Lista 1 - Álgebra Linear 2023-1

Lista 1 - ´Algebra Linear - Matem´atica, Estat´ıstica e F´ısica - 09/03/2023 Escanear a resolu¸c˜ao e entregar em PDF at´e dia 15/03/2023 - via Google Classroom Prof. Marcelo Messias - DMC/FCT/UNESP 1) a) Resolva os sistemas lineares abaixo. b) Escreva os sistema na forma matricial e discuta a solu¸c˜ao obtida. c) Discuta a solu¸c˜ao em termos geom´etricos. (Como feito na aula) (a)    2x + 3y = 7 3x − 2y = 5 (b)    2x − 4y = 3 −4x + 8y = 2 (c)    x + 2y = 3 3x + 6y = 9 2) Resolva os sistemas lineares abaixo. (a)    2x + 3y + z = 7 3x − 2y − z = 1 (b)    2x − 3y = 1 6x − 9y = a 3) Resolva usando escalonamento. Interprete os resultados matricialmente e geometricamente. (a)            x + 4y + 3z = 1 2x + 5y + 4z = 4 x − 3y − 2z = 5 (b)            x − y + z = 1 2x − y + z = 4 x − 2y + 2z = 0 4) Escreva, com suas palavras, o que ´e um Espa¸co Vetorial sobre R. 5) Mostre que o conjunto R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} (conjunto dos pares ordenados), munido das opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao, dada por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), e multiplica¸c˜ao por escalar, dada por α(x, y) = (αx, αy), onde α ∈ R, ´e um espa¸co vetorial sobre R. 6) Se no exerc´ıcio 5 tiv´essemos definido a multiplica¸c˜ao por escalar como sendo α(x, y) = (αx, 0), o R2 com a adi¸c˜ao usual dada no ex. 5) e essa nova multiplica¸c˜ao por escalar continuaria sendo um espa¸co vetorial sobre R? Explique. 7) O conjunto das n-uplas ordenadas, Rn = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R}, com n ≥ 2, ´e um espa¸co vetorial sobre R? Justifique bem sua resposta. Estudar vale a pena! Vale muito a pena! Bom trabalho! Dicas - Lista 1 - Álgebra Linear 1) a) Sistema tem solução única (compatível e determinado); det A ≠ 0; \inline{\underline{\phantom{r}}}_r \inline{\underline{\phantom{s}}}_s retas concorrentes b) Sistema incompatível (∄ solução); det A = 0; \inline{\underline{\phantom{r}}}_r \inline{\underline{\phantom{s}}}_s retas paralelas c) Sistema tem infinitas soluções (comp. indet.); det A = 0; retas coincidentes \inline{\underline{\phantom{r}}}_s=r=s 2) a) 2 equações e 3 incógnitas: infinitas soluções b) Resolver em termos de a. 3) Usar escalonamento. a) comp. det. b) incompatível 4) Escrever 5) Aqui você deve mostrar que a operação de adição satisfaz as 4 propriedades e a de multiplicação por escalar também. 6) Verificar que a multiplicação por escalar assim definida α(x,y) = (αx, 0) não satisfaz as 4 propriedades para ser espaço vetorial (qual delas "fura")? 7) Para que o conjunto R^n seja um espaço vetorial é preciso definir uma operação de adição e uma operação de multiplicação por escalar (n∈ real) neste conjunto, sendo que cada uma delas deve satisfazer as 4 propriedades vistas em aula. Dica: defina como no exercício 5. 1. a) { 2x + 3y = 7 => 2x = 7 - 3y => x = \frac{7 - 3y}{2} 3x - 2y = 5 } => 3\left(\frac{7-3y}{2}\right) - 2y = 5 => \frac{21 - 9y - 4y}{2} = 5 => 21 - 13y = 10 => y = \frac{11}{13} => x = \frac{7 - 3 \cdot \frac{11}{13}}{2} => x = \frac{93 - 33}{13 \cdot 2} = \frac{58}{26} = \frac{29}{13} Solução: x = \frac{29}{13}, y = \frac{11}{13} \left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 7 \\ 5 \end{array} \right). O determinante de \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{array} \right) é diferente de zero, e tem solução única c) Geometricamente, 2x + 3y = 7 e 3x - 2y = 5 são retas concorrentes. b) \left\{ \begin{array}{cc} 2x - 4y = 3 \rightarrow (-2) & -4x + 8y = -6 \ -4x + 8y = 2 & -4x + 8y = 2 \ \end{array} \right. => -6 = 2, o que é absurdo, logo não tem solução. \left(\begin{array}{cc} 2 & -4 \ -4 & 8 \ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ \end{array}\right) e determinante \, de \left(\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ -4 & 8 \\ \end{array}\right) é zero e \left(\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ -4 & 8 \\ \end{array}\right) possui as linhas LD e \left(\begin{array}{cc} 2 & -4 & 3 \\ -4 & 8 & 2 \\ \end{array}\right)é LI. Geometricamente, 2x - 4y = 3 e -4x + 8y = 2 são retas paralelas não coincidentes. c) \left\{ \begin{array}{cc} x + 2y = 3 \rightarrow (x3) & 3x + 6y = 9 \\ 3x + 6y = 9 & 3x + 6y = 9 \\ \end{array} \right. \rightarrow x = \frac{9 - 6y}{3} \Rightarrow x = 3 - 2y. Solução: 3 - 2y e y. \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 3 \\ 9 \\ \end{array}\right), e \ assim \ as \ linhas \ de \ \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{array}\right)são LD e \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{array}\right)também Geometricamente, 3x + 6y = 9 e x + 2y = 3 são a mesma reta. 2. a) \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 3y + z = 7 \\ 3x - 2y - z = 3 \\ \end{array} \right. => 2x + 3y + z + 3x - 2y - z = 7 + 3 => 5x + y = 8 => y = 8 - 5x => 2x + 3(8 - 5x) + z = 7 => z = 7 - 2x - 24 + 15x => z = -17 + 13x Solução: (x, 8 - 5x, -17 + 13x) b) \left\{ \begin{array}{cc} 2x - 3y = 1 \\ 6x - 9y = a \\ \end{array} \right. => 6x - 9y - 3(2x - 3y) = a - 3 \cdot 1 => 0 = a - 3 => a = 3 Logo se a \neq 3 \ não \ tem \ solução. se \ a = 3, 2x - 3y = 1 => x = \frac{1 + 3y}{2} \Delta \ solução \ é \left(\frac{1 + 3y}{2}, y\right) 3. a) \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 4 & 4 \\ 1 & -3 & -2 & 5 \\ \end{array}\right) \rightarrow L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 \rightarrow L_3 \leftarrow L_3 - L_1 \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -2 & 2 \\ 0 & -7 & -5 & 4 \\ \end{array}\right) \rightarrow L_3 \leftarrow L_3 - \frac{7}{3}L_2 \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \end{array}\right) => \frac{1}{3}z = -\frac{2}{3} => z = 2 => -3y = 2 + 2 \cdot 2 => y = \frac{6}{-3} = -2 => x = 1 - 4(2) - 3 \cdot 2 = 1 + 8 - 6 = 3 Solução: (3, -2, 2). A matriz \left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 1 & -3 & -2 \\ \end{array}\right) tem \ posto \ 3 e \ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 4 & 4 \\ 1 & -3 & -2 & 5 \\ \end{array}\right) tem \ posto \ 3 Geometricamente, x + 4y + 3z = 1, 2x + 5y + 4z = 4 e x - 3y - 2z = 5 são retas que se encontram no mesmo ponto. b) \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L_2 <- L_2 - 2L_1 \\ L_3 <- L_3 - L_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L_3 <- L_3 + L_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow 0 = 1, absurdo\\Não tem solução\\\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} tem posto 2 e \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} tem posto 3.\\Geometricamente as retas não concorrem no mesmo ponto.\\4. É um conjunto que seus elementos podem ser vistos como vetores, pois obedecem algumas condições com operações definidas como adição e multiplicação.\\As propriedades são: Associatividade, Comutatividade, Distributividade, Existência de Identidade e Neutro da Adição, e Associatividade de Existência de Identidade da Multiplicação. E, essas operações são fechadas. A multiplicação de elementos do conjunto com números reais. 5. Vamos mostrar as propriedades.\\Primeiro, se (a,b),(c,d) \in \mathbb{R}^2 \Rightarrow (a,b)+(c,d) = (a+b, c+d) \in \mathbb{R}^2\\e se \lambda \in \mathbb{R} então \lambda (a,b) = (\lambda a, \lambda b) \in \mathbb{R}^2.\\i) Associatividade da Adição.\\(a,b) ((c,d) + (e,f)) = (a,b) + (c+e, d+f) = (a+(c+e), b+(d+f))\\= ((a+c)+e, (b+d)+f) = ((a+c, b+d) + (e,f)) = ((a,b) + (c,d)) + (e,f).\\ii) Comutatividade da Adição.\\(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c,d) + (a,b).\\iii) Elemento Identidade da Adição.\\(0,0) \in \mathbb{R}^2 e (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b).\\iv) Elemento Inverso da Adição.\\Dado (a,b) \in \mathbb{R}^2 temos (-a,-b) \in \mathbb{R}^2 e\\(a,b) + (-a,-b) = (a+(-a), b+(-b)) = (0,0).\\v) Associatividade da Multiplicação.\\\lambda (\kappa (a,b)) = \lambda (\kappa a, \kappa b) = (\lambda (\kappa a), \lambda (\kappa b)) = ((\lambda \kappa) a, (\lambda \kappa) b) \\= ((\lambda \kappa) (a,b).\\vi) Identidade da Multiplicação.\\1 \in \mathbb{R} e 1(a,b) = (1 \cdot a, 1 \cdot b) = (a,b). vii) Distributividade.\\\lambda((a,b)+(c,d)) = \lambda(a+c, b+d) = (\lambda(a+c), \lambda(b+d)) = (\lambda a + \lambda c, \lambda b + \lambda d)\\= (\lambda a, \lambda b) + (\lambda c, \lambda d) = \lambda(a,b) + \lambda(c,d), e\\(\lambda+\kappa) (a,b) = ((\lambda+\kappa) a, (\lambda+\kappa) b) = (\lambda a + \kappa a, \lambda b + \kappa b) = (\lambda a, \lambda b) + (\kappa a, \kappa b) = \lambda(a,b) + \kappa(a,b).\\\\6) Não, pois não cumpriria a existência de identidade da multiplicação por escalar. Pois, veja que, se \exists \lambda \in \mathbb{R} com:\\\lambda(a,0) = (a,b)\Rightarrow(\lambda a,0) = (a,b)\Rightarrow b=0, mas b\\é um número real qualquer que pode ser diferente de zero.\\\\7) Sim, basta fazer a verificação análoga a questão 5.\\Primeiro, a multiplicação e adição são fechadas e: (x_3, ..., x_n) + [(y_3, ..., y_n) + (z_3, ..., z_n)] = [x_3 + (y_3 + z_3), ..., x_n + (y_n + z_n)] = [(x_3 + y_3) + z_3, ..., (x_n + y_n) + z_n] = [(x_3, ..., x_n) + (y_3, ..., y_n)] + (z_3, ..., z_n) (x_3, ..., x_n) + (y_3, ..., y_n) = (x_3 + y_3, ..., x_n + y_n) = (y_3 + x_3, ..., y_n + x_n) = (y_3, ..., y_n) + (x_3, ..., x_n) (0, ..., 0) ∈ ℝⁿ (0, ..., 0) + (x_3, ..., x_n) = (x_3, ..., x_n) Dado (x_3, ..., x_n), tome (-x_3, ..., -x_n) ∈ ℝⁿ, e dis- (x_3, ..., x_n) + (-x_3, ..., -x_n) = (0, ..., 0) λ (k (x_3, ..., x_n)) = (λ (k x_3), ..., λ (k x_n)) = ((λ k)x_3, ..., (λ k)x_n) = (λ k)(x_3, ..., x_n) λ ∈ ℝ e λ (x_3, ..., x_n) = (x_3, ..., x_n) λ ((x_3, ..., x_n) + (y_3, ..., y_n)) = (λ (x_3 + y_3), ..., λ (x_n + y_n)) = (λ x_3 + λ y_3, ..., λ x_n + λ y_n) = λ (x_3, ..., x_n) + λ (y_3, ..., y_n) (λ + k) (x_3, ..., x_n) = (λ x_3 + k x_3, ..., λ x_n + k x_n) = λ (x_3, ..., x_n) + k (x_3, ..., x_n)