor interno na viga no ponto ρ E = módulo de elasticidade do material I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro EI = rigidez à flexão PROBLEMA RESOLVIDO 11.1 O tubo retangular mostrado na figura é um extrudado de uma liga de alumínio para o qual σE = 275 MPa, σL = 414 MPa e E = 73 GPa. Desprezando o efeito dos adoçamentos, determine (a) o momento fletor M para o qual o coeficiente de segurança será de 3,00 e (b) o raio de curvatura correspondente do tubo. 1/ρ = M/E.I σ = M/I.y M = 138(5,3.10^6)/62,5 Momento de inércia. Considerando a área da seção transversal do tubo como a diferença entre os dois retângulos mostrados na figura e usando a fórmula para o momento de inércia de um retângulo, escrevemos I = 1/12 (0,083 m)(0,125 m)^3 - 1/12 (0,070 m)(0,112 m)^3 I = 5,3 x 10^6 m^4 Matematicamente estudando a curva temos que para pequenas deformações . Equação da Linha Elástica Deformação de uma viga sob carregamento transversal CONDIÇÕES DE CONTORNO BORDA LIVRE: Laje em balanço, não existindo nenhuma vinculação de apoio. BORDA APOIADA: Laje apoiada em viga ou parede. Não há deslocamentos verticais. BORDA ENGASTADA: Laje apoiada por vigas de grande rigidez, existindo continuidade. Não há nem deslocamentos verticais nem rotações. y_A = 0 y_B = 0 (a) Viga biapoiada y_A = 0 y_B = 0 (b) Viga biapoiada com balanço y_A = 0 θ_A = 0 (c) Viga em balanço Figura 15.8 Condições de contorno Inclinação e deslocamento por integração ■ Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao longo do comprimento da viga. ■ A inclinação e alteração da relação da viga é ■ Cada integração é usada para resolver todas as constantes de modo a obter uma solução única para um problema particular.       M x dx EI d v V x dx EI d v w x dx EI d v     2 2 3 3 4 4 Inclinação e deslocamento por integração Condições de contorno e continuidade ■ As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento. ■ Esses valores são chamados de condições de contorno. Exemplo 15.1. A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e suporta uma força P na sua extremidade livre A (Fig. 15.9). Determine a equação da linha elástica, a deflexão e a inclinação em A. ΣFy = 0 P + V = 0 V = -P ΣMc = 0 Px + M = 0 M = -Px Integrando em x, obtemos dy/dx = 1/EI(-Px^2/2 + C1 EI dy/dx = -Px M(x) = -Px EI d^2y/dx^2 = -Px 0 = -1/2PL^2 + C1, C1 = 1/2PL^2 θ = 0 θ = A x = L y = 1/EI(-Px^3/6 + C1x + C2 y = 1/EI(-Px^3/6 + 1/2PL^2x + C2 Substituindo C1 temos Integrando novamente em x temos y: Substituindo as condições para o ponto B temos: Substituindo C2 temos: Integrando em x temos : Integrando novamente em x temos y: Observando que y = 0 em ambas as extremidades da viga primeiro x = 0 e y = 0 C2 = 0. x = L e y = 0 0 = -\frac{1}{24} wL^4 + \frac{1}{12} wL^4 + C1L C1 = -\frac{1}{24} wL^3 EI y = -\frac{1}{24} w x^4 + \frac{1}{12} w L x^3 - \frac{1}{24} w L^3 x ou y = \frac{w}{24EI} (-x^4 + 2Lx^3 - L^3 x) Máx\nx = L/2 substit. na equação de y o x = L/2 yc = \frac{w}{24EI} \left( -\frac{L^4}{16} + 2L \frac{L^3}{8} - \frac{L^3 L}{2} \right) = \frac{-5wL^4}{384EI} A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) suporta a carga triangular distribuída. Determine sua deflexão máxima. EI é constante. Exemplo 12.2 Devido à simetria, somente a coordenada x é necessária para a solução, A equação para carga distribuída é . Por consequência, L x w w 2 0  / 2 0 x  L  Solução: Integrando duas vezes, temos Para condição de contorno, 0 192 , 5 2 resulta em ,0 0 e ,0 2 3 0 1        C w L C L x dv dx x v 2 1 3 0 5 0 1 2 0 4 0 0 3 0 2 2 24 60 8 12 4 3 C C x w L x x L w EIv C w L x x L w dx dv EI w L x L x w M dx d v EI              Portanto, w L x w L x x L w EIv 192 5 24 60 3 0 3 0 5 0     Para deflexão máxima em x = L/2, A viga na Figura (a) está sujeita à carga P em sua extremidade. Determine o deslocamento em C. EI é constante. Exemplo 12.4 Devido à carga, 2 coordenadas x serão consideradas, Usando os diagramas de corpo livre, 2 2 1 1 2 Px M P x M     a x a x     2 1 2 e 0 0 2 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 12 4 2 2 0 para C C x P x EIv C x P dx dv EI x P dx EI d v a x            Portanto, Solução: e 4 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 0 para C C x P x EIv C x P dx dv EI Px dx EI d v a x            (\frac{dy}{dx})^{A:B}_{x_1 = 2a} = (\frac{dy}{dx})^{BC}_{x_2 = a} -\frac{P}{4} x_1^2 + \frac{Pa^2}{3} = -\frac{P}{2} x_2^2 + C3 -\frac{P}{4} (2a)^2 + \frac{Pa^2}{3} = -\frac{P}{2} (a)^2 + C3 -\frac{Pa^2}{4} + \frac{Pa^2}{3} + \frac{Pa^2}{2} = C3 C3 = -\frac{Pa^2}{6} C4 = \frac{Pa^3}{3} 0 = -\frac{P}{6} a^3 + C3a + C4 Subst. C3 \frac{P}{6} a^3 + \frac{Pa^3}{6} = C4 C4 = \frac{Pa^3}{3} 3 4 2 3 2 2 1 6 7 0 3 Pa C Pa C C Pa C      a x v a x v x v       2 2 1 1 1 1 ,0 2 ; ,0 ;0 ,0 As quatro constantes de integração são determinadas usando três condições de contorno, Resolvendo, temos Portanto, resolvendo equações. EI Pa EI x Pa EI x P v 3 2 2 3 2 2 6 7 6     Quando x2 = 0, temos Funções de descontinuidade ■ Quando expressada a carga ou o momento interno da viga, precisamos utilizar funções de descontinuidade. 1) Funções de Macaulay. ■ X é o ponto ao longo da viga e a é o local na viga onde ocorre “descontinuidade”. ■ Equação geral pode ser usada para cargas distribuídas:   a n a x a x a x a x n n          para 0 para Funções de descontinuidade ■ As funções Macaulay abaixo descrevem ambas a carga uniforme e a carga triangular. i) Descrever uma força = ii) Descrever um momento, = iii) A integração de ambas as equações dará Funções de descontinuidade Exemplo 12.5 Determine a equação da linha elástica para a viga em balanço mostrada na figura (a). EI é constante. Exemplo 12.5 As condições de contorno exigem inclinação e deslocamento zero em A. As reações no suporte A foram calculadas por estática e são mostradas em um diagrama de corpo livre, Solução: Já que Integrando novamente, temos 2 1 4 2 4 3 2 1 3 1 3 2 2 0 2 2 2 5 3 1 5 25 3 1 3 26 129 5 3 4 5 50 3 4 26 258 5 4 5 50 4 52 258 C C x x x x x x EIv C x x x x x dx dv EI x x x x dx d v EI                              V dM dx w x dV dx    e 1 1 1 1 0 5 8 5 50 0 8 0 258 0 52             x x x x x V       5 kN m 4 5 50 4 52 258 5 2 8 1 5 50 0 2 8 1 0 52 0 258 2 0 2 2 0 2 1 0                     x x x x x x x x x M Visto que dv/dx = 0, x = 0, C1 = 0; e v = 0, C2 = 0. Portanto Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área ■ O método dos momentos de área determinam a inclinação e o deslocamento em pontos específicos sobre a linha elástica de uma viga ou eixo. Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área TEOREMA 1 Ângulo entre as tangentes em 2 pontos quaisquer à curva elástica equivale a área sob o diagrama M/EI entre estes dois pontos. EIdx M B A B A  /   Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área TEOREMA 2 O desvio vertical da tangente em um ponto (A) sobre a linha elástica em relação à tangente traçada desde outro ponto (B) é igual ao momento da área sob o diagrama M/EI entre esses dois pontos (A e B). Esse momento é calculado em torno do ponto (A)onde o desvio vertical deve ser determinado. EIdx x M t B A A B /   EIdx x M t B A A B   / ou Determine a inclinação da viga na figura (a) nos pontos B e C. EI é constante. Exemplo 12.7 O diagrama M/EI será desenhado primeiro. A força P provova deflexão na viga como mostrado. C A C B A B / /       Pelo desenho, o ângulo entre tan A e tan B é equivalente a θB/A, onde Aplicando teorema dos momentos de área EI (Resposta) PL EI L PL EI (Resposta) PL L EI PL L EI PL C A C B A B 2 2 2 1 8 3 2 2 2 1 2 2 2 / 2 /                                          Solução: Determine o deslocamento dos pontos B e C da viga mostrada na Figura (a). EI é constante. Exemplo 12.8 O diagrama M/EI será desenhado antes. C A C B A B t t / /     O momento conjugado em C provoca a deflexão da viga como mostrado, portanto Aplicando teorema dos momentos de área, temos,   EI (Resposta) M L L EI M L t (Resposta) EI M L L EI M L t C A C B A B 2 2 8 2 4 2 0 0 / 2 0 0 /                                                Solução: Como ambas as respostas são negativas, elas indicam que os pontos B e C encontram-se abaixo da tangente em A. Determine o deslocamento no ponto C para a viga de aço em balanço com projeção mostrada na Figura (a). Considere Eaço = 200 GPa, I = 50 x 106 mm4. Exemplo 12.12 O diagrama M/EI será desenhado antes. B A C A C t t / /  2   A carga provoca deflexão na viga como mostrado, portanto Aplicando teorema dos momentos de área, temos, Solução: Substituindo os resultados dados ΔC = \frac{1.066,66 \text{ kN} \cdot \text{m}^3 (10^3 \text{ mm/m})^3}{(200 \text{ kN/mm}^2) | 50(10^6) \text{ mm}^4|} = 106,7 \text{ mm} \downarrow Resposta Método da superposição ■ satisfaz os dois requesitos necessários para aplicação do princípio da superposição. 1) Carga é linearmente relacionada a deflexão. 2) Espera-se que a carga não mude significativamente. ■ Utilizando resultados tabulados do Apêndice C, é possível determinar a inclinação e deslocamento em um ponto sobre a viga submetida a várias cargas.   w x EI d v dx 4   4 Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga mostrada na Figura (a). EI é constante. Exemplo 12.13 A carga pode ser separada em duas partes componentes. O deslocamento em C e a inclinação em A são determinados por meio da tabela, Para força concentrada de 8-kN, Deslocamento total em C e a inclinação em A são, Solução: A B 2 kN/m 8 kN 2 kN/m A C B (a) \theta_A v_C \theta_A 4 m C = (b) 4 m 4 m 4 m 2 kN/m A C B (\theta_A)_1 + (v_C)_1 \theta_A 8 kN 4 m C (b) 4 m 4 m 4 m A C B (\theta_A)_2 (v_C)_2 \theta_A = 8 kN 8 Determine o deslocamento na extremidade C da viga em balanço mostrqada na figura. EI é constante. Exemplo 12.15 Do Apêndice C, a inclinação e deslocamento em B são Visto que o ângulo é pequeno, o deslocamento em C torna-se Solução: Vigas e eixos estaticamente indeterminados ■ Um elemento é classificado como estatisticamente indeterminado se ■ Para determinar as reações na viga que são estatisticamente indeterminadas: a) Especifique as reações redundantes. b) Determine as redundâncias pelo grau de indeterminação. c) Aplique redundâncias e resolva as reações. nº de reações desconhecidas nº de equações  Vigas e eixos estaticamente indeterminados — método da integração ■ Há 3 métodos para resolver as redundâncias 1) Método de Integração Requer duas integrações de diferentes equações: EI M dx d v  2 2 2) Método Momento-Área Cálculo de ambas as áreas sob o diagrama MEI e a localização do centróide desta área. 3) Método de superposição Resolver as cargas redundantes nas vigas carregadas axialmente e torsionalmente carregadas. = + A viga na figura (a) está fixada em ambas as extremidades e sujeita à carga uniforme. Determine as reações nos apoios. Despreze o efeito da carga axial. Exemplo 12.18 Pelo diagrama de corpo livre, 2 (Resposta) wL V V B A   ' 2 2 2 M w x wL x M    Pela inclinação e curva elástica, 2 1 2 4 3 1 3 2 2 2 2 ' 24 12 ' 6 4 ' 2 2 C C x M x w x wL x EIv C M x w x x wL dx dv EI M w x x wL dx d v EI             Solução: Pelas condições de contorno, temos C1 = C2 =0, assim 12 (Resposta) ' M  wL2 A viga está sujeita à carga concentrada mostrada na Figura (a). Determine as reações nos apoios. EI é constante. Exemplo 12.19 Usando o método da superposição, os diagramas M/EI separados para reação redundante By e para carga P. (Resposta) P B L EI PL L L EI PL L L EI B L L t y y A B 5,2 0 2 1 3 2 2 1 2 2 1 3 2 /                                                          0 / A  Visto que , então Bt  0 B Aplicando o Teorema 2, temos, Solução: As reações em A no diagrama de corpo livre são Determine as reações no apoio de rolete B da viga mostrada na Figura (a) e trace os diagramas de força cortante e momento fletor. EI é constante. Exemplo 12.21 Por inspeção, a viga é estatisticamente indeterminada de primeiro grau. Considerando o deslocamento positivo para baixo, a equação de compatibilidade em B é Deslocamentos podem ser obtidos diretamente da tabela do Apêndice C. Solução: Substituíndo na Eq. 1 e resolvendo, obtemos Determine as reações na viga mostrada na Figura (a). Devido à carga e à má construção, o apoio de rolete em B cede 12 mm. Considere E = 200GPa e I = 80(106) mm4. Exemplo 12.22 Por inspeção, a viga é indeterminada de primeiro grau. Com referência ao ponto B, utilizando unidades métricas, exige-se que Utilizando a tabela no Apêndice C, Solução: Portanto, Equação 1 torna-se Substituindo E e I, temos Nós podemos calcular as reações em A e C usando as equações de equilíbrio.